Aula 17 medidas separatrizes

Estatística: Medidas Separatrizes: Quartis, Quintis, Decis e Percentis em Dados Não-Agrupados e Agrupados, exercícios.

1. AULA 17
ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro
MEDIDAS SEPARATRIZES

2. MEDIDAS SEPARATRIZES
São números que dividem a seqüência ordenada
de dados em partes que contêm a mesma
quantidade de elementos da série.
Desta forma, a mediana que divide a
seqüência ordenada em dois grupos, cada um
deles contendo 50% dos valores da seqüência, é
também uma medida separatriz.
Além da mediana, as outras medidas
separatrizes que destacaremos são: quartis,
quintis, decis e percentis.

3. QUARTIS
Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma
ficará com seus 25% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são chamados de
quartis.
Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q
1
, separa a
seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e
75% de seus valores à direita.
O segundo quartil, que indicaremos por Q
2
, separa a seqüência
ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus
valores à direita.
Note que o Q
2
é a Mediana da série.
O terceiro quartil Q
3
obedece a mesma regra dos anteriores.
Q1 Q2 Q3 Q4
25% 25% 25% 25%

4. QUINTIS
Se dividirmos a série ordenada em cinco partes, cada
uma ficará com seus 20% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de quintis.
Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K
1
,
separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valores
à esquerda e 80% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros quintis.
20% 20% 20% 20% 20%
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

5. DECIS
Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cada
uma ficará com seus 10% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de decis.
Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D
1
,
separa a seqüência ordenada deixando 10% de seus valores
à esquerda e 90% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros decis.
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9D10
10%10%10%10%10%10%10%10%10%10%

6. PERCENTIS
Se dividirmos a série ordenada em cem partes,
cada uma ficará com 1% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de centis ou percentis.
Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por
P
1
, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seus
valores à esquerda e 99% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros
percentis.
P1 P2 A P100
1% 99%

7. PERCENTIS
Se observarmos que os quartis, quintis e decis são
múltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula de
cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser
identificadas como percentis. Ou seja:
QUARTIS- PERCENTIS QUINTIS-PERCENTIS DECIS - PERCENTIS
Q
1
= P
25
Q
2
= P
50
Q
3
= P
75
K
1
= P
20
K
2
= P
40
K
3
= P
60
K
4
= P
80
D
1
= P
10
D
2
= P
20
D
3
= P
30
D
4
= P
40
D
5
= P
50
D
6
= P
60
D
7
= P
70
D
8
= P
80
D
9
= P
90

8. DADOS NÃO-AGRUPADOS
Identificamos à medida que queremos obter com o percentil
correspondente, P
i
.
Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil i
no Rol, ou seja:
i x n
100
Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta
posição.
Note que se o elemento for um número inteiro, então P
i
que
estamos procurando identificar é um dos elementos da seqüência
ordenada.
Se não for um número inteiro, isto significa que P
i
é um
elemento intermediário entre os elementos que ocupam as
posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado.
Neste caso, P
i
é definido como sendo a média dos valores que
ocupam estas posições aproximadas.

9. DADOS NÃO-AGRUPADOS - EXEMPLOS
Dada a série de valores, Calcule Q
1
1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.
Solução: Q
1
= P
25
.
Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série
obtendo:
25 x 12 = 3
100
Este valor indica a posição do P
25
no Rol, isto é, o P
25
é o
terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol
obtém-se 5.
Portanto Q
1
= P
25
= 5.
Interpretação: 25% dos valores desta seqüência são valores
menores que 5 e 75% dos valores desta seqüência são valores
maiores que 5.

10. DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
Identificamos à medida que queremos obter com o
percentil correspondente, P
i
.
Calculamos i% de n(Σf
i
) para localizar a posição do
percentil i no Rol, ou seja:
i x Σf
i
100
x
i
f
i
F
i
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σf
i
= 24
Exemplo: Calcule o D
4
para a série

11. x
i
f
i
F
i
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σf
i
= 24
Solução: D
4
= P
40
.
Calculamos 40% de 24 que é o
número de elementos da série
obtendo:
40 x 24 = 9,6
100
Este valor indica a
posição do P
40
é um valor
compreendido entre o nono e o
décimo elemento da série.
Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim:
D
4
= 5

Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menores
ou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valores
maiores ou iguais que 5.
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE

12. DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis,
vamos generalizar a fórmula de mediana:
i x n - F(ant) x h
P
i
= l
i
+ 100
f
i
Sendo:
P
i
– Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);
l
i
- limite inferior da classe que contém o percentil;
n – número de elementos da série (Σf
i
);
F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe
que contém o percentil;
f
i
- freqüência simples da classe que contém o percentil;
h - amplitude do intervalo da classe mediana

13. Exemplo: Calcule o Q
3
para a série.
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
iIntervalo de Classef
i
F
i
1
2
3
4
5
0 ⌐ 10
10 ⌐ 20
20 ⌐ 30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
16
18
24
35
12
16
34
58
93
105
Solução: Q
3
= P
75
.
75 x 105 = 78,75
100
A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na
série é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P
75
.

14. Substituindo os valores na fórmula obtém-se:
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
75 x 105 - 58 x 10
P
75
= 30 + 100 = 35,93
35
Portanto Q
3
= P
75
= 35,93.
Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são
valores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores
desta seqüência são valores maiores ou iguais que
35.93.

15. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
1- Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o
número aproximado de elementos que situam:
a) Acima do P20;
b) Abaixo do K3;
c) Acima do Q3;
d) Abaixo do P90;
e) Entre o P10 e o P90;
f) Entre o Q1 e o Q3;
g) Entre o Q3 e o P80.

16. EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências
particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule:
a) Q1;
b) K2;
c) D3;
d) P98.
i Aluguel
(R$)
f
i
1
2
3
4
5
0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000
30
52
28
7
3
Σ = 120

17. iConsumo
por nota
(R$)
f
i
1
2
3
4
5
6
0 ⌐ 50
50 ⌐ 100
100 ⌐ 150
150 ⌐ 200
200 ⌐ 250
250 ⌐ 300
10
28
12
2
1
1
Σ = 54
3- A distribuição de valores
de 54 notas fiscais emitidas
na mesma data,
selecionadas em uma loja
de departamentos. Calcule:
a) Q3;
b) K4;
c) D7;
d) P75.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

18. 4 - Tomando como base o exercício anterior, o gerente
desta loja decidiu premiar a nível promocional com um
brinde diário, 10% dos fregueses que mais consumirem,
nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo
da nota fiscal os clientes seriam premiados?
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

19. i Preço
unitário (R$)
f
i
1
2
3
4
5
6
0 ⌐ 10
10 ⌐ 20
20 ⌐ 30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
50 ⌐ 60
4.000
13.500
25.600
43.240
26.800
1.750
Σ = 54
5- A tabela ao lado
representa a venda de livros
didáticos em uma editora na
primeira semana de março.
Calcule:
a) Q1;
b) Q3;
c) P90;
d) P10.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

20. DÚVIDAS?
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