Cálculo de Derivadas

polígrafo

1. C

ALCULO DE DERIVADAS
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Regras de derivac~ao
As regras servem para simplicar o trabalho no processo de derivac~ao de
uma func~ao. Com as regras e possvel evitar, na maioria dos casos, o uso
da denic~ao formal, que muitas vezes envolve a determinac~ao de um limite
trabalhoso e difcil de obter.
1.1 Derivada da func~ao constante
Sejaf(x) =k,k2R.
f
0
(x) = lim
h!0
f(x+h)f(x)
h
= lim
h!0
kk
h
= lim
h!0
(0) = 0
d
dx
k= 0 parak2R
1.2 Derivada da func~ao pot^encia
Sejaf(x) =x
n
. Para deduzir uma regra para a derivada da func~ao
pot^encia, vamos analisar esta func~ao para os diversos valores quenpode
assumir.
1.f(x) =x
n
en2Z
+
.
1

2. Para este calculo e necessario conhecer a expans~ao de (a+b)
n
:
(a+b)
n
=

n
0

a
n
b
0
+

n
1

a
n1
b
1
+

n
2

a
n2
b
2
+ +
+

n
1

a
1
b
n1
+

n
0

a
0
b
n
com
n
k

=
n!
k!(nk)!
=
n(n1)(n2): : :(nk+ 1)
k!
e
(x+h)
n
=x
n
+nx
n1
h+
n(n1)
2!
x
n2
h
2
+ +nxh
n1
+h
n
Assim,
f
0
(x) = lim
h!0
f(x+h)f(x)
h
= lim
h!0
(x+h)
n
x
n
h
=
lim
h!0
h
x
n
+nx
n1
h+
n(n1)
2!
x
n2
h
2
+ +nxh
n1
+h
n
i
x
n
h
=
lim
h!0
nx
n1
h+
n(n1)
2!
x
n2
h
2
+ +nxh
n1
+h
n
h
=
lim
h!0

nx
n1
+
n(n1)
2!
x
n2
h+ +nxh
n2
+h
n1

=
=nx
n1
+ 0 + + 0 =nx
n1
Alguns resultados aplicando esta regra:
(a)
d
dx
x=
d
dx
x
1
= 1
d
dx
x
2
= 2x
1
= 2x(c)
d
dx
x
3
= 3x
2
2. n2Z

, vamos suporn=1,f(x) =x
1
=
1=x, e generalizar. Ent~ao,
f
0
(x) = lim
h!0
f(x+h)f(x)
h
= lim
h!0
1
x+h

1
x
h
= lim
h!0
xxh
x(x+h)h
=
lim
h!0

1
x(x+h)
=
1
x
2
=x
2
=1:x
2
=nx
n1
2

3. 3. n2Q, vamos suporn= 1=2,f(x) =x
1=2
=
p
x, e generalizar.
f
0
(x) = lim
h!0
p
x+h
p
x
h
=
lim
h!0
p
x+h
p
x
h
p
x+h+
p
x
p
x+h+
p
x

= lim
h!0
x+hx
h(
p
x+h+
p
x)
=
lim
h!0
1
p
x+h+
p
x
=
1
2
p
x
=
1
2
x
1=2
=nx
n1
Podemos generalizar estes resultados paran2R.
d
dx
x
n
=nx
n1
paran2R
1.3 Regra da multiplicac~ao por constante
Sejag(x) =cf(x),c2R. Ent~ao,
g
0
(x) = lim
h!0
g(x+h)g(x)
h
= lim
h!0
cf(x+h)cf(x)
h
=
lim
h!0

c

f(x+h)f(x)
h

=clim
h!0

f(x+h)f(x)
h

=cf
0
(x)
d
dx
[cf(x)] =c
d
dx
f(x)
1.4 Regra da soma e diferenca
d
dx
[f(x)g(x)] =
d
dx
f(x)
d
dx
g(x)
3

4. 1.5 Regra do produto
Sejah(x) =f(x)g(x). Ent~ao, sef
0
(x) eg
0
(x) existirem,
h
0
(x) =f(x)g
0
(x) +g(x)f
0
(x)
1.6 Regra da divis~ao
Sejah(x) =
f(x)
g(x)
, ondeg(x)6= 0. Ent~ao, sef
0
(x) eg
0
(x) existirem,
h
0
(x) =
g(x)f
0
(x)f(x)g
0
(x)
[g(x)]
2
2 Exemplos
A) Calcule a derivada def(x) = 7x5.
f
0
(x) = (7x5)
0
= (7x)
0
(5)
0
= 7(x)
0
0 = 7
B) Sejaf(x) =
1
x
2. Determinef
0
.
f
0
(x) =
d
dx
f(x) =
d
dx

1
x
2

=
d
dx
(x
2
) =2x
3
=
2
x
3
ou
f
0
(x) =

1
x
2

0
= (x
2
)
0
=2x
3
=
2
x
3
ou
f
0
(x) = Dx

1
x
2

= Dx(x
2
) =2x
3
=
2
x
3
Observe que, embora pudessemos ter usado a regra da divis~ao, optamos
por transformar a frac~ao em uma pot^encia, pois a regra da pot^encia e muito
mais facil de ser usada. Qualquer que seja a regra usada, o resultado sera o
mesmo.
C) Sejaf(x) = 7x
4
2x
3
+ 8x+ 5. Determine a derivada def.
f
0
(x) =
d
dx
(7x
4
2x
3
+ 8x+ 5) =
d
dx
(7x
4
)
d
dx
(2x
3
) +
d
dx
(8x) +
d
dx
(5) =
7
d
dx
(x
4
)2
d
dx
(x
3
) + 8
d
dx
(x) + 0 = 7:4x
3
2:3x
2
+ 8:1 = 28x
3
6x
2
+ 8
4

5. D) Determine a derivada def(x) =x
2
(12x
3
).
f
0
(x) =
d
dx
[x
2
(12x
3
)] =x
2
d
dx
(12x
3
) + (12x
3
)
d
dx
(x
2
) =
x
2

d
dx
(1)
d
dx
(2x
3
)

+ (12x
3
)2x=x
2

02
d
dx
x
3

+ 2x4x
4
=
x
2
(2:3x
2
) + 2x4x
4
=10x
4
+ 2x
E) Sejaf(x) = (x
2
+ 1)(1x
3
). Obtenhaf
0
.
f
0
(x) =
d
dx
[(x
2
+ 1)(1x
3
)] = (x
2
+ 1)
d
dx
(1x
3
) + (1x
3
)
d
dx
(x
2
+ 1) =
(x
2
+ 1)

d
dx
(1)
d
dx
(x
3
)

+ (1x
3
)

d
dx
(x
2
) +
d
dx
(1)

=
(x
2
+ 1)(02x
2
) + (1x
3
)(2x+ 0) =4x
4
2x
2
+ 2x
F) Sejaf(x) =
x
x
2
1
. Determinef
0
.
f
0
(x) =
d
dx

x
x
2
1

=
(x
2
1)
d
dx
(x)x
d
dx
(x
2
1)
(x
2
1)
2
=
(x
2
1):1x

d
dx
(x
2
)
d
dx
(1)

(x
2
1)
2
=
x
2
1x(2x)
(x
2
1)
2
=
x
2
+ 1
(x
2
1)
2
G) Sejaf(x) =
3
p
x
2
. Determinef
0
ef
00
.
f
0
(x) =
d
dx
3
p
x
2
=
d
dx
(x
2=3
) =
2
3
x
1=3
=
2
3
3
p
x
f
00
(x) =
d
dx
f
0
(x) =
d
dx

2
3
3
p
x

=
d
dx

2
3
x
1=3

=
2
3
d
dx
(x
1=3
) =

2
3


1
3

x
4=3
=
2
9
3
p
x
4
5

6. H) Determine a derivada def(x) =
1
1
p
x
.
f
0
(x) =
d
dx

1
1
p
x

=
(1
p
x)
d
dx
(1)1:
d
dx
(1
p
x)
(1
p
x)
2
=
=
0(
d
dx
(1)
d
dx
p
x)
(1
p
x)
2
=
(0
1
2
p
x
)
(1
p
x)
2
=
1
2
p
x(1
p
x)
2
I) Obtenha a derivada da func~aog(x) =
3
x
2+
5
x
4.
g
0
(x) =
d
dx

3
x
2
+
5
x
4

=
d
dx

3
x
2

+
d
dx

5
x
4

=
d
dx
(3x
2
) +
d
dx
(5x
4
) =6x
3
+ (20x
5
) =
6
x
3

20
x
5
J) Obtenha a derivada da func~aof(s) =
s
2
2
+
2
s
2.
f
0
(s) =
d
ds

s
2
2
+
2
s
2

=
d
ds

s
2
2

+
d
ds
(2s
2
) =
2s
2
+ 2:(2)s
3
=s+
4
s
3
3 Derivada de func~oes exponenciais
Seja a func~ao exponencialf(x) =a
x
. Ent~ao,
f
0
(x) = lim
h!0
f(x+h)f(x)
h
= lim
h!0
a
x+h
a
x
h
= lim
h!0
a
x
a
h
a
x
h
=
lim
h!0

a
x

a
h
1
h

=a
x
lim
h!0
a
h
1
h
=
Observe que
lim
h!0
a
h
1
h
=f
0
(0)
Logo,
f
0
(x) =f
0
(0)f(x)
Ent~ao, a derivada def(x) =a
x
e proporcional ao proprio valor da func~ao.
Sabemos que
lim
h!0
a
h
1
h
= lna
paraa6= 1, que e um dos limites fundamentais.
6

7. Logo,
d
dx
a
x
=a
x
lna
Se tomarmos esta ultima express~ao paraa=e, teremos lne= 1 e
d
dx
e
x
=e
x
EXEMPLOS
A) Sejaf(x) =e
x
x. Obtenhaf
0
ef
00
e compare os gracos das derivadas
e da func~ao.
f
0
(x) = (e
x
x)
0
= (e
x
)
0
(x)
0
=e
x
1
f
00
(x) = (e
x
1)
0
= (e
x
)
0
(1)
0
=e
x
O graco def,f
0
ef
00
e apresentado na seguinte ilustrac~ao.
7

8. Cor verde f
Cor vermelha f
0
Cor azul f
00
Observe que:
ˆftem uma tangente horizontal ema= 0, ondef
0
anula-se.
ˆParax <0, o valor def
0
e negativo e a func~aofe decrescente.
ˆParax >0, o valor def
0
e positivo e a func~aofe crescente.
ˆA segunda derivadaf
00
e positiva em todo o conjuntoR, portanto a
primeira derivadaf
0
e sempre crescente em todo seu domnio.
B) Sejaf(x) = 3:2
x
1. Determinef
0
.
f
0
(x) = (3:2
x
1)
0
= (3:2
x
)
0
(1)
0
= 3(2
x
)
0
0 = 3:2
x
ln 2 = 2
x
ln 2
3
= 2
x
ln 8
4 Derivada de func~oes logartmicas
d
dx
log
ax=
1
xlna
d
dx
lnx=
1
x
EXEMPLOS
A) Derive a func~aoy=xlog
10x.
y
0
=
d
dx
(xlog
10x) =x
d
dx
log
10x+ (log
10x)
d
dx
(x) =
x
xln 10
+ (log
10x):1 =
=
1
ln 10
+ log
10x
8

9. B) Calcule
d
dx
[ln(2x
3
) + 5]
Ent~ao,
d
dx
[ln(2x
3
) + 5] =
d
dx
ln(2x
3
) +
d
dx
(5) =
d
dx
[ln(2) + lnx
3
] + 0 =
=
d
dx
ln(2) +
d
dx
lnx
3
= 0 +
d
dx
(3 lnx) = 3
d
dx
lnx=
3
x
5 Derivada de func~oes trigonometricas
Desejamos calcular a derivada da func~aof(x) = sinx.
Sabemos que
sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb
Sejam os seguintes limites fundamentais:
lim
x!0
sinx
x
= 1
e
lim
x!0
1cosx
x
= 0
Ent~ao,
f
0
(x) = lim
h!0
f(x+h)f(x)
h
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
=
lim
h!0
sinxcosh+ cosxsinhsinx
h
= lim
h!0
sinx(cosh1)
h
+ lim
h!0
cosxsinh
h
=
sinxlim
h!0
1cosh
h
+ cosxlim
h!0
sinh
h
=sin(x):0 + cos(x):1 = cosx
d
dx
sinx= cosx
N~ao apresentaremos as deduc~oes das derivadas das demais func~oes trigo-
nometricas.
9

10. d
dx
cosx=sinx
d
dx
tanx=
1
(cosx)
2
= (secx)
2d
dx
cotx=(cscx)
2
d
dx
secx= secx:tanx
d
dx
cscx=cscx:cotx
EXEMPLOS
A) Obtenha
d
dx
[(xsinx) cosx]
d
dx
[(xsinx) cosx] = (xsinx)
d
dx
cosx+ cosx
d
dx
(xsinx) =
(xsinx)(sinx) + cosx

d
dx
x
d
dx
sinx

=
xsinx+ (sinx)
2
+ cosx(1cosx) =xsinx+ (sinx)
2
+ cosx(cosx)
2
B) Sejaf(x) =
1
1secx
. Determinef
0
.
f
0
(x) =
d
dx

1
1secx

=
(1secx)
d
dx
(1)1:
d
dx
(1secx)
(1secx)
2
=
(1secx):0

d
dx
(1)
d
dx
secx

(1secx)
2
=
0(0secxtanx)
(1secx)
2
=
secxtanx
(1secx)
2
10

11. C) Determine
d
dx
(tanxsecx).
d
dx
(tanxsecx) = tanx
d
dx
secx+ secx
d
dx
tanx=
tanxsecxtanx+ secx(secx)
2
= secx(tanx)
2
+ (secx)
3
6 Regra da cadeia
Suponha que voc^e deseja derivar a func~aof(x) =
p
x
2
+ 1. Nenhuma
regra anteriormente mencionada resolve este problema. Esta func~aofe uma
func~ao composta das func~oesg(x) =
p
xeh(x) =x
2
+ 1,f=gh. Temos
regra para derivarge temos regra para derivarh, porem n~ao temos regra
para derivarf. Para isso precisamos daregra da cadeia.
DEFINIC~AO DA REGRA DA CADEIA
Segfor diferenciavel emxeffor diferenciavel emg(x), ent~ao a func~ao
compostafgsera diferenciavel emxe
(fg)
0
(x) =f
0
(g(x))g
0
(x)
ou sey=f(u) eu=g(x)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
APLICANDO A REGRA
Sejaf(x) =
p
x
2
+ 1, encontref
0
.
1ªsoluc~ao
f(x) = (gh)(x) =g(h(x))
e
g
0
(u) =
1
2
u
1=2
=
1
2
p
u
e
h
0
(x) = 2x
11

12. Ent~ao temos,
f
0
(x) =g
0
(h(x)):h
0
(x) =
1
2
p
x
2
+ 1
:2x=
x
p
x
2
+ 1
2ªsoluc~ao
Tomamosy=
p
ueu=x
2
+ 1. Ent~ao,
f
0
(x) =
dy
du
du
dx
=
1
2
p
u
:2x=
1
2
p
x
2
+ 1
:2x=
x
p
x
2
+ 1
Vamos reetir mais sobre a regra da cadeia. Devemos entender a estrutura
exata da regra:
d
dx
2
6
6
4
f
|{z}
func~ao de fora
(g(x))
|{z}
aplicada na de dentro
3
7
7
5
= f
0
|{z}
derivada da de fora
(g(x))
|{z}
aplicada na de dentro
g
0
(x)
|{z}
derivada da de dentro
Sejay= sinx
2
. Apliquemos a regra da cadeia para obter dy=dx.
d
dx
sin
|{z}
func~ao de fora
x
2
|{z}
aplicada na de dentro
= cos
|{z}
derivada da de fora
x
2
|{z}
aplicada na de dentro
2x
|{z}
derivada da de dentro
= 2xcosx
2
Sejay= (sinx)
2
. Aplicando a regra da cadeia para obter dy=dx:
d
dx
( sinx
|{z}
func~ao de dentro
)
2
= 2
|{z}
derivada da de fora
sinx
|{z}
aplicada na de dentro
cosx
|{z}
derivada da de dentro
= 2 sinxcosx
7 Exemplos
1. F(x) = (x
2
+ 4x5)
4
.
F
0
(x) =
d
dx
(x
2
+ 4x5)
4
= 4(x
2
+ 4x5)
3
d
dx
(x
2
+ 4x5) =
4(x
2
+ 4x5)
3
(2x+ 4)
12

13. 2.
d
dx
ln sinx.
d
dx
ln sinx=
1
sinx
d
dx
sinx=
1
sinx
cosx= cotx
3. f(x) = cos(3x
2
+ 1). Calcule a derivada def.
f
0
(x) = (cos(3x
2
+ 1))
0
=sin(3x
2
+ 1):(3x
2
+ 1)
0
=
sin(3x
2
+1):((3x
2
)
0
+(1)
0
) =sin(3x
2
+1):(6x+0) =6xsin(3x
2
+1)
4. f(x) = sin cos(2x). Obtenhaf
0
.
f
0
(x) =
d
dx
sin cos(2x) = cos cos(2x)
d
dx
cos(2x) =
cos cos(2x)(sin(2x))
d
dx
(2x) =2 sin(2x) cos cos(2x)
5. y=e
sinx
.
dy
dx
=
d
dx
e
sinx
=e
sinx
d
dx
sinx=e
sinx
cosx
6. g(t) =

t2
2t+1

9
Combinando a regra da pot^encia e do quociente:
g
0
(t) = 9

t2
2t+ 1

8
d
dt

t2
2t+ 1

= 9

t2
2t+ 1

8
(2t+ 1):1(t2):2
(2t+ 1)
2
=
45(t2)
8
(2t+ 1)
10
7. f(x) = (sin
p
x)
5
. Calculef
0
.
f
0
(x) =
d
dx
(sin
p
x)
5
= 5(sin
p
x)
4
d
dx
sin
p
x=
5(sin
p
x)
4
cos
p
x
d
dx
p
x= 5(sin
p
x)
4
cos
p
x
1
2
p
x
=
5(sin
p
x)
4
cos
p
x
2
p
x
13

14. 8. f(x) = (tanx
2
)
2
.
f
0
(x) = [(tanx
2
)
2
]
0
= 2 tanx
2
[tanx
2
]
0
= 2 tanx
2
secx
2
[x
2
]
0
=
= 2 tanx
2
secx
2
(2x) = 4xtanx
2
secx
2
9. x
1
p
2x+1
.
Dx
1
p
2x+ 1
= Dx(2x+ 1)
1=2
=
1
2
(2x+ 1)
3=2
Dx(2x+ 1) =

1
2
(2x+ 1)
3=2
2 =
1
p
(2x+ 1)
3
10.
d
dx
sin(1 +e
3x
).
d
dx
sin(1+e
3x
) = cos(1+e
3x
)
d
dx
(1+e
3x
) = cos(1+e
3x
)(0+e
3x
d
dx
(3x)) =
3e
3x
cos(1 +e
3x
)
11. f(x) =

xe
x
2
1

3
.
f
0
(x) =
d
dx

xe
x
2
1

3
= 3

xe
x
2
1

2d
dx

xe
x
2
1

=
3

xe
x
2
1

2

x
d
dx
e
x
2
1
+e
x
2
1
d
dx
x

=
3

xe
x
2
1

2

xe
x
2
1
d
dx
(x
2
1) +e
x
2
1
:1

=
3

xe
x
2
1

2
xe
x
2
1
(2x) +e
x
2
1

= 3

xe
x
2
1

2
2x
2
e
x
2
1
+e
x
2
1

=
3x
2
e
3x
2
3
(2x
2
+ 1)
12.
d
dx
ln sin cosx.
d
dx
ln sin cosx=
1
sin cosx
d
dx
sin cosx=
1
sin cosx
cos cosx
d
dx
cosx=
1
sin cosx
cos cosx(sinx) =
sinxcos cosx
sin cosx
14

15. 13. f(x) =
secx
1+tanx
. Determinef
0
e encontre os numeros em
que o graco defapresenta reta tangente horizontal.
f
0
(x) =
(1 + tanx)
d
dx
secxsecx
d
dx
(1 + tanx)
(1 + tanx)
2
=
(1 + tanx) secxtanxsecx(secx)
2
(1 + tanx)
2
=
secx(tanx+ (tanx)
2
(secx)
2
)
(1 + tanx)
2
=
secx

sinx
cosx
+ (
sinx
cosx
)
2
(
1
cosx
)
2

(1 + tanx)
2
=
secx(sinxcosx+ (sinx)
2
1)
(cosx)
2
(1 + tanx)
2
=
secx(sinxcosx(cosx)
2
)
(cosx)
2
(1 + tanx)
2
=
=
secx(tanx1)
(1 + tanx)
2
Para encontrar os numeros em que o graco da func~ao apresenta reta
tangente horizontal, precisamos determinar os numeros em que a deri-
vada anula-se. Ou seja, precisamos resolver a seguinte equac~ao:
secx(tanx1) = 0
ja que quem anula uma frac~ao e o numerador. Sabemos que a func~ao
secante nunca anula-se. Assim, a equac~ao ca:
tanx1 = 0)tanx= 1
e isso ocorre em
S=fx2Rjx=k+=4; k2Zg
que s~ao os numeros em que sinx= cosx.
15

16. 8 Derivac~ao implcita
Seja a equac~ao da circunfer^enciay
2
+x
2
= 25, com centro na origem e
raior= 5, cujo graco e apresentado a seguir.
Observe que este graco n~ao representa uma func~ao, pois n~ao satisfaz o
teste da reta vertical. Isso signica que n~ao podemos representarexplicita-
menteycomo umaf(x). Basta ver que,
y=
p
25x
2
No entanto, ainda podemos obter a derivada da equac~ao, usandode-
rivac~ao implcita. Para isso, devemos derivar em ambos os lados da equac~ao
e isolar o dy=dx.
d
dx
(y
2
+x
2
) =
d
dx
(25)
d
dx
y
2
+
d
dx
x
2
= 0
Observe quey
2
e a composic~ao deycom a func~aoz=x
2
, e a derivada de
y
2
, portanto, deve fazer uso da regra da cadeia:
d
dx
y
2
=
d
dy
y
2
dy
dx
= 2y
dy
dx
Aplicando na deduc~ao,
2y
dy
dx
+ 2x= 0
16

17. Logo,
dy
dx
=
x
y
Vejamos outro exemplo. Seja (x+y)
2
(xy)
2
=x
4
+y
4
. Ache dy=dx.
d
dx
[(x+y)
2
(xy)
2
] =
d
dx
[x
4
+y
4
]
2(x+y)

1 +
dy
dx

2(xy)

1
dy
dx

= 4x
3
+ 4y
3
dy
dx
(4x4y
3
)
dy
dx
= 4x
3
4y
dy
dx
=
x
3
y
xy
3
9 Derivac~ao logartmica
Podemos muitas vezes simplicar o processo de diferenciac~ao, calculando
a derivada do logaritmo da func~ao.
Por exemplo,
y=
x
3=4
p
x
2
+ 1
(3x+ 2)
5
lny=
3
4
lnx+
1
2
ln(x
2
+ 1)5 ln(3x+ 2)
Derivando implicitamente:
1
y
dy
dx
=
3
4
1
x
+
1
2
2x
x
2
+ 1
5
3
3x+ 2
Isolando dy=dx:
dy
dx
=y

3
4x
+
x
x
2
+ 1

15
3x+ 2

dy
dx
=
x
3=4
p
x
2
+ 1
(3x+ 2)
5

3
4x
+
x
x
2
+ 1

15
3x+ 2

17