CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL-CONAMAT.pdf
11,701 views
123 slides
Jun 17, 2023
Slide 1 of 123
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
About This Presentation
CONAMAT
Slide Content
PEARSON
Cálculo diferencial
e integral
Cálculo diferencial
e integral
Cálculo diferencial
e integral
ARTURO AGUILAR MÁRQUEZ
Fagıan Varapaı Bravo VÁZQUEZ
Herman AUREUO (GALLEGOS Ruz
MiGueL CERÓN VEGAS,
RICARDO REYES FIGUEROA
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Se.)
Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
‘Campus Estado de México
e integral
ARTURO AGUILAR MÁRQUEZ
Fagıan Varapaı Bravo VÁZQUEZ
Herman AUREUO (GALLEGOS Ruz
MiGueL CERÓN VEGAS,
RICARDO REYES FIGUEROA
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Se.)
Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
‘Campus Estado de México
‘Darcie Bon
Ga Nico Mem
Cba deni negra
PEARSON EDUCACIÓN, México. 2010
pon 07-100
Fama: 29% om Pis 308
“Taos los derechos reservados
aor ia Moreno Overt
mal ila more @ peanioncd com
Btn dedesallo: Alejandro Gómez Raiz
Supervisor de prodeción: José D, HemándesGardoño
PRIMERA EDICIÓN, 2010
DR. O 2010 por Pearson dación de México, S.A de CV.
Atlacomulco 00.5 Piso
Industrial Ato
3519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de a Industria Bol Mexicana, Reg núm, 1031
Premice Halles marca regada de Pearson Educación de México, SA. de CN.
Rescrado ados los derechos. Nila liad pre de et publicació pueden reproduce resta naamiis por un
“siena de recuperación de infomación, en ningun forma nipor ing medi, en lecrönca, mecánico. toque, magnético
tré. pr focopiapreción o culgie ar, in permiso pro por escrito del eier,
FA préstamo alquiler ocuiqie ota forma de cesión de uo de este ejemplar requeriáambién la atoiación del oro de sus
representantes.
ISBN; 978-607-42-539.0
Impreso en México, Prine in Medes
1234567890-1211 1009
Prentice Hall
es una marca de
P
ARSO
Ga Nico Mem
Cba deni negra
PEARSON EDUCACIÓN, México. 2010
pon 07-100
Fama: 29% om Pis 308
“Taos los derechos reservados
aor ia Moreno Overt
mal ila more @ peanioncd com
Btn dedesallo: Alejandro Gómez Raiz
Supervisor de prodeción: José D, HemándesGardoño
PRIMERA EDICIÓN, 2010
DR. O 2010 por Pearson dación de México, S.A de CV.
Atlacomulco 00.5 Piso
Industrial Ato
3519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de a Industria Bol Mexicana, Reg núm, 1031
Premice Halles marca regada de Pearson Educación de México, SA. de CN.
Rescrado ados los derechos. Nila liad pre de et publicació pueden reproduce resta naamiis por un
“siena de recuperación de infomación, en ningun forma nipor ing medi, en lecrönca, mecánico. toque, magnético
tré. pr focopiapreción o culgie ar, in permiso pro por escrito del eier,
FA préstamo alquiler ocuiqie ota forma de cesión de uo de este ejemplar requeriáambién la atoiación del oro de sus
representantes.
ISBN; 978-607-42-539.0
Impreso en México, Prine in Medes
1234567890-1211 1009
Prentice Hall
es una marca de
P
ARSO
Para los que ensefian y para los que aprenden
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
El poder de las matemáticas
El que domina los matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
ING, ARTURO SANTANA Pneda
El que domina los matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
ING, ARTURO SANTANA Pneda
Prefacio
Calo Naconl de Matemáticas es una institu que, desde su fundación, ha impartido cunos de
reguarizaiôn en ls ras de Matemáticas, Fisica y Quimica, con resultados altamente ation
Es por eo que andador y director genera, el Ingniro Arturo Santana Pinoda, decidió plasmar
y compartirla experiencia adquirda en este io que recopa I aprendido en todos estos años y cuy princi
0 fundamental e que la person que aprende matemáticas, plena, razona, analiza y por tato act con
logia
‘A través de esta instucióny sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación
‘cone que lea el esudirte sio, también cambiar su apreciación sobre la mates, de tl forma, que seva
‘conencido de que sli aprender matemáticas y que puede incluso dedican a els De ahí que jóvenes
que hanllegado con serio problemas en e ra, una vez que descubren su potencial han decido estudiar
alguna carrera afi,
De est forma, se decide unir os dacentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de a instución
Para que conjuntamente escriban un libro que lejos de prsuncions formales muesr la pate prctica que
requiere un sta al aprender matemática y que l sra de eferzo para los conocimientos adquiridos
Dean,
Enfoque
it tne un ne 100% rc, or qe a or que e tna so más in poste oe
abontan los concepts básicos para que el estudiante comprenda y se jrcte en a aplicación de La tera
analizada enel aula en su Ho de text y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en ls ejemplos en donde el etudiante tendrá la referencia
pu resolver ls jericos que vienen al final d cada tem y poder sl reairmar lo aprendio, Estamos
«omvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendiaj, sin
«embargo la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tata dificultad.
Estructura:
[libro está formado por tec capitulo, os cuales llevan un orden específico que siempre foma en cuenta
que el studio delas maemátcas es un proceso en construcción, s decir cada capiuo selig con os cono-
mientos adquirido en as capituls anteriores
(Cada capitulo está estruruméo con teria, ejemplos yeercicios propuestos Los ejemplos son resctos
‘soa paso para que elector comprend el procdimiento y posteriormente resuelva le ejercicios corres:
pondientes Las repuestas a los ejriios e encuentran alfil del libro, de tal Forma que el estudiante
verifique silos resolv corecamente y compruebe su aprendizaje Además, en alguns capítulos aparece
‘un sección de problemas de aplación, Ia cu tie como objeto haceruna vinculación con casos dela vida
(on y as mostrarla eficacia de aplicar los conocimientos adquiridos en cad ema
‘Como recomendación se propone que se resuelvan los ejeriis preliminares de artmétca, gra,
romería y tigonomerña y geometria anata que se encuentran al final del bro, para que lector haga
‘un dagadstico de sus conocimientos en dichas áreas ls cuales son fundamentales para iniciar el aprendi
ae del celo. En caso de tner algún problema con dichos ejeicoss recomienda consulta os temas
component ea d ai y be, prom y gon y ret aa del
serie CONAMAT.
vil
Calo Naconl de Matemáticas es una institu que, desde su fundación, ha impartido cunos de
reguarizaiôn en ls ras de Matemáticas, Fisica y Quimica, con resultados altamente ation
Es por eo que andador y director genera, el Ingniro Arturo Santana Pinoda, decidió plasmar
y compartirla experiencia adquirda en este io que recopa I aprendido en todos estos años y cuy princi
0 fundamental e que la person que aprende matemáticas, plena, razona, analiza y por tato act con
logia
‘A través de esta instucióny sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación
‘cone que lea el esudirte sio, también cambiar su apreciación sobre la mates, de tl forma, que seva
‘conencido de que sli aprender matemáticas y que puede incluso dedican a els De ahí que jóvenes
que hanllegado con serio problemas en e ra, una vez que descubren su potencial han decido estudiar
alguna carrera afi,
De est forma, se decide unir os dacentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de a instución
Para que conjuntamente escriban un libro que lejos de prsuncions formales muesr la pate prctica que
requiere un sta al aprender matemática y que l sra de eferzo para los conocimientos adquiridos
Dean,
Enfoque
it tne un ne 100% rc, or qe a or que e tna so más in poste oe
abontan los concepts básicos para que el estudiante comprenda y se jrcte en a aplicación de La tera
analizada enel aula en su Ho de text y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en ls ejemplos en donde el etudiante tendrá la referencia
pu resolver ls jericos que vienen al final d cada tem y poder sl reairmar lo aprendio, Estamos
«omvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendiaj, sin
«embargo la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tata dificultad.
Estructura:
[libro está formado por tec capitulo, os cuales llevan un orden específico que siempre foma en cuenta
que el studio delas maemátcas es un proceso en construcción, s decir cada capiuo selig con os cono-
mientos adquirido en as capituls anteriores
(Cada capitulo está estruruméo con teria, ejemplos yeercicios propuestos Los ejemplos son resctos
‘soa paso para que elector comprend el procdimiento y posteriormente resuelva le ejercicios corres:
pondientes Las repuestas a los ejriios e encuentran alfil del libro, de tal Forma que el estudiante
verifique silos resolv corecamente y compruebe su aprendizaje Además, en alguns capítulos aparece
‘un sección de problemas de aplación, Ia cu tie como objeto haceruna vinculación con casos dela vida
(on y as mostrarla eficacia de aplicar los conocimientos adquiridos en cad ema
‘Como recomendación se propone que se resuelvan los ejeriis preliminares de artmétca, gra,
romería y tigonomerña y geometria anata que se encuentran al final del bro, para que lector haga
‘un dagadstico de sus conocimientos en dichas áreas ls cuales son fundamentales para iniciar el aprendi
ae del celo. En caso de tner algún problema con dichos ejeicoss recomienda consulta os temas
component ea d ai y be, prom y gon y ret aa del
serie CONAMAT.
vil
Ceres
Enel primer capitulo se estudlan las funciones su valor, clasificación gráfica, sus propiedades sus opea-
ones ec. Enel segundo, el concepto de limite y sucálel, con esto se da paso para estuiarla continuidad
¿duna función entrer capitulo
cuarto capitulo trata a derivada, su definición, interpretación geométrica, us reglas de destación,
ac Enel quint capitulo se dan as aplicaciones de a derivada, máximos y mínimos, ecuaciones de as rec.
‘us tangente y normal, ängul entre ds curvas, punto de incxión, problemas de optimización y razón de
“ambio, aplicaciones ala economía y erences
Hestudi del cäkulo integral comienza enel captul 6 con as propiedades dels sumas yla suma de
Reimann, En el capítulo e stdia la forma de resolver integras inmediatas (bros de integración,
“mio de variable integación completando el trixomio cuadrado perfecto), posteñormente, en el ta
ap, seven imegrals de diferenciales trigonométricas (casos de potencias trigonométricas) y ls méto-
os de inegción (sustiució wigonomlrica, integración por partes, frccione parciales, sustitución por
una nueva variable integras de diferenciales binomials y transformaciones) en el noveno. En el capítulo
10 se contemplan ls aplicaciones de la integra! ra bajo la curva, etre ds cunas, volúmenes longi de
ao y aplicaciones dela integral.
En el captulo 11 se introduce l estudiante a as ecuacion diferencias, con la intención de mosto
un aplicación del culo y que con ello pueda iniciar un cus formal sobre el tema
Por último, se incluye el apéndice que contempla tres caítlo complementario qe son: logaritmos,
progresones y matrices los cuales se adicionan puesto quese consideran en muchos planes de estudio.
vill
Enel primer capitulo se estudlan las funciones su valor, clasificación gráfica, sus propiedades sus opea-
ones ec. Enel segundo, el concepto de limite y sucálel, con esto se da paso para estuiarla continuidad
¿duna función entrer capitulo
cuarto capitulo trata a derivada, su definición, interpretación geométrica, us reglas de destación,
ac Enel quint capitulo se dan as aplicaciones de a derivada, máximos y mínimos, ecuaciones de as rec.
‘us tangente y normal, ängul entre ds curvas, punto de incxión, problemas de optimización y razón de
“ambio, aplicaciones ala economía y erences
Hestudi del cäkulo integral comienza enel captul 6 con as propiedades dels sumas yla suma de
Reimann, En el capítulo e stdia la forma de resolver integras inmediatas (bros de integración,
“mio de variable integación completando el trixomio cuadrado perfecto), posteñormente, en el ta
ap, seven imegrals de diferenciales trigonométricas (casos de potencias trigonométricas) y ls méto-
os de inegción (sustiució wigonomlrica, integración por partes, frccione parciales, sustitución por
una nueva variable integras de diferenciales binomials y transformaciones) en el noveno. En el capítulo
10 se contemplan ls aplicaciones de la integra! ra bajo la curva, etre ds cunas, volúmenes longi de
ao y aplicaciones dela integral.
En el captulo 11 se introduce l estudiante a as ecuacion diferencias, con la intención de mosto
un aplicación del culo y que con ello pueda iniciar un cus formal sobre el tema
Por último, se incluye el apéndice que contempla tres caítlo complementario qe son: logaritmos,
progresones y matrices los cuales se adicionan puesto quese consideran en muchos planes de estudio.
vill
Agradecimientos
Según Benjamin Franklin, invenirenconecimientos produce siempre los mejores intereses, por que espero
que obtengas, a través de este bo, as más grandes ganancias par tu foro profesional,
ruso Sara Pose
Darcror Grn ve CONAMAT
‘A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivida, Andrey po sry eta conmigo, Chema e Hiram
Jos alumnos quese voviron mis hermanos a mi famila Echeverria, Pineda y Sinchez) ala UNAM, al
ingeniero Santana, Rox gaste a tiempo, a ls cuatro fantásticos: Herman, abián, Ricardo y Migue, ue
vu placer compart este trabajo. A is alums que fueron y sen.
Axıno Actuar Mánquez
A mis paces Mara Elen y Alvaro, or brindarme avia, por sus enseñanzas y consejo; miesposaehijs
(Ana, Liam y Danie), porque son la razón de mi vida y mi inspiracio; a mis hermanos Belem, Adalid y
‘Tania por apoyarme incondicioalment y sobretodo a mis compañeros y amigo: Ricardo, Miguel, Arturo
Herman.
Fass Vatanat Bento VAGUE
Una vez mi padre me dij que “un hombre triunfador no es el que acumula iquezs 0 ul, sno cs aque
quese ana ecario,admiracidnyrespeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra la memoria de
‘mi padre el Sr Herman Gallegos Bartolo que me io a id y que por azares del destino ya no se encuenta
‘con nostros A El y José Fernando que sonel motor de mi via
Hamon A. Gaunoos Ru
‘A toda mi famila muy en especial a Lupita y Agustin, por haberme dado a via y sr un ejemplo a segui,
a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis
amigos y compañeros Artur, Fabitn, Herman y Ricardo con quien tue la oportunidad de ver eistalizado
‘ate suelo,
Mur Coxon Visca
‘A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Artur; un especial
agradecimiento a mi esposa Ma, Mercedes; a mis hijos Ricardo y Alan por su scifi, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Migue, Roxana y Arturo $, por
‘nicer realidad nuestro sueño.
canpo Raves Roussos
Un agradecimiento especial alos alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros ya que gracias a ellos
logramos adquirirla experiencia para poder escribir este libro.
Los rons
Según Benjamin Franklin, invenirenconecimientos produce siempre los mejores intereses, por que espero
que obtengas, a través de este bo, as más grandes ganancias par tu foro profesional,
ruso Sara Pose
Darcror Grn ve CONAMAT
‘A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivida, Andrey po sry eta conmigo, Chema e Hiram
Jos alumnos quese voviron mis hermanos a mi famila Echeverria, Pineda y Sinchez) ala UNAM, al
ingeniero Santana, Rox gaste a tiempo, a ls cuatro fantásticos: Herman, abián, Ricardo y Migue, ue
vu placer compart este trabajo. A is alums que fueron y sen.
Axıno Actuar Mánquez
A mis paces Mara Elen y Alvaro, or brindarme avia, por sus enseñanzas y consejo; miesposaehijs
(Ana, Liam y Danie), porque son la razón de mi vida y mi inspiracio; a mis hermanos Belem, Adalid y
‘Tania por apoyarme incondicioalment y sobretodo a mis compañeros y amigo: Ricardo, Miguel, Arturo
Herman.
Fass Vatanat Bento VAGUE
Una vez mi padre me dij que “un hombre triunfador no es el que acumula iquezs 0 ul, sno cs aque
quese ana ecario,admiracidnyrespeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra la memoria de
‘mi padre el Sr Herman Gallegos Bartolo que me io a id y que por azares del destino ya no se encuenta
‘con nostros A El y José Fernando que sonel motor de mi via
Hamon A. Gaunoos Ru
‘A toda mi famila muy en especial a Lupita y Agustin, por haberme dado a via y sr un ejemplo a segui,
a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis
amigos y compañeros Artur, Fabitn, Herman y Ricardo con quien tue la oportunidad de ver eistalizado
‘ate suelo,
Mur Coxon Visca
‘A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Artur; un especial
agradecimiento a mi esposa Ma, Mercedes; a mis hijos Ricardo y Alan por su scifi, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Migue, Roxana y Arturo $, por
‘nicer realidad nuestro sueño.
canpo Raves Roussos
Un agradecimiento especial alos alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros ya que gracias a ellos
logramos adquirirla experiencia para poder escribir este libro.
Los rons
Acerca de los autores
Arturo Aguilar Márquez. Leg comocstudinte al Colegio Nacional de Matemáticas dsarro babies
y aptitudes que le prmieron incorpore ala plata de docentes de la Instción. Relig studios de
“Actuar cola Facultad de Ciencias de a Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases
de Matemáticas por mis de 11 años en CONAMAT.
Fabián Valapa Bravo Vázquez, Dese muy temprana edad, con preparación de profesores de CONAMAT,
participé en concusos de matemática nivel nacional. Posteriormente, s incorporó a a planilla docente
ela misma inuivción donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 ños. Al mismo tiempo,
‘studi la carrera de Diseño Gráfico en a Escuela Nacional de Artes Plásticas
Herman Aurelio Gallegos Rulz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en La Escuela
‘Superior de Fisica y Matemáticas del Institut Poliécnico Nacional y Actua enla Facultad de Ciencias
dela Universidad Nacional Autónoma de México, Ha impartido class de Matemática y Fisica por más de
15 años enel Colegio Nacional de Matemáticas
Miguel Cerón Villegas. E cresado de la Unidad Profesional Inerdiscipizaria de Ingenieri y Ciencias
Sociales y Administrativas del nstiruto Poltéenico Nacional, alzó estudios de Ingeniera Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina delas Matemáticas tomando cursos en
‘CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente
‘a misma insinciöndonde ha impartido Las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años Realizó us
(Studios de Matemáticas en a Escuela Superior de Pica y Matemáticas dl Instituto Politécnico Nacional,
y de Matemáticas Puras cn a Universidad Autónoma Metropolitana,
x
Arturo Aguilar Márquez. Leg comocstudinte al Colegio Nacional de Matemáticas dsarro babies
y aptitudes que le prmieron incorpore ala plata de docentes de la Instción. Relig studios de
“Actuar cola Facultad de Ciencias de a Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases
de Matemáticas por mis de 11 años en CONAMAT.
Fabián Valapa Bravo Vázquez, Dese muy temprana edad, con preparación de profesores de CONAMAT,
participé en concusos de matemática nivel nacional. Posteriormente, s incorporó a a planilla docente
ela misma inuivción donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 ños. Al mismo tiempo,
‘studi la carrera de Diseño Gráfico en a Escuela Nacional de Artes Plásticas
Herman Aurelio Gallegos Rulz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en La Escuela
‘Superior de Fisica y Matemáticas del Institut Poliécnico Nacional y Actua enla Facultad de Ciencias
dela Universidad Nacional Autónoma de México, Ha impartido class de Matemática y Fisica por más de
15 años enel Colegio Nacional de Matemáticas
Miguel Cerón Villegas. E cresado de la Unidad Profesional Inerdiscipizaria de Ingenieri y Ciencias
Sociales y Administrativas del nstiruto Poltéenico Nacional, alzó estudios de Ingeniera Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina delas Matemáticas tomando cursos en
‘CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente
‘a misma insinciöndonde ha impartido Las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años Realizó us
(Studios de Matemáticas en a Escuela Superior de Pica y Matemáticas dl Instituto Politécnico Nacional,
y de Matemáticas Puras cn a Universidad Autónoma Metropolitana,
x
Contenido
Prefacio, i
Agradecimientos, X
‘Acero delos ars, XI
E Caro 1 Rel y funciones
} Palocién, A Función, 4. Natción, 7. Clasitcacitn, 7. Vokr de una hncién, 7. Dominio, conradominio.
4 yrongo de u funció, 10, Agur pos de cons, 13. Función casa, 13, Función ina, 14
nn rade, 16 Turón odo, 16 Lo unción e = x 17 funciona, 18 Far ie
cuadodo, 21. Fre val absole, 23 función mayr en 26 und crc, 29. Grica
de no nen o part de cha conocido, 30. Oniplazanianes, 30. Alogomints, 30. faldones
verlas y hatsonoles, 31. Funciones cuceno y decrece, 34, denen yet, army
y recto, 34. función nocivo uo o un 34 unción sepryecto, 36. Fr bec, 37
Operacion con cines, 38. Fun composición Fund de fnconed, A1. funcions por 0
impor 44, Fund ina, 45. opiedodes, 46 Fconsvoscandems, 47. ción experi. 47.
finies ngonomércas, SO. Las clones cone models matemáticos, 52
Cain 2 Limites
Definición ina de te, 56, Defieién femal elite, 60. Tomas 62. Lies cuando x senda ol
ibn 70. Asia horizontales, 72. Anis bleus, 74, lines tras, 77. lites defunciones
Mpcrombnes, 80.
Casio 3 Continuidad
Coninuidod punt, 88. Dscontnudad evioble o raoba, 90. Contnadad de una función en un
era, 95. Contruidad por à dersche, 95. Contuidad por la iuardo, 95. Centeuidad de una
Enciénen un eral bien, 95, Conti en un inrvlo cando, 96. Connidod en un navals
semiabaro, 98. lecrena de vl term, 100.
Cao 4 La derivada
Delniciéa, 104, htspretción geomático, 104, Regs de les cuoro pasos, 105. Fü pora demi.
or lo dervode de wo fanciónolgebca, 107. Desvados defunciones roscendane, 114, Dervados
e Anciones pls, 127. Demadas de oxen supero, 131. Demodos de sauces polars, 134,
Dacia de ecvacones parométicos, 135,
Caro 5 Aplicaciones de la derivada
Recs ongentey nord a una evo, 140. gone, 140. Nomal 140. Evan del rca tanger
», 141. Ecuación de la eco noma, 141. Ánguo ente dos caves, 145. Cuve, 148. Radio de
aura, 148, Cieuo.de amaur, 150. Canto de avoue, 150. Radio de varo en coordena-
des pormbneos, 152. odo de auvaur en coordenadas poles, 153, Méies y minimes de una
ill
Prefacio, i
Agradecimientos, X
‘Acero delos ars, XI
E Caro 1 Rel y funciones
} Palocién, A Función, 4. Natción, 7. Clasitcacitn, 7. Vokr de una hncién, 7. Dominio, conradominio.
4 yrongo de u funció, 10, Agur pos de cons, 13. Función casa, 13, Función ina, 14
nn rade, 16 Turón odo, 16 Lo unción e = x 17 funciona, 18 Far ie
cuadodo, 21. Fre val absole, 23 función mayr en 26 und crc, 29. Grica
de no nen o part de cha conocido, 30. Oniplazanianes, 30. Alogomints, 30. faldones
verlas y hatsonoles, 31. Funciones cuceno y decrece, 34, denen yet, army
y recto, 34. función nocivo uo o un 34 unción sepryecto, 36. Fr bec, 37
Operacion con cines, 38. Fun composición Fund de fnconed, A1. funcions por 0
impor 44, Fund ina, 45. opiedodes, 46 Fconsvoscandems, 47. ción experi. 47.
finies ngonomércas, SO. Las clones cone models matemáticos, 52
Cain 2 Limites
Definición ina de te, 56, Defieién femal elite, 60. Tomas 62. Lies cuando x senda ol
ibn 70. Asia horizontales, 72. Anis bleus, 74, lines tras, 77. lites defunciones
Mpcrombnes, 80.
Casio 3 Continuidad
Coninuidod punt, 88. Dscontnudad evioble o raoba, 90. Contnadad de una función en un
era, 95. Contruidad por à dersche, 95. Contuidad por la iuardo, 95. Centeuidad de una
Enciénen un eral bien, 95, Conti en un inrvlo cando, 96. Connidod en un navals
semiabaro, 98. lecrena de vl term, 100.
Cao 4 La derivada
Delniciéa, 104, htspretción geomático, 104, Regs de les cuoro pasos, 105. Fü pora demi.
or lo dervode de wo fanciónolgebca, 107. Desvados defunciones roscendane, 114, Dervados
e Anciones pls, 127. Demadas de oxen supero, 131. Demodos de sauces polars, 134,
Dacia de ecvacones parométicos, 135,
Caro 5 Aplicaciones de la derivada
Recs ongentey nord a una evo, 140. gone, 140. Nomal 140. Evan del rca tanger
», 141. Ecuación de la eco noma, 141. Ánguo ente dos caves, 145. Cuve, 148. Radio de
aura, 148, Cieuo.de amaur, 150. Canto de avoue, 150. Radio de varo en coordena-
des pormbneos, 152. odo de auvaur en coordenadas poles, 153, Méies y minimes de una
ill
Creme
cn, 155. Co del primera derivada pos encontor puntos méumes y minimes 155. Cri de o
segundo derivado pars encontorpuntsmáximesyminimos, 159. Optmización, 162 Moimientoreilneo
¿nifsmo, 170 Aceleración media, 171. fozón de cambio, 172 Aplicaciones ala economía 181. Regla
de pi 187. Tecrema de ole, 193. Tereme del volx medio, 195. Dferncials, 197. Aplcaco:
es delo donc, 200,
E = Carino 6 Sumas
€ DA inc, 208. Poor, 208. Sama de Renan cigs ses y canst 210
z Casiruio 7 Integrales inmediatas.
à © Deinen, 216. helos per combo de vorable, 217.
Cao 8 Integrales de diferenciales trigonométricas.
ages de a forma: fuen dr, Jen de, con my nimpor 238. gris do la emo: Jun va.
est de con npor impor 240. gris de a fora: Juve, fuervdr con npot 242. lr
egos de la foro: fun"r-xe*vdv, Jenrv-autrdr, con par y m por o impor 243. Ingres
dela foma: fente y food, con m y ex, 245. gros del foma, fenma: co de
ren msn x ax, fcosmacosnx dr, 248,
Casino 9 Métodos de integración
Setción genomics, 252. negación por pare, 255. lnegrcin por foccenes paroles 259,
Inngrcin pr tn de una rue ride, 269. Deere: que conten potrcoshoczenaros
dex, 269. Diferenciales que contenen potencias fraccionarias de a + bx, 270. ivegración de las diferen
¿als bromia, 273, Foslomacores de dernciaesHigonomávicas 276.
Casiruro 10 Aplicaciones de la integral
Conon de inegución 282, nego denke, 285. Clo de ra nego! deko, 285. opi:
dns da lo neg! delid, 285, Pepiodode de la winged dach, 285. Aro bao la ao, 287.
Fea de ropeco, 291. ma de Simpson 3, 295, Area ere cuvos plans, 296. ectónguls de
ose dx, 296, Rocéngulas de base dy, 296, Valımen de sides de rección, 300, Método de dis
cos, 300, Miedo dees rondo, 302, Modo de copes, 304. eng de ao, 309. Apleacones
lo economia, 311. función de cost, 311. Función de ngrsan 312.
Cairo 11 Ecuaciones diferenciales
Iron, 316, Denn, 316. Ecuación drei de pinar cen, 318. añobles para, 318
Ecvciones homogéneos, 328.
Solución alos ejrccios de cleulo diferencia, 335.
Solución los ejercicios de cálculo integral, 369.
Anexo A: Logorimos, Progresiones y Matrices, 385.
Anexo 8: Ejercicios preliminares, 467.
cn, 155. Co del primera derivada pos encontor puntos méumes y minimes 155. Cri de o
segundo derivado pars encontorpuntsmáximesyminimos, 159. Optmización, 162 Moimientoreilneo
¿nifsmo, 170 Aceleración media, 171. fozón de cambio, 172 Aplicaciones ala economía 181. Regla
de pi 187. Tecrema de ole, 193. Tereme del volx medio, 195. Dferncials, 197. Aplcaco:
es delo donc, 200,
E = Carino 6 Sumas
€ DA inc, 208. Poor, 208. Sama de Renan cigs ses y canst 210
z Casiruio 7 Integrales inmediatas.
à © Deinen, 216. helos per combo de vorable, 217.
Cao 8 Integrales de diferenciales trigonométricas.
ages de a forma: fuen dr, Jen de, con my nimpor 238. gris do la emo: Jun va.
est de con npor impor 240. gris de a fora: Juve, fuervdr con npot 242. lr
egos de la foro: fun"r-xe*vdv, Jenrv-autrdr, con par y m por o impor 243. Ingres
dela foma: fente y food, con m y ex, 245. gros del foma, fenma: co de
ren msn x ax, fcosmacosnx dr, 248,
Casino 9 Métodos de integración
Setción genomics, 252. negación por pare, 255. lnegrcin por foccenes paroles 259,
Inngrcin pr tn de una rue ride, 269. Deere: que conten potrcoshoczenaros
dex, 269. Diferenciales que contenen potencias fraccionarias de a + bx, 270. ivegración de las diferen
¿als bromia, 273, Foslomacores de dernciaesHigonomávicas 276.
Casiruro 10 Aplicaciones de la integral
Conon de inegución 282, nego denke, 285. Clo de ra nego! deko, 285. opi:
dns da lo neg! delid, 285, Pepiodode de la winged dach, 285. Aro bao la ao, 287.
Fea de ropeco, 291. ma de Simpson 3, 295, Area ere cuvos plans, 296. ectónguls de
ose dx, 296, Rocéngulas de base dy, 296, Valımen de sides de rección, 300, Método de dis
cos, 300, Miedo dees rondo, 302, Modo de copes, 304. eng de ao, 309. Apleacones
lo economia, 311. función de cost, 311. Función de ngrsan 312.
Cairo 11 Ecuaciones diferenciales
Iron, 316, Denn, 316. Ecuación drei de pinar cen, 318. añobles para, 318
Ecvciones homogéneos, 328.
Solución alos ejrccios de cleulo diferencia, 335.
Solución los ejercicios de cálculo integral, 369.
Anexo A: Logorimos, Progresiones y Matrices, 385.
Anexo 8: Ejercicios preliminares, 467.
NS SNS
- ; , % ye
Cálculo diferencial
- ; , % ye
Cálculo diferencial
CAPÍTULO I
RELACIONES Y FUNCIONES
Jocuminación de un lago proces, cs
yoesench memo mo consis
en la ocación y asimilación ti de
ics elementos del bo dierenca!
Foro el desarrollo de este proceso se con-
‘obo con el ögebr; los récicos de ch; introducción los mote:
cas oriobles, el método de coorderados; ideas irntesimales csias,
especiolmerte de Arquímedes; problemas de cuodolras y la bisquedo
de tongerts. Los cousos que molvaron ese proceso fron los exigen-
Ss dela mecánico newiorionsy la stonania,
lo limo etapa del desonalodelorélis iniriesnal fue elesoblecimierto
de la relación iersbikdod mu cetro ls inestgociores diferencias,
ya parir de aqu là formación del có dierencia
El óleo diferencol srg cas simulóncamente on dos foros cierones
en la formo de teca de uxiones de Newton y bojo a foma del cálculo
de difererciles de G. W. Leibniz
Lass:
Gore Wilhelm Leibniz
64.1716)
RELACIONES Y FUNCIONES
Jocuminación de un lago proces, cs
yoesench memo mo consis
en la ocación y asimilación ti de
ics elementos del bo dierenca!
Foro el desarrollo de este proceso se con-
‘obo con el ögebr; los récicos de ch; introducción los mote:
cas oriobles, el método de coorderados; ideas irntesimales csias,
especiolmerte de Arquímedes; problemas de cuodolras y la bisquedo
de tongerts. Los cousos que molvaron ese proceso fron los exigen-
Ss dela mecánico newiorionsy la stonania,
lo limo etapa del desonalodelorélis iniriesnal fue elesoblecimierto
de la relación iersbikdod mu cetro ls inestgociores diferencias,
ya parir de aqu là formación del có dierencia
El óleo diferencol srg cas simulóncamente on dos foros cierones
en la formo de teca de uxiones de Newton y bojo a foma del cálculo
de difererciles de G. W. Leibniz
Lass:
Gore Wilhelm Leibniz
64.1716)
CAPÍTULO.
cuco
Relación
Regla de comespordercia ene ls chamentos de ds cojamos
Ejemplo.
Esta reine repent on el siguien conjnt de pares ordenados
REN EEE
Función
' conzepo defunción es uno delos más importants en el mundo de as matemáticas Las funciones no sólo repre-
stan fórmulas, 0 lugares geoméxics, también s izan como malelos matemáticos que esclven problemas de
vid eal.
A continuación se da algunas definiciones defunción:
(© Bua regla de coespondencia que asocia alos elementos de dos conjuntos. La cual a ca elemento el
primer conjunto (dominio) e socia un solo cemento dl segundo conjento(contradominio).
(© Sean A y Bos conjuntos y una regla que a cada x « A signa un único elemen fs) del conjanto 8 se
{dee que fes una función que va del conjumo A ly se representa de a siguente forma: AB, donde
conn A e llama dominio ya 8 contadominio, que también e representa por medi de un diagrama
de echar
A Fa B
© Una func una clei de pares ordenados con L siguiente propiedad: i, b) y a ) pertenecen a
nacoleci, eioncs se cumple que b= ex dci. en una ance no ponte haber das pares con el mismo
primer elemento
cuco
Relación
Regla de comespordercia ene ls chamentos de ds cojamos
Ejemplo.
Esta reine repent on el siguien conjnt de pares ordenados
REN EEE
Función
' conzepo defunción es uno delos más importants en el mundo de as matemáticas Las funciones no sólo repre-
stan fórmulas, 0 lugares geoméxics, también s izan como malelos matemáticos que esclven problemas de
vid eal.
A continuación se da algunas definiciones defunción:
(© Bua regla de coespondencia que asocia alos elementos de dos conjuntos. La cual a ca elemento el
primer conjunto (dominio) e socia un solo cemento dl segundo conjento(contradominio).
(© Sean A y Bos conjuntos y una regla que a cada x « A signa un único elemen fs) del conjanto 8 se
{dee que fes una función que va del conjumo A ly se representa de a siguente forma: AB, donde
conn A e llama dominio ya 8 contadominio, que también e representa por medi de un diagrama
de echar
A Fa B
© Una func una clei de pares ordenados con L siguiente propiedad: i, b) y a ) pertenecen a
nacoleci, eioncs se cumple que b= ex dci. en una ance no ponte haber das pares con el mismo
primer elemento
Cato 1
Faces y cones
IEMPLOS:
sn copes rs tc main:
=) 0%
6003)
FA primer el rer diagramas coresponden a una función ya que a cada elemento del conjumo A se le signa un
solo clement del conan 8.
nl segundo diagrama al menos a un elemento del conjumo A ee asignn dos cementos del onjano mien-
as que en el euro diagrama e elemento #1 mocia con tes elements del cnjuno A, pr tanto, e conchye que
«stos conjuntos representan una relación,
2 1 Deiemin silos siguientes conjuntos de pre ordenados comsponden a um funció oa un relación:
A=((-24),0,9)(4.19,05,25)
= (0,2,0,0,6,7,6,9)
C=18.0,0.0.6.0,6.0)
M=(0,4)063,0,3,4,12,0.0)
Solución
Los conjentos 4 y C son funcione ya que el primer elemento de cda par ordenado no e repite, En el comento 3
113 el aparecen dos vos como primer elemento del par rdenado mientras que enel conjunto Mal 2 sel están
isigrando el y el 6como segundo elemento, or tano, By Mon relaciones.
Las fonione y relacione pueden ener unarepresentció gráfica en el plano cansino, Para ding se
ta de una foci 0 una relié bast cn azar um recta paralela lee "Y" sobre la gráfica sista imereca en
ss más punts es una relación, slo itesca un puto se una función
Faces y cones
IEMPLOS:
sn copes rs tc main:
=) 0%
6003)
FA primer el rer diagramas coresponden a una función ya que a cada elemento del conjumo A se le signa un
solo clement del conan 8.
nl segundo diagrama al menos a un elemento del conjumo A ee asignn dos cementos del onjano mien-
as que en el euro diagrama e elemento #1 mocia con tes elements del cnjuno A, pr tanto, e conchye que
«stos conjuntos representan una relación,
2 1 Deiemin silos siguientes conjuntos de pre ordenados comsponden a um funció oa un relación:
A=((-24),0,9)(4.19,05,25)
= (0,2,0,0,6,7,6,9)
C=18.0,0.0.6.0,6.0)
M=(0,4)063,0,3,4,12,0.0)
Solución
Los conjentos 4 y C son funcione ya que el primer elemento de cda par ordenado no e repite, En el comento 3
113 el aparecen dos vos como primer elemento del par rdenado mientras que enel conjunto Mal 2 sel están
isigrando el y el 6como segundo elemento, or tano, By Mon relaciones.
Las fonione y relacione pueden ener unarepresentció gráfica en el plano cansino, Para ding se
ta de una foci 0 una relié bast cn azar um recta paralela lee "Y" sobre la gráfica sista imereca en
ss más punts es una relación, slo itesca un puto se una función
1 Cariro
Some
3 @*- Determina si las siguientes gráfica representan una relación o una función.
» 2
E |
x
x
mt er ey ap pe
Ben un mn gan en np pn rege
meta ncn
1. Y 2 n Recta vertical
y J
Recsavenical Y
EJERCICIO 1
‘Keentifica silos siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.
ON.) RIED.
24390932. 5: 2-22 30,0)
SEM DES. (636-033
erica qué peseta cda rá (ción lain:
LE
WR +b
© Wen ed one cin eho crepe m
Some
3 @*- Determina si las siguientes gráfica representan una relación o una función.
» 2
E |
x
x
mt er ey ap pe
Ben un mn gan en np pn rege
meta ncn
1. Y 2 n Recta vertical
y J
Recsavenical Y
EJERCICIO 1
‘Keentifica silos siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.
ON.) RIED.
24390932. 5: 2-22 30,0)
SEM DES. (636-033
erica qué peseta cda rá (ción lain:
LE
WR +b
© Wen ed one cin eho crepe m
Cato 1
Faces y cones
Ejemplos
Algebraic
Ja)= 2 Ae Jo = Vs ,
yet seo = tt A]
*Trascendentes
10 = ex 54) ==)
= sent E 86) = log + 1)
Las faces algebics y ascendentes pueden ser
© pics
Js cuando la foci et en min de una varie, po emp:
ound mn
PR
4 cuando abs variables forman par de a cui, por ejemplo:
D-W+16-0 PINO tel mad
Las funciones que s estudiar en ste ro sempre tomarán valores de números rele ao pra la variable
independiente como para I dependiente.
Velor de uno función
1B valoren fe de una función es aquel que toma ycuano se aig a un determinado valor el.
7
Faces y cones
Ejemplos
Algebraic
Ja)= 2 Ae Jo = Vs ,
yet seo = tt A]
*Trascendentes
10 = ex 54) ==)
= sent E 86) = log + 1)
Las faces algebics y ascendentes pueden ser
© pics
Js cuando la foci et en min de una varie, po emp:
ound mn
PR
4 cuando abs variables forman par de a cui, por ejemplo:
D-W+16-0 PINO tel mad
Las funciones que s estudiar en ste ro sempre tomarán valores de números rele ao pra la variable
independiente como para I dependiente.
Velor de uno función
1B valoren fe de una función es aquel que toma ycuano se aig a un determinado valor el.
7
1 Cariro
Chao na
JEMPLOS
"Own (= 3) par = Ar Sr = 2
EII 24
o mismo, La curva psa porel punto (3,40)
2-0
a foci 0 et dei par = 4, =i no tne solución real
IN 3=3 =
Solución
Se oben que fa+b)~ Vars y fa~ Ya
Se sustituye os valores obtenidos:
fatboy _ Sari
+ +
Chao na
JEMPLOS
"Own (= 3) par = Ar Sr = 2
EII 24
o mismo, La curva psa porel punto (3,40)
2-0
a foci 0 et dei par = 4, =i no tne solución real
IN 3=3 =
Solución
Se oben que fa+b)~ Vars y fa~ Ya
Se sustituye os valores obtenidos:
fatboy _ Sari
+ +
Cato 1
Faces y cones
‘Un resultado equivalente bene a racionalizar el
fazb+ ya _ (a5) (a) » 1
O E
fa+-fa _ JaFb- da 1
» >
sneer
Fimimene, sudo de
Ez «even el aor de y cundo.
yu
ze
La faci o ct definida paa = ~2, a que la divs ente cro not determinada.
EJERCICIO 2
Bvalóa las siguientes funciones:
usan Joso
280028 are diu ed
3 SA = 36 + 4x2, dteminn c+, LETRA
seo E mi) (ren
5. Si) = VF =16 determina 5), $4), Of)
6. 5640) = (73 determina fr +, LEO
9
Faces y cones
‘Un resultado equivalente bene a racionalizar el
fazb+ ya _ (a5) (a) » 1
O E
fa+-fa _ JaFb- da 1
» >
sneer
Fimimene, sudo de
Ez «even el aor de y cundo.
yu
ze
La faci o ct definida paa = ~2, a que la divs ente cro not determinada.
EJERCICIO 2
Bvalóa las siguientes funciones:
usan Joso
280028 are diu ed
3 SA = 36 + 4x2, dteminn c+, LETRA
seo E mi) (ren
5. Si) = VF =16 determina 5), $4), Of)
6. 5640) = (73 determina fr +, LEO
9
1 Giuo
cuco
: =
1.300 = Ey demi LEEDS
8. Sisto
r Fea)
14.5550 = un dame que 10 = fr +30)
18.5550 osa deme que (x45) Ju)
a [etn-10
16. Demuestra qe par) = F3, LE Tarrio
CET
= Fi mme
mg) mn
Fiemme lo] © Tran
(© wees a road an a sacó sons carpet
18. Sis) =
Dominio, contradominio y rango de una función
Dal fib: s ie quel conan ese dm (2) y el cmtradominio (0 codominio
JE emis de lo cano, e domi compone al coja formado pro valores pose pars Y
tenia gue el condominio comaponts a I ak posi paa Y
© Rango (8)
‘Valores del comtradominio para los cuales y = (a siendo Jal imagen dex.
0-0
10
cuco
: =
1.300 = Ey demi LEEDS
8. Sisto
r Fea)
14.5550 = un dame que 10 = fr +30)
18.5550 osa deme que (x45) Ju)
a [etn-10
16. Demuestra qe par) = F3, LE Tarrio
CET
= Fi mme
mg) mn
Fiemme lo] © Tran
(© wees a road an a sacó sons carpet
18. Sis) =
Dominio, contradominio y rango de una función
Dal fib: s ie quel conan ese dm (2) y el cmtradominio (0 codominio
JE emis de lo cano, e domi compone al coja formado pro valores pose pars Y
tenia gue el condominio comaponts a I ak posi paa Y
© Rango (8)
‘Valores del comtradominio para los cuales y = (a siendo Jal imagen dex.
0-0
10
ceric 1
Faces y cones
Kurios
TR cosets non wu
Solución
La furciónspolinomial, puede omar cualquier aor, por tao, el domino son todos os números reales, s decir
x e Ro dicho de ot forma e (9,0).
2 0%: Derma el dominio de la función fs) =
as
Solución
La fució es racional y el dominado debo se distin de oro, ya que a división entre coro 0 está dei, por
o, se busca el valor para e cul x + $ =0 obteniendo x = =5, emuncesel dominio es: D, = {x « Ra # =) 0
en x e (a, JUE.
3 + ¿Cuáles el dominio de a unción 100 = 7
Fase
Solución
A facoiar el denominador se biene: f(s) = el denominado e hae cer par
GG
sé x
= (re RÍA #6) oben (re (= DUC
) U6.)
+ Desemina el dominio de a unción fu = 5
Solución
E raicando debe ser mayor o igual ceo (ya que no hay valor sal parace cuadradas de números negativos)
¡decir = 5 20, de done 125, porn D, = (2 « R| 125) 0 ben x e 5,2)
Encuentra el dominio de laonción fx) = PTE.
Solución
Se plate la designa? = 16 0 al esclvelase cien quel damisiesl conto Dy {x R|s < ~4ox™4)
ben x € (a, 9) US.)
+ sein dominio de a función ) = loge = 3)
Solución
Fara termina cl dominio de exa unción debe tomaren cuenta que Log, N =
la desigual ys suce:
paa N>0, po tano, e plana
3
2-320 4 223 >
frente]. oven re (=)
stones, el dominio es lconjuno D)
Faces y cones
Kurios
TR cosets non wu
Solución
La furciónspolinomial, puede omar cualquier aor, por tao, el domino son todos os números reales, s decir
x e Ro dicho de ot forma e (9,0).
2 0%: Derma el dominio de la función fs) =
as
Solución
La fució es racional y el dominado debo se distin de oro, ya que a división entre coro 0 está dei, por
o, se busca el valor para e cul x + $ =0 obteniendo x = =5, emuncesel dominio es: D, = {x « Ra # =) 0
en x e (a, JUE.
3 + ¿Cuáles el dominio de a unción 100 = 7
Fase
Solución
A facoiar el denominador se biene: f(s) = el denominado e hae cer par
GG
sé x
= (re RÍA #6) oben (re (= DUC
) U6.)
+ Desemina el dominio de a unción fu = 5
Solución
E raicando debe ser mayor o igual ceo (ya que no hay valor sal parace cuadradas de números negativos)
¡decir = 5 20, de done 125, porn D, = (2 « R| 125) 0 ben x e 5,2)
Encuentra el dominio de laonción fx) = PTE.
Solución
Se plate la designa? = 16 0 al esclvelase cien quel damisiesl conto Dy {x R|s < ~4ox™4)
ben x € (a, 9) US.)
+ sein dominio de a función ) = loge = 3)
Solución
Fara termina cl dominio de exa unción debe tomaren cuenta que Log, N =
la desigual ys suce:
paa N>0, po tano, e plana
3
2-320 4 223 >
frente]. oven re (=)
stones, el dominio es lconjuno D)
1 Cariro
cuco
e
7 6 cents cago deta tución fo) = $
el
2 Gti
S41 rear + prayer
ay 6r=
y > 20-2
eng
FA denominador s hace cero cunado y =2, por amo el rango esl comun:
= 6 ER|y 92) obien, ye (22360,
Deich nga de funn y= =H?
Solución
YO pong laa ode cers dep
E + pass + pas oe
Se plata la desgudad 9 ~ y? 20,
ant 4, = (y © 10 < y <3)
save se obtiene que y « [A 3], pero y 0, por tno, el ango esl
len, y € (0,3)
EJERCICIO 3
150
10 eri
140= 6
110 = =
15.10 =
16.10 - FE
PO = PS
fa) = JA
12
cuco
e
7 6 cents cago deta tución fo) = $
el
2 Gti
S41 rear + prayer
ay 6r=
y > 20-2
eng
FA denominador s hace cero cunado y =2, por amo el rango esl comun:
= 6 ER|y 92) obien, ye (22360,
Deich nga de funn y= =H?
Solución
YO pong laa ode cers dep
E + pass + pas oe
Se plata la desgudad 9 ~ y? 20,
ant 4, = (y © 10 < y <3)
save se obtiene que y « [A 3], pero y 0, por tno, el ango esl
len, y € (0,3)
EJERCICIO 3
150
10 eri
140= 6
110 = =
15.10 =
16.10 - FE
PO = PS
fa) = JA
12
Cwiruo |
Faces y cones
pra
9.10 = OF a 75
BAD arm
Re
mn)
20. fu) = logo +)
etermina el ago dels siguientes funciones:
Ot
ara
2.09 =9-
(© Veco tdo asoció vs regen,
Algunos tipos de funciones
Función constante
a) = Koon represa mat pra ee
Dominio: D, = Ro bien x Rangos Ry = (0)
Y
Je Ko=k
7 x
13
Faces y cones
pra
9.10 = OF a 75
BAD arm
Re
mn)
20. fu) = logo +)
etermina el ago dels siguientes funciones:
Ot
ara
2.09 =9-
(© Veco tdo asoció vs regen,
Algunos tipos de funciones
Función constante
a) = Koon represa mat pra ee
Dominio: D, = Ro bien x Rangos Ry = (0)
Y
Je Ko=k
7 x
13
1 Giuo
cuco
Función linea!
Fac unción en la forma fi) = ma + by representa una recta en el plano cansino, en donde mes la pendiente
Y bla cudenada al origen.
Dominio: D, Robin za (==). Rango:Ry= R obien ya (00)
y r
m>0 m<0
x x
Para graficar unc ial se eva cabo lo siguiente:
1. Se localiza ln ordemada al rigen. es dci pum (0.
1. A parir de este punt, scala oto, tomado la pendiene come el incremento o decremento vertical obre
incremento oriental
14
cuco
Función linea!
Fac unción en la forma fi) = ma + by representa una recta en el plano cansino, en donde mes la pendiente
Y bla cudenada al origen.
Dominio: D, Robin za (==). Rango:Ry= R obien ya (00)
y r
m>0 m<0
x x
Para graficar unc ial se eva cabo lo siguiente:
1. Se localiza ln ordemada al rigen. es dci pum (0.
1. A parir de este punt, scala oto, tomado la pendiene come el incremento o decremento vertical obre
incremento oriental
14
ceric 1
Te yc
JEMPLOS-
ntm = hn à
tin
La pre y nd og ice
2
sedans
2 _tngeneno vet
A AA
Grit dela función
et dns = 2
Solución
La pendent y la ordenada al rigen de la función:
15
Te yc
JEMPLOS-
ntm = hn à
tin
La pre y nd og ice
2
sedans
2 _tngeneno vet
A AA
Grit dela función
et dns = 2
Solución
La pendent y la ordenada al rigen de la función:
15
1 Giuo
cuco
Función identidad
Esla función local JU) = mu + con m = 1 y b= 0
Dominio: D, = Robin x € (2,2)
oben ye (=)
Y
a
x
Función cuadrática
Fa dela forma fs) = ax? + br + cy presenta una príbolacóncaahaca ariba hacia abajo
Sia>0 Sia<o
ih A son La condenadas del vr
Dominio: D,=R bien x € (2,2)
>)
Para oben ls oondenadas del re se alca las siguentes fórmulas:
mere [5
pr
Ejemplo
‘el domino, go yla a fi) == +5
Solocón
Se dencan ls valores de los coefiente decada mine: = 1,6 = 4e = 5
> 0, a paroles toca hacia aba
S callas alors de hy:
bos
27720
cuco
Función identidad
Esla función local JU) = mu + con m = 1 y b= 0
Dominio: D, = Robin x € (2,2)
oben ye (=)
Y
a
x
Función cuadrática
Fa dela forma fs) = ax? + br + cy presenta una príbolacóncaahaca ariba hacia abajo
Sia>0 Sia<o
ih A son La condenadas del vr
Dominio: D,=R bien x € (2,2)
>)
Para oben ls oondenadas del re se alca las siguentes fórmulas:
mere [5
pr
Ejemplo
‘el domino, go yla a fi) == +5
Solocón
Se dencan ls valores de los coefiente decada mine: = 1,6 = 4e = 5
> 0, a paroles toca hacia aba
S callas alors de hy:
bos
27720
IEMPLOS
FA vénic es el pan VO, 1)y el dominio y rango son
arrasa [2
Para graficar se tabu y se asian valores de menores y mayors que 2
la función fx)
1022-4095
‘Con entero postive tene como: Domino (=, =) es evr el cojen de los eles y Rango:
b
als) sinespar
lame) sincsimpar
nn
Solución
Se bus con valores bris de x:
17
fee
vy
Ya
FA vénic es el pan VO, 1)y el dominio y rango son
arrasa [2
Para graficar se tabu y se asian valores de menores y mayors que 2
la función fx)
1022-4095
‘Con entero postive tene como: Domino (=, =) es evr el cojen de los eles y Rango:
b
als) sinespar
lame) sincsimpar
nn
Solución
Se bus con valores bris de x:
17
fee
vy
Ya
1 Cariro
cuco
2
Cn la rica de ls funciones fis) = Py g(a) = 0
Solución
Se tabula para valores abiaris de
vr
Maar
Wer o 1 a x.
ve
PE
©
Función racional
¡Se expresa como eccieme de dos funciones polinomials
ru)
CA
FO 3
Definición de osintero
‘Sita distancia dene ua recta cura Lye panto móvil Qe a función tnd acer, eonces ect curva
recibo el nombre de asno.
isn wes ips de asnos: verbales, horizontale y oblicuas
‘Cuando a gráfica ela función fo) e acerca a a curva o secta 9 y la distancia dente un punto de fs) y la
ara reta end a ce(s dcr gráfica mo toca a LH) eones Lx) ect el nombre de af.
18
cuco
2
Cn la rica de ls funciones fis) = Py g(a) = 0
Solución
Se tabula para valores abiaris de
vr
Maar
Wer o 1 a x.
ve
PE
©
Función racional
¡Se expresa como eccieme de dos funciones polinomials
ru)
CA
FO 3
Definición de osintero
‘Sita distancia dene ua recta cura Lye panto móvil Qe a función tnd acer, eonces ect curva
recibo el nombre de asno.
isn wes ips de asnos: verbales, horizontale y oblicuas
‘Cuando a gráfica ela función fo) e acerca a a curva o secta 9 y la distancia dente un punto de fs) y la
ara reta end a ce(s dcr gráfica mo toca a LH) eones Lx) ect el nombre de af.
18
Cwiruo 1
Faces y cones
Um ci tato #0) = SS sn ei ein
re
QU) = O14) = = QU) =0
© Autos horizontales
Se despeja variable independiente x se obtiene una funció de la forma G(y) =
alors de Y y y +35 pl que:
tal ue pars os
SOD=S0)==.=50)=0
19
Faces y cones
Um ci tato #0) = SS sn ei ein
re
QU) = O14) = = QU) =0
© Autos horizontales
Se despeja variable independiente x se obtiene una funció de la forma G(y) =
alors de Y y y +35 pl que:
tal ue pars os
SOD=S0)==.=50)=0
19
1 Cariro
cuco
JEMPLOS-
Oo ride a uni uo = +
Solución
Fa domino de a función est dado porel conjmo D, = {x © R] 10), eniendo una sou en x=0, es decirel
veia del pla
Aporrea = À
‘De ncaa se dc quel go est dado por = (Y € | 90) y at rizoma sy =0,0 decir
déj horizontal del plano.
‘ital para valores de x frs de cero obtienes:
aS AAA
w + CET
‘Segrafican a asnos y e localizan os puntos en l plans un se ere cómo curva se acc a
into sin tocas, haciendo a distancia ent ur y as ets cad vez mis pequeña.
Y
+ ete el dominio el rango yla rica de a función y =
Solución
18 denominador debe er diferente de eo,
IE i ic
pm tein tp
(Dy = 4x0 R|x# -2) 0 x e (=, -2)U(-2, 2) y la asíntota vertical es.
A dopaje in lao y la a rw
Sina E nen yes
ULA
r
20
cuco
JEMPLOS-
Oo ride a uni uo = +
Solución
Fa domino de a función est dado porel conjmo D, = {x © R] 10), eniendo una sou en x=0, es decirel
veia del pla
Aporrea = À
‘De ncaa se dc quel go est dado por = (Y € | 90) y at rizoma sy =0,0 decir
déj horizontal del plano.
‘ital para valores de x frs de cero obtienes:
aS AAA
w + CET
‘Segrafican a asnos y e localizan os puntos en l plans un se ere cómo curva se acc a
into sin tocas, haciendo a distancia ent ur y as ets cad vez mis pequeña.
Y
+ ete el dominio el rango yla rica de a función y =
Solución
18 denominador debe er diferente de eo,
IE i ic
pm tein tp
(Dy = 4x0 R|x# -2) 0 x e (=, -2)U(-2, 2) y la asíntota vertical es.
A dopaje in lao y la a rw
Sina E nen yes
ULA
r
20
ceric 1
Faces y cones
Gr: Se tazan las asnos y mediano una tabulación e bienen ls pares ordenados, los cuales formal i
rene curv:
Función roíz cuadrado
La función está dada por: f(s) = RG) con gtx) = 0
EMPLOS:
EN F3
Solución
dei dono ehe dsl: + 2:30 dond > —2. eones domino es conan:
freRr|x>-2)0x e (2.2)
nego ter pad à
aL ch Sawa ck sie
La ms aora oc city (0) yl espe comodo a xpi potion
de y «Raro locas Set pry «1, =)
‘ala edo ars alos en literal s © [ 2,0900 bene:
mo 18 zn
2
Faces y cones
Gr: Se tazan las asnos y mediano una tabulación e bienen ls pares ordenados, los cuales formal i
rene curv:
Función roíz cuadrado
La función está dada por: f(s) = RG) con gtx) = 0
EMPLOS:
EN F3
Solución
dei dono ehe dsl: + 2:30 dond > —2. eones domino es conan:
freRr|x>-2)0x e (2.2)
nego ter pad à
aL ch Sawa ck sie
La ms aora oc city (0) yl espe comodo a xpi potion
de y «Raro locas Set pry «1, =)
‘ala edo ars alos en literal s © [ 2,0900 bene:
mo 18 zn
2
1 Cariro
cuco
2
Determina La gráfic del función: fu) = JP == 2
Solución
Para oben el domino se resuelve la desigualdad x? ~ x~ 2 20, obteniendo que
estes
aio AES,
onde y (2,2), yes un ae positiva, o ceo, pr tano el rango.
so [F2
Para obtener el dominio sersucveladesiguadad £1 >0, ebeniende que:
Keane
despejar x ar obtener el rango:
ps ara infra
Pay
y
donde 94 = 1
La fine es um rae posiva por ato y [0,0 entonces el rang comesponde x:
Feu
1 y dos horizons en y= -1,y =
i
a field tine una asin verkalen x=
ma
al gaia se biene
ous: Oserv que gráficamente y =
cs ne,
cuco
2
Determina La gráfic del función: fu) = JP == 2
Solución
Para oben el domino se resuelve la desigualdad x? ~ x~ 2 20, obteniendo que
estes
aio AES,
onde y (2,2), yes un ae positiva, o ceo, pr tano el rango.
so [F2
Para obtener el dominio sersucveladesiguadad £1 >0, ebeniende que:
Keane
despejar x ar obtener el rango:
ps ara infra
Pay
y
donde 94 = 1
La fine es um rae posiva por ato y [0,0 entonces el rang comesponde x:
Feu
1 y dos horizons en y= -1,y =
i
a field tine una asin verkalen x=
ma
al gaia se biene
ous: Oserv que gráficamente y =
cs ne,
ceric 1
Faces y cones
Función valor absoluto.
La función e 00 = lee donde x « D, y SU) 20.
jEMPLOS-
+ Obtén la rica de fs)
a azo
‘Se pare de La definición de valor absolu, en la gue Ja] = {_ $ xg se bienen as siguientes iguakndes:
= à + 3,y = x = 3, ls als son dos ets donde el domino son fs números rales y el rango et dado
pory 010,5)
La gráfica que e obtienes
con pt =F
ssn
2 acia eii a Sua diet
sau
A a A
een un, ee een
Tannen rep Ders
Peer ey
A s
en Pan
23
Faces y cones
Función valor absoluto.
La función e 00 = lee donde x « D, y SU) 20.
jEMPLOS-
+ Obtén la rica de fs)
a azo
‘Se pare de La definición de valor absolu, en la gue Ja] = {_ $ xg se bienen as siguientes iguakndes:
= à + 3,y = x = 3, ls als son dos ets donde el domino son fs números rales y el rango et dado
pory 010,5)
La gráfica que e obtienes
con pt =F
ssn
2 acia eii a Sua diet
sau
A a A
een un, ee een
Tannen rep Ders
Peer ey
A s
en Pan
23
Gén a gráfica de fx) = Le — 4
Solución
y= 28 4 una función cuadra con domini e Ry rango y [-4, 2) teniendo como gráfica:
Y
5) 20, lugo clang de la función e: y e [0,2 por tanto al hacer postal par donde 4e negative
obte a siguiente rica:
n
= ac
1
ot mo mg re de E
Solución
Domini: Paray = £5 x # —2 pr ano el dominio dela función esti dado por:
Ken Un
Rango: fa) >0, por tan, el rango est do por = (0, =], pro al desert se obtiene x =
41, portan y € (0, D UG, 8)
Gráfica
Solución
y= 28 4 una función cuadra con domini e Ry rango y [-4, 2) teniendo como gráfica:
Y
5) 20, lugo clang de la función e: y e [0,2 por tanto al hacer postal par donde 4e negative
obte a siguiente rica:
n
= ac
1
ot mo mg re de E
Solución
Domini: Paray = £5 x # —2 pr ano el dominio dela función esti dado por:
Ken Un
Rango: fa) >0, por tan, el rango est do por = (0, =], pro al desert se obtiene x =
41, portan y € (0, D UG, 8)
Gráfica
ceric 1
Faces y cones
la gáfica 1 se muestran os mervalos qu e analizarán pra contr la gráfica que se propose.
D. Bact tervao (o, —2) ls recia y = x = 1, = +2, toman valores negativos, s decir
ESTE
MA 7 392
a porción de gfe en el miele (== -2) es:
i) Enclimenalo (2,1)
y= Loma aloes negativos
= 2 + os oma positivos
dein
=D Ive
ae Fas Tara
a porción de genes
Faces y cones
la gáfica 1 se muestran os mervalos qu e analizarán pra contr la gráfica que se propose.
D. Bact tervao (o, —2) ls recia y = x = 1, = +2, toman valores negativos, s decir
ESTE
MA 7 392
a porción de gfe en el miele (== -2) es:
i) Enclimenalo (2,1)
y= Loma aloes negativos
= 2 + os oma positivos
dein
=D Ive
ae Fas Tara
a porción de genes
1 Cariro
Chao na
‘Tne la misma gráfica queenclcaso 1)
La poción de gráfica es:
Finalmente la gráfica sl unión els pociones de gráfica en ca nera,
y
Not: Bn a gra aparece an eco en y= 1 ya que el ago sy © (0,1) Ui
Función mayor entero
“ene forma) = Homa pri de qu} = npn mion <a + com Z
Ene +
On a rca de: = I
Domino: D, = el « 8)
Rang 8 = (rly 02)
‘toma un subcenjmo del dominio por ejemplo x e [~2,3] e tens que:
exc
aro
een
we Ier?
28x03
res
eesves.
Chao na
‘Tne la misma gráfica queenclcaso 1)
La poción de gráfica es:
Finalmente la gráfica sl unión els pociones de gráfica en ca nera,
y
Not: Bn a gra aparece an eco en y= 1 ya que el ago sy © (0,1) Ui
Función mayor entero
“ene forma) = Homa pri de qu} = npn mion <a + com Z
Ene +
On a rca de: = I
Domino: D, = el « 8)
Rang 8 = (rly 02)
‘toma un subcenjmo del dominio por ejemplo x e [~2,3] e tens que:
exc
aro
een
we Ier?
28x03
res
eesves.
ceric 1
Bocas years
Gas
ani cie nombre de ación cali,
Zee muta rite fu = [3s]
Solución
| domino eng ea fin sete:
Dy=Glre Ry B= ly ez)
Se gel acomode dominio € [-2,2 entoces:
ara ed 2
sic Prog
o=dacı oxo
t=êrer des à
7
Bocas years
Gas
ani cie nombre de ación cali,
Zee muta rite fu = [3s]
Solución
| domino eng ea fin sete:
Dy=Glre Ry B= ly ez)
Se gel acomode dominio € [-2,2 entoces:
ara ed 2
sic Prog
o=dacı oxo
t=êrer des à
7
1 Cariro
cuco
EJERCICIO 4
y= 16-8
2.10 (TR
24.100 = TE
1
EN DE PP
=a
26.40) = FF
2.0 5
ms
28.909 ES
==
DO
30. = ll
31. fa =h21
32.9 ml al
38.) =|]
ap =| an +31
3.10 Br
3.10
37.90) =
lesa
#10 - [4
9.160 = PH
1.0 sw [E
1
Bye FT wo [ho]
as [5]
nye a 1. [3
232 (P=
© vs ete an a ec Settee cope
2
cuco
EJERCICIO 4
y= 16-8
2.10 (TR
24.100 = TE
1
EN DE PP
=a
26.40) = FF
2.0 5
ms
28.909 ES
==
DO
30. = ll
31. fa =h21
32.9 ml al
38.) =|]
ap =| an +31
3.10 Br
3.10
37.90) =
lesa
#10 - [4
9.160 = PH
1.0 sw [E
1
Bye FT wo [ho]
as [5]
nye a 1. [3
232 (P=
© vs ete an a ec Settee cope
2
Cato 1
Faces y cones
Función característica
Son funciones qu catínsccconadsporinervalo enced interval presenta na funció dista. Pra grafica
asta con dibujar a grin decada una dels funciones en el intervalo dado.
Ejemplo
Obtén gi de
i sax
PRESS
Geo à sma
Solución
Se tabla cda una de la funciones elintevalo dado, e localizan ls puntos y» grafica, observa que bay puntos
que no ti inlaid, para cos vla e coloca un ccoo aber
EJERCICIO 5
on og gts
Bi Recuerta que lol = (4 u aco.
sah ~1<x<2
ett 222
(© wet ts tne te ncn Se lee rept
29
Faces y cones
Función característica
Son funciones qu catínsccconadsporinervalo enced interval presenta na funció dista. Pra grafica
asta con dibujar a grin decada una dels funciones en el intervalo dado.
Ejemplo
Obtén gi de
i sax
PRESS
Geo à sma
Solución
Se tabla cda una de la funciones elintevalo dado, e localizan ls puntos y» grafica, observa que bay puntos
que no ti inlaid, para cos vla e coloca un ccoo aber
EJERCICIO 5
on og gts
Bi Recuerta que lol = (4 u aco.
sah ~1<x<2
ett 222
(© wet ts tne te ncn Se lee rept
29
1 Cariro
cuco
Grafica de una función a partir de otra conocida
Algunas funciones se rafcan apart d que se conoce la grfica de oa, a wavs de desplaramientosalargamicetos
reflexiones de esta dima.
Desplazamientos
Sea Oum unción c>0y5> 0,8
à y= 10) + enc depara a cd, nia hc an,
15 y= JD conte dela a pend fü € mis ai abajo.
9 Y = Ju cesa dai a ind i) cents aci la ue.
BY 160 con dep ade nas denen.
9 32H + O +b ere dpa lar de), unidades ca quid bands hacia am
Dd
»
5
1 fo-e Je
À pS JS CA
a en “fr =
seo neo sos
orgomienios
dom cé > 1
0 y= fess de fee
y= Le cp vei pr den À
3 Netos pi tii la dr
or a) ssi hn onde es À
30
cuco
Grafica de una función a partir de otra conocida
Algunas funciones se rafcan apart d que se conoce la grfica de oa, a wavs de desplaramientosalargamicetos
reflexiones de esta dima.
Desplazamientos
Sea Oum unción c>0y5> 0,8
à y= 10) + enc depara a cd, nia hc an,
15 y= JD conte dela a pend fü € mis ai abajo.
9 Y = Ju cesa dai a ind i) cents aci la ue.
BY 160 con dep ade nas denen.
9 32H + O +b ere dpa lar de), unidades ca quid bands hacia am
Dd
»
5
1 fo-e Je
À pS JS CA
a en “fr =
seo neo sos
orgomienios
dom cé > 1
0 y= fess de fee
y= Le cp vei pr den À
3 Netos pi tii la dr
or a) ssi hn onde es À
30
ceric 1
Faces y cones
Reflexiones verticales y horizonioles
Sea fs) funció i
1. y= JUN sera a gráfica de o) on respecto al je X.
2 y f(r se relata gráfica de fl) con respect aleje Y.
Lea * [peu !
‘Setomarin como tase ls siguente funciones ar graficar ta del misa foma:
so.
A)
a
Faces y cones
Reflexiones verticales y horizonioles
Sea fs) funció i
1. y= JUN sera a gráfica de o) on respecto al je X.
2 y f(r se relata gráfica de fl) con respect aleje Y.
Lea * [peu !
‘Setomarin como tase ls siguente funciones ar graficar ta del misa foma:
so.
A)
a
Con base en función fa) = 2, bn a rica de: y=? + 2,9 = 02,
1
At heine
yore? rez
Se depts) arte
eral sr má
1
At heine
yore? rez
Se depts) arte
eral sr má
ceric 1
Faces y cones
2 0%: Determina la gráfica de y= J¥=3 +2, parida gica de y= VE.
Solución
La gris de y = VE es
Par obtenerla gráfica de y = VAR + 2,6 toma a gráfica de y = /% ésta se desplaza 3 unidades ala ders
mais
EJERCICIO 6
U m de na
sys trama
au =
agains arena
area ras
ei ay
nae Brnbasie2
© vie a td nia min son copita,
33
Faces y cones
2 0%: Determina la gráfica de y= J¥=3 +2, parida gica de y= VE.
Solución
La gris de y = VE es
Par obtenerla gráfica de y = VAR + 2,6 toma a gráfica de y = /% ésta se desplaza 3 unidades ala ders
mais
EJERCICIO 6
U m de na
sys trama
au =
agains arena
area ras
ei ay
nae Brnbasie2
© vie a td nia min son copita,
33
1 Giuo
cuco
Funciones creciente y decreciente
Una foncón es ereclent un itervalo si par culquier xx € I,
KISS) donde 1, <5
(Us famine decrecientes un interval, para cualquier x.)
Ji) > J6 Sede x,<x,
Ejemplos
Las gráficas e las funciones fa) = 2 y FC) = son
E+
La función 9) = #70 decreciente en cinteralo d (o) y recite en litenalo (0, mots que g() =?
«creci para toda x su domini.
EJERCICIO 7
Con os foncines conocidas detain el nto donde econ o.decncen
ers
BF
Orten wa etn on a ció escapade
Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Función inyeciivo (uno o uno}
Six Xy € D/yx,% oF 6 um furció inyet sy solos fs.) # JO), 0 dicho de ora forma fx) # x) si
yoo, do
‘Se determina sa frió es nyectv al azar una recta paralela a eo X sobre la rica ys aca un solo pun-
to es inyectiva. También se puede decir que un unción inyeciva es aquel que sempre es creciente 0 sempre
recien
cuco
Funciones creciente y decreciente
Una foncón es ereclent un itervalo si par culquier xx € I,
KISS) donde 1, <5
(Us famine decrecientes un interval, para cualquier x.)
Ji) > J6 Sede x,<x,
Ejemplos
Las gráficas e las funciones fa) = 2 y FC) = son
E+
La función 9) = #70 decreciente en cinteralo d (o) y recite en litenalo (0, mots que g() =?
«creci para toda x su domini.
EJERCICIO 7
Con os foncines conocidas detain el nto donde econ o.decncen
ers
BF
Orten wa etn on a ció escapade
Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Función inyeciivo (uno o uno}
Six Xy € D/yx,% oF 6 um furció inyet sy solos fs.) # JO), 0 dicho de ora forma fx) # x) si
yoo, do
‘Se determina sa frió es nyectv al azar una recta paralela a eo X sobre la rica ys aca un solo pun-
to es inyectiva. También se puede decir que un unción inyeciva es aquel que sempre es creciente 0 sempre
recien
ceric 1
Faces y cones
JEMPLOS:
Determina sa fei fx) = + 1, s inyectiva.
Solución
‘Sean, 1,5 cre que (1.7 + 14 + ya que no hay números isos cuyos cubo scan gus, con ct
resaltado podemos amar que la función e inyectiva; por ro lado, ss observa que la gráfica es creciente, por
mo, es inyectiva. Ora forma de saber ia funció es inpecóv e raza cualquier recta parla alejo, y ésta
debe tocar unsolo punto ela gráfica.
r
mel
seria sia fein fs) = 2 — es ingeciva
Solución
Noes inyectiva, ya que paras, = =1 yx, = 3 obtiene que) = fl) = ~3,lo qu contado La dein,
‘Lago, aise taza un et paralela ajo Xs sera que ésta tocados pain de la rc; proto lado, nocs una
Función ques reine ni decreciente sempre.
ra
Mae
35
Faces y cones
JEMPLOS:
Determina sa fei fx) = + 1, s inyectiva.
Solución
‘Sean, 1,5 cre que (1.7 + 14 + ya que no hay números isos cuyos cubo scan gus, con ct
resaltado podemos amar que la función e inyectiva; por ro lado, ss observa que la gráfica es creciente, por
mo, es inyectiva. Ora forma de saber ia funció es inpecóv e raza cualquier recta parla alejo, y ésta
debe tocar unsolo punto ela gráfica.
r
mel
seria sia fein fs) = 2 — es ingeciva
Solución
Noes inyectiva, ya que paras, = =1 yx, = 3 obtiene que) = fl) = ~3,lo qu contado La dein,
‘Lago, aise taza un et paralela ajo Xs sera que ésta tocados pain de la rc; proto lado, nocs una
Función ques reine ni decreciente sempre.
ra
Mae
35
Y Cariro
cuca
Función suprayecivo
Una función A» Bes supryecia o soleyeciva si para cada b « Bexitca « Ata que flo) Des deci par
‘odo clemente sempre hay ur de A al cua fu asignado.
‘Ot forma de recoroser una función suprayectva e au contrdominio es igual su rango, Al menos que se
indique fo contro el contadominio dela uncon das sera los números als.
jEMPLOS-
Determina sa función A) = 2 + 1 essopayetva,
Solución
FA contradominio dela funció e cl intervalo (=>, =) y s rango el intervalo [12 por tanto, la función no es
space,
Determina sa función x)= x3 + 1 essupayectiva
Solución
YE contradominio de la función es el interval (
paye,
cuca
Función suprayecivo
Una función A» Bes supryecia o soleyeciva si para cada b « Bexitca « Ata que flo) Des deci par
‘odo clemente sempre hay ur de A al cua fu asignado.
‘Ot forma de recoroser una función suprayectva e au contrdominio es igual su rango, Al menos que se
indique fo contro el contadominio dela uncon das sera los números als.
jEMPLOS-
Determina sa función A) = 2 + 1 essopayetva,
Solución
FA contradominio dela funció e cl intervalo (=>, =) y s rango el intervalo [12 por tanto, la función no es
space,
Determina sa función x)= x3 + 1 essupayectiva
Solución
YE contradominio de la función es el interval (
paye,
Corio 1
Feces y Sones
Función biyeciiva
Una función "7" es ivectva ses ner yauprayeiba.
EJEMPLOS:
Determina sl función 6) = Ar +1 es biere,
Solución
Fs wa fone sempre creciente, porn, snpetv.Elcontadominio den fncón (0,2) ys rango(—, 2)
enoncesessupnyeciva.|
La funciónes Ínyctiva y suprayectva, pr tanto, es it
Y
+ Desea sa función JU) = IZ es biere.
Solución
Graf
‘ial waar ma ectapaaea aleje Ximena aa curva eun uno inect noes sprayectin, aque cote
mini soa los ales y su mg se interval (0, 2) Es nyeciva peo no suprayechva, entonces o es biyocia,
Determina sia función ft (= 1) +0, 2 1 que Ju) = ¡TZ es bipetva,
Solución
La gráficas la misma de a función del amp atrio, or tana La función e inc.
neste caso se especifica el contradominio como el interval 0,2) el cual es gua lago, entonces, su:
pain.
Fs inociva y suprayectivs por comic, cs biyectiva,
37
Feces y Sones
Función biyeciiva
Una función "7" es ivectva ses ner yauprayeiba.
EJEMPLOS:
Determina sl función 6) = Ar +1 es biere,
Solución
Fs wa fone sempre creciente, porn, snpetv.Elcontadominio den fncón (0,2) ys rango(—, 2)
enoncesessupnyeciva.|
La funciónes Ínyctiva y suprayectva, pr tanto, es it
Y
+ Desea sa función JU) = IZ es biere.
Solución
Graf
‘ial waar ma ectapaaea aleje Ximena aa curva eun uno inect noes sprayectin, aque cote
mini soa los ales y su mg se interval (0, 2) Es nyeciva peo no suprayechva, entonces o es biyocia,
Determina sia función ft (= 1) +0, 2 1 que Ju) = ¡TZ es bipetva,
Solución
La gráficas la misma de a función del amp atrio, or tana La función e inc.
neste caso se especifica el contradominio como el interval 0,2) el cual es gua lago, entonces, su:
pain.
Fs inociva y suprayectivs por comic, cs biyectiva,
37
1 Cariro
cuco
09: termina ac (9,0) 0,9) que f= ae bc.
Solución
Dela rica s beca que la funció s inyectiva, ya que arca horizontal sólo ca un puto.
Proto lado, el condominio el intervalo (0 el cual es igual al unge, po ant, ssupayectva,
Poros inyectiva ysupayecva, po consiguiente, e biyectva,
Y
s0-e
EJERCICIO 8
Inc cl de res uncne es yet, cbr y Becta
Wera
10-23
20-23
ORI que A
SO = 2x a 10.9) 10, 10,2) 10,2 el
(© Vic te onde an asoció eines caro.
Operaciones con funciones
‘Sean y y os furcionescon dominios y D respectivamente
© Ju + #69 = + Bacon domi D, ND),
© 10-800 = ~ 960, condominio: 0,10,
2 JD = HG con domino: 0,00,
28 (Learn
(Dame a
cuco
09: termina ac (9,0) 0,9) que f= ae bc.
Solución
Dela rica s beca que la funció s inyectiva, ya que arca horizontal sólo ca un puto.
Proto lado, el condominio el intervalo (0 el cual es igual al unge, po ant, ssupayectva,
Poros inyectiva ysupayecva, po consiguiente, e biyectva,
Y
s0-e
EJERCICIO 8
Inc cl de res uncne es yet, cbr y Becta
Wera
10-23
20-23
ORI que A
SO = 2x a 10.9) 10, 10,2) 10,2 el
(© Vic te onde an asoció eines caro.
Operaciones con funciones
‘Sean y y os furcionescon dominios y D respectivamente
© Ju + #69 = + Bacon domi D, ND),
© 10-800 = ~ 960, condominio: 0,10,
2 JD = HG con domino: 0,00,
28 (Learn
(Dame a
ceric 1
Faces y cones
EMPLOS
gens foes fa) = 2 = 74 10.700225
Determine
9 10 + a
D 10 = 50
9 10-50)
E)
of
Solución
Oberen tos dominion fy jur cr operaciones.
Dn
à 1480 = 275410 4-5)
Reed Den
D 19-102 A
LÉ 000,00,
Pa ee)
D pr + He de + 8e 0
DI + 4590.00 9,90, = (2,59
ess
=a-2c0n, (B,D, 1245)
SA FF ye) amer BD
sain
Seon nn 00, oa a
Mar P= + notte 0,90,
10-00 = P=
INEA = (A3
condominio: D, M D, = [-3,31 0
800 = =P xx (IE condominio: D, M.D,
LD a ni (e (IA) oben (AL
+ Sean f = (2.9.6.
Solución
Los dominios son D, =(2,3,4,5) y D, = (1, 2,3,7),emonees D.
yen ls valores del dominio de asuma.
J0)+5@)=3+5=8
10) + =1+
1,4, -9.6,-9) y 4 =(0,2,0.9.0,8,0. 10), determina f+ 5
= 2,3), par calar JU) + 80 se sust
Porto, fu) + #69 = (2.9.8.7)
39
Faces y cones
EMPLOS
gens foes fa) = 2 = 74 10.700225
Determine
9 10 + a
D 10 = 50
9 10-50)
E)
of
Solución
Oberen tos dominion fy jur cr operaciones.
Dn
à 1480 = 275410 4-5)
Reed Den
D 19-102 A
LÉ 000,00,
Pa ee)
D pr + He de + 8e 0
DI + 4590.00 9,90, = (2,59
ess
=a-2c0n, (B,D, 1245)
SA FF ye) amer BD
sain
Seon nn 00, oa a
Mar P= + notte 0,90,
10-00 = P=
INEA = (A3
condominio: D, M D, = [-3,31 0
800 = =P xx (IE condominio: D, M.D,
LD a ni (e (IA) oben (AL
+ Sean f = (2.9.6.
Solución
Los dominios son D, =(2,3,4,5) y D, = (1, 2,3,7),emonees D.
yen ls valores del dominio de asuma.
J0)+5@)=3+5=8
10) + =1+
1,4, -9.6,-9) y 4 =(0,2,0.9.0,8,0. 10), determina f+ 5
= 2,3), par calar JU) + 80 se sust
Porto, fu) + #69 = (2.9.8.7)
39
Y Cariro
cuca
EJERCICIO 9
Para las siguientes funciones determina:
+ = 10
10 + 509.0) = nn Le
NEE
210 = 25,802 2045
SD = 84-580 28 + +2
2 uz
4.0 = E
5.0 = (ES 90) = ere
GS = a+ Veet = NE
7.160 = ex 69 = 000 x
8.1=4-1,2.0.9.0.9.0.9,6,01.87 (3.6,-2.9.-1.10,0, 12, 1.65 16,6. 19)
y= (e Jenem( (nie frman(}
baii
(fa) =x +3, 90) 3-10
nt
a en
mn A
10 £
a) 19
En] 50,20
1) = o na)
is
mean iH
1a
22 0m
10,
20000 2 ong
cuca
EJERCICIO 9
Para las siguientes funciones determina:
+ = 10
10 + 509.0) = nn Le
NEE
210 = 25,802 2045
SD = 84-580 28 + +2
2 uz
4.0 = E
5.0 = (ES 90) = ere
GS = a+ Veet = NE
7.160 = ex 69 = 000 x
8.1=4-1,2.0.9.0.9.0.9,6,01.87 (3.6,-2.9.-1.10,0, 12, 1.65 16,6. 19)
y= (e Jenem( (nie frman(}
baii
(fa) =x +3, 90) 3-10
nt
a en
mn A
10 £
a) 19
En] 50,20
1) = o na)
is
mean iH
1a
22 0m
10,
20000 2 ong
Cwiruo 1
Faces y icons
2. 2-9) 20) MO 80)
1o+na)
>
DIA Gm
2.02 +
x _ 500
oz)
(OD ve tn men nla secon de son copie
Función composición (Función de funciones)
coa reis el nombre de función composición
Sean y funcions cualesquiera que define ua meva función
de con gy se dem con
CCE)
y esla funcn cayo dominio son los elementos del dominio de al qe x) penenee al domini de f es dci,
Dag taire D,¥ 80) € D)
a
Faces y icons
2. 2-9) 20) MO 80)
1o+na)
>
DIA Gm
2.02 +
x _ 500
oz)
(OD ve tn men nla secon de son copie
Función composición (Función de funciones)
coa reis el nombre de función composición
Sean y funcions cualesquiera que define ua meva función
de con gy se dem con
CCE)
y esla funcn cayo dominio son los elementos del dominio de al qe x) penenee al domini de f es dci,
Dag taire D,¥ 80) € D)
a
Y Cariro
Chao oH
¡EMPLOS:
ESIS=(0,D.0,9.65.0.0,8) y £=10,1).(1,D.(=5.5),(-9,2)), determina fg.
Solución
‘Se determinan os ars ordenados de la onción, deal manera que e segundo término sa el primer término de os
pars ordenados de la unción. Los primeros minos decada par rdenado encontro, forman el domino dela
fine composición.
‘Lox paresorderados de g que cumplen con a codición son:
Port, dominio de a funcn composición es:
Dag (5,103)
FA domino se caló de la siguio maner:
Por definición ¢ = AR), entonces el conjun solución son todas las parejos ordenadas de la forma:
efit
LUN) = 15)
II
NED = fo) =2
Finalmente cl omjanto ex:
=(C50.-1.9.0,2)
Pi eee eee
af = JU) = + 39m + 3943 mx + 6
Par determinar fe hse aplica primero depoés 4, por imo, J
Chao oH
¡EMPLOS:
ESIS=(0,D.0,9.65.0.0,8) y £=10,1).(1,D.(=5.5),(-9,2)), determina fg.
Solución
‘Se determinan os ars ordenados de la onción, deal manera que e segundo término sa el primer término de os
pars ordenados de la unción. Los primeros minos decada par rdenado encontro, forman el domino dela
fine composición.
‘Lox paresorderados de g que cumplen con a codición son:
Port, dominio de a funcn composición es:
Dag (5,103)
FA domino se caló de la siguio maner:
Por definición ¢ = AR), entonces el conjun solución son todas las parejos ordenadas de la forma:
efit
LUN) = 15)
II
NED = fo) =2
Finalmente cl omjanto ex:
=(C50.-1.9.0,2)
Pi eee eee
af = JU) = + 39m + 3943 mx + 6
Par determinar fe hse aplica primero depoés 4, por imo, J
Corio 1
Faces y icons
3 965: fay 06) = 26 1 YM) = à demi 25h
Solución
Lee h = fn) = fle 2) = Jet - =
= Or 97 = 4 + 81
1 iF) = APS determina f, y hil que F = eh
Solución.
Hu) = [FIT La faneié dice suma, loa al candado, resta y ob iz.
Teese ee que
Ma +4 ONE
De al forma que Je re AX = JU) = fate + 4) = fe + 9 = ara
EJERCICIO 10
Dein +f. y Fe par as signos funcions:
LIO =30=80=2 y Me
20 y er
0-4 y 02
= Ey = (PHS
Dee ++ y a= ni
7.0)=logte=2) y a =x-2
9.10)=(0,9.0.0.4,7.6.8) y DNA
10.16) =(0,0,0,9.0,9,4,19) y ¿9 (CAD.CLDO9,0,0)
HA = (OGC INC y #60 =(0,0,A 20,0)
Encuent de manera que / 8%) = FU)
= y FO mo +b
43
Faces y icons
3 965: fay 06) = 26 1 YM) = à demi 25h
Solución
Lee h = fn) = fle 2) = Jet - =
= Or 97 = 4 + 81
1 iF) = APS determina f, y hil que F = eh
Solución.
Hu) = [FIT La faneié dice suma, loa al candado, resta y ob iz.
Teese ee que
Ma +4 ONE
De al forma que Je re AX = JU) = fate + 4) = fe + 9 = ara
EJERCICIO 10
Dein +f. y Fe par as signos funcions:
LIO =30=80=2 y Me
20 y er
0-4 y 02
= Ey = (PHS
Dee ++ y a= ni
7.0)=logte=2) y a =x-2
9.10)=(0,9.0.0.4,7.6.8) y DNA
10.16) =(0,0,0,9.0,9,4,19) y ¿9 (CAD.CLDO9,0,0)
HA = (OGC INC y #60 =(0,0,A 20,0)
Encuent de manera que / 8%) = FU)
= y FO mo +b
43
Y Cariro
cuca
Isa PA y rer
Funciones par e impar
© Sede que ua función fo par
© Sede quema uni fe impar
EMPLOS
gr» = #4. función ar ya que
Ina apo.
2)
fa) = 30° + Ares fuel impar ya que:
IED + A AR = Qu + 40 =
JD = = = S42 noes ar impar, a que
Ja) = CP = GAP EEE = rs
IED y EE]
Onervacines:
SiS y on fnciones pares y hy funcine imparenoocs se cumple:
LS ogopar
Wf hesimpar
Lh -respar
cuca
Isa PA y rer
Funciones par e impar
© Sede que ua función fo par
© Sede quema uni fe impar
EMPLOS
gr» = #4. función ar ya que
Ina apo.
2)
fa) = 30° + Ares fuel impar ya que:
IED + A AR = Qu + 40 =
JD = = = S42 noes ar impar, a que
Ja) = CP = GAP EEE = rs
IED y EE]
Onervacines:
SiS y on fnciones pares y hy funcine imparenoocs se cumple:
LS ogopar
Wf hesimpar
Lh -respar
Corio 1
Tos yc
EJERCICIO 11
rap
sl pa
osos use
Dress
al
somes
M1) (FoF
19e 25
© Weta un estan en a secon de oies crreipondiene
Función inversa
Saf ción Ib cdo mm ag mm eo
versa de yse denota”) con domino By cotadomnio A.
EnPLos
Le mn tn =H
y
2 wert or
10-23
Pes tees
¡Observa que Ja) es un re de fi) sobre la función identidad y = x
Compote:
E -3 = 43-3=%
Ou forma beer faces sera par do en mins ee ira
spor fy pora
45
Tos yc
EJERCICIO 11
rap
sl pa
osos use
Dress
al
somes
M1) (FoF
19e 25
© Weta un estan en a secon de oies crreipondiene
Función inversa
Saf ción Ib cdo mm ag mm eo
versa de yse denota”) con domino By cotadomnio A.
EnPLos
Le mn tn =H
y
2 wert or
10-23
Pes tees
¡Observa que Ja) es un re de fi) sobre la función identidad y = x
Compote:
E -3 = 43-3=%
Ou forma beer faces sera par do en mins ee ira
spor fy pora
45
1 Cariro
cuco
2 0: Deermin la función inversa de fa) = 3 12
Solución
ea la
a apr 16/2 À +4
E AS
+ Determina 1 función inves de fs) = x?
Solución
La fnci 0 es inyectiva, por ato, no tr inversa.
Propiedades
Sif ena frciónconinvena "entonces
© dominio de fet rango de yel rango de fes el dominio de
DAN
En
a A
EJERCICIO 12
Determina la función inversa (si es posible) pora las siguientes funciones:
ars moisi
eo. panal A
nano o
er aa
Be
eee) 500°
802 55
O vs a ento on a ció soins corpo,
cuco
2 0: Deermin la función inversa de fa) = 3 12
Solución
ea la
a apr 16/2 À +4
E AS
+ Determina 1 función inves de fs) = x?
Solución
La fnci 0 es inyectiva, por ato, no tr inversa.
Propiedades
Sif ena frciónconinvena "entonces
© dominio de fet rango de yel rango de fes el dominio de
DAN
En
a A
EJERCICIO 12
Determina la función inversa (si es posible) pora las siguientes funciones:
ars moisi
eo. panal A
nano o
er aa
Be
eee) 500°
802 55
O vs a ento on a ció soins corpo,
ceric 1
Faces y cones
Funciones trascendentes
Función exponencial
Es um unción dela forma JU) = con dominio Dy: € (1,2) yrngo y € 0,2) (sa = 1, etnces el ango
8 (1) y Básicamente existen es pos:
LA
fo=de>t fiad.ocec! wer
EMPLOS-
ARS ain 10 7 02
Solución
¡Se hace una ablación para cda gráfica ys bien:
H
1
ox CS
Una de Ls funciones exponencial más comunes es: 6) =e, con ¢~ 2.71828,
Y
47
Faces y cones
Funciones trascendentes
Función exponencial
Es um unción dela forma JU) = con dominio Dy: € (1,2) yrngo y € 0,2) (sa = 1, etnces el ango
8 (1) y Básicamente existen es pos:
LA
fo=de>t fiad.ocec! wer
EMPLOS-
ARS ain 10 7 02
Solución
¡Se hace una ablación para cda gráfica ys bien:
H
1
ox CS
Una de Ls funciones exponencial más comunes es: 6) =e, con ¢~ 2.71828,
Y
47
ye er
La inclôn exponencial) = a es inyectiva (ya que es reciente), por eno, debe toner inves, cale el
togarimo on bas Un Logan se define emo clcsponente aque se leva número amado base parnobener
«eno número, de al foma que aplicadoa la unción expenencal queda:
y = a emonees logy = 1,7 >0.por uno (0) = lye
De loaner, se define lación logartimica como:
50) =log_ Dominio: (0,2) Rango:x e (=)
us,
La inclôn exponencial) = a es inyectiva (ya que es reciente), por eno, debe toner inves, cale el
togarimo on bas Un Logan se define emo clcsponente aque se leva número amado base parnobener
«eno número, de al foma que aplicadoa la unción expenencal queda:
y = a emonees logy = 1,7 >0.por uno (0) = lye
De loaner, se define lación logartimica como:
50) =log_ Dominio: (0,2) Rango:x e (=)
us,
Corio 1
Faces y icons
Pasa pre punto (1,0, porque Log, 1 =0 ya que = ex crient y en un aser vertical en x= 0
Porcjemplo ls grew de as funcions: fe) = lo, 3 80) = Log 2308:
A Kamin
sts) bop
x
Fort lao nx = Lg, x portamo, si 1) = etemonces 14) = nx
que
Determina La prífica de y = op - 5).
Solución
‘Se determina dominio; euerda que logy N
er
ass dorada)
Simm ca E y si lity sans
49
Faces y icons
Pasa pre punto (1,0, porque Log, 1 =0 ya que = ex crient y en un aser vertical en x= 0
Porcjemplo ls grew de as funcions: fe) = lo, 3 80) = Log 2308:
A Kamin
sts) bop
x
Fort lao nx = Lg, x portamo, si 1) = etemonces 14) = nx
que
Determina La prífica de y = op - 5).
Solución
‘Se determina dominio; euerda que logy N
er
ass dorada)
Simm ca E y si lity sans
49
Y Cariro
cuca
2 0%: Deemina la gráfica de y = og 3) +2.
Solución
‘Se desplaza la rica de y = log x os unidades aca ariba y tes a a guide
r
Funciones trigonométricas
Para la price des siguientes fines igonomépicas se izar por comención alors en ras para 1
v ”
ymcorx yasınz
AVE ACTES
Dominio: xE(-0,2) Dominio: xE (0,2)
Rang: ET Remo: y Esa]
Pen
ET TE
Damsio-{ensennez}
Rango: yE(=2,2)
Rango: yE (a.m)
cuca
2 0%: Deemina la gráfica de y = og 3) +2.
Solución
‘Se desplaza la rica de y = log x os unidades aca ariba y tes a a guide
r
Funciones trigonométricas
Para la price des siguientes fines igonomépicas se izar por comención alors en ras para 1
v ”
ymcorx yasınz
AVE ACTES
Dominio: xE(-0,2) Dominio: xE (0,2)
Rang: ET Remo: y Esa]
Pen
ET TE
Damsio-{ensennez}
Rango: yE(=2,2)
Rango: yE (a.m)
Cwiruo 1
Faces y icons
Las relaciones y = cx y 6
r y
UU UV
viii i
fren xen 1
Fa eA A Dominio: fren Janez]
sono: ye Ce Julie)
Ejemplo
pt ey 22
sain
Csi) 0 pa on ven pr cn
pr
EJERCICIO 13
ep nn tre
Le spi
byes soma mer D
dev wou?
axe. rr
agonia 20
Emme w= e
140 me=2) an(s
O ven tn rando nla cc deslice,
si
Faces y icons
Las relaciones y = cx y 6
r y
UU UV
viii i
fren xen 1
Fa eA A Dominio: fren Janez]
sono: ye Ce Julie)
Ejemplo
pt ey 22
sain
Csi) 0 pa on ven pr cn
pr
EJERCICIO 13
ep nn tre
Le spi
byes soma mer D
dev wou?
axe. rr
agonia 20
Emme w= e
140 me=2) an(s
O ven tn rando nla cc deslice,
si
1 Cariro
cuco
Los funciones como modelos matemáticos
Com se amó al pnp el ap, a funciones representan models pura resolver probe e a id el
jEMPLOS-
La ar de un recipient lírico se doble que el do de su us, expres el volumen de cido en función
salu,
Solución
1 volumen de un cid es:
E KT
Fest que a lures dbl elrdio de a base, emonces:
h
heran
ran Pataca
+ perímetro de unrectágalo e de 26 nidos, expresa ra de rctngalo en fai des argo.
Solución
¡Se establo ls dimensions del rectángulo:
=
vo
ago, ancho,
Bperimenoes
2et 29826444 y= 13
ye A
área de recngulo
iad » »
Alain y = 13 = 2,20 bee
PET EL ES
Por consiguio,
AG) = tem
cuco
Los funciones como modelos matemáticos
Com se amó al pnp el ap, a funciones representan models pura resolver probe e a id el
jEMPLOS-
La ar de un recipient lírico se doble que el do de su us, expres el volumen de cido en función
salu,
Solución
1 volumen de un cid es:
E KT
Fest que a lures dbl elrdio de a base, emonces:
h
heran
ran Pataca
+ perímetro de unrectágalo e de 26 nidos, expresa ra de rctngalo en fai des argo.
Solución
¡Se establo ls dimensions del rectángulo:
=
vo
ago, ancho,
Bperimenoes
2et 29826444 y= 13
ye A
área de recngulo
iad » »
Alain y = 13 = 2,20 bee
PET EL ES
Por consiguio,
AG) = tem
Cato 1
Faces y cones
3 0: Una persons ten una pared de piedra en un costado de un emeno,Dispon de 1 600 m de material pars cercar y
sc hacer un comal ectmplar liado el moro como uno de ss lados. Expres el ea de comal en mins
anche de és.
Solución
Scans ls dimensions del coral donde,
auch del cor: arg del comal
Forces.
Bet y = 1600 y 160020
dé dl rectángulo sth dada por:
Ama
Alsustiiry = 1600 ~ 2x, se oben
AG) = 00 = 20 = 1600120
‘4 + Un obo asciende desde un pan on velocidad constant de 1.5, 30 m de pont del dspegu se ence
sn sa Sieve een seu expe distancia qe xs ca y loto nación dl tempo
Solución
dr {einen do ee ei me
A ranscrsir segundo loto subo 1.5 fen meto; emones se aplica el crema de Pers pars obtener
e
150? +07 += (di) +00
Porto:
53
Faces y cones
3 0: Una persons ten una pared de piedra en un costado de un emeno,Dispon de 1 600 m de material pars cercar y
sc hacer un comal ectmplar liado el moro como uno de ss lados. Expres el ea de comal en mins
anche de és.
Solución
Scans ls dimensions del coral donde,
auch del cor: arg del comal
Forces.
Bet y = 1600 y 160020
dé dl rectángulo sth dada por:
Ama
Alsustiiry = 1600 ~ 2x, se oben
AG) = 00 = 20 = 1600120
‘4 + Un obo asciende desde un pan on velocidad constant de 1.5, 30 m de pont del dspegu se ence
sn sa Sieve een seu expe distancia qe xs ca y loto nación dl tempo
Solución
dr {einen do ee ei me
A ranscrsir segundo loto subo 1.5 fen meto; emones se aplica el crema de Pers pars obtener
e
150? +07 += (di) +00
Porto:
53
1 Giuo
cuco
EJERCICIO 14
1. Een de la bso de un cr ce de 40 y Expresa el volumen en orn de
2. Faye agua porn tanque cónico de 10 m e radio y 25m dear. Cuando live del agus est auna altra
de hy rio, expresa el volumen del gun en función de a aura
3, Sielanchode un rctngulo a quinta pare de su largo, determina el peimet en función de su fea,
4, Dada una cicanfrencia de radio , preci el rad a ceunereci función de su diámetro .
$. Se insribe un cubo de arista en una efen de radio . Expres el volumen del caer en función del arista
deu
6, graficar a rc, ya couación es 3x — 2y + 6 = 0, y var una lines vertical paralela al je Y en cul
quer punto sobre el ef X se genera un triángulo rctíngulo. Expresa el dea de dicho triángulo en función de
aber,
7. Se dese conrir un tame de gas en forma de clio car eco de 2.5 m de altra ya cada extremo del
clin vo unidas ds semiefors de aio. xpress el volumen del tanque en función de
8. Seinscrbo un tingule quil de Ido en una circunferencia de aio. Expos a de a einunernch
en funció del ado.
3. Se inscrito un etímelo en una epa cuya cuación e 9s? + 16)? ~ 144 = 0, Precis le del rectángulo.
on fnció ela aban x
10. Un carl de base y atra y en un re de 540 em con márgenes de 2 cm a os ados y 1.5 em en Las pares.
superior inferior Expres el dea impresa en función ela base del cane
11. Desde cien puente de la Ciudad de México un pat observa un autel que viaja 1 mis en um avenida
‘Pspenficuaral pack peatonal, Sites tempo segundo, determina la distancia ctrl pat el automóvil
‘tfc del tempo, sa aura de puerto e de 4 m.
‘Una lancha es emolcada con un cable ici un muel El able send arin de 0 mt y la se
encuentra 2 por debajo del nivel el vel. Se el Nero en segundos, expres La distancia que fala
corea la lancha hacia elmueli en función del tiempo.
© wees we eed nació destinos euren
cuco
EJERCICIO 14
1. Een de la bso de un cr ce de 40 y Expresa el volumen en orn de
2. Faye agua porn tanque cónico de 10 m e radio y 25m dear. Cuando live del agus est auna altra
de hy rio, expresa el volumen del gun en función de a aura
3, Sielanchode un rctngulo a quinta pare de su largo, determina el peimet en función de su fea,
4, Dada una cicanfrencia de radio , preci el rad a ceunereci función de su diámetro .
$. Se insribe un cubo de arista en una efen de radio . Expres el volumen del caer en función del arista
deu
6, graficar a rc, ya couación es 3x — 2y + 6 = 0, y var una lines vertical paralela al je Y en cul
quer punto sobre el ef X se genera un triángulo rctíngulo. Expresa el dea de dicho triángulo en función de
aber,
7. Se dese conrir un tame de gas en forma de clio car eco de 2.5 m de altra ya cada extremo del
clin vo unidas ds semiefors de aio. xpress el volumen del tanque en función de
8. Seinscrbo un tingule quil de Ido en una circunferencia de aio. Expos a de a einunernch
en funció del ado.
3. Se inscrito un etímelo en una epa cuya cuación e 9s? + 16)? ~ 144 = 0, Precis le del rectángulo.
on fnció ela aban x
10. Un carl de base y atra y en un re de 540 em con márgenes de 2 cm a os ados y 1.5 em en Las pares.
superior inferior Expres el dea impresa en función ela base del cane
11. Desde cien puente de la Ciudad de México un pat observa un autel que viaja 1 mis en um avenida
‘Pspenficuaral pack peatonal, Sites tempo segundo, determina la distancia ctrl pat el automóvil
‘tfc del tempo, sa aura de puerto e de 4 m.
‘Una lancha es emolcada con un cable ici un muel El able send arin de 0 mt y la se
encuentra 2 por debajo del nivel el vel. Se el Nero en segundos, expres La distancia que fala
corea la lancha hacia elmueli en función del tiempo.
© wees we eed nació destinos euren
m
CAPÍTULO 2
limes
El número e
Animer e lego por primera vez alos
¡roeméñicos de forma muy discreta.
Sacedióen 1618 cuando, en un opén-
ce ol tobojo de Napier sobre logarimos,
pareció una tabla dando el lgaritno ro:
tol de varios nimeres.
Biggs dio ure optoximación numérico al
legorimo bose diez de e sin mencioror 0
eespecticomente en su taboo.
En 1647 SointVincen! coeó el érea bojo una hipérbola rectangulo,
pero no encont la corexién con ls logortmos, en 1661 Huygens com.
prendió lo relación ene la hipérbolo rectonguor y el logorimo. Examind
explicitamente la relación entre el éreo bojo lo hipétbola rectangular
y= 1 y ellogarimo.
lo notación e aparece por primera vez en ura cat que le escribió Euer
© Goldboch en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respoco 9 © on
los oños sguentes pero ro fe sno has 1748 cuando Euler dio un tro:
tamiento completo los ideas ahededer de e
Demostó que:
La el
Selen atata
Euler dio una opraximoción de e con 18 decimoles,
e=2718281828450045235
Leonhard Euler
CAPÍTULO 2
limes
El número e
Animer e lego por primera vez alos
¡roeméñicos de forma muy discreta.
Sacedióen 1618 cuando, en un opén-
ce ol tobojo de Napier sobre logarimos,
pareció una tabla dando el lgaritno ro:
tol de varios nimeres.
Biggs dio ure optoximación numérico al
legorimo bose diez de e sin mencioror 0
eespecticomente en su taboo.
En 1647 SointVincen! coeó el érea bojo una hipérbola rectangulo,
pero no encont la corexién con ls logortmos, en 1661 Huygens com.
prendió lo relación ene la hipérbolo rectonguor y el logorimo. Examind
explicitamente la relación entre el éreo bojo lo hipétbola rectangular
y= 1 y ellogarimo.
lo notación e aparece por primera vez en ura cat que le escribió Euer
© Goldboch en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respoco 9 © on
los oños sguentes pero ro fe sno has 1748 cuando Euler dio un tro:
tamiento completo los ideas ahededer de e
Demostó que:
La el
Selen atata
Euler dio una opraximoción de e con 18 decimoles,
e=2718281828450045235
Leonhard Euler
2 Carmo
cuca
Definición intuitiva de límite
Sal prosimar xl suficientemente cerca de un número a (in sr) tanto del Lado iguierd como del derecho, fs)
“e proxima aun méme, enences el inte cuando ede al número ae L Est lo escribimos:
ln = L
Donde La itacón > ase eo “endo a paa cirque: “ende a. por a iqieda" seuil a, par
dir que:"xnde a apo a dercha” utlizamos + + 2°, de tl forma que
Si ln A = nf) = Lentooces ln)
deci si os it teres existen ytenden aun mismo número Lentonces el iio cuando fede a número.
ac L Para que lint la nos necesi quel funció et definida paa el número abst que cx definida.
pa aes macros
EMPLOS
EURE nou mie can entes 3a cin 0 = an
E saute
La función no est denia para x = 3, sin embargo, podemos cvaluar la fonción en valores muy cercanos por la
inquieta y por a derecha. Pr or ado graiaremos la función land la simplificación:
na O ss
2-3
«decir grafamos recta 9) = + Bon la restricción x 4 donde formas un eco.
29 59
299 sw
2999 so
29m sm
am oo
3001 soon
301 sor
a a
‘Se observa que pra valores de x muy cercanos a3 pot la ieuerd 29,299, 2999, 29999). te ende a 6,
lo mismo pas pr valores excanos por a derecha (3.001, 3.001, 301, 3.1), es decie
Mm9=6 y kin fi =
portan lin ts) = 6
cuca
Definición intuitiva de límite
Sal prosimar xl suficientemente cerca de un número a (in sr) tanto del Lado iguierd como del derecho, fs)
“e proxima aun méme, enences el inte cuando ede al número ae L Est lo escribimos:
ln = L
Donde La itacón > ase eo “endo a paa cirque: “ende a. por a iqieda" seuil a, par
dir que:"xnde a apo a dercha” utlizamos + + 2°, de tl forma que
Si ln A = nf) = Lentooces ln)
deci si os it teres existen ytenden aun mismo número Lentonces el iio cuando fede a número.
ac L Para que lint la nos necesi quel funció et definida paa el número abst que cx definida.
pa aes macros
EMPLOS
EURE nou mie can entes 3a cin 0 = an
E saute
La función no est denia para x = 3, sin embargo, podemos cvaluar la fonción en valores muy cercanos por la
inquieta y por a derecha. Pr or ado graiaremos la función land la simplificación:
na O ss
2-3
«decir grafamos recta 9) = + Bon la restricción x 4 donde formas un eco.
29 59
299 sw
2999 so
29m sm
am oo
3001 soon
301 sor
a a
‘Se observa que pra valores de x muy cercanos a3 pot la ieuerd 29,299, 2999, 29999). te ende a 6,
lo mismo pas pr valores excanos por a derecha (3.001, 3.001, 301, 3.1), es decie
Mm9=6 y kin fi =
portan lin ts) = 6
Carito 2
ms
Ber ai x2
20 sigo [MTS 2 1523 demi ln so)
Solución
Gaficamos la función y evalsamos e valore muy cercanos a2.
pr 77
0 797
20017997
2
29
29
Aquítenemos que: Mm fo =8 yin se = 4
emonces m 0) en, fs) portant ifs) no existe
le: Determina tim 222
Dein in
Solución
Falcon valores muy cercanos 0 por ina y por la derecha. Otserve que la función no et definida
8 =0 y quelo valores sea tomados coro radianes.
Ps
ms
Ber ai x2
20 sigo [MTS 2 1523 demi ln so)
Solución
Gaficamos la función y evalsamos e valore muy cercanos a2.
pr 77
0 797
20017997
2
29
29
Aquítenemos que: Mm fo =8 yin se = 4
emonces m 0) en, fs) portant ifs) no existe
le: Determina tim 222
Dein in
Solución
Falcon valores muy cercanos 0 por ina y por la derecha. Otserve que la función no et definida
8 =0 y quelo valores sea tomados coro radianes.
Ps
2 Cwiruo
Ra
A ara fini o) moda nl gora mi: 0) gt) y 0) yf)
LH
nr
Solución
a) Cacalamos los ints por izquierda y derecha
Msi) =4 y Mme = 4
Joe ites ners so ges por anto 0) = 4
D Mfe=4 y Min n= 3
Lo ies ae so eres, por am nf) exis
+
Ra
A ara fini o) moda nl gora mi: 0) gt) y 0) yf)
LH
nr
Solución
a) Cacalamos los ints por izquierda y derecha
Msi) =4 y Mme = 4
Joe ites ners so ges por anto 0) = 4
D Mfe=4 y Min n= 3
Lo ies ae so eres, por am nf) exis
+
Carito 2
ms
EJERCICIO 15
Utande una taba con valores muy ans valor que end elit, cal:
1. na
La gr de un función fes siguen:
De acuerdo con ela detmina:
CET)
7. im fe)
10. Ma
(© Vic te monde na me be eee repent m
59
ms
EJERCICIO 15
Utande una taba con valores muy ans valor que end elit, cal:
1. na
La gr de un función fes siguen:
De acuerdo con ela detmina:
CET)
7. im fe)
10. Ma
(© Vic te monde na me be eee repent m
59
2 Carmo
cuca
Definición formal de límite
la definición formal de Limit, a cual también es conocida como definición 28
A continuación se pres
m)
EI m fi) = Las pra do > exist un 8>0, que
S10 <x al <B,entonces I) ~ L|<e
Dicho de ta forma, lin ts) = Li pam calgier número YA,
patio dei pr poque x onde piro
Stal que, siempre que 0 < |x — a] <Semtonces|fix) — L| <e
7-16)
La definición nos dice que par le) = Liste un número 8 > Oo suficientemente pequeño pa un née
“> 0 dao, que odo en lint (a — 8,0 + com excep posiblemente del mismo a tendrás image.
end imersalo(l.- e, L + e). Oknerra que para un $, < panel mismo la imagen de un valo ren liniealo.
(aa + Bear dent del intervalo (L— eL +) lo ul slo cambia sitamamos un vr de esi dis.
puros
F7" eee
BP sición
Para un # > 0, se quiere encontrar un $ > 0 tal que siempre que 0 < |x — 3] < Sentonces:
pease
eh
fer--s
once 3] < 5 polo que bass escogerá pr que 0 < [x — a < à
Comprobación
weno <br < 5 eres que
hoa<s
UA <e
Ra-al<e
Be-dce
ar =3)<0
60
cuca
Definición formal de límite
la definición formal de Limit, a cual también es conocida como definición 28
A continuación se pres
m)
EI m fi) = Las pra do > exist un 8>0, que
S10 <x al <B,entonces I) ~ L|<e
Dicho de ta forma, lin ts) = Li pam calgier número YA,
patio dei pr poque x onde piro
Stal que, siempre que 0 < |x — a] <Semtonces|fix) — L| <e
7-16)
La definición nos dice que par le) = Liste un número 8 > Oo suficientemente pequeño pa un née
“> 0 dao, que odo en lint (a — 8,0 + com excep posiblemente del mismo a tendrás image.
end imersalo(l.- e, L + e). Oknerra que para un $, < panel mismo la imagen de un valo ren liniealo.
(aa + Bear dent del intervalo (L— eL +) lo ul slo cambia sitamamos un vr de esi dis.
puros
F7" eee
BP sición
Para un # > 0, se quiere encontrar un $ > 0 tal que siempre que 0 < |x — 3] < Sentonces:
pease
eh
fer--s
once 3] < 5 polo que bass escogerá pr que 0 < [x — a < à
Comprobación
weno <br < 5 eres que
hoa<s
UA <e
Ra-al<e
Be-dce
ar =3)<0
60
Carito 2
ms
2 0e Demi un 236 =
= 52-6
Sit EEE fer
done
ae. =52-6+72+7] |# + 20+
rt Eu +
a
[E nc
phare 82 &
eg = 39) ==1 y «= 006, determina cl valor de 8,
Solución
Se aplica la definición y e bienes
SiO <a I] <8,emonces (2 — 30) ~ (D < donde B — 3 <e
Ile
bag
Pero]! a] = Je tl porto, Le 1] < $, y valor de Best determinado por:
2006
8352 Lom
EJERCICIO 16
Demuestra fo son Emos:
Lore) =10
2 ns)
3 tags»
sf)
PS,
Sim 3
4
ms
2 0e Demi un 236 =
= 52-6
Sit EEE fer
done
ae. =52-6+72+7] |# + 20+
rt Eu +
a
[E nc
phare 82 &
eg = 39) ==1 y «= 006, determina cl valor de 8,
Solución
Se aplica la definición y e bienes
SiO <a I] <8,emonces (2 — 30) ~ (D < donde B — 3 <e
Ile
bag
Pero]! a] = Je tl porto, Le 1] < $, y valor de Best determinado por:
2006
8352 Lom
EJERCICIO 16
Demuestra fo son Emos:
Lore) =10
2 ns)
3 tags»
sf)
PS,
Sim 3
4
2 Cwiruo
cuca
Ok el olor de 0 en ls siguientes jes:
1. Si Une Des y
203 encuen el alr de 3
12 Si HS + == y e 2 4, determina el valor de 8
1. Si lig @x + 7)=7 y e =, cn el valor de
08, jut sel valor de?
10, determine alr de ©
10014, cba valor dee
Si (Sn +2)=3 y 8 = 00$,encuenn el valor dee
1, Sitim@r+n=!! y 80001, call eset valor dee?
(© wees rends one ecb slots erp eet
Boremas
SU) y sl som frciones, cum constant y número real, entonces:
3. lime f0 = e+ Uns)
4. Man) 4001 = tite) = Mn
5. May) 601 = MG in 0)
mer
o linge
con im D #0
62
cuca
Ok el olor de 0 en ls siguientes jes:
1. Si Une Des y
203 encuen el alr de 3
12 Si HS + == y e 2 4, determina el valor de 8
1. Si lig @x + 7)=7 y e =, cn el valor de
08, jut sel valor de?
10, determine alr de ©
10014, cba valor dee
Si (Sn +2)=3 y 8 = 00$,encuenn el valor dee
1, Sitim@r+n=!! y 80001, call eset valor dee?
(© wees rends one ecb slots erp eet
Boremas
SU) y sl som frciones, cum constant y número real, entonces:
3. lime f0 = e+ Uns)
4. Man) 4001 = tite) = Mn
5. May) 601 = MG in 0)
mer
o linge
con im D #0
62
Carito 2
vn
Unies por vokocin
Eine park re sev alc ell hl oi pros,
mn gu aio
¡EMPLOS-
IIA ms ci er q Une +31 4)=6
E solución
RENE a SEEN
gor rae oye eu = [gap rage igs = Gsm 46
be
2 96-5 = 322 em var ne
PR
ee ee eae
M ce aan 5.0
MESE ee ia of) ju,
CSS pgs ai
tos cres nos permiten hacer una susie deL variable independiente pr! valor al qe ende limi
sis)
Solución
Se suite el valor dela variable independiente y se oben el mite
4
Ma aaa
tro
Re ont, y qu nm 0 ed
an ta nr
Sein
Semager = seman open
OI 0
Sorel ager 617
63
vn
Unies por vokocin
Eine park re sev alc ell hl oi pros,
mn gu aio
¡EMPLOS-
IIA ms ci er q Une +31 4)=6
E solución
RENE a SEEN
gor rae oye eu = [gap rage igs = Gsm 46
be
2 96-5 = 322 em var ne
PR
ee ee eae
M ce aan 5.0
MESE ee ia of) ju,
CSS pgs ai
tos cres nos permiten hacer una susie deL variable independiente pr! valor al qe ende limi
sis)
Solución
Se suite el valor dela variable independiente y se oben el mite
4
Ma aaa
tro
Re ont, y qu nm 0 ed
an ta nr
Sein
Semager = seman open
OI 0
Sorel ager 617
63
2 Cine
Core
EJERCICIO 17
Determina ovale los siguientes ties
1. tim? -20
2 Mig (4s? 266)
(6-30)
4 tin JP
5. Un TETE
A)
26-227)
a tof
o ef]
10. UE
CNE
Orten we ean on a ció soins oran
limites indeterminodos
Sein me 9
te SL i a
Ma Ca dar
ACE DEDOS
E E O
PRE RCE
Core
EJERCICIO 17
Determina ovale los siguientes ties
1. tim? -20
2 Mig (4s? 266)
(6-30)
4 tin JP
5. Un TETE
A)
26-227)
a tof
o ef]
10. UE
CNE
Orten we ean on a ció soins oran
limites indeterminodos
Sein me 9
te SL i a
Ma Ca dar
ACE DEDOS
E E O
PRE RCE
Carito 2
ms
eg e aa Eu nc ci ción
‘Una indemne se clins al factrizroracionaizar (de ser posi la om, paa después simpa
y obtener limi
Co de cisco:
à Factorcomin ae tbe! = Har +b)
2) Diferencia de cuadrados EB (art
9 Trnomio condado perfecto a! = 2ab+ =
<b Tinomio de la foma. ++ Det ab = (x +a +0)
+) Suma difernciadecubos Eb = (az Tar)
D Paco de Va = 6
9 Factriacón de Ya + Ub
y Factrizacón de Va U
1) Faction de Va 45 vera
Fur
EJEMPLOS:
ae as
Oona ae 7
Solución
Auen cin tn einen
m ONO
MER IRA "6
Fura ninemsn an ner y eet on apando cc:
west 0250)
eee OA
Amp esp se one
ss
F
Lego el limite es:
SO
Br pq re
3700) -70F
Im kn.
pren MIET
ae tse
mat
65
ms
eg e aa Eu nc ci ción
‘Una indemne se clins al factrizroracionaizar (de ser posi la om, paa después simpa
y obtener limi
Co de cisco:
à Factorcomin ae tbe! = Har +b)
2) Diferencia de cuadrados EB (art
9 Trnomio condado perfecto a! = 2ab+ =
<b Tinomio de la foma. ++ Det ab = (x +a +0)
+) Suma difernciadecubos Eb = (az Tar)
D Paco de Va = 6
9 Factriacón de Ya + Ub
y Factrizacón de Va U
1) Faction de Va 45 vera
Fur
EJEMPLOS:
ae as
Oona ae 7
Solución
Auen cin tn einen
m ONO
MER IRA "6
Fura ninemsn an ner y eet on apando cc:
west 0250)
eee OA
Amp esp se one
ss
F
Lego el limite es:
SO
Br pq re
3700) -70F
Im kn.
pren MIET
ae tse
mat
65
+20
Score meri con a pin de fn ud
e ao
Se simi y ons probe
tin E - m DO a ro m2
A 7
Por consiguen:
HT
se verifica queen la indeterminación:
tip LE OA _
Aa nes
Alfa el mmeraor(inomiocundrado perfecto) y el denominar (nom de a forma x? + (a+ Bx + ab),
pres
LA yp E we
maya "En "Mn =”
amen ers cs
yaaa
+
ee Demi in E
Ma
Solución
susi = 23 era qe ie demi:
Pa or
M7 10-02
Se ia irc debo y el ivi de la formar + be + ©
EN Pe ern
66
Score meri con a pin de fn ud
e ao
Se simi y ons probe
tin E - m DO a ro m2
A 7
Por consiguen:
HT
se verifica queen la indeterminación:
tip LE OA _
Aa nes
Alfa el mmeraor(inomiocundrado perfecto) y el denominar (nom de a forma x? + (a+ Bx + ab),
pres
LA yp E we
maya "En "Mn =”
amen ers cs
yaaa
+
ee Demi in E
Ma
Solución
susi = 23 era qe ie demi:
Pa or
M7 10-02
Se ia irc debo y el ivi de la formar + be + ©
EN Pe ern
66
Carito 2
ES
pin se nage bee lao dl ii
Bab yg (MERO tarte RRA 12
Maa MS Ati m S
‘Se raconaliza el denominador de a función, mulúplicando por 3+ /2+7 que ese conjugado de La expresión
ES
La AT ue ue 77)
BT er In der
Shi à
LE) meta ET) er)
Settle espe,
DAA |
Es
Se cabal abe det mb
testes = af +234 JFF7)] =-02+ 23+ 277) = -(8)(9+3)=—26
For consiguiente, eso es
es
M
67
ES
pin se nage bee lao dl ii
Bab yg (MERO tarte RRA 12
Maa MS Ati m S
‘Se raconaliza el denominador de a función, mulúplicando por 3+ /2+7 que ese conjugado de La expresión
ES
La AT ue ue 77)
BT er In der
Shi à
LE) meta ET) er)
Settle espe,
DAA |
Es
Se cabal abe det mb
testes = af +234 JFF7)] =-02+ 23+ 277) = -(8)(9+3)=—26
For consiguiente, eso es
es
M
67
2 Cwiruo
Gono oe
oct gf =
Solución
= Him L
MAA
ai
“Pata
——"
Pres
Ei
remo a RE
EJERCICIO 18
mn rd ses tos
pa
rer
wash on
en
Gono oe
oct gf =
Solución
= Him L
MAA
ai
“Pata
——"
Pres
Ei
remo a RE
EJERCICIO 18
mn rd ses tos
pa
rer
wash on
en
Cwiuo 2
ums
E
PARC]
pers 2
=-7
Per
ny.
aa
e TE
ern:
» mines
Een
5-1
a
(QD ven tn rando nla min son corpo
69
ums
E
PARC]
pers 2
=-7
Per
ny.
aa
e TE
ern:
» mines
Een
5-1
a
(QD ven tn rando nla min son corpo
69
2 Carmo
cuca
límites cuando x tiende al infinito.
Sea una foci Y definida em iervalo a) Si se tine que:
“tonces signifie que os valores de JU) e aproximan aL tanto omo se quiera par una x suficientemente gran
sabemos que noes un número, in embar, acostumbra dcr el límite de (9, cuando ende al fin,
sl.
‘Cuando en una funció x +s baca la has de mayor exponent y dt divide a cada uno de ls términos de
lación, después, para obtener el valor emi aplica el siguen mi:
0 con constate
anos
a
sein
mi pron ni eo ne
men
mines yee EE
mt ed Lt
DE
ep y ap lorena par cher ini,
2244 meld
BAT mern
7 Met
se vg et = !
Pcie. Ma et = 3
Mas
Solución
La base del término con mayor exponente es x por ao, se dividen ls téminos entr sa as ys simplifica la
“presión para obiner el valor del ite,
= per TE F5 feos
E =
lin? lin?
cuca
límites cuando x tiende al infinito.
Sea una foci Y definida em iervalo a) Si se tine que:
“tonces signifie que os valores de JU) e aproximan aL tanto omo se quiera par una x suficientemente gran
sabemos que noes un número, in embar, acostumbra dcr el límite de (9, cuando ende al fin,
sl.
‘Cuando en una funció x +s baca la has de mayor exponent y dt divide a cada uno de ls términos de
lación, después, para obtener el valor emi aplica el siguen mi:
0 con constate
anos
a
sein
mi pron ni eo ne
men
mines yee EE
mt ed Lt
DE
ep y ap lorena par cher ini,
2244 meld
BAT mern
7 Met
se vg et = !
Pcie. Ma et = 3
Mas
Solución
La base del término con mayor exponente es x por ao, se dividen ls téminos entr sa as ys simplifica la
“presión para obiner el valor del ite,
= per TE F5 feos
E =
lin? lin?
Cwiuo 2
ums
Siobserramos la ri de a ación exponencial /() = €, senomos que cuando +
Y fare
emorces lim (0= lie =0
‘eto comple tambén cunado tenemos la función a) = par a >0, e decir
Mn at =0 pan a>0
or oto ado, tenemos fs) = €", enemos que cuando >», a) aroma a ceo.
fone”
once lie =0
‘Tambido se cumple Mina
n
ums
Siobserramos la ri de a ación exponencial /() = €, senomos que cuando +
Y fare
emorces lim (0= lie =0
‘eto comple tambén cunado tenemos la función a) = par a >0, e decir
Mn at =0 pan a>0
or oto ado, tenemos fs) = €", enemos que cuando >», a) aroma a ceo.
fone”
once lie =0
‘Tambido se cumple Mina
n
2 Carmo
cuca
EJERCICIO 19
Oré os sientes ets:
(O wees rends an a mac stones credit,
Asíntoos horizontales
Seal foci y f(s curva teo una asc horizontal en y = c,enones la ecució de a aint ex:
y= lif) © y= lim soo
EMPLOS
ae aca lacuna de aaa boron de a) = FEEL
ES sacó
alar ya Si). obiene
mt si,
=E IS ei 3
cuca
EJERCICIO 19
Oré os sientes ets:
(O wees rends an a mac stones credit,
Asíntoos horizontales
Seal foci y f(s curva teo una asc horizontal en y = c,enones la ecució de a aint ex:
y= lif) © y= lim soo
EMPLOS
ae aca lacuna de aaa boron de a) = FEEL
ES sacó
alar ya Si). obiene
mt si,
=E IS ei 3
Cwiuo 2
ums
Solución
Se alcala definición
FA lit no existe ya que a dvs ente ceo mo eu defini,
resaltado indica que lacuva no Bene slots horizontales
EJERCICIO 20
Ercuenta a ecuaciones de la aso horizontals dels unes fnciones
deed ath
hye qos Sy" ad
at
De +
woran
9.10 = +5
af tar
NO zer tar h
© Werte tn ado nia econ son opio
73
ums
Solución
Se alcala definición
FA lit no existe ya que a dvs ente ceo mo eu defini,
resaltado indica que lacuva no Bene slots horizontales
EJERCICIO 20
Ercuenta a ecuaciones de la aso horizontals dels unes fnciones
deed ath
hye qos Sy" ad
at
De +
woran
9.10 = +5
af tar
NO zer tar h
© Werte tn ado nia econ son opio
73
2 Cwiruo
Core
Ainilas obievos
Semi so ol aula co dpa ein Ds ned Oy 9
Caso!
Sea una funció racional ela forma fs) = SE donde el gado de QU) es un grado mayor que el grado
de PC y PO 0 es fc de QU, ones fi) ine un ét oc en I rca y = ax + endo
A aneignen condone
Man[say~(ar+d)]=0 0 lim [sey ~(er+d)]=0
nos
RR Dr ne una nn»
Solución
La fnció o ene struts horizontales, eo sí pose un asi verical x= =I
1 do del numerador es un grado mayor que el grado del denominador y éste no es factor del mumerado,
once:
3
faye rede
Yara ener tobas pcx cage e ds condiciones:
a + D) = Ha =]
e
La inci eo una astro oblicua enla recia x
Core
Ainilas obievos
Semi so ol aula co dpa ein Ds ned Oy 9
Caso!
Sea una funció racional ela forma fs) = SE donde el gado de QU) es un grado mayor que el grado
de PC y PO 0 es fc de QU, ones fi) ine un ét oc en I rca y = ax + endo
A aneignen condone
Man[say~(ar+d)]=0 0 lim [sey ~(er+d)]=0
nos
RR Dr ne una nn»
Solución
La fnció o ene struts horizontales, eo sí pose un asi verical x= =I
1 do del numerador es un grado mayor que el grado del denominador y éste no es factor del mumerado,
once:
3
faye rede
Yara ener tobas pcx cage e ds condiciones:
a + D) = Ha =]
e
La inci eo una astro oblicua enla recia x
Cwiuo 2
Um
2 0 his coc de sanos y ra gr dea foci fe) = SH
Solución
La fin cs de asis ees Brin, pur ober ss oa ca pese
dun ona:
FF
Par comprobar que y = xes la ctnción de a aint blu, e aplica la dein:
Me) = (x +}
Held E A)
ale see Fa
Porta, la encino una anota oblion en y =x
Y
Anson mn ein em 70 = DE) dog mme
mayor que el de PG) y Ps) 0 es factor de QU) entonces JU) en una asín oblicua en la recta y = ax +b,
‘jos valores de ay sn dados por:
= tin 2 y 5 = in 0) an]
75
Um
2 0 his coc de sanos y ra gr dea foci fe) = SH
Solución
La fin cs de asis ees Brin, pur ober ss oa ca pese
dun ona:
FF
Par comprobar que y = xes la ctnción de a aint blu, e aplica la dein:
Me) = (x +}
Held E A)
ale see Fa
Porta, la encino una anota oblion en y =x
Y
Anson mn ein em 70 = DE) dog mme
mayor que el de PG) y Ps) 0 es factor de QU) entonces JU) en una asín oblicua en la recta y = ax +b,
‘jos valores de ay sn dados por:
= tin 2 y 5 = in 0) an]
75
2 Cine
Core
Ejemplo.
On ls ecuaciones de as mas y rra la gráfica de 0) =
Solución
La funció ten una asin verca en
‘bins aplian ls Lie anteriores
na] of
e+
y 10 ee asso horizontal, ara obtener la ecuación dea asia
= nt]
Sesutuyen ay ben la ccuación y = ar + portant, la ant ey = + 1
=
Get
na cio 2 pu ema my ane
mn du
Ejemplo
Determina ls one dels anota ela función fi)
Solución
Ft unción ene una asín vertical en x = 0
Se realiza. cociente ye resultado es:
Core
Ejemplo.
On ls ecuaciones de as mas y rra la gráfica de 0) =
Solución
La funció ten una asin verca en
‘bins aplian ls Lie anteriores
na] of
e+
y 10 ee asso horizontal, ara obtener la ecuación dea asia
= nt]
Sesutuyen ay ben la ccuación y = ar + portant, la ant ey = + 1
=
Get
na cio 2 pu ema my ane
mn du
Ejemplo
Determina ls one dels anota ela función fi)
Solución
Ft unción ene una asín vertical en x = 0
Se realiza. cociente ye resultado es:
Cwiuo 2
ums
Porconsigiene, a fonción tene una asta cuya een sy = 2
Y,
‚ren
EJERCICIO 21
6 Ju
© vins de nia econ e socios rennen.
limites loterales
Limite por la derecha
Sea fi) una fei defn nel intra abieno (x, lite de C0 cando 5 roi ax, or cha
sys pren:
Ja) =L
Lo amer dota que 0) se aproxima a Lcuando ende a aproximane con valores mayors que,
limite por la izquierda
Sea una funció defini e leva able (0,2). el nit e (cundo se aproxima ax, or quels
SL y e represent
Mn fo)
Lo antros denota que Je aproxima a Lena ende asprosimane con vals menores ques,
Roromo
FA li cundo +, de una func JD, xi y es ua Li y ao sos ies Las so ane £,
edi
inf) = Le ln fe) mn OO = L
77
ums
Porconsigiene, a fonción tene una asta cuya een sy = 2
Y,
‚ren
EJERCICIO 21
6 Ju
© vins de nia econ e socios rennen.
limites loterales
Limite por la derecha
Sea fi) una fei defn nel intra abieno (x, lite de C0 cando 5 roi ax, or cha
sys pren:
Ja) =L
Lo amer dota que 0) se aproxima a Lcuando ende a aproximane con valores mayors que,
limite por la izquierda
Sea una funció defini e leva able (0,2). el nit e (cundo se aproxima ax, or quels
SL y e represent
Mn fo)
Lo antros denota que Je aproxima a Lena ende asprosimane con vals menores ques,
Roromo
FA li cundo +, de una func JD, xi y es ua Li y ao sos ies Las so ane £,
edi
inf) = Le ln fe) mn OO = L
77
2 Cwiruo
Chao oa
EMP
frs à 2<2
Determina el AJ = [SES a ca
Solución
¡Se cacon ds limites teres
ip D = Min 3) =20)=3 1
inf) = ln 6 295 QF 25-421
D = Mnf) = 1
Pr comsiguicneo i ft) = 1
F223, 10.
ann (E 153
Solución
Se obsenen ls límites teles:
Min fo) = Mm or = 0-07
{in fa) = in 2x41) =20)+
-
Dodo oe, Hin 00 lin fh cmoncs e nfs 00 eis
La existencia de un mie ral no implica existencia del ot (ejemplo aera), Cuando fa) est define
un sol ado, entonces el m a) es igual lint lateral de dicho lado.
Chao oa
EMP
frs à 2<2
Determina el AJ = [SES a ca
Solución
¡Se cacon ds limites teres
ip D = Min 3) =20)=3 1
inf) = ln 6 295 QF 25-421
D = Mnf) = 1
Pr comsiguicneo i ft) = 1
F223, 10.
ann (E 153
Solución
Se obsenen ls límites teles:
Min fo) = Mm or = 0-07
{in fa) = in 2x41) =20)+
-
Dodo oe, Hin 00 lin fh cmoncs e nfs 00 eis
La existencia de un mie ral no implica existencia del ot (ejemplo aera), Cuando fa) est define
un sol ado, entonces el m a) es igual lint lateral de dicho lado.
Cwiuo 2
ums
3 0 ua infos
arr
Solución
Fa funció est definida enel Inevlo ~2 == 2, portato, los valores deinen únicamente a2 po a +
era, once el valor el init es
D = Ma 10) = 19 Ji = EG
gs -0
EJERCICIO 22
Pas ses ocres term va del ites cas
so (Ras 155 in $0.0) inf.) Mnf)
[etl sac à Mm 500.0) ln 460).0) Im Ko.
2 sigo fes 4 “rare
Esta a 660,0) an). m
FA es 4 m a) B) i M), €) Un MO
3 SiAG) = si las = e =
A à Lg M0.) Lg MD.) Mg 0
use
a -texe2 ln, Dim 10.0 inf).
sme | à Lin /00.b l 0. à ln $60,
per "RES à Ua I. lin Im
E wi xs2 0) Mn JU. D) Mim 169.0) Ma $00).
SSifQa x d2<r<é d lim f(x), €) lim SO. ) Mim SG)
RSS u 124 BB 10.0 Le 10.9 bas
79
ums
3 0 ua infos
arr
Solución
Fa funció est definida enel Inevlo ~2 == 2, portato, los valores deinen únicamente a2 po a +
era, once el valor el init es
D = Ma 10) = 19 Ji = EG
gs -0
EJERCICIO 22
Pas ses ocres term va del ites cas
so (Ras 155 in $0.0) inf.) Mnf)
[etl sac à Mm 500.0) ln 460).0) Im Ko.
2 sigo fes 4 “rare
Esta a 660,0) an). m
FA es 4 m a) B) i M), €) Un MO
3 SiAG) = si las = e =
A à Lg M0.) Lg MD.) Mg 0
use
a -texe2 ln, Dim 10.0 inf).
sme | à Lin /00.b l 0. à ln $60,
per "RES à Ua I. lin Im
E wi xs2 0) Mn JU. D) Mim 169.0) Ma $00).
SSifQa x d2<r<é d lim f(x), €) lim SO. ) Mim SG)
RSS u 124 BB 10.0 Le 10.9 bas
79
be aro
10 gro à 230
Am: sce
moe ES ree
Ef
3
jen x toss si x0
w.sio= aap
| seca a read on sacó scene copio
límites de funciones tigonométicos
in wo)
ing)
‘Acontnuaién se muest a bla de valores els fucioneswigonomeias de los ángulos nobles, as como los
so CN
Coser ge =
a
= OF
Cotengente Noexiste V3
sente 1 2,
3
Game Nom 2
B= nn
da à
ol
1 o o
o o 1
Nowe 0 Noextte 0
0 Noort 0 Noni
Nowste 1 Moenia 1
1 Nomen 1 Noe
10 gro à 230
Am: sce
moe ES ree
Ef
3
jen x toss si x0
w.sio= aap
| seca a read on sacó scene copio
límites de funciones tigonométicos
in wo)
ing)
‘Acontnuaién se muest a bla de valores els fucioneswigonomeias de los ángulos nobles, as como los
so CN
Coser ge =
a
= OF
Cotengente Noexiste V3
sente 1 2,
3
Game Nom 2
B= nn
da à
ol
1 o o
o o 1
Nowe 0 Noextte 0
0 Noort 0 Noni
Nowste 1 Moenia 1
1 Nomen 1 Noe
Carito 2
ms
Solución
A A
leo
For consiguiente, el valor del ie L
2 02e rar tig er
or consiguiente, el valor del Im es
EJERCICIO 23
ms
Solución
A A
leo
For consiguiente, el valor del ie L
2 02e rar tig er
or consiguiente, el valor del Im es
EJERCICIO 23
2 Carmo
cuca
Limits tigonométicosindetorminados
Fara via inden en un inte defunciones genomics, se anuforma la fncónuizando en
dudes igonoméxicas, en ocasiones con estos suficiente, ambié se puede simplificr hast obtener una cxpeeión
a siguente foma:
y lizar los suenos comas
A conic se dun is des identidades qu e pueden utilizar.
Memtidades vigenemätics fundamentalen Funciones del ngul doble
an 2u= 2 sen acosa
con 2a = cov a sont
ce Zu 2007 a 1
Pondones de mms o diferendo de fngalos
wein fh =e aces san cora
cola +f) =cosacos p= senasen B
Tenstormaclonen de sumas o rones de funcion
‘rigenomdtrcas a producto
ona son 2252) cos (252)
emo-mop=2ca(28)mn(238)
cn cnp=2eme(*8) on (232)
Bee)
cuca
Limits tigonométicosindetorminados
Fara via inden en un inte defunciones genomics, se anuforma la fncónuizando en
dudes igonoméxicas, en ocasiones con estos suficiente, ambié se puede simplificr hast obtener una cxpeeión
a siguente foma:
y lizar los suenos comas
A conic se dun is des identidades qu e pueden utilizar.
Memtidades vigenemätics fundamentalen Funciones del ngul doble
an 2u= 2 sen acosa
con 2a = cov a sont
ce Zu 2007 a 1
Pondones de mms o diferendo de fngalos
wein fh =e aces san cora
cola +f) =cosacos p= senasen B
Tenstormaclonen de sumas o rones de funcion
‘rigenomdtrcas a producto
ona son 2252) cos (252)
emo-mop=2ca(28)mn(238)
cn cnp=2eme(*8) on (232)
Bee)
Carito 2
ms
concn | smn ~o20) „1-1,
ee) OF
{Since fort, por conri santo meine nies gone cm sh
qn DNS yy OC) _ y CO
E
ente] foco) e fonte, |
Se aplica elite:
83
ms
concn | smn ~o20) „1-1,
ee) OF
{Since fort, por conri santo meine nies gone cm sh
qn DNS yy OC) _ y CO
E
ente] foco) e fonte, |
Se aplica elite:
83
2 Cwiruo
Chao oa
un de
3 0 ouais
Solución
Pag ig: aa ma M, pica pu nl amen mo dominer
Zu 3. mE. ae
untl 3 Éd — QB a) 6
Fortin, MÈRE =
A 06 costes valor dt m ee
Solución
sas y =0en a función:
cosh
‚ars „ coe) MO)
=? Ci
Se trastos la inc de osos en roduc,
: sinn pa dr (00
ú en
Eon
poza
ar a
>
net dr (=
eS ty e de
5
en, wer
Er en eZ
DIT Sn ET:
> 3
EN
ERROR
7
Chao oa
un de
3 0 ouais
Solución
Pag ig: aa ma M, pica pu nl amen mo dominer
Zu 3. mE. ae
untl 3 Éd — QB a) 6
Fortin, MÈRE =
A 06 costes valor dt m ee
Solución
sas y =0en a función:
cosh
‚ars „ coe) MO)
=? Ci
Se trastos la inc de osos en roduc,
: sinn pa dr (00
ú en
Eon
poza
ar a
>
net dr (=
eS ty e de
5
en, wer
Er en eZ
DIT Sn ET:
> 3
EN
ERROR
7
Carito 2
ms
nn
tp al
|
= Yoo
Porta
85
ms
nn
tp al
|
= Yoo
Porta
85
2 Cine
Core
EJERCICIO 24
Determina vole de los siguientes ties
1.
Orte we rend on ación she euren
Core
EJERCICIO 24
Determina vole de los siguientes ties
1.
Orte we rend on ación she euren
Ne
CAPITULO
CONTINUIDAD
adi nmine so
ba en la geomería y el ólgebra para
buscar sustento o sus ofrmaciones.
En el cólcuo ifiniosmal so siguieron bas
Fes que le eran posibles con el atento
concephal, como lo exisencia de funcio:
es comimos.
Escuardo Weiersrosspublonen 1872, 90
os 0 su dscipulo Poul Du Bois Reymord,
su tema sobre la existencia de funciones conivas que en algunos pur
tos ro terion derivado; las consecuencis de ese teorema fueron de gran.
interés, en su époco se decia que uno función er continua iu gröhcn se
podia rozar sin despegar el Bpiz del popel, ain en ruesta época eso
do una idea informal dela coninsidad de una función.
Per ol rosado de Weerstass moské que so podía hobl de la cor
kl o ure nl ke dem s
ImBgenes geoméricos. Ese longuoje proporcionó la odrenencia sobre lo
Get oe eee
Kar Weierstrass
1815-1897)
CAPITULO
CONTINUIDAD
adi nmine so
ba en la geomería y el ólgebra para
buscar sustento o sus ofrmaciones.
En el cólcuo ifiniosmal so siguieron bas
Fes que le eran posibles con el atento
concephal, como lo exisencia de funcio:
es comimos.
Escuardo Weiersrosspublonen 1872, 90
os 0 su dscipulo Poul Du Bois Reymord,
su tema sobre la existencia de funciones conivas que en algunos pur
tos ro terion derivado; las consecuencis de ese teorema fueron de gran.
interés, en su époco se decia que uno función er continua iu gröhcn se
podia rozar sin despegar el Bpiz del popel, ain en ruesta época eso
do una idea informal dela coninsidad de una función.
Per ol rosado de Weerstass moské que so podía hobl de la cor
kl o ure nl ke dem s
ImBgenes geoméricos. Ese longuoje proporcionó la odrenencia sobre lo
Get oe eee
Kar Weierstrass
1815-1897)
3 Cwiruo
cuco
Continuidad puntual
‘Ua función JU) es continua enel puntos, « Rs cumple con las siguientes condiciones:
1. fie etnia.
2 i fers
à f= fp.
3, portamo fa) sá defini par, = 2
2 Secacua el valor decada lini tel:
{in fa) = MOP
in se)
nonce, lin fo) seis y lin 00 = 3
2 Como lin fs) = y /0) = 3,entonces ln fs) = JO), por comiuiente (ex comia ena, = 2
cuco
Continuidad puntual
‘Ua función JU) es continua enel puntos, « Rs cumple con las siguientes condiciones:
1. fie etnia.
2 i fers
à f= fp.
3, portamo fa) sá defini par, = 2
2 Secacua el valor decada lini tel:
{in fa) = MOP
in se)
nonce, lin fo) seis y lin 00 = 3
2 Como lin fs) = y /0) = 3,entonces ln fs) = JO), por comiuiente (ex comia ena, = 2
io 3
2 pren ee contes,
Solución
Se verifican ls condiciones:
1 0=0
10) = = 1. fein sá definida e,
2 Sedetrminan los mis Laterales:
ims) = ln @ 3) = 201)~3
im ts) = ln (==
Porno, mt) =
3 Prot que ein) =)
TE)
Fisalmente es conta ex, = 1
fo st
+ seins a fund Jl) = (25 = 3 à I< x 23 comienzos 1 y x= 3
base
Solución
So veria ls condones pros punto = ty x=:
1. JU) = (0? = 1, filé define , = 1
2 inst = tin @x 3) = 20-3
so = fe? = a=
Debido quee Hm 0 Hm 00, entonces lin fs) no exis.
Porto, fl) oes comi ens, = 1
‘Se veia incon na, = 3
1. JG) = 26) 3 3, la fc est dei ens, = 3
2 inf) lg 3 = 35 Min fo) ln Qe = 9 + 20-323
Secon que,
Lg 0) = fo)
Y
some
nooces, HU = 3
89
2 pren ee contes,
Solución
Se verifican ls condiciones:
1 0=0
10) = = 1. fein sá definida e,
2 Sedetrminan los mis Laterales:
ims) = ln @ 3) = 201)~3
im ts) = ln (==
Porno, mt) =
3 Prot que ein) =)
TE)
Fisalmente es conta ex, = 1
fo st
+ seins a fund Jl) = (25 = 3 à I< x 23 comienzos 1 y x= 3
base
Solución
So veria ls condones pros punto = ty x=:
1. JU) = (0? = 1, filé define , = 1
2 inst = tin @x 3) = 20-3
so = fe? = a=
Debido quee Hm 0 Hm 00, entonces lin fs) no exis.
Porto, fl) oes comi ens, = 1
‘Se veia incon na, = 3
1. JG) = 26) 3 3, la fc est dei ens, = 3
2 inf) lg 3 = 35 Min fo) ln Qe = 9 + 20-323
Secon que,
Lg 0) = fo)
Y
some
nooces, HU = 3
89
3 Ceituo
cuco
E
connus gts) 2
Jose si 227
Solución
‘ise veífica os pass se obine:
1.05) nos cti por an fein ps comi en, = $
a
Disconlinuided evicble o removible
Sea a) una función racional no contin en x = x, si mediante una simplicacin algebra, o) vuelve conta.
n= x, entonces recio el nombre de discominidad eve o removible.
MPLOS
Vere is continua la función fx)
Solución
1 Secvalala función n x = 3
La unción se ndtemina o no et definida pra el valor de x= $ lo cual implica que es dicominun en ese punto:
in embargo, se elimina I ineteminación mediante una smpliicacin algebraic.
60-1142 | Gr iol
no SS A]
ii cl li ei lee
cuco
E
connus gts) 2
Jose si 227
Solución
‘ise veífica os pass se obine:
1.05) nos cti por an fein ps comi en, = $
a
Disconlinuided evicble o removible
Sea a) una función racional no contin en x = x, si mediante una simplicacin algebra, o) vuelve conta.
n= x, entonces recio el nombre de discominidad eve o removible.
MPLOS
Vere is continua la función fx)
Solución
1 Secvalala función n x = 3
La unción se ndtemina o no et definida pra el valor de x= $ lo cual implica que es dicominun en ese punto:
in embargo, se elimina I ineteminación mediante una smpliicacin algebraic.
60-1142 | Gr iol
no SS A]
ii cl li ei lee
En
aa "2
La rfi ini cm pénible me nx 3
sires
Y
Solución
Se oben los ines nas:
ip fe) = lip x =D) = MD 434
inf) = Vs = 3) = 24() 323
Far que elite exis:
9
aa "2
La rfi ini cm pénible me nx 3
sires
Y
Solución
Se oben los ines nas:
ip fe) = lip x =D) = MD 434
inf) = Vs = 3) = 24() 323
Far que elite exis:
9
3 Ceituo
Chao oN
ran, para quel facia sn continua k= 2, dec a función deb ecrire
wo {OTR TS
Comprobación
Probemos que a foci comin en 1
D JD=4D-3-4-321
1) MAD = Min (Qe ~2) =3(1)—2=3-2=1
Mio = Yin (40-3) = 4) 3 2423 21
Am fo) = Mf) = À
por amo tim fi existe y in)
etemina ls valores de ay bpara que la función se continus
far=a x52
nor “2<x<3
best x3
a-6
Porta a =
Se obten ls mis tas en
D = Ng oe += 18) + et
D = tin = D = OP
if = in
2
Chao oN
ran, para quel facia sn continua k= 2, dec a función deb ecrire
wo {OTR TS
Comprobación
Probemos que a foci comin en 1
D JD=4D-3-4-321
1) MAD = Min (Qe ~2) =3(1)—2=3-2=1
Mio = Yin (40-3) = 4) 3 2423 21
Am fo) = Mf) = À
por amo tim fi existe y in)
etemina ls valores de ay bpara que la función se continus
far=a x52
nor “2<x<3
best x3
a-6
Porta a =
Se obten ls mis tas en
D = Ng oe += 18) + et
D = tin = D = OP
if = in
2
Cwiuo 3
Conan
1
Promo = à
EJERCICIO 25
arcs ls funiones propuestas son continuas ens puntos ndicados:
1.90 = 2 = x enx = 0
2.90 = Par
no [baa à nme
Rai
E usa
mue sees à rarcruniyees
en
lm(s-2)u ses
e Jus
ein asenys=
siwcasdeyenr=ay,
NEC
9
Conan
1
Promo = à
EJERCICIO 25
arcs ls funiones propuestas son continuas ens puntos ndicados:
1.90 = 2 = x enx = 0
2.90 = Par
no [baa à nme
Rai
E usa
mue sees à rarcruniyees
en
lm(s-2)u ses
e Jus
ein asenys=
siwcasdeyenr=ay,
NEC
9
3 Cwiuo
cuco
Masa
Wade E
Ioste+ 7) ai 123
En
14 ge en
Dati el vl de pra que ls siguentes funciones ean continue:
Desk à x<2
Bei à x=?
19. fu)
ne
an nn a
Ok valor de a constata par qua sguentes funcions sea continua:
farra si ua
Lea à tered
fera à set
2.10
fared à x<0
(2 à 031<3
Pers à x3
2.100
fers? à xsi
Dj = forbs si lexcs
lar—2 si 224
© ts we etn ona mec estos carpet ELELELELELELELELL
9
cuco
Masa
Wade E
Ioste+ 7) ai 123
En
14 ge en
Dati el vl de pra que ls siguentes funciones ean continue:
Desk à x<2
Bei à x=?
19. fu)
ne
an nn a
Ok valor de a constata par qua sguentes funcions sea continua:
farra si ua
Lea à tered
fera à set
2.10
fared à x<0
(2 à 031<3
Pers à x3
2.100
fers? à xsi
Dj = forbs si lexcs
lar—2 si 224
© ts we etn ona mec estos carpet ELELELELELELELELL
9
io 3
Continuidad de una función en un intervalo
Coninuidod por la derecha
na función JU) es contimaaladerech de x, sy solo si par x © se cumplen as siguinos condiciones:
1. fu) exe
2 lim Serie
2 so = fo)
Contnuidad por la izquierdo
‘Usa func 0 es continus aa inunda de iy solos parar © R:
1. fu) exe
2 lim euse
70)
Continuidad de uno función en un intervalo abierto
Se ie que fs) es continua en el interalo aber (a, ) y soo se ontina en odos los puntos del interval.
JEMPLOS-
[Ie mee E escote (-2,3)
Solución
Lafución Ju) = „D=3° est definida en tados los putos el interval (3,3, como se usa la gráfica, por
‘siguiente, Au) comi en dicho interval,
Ya
N.
95
Continuidad de una función en un intervalo
Coninuidod por la derecha
na función JU) es contimaaladerech de x, sy solo si par x © se cumplen as siguinos condiciones:
1. fu) exe
2 lim Serie
2 so = fo)
Contnuidad por la izquierdo
‘Usa func 0 es continus aa inunda de iy solos parar © R:
1. fu) exe
2 lim euse
70)
Continuidad de uno función en un intervalo abierto
Se ie que fs) es continua en el interalo aber (a, ) y soo se ontina en odos los puntos del interval.
JEMPLOS-
[Ie mee E escote (-2,3)
Solución
Lafución Ju) = „D=3° est definida en tados los putos el interval (3,3, como se usa la gráfica, por
‘siguiente, Au) comi en dicho interval,
Ya
N.
95
3 Ceituo
cuco
es continus en literal (2,39
no es defini =0; eoces 1 call en st po, por tanto, & continua nel iiemalo (2,3)
Continuidod en un intervalo cerrado
‘Una fancdn es continua en el intervalo ea [Dis contin en el interval abieno (2, además.
in = fo) y inf) = JO)
La función fa) poliomial, o cual implica qu est deiida eel itenal aber (1,2), po anto, connu
‘nel aera, br se pba la continuidad elos extremos del nero.
Par = 1
DIED CIRCO
Dn fed) = lin = 29 23
© mon
Par?
2) f0)=@F~20)=0
D ip fa) = tn 29 = 0
9 in fi) =f)
es continus e el interval abierto
{contin en el intevao cedo [=
cuco
es continus en literal (2,39
no es defini =0; eoces 1 call en st po, por tanto, & continua nel iiemalo (2,3)
Continuidod en un intervalo cerrado
‘Una fancdn es continua en el intervalo ea [Dis contin en el interval abieno (2, además.
in = fo) y inf) = JO)
La función fa) poliomial, o cual implica qu est deiida eel itenal aber (1,2), po anto, connu
‘nel aera, br se pba la continuidad elos extremos del nero.
Par = 1
DIED CIRCO
Dn fed) = lin = 29 23
© mon
Par?
2) f0)=@F~20)=0
D ip fa) = tn 29 = 0
9 in fi) =f)
es continus e el interval abierto
{contin en el intevao cedo [=
Cwiuo 3
Conan
2 00 a tamiée 109 = (3, 3 O escomima ninel (2,37
Solución
Del imervalo (2,3 a función {no es contin en = 0, ya que:
M $0) =0, li A =
Minor Un
Toro, 0 0 exis
JU) o weinen einmal sien
cs
Eco, comino ns comado
van
3 er: Lafanción yu) = [172 À 329 esconinosen einenalo [-3,17
Solución
Se pcb cova de lafnción cz
1.0 1
2 JO = 1 40) = 1 Mi fi) = 1 = OF =
La forció comin enc iervalo (3,3)
‘Aor se prot In contin en ls extremos:
Par = 3
LJG=1+3= 14324
2 My fay 143-1434
3/0 imo)
La funciónes conti en(3,3)y además es continus al derecha de ~3y al iquierd de 3, portant, es continus
lineal (-3, 3)
97
Conan
2 00 a tamiée 109 = (3, 3 O escomima ninel (2,37
Solución
Del imervalo (2,3 a función {no es contin en = 0, ya que:
M $0) =0, li A =
Minor Un
Toro, 0 0 exis
JU) o weinen einmal sien
cs
Eco, comino ns comado
van
3 er: Lafanción yu) = [172 À 329 esconinosen einenalo [-3,17
Solución
Se pcb cova de lafnción cz
1.0 1
2 JO = 1 40) = 1 Mi fi) = 1 = OF =
La forció comin enc iervalo (3,3)
‘Aor se prot In contin en ls extremos:
Par = 3
LJG=1+3= 14324
2 My fay 143-1434
3/0 imo)
La funciónes conti en(3,3)y además es continus al derecha de ~3y al iquierd de 3, portant, es continus
lineal (-3, 3)
97
3 Ceituo
cuco
Continuidad en un intervalo semicbierto
Para intervalos semiabers (a by La, se oe ques
1. Una función JU) es continua en el interval semiabieno (a
y lin fi) =f)
2. Una función la) es continus en el interval semiahieno [o ) si es continua en el intervalo abieno (o)
y tins) = fle)
ses continua en el interval aiet (a,b,
dominio de lución se define D) = {x € x43), portant fs continua el neral air 0.0)
‘Se vin conn po a laguna en 6
22
20-7373
23.2
eo)"
9 tin fi) = 16)
Fons, fs) sonia ier emibien 6]
Ye
cuco
Continuidad en un intervalo semicbierto
Para intervalos semiabers (a by La, se oe ques
1. Una función JU) es continua en el interval semiabieno (a
y lin fi) =f)
2. Una función la) es continus en el interval semiahieno [o ) si es continua en el intervalo abieno (o)
y tins) = fle)
ses continua en el interval aiet (a,b,
dominio de lución se define D) = {x € x43), portant fs continua el neral air 0.0)
‘Se vin conn po a laguna en 6
22
20-7373
23.2
eo)"
9 tin fi) = 16)
Fons, fs) sonia ier emibien 6]
Ye
‘Se verifica a contnuidad ens 2
1 /@=@P-1=3
2 lin fen = 3: hn fe =3,
Porto, ig fa) = 3
3.50) = lf) lafunción es conta en (1,3)
‘Se proba la continuidad por qui en x = 3
1. £6) mo eu dei, or at, la Fanci no es continu enel imervalo(=1, 3}
Y
x se
thr osa I-24)
+ erica conti de a unción o)
Solución
Se voie continua ens = 0
1J0=-0=0
2 Mg (2) =0, lg (x? + 49 = 0
À Porno, tin 4) = £0)
La furción s continent intervalo (-2, 4)
Se proche conti por la esha par x
LIEDER
2 Mm (ns 4222
A/D le Co
Porno, función fades comia ene meva (2.4)
99
1 /@=@P-1=3
2 lin fen = 3: hn fe =3,
Porto, ig fa) = 3
3.50) = lf) lafunción es conta en (1,3)
‘Se proba la continuidad por qui en x = 3
1. £6) mo eu dei, or at, la Fanci no es continu enel imervalo(=1, 3}
Y
x se
thr osa I-24)
+ erica conti de a unción o)
Solución
Se voie continua ens = 0
1J0=-0=0
2 Mg (2) =0, lg (x? + 49 = 0
À Porno, tin 4) = £0)
La furción s continent intervalo (-2, 4)
Se proche conti por la esha par x
LIEDER
2 Mm (ns 4222
A/D le Co
Porno, función fades comia ene meva (2.4)
99
3 Cwiruo
cuco
EJERCICIO 26
ain cnt ls inte acres e no dor
1. 0 = + en 0.2) GRO = Fent
2x ban si acı
2 0e HG aci 10 PETE aaa
a >
3 fom JE +4 eol-3.31 sponte ent-aa
Ber à xo
weine] 2909 men
Po dre
sr -Dent-20 1050 [ara à área
erase
(© vec nids on a erin eines remit.
Teorema del valor intermedio
‘ea (2) una función conin enel interval a, y kun número comprendido entre fay OX moros exist un
celo. blilque AO
EJEMPLOS +
LV > si ju) = x ~ 2 es una unción definida en el interval [2,3], obén el valor de que cumpla come crema del
N° vaorimemmediocuando k= 1
A Solución
Alaplcar el worema se oben:
PORTE ETES ES CET
Por consiguen,
100
cuco
EJERCICIO 26
ain cnt ls inte acres e no dor
1. 0 = + en 0.2) GRO = Fent
2x ban si acı
2 0e HG aci 10 PETE aaa
a >
3 fom JE +4 eol-3.31 sponte ent-aa
Ber à xo
weine] 2909 men
Po dre
sr -Dent-20 1050 [ara à área
erase
(© vec nids on a erin eines remit.
Teorema del valor intermedio
‘ea (2) una función conin enel interval a, y kun número comprendido entre fay OX moros exist un
celo. blilque AO
EJEMPLOS +
LV > si ju) = x ~ 2 es una unción definida en el interval [2,3], obén el valor de que cumpla come crema del
N° vaorimemmediocuando k= 1
A Solución
Alaplcar el worema se oben:
PORTE ETES ES CET
Por consiguen,
100
Cwiuo 3
Conan
2 0% Dudatafunción 6) =? — Ar 2, definida en elinervao [1], eiemin el valor de kqu cumpla con elcorema
vor intermedi cuando.
Solución
Se aplica lors:
lo=k+c
ya use se obicno el valor de 4
rm
EJERCICIO 27
a fs
som (ESS
Aplica altem del valor intermedio y determine vale de ken ks sults ojos:
6.10 = 30 - 21-200,
1.169 = Ve :t-60.
we us
9.10 = cos 0.281. of
10. fa) = log + a
(© etic ts mine na cin de eee repent m
2. .-7
101
Conan
2 0% Dudatafunción 6) =? — Ar 2, definida en elinervao [1], eiemin el valor de kqu cumpla con elcorema
vor intermedi cuando.
Solución
Se aplica lors:
lo=k+c
ya use se obicno el valor de 4
rm
EJERCICIO 27
a fs
som (ESS
Aplica altem del valor intermedio y determine vale de ken ks sults ojos:
6.10 = 30 - 21-200,
1.169 = Ve :t-60.
we us
9.10 = cos 0.281. of
10. fa) = log + a
(© etic ts mine na cin de eee repent m
2. .-7
101
Qo -
CAPITULO 4
LA DERIVADA
je
él "
wu Cuando Nenn ale mons de 35
Vo. Mu fos, comenzó cr ares rls
AS orang on matenétee, Ste, lc y
Mieros Newton esubo en cas (debido
a wo pesa que cono b Unenidod de
Cambridge] sb ls boues del cé
1 drei eng Embed Is Rues, como lb om, ea
besado o as cnc visén de quel nogroción de una kr on el
procediento verso des devoción.
Al considerar ala dentación como lo cperciónbóxco, Newon prod
oncles métodos onoliicos que unlicobon muchos tcricas dernies de.
“arlodos promet pro sche remos, en parecia o relacio
todos, como colar eos, logos, rgiu de <ovos y los máximos
minimos de cones, E De Methels Serón lloran de News
ection 1671, pero Newion no pedo pablcao y o aparecié impr”
so hast que John sto produjo uno Rod al ngs en 1736.
SirsoscNewton
RES
CAPITULO 4
LA DERIVADA
je
él "
wu Cuando Nenn ale mons de 35
Vo. Mu fos, comenzó cr ares rls
AS orang on matenétee, Ste, lc y
Mieros Newton esubo en cas (debido
a wo pesa que cono b Unenidod de
Cambridge] sb ls boues del cé
1 drei eng Embed Is Rues, como lb om, ea
besado o as cnc visén de quel nogroción de una kr on el
procediento verso des devoción.
Al considerar ala dentación como lo cperciónbóxco, Newon prod
oncles métodos onoliicos que unlicobon muchos tcricas dernies de.
“arlodos promet pro sche remos, en parecia o relacio
todos, como colar eos, logos, rgiu de <ovos y los máximos
minimos de cones, E De Methels Serón lloran de News
ection 1671, pero Newion no pedo pablcao y o aparecié impr”
so hast que John sto produjo uno Rod al ngs en 1736.
SirsoscNewton
RES
4 wo
cuca
Definición
Sea Jura func, e define aa deivda fc) como:
qn fort 1)
ar
ro
Par tod x sep quo el rie ist y e rprsena por
a Lo
rod ody
Interpretación geométrico
Fa valor de a deriva en cs
Donde:
pomo d a cu sil pendinte de La recta tngenieen ee punto.
increment en x
Ay increment en y
ala gráficas observa que La pendint ea rc Les
ay _ ern
= a
atados an acu esla pa ey a om,
= lim Y = tin LE + ADF)
ui ne
Foren, eva
&- miete)
E
a
104
cuca
Definición
Sea Jura func, e define aa deivda fc) como:
qn fort 1)
ar
ro
Par tod x sep quo el rie ist y e rprsena por
a Lo
rod ody
Interpretación geométrico
Fa valor de a deriva en cs
Donde:
pomo d a cu sil pendinte de La recta tngenieen ee punto.
increment en x
Ay increment en y
ala gráficas observa que La pendint ea rc Les
ay _ ern
= a
atados an acu esla pa ey a om,
= lim Y = tin LE + ADF)
ui ne
Foren, eva
&- miete)
E
a
104
Caio 4
Regla de los cuatro pasos
Dm tre eral
rer
hr ie
3 HERO dads cn
4 Beim 2 HESS (riad da fein)
JEMPLOS-
cal derivada de La función) = Se ~ 6
Solución
¿Se aplica regla dels cuatro pussy se obtiene:
1 yeay = S+A9=6
2 Ay = (Srs 1-0)
1 dre Gat SA~6)~ (4-6) „ S480 sa
a ES E a
E et = iv
4 9 = im tgs 5. (derivada de anión)
fes
vg Me re ane
Lu
LE = eu RER EE Arte IEEE
Wu Made ae She
a à
Bim Gr 7ac-5) «Mes
a
For consiguen derivada es:
Laure
sus
105
Regla de los cuatro pasos
Dm tre eral
rer
hr ie
3 HERO dads cn
4 Beim 2 HESS (riad da fein)
JEMPLOS-
cal derivada de La función) = Se ~ 6
Solución
¿Se aplica regla dels cuatro pussy se obtiene:
1 yeay = S+A9=6
2 Ay = (Srs 1-0)
1 dre Gat SA~6)~ (4-6) „ S480 sa
a ES E a
E et = iv
4 9 = im tgs 5. (derivada de anión)
fes
vg Me re ane
Lu
LE = eu RER EE Arte IEEE
Wu Made ae She
a à
Bim Gr 7ac-5) «Mes
a
For consiguen derivada es:
Laure
sus
105
(+ Sax + 2441) QD Arts)
(G+ e+ Sur +9)
zZ Ampli,
Ms pm
ETC ETES as
u
10
seresele cite
"
iF
BIS BIS RIS BIS
F
:
esa dead defunción y= JB?
lución
ETAT „ ‘i
GREATER RRA Ra
ar lacra + Jara
aa Y rbrrlor—?
O E NO]
'
lO]
E
IF
ar 1
O ETT GFE
ta mera que al saver nie e iene:
* 1
a SO" Ta
PORE BIS RIS ale
106
(G+ e+ Sur +9)
zZ Ampli,
Ms pm
ETC ETES as
u
10
seresele cite
"
iF
BIS BIS RIS BIS
F
:
esa dead defunción y= JB?
lución
ETAT „ ‘i
GREATER RRA Ra
ar lacra + Jara
aa Y rbrrlor—?
O E NO]
'
lO]
E
IF
ar 1
O ETT GFE
ta mera que al saver nie e iene:
* 1
a SO" Ta
PORE BIS RIS ale
106
Carito 4
Tedenode
EJERCICIO 28
Date pires forces, tala dit,
mea 0-3
27-20 2-7
ayer Bw (53
ago se 10 = =
Symatrmro is y= gti
urn 6h
my ya
1 vg
a=
de
E) yn
(© Vic tdo na cin de slo carpe,
Fómulos pora determinar la derivada de una función algebraica
1a forma directa de obtener la derivada de una función algebraic sl aplicación de as siguientes fórmulas:
107
Tedenode
EJERCICIO 28
Date pires forces, tala dit,
mea 0-3
27-20 2-7
ayer Bw (53
ago se 10 = =
Symatrmro is y= gti
urn 6h
my ya
1 vg
a=
de
E) yn
(© Vic tdo na cin de slo carpe,
Fómulos pora determinar la derivada de una función algebraica
1a forma directa de obtener la derivada de una función algebraic sl aplicación de as siguientes fórmulas:
107
Tags
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 11,701
- Slides 123
- Age 929 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
47 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
59 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
48 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
47 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
48 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
46 views