Buckingham π theorem wikipedia

Math

1. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 1/7
Buckingham π theorem
From Wikipedia, the free encyclopedia
In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham π theorem is a key theorem in dimensional
analysis. It is a formalization of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if
there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original
equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters π
1
, π
2
, ..., π
p
 constructed from the
original variables. (Here k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular
matrix.)
The theorem can be seen as a scheme for nondimensionalization because it provides a method for computing sets
of dimensionless parameters from the given variables, even if the form of the equation is still unknown.
Contents
1Historical information
2Statement
3Significance
4Proof
4.1Outline
4.2Formal proof
5Examples
5.1Speed
5.2The simple pendulum
6See also
7References
7.1Notes
7.2Exposition
7.3Original sources
8External links
Historical information
Although named for Edgar Buckingham, the π theorem was first proved by French mathematician J. Bertrand
[1]
 in
1878. Bertrand considered only special cases of problems from electrodynamics and heat conduction, but his
article contains in distinct terms all the basic ideas of the modern proof of the theorem and clearly indicates the
theorem's utility for modelling physical phenomena. The technique of using the theorem (“the method of
dimensions”) became widely known due to the works of Rayleigh (the first application of the π theorem in the
general case
[2]
 to the dependence of pressure drop in a pipe upon governing parameters probably dates back to
1892,
[3]
 a heuristic proof with the use of series expansions, to 1894
[4]
).
Formal generalization of the π theorem for the case of arbitrarily many quantities was given first by A. Vaschy in
1892,
[5]
 then in 1911—apparently independently—by both A. Federman
[6]
 and D. Riabouchinsky,
[7]
 and again in
1914 by Buckingham.
[8]
 It was Buckingham's article that introduced the use of the symbol "π
i
" for the
dimensionless variables (or parameters), and this is the source of the theorem's name.

2. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 2/7
Statement
More formally, the number of dimensionless terms that can be formed, p, is equal to the nullity of the dimensional
matrix, and k is the rank. For experimental purposes, different systems that share the same description in terms of
these dimensionless numbers are equivalent.
In mathematical terms, if we have a physically meaningful equation such as
where the q
i
 are the n physical variables, and they are expressed in terms of k independent physical units, then the
above equation can be restated as
where the π
i
 are dimensionless parameters constructed from the q
i
 by p = n − k dimensionless equations — the so­
called Pi groups — of the form
where the exponents a
i
 are rational numbers (they can always be taken to be integers: just raise it to a power to
clear denominators).
Significance
The Buckingham π theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from given
variables, even if the form of the equation remains unknown. However, the choice of dimensionless parameters is
not unique; Buckingham's theorem only provides a way of generating sets of dimensionless parameters and does
not indicate the most "physically meaningful".
Two systems for which these parameters coincide are called similar (as with similar triangles, they differ only in
scale); they are equivalent for the purposes of the equation, and the experimentalist who wants to determine the
form of the equation can choose the most convenient one. Most importantly, Buckingham's theorem describes the
relation between the number of variables and fundamental dimensions.
Proof
Outline
It will be assumed that the space of fundamental and derived physical units forms a vector space over the rational
numbers, with the fundamental units as basis vectors, and with multiplication of physical units as the "vector
addition" operation, and raising to powers as the "scalar multiplication" operation: represent a dimensional variable
as the set of exponents needed for the fundamental units (with a power of zero if the particular fundamental unit is
not present). For instance, the standard gravity g has units of   (distance over time squared), so it
is represented as the vector   with respect to the basis of fundamental units (distance, time).
Making the physical units match across sets of physical equations can then be regarded as imposing linear
constraints in the physical­units vector space.

3. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 3/7
Formal proof
Given a system of n dimensional variables (with physical dimensions) in k fundamental (basis) dimensions, write
the dimensional matrix M, whose rows are the fundamental dimensions and whose columns are the dimensions of
the variables: the (i, j)th entry is the power of the ith fundamental dimension in the jth variable. The matrix can be
interpreted as taking in a combination of the dimensions of the variable quantities and giving out the dimensions of
this product in fundamental dimensions. So
is the units of
A dimensionless variable is a quantity with fundamental dimensions raised to the zeroth power (the zero vector of
the vector space over the fundamental dimensions), which is equivalent to the kernel of this matrix.
By the rank­nullity theorem, a system of n vectors (matrix columns) in k linearly independent dimensions (the rank
of the matrix is the number of fundamental dimensions) leaves a nullity, p, satisfying (p = n − k), where the nullity
is the number of extraneous dimensions which may be chosen to be dimensionless.
The dimensionless variables can always be taken to be integer combinations of the dimensional variables (by
clearing denominators). There is mathematically no natural choice of dimensionless variables; some choices of
dimensionless variables are more physically meaningful, and these are what are ideally used.
Examples
Speed
This example is elementary but is sufficient to demonstrate the general procedure.
Suppose a car is driving at 100 km/h; how long does it take to go 200 km?
This question considers three dimensions: distance D, time T, and velocity V. These dimensions admit a basis of
two dimensions: time T and distance D. Thus there is 3 − 2 = 1 dimensionless quantity.
The dimensional matrix is
The rows correspond to the basis dimensions D and T, and the columns to the considered dimensions D, T, and V.
For instance, the 3rd column (1, −1), states that the dimension V (velocity) represented by the column vector 
 is expressible in terms of the basis dimensions as   which corresponds to  .
For a dimensionless constant  , we are looking for a vector   such that the matrix
product of M on a yields the zero vector [0,0]. In linear algebra, this vector is known as the kernel of the
dimensional matrix, and it spans the nullspace of the dimensional matrix, which in this particular case is one­

4. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 4/7
dimensional. The dimensional matrix as written above is in reduced row echelon form, so one can read off a kernel
vector to within a multiplicative constant:
If the dimensional matrix were not already reduced, one could perform Gauss–Jordan elimination on the
dimensional matrix to more easily determine the kernel. It follows that the dimensionless constant may be written:
.
Since the kernel is only defined to within a multiplicative constant, if the above dimensionless constant is raised to
any arbitrary power, it will yield another equivalent dimensionless constant.
Dimensional analysis has thus provided a general equation relating the three physical variables:
which may be written:
where C is one of a set of constants, such that  . The actual relationship between the three variables is
simply  , so that the actual dimensionless equation ( ) is written:
In other words, there is only one value of C, and it is unity. The fact that there is only a single value of C and that it
is equal to unity is a level of detail not provided by the technique of dimensional analysis.
The simple pendulum
We wish to determine the period T of small oscillations in a simple
pendulum. It will be assumed that it is a function of the length L, the mass
M, and the acceleration due to gravity on the surface of the Earth g, which
has dimensions of length divided by time squared. The model is of the form
(Note that it is written as a relation, not as a function: T isn't written here as
a function of M, L, and g.)
There are 3 fundamental physical dimensions in this equation: time t, mass
m, and length l, and 4 dimensional variables, T, M, L, and g. Thus we need
only 4 − 3 = 1 dimensionless parameter, denoted π, and the model can be
re­expressed as
where π is given by

5. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 5/7
for some values of a
1
, ..., a
4
.
The dimensions of the dimensional quantities are:
The dimensional matrix is:
(The rows correspond to the dimensions t, m, and l, and the columns to the dimensional variables T, M, L and g.
For instance, the 4th column, (−2, 0, 1), states that the g variable has dimensions of  .)
We are looking for a kernel vector a = [a
1
, a
2
, a
3
, a
4
] such that the matrix product of M on a yields the zero vector
[0,0,0]. The dimensional matrix as written above is in reduced row echelon form, so one can read off a kernel
vector within a multiplicative constant:
Were it not already reduced, one could perform Gauss–Jordan elimination on the dimensional matrix to more
easily determine the kernel. It follows that the dimensionless constant may be written:
In fundamental terms:
which is dimensionless. Since the kernel is only defined to within a multiplicative constant, if the above
dimensionless constant is raised to any arbitrary power, it will yield another equivalent dimensionless constant.
This example is easy because three of the dimensional quantities are fundamental units, so the last (g) is a
combination of the previous. Note that if a
2
 were non­zero, there would be no way to cancel the M value; therefore
a
2
 must be zero. Dimensional analysis has allowed us to conclude that the period of the pendulum is not a function
of its mass. (In the 3D space of powers of mass, time, and distance, we can say that the vector for mass is linearly
independent from the vectors for the three other variables. Up to a scaling factor,   is the only
nontrivial way to construct a vector of a dimensionless parameter.)
The model can now be expressed as:

6. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 6/7
Assuming the zeroes of f are discrete, we can say gT
2
/L = C
n
, where C
n
 is the nth zero of the function f. If there is
only one zero, then gT
2
/L = C. It requires more physical insight or an experiment to show that there is indeed only
one zero and that the constant is in fact given by C = 4π
2
.
For large oscillations of a pendulum, the analysis is complicated by an additional dimensionless parameter, the
maximum swing angle. The above analysis is a good approximation as the angle approaches zero.
See also
Blast wave
Dimensional analysis
Dimensionless quantity
Natural units
Nondimensionalization
Similitude (model)
Rayleigh's method of dimensional analysis
References
Notes
1. Bertrand, J. (1878). "Sur l'homogénéité dans les formules de physique". Comptes rendus. 86 (15): 916–920.
2. When in applying the pi–theorem there arises an arbitrary function of dimensionless numbers.
3. Rayleigh (1892). "On the question of the stability of the flow of liquids". Philosophical magazine. 34: 59–70.
doi:10.1080/14786449208620167.
4. Second edition of ``The Theory of Sound’’(Strutt, John William (1896). The Theory of Sound. 2. Macmillan.).
5. Quotes from Vaschy’s article with his statement of the pi–theorem can be found in: Macagno, E. O. (1971). "Historico­
critical review of dimensional analysis". Journal of the Franklin Institute. 292 (6): 391–402. doi:10.1016/0016­
0032(71)90160­8.
6. Федерман, А. (1911). "О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными
первого порядка". Известия Санкт­Петербургского политехнического института императора Петра Великого.
Отдел техники, естествознания и математики. 16 (1): 97–155. (Federman A., On some general methods of
integration of first­order partial differential equations, Proceedings of the Saint­Petersburg polytechnic institute. Section
of technics, natural science, and mathematics)
7. Riabouchinsky, D. (1911). "Мéthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique". L'Aérophile:
407–408.
8. Original text of Buckingham’s article in Physical Review (http://gidropraktikum.narod.ru/Buckingham.djvu)
Exposition
Hanche­Olsen, Harald (2004). "Buckingham's pi­theorem" (PDF). NTNU. Retrieved April 9, 2007.
Hart, George W. (March 1, 1995). Multidimensional Analysis: Algebras and Systems for Science and
Engineering. Springer­Verlag. ISBN 0­387­94417­6.
Kline, Stephen J. (1986). Similitude and Approximation Theory. Springer­Verlag, New York. ISBN 0­387­
16518­5.
Wan, Frederic Y.M. (1989). Mathematical Models and their Analysis. Harper & Row Publishers, New York.
ISBN 0­06­046902­1.
Vignaux, G.A. (1991). "Dimensional analysis in data modelling" (PDF). Victoria University of Wellington.
Retrieved December 15, 2005.
Mike Sheppard, 2007 Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST
database of Physical Constants (http://www.msu.edu/~sheppa28/constants/constants.html)
Gibbings, J.C. (2011). Dimensional Analysis. Springer. ISBN 1­84996­316­9.

7. 04/01/2017 Buckingham π theorem ­ Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem 7/7
Original sources
Vaschy, A. (1892). "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques. 19: 25–28.
Buckingham, E. (1914). "On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations".
Physical Review. 4 (4): 345–376. Bibcode:1914PhRv....4..345B. doi:10.1103/PhysRev.4.345.
Buckingham, E. (1915). "The principle of similitude". Nature. 96 (2406): 396–397.
Bibcode:1915Natur..96..396B. doi:10.1038/096396d0.
Buckingham, E. (1915). "Model experiments and the forms of empirical equations". Transactions of the
American Society of Mechanical Engineers. 37: 263–296.
Taylor, Sir G. (1950). "The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. Theoretical
Discussion". Proceedings of the Royal Society A. 201 (1065): 159–174. Bibcode:1950RSPSA.201..159T.
doi:10.1098/rspa.1950.0049.
Taylor, Sir G. (1950). "The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. II. The Atomic
Explosion of 1945". Proceedings of the Royal Society A. 201 (1065): 175–186.
Bibcode:1950RSPSA.201..175T. doi:10.1098/rspa.1950.0050.
External links
Some reviews and original sources on the history of pi theorem and the theory of similarity (in Russian) (htt
p://www.gidropraktikum.narod.ru/pi­theorem­history.htm)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Buckingham_π_theorem&oldid=757165267"
Categories: Dimensional analysisPhysics theorems
This page was last modified on 29 December 2016, at 04:44.
Text is available under the Creative Commons Attribution­ShareAlike License; additional terms may apply.
By using this site, you agree to the Terms of Use and Privacy Policy. Wikipedia® is a registered trademark
of the Wikimedia Foundation, Inc., a non­profit organization.