Aula 2 - Termo geral de uma progressão geométrica - Parte 2.pdf

PG

1. 3
o
bimestre
Aula 2
Ensino
Médio
Matemática
Termo geral de uma
progressão geométrica –
Parte 2

2. ●Conceito e termo geral: resolução
de problemas.
●Resolver problemas relacionados
ao termo geral de uma progressão
geométrica.

3. Em um laboratório de biologia, foi
iniciado um experimento de cultivo
bacteriano e, após a primeira hora,
havia uma concentração de 50UFC/ml
(Unidades Formadoras de Colônias por
mililitro). O número de bactérias cresce
a uma taxa de 1,5 vezes por hora. Qual
será a concentração bacteriana no
cultivo após 6 horas?
Análise de cultura de bactérias.
© Freepik
Aplicação na biologia
Relembre
8 minutos TODO MUNDO ESCREVE

4. Resolução
A concentração de bactérias a cada hora
forma uma sequênciacujos valores são
obtidos multiplicandoo valor anterior por
uma taxa constante, ??????.
Utilizamos a representação ??????
1para o
primeiro termo dessa sequência, ??????
2para o
segundo, e assim sucessivamente.
Como a concentração após a primeira
hora é de 50 UFC/ml, ??????
1=50,
para calcular cada um dos próximos
termos vamos multiplicar o antecessor
pela taxa de crescimento do número de
bactérias a cada hora, ou seja por ??????=1,5.
Relembre
Daí, para encontrar a concentração de
bactérias após 6 horas, ??????
6, podemos fazer:
??????
2=??????
1⋅??????
??????
3=??????
2⋅??????=??????
1⋅??????⋅??????=??????
1⋅q
2
??????
4=??????
3⋅??????=??????
1⋅??????
2
⋅??????=??????
1⋅??????
3
??????
5=??????
4⋅??????=??????
1⋅??????
3
⋅??????=??????
1⋅??????
4
??????
6=??????
4⋅??????=??????
1⋅??????
4
⋅??????=??????
1⋅??????
5
Então:
??????
�=��⋅�,�
�
=��⋅�,�����≅���,�
Após 6 horas, haverá uma concentração de
aproximadamente 379,7 UFC/ml.
Existe uma expressão para calcular qualquer termo dessa sequência?

5. Termo geral de uma progressão geométrica (PG)
Relembre
Uma sequência como a apresentada na atividade anterior é chamada de progressão
geométrica (PG).A partir do segundo termo, cada termo (??????
??????) é o produto entre seu
antecessor e uma constante ??????, chamada de razão.
Seu termo geral, ou n-ésimo termo, é dado pela expressão:
Na sequência da atividade anterior, com ??????
1=50e ??????=1,5=
3
2
, a concentração de bactérias
no cultivo será dada por:
??????
??????=??????
1⋅??????
??????−1
??????
??????=��⋅
�
�
??????−�
??????
??????=??????
�∙??????
??????−�
UM PASSO DE CADA VEZ

6. Inspirado pelas obras de Escher, um
artista trabalha com uma técnica de
pintura em que a cada nova obra, a
área passa a ser um terço da área da
obra anterior. Para estimar o gasto de
tinta de um projeto, é necessário saber
a área de cada pintura. Se a primeira
pintura tem 2 m
2
, qual será a área da
oitava pintura, em centímetros
quadrados?
Desenvolvimento II, por Maurits Cornelis Escher (1939).
Reprodução –ELTON LUZ/WIKIART, 2023. Disponível em:
https://www.wikiart.org/pt/maurits-cornelis-escher/desenvolvimento-ii-1939. Acesso
em: 4 maio 2025.
Na prática
8 minutosVeja no livro!Atividade 1
TODO MUNDO ESCREVE

7. Na prática
Resolução
Como a partir do primeiro quadro de área igual a 2 m
2
, cada quadro seguinte terá um terço da
área anterior, temos uma PG com ??????
1=2, ??????=
1
3
e queremos determinar a área da 8
a
pintura, ou
seja, o 8
o
termo da PG (a
8).
Aplicando a fórmula do termo geral, temos:Portanto, a área da 8
a
pintura será
�
����
m
2
, ou
aproximadamente 0,000914 m
2
.
Podemos converter m
2
para cm². Veja:
1 m = 100 cm e 1 m
2
= (100 cm)
2
= 10 000 cm².
Assim, a área da 8
a
pintura, em cm², será de
0,000914 ∙10 000 = 9,14.
??????
�=??????
�∙??????
�
??????
8=2∙
1
3
7
??????
8=2∙
1
3
7
??????
8=2∙
1
2187
??????
8=
2
2187

8. Se o 10
o
termo de uma progressão geométrica de razão igual a 2 é 4 096, determine o seu 1
o
termo.
Na prática
8 minutos
Veja no livro!Atividade 2

9. Na prática
Resolução
Aplicando a fórmula do termo geral, utilizando os dados do enunciado, temos:
??????
10=4096e ??????=2
Termo geral: ??????
??????=??????
�∙??????
??????−�
??????
10=??????
�∙??????
9
4096=??????
�∙2
9
??????
10=
4096
512
??????
10=8
Portanto, o primeiro termo é igual a 8.

10. Classifique as sequências (2, 6, 18, 54, ...) e (128, 32, 8, 2, ...).
Na prática
8 minutos
Veja no livro!Atividade 3 TODO MUNDO ESCREVE

11. Na prática
Resolução
A sequência (2, 6, 18, 54, ...) é uma progressão geométrica crescente de razão 3.
Observe que o termo seguinte é sempre maior que o anterior, logo, trata-se de uma
progressão geométrica crescente. Efetuando o quociente entre o segundo e o primeiro
termos encontramos a razão
6
2
=3.
A sequência (128, 32, 8, 2, ...) é uma progressão geométrica decrescente de razão
1
4
.
Observe que o termo seguinte é sempre menor que o anterior, logo, trata-se de uma
progressão geométrica decrescente. Efetuando o quociente entre o segundo e o primeiro
termos encontramos a razão
32
128
=
1
4
.

12. Como podemos classificar uma PG
analisando a sequência de termos?
© Freepik
Encerramento
3 minutos COM SUAS PALAVRAS

13. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP).
Exame Nacional do Ensino Médio para Pessoas Privadas de Liberdade(ENEM PPL), 2016. Prova
de Redação e de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias, Prova de Matemática e suas Tecnologias,
2
o
dia, Caderno 13 –Cinza, 3
a
aplicação. Disponível em:
https://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2016/2016_PV_reaplicacao_PPL_D2_CD1
3.pdf. Acesso em: 4 maio 2025.
LEMOV, D.Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso,
2023.
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know.
American Educator, v. 36, n. 1, Washington, 2012. p. 12-19. Disponível em:
https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 12 ago. 2024.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2020.
Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-
content/uploads/2023/02/CURR%C3%8DCULO -PAULISTA-etapa-Ensino-M%C3%A9dio_ISBN.pdf.
Acesso em: 4 maio 2025.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (UERJ). Vestibular Estadual, 2019. 1
o
Exame de
Qualificação. Disponível em: https://www.vestibular.uerj.br/wp-
content/uploads/2019/02/2019_1eq_prova.pdf. Acesso em: 4 maio 2025.
Identidade visual: imagens © Getty Images
Referências

14. A seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras,
que ampliam as possibilidades de prática,deretomada e
aprofundamento do conteúdo estudado.
Aprofundando

15. 1.(ENEMPPL,2016)OpadrãointernacionalISO216defineostamanhosdepapel
utilizadosemquasetodosospaíses,comexceçãodosEUAeCanadá.Oformato-baseé
umafolharetangulardepapel,chamadadeA0,cujasdimensõessão84,1cmx118,9
cm.Apartirdeentão,dobra-seafolhaaomeio,semprenoladomaior,obtendoos
demaisformatos,conformeonúmerodedobraduras.Observeafigura:A1temoformato
dafolhaA0dobradaaomeioumavez,A2temoformatodafolhaA0dobradaaomeio
duasvezes,eassimsucessivamente.
Aprofundando
Veja no livro!
Disponível em: http://pt.wikipedia.org. Acesso em: 4 abr. 2012 (adaptado).

16. B
C
D
E
A
8
256
128
64
16
(ENEM PPL, 2016)Quantas folhas de tamanho A8 são obtidas a partir de uma folha A0?
Aprofundando
Veja no livro!

17. B
C
D
E
A
8
256
128
64
16
Correção
(ENEM PPL 2016)Quantas folhas de tamanho A8 são obtidas a partir de uma folha A0?
Aprofundando
Veja no livro!

18. Uma folha A0pode ser dividida em folhas A8, com cada folha subsequente tendo metade da
área da anterior. Esse processo forma uma progressão geométrica, em que:
●Termo inicial a₁= A0
●Razão: q=
1
2
Aplicando a fórmula da progressão geométrica para o 9
o
termo (A8), temos:
a₉= a
1∙??????
8
= A0 ∙
1
2
8
=
A0
256
Logo, a área de A8 é
1
256
da área de A0, portanto, uma folha A0 pode ser cortada em 256
folhas A8.
Resolução
(ENEM PPL, 2016)
Aprofundando
Veja no livro!

19. 2.(UERJ, 2019)Os triângulos A
1B
1C
1, A
2B
2C
2, A
3B
3C
3, ilustrados abaixo, possuem
perímetros p
1, p
2, p
3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do
segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.
Admita que A
1B
1= B
1C
1 = 7 e A
1C
1 = 4
Aprofundando

20. A
B
C
D
aritmética de razão = –8
aritmética de razão = –6
geométrica de razão =
�
�
geométrica de razão =
�
�
(UERJ, 2019)Assim, (p
1, p
2, p
3) define a seguinte progressão:
Aprofundando
Veja no livro!

21. A
B
C
D
aritmética de razão = –8
aritmética de razão = –6
geométrica de razão =
�
�
geométrica de razão =
�
�
Correção
(UERJ 2019) Assim, (p
1, p
2, p
3) define a seguinte progressão:
Aprofundando
Veja no livro!

22. Observe que os perímetros podem ser dados por:
p
1= 7 + 7 + 4 = 18
p
2 =3,5 + 3,5 + 2 = 9
p
3= 1,75 + 1,75 + 1 = 4,5
Logo, (p
1, p
2, p
3) = (18; 9; 4,5).
Cada termo é metade do anterior, portanto, trata-
se de uma PG de razão
1
2
.
Gabarito:C.
Resolução
(UERJ 2019)
Na prática

23. Para professores

24. Slide 2
Habilidade: (EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções
exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas
fórmulas e resolução de problemas. (SÃO PAULO, 2020)

25. Slide 12
Expectativa de resposta: espera-se que os estudantes relembrem que as progressões
geométricas podem ser:
Crescentes: quando o termo seguinte é maior que o anterior;
Decrescentes: quando o termo seguinte é menor que o anterior;
Oscilantes: quando os termos se alternam entre positivos e negativos;
Constantes: quando todos os termos são iguais.
Garanta que os estudantes compreendam que a classificação é bastante intuitiva e exige a
clareza no significado de cada classificação: crescente (os termos aumentam), decrescente
(os termos diminuem), oscilante (os termos mudam de sinais) e constante (todos os termos
são iguais).