Aula 10 - Site - Mec sol Círculo de Mohr.pdf

Aula de mecânica dos sólidos sobre círculo de Mohr

1. 10/05/2021
Mecânica dos Sólidos II
AULA 10 –CÍRCULO DE MOHR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Prof. Dr. Gustavo Neto
http://home.ufam.edu.br/gustavoneto
[email protected]
Manaus –AM / 2021
2/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Sumário
Introdução;
EquaçõesdoCírculodeMohr(EstadoPlano);
ConstruçãodoCírculodeMohr.

2. 10/05/2021
3/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Introdução
Asequaçõesparacalcularastensõesprincipaisea
tensãomáximadecisalhamentoemumpontodeum
corpotensionadoforamdesenvolvidasnaaulaanterior.
Aquiserádesenvolvidoumprocedimentográficoparaas
transformaçõesdetensãoplanaeespacial.
•Maisfácildelembrareforneceumarepresentaçãofuncionaldas
relaçõesentreoscomponentesdetensãoatuandoemdiferentesplanos
emumponto.
4/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Introdução
OengenheirocivilalemãoOttoChristianMohr(1835-
1918)desenvolveuumainterpretaçãográficaútilda
equaçãodetransformaçãodetensão.
•EstemétodoéconhecidocomoocírculodeMohr.
Figura 1: Christian Otto Mohr (1835-1918)
Fonte: Wikipedia (2021)

3. 10/05/2021
5/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Introdução
Emborasejautilizadoaquiparatransformaçãode
tensões,ocírculodeMohrtambéméválidoparaoutras
transformaçõesquesãomatematicamentesemelhantes.
•Taiscomomomentosdeinérciadeáreaemassa,transformaçõesde
deformação.
Onomemaisadequadoseria“circunferênciadeMohr”,
maspormotivoshistóricos,apalavracírculoserá
mantida.
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Equações do Círculo de Mohr
para o Estado Plano de Tensões

4. 10/05/2021
7/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Equações do “Círculo” –Estado Plano
OcírculodeMohrparatensãoplanaéconstruídocoma
tensãonormalplotadoaolongodoeixohorizontalea
tensãodecisalhamento,doeixovertical.
Ocírculoéconstruídodeformaquecadaponto
representaumacombinaçãodeequeatuaemum
planoespecíficoatravésdeumpontoemumcorpo
tensionado.
8/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Equações do “Círculo” –Estado Plano
Considereasequaçõesdetransformaçãodetensão:
??????
?
−
(
?
>
?
)
6
=
(
?
?
?
)
6
cos2??????+??????
??
sen 2??????
??????
??
=−
??????
?
−??????
?
2
sen 2??????+??????
??
cos2??????
Ambasasequaçõespodemserelevadasaoquadrado,
depoissomadasesimplificadasparadar:
??????
?
−
??????
?
+??????
?
2
6
+??????
??
6
=
??????
?
−??????
?
2
6
+??????
??
6

5. 10/05/2021
9/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Equações do “Círculo” –Estado Plano
Considereasequaçõesdetransformaçãodetensão:
??????
?
−
(
?
>
?
)
6
=
(
?
?
?
)
6
cos2??????+??????
??
sen 2??????
??????
??
=−
??????
?
−??????
?
2
sen 2??????+??????
??
cos2??????
Ambasasequaçõespodemserelevadasaoquadrado,
depoissomadasesimplificadasparadar:
??????
?
−
??????
?
+??????
?
2
6
+??????
??
−0
6
=
??????
?
−??????
?
2
6
+??????
??
6
??????
6
=
??????
?
−??????
?
2
6
+??????
??
6

?
>
?
6
??
10/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Equações do “Círculo” –Estado Plano
Considereasequaçõesdetransformaçãodetensão:
??????
?
−
(
?
>
?
)
6
=
(
?
?
?
)
6
cos2??????+??????
??
sen 2??????
??????
??
=−
??????
?
−??????
?
2
sen 2??????+??????
??
cos2??????
Ambasasequaçõespodemserelevadasaoquadrado,
depoissomadasesimplificadasparadar:
??????
?
−
??????
?
+??????
?
2
6
+??????
??
−0
6
=
??????
?
−??????
?
2
6
+??????
??
6
??????
?
−??????̅
6
+??????
??
6
=??????
6

6. 10/05/2021
11/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Equações do “Círculo” –Estado Plano
Estaéaequaçãodeumacircunferênciaemtermosdas
variáveis
?
e
??
.
Ocentrodocírculoestálocalizadonoeixo(i.e.,),
em
? ?
.
Eoraio

?
?
?
6
6
??
6
.
12/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Utilidade do Círculo de Mohr
OcírculodeMohrpodeserusadoparadeterminaras
tensõesqueatuamemqualquerplanoquepassapor
umponto.
Ébastanteconvenienteparadeterminarastensões
principaiseastensõesdecisalhamentomáximas(tanto
noplanocomoemtensõesmáximasabsolutasde
cisalhamento).

7. 10/05/2021
13/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Utilidade do Círculo de Mohr
SeocírculodeMohrfortraçadoemescala,medidas
tiradasdiretamentedodesenhopodemserusadaspara
obtervaloresdetensão.
Noentanto,eleéprovavelmentemaisútilcomouma
ajudapictóricaparaoengenheiroqueestárealizandoa
análisedetensões/direçõesemumdeterminadoponto.
14/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Convenções de Sinais
Eixohorizontal:Tensõesnormais;
•Tração:positiva,àdireitadoeixovertical.
•Compressão:negativa,àesquerdadoeixovertical.
Eixovertical:TensõesdeCisalhamento.
•Considereopar(??????
?
,??????
??
).Se,nafaceondeo??????
?
énormal,atensãode
cisalhamento??????
??
tenderagiraroestadoplanonosentidoanti-horário,
entãoelaserápositiva(abaixodoeixohorizontal??????);
•Casocontrário(girarnosentidohorário),??????
??
seránegativa(acimado
eixohorizontal??????).

8. 10/05/2021
15/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr
(CM)
16/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
Admitaqueoestadoplanoé
conhecidototalmente,ouseja,
seconhece
??
e
??
.
1)Casooestadoplanocomsuaorientação
nãosejadado,esboce-ocomumdesenho
parafacilitaraconstruçãodoCM.
2)Desenheumpardeeixoscoordenadosde
maneiraque??????sejaodasabscissase??????o
dasordenadas.
Figura 1:
Philpot (2013)

9. 10/05/2021
17/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
Admitaqueoestadoplanoé
conhecidototalmente,ouseja,
seconhece
??
e
??
.
1)Casooestadoplanocomsuaorientação
nãosejadado,esboce-ocomumdesenho
parafacilitaraconstruçãodoCM.
2)Desenheumpardeeixoscoordenadosde
maneiraque??????sejaodasabscissase??????o
dasordenadas.
Figura 1:
Philpot (2013)
18/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
Admitaqueoestadoplanoé
conhecidototalmente,ouseja,
seconhece
??
e
??
.
1)Casooestadoplanocomsuaorientação
nãosejadado,esboce-ocomumdesenho
parafacilitaraconstruçãodoCM.
2)Desenheumpardeeixoscoordenadosde
maneiraque??????sejaodasabscissase??????o
dasordenadas.
Figura 1:
Philpot (2013)
??????

10. 10/05/2021
19/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
3)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Lembre-sedaconvençãodesinais!
Figura 2:
Philpot (2013)
20/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
3)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Lembre-sedaconvençãodesinais!
Figura 2:
Philpot (2013)
??????

11. 10/05/2021
21/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
3)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Lembre-sedaconvençãodesinais!
Figura 2:
Philpot (2013)
??????
?????? ???????
??????
??????
22/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
3)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Lembre-sedaconvençãodesinais!
-TenhaemmentequeascoordenadasdoCM
nadatemavercomcoordenadasespaciais.São??????,??????.
4)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Notequesempreemumaface ??????atensão??????
“gira”emumsentidocontrárioàdaface??????.Porquê?
Figura 3:
Philpot (2013)

12. 10/05/2021
23/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
3)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Lembre-sedaconvençãodesinais!
-TenhaemmentequeascoordenadasdoCM
nadatemavercomcoordenadasespaciais.São??????,??????.4)Marqueopar (??????,??????)queagenafaceem
queoeixo??????énormal.
-Notequesempreemumaface ??????atensão??????
“gira”emumsentidocontrárioàdaface??????.Porquê?
-??????temmesmovalorabsolutonasduasfaces.
-“chegam”ou“saem”domesmovérticedoestadoplano.
Figura 3:
Philpot (2013)
24/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
5)Desenheumalinhaligandoospontos ??????e
??????daFig.4.
-Olocalondeestalinhacruzaoeixo??????marcao
centrodoCM.
-Logo,adistânciadeCpara??????ou??????éigualao
raio??????doCM.
Figura 4:
Philpot (2013)

13. 10/05/2021
25/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
5)Desenheumalinhaligandoospontos ??????e
??????daFig.4.
-Olocalondeestalinhacruzaoeixo??????marcao
centrodoCM.
-Logo,adistânciadeCpara??????ou??????éigualao
raio??????doCM.
Figura 4:
Philpot (2013)
??????
26/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
5)Desenheumalinhaligandoospontos ??????e
??????daFig.4.
-Olocalondeestalinhacruzaoeixo??????marcao
centrodoCM.
-Logo,adistânciadeCpara??????ou??????éigualao
raio??????doCM.
6)DesenheoCMcomcentroem ??????eraio??????.
-Todopontodacircunferênciarepresentauma
combinaçãode??????e??????queexisteemalgumaorientação.
-QualquerpardepontosdoCMqueestejaem
umdiâmetrorepresentamastensõesemplanos
ortogonaisnoplano????????????.
Figura 5:
Philpot (2013)

14. 10/05/2021
27/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
5)Desenheumalinhaligandoospontos ??????e
??????daFig.4.
-Olocalondeestalinhacruzaoeixo??????marcao
centrodoCM.
-Logo,adistânciadeCpara??????ou??????éigualao
raio??????doCM.
6)DesenheoCMcomcentroem ??????eraio??????.
-Todopontodacircunferênciarepresentauma
combinaçãode??????e??????queexisteemalgumaorientação.
-QualquerpardepontosdoCMqueestejaem
umdiâmetrorepresentamastensõesemplanos
ortogonaisnoplano????????????.
Figura 5:
Philpot (2013)
28/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
5)Desenheumalinhaligandoospontos ??????e
??????daFig.4.
-Olocalondeestalinhacruzaoeixo??????marcao
centrodoCM.
-Logo,adistânciadeCpara??????ou??????éigualao
raio??????doCM.
6)DesenheoCMcomcentroem ??????eraio??????.
-Todopontodacircunferênciarepresentauma
combinaçãode??????e??????queexisteemalgumaorientação.
-QualquerpardepontosdoCMqueestejaem
umdiâmetrorepresentamastensõesemplanos
ortogonaisnoplano????????????.
Figura 5:
Philpot (2013)
°
°

15. 10/05/2021
29/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
7)MarqueospontosnoCMcorrespondentes
àstensõesprincipais.
-Qualalocalizaçãodeles?
Figura 5:
Philpot (2013)
30/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
7)MarqueospontosnoCMcorrespondentes
àstensõesprincipais.
-Qualalocalizaçãodeles?
Figura 5:
Philpot (2013)

16. 10/05/2021
31/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
7)MarqueospontosnoCMcorrespondentes
àstensõesprincipais.
-Qualalocalizaçãodeles?
Figura 6:
Philpot (2013)
??????
??????
(??????$
5
,0)
(??????$
6
,0)
32/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
7)MarqueospontosnoCMcorrespondentes
àstensõesprincipais.
-Qualalocalizaçãodeles?
Figura 6:
Philpot (2013)
??????
??????$
5
??????$
6
(??????$
5
,0)
(??????$
6
,0)

17. 10/05/2021
33/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
7)MarqueospontosnoCMcorrespondentes
àstensõesprincipais.
-Qualalocalizaçãodeles?8)AgeometriadoCMpodeserusadapara
determinaraorientaçãodosplanos
principais.
-Oânguloentreoponto??????doCMeodatensão
principal??????$
5
,0é2??????
?
(marcadonafig.aolado).
-Nãosóomódulodesteângulo,masosentido
derotaçãodeletambémpodeserdeterminado,por
inspeçãonoCM.SeráomesmosentidodoCM!
Figura 6:
Philpot (2013)
(??????$
5
,0)
(??????$
6
,0)
34/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
9)DoisoutrospontosinteressantesnoCM
sãoosvaloresextremosdatensãode
cisalhamento.
-Seusvaloresabsolutosocorrerãoemum
diâmetroperpendicularaoeixo??????.
-A1ªcoordenada??????docentro??????daráovalorde
??????
???
queéatensãonormalnoplanodeincidênciada
tensãodecisalhamentomáxima(noplano,??????
???,?
).
-Ovalorde??????
???,?
seránumericamenteigualao
valordoraio??????doCM.
Figura 7:
Philpot (2013)
(??????$
???
,??????
???,?
)
(??????$
???
,??????
???,?
)

18. 10/05/2021
35/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
10)Comocitado,observequeoânguloentre
ospontosdetensãoprincipaleosde
tensãodecisalhamentomáximanoplano
é90°.
-ComoosângulosretiradosdoCMsãosempre
odobrodaorientaçãorealdoestadoplano,logo,o
ângulorealentreosplanosprincipaiseosdastensões
decisalhamentomáximas(noplano)ésemprede45°.
Figura 7:
Philpot (2013)
(??????$
???
,??????
???,?
)
(??????$
???
,??????
???,?
)
36/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Construção do Círculo de Mohr (CM)
10)Observequeoânguloentreospontosde
tensãoprincipaleosdetensãode
cisalhamentomáximanoplanoé90°.
-ComoosângulosretiradosdoCMsãosempre
odobrodaorientaçãorealdoestadoplano,logo,o
ângulorealentreosplanosprincipaiseosdastensões
decisalhamentomáximas(noplano)ésemprede45°.
Figura 8:
Philpot (2013)
(??????$
???
,??????
???,?
)
(??????$
???
,??????
???,?
)
(??????$
5
,0)
(??????$
6
,0)

19. 10/05/2021
37/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Comentários sobre o CM
QuaisasvantagensdoCírculodeMohr?
•Eleéumresumovisualconcisodetodasascombinaçõespossíveisem
qualquerpontodeumelementosubmetidoatensões.
•Forneceumaferramentafácildelembrarparaaanálisedetensões.
◦Devidoàrelaçãoexistenteentreageometriadacircunferênciaeasfunções
trigonométricasenvolvidasnasequaçõesdetransformaçãodetensões.
•Ajudaránaaplicaçãodoscritériosdefalhaaseremestudados
futuramente.
38/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Exemplo 1 –MecMoviesM12.10
PráticadeCírculodeMohrparaas
tensões(CoachMohr’sCircleof
Stress).
•AprendaaconstruireausaroCMpara
determinarastensõesprincipais,incluindoa
orientaçãoadequadadosplanosdestas
tensões.

20. 10/05/2021
39/39 Prof.Dr.GustavoNetoAula 10 –Círculo de Mohr
Referências
PHILPOT,T.Mecânicadosmateriais-UmSistemaIntegradode
Ensino.2ªed.SãoPaulo:LTC,2013.
WIKIPEDIA.ChristianOttoMohr(Figura).Disponívelem:
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Christian_Otto_Mohr#/media/Fi
cheiro:Christian_Otto_Mohr.jpg>.Acessoem02/05/2021.