Aula de EDO - Lei do Resfriamento de Newton

Conforme solicitado em aula pelo professor Anderson, estou postando a minha aula feita em slides no power point!!!

Cristiane P. F. Lima

1. Celer Faculdades – Xaxim/SCCeler Faculdades – Xaxim/SC
Centro de Excelência em Gestão PúblicaCentro de Excelência em Gestão Pública
Aula De Equações Diferenciais Aula De Equações Diferenciais
Ordinárias (EDO)Ordinárias (EDO)
MATEMÁTICA APLICADAMATEMÁTICA APLICADA

2. LEI DO LEI DO
RESFRIAMENTO DE RESFRIAMENTO DE

NEWTON NEWTON
Determinação do instante da Determinação do instante da
mortemorte

3. Além das grandes Além das grandes
contribuições para a contribuições para a
Física, Newton também Física, Newton também
deixou algumas deixou algumas
contribuições para a contribuições para a
Matemática. Uma delas Matemática. Uma delas
refere-se às trocas de refere-se às trocas de
calor entre corpos. O mais calor entre corpos. O mais
interessante disto, para interessante disto, para
nós, é a modelagem do nós, é a modelagem do
problema, que recairá em problema, que recairá em
uma equação diferencial.uma equação diferencial.

4. A lei de Newton do A lei de Newton do
resfriamentoresfriamento
Em 1701, com quase 60 anos, Newton Em 1701, com quase 60 anos, Newton
publicou anonimamente um artigo “Scala publicou anonimamente um artigo “Scala
Graduum Caloris”, onde descreve um Graduum Caloris”, onde descreve um
método para medir temperaturas de até método para medir temperaturas de até
1000 °C, algo impossível aos 1000 °C, algo impossível aos
termômetros da época (SOUZA, 2007).termômetros da época (SOUZA, 2007).

5. O método estava baseado no que hoje é O método estava baseado no que hoje é
conhecido como a Lei do Resfriamento de conhecido como a Lei do Resfriamento de
Newton, ou seja:Newton, ou seja:
A taxa de A taxa de
diminuição da diminuição da
temperatura de um temperatura de um
corpo é corpo é
proporcional à proporcional à
diferença de diferença de
temperaturas temperaturas
entre o corpo e o entre o corpo e o
ambiente.ambiente.
Em termos Em termos
matemáticos:matemáticos:
dTdT = - k (T – T = - k (T – T
mm))
dtdt

6. DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO ÀDIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAÇÃO À
Onde:Onde:
T =T = é a temperatura do corpo é a temperatura do corpo
t = t = é o tempoé o tempo
TT
m = m = é a temperatura do meio ambienteé a temperatura do meio ambiente
k = k = é uma constante que depende do materialé uma constante que depende do material
comcom que o corpo foi construído.que o corpo foi construído.
OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁOBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTÁ
TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.TEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.

7. VAMOS AO PROBLEMA...VAMOS AO PROBLEMA...
Sobre a condução do calor:Sobre a condução do calor: umum modelo real simples que trata modelo real simples que trata
sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que
o mesmo está colocado. o mesmo está colocado.
Aceita 3 hipóteses básicas:Aceita 3 hipóteses básicas:
1)1)A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é
a mesma em todos os pontos do corpo.a mesma em todos os pontos do corpo.
2)2)A temperatura TA temperatura T
mm do meio ambiente permanece do meio ambiente permanece
constante ao longo da experiência.constante ao longo da experiência.
3)3)A taxa de variação da temperatura com relação A taxa de variação da temperatura com relação
ao tempo t é proporcional à diferença entre a ao tempo t é proporcional à diferença entre a
temperatura do corpo e a temperatura do meio temperatura do corpo e a temperatura do meio
ambiente.ambiente.

8. MONTAGEM E RESOLUÇÃO DA MONTAGEM E RESOLUÇÃO DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA (EDO):ORDINÁRIA (EDO):
 Assumiremos verdadeiras as hipóteses Assumiremos verdadeiras as hipóteses
enumeradas, observando que:enumeradas, observando que:
dTdT = - k (T – T = - k (T – T
mm))
dtdt
 Esta é uma EDO separável, que pode ser Esta é uma EDO separável, que pode ser
transformada em:transformada em:
____dT__dT__ = - k dt = - k dt
(T – T(T – T
mm))

9.  Integrando ambos os membros em relação à variável Integrando ambos os membros em relação à variável
tempo:tempo:
 Teremos,Teremos,
ln (T-Tln (T-T
mm) = - k t + k) = - k t + k
00
 Aplicando a função exponencial a ambos os Aplicando a função exponencial a ambos os
membros, teremos:membros, teremos:
e e
L n ( T - T m )L n ( T - T m )
= e = e
k ( - t + 1 )k ( - t + 1 )

10. 
Logo:Logo:
T – TT – T
m m = e= e
- k t- k t
. e . e
1 1
C C ,,
e tomando as constantes embutidas, obtém-se: e tomando as constantes embutidas, obtém-se:
T (t) – TT (t) – T
mm = C . e = C . e
- k t- k t
 Então a solução da equação diferencial será:Então a solução da equação diferencial será:
T(t) = TT(t) = T
mm + C . + C . ee
- k t- k t

11. Determinação da constante C:Determinação da constante C:
Mas como sabemos que a temperatura inicial do Mas como sabemos que a temperatura inicial do
corpo é T(0) = Tcorpo é T(0) = T
00 , então substituindo t = 0 na solução da , então substituindo t = 0 na solução da
equação, teremos:equação, teremos:
T(0) = T(0) = TT
m m + C . e+ C . e
o o
TT
0 0 = T= T
m m + C + C
Logo, Logo,
C = C = TT
0 0 – T– T
mm
Então substituindo C na equação, obtém-se a Então substituindo C na equação, obtém-se a
solução final:solução final:
T(t) = TT(t) = T
mm + (T + (T
0 0 – T– T
mm) . e) . e
- k t- k t

12. DETERMINAÇÃO DO DETERMINAÇÃO DO
INSTANTE DA MORTEINSTANTE DA MORTE
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte Na investigação de um homicídio, ou de uma morte
acidental, é muitas vezes importante estimar o instante acidental, é muitas vezes importante estimar o instante
da morte.da morte.
Por exemplo:Por exemplo:
1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notícia:
CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTECORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTE
Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo Foi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo
de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local
disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também em disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e também em
torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os torno das 3 da madrugada. A polícia já encontrou ambos os
autores dos disparos. Somente após o legista identificar a hora autores dos disparos. Somente após o legista identificar a hora
da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.da morte é que a polícia poderá prender um dos suspeitos.
Você deve estar se perguntando: Você deve estar se perguntando:
Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?

13. Para responder a esta pergunta precisamos saber Para responder a esta pergunta precisamos saber
a temperatura do corpo no instante da descoberta e a a temperatura do corpo no instante da descoberta e a
temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes
cálculos, usando a equação final da temperatura em cálculos, usando a equação final da temperatura em
função do tempo.função do tempo.
Então vamos admitir que a Então vamos admitir que a
temperatura do corpo seja 30°C temperatura do corpo seja 30°C
no instante da descoberta e 23°C no instante da descoberta e 23°C
duas horas depois, e a duas horas depois, e a
temperatura ambiente é de 20°C.temperatura ambiente é de 20°C.
Primeiramente, Primeiramente,
calcularemos a constante k, tendo calcularemos a constante k, tendo
os dados:os dados:
T = 23°CT = 23°C
t = 2ht = 2h
TT
mm = 20°C = 20°C
TT
00 = 30°C = 30°C
RESOLVENDO:RESOLVENDO:
T(t) = TT(t) = T
mm + (T + (T
0 0 – T– T
mm) . e) . e
-kt-kt
23 = 20 + (30 – 20) . e23 = 20 + (30 – 20) . e
-2k-2k
3 / 10 = e3 / 10 = e
-2k -2k
ee
-2k -2k
= 0,3= 0,3
-2k = ln 0,3-2k = ln 0,3
k = -1,2 / -2k = -1,2 / -2
k = 0,6k = 0,6

14. Agora precisamos saber o instante da Agora precisamos saber o instante da
morte, ou seja, a hora exata da morte.morte, ou seja, a hora exata da morte.
Então vamos admitir que a Então vamos admitir que a
temperatura do corpo seja igual a temperatura do corpo seja igual a
temperatura normal de 37°C no temperatura normal de 37°C no
instante t = 0, a temperatura instante t = 0, a temperatura
ambiente é de 20°C. ambiente é de 20°C.
Calcularemos t (instante da Calcularemos t (instante da
morte), tendo os dados:morte), tendo os dados:
TT
00 = 37°C = 37°C
TT
mm = 20°C = 20°C
TT = 30°C= 30°C
k = 0,6k = 0,6
RESOLVENDO:RESOLVENDO:
T(t) = TT(t) = T
mm + (T + (T
0 0 – T– T
mm) . e) . e
-kt-kt
30 = 20 + (37 – 20) . e30 = 20 + (37 – 20) . e
-0,6t-0,6t
10 / 17 = e10 / 17 = e
-0,6t -0,6t
ee
-0,6t -0,6t
= 0,58823...= 0,58823...
-0,6t = ln 0,58823...-0,6t = ln 0,58823...
t = -0,53 / -0,6t = -0,53 / -0,6
t = 0,88333...h t = 0,88333...h
t 53 mint 53 min
@

15. RESPONDENDO A PERGUNTA RESPONDENDO A PERGUNTA
INICIAL:INICIAL:
Como podemos saber quando a vítima morreu?Como podemos saber quando a vítima morreu?
Como acharam o corpo às 4h, e o Como acharam o corpo às 4h, e o
instante de sua morte foi 53 min instante de sua morte foi 53 min
antes, então a vítima morreu antes, então a vítima morreu
aproximadamente às 3h 07min.aproximadamente às 3h 07min.

16. 23/06/201423/06/2014