Axiomas y teoremas de los números reales

Axiomas y Teoremas de los números reales

1. Facultad de ciencias Físico Matemáticas “Números reales” Oscar Tepoz López Año: 2011 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

2. En Matemáticas , los números reales son los que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominados diferente de cero) y los números irracionales , que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas , tales como √ 2 , π. Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1,000 a. C. El conjunto de los números reales es representado con la letra: Introducción

3. Los primeros números en aparecer en la historia fueron los números que van del 1,2,3,... etc. y por esta razón son conocidos como los números naturales. El primer registro que se obtiene sobre la utilización del cero fue en el año 36 a.C. por la civilización Maya. Historia

4. Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después.

5. La noción de numero y contar ha acompañado a la humanidad desde la prehistoria. Como todo conocimiento desarrollado por el hombre primitivo, la causa para que el ser humano emprendiera sus pasos en el contar y plasmar cantidades surgió fundamentalmente de la necesidad de adaptarse al medio ambiente, proteger sus bienes y distinguir los ciclos de la naturaleza pues ya perciban y observaban con cuidado los ritmos que esta posee y su fina relación con las oportunidades de alimentación y, en general, con la conservación de la vida, entre otros.

6. La razón para que actualmente se utilice un sistema decimal, se deriva principalmente de que ser humano necesito hacer una representación simbólica del conteo con su propio cuerpo, y para ello se valió básicamente de los 10 dedos de las manos y aunque este no fue el único sistema utilizado por la humanidad s fue el mas difundido. A medida que el saber humano fue evolucionando, La civilización egipcia fue una de las primeras en desarrollar el trabajo con las matemáticas le fue urgente el comenzar a representar las cantidades en forma de dibujos, para seguir en forma precisa los ciclos de la naturaleza, dejar mensajes a sus semejantes o para seguir con la contabilización de sus posesiones que rebasaban la cantidad de 10.

7. Campo de los números reales En álgebra abstracta, un campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen con ciertas propiedades conocidas como axiomas. Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. También se distingue el campo del orden, ya que en este presenta un concepto muy importante, que es la ley de tricotomía , la cual nos dice que ∀a, b ϵ solo cumplen una de las siguientes afirmaciones : a > b, a < b, a = b.

8. Existe una relación que presenta los números reales que son conocidas como relaciones de igualdad y estas son de utilidad para la demostración de algunos teoremas, estas relaciones dicen: Sean a, b, c ϵ a) Si a = b, entonces b = a b) Si a = b, y b = c, entonces a = c c) si a + c denota al numero real que resulta de sumar a y c, y ac denota al numero real que resulta de multiplicar a y c, entonces a = b implicará que a + c = b + c y que ac = bc Relación de igualdad

9. En matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas “verdades evidentes” porque permiten deducir las demás formulas. En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En el campo de los números reales son seis los principales axiomas que se toman, y a través de su uso y postulación, permiten el desarrollo de los teoremas que estructuran una parte de las matemáticas. Axiomas

10. Los seis axiomas son: Axioma 1. Si a, b ϵ , entonces a + b, ab ϵ (Ley de cerradura para la suma y el producto) Axioma 2. Si a, b ϵ entonces a+b = b+a y ab = ba (Ley de conmutatividad) Axioma 3. Si a, b, c ϵR entonces a( b+c ) = ( a+b )+c y a( bc ) = (ab)c (Ley de asociatividad ) Axioma 4. Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac (Ley de distributividad ) Axioma 5. Existen 0, 1 ϵ , con 0 ̸= 1, tales que: si a ϵR, entonces a+0 = a y a·1 = a (0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo) Axioma 6. Si a ϵ , existe a1 ϵ tal que a + a1 = 0 y si a ϵ con a ̸= 0, entonces existe a2 ϵ tal que a · a2 = 1 (Existencia de los inversos)

11. Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema generalmente posee un numero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado. Teoremas y corolarios

12. i) Si a, b, c ϵ y a + c = b + c, entonces a=b ii ) Si a, b, c ϵ , c ≠ 0 y ac = bc , entonces a=b Demostración: i) Sea c 1 ϵ tal que c + c 1 = 0 (Esto por el axioma 6) Entonces a + c = b + c ⇒ (a + c) + c 1 = (b + c) + c 1 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a + (c + c 1 ) = b + (c + c 1 ) (Por axioma 3) ⇒ a + 0 = b + 0 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5) Teorema I

13. ii ) Si a, b, c ϵ , c≠0 ac = bc , entonces a=b si c≠0, el axioma seis garantiza la existencia de un número real c 2 tal que cc 2 = 1. Por lo tanto: ac = bc ⇒ ( ac )c 2 = ( bc )c 2 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a(cc 2 ) = ( bc )c 2 ) (Por axioma 3) ⇒ a · 1 = b · 1 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5)

14. Si a ϵ , entonces a · 0 = 0 Demostración. ⇒ a · 0 = a(0 + 0) (Por axioma 5) ⇒ a · 0 = a · 0 + a · 0 ^ a · 0+0 = a·0 (Por axioma 4 y 5) ⇒ a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 (Por transitividad) ⇒ a · 0 + 0 = 0 (Ley de cancelación: teorema I) Teorema II

15. i) ∀a, b ϵ , ∃x ϵ único tal que a + x = b ii ) ∀a, b ϵ , a ̸= 0, ∃x ϵ único tal que a · x = b Demostración: i) Por el axioma seis ∃a 1 ϵ : a+a 1 = 0 entonces si x = b+a 1 tenemos que: ⇒ a + x = a + b + a 1 (Sustituyendo x = b + a1) ⇒ a + x = a + a 1 + b (Por axioma 2) ⇒ a + x = 0 + b (Por axioma 6) ⇒ a + x = b (Por axioma 5) Para este momento ya se demostró que existe, pero falta demostrar que es único: Supongamos que existe x 1 ϵ tal que a + x = a + x 1 por el Teorema I tenemos que x = x 1 Teorema III

16. ii ) Por el axioma seis ∃a 1 ϵ : a · a1 = 1 entonces si x = b · a 1 tenemos que : ⇒ a · x = a(b · a 1 ) (Sustituyendo x = b · a 1 ) ⇒ a · x = (a · a 1 )b (Por axioma 2) ⇒ a · x = 1b (Por axioma 6) ⇒ a + x = b (Por axioma 5) En este momento ya se demostró que existe, pero falta demostrar que es único: Supongamos que existe x 1 ϵ R tal que a · x 1 = b entonces a · x o = a · x 1 por el Teorema I tenemos que x = x 1

17. i) Para cada a ϵ , existe un único a 1 ϵ tal que a + a 1 = 0 ii ) Para cada a ϵ , existe un único a 1 ϵ tal que a · a 1 = 1 Demostración: i) Como a 1 ϵ cumple con la ecuación a + x = 0 y por el Teorema I a 1 es único. ii ) Como a ϵ y a≠0, entonces existe un a 1 ϵ que cumple con a · x = 1 entonces por el Teorema 2.3.1 a1 es único. Como el inverso aditivo de a ϵ es único, lo denotamos como −a y el inverso multiplicativo de a ϵ −{0} le llamamos a⁻¹ o 1/ a . Así a−b = a+(−b) y a/ b = a·b⁻¹ para cada b≠0 Teorema IV

18. i) Para todo a ϵ , −(−a) = a ii ) Para todo a ϵ − {0}, (a⁻¹)⁻¹ = a Demostración: i) Como a + (−a) = 0 y (−a) − (−a) = (−a) + (−(−a)) = 0, entonces al igualarlas se obtiene que a + (−a) = (−a) + (−(−a)) por el Teorema I a = −(−a) ii ) Si a≠0, el número real (a⁻¹)⁻¹ satisface la relación a⁻¹x = 1 y también el número real a satisface la misma relación. Por lo tanto, por el Teorema IV, a = (a⁻¹)⁻¹. Teorema V

19. Sean a, b, c ϵ entonces i) −(a + b) = (−a) + (−b) ii) −(ab) = (−a)b = a(−b) iii ) Si a≠0, b≠0 entonces ab≠0 y (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹ Demostración: i) ( a + b) + [(−a) + (−b)] = a + b + [(−a) + (−b)] (Por axioma 2) ⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a +b + [(−b) + (−a)] (Por axioma 3) ⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + ([b + (−b)] + (−a)) (Por axioma 2) Por lo tanto ( a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (0 + (−a)) (Por axioma 5) ⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (−a) ⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = 0 Entonces [( −a) + (−b)] es inverso aditivo de (a + b) y por unicidad resulta que −(a + b) = (−a) + (−b). Teorema VI

20. ii ) ( ab) + (−a)b = [a + (−a)]b (Por axioma 4) ⇒(ab) + (−a)b = (0)b (Por axioma 5) ⇒(ab) + (−a)b = 0 (Por axioma 5) Entonces ( −a)b satisface ab + x = 0 y por unicidad, (−a)b = −(ab) ( ab) + a(−b) = [b + (−b)]a (Por axioma 4) ⇒(ab) + (−b)a = (0)a (Por axioma 5) ⇒(ab) + (−b)a = 0 (Por axioma 5) Entonces ( −b)a satisface ab + x = 0 y por unicidad, (−b)a = −(ab) iii ) Como (ab)(a⁻¹b⁻¹) = (a)(b)(a⁻¹)(b⁻¹) por el axioma seis tenemos que ( ab)(a⁻¹b⁻¹ )= (a)(a⁻¹)(b)(b⁻¹) y por el Teorema IV tenemos (1)(1) = 1 y como ( ab)(a⁻¹b⁻¹) = 1 entonces (a⁻¹b⁻¹) = (ab)⁻¹

21. Si a, b, c, d ϵ con b≠0 y d≠0, entonces i) a/ b + c/d = ( ad+bc )/ bd ii ) a/ b· c/d = ac / bd iii ) ( a/b )⁻¹= a⁻¹/b⁻¹= b/a , si también a≠0 Demostración: i) a/b + cd = ab⁻¹ + cd⁻¹ (Por definición) ⇒ a/b + c/d = ( ab⁻¹)1 + (cd⁻¹)1 (Por axioma 5) ⇒ a/b + c/d = ( ab⁻¹)(dd⁻¹) + (cd⁻¹)( bb ⁻¹) (Por inv. multiplicativo) ⇒ a/b + c/d = a(b ⁻¹ dd ⁻¹) + c(d ⁻¹ bb ⁻¹) (Por axioma 2) ⇒ a/b + c/d = a( db ⁻¹ d ⁻¹) + c( bd ⁻¹ b ⁻¹) (Por axioma 3) ⇒ a/b + c/d = a( db ⁻¹ d ⁻¹) + c( bd ⁻¹ b ⁻¹) (Por axioma 3) Teorema VII

22. Por lo tanto ⇒ a/b + c/d = ( ad)(b ⁻¹ d ⁻¹) + ( cb )(d ⁻¹ b ⁻¹) (Por axioma 2) ⇒ a/b + c/d = ( ad + bc )(b ⁻¹ d ⁻¹) (Por axioma 4) ⇒ a/b + c/d = ( ad + bc )( bd ) ⁻¹ (Por Teorema VI) ⇒ a/b + c/d = ( ad + bc )/ bd (Por definición)

23. ii ) ( a/b) · (c/d) = ( ab ⁻¹) + ( cd ⁻¹) (Por definición) ⇒ (a/b) · (c/d) = ( ab ⁻¹) · ( cd ⁻¹) (Por definición) ⇒ (a/b) · (c/d) = a[b ⁻¹( cd ⁻¹)] (Por axioma 2) ⇒ (a/b) · (c/d) = a[(b ⁻¹ c)d ⁻¹] (Por axioma 4) ⇒ (a/b) · (c/d) = a[( cb ⁻¹)d ⁻¹] (Por axioma 3) ⇒ (a/b) · (c/d) = a[c(b ⁻¹ d ⁻¹)] (Por axioma 2) ⇒ (a/b) · (c/d) = ( ac )(b ⁻¹ d ⁻¹) (Por Teorema VI) ⇒ (a/b) · (c/d) = ac / bd (Por definición)

24. iii ) ( a/b ) ⁻¹ = ( ab ⁻¹) ⁻¹ (Por definición) ⇒ ( a/b ) ⁻¹ = a ⁻¹(b ⁻¹) ⁻¹ (Por Teorema VI) ⇒ ( a/b ) ⁻¹ = a ⁻¹ b (Por Teorema V) ⇒ ( a/b ) ⁻¹ = ba ⁻¹ (Por axioma 3) ⇒ ( a/b ) ⁻¹ = b/a (Por definición)

25. Sean a, b ϵ tales que a > 0 y b > 0. Entonces: a ² = b ² si y sólo si a = b Demostración. ⇒ ) Si a > 0, b > 0 y a ² = b ² , entonces a = b Así que sea a > 0, b > 0 y a 2 = b 2 . Entonces a > 0, b > 0 y a ² − b ² = 0 ⇒ a > 0, b > 0 y (a − b)(a + b) = 0 (Por diferencia de cuadrados) ⇒ a > 0, b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0 (a · b = 0 ⇔ a = 0 o b = 0) ⇒ a + b > b y b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0 (Por axioma 5) ⇒ (a + b > 0 y a + b > 0 y ) o ((a − b) > 0 y a − b = 0) ⇒ a + b > 0 y a − b = 0) (Contradice la tricotomía la primera parte de la disyución ) ⇒ a − b = 0 ⇒ a = b ⇐ ) Si a > 0, b > 0 y a = b, entonces a 2 = b 2. Sean a > 0, b > 0 y a = b. Entonces a = b ⇒ aa = ab y ab = bb (Propiedad de la igualdad) ⇒ aa = bb (Propiedad de la igualdad) ⇒ a ² = b ² (Por definición) Teorema VIII

26. Si a > b, b > 0 y a 2 = b, entonces a es el único real con esta propiedad Demostración: Supongamos que existe c > 0 tal que c ² = b entonces c ² = a ² . Luego por el Teorema VIII a = c Con la solución de este Teorema se pueden dar las siguiente definición: Definición: Si a ≥ 0, b ≥ 0 y a ² = b entonces a es la raíz cuadrada de b y lo denotamos por a =√b. Si a ² = b (a ≥ 0) sabemos que −a también cumple con ( −a) ² = b, le llamamos la raíz cuadrada negativa de b. Observemos que no existe la raíz de b si b < 0. Teorema IX

27. Si a, b ≥ 0 entonces √ab = √a · √b Demostración: Como √ab cumple que (√ab) ² = ab (por la raíz cuadrada de ab) entonces ( √a √b) ² = (√a √b)(√a √b) (Por definición) ⇒ (√a √b) ² = √a √a √b √b (Por axioma 2 y 3) ⇒ (√a √b) ² = (√a) ² (√b) ² (Por definición) Teorema X

28. Los números reales no son sólo un campo, son un campo ordenado, esto quiere decir, que todos los elementos de este conjunto poseen una relación entre los demás de mayor o menor que, y esto es lo que se conoce como orden. Axiomas A diferencia de los axiomas de campo, los axiomas de orden simplemente son cuatro, pero con ellos se pueden demostrar todos los teoremas que corresponden al orden que poseen los números reales Campo ordenado de los números reales

29. Axioma 1. Ley de Tricotomía Si a, b ϵR, entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: i) a = b ii ) a < b iii ) a > b Axioma 2. Si a, b, c ϵR y a < b, b < c, entonces a < c (Ley transitiva) Axioma 3. Si a, b, c ϵR y c > 0 y a < b, entonces ac < bc (consistencia del producto respecto a la relación de orden) Axioma 4. Si a, b, c ϵR y a < b, entonces a + c < b + c (Consistencia de la suma respecto a la relación de orden)

30. Definición: + = {x ϵ |x > 0} _= {x ϵ | x < 0} + se llamará el Conjunto de los reales positivos. _ se llamará el Conjunto de los reales negativos lo anterior demuestra que + ≠ ∅ y _ ≠ ∅ y la tricotomía demuestra que: = + ∪ {0} ∪ _ Si x < y o x = y, escribiremos x ≤ y o y ≥ x De acuerdo a esta notación: Si x < y, entonces x ≤ y Si x = y, entonces x ≤ y o x ≥ y Pero si x ≤ y no necesariamente x < y y también si x ≤ y no necesariamente

31. Si a ϵ se cumple i) a > 0 ⇔ −a < 0 ii) a > 0 ⇔ a ⁻¹ > 0 Demostración. i} a > 0 ⇒ a + (−a) > 0 + (−a) (Por axioma 4) ⇒ 0 > −a (Por teorema IV) ⇒ −a < 0 ii ) Supongamos que: a > 0 ∧ a⁻¹≤ 0 Si a > 0 ∧ a ⁻¹ < 0 ⇒ a · a ⁻¹ < 0 · a (Por axioma 3) ⇒ 1 < 0! Si a > 0 ∧ a ⁻¹ = 0 ⇒ a · a ⁻¹ = 0 · a (Por axioma 3) ⇒ 1 = 0! Entonces por 1 solo queda que a > 0 ∧ a ⁻¹ > 0 Teorema 1

32. Sean x, y ϵ −{0}. Entonces x y y tienen signos iguales si i) x, y ϵ + o ii ) x, y ϵ _ Pero en caso que: i) x ϵ + y y ϵ _ o ii ) x ϵ _ y ϵ + Se dirá que x y y tienen signos contrarios o distintos Definición

33. Si a,b ϵ , se cumple: i) a < b ⇔ −b < −a ii ) Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b ⇔ b⁻¹ < a⁻¹ Demostración.: i)⇒) a < b ⇒ (−a) + a < (−a) + b (Por axioma 5) ⇒ 0 < (−a) + b ⇒ −b + 0 < ((−a) + b) + (−b) (Por axioma 5) ⇒ −b < −a ⇐) − b < −a ⇒ −b + b < −a + b (Por axioma 5) ⇒ 0 < −a + b ⇒ a + 0 < a + ((−a) + b) (Por axioma 5) ⇒ a < b Teorema 2

34. ii ) ⇒) Si a, b tienen el mismo signo y a<b, entonces ab ϵ + y a < b ⇒ (ab) ⁻¹ ϵ + y a < b (Por teorema 1) ⇒ a ⁻¹ b ⁻¹ ϵR+ y a < b (Por teorema VI) ⇒ (a ⁻¹ b ⁻¹)a < (a ⁻¹ b ⁻¹)b (Por consistencia del producto) ⇒ b ⁻¹ < a ⁻¹ ⇐) Ahora si a, b tienen igual signo y b ⁻¹ < a ⁻¹, entonces a ⁻¹, b ⁻¹ tienen el mismo signo y b ⁻¹ < a ⁻¹ (Por teorema 1) ⇒ (a ⁻¹) ⁻¹ < (b ⁻¹) ⁻¹ ⇒ a < b

35. Si a, b, c, d ϵ , se cumple: i) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d ii ) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces ac < bd Demostración: i) Si a < b y c < d ⇒ a + c < b + c y b + c < d + b (Por axioma 4) ⇒ a + c < b + d ii ) 0 < a < b y 0 < c < d ⇒ ac < bc y bc < bd (Por axioma 3) ⇒ ac < bd (Por transitividad) Teorema 3

36. Si a,b ϵ +, entonces a < b ⇔ a ² < b ² Demostración: ⇒) a < b ⇒ a · a < b · b (Por teorema 3) ⇒ a² < b² ⇐) Supongamos que a² < b² ∧ a ≥ b ⇒ a ² < b ² ^ (a > b ѵ a = b) ⇒ (a ² < b ² ^ a > b) ѵ (a ² < b ² ^ a = b) ⇒ (a ² < b ² ^ a ² > b ² ) ѵ (a2 < b ² ^ a ² = b ² ) Pero por el axioma 1 ninguna de las condiciones que se puede cumplir, as que solo queda: a² < b² ⇒ a < b Teorema 4

37. Si b ϵ +, entonces i) a² < b ⇔ −√b < a <√b ii ) b < a ² ⇔ √b < a o √b < −a Demostración: i) Caso 1: Sea a = 0 entonces claramente la proposición se cumple ya que < b y −√b < 0 < √b Caso 2: a ² < b, a < 0 y bϵR + ⇒ a ² < b = √b √b = (√b) ² ⇒ a < √b (Por teorema 4) Como a > 0 > −√b ⇒ a > −√b Entonces a ² < b ⇔ −√b < a < √b Caso 3: Si a < 0 ∧ a ² < b entonces como √b > 0 y 0 > a se tiene que a < 0 ⇒ −a > 0 ∧ (−a) ² < b ⇔ (−a) ² < (√b) ² ⇔ −a < √b ⇔ a > −√b Teorema 5

38. ii ) Caso 1: Si a = 0 la bicondicional es verdadera porque a² > b es falsa y a >√b ∨ a < −√b también es falsa Caso 2: Si a > 0 a ² > b ⇔ a ² > (√b) ² ⇔ a > √b (Por el teorema 4) Caso 3: Si a < 0 entonces a ² > b ⇔ (−a) ² > (√b) ² ⇔ −a > √b (Por el teorema 4) ⇔ a < −√b (Por el teorema 3)

39. Dado x ϵ , el valor absoluto de x, el cual denotaremos como |x|, se define de la forma siguiente: |x| = 1.- x, x ≥ 0 (1) 2.- −x, x < 0 (2) De la definición de |x| obtenemos inmediatamente las siguiente propiedades i) ∀x ϵ , |x| ϵ ii ) ∀x ϵ , |x| ≥ 0 Definición

40. Si x ϵ , entonces i) x ≤ |x| ii ) −x ≤ |x| Demostración: i) Sea x ϵ , entonces x ≥ 0 ó x < 0 Si x ≥ 0, entonces |x| = x, entonces x ≤ |x| Si x < 0, entonces −x > 0 y |x| ≥ 0 ⇒ |x|−x ≥ 0 ⇒ |x| ≥ x, por lo tanto ∀x ϵ , x ≤ |x| ii ) Sea x ϵ , entonces x ≥ 0 o x < 0 Si x ≥ 0, entonces −x ≤ 0 ∧ |x| > 0 ⇒ −x < |x| Si x < 0, entonces −x > 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x ≤ |x| Teorema 6

41. Si x ϵ , entonces −|x| ≤ x ≤ |x| Demostración: Ahora, si |x| = 0, entonces − |x| ≤x ≤ |x| entonces - 0 ≤ x ≤ 0, entonces x = 0 y como por definición si x = 0, entonces |x| = 0 Teorema 7

42. Sean a, c ϵ , entonces: |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c Demostración: Caso 1: c < 0. Entonces como ∀aϵ |a| ≥ 0, se tiene que |a| ≤ c < 0 no se cumple, y 0 ≤ −c ≤ a ≤ c < 0, luego 0 < a < 0 lo cual es falso. Por lo tanto si c < 0 la bicondicional es verdadera. Caso 2: c ≥ 0 ⇒ ) |a| ≤ 0 ∧ a ≥ 0 ∧ −c ≤ 0 ≤ a ⇒ −c ≤ a. Además |a| = a ≤ c ⇒ −c ≤ a ≤ c Si |a| ≤ c ∧ a < 0 ⇒ −a = |a| ≤ c ⇒ −c ≤ a Ademas a < 0 ∧ 0 ≤ c entonces a < c Luego −c ≤ a ≤ c ⇐ ) −c ≤ a ≤ c ∧ a ≥ 0 ⇒ |a| = a ≤ c ⇒ |a| ≤ c −c ≤ a ≤ c ∧ a < 0 ⇒ |a| = −a ≤ c (Por teorema 2) Teorema 8

43. Sean a, c ϵ , entonces: |a| ≥ c ⇔ a ≥ c o − a ≥ c Demostración: Una proposición equivalente a la que queremos demostrar es : ￢(|a| ≥ c) ⇔ ￢(a ≥ c o − a ≥ c) es decir, |a| < c ⇔ (a < c y − a < c) o sea |a| < c ⇔ −c < a < c pero esto ya se ha demostrado en el teorema anterior que si se cumple as que con esto queda demostrado el teorema. Teorema 9

44. ∀x, y ϵ |x + y| ≤ |x| + |y| Demostración: − |x| ≤ x ≤ |x| y − |y| ≤ y ≤ |y| (Por el teorema 7) −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| (Por el teorema 3) ⇔ |x + y| ≤ |x| + |y| (Por teorema 8) Teorema 10

45. Como se ha visto las propiedades que poseen los números reales son muy diversas, y es posible que algunas sean complicadas, o demostrar que cumplen esa propiedades es un poco más difícil, pero esas reglas han sido de gran utilidad para que el hombre haya podido trabajar cómodamente con ellos. También por cumplir con las reglas de campo y las de orden, los números reales se les denomina un campo ordenado. Otro punto que también se pudo reconocer es que en las matemáticas existen reglas que simplemente se cumplen sin la necesidad de demostrarla, y que gracias a esas reglas pudo ser posible que los grandes matemáticos desarrollaran las propiedades que poseen y que nos sirven para entenderlos mejor. Conclusión

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