Binômio de newton e triângulo de pascal

Material do Professor Daniel Mascarenhas sobre Binônio de Newton e Triângulo de Pascal para os alunos do 3o. ano do Ensino Médio - Colégio Espaço Aberto - Set. 2012

1. Profº Daniel Mascarenhas

2. Números binomiaisNúmeros binomiais
DefiniçãoDefinição
Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais
que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se
por o número binomial assim definido:por o número binomial assim definido:
Em que n é chamado de numerador e p, de Em que n é chamado de numerador e p, de
denominador do binomial.denominador do binomial.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
n
)!(!
!
pnp
n
p
n
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ

3. Binomiais complementaresBinomiais complementares
Dois números binomiais são complementares se Dois números binomiais são complementares se
apresentarem o mesmo numerador, o mesmo apresentarem o mesmo numerador, o mesmo
denominador e a soma dos denominadores for denominador e a soma dos denominadores for
igual ao numerador.igual ao numerador.
î
í
ì
=+
=
Û
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
nqp
qp
q
n
p
n

4. Binomiais consecutivosBinomiais consecutivos
Dois números binomiais de mesmo numerador Dois números binomiais de mesmo numerador
são consecutivos se seus denominadores forem são consecutivos se seus denominadores forem
números consecutivos.números consecutivos.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
p
n
p
n
p
n 1
1
1

5. Exercício de Aprofundamento -01Exercício de Aprofundamento -01

6. 02. 02.

7. 03. 03.

8. 04. 04.

9. •O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético
formado por números que têm diversas relações formado por números que têm diversas relações
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas entre si. Muitas dessas relações foram descobertas
pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é
dado.dado.
•Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja,
as diagonais de fora são formadas por 1's, os as diagonais de fora são formadas por 1's, os
restantes números são a soma dos números acima. restantes números são a soma dos números acima.
Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-
linha 5; 4 e 6-linha 4).linha 5; 4 e 6-linha 4).
•NOTA:NOTA: Considera-se que o topo do triângulo Considera-se que o topo do triângulo
corresponde à linha 0, coluna 0.corresponde à linha 0, coluna 0.
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm

11. Propriedade 1Propriedade 1
•A primeira propriedade do triângulo que iremos A primeira propriedade do triângulo que iremos
apresentar está relacionada à soma dos apresentar está relacionada à soma dos
elementos de cada uma das linhas. elementos de cada uma das linhas.
•A soma dos elementos de uma linha de A soma dos elementos de uma linha de
numerados n será: numerados n será:
PropriedadesPropriedades
n
n
pp
n
2
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
S
=

12. Propriedade 2Propriedade 2
•A próxima propriedade do triângulo que A próxima propriedade do triângulo que
veremos é a relação de Stifel.veremos é a relação de Stifel.
•Ela diz que a soma de dois números de uma Ela diz que a soma de dois números de uma
mesma linha do triângulo é o número que está mesma linha do triângulo é o número que está
na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois
números somados. números somados.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
p
n
p
n
p
n 1
1
1

13. •Propriedade 3Propriedade 3
•Nossa próxima propriedade diz respeito à soma Nossa próxima propriedade diz respeito à soma
dos números dispostos em diagonal, dos números dispostos em diagonal,
começando sempre do 1 a partir da direita.começando sempre do 1 a partir da direita.
•Para uma diagonal genérica, podemos escrever:Para uma diagonal genérica, podemos escrever:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ ++
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
k
kn
k
knnnnn 1
....
3
3
2
2
1
1
0

14. •Propriedade 4Propriedade 4
•Desde o primeiro até um determinado elemento, Desde o primeiro até um determinado elemento,
é igual ao binomial situado imediatamente à é igual ao binomial situado imediatamente à
direita e abaixo do último elemento considerado.direita e abaixo do último elemento considerado.
•Para uma coluna genérica, podemos escrever:Para uma coluna genérica, podemos escrever:

÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
1
....
321
n
kn
n
kn
n
n
n
n
n
n
n
n

15. 05.05.

16. 06. 06.

17. 07. 07.

18. 08.08.

19. •Fórmula do termo geral do binômioFórmula do termo geral do binômio
Binômio de NewtonBinômio de Newton
ppn
p
ax
p
n
T )()(
1
-
+ ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
Dicas Importantes!!!
i)Invertendo-se os expoentes de a e b da fórmula acima, obtém-se a fórmula
do binômio de Newton segundo as potências crescentes de a.
ii)A soma dos coeficientes do binômio é :
iii) O termo médio ou central é calculado pela expressão :
n
n
pp
n
2
0
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
S
=
central ou médio termo tem não mentodesenvolvi o ímpar, for n Se
par for n se ,1
2
+=
n
T
médio

20. 09. 09.

21. 10.10.

22. 11.11.

23. 12.12.

24. 13.13.

25. •Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39)Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39)
• Questões para aprofundamentoQuestões para aprofundamento
•Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)
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