Aula de distribuição de probabilidade[1] cópia

2. Faremos a combinação dos
métodos da estatística
descritiva apresentada nas
primeiras aulas com os métodos
de probabilidade. Através de
uma distribuição de
probabilidades será possível
prever qual é a probabilidade de
obter um dado evento após um
particular número de
ocorrências. Exemplo:
Determinar a probabilidade de
que não haja chuva ou chova
em um, dois ou nos três dias.
0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
x
Probabilidade
Dias de chuva
P(x)
Números de dias com chuva

4. O resultado do lançamento de uma moeda pode
ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:
O árbitro de uma partida de futebol sorteia
quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda
o ganhador do sorteio escolhe a metade do
campo onde sua equipe iniciará o jogo.
Outras vezes, o resultado da moeda é para
realizar uma tarefa agradável ou não etc.
Embora o resultado do sorteio possa ser
utilizado com diferentes finalidades, o
experimento aleatório lançamento de uma moeda
permanece o mesmo, mantendo os mesmos
resultados.

5. Cada vez que o experimento for repetido, seu
resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo
cada resultado denominando ponto amostral
Em vez de operar com o espaço amostral, agora
utilizaremos um conceito mais amplo denominado
variável aleatória, que adota valores de acordo com
os resultados de um experimento aleatório.
Um experimento é aleatório se não for possível
antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os
resultados possíveis que definem o espaço amostral
do experimento.

6. Uma variável aleatória, x, é o resultado
numérico de um experimento probabilístico.
x = o número de pessoas num carro.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados
numa semana.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a
escola.
x = o número de vezes que você vai à escola por
semana.
Variáveis aleatórias

7. Uma variável aleatória é discreta se o número de
resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma
contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por
lote numa linha de produção é uma VA discreta.
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir
qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número
de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis
aleatórias contínuas são determinadas por uma medição.
Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma
VA contínua.
Tipos de variáveis aleatórias
01 2-1-2
Número de resultados infinitos

8. x = o número de pessoas em um carro.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa
semana.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.
x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua.
Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os
valores possíveis podem ser enumerados.
Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não
pode enumerar todos os valores possíveis.
Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores
possíveis não podem ser enumerados.
Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores
possíveis podem ser enumerados.
Tipos de variável aleatória

9. Uma distribuição discreta de probabilidade enumera
cada valor possível da variável aleatória, bem como sua
probabilidade.
Em um levantamento,
perguntou-se a uma
amostra de famílias
quantos veículos elas
possuíam.
x P(x)
0 0,004
1 0,435
2 0,355
3 0,206
número de
veículos
Propriedades de uma distribuição de probabilidade
• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.
• A soma de todas as probabilidades é 1.
Distribuições discretas de probabilidade

10. • A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x.
• Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à
probabilidade de que o valor de x ocorra.
0 1 2 3
0
0,10
0,20
0,30
0,40
P
(
x
)
0,004
0,435
0,355
0,206
Número de veículos
x0 1 2 3
Histograma de probabilidade
(similar ao histrograma de frequência relativa)

11. A variância de uma distribuição discreta de
probabilidade é:
O desvio padrão de uma distribuição discreta
de probabilidade é:
A média de uma distribuição discreta de probabilidade é:
Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similar
aos determinados pelas tabelas de frequências

12. Média (valor esperado)
Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some
os produtos.
O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.
x P(x) xP(x)
0 0,004 0
1 0,435 0,435
2 0,355 0,71
3 0,206 0,618
1,763Soma dos Produtos =
Procedimento para o cálculo da média:

14. Cálculo da variância e o desvio padrão
O desvio padrão é de 0,775 veículo.
A média é de 1,763 veículo.
x P(x) x- (x - )P(x)(x - )
0 0,004 -1,763 3,108 0,012
1 0,435 -0,763 0,582 0,253
2 0,355 0,237 0,056 0,020
3 0,206 1,237 1,530 0,315
0,601
μ μ P(x)
0,6610,775
Tabela de Determinação da Variância
variância
=

15. Construindo uma distribuição de
probabilidades
Número de computadores por família
em uma pequena cidade
Computadores 0 1 2 3
Famílias 3002809520
Gerando a distribuição de probabilidades
N. Computadores = xF
i
P
0 300300/695 = 0.43165
1 280280/695 = 0.40288
2 95 95/695 = 0.13670
3 20 20/695 = 0.02878
Total 695 1
Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir
desta, determinar a média, variância e desvio padrão.

16. Cálculo da variância e o desvio padrão
Tabela de Determinação da Variância
x P(x)x . P(x)
x - μ (x- μ)
2
P(x)
0 0.43165 0 -0.762620.251043
1 0.402880.402880.237380.022702
2 0.136700.273401.237380.209303
3 0.028780.086341.237380.044065
Total 1 0.76262-----0.527113
Média
Variância
7260.0527113.0
2
===ss
Desvio Padrão

17. Distribuições
Binomiais
n = número de vezes que uma tentativa é repetida.
p = prob. de sucesso de uma única tentativa.
q = prob. de fracasso de uma única tentativa.
x = contagem do número de sucessos em n tentativas.

18. •O número de tentativas é fixo (n).
•As n tentativas são independentes e repetidas em condições
idênticas.
•Para cada tentativa há dois resultados possíveis,
S = sucesso ou F = fracasso.
•A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p
A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1
•O problema central está em determinar a probabilidade de x
sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.
Experimentos binomiais
Características de um experimento binomial
A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade)
do número de sucessos em n tentativas.

19. 1. Qual é o 11
o
dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?
(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?
(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327
3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-
americanas entre 1990 e 1991?
(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?
(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341
Tente adivinhar as respostas
e = 2.718281828459045
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?
(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000

20. Resultados do teste
Conte o número de questões a que você
respondeu corretamente. Chamemos esse número
de x.
Por que esse foi um experimento
binomial?
Quais são os valores de n, p e q?
Quais são os valores possíveis de x?
As respostas corretas são:
1. d 2. a 3. b 4. c 5. b

21. Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com
três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a
probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões.
Determine n, p, q e x.
Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das
vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a
probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis.
Determine n, p, q e x.
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 x = 5
n = 7p = 0,80 q = 0,20 x = 6
Experimentos binomiais
Prob. de acertoProb. de errar
Prob. de ser
bem-sucedida
Prob. de ser
mal-sucedida

22. Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num
teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão
composta de 4 alternativas
Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE
Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado:
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E)
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)
3
(0,75)
2
= 0,00879
Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três
questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações.
AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Probabilidades binomiais

23. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Cada uma dessas dez maneiras tem uma
probabilidade de 0,00879.
P(x = 3) = 10 (0,25)
3
(0,75)
2
= 10(0,00879) = 0,0879
n. de combinações
Prob. de acertar uma questão
Prob. de errar uma questão
num. De questões certas num. De questões erradas

24. Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente três
questões naquele teste.
Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.
P(x = 3) = 10(0,25)
3
(0,75)
2
= 10(0,00879)= 0,0879
Combinação de n valores, escolhendo-se x
Há maneiras.

25. Probabilidades binomiais
Em um experimento binomial, a probabilidade de ocorrerem
exatamente x sucessos em n tentativas é de
Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar
nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as
cinco questões do teste.
P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001
(0,25)
0
(0,75)
5
= 0,237
(0,25)
1
(0,75)
4
= 0,396
(0,25)
2
(0,75)
3
= 0,264

26. Distribuição binomial
0 1 2 3 4 5
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,237
0,396
0,294
0,088
0,015
0,001
x P(x)
0 0,237
1 0,396
2 0,264
3 0,088
4 0,015
5 0,001
Histograma binomial
x

27. 1. Qual é a probabilidade de se responder
a duas ou quatro questões corretamente?
2. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões?
3. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão?
P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279
P(x ³ 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,104
P(x ³ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763
x P(x)
0 0,237
1 0,396
2 0,264
3 0,088
4 0,015
5 0,001
Probabilidades binomiais

28. Parâmetros para um
experimento binomial
Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância e
o desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste.
Média:
Variância:
Desvio padrão:
5(0,25)1,25
5(0,25)(0,75)0,9375
0,9375 0,968

29. A distribuição geométrica
Segundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cada
pessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeira
pessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segunda
pessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30).
Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceira
pessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30).
Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147.
A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoa
número x é de
P(x) = (0,70)
x – 1
(0,30)

30. A distribuição geométrica
Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta
de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as
seguintes condições.
1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2. As sucessivas tentativas são independentes entre si.
3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa.
A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na
tentativa número x é: P(x) = (q)
x – 1
p, onde q = 1 – p.

31. Aplicação da distribuição Geométrica
Um fabricante de cereais colocou uma peça premiada nas
embalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar um
prêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de que
você:
a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra;
b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra;
c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras.
P(4) = (0,75)
3 .
(0,25) = 0,1055
P(2) = (0,75)
1
(0,25) = 0,1875 e
P(3) = (0,75)
2
(0,25) = 0,1406
Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281
1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4))
1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055)
= 1 – 0,6836 = 0,3164

32. A distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de
probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as
seguintes condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um
evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço.
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada
intervalo.
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número
de ocorrências em outro.
A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é
e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828.
m é o número médio de ocorrências por intervalo.

33. Aplicação
a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano
b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este
ano
P(3) = 0,0076
P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099
Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem
dez pessoas por ano. Determine a probabilidade:
(2,71828)
–10
0,0076
(2,71828)
–10
0,0023

34. Aplicação
O número médio de acidentes mensais em um
determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade
de que em um determinado mês ocorram quatro
acidentes no cruzamento:
168,0
!4
)71828,2(3
)4(
34
»=
-
P
X=4 e m=3
Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatro
acidentes em um determinado mês no cruzamento?
a.Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3)
e P(4).
b.Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4).
c.Subtraia a soma de 1
d.Interprete os resultados

35. 05,0
!0
05.03
)0(
0
»=P
05.0)71828,2(
3
»
-
15,0
!1
05.03
)1(
1
»=P
112,0
!2
05.03
)2(
2
»=P
225,0
!3
05.03
)3(
3
»=P
169,0
!4
05.03
)4(
4
»=P
0 1 2 3 4
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Probabilidade
Número de Acidentes
294,0)4(
)169,0225,0112,015,005,0(1)4(
=+
++++-=+
P
P