Aula 6 CUSUM _ EWMA_do livro Montgomery _controle estatístico de processo - CEP

controle estatístico de processo - CEP

1. Controle Estatístico de Qualidade Capítulo 8 (montgomery)

2. Gráfico CUSUM e da EWMA Cartas de Controle Shewhart Usa apenas a informação contida no último ponto plotado . Ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de pontos . Tais características tornam esse tipo de gráfico insensível a pequenas mudanças no processo (menores que 1,5) . O uso de testes para sequência ou limites de alerta servem como paliativo, mas não resolvem o problema. Na verdade, tais regras reduzem sua simplicidade e facilidade de interpretação. Duas alternativas eficazes aos gráficos Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo são: Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) . Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada (EWMA). CUSUM - Soma Acumulada Capítulo 8 ( M ontgomery)

3. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Motivação No gráfico de controle abaixo as 20 primeiras observações foram extraídas de uma distribuição normal com média  = 10 e  = 1. As 10 últimas de uma N(11;1) (processo fora de controle) Individual Value 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Observation 13 12 11 10 9 8 7 _ X=10 UCL=13 LCL=7 I Chart O gráfico falhou em detectar a mudança Motivo : magnitude relativamente pequena da mudança CUSUM - Soma Acumulada

4. Motivação i O gráfico CUSUM foi proposto primeiramente por Page(1954). O gráfico CUSUM incorpora toda a informação da sequência de valores, plotando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra em relação a um valor- alvo (  ). C i  ∑ ( x j   )  ( x i   )  C i  1 j  1 O gráfico CUSUM são particularmente eficazes com amostras de tamanho n=1. i C i  ∑ ( x j   )  ( x i   )  C i  1 j  1 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

5. Motivação – Note que se o processo permanece sob controle, C i será um passeio aleatório com média zero. Se a média se desloca para um valor  1 >  , C i deverá apresentar uma tendência positiva. Caso contrário, uma tendência para baixo se desenvolverá em C i . Gráfico da Soma Acumulativa 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 - 2 - 4 Amostra Ci Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

6. Motivação Iremos nos concentrar no gráfico CUSUM para média do processo. No entanto, é possível planejar procedimentos de somas acumuladas para Variabilidade do processo (Montgomery, 1981) Variáveis Poisson e Binomial Gráficos de controle de somas acumuladas tem sido estudados por: Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkins (1981), entre outros. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

7. O CUSUM Tabular pode ser construído para monitorar a média do processo. Será tratado, primeiramente, o caso onde n=1. Seja x i a i- ésima observação do processo distribuída normalmente com média  (valor- alvo) e desvio padrão  quando o processo está sob controle. O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvios de  que estão acima do alvo em uma estatística C + , e acumulando os desvios de  que estão abaixo do alvo em outra estatística C - . As estatísticas C + e C - são chamadas cusums unilaterais superior e inferior , sendo definidas por: Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

8. O Cusum Tabular onde os valores iniciais são K é chamado de valor de referência (ou valor de tolerância ). Normalmente representa o ponto médio entre o valor alvo (  ) e o valor da média fora de controle (  1 ) que estamos interessados em detectar rapidamente. i  1 i i i i  1 i  K )  x  C   C  C   max  0, (   max  0, x  (   K )  C    C  C   Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

9. (limites de tolerância), o processo será considerado fora de controle. – A escolha de H será discutida posteriormente. Normalmente, usa- se H = 5  Se a mudança K que queremos detectar é expressa em unidades de desvio- padrão por  1 =  +  ou  =|  1 -  |/  Então a magnitude da mudança (K) pode ser expressa por K      1   2 2 Se tanto C  ou C  excederem o intervalo de decisão H Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

10. Gráfico CUSUM Tabular Exemplo Valor alvo (  ) = 10 n = 1  = 1 Magnitude da mudança 1  , logo K = ½ H = 5  = 5 Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

11. Gráfico CUSUM Tabular Exemplo – Os valores de C + e C - para amostra 1 são: – Os valores de C + e C - para amostra 2 são: – A seguir, apresentamos os cálculos restantes. As quantidades N + e N - indicam os períodos consecutivos em que C + e C - foram não- nulos . 1 1    max  0; (10  0,5)  9,45  C   0,05 C   max  0;9,45  (10  0,5)  C   0,00 C  2 2   1,56 0; (10  0,5)  7,99  0,05   C  max  C  max  0;7,99  (10  0,5)    0,00 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

12. Amostra Xi Xi - (mi + K) C+ N+ (mi - K) - Xi C- N- 1 2 3 4 5 6 7 8 9,45 7,99 9,29 11,66 12,16 10,18 8,04 11,46 9 10 9,20 10,34 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9,03 11,47 10,51 9,40 10,08 9,37 10,62 10,31 8,52 10,84 - 1,05 - 2,51 - 1,21 1,16 1,66 - 0,32 - 2,46 0,96 - 1,30 - 0,16 - 1,47 0,97 0,01 - 1,10 - 0,42 - 1,13 0,12 - 0,19 - 1,98 0,34 1,16 2,82 2,50 0,04 1,00 0,97 0,98 0,12 0,34 1 2 3 4 5 1 2 1 1 0,05 1,51 0,21 - 2,16 - 2,66 - 0,68 1,46 - 1,96 0,30 - 0,84 0,47 - 1,97 - 1,01 0,10 - 0,58 0,13 - 1,12 - 0,81 0,98 - 1,34 0,05 1,56 1,77 1,46 0,00 0,10 0,13 0,98 1 2 3 1 1 1 1 1 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 10,90 9,33 12,29 11,50 10,60 11,08 10,38 11,62 11,31 10,52 0,40 - 1,17 1,79 1,00 0,10 0,58 - 0,12 1,12 0,81 0,02 0,74 1,79 2,79 2,89 3,47 3,35 4,47 5,28 5,30 2 1 2 3 4 5 6 7 8 - 1,40 0,17 - 2,79 - 2,00 - 1,10 - 1,58 - 0,88 - 2,12 - 1,81 - 1,02 0,17 1 C + > H Processo fora de controle Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

13. Exemplo: Gráfico de status do CUSUM – Minitab Cumulative Sum 30 27 24 21 18 15 Sample 12 9 6 3 5,0 2,5 0,0 - 2,5 - 5,0 UCL=5 LCL=- 5 CUSUM Chart Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

14. Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CUSUM Tabular é planejado através da escolha do valor de referência (K = k  ) e do intervalo de decisão (H = h  ) . Recomenda- se que tais parâmetros sejam selecionados de modo a fornecer um bom CMS ( comprimento médio da sequência ), por exemplo CMS próximo a 370 (processo sob controle). Na prática, tem- se observado bons resultados com h=4 ou h=5 e k = ½. A seguir apresentamos um comparativo do CMS para o Gráfico CUSUM vs Gráfico de Shewhart para média. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

15. Recomendações para o Planejamento do CUSUM – Hawkins (1993) fornece uma tabela com valores de k e h, no qual CMS será igual a 370: k 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 h 8,01 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61 2  2 – onde  =  * - k para C + ,  = -  * - k para C - e b = h + 1,166 . Se  = 0, pode- se usar CMS = b 2 Lembre- se que  * é a mudança na média, em unidades de  , para qual deve ser calculado o CMS. – Siegmund (1985) apresenta uma aproximação do cálculo do CMS para um cusum unilateral (C + ou C - ): CMS  exp(  2  b )  2  b  1 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

16. Recomendações para o Planejamento do CUSUM – O CMS para um cusum bilateral é obtido a partir das estatísticas unilaterais — digamos CMS + e CMS - : – Exemplo: Considere k = ½, h = 5 e  * = (sob controle) Logo  = - ½ e b = 6,166. Assim, – Como  * = temos, excepcionalmente, CMS + = CMS - . Logo, o CMS bilateral é dado por   CMS CMS  CMS  1 1 1 2(  1/ 2) 2  exp(  2(  1/ 2)(6,166))  2(  1/ 2)(6,166)  1  938,2 CMS  1 1 1   ⇒ CMS  469,1 CMS 938,2 938,2 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

17. Recomendações para o Planejamento do CUSUM Considerações Note que a aproximação de Siegmund está próxima do verdadeiro valor de CMS Para  =1 , por exemplo, o gráfico Cusum detectaria uma mudança mais rápido do que o gráfico de Shewhart. CMS entre os gráficos Cusum e Shewhart convergem a medida que  (tamanho da mudança) aumenta. Valores Exatos para o Comprimento Médio da Sequencia (CMS) Multiplo de sigma k = 1/2 Shewhart h=4 h=5 0,00 168,0 465,0 370,4 0,25 74,2 139,0 281,1 0,50 26,6 38,0 155,2 0,75 13,3 17,0 81,2 1,00 8,38 10,4 43,9 1,50 4,75 5,8 15,0 2,00 3,34 4,0 6,3 2,50 2,62 3,1 3,2 3,00 2,19 2,6 2,0 4,00 1,71 2,0 1,2 Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

18. CUSUM Padronizado – Principal vantagem : possibilita termos os mesmos valores de k e h para diversos gráficos CUSUM, visto que as escolhas desses parâmetros não iriam mais depender da escala das variáveis . – Seja – Os CUSUM padronizados são definidos por    i y  x i i  1 i i i i  1 i  max  0;  k  y  C   C   max  0; y  k  C   C  Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

19. Subgrupos Racionais O desenvolvimento do CUSUM tabular se estende facilmente ao caso de média de subgrupos racionais (n>1). Basta substituir x i por x i (a média amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anteriores e substituir  por  x   / n No entanto, Montgomery discute que o uso das médias dos subgrupos (ou seja n>1) NÃO melhora o desempenho do Gráfico Cusum , ao contrário dos gráficos de Shewhart. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

20. Subgrupos Racionais Por exemplo, se pudermos escolher entre a retirada de uma amostra de tamanho n=1 a cada 30min ou um subgrupo de tamanho n=5 a cada 2,5horas, o CUSUM funcionará melhor, em geral, com a escolha de n=1. Segundo Montgomery, apenas se houver uma economia de escala significativa ou alguma outra razão válida para se tomar amostras de tamanho maior é que os subgrupos devem ser usados. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

21. Melhorando o CUSUM para Grandes Mudanças Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar grandes mudanças é o procedimento combinado cusum- Shewhart (Lucas, 1982) Construir um gráfico Shewhart para C+ e C - Neste caso, recomenda- se o uso de limites de controle de 3,5  . O aumento de 0,5  nos limites de controle no gráfico de Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças O gráfico CUSUM ficaria “responsável” por pequenas alterações na média ou no valor- alvo, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações. Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui num sinal de ação Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

22. Resposta Inicial Rápida (RIR) ou Headstart Procedimento elaborado por Lucas e Crosier (1982) para melhorar a sensitividade do CUSUM no início do processo. A resposta inicial rápida (RIR), ou headstart, coloca os iguais a um valor não- nulo, normalmente igual a H/2. Isso é chamado de headstart de 50%. Benefícios do headstart Se o processo começa sob controle (no valor- alvo), o CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart terá pouco efeito; No entanto, caso o processo comece em algum nível diferente do valor alvo, o headstart permitirá ao CUSUM detectar isso rapidamente. valores iniciais de C  e C  Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

23. Considerações Finais em relação ao CUSUM Tabular Cusum Unilateral Note que o gráfico CUSUM é construído a partir de dois procedimento unilaterais (C + e C - ) Há situações onde apenas um procedimento é util. Por exemplo: Em um processo químico a característica de interesse é a viscosidade de um produto. Considere que se a viscosidade ficar abaixo do valor- alvo não há problema. No entanto, qualquer aumento na viscosidade deve ser detectado rapidamente. O CMS poderia ser calculado facilmente a partir da aproximação de Siegmund. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

24. Considerações Finais em relação ao CUSUM Tabular Cusum com Sensitividades Diferentes É também possível planejar CUSUMs com sensitividades diferentes nos lados superior e inferior Isso seria útil em situações onde, por exemplo, uma mudança acima do alvo é mais crítica do que mudanças abaixo do alvo. Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) CUSUM - Soma Acumulada

25. Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA Introdução É também uma boa alternativa aos gráficos de Shewhart quando estamos interessados em detectar pequenas mudanças. Tem desempenho equivalente ao gráficos de controle CUSUM tabular. É, de certa forma, mais fácil de estabelecer e operar. É tipicamente usado para observações individuais (n=1). No entanto, também veremos o caso de subgrupos racionais de tamanho n>1. Foi introduzido por Roberts em 1959 EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada

26. Definições O gráfico da Média Móvel Exponencialmente Ponderada ( MMEP ) é definido como z i   x i  (1   ) z i  1 onde <   1é uma constante, e o valor inicial exigido para i=1 é o alvo do processo, ou seja z   Quando o valor alvo não é conhecido, a média aritmética dos dados pode ser usado z  x EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

27. – Continuando a substituir recursivamente z i-j , j=2, 3, ..., t, obtemos Definições – Note que z i é uma média ponderada de todas as observações anteriores: z i   x i  (1   ) z i  1  z i   x i  (1   )   x i  1  (1   ) z i  2   z   x   (1   ) x  (1   ) 2 z i i i  1 i  2 j i  (1   ) i z (1   ) x z   i  1 ∑ j  i  j EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

28. Definições Os pesos  (1-  ) j decrescem geometricamente com a idade da média amostral. Como a MMEP pode ser considerada uma média de todas as observações passadas e corrente, o gráfico da MMEP é insensível a hipótese de normalidade. Assim, tal gráfico é ideal para ser usado com observações individuais. EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

29. Definições – Se as observações x i são variáveis aleatórias independentes com variância  2 , então a variância de z i é dada por: i z i 2 i 2 2 2 2 2 j   1  (1   )       2    Var ( z ) ⇒     2 (1   ) 2 j  Var ( z )  )  (1   ) 2 i Var ( z )   (1   ) Var ( x Var ( z )      i ∑ i  1 j  i  1 i ∑ j  i  j i  1 j  Var ( z i )  Var   ∑ (1   ) x  (1   ) z   j i i  j Progressão Geométrica EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

30. Definições – O gráfico de controle MMEP pode ser construído através da plotagem de z i versus o número da amostra i. A linha central e os limites de controle são: – Em breve discutiremos sobre a escolha de L e  . 2 i 2 i    1  (1   )       2    LIC    L  LM    1  (1   )       2    LSC    L  EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

31. Definições – Note que [1- (1-  ) 2i ] se aproxima de 1 quando i se torna grande. Logo, após alguns períodos de tempo, os limites de controle se aproximarão dos valores de estado estacionário, dados por: – No entanto, recomenda- se enfaticamente na prática o uso dos limites exatos.            2     2    LIC    L  LSC    L  EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

32.     Gráfico MMEP Exemplo Valor alvo (  ) = 10  = 1 n = 1  = 0,1 L = 2,7 Amostra Xi 1 9,45 2 7,99 3 9,29 4 11,66 5 12,16 6 10,18 7 8,04 8 11,46 9 9,20 10 10,34 11 9,03 12 11,47 13 10,51 14 9,40 15 10,08 16 9,37 17 10,62 18 10,31 19 8,52 20 10,84 21 10,90 22 9,33 23 12,29 24 11,50 25 10,60 26 11,08 27 10,38 28 11,62 29 11,31 30 10,52 Exemplo Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

33. Gráfico MMEP 2.(1) 2.(1)   9,73  1  (1  0,1)    0,1   2  0,1    10,27   1  (1  0,1)  0,1   2  0,1  LIC  10  2,7(1) LSC  10  2,7(1)  Exemplo – Os valores para a amostra 1 são: z 1  0,1.(9,45)  (1  0,1).10  9,945 EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

34. Gráfico MMEP  10,36 2.(2) 2.(2)   9,64  1  (1  0,1)    0,1   2  0,1    1  (1  0,1)   0,1   2  0,1  LIC  10  2,7(1) LSC  10  2,7(1)  Exemplo – Os valores para a amostra 2 são: z 2  0,1.(7,99)  (1  0,1).9,945  9,7495 EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

35. Valores além dos limites Amostra Xi Zi 1 9,45 9,9450 2 7,99 9,7495 3 9,29 9,7036 4 11,66 9,8992 5 12,16 10,1253 6 10,18 10,1307 7 8,04 9,9217 8 11,46 10,0755 9 9,20 9,9880 10 10,34 10,0232 11 9,03 9,9238 12 11,47 10,0785 13 10,51 10,1216 14 9,40 10,0495 15 10,08 10,0525 16 9,37 9,9843 17 10,62 10,0478 18 10,31 10,0740 19 8,52 9,9186 20 10,84 10,0108 21 10,90 10,0997 22 9,33 10,0227 23 12,29 10,2495 24 11,50 10,3745 25 10,60 10,3971 26 11,08 10,4654 27 10,38 10,4568 28 11,62 10,5731 29 11,31 10,6468 30 10,52 10,6341 EWMA Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

36. Gráfico MMEP — Minitab EWMA 9 12 15 18 21 24 27 30 Sample 6 3 10,75 10,50 10,25 10,00 9,75 9,50 _ X=10 +2,7SL=10,619 - 2,7SL=9,381 EWMA Chart EWMA Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

37. Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP O gráfico MMEP é muito eficaz contra pequenas mudanças no processo. Os parâmetros do planejamento do gráfico MMEP são L e  . É possível escolher esses parâmetros de modo a obtermos um bom desempenho do CMS, próximo ao observado no gráfico CUSUM. Lucas e Saccucci (1990) apresentam um estudo com o CMS para alguns valores de (L,  ). EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

38. Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP CMS para vários Esquemas de Controle MMEP (adaptado de Lucas e Saccucci (1990)) Multiplo de sigma L = 3,054 lamb.=0,4 L=2,998 lamb.=0,25 L=2,962 lamb.=0,2 L=2,812 lamb.=0,1 L=2,615 lamb.=0,05 Shewhart 0,00 500,0 500,0 500,0 500,0 500,0 370,4 0,25 224,0 170,0 150,0 106,0 84,1 281,1 0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2 0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 81,2 1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 43,9 1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15,0 2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3 2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2 3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 2,0 4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2 EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

39. Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucci(1990) Valores de 0,05    0,25 funcionam bem na prática  = 0,05,  = 0,1 e  = 0,2 são escolhas populares. Utilizar valores menores de  para detectar pequenas mudanças. L = 3 funciona razoavelmente bem com valores maiores de  (  > 0,25) Quando   0,10, deve- se trabalhar com 2,6  L  2,7. EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

40. Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP O gráfico MMEP não funciona bem para grandes mudanças Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar grandes mudanças é o procedimento combinado MMEP-Shewhart (Lucas, 1982) Construir um gráfico Shewhart para z i Neste caso, recomenda- se o uso de limites de controle de 3,25  ou 3,5  . O aumento de 0,25  ou 0,5  nos limites de controle no gráfico de Shewhart é justificado pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças O gráfico MMEP ficaria “responsável” por pequenas alterações na média, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes alterações. Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui num sinal de ação EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

41. Subgrupos Racionais O gráfico MMEP se estende facilmente ao caso de média de subgrupos racionais (n>1). Basta substituir x i por x i (a média amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anteriores e substituir  por  x   / n EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

42. Robustez do MMEP à Não- Normalidade Lembre- se que o gráfico de Shewhart para observações individuais era muito sensível a não- normalidade, acarretando em um número excessivo de alarmes falsos. Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o desempenho do CMS (sob controle) do gráfico de Shewhart e do gráfico MMEP para observações individuais. No estudo foram utilizadas: A distribuição Gama para representar o caso de distribuições assimétricas; A distribuição t- Student para representar distribuições simétricas com caudas mais pesadas que a Normal. Os resultados são apresentados a seguir: EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

43. Robustez do MMEP à Não- Normalidade Lambda L 0,05 2,492 0,1 2,703 0,2 2,86 1 3 Normal 370 371 371 370 Gama(4,1) 372 341 259 97 Gama(3,1) 372 332 238 85 Gama(2,1) 372 315 208 71 Gama(1,1) 369 274 163 55 Gama(0.5,1) 357 229 131 45 Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Assimétricas Shewhart EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

44. Robustez do MMEP à Não- Normalidade Lambda L 0,05 2,492 0,1 2,703 0,2 2,86 1 3 Normal 370 371 371 370 t(50) 369 365 353 283 t(40) 369 363 348 266 t(30) 368 361 341 242 t(20) 367 355 325 204 t(15) 365 349 310 176 t(10) 361 335 280 137 t(8) 358 324 259 117 t(6) 351 305 229 96 t(4) 343 274 188 76 Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo) Distribuições Simétricas Shewhart EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

45. Robustez do MMEP à Não- Normalidade Conclusões Importantes do Estudo Distribuições Não- Normais tem o efeito de reduzir sensivelmente o CMS sob controle do gráfico de Shewhart para observações individuais. Isso aumentará drasticamente o número de alarmes falsos. Um MMEP escolhido adequadamente terá um desempenho muito bom em relação a distribuições tanto Normais quanto Não-Normais Logo, é extremamente recomendado o uso de um gráfico MMEP bem planejado como gráfico de controle para medidas individuais. EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

46. Exemplo 1 Uma máquina é usada para encher latas com óleo aditivo de motor. Uma única lata é amostrada a cada hora e o seu peso, medido. Como o processo de enchimento é automático, ele tem uma variabilidade muito estável, e uma experiência longa indica que σ =0,05 oz. As observações individuais para 24 horas de operação são mostradas a seguir. EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

47. Exemplo 1 (continuação) Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

48. Suponha que o alvo do processo seja 8,02 oz, estabeleça um cusum tabular para esse processo. Planeje o cusum usando os valores h=4,77 e k=0,5. Suponha que os dados representem observações tomadas imediatamente após um ajuste que pretendia levar o processo de volta ao alvo de µ =8,0. Estabeleça e aplique um cusum RIR (headstart de 50%) para monitorar esse processo. Estabeleça um gráfico de controle MMEP com λ =0,2 e L=3 para esse processo. Interprete os resultados. Exemplo 1 (continuação) Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA

49. Gere 20 valores de X, X~N(10,1), e outros 20 para X~N(9,1). Cria um vetor com os 40 valores gerados (na mesma sequência). Descubra qual dos dois dispositivos, algoritmo CUSUM (k=4,774 e k=0,5) ou o gráfico MMEP (L=2,859 e λ =0,20), sinaliza com mais rapidez o deslocamento na média do processo (de 10 para 9). Exemplo 2 Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada - EWMA