Aula 3 cristalografia

1. 1
Disciplina de Disciplina de
Cristalografia e Mineralogia Cristalografia e Mineralogia
Introdu Introduçção a Cristalografia, ão a Cristalografia,
Principais Conceitos e Principais Conceitos e
Sistemas Cristalinos Sistemas Cristalinos
Curso de Geologia
Geól. Andrea Sander
Principais Conceitos
CONCEITOS BÁSICOS DE CRISTALOGRAFIA
•Mineral
• “Um mineral é um corpo natural, formado normalmente
por processos inorgânicos, sólido e homogêneo, com a
composição química definida, dentro de certos limites e
com arranjo atômico ordenado.”
•Cristal
• Em condições favoráveis os minerais desenvolvem
superfícies planas e lisas denominadas faces. As faces
fazem com que o mineral assuma formas geométricas
conhecidas como cristais. O estudo dos cristais e das
leis que governam o crescimento, forma externa e
estrutura interna dos cristais é a Cristalografia.
Cristalografia
(Do grego: kristallis–gelo)
• Cristal de quartzo - (SiO
2
)
Formas cristalinas familiares
„
Floco de neve e cristal de gelo - H2O
Mineral X Cristal
Mineral
Sistema cristalino
(Estrutura)
Fórmula química
Diamante
Cúbico
C
Grafite
Hexagonal
C
Série dos
Plágioclásios
Triclínicos
NaAlSi
3
O
8
–NaAl
2
Si
2
O
8

2. 2
cristalÎ
ordenação estruturalÎ
forma exterior
poliédricaÎ
ANISOTROPIA
corpo
amorfo
Î
estrutura caóticaÎ
forma exterior
qualquerÎ
ISOTROPIA
Mineral X Cristal
•ANISOTROPIAÎé a variação das reações nas
diferentes direções que oferece um corpo quando
solicitado a um agente exterior físico ou mecânico.
Ex.: experiência de Senarmont.
•ISOTROPIAÎé a igualdade das propriedades nas
diferentes direções do espaço.
SIMETRIA
(Do grego: sin–com; metria– medida)
“Em cada um dos reinos naturais existe um aperfeiçoamento
das formas inferiores às superiores. A esse avanço de um
domínio ao seguinte corresponde uma perda de simetria. No
ser menos perfeito, mais primitivo o total é mais ou menos
igual às partes. No mais perfeito, mais evoluído, o total não é
parecido com as partes”
Göethe
Yin-iang, símbolo do princípio dialético do
taoismo, datando provavelmente do período
ente 2950 a 2830aC.
SIMETRIA
• A simetria é a propriedade pela qual um ente, objeto ou
forma exibe partes correspondentes quando submetida
a uma operação de específica de simetria. A simetria,
portanto, é uma operação que mantém uma forma
invariante. Assim, um objeto que possui simetria pode
ser convertido nele próprio, a partir de uma de suas
partes, ficando uma posição indiscernível da outra. A
simetria das formas naturais espelha uma estruturação
interna, um ritmo, uma morfologia regular ou a função de
um determinado ser.
• Todos os minerais bem cristalizados (cristais) mostram
um arranjo das faces, isto permite agrupá-los em
sistemas cristalinos de acordo com suas simetrias.
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
• A partir da definição de simetria conclui-se que o
conceito de simetria implica sempre uma repetição em
que estão presentes duas entidades fundamentais:
–1. o motivo: aquilo que se repete; no caso dos cristais é uma
face;
–2. o período ou ritmo: como ocorre a repetição, a lei de
repetição.
• O ritmo é constante e resulta da aplicação de operações
de simetria. estas operações são numerosas e variadas,
mas três delas são particularmente importantes em
cristalografia.

3. 3
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
•1. Reflexão:éa
simetria bilateral obtida
pela reflexão em um
plano imaginário que o
divide em partes
idênticas especulares
(enantiomórficas). A
notação usada para
plano é P ( de plane)
precedida do número de
planos que a forma
possui.
• Ex.: 6P – seis planos.
A notação
estereográfica de plano
é um linha dupla.
•2. Rotação:é a operação de simetria em que uma forma
repete-se n vezes em um giro de 360
o
ao redor de um eixo. A
notação de eixo é A (axes) e é seguida pelo número de ordem
do eixo e precedida pelo número de eixos que existem na
forma. Nos cristais existem quatro tipos de eixos:
•A
2
– eixo binário, repete as formas a cada 180
o
•A
3
- eixo ternário, repete as formas a cada 120
o
•A
4
– eixo quaternário, repete as formas a cada 90
o
•A
6
– eixo senário, repete as formas a cada 60º
OPERAÇÕES DE SIMETRIA
Notação dos eixos
de simetria
•3. Inversão:é a operação de simetria que relaciona duas
figuras tais que cada ponto de uma corresponde, na outra,
um ponto oposto, relativamente a um dado ponto no espaço.
este ponto do espaço denomina-se centro de inversão e este
operador é também designado de centro de simetria quando
trata-se de poliedros. A notação para centro de simetria é C
(centre).
OPERAÇÕES DE SIMETRIA

4. 4
Resumindo
Existem regras que dizem respeito a coexistência de simetrias.
As principais são:
•1
a
.A existência de um eixo de simetria de ordem par e um centro
de simetria numa forma implica na existência de um plano
principal de simetria perpendicular ao eixo. Simplificando: A
2
, A
4
e A
6
com C exigem P perpendicular. Ex.: 2A
2
C2P; A
6
2A
4
C3P
•2
a
.A existência de um eixo de simetria de ordem ímpar e um
centro de simetria numa forma exclui a existência de um eixo de
simetria perpendicular ao plano. Ex.: A
3
C; A
3
P; 2A
2
A
3
C2P
•3
a
.Existindo dois eixos perpendiculares de ordem par num forma
implica que haverá um terceiro eixo de ordem par perpendicular
aos outros dois. OU A existência de dois eixos binários
perpendiculares entre si acarreta a existência de um terceiro eixo
binário perpendicular ao plano formado pelos dois primeiros
planos. Ex.: A
2
A
2
’A
2
”
REGRAS DE SIMETRIA
(ou Interdependências de Simetria)
LEIS FUNDAMENTAIS DA
CRISTALOGRAFIA
1
a
. Lei da constância dos ângulos diedros
(Lei de Steno, 1669):
• A lei da constância dos ângulos diedros diz que faces
correspondentes em diferentes cristais da mesma substância,
independentemente de sua forma, em temperaturas constantes,
definem ângulos diedros iguais.
•OBS.: ângulos diedros são aqueles formados entre dois planos que se
cortam.
•A lei da constância dos ângulos diedrosimplica que uma forma
cristalográfica é caracterizada pelos ângulos que suas faces definem e
não pela sua forma geométrica. A forma geométrica depende do
desenvolvimento relativo das diversas faces, isto possibilita o uso da
projeção estereográfica.
A lei da constância dos
ângulos diedros
Steno (1669)
Quartzo
120
o
120
o
120
o
120
o
120
o
120
o
120
o

5. 5
LEIS FUNDAMENTAIS DA
CRISTALOGRAFIA
2
a
. Lei da racionalidade dos índices ou
Lei de Haüy (1784):
Segundo esta lei todos os cristais são formados por
unidades estruturais minúsculas, que por sua vez
permitem definir um sistema de eixos de coordenadas.
A posição no espaço de cada uma das faces desta
unidade estrutural (ou seja: o comprimento de cada
coordenada x, y e z) é um número inteiro. Portanto as
unidades estruturais dos diferentes cristais têm no
mínimo três índices x:y:z.
Lembre-se que:
Nos cristais:
• toda face é um plano reticular
• todo plano reticular é uma face possível
• toda aresta é uma fileira reticular
• todo vértice é um plano reticular

6. 6
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
Para desenvolver as idéias da simetria externa dos cristais é
necessário conhecer algumas definições fundamentais e a
notação cristalográfica que serão abordadas a seguir:
•Grau de simetria –é a simetria completa de uma forma
cristalina, é tanto mais elevado quanto maior for o número de
elementos de simetria presentes em um cristal.
•Classe de simetria -é um conjunto de elementos de
simetria compatíveis de coexistência, uma classe possui
muitas formas cristalinas. Existem 32 classes de simetria.
•Zonas- zona é um grupo de faces cujas arestas são
mutuamente paralelas. A notação de zona é escrita entre
colchetes. Ex.: zona de y Æ[(100)(001)]
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
4. Eixos cristalográficos- ao descrever-se os cristais
convencionou-se tomar um a cruz axial. Esta cruz axial
é um conjunto de três eixos (quatro no sistemas
Hexagonal e Trigonal) que se interceptam no centro do
cristal ideal. Na cruz axial devem ser considerados dois
fatores:
a. inclinação mútua dos eixos (o ângulo que os eixos fazem entre si)
b. comprimento relativo dos eixos (que segundo a lei de Haüy devem
ser números inteiros)
Os eixos são denominados de x:y:zou a:b:c.
Eixos
cristalográficos

7. 7
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
5. Sistema cristalino –é um conjunto de formas que
possuem alguns eixos de simetria comuns entre si e que
podem ser considerados como derivando umas das outras
por modificações na simetria. Um sistema apresenta várias
classes de simetria. As 32 classes de simetria estão
agrupadas em 7 ou 6 (depende do autor consultado)
sistemas cristalinos:
1. Sistemas Cúbico,
2. Tetragonal,
3. Ortorrômbico,
4. Monoclínico,
5. Triclínico,
6. Hexagonal e Trigonal (ou Hexagonal com divisão Trigonal)
Eixos
cristalográficos
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
6. Índices - vários métodos foram imaginados para definir as
intercessões das faces dos cristais com os eixos cristalográficos.
Os métodos mais simples e usados são os índices deMiller
(números) e deWeiss(letras).
Segundo estes métodos os índices de uma face são dados por
três números ou letras (quatro no sistemas Hexagonal e Trigonal)
que se referem aos eixo x, y, e z do seguinte modo:
Considerando-se a face (102) abaixo:
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
Os índices de Miller correspondem aos valores recíprocos
das longitudes numéricas (nome do eixo/tamanho relativo
do eixo) e se necessário da redução destas frações:
eixo a Æa
= 1a
= 1
1
eixo b Æb
= α= 0(como o infinito não pode ser
0 representado o valor do
índice é zero)
eixo c Æc
= 1c
= 2
22

8. 8
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
• Os índices deWeisssão representados por letras, quando se
desconhecem as dimensões exatas dos sólidos ou quando a
dimensão não interessa. Para estes casos usa-se uma forma
geral (hkl), onde h, k elrepresentam um número inteiro
simples e são correspondentes aos três eixos a, b e c.
• A face (hkl) corta os três eixos, já a face (hk0) não corta o eixo
c ou z, sendo paralelo a ele. Ainda por convenção h é maior
que k que é maior que l (h>k>l).Quando uma face interceptar
um ou mais eixos negativos coloca-se uma barra sobre o
índice. Ex. (111) esta face intercepta o eixo -y.
• Os índices deMillere Weisssão equivalentes:
Exemplo: a face (hkl) é igual a face (321); a face (h0l) é igual a
face (301); a face (hh0) é igual a (110); etc
Índices
de
Miller
Definições fundamentais e notação
cristalográfica
7. Formas - em cristalografia o termo “forma” refere-se a um
grupo de faces que tem a mesma relação com os
elementos de simetria e exibem as mesmas propriedades
físicas e químicas (a forma externa dos cristais é
denominada de hábito). As formas podem ser abertas e
fechadas.
Öas faces são indicadas pelos índices de Miller/Weiss
entre parênteses (hkl) ou (321)
Öas formas (figuras geométricas) são indicadas pelos
índices de Miller/Weiss entre chaves {hkl} ou {321}
Formas abertas e fechadas
Pinacóide
Prisma
Pirâmide
Bipirâmide

9. 9
As formas podem ser abertas ou fechadas:
Asformas abertassão aquelas que não delimitam
completamente o espaço. São elas:
•1. Pédio- 1 face única.
•2. Pinacóide- duas faces paralelas.
•3. Doma- duas faces não paralelas simétricas em relação a um
plano.
•4. Esfenóide- duas faces não paralelas simétricas
exclusivamente por rotação.
•5. Prisma- conjunto de três ou mais faces interdependentes
pela simetria e paralelas a uma e somente uma direção. Os
prismas podem ter três faces (trigonal), quatro faces (tetragonal
ou rômbico), seis faces (hexagonal ou ditrigonal), oito
(ditetragonal) ou doze faces (diexagonal).
• Os prismas podem ser de 1
a
ou 2
a
ordem. Os prismas de 1a
ordem tem os eixos interceptando arestas e os de 2a
ordem tem
os eixos interceptando faces.
•6. Pirâmide- conjunto de três ou mais faces interdependentes
pela simetria cujas arestas convergem para o mesmo ponto.
Podem ter 3, 4, 6 , 8 ou 12 faces.
Formas
abertas
As formas podem ser combinadas: • Prisma + pibipâmide
Formas fechadas
Asformas fechadassão aquelas que delimitam o espaço. São
elas:
• 1. Trapezoedro - é uma forma simples fechada, cujas faces são
trapezoédricas obtendo-se as superiores alternando-se com as
inferiores e onde as arestas equatoriais formam um zigue-zague
(sendo o zigue diferente do zague). Podem ter 6, 8 ou 12 faces
e só exibem simetria de rotação.
• 2. Bipirâmide - é uma forma fechada a partir da reflexão de
pirâmides sobre um plano de simetria horizontal. Podem ter 6, 8,
12, 16 ou 24 faces.
• 3. Escalenoedro - forma fechada com faces agrupadas em pares
simétricos onde cada face é um triângulo escaleno (triângulo
escaleno é aquela com todos os lados e ângulos
diferentes).Podem ter 8 ou 12 faces.
• 4. Romboedro - forma fechada que apresenta seis faces
losangulares iguais em perfeita alternância das faces superiores
com as inferiores.
• 5. Esfenoedro - forma fechada com quatro faces onde duas
faces do esfenóide superior se alternam com duas do inferior.

10. 10
Formas
fechadas
Formas
fechadas
cúbicas
As formas cúbicas também podem ser
combinadas:
Cubo Octaedro
Dodecaedro
111
111
_
111
__
111
_
110
101
011
011
_
110
_
101
_
As três combinadas
110

101
011

011
_
110
_
101
_
100

001

010

111

111
__
111
_
111
_

11. 11
Projeção estereográfica
• Como representar este sólido em 2
dimensões?
É a forma de as três
dimensões de
um cristal em
duas
dimensões no
Projeção estereográfica
Projeção estereográfica
A rede Wulff
A rede de Wulf, também
chamada de
estereográfica, é o
sistema que permite a
projeção dos sólidos
mantendo-se os valores
angulares entre as
faces, embora as
dimensões reais do
sólido não sejam
consideradas.
A rede está graduada de
2
o
em 2
o

12. 12
São plotadas as faces dos cristais e os ângulos
que elas fazem entre si, independente do seu
tamanho.
Projeção estereográfica
Sistema c Sistema cúúbico bico
Projeção estereográfica