Aula 7 MAT

1. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLES
E COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA E
QUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA
POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b >= 0
ax + b <= 0
SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTES
DE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.

2. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS
2x – 8 > 0
3x – 9 < 0
4x + 9 >= 0
5x + 1/3 <= 0

3. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

4. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NA
FORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UM
CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES
QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEIS QUE
ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA
NO PROBLEMA.

5. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROS
POSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:
3x + 5 < 17
VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:

6. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃO
ACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO
APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROS
INTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.
S = {1, 2, 3}

7. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS
2 – 4x >= x + 17

8. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
3)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OS
MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM
MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, A
DESIGUALDADE SE MANTÉM.
2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DE
UMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,
A DESIGUALDADE SE MANTÉM.
3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERO
NEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO
TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.

9. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-
ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DA
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO
-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMA
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA
QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUE
QUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃO
MULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO
POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,
SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E
SE É “>=“ FICA “<=“.

10. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO
SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:
5x – 8 < 3x + 12
5x – 3x < 12 + 8
2x < 20
x < 20/2
x < 10
ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

11. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE O
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O
CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?
NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OS
NÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,
REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “ S”
SIMPLESMENTE POR
S = {x/x є R / x < 10}

12. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,
SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:
SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOIS
MEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIR
OS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.
O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DAS
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU.

13. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)
5 + 2 > 3 + 2
7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

14. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)
5 – 1 > 3 – 1
4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)
DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDO
COM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,
PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOS
DE SOMAR OU SUBTRAIR, UM MESMO VALOR AOS
MEMBROS DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU.

15. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 2
RECURSO:
5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)
5.(-2) > 2.(-2)
-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)
PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRA
É PRECISO INVERTER O SINAL.
-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)

16. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AO
UTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR
OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DA
INEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO
PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERO
NEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)
DEVE SER INVERTIDO.

17. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-
PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS
SEGUINTES FORMAS:
f(x).g(x) > 0
f(x).g(x) >= 0
f(x).g(x) < 0
f(x).g(x) <= 0

18. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDA
PARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.
(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0
(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0

19. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIRO
ESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O
PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.
(x – 1).(2x – 3) >= 0
f(x) = x – 1
g(x) = 2x – 3
f(x) = 0
x – 1 = 0
x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)

20. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
COMO a = 1 > 0, VEM:

21. PROAB 2010
AULA 6
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
g(x) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 3/2 OU x = 1,5
COMO a = 2 > 0, VEM:

22. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
QUADRO DO PRODUTO
LOGO:
S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}

23. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU NA VARIÁVEL “x” É UMA
EXPRESSÃO MATEMÁTICA DE DESIGUALDADE ESCRITA
NAS SEGUINTES FORMAS REDUTÍVEIS:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c >= 0
ax² + bx + c <= 0
SENDO QUE: “a”, “b” E “c” PERTENCEM AO CONJUNTO DOS
NÚMEROS REAIS E a ≠ 0.

24. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS
5x² + 2x – 8 > 0
2x² - 3x – 9 < 0
x² + 4x + 9 >= 0
x² - 5x + 1/3 <= 0

25. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

26. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
NAS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU QUE ESTEJAM NA
FORMA ax² + bx + c > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR
UM CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS
VALORES QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEIS
QUE ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA
NO PROBLEMA.

27. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU SÃO RESOLVIDAS
UTILIZANDO O TEOREMA DE BÁSKARA.
O RESULTADO DEVE SER COMPARADO AO SINAL
DA INEQUAÇÃO, COM O OBJETIVO DE FORMULAR
O CONJUNTO SOLUÇÃO.

28. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
a > 0

29. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
a < 0

30. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 3x - 4 > 0.

31. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO

32. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja
positiva são x < -1 OU x > 4, e o conjunto solução da
inequação é S = {x Є R / x < -1 ou x > 4}

33. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO 3x² + 10x + 7 < 0.

34. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

35. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -2x² - x + 1 <= 0.

36. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
S = {x Є R / x <= -1 ou x >= 1/2}

37. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 4x >= 0.

38. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
S = {x Є R / x <= 0 ou x >= 4}

39. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 6x + 9 > 0.

40. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
S = {x Є R / x < 3 ou x > 3}
OU
S = {x Є R / x <> 3}

41. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4 >= 0.
x’ = 2
x” = -2
S = {x Є R / -2 <= x <= 2}

42. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 5x - 6 >= 0.
x’ = 2
x” = 3
S = {x Є R / 2 <= x <= 3}

43. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4x - 4 >= 0.
x’ = x” = 2
S = {x Є R / x = 2}

44. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
A FUNÇÃO ANTERIOR E TODA NEGATIVA, EXCETO
NO PONTO x = 2, ONDE ELA É NULA.
COMO, NO EXEMPLO, QUEREMOS SABER ONDE A
FUNÇÃO É POSITIVA OU NULA ( >= 0), O ÚNICO
PONTO QUE FAZ PARTE DA SOLUÇÃO É x = 2.
A SOLUÇÃO É S = {x Є R / x = 2}
OU
S = {2}

45. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 2x - 4 > 0.
A FUNÇÃO NÃO POSSUI RAÍZES REAIS. LOGO, ELA NÃO
INTERCEPTA O EIXO DAS ABSCISSAS.
A CONCAVIDADE É PARA BAIXO, POIS A < 0.
COMO QUEREMOS SABER ONDE A FUNÇÃO É POSITIVA,
O CONJUNTO SOLUÇÃO DA FUNÇÃO É VAZIO.
LOGO, S = Ø.

46. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO

47. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EQUAÇÃO LINEAR
É TODA EQUAÇÃO QUE POSSUI VARIÁVEIS E APRESEN-
TADA NA SEGUINTE FORMA:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, EM QUE:
x1, x2, x3, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;
a1, a2, a3, ..., an SÃO OS COEFICIENTES (REAIS OU
COMPLEXOS);
E b É O TERMO INDEPENDENTE REPRESENTADO POR
UM NÚMERO REAL OU COMPLEXO.

48. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS DE EQUAÇÕES LINEARES
x + y + z = 20
2x -3y + 5z = 6
4x + 5y -10z = -3
x – 4y – z = 0

49. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
x2 + y2 = 9
x + 2y + 3z w = 0
x2 + y2 = -9

50. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, r3) É
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR.
a1x1 + a2x2 + a3x3 = b1
SE TROCARMOS CADA xn POR rn NA EQUAÇÃO E ESTE
FATO IMPLICAR QUE O MEMBRO DA ESQUERDA É
IDENTICAMENTE IGUAL AO MEMBRO DA DIREITA, ISTO É:
a1r1 + a2r2 + a3r3 = b1

51. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
EXEMPLO
A SEQÜÊNCIA (5,6,7) É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
2x + 3y -2z = 14 POIS, TOMANDO x=5, y=6 E z=7 NA
EQUAÇÃO DADA, TEREMOS:
2.5 + 3.6 – 2.7 = 14
10 + 18 – 14 = 14
28 – 14 = 14
14 = 14

52. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR
UM SISTEMA LINEAR OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
É UM CONJUNTO FORMADO POR DUAS OU MAIS EQUAÇÕES
LINEARES. UM SISTEMA LINEAR PODE SER REPRESENTADO
NA FORMA:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

53. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR
ONDE:
x1, x2, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;
a11, a12, ..., amn SÃO OS COEFICIENTES;
b1, b2, ..., bm SÃO OS TERMOS INDEPENDENTES.

54. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, ..., rn) É
SOLUÇÃO DA SISTEMA LINEAR.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
SE SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕES
DESSE SISTEMA LINEAR.

55. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
O PAR ORDENADO (2,0) É UMA SOLUÇÃO DO SISTEMA
LINEAR:
2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2
POIS SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕES
DO MESMO, ISTO É, SE SUBSTITUIRMOS x = 2 E y = 0,
OS DOIS MEMBROS DE CADA IGUALDADE SERÃO IGUAIS
EM TODAS AS EQUAÇÕES.

56. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕES
E DUAS VARIÁVEIS
x + y = 3
x - y = 1

57. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕES
E TRÊS VARIÁVEIS
2x + 5y - 6z = 24
x - y + 10z = 30

58. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕES
E TRÊS VARIÁVEIS
x + 10y - 12z = 120
4x - 2y - 20z = 60
-x + y + 5z = 10

59. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕES
E QUATRO VARIÁVEIS
x - y - z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x - 2y - z + w = 16

60. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
PODEMOS DIZER QUE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES COM “n” INCÓGNITAS, QUE PODEM SER
COLOCADAS COMO x1, x2, x3, x4 ..., ADMITE COMO
SUA SOLUÇÃO UMA SEQÜÊNCIA EM ORDEM DEFINIDA
COMO r1, r2, r3, r4, ... SE E SOMENTE NESTA CONDIÇÃO,
SUBSTITUINDO x1 = r1, x2 = r2, x3 = r3, x4 = r4, xn = rn,
E EM TODAS AS EQUAÇÕES DO SISTEMA INFORMADO,
ELAS SE TORNAREM TODAS VERDADEIRAS.

61. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 12
x – y = 4
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (8,4), POIS SE
SUBSTITUIRMOS x = 8 E y = 4 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(8) + (4) = 12 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(8) – (4) = 4 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

62. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 16
x – y = 2
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (9,7), POIS SE
SUBSTITUIRMOS x = 9 E y = 7 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(9) + (7) = 16 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(9) – (7) = 2 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

63. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 42
x – y = 8
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (25,17), POIS SE
SUBSTITUIRMOS x = 25 E y = 17 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(25) + (17) = 42 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(25) – (17) = 8 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

64. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
UM SISTEMA LINEAR PODE TER MAIS DE UMA SOLUÇÃO
OU MESMO PODE NÃO POSSUIR NENHUMA SOLUÇÃO.

65. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
TIPOS DE SISTEMA LINEAR
SISTEMA POSSÍVEL OU CONSISTENTE :
• UMA ÚNICA SOLUÇÃO, O SISTEMA É DETERMINADO;
• MAIS DE UMA SOLUÇÃO, O SISTEMA É INDETERMINADO.
SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCONSISTENTE :
• SISTEMA QUE NÃO ADMITE QUALQUER SOLUÇÃO.

66. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA COM UMA ÚNICA SOLUÇÃO
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUAS
RETAS NO PLANO CARTESIANO QUE TÊM O PONTO (3,-2)
COMO INTERSEÇÃO.
x + 2y = -1
2x – y = 8

67. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA COM INFINITAS SOLUÇÕES
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUAS
RETAS PARALELAS SOBREPOSTAS NO PLANO CARTESIANO,
LOGO EXISTEM INFINITOS PONTOS QUE SATISFAZEM A
AMBAS AS EQUAÇÕES (PERTENCEM A AMBAS AS RETAS).
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200

68. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA QUE NÃO TEM SOLUÇÃO
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUAS
RETAS PARALELAS NO PLANO CARTESIANO, LOGO,
NÃO EXISTEM PONTOS QUE PERTENÇAM ÀS DUAS RETAS.
x + 3y = 4
x + 3y = 5

69. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMAS EQUIVALENTES
DOIS SISTEMAS SÃO EQUIVALENTES SE ADMITEM A
MESMA SOLUÇÃO.
SÃO EQUIVALENTES OS SISTEMAS “ S1” E “S2”
INDICADOS ABAIXO:
S1
3x + 6y = 42
2x - 4y = 12
S2
1x + 2y = 14
1x - 2y = 6

70. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMAS EQUIVALENTES
POIS ELES ADMITEM A MESMA SOLUÇÃO
x = 10 E y = 2.
NOTAÇÃO
QUANDO DOIS SISTEMAS S1 E S2
SÃO EQUIVALENTES, USAMOS A NOTAÇÃO
S1~S2.

71. PROAB 2010
AULA 7
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADE DE UM SISTEMA LINEAR
UM SISTEMA LINEAR CHAMADO DE HOMOGÊNEO
TEM SEMPLO PELO MENOS UMA SOLUÇÃO, POIS:
x1 = 0
x2 = 0
x3 = O
xn = 0
SEMPRE TERÁ TODAS AS SENTENÇAS DO SISTEMA
VERDADEIRAS.
A SOLUÇÃO (0,0,0,0,...,0) É CHAMADA DE SOLUÇÃO TRIVIAL.