Aula materiais

Indices Miller

2. Z
Y
X
[0 1 0]
[1 0 1]

3. a
x
y
z
b
c
For cubic: a = b = c = a
o
[
0
0
1
]
[210]
[100]
[1
1
1
]
[120]
]001[
]332[
]021[
1½0
-
2
/
3
11

5. Miller Indices
l
c
h
a
k
b

6. Miller Indices

7. Z
X
Y
(100)
Z
X
Y
(110)
Z
X
Y
(111)

8. FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo

9. FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos

10. Directions & Miller Indices in
Hexagonal Structures
a
2
a
1
a
3
c
a
2
a
1
a
3
c
[011]
[UVW] or [uvtw] (hkil) or (hk·l)
[210]
(0001)
( )0011
( )0121
( )1110
wW
tvV
tuU
=
-=
-=
ikh -=+

11. Diamond Lattice
(100)
(110)

12. Diamond Lattice
(111)

13. Spacing of Planes
d
hkl
=
a
h
2
+k
2
+l
2
1
d
2
=
h
2
+k
2
+l
2
a
2
Cubic:
d
hkl
=
a
h
2
+k
2
+l
2a
2
c
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
Tetragonal:
1
d
2
=
h
2
+k
2
a
2
+
l
2
c
2
1
d
2
=
4
3
h
2
+hk+k
2
a
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
l
2
c
2
Cubic:
Tetragonal:
Hexagonal:
1
d
2
=
h
2
+k
2
+l
2
( )sin
2
a+2hk+kl+hl( )cos
2
a-cosa( )
a
2
1-3cos
2
a+2cos
3
a( )
Rhombohedral:

14. Spacing of Planes
1
d
2
=
h
2
a
2
+
k
2
b
2
+
l
2
c
2
1
d
2
=
1
sin
2
b
h
2
a
2
+
k
2
sin
2
b
b
2
+
l
2
c
2
-
2hlcosb
ac
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
d
2
=
1
V
2
S
11h
2
+S
22k
2
+S
33l
2
+2S
12hk+2S
23kl+2S
13hl( )
Orthorhombic:
Monoclinic:
Triclinic:
V=volume of the unit cell=abc1-cos
2
a-cos
2
b-cos
2
g+2cosacosbcosg
S
11=b
2
c
2
sin
2
a
b=
222
22
sincaS
S
33
=a
2
b
2
sin
2
g
S
12=abc
2
cosacosb-cosg( )
S
23
=a
2
bccosbcosg-cosa( )
S
13
=ab
2
ccosgcosa-cosb( )

15. Reciprocal Lattice
Unit cell: b
1
, b
2
, b
3
Reciprocal lattice unit cell: b
1
*
, b
2
*
, b
3
*
defined by:
b
1
*
=
2p
V
b
2
´b
3()=
2pb
2
´b
3()
b
1
×b
2
´b
3
b
2
*
=
2p
V
b
3
´b
1()=
2pb
3
´b
1()
b
1
×b
2
´b
3
b
3
*
=
2p
V
b
1
´b
2()=
2pb
1
´b
2()
b
1
×b
2
´b
3
b
1
b
2
b
3
*
A
B
CP
O
b
3
*
=2p×
b
1
´b
2
V
=
2p×area of parallelogram OACB( )
area of parallelogram OACB( )height of cell( )
=
2p
OP
=
2p
d
001
b
3

16. Reciprocal Lattice
Like the real-space lattice, the reciprocal space lattice also has a translation vector, K
l
:
K=hb
1
*
+kb
2
*
+lb
3
*
Where the length of R·K is equal to:
R×K=2pn
1
h+n
2
k+n
3
l( )=2pN
The magnitude of the translation vector has the following relationship:
d
K
L a t t i c e
P l a n e
R
R '
R ' '
d=
2p
K

17. Angles and Inner Planar Spacing
is ^ to (hkl) plane. Therefore, the angle between (h
1
k
1
l
1
)
and (h
2
k
2
l
2
) planes is the angle between the K
h
1
k
1
l
1
and
K
h
2
k
2
l
2
vectors.
a=× cosabbaRecall the dot product: cosf=
K
h
1k
1l
1
×K
h
2k
2l
2
K
h
1k
1l
1
K
h
2k
2l
2
K
hkl
×K
hkl
=hb
1
*
+kb
2
*
+lb
3
*
( )×hb
1
*
+kb
2
*
+lb
3
*
( )
=hhb
1
*
×b
1
*
+hkb
1
*
×b
2
*
+hlb
1
*
×b
3
*
+khb
2
*
×b
1
*
+kkb
2
×b
2
*
+klb
2
*
×b
3
*
+lhb
3
*
×b
1
*
+lkb
3
*
×b
2
*
+llb
3
*
×b
3
*
K
hkl
2
=
2p()
2
d
hkl
2
=h
2
b
1
*
()
2
+k
2
b
2
*
()
2
+l
2
b
3
*
()
2
+2hkb
1
*
b
2
*
cosg
*
+2klb
2
*
b
3
*
cosa
*
+2lhb
3
*
b
1
*
cosb
*
Angles between reciprocal
lattice vectors.
K=hb
1
*
+kb
2
*
+lb
3
*

18. Two Dimensional Lattice
Possible choices of primitive cell for a single 2D Bravais lattice.
Wigner-Seitz

19. First Brillouin Zone
If these lattice points now represent reciprocal lattice points, then the
first Brillouin zone is just the Wigner-Seitz cell of the reciprocal
lattice.
b
1
*
b
2
*

20. DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE
RAIO X

21. DIFRAÇÃO DE RAIOS X
LEI DE BRAGG
nl= 2 d
hkl
.senq
l É comprimento de onda
N é um número inteiro de
ondas
d é a distância interplanar
q O ângulo de incidência
d
hkl
= a
(h
2
+k
2
+l
2
)
1/2
Válido
para
sistema
cúbico

22. DISTÂNCIA INTERPLANAR
(d
hkl
)
•É uma função dos índices de Miller e do parâmetro de rede
d
hkl
= a
(h
2
+k
2
+l
2
)
1/2

23. TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
•Técnica do pó:
É bastante comum, o material a ser analisado
encontra-se na forma de pó (partículas finas
orientadas ao acaso) que são expostas à radiação
x monocromática. O grande número de partículas
com orientação diferente assegura que a lei de
Bragg seja satisfeita para alguns planos
cristalográficos

24. O DIFRATOMÊTRO DE
RAIOS X
•T= fonte de raio X
•S= amostra
•C= detector
•O= eixo no qual a amostra e o
detector giram
Detector
Fonte
Amostra

25. DIFRATOGRAMA