BARISAN DAN DERET konsep matematika dasar

BARISAN DAN DERET konsep matematika dasar

1. M A T E M A TI K A E K O N O M I

2. BARIS DAN DERET Pengertian Baris dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah: a 1 , a 2 , a 3 , . . . . . a n D i m a n a : s u k u k e 1 = S 1 = a 1 D i m a n a : s u k u k e 2 = S 2 = a 2 D i m a n a : s u k u k e 3 = S 3 = a 3 Baris di atas dapat disimbolkan dengan [a n ], sehingga kalau ditulis lagi d e n g a n l e n g k a p m e n j a d i : Suatu baris yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan baris tak terhingga. Sedangkan baris yang banyaknya s u k u t e r t e n t u d in a m a k a n b a r is t e r h in gg a .

3. BARIS DAN DERET Baris hitung adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. J a d i , s u a t u b a r i s = a 1 , a 2 , a 3 , . . . . . A n akan disebut dengan baris hitung apabila a 2 - a 1 = b a 3 - a 2 = b a 4 - a 3 = b ... a n - a n - 1 = b di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif. Contoh: a . [ n ] = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . . n b = S n - S n - 1 = 1 b . [ 5 n ] = 5 , 1 , 1 5 , 2 , . . . 5 n b = S n - S n - 1 = 5 c . [ 1 2 - 2 n ] = 1 , 8 , 6 , 4 , .... ( 1 2 - 2 n ) b = S n - S n - 1 = - 2

4. BARIS DAN DERET Baris ukur adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang sama besarnya. Jadi untuk baris : [ a n] = a 1 , a 2 , a 3 , . . . . . a n a k a n dis e b ut s e b a g a i b a r is u k ur ji k a S 2 / S 1 = p S 3 / S 2 = p ... S n / S n - 1 = p di mana p merupakan nilai banding ( ratio) yang besarnya tetap dan dapat b e r t a nda posi t if a t a u n e g a t i f . C o n t o h 2 .8 : a . [ a p n - 1 ] = a , a p , a p 2 , . . . , a p n - 1 b . [5 . 2 n - 1 ] = 5 , 10 , 20 , 40 , .... , 5 ( 2 n - 1 )

5. Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah, maka jumlah tersebut dinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua suku suatu baris. BARISAN DAN DERET

6. S e c a r a u m u m s u a t u d e r e t d a p a t d i t u lis s e b a g a i : J n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . . + a n Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda Σ dan dibaca " sigma ", sehingga deret dapat ditulis menjadi : ∑ 𝑛 1 𝑎 i dan untuk deret tak hingga ∑ ∞ 1 𝑎 i i= i= Apabila a adalah suku pertama suatu baris dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung: s u k u p e r t a m a = a s u k u k e d u a = a + b s u k u k e t i g a = a + 2 b s u k u k ee mpa t = a + 3 b ..... s u k u k e n = a + ( n - 1 ) b = S n

7. J a di su k u k e n su a t u b a nj a r h i t un g , di t e n t u k a n ol e h S n = a + ( n - 1 ) b Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: J = ½ n ( s + S n ) di m a na : n = b a n y a k n y a su k u a = su k u p e r t a m a S n = su k u k e n Contoh: Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku p e r t a m a n y a = 1 d a n b e da = 2 ad a l a h S n = a + (n - 1)b = 1 + (7 - 1)2 = 13 Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah: J = ½ n ( s + S n ) = ½ 7 ( 1 + 13 ) = 49

8. Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai oleh banjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan. Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p, maka secara matematis dapat ditulis: su k u p e r t a m a = a su k u k e dua = a p su k u k e ti g a = a p 2 ... su k u k e n = a p n - 1 = S n Jadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh S n = ap n-1 Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus

9. Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinya p = 2 , m a k a b e s a r n y a su k u k e 5 ad a l a h : S n = a p n - 1 S 5 = 1(2 5 - 1 ) = 16 d a n ju m l a h 5 su k u n y a ad a l a h :

10. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I B u n g a P i n j a m a n Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah p dengan bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun, maka besarnya bunga yang harus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman d a n b un ga d a n l a m a m e m i n j a m , a t a u I = P.r.t

11. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I CONTOH Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen? Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau waktu peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman: I = P . r . t = 2 . 500 ( , 1 4 ) ( 2 / 3 ) = 23 3 , 33 Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, atau R p 2 . 50 , - + R p23 3 , 33 = R p 2 . 73 3 , 33

12. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I Nilai Sekarang Nilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r, maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiah I = P.r.t adalah: d a n u a ng s e t e l a h t t a h un m e nj a di : P + P . r . t = P ( 1 + r t ) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka P (1 + r t ) = A atau

13. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I CONTOH Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,00. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? Dalam masalah ini, A = 10 . 00 , - r = , 13 d a n t = 1

14. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I Bu n ga M a j e m u k Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah satu ta h u n i a m e n d a p a t k a n b un ga s e be s a r : b un ga ta h u n p e r ta m a = P .i B un ga d a n p o k o k p i n j a m a n p a d a a k h i r ta h u n m e n j a d i : P + P .i = P ( 1 + i ) Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir ta h u n k e d u a b un ga y a n g d i te r i m a s e be s a r : P ( 1 + i )( i ) Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi ; P ( 1 + i ) + P ( 1 + i )( i ) = P ( 1 + i )( 1 + i ) ⚫ = P ( 1 + i ) 2

15. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I B u n g a M a j e m u k Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun. Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i pertahun, maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh uangnya menjadi: Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah u a ng t e r s e b ut s e t e l a h 6 t a h un ? P = 1 . 000, i = 5 % = , 05 , m = 1 , d a n n = 6. J u m l a h u a n g n y a s e t e l a h 6 t a h un m e nj a d i :

16. A P L I K AS I D A L A M B I D A N G E K O N O M I M o d e l P e r t u m b uh a n P e n d u d u k Kegunaan model pertumbuhan penduduk ini adalah untuk penaksiran jumlah p e ndudu k . R u m us n y a ad a l a h : Pt = P1 . R t - 1 D i m a na R = 1 + r Contoh Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5% berapa ju m l a h 11 t a h un k e m udi a n Penyelesaian P2006 = p16 = 1000.000 (1+0,4) 15 = 1.800.943 jiwa P11tahun kemudian = 1.800.943 (1+0,25) 10 = 2.305.359 jiwa

17. TERIMA KASIH