Bases de hormigón armado

1

Instituto de Mecánica Estructural
y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN I
unidad 9:
BASES DE HORMIGÓN ARMADO.
Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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CONTENIDO.
9.1 GENERALIDADES.
9.2 CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y PROFUNDAS. INDI VIDUALES Y COMBINADAS.
9.3 COMPORTAMIENTO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES .
9.3.1 CURVA PRESIÓN DEFORMACIÓN.
9.3.2 CRITERIOS DE PROYECTO.
9.3.2.1 RESTRICCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS.
9.3.2.2 PRESIONES DE CONTACTO.
9.3.2.2.1 ZAPATAS RÍGIDAS.
9.3.2.2.2 ZAPATAS FLEXIBLES. PLATEAS. MODELACIÓN DE L SUELO.
9.3.2.2.3 CRITERIOS DE MODELACIÓN ANTE ACCIONES HOR IZONTALES.
9.3.2.3 ASENTAMIENTO ADMISIBLE.
9.4 CRITERIOS DE DISEÑO EN FUNCIÓN DE CARGAS Y RE SISTENCIAS DEL SUELO.
EVALUACIÓN DE LAS PRESIONES.
9.5 ZAPATAS AISLADAS PARA COLUMNAS SOMETIDAS A C ARGAS CENTRADAS.
9.5.1. GENERALIDADES.
9.5.2 ÁREA DE CONTACTO.
9.5.3 DISEÑO Y VERIFICACIÓN A CORTE O PUNZONADO.
9.5.3.1. INTRODUCCIÓN.
9.5.3.2 ACCIÓN DE VIGA.
9.5.3.3 ACCION EN DOS DIRECCIONES.
9.5.3.4 DISEÑO A FLEXIÓN.
9.5.3.5 TRANSFERENCIA DE FUERZAS EN LA BASE DE LA C OLUMNA.
9.5.3.6 ANLAJES, EMPALMES.
9.6. ZAPATAS PARA MUROS.
9.7. ZAPATAS COMBINADAS.
9.7.1 INTRODUCCIÓN.
9.7.2 ZAPATAS PARA DOS COLUMNAS.
9.7.3 ZAPATAS CON VIGAS DE AMARRE.

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9.8. ZAPATAS RÍGIDAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE.
9.8.1 INTRODUCCIÓN.
9.8.2 COMPORTAMIENTO DE CONEXIONES LOSA-COLUMNA TRA NSFIRIENDO
CORTE Y MOMENTO NO BALANCEADO.
9.8.3 PROCEDIMENTO DEL ACI-318.
9.9. BIBLIOGRAFÍA.

Filename Emisión Revisión 1 Revisión 2 Observacione s
FUNDACIONES.doc Febrero 2004 Septiembre 2007
Páginas 69 70

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A manera de prólogo:

Antes de comenzar con este capítulo es importante reflexionar sobre algunas
consideraciones que hace Karl Terzaghi, considerado el padre de la Mecánica de
Suelos. Si bien en la cátedra Hormigón I el objetivo es la introducción al diseño de
hormigón armado de las fundaciones, partiendo ya de l conocimiento de las
características del suelo, es necesario reconocer que hay muchas limitaciones y
aproximaciones en los resultados que el diseñador contará al momento de tomar
decisiones. No se trata de buscar sofisticaciones, sino de aplicar los conceptos en la
forma más simple y racional posible.

Terzaghi Quotes

Sayings by Karl Terzaghi (1883-1963), the father of Soil Mechanics. The sayings are excerpts
from the biography of Karl Terzaghi, written by Prof. D. Goodman, titled "Karl Terzaghi, the
engineer as artist" and published by ASCE editions.
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Unfortunately, soils are made by nature and not by man, and the products of nature are always
complex As soon as we pass from steel and concrete to earth, the omnipotence of theory
ceases to exist. Natural soil is never uniform. Its properties change from point to point while
our knowledge of its properties are limited to those few spots at which the samples have been
collected. In soil mechanics the accuracy of computed results never exceeds that of a crude
estimate, and the principal function of theory consists in teaching us what and how to observe
in the field.

When utilizing past experience in the design of a new structure we proceed by analogy and no
conclusion by analogy can be considered valid unless all the vital factors involved in the cases
subject to comparison are practically identical. Experience does not tell us anything about the
nature of these factors and many engineers who are proud of their experience do not even
suspect the conditions required for the validity of their mental operations. Hence our practical
experience can be very misleading unless it combines with it a fairly accurate conception of the
mechanics of the phenomena under consideration.

Once a theory appears on the question sheet of a college examination, it turns into
something to be feared and believed, and many of the engineers who were benefited by a
college education applied the theories without even suspecting the narrow limits of their
validity.

Any attempt to stop the settlement without making the proposed preliminary investigation
would be an irresponsible gamble. Since I have witnessed many gambles of this kind I can state
from personal experience that the savings associate with inadequate preliminary investigations
are entirely out of proportion to the financial risks.

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These government organizations have a great reluctance to carry responsibilities; they always
want to be covered by something, and a factor of safety-that is something tangible. So when the
general asks the captain: How about the factor of safety of the dam?-1.51 [is the answer] and
then he is happy

The one thing an engineer should be afraid of is the development of conditions on the job
which he has not anticipated. The construction drawings are no more than a wish dream. I have
the impression that the great majority of dam failures were due to negligent construction and
not to faulty design.

Soil Mechanics arrived at the borderline between science and art. I use the term art to
indicate mental processes leading to satisfactory results without the assistance of step-for-step
logical reasoningto acquire competence in the field of earthwork engineering one must live
with the soil. One must love it and observe its performance not only in the laboratory but also in
the field, to become familiar with those of its manifold properties that are not disclosed by
boring records

4th International Congress on Soil Mechanics, England, 1957

I produced my theories and made my experiments for the purpose of establishing an aid in
forming a correct opinion and I realized with dismay that they are still considered by the
majority as a substitute for common sense and experience.

When Yves Lacroix asked Terzaghi how much time he ought to spend on writing his report, he
got the following advice:

Spend on it as much time as necessary to inform the reader with as few words as practicable
about all the significant findings and about the essential features of the construction operations
which have been performed

Proving the old adage that results depend not on the perfection of the equipment but on the
truth of the proposition The simper and cheaper the apparatus, the better it expresses the
purpose and accordingly one can gain insight into a process being investigated, approving or
rejecting and postulating anew, without wasting time and money. Costly, sensitive instruments
belong to the situation where one already has a clear hold of the natural phenomena and where
there is value in obtaining refined numbers. When one begins experiments with costly
apparatus, he becomes a slave to that apparatus and the experiment, rather than serving to
establish the truthfulness of a valuable idea, serves merely to establish a fact-but never to
establish a law.

Theory is the language by means of which lessons of experience can be clearly expressed.

Theory -and even very rigorous theory- is required for training and developing our capacity
for correctly interpreting what we observe; but at the same time, with theory alone we could not
accomplish anything at all in the field of earthwork engineering, an the more plain facts we can
accumulate, the better. I always lose my temper with people who think they have grasped the
very core of the substance after they have succeeded in representing some artificially simplified
phase of it by means of complicated triple integrals; while at the same time, they have forgotten
how the soil really looks. Keen observation is at least as necessary as penetrating analysis

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9.1. GENERALIDADES
Prácticamente todas las superestructuras, sean de edificios, puentes, túneles,
carreteras, muros, torres, canales, diques, etc., necesitan transmitir sus esfuerzos al
terreno. La subestructura o cimentación es aquella parte de la estructura que estando
en la misma superficie del suelo o dentro del mismo transfiere las cargas al suelo
adyacente. Con superestructura en general se designa a toda parte de la estructura
que no corresponde al sistema de fundación. Sin embargo, debe tenerse mucha
precaución al usar los términos pues en realidad la estructura es una sola, las
fundaciones son parte de ellas y como tal se las debe considerar desde el mismo
inicio del proceso de diseño. Si el proyectista no considera la forma en que va a
transmitir las cargas y acciones, sísmicas incluidas, desde el planteo inicial estructural
global, las hipótesis planteadas en la superestructura podrían resultar poco válidas y
podría ser necesario una reformulación de todo lo proyectado. Por ejemplo, la rigidez
de las fundaciones ante acciones sísmicas es un requisito fundamental a ser evaluado
al menos en forma cualitativa o conceptual antes de asignar acciones y diseñar los
elementos.
El suelo en sí mismo es una estructura, la cual se deforma e interactúa con las
fundaciones y construcciones que sobre ella descansan. En general, son raras las
fallas de fundaciones por cargas verticales, y cuando ocurren no suelen ser
espectaculares ni repentinas. Han ocurrido casos de asentamientos que se traducen
en agrietamientos en la superestructura. Esto lleva a detectarlas y si es posible
repararlas, con ciertos costos que pueden ser importantes. Sin embargo, cuando en
zonas sísmicas las fundaciones no han sido correctamente diseñadas y detalladas, las
mismas pueden conducir a la falla total de la construcción. Las Figs. 9.1 y 9.2
muestran dos casos de viviendas que aún siendo livianas sus fijaciones al suelo
fueron subestimadas y las llevaron al colapso durante el terremoto de Northridge del
17 Enero de 1994.

Fig.9.1. Falla en una vivienda de madera Fig. 9.2. Este edificio de departamentos tuvo
que no fue correctamente anclada en una falla por piso flexible pero además las
sus fundaciones. Terremoto de Northridge fundaciones eran deficientes.
17 Enero 1995.

Cuando la estructura del suelo mismo reúne ciertas características como la de
ser granular de cierta finura y suelto, ante la presencia de agua puede saturarse
resultando en lo que se llama licuación o licuefacción del suelo que lo lleva a la

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pérdida de su capacidad portante con consecuencias como las que se muestra en la
Fig. 9.3.

Fig. 9.3.
Inclinación de Edificios de
departamentos como cuerpos
rígidos durante el terremoto de
Niigata, Japón, 1964. Si el suelo
consiste de materiales granulares
sueltos la tendencia a la
compactación resulta en el
desarrollo de un exceso de presión
hidrostática de poros o
intersticiales que causa la pérdida
casi total de la capacidad de
resistencia al corte del suelo y por
ello de su capacidad portante.

Las normas en general piden que se verifiquen si pueden existir condiciones de
suelos dinámicamente inestables para evitar estas graves consecuencias.
Una ubicación inadecuada de la construcción puede llevar a una falla
espectacular como la derivada del deslizamiento del suelo con arrastre de lo que
soporte como el caso que se
muestra en la Fig. 9.4, ocurrido
durante el sismo de Northridge
antes mencionado.
Como se dijo, el suelo es
una estructura y se deforma. El
problema funda-mental a resolver
con las fundaciones es que por un
lado el asentamiento total de la
estructura esté limitada a una
cantidad pequeña y tolerable (se
verán más adelante ciertos
criterios) y por otro a que se traten
de minimizar o eliminar los
asentamientos diferenciales entre
las distintas partes de la estructura.
Por ello entonces es necesario
transmitir la carga a un estrato de
suelo con cierta rigidez y
resistencia y por otro distribuir la
carga sobre un área
suficientemente grande para
minimizar las presiones de
contacto y reducir las
deformaciones.

Fig.9.4. Deslizamiento de tierra y colapso consecuente de parte de una vivienda durante Northridge,
1995.

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Cuando las condiciones del suelo de fundación no son buenas o por razones
económicas o de falta adecuada de estudios no se detectan las falencias del terreno,
se pueden producir asentamientos muy importantes con daños sobre las estructuras
que soportan. Quizás el caso más clásico de malas condiciones de cimentación sea el
de la Ciudad de México. Por ejemplo, el edificio del palacio de Bellas Artes, que se
muestra en la Fig. 9.5, se mantiene en servicio, pero se ha hundido más de 3.50
metros respecto al terreno circundante. Quienes antes tenían que subir escaleras para
ir a planta baja ahora las tienen que bajar. El valor de los asentamientos depende de
las condiciones de diseño. Tal vez sean tolerables asentamientos de varias decenas
de centímetros en caso de estructuras flexibles como depósitos o en terraplenes, pero
otras veces desplazamientos de décimas de milímetro pueden ser inadmisibles para
estaciones de radar o apoyos de equipamiento de transmisión de rayos en centrales
nucleares.

Fig. 9.5.
Palacio de Bellas Artes, Ciudad de México.
Tomada de Ref.[1]. El asentamiento
diferencial de 2.0 m entre la calle y el edificio
de la derecha hizo preciso construir una
escalinata a la que se le iban agregando
peldaños según progresaban los
asentamientos. El hundimiento general en
esta parte de la ciudad alcanza los 7 m.

9.2 CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y PROFUNDAS. INDIVI DUALES Y
COMBINADAS.

Cuando el terreno firme está próximo a la superficie, se puede adoptar una
cimentación superficial, sea para transmitir al suelo cargas de columnas o muros. La
Fig. 9.6 muestra en forma esquemática el esquema para un edificio. Antiguamente se
empleaban como zapatas entramados de madera o metal, capas de grava, etc., pero
actualmente las zapatas son casi siempre de hormigón armado.

Fig. 9.6.
Esquema de Edificio fundado con cimentación
superficial.

Si el terreno firme no está próximo a la superficie, un sistema muy utilizado para
transferencia de esfuerzos al suelo es el de cilindros, pilotes, cajones, pozos de
fundación, etc. Un esquema se muestra en la Fig. 9.7. En general se designa con
pilotes a las estructuras generalmente cilíndricas que se hincan por golpeo o martilleo.

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En nuestro medio es común el uso de cilindros o pozos colados in situ, de diámetro
necesario para ser excavado por pozeros, del orden de 1.0 metro, con
ensanchamiento, si el terreno lo permite, en la base para lograr mayor superficie de
apoyo, y que dependiendo del tipo de terreno pueden trabajar de punta y/o por fricción
lateral en la superficie de contacto. En ciertos sectores de la ciudad de Mendoza se
han debido utilizar pozos de fundación de alrededor de 15 metros de profundidad
dependiendo del sector involucrado y las cargas a transmitir.

Fig.9.7.
Esquema de Edificio con fundación profunda a través de
pilotes que atraviesan el manto de suelo blando y se
introducen y apoyan en el manto de suelo firme. En
Mendoza es común el uso de pozos excavados a mano a
cielo abierto, en mantos arcillosos, de diámetro cercano a
1.0 m y ensanche en la base. La excavación es a mano
por razones de costo. En otros países, donde la mano de
obra es cara, el desarrollo de máquinas adecuadas para
practicar los agujeros ha substituido el procedimiento
manual. La misma técnica es utilizada en los pozos a cielo
abierto para estudio de suelos.

Las cimentaciones superficiales pueden ser individuales o combinadas. Pueden
además ser corridas bajo un muro. Las zapatas individuales son por lo general
cuadradas, pero en muchos casos resultan rectangulares por necesidad de proyecto.
Para columnas exteriores que se deban ubicar en el límite de terrenos linderos el uso
de bases aisladas presenta la dificultad de excentricidades por lo que se suelen utilizar
zapatas combinadas como se muestra en la Fig. 9.8. Se verá su solución más
adelante. Las zapatas combinadas también se usan cuando en el caso de columnas
interiores con cargas considerables las zona de descarga tomadas como aisladas se
superponen por lo que es más conveniente agruparlas y considerar las acciones de
conjunto.

Fig. 9.8.
Esquema en planta de parte de las fundaciones de un
edificio. Se distinguen las zapatas aisladas, combinadas
entre columnas interiores, combinadas con columnas
exteriores y corridas bajo muros.

Si el suelo es blando y las bases de todas las columnas y muros necesitan de
un área de apoyo considerable, a menos que se requiera de fundación profunda, se
puede adoptar la solución de una losa de hormigón armado. Esta se extiende bajo
todo el edificio y distribuye la carga sobre el máximo área disponible. Dada su gran
rigidez, minimiza los asentamientos diferenciales. Puede ser una loza maciza, un

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sistema de losa con vigas invertidas o bien un sistema muy rígido de doble losa
superior e inferior con vigas en ambas direcciones, como se muestra en la Fig. 9.9.
Las vigas se ubican en las líneas de columnas o muros.

Fig. 9.9. Sistema de Viga-Losa Platea de Fundación.

Se puede lograr también materializar un sistema de cimentación superficial con
platea por el sistema de flotación, que puede ser parcial o total.

Fig. 9.10.
Edificio con cimentación superficial por placa.
Peso del Edificio : 32 000 ton
Cargas vivas : 5 000 ton
Total : 37 000 ton

Peso del terreno
excavado : 29 000 ton

Carga neta sobre
la arcilla : 8 000 ton

La Fig. 9.10 muestra un caso que se presenta en la ref.[1]. Se trataba de fundar
un edificio con peso muerto o permanente total D= 32000 ton, y una sobrecarga viva
estimada en L= 5000 ton. A partir de la superficie se contaba con una capa de 4.50 m
de relleno blando y limo orgánico, una capa de 6 m de arena y grava, 22.50 m de
arcilla blanda y luego el suelo muy firme y roca. Se debía estudiar la alternativa de
fundar con pilotes de más de 30 m de longitud, o bien intentar algo superficial. Si se
construía el edificio directamente sobre la superficie con la carga total de 37000 ton se
estimó que se produciría un asentamiento cercano a 30 cm, debido a la consolidación
del terreno blando superior. Este asentamiento era inadmisible por los daños
asociados. Se optó por hacer una excavación abierta extrayendo unas 29000 ton de
terreno blando. Una vez ejecutado el edificio en forma completa, la carga neta
aplicada a la profundidad excavada fue de sólo (37000-29000) ton= 8000 ton. De esta
manera el asentamiento estimado era aproximadamente 5 a 8 cm. Dado que se
reduce la carga neta por eliminación de terreno el método se llama de flotación. El
principio se basa en el mismo que rige la flotación de un barco. El barco desplaza un
peso de agua igual al suyo propio, de modo que las presiones en el agua a una
profundidad bajo el barco (en este caso en el suelo debajo del edificio) son las mismas
independientemente de la presencia de éste. Como el edificio tenía una densidad
aproximadamente igual a la mitad del agua (densidad = peso total edificio / área de
apoyo x altura del edificio
@ 0.5 ton/m
3
) y el peso específico del terreno excavado era
aproximadamente el doble del agua (2.0 ton/m
3
), el edificio debía enterrarse
aproximadamente un cuarto de su altura total para obtener una compensación o
flotación completa. Este procedimiento también lo menciona la ref.[2] al decir que
puede extenderse el principio al caso de edificios sobre terrenos firmes cuando en el

11
mismo se utilizan sótanos. Si los edificios poseen subsuelos suficientemente
profundos, al excavar el suelo se compensa en parte la carga que aporta el edificio. La
ref. [2] menciona que algunos edificios que contaban con importantes volúmenes de
sótano han sido provistos con costosas fundaciones sobre pilotes al desconocer el
efecto de flotación.

Fig. 9.11.

Edificio con cimentación profunda. Centro de
Materiales del M.I.T, Instituto Tecnológico de
Massachussets, EEUU.

Peso del Edificio : 15 650 ton
Carga Viva : 12 200 ton

Peso Máximo total
@ 28 000 ton

La Fig. 9.11, de ref.[1], muestra el esquema de fundación profunda sobre
pilotes, con suelo similar al descrito en la Fig. 9.10, pero sin la arena y grava
intermedia. En este caso era inconveniente que la planta baja quedara bajo la
superficie del terreno, y además no existía la capa intermedia más firme sobre la cual
colocar la placa de hormigón armado, por lo que se optó por fundar con 537 pilotes de
capacidad de carga cada uno de unos 70 ton. Los pilotes de tubos de acero de unos
32 cm de diámetro se hincaron por percusión y luego se llenaron con hormigón.

Fig. 9.12. Losa de hormigón apoyada
sobre el suelo.

En edificios industriales es común el uso de losas estructurales para el apoyo
de equipamiento, maquinarias, etc. Estas losas están directamente apoyadas sobre la
superficie del terreno natural o sobre una subbase preparada y compactada sobre la
subrasante, tal como se ilustra en la Fig. 9.12. En Mendoza, los pisos de las bodegas
son un caso típico, donde las losas deben soportar el peso de los tanques de vino. Los
pavimentos de carreteras y pistas de aeropuertos son también casos de losas
apoyadas sobre terreno.

9.3. COMPORTAMIENTO DE CIMENTACIONES SUPERFICIALES.

En general, el proyecto de cimentaciones suele hacerse por tanteos. Se
seleccionan tipos y dimensiones de las fundaciones, en función del tipo de estructura y
del suelo que se cuenta. En muchos códigos de construcción se dan tablas con
presiones admisibles para los suelos. Estas tablas están basadas en la experiencia

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general de los suelos en la zona en estudio. Estas presiones máximas permitidas
suelen dar lugar a dimensionamientos muy conservadores pero pueden llevar a
situaciones peligrosas en otros casos.
En la ref.[2] se menciona que las tablas de los códigos con tensiones
admisibles en general no proporcionan indicación alguna de los valores, ni tampoco
explican el significado de presión admisible de suelo. Esto ha fomentado la creencia
de que el asentamiento de un edificio será uniforme y no tendrá consecuencias toda
vez que la presión que las zapatas transmiten al suelo sea igual o menor la tensión
admisible. Hay ingenieros que incluso creen que un edificio con zapatas diseñadas por
presiones admisibles no sufren asentamiento alguno. A veces se utilizan ensayos de
carga para corroborar la presión admisible. Sin embargo, los ensayos suelen ser
complicados y la interpretación de los resultados también, los cuales en general tienen
mucha variabilidad. Los ensayos con platos de carga sólo reflejan las características
del suelo situado a una profundidad menor de dos veces el ancho del plato, mientras
que el asentamiento de las zapatas depende de las propiedades de un espesor de
suelo bastante mayor. Las dimensiones del plato son cercanas a 30 cm. Dadas estas
limitaciones, como es práctica casi universal elegir la presión admisible sin considerar
para nada el tamaño de las zapatas, ni del tipo de la superestructura, ni de otros
factores importantes, no resulta sorprendente, ref.[2], que la aplicación cada vez más
extendida de ensayos de carga no redujeron en forma significativa la frecuencia con
que se proyectaban fundaciones inadecuadas. Para reducir el riesgo de un proyecto
defectuoso, la presión admisible, dice la citada referencia, debe elegirse no solamente
en función de ensayos sino también de las características del perfil del subsuelo.
Juega un papel importante la experiencia constructiva que se posea.
Siempre es recomendable un estudio del suelo tanto por razones económicas
como por seguridad. El estudio de suelo será tan sofisticado como lo requiera el tipo
de construcción. Sin embargo, a veces con simples excavaciones previas se puede,
para el caso de construcciones bajas y relativamente livianas o de poca presión para
el suelo, obtener datos que con más seguridad no resulten en sobre dimensiones
innecesarias a las fundaciones. En cuanto a profundidad activa del suelo, es decir el
que afecta el comportamiento de las fundaciones, depende no sólo del tamaño de las
zapatas y carga que soporta sino también en alto grado del perfil del subsuelo y de las
propiedades físicas de sus estratos. Si el módulo tangente inicial longitudinal del
suelo, que en cierta forma está asociado a su rigidez, aumenta con la profundidad, a
contar a partir de la cota de fundación, la profundidad activa no excede el ancho de la
zapata; si por el contrario el suelo se hace cada vez más blando con la profundidad, la
zona activa o de influencia puede resultar igual a varias veces la dimensión de la
zapata.
Más adelante se verá que existe una tendencia a trabajar con capacidad
portante del suelo y no con tensiones admisibles. El uso de métodos basados en
resistencia para el diseño de la superestructura, y por lo tanto de definición de estados
de carga, lo justifica. De todas maneras, la ref.[2] menciona que el coeficiente de
seguridad de la fundación con respecto a falla por hundimiento del terreno no debería
tomarse, por varias razones, como menor de 3.0.

13
9.3.1. CURVA PRESIÓN DEFORMACIÓN.

En la ref.[1] se da una descripción detallada del comportamiento de una zapata
superficial sobre un material elástoplástico, de la cual se extraen para este trabajo
algunos conceptos. La Fig. 9.13 muestra un esquema del estudio analítico que fue
resuelto por el método de diferencias finitas, donde se aplica un incremento de presión
Dqs sobre una superficie de un material ideal.

Fig. 9.13.
Esquema de un modelo tomado de ref.[1] de
carga uniforme en faja sobre un material
elastoplástico perfecto.

Fig.9.14. (a) Curva carga-
asentamiento en el eje; (b)
Desplazamiento y primer fluencia
bajo carga de 4.40Kgr/cm
2
; (c)
propagación de la plastificación y
campo de desplazamientos para
carga de 6.80Kgr/cm
2
; (d)
Extensión de la zona plastificada
para carga de 8.30Kgr/cm
2
.

La Fig. 9.14(a) indica la curva de comportamiento. Cuando
Dqs aumenta el
material se comporta elásticamente hasta que, en este caso para una presión cercana
a 4.40 Kgr/cm
2
= 0.44 MPa, se produce una primer fluencia, aunque no ocurre falla
pues, como en el caso de hormigón o acero u otros materiales, si la zona crítica está
rodeada de material que puede soportar esfuerzos adicionales, se produce una
expansión de la plastificación local. Los puntos circundantes comienzan entonces a

14
fluir. La Figs. 9.14(b), (c) y (d) muestran a través de las flechas las direcciones y
magnitudes relativas de los desplazamientos de los diversos puntos bajo la acción de
la carga. Ya en el punto A se nota una falla local, rotura o falla por corte, pero aún
confinada. La curva se inclina, se pierde rigidez. Cuando la presión ha alcanzado
cerca de 6.8 Kgr/cm
2
, se alcanza el punto B, la zona plastificada se ha propagado
como muestra la Fig. 9.14(c), la rigidez sigue decreciendo con aumento considerable
de los asentamientos, hasta que para un incremento de presión
Dqs cercana a 9
Kgr/cm
2
se produce una falla general de corte, con plastificación muy extendida, como
muestra la Fig. 9.14(d) y la carga asociada se llama de hundimiento o capacidad de
carga final. Lo importante es que ante esta carga, el suelo fluye bajo la carga tanto
lateralmente como hacia arriba.

Fig. 9.15. de ref.[1].

Curvas carga-asentamiento y zonas de
fallas observadas en pruebas en modelo
sobre arena.
(a) arena compactada
(b) arena de compacidad media
(c) arena muy suelta.

La Fig. 9.15 muestra curvas carga-asentamiento que se han observado para
pruebas sobre el suelo de arena seca con distintos grados de compactación
efectuadas con placas circulares de 5 a 20 cm de diámetro. Para el caso de arenas de
compacidad media la curva es similar a la que se mostró en Fig. 9.14(a). Existe un
quiebre muy notorio en la curva luego de la falla local, pero se sigue absorbiendo
carga a costa de asentamientos importantes hasta la falla general. Si la arena es muy
suelta se producen zonas de corte muy marcadas a los lados de la zapata y no existe
prácticamente levantamiento lateral. Es un caso de falla por penetración. Cuando la
zapata asienta sobre una arena muy compacta, existe un alargamiento de la zona de
comportamiento elástico y la falla general se produce muy poco después de la falla
local.

9.3.2 CRITERIOS DE PROYECTO.

9.3.2.1 Restricción de desplazamientos.

Como antes se expresó, la condición a cumplir en el diseño de una cimentación
es que el asentamiento no debe superar cierto valor límite. Los valores dependen del
problema a resolver. Como se vio en forma muy resumida, para cualquier cimentación

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existe un valor de la presión aplicada para el cual los asentamientos son inadmisibles
y difíciles de calcular. Dicho valor corresponde a la capacidad de carga o portante. La
fundación debe proyectarse de forma tal que la presión real aplicada sea inferior a la
capacidad con un margen de seguridad adecuado para cubrir las inevitables
incertidumbres. Por otro lado el proyectista debe determinar el asentamiento que se
producirá y compararlo con el valor límite admisible. El diseñador debe entonces: (i)
elegir el factor de seguridad con relación al tipo de falla y al tipo de excitación con
respecto a la que diseña; (ii) determinar la capacidad de carga y el factor de seguridad
real con el que cuenta, y (iii) estimar el asentamiento y comparar el valor admisible.

9.3.2.2 PRESIONES DE CONTACTO.

9.3.2.2.1 Zapatas rígidas.

El proyecto de zapatas de fundación requiere de un análisis de la distribución
de las presiones en el contacto de las mismas con el terreno. Se sabe que dicha
distribución no es lineal. La aplicación de la teoría de la elasticidad aplicada al estudio
de la distribución de tensiones en un cuerpo semi infinito cargado parcialmente en su
superficie a través de un elemento rígido muestra dos respuestas muy distintas según
al suelo sea o no cohesivo. Además, debe diferenciarse entre zapata rígida y flexible.

Fig. 9.16.
Distribución de las presiones de contacto entre la
zapata y el terreno de fundación.

(a) zapata rígida sobre material ideal elástico,
cohesivo.
(b) Zapata rígida sobre material no cohesivo

(c) Y (d) respuestas en suelos intermedios y
más reales.

Como el asentamiento de una zapata perfectamente rígida debe ser uniforme,
la distribución de presiones bajo la misma debe ser idéntica a la que se requiere para
provocar dicha uniformidad de desplazamientos. Si la subrasante es un material
perfectamente elástico, o una arcilla, o arena con espesas capas de arcilla, es decir
con resistencia a tracción, las presiones de contacto deben ser máximas en los bordes
y mínimas en los centros, similar a lo que expresa la Fig. 9.16(a), para provocar el
descenso constante. La presión que se alcanza en los bordes depende de la tensión
de fluencia del material, y en teoría puede llegar a ser infinita. En estos suelos la carga
produce una resistencia al cortante alrededor del perímetro. Es decir, es como que se
necesita desplazar parte de la carga desde el centro hacia las orillas o bordes para
lograr el asentamiento uniforme de la placa rígida. La Fig. 9.17 muestra los resultados
teóricos para este caso indicando que la presión de contacto varía de una valor
cercano a 0.7 q
a, siendo q a la presión uniforme, hasta infinito en los bordes.

16

Fig. 9.17. Distribución de la presión de contacto en la cota de fundación
de una zapata rígida de longitud muy grande cargada en forma uniforme y
que descansa sobre un subsuelo perfectamente elástico, homogéneo e
isótropo
.

Fig. 9.18. Resultados experimentales de la distribución de
presiones de contacto bajo bases circulares de 30 cm de
diámetro y asentadas en suelo con y sin cohesión.

Si la misma zapata rígida se asienta sobre un
suelo como arena o grava, no cohesivos, con carga
uniforme el asentamiento es mayor en los bordes que
en el centro. Como los granos están sueltos, el suelo
localizado en los bordes tiende a desplazarse hacia
fuera en la dirección donde no hay restricciones al
movimiento. Un asentamiento uniforme sólo es posible
distribuyendo la carga de tal modo que su intensidad disminuya desde un máximo en
el centro a un mínimo en los bordes, lo cual representa también la distribución de las
presiones de contacto en la base de zapatas rígidas. Esto se representa según la Fig.
9.16(b). De tomas maneras, si el cuerpo en lugar de estar cargado en la superficie lo
está a cierta profundidad, de modo que en los bordes se produce un efecto de
restricción al desplazamiento o confinamiento lateral, las diferencias entre las
presiones máximas y las mínimas se atenúan como en forma esquemática lo
muestran la Fig. 9.16(c) y (d).
La Fig. 9.18 muestra resultados experimentales con placas circulares de 30 cm
de diámetro, que certifican lo antes dicho. Sin embargo, la experimentación tiene
limitaciones importantes como: (i) se hacen sobre suelos artificiales, en laboratorio,
donde generalmente se busca homogeneidad del suelo; y (ii) son experiencias de
corta duración en las que no han podido ser incorpo rados los efectos de

17
deformaciones lentas que conducen a asentamientos, como así también los efectos
de deformaciones de fluencia que con el tiempo tienden a redistribuir las tensiones y a
atenuar los picos de las mismas.
Por lo expuesto es que en la práctica lo corriente en el diseño de zapatas
rígidas es suponer una distribución lineal de tensiones, pues a más de ser la más
simple es en definitiva la que más se acerca a las posibles variantes que se puedan
desarrollar. Una mayor sofisticación no garantiza mejores resultados. La simplificación
con respecto a la determinación de la magnitud de momentos flectores y cortes en la
zapata es despreciable frente a otras incertidumbres.
La hipótesis de zapata rígida supone para una carga centrada un hundimiento
uniforme de su plano de asiento. Tal situación sólo es posible cuando la elástica de la
zapata produce deformaciones muy pequeñas respecto a la compresión que
experimenta el suelo. Por ello, si la zapata es flexible, existe una tendencia a
concentrar la reacción del suelo en el centro de la zapata a medida que la rigidez de
ésta disminuye, con distribución de presiones similar a la de Fig. 9.16(b), sea para
suelos cohesivos como no cohesivos. En este caso la hipótesis de distribución
uniforme coloca al proyectista del lado de la seguridad, pues los esfuerzos internos
sobre la sección de hormigón son mayores que en la realidad. De todas maneras, en
la práctica, la mayoría de las zapatas aisladas tienen rigidez suficiente como para
hacer razonablemente válidas las hipótesis supuestas.

9.3.2.2.2 Zapatas flexibles. Plateas. Modelación del suelo.

Cuando la zapata es relativamente rígida en general se supone, como se dijo
antes, una distribución de tensiones bajo la base de variación lineal. Trasladar esta
suposición a bases flexibles, como el caso de plateas no rígidas, puede llevar a
aproximaciones muy groseras y soluciones muy alejadas de la realidad. Si determinar
las presiones en bases aisladas rígidas para distintos tipos de suelo, que son nada
homogéneos, constituye un problema complejo, tal cual se vio en figuras anteriores, el
problema es aún más difícil en zapatas compuestas y en plateas.
Los pavimentos para carreteras, pistas de aeropuertos y otro tipos de losas
apoyadas sobre el terreno que están sometidas a cargas concentradas, aún el caso
de losas de fundación de edificios, históricamente han sido analizados sobre la base
de teorías desarrolladas para vigas sobre cimentaciones elásticas y desarrolladas por
Westergaard por el año 1926. La losa se supone homogénea, isotrópica y elástica y
para el suelo se consideran dos posibilidades:
(a) que el suelo se comporta como un líquido denso, es decir que la reacción de la
subrasante es vertical, proporcional a la deformación y en cada punto es
independiente de las fuerzas y desplazamientos en los otros puntos. En otras
palabras, cada porción de área de contacto se modela como un resorte sometido
a esfuerzo axial, y la rigidez de este resorte se expresa como el módulo o
coeficiente de la reacción de la subrasante o coeficiente de balasto.
Representaría el cociente entre una presión y el descenso resultante, es decir la
relación:

k
s = q / d (9.1)

donde q es la presión en unidades de, por ejemplo, ton/m
2
, y d el asentamiento, en m,
por lo que la unidad resultante sería en este caso ton/m
3
. Esta suposición ignora

18
entonces la interacción de cada porción de suelo con sus adyacencias: no hay
deformación de corte, ni de flexión del suelo. La Fig. 9.19 de ref.[3] muestra algunos
valores estimativos de k
s para distintos suelos y distintos grados de consolidación.

Fig. 9.19. Clasificación de los suelos y valores estimativos del módulo de reacción de la
subrasante. Tomado de ref.[3]. Multiplicando por 16 los valores resultan en ton/m
3
.

(b) la otra suposición consiste en que la subrasante se comporta como un sólido
elástico semi infinito, de manera que una carga concentrada en cualquier punto
de la superficie produce desplazamientos verticales en los demás puntos. En
este caso hay una interacción de todos los elementos del sólido suelo elástico
para resistir las fuerzas y los desplazamientos. Por ello no se comporta como un
líquido, el cual carece de resistencia al corte.
En términos de modelación del suelo por programas computacionales, por
ejemplo el SAP 2000, la hipótesis (a) sería modelar una losa de fundación como una
placa de hormigón armado apoyada en resortes de rigidez axial, en la que dicha
rigidez es el producto del área de suelo modelado (por ejemplo un área de 1mx1m=
1m
2
) por el coeficiente de balasto (digamos por ejemplo 5000 ton/m
3
) , es decir la
rigidez expresada en ton/m (por ejemplo en este caso la rigidez del resorte equivalente
es de 5000 ton/m). Con la hipótesis (b), en el SAP 2000 habría que introducir el suelo
dentro del modelo, el cual si es tridimensional debe usar elementos del tipo brick, ver
por ejemplo Fig. 9.20, y al cual hay que asignar rigidez a través del módulo de
elasticidad longitudinal del suelo, E
s, el cual está a su vez relacionado con el módulo
de corte, G, a través de la conocida ecuación:

)1(2n+
=
E
G (9.2)

en la cual el coeficiente de Poisson
n puede tomarse como 0.35 para suelos no
saturados y 0.50 para suelos saturados.

19

Fig.9.20.
Ejemplo de modelación del suelo
como sólido a través de
elementos tipo brick. Sobre los
mismos se colocaron elementos
shell para representar la losa
platea de hormigón. Se indican la
posición de las cargas
concentradas. Abajo se aprecia la
deformación resultante. Se trata
de una losa para apoyo de guías
de rayos en un reactor nuclear,
con requerimientos muy estrictos
de deformaciones
.

20

Para ambos tipos de modelación se requiere de ensayos geotécnicos que
permitan modelar en forma adecuada los parámetros del suelo. En todos los casos
hay grandes incertidumbres y las normas, ref.[5], aconsejan hacer análisis basados en
el principio del límite superior y límite inferior. Esto implica que a partir del valor medio
aconsejado por los geotécnicos de un determinado parámetro, se deben hacer los
análisis para un límite inferior, digamos la mitad del valor medio, y otro análisis con el
parámetro tomando un límite superior, digamos el doble del valor medio. La Fig. 9.21
muestra un simple esquema de modelación con resortes de una base aislada, y un par
de respuestas con valores inferiores y superiores de los parámetros del suelo.

Fig. 9.21.

(a) Respuesta de suelos en términos de carga vs.
deformación para modelos ideales linealmente
elásticos perfectamente plásticos.
(b) Modelos de resortes desacoplados para
representar fundaciones rígidas.

9.3.2.2.3 Criterios de modelación ante acciones horizontales.

Ante solicitaciones horizontales como las inducidas por el sismo, las diferentes
suposiciones adoptadas para la modelación del suelo resultarán en diferentes
respuestas. El diseño de las fundaciones afectará, como se dijo al principio de este
trabajo, la respuesta de la superestructura. La Fig. 9.22, ref.[6], muestra dos casos
bien diferenciados de fundación rígida y fuerte vs. flexible y débil. Las consecuencias
en la superestructura se aprecian claramente y el proyectista las debe contemplar. La
Fig. 9.23 muestra distintas alternativas de modelación con resortes.
Como dice la ref.[6], los ingenieros geotécnicos deben reconocer que no
siempre rígido y fuerte es necesariamente mejor que flexible y débil. A su vez,
suposiciones de suelo blando no son siempre conservativas para el diseño de la
estructura. Lo más aconsejable es hacer una serie de análisis con un rango de valores
que permitan hacer una envolvente de situaciones posibles. Una estimación con gran
precisión de los parámetros de suelo es muy cara y muchas veces aún así la
dispersión es enorme. Por lo tanto, el diseñador debe tomar decisiones a partir de
estudios paramétricos con información muy estimativa que lo lleven a formarse una
idea de la importancia de la interacción de la estructura y el suelo. A partir de allí
podrá ir haciendo más sofisticado su modelación, manteniendo en mente que aún así
los resultados pueden ser muy cuestionables.

21

Fig. 9.22. Distintas respuestas de la superestructura en función de distintas modelaciones de la
fundación.

Uno de los requerimientos básicos en el diseño de fundaciones de estructuras
sismo resistentes es que el sistema de fundación debe ser capaz de soportar las
cargas gravitatorias mientras que se mantienen los mecanismos de disipación de
energía que han sido seleccionados.
En este contexto se incluyen fundaciones de mamposterías, de pórticos, de
tabiques, y sean zapatas aisladas, pilotes, plateas, etc. Hay que definir los tipos de
respuesta que se espera de las fundaciones. Se debe distinguir entre una respuesta
elástica y una dúctil de las fundaciones. Será elección del diseñador. En general se
tiende a que la respuesta de la superestructura sea dúctil y la de la fundación elástica.
Se deben aplicar principios de diseño por capacidad. Sin embargo, hay casos en que
la resistencia potencial de la superestructura es excesiva en relación a las cargas
especificadas de código y se decide que sea la fundación la principal fuente de
disipación de energía. Sin embargo, el diseñador debe ser conciente que inspección y
reparación de las fundaciones es difícil y costosa.

22

Fig. 9.23. Diversas alternativas para modelar el suelo con resortes a partir del conocimiento de los
parámetros del suelo.

23

9.3.2.3 Asentamiento admisible.

Como se dijo antes, el diseñador debe verificar los posibles asentamientos.
Estos pueden tener importancia por varias razones, entre ellas: (i) aspecto, estética de
la construcción; (ii) funcionalidad y condiciones de servicio; (iii) posibles daños de
elementos estructurales y no estructurales (el daño en carpinterías es típico); (iv)
deformaciones que modifican el comportamiento ante acciones sísmicas; etc.
Los asentamientos pueden provocar por ejemplo grietas en los muros, y dar
lugar también a que la estructura se incline lo suficiente como para que este defecto
sea apreciable a simple vista. También puede verse afectada la funcionalidad de la
construcción: por ejemplo, las grúas y otros equipos. Además, el asentamiento puede
provocar incluso el fallo de un edificio y su colapso. La Fig. 9.24 indica diversos tipos
de asentamientos. El caso (a) es de asentamiento uniforme. Puede ser el caso de un
edificio sobre una placa muy rígida. La Fig. 9.24(b) representa un giro o vuelco
uniforme en el que toda la estructura tiene la misma distorsión angular; ante acciones
sísmicas se suele dar lo que se llama rocking o giro de cuerpo rígido: a veces este
efecto es utilizado para disipación de energía. El caso de la Fig. 9.24(c) es uno que
representa asentamientos no uniforme o diferenciales, los cuales se originan por
diversas causas como: (a) presiones uniformes sobre un suelo no homogéneo; (b)
presiones diferentes sobre el terreno relativamente uniformes; (c) modificación de las
condiciones del suelo por humedad; (d) acciones no simétricas; etc. Tal cual se indica
en la Fig. 9.24,
rmáx indica el asentamiento máximo y rmín el mínimo. El asentamiento
diferencial entre los dos puntos es
Dr y la distorsión angular d/l es también un
parámetro de verificar en el diseño.

Fig. 9.24. Distintos tipos de asentamientos: (a) uniforme; (b) vuelco; (c) no uniforme.

Lo que se conoce como asentamiento admisible depende de muchos factores,
incluyendo la forma, tipo, finalidad y situación de una estructura como así también la
forma, velocidad y causa del asentamiento.
El asentamiento total en general puede no representar un factor crítico. A veces
es cuestión de conveniencia. Si el asentamiento total es superior a los 15 o 20 cm
pueden presentarse problemas con los servicios (gas, agua, alcantarillas, etc). La Fig.
9.25 y 9.26 muestran respectivamente tablas tomadas de ref.[1] con valores de
asentamientos y distorsiones admisibles.

24
Fig. 9.25. Valores de asentamientos admisibles, tomada de Ref.[1].

Fig. 9.26. Distorsiones angulares límites (según Bjerrum, 1963). Tomada de Ref.[1].

25
Uno de los casos más famosos de inclinación por defecto de fundación es la
Torre Inclinada de Pisa, la cual se muestra en la Fig. 9.27(a). La torre tiene 55 metros
de altura, y si se incluyen las fundaciones alcanza 58.40 metros. Como se indica en la
Fig. 9.27(b), la curva tiempo asentamiento indica que en más de 800 años, el lado
Norte ha asentado más de 1 metro mientras que del lado Sur el asentamiento ha
alcanzado aproximadamente 3 metros, es decir con un asentamiento diferencial de
casi 1.80 metros. Este asentamiento produce un aumento de las presiones sobre el
lado Sur, agravando aún más la situación. Un asentamiento de esta magnitud
representa una situación muy peligrosa, potencialmente inestable. El peso total de la
torre se estima en 14500 ton. Se han estado estudiando formas de detener este
asentamiento. John Burland del Imperial College de Inglaterra logró detener el proceso
de inclinación y por compensación de pesos lograba recuperar 1.5 mm por día,
disminuyendo la inclinación de 5.50 grados que equivalen a una distorsión del 10 %.
Esto permitiría que la torre se recuperara pero al cabo de unos 350 años volvería a la
situación actual.

Fig. 9.27(a) Torre de Pisa.

Fig. 9.27(b) Gráfico Asentamiento vs.
tiempo para la torre de Pisa, tomada de
Ref.[1], y que fue dada en la
Conferencia sobre Asentamientos,
ASCE 1964.

9.4 CRITERIO DE DISEÑO EN FUNCIÓN DE CARGAS Y RESIS TENCIAS
DEL SUELO. EVALUACIÓN DE LAS PRESIONES.

En la ref.[10], que sigue los lineamientos del Reglamento ACI-318-2002, en el
capítulo 10 se establecen los criterios para el diseño de zapatas aisladas, cabezales
de pilotes, zapatas combinadas y plateas de fundación.

26
En general en la mayoría de las normas se trabaja con el método de tensiones
admisibles, es decir trabajando con las cargas en estado de servicio (sin mayorar) y
adoptando como tensión máxima del suelo la que corresponde a la de capacidad de
carga del suelo dividido por un factor de seguridad. Por ejemplo, se suele usar un
factor de 3.0 a 3.5 para el caso de cargas verticales solamente, ver ref.[11], y el factor
pasa a 1.50 cuando se considera acciones de servicio y sismo. Sin embargo, el diseño
de la superestructura se hace a través del método LRFD, Load Resistance Factor
Design, es decir, por el método de resistencia. Implica mayorar las cargas de servicio
por factores y trabajar con los materiales a nivel de sus resistencias nominales,
afectadas por un factor de reducción, si correspondiera. En otras palabras, las
combinaciones de carga para método por resistencia para obtener las demandas son:
U = 1.4 D (9.3.a)
U = 1.2 D + 1.6 L (9.3.b)
U = 1.0 D +
hL ± E (9.3.c)
U = 0.9D
± E (9.3.d)

donde D indica la carga muerta, L la viva y E el sismo, para seguir la notación del ACI-
318. Lo más conveniente y lógico sería diseñar las fundaciones siguiendo con el
método de resistencia. Para ello, siguiendo con el criterio adoptado para la
superestructura, se debe fijar un factor de reducción de capacidad del suelo y con él
obtener la resistencia de diseño a partir de la resistencia nominal del suelo que se
obtenga por el análisis de suelo respectivo. Esto es lo que propone por ejemplo el
reglamento NZS:4203:1992, ref.[12], el cual en su sección 2.5.3.3 especifica que la
resistencia confiable o dependiente o de diseño de los suelos que actúen como
soportes de la superestructura deberá ser determinada a partir de los parámetros de
resistencia del suelo obtenidos como consecuencia de las investigaciones geotécnicas
del sitio o de datos confiables de la zona, y afectada por un factor de reducción de
resistencia del suelo que no puede ser mayor de 0.60.
Utilizar el método convencional de tensiones admisibles tiene el inconveniente
de que habría que trabajar con las cargas en estado de servicio cuando en realidad
toda la estructura está siendo diseñada por un método de resistencia. El problema se
agrava si fuera necesario utilizar el diseño por capacidad.
Una vez determinadas las demandas para estado últim o, es decir las
resistencias últimas, S
u, y contando con la resistencia nominal del suelo, S n, habiendo
adoptado el factor de reducción de resistencia
f, de debe determinar un área
necesaria de apoyo de forma tal que se satisfaga la ecuación básica de diseño:

S
d = f Sn ³ Su (9.4)

donde S en general denota resistencia, y S
d es la resistencia confiable o de diseño.
Si con P
u se designa la carga que corresponde al estado límite último de
diseño, para el caso de bases cargadas concéntricamente, el área de apoyo requerida
sobre un suelo cuya capacidad de carga, en términos de presión de diseño, es q
d= f
q
c, debe ser tal que:
d
u
req
q
P
A³
(9.5)

27
Una zapata se considera cargada excéntricamente si la columna soportada no
es concéntrica con el área de apoyo de la zapata, o si la columna transmite no
solamente una carga P
u sino también un momento flector M u. En ese caso, siguiendo
con la hipótesis de distribución lineal de presiones bajo la zapata, pueden resultar dos
casos, según la excentricidad e= M
u/Pu sea menor o mayor que 1/6 de la dimensión de
la zapata en el plano en que actúa el momento. Las expresiones de las tensiones
máximas y mínimas vienen dadas por, en referencia a la Fig. 9.28(a) y (b)
respectivamente:
I
cM
A
P
q
uu
máx
±=
min,
(9.6)

donde A= B.l es el área de apoyo, de ancho B y largo l, c distancia a bordes desde el
eje baricéntrico e I=B.l
3
/12 el momento de inercia de la superficie de apoyo, para el
primer caso, y:

Bm
P
q
máx
3
2
=
(9.7)

para el segundo caso, Fig. 9.28(b).

Fig. 9.28. Zapatas sometidas a cargas excéntricas.

Cuando se utiliza el método de tensiones admisibles, el valor de tensión q máx
corresponde a la capacidad portante del suelo dividida por el factor de seguridad. Con
ello se verifica que el área de apoyo sea suficiente. Las cargas demandas son las de
servicio. A continuación, para la verificación al corte, momento y aplastamiento se
deben obtener las presiones del suelo asociadas con las cargas últimas, según
ecuaciones (9.3), dado que se debe aplicar el diseño por resistencia.
Cuando se utiliza el método de resistencia en forma completa, incluyendo el
suelo, las presiones que se obtienen corresponden al estado de cargas U ya definidas
para la superestructura, y las presiones sobre el terreno se comparan con la
resistencia de diseño del suelo, es decir la nominal por el factor de reducción que
como se dijo puede estar entre 0.5 a 0.6. Este será el procedimiento que se llevará a
cabo en los ejemplos que más adelante se presentan en este trabajo. Es de hacer
notar que en la mayoría de la bibliografía el método que se emplea es el de tensiones

28
admisibles, y que además los coeficientes para llevar las presiones a estado último
son los de la versión anterior del ACI, es decir 1.4 para D y 1.7 para L.

9.5. ZAPATAS AISLADAS PARA COLUMNAS SOMETIDAS A CAR GAS
CENTRADAS.
9.5.1. GENERALIDADES.

En general se las construye de forma cuadrada o rectangular. Pueden fallar por
punzonamiento, por flexión, por aplastamiento o por adherencia. Para evaluar los
esfuerzos de corte y momentos flectores se supone una distribución uniforme de la
reacción del suelo. En su forma más simple constan de una losa de altura uniforme,
tal cual se muestra en la Fig. 9.29(a). A veces se interpone un pedestal o dado, como
muestra la Fig. 9.29(b), o varios escalones entre la columna y la losa para una mejor
transferencia de cargas y en casos para suministrar una longitud de desarrollo
adecuada de las barras de la columna o barras de espera (ver más adelante) dentro
de la base; se conoce como zapata escalonada, y sus partes deben ser construidas
en forma monolíticas, sec. 15.9.2 del ACI-318, si esa va a ser la suposición de diseño.
Otras veces se le da a la cara superior de la losa una inclinación, la cual se puede
lograr si la consistencia del hormigón lo permite colocando el encofrado lateral o
exterior más bajo. Esta forma tiende a ubicar más material donde los esfuerzos son
mayores. Si la pendiente es pronunciada se necesita más mano de obra aunque el
material hormigón se reduzca. En general, las zapatas de altura constante son más
económicas cuando la altura requerida es menor de 1.0 metro. Sin embargo, la
ref.[13], a través de la Fig. 9.30, muestra un detalle a tener en cuenta con el
contrapiso cuando es apoyado sobre discontinuidades bruscas.

Fig. 9.29.
Tipos de bases aisladas.
(a) de losa con altura
constante
(b) Con pedestal.
(c) De altura variable.

Fig. 9.30.
Interacción entre losa de piso y base con
losa de altura constante.

Las bases para columnas individuales se comportan como losas en voladizos
sometidas a la presión vertical de abajo hacia arriba inducida en el suelo sobre el que
apoyan. En la superficie de contacto de apoyo se producen tracciones en ambas
direcciones por lo cual se deben reforzar con acero en ambas direcciones. La cantidad
de esta armadura responderá a requisitos de flexión pero deben verificar además las
cantidades de cuantía mínima para controlar efectos de retracción y temperatura.

29
Al trabajar para el diseño de fundaciones también por el método de resistencia,
se puede suponer un comportamiento teórico elasto-plástico del suelo soporte, por lo
que las tensiones bajo la zapata pueden tener las distribuciones que, por ejemplo,
indica la Fig. 9.31 para el caso de un tabique con base de ancho w y largo l. Como se
aprecia, es posible adoptar distintos grados de plasticidad sobre el suelo, en función
de la excentricidad de la carga P.
Fig. 9.31 Distintas configuraciones de presiones bajo el suelo en la suposición de
comportamiento LE-PP para distintas excentricidades.

En el diseño de bases se deben considerar básicamen te los siguientes
aspectos asociados con los tipos de fallas posibles del sistema suelo-fundación: área
de contacto, esfuerzos de corte o punzonamiento, flexión de la losa y aplastamiento
en la transición columna-base. A los efectos de comprender el fenómeno físico y los
requerimientos de la norma, el ACI-318-2002 en este caso, se desarrollará un ejemplo
sencillo a medida que se resuelven cada uno de los aspectos antes mencionados.

Ejemplo N
o
1. Base cuadrada con carga centrada. Se trata de diseñar una
base cuadrada con carga concéntrica. La misma debe soportar una columna cuadrada

30
de c 1= c2 = 50 cm, armada con 8 barras de diámetro 25 mm, cuyas características de
materiales son f´
c= 21 MPa y fy= 420 MPa, que soporta una carga D= 100 ton y L= 70
ton. El suelo a una profundidad de 1.50 metros tiene una capacidad de carga q
c = 50
ton/m
2
. Adopte f= 0.60. Suponga que el peso específico del suelo es gs= 2.0 ton/m
3
.
Diseñe la base con losa de altura constante.

9.5.2 ÁREA DE CONTACTO.

Tal cual se expresó con la ecuación (9.5), el área de contacto requerida se
obtiene dividiendo la carga total última demanda, incluyendo el peso propio de la
zapata y el del suelo por encima, mayorados por sus coeficientes, por la capacidad del
suelo expresada como presión de diseño q
d. Sobre la capacidad del suelo nos
referiremos luego.

d
u
req
q
P
A³
(9.8)

Para el ejemplo:

P
u = 1.2 D + 1.6 L + 1.2(Pp(base + suelo)
q
d = f qc = 0.60 x 50 ton/m
2
= 30 ton/m
2
.

Una primera aproximación, suponiendo peso propio como 10% de la carga
actuante, daría un área de apoyo cercana a (230 ton + 0.10 x 230 ton) / (30 ton / m
2
)=
8.43m
2
. Se adopta una base de 3.0 m x 3.0 m, y se verifica a continuación.
Dado que el hormigón tiene un peso específico de 2.3 ton/m
3
, y el suelo de 2.0
ton/m
3
, se adopta en forma preliminar, y hasta que se determine la altura de la base,
un peso propio de 3m x 3 x 1.50m x 2.1 ton/m
3
= 28 ton. Entonces:

P
u = 1.2 x 100+ 1.6 x 70 + 1.2 x 28 = 266 ton

2
2
86.8/30
266
m
mton
ton
A
req =³

por lo que, para el ejemplo que se desarrolla, con la base adoptada se verifica que no
se excede la capacidad de carga del suelo.

9.5.3 DISEÑO Y VERIFICACIÓN A CORTE O PUNZONADO.
9.5.3.1. Introducción

El corte generalmente no es crítico en losas que soportan cargas distribuidas o
cargas sobre franjas, o cuando dichos elementos se apoyan sobre vigas o tabiques,
porque en estos casos el corte por unidad de longitud en la losa es relativamente
pequeño. El esfuerzo que controla en esos casos es el de flexión. Sin embargo, el
corte puede ser crítico en las losas en las zonas adyacentes a cargas concentradas,
porque allí el cortante por unidad de longitud puede resultar muy elevado. En las losas
las cargas concentradas pueden ser aplicadas por transferencia de fuerzas: (i) de la
losa a la columna en el caso de losas placas o planas; (ii) de las columnas a las losas

31
de las bases y (iii) de cargas aplicadas sobre las losas como el caso de ruedas de
equipos, de camiones, etc.
Para la resistencia al corte de bases, es de aplicación la ecuación ya vista en el
capítulo de corte:

ruscnd
VVVVVV
=³+== )(ff (9.9)

donde
f= 0.75 en la nueva versión ACI-318-2002. Una vez determinada la superficie
de contacto, se debe determinar la altura de la losa de la zapata. La altura efectiva d,
idéntica en significado a la de miembros sometidos a flexión, es controlada
generalmente por los esfuerzos de corte o punzonado. Agregando el recubrimiento de
las barras a este valor d se obtiene la altura total, h. El proyecto CIRSOC 201-2002 en
su sección 15.7 establece que la altura de las zapatas por encima de la armadura
inferior debe ser como mínimo de 150 mm. Dado que el recubrimiento a dicha
armadura debe ser no menor de 50 mm por tratarse de estructura en contacto con la
tierra, sección 7.7.1 de la norma citada (el recubrimiento NO es parte del hormigón de
limpieza), resulta que la altura total mínima debe ser de 200 mm.
La resistencia al corte de losas, sea de entrepisos o fundaciones, en la
vecindad de cargas concentradas es controlada por la más severa de estas dos
condiciones: acción de viga (una dirección) o acción de losa (dos direcciones). La Fig.
9.32 muestra en forma esquemática los planos de falla en cada caso.
9.5.3.2 Acción de viga.
Si es este el caso que controla el diseño, la losa falla como una viga ancha con
la sección crítica extendiéndose a lo largo de una sección en un plano que atraviesa el
ancho total de la losa o base. Para tal situación el plano de falla se indica en la Fig.
9.32(b) por la línea discontinua e-f. El código supone que la sección crítica está
ubicada a una distancia d desde la cara de la columna o de la carga aplicada (o de la
cara de una línea de carga o pared soporte). El valor d es la distancia de la fibra
comprimida extrema al centroide de la armadura traccionada. En la realidad, la
sección crítica pasa a través de la fisura de tracción diagonal crítica donde se espera
que ocurra la falla. Para este tipo de falla, es de aplicación la teoría convencional de
corte. Por lo general no es económico utilizar refuerzo de acero para absorber el corte,
por lo que de la resistencia nominal en la ecuación (9.4) se diseña para que la
componente del hormigón, V
c, sea la única que resiste el cizallamiento.

(a)

(b)

Fig. 9.32. (a) Falla a cortante por punzonamiento; (b) Secciones críticas para cortante.

32
Para el ejemplo que se analiza, suponiendo una altura total de h= 60 cm,
corresponde altura útil d= 55 cm, B= ancho= 3.00 m, el suministro al corte por acción
de viga sería:

BxdfxVVV
ccnd
´
)6/1(75.075.075.0 ===
tonKNNmmmmxxxxV
d
50.9494594515855030002116667.075.0 ====

Tanto para calcular los momentos flectores M
u demandas y los esfuerzos de
corte, V
u, únicamente se considera la presión generada hacia arriba por la carga axial
que transmite la columna P
u, sin tener en cuenta el peso propio de base y suelo sobre
ella, pues estas presiones se auto eliminan al efecto de dichos esfuerzos internos. La
demanda sería en este caso:

tontonxtonxP
u
232706.11002.1
=+=
22
/80.259/232/ mtonmtonAreaPq
apoyouu
===
tonxmxmtonxAreaqV
efghuu
18.54)55.025.050.1(3)/(80.25
2
=--==

con lo cual la ecuación(9.4) queda satisfecha con un margen en exceso de 75 %.

9.5.3.3 Acción en dos direcciones.

Cuando la losa trabaja en dos direcciones la falla por corte es local y alrededor
de la carga concentrada o la columna. La falla por punzonamiento ocurre a lo largo de
un cono o pirámide truncada, dependiendo de la forma de la columna, causada por el
desarrollo de la fisura diagonal de tracción. La superficie se aprecia en la Fig. 9.32(a),
y como lo indica la Fig. 9.32(b), las normas en general consideran que la sección
crítica está localizada a una distancia d/2 del perímetro de la columna. La Fig. 9.33(a)
muestra que el antiguo concepto de falla de la losa en las caras coincidentes con la
columna no es válido, sino que el esquema de Fig.9.33(b) es el que más se ajusta a
los resultados experimentales. La Fig. 9.34 muestra un ensayo de columna-losa con
falla de corte. Se puede apreciar claramente la pirámide truncada de hormigón
alrededor de la columna una vez que se ha producido la falla por tracción diagonal.
La resistencia a rotura de zapatas cuadradas y rectangulares ha sido motivo de
extensas investigaciones en EEUU, en particular en la Universidad de Illinois. Las
prescripciones del ACI-318 están basadas en dichos resultados y en otros obtenidos
en diversas partes del mundo. El comportamiento real de la región que falla es
extremadamente complejo, tanto debido a la combinación de flexión con fisuración por
tracción diagonal como a la naturaleza tridimensional del problema. Las previsiones de
diseño utilizadas han sido derivadas necesariamente de simplificaciones empíricas del
comportamiento real.
En la primer parte del trabajo se tratará el caso de losas que deben transferir
corte uniforme alrededor de la sección crítica. Es el caso de las bases simétricas con
carga sin excentricidad, es decir tensiones del terreno constantes. Cuando existen
cargas excéntricas o momentos, que es el caso más común, la distribución de
tensiones de corte deja de ser uniforme.

33

Fig. 9.33. Falla de corte por punzonamiento en una conexión columna-losa de hormigón armado con
carga axial en la columna. (a) falla por corte en la cara de la columna: no existe este mecanismo; es un
error. (b) Suposición de la ubicación de la sección crítica y modo real de falla.

Fig.9.34. Resultado de la experimentación sobre un espécimen de columna-losa que falló por
punzonamiento de corte debido a la carga axial de la columna. Note la forma de pirámide truncada

Una vez que la fisura diagonal de tracción ha ocurrido en las adyacencias de la
sección crítica de una losa alrededor del perímetro del área cargada, cuando la losa
no tiene armadura de corte sino sólo de flexión, la losa soporta el corte por los
mecanismos ya descriptos de corte en zona de compresión, interacción de agregados

34
y acción de taco o dovela. Sin embargo, la situación es bastante diferente al caso de
acción en una dirección o de viga.
Cuando hay flexión en dos direcciones aparecen esfuerzos que comprimen en
dos direcciones a la zona adyacente a la crítica, y además hay esfuerzos de
compresión concentrados que provienen de la columna y se distribuyen en la zapata.
De este modo el hormigón que rodea la sección crítica está prácticamente sometido a
un estado de compresión triaxial o tridimensional, por lo que por un lado el tipo de falla
es de pirámide o cono truncado y por otro hay una situación más favorable para
resistir corte por la acción de compresión. Esto es reconocido en las normas y por ello,
para evaluar la capacidad nominal de la losa al punzonamiento sin armadura de corte
se dan valores más generosos tanto para el para área resistente movilizado como
para el valor del factor V
c de la ecuación (9.9).

Fig. 9.35. Secciones
críticas, Perímetro
crítico y áreas
tributareas para la
evaluación de
momentos y cortantes

Como se indica en la Fig. 9.32(a), el esfuerzo de corte promedio puede
considerarse actuando en planos verticales través de la zapata y alrededor de la
columna sobre un perímetro a una distancia d/2 desde la cara de la columna, es decir
perímetro abcd en la figura.
Es entonces necesario determinar el perímetro crítico, el cual se indica
también en la Fig. 9.35, ref.[14]. El perímetro se designa con b
o y se evalúa en función
de lo que se llama área cargada real y área cargada efectiva, las cuales quedan
interpretadas para una sección en L en la Fig. 9.36.

35

Fig. 9.36.
Concepto de áreas
cargadas y críticas en una
sección no rectangular.

Se ve que la superficie cargada efectiva es aquella que encierra totalmente a la
superficie cargada real y para la cual el perímetro es mínimo. En la Fig. 9.37 se
indican los casos más comunes de secciones críticas en losas sin armaduras de corte.

Fig. 9.37.
Secciones críticas en losas para distintas
secciones transversales de columnas.

36
En definitiva, el ACI-318-2002 establece en su sección 11.12.2.1 que en losas y
zapatas no pretensadas, el valor de V
c debe ser el menor obtenido a partir de las
siguientes expresiones:

a)
6
2
1
´
dbf
V
oc
c
c








+=
b
(9.10
a)

b)
12
2
´
dbf
b
d
V
oc
o
s
c








+=
a
(9.10
b)

c)
3
´
dbf
V
oc
c
= (9.10
c)

en donde
as es una constante cuyo valor es 40, 30 y 20 para columnas interiores, de
borde y de esquina respectivamente. En la primera de las ecuaciones anteriores se ve
que aparece además el factor
bc, que representa la relación entre las longitudes de los
lados mayor y menor de la columna rectangular,
bc= c1/c2 en la Fig. 9.38, o de una
superficie de carga
bc= a/b en la Fig. 9.36.

Fig. 9.38
Variación de la contribución del
hormigón al corte en función de la
relación
bc, para el caso de acción
de losa en dos direcciones.

La razón es la siguiente: en columnas cuadradas para acción en dos
direcciones controla la ecuación 9.10(c). Sin embargo, los ensayos han demostrado
que dicho valor no es conservador cuando la relación
bc es mayor que 2. A medida
que
bc crece, la resistencia al corte disminuye. Esto quedó demostrado en ensayos en
los que se mantenía la longitud del perímetro de la columna cargada constante y se
comenzaba a incrementar la relación entre el lado mayor y el lado menor, es decir
bc ,
la resistencia al corte disminuía porque se tendía a la situación de flexión en una
dirección y por lo tanto a corte en una dirección, es decir se acercaba al

37
comportamiento de viga. La Fig. 9.38 muestra que para valores muy elevados de bc la
resistencia al corte toma el valor de acción de viga. Esto refleja además la tendencia
del corte a concentrarse en los extremos de la columna alargada, es decir que las
tensiones de corte no están uniformemente distribuidas alrededor de la columna. Debe
observarse que en la Fig.9.38 los valores de las ordenadas corresponden a
resistencias de corte dadas en p.s.i., libras por pulgada cuadrada (motivo por el cual
se multiplica por 12).
Los ensayos han demostrado también que la resistencia al corte disminuye a
medida que la relación entre el perímetro crítico y el espesor efectivo, b
o/d, aumenta
(ver también Ref.[15], pág. 503).
El factor
as tiene en cuenta el número de secciones críticas que tienen las
columnas, según sean interiores, de borde o de esquina.
Para el ejemplo que se desarrolla, el perímetro crítico es:
mcmcmb 20.4420)5550(4
0
==+=

y para la altura útil adoptada d= 55 cm= 0.55 m, la resistencia de diseño está dada
por:

tonKNNmmmmxxxV
d
4.26426442643800550420021333.075.0 ====

la cual ya resulta mayor que P
u= 232 ton, aunque no es este el corte demanda, ya que
según se indica en la Fig. 9.35, para obtener V
u hay que considerar el área tributaria.
Esta se indica en esa figura con rayado, por lo que en este caso:

tonmxmtonxAreaqV
tribuu 198)15.13(/80.25
2222
=-==

Es decir que la condición se cumple con un margen en exceso cercano al 35 %.
Se ve que hay más reserva para el caso de falla por acción de viga.
Se aclara que el procedimiento establecido es para el caso en que exista un
corte uniforme alrededor de la zona crítica. Cuando no existe esa situación, como el
caso de transferencia de axial y momento, es decir axial con excentricidad, como
indica la ref.[15], sección 10.3.1, el corte y momento deben ser transferidos por la
combinación de flexión, torsión y corte en las caras de la sección crítica de la losa
alrededor de la columna.

9.5.3.4 Diseño a flexión.
Los ensayos de zapatas donde la falla es por flexión han demostrado que ésta
se produce a lo largo de secciones de fractura que pasan bordeando las caras de las
columnas, como lo indica la Fig. 9.39. El momento flector producido en esta sección
se encuentra por simple estática como el producido por la presión última q
u (la debida
sólo a la carga axial de la columna, en estado último). Los ensayos han demostrado
que, al igual que en entrepisos sin vigas, la armadura en cada dirección debe resistir
todo el momento estático producido por dicha presión. Por ello, se debe dimensionar a
flexión simple en cada dirección y en forma independiente. El estado real por supuesto
es mucho más complejo, hay flexión biaxial, las presiones pueden en diversos estados
no ser uniformes, pero en definitiva, para la capacidad a flexión, cualquiera de las dos
fallas, asociadas a cada dirección de armado, puede suceder, por lo que se estudian

38
ambas. Si la parte superior de la losa es inclinada, la norma establece que tanto para
el corte como para la flexión debe tenerse en cuenta la variación de la altura, por lo
que es necesario investigar todas las secciones.

Fig. 9.39.
Columna cuadrada sometida a carga centrada. Ubicación de las zonas y
planos críticos para el diseño a flexión. Note que si la losa es de altura
variable la norma exige, sección 15.9.1, la verificación de todos los
requerimientos del capítulo 15 para cada sección de la los
a.

Fig. 9.40. Ubicación de secciones críticas para momento máximo en zapatas y cabezales, en
función del elemento a resistir y su material.

El ACI-318-2002 establece en su sección 15.4.2 cuáles son las secciones
críticas a considerar para flexión, en función del elemento que transmite el axial y del
diseño de la base, tal cual se expresa en la Fig. 9.40.
En la sección 15.4.3 especifica que para zapatas que trabajan en una dirección,
sean cuadradas o rectangulares, y en zapatas de planta cuadrada que soportan
momentos en dos direcciones, la armadura se debe distribuir en forma uniforme a
través del ancho total de la zapata. Para el caso de bases rectangulares, que soportan
momentos en las dos direcciones, para ubicar las barras en la dirección más corta se
debe tener en cuenta que el soporte suministrado por la columna a la zapata se
concentra cerca de la mitad; por lo tanto la curvatura de la zapata es más
pronunciada, es decir el momento por unidad de longitud, es mayor inmediatamente

39
bajo la columna y disminuye hacia los extremos de la dirección larga. Por ello la
distribución de armaduras se hace según se muestra en la Fig. 9.41.
Fig. 9.41. Distribución de la armadura de flexión en zapatas.

Para el ejemplo, resulta:

tmm
mm
m
ton
cBqMM
uuyux
15.20
8
5.00.3
80.258/)(
2
2
2
11
=








-
=-==

por cada metro de ancho de base. En el ancho total de 3.0 metros y en cada
dirección, el momento total es 60.50 tm.
La cuantía mínima que establece el ACI-318 para el caso de losas es el que
corresponde a temperatura y contracción, y es de 0.0018 para el acero ADN-420. Por
lo tanto, en este caso:

2
min
30553000018.0 cmcmcmxxA ==

por lo que se adoptan para una verificación inicial 15 barras de diámetro 16mm
separadas cada 20 cm que da un área total de 30.15 cm
2
. De simple estática, para
sección con armadura simple, la altura del bloque de tensiones equivalentes es:

cm
cmtonxcmx
cmtonxcm
a 36.2
/21.085.0300
/2.415.30
2
22
==

por lo que el eje neutro es entonces
cmc 80.285.0/36.2
== .
La deformación en la armadura extrema traccionada es:

40
056.0
80.2
20.52003.0
==
cm
cmx
smáxe

por lo cual supera ampliamente el límite del 0.005 y puede considerarse como
controlado por la tracción, con lo cual
f= 0.90. En consecuencia:

tmmxcmtonxcmxMM
nd 33.615382.0)/(20.415.3090.0
22
===f

que supera en apenas un 1.5 % el momento de resistencia requerida. La separación
máxima entre barras, sección 7.12.2.2 ACI-318, debe ser de 3 veces el espesor de la
losa y no mayor de 300 mm. Ambas condiciones son satisfechas.

9.5.3.5 Transferencia de fuerzas en la base de la columna.

Cuando una columna descansa sobre una zapata transfiere su carga sólo a una
parte del área total del elemento de soporte. El hormigón adyacente que rodea esta
zona de transferencia suministra apoyo lateral al hormigón cargado. Esto produce
esfuerzos triaxiales de compresión, efecto de confinamiento, que aumentan la
resistencia del hormigón sometido a carga en forma directa bajo la columna. Este
efecto es reconocido por el ACI-318-2002, el cual en la sección 10.17 establece las
condiciones para verificación al aplastamiento.
De nuevo entonces, la ecuación básica de diseño es:

u
´
cndP
A
A
x x A x f. x .φ PP ³==
1
2
1
850650 (9.11)

en donde el factor de 0.85 tiene la misma razón de ser que en resistencia máxima de
columnas, por la diferencia entre un ensayo de probeta cilíndrica y una columna, y:
P
u = carga demanda última o requerida a transferir.
P
d = suministro o resistencia de diseño al aplastamiento.
f = factor de reducción de resistencia por aplastamiento, igual a 0.65, sección 9.3.2.4
f´
c = tensión característica del hormigón de la base.
A
1 = área cargada.
A
2 = área de la base inferior del mayor tronco de cono, pirámide o cuña contenida
completamente dentro del apoyo, que tiene como base superior el área cargada A
1 y
pendiente de los lados iguales a 1 vertical por 2 horizontal (p. 50 %, ángulo 26.5
o
). La
norma permite tomar una superficie mayor de transferencia para verificar el
aplastamiento, pero impone la condición que el factor
2/
12
£AA, es decir que el
área resistente debe ser como máximo el doble del área directamente cargada. Este
factor la norma lo designa como grado de confinamiento, y tiene el significado que se
aprecia en la Fig. 9.42(a), (b) y (c).

41

Fig. 9.42(a) Esquemas para interpretar los factores asociados a la resistencia nominal al aplastamiento
del hormigón.

Fig. 9.42(b) Ejemplos típicos para determinar el grado de confinamiento para la resistencia al
aplastamiento en la interacción columna-base.

42

Fig. 9.42(c)
Vista en planta y elevación de una
zapata de losa escalonada para
interpretar el significado de las áreas A
1
y A
2 en la determinación del factor de
confinamiento para la resistencia al
aplastamiento.

Es claro que si la parte superior de la zapata es plana, y la columna es interior,
A
2 es simplemente el área máxima de la porción de la superficie de apoyo que es
geométricamente similar y concéntrica con el área cargada. Note el caso de columna
de borde, Fig. 9.42(b). La pirámide de confinamiento tiene poca pendiente en las caras
laterales justamente para asegurar que existe hormigón rodeando inmediatamente las
zonas de altas tensiones en el área de apoyo. Para el caso en que la parte superior
esté escalonada, caso de Fig. 9.42(c), se pueden tomar ventajas del hecho que el
elemento de apoyo es mayor, pero se debe observar que un escalón de mayor altura
o más cercano al área cargada que el que se muestra, puede generar una reducción
en el valor de A
2.
Para el ejemplo que se desarrolla:

tonxcmxcmtonxxP
d 58025050)/(21.085.065.0
22
== >232 ton

9.5.3.6 Anclajes, empalmes.

El p-C-201-2002 especifica que para transferir los esfuerzos de compresión y
tracción a la base, las barras se deben anclar y em palmar siguiendo las
especificaciones de su capítulo 12.
En la sección 15.8.2.1 aclara que la sección de armadura que atraviesa la
superficie de contacto debe ser al menos 0. 5 % del área transversal del elemento
apoyado. Esto es para asegurar la integridad de la unión entre la columna y la zapata.
El requisito anterior se puede lograr sea prolongando parte o todas las barras de la
columna en la base, o bien colocando barras de espera o arranque ancladas en la
base y con longitud suficiente fuera de la misma para ejecutar el empalme con las
barras de la columna. La Fig. 9.43 muestra el caso en que se colocan barras de
espera y luego de la unión se empalman con las barras de las columnas. Se debe
recordar que en zonas sísmicas, si esa región de las columnas ha sido diseñada como
zona potencial de rótula plástica, el empalme de barras no es permitido.

43

Fig. 9.43. Detalles de armado, anclajes y empalmes, según el ACI-318 en la unión de la columna con
la base.

Es de destacar que el ACI-318-2002 aclara en la sección 12.14.2.1 que en
general las barras de diámetro mayor de 36 mm no se pueden empalmar por traslape,
dado que los ensayos han demostrado que para esos diámetros grandes se requieren
de soldadura o conectores mecánicos para desarrollar la resistencia. Sin embargo,
como resultados de muchos años de experiencia satisfactoria empalmando barras de
gran diámetro de columnas con barras de menor diámetro de arranque en zapatas,
dicha norma hace en forma explícita la excepción en este caso, y permite que se
utilicen barras con diámetros menores de 32 mm para transferir esfuerzos por
yuxtaposición de barras de diámetros mayores. Esto es a los efectos de reducir la
longitud de desarrollo de la barra dentro de la base, con lo cual se pueden obtener
ahorros en la altura de la misma.
Para el caso del ejemplo que se está desarrollando, se deben anclar las barras
de 25 mm de diámetro que tiene la columna. La cuantía de armadura de la columna es
(4x4.91cm
2
/50x50cm
2
= 0.0157), es decir del 1.57 %. La norma exige que la cuantía en
esa zona sea al menos de 0.005 por lo que al menos deberían pasar las 4 barras de
esquina, o suplir el área de 12.5 cm
2
con armadura equivalente (4 hierros de diámetro
20 mm, por ejemplo).
La longitud de desarrollo, para el caso de barra nervurada en compresión,
como se vio en el capítulo 8, debe ser la mayor entre:

b
c
y
d
d
f
f
l
´
24.0=
y

byddfl 04.0
=

y a su vez mayor de 8d
b y de 150 mm.
Note que la primera de las expresiones coincide con el caso de barra nervurada
en tracción y con extremo con ganchos, para el caso en que los coeficientes que
acompañan la expresión de sección 12.5.2 del ACI-318 sean unitarios. En el ejemplo,
para el caso de atravesar con barras de 25 mm de diámetro, corresponde:

44

mmmml
d
55025
21
420
24.0 ==
o
mmmmxxl
d
4202542004.0==

En definitiva, como el recubrimiento mínimo es de 50 mm, la altura total de la
base seleccionada es adecuada, pero sin margen en exceso. Se aprecia que si la
columna tuviera diámetros mayores de las barras, por ejemplo de 32 mm, ya la altura
disponible no hubiera sido suficiente. En ese caso, si no se aumenta la altura de la
base (que de hacerlo podría ser antieconómico), se podría utilizar la opción de
empalmar o colocar barras de espera de menor diámetro (del 20 mm, por ejemplo).
La otra verificación de longitud de desarrollo que hay que efectuar, es la que
corresponde a la armadura de flexión de la base. La sección crítica de desarrollo es la
misma que la de máximo momento, es decir en la cara de la columna. Para el caso de
barra nervurada, en tracción, sin gancho, l
d siempre debe ser mayor de 300 mm, y:

50.0
=
d
l








cf
f
y
´
abl db

donde para el caso de coeficientes
a, b y l unitarios resulta en este caso:

50.0
=
d
l 





21
420

db = 46 d b = 46x16mm = 735 mm

Por lo que se necesitaría (l
d+d) según NZS, es decir (735mm + 550mm) = 1285mm, y
la longitud disponible es:

mmmm120050
2
500
2
3000
=--
, por lo que habría que colocar ganchos.

Fig. 9.44. Modelo de bielas y tensores que demuestra lo importante de anclar correctamente los
extremos de las barras inferiores sometidas a tracción.

45
La Fig. 9.44 muestra lo que ya se mencionó en el capítulo de adherencia y
anclaje: las barras a tracción deben estar correctamente ancladas para que pueda
desarrollarse el mecanismo de bielas de compresión y tensores de acero. El concepto
a aplicar en los extremos sería el de prolongar las barras a partir de la sección donde
no se las necesita un valor de 1.3d, para seguir el criterio del NZS:3103.

9.6. ZAPATAS PARA MUROS.

La Fig. 9.45 muestra las fuerzas que actúan sobre una zapata que sostiene a
un muro. Si el muro es de hormigón, dada su alta rigidez, la sección crítica se
presenta en la cara del mismo, por lo que el momento flector debe calcularse con
respecto a dicha sección 1-1 de la figura. Este modelo fue demostrado como bueno a
través de ensayos. En esos experimentos se formaron fisuras de tracción en los
lugares que marca la figura, es decir bajo la cara del muro, en vez de presentarse en
la mitad del ancho. Por ello la disposición de la norma que se mostró con la Fig. 9.40.
Dado que la mampostería es menos rígida que el hormigón, el momento máximo se
calcula en la mitad de la distancia entre el centro y la cara del muro.

Fig. 9.45.
Zapata para muros. Ubicación de fisuras observadas en
ensayos, sección crítica según la norma.

Para ese caso, con la notación de la figura, el momento demanda o resistencia
requerida, por metro de largo de fundación es:

( )
2
8
1
abqM
uu-= (9.12)

Para los esfuerzos de corte, se calcula la fuerza de corte vertical en la sección
2-2 que se localiza, como en vigas, a una distancia d de la cara del muro. La
resistencia requerida de corte es entonces:







-
-
= d
ab
qV
uu
2
(9.13)

Para la determinación de la longitud de desarrollo se debe tomar la sección 1-1
como sección donde el acero debe desarrollar toda su resistencia, y la extrema
debería anclarse al menos la distancia d. Así por ejemplo, el código NZS:3103, en la
sección 15.3.5 especifica condiciones de anclaje, y en la sección 15.3.5.4 aclara que
se deben respetar los criterios para interrupción de barras ya mencionados en la
sección 7.3.23 y 7.3.24 de dicha norma, lo que obliga a prolongar las armaduras más

46
allá del punto donde teóricamente, de acuerdo al diagrama de momentos, la armadura
ya no es más requerida.

Ejemplo de N
o
2 . Zapata bajo muro:

Un muro de hormigón de espesor 40 cm soporta una carga permanente D= 20
ton/m y accidental L=15 ton/m. La capacidad del suelo 55 ton/m
2
a una profundidad de
1.50 m por debajo del nivel del terreno, con
gs=1.90 ton/m
3
. Diseñe la fundación con
un hormigón de f´
c= 21 MPa y acero ADN-420. Adopte f= 0.50.
Un tanteo preliminar da un ancho de zapata necesario cercano a 1.90 m.
Adoptamos 2.00 m de ancho. Tomamos como promedio de peso entre suelo y base
2.10 ton/m
3
.

P
u = 1.2 D + 1.6 L + 1.2(Pp(base + suelo)
P
u = 1.2 x 20 + 1.6 x 15 + 1.2x2x1.50x2.1)= 24 + 24 + 7.6= 55.60 ton

q
d = f qc = 0.50 x 55 ton/m
2
= 27.50 ton/m
2
.

2
2
02.2/50.27
60.55
m
mton
ton
A
req =³

la cual verifica la condición de no exceder la presión de diseño, por cada metro de
base del muro.
La presión de contacto mayorada para calcular momento y corte es:

mtontonxtonxP
u
/48156.1202.1
=+=
22
/242/48/ mtonmtonAreaPq
apoyouu
===

El Momento requerido es entonces:

mtmtm
ab
qM
uu /40.15
2
4.02
24
2
22
=





-
=






-
=

Suponiendo d= 25 cm, resulta una resistencia demanda de corte de:

mtonmtonV
u /20.13/25.0
2
4.02
24 =




-
-
=

Para la resistencia al corte, como se trata de flexión en una dirección, se
considera el caso de acción de viga, por lo que:

tonKNNx
mmmmxxdbf
V
oc
c
1919010190 6
250100021
6
3
´
=====

por lo que:

tontonxVV
cd
25.141975.0
===f > 13.20 ton

47

por lo que verifica la condición de punzonamiento sin necesidad de armadura de corte.
Para el armado a flexión, la magnitud del momento hace que no tenga sentido
comenzar con la cuantía mínima sino una aproximación a la requerida por cálculo.
Una aproximación da un requerimiento de 18 cm
2
/m, por lo que correspondería barras
de 16 mm cada11 cm. De simple estática, para sección con armadura simple, la altura
del bloque de tensiones equivalentes es:

cm
cmtonxcmx
cmtonxcm
a 30.4
/21.085.0100
/2.427.18
2
22
==

por lo que el eje neutro está a una profundidad entonces de c= 4.30/0.85= 5.05 cm
La deformación en la armadura extrema traccionada es:

0118.0
05.5
95.19003.0
==
cm
cmx
smáxe

por lo cual supera ampliamente el límite del 0.005 y puede considerarse como
controlado por la tracción, con lo cual
f= 0.90. En consecuencia:

mtmmxcmtonxcmxMM
nd /80.152285.0)/(20.427.1890.0
22
===f

suministro de diseño que supera en apenas un 2% el requerimiento de
resistencia. Se ve que por el voladizo necesario de la base, el problema estaría más
controlado en este caso por flexión que por corte.
La longitud de desarrollo es la que corresponde a la armadura de flexión de la
base. La sección crítica de desarrollo es la misma que la de máximo momento, es
decir en la cara del tabique. Para el caso de barra nervurada, en tracción, sin gancho,
l
d siempre debe ser mayor de 300 mm, y:

50.0
=
d
l








cf
f
y
´
abl db

donde para el caso de coeficientes unitarios resulta en este caso:

50.0
=
d
l 





21
420

db = 46 d b = 46x16mm = 735 mm

y la longitud disponible es:

mmmm750)50
2
400
2
2000
( =--
, por lo cual verifica con poco margen.

Note que si se aplicara el código NZS:3101, en el extremo habría que anclar
con un gancho, preferible a 90
o
, de una longitud no menor, en este caso, de l d= 200

48
mm, a los efectos de cumplimentar con el concepto del modelo de biela-tensor que se
mostró en la Fig. 9.44.
Para el aplastamiento, en este caso es A
2= 1.0, por lo que:

mtoncmxcmtonxxP
d /46410040)/(21.085.065.0
22
== >48 ton

lo cual verifica la condición de diseño con gran margen.

9.7. ZAPATAS COMBINADAS.
9.7.1 INTRODUCCIÓN.

Cuando las bases soportan más de un elemento estructural, columna o muro,
se llaman zapatas combinadas, y pueden en general abarcar dos columnas como
muestra la Fig. 9.8, o varias columnas o muros, como indica la Fig. 9.46, donde todas
las columnas de la construcción están conectadas trabajando en dos direcciones y
conformando lo que se llama cimentación reticular.

Fig. 9.46
Esquema de cimentación reticular, en planta y secci ón
transversal.

Puede ocurrir que las columnas estén en el límite de la propiedad y para que se
conserve aún el criterio de presión uniforme sea necesario combinar la base lindera
con la de una columna interior. Podría también ser el caso que debido a las
dimensiones necesarias para las bases centradas de columnas interiores, éstas estén
muy cerca de solaparse por lo cual es más conveniente combinarlas en una sola
fundación.
Es necesario reconocer que es muy raro que el diseñador deba resolver el caso
muy simple de base aislada sometida a carga centrada. Generalmente los elementos
estructurales verticales deben transmitir también momentos y esfuerzos de corte,
provenientes no solamente de cargas verticales sino también de acciones horizontales
como el sismo y el viento. Por ello el caso de zapatas combinadas y de aisladas
sometidas a cargas excéntricas serán analizadas a continuación. Se hará referencia a
la norma ACI-318-2002.
También es importante recordar que en zonas sísmicas en general se trabaja
con lo hipótesis de que todo lo enterrado sufre las mismas deformaciones y
aceleraciones, es decir el sistema de fundación-suelo trabaja como un elemento rígido
que no permite deformaciones relativas entre sus componentes, similar a la hipótesis
de diafragma rígido que se hace en la superestructura. Es por ello que el código
CCSR-Mza-87, ref.[11], en la sección 5.5.5, y el Reglamento INPRES-CIRSOC 103-II-

49
1983, sección 17.5.3, establece que las fundaciones debe ser arriostradas para
minimizar los desplazamientos relativos durante un terremoto. Así entonces, salvo los
casos que la norma especifica, las bases deben estar arriostradas en el plano del
terreno según dos direcciones en ángulo no menor de 45 grados entre sí. Dichos
arriostramientos deben ser capaces de resistir esfuerzos asociados a los esfuerzos
verticales que deben transmitir y a las características del suelo de fundación.

Fig. 9.47
Esquemas de zapatas
combinadas para dos columnas.
Plantas típicas y expresiones
geométricas asociadas.

9.7.2 ZAPATAS PARA DOS COLUMNAS.

En el diseño de zapatas combinadas se trabaja en general con la hipótesis de
fundación rígida que implica, como antes se explicó, una distribución lineal de las
tensiones en el suelo. Si la resultante de las presiones del suelo, centro de gravedad
del área de contacto efectivo de la fundación, coincide con la resultante de las cargas
de la superestructura a transferir, se obtiene una distribución uniforme de presiones en
el suelo. La fundación real no es infinitamente rígida y tampoco es la presión uniforme
bajo el suelo, pero la experiencia ha demostrado que ante un diseño racional
siguiendo este modelo de comportamiento, los resultados han sido satisfactorios. Esta

50
hipótesis conduce a diseños conservadores. Hay casos sin embargo, mencionados
antes, en que es conveniente considerar la posibilidad de fundación no rígida.
Trabajando con la hipótesis de fundación rígida y buscando distribución
uniforme de presiones, se busca el diseño que permita la coincidencia del centroide
del área efectiva de contacto y de la resultante de acciones externas. Pueden
buscarse diseños como los que se indican en la Fig. 9.47, de forma rectangular,
trapezoidal, T, etc, y en la misma se presentan relaciones sencillas que permiten su
resolución. En general, las distancias indicadas con n y m son datos. Una vez
determinadas las dimensiones de la zapata, incluida una estimación de la altura útil d,
se pueden trazar los diagramas de cargas, cortes y momentos y verificar las
dimensiones adoptadas. En general, se verifica que para el corte no sea necesario
armaduras (por razones de economía) y se diseñan los refuerzos necesarios para
absorber los esfuerzos de flexión, con los conceptos antes vistos para bases aisladas.
También se debe verificar el aplastamiento del hormigón y los requerimientos de
anclajes y empalmes de barras.
Las cargas de las columnas pueden tomarse como concentradas a los efectos
de evaluar los esfuerzos sobre las fundaciones. Para el diseño de todas maneras se
pueden obtener los valores de los esfuerzos en las secciones críticas según
correspondan para corte y flexión. Aún para el caso de zapatas combinadas con tres o
más columnas, el problema es estáticamente determinado pues las reacciones de las
columnas (cargas de la superestructura) son conocidas y la presión del suelo es la
que se ha obtenido como cociente entre la carga axial neta (no incluye peso propio de
fundaciones ni suelo por encima) sobre el área de contacto.
Longitudinalmente la zapata se puede interpretar como una viga de uno o
varios tramos, cargada hacia arriba con la presión neta del suelo y soportada por las
reacciones de las columnas. Puede tener tramos en voladizo como muestra la Fig.
9.47. Como la viga es más ancha que las columnas, las cargas de éstas se distribuyen
en dirección transversal mediante vigas transversales, en las zonas de más rigidez, es
decir bajo las columnas. Cuando las zapatas tienen un ancho B de cierta
consideración las presiones de suelo pueden producir momentos importantes en esas
vigas en voladizos. Estas vigas representan franjas transversales que deben resistir
los momentos y cortes transversales. Por supuesto que la franja que está
directamente bajo la columna no se deforma en forma independiente sino es ayudada
por las franjas adyacentes en lo que se llama ancho efectivo transversal. Es claro que
el ancho efectivo será mayor que el ancho de la columna. También es obvio que
nunca será mayor que el ancho limitado por el borde libre y la el eje entre columnas.
El problema es definir un ancho razonable para cada columna al que se le va a
asignar la responsabilidad de resistir el momento inducido por la carga de esa
columna en particular. La ref.[3] sugiere tomar como ancho efectivo transversal el que
resulta de suponer que las cargas se distribuyen hacia fuera desde las columnas y
dentro de la zapata con una pendiente 1:2 (1 medida horizontal y 2 verticales), es
decir con un ángulo de 26.50
o
a partir de la cara externa de la columna. El ancho
efectivo es entonces la dimensión de la columna perpendicular en dirección
longitudinal más la altura útil d. Sin embargo, la ref.[8], sugiere usar 1.5d más el ancho
de la columna, es decir la pendiente de transmisión sería ahora 3:4, con ángulo de
36.9
o
. Estimo que ambos criterios son conservadores, como se verá en el ejemplo que
se desarrolla a continuación, y tal vez se podría tomar un ancho d a cada lado de la
cara de la columna, es decir pendiente 1:1, con ángulo de transmisión de 45
o
. Sin
embargo, si se aplican la sección 15.4.4 del ACI-318 la distribución sería aún diferente
y estimo que más racional. Lo que habría que aclarar es cómo se aplica dicho artículo

51
al caso de zapatas combinadas, donde el código ACI en su sección 15.10 no lo aclara.
En definitiva, las franjas de anchos efectivos bajo las columnas deben tener armadura
para resistir los momentos asociados a cada carga de columna en particular, y el
resto, entre los anchos efectivos deben contener la armadura mínima de código.
Ejemplo N
0
3. Base combinada. Sección Rectangular.

Se pide el diseño de una base combinada para dos columnas, similar a la de
Fig. 9.47 con sección rectangular, que debe soportar una carga P
2 asociada a D 2= 30
ton y L
2= 30 ton, proveniente de una columna de 30x30 cm con 4 barras de diámetro
20 mm, y una carga P
1 debida a D 1= 55 ton y L1 = 45 ton transmitida por una columna
de 40x40cm con 6 barras de 20 mm. La distancia entre ejes de columnas C
1 y C2 es
de s= 4.60m. Se adopta un hormigón de f´
c= 21 MPa, acero con f y= 420 MPa y suelo
con capacidad de carga q
n= 30 ton/m
2
a una profundidad de 1.00 m. Adoptar f= 0.50
para el suelo, con una densidad del mismo de 1.90 ton/m
3
.
Paso 1. Obtener las resistencias últimas o requeridas si los datos son cargas de
servicio.

N
u1 = 1.2 x 55 t + 1.6 x 45 t = 138 t
N
u2 = 1.2 x 30 t + 1.6 x 30 t = 84 t
N
uT = 222 t

Paso2. Encontrar largo l= L de la fundación.

La base tiene como borde el borde exterior de la columna C
2, por lo que m= 0.15m.

N
u1 x s= 138 t x 4.60m = R x n = 222 t x n
n= 2.85 m

A los efectos de tener presión uniforme:

L= 2(m + n) = 2 (2.85 + 0.15)m = 6.00 m

Paso 3. Obtener el ancho b= B.
Para verificar la presión máxima de suelo se debe tener en cuenta también el
peso propio de la fundación y suelo por encima. Dado que la base estará enterrada
cierta profundidad, el mismo se estima en 15 % de N
u= R, y luego se verifica.

B= 1.15 N
ut /(qd x L) = 255 t / (15t/m
2
x 6.0 m) = 2.85 m

Resistencia de diseño del suelo q
d = f qn = 0.50 x 30t/m
2
= 15 t/m
2

Se adopta un ancho de B= 3.0 m

Paso 4. Verificación de la presión máxima del suelo.

Se estima la altura útil de la losa de altura constante en d= 0.45 m, es decir h=
50cm. Por la condición de anclaje en la base se necesita al menos una longitud de
desarrollo:

mmmml
d
43020
21
420
24.0 ==

52

Fig. 9.48
Sección transversal con
dimensiones, esquema de
cargas, diagrama de esfuerzos
de corte y diagrama de
momentos flectores
longitudinales para el ejemplo
No. 3.

(Note que si las barras hubieran sido de 25 mm de diámetro, la longitud l
d requerida
hubiera sido 540mm, es decir mayor de la adoptada).
En consecuencia el peso propio de base y suelo es:

P
p = (3.0mx6mx0.5mx2.4t/m
3
) + (3.0mx6mx0.5x1.9t/m
3
)= 38.70 t
Peso propio mayorado
DNu = 1.2 x 38.70t = 46.50 t (resultó cerca del 20%).

Verificación de resistencia del suelo:
q
u = (222 + 46.50)t /(3 x 6 m
2
) = 14.90 t/m
2
< qd = 15 t/m
2
, O.K.

Paso 5. Cálculo de la presión neta última de suelo para verificar la fundación.

q
B
u
= 222 t / 18 m
2
= 12.33 t/m
2

Esta es la presión para verificar al corte y flexión, pues el peso propio de la
fundación y del suelo no produce esfuerzos.

Paso 6.
Obtener los diagramas de carga, cortes y momentos, por simple estática.
La Fig. 9.48 muestra en (a) la carga lineal uniforme sobre la losa de ancho
constante, igual a 12.33 t/m
2
x3.0 m= 37 t/m; Verificamos: 37t/m x 6m = 222 ton. O.K.

53
(b) la distribución de esfuerzos de corte, que tienen variación lineal por ser la carga
constante. El punto para corte nulo está a 2.27 m del borde libre cercano a la columna
C
2, ya que:

x
45.78
60.4
20.170
=
, por lo que x=2.12 m, y V=0 para x 1 = 2.12m + 0.15m = 2.27m

(c) el diagrama de momentos flectores a lo largo de L, con variación parabólica por ser
el corte lineal. El momento flector máximo está en x
1, y vale:

M
máx= 84t x 2.12m 37 x 2.27
2
/ 2 tm = 82.75 tm.

Paso 7. Seleccionar y verificar la altura útil d. Verificación al corte.

Se había adoptado d= 45 cm, es decir h= 50 cm para contemplar el
recubrimiento mínimo de 50 mm que exige el código para estructuras enterradas.
(i) Acción de viga: por lo que expresa la Fig. 9.48, se ve que en la Fig. 9.49 la sección
crítica para corte por acción de viga está sen la sección 1-1, a una distancia d a la
derecha de la cara de la columna C
2. El corte demanda es allí:

V
1-1= 91.75 t 37t/m x 0.65 m = 67.70 t, o bien evaluado de esta forma:

V
1-1= 138.0 t 37t/m x 1.90 m = 67.70 t.

El corte suministro para este mecanismo es, por acción de viga:

V
d = fVn = fVc =
ttKNNxx 70.67797737730004503000
6
21
75.0 >===

La otra posibilidad de falla por corte como acción de viga está en la dirección
transversal, el el trabajo como vigas en voladizo. En la sección 2-2, a una distancia de
45 cm de la cara de las columnas, se da este corte:

V
2-2= 6m x 0.90m x 12.33 t/m
2
= 66.60 t < 79 t.

(ii) Acción en dos direcciones.

Se debe verificar alrededor de las columnas C
1 y C2.

(a) alrededor de C
2
Perímetro crítico de 3 lados alrededor de C
2, dado por:

b
o = (0.30 +0.45/2)mx2 + (0.30 + 0.45/2 + 0.45/2)m = 1.80m

El corte demanda o resistencia requerida es la carga en la columna menos la
presión del suelo dentro del perímetro crítico, es decir:

V
u = 84 t 12.33 t/m
2
x 0.525m x 0.75m = 84 t 4.85 t = 79.15 t.

54

Fig. 9.49. Planta de la fundación y ubicación de las secciones críticas de Ejemplo N
o
3.

El corte suministro o de diseño sale a partir del valor de V
c que sea el menor de
las siguientes tres posibilidades, como antes se explicó:

a)
6
2
1
´
dbf
V
oc
c
c








+=
b
(9.10
a)

b)
12
2
´
dbf
b
d
V
oc
o
s
c








+=
a
(9.10
b)

c)
3
´
dbf
V
oc
c
= (9.10
c)

que se pueden expresar en esta forma:

dbvV
occ
=

en la cual se busca el menor valor de
c
v, tensión de corte nominal del hormigón, y que
en este caso, corresponde para el primer caso, como
bc= 1.0 un valor de:
´
50.0
cc
fv=

para el segundo caso, por ser
as= 30, corresponde:

´
625.0
cc
fv=

y para el tercer caso, directamente es:

55
´
3333.0
cc
fv=
que es el que controla (note que es exactamente el doble que el corte aceptado para
acción de viga). Entonces:

y la resistencia al corte es entonces:

ttmmxxmtxVV
cd 15.7934.9245.080.1/15275.0
2
>===f

(b) alrededor de C
1
Perímetro crítico de 4 lados alrededor de C
1, dado por:

b
o = 4 x 0.85m = 3.40m

El corte demanda o resistencia requerida es la carga en la columna menos la
presión del suelo dentro del perímetro crítico, es decir:

V
u = 138 t 12.33 t/m
2
x 0.85m x 0.85m = 138 t 8.90 t = 129.10 t.

y de nuevo, usando las ecuaciones (11), el primer caso, como
bc= 1.0 un valor de:
´
50.0
cc
fv=

para el segundo caso, por ser
as= 40, corresponde:

´
607.0
cc
fv=

y para el tercer caso, directamente es:

´
3333.0
cc
fv=
que es el que nuevamente controla. Entonces:

y la resistencia al corte es entonces:

ttmmxxmtxVV
cd 10.12917445.040.3/15275.0
2
>===f

Paso 8. Diseño de la armadura a flexión.

A) Sentido Longitudinal.
(i) Armadura superior.

A partir de la cuantía mínima la armadura necesaria para todo el ancho B es:
A
min = 0.0018 x 300cm x 45 cm= 24.30cm
2

Pero a partir del momento máximo, la armadura necesaria, usando una fórmula
aproximada, es:
2
/15252.1213333.0 mtMPav
c ===
2
/15252.1213333.0 mtMPav
c ===

56

22
54
452.49.0
9.0/8275
cmcm
xx
A
nec ==

por lo que se ve que se va a necesitar bastante más que el requerimiento de mínima.

Se adoptan 17 barras de diámetro 20 mm, que dan una armadura total de
53.40cm
2
. Se verifica resistencia:

a x 0.85 x 0.21 t/cm
2
x 300 cm= 52.40 x 4.2 t = 224 t
de donde a = 4.19 cm, y la altura del eje neutro sería entonces c= 4.19/0.85= 4.93 cm.

M
n = 224 t (45 4.19/2) cm = 96.10 tm

La deformación en la fibra traccionada de acero es:

es = 0.003x40/4.93 = 0.024, mayor de 0.005, por lo que entonces:

M
d = 0.90 x 96.10 tm = 86.50 tm > 82.75 tm (excede en 4.5 %). O.K.

En definitiva, para los 288 cm disponibles (dejando 6 cm libres desde cada
borde) se adoptan 17 barras de diámetro 20 mm separadas cada 18 cm.

(ii) Armadura inferior.

Momento a cara exterior de columna interior C
1:

tmmtM
u 40.20
2
20.025.1
/37
2
=





-
=

22
30.13
452.49.0
9.0/2040
cmcm
xx
A
nec ==

Por lo que controla el requerimiento de cuantía mínima, o bien colocar un 33 %
más de la armadura necesaria, es decir 18 cm
2
. De nuevo, adoptamos 17 barras, en
este caso de diámetro de 12 mm que dan 19.21 cm
2
, con separación de 18 cm, y
enfrentadas con la armadura superior.

B) Sentido Transversal.
En el sentido transversal, tal cual se aclaró antes, cada franja transversal bajo
cada columna debe resistir con su ancho efectivo el momento asociado a la carga
puntual de cada columna. El ancho efectivo, siguiendo a Bowles, ref.[8], sería:

B
c1 = 0.40 m + 1.5 x 0.45m = 1.075 m

y la presión neta a resistir en ese ancho será:

Q
u-c1= 138 t / (1.075m x 3m) = 42.79 t/m
2

El Momento a cara de columna C
1 es entonces:

M
u = 42.79 t/m
2
[(3 0.40)/2]
2
m
2
= 73.32 tm en el ancho de 1.075m.

57

La armadura necesaria resulta:

22
47
452.49.0
9.0/7332
cmcm
xx
A
nec ==

para el cual se adoptan 10 barras de diámetro 25 mm, separadas cada 12 cm.
Como se puede apreciar, resulta bastante armada esa franja. Para reducir esa
cantidad de acero lo que se podría hacer es aumentar la altura útil, o bien utilizar otro
criterio para definir el ancho efectivo, con base a lo especificado por el ACI para
zapatas de una columna.
Para la columna C
2, en forma similar:
B
c2 = 0.30 m + 1.5 x 0.45m = 0.975 m

y la presión neta a resistir en ese ancho será:

Q
u-c1= 84 t / (0.975m x 3m) = 28.72 t/m
2

El Momento a cara de columna C
2 es entonces:

M
u = 28.72 t/m
2
[(3 0.30)/2]
2
m
2
= 56.30 tm en el ancho de 0.975m.

La armadura necesaria resulta:

22
37
452.49.0
9.0/5630
cmcm
xx
A
nec ==

lo cual nuevamente requiere de barras de 25 mm de diámetro separadas 12 cm, con
un total de 8 barras en el ancho de 97.5 cm.
La Fig. 9.50 muestra cómo se distribuyen las armaduras longitudinales y
transversales antes determinadas. En las franjas transversales que no han sido objeto
de diseño por momentos, se coloca la armadura mínima de código. Tomando una
separación de 20 cm, la armadura mínima es:

A
mín = 0.0018 x 20 cm x 45 cm = 1.62 cm
2

para lo cual se dispone de una barra de diámetro 10 mm arriba y otra abajo, que
sirven además como armaduras de repartición a las colocadas longitudinalmente. La
opción es colocar barras de 12 mm separadas 28 cm.

Paso 9. Verificación al aplastamiento.

Para columna C
2, con 3 lados efectivos solamente por lo que no hay incremento
de A
1, la resistencia de diseño es:

N
d = 0.65 x 0.85 x 0.21 t/cm
2
x 30 cm x 30 cm = 104 ton > 84 t.

Para la columna C
1, con 4 caras efectivas, se toma en este caso
2/
12
=AA,
por lo cual:

58

N
d = 0.65 x 0.85 x 0.21 t/cm
2
x 2 x 40 cm x 40 cm = 371 ton > 138 t.

Fig. 9.50. Esquema de ubicación de armaduras longitudinales y transversales para el Ejemplo N
3
3 en
la sección longitudinal.

Ejemplo N
o
4. Base combinada. Sección Trapezoidal.

Se trata de una base combinada en la que la columna exterior lleva ahora la
carga mayor. La resultante de las fuerzas debe estar más cerca de la columna
externa, que lleva la mayor carga, y para tener presión uniforme al duplicar la
distancia del centroide de la base, ésta puede no ser suficiente como para alcanzar la
otra columna. Por ejemplo, en el ejemplo anterior si la columna exterior soportara los
138 t y la interior 84 t, el centroide se ubicaría a 1.74 m de la columna exterior, por lo
que el largo necesario para presión uniforme debería ser de (1.74+0.2)x2 = 3.88 m,
que no alcanza a cubrir la columna interior. Por ello se adopta una forma trapezoidal
como la que muestra la Fig. 9.47(b). Se dan como datos:

Para columna C
1:
D
1 = 80 t L1 = 60 t sección 50cmx50cm At = 8 barras 20 mm
Para Columna C
2:
D
2 = 120 t L2 = 90 t sección 50cmx50cm At = 8 barras 20 mm
Separación entre columnas S= 5.50 m
m= 0.25 m, es decir que el borde de columna coincide con el borde de base.

Resistencia nominal del suelo q
n= 60 t/m
2
. Coeficiente f= 0.50. Suponer suelo
con esa resistencia en la misma superficie, o sea a nivel de terreno natural.

Paso 1. Determinación de cargas últimas.
N
u1 = 1.2 x 80 t + 1.6 x 60 t = 192 t.
N
u2 = 1.2 x 120 t + 1.6 x 90 t = 288 t
N
uT = 480 t.

59
Paso 2. Ubicación del centroide.

R x n = 480 t x n = N
u1 x S = 192 t x 5.50 m
n= 2.20 m
Por lo tanto c
2 = 2.20 m + 0.25 m = 2.45m

Paso 3. Área necesaria y geometría.

A= (b
1 + b2)/2 x L = R / qd = 480 t / 30 t/m
2
= 16 m
2

Adoptando L = 5.50 m + 0.25 m + 0.25 m + 0.50 m = 6.50 m
es decir la distancia entre filos externos de columnas más una distancia estimada
igual a la profundidad efectiva d, más allá del filo externo de la columna interior. Por lo
tanto, resulta:

(b
1 + b2) = 16 m
2
x 2 / 6.50 m = 4.923 m.

Como c
2 es conocido e igual a:

m
bb
bb
bbL
mc





+
=








+
+
==
923.4
2
17.2
2
3
45.2
21
21
21
2

resulta entonces que (2b
1 + b2) = 5.563 m, y combinando con la suma de los lados:

b
1 = 0.643 m y b2 = 4.28 m.

A partir de estas determinaciones, se procede a evaluar los esfuerzos de corte
y momentos a lo largo de la base, teniendo en cuenta ahora que, aunque la presión de
suelo es uniforme, la carga por unidad de longitud varía linealmente, por lo que el
diagrama de corte es una función parabólica y el momento una función cúbica. Así por
ejemplo en el filo menor la ordenada de la carga es 30 t/m
2
x 0.643 m = 19.30 t/m, y
en el filo mayor es 30 t/m
2
x 4.28m = 128.40 t/m.
Una alternativa, por ejemplo, hubiera sido elegir L= 6.0 m, es decir de filo a filo
de columnas, con lo cual resulta b
1 = 1.20 m y b2 = 4.12 m. Se deja al lector su
comprobación, como así también el resto de verificaciones y diseño de la base.

9.7.3 ZAPATAS CON VIGAS DE AMARRE.

Otra variante cuando la zapata individual no puede resultar centrada con una
columna exterior consiste en conectar la zapata excéntrica con la de una columna
interior mediante una viga bastante rígida. Esta viga, llamada a veces de amarre o de
equilibrio, tiene la función de resistir la tendencia a inclinación de la zapata exterior e
induce tensiones uniformes bajo ésta. La viga transmite el momento inducido por la
excentricidad en la base exterior hacia el extremo donde se conecta con la columna
interior. En la Fig. 9.51 se muestra un esquema pos ible para soportar las
excentricidades que crea un muro lindero.
En general, dado que la viga se diseña a flexión, la viga se construye de modo
de no hacer contacto con el suelo, o bien se coloca suelo suelto debajo de ella en
varios centímetros, a los efectos de que no actúe presión de suelo sobre ella. Se sigue

60
trabajando en la hipótesis de presión uniforme, por lo cual hay que proporcionar la
fundación de modo que las resultantes de acciones de columnas coincida con el
centroide de la base completa.

Fig. 9.51
Esquema de una fundación
combinada que conecta a la
columna exterior con otra
interior con viga de equilibrio

Ejemplo N
o
5. Base combinada con viga de amarre.

Se trata de resolver el diseño de una base con viga de equilibrio en una
situación como la que se muestra en la Fig. 9.52.

Datos:
Columna exterior: Columna interior
D
e = 40 t Le = 20 t D i = 60 t Li = 30 t

Capacidad nominal del suelo q
n = 30 t/m
2
. gs=1.9 t/m
3

f´
c= 21 MPa gho =2.3 t/m
3
fy= 420MPa

Separación entre ejes de columnas S = 6.0 m

Paso 1. Determinación de cargas últimas.
N
ue= 1.2 x 40t + 1.6 x 20 t = 80 t
N
ui= 1.2 x 60t + 1.6 x 30 t = 120 t
N
uT = 200 t

Se pueden adoptar varias soluciones. Todo dependerá de las suposiciones que
se adopten. Por ejemplo, para una excentricidad e= 1.0m,

S´= L - e = 6.0 m 1.00 m = 5.0 m

Tomando momentos respecto a eje de columna interior, y estimando el peso
propio de la viga en un 5 %, y asignándolo por partes iguales a cada columna, es
como si en la interior el axial fuera de 80 t x1.05 = 84 t y en la interior 1.05 x 120 t=
126 t, es decir carga total de 210 t. Entonces:

N
e x S Re x S´ = 0, por lo que:

R
e = 84 t x 6 m / 5.0 m = 101 t

61

Fig. 9.52 Esquema en vista y planta para el caso de una zapata combinada con viga de equilibrio que
corresponde al Ejemplo N
o
5.

Por lo que la reacción en la base interior será:

R
i = 210 t 101 t = 109 t.

La longitud de la base externa para presión uniforme en base a la excentricidad
adoptada debe ser:

L
e = 2(1.0 m + 0.20 m) = 2.40 m

y el área requerida, asumiendo que el peso propio de base y suelo sobre ella será del
orden del 15 %:

A
e = 101 t x1.15 / (0.5 x 30 t/m
2
) = 7.75 m
2

de donde el ancho de la base será:
B
e = 7.75 m
2
/ 2.80 m = 3.20 m.

Para la base interior, el área necesaria es:

A
i = 109 t x 1.15 / 15 t/m
2
= 8.35 m
2
por lo cual se adopta una base cuadrada de 3.0 m
de lado.

Como se ve, la presiones en la base externa e interna serán aproximadamente
iguales y cercanas a 15 t/m
2
. Se debe tratar de que ambas tensiones sean casi
iguales para no provocar o minimizar asentamientos diferenciales.

62
Para diseñar la altura útil d de la losa de la base, suponemos un valor a verificar
d= 45 cm, es decir h= 50 cm, con perímetro crítico entonces de:

b
o = 4 x 0.85 m = 4.20 m
y verificamos al corte, teniendo como demanda:

V
u = 15 t/m
2
x (3.0x3.0 m
2
0.85x0.85m
2
) = 15 x 8.3 t= 125 t

y el suministro es:
V
d = 0.75 x 0.333 x (21)
1/2
x 4.2 x 450 KN = 2165 KN = 220 t > 125 t.

Adoptando un ancho de viga de 55 cm, y altura total h
v= 1.20 m, Bowles sugiere
que para que la hipótesis de base rígida sea valedera, debe ser I
viga /Ibase > 2.0. En
este caso:

que cumple la condición de ser mayor que 2.0

Verificación de tensiones en el terreno.

El peso propio de la viga es entonces, al quedar 2.30 m como distancia libre
entre bases:

(0.55 x 1.2 x 2.3 m
3
+ 0.55 x 0.5 x 3.5 m
3
) x 2.3 t/m
3
= 5.7 ton.

y el peso total de las bases:

(3.2 x 2.4 x 0.5 + 3.0 x 3.0 x 0.5) x2.3 t/m
3
= 19 t, mientras que el peso del suelo por
encima de las bases es:

(3.2 x 2.4 x 0.7 + 3.0 x 3.0 x 0.7 2 x 0.40
2
x 0.70) x 1.9 t/m
3
= 22 t
que mayorado por el factor 1.2 resulta en
DD= (5.7+19+22) t = 56 t.

La presión total sobre el suelo es entonces:

2
/34.15
0.30.32.34.2
56200
mt
xx
=
+
+

por lo cual habría que hacer un pequeño ajuste de dimensiones de la base para bajar
la tensión al valor 15 t/m
2
fijada como tensión confiable (de todos modos el autor de
este trabajo considera que eso no es necesario pues la diferencia es de apenas 2.3%,
es decir insignificante).

El paso siguiente es completar la verificación de las bases a corte, que sólo se
hizo para la columna interior, y luego se pueden trazar los diagramas de cargas
finales, de corte y de flexión a lo largo de la viga de equilibrio, calculando los esfuerzos
en hipótesis de viga rígida. Para estas verificaciones, se deben calcular las presiones
38.2
50.020.3
2.155.0
3
3
==
x
x
I
I
losa
viga

63
o reacciones netas en el suelo, es decir sin la inclusión del peso propio de bases y
suelo pues estas no generan esfuerzos internos.

q
ue= 101 t / 3.2 x 2.4 m
2
= 13.15 t/m
2

q
ui= 109 t / 3.0 x 3.0 m
2
= 12.15 t/m
2

es decir prácticamente iguales, pero menores a la presión de diseño.

En definitiva se determinan los esfuerzos internos en la viga, en este caso de
un solo tramo, estando sometida a una presión hacia arriba de 13.15 t/m
2
a lo largo de
2.40 m en la zona de la base exterior, y además a una presión de 12.15 t/m
2
en la
zona de la base central. El equilibrio se completa con las cargas concentradas de 101
t en el eje de la columna exterior y 109 t en la columna central. Se deja al lector la
determinación de los esfuerzos.

9.8. ZAPATAS RÍGIDAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE.
9.8.1 INTRODUCCIÓN.

Las zapatas están sometidas frecuentemente a momentos de vuelco y a
cargas axiales, por lo cual la resultante de la presión de suelo no coincide con el
centroide de la base, como se mostró en la Fig. 9.28. Lo que resulta es una
distribución de presiones, ya no uniforme, en el suelo que varía linealmente, y cuya
resultante coincide con la carga axial P como se mostró en la figura citada. Podría
ocurrir un cierto giro de la base.
Las consecuencias más importantes a tener en cuenta son:
(i) al no haber distribución uniforme de presiones, tampoco las tensiones
de corte serán uniformes alrededor de la sección crítica. Se deben
aplicar otros criterios para su verificación, que más adelante se verán.
(ii) Habrá que revisar las condiciones de columna e mpotrada si se
hubiera hecho esta suposición en el diseño. El giro de la base se
traducirá en una redistribución de esfuerzos.
(iii) El suelo no resiste tracción, por lo que el equilibrio se debe lograr con
el área en compresión.
Las ecuaciones (9.6) y (9.7) dan las expresiones de las tensiones del terreno,
según la resultante tenga una excentricidad menor o mayor que L/6.
Si la columna está sometida a momentos según los dos ejes, la presión del
suelo tendrá esta expresión:

x
uy
y
xuu
máxI
yM
I
xM
A
P
q ±±=
min,
(9.14)

donde I
x e Iy son los momentos de inercia de la base respecto al eje X e Y
respectivamente, con x e y como las distancias de los ejes hasta donde se evalúan las
presiones.

64
En ref.[8] se menciona que ensayos realizados sobre placas cuadradas de 15,
20 y 25 cm sobre arena y mantos de arcilla, demostraban que c uando se
incrementaban las presiones más que ocurrir separación de las placas del suelo, lo
que estaría asociado a signo negativo de tensiones, lo que pasaba era que el suelo
entraba en plastificación y se producía una redistribución de la presión del suelo hacia
zonas donde uno computaría como de tracción. Es por eso que los códigos aceptan
distribuciones de presiones como la que se mostró en la Fig. 9.31, con zonas elásticas
y plásticas, o directamente todo en plasticidad, con el modelo de suelo LE-PP que se
mencionó antes.
El caso de tensiones de corte no uniformes es contemplado en el ACI-318-2002
en su sección 11.12.6, en donde se trata el tema de uniones de columnas y losas. En
estos casos se habla de momento flector no balanceado, y en el caso de losas tipo
placas, sin vigas, hay que transferir momentos entre las losas y las columnas, que
pueden surgir ya sea por cargas gravitatorias no simétricas o por acciones de viento o
sismo. Para comprender el tema se lo analizará a partir del comportamiento de
entrepisos de losas apoyados en columnas.

9.8.2 COMPORTAMIENTO DE CONEXIONES LOSA-COLUMNA TRA NSFIRIENDO
CORTE Y MOMENTO NO BALANCEADO.

En el caso de una losa placa o plana soportando car gas gravitatorias
generalmente existirá la necesidad de transferir cortes y momentos no balanceados en
las columnas de borde y en algunas interiores. Este aspecto del diseño se torna
particularmente importante cuando por acciones horizontales debidas al viento y/o
sismo los momentos no balanceados resultan de valor considerable. La transferencia
del momento no balanceado causa que la distribución de tensiones de corte en la losa
alrededor de la columna no sea uniforme y reduce la resistencia de la conexión.
Si en la losa se alcanza la resistencia al corte, la losa fallará en tracción
diagonal sobre el lado de la columna donde actúan las tensiones de corte verticales
más elevadas, resultando en una falla de punzonamiento a través de la losa y las
barras de la armadura superior producen la destrucción del recubrimiento de
hormigón. La Fig. 9.53 (a) muestra la unión losa-columna en un dispositivo de ensayo
después de una falla de corte por transferencia de corte y momento no balanceado.
En la Fig. 9.53(b) está una vista más cercana de la zona de falla de la losa habiéndose
removido el hormigón fallado, mostrando el la extensión de área afectada del
recubrimiento superior de hormigón.
Una falla alternativa a la de corte es falla por flexión a partir del desarrollo de un
mecanismo que involucra varias líneas de fluencia, como por ejemplo se muestran en
la Fig. 9.54. Sin embargo, aplicando la teoría de líneas de fluencia generalmente se
subestima la capacidad a flexión debido a que como se explicó antes, en la conexión
se inducen fuertes fuerzas de compresión en el plano que la losa inducidos por las
zonas elásticas que rodean a las plásticas y que crean efecto de confinamiento que
aumentan la resistencia a flexión. Esta mejora de la capacidad a flexión no es tenida
en cuenta por la dificultad para estimar las fuerzas de membrana, que incluyan efectos
de confinamiento, fisuración y la geometría de desplazamientos de los segmentos de
losa.

65

Fig. 9.54. Placa lo losa plana (sin vigas cargada
uniformemente con modo local de falla de forma cónica
en los puntos de apoyo.

Fig. 9.53 Modelo físico de una conexión losa-columna
transfiriendo corte y momento no balanceado después de
haber sido ensayado hasta su falla (de Ref.[15]. (a) Vista
general; (b) vista cercana y ampliada de la falla.

En el caso de entrepisos de losas sin vigas, se dispone de armadura de corte
en la losa alrededor de la columna a los efectos de incrementar tanto la resistencia al
corte como la ductilidad de la conexión. Se hace notar que el uso de entrepisos sin
vigas en zonas de alta sismicidad debe limitarse a los casos en que se verifique que
las condiciones de rigidez son adecuadas como para no provocar colapso por
excesiva flexibilidad de los sistemas sismorresistentes.
Durante un terremoto, las uniones losa-columnas de losas placas pueden verse
sometidas a varias reversiones de momentos no balanceados lo cual puede conducir
a la falla por degradación de la resistencia al corte. Por ello se debe incorporar
necesariamente armadura de corte en la unión.
En el caso de bases, se las diseña para que permanezcan en el rango elástico,
para evitar disipación de energía en las fundaciones y evitar el uso de armadura de

66
corte pues, en general, es más económico colocar mayor cantidad de hormigón y
absorber todo el corte sin armaduras.

9.8.3 PROCEDIMENTO DEL ACI-318.

El presente procedimiento ha sido desarrollado para losas que no cuentan con
armadura de corte. Sean V
u y M u respectivamente los cortes y momentos no
balanceados para cargas mayoradas, estado U, que actúan respecto al eje centroide
de la sección de la columna. La sección crítica está ubicada de forma que el perímetro
es un mínimo pero no necesita estar más cerca que d/2 del perímetro de la columna,
donde d es la altura útil de la armadura de flexión de la losa. Del total de momento no
balanceado, M
u, un parte que es gvMu se supone que es transferido por excentricidad
de corte con respecto al centroide de la sección crítica de la losa y el resto, (1 -
gvMu),
se supone que se transfiere por flexión de la losa, y donde:

( )
)/()3/2(1
1
1
21
dcdc
v
+++
-=
g (9.15)

En esta expresión c
1 es la dimensión de la sección rectangular o rectangular
equivalente medida en la dirección del momento y c
2 la dimensión en la dirección
transversal. Se ve que
gv= 0.4 para el caso de columnas cuadradas (c 1=c2). En
secciones rectangulares
gv > 0.4 si (c 1 > c2) y a la inversa.
La fracción del momento no balanceado transferido por flexión de la losa, (1 -
gvMu), se supone que se transmite por la resistencia de diseño de la losa sobre un
ancho efectivo cuyos límites son las líneas ubicadas a una distancia 1.5h por fuera de
las caras de las columnas. En consecuencia se debe colocar armadura de flexión
suficiente en ese ancho para transferir el momento. Esto implica que puede ser
necesario agregar armadura a la losa en el ancho mencionado además de la que se
requiera para soportar todos los otros estados de carga. La capacidad nominal al corte
se debe evaluar en función de las ecuaciones (9.10).
La evaluación de las tensiones máximas de corte en la sección crítica para
varios tipos de conexiones se desarrollan a continuación y se muestran en la Fig. 9.55.
(i) Conexión de columna interior. En la Fig. 9.55(a) se muestra la sección
crítica y la distribución de tensiones de corte para este caso, que para las
caras AB y CD son:

c
ABuv
c
u
AB
J
cM
A
V
v g
+= (9.16)
y

c
ABuv
c
u
CD
J
cM
A
V
v g
-= (9.17)

donde c
AB y cCD son respectivamente las distancias desde las caras AB y CD de la
sección crítica al eje centroide cc, A
c es el área de hormigón de la sección crítica, y
J
c es una propiedad de la sección similar a un momento de inercia polar.

67
)2(2
21
dccdA
c
++= (9.18)

2
1
2
3
1
3
1
2
)(2
12
)(2
12
)(2






+
++
+
+
+
=
dc
dcd
ddcdcd
J
c
(9.19)

Fig. 9.55. Suposición de ubicación y dimensiones de las secciones críticas y distribución de las
tensiones de corte para transferir corte y momentos no balanceados. (a) conexión a columna
interior; (b) conexión de columna de borde y (c) conexión a columna de esquina.

Estas expresiones son las que aparecen en la sección C.11.12.6.2, comentarios
del ACI-318, y asociados a la figura de sección 11.12.6.2 de dicha norma.
(ii) Conexión de columna de borde. En la Fig. 9.55(b) se muestra la sección
crítica y la distribución de tensiones de corte en la losa cuando el momento
es transferido perpendicular al borde. La dimensión g es la distancia entre el
eje centroide cc de la sección crítica y el eje centroide de la columna.
Puesto que M
u es el momento no balanceado actuando con respecto al eje
de la columna, el momento no balanceado que actúa con respecto al eje cc
de la sección crítica es (M
u - Vug). Las tensiones de corte para este caso en
la cara AB y en los puntos C y D de la sección crítica vienen dadas por:

68

c
ABuuv
c
u
AB
J
cgVM
A
V
v
)(
-
+=
g
(9.20)
y

c
CDuuv
c
u
DC
J
cgVM
A
V
vv
)(
-
-==
g
(9.21)

donde:

)22(
21
dccdA
c
++= (9.22)

porque es perímetro de sólo 3 lados, y la ecuación (9.23) es ahora:

2
1
1
2
2
3
1
3
1
2
)2/(
))2/(((2)(
12
))2/((2
12
))2/((2






-
+
++++
+
+
+
=
ABABc
c
dc
dcddcdc
ddcdcd
J
con:

()[ ]
c
ABA
ddc
c
2
1
2/+
=
(9.24)
y

ABCDc
d
cc -+=
2
1
(9.25)

(iii) Conexión de columna esquina.

La Fig. 9.55(c) muestra la sección crítica supuesta y la distribución de
tensiones de corte en la losa cuando se transfiere un momento biaxial (en las
direcciones x e y). Las dimensiones g
x y gy son las distancias en la dirección x y
dirección y entre los ejes centroides cc y dd de la sección crítica y los ejes
centroides de la columna. Puesto que M
ux y M uy son los momentos no balanceados
en las respectivas direcciones actuando con respecto a los ejes de la columna, los
momentos no balanceados que actúan con respecto a los ejes cc y dd de la
sección crítica son (M
ux - Vu gx) y (Muy - Vu gy) . Las tensiones de corte en la losa
para este caso en la en los puntos A, B y D de la sección crítica vienen dadas por:

cy
ACyuuyvy
cx
ABxuuxvx
c
u
AJ
cgVM
J
cgVM
A
V
v
)()(
-
-
-
+=
gg
(9.26)

cy
BDyuuyvy
cx
ABxuuxvx
c
u
BJ
cgVM
J
cgVM
A
V
v
)()(
-
-
-
+=
gg
(9.27)

cy
BDyuuyvy
cx
CDxuuxvx
c
u
DJ
cgVM
J
cgVM
A
V
v
)()(
-
-
-
+=
gg
(9.28)

donde:

69

)( dccdA
yxc
++= (9.29)

y las ecuaciones (9.30) y (9.31), con los momentos de inercia son respectivamente:

2
2
33
2
)2/(
))2/((()2/(
12
))2/((
12
))2/((






-
+
++++
+
+
+
=
AB
x
xABy
xx
cx
c
dc
dcddcdc
ddcdcd
J

2
2
33
2
)2/(
))2/((()2/(
12
))2/((
12
))2/((








-
+
++++
+
+
+
=
BD
y
yBDx
yy
cyc
dc
dcddcdc
ddcdcd
J

()[ ]
c
x
ABA
ddc
c
2
2/
2
+
=
(9.32)

()[ ]
c
y
BD
A
ddc
c
2
2/
2
+
=
(9.33)

ABxCDc
d
cc -+=
2
(9.34)

BDyACc
d
cc -+=
2
(9.35)

70

9.9. BIBLIOGRAFÍA.

[1] Mecánica de Suelos, T. William Lambe y R. V. Whitman. Instituto Tecnológico de
Massachussets. Limusa-Noriega Editores. John Wiley & Sons. 2001.
[2] Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica, K. Terzaghi & R. Peck. Versión
española por Oreste Moretto. Segunda edición. El Ateneo. 1973.
[3] Diseño de Estructuras de Concreto, Arthur Nilson. 12ma. Edición. Mc Graw Hill.
2000. C
[4] Curso de Hormigón Armado, Oreste Moretto. 2da. Edición. El Ateneo. 1970.
[5] FEMA 273: Guidelines for the Rehabilitation of Buildings, Octubre 1997, capítulo
4.
[6] Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, Applied Technology
Council, ATC Noviembre 1996, capítulo 10.
[7] Mecánica de Suelos y Cimentaciones, Carlos Crespo Villalaz. Limusa. 1991.
[8] Foundation Analysis and Design, Joseph E. Bowles. McGraw-Hill Int. Book Ltd.
1977.
[9] Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, Tomas Paulay &
M.J.N. Priestley, John Wiley & Sons, Inc. 1992.
[10] Proyecto de Reglamento CIRSOC 201. Reglamento Argentino de Estructuras de
Hormigón. Noviembre 2002. INTI.
[11] Código de Construcciones Sismo Resistentes para la Provincia de Mendoza.
CCSR. Mendoza, 1987.
[12] Code of Practice for General Structural Design and Design Loading For
Buildings. NZS:4203:1992. Volume 1 and 2. New Zealand Standards. Wellington.
[13] Estructuras de Hormigón Armado, de Fritz Leonhardt, tomos III. El Ateneo. 1977.
[14] Notes on ACI-318-2002 Building Code Requeriments for Structural Concrete,
edited by D. A. Fanella & Basile G. Rabat. P.C.A., Portland Cement Association.
[15] Reinforced Concrete Slabs, R. Park and W. L. Gamble. John Wiley & Sons, Inc.
1980.
[16] Proyecto de Reglamento CIRSOC 201 y Anexos. Tomos 1 y 2. 2005.

[17] Proyecto de Reglamento INPRES-CIRSOC 103. Tomo 2. 2005.

[18] Proyecto de Reglamento CIRSOC 101 y Anexos. Tomos 1 y 2. 2005.

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