Cónicas: Hipérbola, Elipse, Parábola (Proyecto de Aula Matemáticas)

Manual sobre resolución de Cónicas como Hipérbola, Elipse, Parábola.

Proyecto de Aula matemáticas
Universidad Estatal Península de Santa Elena (UPSE)

Profesor: Ing. Carlos Malavé

1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN


PROYECTO DE AULA DE MATEMÁTICAS

AUTOR:
JUAN FALQUEZ
JOSUÉ REYES
ALEXANDER MOINA


CARRERA:

INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20



TUTOR:

Ing. Carlos Malavé


LA LIBERTAD - SANTA ELENA – ECUADOR


AGOSTO 2015

2. INTRODUCCIÓN
Las matemáticas a lo largo de la historia han sido vistas como un área de conocimiento realmente extensa y a su
vez complicada para gran parte de la población terrestre. Esto se da generalmente porque cada tema que cubre
esta ciencia, comprende del aprendizaje de leyes o reglas de procesos que se van acumulando poco a poco para
todos estos conocimientos ser aplicados en una sola materia.
Con la finalidad de facilitar las matemáticas para cualquier individuo terrestre, se crea este manual, en el cual se
mostrarán metodologías para realizar de forma más sencilla, rápida y eficaz cada proceso de algún subtema de las
matemáticas.
Este manual está enfocado en el área de cónicas, pero específicamente en tres tipos de cónicas que son las
parábolas, elipses y las hipérbolas.
TÉRMINOS IMPORTANTES
Se necesita saber un grupo de términos para poder comprender y analizar las cónicas, para esto será importante
revisar los siguientes términos:
1. Directriz: Línea equidistante a un número de puntos que conforman a la parábola.
2. Foco: Punto situado en como enfoque (valga la redundancia) para cada punto que conforma la parábola.
LAS CÓNICAS
Las cónicas se le denomina al estudio de las secciones de un cono, el cual, se realiza mediante un corte con un
plano (Plano Cartesiano) en alguna sección del cono y este nos genera distintos tipos de figuras que ocupan una
posición en el plano.
Su estudio se puede dar de diversas formas, una de ellas (como se mencionó anteriormente) es la de los griegos
en la que se usa un plano para realizar cortes del cono y se obtienen las intersecciones del cono. A su vez, se
pueden estudiar de forma más tradicional con el uso de ecuaciones en segundo grado, tomando en cuenta la suma
de valores orientados en el eje “x” y en el eje “y” igualados a cero. Y también se da su estudio a partir de lugares
geométricos, los cuales cumplen cierta propiedad aplicada.
Existen diversos tipos de cónicas, dándole más campo a esta área de las matemáticas. Aquí se incluyen las
siguientes divisiones de las cónicas que son:
1. Circunferencia: La
circunferencia es el lugar geométrico
de un punto “x” y un punto “y” en el
plano equidistante entre a un punto
“C”, creando entre sí el radio “r” de
la circunferencia.
2. Elipse: La elipse es el lugar
geométrico de un punto “x” y un
punto “y”, la cual, la suma de la
distancia de sus focos es constante
3. Hipérbola: La hipérbola es el
lugar geométrico de un punto “x” y
un punto “y”, en la cual la diferencia de distancias entre sus focos es constante.
4. Parábola: La parábola es el lugar geométrico de un punto “x” y un punto “y” equidistantes a una recta
fija denominada directriz y un punto “f” que es el foco.
Lo mencionado anteriormente como una pequeña introducción a lo que son las cónicas para poder empezar
con el punto de enfoque que se tiene propuesto que es la explicación simplificada de las cónicas con
metodologías más simples para el desarrollo de ejercicios propuestos.

3. PARÁBOLA
Ya sabemos que la parábola consta de un foco y
una directriz que indican según la posición donde
sean situados cuál es la orientación de la
parábola. Esta puede ser orientada de las
siguientes formas:
1. Hacia el arriba (foco por encima de la
parábola; directriz por debajo de la
parábola, descendente-ascendente)
2. Hacia abajo (Foco por debajo de la
parábola; directriz por encima de la
parábola, ascendente descendente)
3. Hacia la derecha (el eje de simetría se da
en el eje “x” con el foco situado en el
lado positivo)
4. Hacia la izquierda (así mismo el eje de
simetría es el eje “x” pero el foco situado en el lado negativo del eje “x”)
Para la parábola, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las cuales se puede llevar acabo la
resolución analítica:
Para las parábolas con Vértice (0, 0)
ECUACIÓN ESTANDAR
�
�
=�??????� ; �
�
=�??????� Donde el valor de “p” es equivalente al foco. En el eje x (p, 0) ; en el eje y (0, p)
DIRECTRIZ
�=−?????? ; �=−??????
ANCHO FOCAL
|�??????| Este valor para ambos tipos de orientación. El ancho focal se mantiene igual tanto para la parábola con
vértice en (0, 0) y para la parábola con vértice en (h, k).
LONGITUD FOCAL
?????? La longitud focal se mantiene igual tanto para la parábola con vértice en (0, 0) y para la parábola con vértice
(h, k)
Parábolas con Vértice (h, k)
ECUACIÓN ESTANDAR
(�−??????)
�
=�??????(�−??????) ; (�−??????)
�
=�??????(�−??????) Donde los valores de “h” (punto en el eje x) y los valores de
“k” (punto en el eje y) son las coordenadas del vértice.
FOCO
(??????,??????+??????) Cuando la parábola apunta hacia arriba o hacia abajo.
(??????+??????,??????) Cuando la parábola apunta hacia la izquierda o la derecha.
DIRECTRIZ
�=??????−?????? Cuando la parábola apunta hacia arriba o hacia abajo.

4. �=??????−?????? Cuando la parábola apunta hacia la izquierda o la derecha.
EXPLICACIÓN MEDIANTE UN EJERCICIO
HALLAR LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON FOCO (�,�) Y DIRECTRIZ CON RECTA �=−�
1. Se considera que el vértice se encuentra
coordenado entre el foco y la directriz obteniendo
como vértice (�,�) y el valor de ?????? se obtiene del
despeje de los valores del foco considerando la
ecuación �=??????−?????? ; �=�−?????? ; �−�=?????? ;
??????=�
2. Teniendo el valor de ??????=�, se puede
obtener el valor del ancho focal |�??????|=�?????? ;
|�(�)|=��
3. Y con esto se reemplazan los valores en la
ecuación estándar siendo esta con desplazamiento
(�−??????)
�
=�??????(�−??????) y considerando los valores
ubicados (�−�)
�
=��(�−�)
ELIPSE
La elipse comprende una constante
a partir de la suma de dos puntos
fijos en el plano, siendo estos puntos
los focos. Al tener una forma
ovalada, la elipse cuenta con un
centro y al igual que la parábola
consta de una orientación tanto
horizontal (focos en el eje x) como
vertical (focos en el eje y).
La elipse cuenta con cuatro puntos
donde intersecta al eje que se le denominan vértices, dando a conocer su eje mayor (donde se concentran sus
focos) que contiene los puntos más alejados al centro y su eje menor que contiene los vértices más cercanos al
centro.
Para la elipse, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las cuales se puede llevar acabo la resolución
analítica:
Elipse con centro (0, 0)
ECUACIÓN ESTANDAR
�
�
�
�
+
�
�
�
�
=� Para el eje “x”;
�
�
�
�
+
�
�
�
�
=� Para el eje “y”
FOCOS
(±�,�) ; (�,±�)
VÉRTICES
(±�,�) ; (�,±�)
SEMIEJES
"�" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje mayor (eje “x”
o eje “y”).

5. "�" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje menor (eje “x”
o eje “y”).
RELACIÓN PITAGÓRICA
�
�
=�
�
+�
�
De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "�" para poder encontrar los focos.
Elipse con centro (??????,??????)
ECUACIÓN ESTANDAR
(�−??????)
�
�
�
+
(�−??????)
�
�
�
=� Para el eje “x”;
(�−??????)
�
�
�
+
(�−??????)
�
�
�
=� Para el eje “y”
EJE FOCAL
�=?????? Cuando “x” en la ecuación estándar es numerador de “a”
�=?????? Cuando “y” en la ecuación estándar es numerador de “a”
FOCOS
(??????±�,??????) ; (??????,??????±�)
VÉRTICES
(??????±�,??????) ; (??????,??????±�)
SEMIEJES
"�" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje mayor (eje “x”
o eje “y”).
"�" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje menor (eje “x”
o eje “y”).
RELACIÓN PITAGÓRICA
�
�
=�
�
+�
�
De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "�" para poder encontrar los focos.
EXPLICACIÓN MEDIANTEUN EJERCICIO
DETERMINAR LOS VERTICES, FOCOS Y CENTRO PARA GRAFICAR LA SIGUIENTE ELIPSE

(�+1)
2
25
+
(�−2)
2
16
=1
Primero se identifica que tipo de elipse es, siendo esta una elipse desplazada. Luego se determinan los valores
de “a” y “b” para poder obtener los vértices de la misma. Sabiendo que el denominador con un valor mayor es
el de “x”, la elipse será más ancha de derecha a izquierda (o viceversa).
Con esto �
2
=25 y �
2
=16 ; extrayendo respectivamente la raíz cuadrada de cada uno de los valores se
obtendrán como resultado √�
2
=±√25→�=±5 y √�
2
=±√16→�=±4, ahora se requiere extraer el
centro siendo este los valores que suman y restan a “x” y “y” en la ecuación (−1,2) (los valores llevan el signo
contrario al que llevan en la ecuación.
Para determinar el valor de “c”, se utiliza el teorema de Pitágoras �=√�
�
+�
�
y de esta forma se reemplazan
los valores transformándose la operación en �=√��+��; �=±√��
Ahora, para determinar los focos y vértices, se suman los valores del centro a los valores de “a”, “b” (para los
vértices, “a” representa el eje x y “b” representa el eje y) y “c” (para los focos) quedando ubicados de esta
forma (ℎ±�,??????)→(−1±5,2) →??????
1
(4,2); ??????
2(−6,2); (ℎ,??????±�)→(−1,2±4)→??????
3
(−1,6); ??????
4(−1,−2) y
ahora para el foco (ℎ±�,??????)→(−1±√41,2)→??????
1(−1+√41,2); ??????
2(−1−√41,2) siendo esto un
aproximado de ??????
1
(5.40,2); ??????
2(7.40,2)

6. 1. Se sitúan los puntos coordenados
en el plano, siendo primero los
vértices y el centro.
2. Luego para obtener los puntos
precisos por donde pasan los
extremos de la elipse se realiza un
cuadro para sacar coordenadas en
“x” y en “y”
3. Se trazan los puntos para formar
la elipse.





HIPÉRBOLAS
Al igual que la elipse y la parábola, la hipérbola comprende dos puntos fijos
en el plano siendo estos puntos fijos los focos. Estos focos creando una
constante, cabe recalcar que en la elipse se comprende una suma, en la
hipérbola se comprende una diferencia para generar la constante.
Los vértices de la hipérbola, son los puntos donde esta interseca con su eje
focal.
La hipérbola cuenta con dos asíntotas que se intersecan formando el centro
de la misma en su eje focal.
Para la hipérbola, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las
cuales se puede llevar acabo la resolución analítica:
Hipérbolas con centro (�,�)
ECUACIÓN ESTÁNDAR
�
�
�
�
−
�
�
�
�
=� Para el eje “x”;
�
�
�
�
−
�
�
�
�
=� Para el eje “y”
FOCOS
(±�,�) ; (�,±�)
VÉRTICES
(±�,�) ; (�,±�)
SEMIEJE TRANSEVERSAL
"�" Siendo este el valor del denominador, el eje transversal se determina de acuerdo a la variable del numerador
(sea “x” o “y”).
SEMIEJE CONJUGADO
"�" Siendo este el valor del denominador, el eje conjugado (al igual que el eje transversal) se determina de
acuerdo a la variable del numerador (sea “x” o “y”).

7. Hipérbolas con centro (??????,??????)
ECUACIÓN ESTÁNDAR
(�−??????)
�
�
�
−
(�−??????)
�
�
�
=� Para el eje “x”;
(�−??????)
�
�
�
−
(�−??????)
�
�
�
=� Para el eje “y”.
EJE FOCAL
�=?????? Cuando “x” es el numerador del denominador “a”.
�=?????? Cuando “y” es el numerador del denominador “b”.
FOCOS
(??????±�,�) Para la hipérbola con orientación horizontal.
(�,??????±�) Para la hipérbola con orientación vertical.
VÉRTICES
(??????±�,�) Para la hipérbola con orientación horizontal.
(�,??????±�) Para la hipérbola con orientación vertical.
RELACIÓN PITAGÓRICA
�
�
=�
�
+�
�
De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "�" para poder encontrar los focos.
ASÍNTOTAS
�=±
�
�
(�−??????)+?????? ; �=±
�
�
(�−??????)+??????
Pasos para trazar la hipérbola
1. Se traza el plano cartesiano ubicando el eje “x” y el eje “y”.
2. Luego se marcan los valores de los vértices como coordenadas conjuntas de manera
que, queden de esta forma (�,�), (−�,�), (−�,−�), (�,−�)
3. Se traza un rectángulo, el cual muestra como vértices o esquinas las coordenadas
mostradas en el paso anterior.
4. Luego se trazan las asíntotas de modo que una decreciente pasa por los puntos (−�,�)
y (�,−�); una creciente que pasa por los puntos (�,�) y (−�,.�)
EXPLICACIÓN MEDIANTE UN EJERCICIO
DETERMINAR LOS VERTICES, FOCOS Y ASÍ NTOTAS PARA GRAFICAR LA HIPERBOLA
�
�
??????
+
�
�
��
=�
Sabiendo que, los valores de �
�
y �
�
están respectivamente situados en los denominadores y siendo “x” el eje
focal, determinamos los valores de “a” y “b”.
�
�
=?????? ; �
�
=�� Se hace la respectiva reducción de valores por medio de raíz cuadrada √�
�
=√?????? ; √�
�
=
√�� Se extrae la raíz cuadrada resultando �=±� ;�=±�
De aquí se procede a buscar el valor de “c” por medio del planteamiento del teorema de Pitágoras �=√�
�
+�
�

reemplazando respectivamente los valores de �
2
y �
2
siendo así la ecuación �=√??????+�� ;�=√��;�=�

8. Con esto se ha podido determinar el valor de los vértices y así mismo el valor de los focos siendo estos ??????
�(�,�);
??????
�(−�,�) y ??????
�(�,�);??????
�(−�,�) El punto “b” se lo usa como referencia para realizar la gráfica siguiendo los
pasos indicados arriba.
1. Se sitúan los 4 puntos considerando
respectivamente los valores positivos y negativos de
“a” y “b” como puntos en “x” y “y”.
2. Luego de esto se unen los puntos con
segmentos para poder determinar las asíntotas de la
gráfica las cuales pasaran por el punto D y B
(descendente) y el punto C y D (Ascendente)
3. Teniendo realizado esto, se pueden trazar
las dos parábolas que conforma la hipérbola cada
una pasado por los dos valores de “a” cada uno
señalado en la imagen como “Vértice1” y
“Vértice2”.

9. Bibliografía
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.1. En Prcálculo
Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.2. En Prcálculo
Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.3. En Prcálculo
Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Elipses Sección 8.2. En Prcálculo Séptima
Edición (pág. 1056). Pearson.
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Hipérbolas Sección 8.3. En Prcálculo Séptima
Edición (pág. 1056). Pearson.
Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Secciones Cónicas y Parábolas Sección 8.1. En
Prcálculo Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.
González Ortiz, F. (2004). Proyecto Matex. Obtenido de
http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf


Video tutorial en Youtube
https://www.youtube.com/watch?v=NBdLr7H_Gmo