AULA DE NORMA

1. Aula 02 Norma e produto interno

2. Norma Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .

3. Norma

4. Exemplo 1 Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). Solução: Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.

5. Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos é igual à norma do vetor . Como , então a distância de P a Q é dada por Se

6. Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). Solução:

7. Observação Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:

8. Observação Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção de V , pois

9. Exemplo Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) . Solução:

10. Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W , é definido pelo ângulo determinado por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤ 

11. Vetores ortogonais Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto (  =  /2 ), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si.

12. Produto Escalar ou Interno O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por em que  é o ângulo entre eles.

13. Observação Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.

14. Lei dos cossenos

15. Cálculo do Produto interno em (1) os termos e são cancelados e obtemos

16. Resultado O produto escalar ou interno, V⋅W , entre dois vetores é um número dado por se e e por se e .

17. Exemplo Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). Determine o produto escalar de V por W. Solução:

18. Ângulo entre vetores

19. Exemplo Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Solução:

20. Propriedades

21. Projeção Ortogonal

22. Projeção Ortogonal

23. Projeção Ortogonal

24. Demonstração

25. Exemplo , .

26. Solução

27. Obrigado !

28. Aula disponível em www.mat.ufam.edu.br/Disney Obrigado!