Bosquejos de graficas

Realización de Bosquejos de Graficas usando herramientas de Calculo Diferencial.

1. Calculo Diferencial
Bosquejos de Graficas

Ciclo escolar 2013-2014

2. Reglas para construir una curva
usando coordenadas rectangulares.
•Para un buen bosquejo de graficas, deben de
seguirse lo mas fielmente posible los siguientes
pasos:
–Identificar si es una función par o impar.
–Encontrar las intersecciones con los ejes coordenados
(�=0, �=0).
–Encontrar las asíntotas horizontales y verticales.
–Calcular los valores críticos ( f′�=0, f
′′
�=0)
que nos proporcionan máximos y mínimos locales, y
puntos de inflexión.
–Calcular los sentidos de concavidad de la curva.
–Encontrar las asíntotas oblicuas.

3. Ejemplos
•�=�
3
−9�
2
+24�−16

•�=
2??????
2
??????−2??????−6


•�=
6??????
??????
2
+3


•�=�+
1
??????



•y=x^3-9x^2+24x-16


•y=(2x^2)/((x-2)(x-6))

•y=6x/(x^2+3)


•y=x+1/x

En el buscador de gooogle.com

4. �=�
3
−9�
2
+24�−16
•No es ni par ni impar.
•No tiene asíntotas horizontales ni verticales.
•Sus intersecciones con los ejes son 0,−16, 1,0 y
4,0.
•??????
′
�=3�
2
−18�+24=0 cuando �=2 (nos da
un máximo local) y �=4 (nos da un mínimo local).
Los puntos son 2,4 y 4,0. ??????
′′
�=6�−18=0
cuando �=3 (nos da un punto de inflexión). El
punto es 3,2.
•Al principio la función en cóncava hacia arriba, y
cambia luego a ser cóncava hacia abajo.
•No tiene asíntotas oblicuas.

6. �=
2�
2
�−2�−6

•No es ni par ni impar.
•Tiene dos asíntotas verticales cuando �=2 y cuando �=6.
Tiene una asíntota horizontal cuando y=2
•Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0.
•??????
′
�=
−16??????
2
+48??????
??????
2
−8??????+12
2
=0 cuando �=0 (nos da un mínimo local)
y �=3 (nos da un máximo local). Los puntos son 0,0 y
3,−6. ??????
′′
�=
32??????
3
−144??????
2
+576
??????
2
−8??????+12
3
=0 cuando �≈−1.702 (nos da
un punto de inflexión).
•Es difícil determinar la concavidad, pero hacia abajo desde −∞
hasta −1.702, luego es cóncava hacia arriba hasta 2, luego es
cóncava hacia abajo hasta 6, y finalmente su ultima parte es
cóncava hacia arriba.
•No tiene asíntotas oblicuas.

8. �=
6�
�
2
+3

•Es una función impar.
•No tiene asíntotas verticales, pero tiene una asíntota horizontal
cuando y=0
•Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0.
•??????
′
�=
−6??????
2
+18
??????
2
+3
2
=0 cuando �≈3 (nos da un máximo local) y
�≈−3 (nos da un mínimo local). Los puntos son 3,3 y
−3,−3. ??????
′′
�=
12??????
3
−108??????
??????
2
+3
3
=0 cuando �=0,3,−3 (nos da
varios puntos de inflexión). Los puntos son 0,0, 3,1.5 y
−3,−1.5
•La función es cóncava hacia arriba desde −∞ hasta −3, luego es
cóncava hacia abajo hasta 0, luego es cóncava hacia arriba hasta
3, y finalmente su ultima parte es cóncava hacia abajo.
•No tiene asíntotas oblicuas.

10. �=�+
1
�
=
�
2
+1
�


•Es una función impar.
•Tiene una asíntota vertical cuando �=0, no tiene asíntotas
horizontales
•No tiene intersecciones con los ejes.
•??????
′
�=
??????
2
−1
??????
2
=0 cuando �=1 (nos da un mínimo local) y �=−1
(nos da un máximo local). Los puntos son 1,2 y −1,−2. ??????
′′
�=
2
??????
3

nunca es igual a cero, por lo que no tenemos puntos de inflexión.
•La función es cóncava hacia abajo desde −∞ hasta 0, luego es cóncava
hacia arriba.
•Cuando una función tiene una asíntota oblicua, esta es de la forma
�=??????�+?????? donde el valor de ?????? esta dado por la asíntota horizontal de
la derivada, y para calcular el valor de b, restamos a la función ??????� y
calculamos la asíntota horizontal de la nueva función. En nuestra
función ??????=1 y ??????=0. La asíntota oblicua es �=�.