Aula sobre Espaço de Estados

Aula de Espaço de Estados.

Primeiramente, apresenta algumas características de resposta dos sistemas de primeira e segunda ordem.
Posteriormente, apresenta toda a teoria de espaço de estados.
Por fim, apresenta uma modelagem por espaço de estados de um sistema de dois graus de liberdade.

1. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Espaco de Estados
Jo~ao V. C. Fontes
Escola de Engenharia de S~ao Carlos
Universidade de S~ao Paulo
1 / 32

2. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Organizac~ao
1Resposta de Sistemas de 1 GDL
Sistemas de Primeira Ordem
Sistemas de Segunda Ordem
2Espaco de Estados
Sistema de 1 GDL
Sistema de N GDL
2 / 32

3. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistemas de 1 GDL
Sistema SISO (Single Input, Single Output)
Exemplo: Massa-mola-amortecedor
3 / 32

4. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta de Sistemas
ˆResposta transiente
ˆDin^amica do sistema
ˆResposta homog^enea
ˆResposta em regime
ˆEntrada do sistema
ˆResposta particular
4 / 32

5. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistemas de 1 GDL
Podem ser representadostotalmentepor uma Func~ao
Transfer^encia
Denic~ao
Func~ao transfer^enciae a representac~ao matematica da
relac~ao entre a sada e a entrada de um sistema
Ordem do sistema depende do maior ndice da derivada do
GDL presente na equac~ao din^amica
Y(s)
U(s)
=
(bns
n
+bn1s
n1
+: : :+b1s+b0)
(ans
n
+an1s
n1
+: : :+a1s+a0)
5 / 32

6. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:1

Ordem
Y(s)
U(s)
=
K
(s+ 1)
K=2;
tau=1;
Planta = tf([K],[tau 1])
hold on
step(Planta)
6 / 32

7. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:1

Ordem
Y(s)
U(s)
=
K
(s+ 1)0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
X: 1.993
Y: 0.6309
X: 1.993
Y: 1.262
X: 0.9967
Y: 1.262


Step Response
Amplitude
K=2; Tau=1
K=2; Tau=2
K=1; Tau=2
7 / 32

8. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:2

Ordem
Variac~ao dewn
Y(s)
U(s)
=
K
1
w
2
n
s
2
+
2
wn
s+ 1
K=1;
wn=1;
zeta=0.1;
Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2 *zeta/wn 1])
subplot(3,1,1)
step(Planta)
axis([0 80 0 2])
8 / 32

9. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:2

Ordem
Y(s)
U(s)
=
K
1
w
2
n
s
2
+
2
wn
s+ 10 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
wn=3
wn=2
wn=1
9 / 32

10. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
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Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:2

Ordem
Variac~ao de
Y(s)
U(s)
=
K
1
w
2
n
s
2
+
2
wn
s+ 1
K=1;
wn=1;
zeta=0.1;
Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2 *zeta/wn 1])
hold on
step(Planta)
axis([0 20 0 2])
10 / 32

11. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
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Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau:2

Ordem
Y(s)
U(s)
=
K
1
w
2
n
s
2
+
2
wn
s+ 10 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2


Step Response
Time (sec)
Amplitude
zeta=0.1
zeta=0.3
zeta=0.5
zeta=1.0
zeta=1.3
11 / 32

12. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Espaco de Estados
Teoria de Controle Moderno
ˆEntradas e sadas multiplas
ˆMIMO: Multiple Input, Multiple Output
ˆAbordagem no domnio do tempo
ˆPossibilidade de lidar com sistemas n~ao-lineares
ˆBase no conceito de estado
12 / 32

13. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Denic~oes
Estado
Menor conjunto de valores de variaveis independentes do
sistema que determinam completamente o comportamento do
sistema
Variaveis de estado
Variaveis independentes que descrevem completamente o
sistema
Vetor de estado
Formado pelas variaveis de estado
Espaco de Estado
Espaco vetorial formado pelo vetor de estado
13 / 32

14. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Analise em Espaco de Estados
Envolve tr^es tipos de variaveis
ˆVariaveis de entrada
ˆVariaveis de sada
ˆVariaveis de estado
Supondo um sistema com:
ˆr entradas:u1(t); u2(t); : : : ; ur(t)
ˆm sadas:y1(t); y2(t); : : : ; ym(t)
ˆn variaveis de estado:x1(t); x2(t); : : : ; xn(t)
14 / 32

15. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equac~oes do Espaco de Estados
O sistema pode ser escrito como:
_x1=f1(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
_x2=f2(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
.
.
.
_xn=fn(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
y1=g1(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
y2=g2(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
.
.
.
ym=gm(x1; x2; : : : ; xn;u1; u2; : : : ; ur;t)
15 / 32

16. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equac~oes do Espaco de Estados
Denindo os vetores de entrada, sada e de variaveis de estado,
podemos escrever todas as func~oes na forma vetorial
x(t) =
2
6
6
6
4
x1(t)
x2(t)
.
.
.
xn(t)
3
7
7
7
5
;y(t) =
2
6
6
6
4
y1(t)
y2(t)
.
.
.
ym(t)
3
7
7
7
5
;u(t) =
2
6
6
6
4
u1(t)
u2(t)
.
.
.
ur(t)
3
7
7
7
5
f(x;u; t) =
2
6
6
6
4
f1(x;u; t)
f2(x;u; t)
.
.
.
fn(x;u; t)
3
7
7
7
5
;g(x;u; t) =
2
6
6
6
4
g1(x;u; t)
g2(x;u; t)
.
.
.
gm(x;u; t)
3
7
7
7
5
16 / 32

17. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equac~oes do Espaco de Estados
Equac~ao de Estado
_x(t) =f(x;u; t)
Equac~ao de Sada
y(t) =g(x;u; t)
Se as func~oesfougforem dependentes explicitamente do
tempot, ent~ao e dito que o sistema evariante no tempo
17 / 32

18. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equac~oes do Espaco de Estados
Colocando em evid^encia os vetores de variaveis de estado e de
entrada, a equac~ao de estado e a equac~ao de sada podem ser
reescritas na forma:
Equac~ao de Estado
_x(t) =A(t)x(t) +B(t)u(t)
Equac~ao de Sada
y(t) =C(t)x(t) +D(t)u(t)
18 / 32

19. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Representac~ao Diagrama de Blocos
Representac~ao no diagrama de blocos do espaco de estados
A: Matriz de estadoC: Matriz de sada
B: Matriz de entradaD: Matriz de transmiss~ao direta
_x(t) =Ax(t) +Bu(t)
y(t) =Cx(t) +Du(t)
19 / 32

20. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Func~ao Transfer^encia
Considerando a Transformada de Laplace
sX(s) =AX(s) +BU(s)
Y(s) =CX(s) +DU(s)
IsolandoX
X(s) = (sIA)
1
BU(s)
Substituindo na equac~ao de sada e fazendo a relac~ao de sada
pela entrada
G(s) =
Y(s)
U(s)
=C(sIA)
1
B+D
20 / 32

21. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL
X(s)
F(s)
=
1
ms
2
+cs+k
A=

0 1

k
m

c
m

B=

0
1

C=

1 0

D=

0

21 / 32

22. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL (MATLAB)
m=2; tfs=C *inv(s*IA)*B+D
k=1; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
c=0.1;
tol=1e6;
A=[0 1;k/mc/m]; num(num >0 & num<tol)=0
B=[0;1/m]; ft=tf(num,den)
C=[1 0]; ft2=tf([1],[m c k])
D=0;
step(tfs)
Planta=ss(A,B,C,D); figure
step(ft2)
I=eye(2);
s=tf([1 0],[1]);
22 / 32

23. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL (MATLAB)
X(s)
F(s)
=
1
2s
2
+ 0:1s+ 10 50 100 150 200 250
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
23 / 32

24. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
m1x1+c1_x1+k1x1+c2( _x1_x2) +k2(x1x2) =F1
m2x2+c2( _x2_x1) +k2(x2x1) =F2
24 / 32

25. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
Reescrever equac~oes na forma matricial
m1x1+c1_x1+k1x1+c2( _x1_x2) +k2(x1x2) =F1
m2x2+c2( _x2_x1) +k2(x2x1) =F2

m10
0m2

x1
x2

+

c1+c2c2
c2 c2

_x1
_x2

+

k1+k2k2
k2 k2

x1
x2

=

F1
F2

Mx+C_x+Kx=F
25 / 32

26. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
X=
2
6
6
4
x1
x2
_x1
_x2
3
7
7
5
Mx+C_x+Kx=F
x=M
1
FM
1
C_xM
1
Kx
_
X=
2
6
6
4
_x1
_x2
x1
x2
3
7
7
5
=
2
4
0 0 1 0
0 0 0 1
M
1
KM
1
C
3
5
2
6
6
4
x1
x2
_x1
_x2
3
7
7
5
+
2
4
0 0
0 0
M
1
3
5

F1
F2

Y=

y1
y2

=

1 0 0 0
0 1 0 0

2
6
6
4
x1
x2
_x1
_x2
3
7
7
5
+

0 0
0 0

F1
F2

26 / 32

27. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
2
6
6
4
_x1
_x2
x1
x2
3
7
7
5
=
2
4
0 0 1 0
0 0 0 1
M
1
KM
1
C
3
5
| {z }
A
2
6
6
4
x1
x2
_x1
_x2
3
7
7
5
+
2
4
0 0
0 0
M
1
3
5
|{z}
B

F1
F2


y1
y2

=

1 0 0 0
0 1 0 0

|{z}
C
2
6
6
4
x1
x2
_x1
_x2
3
7
7
5
+

0 0
0 0

|{z}
D

F1
F2

27 / 32

28. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
m1=1; m2=2;k1=1; k2=2; c1=0.1; c2=0.2;
M=[m1 0;0 m2];
C=[c1+c2c2;c2 c2];
K=[k1+k2k2;k2 k2];
A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; inv(M)*K,inv(M)*C];
B=[0 0; 0 0; inv(M)];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0]; D=zeros(2);
planta=ss(A,B,C,D);
I=eye(4); s=tf([1 0],[1]);
28 / 32

29. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
tfs=C*inv(s*IA)*B+D
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);
tol=1e6;
num(num>0 & num<tol)=0;
num(num<0 & num>tol)=0;
ft11=tf(num(1,:),den)
ft12=tf(num(2,:),den)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);
num(num>0 & num<tol)=0;
num(num<0 & num>tol)=0;
ft21=tf(num(1,:),den)
ft22=tf(num(2,:),den)
step(tfs)
29 / 32

30. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
x1
F1
=
s
2
+ 0:1s+ 1
s
4
+ 0:4s
3
+ 4:01s
2
+ 0:2s+ 1
x2
F1
=
0:1s+ 1
s
4
+ 0:4s
3
+ 4:01s
2
+ 0:2s+ 1
x1
F2
=
0:1s+ 1
s
4
+ 0:4s
3
+ 4:01s
2
+ 0:2s+ 1
x2
F2
=
0:5s
2
+ 0:15s+ 1:5
s
4
+ 0:4s
3
+ 4:01s
2
+ 0:2s+ 1
30 / 32

31. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)0
0.5
1
1.5
2
2.5
From: In(1)
To: Out(1)
0 100200300400
0
1
2
3
To: Out(2)
From: In(2)
0 100200300400
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
31 / 32

32. Espaco de
Estados
Jo~ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espaco de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
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32 / 32