AULA 12.1- Resposta em Frequencia-Diagrama de Nyquist.pdf

Resposta em frequência

1. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
EST –Escola Superior de Tecnologia
Aula-12.2

2. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
Prof: Dr. Daniel Guzmán delRío
Coord: –Engenharia Elétrica
Manaus, Brasil
EST –Escola Superior de Tecnologia
Aula-12.2
Prof: Almir Kimura Junior
EST –Escola Superior de Tecnologia

3. Método de análise de Resposta de
Frequência. Diagramas de Nyquist.
Critério de estabilidade de Nyquist.

4. Resposta em frequência (Nyquist) (Professor LuisAntonio
Aguirre)
••https://www.youtube.com/watch?v=502AO3Atcts
••https://www.youtube.com/watch?v=O-E1ya88JJc
••https://www.youtube.com/watch?v=2tty6iZZGsA

5. Critério de Estabilidade de Nyquist
Determinaaestabilidadedeumsistemademalha
fechadacombasenarespostaemfrequênciade
malhaabertaenospólosdemalhaaberta.
Paraobterestabilidade,todasasraízesdaequação
característicade1+G(s)H(s)=0 devem ficarno
semiplanoesquerdodoplanos.
OcritériodeestabilidadedeNyquistrelacionaa
respostaemfrequênciademalhaabertaG(jω)H(jω)ao
númerodezerosepolosde1+G(jω)H(jω).

6. Critério de Estabilidade de Nyquist
Aprincipalvantagemdessecritérioconsistequepode-
sedeterminaraestabilidadeabsolutadosistemade
malhafechada,podeserdeterminadagraficamentea
partirdascurvasderespostaemfrequênciademalha
abertaenãohánecessidadededeterminarde
maneiraefetivaospolosdemalhafechada.
Ascurvasderespostaemfrequênciademalhaaberta
obtidasanalíticaeexperimentalmente,podemser
utilizadasnaanálisedeestabilidade.
Issoéconvenienteporque,noprojetodeumsistema
decontrole,expressõesmatemáticasdealgunsdos
componentes frequentementenãosãoconhecidas;
apenasosdadosdarespostaemfrequênciaestão
disponiveis.

7. OcritériodeestabilidadedeNyquistéfundamentadoem
umteoremaapartirdateoriadevariáveiscomplexas.
Paraentenderocritério,primeirodiscutiremoso
mapeamento decontornonoplanocomplexo.
Vamossuporqueafunçãodetransferênciademalha
abertaG(s)H(s)sejarepresentadapelarelaçãode
polinômiosems.
Equaçãocaracterísticadosistema
Critério de Estabilidade de Nyquist
Estudo Preliminar

8. Aumadadatrajetóriacontínuaefechada,noplanos,
correspondeumacurvafechadanoplanoF(s).
Onúmeroeosentidodosenvolvimentosdaorigemdoplano
F(s)pelacurvafechadaserãorelacionadoscoma
estabilidadedosistema
Temosaseguintefunçãodetransferênciademalhaaberta:
Aequaçãocaracterísticaé:
Princípio do argumento

9. ParacadapontonoplanoscorrespondeumpontonoplanoF(s)
Porexemplo:s=2+j1,entãoF(s)será:
 Assim,opontos=2+j1noplanosémapeadonoponto2-j1noplanoF(s).
Princípio do argumento

10. Princípio do argumento

11. Princípio do Argumento

12. Pelaanálise,podemosverqueosentidodoenvolvimentoda
origemdoplanoF(s)pelolugargeométricodeF(s)depende
dofatodeocontornonoplanosenvolverumpoloouum
zero.
Notequealocalizaçãodeumpoloouumzeronoplanos,
sejanosemiplanodireitoounosemiplanoesquerdo,nãofaz
diferença,masoenvolvimentodeumpoloouumzerofaz.
Porultimoseocontornonoplanosenvolverigualnúmerode
polosedezeros,entãoacurvafechadacorrespondenteno
planoF(s)nãoenvolveráaorigemdoplanoF(s).
Adiscussãorealizadaéumaexplicaçãográficadoteorema
domapeamento,queéabasedocritériodeestabilidadede
Nyquist.
Princípio do argumento

13. Critério de estabilidade de Nyquist
OplanosparaocritériodeestabilidadedeNyquiste
denominadacontornodeNyquist,constítuidadoeixo
imagináriodoplanosedeumasemicircunferênciade
raioarbitrariamentegrande,queenvolvainteiramente
osemiplanodireitos.conformeémostradonafigura
abaixo.

14. Critério de estabilidade de Nyquist
SejaF(s)acurvarepresentativadaimagem1+G(s)H(s),
calculadasobreocontornodeNyquist.
Peloprincípiodoargumento:
ComoNzéonumerodepolosdemalhafechadano
semiplanodireito,entãoosistemaéestávelsee
somenteNz=0,ouseja,
QueéocritériodeestabilidadedeNyquist

15. Critério de estabilidade de Nyquist
Geralmente,desenha-seacurvadeG(s)H(s)emvezde1+G(s)H(s).Nessecaso,
onúmerodeenvolvimentodaorigemdoplano1+G(s)H(s)setransformano
númerodeenvolvimentosnoponto-1+j0doplanoG(s)H(s).
Portanto,ocritériodeestabilidadedeNyquistpodeserenunciadoassim:
Umsistemaemmalhafechadaéestávelseesomenteseo
númerodeenvolvimentosdoponto -1+j0pelacurvaG(s)H(s)
nosentidoanti-horárioforigualaonúmerodepolosdemalha
abertacomparterealpositiva
SeG(s)H(s)nãopossuirpolosnosemiplanodireitodes(Np=0),entãoparaqueosistema
emmalhafechadasejaestável,acurvaG(s)H(s)nãodeveenvolveroponto-1+j0.
ComoNzéonumerodepolosdemalhafechadanosemiplanodireito,entãoosistema
éestávelseesomenteNz=0,ouseja,
QueéocritériodeestabilidadedeNyquist

16. Exemplo
Considereumsistemacomafunçãodetransferênciademalha
aberta
Cujos polos são s=-1 e s=-10.
O módulo de G(jω)H(jω)é dado por
E a fase

17. Exemplo
Natabelaabaixosãoapresentadososvaloresdomóduloeda
fasedeG(jω)H(jω)paraalgumasfreqüências0<ω<∞.

18. Exemplo
Osistemaemmalhaabertanãopossuipolosnosemiplanodireito.
OdiagramapolardeNyquistnãoenvolveoponto-1+j0.Portanto,
conclui-sequeosistemaemmalhafechadaéestável.

19. Exemplo
Considereumsistemacomafunçãodetransferênciademalha
aberta
Cujoospolossãos=+2es=-10.
OmódulodeG(jω)H(jω)édadopor
Eafase

20. Exemplo
Natabelaabaixosãoapresentadososvaloresdomóduloeda
fasedeG(jω)H(jω)paraalgumasfreqüências0<ω<∞.

21. Exemplo
Osistemaemmalhaabertapossuiumpolonosemiplanodireito
(Np=1).Comoodiagramapolarenvolveoponto-1+j0umavez
nosentidoanti-horário(N=-Np=-1),entãoosistemaemmalha
fechadaéestavel

22. Critério de estabilidade de Nyquist
Examinandoaestabilidadedesistemaslinearesde
controleutilizandoocritériodeestabilidadedeNyquist,
observa-sequepodeocorrertrêspossibilidades:
Nãoexistenenhumenvolvimentodoponto-1+j0.Isso
implicaqueosistemaseráestávelsenãohouverpolosde
G(s)H(s)nosemiplanodireitodoplanos;casocontrário,o
sistemaéinstável.
Existeumoumaisenvolvimentosdoponto-1+j0nosentido
anti-horário.Nessecaso,osistemaseráestávelseo
númerodeenvolvimentosnosentidoanti-horárioforo
mesmoqueonúmerodepolosdeG(s)H(s)nosemiplano
direitodoplanos;casocontrárioosistemaseráinstável.
Existeumoumaisenvolvimentosnoponto-1+j0nosentido
horário.Nessecasoosistemaéinstável

23. Margens de Estabilidade Diagrama de Nyquist
Asprincipaisvantagenssão:
Podeseraplicadatantoafunçãodetransferência
calculadacomoparaarespostaemfrequênciamedida
experimentalmente,quemuitasvezesémaisfácildeser
obtida
Forneceumaindicaçãodemargensdesegurançanos
sistemasestáveisemmalhafechada,taiscomovariações
máximasnoganhoCCouemquaisquerparâmetro,que
osistematolerasemperderaestabilidade;
Sugeremodificaçõesnosistemaparaevitara
instabilidadeoumelhorarodesempenho;
Sinteticamente,asmargensdeestabilidadesãomedidasde
distânciadodiagramadeNyquistateoponto-1+j0.Essas
medidassãoasmargemdeganhoMGeamargemdefase
MF

24. Margens de Estabilidade Diagrama de Nyquist
AmargemdeganhoMGindicaquantasvezesomódulodafunçãode
transferênciadeumsistemademalhaabertanafrequênciaωemquea
faseé-180°,deveseraumentadooudiminuídoparaqueodiagramade
Nyquistpassepelopontocrítico-1+j0,ouseja,
AmargemdefaseMFindicaquantoafasedeumsistemaemmalhaaberta,
nafrequênciaemqueomóduloéiguala1,deveservariadaparaqueo
diagramadeNyquistpassepelopontocrítico-1+j0,ouseja,

25. PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)

26. PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)

27. PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)

28. PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)

29. PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)

30. BIBLIOGRAFIA
Bolton, W. ; “Engenharia de Controle” Makron Books, 1995.
Phillips, C. L.; Harbor, R. D.; “Feedback Control Systems”
Prentice Hall -3rd edition –1996.
Ogata, K; Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall
–4rd edition –2003.
Dorf, R. C.; Bishop, R. H.; “Sistemas de controle modernos”
LTC Editora –8a edição –1998.
Facchini; “Matemática: volume único” Editora Saraiva –
1a edição –1996.
Apostila de sistemas de controle-Lugar das raízes-Prof.
Msc. Alexandre da Silva Simões-São Paulo –SP (2001)

31. Exercício
Representar o seguinte sistema de primeira ordem em sua forma
de função de transferência.
Obtenha através do Matlabo Diagrama de Nyquistpara o sistema
em malha aberta com uma funçãoderealimentação onde
H(S)=4/4S+1.
O sistema em malha fecghadaé estável ou instável, porquê?

32. Para o seguinte sistema obtenha o Diagrama
de Nyquistpara os 3 valores de Kputilizando o
Matlab; avalie e justifique se é estável ou não.
Kp=10
Kp=150
Kp=250

33. SISTEMASDECONTROLE1
CONTROLEESERVOMECANISMOS
EST –Escola Superior de Tecnologia
Fim Aula 12.2
Prof: Dr. Daniel Guzmán delRío
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