Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu 1 2024.pptx

hi

1. Bab 4. Aplikasi Integral Tertentu MATEMATIKA ITS  

2. MATEMATIKA ITS 2 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu Bab 4 . APLIKASI INTEGRAL TERTENTU   4 .1 Luas Antara Dua Kurva 4 .2 Menghitung Volume dengan Metode Irisan dan Metode Cakram 4 .3 Menentukan Volume dengan Metode Cincin Silinder 4.4 Panjang Kurva pada Bidang 4.5 Luas Permukaan Benda Putar 4.6 Titik Berat ( Pusat Massa, Centroid) 

3. MATEMATIKA ITS 3 4 .1 Luas Antara Dua Kurva                                         Bagi daerah sebanyak n pias dengan lebar Ambil satu pias . Luas Luas dataran dibawah kurva dinyatakan oleh jumlahan Rieman : Jika maka jumlahan Rieman dapat dinyatakan :   Misalkan dibatasi dengan dan sumbu x yang diperlihatkan pada gambar dibawah ini .                 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

4. MATEMATIKA ITS 4   Luas bidang datar dibatasi oleh ; dan sumbu y .             Bentuk rumus Luas bidang datar dengan batasan yang lain Luas bidang datar dibatasi oleh : ;                 Luas bidang datar dibatasi oleh : ;                 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

5. MATEMATIKA ITS 5 Contoh 1. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x . Jawab .             Cara lain ( arah ke dy ) Ubah fungsi kareana fungsi sebelah kanan,diambil yang positip , jadi : . Daerah dibatasi oleh sisi kanan dan sisi kiri Batas integral y = 0 sampai dengan y = 4   4 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

6. MATEMATIKA ITS 6 2. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x . Jawab .             Cara lain ( arah ke dy ) Ubah fungsi fungsi sebelah kanan , sebelah kiri , Batas integral y = 0 sampai dengan y = 4       Karena daerah simetri maka :   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

7. MATEMATIKA ITS 7 3. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh Jawab .           Arah : Fungsi bag. atas , fungsi bag. bawah   Titik Potong       Arah : Fungsi bag. kanan , fungsi bag. Kiri   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

8. MATEMATIKA ITS 8 4. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x di Kuadran I Jawab .           Arah Ada 2 daerah yaitu :               Titik Potong   Arah   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

9. MATEMATIKA ITS 9 5. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x Jawab .       Titik Potong   Arah Ada 2 daerah yaitu :       Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

10. MATEMATIKA ITS 10 5. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x Jawab .       Ubah fungsi kanan fungsi kiri Batas integral:   Arah       Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

11. MATEMATIKA ITS 11 6. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh Jawab .     Arah Fungsi atas , fungsi bawah :   Titik Potong         Arah dy  sulit Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

12. MATEMATIKA ITS 12 4 .2 Menghitung Volume dengan Metode Irisan dan Metode Cakram Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap sumbu x                           Bagi luas bidang tersebut menjadi potongan kecil ( pias ) sebanyak n ( Gambar 1), ambil satu pias yaitu diputar terhadap sumbu x benda putar tersebut berbentuk cakram / tabung berisi ( Gambar 2). Volume cakram adalah :   Gambar 1 Gambar 2 Dalam hal ini Tebal pias : Jari – jari putar ( r ) : Volume :   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

13. MATEMATIKA ITS 13       Jika banyaknya pias mendekati tak hingga , maka , volume mendekati bentuk cakram yang sangat tipis sehingga volume seluruh bidang datar diputar terhadap sumbu x merupakan jumlahan Rieman :     Volume benda putar jika dataran yang dibatasi oleh; dan sumbu x diputar terhadap sumbu x dinyatakan sebagai :     Volume seluruhnya : Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

14. MATEMATIKA ITS 14           Selanjutnya dengan cara yang sama didapatkan : Volume benda putar jika dataran yang dibatasi oleh; dan sumbu x diputar terhadap sumbu y dinyatakan sebagai :     Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

15. MATEMATIKA ITS 15           Jika dataran dibatasi oleh : dan sumbu x diputar terhadap sumbu x maka Volume benda putar dinyatakan sebagai :                   Jika dataran dibatasi oleh : dan sumbu y diputar terhadap sumbu y maka Volume benda putar dinyatakan sebagai :     Jika bidang datar diputar terhadap sumbu x atau y beririsan / menumpuk maka volume tidak dapat ditentuan dengan rumus-rumus yg didapatkan Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

16. MATEMATIKA ITS 16 Volume benda putar jika dataran yang dibatasi oleh : dan sumbu x diputar terhadap sumbu x               Volume benda putar jika dataran yang dibatasi oleh : dan sumbu x diputar terhadap sumbu y             Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

17. MATEMATIKA ITS 17 Contoh 1. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x diputar terhadap sumbu x dan sumbu y Jawab .             Diputar terhadap sumbu x         Diputar terhadap sumbu y Volume yang dicari adalah : Batas integral       Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

18. MATEMATIKA ITS 18 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap sumbu x dan sumbu y Jawab .           Diputar terhadap sumbu x Fungsi bag. atas , fungsi bag. bawah   Titik Potong       Diputar terhadap sumbu y Fungsi bag. kanan , fungsi bag. kiri   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

19. MATEMATIKA ITS 19 3. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x di Kuadran I diputar terhadap : sumbu x dan sumbu y Jawab .           Diputar terhadap sumbu x Ada 2 daerah yaitu :               Titik Potong   Diputar terhadap sumbu y   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

20. MATEMATIKA ITS 20 4. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh dan sumbu x diputar terhadap sumbu x dan sumbu y Jawab .       Diputar sumbu x       Titik Potong   Diputar sumbu y Tidak bisa karena bidang datar menumpuk Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

21. MATEMATIKA ITS 21 Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap garis y = p   Volume Benda Putar Diputar Terhadap Garis y = p dan y = - q Metode Cakram             Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap garis y = - q       Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

22. MATEMATIKA ITS 22 Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap garis x = r   Volume Benda Putar Diputar Terhadap Garis x = r dan x = - s Metode Cakram Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap garis y = - q                   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

23. MATEMATIKA ITS 23 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap garis x = 3, x = -1 dan garis Jawab .           Titik Potong       Diputar terhadap garis x = 3         Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

24. MATEMATIKA ITS 24 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap garis x = 3, x = -1 dan garis Jawab .           Titik Potong       Diputar terhadap garis x = 3         Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

25. MATEMATIKA ITS 25 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap garis x = 3, x = -1 dan garis Jawab .           Titik Potong       Diputar terhadap garis y = 4       Diputar terhadap garis y = -2     Diputar terhadap garis y = 4     Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

26. MATEMATIKA ITS 26 Misal dataran yang dibatasi oleh dan sumbu x pada gambar dibawah ini diputar terhadap sumbu x   Bagi luas bidang tersebut menjadi potongan kecil ( pias ) sebanyak n ( Gambar 1), jika Gambar 1. diputar terhadap sumbu y maka bentuk dari benda putar diperlihatkan pada Gambar 2 dimana tengahnya berlubang . Gambar 1 4.3 Volume Benda Putar Metode Cincin Silender Gambar 2 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

27. MATEMATIKA ITS 27 Ambil satu pias yang dibatasi oleh dan sumbu x yang ditunjukkan pada Gambar 3 dan diputar terhadap sumbu y , hasil benda putar ditunjukkan pada Gambar 4   Gambar 3 Gambar 4 Gambar empat merupakan silender yang tengahnya berlubang Dengan : Tebal silender : Jari-jari putar luar : Jari-jari putar dalam : , Tinggi silender Volume silender   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

28. MATEMATIKA ITS 28 Volume seluruhnya adalah jumlahan dari volume seluruh pias yang dinyatakan dengan Jika maka volume seluruhnya dinyatakan : Yang merupakan jumlahan Rieman dan dinyatakan dalam bentuk integral: Catatan merupakan jari – jari sumbu putar   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

29. MATEMATIKA ITS 29 Contoh 1. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap sumbu x dan sumbu y Jawab .               Diputar terhadap sumbu y     Diputar terhadap sumbu x     Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

30. MATEMATIKA ITS 30 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap garis x = 3 dan garis x = -1 Jawab .               Metode Cincin Silinder : Diputar terhadap garis     Metode Cakram : Diputar terhadap garis     Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

31. MATEMATIKA ITS 31 2. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap garis x = 3 dan garis x = -1 Jawab .           Metode Cakram Diputar terhadap garis       Metode Cincin Silinder Diputar terhadap garis         Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

32. MATEMATIKA ITS 32 Contoh 3. Tentukan volume benda putar jika bidang datar yang dibatasi oleh diputar terhadap sumbu x, sumbu y ( metode cakram dan cincin silender ), garis x = 3 dan Jawab .   Titik potong Mengubah fungsi , fungsi sebelah kanan , fumgsi sebelah kiri                 Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

33. MATEMATIKA ITS 33               Volume benda dataran diputar terhadap sb x Metode Cakram Volume benda dataran diputar terhadap sb x Metode Cincin Silender Volume benda dataran diputar terhadap sb y Metode Cakram Volume benda dataran diputar terhadap sb y Metode Cincin Silender           Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

34. MATEMATIKA ITS 34           Diputar terhadap garis       Diputar terhadap garis                   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

35. MATEMATIKA ITS 35           Diputar terhadap garis         Diputar terhadap garis                     Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

36. MATEMATIKA ITS 36       Diputar terhadap garis       Diputar terhadap garis                           Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

37. MATEMATIKA ITS 37       Diputar terhadap garis                 Diputar terhadap garis   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu

38. MATEMATIKA ITS 38   Daryono, Kalkulus 2 : Bab 4 Aplikasi Integral Tertentu