Cơ sở Phương pháp Phần tủ hữu hạn trong Dẫn nhiệt- PGS.TS Trịnh Văn Quang

Trên cơ sở một số bài giảng cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số trong các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, chúng tôi biên soạn cuốn “Cơ sở phương pháp PTHH trong Truyền nhiệt”. Cuốn sách bao gồm 5 chương, chương 1 trình bày khái quát về các phương thức truyền nhiệt và tóm tắt các kết quả giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích. Chương 2 nêu các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của chúng. Chương 3 đề cập đến phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của PTHH trong dẫn nhiệt ổn định. Đây là phần lý thuyết toán quan trọng nhất trong phương pháp PTHH để tính nhiệt. Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằng phương pháp PTHH. Chương 5 thiết lập phương trình đặc trưng trong dẫn nhiệt không ổn định, các cách rời rạc theo thời gian của bài toán, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt không ổn định bằng phương pháp PTHH.
Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, chương trình đại học chuyên ngành nhiệt – lạnh, năng lượng và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng công trình, luyện kim...

1. CÔ SÔÛ PHÖÔNG PHAÙP
PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN TRONG TRUYEÀN NHIEÄT


TÁC GIẢ
PGS.TS. Trịnh Văn Quang













Nhà xuất bản Thế Giới
– 2013 –

3. 3

LỜI NÓI ĐẦ U
ua nhiều năm giảng dạy Lý thuyế t Truyền nhiệt cho Chương trình Cao học Cơ
khí cũng như tham gia và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy
một tài liệu về phương pháp tính nhiệt mới là hết sức cần thiết để phục vụ cho
công tác giảng dạy và nghiên cứu. Cuốn sách “Cơ sở phương pháp Phần tử hữu
hạn trong Truyền nhiệt” được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên.
Môn học Cơ sở truyền nhiệt trong chương trình đại học của các nước tiên tiến hiện
nay chỉ mới dừng ở phương pháp Sai phân hữu hạn, còn phương pháp Phầ n tử hữu hạn
(PTHH) chưa được đề cập đến. Vì thế, trong tính nhiệt, phương pháp PTHH còn là mới.
Trên cơ sở một số bài giảng cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử
dụng phương pháp số trong các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như
tham khảo các tài liệ u trong và ngoài nước, chúng tôi biên soạn cuốn “Cơ sở phương pháp
PTHH trong Truyền nhiệt”.
Cuốn sách bao gồm 5 chương: Chương 1 trình bày khái quát về các phương thứ c
truyền nhiệt và tóm tắt các kết quả giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích;
Chương 2 nêu các khái niệ m cơ bản về các loại PTHH và các đạ i lượng đặc trưng của
chúng; Chương 3 đề cập đến phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của
PTHH trong dẫn nhiệt ổn định. Đây là phần lý thuyết toán quan trọng nhấ t trong phương
pháp PTHH để tính nhiệt; Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằng
phương pháp PTHH; Chương 5 thiết lập phương trình đặ c trưng trong dẫn nhiệt không ổn
định, các cách rời rạc theo thời gian của bài toán, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt
không ổn định bằng phương pháp PTHH.
Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình cao học
ngành cơ khí, độ ng lực, chương trình đạ i học chuyên ngành nhiệt – lạnh, năng lượng và
cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vự c xây dự ng công
trình, luyện kim...
Với suy nghĩ viết sách sao cho bạn đọc sử dụng được thuận tiện nhất, chúng tôi cố
gắng trình bầy các vấn đề một cách chi tiết để bạn đọc có thể dễ dàng theo dõi và từ đó
vận dụng trong nghiên cứu các bài toán thực tế. Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và
thiết thực với bạn đọc.
Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuố n sách vẫn còn có
những khiếm khuyế t, chúng tôi rất mong nhậ n được góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp.
Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà
Nội hoặc địa chỉ [email protected].
Chúng tôi xin chân thành cám ơn!

TÁC GIẢ
PGS.TS. Trịnh Văn Quang
Q

4. 4

5. 5

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ...........................................................................................................3
CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU
1.1. Khái quát .............................................................................................7
1.2. Phương trình vi phân dẫ n nhiệt và điề u kiện đơn trị .............................. 10
1.3. Điểm qua một số bài toán dẫn nhiệt cơ bản ....................................... 13
1.4. Các khó khăn của phương pháp giải tích ........................................... 25
1.5. Tóm tắt chương ................................................................................. 25

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PH ẦN TỬ HỮU HẠN
2.1. Giới thiệu khái quát ........................................................................... 26
2.2. Phân tử một chiều bậc nhất ................................................................ 30
2.3. Phân tử một chiều bậc hai .................................................................. 33
2.4. Phân tử hai chiều tam giác bậc nhất ................................................... 38
2.5. Tọa độc khu vự c đối với phần tử tam giác bậc nhất ........................... 44
2.6. Các phần tử tam giác bậc hai, bậc ba ................................................. 46
2.7. Phần tử hai chiều chữ nhật bậc nhất................................................... 50
2.8. Các phần tử ba chiều ........................................................................... 54
2.9. Phần tử đẳng tham số, phần tử quy chiếu ...........................................
60
2.10. Tóm tắ t chương .................................................................................. 74
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ............................................................................................. 75
CHƯƠNG 3
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Đ ẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Phương pháp thiết lập phương trình đặ c trưng củ a phần tử ....................... 77
3.2. Xây dựng phương trình đặ c trưng cho phương trình vi phân dẫn nhiệt .. 91
3.3. Thiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn
nhiệt theo phương pháp biến phân ................................................... 101
3.4. Thiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn
nhiệt theo phương pháp Galerkin ..................................................... 109
3.5. Xác định phiếm hàm bài toán dẫn nhiệt qua cánh ............................... 112
3.6. Tóm tắ t chương ................................................................................ 114

6. 6
CHƯƠNG 4 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪ N NHIỆT ỔN ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦ N TỬ HỮU HẠN
4.1. Dẫn nhiệt qua vách phẳng một lớp ..................................................... 115
4.2. Dẫn nhiệt qua vách phẳng nhiều lớp .................................................. 118
4.3. Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồ n nhiệt bên trong ........................... 120
4.4. Dẫn nhiệt qua vách trụ ...................................................................... 130
4.5. Dẫn nhiệt qua vách trụ có nguồ n bên trong ........................................ 137
4.6. Dẫn nhiệt qua thanh có tiế t diện không đổ i ........................................ 143
4.7. Dẫn nhiệt qua cánh có tiế t diện thay đổi ............................................. 149
4.8. Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đơn .................................... 154
4.9. Dẫn nhiệt qua phần tử tam giác lắ p ghép ............................................ 158
4.10. Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đơn ................................... 173
4.11. Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp ghép ............................ 179
4.12. Bài toán dẫn nhiệt ba chiều.............................................................. 190
4.13. Các bài toán hình khố i có trụ c đối xứng .......................................... 191
4.14. Tóm tắt chương ............................................................................... 194
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ...........................................................................................
195

CHƯƠNG 5 DẪN NHIỆT KHÔNG Ổ N ĐỊNH
5.1. Khái niệm ........................................................................................ 199
5.2. Phương pháp Galerkin ..................................................................... 200
5.3. Phương pháp biến phân ................................................................... 202
5.4. Rời rạc theo thời gian ...................................................................... 204
5.5. Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp sai phân hữ u hạn ................ 207
5.6. Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp phầ n tử hữu hạn ................. 210
5.7. Tổng kết một số công thức theo thời gian ........................................ 214
5.8. Dẫn nhiệt không ổn định qua vách phẳng ........................................ 215
5.9. Dẫn nhiệt không ổn định qua thanh ................................................. 218
5.10. Dẫn nhiệt không ổn định qua vách trự ............................................. 222
5.11. Dẫn nhiệt không ổn định qua phần tử tam giác ................................ 226
5.12. Dẫn nhiệt không ổn định qua phần tử chữ nhật ................................ 241
5.13. Tóm tắt chương ............................................................................... 259
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ........................................................................................... 260

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ............................................................................ 263
TÀI LIỆ U THAM KHẢ O ..................................................................................... 337

7. 7

Chương 1
MỞ ĐẦU

1.1. KHÁI QUÁT
1.1.1. Vai trò của truyề n nhiệt trong kỹ thuật và tự nhiên
Truyền nhiệt là quá trình truyền năng lượng dưới dạng nhiệt giữa các vật thể hoặc giữa
các khu vực khác nhau trong vậ t thể. Có thể gặp hiện tượng nhiệt ở khắp nơi, từ các việ c
trong đời sống hàng ngày như đun nấ u, làm mát hay sưởi ấm không khí trong phòng… đến
các hiện tượng trong tự nhiên như nắng, mưa, giông bão đều gắn với các quá trình nhiệ t nói
chung và truyền nhiệt nói riêng. Trong hầ u hết các quá trình công nghệ, từ hoạt động của
các loại động cơ nhiệt như động cơ đốt trong, động cơ tua bin, động cơ phả n lực... đến làm
mát động cơ điện, làm mát các bộ phận của các thiế t bị điện tử, luôn có mặt quá trình
truyền nhiệt. Bởi vậy, có thể nói hiện tượng nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng có vai
trò rất quan trọng trong đời sống, kỹ thuật và trong tự nhiên.
Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề là làm sao khống chế được nhiệt độ làm việc
cực đại của thiết bị để bảo đảm hoạt động bình thường của thiết bị, hoặc khống chế được độ
chênh nhiệt độ cục bộ trong các khu vự c của vật thể để bảo đảm biến dạng nhiệt cục bộ
trong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hủy vật thể. Điều đó chỉ có thể thực
hiện được khi kiểm soát được quá trình truyền nhiệt của thiết bị và vật thể.

1.1.2. Các phương thức truyền nhiệ t, các định luật truyền nhiệt
cơ bản
Nhiệt có thể truyền từ nơi này tới nơi khác theo các phương thức khác nhau. Mỗ i
phương thức truyền nhiệt có những đặc điểm và cơ cấu riêng. Có ba phương thức truyền
nhiệt cơ bản là dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, bức xạ nhiệt.

a. Dẫn nhiệt
Dẫn nhiệt xảy ra bên trong vật thể hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi giữa chúng
có sự chênh lệ ch nhiệt độ. Dẫn nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyề n dao độ ng
của các phần tử vi mô cấu tạo nên vật thể. Quá trình dẫn nhiệt có thể xảy ra trong chấ t rắn,
chất lỏng và cả trong chấ t khí. Trong kim loạ i, dẫn nhiệt được thực hiện chủ yếu nhờ quá
trình truyền dao độ ng của các điện tử tự do. Trong chất điện môi, dẫn nhiệt xảy ra nhờ sóng
đàn hồi truyền dao động nhiệt. Trong chất lỏng và chấ t khí, dẫn nhiệt được thực hiện nhờ
quá trình khuếch tán các phân tử.

8. 8
Lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian được gọi là
mật độ dòng nhiệt, ký hiệu là q (W/m
2
). Mật độ dòng nhiệt truyền đi do dẫ n nhiệt tuân theo
Định luậ t Fourier:

T
qk
n
∂
= −
∂

(1.1)
Trong đó: q

là véc tơ mật độ dòng nhiệt; k là hệ số dẫn nhiệt (W/mK); ∂T/∂n là
gradient nhiệt độ với n là phương pháp tuyế n mặt đẳng nhiệt.
Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. Trị số hệ số dẫn
nhiệt của một số vật liệu điển hình như sau:

Vật liệu Hệ số dẫn nhiệt (W/mK)
Kim loại
Bạc nguyên chất 410
Đồng nguyên chất 385
Nhôm nguyên chất 200
Sắt nguyên chất 73
Hợp kim
Thép không gỉ 16
Nhôm hợp kim 168
Phi kim loại
Nhựa 0,6
Gỗ 0,2
Chất lỏng
Nước 0,6
Chất khí
Không khí khô 0,025


b. Toả nhiệt đối lưu
Toả nhiệt đối lưu là phương thức truyền nhiệt xảy ra giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng
hoặc khí, khi giữa chúng có chênh lệch nhiệt độ và tiếp xúc với nhau. Do các phần tử chất
lỏng tiếp xúc vớ i bề mặt vật rắn trao đổi nhiệt với bề mặt vật bằng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng
sát bề mặt vật thay đổi nhiệt độ và mật độ làm xuất hiện chuyển động tạo thành dòng đối
lưu, đồng thời mang nhiệt đi. Chuyển động đó được gọi là đối lưu tự nhiên. Chuyển động
của chất lỏng do tác động của các lực cơ học từ bên ngoài như bơm, quạt, khuấy… được
gọi là đối lưu cưỡng bức. Toả nhiệt đối lưu cũng xả y ra rất mạnh trong các quá trình chất
lỏng sôi hay ngưng tụ.
Mật độ dòng nhiệt truyền đi bằng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật Newton -
Richman:


.( )
wa
q hT T= − (1.2)
Ở đây, q (W/m
2
), là mật độ dòng nhiệt, h là hệ số toả nhiệt đối lưu (W/m
2
K); Tw và T a
tương ứng là nhiệt độ bề mặt và nhiệt độ môi trường chất lỏng.

9. 9
Trị số hệ số toả nhiệt điển hình trong các chất lỏng như sau:
Chất lỏng Hệ số toả nhiệt (W/m
2
K)
Các chất khí (lững lờ) 15
Các chất khí (chảy) 15 – 250
Các chất lỏng (lững lờ) 100
Các chất lỏng (chảy) 100 – 200
Các chất lỏng khi sôi 2000 – 35.000
Các chất lỏng khi ngưng 2000 – 25.000

c. Bức xạ nhiệt
Bức xạ nhiệt là quá trình truyền nhiệt bằng sóng điện từ giữa các vậ t thể. Mọi vật thể
được cấu tạo bởi các thành phần vi mô mang điện, luôn ở trạng thái chuyển động nên tạo ra
sóng điện từ, lan truyền trong không gian gọ i là bứ c xạ điện từ. Khi đập vào bề mặt vật thể
khác, một phần bức xạ điện từ bị vật đó hấp thụ biến thành nhiệt. Quá trình truyền năng
lượng nhiệt bằng sóng điện từ đó được gọi là trao đổi nhiệt bức xạ. Mọi vật luôn tồn tại ở
nhiệt độ T > 0K, nên luôn phát ra bức xạ nhiệt và đồng thờ i cũng hấp thụ các tia bức xạ
nhiệt từ các vật khác chiế u tới, bởi vậy quá trình trao đổi nhiệt bức xạ là quá trình hai chiề u,
nhưng vật có nhiệ t độ cao hơn năng lượng bị mất đi bởi bức xạ ra sẽ lớn hơn năng lượng
nhận được bởi hấp thụ. Khi các vật có nhiệt độ bằng nhau, quá trình trao đổi nhiệt bức xạ
giữa chúng vẫn xảy ra nhưng ở thế cân bằng động, tức là ở mỗi vật có năng lượ ng bức xạ ra
bằng năng lượng hấp thụ vào nên năng lượng và nhiệt độ của vật đó không thay đổi.
Năng lượng truyền đi bằng bức xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luậ t Stefan
Boltzơmann:

4
00
.ETσ= (1.3)
Ở đây, E
0 là năng suất bức xạ của vật đen, (W/m
2
); σ0 là hằng số Stefan Boltzơmann
σ
0 = 5,669.10
-8
(W/m
2
K
4
); T là nhiệt độ tuyệt đối (K).
Năng lượng bức xạ từ bề mặt các vật xám nhỏ hơn năng lượng bức xạ từ bề mặt vật
đen, xác định bởi:

4
0
.ETεσ= (1.4)
Ở đây, E là năng suấ t bức xạ của vật xám, (W/m
2
); ε là hằng số phát xạ của vật xám,
còn gọi là độ đen.
Lượng nhiệt trao đổi bằng bức xạ giữa hai bề mặt 1 và 2 được xác định bởi:

44
12
()
G
Q FF T Tσ
∈
= − (1.5)
F
∈ là yếu tố kể đến bản chất của hai bề mặt, F G là yếu tố kể đến định hướng hình học
của hai bề mặt bức xạ.

10. 10
1.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN D ẪN NHIỆT VÀ ĐIỀU
KIỆN ĐƠN TRỊ
1.2.1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Để xác định nhiệ t độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ
độ và thời gian. Đó chính là phương trình vi phân dẫ n nhiệt.
Tách một phân tố hình hộ p ra khỏ i vật thể đặt trong toạ độ xyz. Phân tố có kích thước
dxdydz, Hình 1.1.
Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng x, y, z sau thời gian dτ :
Theo hướng x:
Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất:

1xx
dQ q dydzdτ= (1.6)
Lượng nhiệt ra khỏi phân tố qua mặt thứ hai:

2
x
xx
q
dQ q dx dydzd
x
τ
∂
= +

∂

(1.7)
Lượng nhiệt phân tố nhận được theo hướng x:

12xx x
dQ dQ dQ= − (1.8)
Với
xx
T
qk
x
∂
= −
∂
sẽ có:
...
xx
T
dQ k dx dy dz d
xx
τ
∂∂
=
∂∂
(1.9)








Hình 1.1. Phân tố thể tích trong tọ a độ x,y,z

11. 11
Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân tố nhận được:
...
yy
T
dQ k dx dy dz d
yy
τ
∂∂
=
∂∂
(1.10)
...
zz
T
dQ k dx dy dz d
zz
τ
∂∂
=
∂∂
(1.11)
Theo cả ba hướng x, y, z lượ ng nhịệt phân tố nhận được là:
...
xyz x y z
T TT
dQ dQ dQ dQ k k k dx dy dz d
x xy yz z
τ
   ∂∂ ∂∂ ∂∂
=++= + +    
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   
(1.12)
Hệ số dẫn nhiệt trong phương trình trên là một véc tơ. Trong trường hợp tổng quát hệ
số dẫn nhiệt có thể là một ten sơ:

xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
kkk
kkkk
kkk


=


(1.13)
Nếu bên trong vật thể có nguồ n sinh nhiệt q
v (W/m
3
), lượng nhiệt do nguồ n trong sinh
ra trong phân tố khảo sát sau thời gian dτ là:

.
V
q dxdydz dτ (1.14)
Lượng nhiệt phân tố nhận do dẫn nhiệt và nguồ n nhiệt bên trong sinh ra sau thời gian
dτ là:

x y zV
T TT
k k k q dxdydzd
x xy yz z
τ
   ∂∂ ∂∂ ∂∂
+ ++   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   
(1.15)
Do nhận lượng nhiệt trên, nội năng phân tố sau thời gian dτ sẽ thay đổi là:
....
p
T
dx dy dz c d
ρτ
τ
∂
∂
(1.16)
Theo đị nh luật bảo toàn năng lượng thì tổng năng lượng phân tố nhận được do dẫn nhiệt
theo ba hướng và do nguồn nhiệt trong sinh ra sẽ bằng biến đổi nội năng củ a phân tố:

.
x y z Vp
T TT T
k k k qc
x xy yz z
ρ
τ
   ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
+ + +=   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂   

(1.17)
Phương trình (1.17 ) gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt.
Nếu vật liệu là đẳng hướng, nghĩa là hệ số dẫn nhiệt k là không đổ i theo các hướng,
phương trình vi phân dẫ n nhiệt được viết thành:

222
222
V
p
qT TTT
a
cxyzτρ
∂ ∂∂∂
= ++ +
∂ ∂∂∂
(1.18)

12. 12
với
222
2
222
TTT
T
xyz
∂∂∂
++ =∇
∂∂∂
và
p
k
a
c
ρ
=
gọi là hệ số khuếch tán nhiệ t.
Phương trình vi phân dẫ n nhiệt được viết gọn thành:

2 V
p
qT
aT
cτρ
∂
=∇+
∂
(1.19)
Trong trường hợp vật không có nguồn nhiệt bên trong, phương trình vi phân sẽ trở
thành:


2T
aT
τ
∂
= ∇
∂
(1.20)
Khi nhiệt độ vật không thay đổi theo thời gian, quá trình dẫ n nhiệt là ổn định được
biểu thị bởi:


2
0T∇= (1.21)
Phương trình vi phân dẫ n nhiệt trong toạ độ trụ là:

2
11
.
r z Vp
T TT T
k k k qc
rr r z z r
ϕ
ρ
ϕϕ τ
    ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
+ + +=    
∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂    
(1.22)
Trong đó: – r là bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát;
– ϕ góc của bán kính r với trục x;
– z độ cao.
Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:

;
;
rr
zz
T
qk
r
kT
q
r
T
qk
z
ϕ
ϕ
ϕ
∂
= −
∂
∂
= −
∂
∂
= −
∂
(1.23)
Trong toạ độ cầu, phương trình vi phân dẫ n nhiệt là:
2
2 22 2
11 1
sin .
sin sin
r Vp
T T TT
kr k k q c
rrrr r
ϕθ
θρ
ϕϕ θ θ τθθ
    ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
+ + +=    
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂    
(1.24)
Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:

;
;
sin
rr
T
qk
r
kT
q
r
kT
q
r
φ
ϕ
θ
θ
ϕϕ
θ
∂
= −
∂
∂
= −
∂
∂
= −
∂
(1.25)

13. 13
1.2.2. Điều kiện đơn trị
Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi
bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị bao gồm điều kiện ban đầu và
điều kiện biên giới.
• Điều kiện ban đầu cho biết quy luậ t phân bố nhiệt độ trong vậ t thể ở thời điểm ban
đầu. Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định thì
không cần điều kiện ban đầu.
• Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tạ i biên giớ i của vật
thể, gồm có:
− Điều kiện biên loại 1 còn gọ i là điều kiện Dirichlet, cho biết quy luậ t phân bố
nhiệt độ trên bề mặt vật:
T = T
w tại S 1 (1.26)
− Điều kiện biên loạ i 2 còn gọi là điề u kiện Neuman, cho biết mật độ dòng nhiệt tại
bề mặt vật:

T
qk C
n
∂
=−=
∂
tại S 2 (1.27)
C là giá trị biết trước có thể không đổi, hoặc thay đổi. Nếu bề mặt cách nhiệ t hay
đoạn nhiệt cũng được coi là C = 0.
− Điều kiện biên giới loại 3 cho biết quy luậ t toả nhiệt giữa bề mặt vật và môi
trường chất lỏng bao quanh vật tuân theo phương trình Niutơn Rích man:

( )
wa
T
k hT T
n
∂
−= −
∂
trên S 3 (1.28)



1.3. ĐIỂM QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN NHIỆT CƠ BẢN
Để tìm phân bố nhiệt độ trong vậ t, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt cùng
với các điều kiện đơn trị. Trong giáo trình truyền nhiệt chương trình đạ i học đã trình bày
chi tiết cách giải một số bài toán cớ bản, ở đây chỉ nêu tóm tắt kết quả của chúng.

1.3.1. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loạ i 1 qua các vách mỏng
Khi các vách có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với các kích thước khác, dòng nhiệt
truyền theo hướng bề dày là chính nên nhiệt độ chỉ thay đổ i theo hướng bề dày và chỉ phụ
thuộc vào một chiều. Phương trình vi phân ổn định không có nguồ n trong, khi k = const có
dạng:

2
0T∇= (1.29)

14. 14
1. Dẫn nhiệt qua vách phẳng
Vách phẳng dày δ, hệ số dẫn nhiệt k không đổi, biết nhiệt độ hai mặt:
Phương trình vi phân:

2
2
0
dT
dx
=
(1.30)
điều kiện biên: T = T
w1 tại x = 0; T = T w2 tại x = δ. (1.31)
Sau khi tích phân (1.30) hai lần, thay điều kiện biên (1.31), giải ra nghiệm:

12
1
ww
w
TT
TT x
δ
−
= −
(1.32)
Phân bố nhiệt độ trong vách phẳ ng là đường thẳng, Hình 1.2.









Hình 1.2. Phân bố nhiệt độ trong vách phẳ ng

Mật độ dòng nhiệt:

12ww w
TT TT
qk
xR
k
δ
−∆∂
=−= =
∂
(W/m
2
) (1.33)
Với: ∆T
W là hiệu nhiệt độ hai mặt vách;
R
k
δ
= gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách
phẳng.
Đối vách phẳng có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt là:

1
w
n
i
i
T
q
R
=
∆
=
∑
(W/m
2
) (1.34)
Với:
11
nn
i
i
ii
i
R
k
δ
= =
=∑∑ ; và
i
i
k
δ
là nhiệ t trở dẫn nhiệt của lớp thứ i trong vách phẳng.
Tw1
Tw2
x
T
δ
0

15. 15
2. Dẫn nhiệt qua vách trụ
Phương trình vi phân:


2
2
1
0
dT d T
r drdr
+=
(1.35)
Điều kiện biên: T = T
W1 tại r = r1;
T = T
W2 tại r = r2 (1.36)
Giải ra nghiệ m:

12
1
2 1
1
ln
ln
ww
w
TT d
TT
d d
d
−
= −
(1.37)
Phân bố nhiệt độ trong vách trụ là đường cong logarít, Hình 1.3.

Hình 1.3. Phân bố nhiệt độ trong vách trụ
Mật độ dòng nhiệt dài:

12
2
1
1
ln
2
ww w
L
TT T
q
d R
kdπ
−∆
= = (W/m) (1.38)
Với: ∆T
w là hiệu nhiệt độ hai mặt vách trụ

2
1
1
ln
2.
d
R
kdπ
= gọi là nhiệ t trở dẫn nhiệt của vách trụ
Đối vách trụ có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt dài là:


1
w
L n
i
i
T
q
R
=
∆
=
∑

(W/m) (1.39)
Với:
1
111
ln
2
nn
i
i
ii
ii
d
R
kd
π
+
= =
=∑∑
; và
11
ln
2
i
i
ii
d
R
kd
π
+
=

nhiệt trở dẫn nhiệt của lớp thứ i trong
vách trụ.

16. 16
3. Dẫn nhiệt qua vách cầu
Phương trình vi phân:

2
2
2
0
dT d T
r drdr
+= (1.40)
Điều kiện biên:
T = T
W
1 tại r = r
1
;
T = T
W
2 tại r = r
2

(1.41)
Giải ra nghiệ m:

12
1
1
12 11
11
ww
w
TT
TT
rr
rr
−
=−− 


−
(1.42)
Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol.
Dòng nhiệt qua vách cầu:

12
21
12
1
2
ww w
TT T
Q
dd R
k ddπ
−∆
= =
−
(W/m
2
) (1.43)

1.3.2. Dẫn nhiệt ổn định qua thanh và cánh
Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài. Nếu
chi tiế t có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong
trường hợp ngược lại gọi là cánh. Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt
là như nhau.

1. Thanh có tiết diện không đổ i
Thanh thẳng có tiết diện A không đổ i, gốc thanh có nhiệt độ T b, tại mặt ngoài thanh có
toả nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường T
a, đỉnh thanh cách nhiệt.
Xét vi phân thể tích có chiề u dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện P, diện
tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, Hình 1.4.
Sau khi cân bằng giữa lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại x với lượng nhiệt dẫn ra khỏi
phân tố tại (x+dx) và tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh, sẽ được
phương trình sau:

2
2
( )0
a
dT
kA hP T T
dx
− −= (1.44)

17. 17
Đặt (T – T a) = θ ;
x
L
ξ=
;
2hP
m
kA
= và m
2
L
2
= µ
2
khi đó phương trình trên trở thành:

2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−= (1.45)


















Hình 1.4. Dẫn nhiệt một chiều qua thanh

Các điều kiện biên: - tại đỉnh thanh: ξ = 0 →
0
d
d
θ
ξ
=
- tại gốc thanh: ξ = 1 → θ = θ
b (1.46)

Nghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng:

( )
()
0
cosh
cosh
mL x
mL
θθ
−

=
(1.47)

2. Thanh có tiết diện thay đổi
Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo x. Gốc thanh x
= 0, nhiệt độ T
0, đặt trong môi trường nhiệt độ T a,, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h,
thể hiện trên Hình 1.5.







Hình 1.5. Thanh có tiết diện thay đổ i

18. 18
Tại x, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh
P(x)dx. Lượng nhiệt vào phầ n tử tại mặt f(x) là:
()
x
dT
Q kA x
dx
= − (1.48)
Lượng nhiệt ra khỏi phần tử tại mặt f(x+dx) là:

()
()
x dx
dA x d dT
Q k A x dx T dx
dx dx dx
+
  
=−+ + 
  
(1.49)
Lượng nhiệt toả ra môi trường tại mặt xung quanh phầ n tử là:

() ( )
ha
Q hP x dx T T= − (1.50)
Do ổn định nên
x x dx h
QQ Q
+
−= , dẫn tới phương trình

() () ( ) 0
a
d dT
kA x hP x dx T T
dx dx

− −=


(1.51)
Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo x mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét
cánh cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x.

3. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x
Cánh có tiế t diện chữ nhật, bề dày thay đổ i tuyến tính theo x:

() 2
x
Ax b
Lδ

=


Thay A(x) vào (1.51) dẫn tới:

() 2
2 ( )0
a
a
dT Td x hb
k b TT
dx L dx k
δ
 −
− −=

(1.52)















Hình 1.6. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x
Đặt
;
x
L
ξ= và
0
a
a
TT
TT
θ
−
=
−
sẽ dẫn tới

19. 19

22
2
0
d d hL
dkd
θθ
ξθ
ξδξ
+− =
(1.53)
(1.53) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến. Nghiệm của (1.53)
được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1:

0
2
0
2
2
hLx
I
k
hL
I
k
δ
θ
δ




=




(1.54)
Với I
0 là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn.

1.3.3. Dẫn nhiệt ổn định một chiều có nguồ n nhiệt bên trong
1. Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên trong
Xét vách phẳng rất rộng, có bề dày 2L, nhiệt độ tại hai mặt ngoài là T w1 và Tw2. Trong
vách có nguồn nhiệt phân bố đều theo thể tích q
V = const (W/m
3
), Hình 1.8.
Do dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này,
đặt là x.
Phương trình vi phân:

2
2
0
V
qdT
kdx
−= (1.55)
Điều kiện biên loạ i 1:
Tại x = - L, T = T
w1;
Tại x = +L, T = T
w2 (1.56)






















Hình 1.8. Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng có nguồn bên trong
T
max
T
w1
T
w2
-L +L
0 x
T

20. 20
Giải (1.55) và (1.56) được nghiệm của bài toán:
() ( )
22 12 12
2 22
V ww ww
q TT TT
Tx L x x
kL
−+
= −− + (1.57)
Phân bố nhiệt độ trong vách phẳ ng là đường cong bậc hai.

2. Dẫn nhiệt qua vách trụ có nguồn nhiệt bên trong
Phương trình vi phân:

2
2
1
0
V
qd T dT
r dr kdr
+ −= (1.58)
Khi chỉ toả nhiệt tại mặt ngoài, điều kiện biên:
Tại r = r
1,
1
0
rr
dT
dr
=
=
(cách nhiệ t mặt trong)
Tại r = r
2,
2
22
2
()
wa
rr
hdT
TT
dr k
=
=−−
(1.59)
Giải (1.58) và (1.59) được nghiệm:

22 2
2
22 11
2
2 22 2 2
..
1 ln 1
42
VV
a
qr qrrrrr
TT
k r rr h r
  
  
  = + −+ −+  
  
  
  
  
(1.60)
Khi r
1 = 0, vách trụ trở thành thanh đặ c đường kính R, phân bố nhiệt độ trong thanh:

( )
22
2
2
.
42
VV
a
q qR
T Rr T
kh
= −+ +
(1.61)
Khi chỉ toả nhiệt tại mặt trong, điều kiện biên là:
Tại r = r
2,
2
0
rr
dT
dr
=
=
(cách nhiệ t mặt ngoài)
Tại r = r
1,
1
11
1
()
wa
rr
hdT
TT
dr k
=
=−−
(1.62)
Giải (1.58) và (1.62) được nghiệm:

22 2
2
21 12
1
1 2 2 11
..
2 ln 1
42
VV
a
qr qr rrrr
TT
k rr r hr
  
  
  = + − + −+  
  
  
  
  
(1.63)
Khi toả nhiệt cả hai mặt, kết hợp (1.60) và (1.63) :
Ở nửa trong vách r = r
1 ÷ r0

21. 21

22 2
2
0 10 1
1
1 0 0 11
..
2 ln 1
42
VV
a
qr qr r rrr
TT
k rr r hr
 
  
 = + − + −+  
 
 
 

(1.64)
Ở nửa ngoài vách r = r
0 ÷ r2

22 2
2
2 0 20
2
2 22 2 2
..
1 ln 1
42
VV
a
qr r qr r rr
TT
k r rr h r
  
  
  = + −+ −+  
  
  
  
  
(1.65)
r
0 là vị trí có nhiệ t độ cực đại trong vách.

1.3.4. Dẫn nhiệt ổn định hai chiều
Trên hình phẳng chữ nhật ABCD, các cạnh có nhiệt độ không đổ i. Cạnh đỉnh AB có
nhiệt độ T
2, ba cạnh còn lại có nhiệt độ T 1, Hình 1.9. Khi đó nhiệt độ trong hình chữ nhật
thay đổ i theo hai hướng bề rộng (x) và cao (y) của hình.







Hình 1.9. Dẫn nhiệt hai chiều trong hình chữ nhật phẳng

Phương trình vi phân:

22
22
0
TT
xy
∂∂
+=
∂∂
(1.66)
Bằng cách đổi
1
21
TT
TT
θ
−
=
−
sẽ đưa (1.66) về dạng:

22
22
0
xy
θθ∂∂
+=
∂∂
(1.67)
Và điều kiện biên: - Tại x = 0: x = δ, θ = 0; y = 0, θ = 0

- Tại x = h, θ = 1 (1.68)
(1.66) được giải bằng phương pháp tách biến, coi θ(x,y) là tích của hai hàm có biế n
độc lập nhau:
θ(x,y) = ϕ(x).ζ(y) (1.69)

22. 22
Sau khi lấy đạo hàm hai lầ n (1.69) theo x và y, thay vào (1.67) sẽ tách được hai
phương trình vi phân thường. Sau đó kết hợp với các điều kiện biên (1.68), áp dụ ng tính
chất của hàm trực giao đối với nghiệm ở dạng chuỗi số sẽ giải ra được:

()
1
1 sinh .
112
( , ) sin .
sinh .n
n
n
y
n
xy x
n n
hπ
δπ
θ
πδ π
δ
+
∞
=


−+  
= 



∑

(1.70)

1.3.5. Dẫn nhiệt không ổn định một chiều
1. Bài toán đối với hệ quy tụ
Nếu một vật có hệ số tỏa nhiệt tại mặt ngoài rất nhỏ so với dẫn nhiệt ở bên bên trong
vật, thì nhiệt độ tại các điểm bên trong vật được coi là bằng nhau và cùng giảm tới nhiệt độ
môi trường. Khi đó nhiệt độ của vật chỉ là hàm của thời gian T = f(τ), và toàn bộ vật thể
được quy về một điểm để tính toán nhiệt độ. Phương pháp tính đó được gọi là phương pháp
quy tụ.
- Lượng nhiệt vật mất đi do toả nhiệt vào môi trường sau thời gian dτ là: hF(T – T
a)dτ
- Nội năng vật giảm đi do mất nhiệt là: – cρVdT
Trong đó, dτ là thời gian, h là hệ số toả nhiệt tại bề mặt ngoài vậ t, F là diện tích mặt
ngoài vật, T và T
a tương ứng là nhiệt độ của vật và nhiệt độ môi trường, c nhiệt dung riêng
của vật (J/kg
0
C), ρ khối lượng riêng của vật, V thể tích vật, dT độ giảm nhiệt độ của vật sau
thời gian dτ.
Do lượng nhiệt vật mất đi bằng độ giảm nội năng nên rút ra:

( )
a
a
dT T hF
d
T T cV
τ
ρ
−
= −
−
(1.71)
Giải ra:
( )
..
.
0
.
h
cL
aa
TT T Te
τ
ρ
−
=+− (1.72)
Với T
0 là nhiệ t độ ban đầu của vật. Để áp dụng (1.72) yêu cầu hệ thoả mãn tiêu chuẩn
Biot:

0,1
hL
Bi
k
= ≤ (1.73)

2. Làm nguội tấm phẳng rộng vô hạn
Tấm phẳng dày 2δ (m), rộng vô hạ n, hệ số dẫn nhiệt k (W/m
0
C), nhiệt độ ban đầ u T 0
(
0
C), đặt trong môi trường nhiệt độ T a (
0
C), hệ số toả nhiệt tại bề mặt h (W/m
2

0
C). Khi đó,

23. 23
nhiệt độ trong tấm là hàm của toạ độ x và thời gian τ: T = f(x,τ).
Phương trình vi phân:

2
2
TT
a
x
τ
∂∂
=
∂ ∂
(1.74)
Đặt θ = T – T
a, khi đó (1.74) trở thành:

2
2
a
x
θθ
τ∂∂
=
∂ ∂
(1.75)
- Điều kiện ban đầ u: khi τ = 0, θ = T
0 – Ta = θ0
- Điều kiện biên:
 Tại 2 mặt: x = ± δ,
.
x
x
δ
θ αθ
λ
= ±
∂
= −
∂
(1.76)
 Tại tâm tấm: x = 0,
0
0
x
x
θ
=
∂
=
∂

(1.75) là phương trình vi phân đạ o hàm riêng, để giải, dùng phương pháp tách biến, coi
θ(x,τ) là tích của hai hàm của từng biến riêng ϕ(x) và ψ(τ) sẽ dẫn tới hai phương trình vi
phân thường. Áp dụ ng các điều kiện biên và ban đầu và tính chất của hàm trực giao sẽ dẫn
tới nghiệm là chuỗi vô hạn:

20
2
1
2 sin
( , ) cos exp
sin cos
n
nn
n
n nn xa
xθµ τ
θτ µ µ
µ µµ δ δ
∞
=
  
= −  
+   
∑
(1.77)
Trong đó: µ
n = kδ ; k =1, 2, 3... µ n là nghiệm của phương trình đặ c trưng:

cot g
Bi
µ
µ= và Bi
h
k
δ
=

(1.78)

3. Dẫn nhiệt không ổn định của vật có bề dày vô hạn một phía
Vật dày vô hạn một phía là những vật có một mặt xác định đủ rộng và bề dày là hết
sức lớn như nền đất... Trong trường hợp này quá trình truyền nhiệt là không ổn định và
nhiệt chỉ dẫn theo một chiều bề dày của vật. Nghiệm phải tìm của bài toán là: T = f(x,τ).
Phương trình vi phân:
2
2
TT
a
x
τ
∂∂
=
∂ ∂
(1.79)
- Điều kiện ban đầ u: τ = 0, T(x,0) = T
0
- Điều kiện biên: tạ i x = 0, T(0, τ) = T
w
Dùng phương pháp đổ i biến kép
4
x
a
η
τ
= , chuyể n phương trình vi phân đạ o hàm

24. 24
riêng (1.79) thành phương trình vi phân thường:

2
2
2.
d T dT
dd
η
ηη
= − (1.80)
Từ đó giải ra

2
00
() 2
um
m
TT
e du erf
TT
η
η
η
π
−
−
= =
−
∫
(1.81)
Trong đó, erfη được gọi là hàm sai số Gauss được lập sẵn giá trị thành bảng.
Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thứ c Fourie:

0
0
()
q
.
m
x
TTT
x aλ
λ
πτ
=
−∂
=−=
∂
(1.82)

4. Dẫn nhiệt của vật dày vô hạn có nhiệt độ bề mặt thay đổi tuần hoàn
Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đổ i theo hàm tuần hoàn, quá trình truyề n nhiệt trong vậ t
là tựa ổn định được biểu thị bởi phương trình vi phân:

2
2
TT
a
xτ
∂∂
=
∂ ∂
(1.83)
Điều kiện biên giới:
()cos
ww w
TT T ωτ= +∆ (1.84)
Với
w
T là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, ∆T w là biên độ dao độ ng của nhiệt độ tại bề
mặt; ω là tần số dao động;
0
2π
ω
τ
=, τ0 là chu kỳ dao độ ng.
Để giải (1.83) vớ i điều kiện (1.84), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị
trung bình
w
T như sau:
() (),,
w
Tx T Txττ= +∆ (1.85)
Trong đó, ∆T(x,τ) được coi là tích củ a hai hàm có biế n độc lập:
()( , ) . ( ) Tx xτ ψ ϕτ∆=


với ϕ(τ) = exp(-jωτ) (1.86)
Sau khi thay (1.86) vào (1.85), lấy đạo hàm theo thờ i gian τ và theo toạ độ x, rồi thay
vào (1.83) sẽ dẫn tới phương trình thuần nhất cấp hai:
()
2
2
0
j
x
ax
ψω
ψ
∂
+=
∂
(1.87)

25. 25
Giải ra nhiệ t độ:
()
11
, exp cos
22
ww
Tx T T x x
aa
ωω
τ ωτ
  
= +∆ − − +  
  
  
(1.88)
là một hàm dao độ ng chu kỳ có biên độ giảm dần theo tọa độ x.





1.4. CÁC KHÓ KHĂN CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Phương pháp giải tích là phương pháp hế t sức quan trọng đã giải được nhiều bài toán
cơ bản trong truyền nhiệt và cho nghiệm chính xác. Đó là các trường hợp vật thể có dạng
các hình khối đơn giản như hình phẳng, khối chữ nhật, hình trụ hay hình cầu…với trường
hợp các bài toán có điều kiện biên giới và điều kiện thời gian là hằng số hoặc biến đổi theo
quy luậ t đơn giản.
Trong thực tế có thể gặp các bài toán trên vật thể có hình dáng phức tạp, hoặc điều
kiện thời gian và điề u kiện biên giới thay đổi, khi đó giải bằng phương pháp giải tích sẽ rất
khó khăn và nhiều trường hợp không thể giải được. Bởi vậy để đáp ứng yêu cầu tính nhiệt
trong các trường hợp thực tế như trên cần có phương pháp gầ n đúng.




1.5. TÓM TẮ T CHƯƠNG
Chương này đã trình bày khái quát về truyền nhiệt nói chung và tóm tắt các kết quả
chủ yếu giải bài toán dẫn nhiệt chủ yếu bằng phương pháp giải tích. Có thể thấy đối với bài
toán hai chiều, phương pháp giải tích chỉ đề cập đến bài toán ổn định trên vật thể có hình
dáng đơn giản, với điều kiện biên khiên cưỡng. Trong thực tế thường gặp các vật có hình
thể và điều kiện biên phức tạp, phương pháp giải tích sẽ không giải quyế t được, bởi thế nhu
cầu phương pháp tính gầ n đúng là hết sức cần thiết. Các phương pháp gần đúng trong tính
nhiệt thường dùng là phương pháp Sai phân hữu hạn, phương pháp Thể tích hữu hạn và
phương pháp Phần tử hữu hạn. Phương pháp Sai phân hữu hạn đã được trình bày trong giáo
trình đại học, nên ở đây không đề cập đến mà đi vào phương pháp Phần tử hữu hạn.

26. 26

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP PHẦ N TỬ HỮU HẠN

2.1. GIỚI THIỆU KHÁI QUÁT
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ số để xác định nghiệm xấp xỉ
đối với một lớp rất rộng các bài toán kỹ thuật. Phương pháp PTHH có tính đa dạ ng và mềm
dẻo cao, nên được áp dụng để nhận được nghiệm xấp xỉ dạng số cho các bài toán phức tạp
mà những bài toán này rất khó giải hoặc không thể giải được bằng phương pháp giải tích.

2.1.1. Khái quát về các phương pháp gần đúng giải bài toán
dẫn nhiệt
Do yêu cầu giải quyết các bài toán thực tế, nhiều năm qua đã có nhiều phương pháp số
phát triể n. Phương pháp phổ biến nhất được sử dụng trong kỹ thuật tính nhiệt là các phương
pháp Sai phân hữ u hạn, Thể tích hữu hạn và Phần tử hữu hạn… ngoài ra còn có phương
pháp Phần tử biên giới.
- Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn
định. Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các vi phân riêng thành
các số gia, khi đó đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số
gia tương ứng. Bằng cách dùng các họ đường song song vớ i các trục toạ độ để tạo thành
một mạng lưới chia miề n nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điể m nút, rồi xác
định nhiệt độ của phần tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miề n. Như vậy
phương pháp SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương
trình đại số. Kết quả thiết lập được hệ phương trình đạ i số gồm n phương trình tương ứng
với n nút cần tìm giá tr ị nhiệt độ. Mức độ chính xác của nghiệm trong phương pháp SPHH
có thể được cải thiện nhờ việc tăng số điểm nút. Phương pháp SPHH rất hữu hiệu trong
việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Bởi
vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ
cho chương trình đại học (Incropera 1996, Holman 1997...). Tuy nhiên, khi gặ p phải vật thể
có hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH cũng có
thể khó sử dụng.
- Phương pháp thể tích hữu hạn (TTHH) có tinh tế hơn phương pháp SPHH và trở nên
phổ biến trong kỹ thuật tính nhiệt và động học dòng chả y (Patankar 1980). Trong tính

27. 27
nhiệt, phương pháp TTHH dựa trên cơ sở cân bằng năng lượng của phân tố thể tích. Kỹ
thuật thể tích hữu hạn tập trung vào điểm giữa phân tố thể tích rất tương tự với phương
pháp SPHH (Malan et al 2002).
- Phương pháp phầ n tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp số để giải các bài toán được
mô tả bởi các phương trình vi phân đạ o hàm riêng cùng vớ i các điều kiện biên cụ thể. Cơ sở
của phương pháp này là rời rạc miền nghiệm liên tục và phức tạp của bài toán thành các
miền con gọi là các phần tử hữu hạn. Tuỳ theo yêu cầu của bài toán mà các miề n con tức
các phần tử hữu hạn này có cấu trúc khác nhau, tinh x ảo và liên kết với nhau bở i các nút.
Việc tìm lờ i giải chính xác của bài toán được thay thế bằng việc tìm dạng gần đúng tại các
nút thông qua hàm xấ p xỉ trên từ ng phầ n tử. Hàm xấp xỉ có thể được xác định bằng cách
tích phân các biến phân tương ứng với phương trình chủ đạo và các điề u kiện biên hoặc các
hàm số dư trọng số.

2.1.2. Sơ lược lịch sử phát triển của phương pháp PTHH
Phương pháp PTHH bắt đầu được hình thành từ nhu cầu giải các bài toán phân tích kết
cấu trong lý thuyết đàn hồ i trong kỹ thuật công trình và kỹ thuật hàng không. Những người
đầu tiên đưa ra phương pháp này là Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant
(1942). Hrennikoff sử dụng mạng lưới để rời rạc miền liên tục, còn Courant chia miề n liên
tục thành những miền nhỏ hình tam giác để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng
elliptic cấp hai trong bài toán xoắ n trên ống trụ. Tuy hai cách tiếp cận khác nhau nhưng đề u
có đặc tính chung là rời rạc miền liên tục thành các miền nhỏ sau này gọ i là các phần tử
hữu hạn. Phương pháp của Courant sau đó được phát triể n nhờ Reyleigh, Ritz và Galerkin
để giải phương trình vi phân toàn phần elliptic. Sau Couranl có nhiều công trình toán học
sử dụng phương pháp rời rạc hoá: đó là công trình của Polya, Hersch, Weinberger... họ đều
tập trung vào nghiên cứu các bài toán giá trị riêng.
Vào nửa cuối năm 1950, phương pháp PTHH đã dầ n phát triể n hoàn chỉ nh. Các tác giả
đã sử dụng để phân tích các kết cấu khung máy bay và công trình xây dự ng, như phân tích
mômen tập trung trong công trình của John Argyris t ại trường đại học Stuttgart.
Năm 1959, Greestadt đã đưa ra phương pháp rời rạc miền nghiệm thành tập hợp của
các miề n con gọ i là các tế bào thay cho các điểm nút. Kích thước và hình dáng các tế bào
có thể không đề u nhau. Mối quan hệ giữa các ẩn trong mỗi tế bào được biểu thị bằng hàm
nội suy, tuỳ thuộc vào cấu trúc tế bào mà hàm nội suy được chọn có dạng khác nhau. Tác
giả sử dụng nguyên lý biến phân để xác định hàm xấp xỉ trong từng tế bào, rồi căn cứ vào
điều kiện liên tụ c để tìm phương trình chung cho tất cả các tế bào trong toàn miền. Nghiên
cứu của Greestadt đã chứa đựng những nội dung hết sức cơ bản sau này trở thành lý thuyết
toán họ c của phương pháp PTHH ngày nay.
Năm 1960, tại trường đại học Berkekey, Ray W.Clough đã trình bày kế t quả đạt được
rất khả quan trong công trình nghiên cứu về phương pháp PTHH. Từ đó nhiều tài liệu toán
học về phương pháp PTHH đã ra đờ i, nhiề u cuốn sách đã trình bày các công thức toán học
cho phương pháp, và nhiều công trình nghiên cứu về sự hội tụ của phương pháp, như các

28. 28
công trình của Oden, White và Friedrichs…
Cùng vớ i các nhà toán học, các nhà vật lý cũng đã phát triể n phương pháp PTHH để áp
dụng trong các bài toán vật lý, như Prager và Synge... Đến năm 1963 phương pháp PTHH
đã bắt đầu ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật. Besselinh, Melosh, Fraeijs de Veubeke và
Jones đã coi phương pháp PTHH là một dạng của phương pháp Ritz và cho rằng đó là một
phương pháp tổng quát nhấ t để nghiên cứu các bài toán đàn hồi. Các nhà khoa học đã
nghiên cứu áp dụng phương pháp PTHH cho các bài toán biến phân của cơ học chất rắn và
đã nhận được các kết quả khá chính xác.
Năm 1965, Zienkiewicz và Cheung đã chứng minh rằng Phương pháp PTHH có thể áp
dụng cho tất cả các bài toán về lý thuyết trường, từ đó phương pháp PT HH được công nhận
là một phương pháp nội suy rộng.
Năm 1973, trong công trình An Analysis of The Finite Element Method, Fix và Strang
đã xây dựng những lý luận toán họ c chặt chẽ cho phương pháp PTHH, và từ đó nó trở
thành một lĩnh vực toán học ứng dụng và được phổ biến và ứng dụng rộng rãi trong kỹ
thuật, để xây dựng mô hình dạ ng số cho các hiệ n tượng vật lý như trường điện từ và động
học chất lỏng…

2.1.3. Trình tự giải bài toán bằ ng phương pháp PTHH
Việc giải các bài toán liên tụ c bằng phương pháp PTHH luôn được thực hiện theo một trình
tự gồm các bước nối tiếp nhau như sau:
Bước 1: Rời rạc hóa miền liên tụ c
Bước đầu tiên là chia miền nghiệm của bài toán, tứ c vật thể, thành các phần tử có kích
thước nhỏ gọi là phầ n tử hữu hạn sao cho không có kẽ hở cũng như sự chồng lên nhau giữa
các phầ n tử để bảo đảm tính liên tuc của bài toán. Kết quả của việc rời rạc hóa là tạ o nên
một mạng lưới các phần tử hữu hạn.
Các phần tử khi rời rạc có thể được chọn có hình dạ ng khác nhau. Trong loại bài toán
một chiều, các phần tử được chọn là các đoạn thẳng. Trong loại bài toán hai chiều, các phần
tử được chọn là các hình phẳ ng, có thể là tam giác, tứ giác, chữ nhật… Trong loại bài toán
ba chiều, phần tử được chọn là các hình khối, như khối tứ diện, lập phương, hình hộ p, lăng
trụ… Đặc biệt là trong một bài toán có thể dùng các loại phần tử có dạng khác nhau.
Các phầ n tử ngăn cách với nhau bởi các điểm, các đường hay các mặt không gian tuỳ
theo số chiều của bài toán, nhưng luôn tồn tại các nút tại các góc đỉnh của phần tử. Số nút
được chọn để sử dụng hình thành mỗi phần tử tùy thuộc vào loại phần tử và loại hàm nội
suy. Nếu dùng nhiều phần tử tức nhiều nút để có độ chính xác cao thì khố i lượng tính toán
sẽ tăng lên rất lớn.
Bước 2: Chọn hàm nội suy hay là hàm hình dạ ng
Mối quan hệ giữa biến số bên trong phần tử với giá trị biến số tại các nút được gọi là
hàm nội suy hay hàm hình dạng. Các biến số nói chung có thể là đại lượng vô hướng, véc tơ

29. 29
hay một tenxơ bậc cao. Trong bài toán nhiệt, biến số cần tìm là nhiệ t độ. Bản chất và số
lượng ẩn có trong mỗi phần tử quyết định đặc tính biến đổi của hàm nội suy.
Để có thể dễ dàng tính đạ o hàm và tích phân trong mỗi phần tử, các hàm nội suy thư-
ờng hay được chọn là các đa thứ c đại số. Bậc của đa thức được chọn phụ thuộc vào số các
điểm nút của phần tử, đặc điểm và số lượng các ẩn của một nút cũng như yêu c ầu liên tục
cần có trên biên của phần tử. Như vậy sau bước này ta đã chọn được một mẫu các PTHH,
tức là đã định rõ loại phần tử, số nút và hàm nội suy.
Bước 3: Xây dựng phương trình đặc trưng củ a phần tử
Bước này xác định phương trình đặc trưng biểu thị tính chất cá thể của các phần tử
riêng lẻ, đó là các phương trình ma trận thể hiện quan hệ giữa các biến cần tìm với các đạ i
lượng tác động là phụ tải. Để làm việ c này ta phải thực hiện xấp xỉ hàm cần tìm chỉ theo
một số lượng hữu hạn các biến số bằng cách hình thành một phương trình ma trận của phần
tử, vế trái là tích số của ma trận hệ số với ẩn số phải tìm tại các nút, vế phải là véc tơ phụ
tải đã biết.
Thí dụ, khi khảo sát dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng nhiều lớp. Mỗi lớp là một phần
tử tuyến tính một chiều có 2 nút i, j. Phương trình ma trận tại mỗi phần tử là:
{}{}
ee e
KT f =

(2.1)
Ở đây: chỉ số e biểu thị cho phầ n tử; [K]
e là ma trận hệ số của nhiệt độ trong phầ n tử gọi
là ma trận độ cứng;
{}
e
Tlà véc tơ nhiệ t độ hai nút trong phầ n tử; {}
e
f là véc tơ phụ tải nhiệt
tại nút.
Bước 4: Lắp ghép các phương trình phầ n tử để nhận được phương trình tương thích của hệ
Để tìm đặc tính của toàn cục của hệ thống, chúng ta bắt buộc phải kết hợp tất cả các
phương trình ma trận của các phần tử riêng lẻ, thủ tục đó gọi là lắp ghép các phần tử. Đó là
việc tổ hợp các phương trình ma trận của mỗi một phần tử một cách thích hợp để tạo được
ma trận đặc trưng trạng thái của toàn bộ khu vực nghiệm của bài toán. Nói cách khác là tập
hợp các phương trình vi phân liên tục theo ẩn T
e cần tìm ở tất cả các nút củ a tất cả các phần
tử
{}
e
Tdạng ma trận (2.1) ở trên thành hệ (n phần tử) cũng dưới dạng:
{}{}KT f =

(2.2)
K

là ma trận độ cứng của toàn hệ;
{}T là véctơ ẩn của cả hệ;
{}f là tải nhiệt tại các nút củ a toàn hệ.
Việc lắp ghép từ (2.1) thành (2.2) có một số phương pháp chúng ta sẽ xét sau. Ở đây, ta
chỉ nói rằng phương trình cho cả hệ cũng giống phương trình cho một phần tử chỉ khác là nó
có kích thước lớn hơn nhiều.

30. 30
Bước 5: Giải hệ phương trình (2.2)
Với các toán tử L, C đối xứng thì ma trận [K] thường đối xứng và phương trình (2.2)
được giải bằng các phương pháp chu ẩn như: l ặp, khử, Gauss, ma trận nghịch đảo.
Bước 6: Tính các đại lượng thứ cấp
Nói chung các bài toán thường yêu cầu tính các đại lượng thứ cấp khác từ nghiệm là
giá trị tại các nút của trường biến số. Trong bài toán nhiệt, từ nhiệt độ các nút đã tìm được,
có thể tính gradient nhiệt độ, dòng nhiệt không gian, hay biến dạng nhiệt...





2.2. PHÂN TỬ MỘT CHIỀU BẬC NHẤ T
2.2.1. Phân bố nhiệt độ
Phần tử bậc nhất có nhiệt độ là hàm bậc nhất của toạ độ:

12
Txαα= + (2.3)
Gọi hai nút của một phần tử là i và j tương ứng với hai toạ độ x
i và xj, nhiệt độ tại hai
nút đó sẽ là:

12 12
;
i ij j
T xT xαα αα=+=+ (2.4)

2.2.2. Hàm nội suy nhiệt độ
Nhiệt độ tại các điể m bên trong phần tử được nội suy theo nhiệt độ hai nút như sau:

ii j j
T NT NT= + (2.5)
Ở đây,
i
N và
j
N gọi là các hàm nội suy, hay hàm hình dạng. Viết ở dạng ma trận:
{}
i
ij
j
T
T N N NT
T

 = = 

(2.6)
Từ hai phương trình trong (2.4) giải ra:

1
12
;
j ji j i
ji ji
Tx Tx T T
xx xx
αα
−−
= =
−−
(2.7)
Thay giá trị α
1, α2 vào (2.3) rồi sắp xếp lại sẽ được:

j i
ij
ji ji
xx xx
TTT
xx xx
− −
= +
−−

(2.8)
Từ đó suy ra hàm nội suy [N] là:

31. 31

j i
ij
ji ji
xx xx
N NN
xx xx
− −
 = = 
 −−

(2.9)
Để tính cho mọi phần tử, thường chọn x
i = 0; và x j - xi = l, thì

1
xx
N
ll
 
= − 
 
(2.10)
Lấy tổng hàm nộ i suy:
1
ji
ij
ji
x xxx
NN
xx
−+−
+= =
−
(2.11)
Phương trình (2.8) cho biết nhiệt độ tại mọi toạ độ x trong phần tử đều tính được theo
các hàm nội suy N
i và Nj và nhiệt độ hai nút. Từ (2.9) có thể thấy trị số hàm nội suy N i và
N
j thay đổi theo tọ a độ và là hàm bậ c nhất theo x; nhưng chúng biến đổi ngược chiều nhau.
Còn (2.11) chỉ ra rằng tổng hàm nộ i suy luôn bằng 1 ở bất kỳ điểm nào trong phần tử, như
trong Bảng 2.1.
Bảng 2.1
Hàm Nút i Nút j x
N
i 1 0 Giữa 0 và 1
N
j 0 1 Giữa 0 và 1
N
i +N
j 1 1 1

Từ các kết quả khảo sát trên cho thấy hàm nội suy có hai đặc điểm quan trọng sau:
− Hàm nội suy nhận giá trị 1 tại một nút xác định và nhận giá trị 0 tại nút khác.
− Tổng của hai hàm nội suy trong phân tố bằng 1 ở mọi vị trí bên trong phầ n tử, kể
cả ở trên biên.

2.2.3. Hàm nội suy toạ độ
Quan hệ giữa biến x bên trong phầ n tử với các toạ độ nút được gọi là hàm nội suy tọa
độ. Hàm nội suy tọa độ được xác định như sau. Từ
i
N trong số hạng đầu của (2.9) rút ra x:
( )
jiji iijij
x x N x x Nx x Nx=− − = +−
thay 1
ij
NN= − vào số hạng thứ hai của (2.9) sẽ được:

i
ii j j i j
j
x
x Nx Nx N N
x

=+= 


(2.12)
So sánh (2.6) và (2.12) thấ y rằng trong phầ n tử một chiều bậc nhất, hàm nội suy tọa độ
cũng chính là hàm nội suy nhiệt độ tại điểm đó.

32. 32
2.2.4. Đạo hàm của hàm nộ i suy nhiệt độ
Lấy đạo hàm của [N] theo x. Trong (2.10) với x i = 0, xj = l thì:

11 1
11
ij
dN d
NN B
dx dx l l l
 
   = =− =−=
   

(2.13)

2.2.5. Gradient nhiệt độ
Tuy ,
ij
TT là ẩn số chưa biế t phải tìm, nhưng trong một phân tố thì ,
ij
TT có giá trị
không đổ i, nên nhiệt độ T trong phân tố chỉ phụ thuộc vào x vậ y gradient nhiệt độ sẽ là:

ji
ij
dNdNdT
TT
dx dx dx
= +
(2.14)
hay
11 1
11
i
ij
j
TdT
TT
Tdx l l l

=−+ =− 

(2.15)
Vì ,
ij
TT là có giá trị không đổ i nên gradient nhiệt độ là hằng số trong phần tử khi nhiệt
độ thay đổi tuyến tính. Ký hiệu
dT
g
dx
= thì (2.15) được viết gọn hơn:

{}g BT=

(2.16)
Với: – g là gradient củ a trường biến nhiệt độ;
– [B] là ma trận đạo hàm của hàm nộ i suy;
– {}T là véc tơ nhiệt độ.
Sự thay đổ i của các hàm hình dạ ng, nhiệt độ và các đạo hàm bên trong phầ n tử tuyến
tính trên được thể hiện trên Hình 2.1.














Hình 2.1. Sự thay đổi của các hàm nội suy, nhiệt độ và các đạo hàm
bên trong phần tử tuyến tính
i
dN
dx

i j
Ti
Tj
j
dN
dx

j
j
i
i
Ni Nj
1 1
Giá trị hàm nội suy bên trong phần tử
Thay đổi nhiệt độ bên trong phần tử
Đạo hàm của hàm nội suy bên trong phần tử

33. 33
Có thể thấy thay đổ i điển hình của nhiệt độ là tuyến tính, đạo hàm của các hàm hình
dạng là hằng số bên trong mỗi phần tử. Ma trận hàm nội suy [N] và ma trận đạo hàm hàm
nội suy [B] là hai ma trận rất quan trọng được sử dụng để xác định các đặc tính của phần tử
sau này.
Thí dụ 2.1 . Một thanh dài 12 cm có nhiệt độ tại đầu thanh là 100
0
C và tại cuối thanh
là 160
0
C. Biết rằng nhiệt độ trong thanh thay đổi bậc nhất. Tính nhiệt độ tại vị trí cách 8 cm
từ đầu thanh.
Theo phương trình (2.5) thì
ii j j
T NT NT= +
Với:
00
100 ; 160 ; 0; 12 ; 8
i j ij
T C T C x x cm x cm= = = = =
Tính các hàm nội suy tại x = 8 cm, theo (2.8)

128 4 80 8

12 0 12 12 0 12
j i
ij
ji ji
xx xx
NN
xx xx
 − −−−
= = = = = = 
−− −−  
thay các giá
trị trên vào nhiệt độ
048
100 160 156,666
12 12
ii j j
T NT NT C=+= + =





2.3. PHÂN TỬ MỘT CHIỀU BẬC HAI
2.3.1. Phân bố nhiệt độ
Phần tử một chiều bậc hai có nhiệt độ thay đổi theo một chiều, nhưng là hàm bậc hai
của tọa độ:
T(x) = α
1
+ α
2
x + α
3
x
2
(2.17)
Ở đây có 3 tham số α
1
, α
2
và α
3
cần xác định nên phải có 3 phương trình, nên mỗi
phần tử cần ít nhất 3 điểm nút, đó là các nút i, j và k. Hai nút i và k sẽ là hai đầu mút của
phần tử, còn nút j đư ợc chọn tại giữa phần tử.
Trong mỗi phần tử có độ dài
ki
lx x= −, nếu lấy 0
i
x= thì sẽ có ;
2
jk
l
x xl= = . Từ
(2.17) viết nhiệt độ tại 3 nút:

1
2
12 3
2
12 3
;
;
22
i
j
k
T
ll
T
T ll
α
αα α
αα α
=

=++ 

=++
(2.18)

34. 34
Từ (2.18) giải ra các hằng số α
1
, α
2
, và α
3

1
2
3 2
;
1
(3 4 );
2
(2 )
i
i jk
i jk
T
T TT
l
T TT
lα
α
α=
=−+ −
=−+
(2.19)
Thay thế các giá trị α
1, α2 và α 3 vào (2.17), sắp xếp lại sẽ được:

22 2
12 22
32
() 1 4 4 2
jk
xx xx xx
Tx T T T
llll ll
   
= − + + − +− +   
   
(2.20)

2.3.2. Hàm nội suy nhiệt độ
Nhiệt độ tại các điể m bên trong phầ n tử được nội suy theo nhiệt độ tại ba nút như sau:
()
ii j j kk
T x NT NT N T=++ (2.21)
Trong đó ,
ij
NN và
k
N là ba hàm nội suy củ a phần tử một chiều bậc hai. Viết (2.21) ở
dạng ma trận:
{}
i
i jkj
k
T
T N N N T NT
T


 = = 


(2.22)
Trong đó N

là ma trận hàm nội suy, {}Tlà véc tơ nhiệt độ nút:
Từ (2.20) và (2.21) rút ra các hàm nộ i suy của phần tử một chiều bậc hai là:

2
2
2
2
2
2
32
1;
44;
2
i
j
k
xx
N
ll
xx
N
ll
xx
N
ll

=−+


= −


=−+

(2.23)
Lấy tổng các hàm nội suy trong phân tử:

22 23
2 22
1
32
1 44 2 1
i
i
xx xx xx
N
llll ll
=
= − + + − +− + =∑
(2.24)
Từ (2.23) thấy rằng các hàm nội suy thay đổi theo toạ độ x theo hàm bậ c hai. Từ (2.24)
thấy bên trong mỗi phần tử tổng các hàm hình dạ ng luôn bằng 1 tại mọi x, và được lập bảng
giá trị tại các nút như sau :

35. 35
Bảng 2.2. Giá trị của hàm nộ i suy trong phầ n tử
Giá trị của hàm nội suy
Nút i j k
Hàm nội suy

N
i 1 0 0
N
j 0 1 0
N
k 0 0 1
Tổng: N
i+ N
j + N
k 1 1 1

Thay đổ i của nhiệt độ và thay đổ i hàm nội suy của phần tử bậc hai điển hình được thể
hiện trên Hình 2.2.










Hình 2.2. Thay đổi nhiệt độ và hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai

Thí dụ 2.2. Xác định giá trị các hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai tại vị trí
có toạ độ x = l/4, x = l/3.
Tại vị trí có x = l /4 các hàm nội suy là:

22
22
22
22
22
22
3 2 3( / 4) 2( / 4)
1 1 1-3/4 1/8 0,3750
( / 4) ( / 4)
4 4 4 4 1 1/ 4 0,75
/4 ( /4)
2 2 1/ 4 1/ 8 -0,1250
i
j
k
k
xx l l
N
llll
xx l l
N
llll
xx l l
N
llll
  
=−+ =− + = + =  
  
  
= − = − =−=  
  
  
=−+ =− + =− + =  
  

Thấy ngay rằng N
i + Nj + Nk = 0,3750 + 0,75 - 0,125 = 1
Tại vị trí có x = l /3, giá trị của các hàm nộ i suy là:

22
22
22
22
22
22
3 2 3( / 3) 2( / 3)
1 1 1 1 2 / 9 0,2222
( / 3) ( / 3)
4 4 4 4 4 / 3 4 / 9 0,8889
/3 ( /3)
2 2 1/ 3 2 / 9 0,1111
i
j
k
k
xx l l
N
llll
xx l l
N
llll
xx l l
N
llll
  
= − + = − + =−+ =  
  
  
=− = − =−=  
  
  
=−+ =− + =− + =−  
  

Cũng thấy ngay rằng N
i + Nj + Nk = 0,2222 + 0,8889 – 0,1111 = 1

36. 36
2.3.3. Đạo hàm của hàm nộ i suy
Viết (2.23) ở dạng ma trận:

22 2
2 22
32
1 44 2
i jk
xx xx xx
N NNN
llll ll
   
= = − + − −+   

   
(2.25)
Lấy đạo hàm N theo x:

22 2
34 48 14dN x x x
B
dx l l lll l
   
= −+ − −+ =    
   
(2.26)
Như vậy, đạo hàm của hàm nội suy trong phầ n tử bậc hai là các hàm số bậc nhất của
tọa độ x.

2.3.4. Hàm nội suy tọa độ
Từ hai phương trình đầ u của (2.23) rút ra:

2
2
64
22
i
xx
N
ll
=−+
và
2
2
44
j
xx
N
ll
= −

Cộng hai phương trình trên lại sẽ được:

2
22
ij
x
NN
l

+=−

suy ra x:
2
ij
l
x lNlN=−−
Vì: 1
i jk
NNN++= nên ()
i jk
l lN N N= ++ bởi vậy, x sẽ là:
() 0
22
i jk i j j k
ll
x l N N N Nl N N N l= ++ −− =+ +

Lại có 0; ;
2
ij k
l
x x xl= = =
, bởi thế mà x viết được là:

ii j j kk
x Nx Nx N x=++ (2.27)
Như vậy, hàm nội suy tọa độ của phần tử một chiều bậc hai cũng chính là hàm nội suy
nhiệt độ.

2.3.5. Gradient nhiệt độ
Đạo hàm bậc nhất của nhiệt độ được viết như sau:

jik
ijk
dNdN dNdT
TT T
dx dx dx dx
=++ (2.28)
thay (2.26) vào (2.28) sẽ có:

37. 37

22 2
34 48 14
ij k
dT x x x
TT T
dx l l lll l
   
= −+ − −+   
   
(2.29)
Như vậy, gradient nhiệt độ cũng như dòng nhiệt phụ thuộc vào toạ độ x.
{}
i
jik
j
k
T
dNdN dNdT dN
TT
dx dx dx dx dx
T

 
= = 
 

(2.30)
Với ký hiệu gradient nhiệt độ
dT
g
dx
= và
dN
B
dx

=
 

thì
{}g BT=

(2.31)

2.3.6. Công thứ c nội suy Lagrange đố i với các phần tử một
chiều bậc cao
Từ các khảo sát trên thấy các hàm nội suy [N] và các đạo hàm của chúng [B] là các
hàm số của biến x, chúng liên tục với mọi giá trị x trong phầ n tử. Các loại phần tử chỉ có
hàm nội suy [N] liên tục, tức đạo hàm cấp 0 liên tục ký hiệu là phần tử C
0
, với chỉ số phía
trên biểu thị cấp của đạo hàm. Các hàm nội suy của phần tử C
0
được gọi là đa thức
Lagrange vì có thể được xây dựng bởi công thức nội suy Lagrange. Những phần tử có hàm
nội suy liên tục và đạo hàm của hàm nội suy cũng bả o đảm liên tụ c qua biên giới phía trong
của phần tử, được gọi là các phần tử C
1
, và các hàm nộ i suy như vậ y là các đa thức
Hermite.
Các hàm số nội suy của phần tử dạng C
0
có thể được xác định một cách tổng quát bằ ng
công thức đa thức nội suy Lagrange:
Đa thức nội suy Lagrange cấp (n -1) đối với phần tử một chiều là tích của các tỷ số:

1
()
n
e i
k i
ki
xx
Nx
xx
=
−
=
−
∏ (2.32)
Chú ý rằng trong phương trình trên k ≠ i.
Đối với phần tử một chiều có n nút, các hàm nội suy có thể được viết theo phương
trình (2.32) như sau:
− Trường hợp phần tử một chiều bậc nhất có hai nút n = 2:

21
12
12 21
;
xx xx
NN
xx xx
−−
= =
−−
(2.33)
N
1, N2 là các hàm nội suy tương ứng với hai nút củ a phần tử tuyến tính bậc nhất tức
,
ij
NN

38. 38
− Đối với phần tử một chiều bậc hai, n =3, các hàm nội suy viết theo công thức nội suy
Lagrange (2.32) sẽ là:

32
1
1 21 3
31
2
2 12 3
12
3
3 13 2
.;
.;
.
xxxx
N
xxxx
xxxx
N
xxxx
xx xx
N
xxxx
−−
=
−−
−−
=
−−
−−
=
−−
(2.34)
Nếu chúng ta thay thế
12
0;
2
l
xx= = và
3
xl= vào các phương trình trong (2.34) trên
thì sẽ có:

()
()
()
2
32
1 2
1 21 3
2
31
2 2
2 12 3
2
12
3 2
3 13 2
2 32
.1
2
44
.
22
2 2
.
2
l
x xl
xxxx xx
N
xxxx l ll
l
xx lxxxx xx
N
xxxx l ll l
l
xx
xx xx xx
N
xxxx l ll
l

−−

−− 
= = =−+ 
−− 

−−


−−−
= = = − 
−− 

−



−

−− 
= = = − 
−− 



(2.35)
thấy rằng các hàm nội suy trong (2.35) hoàn toàn đồng nhấ t với các phương trình trong
(2.23).
Một cách tương tự, các hàm nội suy củ a các phần tử một chiều bậc ba hoặc bậc cao
hơn có thể dễ dàng được dẫn ra bằng công thứ c nội suy Lagrange. Khi sử dụng các phần tử
bậc hai hoặc bậc ba… các dạng đường cong nhiệt độ sẽ có xấp xỉ tốt hơn vì chúng ta có
nhiều hơn 2 điểm nút ở trên các biên của phần tử.





2.4. PHẦN TỬ HAI CHIỀU TAM GIÁC BẬ C NHẤT
Khi nhiệt độ thay đổi theo hai chiề u toạ độ, để xác định nhiệt độ của bài toán thì cần
phải sử dụng các phần tử hai chiề u. Dạng hình học đơn giản nhất của các phầ n tử hai chiều
phần tử là tam giác. Các kích thước của các phần tử tam giác có thể chọn không đều nhau,
nên rất thuận tiện cho việc chia miề n nhỏ, và tam giác cũng là một trong những phần tử hai
chiều phổ biến được dùng trong phép tính phần tử hữu hạn.

39. 39
2.4.1. Phân bố nhiệt độ
Phần tử hai chiề u tam giác bậc nhất là phần tử tam giác có nhiệt độ bên trong phần tử
phụ thuộc bậc nhất vào hai chiều tọa độ x và y, được biểu thị bởi:
T(x,y) = α
1 + α2x + α 3y (2.36)
Như vậy, nhiệt độ có chứa 3 hệ số α
1, α2 và α 3. Để xác định các hệ số này cần viết
nhiệt đô tại 3 nút (Hình 2.3.).










Hình 2.3. Phần tử tam giác bậc nhất trong toạ độ x,y


12 3
12 3
12 3
;
;
i ii
j jj
k kk
T xy
T xy
T xy
αα α
αα α
αα α
=++
=++
=++
(2.37)
Các hệ số α
1
, α
2
và α
3
được giải ra theo
,,
i jk
xxx và ,,
i jk
TTT bằng phương pháp đị nh
thức như sau:
Các định thức D, D
1, D2, D3 của hệ trên gồm:

( )( )( )
1
12
1
ii
j j i j ji ki ik jk k j
kk
xy
D x y xy xy x y xy xy x y A
xy


= =−+−+ − =


(2.38)
(với A là diện tích của tam giác)

123
; ;
i i i ii i i ii
j j j jj j j jj
k k k kk k k kk
Txy xTy yxT
D Txy D xTy D yxT
Txy xTy yxT


= = =


(2.39)
Từ đó có:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2
2
3
31
2
1
2
1
2
jk k j i ki ik j i j ji k
j ki k i j i jk
k ji i k j j ik
D
xy x y T x y xy T xy xy T
DA
D
y y T y yT y yT
DA
D
x xT x x T x xT
DA
α
α
α == −+−+−

= = − + − +−

= = − +− +−

(2.40)
T
k k (x
k,y
k)
T
j j (x
j,y
j)
T
i i (x
i,y
i)
y
x

40. 40
Để cho gọn, ta ký hiệu:




i jk k j i j k i k j
j k i i k j k i j i k
k i j j i k i j k j i
a x y - x y ; b y - y ; c x - x
a x y - x y ; b y - y ; c x - x
a x y - x y ; b y - y ; c x - x
= = =
= = =
= = =
(2.41)
Thay thế các giá trị của α
1, α2 và α 3 vào phương trình (2.36), sắp xếp lại sẽ có:

( ) ( ) ( )
1
2
ii ii j j j j kk kk
T a bx cyT a bx cyT a bx cyT
A
= ++ +++ ++ +

(2.42)
Phương trình (2.42) cho biết nhiệt độ tại điểm bất kỳ có tọa độ x, y trong tam giác
được tính theo nhi ệt độ tại ba nút T
i, Tj, Tk của tam giác.

2.4.2. Hàm nội suy
Nhiệt độ tại các vị trí có toạ độ (x,y) bất kỳ trong tam giác được nội suy theo nhiệt độ
tại 3 nút của tam giác thông qua hàm nội suy N như sau:

(,)
i
ii j j kk i j k j
k
T
T x y NT NT N T N N N T
T


=++ = 



(2.43)
Từ (2.42) và (2.43) thấy các hàm nội suy là:

( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
i ii i
j jj j
k kk k
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++
(2.44)
Các hàm nội suy viết theo toạ độ của nút:

( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
jk k j j k k j
k i ik k i i k
1
x y - x y y - y x - x
2
1
x y - x y y - y x - x
2
1
2
i
j
k i j ji i j j i
N xy
A
N xy
A
N xy xy y y x x x y
A
= ++

= ++

= − +− + −

(2.45)

Để thấy rõ đặc điểm của các hàm nội suy của phần tử tam giác bậc nhất, chúng ta tính
giá trị của các hàm nội suy lần lượt tại các nút và lập được bảng giá trị sau:
Bảng 2.3. Giá trị các hàm nội suy tại các nút củ a tam giác bậc nhất
Nút i Nút j Nút k
N
i 1 0 0
N
j 0 1 0
N
k 0 0 1

41. 41
Như vậy, chúng ta có thể thấy các hàm nộ i suy có giá trị bằng 1 ở một nút nhất định và
bằng 0 tại tất cả các nút còn lại. Cũng có thể chứng minh được rằng, tại mọi vị trí bên trong
phần tử kể cả trên biên giớ i luôn có:
1
i jk
NNN++= (2.46)

2.4.3. Quan hệ giữa biến x,y với các toạ độ nút
Cũng giống như trong phần tử một chiều bậc nhất, tọa độ của điểm x, y bất kỳ trong
phần tử tam giác luôn được nội suy từ các toạ độ nút theo hàm nội suy tọa độ chính là hàm
nội suy nhiệt độ:

;
ii j j kk
ii j j kk
x Nx Nx N x
y Ny Ny N y
=++
=++
(2.47)
Chúng ta có thể xác nhận điều này qua thí dụ sau.
Thí dụ 2.3. Tìm mố i quan hệ của tọa độ điểm bất kỳ trong tam giác theo tọa độ các
nút.
Nhân lần lượt các hàm nội suy trong (2.45) vớ i x
i
, x
j
, x
k

sẽ có:

( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
ii ii ii ii
jj jj jj jj
kk kk kk kk
Nx ax bxx cxy
A
Nx ax bxx cxy
A
Nx ax bxx cxy
A
= ++
= ++
= ++
(1)
Tính tổng:
( )( )( )
1
2
ii j j k k ii j j k k ii j j k k ii j j k k
Nx Nx Nx ax ax ax x bx bx bx y cx cx cx
A
+ + = ++ + ++ + ++

(2)
Ký hiệu và tính từng số hạng trong dấu móc đơn của biểu thức trên như sau:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
jk k j k i ik i j ji
j k i j
kj i k j i
x y - x y x y - x y x y - x y 0
y - y y - y 2
x - x x - x x - x 0
ii j j kk i j k
ii j j kk i k i j k
ii j j kk i j k
a ax ax a x x x x
b bx bx b x x y y x x A
c cx cx c x x x x
= ++ = + + =
= + + = +− + =
= ++ = + + =

(3)
Thì sẽ thấy (2) là:

11
( ) (0 2 0)
22
ii j j kk
N x N x N x a bx cy Ax x
AA
+ + = ++ = + += (4)
Vậy ta có tọ a độ x của điểm bất kỳ là:

ii j j kk
x Nx Nx N x=++ (5)

42. 42
Tương tự như vậy, từ (2.45) nhân lần lượt các hàm nộ i suy với y
i
, y
j
, y
k

sẽ có

( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
ii ii ii ii
jj jj jj jj
kk kk kk kk
Ny ay byx cyy
A
Ny ay byx cyy
A
Ny ay byx cyy
A
= ++
= ++
= ++
(6)
Tính tổng:
( )( )( )
1
2
ii j j k k ii j j k k ii j j k k ii j j k k
Ny Ny Ny ay ay ay x by by by y cy cy cy
A
+ + = ++ + ++ + ++


Ký hiệu và tính các số hạng trong móc đơn của biểu thức trên như sau:
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
jk k j k i ik i j ji
j k i j
kj i k j i
x y - x y x y - x y x y - x y 0
y - y y - y 0
x - x x - x x - x 2
ii j j kk i j k
ii j j kk i k i j k
ii j j kk i j k
a ay ay a y y y y
b by by b y y y y y y
c cy cy c y y y y A
= ++ = + + =
= + + = +− + =
= ++ = + + =
(7)
thì sẽ thấy:
11
( ) (0 0 2 )
22
ii j j kk
N y N y N y a bx cy x Ay y
AA
+ + = ++ = ++ =
Vậy tọa độ y của điểm bất kỳ là:

ii j j kk
y Ny Ny N y=++ (8)
Từ (5) và (8) thấy, trong tam giác bậc nhất, hàm nội suy tọa độ chính là hàm nội suy
nhiệt độ.

2.4.4. Đạo hàm của hàm nộ i suy
Từ các hàm nội suy tam giác:

( )
( )
( )
1
;
2
1
;
2
1
2
i ii i
j jj j
k kk k
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++

Thấy rằng các hệ số a
n, bn,cn (n = i, j, k) là hiệu của các tọ a độ và là các hằng số.
Đạo hàm của hàm nộ i suy theo x và y:

1
2
jik
i jk
j i jkik
NNNN
bbb
x xxx
B
NN AcccNN
y yyy
 ∂∂∂∂
 
∂ ∂∂∂ = = = 

∂∂ ∂∂ 


∂ ∂∂∂ 

(2.48)

43. 43
2.4.5. Gradient nhiệt độ
Gradient nhiệ t độ được cho bởi:
{} {}
1
2
i
i jk
j
i jk
k
T
T
bbb
x
g T BT
T Accc
T
y
∂

  ∂
= = =  
∂
  
∂
(2.49)
Có thể nhận thấy rằng ∂T/∂x và ∂T/∂y là hằng số bên trong phần tử vì b
i, bj, bk và ci, cj,
c
k là các hằng số đối với một tam giác đã cho. Từ đó mật độ dòng nhiệt q x và qy cũng là các
hằng số bên trong mỗi phần tử tam giác bậc nhất. Do nhiệt độ thay đổ i tuyến tính bên trong
mỗi phần tử, nên có thể vẽ được các đường đẳng nhiệt trong tam giác tuyến tính như minh
họa trong thí dụ sau.
Thí dụ 2.4. Để làm sáng tỏ phương pháp tính toán, hãy tính nhiệt độ và mật độ dòng
nhiệt q
x và qy tại (2,0; 1,0) bên trong một phần tử tam giác có hệ số dẫn nhiệt của vật liệu là
2W/cmK. Số liệu cho trong Bảng 2.4.
Bảng 2.4. Số liệu của tam giác
Nút x (cm) y (cm) T
0
C
i 0 0 50
j 4 0 70
k 0 2,5 100


Nhiệt độ tại mỗi vị trí bên trong tam giác được xác định theo phương trình :

ii j j kk
T NT NT N T=++ (1)
Các hàm nội suy được tính theo phương trình (2.45 ) với các t ọa độ x và y cho trong
Bảng 2.4
( ) ( ) ( )
11 1
; ;
22 2
i ii i j j j j k kk k
N a bxcy N a bxcy N a bxcy
AA A
= ++ = ++ = + + (2)
Với các giá trị:
i jk k j i j k i k j
j k i i k j k i j i k
k i j ji k i j
a x y x y 4 2,5 0 0 10; b y y 0 2,5 2,5; c x x 0 4 4
a x y x y 0 4 0 2,5 0; b y y 2,5 0 2,5; c x x 0 0 0
a x y x y 0 0 4 0 = 0; b y y 0 0 0;
= − =× −×= = − = − =− = − = − =−
= − =×−× = = − = −= = − =−=
= − =×−× = − = − =
k ji
c x x 40 4= − =−=
(3)
( )( )( )
k ji
2 a a a 10
i j ji ki ik jk k j
A xy xy x y xy xy x y= − + − + − = ++= (4)

44. 44
Thay các giá trị trên vào (2) với x = 2,5; y= 1:

11 1
(10 2, 5 - 4 ) (10 2, 5 2 4 1)
10 10 10
11 5
(0 2,5 0 ) (0 2,5 2 0 1)
10 10 10
1 14
(0 0 4 ) (0 0 2 4 1)
10 10 10
i
j
k
N xy
N xy
N xy
= − = − ×−× =
= + + = + ×+× =
= + + = −×+× =

(5)
Nhiệt độ tại điểm (x;y) = (2,5;1) theo nhiệt độ các nút là

1 5 4 50 350 400
50 70 100 80
10 10 10 10
o
ii j j kk
T NT NT N T C
++
=++ = + + = =
(7)
Các thành phần mật độ dòng nhiệt theo hướng x và y là

50
2,5 2,5 0 102
70
2 10 404 40
100
i
i jkx
j
y i jk
k
T
bbbq k
T
q Accc
T
 
    −−  
=−= − =     
−−      

(8)






2.5. TỌA ĐỘ KHU VỰC ĐỐ I VỚI PHẦN TỬ TAM GIÁC
BẬC NHẤT
2.5.1. Hệ tọa độ khu vự c và hàm nội suy nhiệt độ
Hệ tọa độ khu vực hay tọa độ tự nhiên cũng được sử dụng đối với phần tử tam giác để
đơn giản quá trình giải bài toán. Xét tam giác i j k đặt trong tọ a độ x,y (Hình 2.4).















Hình 2.4. Tọa độ khu vự c của tam giác

Điểm O ở một vị trí nào đó bên trong tam giác được xác định bởi các kích thước
,,
i jk
LLL . Các kích thước này được thiết lập bằng khoả ng cách không thứ nguyên từ O đến
ba cạnh đối diện với ba đỉnh tương ứng i,j,k của tam giác. Kích thước
i
L được định nghĩa
là tỷ số giữa khoảng cách (đường thẳ ng góc) từ điểm O đến cạnh ‘j k’, tức đoạn OP và
O
R
P

i
j
k y
x
Ai
Ak
Aj

45. 45
khoảng cách từ điểm ‘i’ đến cạnh ‘j k’, tức đoạn i R. Nghĩa là:

i
OP
L
iR
= (2.50)
Các kích thước
j
L và
k
Lcũng được định nghĩa một cách tương tự .
Thấy rằng giá trị của
i
L cũng bằ ng tỷ số giữa hai diệ n tích A i đối diện với điểm ‘i’ và
diện tích toàn phần tam giác A, nghĩa là:

0,5.( ).( )
0,5.( ).( )
i
i
A OP jk OP
L
A iR jk iR
= = = (2.51)
Các kích thước
j
L và
k
L cũng xác định tương tự, tức là:
;
j k
jk
A A
LL
AA
= =
Do
i jk
AAA A++= nên
1
jik
AAA
AAA
++= (2.52)
Nghĩa là:
1
i jk
LLL++= (2.53)
Tính các diện tích ,
ij
AA và
k
A theo tọa độ các đỉnh.

2. . .
2. .
2. .
i j j j k kj k k i i i
j k k ki ik j j j j j
k i i i j ji j j k k k
A xy xy x y x y x y xy a bx cy
A xy x y x y xy xy xy a bx cy
A xy xy xy xy xy xy a bx cy
= −+ − + − =++
= −+ − +− =++
= −+ − +− =++
(2.54)
Lập các tỷ số diện tích, ta có:

( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
i
i ii i i
j
j jj j j
k
k kk k k
A
L a bx cy N
AA
A
L a bx cy N
AA
A
L a bx cy N
AA
== ++ =
== ++ =
== ++ =
(2.55)
Vậy các kích thước ,,
i jk
LLL được gọi là các toạ độ khu vự c hay toạ độ tự nhiên, cũng
chính là hàm nộ i suy nhiệt độ. Do các tọ a độ trên tính theo diện tích các tam giác nên còn
gọi là tọa độ diện tích.

46. 46
2.5.2. Hàm nội suy tọa độ
Do các toạ độ khu vự c và hàm nội suy là như nhau, nên mối quan hệ giữa hệ tọa độ
tổng thể (x,y) với tọa độ nút trong hệ toạ độ khu vực cũng được xác định theo (2.47), tức là:

ii j j kk
ii j j kk
x Lx Lx L x
y Ly Ly L y
=++
=++
(2.56)
Tóm lại, trong phầ n tử tam giác tuyến tính, tọa độ khu vực cũng là hàm nội suy. Nếu
khảo sát các phần tử bậc nhất khác sẽ thấy, các tọa độ khu vực và các hàm nộ i suy là như
nhau, bất kể các phần tử đó là một chiều, hai chiề u hay ba chiều.

2.5.3. Công thức tích phân hàm nộ i suy trong phần tử tam giác
Đối với các phần tử tam giác bậc nhất có các tọa độ
,
ij
LLvà
k
L chúng ta có thể sử
dụng công thứ c đơn giản để tích phân trên toàn tam giác là:

( )
!!!
2
2!
abc a b c
i jk i j k
AA
abc
L L L dA N N N dA A
abc
= =
+++
∫∫
(2.57)
Ở đây, a, b và c là số mũ của hàm nộ i suy, còn ‘A’ là diện tích củ a tam giác, ‘!’ là giai
thừa.






2.6. CÁC PHẦN TỬ TAM GIÁC BẬ C HAI, BẬC BA
2.6.1. Phân bố nhiệt độ trong tam giác bậc hai
Phần tử tam giác bậc hai là phần tử có nhiệt độ phụ thuộc vào hai tọa độ x, y theo hàm
bậc hai:
T = α
1
+ α
2
x + α
3
y + α
4
x
2
+α
5
y
2
+ α
6
xy (2.58)
Do có 6 hằng số trong phương trình nên để xác định chúng cần phải có 6 nút trên biên
của tam giác như trên Hình 2.5.













Hình 2.5. Phần tử tam giác bậc hai với 6 nút
5
4
3
2 1
6
y
x

47. 47
Nhiệt độ tại 6 nút này là:

22
1 1 21 31 41 51 611
22
2 1 22 32 42 52 622
22
3 1 2 3 33 4 3 53 6 33
22
4 1 24 34 44 54 644
22
5 1 2 5 35 4 5 55 6 55
6 1 2 6 36






T x y x y xy
T x y x y xy
T x y x y xy
T x y ax y xy
T x y x y xy
T xy
αα α α α α
αα α α α α
αα α α α α
αα α α α
αα α α α α
αα α α
=+++ + +
=+++ + +
=+++ + +
=+++ + +
=+++ + +
=+++
22
46 56 666
x y xyαα++
(2.59)
Khi đó nhiệt độ tại các vị trí bên trong tam giác tính theo nhiệt độ các nút có dạng:
T = N
1T1 + N2T2+ N3T3 + N4T4+ N5T5 + N6T6 (2.60)
Trong đó: N
1, N2, N3, N4, N5 và N6 là các hàm nội suy.
Để xác định các hàm nội suy này, từ (2.60) giải ra các hằng số α
1
, α
2
, α
3
, α
4
,
α
5
và α
6
,
sau đó thay chúng vào (2.59) rồi nhóm lại theo các hệ số của T
1, T2, T3, T4, T5 và T6 như
trong (2.61), từ đó rút ra được N
1, N2, N3, N4, N5 và N6. Quá trình này biến đổi tương tự
như với phần tử tam giác tuyến tính đã dẫn ra ở trên, nói chung cũng khá dài. Có một số
phương pháp xây dựng hàm nộ i suy tổng quát và khá tốt dựa trên cơ sở tọa độ khu vực.
Một trong số đó là phương pháp thiết lập hàm nội suy đối với các phầ n tử tam giác bậc ba
do Silvester (Silvester 1969) đề nghị.

2.6.2. Hàm nội suy theo công thức Silvester
Silvester đưa ra một cặp ba chỉ số α, β, γ thỏa mãn biể u thức sau
α + β + γ = n (2.61)
với n là bậc của đa thức nội suy được sử dụng.
Chúng ta có thể viết N
αβγ để ký hiệu hàm nội suy tại các nút là hàm của các tọ a độ địa
phương L
i, Lj và Lk như sau:

( , , ) ( ). ( ). ( )
i jk i j k
N LLL N L N L N L
αβγ α β γ
= (2.62)
Ở đây:

1
1
()
i
i i
nL i
NL
i
α
α =
−+
= 

∏ nếu α ≥ 1 (2.63)
()1
i
NL
α
=

nếu α = 0 (2.64)
Một cách tương tự có thể viết đối với N
β và Nγ theo số hạng
i
L và
j
L tương ứng.
Đối với phần tử tam giác bậc hai như Hình 2.6, các hàm nội suy được xác định như sau:
− Các nút ở góc: N
1 = N200; N3 = N020; N5 = N002
− Các nút ở giữa cạnh: N
2 = N110; N4 = N011; N6 = N101

48. 48














Hình 2.6. Phần tử tam giác bậc hai 6 nút

Hãy tính một vài số hạng điển hình N 200 và N110

()()()
200 2 0 0
..
i jk
N NLNL NL= (2.65)
Trong công thứ c trên: α = 2, β = 0 và γ = 0, nên từ phương trình (2.63) sẽ có:

2
2 1 1 11 21
( ) (2 1)
12
i ii
i iii
nL i nL nL
N NL L L
i
α =
    −+ −+ − +
= = = = −    
    
∏
(2.66)
Tương tự sẽ có
()
0
1
j
N NL
β
= = và ()
0
1
j
N NL
γ
= = (2.67)
Từ đó có hàm nộ i suy đối với nút 1
()()()( )
1 200 2 0 0
. . 21
i j k ii
N N NLNL NL L L= = = − (2.68)
Cũng tính tương tự với nút 3, 5

( )
( )
3 020
5 002
2 1;
21
jj
kk
NN LL
NN LL
= = −
= = −
(2.69)
Đối với nút ở giữa N
2 có n =1

() () ()
2 110 1 1 0
..
ijk
N N NL NL NL= = (2.70)
11
110 11
2 1 2 112 1 2 11
4
11
jjii
ijii
Li LLi L
N LL
ii
= =
   −+ −+ −+ −+
= = =   
   
   
∏∏

(2.71)
Vậy,
2 110
4
ij
N N LL= = (2.72)
Một cách tương tự:

4 011
6 101
4;
4
jk
ki i
N N LL
N N LL
= =
= =
(2.73)
Có thể tổng kết các hàm nội suy đối với tam giác bậc hai như sau:
− Các điểm ở góc

(2 1)
m nn
N LL= − với m = 1, 3, 5 và n = i, j, k (2.74)
0=β
0=α
0=γ
N200 N110 N020
N011
N002
N101
5
4
3
2 1
6
y
x

49. 49
− Các điểm ở giữa

246
4; 4; 4
ij ij ki
N LL N LL N L L= = = (2.75)

2.6.3. Hàm nội suy đối với phần tử tam giác bậ c ba
Bằng cách sử dụng công thức Silvester tương tự như trong tam giác bậ c hai, chúng ta
có thể chỉ ra các hàm nội suy đối với tam giác bậc ba theo Hình 2.7, như sau:















Hình 2.7. Phần tử tam giác bậc ba với 10 nút

− Các điểm ở góc

( )( )
1
3 13 2
2
m nn n
N LL L= −−
với m = 1, 4, 7 và n = i, j, k (2.76)
− Điểm 2, 3 trên cạnh i j:

2
3
9
(3 1);
2
9
(3 1)
2
ij i
ij j
N LL L
N LL L
= −
= −
(2.77)
− Điểm 5, 6 trên cạ nh j k:

5
6
9
(3 1);
2
9
(3 1)
2
jk j
jk k
N LL L
N LL L
= −
= −
(2.78)
− Điểm 8, 9 trên cạ nh k
i:

8
9
9
(3 1);
2
9
(3 1)
2
ki k
ki i
N LL L
N LL L
= −
= −
(2.79)
− Điểm 10 ở giữa tam giác:

10
27.
i jk
N LLL= (2.80)
Với các thủ tục như trên cũng có thể thiết lập được các hàm nộ i suy đối với các phần
tử bậc cao hơn.

5
4
3
2
1
6
y
x
8
9
7
10

50. 50
2.7. PHẦN TỬ HAI CHIỀU CHỮ NHẬT BẬC NHẤT
Phần tử tứ giác bậc nhất đơn giản nhất có dạng hình chữ nhật và trong trường hợp tổng
quát các cạ nh hình chữ nhật không song song vớ i các trục toạ độ, Hình 2.8.







Hình 2.8. Phần tử chữ nhật bốn nút

2.7.1. Phân bố nhiệt độ
Nhiệt độ bên trong tứ giác bậc nhất được đặc trưng bởi
T = α
1
+ α
2
x + α
3
y + α
4
xy (2.81)
Mặt khác nhiệ t độ trong tứ giác được nội suy theo nhiệt độ 4 nút
T = N
1T1 + N2T2 + N3T3 + N4T4 (2.82)
Trong đó, N
1, N 2, N 3 và N 4 là các hàm nội suy.

2.7.2. Hàm nội suy trong hệ tọa độ khu vự c
Cũng tương tự như hệ tọa độ khu vự c đối với tam giác, hệ tọa độ khu vự c đối với chữ
nhật có gốc toạ độ nằm ở giữa hình chữ nhật, các cạnh hình chữ nhật song song với hai trục
toạ độ như Hình 2.9.








Hình 2.9. Phần tử chữ nhật trong toạ độ khu vự c
Để xác định các hàm nội suy, trình tự cần thực hiện tương tự như xác định hàm nội suy
đối với tam giác bậc nhất. Khi đó các hàm nội suy N
1, N2, N3 và N4 được xác định theo
y
x
1
(x1,y1) 2
(x2,y2)
3 (x3,y3)
(x4,y4)
4

51. 51

1
2
3
4
1
( )( )
4
1
( )( )
4
1
( )( )
4
1
( )( )
4
N b xa y
ab
N b xa y
ab
N b xa y
ab
N bxay
ab
= −−
= +−
= ++
= −+
(2.83)

2.7.3. Gradient nhiệt độ
Từ (2.81), gradient nhiệt độ được viết là:

24 34
;
TT
yx
xy
αα αα
∂∂
=+=+
∂∂
(2.84)
Như vậy, gradient nhiệt độ trong phần tử thay đổi theo đường thẳng.
Do các hàm nội suy là bậc nhất đối với x và y, nên chúng được gọi là có cấu hình song
tuyến tính. Các đạo hàm có thể biểu thị như sau

312 4
123 4
12 34
1
()()()()
4
NNN NT
TTTT
xx x x x
a yT a yT a yT a yT
ab
∂∂∂ ∂∂
=+++
∂∂ ∂ ∂ ∂
= −− +− ++ −+

(2.85)
Tương tự có:

12 34
1
()()()()
4
T
b xT b xT b xT b xT
y ab
∂
= −− −+ ++ +−

∂
(2.86)
Ma trận gradient nhiệt độ là:

1
2
3
4
( )( )( ) ( )1
4 ()()()()
TT
Tay ay ay ayx
g BT
T Tabbx bx bx bx
y T
∂

−− − + −+  ∂
    = = =       
∂ −− −+ + −  
  ∂ 
(2.87)

2.7.4. Đạo hàm của hàm nội suy
Ma trận đạo hàm của hàm nộ i suy [B] là:

( )( )( ) ( )1
4 ( ) ( )( )( )
ay ay ay ay
B
abbx bx bx bx
−− − + −+
= 
−− −+ + −
(2.88)
Thí dụ 2.5. Cho hình vuông phẳ ng như hình 2.10 , các số liệu được ghi trong bảng
2.5. Xác định nhiệt độ và mật độ dòng nhiệt tại điểm A(2;1). Vẽ đường đẳng nhiệt 130
0
C.

52. 52















Hình 2.10. Phần tử hình vuông

Bảng 2.5 . Số liệu của ví dụ 2.5
Nút x(cm) y(cm) Nhiệt độ (
0
C)
1 0,0 0,0 120,0
2 6,0 0,0 160,0
3 6,0 6,0 220,0
4 0,0 6,0 80,0

Chú ý rằng gốc tọa độ ban đầu đặt tại điểm 1 (0;0) và các cạnh của hình là 2a = 2b = 6.
Để áp dụng công thứ c (2.83) ở trên ta phải chuyển sang tọa độ khu vực có gốc tại giữa hình,
khi đó tọa độ của các nút trong tọa độ khu vự c được ghi trong Bảng 2.6 như sau:
Bảng 2.6 . Các nút trong toạ độ khu vự c
Nút 1 2 3 4
x -3,0 3,0 3,0 -3,0
y -3,0 -3,0 3,0 3,0

Điểm A trong hệ cũ có toạ độ là x =2; y =1. Khi chuyể n sang hệ toạ độ khu vực, điểm
A sẽ có tọa độ là x = -1,0; y = -2,0.
Các hàm nội suy của bốn nút tại điểm A được xác định bằng cách thay thế các tọa độ
mới của điểm A là x = - 1; y = - 2 vào hệ phương trình (2.83):

1
2
3
4
1 1 4.5 20
( )( ) (3 ( 1))(3 ( 2))
4 4.3.3 36 36
1 1 2.5 10
( )( ) (3 1)(3 ( 2))
4 4.3.3 36 36
1 1 2.1 2
( )( ) (3 1)(3 2)
4 4.3.3 36 36
1 1 4.1 4
( )( ) (3 ( 1))(3 2)
4 4.3.3 36 36
N b xa y
ab
N b xa y
ab
N b xa y
ab
N bxay
ab
= − − = −− −− = =
= + − = − −− = =
= + += − −= =
= − + = −− − = =
(2.89)
Nhiệt độ tại điểm (-1; -2) sẽ là

11223344
0

20 10 2 4
(120) (160) (220) (80) 132,22
36 36 36 36
T NT NT NT NT
C
=+++
= + + +=
(2.90)

53. 53
Mật độ dòng nhiệt:

1
2
3
4
2
( )( )( ) ( )
4 ( ) ( )( )( )
120
5 5 1 1 160 -18,892
W/cm
4.3.34 2 2 4 220 2,22
80
x
x
y
y
TT
k
q Tay ay ay aykx
q T Tabbx bx bx bx
k
y T
∂
 −− − + −+    ∂
=−=    
∂ −− −+ + −   
  ∂ 


  −− 
=−=   
−−   



(2.91)
Đường đẳng nhiệt 130
0
C không chắ c là đường thẳ ng, nên cần có ít nhất 3 điểm để xác
định. Có thể nhận thấy hai cạnh 12 và 34 có chứa điểm nhiệt độ 130, gọi hai điể m đó là B
và C. Điểm thứ ba là D lấy trên trục x. Tung độ của B trên cạnh 12 là y
B
= -3, tung độ của
C trên cạnh 34 là y
C
= 3, điểm D trên trục x có tung độ y
D
= 0. C ần xác định hoành độ của
chúng.
− Hoành độ của điểm B có nhiệt độ 130
0
C trên cạnh 12 được xác đị nh bằng cách thay
thế y
B
= -3,0 vào phương trình phân bố nhiệt độ với nhiệt độ T
B
= 130
0
C.
T
B = N1T1 + N2T2 + N3T3 + N4T4
B BB1 BB2 BB3 BB4
BBB
B
1
T ( )( )T ( )( )T + ( )( )T ( )( )T
4
(3 )(3 ( 3)) 120 (3 )(3 ( 3)) 160 (3 )(3 ( 3)) 2201
130
36(3 )(3 ( 3)) 80
bx ay bx ay bx ay bx ay
ab
xxx
x
= − − ++ − + + +− +

− −−× ++ −−× ++ +−×
= 
+ − +− ×

Giải ra x
B
= -1,5.
− Hoành độ của điểm C có nhiệt độ 130
0
C trên cạnh 34 được xác định bằng cách thay
thế y
C = 3,0 vào phương trình phân bố nhiệt độ:
CCC C
1
130 (3 )(3 3) 120 (3 )(3 3) 160 (3 )(3 3) 220 (3 )(3 3) 80
36
xxx x= − −× ++ −× ++ +× +− +×


Giải ra x
C = -0,857
− Hoành độ của điểm D có nhiệt độ 130
0
C trên trục x được xác định bằng cách thay thế
y
D = 0,0 vào phương trình phân bố nhiệt độ
DDD D
1
130 (3 )(3 0) 120 (3 )(3 0) 160 (3 )(3 0) 220 (3 )(3 0) 80
36
xxx x= − −× ++ −× ++ +× +− +×


Giải ra x
D = -1,0.

54. 54
2.8. CÁC PHẦN TỬ BA CHIỀU
2.8.1. Khối tứ diện bậc nhất
Khối tứ diện bậc nhất là phần tử ba chiều đơn giản nhất, mỗi cạnh chỉ có hai nút, cả
khối tứ diện có 4 nút, Hình 2.11.

1. Phân bố nhiệt độ
Nhiệt độ biến đổi theo hàm bậc nhất của ba toạ độ
T = α
1
+ α
2
x + α
3
y + α
4
z (2.92)












Hình 2.11. Tứ diện bậc nhất
Các hệ số α
i trong (2.92) phải thỏa mãn tại các nút nên ta có:

1 1 2 1 3 1 41
2 1 2 2 3 2 42
3 1 2 3 3 3 43
4 1 2 4 3 4 44
;
;
;
T xyz
T xyz
T xyz
T xyzαα α α
αα α α
αα α α
αα α α=+++
=+++
=+++
=+++
(2.93)
Xác định hệ số α
i bằng phương pháp định thức như trướ c đây:

312 4
12 3 4
;;;
DDD D
DDDD
αα αα= = = = (2.94)
Với
1 11
2 22
3 33
4 44
1
1
6
1
1
xyz
xyz
DV
xyz
xyz



= =



(2.95)
(V là thể tích của khối tứ diện)
1
2
3
4

55. 55
1 1 11 1 11
2 2 22 2 22
12
3 3 33 3 33
4 4 44 4 44
111 1 11
222 2 22
34
333 3 33
444 4 44
1
1
;;
1
1
11
11
;
11
11
Txyz Tyz
Txyz Tyz
DD
Txyz Tyz
Txyz Tyz
xTz xyT
xTz xyT
DD
xTz xyT
xTz xyT
  
  
  
= =
  
  
    
  
  
  
= =
  
  
    
(2.96)
Nhiệt độ ở điểm (x,y,z) bất kỳ trong khối tứ diện nội suy theo nhiệt độ 4 nút T
1,T2, T3
và T
4 như sau:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 34 4 32 23 43 42 24 3 4 3 2 1
3 41 1 43 34 14 13 31 4 1 4 3 2
4 12 2 14 41 21 2 4 4 2 1 2 1 4 3
1 23 3 21 12 32
( ) ()
( ) ()
1
( ) ()
()
xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z T
xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z T
T
D x yz xyz yz yz x xz xz y xy xy z T
xyz xyz yz yz
 − +− +− + −

+ − +− +− + −

=
+ − +− +− +−

+ − +−
( )
31 13 2 3 2 1 4
()x xz xz y xy xy z T







 +− + −


(2.97)
(2.97) biểu thị trường nhiệt độ trong khố i tứ diện theo nhiệt độ và toạ độ bốn nút.

2. Hàm nội suy
Viết nhiệt độ ở dạng tổng quát theo nhiệ t độ nút và hàm nội suy:

11223344
T NT NT NT NT=+++ (2.98)
thì các hàm nội suy là:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 34 4 32 23 43 42 24 3 4 3 2
2 3 41 1 43 34 14 13 31 4 1 4 3
3 4 12 2 14 41 21 2 4 4 2 1 2 1 4
4 1 23 3 21
1
( ) () ;
1
( ) () ;
1
( ) () ;
1
()
N xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N x yz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N xyz xyz
D
= − +− +− + −

= − +− +− + −

= − +− +− +−

= − ( ) ( )
12 3 2 31 13 2 3 2 1
() ;yz yz x xz xz y xy xy z +− +− + −

(2.99)
Các hàm nội suy có dạng chung:
( )
1
6
i ii i i
N a bxcydz
V
= +++ với i = 1, 2, 3, 4 (2.100)

56. 56
Trong đó các hệ số như sau:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 3 24 42 1 3 2 4 1 42 24 1 3 4 2
2 4 31 13 2 4 3 1 2 13 31 2 4 1 3
3 1 42 24 3 1 4 2 3 24 42 3 1 2 4
4
1 11 1
a y (x z x z ); b z y y ; c (x z x z ); d x y y ;
D DD D
1 11 1
a y (x z x z ); b z y y ; c (x z x z ); d x y y ;
D DD D
1 11 1
a y (x z x z ); b z y y ; c (x z x z ); d x y y ;
D DD D
1
a
D
= − = −= − = −
= − = −= − = −
= − = −= − = −
=
( ) ( )
2 13 31 4 2 1 3 4 31 13 4 2 3 1
11 1
y (x z x z ); b z y y ; c (x z x z ); d x y y
DD D
− = −= − = −

(2.101 )

3. Đạo hàm của hàm nội suy
Từ (2.100) có các đạo hàm của hàm nội suy:

3311 2 2 4 4
3311 2 2 4 4
3311 2 2 4 4
; ; ; ;
6666
; ; ; ;
6666
; ; ;
6666
NbNb Nb Nb
xV xV xV xV
NcNc Nc Nc
yV yV yV yV
NdNd Nd Nd
zV zV zV zV
∂∂∂ ∂
= = = =
∂∂∂∂
∂∂∂ ∂
= = = =
∂∂∂∂
∂∂∂ ∂
= = = =
∂∂∂∂
(2.102)

4. Ma trận đạo hàm của hàm nội suy

1234
1234
1234
1
6
bbbb
B cccc
V
dddd


=



(2.103)

5. Hệ tọa độ thể tích đối với khối tứ diện
Toạ độ của một điểm bất kỳ bên trong khối tứ diện được xác định bởi các khoảng cách
không thứ nguyên, là các tỷ số giữa khoả ng cách từ điểm đó tới các mặt của tứ diện và
đường cao từ các đỉnh đối diện với các mặt đó, Hình 2.12. Xét điểm O nào đó trong tứ diện







Hình 2.12. Xác định khoảng cách không thứ nguyên L
1

Khoảng cách không thứ nguyên L 1:

1
1
OP
L
R
=
O
P R
1
2
3
4

57. 57
Giá trị của L 1 cũng bằng tỷ số giữa hai thể tích V 1 đối diện với điểm 1 (V O234) và thể
tích tứ diện V:

2341
1
234
(1 / 3)( )
(1 / 3)(1 ) 1
OP FV OP
L
V RF R
×
= = =
×
(2.104)
Các kích thước L
2, L3, và L4 cũng được định nghĩa một cách tương tự, tức là

324
234
; ;
VVV
LLL
VVV
= = =
(2.105)
Vì V = V
1 + V2 + V3 + V4 nên L 1+ L2+ L3 + L4 = 1 (2.106)
Các hàm hình dạ ng có quan hệ với tọa độ thể tích như sau:
N
1 = L1; N 2 = L2; N 3 = L3 và N4 = L4 (2.107)

6. Công thức tích phân thể tích
Có thể xác định theo biểu thức:

1234
!!!!
.6
( )!
abc d
V
abcd
L L L L dV V
abcd
=
+++
∫
(2.108)
Các đại lượng đặc trưng khác cũng được xác định tương tự như bài toán hai chiều tam
giác.

2.8.2. Khối tứ diện bậc hai
Khối tứ diện bậc hai là phần tử có nhiệt độ phụ thuộc vào các tọa độ theo hàm bậ c hai

2 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T x y z x y z xy yz zxαα α α α α α α α α=++++ + + + + + (2.109)
Do nhiệt độ là hàm bậc hai của tọa độ có 10 hệ số nên mỗi cạnh phải có 3 nút, cả phần
tử sẽ phải có 10 nút, Hình 2.13.














Hình 2.13. Khối tứ diện bậc hai 10 nút

Nhiệt độ trong phầ n tử được xác định theo nhiệt độ các nút thông qua các hàm nội suy:
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
T NT NT NT NT NT NT NT NT NT N T=+++++++++ (2.110)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

58. 58
Các hàm nội suy được biểu thị theo số hạng của các tọ a độ khu vực sẽ là:

( )
( )
( )
( )
111
212
313
414
5 41
6 34
7 32
8 12
9 24
10 1 3
2 –1 ;
2 –1 ;
2 –1 ;
2 –1 ;
4 ;
4;
4;
4;
4 ;
4
NLL
N LL
NLL
N LL
N LL
N LL
N LL
N LL
N LL
N LL
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(2.111)

2.8.3. Khối hình hộp bậc nhất
Phần tử khối hộp bậc nhất là hình hộp sáu mặt đơn giản nhất, Hình 2.14.















Hình 2.14. Khối hộp chữ nhật bậc nhất

Do khố i hộp có 8 nút nên nhiệ t được nội suy tuyế n tính theo 8 nút:

12 3 4 5 6 7 8
T x y z xy yz zx xyzαα α α α α α α=++++ + + + (2.112)
Có thể là:
8
1
ii
i
T NT
=
=∑ (2.113)
Ở đây, N
i =
1
8
(1 + ξξ i)(1 + ηη i)(1 + ρρ i) (2.114)
Với ζ
i, ηi và ρ i là các tọ a độ khu vự c.

2.8.4. Khối hình hộp bậc hai
Phần tử 6 mặt bậc hai có 20 nút, Hình 2.15. Các hàm nội suy có thể viết dạng sau.
Các điểm ở các góc:
N
i =
1
8
(1 + ξξ i)(1 + ηη i)(1 + ρρ i)(ξξi + ηη i + ρρ i –1) với i = 1,2,3…8 (2.115)
2 1
3 4
5 6
8 7

59. 59














Hình 2.15. Khối hộp chữ nhật bậc hai
Các điểm ở giữa các cạnh:
N
i =
1
4
(1 + ξ
2
i
)(1 + ηη i)(1 + ρρ i) với i = 9, 11, 13, 15
N
i =
1
4
(1 + η
2
)(1 + ξξ i)(1 + ρρ i) với i = 10, 12, 14, 16 (2.116)
N
i =
1
4
(1 + ρ
2
)(1 + ξξ i)(1 + ηη i) với i = 17, 18, 19, 20

2.8.5. Khối lăng trụ bậc nhất
Phần tử năm mặt được sử dụng như các hình trụ có 6 nút, Hình 2.16.








Hình 2.16. Khối lăng trụ bậc nhất
Các hàm nội suy có thể tạo ra từ tích của các hàm nộ i suy một chiều và tam giác:

11
22
33
41
52
63
1
(1 );
2
1
(1 );
2
1
(1 );
2
1
(1 );
2
1
(1 );
2
1
(1 )
2
NL
NL
NL
NL
NL
NL
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
= −
= −
= −
= −
= −
= −
(2.117)
Ở đây, ω = -1 tại mặt đáy và ω = 1 tại mặt đỉnh.
1
2
3
4
5
6
1 2
3 4
5 6
7 8
9
10
11
12
13
15
16
17
18
19
20
14

60. 60
2.9. PHẦN TỬ ĐẲNG THAM SỐ, PHẦN TỬ QUY CHIẾU
2.9.1. Các loại phần tử và hệ tọa độ
1. Phần tử cơ bản, phần t ử cong
Các phần tử đã khảo sát ở trên có cạnh thẳng gọi là các phần tử thông thường hay cơ
bản. Trong thự c tế thường gặp các bài toán có hình dạng phứ c tạp hoặc có biên giới cong.
Khi đó nế u rời rạc thành các phần tử cơ bản thì phải sử dụng một số lượng rất lớn các phần
tử có cạnh thẳng dọc theo đường biên giới cong để đạt được đặc tính hình họ c phù hợ p. Với
trường hợp bài toán ba chiều thì tổng số biến là hết sức lớn và điều rất quan trọng là phả i
giảm tổng số biến. Số phần tử cần thiết trên có thể giảm được đáng kể nếu sử dụng phầ n tử
cong. Có nhiều phương pháp tạo ra phần tử cong, trong đó phương pháp phổ biến nhất được
sử dụng là ánh xạ từ các phần tử cơ bản, Hình 2.17. Do các hàm nộ i suy của các phần tử cơ
bản đã được biết, có thể xác định trong hệ tọa độ khu vực nào đó, nên các đại lượng đặc
trưng của phần tử cong tương ứng cũng sẽ được xác định.








Hình 2.17. Ánh xạ đẳng tham số của tam giác và tứ giác

2. Phần tử thực và phần tử quy chiếu
Phần tử thực là phần tử là phần tử ban đầu được định vị trong hệ tọa độ gốc, hay tọa độ
tổng thể. Trong bài toán một chiều, hệ tọa độ gốc là (x). Trong bài toán phẳng, hệ tọa độ
gốc là (x,y). Mố i quan hệ hàm số của các đại lượng đặc trưng của phần tử (hàm nội suy,
đạo hàm,.. tọa độ) trở nên đơn giản, khi sử dụng các phần tử quy chiếu hay phầ n tử chuẩn
hóa. Phần tử quy chiếu là phần tử đơn giản, định vị trong hệ tọa độ quy chiếu (η,ζ). Toạ độ
quy chiếu còn gọ i là toạ độ không thứ nguyên chuẩn hóa. Phần tử quy chiếu được dùng để
biến đổi thành phần tử thực thông qua phép biến đổi hình học.
Để tạo ra phần tử thực từ phần tử quy chiếu, phép biến đổi hình học phải có tính thuận
nghịch (song ánh), tức là mỗi điểm trong không gian quy chiếu chỉ ứng với một điểm trong
không gian thực và ngược lại. Một phần tử quy chiếu có thể biến thành các phầ n tử thực
cùng loại thông qua các phép biến đổi khác nhau và mỗi phần tử có một phép biến đổi
riêng. Bởi vậy phần tử quy chiếu còn được gọi là phần tử “cha-mẹ”.

61. 61
3. Phần tử đẳng tham số
Phần tử đẳng tham số là những phần tử có hàm nộ i suy trường biến đồng nhất với hàm
nội suy tọa độ. Trong bài toán nhiệt, trường biến trong phần tử là nhiệ t độ, được biểu thị
bởi hàm số của các nhiệt độ nút:
{}
11 2 2
...
mm
T NT NT N T N T = + ++ =


(2.118)
N trong (2.118) được gọi là hàm nội suy trường biến.
Tọa độ trong phần tử được biểu thị bởi hàm số của các tọa độ nút. Hàm số này gọ i là
hàm nội suy tọa độ:

{}
{}
11 2 2
11 2 2
...
...
mm
mm
x Nx Nx N x N x
y Ny Ny N y N y
= + ++ =

= + ++ =

(2.119)
Nếu các hàm nội suy nhiệt độ trong (2.118 ) và các hàm nội suy tọ a độ trong (2.119) là
một, thì sự biểu thị nhiệt độ và tọa độ như trên được gọi là biể u thị đẳng tham số, và phầ n
tử như vậy gọi là phầ n tử đẳng tham số. Nói chung các phầ n tử đẳng tham số có hàm nộ i
suy nhiệt độ và hàm nộ i suy tọa độ là đa thức cùng bậc. Các phần tử đã khảo sát ở phần
trước đều là đẳng tham số, các phần tử quy chiếu trong hệ tọa độ quy chiếu cũng phả i là
đẳng tham số.

2.9.2. Phần tử một chiều bậc nhất đẳng tham số trong tọ a độ
quy chiếu
1. Toạ độ quy chiếu
Trong hệ toạ độ gốc ban đầu gọi là toạ độ tổng thể, với x là biến, hai nút của phần tử là
1 và 2 có toạ độ tương ứng là x
1 và x2. Khi chuyển sang toạ độ quy chiếu có biến là ξ, toạ
độ hai nút của phần tử là ξ
1 = -1 và ξ 2 = 1, Hình 2.18.
x = x
1 → ξ1 = -1 x = x 2 → ξ2 = 1 (2.120)



Hình 2.18. Phần tử một chiều trong tọa độ tổng thể và tọa độ quy chiếu

Để thực hiện việc chuyển hệ toạ độ x sang ξ cần sử dụng phép biến đổi tuyến tính sau

21
21
2( )xxx
xx
ξ
−+
=
−
(2.121)
Thực vậy:
Khi
1 21
11
21
2( )
1
x xx
xx
xx
ξξ
−+
= → = =−=
−

1 ξ 2


ξ
1= -1 0 ξ
2=1
1 2

x
1

x x
2

62. 62
Khi
2 21
22
21
2( )
1
x xx
xx
xx
ξξ
−+
= →= ==
−

Nếu
12
0; x xl= = thì phép biến đổi là:

2
1
x
l
ξ= −
(2.122)
Nếu
12
; x lx l=−= thì phép biến đổi là:

ξ = x (2.123)

2. Hàm nội suy trong tọa độ quy chiếu
Từ (2.121) rút ra:

( )( )
21 21
22
xx xx
x
ξ
+−
= +
(2.124)
Thay (2.124) vào (2. 9) có hàm nội suy

( )( )
()
21 2122
1
21 21 21
11
1
2 22
xx xxxx x
N
xx xxxx
ξξ
+−−
==− +=−

− −−  
(2.125)

( )( )
()
21 2111
2
21 21 21
11
1
22 2
xx xxxx x
N
xx xx xx
ξξ
+−−
= = + −=+

−− −  
(2.126)
Tính N
1 tại nút 1 có ξ 1 = -1, và nút 2 có ξ 2 = 1

() () () ()
11
12
11
1 1 1; 1 1 0
22
NN= += = −= (2.127)
Tính N
2 tại nút 1 có ξ 1 = -1, và nút 2 có ξ 2 = 1

() () () ()
22
12
11
1 1 0; 1 1 1
22
NN= −= = += (2.128)
Nghĩa là biế n thiên nhiệt độ trong phầ n tử theo hệ toạ độ mới vẫn hoàn toàn thoả mãn

11 2 2
T NT NT= + (2.129)
Tổng các hàm nội suy:
( )
12
1
11 1
2
NN ξξ+ = − ++ = (2.130)
Tọa độ của điểm trong phầ n tử được nội suy theo tọ a nút như sau
Từ ()
1
1
1
2
N ξ= − →
1 1 2 12
1 2 1 (1 )N N N NNξ=− =− −− =− +

hay:

11 2 2
NNξξ ξ= + (2.131)

63. 63
3. Đạo hàm của hàm nội suy, Jacobien của phép biến đổi
Để tính ma trận độ cứng cần phải tính đạo hàm của hàm nội suy trong tọa độ gốc. Biết
rằng ξ là hàm của x, nên: ;
dN dN dx
d dx dξξ
= đặt
dx
J
d
ξ
=
; J gọi là Jacobian củ a phép biến đổi
tọa độ.
Từ đó có
1dN dN
J
dx d
ξ
−
=
và
12
12
dN dNdT
TT
dx dx dx
= + hay:

1
12
211 1
11
22 2
TdT
TT
Tdx

=−+ =− 

(2.132)
Vậy
{} const g BT= =

(2.133)
Từ trên cho thấy nhiệt độ và các đặc điểm của đại lượng đặc trưng của phần tử trong
hệ toạ độ quy chiếu hoàn toàn không thay đổ i nên gọi phép biến đổi (2.121) là phép ánh xạ
1-1.

2.9.3. Phần tử một chiều bậc hai trong tọ a độ quy chiếu
Trong toạ độ quy chiếu biến số là ξ, gốc toạ độ được chọn ở nút giữa, hai nút đầu và
cuối phần tử lấy giá trị là -1 và 1.




Hình 2.19. Toạ độ tổng thể và toạ độ quy chiếu đối với phần tử bậc hai

Phép biến đổi tuyến tính chuyể n hệ toạ độ x sang ξ như sau:

a bxξ= + (2.134)

11 1
22 2
33 3
1
0
1
x x a bx
x x a bx
x x a bx
ξ
ξ
ξ
= →=+ =−
= →=+ =
= →=+ =
(2.135)
Với
x2 – x1 = x3 – x2 giải (2.135) được:

2
12 21
1
;
x
ab
xx xx
= =
−−
(2.136)
Vậy phép biến đổi tuyến tính là

2
21
xx
xx
ξ
−
=
−
(2.137)
1 2 3

ξ
1 = -1
ξ
2 = 0 ξ
3 = 1
1 2 3
x
1 x
2 x
3
l

64. 64
Nếu trong toạ độ tổng thể , các nút có toạ độ là x 1 = -1; x2 = 0; x3 = 1, thì chúng ta sẽ có
a = 0; b = 1, phép biến đổi trở nên rất đơn giản
xξ= (2.138)

1. Phân bố nhiệt độ
Nhiệt độ trong phầ n tử phụ thuộc bậc hai trong hệ toạ độ ξ:

2
12 3
Tα αξ αξ=++
(2.139)
Nhiệt độ tại 3 nút:

2
1 1 21 31 1 2 3
2
2 1 22 32 1
2
3 12131 123
T
T
T
α αξ αξ α α α
α αξ αξ α
ααξαξ ααα
=+ + =−+
=++ =
=+ + =++

Từ trên giải ra:

31 1 2 3
12 2 3
2
; ;
22
TT T TT
T
αα α
− −+
= = =
(2.140)
Thay vào (2.139), sắp xếp lại được:

()
( )
()
2
12 3
11
1
22
T TT Tξξ ξξ
ξ −+
 = +− +
 
 
(2.141)

2. Hàm nội suy
Từ (2.141) suy ra các hàm nội suy là:

()
( )
()
1
2
2
3
1
;
2
1;
1
2
N
N
N
ξξ
ξ
ξξ
−
=
= −
+
=
(2.142)
Tổng các hàm nội suy:
( )
22
2
123
11
22
NNN
ξξ ξξ
ξ
−+
+ + = +− + = (2.143)
tại mọi vị trí trong phần tử.
Tính hàm nội suy tạ i các nút:
()
( )
()
()
()
()
() ( ) () ( ) () ( )
()
( )
()
()
()
()
1 11
1 23
2 22
2 22
1 23
3 33
1 23
1 1 ( 1) 0 1 0 1 1 (1)
1; 0; 0;
2 22
1 ( 1) 0; 1 0 1; 1 1 0;
11(1) 010 111
0; 0; 1
2 22
N NN
N NN
N NN
    −− − − −
    = = = = = =
    
    
= −− = = − = = − =
    −+ − + +
    = = = = = =
    
    

(2.144 )

65. 65
Có thể lập bảng giá trị các hàm nội suy như sau:
Bảng 2.7 . Hàm nội suy tại các nút củ a phần tử trong tọa độ quy chiếu
Nút 1 Nút 2 Nút 3
N
1 1 0 0
N
2 0 1 0
N
3 0 0 1


3. Gradient nhiệt độ

()
312
123 1 2 311
2
22
dNdN dNdT
TTT T T T
dd d d
ξ ξξ
ξξ ξ ξ
 
= + + = − +− + +  
 
(2.145)
Viết dạng ma trận:
()
1
2
3
11
2
22
T
dT
T
d
T
ξ ξξ
ξ

  
=−− +  
  

(2.146)
Hay:
{}g BT=

(2.147)

4. Đạo hàm của hàm nội suy
Từ (2.147) có đạo hàm của hàm nộ i suy [B] là

()
11
2
22
B
ξ ξξ
 
=−− + 
 
(2.148)
Đạo hàm của hàm nội suy phụ thuộc bậc nhất vào toạ độ.
Vậy, trong toạ độ quy chiếu, đặc điểm của các đại lượng đặc trưng của phần tử không
thay đổ i.

5. Jacobien của phép biế n đổi toạ độ
Để tính ma trận độ cứng cần xác đị nh đạo hàm của hàm nội suy trong toạ độ gốc. Khi
đã chuyển sang hệ tọa độ quy chiếu, do x = x(ξ) nên đạo hàm của hàm nội suy có thể tính
theo ξ theo nguyên tắc đạo hàm của hàm hợp:

ii
NN x
xξξ
∂∂ ∂
=
∂ ∂∂
(2.149)
Đại lượng
x
ξ
∂
∂
đã được gọi là Jacobian của phép biến đổi tọa độ, ký hiệu bằng [J]. Do
trong phầ n tử một chiều bậc hai
ii j j kk
x Nx Nx N x=++ nên [J] được tính theo

66. 66

jik
ijk
dNdN dNdx
J xx x
dd d d
ξξ ξ ξ
==++

(2.150)
Viết lại (2.150) là:
ii
i
NN
J
xξ
∂∂
=
∂∂

. Dẫn đến

1ii
i
NN
J
x
ξ
−
∂∂
=
∂∂
(2.151)
Thí dụ 2.6. Tìm các đạ o hàm của hàm nội suy đối với một phần tử một chiều bậc hai
trong tọa độ quy chiếu, khi trong tọa độ gốc các nút có toạ độ 2; 4
ij
xx= = và 6
k
x=
Tính Jacobien:
() ()
21
11 1
22
jik
ijk i j k
dNdN dNdx d d d
J xx x x x x
dd d d d d d
ξ
ξξ ξ
ξξ ξ ξ ξ ξ ξ
 
== + + = −+− + +
  
 


11
2(2)4 6 28 8 2
22
ξ ξ ξ ξξ
  
= − + +− + + = + − =  
  

Như vậy,
11
2
J
−
=


Đạo hàm của hàm nộ i suy đối với một phần tử một chiều bậc hai khi đó là:
() ()
1
11
2 42
1
2
2
11
2 42
i
i
jj
k
k
dNdN
ddx
dN dN
J
dx d
dN dN
dx d
ξ
ξξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
−

    
−+ −+    
    
   
= =−=−   
   
  
   
++  
   
    
  


2.9.4. Phần tử hai chiều
Đối với các trường hợp hai chiề u, chúng ta có thể biểu thị các tọa độ x và y là hàm của
ξ và η, nghĩa là:
(,) (,)x x h và y y hξξ= = (2.152)
Có thể biểu thị các đạo hàm trong tọa độ Cartesian để biễu diễn ma trận độ cứng,
chúng ta biến đổi các đạo hàm của hàm hình dạng khi sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp
như sau:

()
()
,
,
i ii
i ii
N NN xy
xy
xy
N NN xy
xy
xy
ξ ξξ
η ηη
∂ ∂∂ ∂∂
= +
∂ ∂∂ ∂∂
∂ ∂∂ ∂∂
= +
∂ ∂∂ ∂∂
(2.153)

67. 67
(2.153) có thể viết gộp dạng ma trận:

i i
ii
N xy N
x
NN xy
y
ξ ξξ
ηηη
∂  ∂∂ ∂
  
∂ ∂∂  ∂
= 
∂∂ ∂∂
 

  ∂∂∂∂ 
(2.154)
Với
xy
J
xy
ξξ
ηη
∂∂

∂∂
=
∂∂

∂∂
là Jacobien củ a phép biến đổi (2.155)
Thì (2.154) là

i i
ii
N N
x
J
NN
y
ξ
η
∂ ∂
 
∂  ∂
= 
∂∂
 
  ∂∂ 
(2.156)
Từ đó suy ra

1
ii
i i
NN
x
J
N N
y
ξ
η−
∂∂

∂ ∂
= 
∂ ∂
 
 ∂ ∂ 
(2.157)
Với [J]
-1
là nghịch đảo của ma trận Jacobian được xác định theo

1 1
det
yy
J
xxJηξ
ηξ−
∂∂
−

∂∂
=

∂∂
−
∂∂
(2.158)
Các đạo hàm này phả i tính đượ c bằng giá trị số tại mỗi điểm tích phân.

2.9.5. Phần tử tam giác bậ c nhất trong tọa độ quy chiếu
Chuyể n đổi hệ tọa độ diện tích đối với phần tử tam giác bậc nhất (biểu thị bởi
,
ij
LL và
k
L) sang hệ tọa độ quy chiếu (ξ,η) không thứ nguyên như sau. Chuyể n gốc toạ độ mới
(ξ,η) về điểm i, các điể m j và k đặt trên các trục ξ và η có trị số là 1, Hình 2.20.





Hình 2.20. Phép biế n đổi đẳng tham số của phần tử tam giác bậc nhất từ tọa độ
tổng thể (tọa độ gốc x,y) sang tọa độ quy chiếu
x
i j
k
y
η
ξ
η
ξ
i
j
k
ξ=1
η =1

68. 68
Khi đó ta có toạ độ các nút i, j và k của tam giác là:
Điểm 1: 0; 0
ii
ξη= =
Điểm 2: 1; 0
jj
ξη= = (2.159)
Điểm 3: 0; 1
kk
ξη= =

1. Hàm nội suy
Khi chuyển sang toạ độ mới, thay x = ξ và y = η vào các số hạng trong các hàm nội suy
trong toạ độ tổng thể đã có trong phương trình (2.45 ). Xác định các hàm nội suy như sau:
Diện tích tam giác:
( )( )( )2 ( )( )( )
(0.0 1.0) (0.0 0.1) (1.1 0.0) 1
i j ji ki ik jk k j i j ji ki ik jk k j
A xy xy x y xy xy x y ςη ςη ςη ςη ςη ςη= −+ −+ − =−+−+ −
= −+ −+− =
(2.160 )
Các hàm nội suy theo biến ξ, η trong tọa độ quy chiếu:
( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
jk k j j k k j
k i ik k i i k
1
- - - 1.1 0.0 (0 1) (0 1) 1
2
1
- - - (0.0 0.1) (1 0) (0 0)
2
1
(0.0 1.0) (0 0) (1 0)
2
i
j
k i j ji i j j i
N
A
N
A
N
A ξη ξη η η ξ ξ ξ η ξ η ξ η
ξ η ξη η η ξ ξ ξ η ξ η ξ
ξη ξη η η ξ ξ ξ η ξ η = + + = − +− +− =−−

 = + + = − +− + − =

 = − + − + − = − + − +−

η=
(2.161)
Vậy các hàm nội suy đối với tam giác bậ c nhất ba nút trong hệ toạ độ quy chiếu (ζ; η)
trở nên rất đơn giản:

11
22
33
1NL
NL
NL
ξη
ξ
η
= =−−
= =
= =
với: 0 ≤ ξ ≤ 1; 0 ≤ η ≤ 1 (2.162)

2. Đạo hàm của hàm nội suy
Ta cần tính đạo hàm của hàm nội suy trong tọa độ tổng thể để xác định ma trận độ
cứng phương trình đặ c trưng. Trong tam giác bậc nhất, tọa độ điểm bất kỳ trong tam giác
được xác định bởi tọa độ các nút và hàm nội suy tọa độ, theo (2.47):

11 2 2 3 3
11 2 2 3 3
x Nx Nx Nx
y Ny Ny Ny
=++
=++
(2.163)
Ở đây x
1, x2, x3, y1, y2 và y3 là các tọa độ tổng thể của ba nút phần tử tam giác. Trong
tam giác bậc nhất hàm nội suy tọa độ và hàm nội suy nhiệt độ là như nhau. Thay thế các
hàm nội suy bằng tọa độ diện tích, với lưu ý rằng L
3 = 1 - L 1 – L2, sẽ được tọa độ gốc tính
theo tọa độ diện tích

( ) ( )
( ) ( )
1 2 11 2 2 3 1 2
1 2 11 2 2 3 1 2
, 1– –
, 1– –
x L L xL xL x L L
y L L yL yL y L L
=++
=++
(2.164)

69. 69
− Ma trận Jacobian: [J] có các thành phần là đạo hàm của x và y theo L 1 và L2 trong
(2.164)

( )( )
( )( )
13 1311
23 23
22
xy
xx yyLL
J
xy
xx yy
LL
∂∂

−−∂∂

= = 
∂∂
 −−
∂∂

(2.165)
− Định trị của ma trận Jacobian là:
( )( )( )( )
1 3 2 3 2 313
det – – – – 2J xxyy xxyy A=−=

(2.166)
(A là diện tích củ a phần tử tam giác)
− Nghịch đảo của ma trận Jacobian là

( )( )
( )( )
( )( )
( )( )1
2 3 13 2 3 13
2 3 13 2 3 1311
det[ ] 2
yy yy yy yy
J
JA xx xx xx xx−
 − −− − −−
  = = =

−− − −− − 
 
(2.167)
Cuối cùng các đạo hàm của hàm nội suy trong tọ a độ tổng thể là

1
1
1
1
1 1
2
NN
Lx
J
N N
y L
−
∂∂

∂ ∂
= 
∂ ∂
 
 ∂ ∂ 
(2.168)
Các khảo sát kỹ hơn về tam giác có định hướng khác nhau trong tọa độ quy chiếu sẽ
được xét trong Chương 5, Bài tập 5.10.

2.9.6. Phần tử tam giác bậ c hai trong tọa độ quy chiếu
Tam giác bậc hai có sáu nút, Hình 2.21, cũng tương tự như trên, các hàm nội suy tại
các góc là












Hình 2.21. Tam giác bậc hai trong toạ độ quy chiếu

N
1 = L
1(2L
1 – 1) = [2(1 - ξ - η) –1](1 - ξ - η)
N
3 = L
2(2L
2 – 1) = ξ (2ξ - 1)
N
5 = L
3(2L
3 – 1) = η(2η - 1) (2.169)

1 2 3 ζ
4
5
6
η

70. 70
Đối với các nút giữa cạnh:

N
2 = 4L
1L
2 = 4ξ (1 - ξ- η)
N
4 = 4L
2L
3 = 4ξη
N
6 = 4L
3L
1 = 4η(1 - ξ - η) (2.170)

2.9.7. Phần tử chữ nhật trong tọ a độ quy chiếu
Phần tử chữ nhật bậc nhất trong tọa độ khu vực, Hình 2.22, được chuyển về tọa độ quy
chiếu không thứ nguyên như sau:








Hình 2.22. Phần tử chữ nhật trong toạ độ khu vự c
Bằng cách đổi sang biến mới ξ và η với

x
a
ξ=
và
x
b
η=
(2.171)
Ta sẽ chuyển phần tử từ toạ độ khu vự c sang toạ độ quy chiếu không thứ nguyên ξ, η,
Hình 2.23, có:
-1 ≤ ξ ≤ 1 và -1 ≤ η ≤ 1 (2.172)






Hình 2.23. Phần tử chữ nhật trong hệ toạ độ quy chiếu

Hàm nội suy cũng có thể nhận được khi sử dụng công thức nội suy Lagrange như sau:

1
2
3
4
( )( ) 1 1
( )( ) (1 )(1 )
()()4 4
( ( ))( ) 1 1
( )( ) (1 )(1 )
( ( ))( ) 4 4
( ( ))( ( )) 1 1
( )( ) (1 )(1 )
( )( ( )) 4 4
( )( ( ))
( )( (
x by a
N b xa y
bb aa ab
x b ya
N b xa y
b b a a ab
x by a
N b xa y
b b a a ab
x by a
N
bb a
ξη
ξη
ξη
−−
= = − −= − −
−− −−
−− −
= = + −= + −
−− − −
−− −−
= = + += + +
−− −−−
− −−
=
−− −−
11
( )( ) (1 )(1 )
)) 4 4
bxay
a ab
ξη= − += − +
−
(2.173)

(-1; 1) 4 3 (1; 1)
(-1;-1) 1 2 (1;-1)
η
ξ O

71. 71
Tổng các hàm nội suy:
()( )()( )
4
1
1
111 111 1
4
i
i
N ηξξ ηξξ
=
= − − ++ + + + +− =
∑ (2.174)
Cũng giống như các phần tử một chiều và phần tử tam giác, tổng các hàm nội suy luôn
bằng 1 tại mọi vị trí bên trong phần tử chữ nhật.
Nói chung hàm nội suy có thể viết dạng tổng quát sau:
(1 )(1 )
i ii
N ξξ ηη=−− (2.175)
Ở đây, (ξ
i,ηi) là các tọ a độ của nút ‘i’, chúng có hai giá trị -1 hoặc 1 tại các nút: nút 1
(-1;-1); nút 2 (1;-1); nút 3 (1;1) và nút 4 (-1;1).
Ma trận đạo hàm hàm nộ i suy [B] trong toạ độ khu vực nhận được khi thay các biến
mới vào (2.88).

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )1
4(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
B
ηηη η
ξ ξξξ
−− − + −+
=
−− −+ + −
(2.176)
2.9.8. Phần tử tứ giác bậ c hai trong tọ a độ quy chiếu
Phần tử tứ giác cong có thể dùng phần tử đẳng tham số tám nút biể u thị như trên Hình
2.24.






Hình 2.24. Phần tử đẳng tham số tám nút trong hệ tọa độ quy chiếu

Giá trị của nhiệt độ T tại mỗi điểm bên trong hình được xác định theo các hàm nội suy
và nhiệt độ các nút:

8
1
ii
i
T NT
=
=∑ (2.177)
Các giá trị tọa độ x và y tại mỗi điểm bên trong phần tử được xác đị nh theo các hàm
nội suy và toạ độ các nút:

8
1
8
1
(,) (,). ;
(,) (,).
ii
i
ii
i
x Nx
y Nyξη ξη
ξη ξη
=
=
=
=∑
∑
(2.178)

72. 72
Ở đây xi và yi là tọa độ của nút ‘i’, và các hàm nội suy N i tại các nút là

()()( )
( ) ()
()()( )
() ( )
()()( )
( ) ()
()()( )
() ( )
1
2
2
3
2
4
5
2
6
7
2
8
1
111 ;
4
1
1 1;
2
1
1 1 1;
4
1
11;
2
1
1 1 1;
4
1
1 1;
2
1
1 1 1;
2
1
11
2
N
N
N
N
N
N
N
N
ξ η ξη
ξη
ξ ηξη
ξη
ξ ηξη
ξη
ξ η ξη
ξη=−−−++
=−−
= + − −−
=+−
= + + +−
=−+
= − + −+ −
=−−
(2.179)
Các biến ξ và η là các tọ a độ cong và như vậ y hướng của chúng sẽ thay đổi theo vị trí.
Các nút củ a phần tử được nhập vào theo trình tự ngược chiều kim đồng hồ bắt đầu từ một
góc nào đó. Hướng của ξ và η được xác định Hình 2.24 là ξ dương theo chiều từ nút 1 đến
3 và η dương theo chiều từ nút 3 đến 5.
Thí dụ 2.7. Xác định các đạo hàm riêng của hàm nộ i suy trong phần tử tứ giác tại ξ =
1/2, η = 1/2, trong hai trường hợp nhiệt độ xấp xỉ bởi (a) hàm nội suy bậc nhất và (b) đa
thức nội suy bậc hai.
a) Nội suy bậc nhất
Các đạo hàm của các hàm nộ i suy trong tọa độ cục bộ là

11
22
33
4411
;
44
11
;
44
11
;
44
11
;
44
NN
NN
NN
NNηξ
ξη
ηξ
ξη
ηξ
ξη
ηξ
ξη∂∂ −−
=−= −
∂∂
∂∂ −+
= = −
∂∂
∂∂ ++
= =
∂∂
∂∂ +−
=−=
∂∂

(2.180)
Ma trận Jacobian và nghịch đảo được tính theo (2.165) và (2.167) như sau

44
11
44
11
25 41
85 14
ii
ii
ii
ii
ii
ii
NN
xy
J
NN
xy
ζζ
ηη
= =
= =
∂∂

∂∂

= =
∂∂ 

∂∂
∑∑
∑∑
(2.181)

73. 73
Định trị của ma trận Jacobian là:

()()
()()
()()
()()
25 14 5 4 330
det
6488 88
J= −=

(2.182)
Sử dụng (2.268 ):

1 14 48
3305 25
J
− −
= 
−
(2.183)
Thay thế ξ =1/2 và η= 1/2 vào (2.274)

11
8
N
ξ
∂
= −
∂
và
11
8
N
η
∂
= −
∂
(2.184)
Thay vào (2.158):

1
1
101
33020
N
x
N
y
∂

−∂
= 
∂ −
∂
(2.185)
Bằng cách tương tự, tất cả các đạ o hàm của các hàm nội suy khác có thể xác định
được.
b) Biến đổi bậc hai
Hàm nội suy tại nút 1 là:

1
1
(1 )(1 )( 1)
4
N
ζ ηζ η=− − − ++
(2.186)
Đạo hàm N
1 theo tọa độ mới:

1
1
1
(1 )(1 )( 1)
4
1 11 1 3
(1 ) ( 1) (1 ) ( 2 )
4 4 2 2 16
1
(1 )(1 )( 1)
4
1 11 1 3
(1 ) ( 1) (1 ) ( 2 )
4 4 2 2 16
N
N
ξ ηξ η
ξξ
η ξη ξ
ξ ηξ η
ηη
ξ ξη η
∂ ∂
= − − − ++

∂∂ 
=− − −+++− =− −+ =

∂ ∂
= − − − ++

∂∂ 
=− − −+++− =− −+ =

(2.187)
Đạo hàm đối với tọa độ tổng thể là:

1
1
301
66060
N
x
N
y
∂

∂
=  
∂

∂
(2.188)
Các đạo hàm khác có thể được thiết lập theo cách tương tự.

74. 74
Tóm lại, các phần tử đẳng tham số rất hữu ích vì chúng có thể được sử dụng để mô
hình hóa các vật rắn có hình dạng không đều và phầ n tử có thể quy về hình lập phương đơn
vị.


2.10. TÓM TẮT CHƯƠNG
Chương 2 đã đề cập đến các loại phần tử, các đại lượng đặc trưng của phần tử. Đây là
các khái niệ m cơ bản quan trọng nhấ t của phương pháp phần tử hữu hạn. Có thể coi các
khái niệm này như nhữ ng “viên gạch“ để xây lên một ngôi nhà.. Vấn đề tiếp theo là xây
ngôi nhà đó như thế nào, tùy thuộ c lĩnh vực áp dụng, mà cần đến các nguyên lý toán học
tương ứng. Trong lĩnh vự c truyền nhiệt, lý thuyết biến phân, phương pháp trọng số
Galerkin là hai phương pháp quan trọng nhất sẽ được xem xét trong chương tiếp theo để
xây dựng phương trình đặc trưng của truyền nhiệt.

75. 75

BÀI TẬ P CHƯƠNG 2

2.1. Hai nút i,j của phần tử một chiều bậc nhất tại tọa độ 8 cm và 14 cm, có nhiệt độ
tương ứng là 100
0
C và 40
0
C. Xác định nhiệt độ tại các vị trí A(6cm), B(10cm), C(12cm).
Chứng tỏ tổng hàm nội suy tại mối điểm A, B, C đều bằng 1.
2.2. Hai nút i j tại đầu của một thanh thẳng dài 10 cm có nhiệt độ là 20
0
C và 40
0
C. Biểu
thị biến thiên của hàm nội suy và đạo hàm của chúng tại hai điể m i và j. Xác định nhiệt độ
tại các vị trí A(4cm), B(8cm).
2.3. Trên một thanh thẳng tại 3 vị trí: 10 cm, 15 cm và 20 cm có nhiệt độ tương ứng là
120
0
C, 80
0
C và 60
0
C. Xác định nhiệt độ tại vị trí A(12 cm), B(18 cm) bằng phần tử một
chiều bậc hai. Chứng tỏ rằng tổng hàm nội suy tại A và tạ i B luôn bằng 1.
2.4. Chứng minh công thứ c tích phân sau trong phần tử một chiều bậc nhất

( )
!!
1!
ab a b
ij i j
AA abl
L L dl N N dl
ab
= =
++
∫∫

Ở đây a, b và c là số mũ của hàm nội suy, còn ‘l’ là kích thước phần tử,’!’ là giai thừa.
2.5. Tính các tích phân củ a các hàm nội suy và các đạo hàm của chúng trong phần tử
một chiều bậc nhất:

23
) ; ) ; ) ; ) ; )
ji
i i i ij
ll l l l
dNdN
a N dx b N dx c dx d N dx e N N dx
dx dx
∫∫∫ ∫∫

2.6. Tính các tích phân củ a phần tử bậc hai một chiều sau (chú ý chuyển N
i, Nj và Nk
sang tọa độ khu vự c sau đó tinh tích phân).

) ; ) ; ) ; )
i j k ij
ll l l
a N dl b N dl c N dl d N N dl∫∫∫∫

2.7. Ba nút của một tam giác có tọa độ là x
i = 1 cm; yi = 2 cm; x j = 4 cm, y j = 6; xk = 5,
y
k = 8; Nhiệt độ tại 3 nút tương ứ ng là T i = 160
0
C; Tj = 220
0
C; Tk = 180
0
C.
Tính nhiệt độ tại x = 3; y = 5 cm. Mật độ dòng nhiệt theo hướng x và y nế u k = 0,5
W/m
0
C.
2.8. Ba nút của một tam giác có tọa độ là x
i = 1 cm; yi = 4 cm; x j = 8 cm, y j = 1; xk = 6,
y
k = 7. Nhiệt độ tại 3 nút tương ứng là T i = 100
0
C; Tj = 180
0
C; Tk = 300
0
C. Tính nhiệt độ
tại A (x = 5 cm; y = 3 cm), B (x = 6 cm; y = 5 cm). Ch ứng tỏ rằng tổng hàm nộ i suy tại A
và B luôn bằng 1.

76. 76
2.9. Ba nút của một tam giác i (2;1) cm, j (8;3) cm, k (1;6) cm có nhiệt độ tương ứng là
T
i = 200
0
C; Tj = 120
0
C; Tk = 80
0
C. Tính nhiệt độ tại M (5;3) cm, N (3;5) cm L (7;3) cm.
2.10. Ba nút của một tam giác i (1;1) cm, j (10;1) cm, k (1;10) cm có nhiệt độ tương ứng
là T
i = 10
0
C; Tj = 50
0
C; Tk = 100
0
C. Tính nhiệt độ tại A (1;3) cm, N (1;5) cm L (1;7) cm.
2.11. Cho phầ n tử chữ nhật ABCD, có tọa độ (cm) và nhiệt độ các nút là A(1;1), B(9;1),
C(9;5), D(1;5); T
A = 160
0
C, TB = 60
0
C, TC = 80
0
C, TD = 100
0
C. Xác định nhiệt độ tại các
điểm giữa các cạnh và tâm hình chữ nhật.
2.12. Cho phần tử chữ nhật MNPQ, có tọa độ và nhiệt độ các nút là M(3;1), N(11;1),
P(11;7), Q(3;7); T
M = 80
0
C, TN = 40
0
C, TP = 100
0
C, TQ = 140
0
C. Xác định nhiệt độ tại các
điểm giữa các cạnh và tâm hình chữ nhật.

77. 77

Chương 3
THIẾ T LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶ C TRƯNG
CỦA PHẦN TỬ HỮU HẠ N

3.1. PHƯƠNG PHÁP THI ẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Đ ẶC
TRƯNG CỦA PHẦN TỬ
3.1.1. Khái niệm
Thiết lập phương trình đặc trưng là xác đị nh mối quan hệ giữa ẩn số nhiệt độ tại các
nút vớ i các phụ tải nhiệt tương ứng ở dạng phương trình ma trận. Trong bài toán ổn định
phương trình ma trận đặc trưng có dạng sau:

{}{}KT f =

(3.1)
Ở đây [K] là ma trận độ cứng phần tử biểu thị khả năng dẫ n nhiệt còn gọi là ma trận
dẫn nhiệt:
{}T

là véc tơ nhiệt độ chưa biết tại các nút;
{}f là véc tơ phụ tải nhiệt.
Để thiết lập phương trình đặc trưng phải xuất phát từ phương trình vi phân chủ đạo của
bài toán. Chương 1 nêu về các kết quả của phương pháp giải tích đã cho thấy rằng, tuy cùng
xuất phát từ phương trình vi phân dẫn nhiệt, nhưng tùy theo điều kiện của bài toán cụ thể
mà dẫn tới các phương trình vi phân chủ đạo rất khác nhau và nói chung là khá đa dạng. Để
áp dụng phân tích phầ n tử hữu hạn đối với từng bài toán sẽ phải thiết lập phương trình đặ c
trưng đối với các phương trình vi phân chủ đạo khác nhau đó. Điều đó có nghĩa là việc nắm
vững bản chất của phương pháp thiết lập phương trình đặc trưng là hế t sức cần thiết. Vì lý
do đó nên trong chương này chúng ta sẽ khảo sát chi tiết nội dung của một số phương pháp
thiết lập phương trình đặ c trưng, đặc biệt là hai phương pháp biến phân và phương pháp
Galerkin. Đây là hai phương pháp quan trọng nhất trong tính nhiệt vì chúng cho nghiêm
xấp xỉ như nhau và chính xác nhất.
Trong bài toán truyền nhiệt, nghiệm xấp xỉ cần tìm là các nhiệt độ nút {T}. Có một số
phương pháp có thể sử dụng để xác đị nh nghiệm xấp xỉ đối với bài toán đã cho. Ở đây
chúng ta điểm qua ba phương pháp:
1. Phương pháp Ritz (tích phân cân bằng nhiệt);

78. 78
2. Phương pháp Rayleigh Ritz (biến phân);
3. Phương pháp số dư trọng số.
Để thấy rõ đặc điểm của các phương pháp trên, chúng ta khảo sát lại bài toán dẫn nhiệt
ổn định qua một thanh thẳng như trên Hình 3.1.
Thanh thẳng có chiều dài L, thiết diện không đổ i diện tích A, vật liệu thanh có hệ số
dẫn nhiệt không đổ i là k. Gốc thanh có nhiệt độ T
b không đổi, mặt xung quanh thanh tiếp
xúc vớ i môi trường có nhiệt độ T
a, hệ số toả nhiệt tại bề mặt ngoài là h. Để đơn giản, coi
diện tích mặt cắt ngang A cuả thanh nhỏ hơn nhiều so với diện tích xung quanh, khi đó bỏ
qua tỏa nhiệt tại đỉnh thanh, tức coi đỉnh thanh là cách nhiệ t.









Hình 3.1. Dẫn nhiệt một chiều qua thanh

Nhiệt từ gốc thanh, dẫn qua thanh rồi toả nhiệt ra môi trường qua bề mặt xung quanh.
Quá trình dẫ n nhiệt là ổn định và chỉ theo một hướng là chiều dài thanh. Đặt gốc toạ độ x =
0 tại đỉnh thanh, tại vị trí x, cân bằng nhiệt trên thể tích vi phân dV = Adx như sau
- Tại (x+dx), lượng nhiệt vào phân tố thể tích:

1
dT
dQ kA
dx
= −
- Tại (x), lượng nhiệt ra khỏi phân tố thể tích:

2
2 2
d dT dT d T
dQ kA T dx kA kA dx
dx dx dx dx

=− + =−−


- Lượng nhiệt toả ra ngoài môi trường qua diện tích xung quanh có chu vi P, dài dx là:
()
ha
dQ hPdx T T= −
Do cân bằng, lượng nhiệt vào phân tố bằng tổng hai lượng đi ra

12 h
dQ dQ dQ= +

2
2
()
a
dT dT d T
kA kA kA dx hPdx T T
dx dx dx
−=−− + −
(3.2)
x x +dx
dx
x = 0 x =L
T
b
h, Ta
cách nhiệt
gốc thanh
đỉnh thanh
L
dQ1 dQ2
dQh

79. 79
Sau khi sắp xếp lại, có phương trình vi phân:
( )
2
2
0
a
d T hP
TT
kAdx
− −= (3.3)
(3.3) gọi là phương trình vi phân chủ đạo, với các điều kiện biên giới :
Tại x = 0 (đỉnh thanh), 0
dT
dx
= và tại x = L (gốc thanh), T = T b
Đặt (T – T
a) = θ ;
x
L
ξ=;
2hP
m
kA
= và m
2
L
2
= µ
2
khi đó phương trình chủ đạo sẽ gọn
lại:

2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−=
(3.4)
với các điều kiện biên giới:
a) tại ξ = 0, 0
d
d
θ
ξ
= (đỉnh thanh) và
b) tại ξ = 1, θ = θ
b (gốc thanh) (3.5)

Bằng phương pháp giải tích, bài toán đã có nghiệm chính xác là:

( ) cosh ( )
cosh
b
mL x
mL
θξ
θ
−
= (3.6)
Giả sử chưa biết dạng nghiệm của bài toán, chúng ta phải sử dụng nghiệm gần đúng
nào đó để biểu thị nhiệt độ trên thanh. Gọi dạng nghiệm gần đúng là θ

, nghiệm đó phả i
thỏa mãn các điều kiện biên giới (3.5).
Có một số phương pháp xấp xỉ để cho nghiệm gần đúng có thể sử dụng, mỗi phương
pháp có mức độ chính xác riêng khác nhau. Để đánh giá sự chính xác củ a từng phương
pháp, chúng ta chọ n dạng gần đúng θ

nào đó thỏa mãn các điề u kiện biên giới (3.5), rồi so
sánh nghiệm chính xác θ với θ

tính theo từng phương pháp khác nhau.
Có thể chọn dạng xấp xỉ θ

là hàm bậ c hai củ a ξ là:

2()
b
AB
θξ
ξ
θ
= +

(3.7)
Chúng ta cần xác định A và B để thoả mãn điều kiện biên (3.5) ở trên, cụ thể:
Từ (a) 0; 0
θ
ξ
ξ
∂
= =
∂

, thì 2 00
b
B
θ
θ
ξ
∂
= ×=
∂

với mọi B
Từ (b) 1; 1
b
θ
ξ
θ
= =

, tức là 1
b
AB
θ
θ
= = +

, vậy A = 1 – B ; hay dạng nghiệm là

80. 80

2()
1 (1 )
b
B
θξ
ξ
θ
=−−

(3.8)
Ở đây, ‘B’ là thông số chưa biết, sẽ được xác định theo từng phương pháp.
Để cụ thể, chúng ta xét đối với thanh thép không g ỉ có thiế t diện ngang là hình tròn
đường kính 2,5 cm, dài 20 cm, hệ số dẫn nhiệt k = 45 W/m
0
C, đặt trong môi trường đối lưu
với hệ số tỏa nhiệt h = 35 W/m
2 0
C ; thì

2
2
35 ( 0,025)
124,4444
0,025
45
4
hP
m
kA
π
π
××
= = =
×
×


và µ
2
= m
2
L
2
= 124,4444× 0,2
2
= 4,9778

3.1.2. Phương pháp Rizt
Phương pháp Rizt còn gọi là phương pháp tích phân cân bằng nhiệt hay phương pháp
của Goodman. Nghiệm xấp xỉ
T
 của (3.4) theo điều kiện biên giới có thể tìm thấy khi sử
dụng hàm sau

12
1
( , , ,..., ) ( )
n
n ii
i
TTTxaa a aNx
=
≈= = ∑
 (3.9)
Trong đó có một số tham số chưa biết a
1, a2, …, an và các hàm số N i(x) mà chúng phải
thỏa mãn các điều kiện biên giới cho bởi (3.5). Hàm N
i(x) được gọi là các hàm th ử, chúng
buộc phải liên tụ c và khả vi tới cấp cao nhất có mặt trong dạ ng tích phân của phương trình
chủ đạo.
Nghiệm xấp xỉ có thể được tiến hành khi sử dụng một, hai hoặc nhiều số hạng như sau:

11
()T aN x=


11 2 2
() ()T aN x aN x= +
 (3.10)

1
()
n
ii
i
T aN x
=
=∑
 (3.11)
Khi T
 được thay thế vào phương trình vi phân chủ đạo (3.3) thường không thỏa mãn
chính xác, nên vế trái không bằng 0, mà còn một số dư ‘R’ nào đó:

2
2
() 0
a
dT
kA hP T T R
dx
− −=≠


(3.12)
Nghiệm nhận được chỉ là chính xác khi số dư ‘R’ bằng 0 trên toàn bộ miền xác định.
Trong phương pháp xấ p xỉ, nói chung số dư không bằ ng không tại mọi nơi trong miề n
xác định ngay cả khi nó có thể bằng không tại một số điểm nhất định nào đó.
Trong phương pháp Ritz, chúng ta thay thế dạng xấp xỉ θ

vào phương trình vi phân

81. 81
(3.4), rồi lấy tích phân số dư ’R’ trên miền xác đị nh, cho nó bằ ng 0 để xác định thông số B,
nghĩa là:

2
1
2
20
0
d
d
d
θ
µθ ξ
ξ

−=

∫


(3.13)
Đạo hàm θ

theo ξ trong (3.8) sẽ cho

2
()
2
2
d
B
b
d
θξ
θ
ξ
=

(3.14)
Thay (3.14) vào (3.13) chúng ta có

( ){ }
1
2
1
22 2
0
0
2
2 11 2
3
2 10
3
b b bb
bb
B
B Bd B B
B
BB
ξ
θ µ ξ θ ξ θ ξ µθ ξ ζ
θ µθ
 

− −− = − − +  

 

= − −+ =

∫

Giải ra B:

2
2
2
2
3
B
µ
µ
=
+
(3.15)
Đối với bài toán thanh thép không gỉ ở trên µ
2
= 4,9778, khi đó

4,9778
0,9359
2
2 4,9778
3
B= =
+

Vậy nghiệm xấp xỉ là

2()
1 0,9359.(1 )
b
θξ
ξ
θ
=−−

(3.16)
Trong khi đó nghiệm chính xác bằ ng phương pháp giải tích là

( ) cosh ( )
cosh
b
mL x
mLθξ
θ −
=
(3.17)
Lưu ý rằng x trong (3.17) là khoảng cách tính từ đỉnh thanh như Hình 3.1, nhưng trên
đồ thị nhiệt độ biểu thị theo khoả ng cách từ gốc thanh để dễ nhận thấy nhiệt độ giảm dần từ
gốc ra đỉnh thanh.
So sánh nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ chỉ ra trên hình 3.2 cho thấ y các nhiệt độ
thỏa mãn rất tốt tại gốc thanh có x = L, nhưng lệch nhau tại đỉnh thanh có x = 0.

82. 82
Bảng 3.1. Nhiệt độ từ gốc thanh
Từ gốc thanh 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Giải tích 1,0000 0,8052 0,6506 0,5285 0,4328 0,3588 0,3027 0,2617 0,2339 0,2177 0,2124
PP Rizt 1,0000 0,8222 0,6631 0,5227 0,4010 0,2981 0,2138 0,1483 0,1015 0,0734 0,0641





















Hình 3.2. Đồ thị so sánh nghiệm xấp xỉ Rizt với nghiệ m chính xác

3.1.3. Phương pháp biến phân (Rayleigh - Ritz method)
Phương pháp biến phân là một phương pháp rất quan trong, được xây dựng trên cơ sở
của lý thuyết của phép tính biến phân. Nội dung chủ yếu của phép tính biến phân sẽ trình
bày trong phần sau, khi xây dựng phương trình đặc trưng cho phương trình vi phân dẫ n
nhiệt. Ở đây ta chỉ nêu trước tóm tắt nội dung cốt lõi của phương pháp biến phân, nhằm xác
định thông số của dạng nghiệm bậc hai đã giả định của nhiệt độ để so sánh vớ i các phương
pháp khác.
Nội dung cốt lõi phương pháp biế n phân có thể phát biểu như sau:
“Hàm T(x) sẽ là nghiệm của phương trình vi phân chủ đạo và các điề u kiện biên giới,
khi nó làm cho Tích phân biến phân tương ứng với phương trình vi phân chủ đạo (gọi là
phương trình Euler – Lagrange) đạt cực trị”.
Trong bài toán dẫ n nhiệt qua thanh, phương trình vi phân chủ đạo là phương trình 3.3
hay 3.4.

2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−=
(3.18)
và các điều kiện biên giới: a) tại ξ = 0, θ = θ
b, và
b) tại ξ = 1,
0
d
d
θ
ξ
= (3.19)
Tích phân biến phân tương ứng với phương trình vi phân chủ đạo và các điều kiện biên
giới của bài toán được gọi là Phiếm hàm ‘I’. Theo phép tính biến phân, sẽ trình bày ở phần
sau, phiếm hàm tương ứ ng với phương trình vi phân chủ đạo (3.18) là:

83. 83

2
1
22
0
1
2
d
Id
dθ
µθ ξ
ξ


= +


∫
(3.20)
Theo lý thuyết trên, θ là nghiệ m của (3.18) cùng vớ i điều kiện biên (3.19) khi phiếm
hàm I đạt cực tiểu, tức là biế n phân của phiếm hàm tương ứng với nó là δI sẽ phải triệt tiêu:

2
1
22
0
1
0
2
d
Id
d
θ
δ δ µθ ξ
ξ


= +=


∫
(3.21)
Bây giờ cần thực hiện (3.21) để xác định dạng cụ thể của nghiệm θ, chúng ta vẫn lấy
nghiệm xấp xỉ giả định có dạ ng bậc hai như trướ c, tức là:

2()
1 (1 )
b
B
θξ
ξ
θ
=−−

(3.22)
Thay (3.22) vào phiếm hàm (3.20) sẽ được:
() ( )
21 2
2 2 22
0
1
2 11
2
bb
I B Bdθ ξ µ ξ θξ

= + −−−


∫
(3.23)
Sau khi thực hiện tích phân và thay các cậ n vào chúng ta được

2 2 2 22 2 21 4 21 2
2
2 3 35 3
b
IB Bθ µ µ µµ µ µ
  
= +− + ++− +  
  
(3.24)
Trong đó B là tham số chưa biết cần phải xác định.
Theo lý thuyết phép tính biến phân, để I cực tiểu thì buộc 0Iδ=, nghĩa là 0
I
B
∂
=
∂
,
gọi là cực tiểu hóa phiếm hàm I. Tính đạo hàm của I theo B:

2 222 221 4 21 2
2 20
2 3 35 3
b
I
B
B
θ µµµ µµ
  ∂ 
= + − + +− + =  
∂   
(3.25)
hay
2248 4
20
3 15 3
B µµ

+ −=


Giải ra được:

2
2
2
2
1
5
B
µ
µ
=
+
(3.26)
Với µ
2
= 4,9778, thì B = 0,8321. Khi đó dạng nghiệm xấp xỉ của (3.18) là:

()
2
1 0,8321.(1 )
b
θξ
ξ
θ
=−−

(3.27)
So sánh với nghiệm chính xác ở bài toán dẫn nhiệt qua thanh thép không gỉ như trước,
thấy rằng nghiệm xấp xỉ theo phương pháp biến phân thỏa mãn tố t hơn phương pháp Rizt,

84. 84
Hình 3.3.
Bảng 3.2. Nhiệt độ từ gốc thanh
Từ gốc thanh 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Giải tích 1,0000 0,8052 0,6506 0,5285 0,4328 0,3588 0,3027 0,2617 0,2339 0,2177 0,2124
Biến phân 1,0000 0,8419 0,7004 0,5756 0,4675 0,3759 0,.3010 0,2428 0,2012 0,1762 0,1679











Hình 3.3. Đồ thị so sánh nghiệm nghiệm xấp xỉ biến phân với nghiệm chính xác

3.1.4. Phương pháp số dư trọng số (method of weighted residuals)
1. Khái niệm
Có nhiều phương trình vi phân không thể thiết lập phương trình biến phân được, khi đó
cần phải tìm phương pháp khác để lập phương trình. Phương pháp số dư trọng số (hay còn
gọi là phầ n dư có trọng) là một phương pháp giải xấp xỉ rất mạnh có thể áp dụng cho
khoảng rộng các loại bài toán và như vậy nó không cần thiết nghiên cứu lập phương trình
biến phân nữ a.
a. Số dư
Phương trình chủ đạo của bài toán được đặc trưng bởi:
F(T,T
/
,x) = 0 trong Ω (3.28)

Nghiệm của bài toán là T(x) đượ c xác định bởi phép tích phân:

/
(, ,) 0FTT xd
Ω
Ω=∫
và các điề u kiện biên
Do nghiệm chính xác T của bài toán không tìm được bằng tích phân trực tiếp, nên phải
tìm nghiệm xấp xỉ là:

1
( ); ( )
n
ii
i
T aN x T T
=
= ≈∑
 (3.29)

85. 85
Khi thay thế nghiệm xấp xỉ T vào phương trình chủ đạo (3.28) sẽ dẫn tới
( )
'
,,FTT x

= R ≠ 0 (3.30)
R được gọi là phần dư.
Như vậy, phương trình vi phân chủ đạo không được thoả mãn hoàn toàn trên toàn miền
xác định Ω. Vấn đề là phải tìm nghiệm xấp xỉ nào để có phần dư R nhỏ nhất, tức là nghiệm
xấp xỉ gần nghiệm chính xác nhất.

b. Hàm trọng số
Chúng ta đã biết một tính chất của tích phân xác định (mà ở phần sau, trong phép tính
biến phân gọ i là bổ đề cơ bản) là, khi hàm f(x) là trơn trên khoảng [a,b], và h(x) là hàm khả
vi trên khoảng đó gọ i là hàm thử mà có h(a) = h(b) = 0, tức triệt tiêu tại hai mút .
Nếu
()() 0
b
a
f xhxdx=∫
thì suy ra f(x) = 0 trong (a,b).
Nói cách khác là muố n cho f(x) triệt tiêu ở đâu, thì chọn h(x) triệt tiêu tạ i đó và làm
thoả mãn tích phân:
()() 0
b
a
f xhxdx=∫

Vậy, muốn phần dư R (giữ vai trò hàm f(x) trong tích phân trên) tiến tới không, thì
chọn hàm trọng số ω
i(x) (giữ vai trò h(x) trong tích phân trên) là hàm thử bằng không ở
những điểm quan trọng mong muốn rồi thực hiện tích phân trên trong miền xác đị nh, và
cho bằng không, từ đó rút ra được các thông số a
1, a2,.., an của nghiệm xấp xỉ để đạt nghiệm
gần đúng nhất. Hàm ω
i(x) được gọi là hàm trọng số.
Vậy, phương pháp số dư trọng số sẽ xác định được các thông số a
1, a2,.., an bằng sự
thỏa mãn:

() 0
i
x Rdxω
Ω
=∫
với i = 1, 2, …, n (3.31)
Ở đây, ω
i(x) là các hàm trọng số nào đó, tuỳ theo việc coi tiêu chí nào là quan trọng,
khi đó hàm trọng số có tên gọi tương ứng.

c. Các phương pháp số dư trọng số
Có một số cách chọn hàm ω i(x), trong đó bốn hàm đặ c biệt sau thường được sử dụng
nhiều nhất.
- Hàm áp đặt: ω
i = δ(x – x i)

() 0
i x xi
R x x dx Rδ
=
Ω
−==∫
(3.32)
- Miền con: ω
i = 1. Miền con Ω i ở trong miền tích phân

0
i
Rdx
Ω
=∫
với i = 1, 2,…, n (3.33)

86. 86
- Galerkin: ω i = Ni (xi), nghĩa là cùng là các hàm nội suy dùng trong T(x)
() 0
i
N x Rdx
Ω
=∫
với i = 1, 2,…, n (3.34)
- Bình phương bé nhấ t :
i
i
R
a
ω
∂
=
∂

0
i
R
dx
a
Ω
∂
=
∂
∫
với i = 1, 2,…, n (3.35)
Để làm sáng tỏ nội dung của các phương pháp trên, chúng ta sẽ trở lại bài toán thanh
theo từng phương pháp.

2. Phương pháp áp đặt (Collocation method)
Nội dung phương pháp áp đặt là chọn một hàm số nào đó làm nghiệm xấp xỉ, và chọn
trước các giá trị, áp đặt cho các điể m trong miền xác định của bài toán để phương trình vi
phân thoả mãn tại những điểm đó. Hàm số được chọn làm nghiệm xấp xỉ thường là đa thức.
Những điểm được áp đặt trước giá trị đó là những điểm quan trọng, nghiệm của bài toán
phải thoả mãn và hàm trọng số sẽ triệt tiêu tại các điể m đặt trước giá trị đó.
Chọn hàm trọng số là ω
i = δ(x – x i). Cho
1
2
i
ξ=, với
i
ξ thay mặt cho x.
Viết lại phương trình ở dạng tọa độ không thứ nguyên như sau:
( )
2
1
2
20
0
i
d
d
d
θ
µθδ ξ ξ ξ
ξ

− −=

∫


(3.36)
Vì biến phân δ(ξ - ξ
i) triệt tiêu tại
1
2
i
ξ=, nên rút ra:

2
2
2
1
2
0
i
d
d
ξ
θ
µθ
ξ
=

−=



(3.37)
Để so sánh mức độ chính xác của phương pháp, vẫ n dùng nghiệm xấp xỉ đã chọn trước
đây là:

2()
1 (1 )
b
B
θξ
ξ
θ
=−−

(3.38)
Và trong (3.14) đã tính đạo hàm cấp hai của nhiệt độ là:

2
2
()
2
b
d
B
dθξ
θ
ξ
=

(3.39)
Nghiệm xấp xỉ ứng với ξ
i = 0,5 là

2()
1 (1 0, 5 )
b
B
θξ
θ
=−−


87. 87
Từ đó rút ra:
( )
2
( ) 1 (1 0,5 ) 1 0,75
bb
BBθξ θ θ = −− = −


(3.40)
thay (3.39) và (3.40) vào phương trình (3.37)

22
1
2
2 2 (1 0, 75 ) 0
bb b
B BB
ζ
θµθ θµ θ
=
− = −− =


(3.41)
Với µ
2
= 4,9778 giải ra B = 0,8682; Nghiệm xấp xỉ của bài toán là:

2()
1 0,70588 (1 )
b
θξ
ξ
θ
=− ×−

(3.42)










Hình 3.4. Đồ thị so sánh nghiệm phương pháp áp đặt với nghiệm chính xác

Bảng 3.3. Nhiệt độ từ gốc thanh
Từ gốc thanh 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Giải tích 1,0000 0,8052 0,6506 0,5285 0,4328 0,3588 0,3027 0,2617 0,2339 0,2177 0,2124
Áp đặt 1,0000 0,8350 0,6874 0,5572 0,4443 0,3488 0,2707 0,2099 0,1665 0,1405 0,1318


3. Phương pháp miền nhỏ (Sub-domain method)
Phương pháp này chọ n miền thoả mãn phương trình vi phân là miền xác đị nh của
nghiệm, nên hàm trọng số được chọn là ω
i = 1. Khi đó phương trình miền nhỏ là:

()
2
1
2
20
10
d
d
d
θ
µθ ξ
ξ
−=

∫


(3.43)
Phương trình trên có dạng như (3.13) trong phương pháp Rizt, nên nghiệm cũng như
(3.16) của phương pháp đó là:

2()
1 0,9359.(1 )
b
θξ
ξ
θ
=−−
(3.44)

88. 88
4. Phương pháp Galerkin (Galerkin method)
Đây là một trong các phương pháp quan trọng nhất trong phân tích phần tử hữu hạn.
Hàm trọng số được chọn là hàm nội suy N
i(x) = (1 - ξ
2
).
Phương trình Galerkin của bài toán thanh là:

()
2
1
2
20
0
i
d
Nx d
dθ
µθ ξ
ξ
−=

∫


(3.45)
Cụ thể với hàm trọng số trên:
( )
2
1
22
20
10
d
d
d
θ
ξ µθ ξ
ξ
− −=

∫


(3.46)
Thay dạng nghiệm xấp xỉ và đạo hàm cấp hai đã có ở phần trước vào
( ) ( ){ }
1
2 22
0
1 2 11 0
bb
B Bdξ θµ ξ θξ− − −− =
∫

Sau khi triể n khai các tích trong dấu tích phân, thực hiện tích phân ta được
( )( )
11
35
221 2 2 2
0
00
2 22 0
35
B BB B B
ξξ
µµξ µ µ µ

−+ − −+ + =



Giải ra:

2
2
22
2
3 2
48 2
1
3 15 5
B µ
µ
µµ
= =
++
(3.47)
Với bài toán cánh µ
2
= 4,9778, thay vào có B = 0,8321
Vậy nghiệm của bài toán là:

2()
1 0,8321.(1 )
b
θξ
ξ
θ
=−−

(3.48)
Có thể thấy rằng nghiệm xấp xỉ khi dùng phương pháp Galerkin cũng trùng với
nghiệm dùng phương pháp biến phân.

Bảng 3.4.
Nhiệt độ từ gốc thanh
Từ gốc thanh 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Giải tích 1,0000 0,8052 0,6506 0,.5285 0,4328 0,3588 0,3027 0,2617 0,2339 0,2177 0,2124
Galerkin 1,0000 0,8419 0,7004 0,5756 0,4675 0,3759 0,3010 0,2428 0,2012 0,1762 0,1679

89. 89










Hình 3.5. Đồ thị so sánh nghiệm phương pháp Galerkin với nghiệm chính xác

5. Phương pháp bình phương bé nhất (least-squares method)
Trong trường hợp này việc cực tiểu hóa sai số được tiến hành với ý nghĩa bình phương
số dư có giá trị bé nhất, đó là:

2
0
i
R dx
a
Ω
∂
=
∂
∫

(3.49)
cũng có thể viết là

0
i
R
dx
a
Ω
∂
=
∂
∫

(3.50)
Ở đây hàm trọng số là

()
i
i
R
x
a
ω
∂
=
∂

(3.51)
Sai số E được xác định theo:

2
2
11
22
200
d
E Rd d
d
θ
ξ µθ ξ
ξ

= = − 

∫∫



(3.52)
Thay thế nghiệm xấp xỉ (3.8) vào (3.52), sau khi tích phân sẽ có

2 444 2 4 2 28
4 41 2 2
3 3 15
EB B B B B Bµ µµµ µ
    
= − − +− − +    
    
(3.53)
Sai số cực tiểu đạt được khi thỏa mãn 0
E
B
∂
=
∂
, nghĩa là

44 2
24 16 16
8 40
3 15 3
E BB
B
B
µµ µ
µ
∂
=− + −+ =
∂
(3.54)

90. 90
Giải ra

22
2
2
1
23
1
12
3 15
B
µµ
µ
µ

+

=

++


(3.55)

Với bài toán thanh µ
2
= 4,9778 thì B = 0,8683. Nghiệm xấp xỉ của bài toán là:

2()
1 0,8683.(1 )
b
θξ
ξ
θ
=−−


(3.56)
Bảng 3.5. Nhiệt độ từ gốc thanh
Từ gốc thanh 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Giải tích 1,0000 0,8052 0,6506 0,5285 0,4328 0,3588 0,3027 0,2617 0,2339 0,2177 0,2124
BP bé nhất 1,0000 0,8350 0,6874 0,5572 0,4443 0,3488 0,2706 0,2098 0,1664 0,1404 0,1317




















Hình 3.6. Đồ thị so sánh nghiệm phương pháp bình phương bé nhất với nghiệm chính xác

6. So sánh nghiệm của các phương pháp gầ n đúng với nghiệm chính xác
Kết quả tính nghiệm bậc hai theo các phương pháp khác nhau được thể hiện trên Hình
3.7, thấy rằng phương pháp Galerkin và phương pháp xấp xỉ biến phân là phương pháp
chính xác nhất.

91. 91




















Hình 3.7. Đồ thị so sánh giữa nghiệm các phương pháp với nghiệm chính xác





3.2. XÂY DỰ NG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN D ẪN NHIỆT
Như trên đã chỉ ra, phương pháp biến phân và phương pháp Galerkin là hai phương
pháp quan trọng nhất vì cho nghiêm xấp xỉ như nhau và chính xác nhấ t. Bởi vậy trong phần
này chúng ta sẽ thiết lập công thức đặc trưng bằng cả hai phương pháp biến phân và
phương pháp Galerkin đối với phương trình dẫn nhiệt ba chiều của vật thể không chuyển
động trong điều kiện ổn định.

3.2.1. Khái quát về phép tính biến phân
Phương pháp xấ p xỉ biến phân dựa trên lý thuyết của phép tính biến phân. Như phần
đầu chương đã nêu, phương pháp biến phân là một phương pháp quan trọng, để có thể áp
dụng cho các loại bài toán nhiệ t có phương trình chủ đạo khác nhau, chúng ta cần xem xét
kỹ lưỡng một số khái niệm cơ bản quan trọng nhất của phép tính biến phân.

a. Nghiệm xấp xỉ
Xét bài toán biên một chiều trong dẫn nhiệt. Bài toán cho trước điều kiện biên T(x 1) =
T
1 và T(x2) = T2. Gọi nghiệm chính xác là T(x)= f(x). Do không tìm được nghiệm chính
xác bằng giải tích nên ta phải tìm nghiệ m xấp xỉ
T= g(x). Trong tọa độ T-x, Hình 3.8, T(x)
= f(x) biểu thị bởi đường nét liền, còn T
= g(x) là đườ ng nét đứt.

92. 92














Hình 3.8. Sai lệch giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm thực

Nghiệm xấp xỉ
T(x)
cũng phải thỏa mãn điều kiện biên đó, tức là
11
T(x ) T=
 và
22
T(x ) T=
 , vậy hai đườ ng cong trên đều đi qua điểm 1 và 2.
Hiệu T(x)
- T(x) biểu thị sai lệch giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Hiệu này
cũng thay đổ i và là hàm của x.
Đặt:
()- () ()Tx Tx Txδ=
 (3.57)
Vậy, δT(x) = 0 tại biên, tứ c là ở tại hai nút khi xét trong một phần tử một chiều, còn
bên trong phần tử δT(x) ≠ 0.
Có nhiều đường cong ()Tx
 thỏa mãn điều kiện biên của bài toán, ta cầ n chọn trong số
đó đường cong nào gần với T(x) nhất. Tập hợp các đường cong trong khoả ng từ () ()Tx gx=

đến T(x)=f(x) có thể biểu thị bởi các hàm số T(x,ε) thông qua thông số ε, với ε = (0÷1) như
sau:
(,) () [() ()] Tx Tx Tx Txεε=+−  hay:
() ()(,) .Tx Tx Txε εδ= + (3.58)
Vì: - khi ε =1 → (,) ()Tx Txε=
- khi ε = 0 → ()(,)Tx T xε= (3.59)
Như vậy, T(x,ε) phụ thuộc vào ε. Ta muốn tìm T(x,ε) = T(x) = f(x), tức là:
T(x,ε) - T(x) = ε.δT(x) = 0 (3.60)
Tại biên hiển nhiên δT(x) = 0, nên T(x,ε) = T(x).
Bên trong miền nghiệm δT≠ 0. Hiệu số {T(x,ε) - T(x)} = 0 chỉ khi ε = 0.
Bởi vậy để đánh giá mức độ chính xác của nghiệm xấp xỉ trên toàn miền khảo sát, cần
phải xét tạ i ε = 0.
x1 x2
T1
T2
T
x
δT
1
2
)(
~
xgT=
T(x)=f(x

93. 93
b. Biến phân của hàm số
Xét hàm số y = f(x) trơn xác định trên miền x ∈ [a,b], gọi hàm số xấp xỉ với nó có
chung biên là y
1 = f1(x). Sai lệch giữa hai hàm số là:
y
1 – y = f1(x) – f(x) = δy(x) (3.61)
Gọi δy(x) là biến phân của hàm số y = f(x) và có thể coi (3.61) là biểu thức định nghĩa
biến phân của hàm số. Tập hợp các hàm xấp xỉ giữa f
1(x) và f(x) là các hàm fi(x) được biểu
thị qua tham số ε, với ε = 0÷1 như sau:
y(x,ε) = f(x) - ε.δy(x) (3.62)
Thấy rằng các hàm y(x,ε ) sai khác nhau tuỳ theo ε, nên y(x,ε) phụ thuộc vào ε. Tại một
hàm f
i(x,ε) nào đó, ứng với ε 1 và ε2 nào đó sẽ có các giá trị tương ứng là
y(x,ε
1) = y(x) + ε 1.δy(x)
y(x,ε
2) = y(x) + ε 2.δy(x)

Lập thương số

21
21
(, ) (, ) (,)
()
yx yx yx
yxεε ε
δ
εε ε− ∆
= =
−∆

(3.63)
Khi lấy ε
2 ≅ ε1 thì có

0
(,) (,)
lim
yx yx
ε
εε
εε
∆→
∆∂
=
∆∂
hay

(,)
()
yx
yxε
δ
ε∂
=
∂

(3.64)
Vậy, biến phân của hàm số còn được tính bằng đạo hàm của hàm số theo tham số ε.
Như trên đã nêu, để đánh giá mức độ chính xác của nghiệm xấp xỉ trên toàn miề n khảo
sát cần phải xét tại ε = 0.

c. Một số tính chất của biến phân của hàm số
- Biến phân của hàm số và hằng số. Từ định nghĩa (3.61) suy ra:
δ(y+a) = (y
1+a) – (y 2+a) = (y1 - y2 ) + a – a = δy
δ(ay) = (ay
1) – (ay2) = a(y1 - y2 ) = aδy (3.65)
- Biến phân của đạo hàm hàm số và đạo hàm của biến phân hàm số:

/ 1 2 12
() () ()
()
x
dy dy d y ydy d y dy
y
dx dx dx dx dx dxδδ
δδ−
= =−= = =


() ( )
/
/12
12
( ) ()
x
x
dy dyd d dy
y y yy y
dx dx dx dx dx
δ δ δδ
 
= = −= − = =  

(3.66)

94. 94
- Biến phân của hàm số và vi phân hàm số
δ(dy) = dy
1 - dy2 = d(y1 – y2) = d(δy) = (δy)’dx =
()dy
dx
dxδ

()
12 1 2
()() d y y dy dyd y dy
d y dx dx dx dx
dx dx dx dx dx
δ
δδ
− 
= = =−=  

(3.67)
- Tính: yyδ
Vì
12
()y yyδ= − và trong khoả ng y 1 và y2 lấy
12
2
yy
y
+
= nên
( )
22 2
22 212 1 2
12 1 2
11
( ) ()
2 2 22 2 2
yy y y y
yy y y y y y
δ δδ
+
= −= − =−= = 

(3.68)
- Tương tự trên, ta có:

2
1
2
dy dy dy
dx dx dx
δδ
 
= 
 

(3.69)

d. Phiếm hàm
Phiếm hàm là biểu thức dạng tích phân chứa các hàm số chưa xác định và đạo hàm của
chúng. Thí dụ phiếm hàm I củ a hàm một biến

( ),(), ()
b
a
I F xyx y x dx′=∫
(3.70)
Phiếm hàm khác với hàm số ở chỗ, một hàm số có đối số là các biến độc lập, khi đố i
số nhận giá trị là một con số thì hàm số sẽ cho kế t quả là một con số có trị xác định. Còn
phiếm hàm có đối số là các hàm số chưa biế t và đạo hàm của chúng, nên cho kết quả là một
đại lượng biến thiên mà trị số của nó phụ thuộc các hàm số trong phiếm hàm đó.

e. Phép tính biến phân
Để tính toán các phiếm hàm người ta phải sử dụng Phép tính biến phân. Phép tính biến
phân là lĩnh vực toán học đối với các phiếm hàm. Khác với cách tính hàm số thông thường
trong toán giải tích, phép tính biến phân chuyên nghiên cứu phương pháp tìm cực trị của
phiếm hàm, cho phép xác định được một hoặc một số hàm số làm cực trị một phiếm hàm
nhất định. Theo một ý nghĩa nào đó có thể coi phép tính biến phân là phần nối tiếp của giải
tích.
Để làm sáng tỏ các khái niệm nêu trên, chúng ta xét bài toán biế n phân cổ điển là bài toán
“tautochrone” của Lagrange và Euler năm 1755. Đó là bài toán xác đị nh đường đi của một
phần tử rơi qua hai điể m cho trước với thời gian ngắ n nhất, dưới tác dụng của trọng trường.
Trong tọa độ xoy, hai điểm cho trước là A(x
1,y1) và B(x2,y2), Hình 3.9. Đường chuyể n
động của phần tử y = f(x) là hàm chưa biết cần phải tìm.

95. 95
Trong thời gian dτ, quãng đường di chuyển của phần tử là:

22
ds dy dx= + (3.71)








Hình 3.9. Bài toán biến phân cổ điển

Tốc độ của phần tử là

22
dy dxds
w
ddττ
+
= =

(3.72)
Từ trên rút ra:

22
dy dx
d
w
τ
+
=

(3.73)
Mặt khác chuyể n động của phần tử luôn phải thỏa mãn phương trình cân bằng năng
lượng là thế năng và động năng của phần tử phải bằng nhau:

2
2
w
mgy m=

(3.74)
Từ (3.74) rút ra
2w gy= (3.75)
Thay w vào (3.73) ở trên có :

2
22
1
22
dy
dxdy dx
d dx
gygy
τ

+

+ 
= =

(3.76)
Vậy thời gian phần tử rơi từ điểm A đến B là :

2
2
1
1 1'
2
y
dx
yg
τ
+
=
∫

(3.77)
Do τ là hàm số của y, y’ đều chưa biết nên τ được gọi là phiếm hàm, ký hiệu là I:
y = f(x)
A (x1,y1)
B(x2,y2)


dx
ds dy
y
x

96. 96

2
2
1
11
(, , )
2
y
I F y y x dx
yg
τ
′+
′= =

∫

(3.78)
Mục đích bài toán là xác định dạng của đường cong y = f(x) để có thời gian τ cực tiểu.
Hay nói cách khác là tìm hàm y làm cực tiểu phiếm hàm I(F(y,y’,x)).
Chúng ta biết rằng, điều kiện để I cực trị là:

(, , )
0
dI F y y x
dy
′

= (3.79)
Biểu thức trên ký hiệu δI, gọi là biế n phân của phiếm hàm:

dI
I
dy
δ= (3.80)
Như vậy, tìm hàm số y để I đạt cực trị tức δI = 0, là nội dung của bài toán biến phân.

3.2.2. Bổ đề cơ bản của phép tính biến phân
Bổ đề cơ bản trong phép tính biến phân là bổ đề quan trọng được sử dụng để biến đổi
bài toán từ dạng công thứ c yếu (dạng biến phân) trở thành công thứ c dạng mạnh (là phương
trình vi phân)

a. Phát biểu
Cho f(x) là hàm trơn trên khoảng [a,b], và h(x) là mọi hàm khả vi trên khoảng đó:
h(x)
,C ab
∞
∈

với h(a) = h(b) = 0
Nếu ()() 0
b
a
f xhxdx=∫
(3.81)
thì khi đó f(x) sẽ bằng 0 trong khoảng hở (a,b).

b. Chứng minh
Với f(x) là hàm trơn như trên. Chọn r là một hàm trơn, bằng 0 tại a và b, và dương
trong (a,b). Thí dụ, r = − (x − a)(x − b).
Lấy h = rf. Vậy, h thoả mãn các giả thiết ở trên là triệ t tiêu tại a và b. Khi đó:

2
0 . ..
bb
aa
fh dx r f dx= =∫∫

Do r.f
2
> 0, tức hàm bị tích phân (f.h) là không âm, như vậy buộc phải bằng 0. Do
trong khoảng (a,b), r là dương, nên f phải bằng 0 tại đó.
Bổ đề trên là bổ đề cơ bản của phương pháp biến phân, nhưng cũng được áp dụng trong
các phương pháp xấ p xỉ khác như một công thức cơ bản, với f đóng vai trò phương trình vi

97. 97
phân cần giải, h là hàm số thử. Thí dụ, trong phương pháp cân bằng tích phân Rizt đã xét ở
phần trước, lấy h =1; trong phương pháp số dư trong số, h là hàm số dư trọng số…

3.2.3. Phương trình Euler- Lagrange
Phương trình Euler- Lagrange được phát triển bởi Leonhard Euler và Joseph-Louis
Lagrange năm 1750. Đó là công thức cơ bản của phép tính biến phân, được sử dụng để giải
các bài toán tối ưu và kết hợp với nguyên lý hành vi để tính toán đường đi của vật thể trong
không gian.
- Phương trình Euler-Lagrange được xây dựng như sau:
Xét phiếm hàm

( , ), '( , ),
b
a
I F y x y x x dxεε=
∫
(3.82)
Để I cực trị thì δI = 0 tại ε = 0, tứ c là

0
0
dI
d
ε
ε
=
=

00
'
0
'
b
a
dI F y F y
dx
d yy
εε
ε εε
= =
∂∂ ∂∂
=+=

∂∂ ∂ ∂
∫
(3.83)
Từ tính chất (3.64) và (3.66) ta đã có
y
yδ
ε
∂
=
∂
và
y
yδ
ε
′∂
′=
∂
, thay hai số hạng đó vào
(3.83)

00
'0
'
b
a
dI F F
y y dx
d yy
εε
δδ
ε
= =
∂∂
=+=

∂∂
∫


() ()
bb
aa
ab
FF
y dx y dx
yy
δδ
 ∂∂
′= + 
′∂∂ 
∫∫
(3.84)
Tính tích phân từng phần số hạng thứ hai (b) của biểu thức trên, trong đó lưu ý biế n
phân của đạo hàm theo (3.66) ta có ()
x
y dx d yδδ′=
()
() (2) ( 1)
.
b
bb b
aa a
a
bb b
F FF F
y dx d y y y d
y yy y
δ δ δδ
    ∂ ∂∂ ∂
′= = −   
′ ′′ ′∂ ∂∂ ∂    
∫∫ ∫
(3.85)
Trong (3.85) có hai số hạng (b
1) và (b2). Do tại biên: δy(a)= δy(b)= 0, nên số hạng
(b
1) triệt tiêu: (b 1) =
0
'
b
a
F
y
y
δ
∂
=

∂
. Như vậy, vế phải của (3.85) chỉ còn (b 2). Ta biến đổi
tiếp (b
2) trong (3.85) như sau:

() (2)
.. .
b bb b
a aa a
bb
F F F dF
y dx y d y dx y dx
y y y dx y
δδ δ δ
′
    ∂ ∂∂ ∂
′=−= − = −    
′ ′′ ′∂ ∂∂ ∂    
∫ ∫∫ ∫
(3.86)

98. 98
Thay (3.86) vào (3.84) được:

0
.0
bb
aadI F d F
y dx y dx
d y dx y
ε
δδ
ε
=
  ∂∂
=−=  
′∂∂  
∫∫
hay
0
b
a Fd F
I y dx
y dx y
δδ
 ∂∂
=−= 
′∂∂ 
∫
(3.87)
Do bên trong miền (a,b) có δy ≠ 0. Áp dụng bổ đề cơ bản trong phép tính biến phân
(3.81) suy ra:
0
Fd F
y dx y
∂∂
−=
′∂∂ 
(3.88)
Phương trình trên được gọi là phương trình Euler- Lagrange và có thể phát biể u như sau:
“Nếu hàm I được cho bởi tích phân dạ ng
( ),,
b
a
I F y y x dx′=∫
(3.89)
thì I có giá trị cực trị, nếu phương trình vi phân Euler- Lagrange sau được thỏa mãn
0
'
Fd F
y dx y
∂∂
−=
∂∂ 
.” (3.90)
Ở đây, y’ là đạo hàm của y theo x :
'
dy
y
dx
=
Phương trình Euler-Lagrange đối với trường hợp hàm trong tích phân có hai biến độc
lập F[x,y,u(x,y),u’
x,u’y] được xây dự ng như sau:
Trong tọa độ u,x,y, gọi nghiệm chính xác cần tìm là u(x,y) = f(x,y) được biểu thị bởi
mặt cong nét liề n; nghiệm xấp xỉ là
(,)uxy = g(x,y) là mặt cong nét đứ t, Hình 3.10.
Hai hàm trên có chung biên giới là đường cong liền S’ ứng với miền xác định D, và
biến phân của hàm số là:
(,) (,) (,)uxy uxy uxyδ = − (3.91)
δu(x,y) = 0 trên biên S’
δu(x,y) ≠ 0 trong miền D (3.92)

99. 99











Hình 3.10. Biến phân của hàm hai biến δu(x,y)

Tập hợp các hàm số trong khoả ng
(,)uxy đến u= f(x,y) được biểu thị bởi u(x,y,ε):

u(x,y,ε) = u(x,y) + ε.δu(x,y) (3.93)
Tương tự như hàm một biến, trong miền nghiệm D, ta có biế n phân của hàm số u(x,y)
là:

(,,)uxy
uε
δ
ε∂
=
∂
(3.94)
Gọi
(,,) ,,, ,
xy
D
I u x y F x y u u u dxdyε  ′′ =
 
∫∫
(3.95)
là phiếm hàm của hàm u(x,y).
Để I cực trị thì δI = 0, tại ε = 0, tức

0
(,,)
,,, , 0
xy
D
dI u x y d
F x y u u u dxdy
dd
ε
ε
εε
=


 ′′= =

∫∫
hay:

yx
D xy
uudI F u F F
dxdy
d uu uε εεε
′ ∂′∂∂∂ ∂ ∂
= ++
′′∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫∫
(3.96)
Vì
() (); ( ) ; ( )
yx
xy
xy
uuu
u uu uuδ δδ δδ
εε ε
′∂′∂∂ ′′
′′= = = = =
∂∂ ∂
nên:
() ()
xy
D xy
dI F F F
u u u dxdy
d uu u
δδ δ
ε
∂∂ ∂
′′=++
′′∂∂ ∂
∫∫
(3.97)
() ()
xy
DD D xy
dI F F F
u dxdy u dxdy u dxdy
du u u
δδ δ
ε
∂∂ ∂
′′=++
′′∂∂ ∂
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.98)
u
(, )uxy
u(x,y)
x
y
δu(x,y)
S’
D
S

100. 100
Biến đổi đạo hàm của một tích thành tổ ng hai đạ o hàm:
()
x
x xx
F FF
u uu
xu xu u
δ δδ
  ∂∂ ∂∂ ∂ ′
= +  
  ′ ′′∂∂ ∂∂ ∂
  
và:
()
y
y yy
F FF
u uu
yu yu u
δ δδ
  ∂∂ ∂∂ ∂ ′
= +  
  ′ ′′∂∂ ∂∂ ∂
  

Suy ra
()
x
x xx
F FF
u uu
u xu xu
δ δδ
  ∂ ∂∂ ∂∂′
= −  
  ′ ′′∂ ∂∂ ∂∂
  
(3.99)
và
()
y
y yy
F FF
u uu
u yu yu
δ δδ
  ∂ ∂∂ ∂∂′
= −  
  ′ ′′∂ ∂∂ ∂∂
  
(3.100)
Thay (3.99) và (3.100) vào hai số hạng cuối của (3.97):
D xxyy
dI F F F F F
u u u u u dxdy
d u xu xu yu yu
δδ δδ δ
ε
     ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
=+−+−     
     ′′′′∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂      
∫∫
hay:
() ()
DD xy xy
ab
dI F F F F F
u u u dxdy u u dxdy
d u xu yu xu yu
δδδ δδ
ε
      ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
  =−− + +     
    ′′ ′′∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂        
∫∫ ∫∫


(3.101)
Công thức Green biến đổi giữa tích phân đường và tích phân mặt như sau:

SD
QP
Pdx Qdy dxdy
xy
∂∂
+= − 
∂∂
∫ ∫∫
(3.102)
Trong đó P, Q là các hàm số của hai biế n độc lập, D là diện tích miền xác đị nh trong
mặt phẳng tọa độ xoy, S là chu vi của D.
Áp dụng (3.102) đối với số hạng thứ hai (b) ở vế phải của (3.101) như sau:
()
DS x y xy
F F FF
b u u dxdy u dy u dx
xu yu u u
δδ δδ
   ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
=+=−   
   ′ ′ ′′∂∂ ∂∂ ∂ ∂   
∫∫ ∫
(3.103)
Theo điều kiện biên thì δu = 0 tại mọi điểm trên chu vi S của miền D, bởi vậy (3.103)
trở thành

0
S SS xy x y
FF F F
u dy u dx u dy u dx
uu u u
δ δδ δ
    ∂∂ ∂ ∂
−= − =    
     ′′ ′ ′∂∂ ∂ ∂
     
∫ ∫∫
(3.104)
Khi đó (3.101) trở thành:

0
D xy
dI F F F
u dxdy
d u xu yu
δ
ε
 ∂ ∂∂ ∂∂
=−− = 
 ′′∂ ∂∂ ∂∂  
∫∫
(3.105)

101. 101
Mặc dù bên trong miền D có δu ≠ 0, nhưng δu = 0 trên biên S là chu vi của D, nên theo
bổ đề cơ bản của phép tính biến phân thì rút ra các số hạng trong móc vuông ở trên triệt
tiêu:
0
xy
FF F
u xu yu
∂ ∂∂ ∂∂
−−= 
 ′′∂ ∂∂ ∂∂
 
(3.106)
Phương trình (3.106) là phương trình Euler- Lagrange đối với phiếm hàm hai biến
I[u(x,y)].
Phương trình Euler-Lagrange tổng quát đố i với ba biế n độc lập chứng minh tương tự có:
0
x yz
FF F F
u xu yu zu
 ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
−−−=  
 ′′′∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
 
(3.107)
với ; ;
x yz
u uu
u uu
x yz
∂ ∂∂
′ ′′= = =
∂ ∂∂



3.3. THIẾT LẬ P PHƯƠNG TRÌNH ĐẶ C TRƯNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN D ẪN NHIỆT THEO
PHƯƠNG PHÁP BI ẾN PHÂN
Phương trình vi phân chủ đạo trong dẫ n nhiệt ổn định là:

0
x y zV
T TT
k k kq
x xy yz z
   ∂∂ ∂∂ ∂∂
+ + +=   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   
(3.108)
Các điều kiện biên:
T = T
b trên mặt S 1 (3.109)

0
xy z
TT T
k ik jk kq
xy z
∂∂ ∂
+ + +=
∂∂ ∂
trên mặt S 2 (3.110)
( )0
xy z a
TT T
k i k j k k hT T
xy z
∂∂ ∂
+ + + −=
∂∂ ∂
trên mặt S 3 (3.111)
Ở đây, ,ij và k là các véc-tơ chỉ phương của các pháp tuyến bề mặt, h là hệ số tỏa
nhiệt đối lưu, k là hệ số dẫn nhiệt, và q là mật độ dòng nhiệt bức xạ.
3.3.1. Xác định phiếm hàm I của phương trình vi phân dẫn nhiệt
Bằng cách áp dụng phương trình Euler- Lagrange, chúng ta xác định phiếm hàm I
tương ứng với phương trình vi phân dẫ n nhiệt cùng với các điều kiện biên như sau.

102. 102
Gọi các phiế m hàm tương ứng với phương trình (3.108) là I 1, phiếm hàm tương ứng
với điều kiện biên (3.110) là I
2 và phiếm hàm tương ứng điều kiện biên (3.111) là I 3. Do
chúng
phải thoả mãn phương trình Euler- Lagrange nên có thể viết theo bổ đề cơ bản của
phép tính biến phân như sau:

1
0
x y zV
V
T TT
I k k k q T dV
x xy yz z
δδ
   ∂∂ ∂∂ ∂∂
= + ++ =   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   
∫
(3.112)

2
2
0
xy z
S
TT T
I k i k j k k q T dS
xy z
δδ
∂∂ ∂
= +++ =
∂∂ ∂
∫
(3.113)

3
3
() 0
xy z a
S
TT T
I k i k j k k h T T T dS
xy z
δδ
∂∂ ∂
= + + +− =
∂∂ ∂
∫
(3.114)
Trong đó, δT là các biế n phân của nhiệt độ sẽ triệt tiêu tại biên giới của miền khảo sát:
tại mặt bao thể tích V trong δI
1, tại đường biên bao diện tích S 2 trong δI 2 và tại đường biên
bao diện tích S
3 trong δI 3. Chúng ta sẽ phải xác định các phiếm hàm I 1, I2 và I3.
Lưu ý rằng, (3.109) là điều kiện biên là loại 1, sau này sẽ được thỏa mãn khi áp đặt vào
phương trình đặc trưng tổng thể toàn miền, nên ở đây không cần thiết lập biến phân phiếm
hàm.
Vì nghiệm của bài toán phải đồng thời thỏa mãn phương trình vi phân và các điề u kiện
biên, tức là phải đồng thời thỏa mãn các phương trình biế n phân phiếm hàm (3.112),
(3.113) và (3.114). Do mọi biến phân phiếm hàm đều bằng không, nên tổng các phương
trình biến phân phiếm hàm ở trên cũng phải bằng 0. Nói cách khác là phiếm hàm của bài
toán là I sẽ là tổng của I
1, I2 và I3.
- Xác định phiếm hàm I
1:
Biến phân phiếm hàm này có 4 số hạng ký hiệu (a),(b),(c),(d):
( )
1
()() () ()
0
x yz V
VV
da bc
T TT
I k k k T dV q T dV
x xy yz z
δ δδ

   ∂∂ ∂∂ ∂∂
= ++ + =   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   


∫∫
(3.115)
Tính từng số hạng trong (3.115) như sau. Số hạng đầu (a) trong móc vuông

/
()
..
xx
VV x
x xx
V Syz x
TT
a k T dV T k dxdydz
xx x
TT
T d k dydz T d k m dS
xx
δδ
δδ
 ∂∂ ∂
= = 
∂∂ ∂ 
 ∂∂
= =  
∂∂  
∫∫
∫∫

(3.116)
Với dS
yz = dydz ; mx là cosin chỉ phương của pháp tuyến mặt ngoài S yz của V.
Áp dụng tích phân từng phần với (3.116) chúng ta có:
()
( 1) ( 2 )
() . .
xx x x
Syz Syz Syz
aa
T TT
a T d k m dS T k dS k d T dydz
x xx
δδ δ
      ∂ ∂∂
= = −      
∂ ∂∂      
∫ ∫∫
(3.117)

103. 103
Vế phải của (3.117) có hai số hạng (a 1) và (a2), trong đó số hạng (a 1) là:

1
() . . 0
x x yz
Syz
TT
a Tk dS Tk S
xx
δδ
 ∂∂
= = = 
∂∂ 
∫
, do trên mặt S yz có δT = 0;
Số hạng (a
2) còn lại của (3.117)

() ()
()
2
()
22
()
11
22
xx
x
Syz Syzx
xx
x
VV
xx
VV
TT
a k d T dydz k T dxdydz
xx
T TT
k T dxdydz k dxdydz
x xx
TT
k dxdydz k dV
xx
δδ
δδ
δδ
 ∂∂ ′
=−= − 
∂∂ 
 ∂ ∂∂′
=−= − 
∂ ∂∂ 

 ∂∂
=−= − 
∂∂  

∫∫
∫∫
∫∫


(3.118)
Vậy số hạng đầu (a) của δI
1 trong (3.115) là

2
()
1
()
2
xx
VV
a
TT
a k T dV k dV
xx x
δδ

  ∂∂ ∂
= = −  
∂∂ ∂   

∫∫
(3.119)
Tương tự như trên có số hạng thứ hai (b) và ba (c) trong móc vuông của δI
1 trong
(3.115) là:

2
()
2
()
1
()
2
1
()
2
yy
VV
b
zz
VV
c
TT
b k T dV k dV
yy y
TT
c k T dV k dV
zz z
δδ
δδ

  ∂∂ ∂
= = −  
∂∂ ∂   


  ∂∂ ∂
= = −  
∂∂ ∂   

∫∫
∫∫
(3.120)
Số hạng (d) của δI
1 trong (3.115) là:

()
() .
VV
VV
d
d q TdV q T dVδδ

= = 

∫∫
(3.121)
Vậy phương trình (3.115): δI
1 = (a) + (b) + (c) + (d) = 0, trở thành:

222
1
1
2. 0
2
xyx V
V
TTT
I k k k q T dV
xyy
δδ

  ∂∂∂
= ++− =   
∂∂∂  
∫
(3.122)
Từ (3.122) thấy ngay phiếm hàm I
1 ứng với phương trình vi phân dẫn nhiệt (3.108) là

222
1
1
2.
2
xyx V
V
TTT
I k k k q T dV
xyy

  ∂∂∂
= ++−  
∂∂∂  

∫
(3.123)
- Tính phiếm hàm I
2 ( ){ }2
2 22
2
22
. (. )
. ( .) 0 ( )
xy z
S SS
SS
TT T
I k i k j k k q T dS k gradT T dS q T dS
xy z
q T S T q dS qT dS
δ δ δδ
δδ δ
∂∂ ∂
= ++ + = + 
∂∂ ∂
=+=+

∫ ∫∫
∫∫


104. 104
Do trên mặt S 2 là biên giới bao một phần thể tích V, có δT = 0, nên số hạng đầu
2
.qTSδ


triệt tiêu. Vậy phiếm hàm I 2 là:

2
2
.
S
I q TdS=∫
(3.124)
- Tính phiếm hàm I
3

3
33
()
xy z a
SS
TT T
I k i k j k k T dS h T T T dS
xy z
δ δδ
∂∂ ∂
= + + +− 
∂∂ ∂
∫∫

Mặt S
3 là biên giới bao một phần thể tích V, nên có δT = 0, bởi vậy cũng tương tự trên,
biểu thức trong móc vuông triệt tiêu. Vậy:

3
33
() ()()
a aa
SS
I hTT TdS hTT TT dSδδ δ  =− =−−
  ∫∫

Theo tính chất (3.68) thì
21
()()()
2
aa a
TT TT TTδδ− −= −
nên

2
3
31
()
2
a
S
I h T T dSδδ

= −

∫
(3.125)
Vậy phiếm hàm I
3 là:

2
3
31
()
2
a
S
I h T T dS= −∫
(3.126)
Cuối cùng có phiếm hàm tương ứng phương trình vi phân dẫ n nhiệt ổn định và các
điều kiện biên là:
( )
2 22
2
1
2
23
1
() 2
2
xyz V a
V SS
TTT
I T k k k q T dV qTdS h T T dS
xxx

  ∂∂∂
= + + − ++ −  
∂∂∂  

∫ ∫∫

(3.127)

3.3.2. Thiết lập phương trình đặc trưng trong phần tử
Chia miền xác định của bài toán V thành ‘n’ phầ n tử hữu hạn, mỗi phần tử có ‘m’ nút.
Nhiệt độ trong mỗi phần tử được biểu thị bằng:

{}
1
m
e
ii
i
T NT N T
=
= =
∑ (3.128)
Ở đây, [N] = [N
1, N2, …, Nm ] là ma trận các hàm nội suy, và

{}
1
2
...
m
T
T
T
T



=



là véc tơ các nhiệ t độ nút.

105. 105
Theo nguyên lý biến phân tìm nghiệm xấp xỉ là xác định các giá trị của T để làm I(T)
cực trị, nghĩa là tìm các giá trị của T thõa mãn biến phân của phiếm hàm δI triệt tiêu, thể
hiện bởi:

1
() 0
n
i
i
I
IT
T
δ
=
∂
= =
∂
∑ (3.129)
Ở đây n là số giá trị rời rạc của T được gán đố i với miền của nghiệm. Do T
i là tùy
chọn, phương trình (3.129) thỏa mãn chỉ khi:

0
i
I
T
∂
=
∂

với i = 1, 2,…, n (3.130)
Phiếm hàm I(T) có thể viết là tổng của các phiếm hàm riêng lẻ của các phần tử, ký
hiệu I
e
, hình thành do việc rời rạc hóa miền nghiệm

() ()
1
n
ee
i
IT I T
=
=∑ (3.131)
Như vậy, thay vì phải xác định phiếm hàm trên toàn miề n của nghiệm, ta chỉ cần xác
định phiếm hàm củ a từng phầ n tử riêng biệt. Từ đó:

1
0
n
e
i
IIδδ
=
= =∑ (3.132)
Ở đây I
e
được lấy chỉ đối với m giá trị nút liên quan tới phần tử e, nghĩa là:

0
ee
j
II
TT
∂∂
= =
∂∂
với j = 1, 2,…, m (3.133)
Vì mỗi phần tử có m nút, nên phương trình (3.133) tương ứng với hệ m phương trình
biểu thị đặc tính của mỗi phần tử. Tiếp theo là lắ p ghép các phần tử bằng cách cộ ng toàn bộ
các phương trình đặc trưng củ a tất cả các phần tử theo một nguyên tắc nhất định. Cuối cùng
là giải hệ phương trình.
Bây giờ chúng ta đưa các chi tiế t để lập phương trình đặc trưng cho phần tử hữu hạn
riêng lẻ từ nguyên lý biến phân.

3.3.3. Tính các số hạng trong phiếm hàm của một phần tử
Từ (3.127) viết cho mỗi phần tử là:
( )
2 22
2
1
2
22
1
2
2
e ee
e ee e
xyz V a
V SS
TTT
I k k k q T dV qT dS h T T dS
xxx

  ∂∂∂
= + + − ++ −  
∂∂∂
  

∫ ∫∫

(3.134)

106. 106
Xét ma trận gradient nhiệt độ:
{} {}
12
1
212
12
...
...
...
...
e
m
e
m
e
m m
NNNT
Txx xx
N TNNT
g BT
y yy y
NNN TT
z zz z
 ∂∂∂∂

∂∂ ∂∂


∂∂∂∂ 
= = =   
∂ ∂∂ ∂
  
   ∂∂∂∂

 
∂ ∂∂ ∂ 
(3.135)
Ba số hạng đạo hàm đầu trong móc vuông của (3.134) được viết dưới dạng ma trận
như sau:
{} {}
2 22 00
00
00
e
xe e e eee e
xyz y
ez
T
T
x
k
T T T TTT T
kkk k
x y z xyz y
k
T
z
g Dg
∂

∂
 
    ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ 
++=     
∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂      
 
∂

∂
=


(3.136)
Vì {g}= [B]{T}, theo quy tắc chuyển vị của ma trận tích thì {}{}
T TT
g TB =

, nên có:
{} {}{} {} .
T TT
g Dg T B D BT =
 
(3.137)
Nhiệt độ trong phầ n tử:
{}
1
2
1 2 11 2 2
, ,..., ...
...
e
m mm
m
T
T
T N T N N N NT NT N T
T



  = = = + ++  



(3.138)
Thay thế (3.137) và (3.138) vào phương trình (3.134), chúng ta có phiếm hàm viết
dạng ma trận
{} {} {}
{} {}( )
2
23
1
2
2
1
2 TT
e
V
V
a
Se Se
I T B D B T q N T dV
q N T dS h N T T dS

   = −
   
 + +−
 ∫
∫∫
(3.139)
Bây giờ thực hiện cực tiểu hóa tích phân, tức là tính
{}
0
e
I
T
∂
=
∂

{} {}
{} {}( )
{}
{}( )
{}
{}( )
{}
{}( )
() ()
2
23
() ( )
1
2
1
0
2
e
TT
V
V
a b
a
Se Se
cd
I
T B D B T dV q N T dV
TT T
q N T dS h N T T dS
TT
Ω
∂∂ ∂
  = −    
∂∂ ∂ 
∂∂
 + + −=  
∂∂ 
∫∫
∫∫
(3.140)

107. 107
Vế phải của (3.140) có 4 số hạng đạo hàm theo nhiệt độ của các số hạng dưới dấu tích
phân, được ký hiệu lần lượt là (a),(b),(c),(d).
- Trước tiên tính đạo hàm của nhiệt độ trong phần tử theo nhiệt độ các nút

{}
{}( )
{}
e NT
T
TT
∂
∂ 
=
∂∂
(3.141)
Ở đây, lưu ý nhiệt độ trong phầ n tử T
e
là nhiệt độ tại toạ độ bất kỳ trong phần tử, xác
định theo (3.138). {T} là nhiệt độ tại các nút là véc tơ: {T} = [T
1 T2 ….Tn]
T
. Các nhiệ t độ
nút tuy là ẩ n số phải tìm, nhưng trong một phần tử, chúng có giá trị không đổ i.
Từ (3.138), lấy các đạo hàm của T
e
lần lượt theo nhiệ t độ các nút {T} như sau:

1
1
2
2
...
e
e
e
r
r
T
N
T
T
N
T
T
N
T
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
(3.142)
hay
{}
{}{}
1
2
...
e
T
m
N
NT
NN
T
N


∂ 
= = =
∂



(3.143)
Tính riêng đạ o hàm từng số hạng dưới dấu tích phân của phương trình (3.140) ở trên
như sau:
{}
{} {}( ) {}( )
11
() 2
22
TT T
VV
a T B D B T dV B D B T dV
T
∂
   = =
   
∂
∫∫
(3.144)
{}
{}
1
() 2
2 T
VV
VV
b q N T dV q N dV
T
∂
 = =
 
∂ ∫∫
(3.145)
{}
{}( ) ( )
22
()
T
Se Se
c q N T ds q N dS
T
∂
 = =
 
∂ ∫∫
(3.146)
{}
{}( )
{}
{}( ) {}
{}
{}{}( )
{}
{}( )
{}
22
2
33
2
3 33
11
() 2
22
1 11
2
2 22
a aa
Se Se
TT
aa
Se Se Se
d hNT T dS h NT NTT T dS
TT
h N T T N dS h N T T dS hT dS
T TT
∂∂ 
  = −= − +   
∂∂
  ∂ ∂∂
  = −+     
∂ ∂∂  
∫∫
∫ ∫∫

108. 108
Do số hạng cuối (
21
2
a
hT) không phụ thuộc nhiệt độ nên đạo hàm triệ t tiêu, bởi vậy (d)
trở thành:

{}
{}( ) {}( ) ( )
2
3 33
1
()
2
TT
aa
Se Se Se
d h N T T dS h N T N dS h N T dS
T
∂
   = −= −
   
∂
∫ ∫∫
(3.147)
Thay các kết quả của (a),(b),(c),(d) ở trên vào (3.140) được:
{}
{}( ) ( )
{}( ) ( )
2
33
0
e
T TT
V
V V Se
TT
a
Se Se
I
B D B T dV q N dV q N dS
T
h N T N dS h N T dS
∂
    = −+
    
∂
  + −=
  
∫ ∫∫
∫∫
(3.148)
Chuyể n các số hạng chứa nhiệt độ{}Tsang vế trái, các số hạng còn lại chuyển sang vế
phải được:
{} {}( ) ( )
( )
32
3
T T TT
V
V Se V Se
T
a
Se
B D B T dV h N N T dS q N dV q N dS
h N T dS

    +=−
   
+

∫ ∫ ∫∫
∫

Lưu ý rằng {T} là nhiệt độ các nút trong phầ n tử là không đổi, nên đưa ra khỏi tích
phân được, dẫn đến phương trình sau.

3.3.4. Phương trình đặc trưng củ a phần tử
{} ( )
( )
32
3
T T TT
V
V Se V Se
T
a
Se
B D B dV h N N dS T q N dV q N dS
h N T dS

    +=−   

+

∫ ∫ ∫∫
∫
(3.149)
Viết gọn hơn là:

{}{}KT f =

(3.150)
Trong đó

3
TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(3.151)
{}
23
TT T
Va
V SS
f q N dV q N ds hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(3.152)
[K] được gọi là ma trận độ cứng của phần tử, nếu phần tử ở bên trong [K] biểu thị
nhiệt dẫn.
{f} gọi là véc tơ phụ tải nhiệt, chứa các số hạng nguồn trong, bứ c xạ và đối lưu tại biên.

109. 109
(3.149) là phương trình đặc trưng của phần tử, viết cho một phần tử tổng quát có đủ
nguồn trong, bức xạ và đối lưu tại biên giới. Phương trình (3.149) là phương trình xương
sống của phương pháp biến phân trong phương pháp phần tử hữu hạn vì nó sẽ được viết lần
lượt cho tấ t cả các phần tử. Tùy thuộc từng phầ n tử có thành phần đối lưu, bức xạ, nguồ n
trong hay không, mà các số hạng tương ứng sẽ có mặt hoặc không có mặt trong phương
trình đặc trưng.





3.4. THIẾT LẬ P PHƯƠNG TRÌNH Đ ẶC TRƯNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN D ẪN NHIỆT THEO
PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
Như trên đã nói, Phương pháp Galerkin là một trong các phương pháp số dư trọng số
quan trọng nhất. Phương pháp này yêu cầu biểu thức sau phải thỏa mãn:

() 0
k
LTdω
Ω
Ω=∫
(3.153)
Ở đây: ω
k là hàm trọng số được chọn là hàm nội suy N k(x) tại các nút;
()LT là toán tử thể hiện phương trình vi phân chủ đạo;
Tlà nghiệm xấp xỉ cần tìm.
Trong bài toán dẫn nhiêt, phương trình vi phân dẫn nhiệt chủ đạo là (3.108) đã nêu,
còn các điều kiện (3.110) và (3.111) được viết gộp lại trên biên S

0
( )0
x y zV
xy z a
T TT
k k kq
x xy yz z
TT T
k i k j k k q hT T
xy z
   ∂∂ ∂∂ ∂∂
+ + +=   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂   
∂∂ ∂
+ + ++ − =
∂∂ ∂
trên biên S (3.154)
phải đồng thời thỏa mãn yêu cầu Galerkin. Nghĩa là phương trình vi phân dẫ n nhiệt chủ đạo
phải thỏa mãn:

()
() () ()
0
kx y z V
V
d
a bc
T TT
N k k k q dV
x xy yz z

   ∂∂ ∂∂ ∂∂
+ + +=   
   ∂ ∂∂ ∂∂ ∂
   

∫
(3.155)
và điều kiện biên cũng phải thỏa mãn:

()() () ()()
() 0
kx y z a
S
ke h mg
TT T
N k i k j k k q h T T dS
xy z

∂∂ ∂
+ + ++ − =

∂∂ ∂


∫
(3.156)
Với hàm trọng số N
k lấy là hàm nộ i suy. Các số hạng đã được ký hiệu là
(a),(b),..,(k),(m) để dễ theo dõi.

110. 110
Có thể sử dụng tích phân từng phần để biến đổi các số hạng đạo hàm cấp hai
(a),(b),(c), để thuận tiện hơn ở đây sử dụng bổ đề Green. Bổ đề Green phát biể u như sau,
hai hàm khả vi f
1 và f2 đối với bài toán 2 chiề u có thể biểu thị

21
1 2 12 1
21
1 2 12 2
.
.
S Sl
S Sl
ff
f dS f dS f f n dl
xx
ff
f dS f dS f f n dl
yy
∂∂
=−+
∂∂
∂∂
=−+
∂∂
∫ ∫∫
∫ ∫∫
(3.157)
Trong đó: S là miền hai chiều được bao bởi đường cong kín l.
n
1, n2 là các thành phần của pháp tuyến đường cong kín l, Hình 3.11.






Hình 3.11. Miền S hai chiều

Áp dụng bổ đề Green với f 1 = Nk và
2
T
f
x
∂
=
∂
với số hạng đạo hàm cấp hai:

2
12
.
k
kk
S Sl
NT TT
N dS dS N n dl
xx xx
∂∂ ∂∂
=−+
∂∂ ∂∂
∫ ∫∫
(3.158)
Từ đó áp dụng cho miền ba chiề u, số hạng đạo hàm cấp hai (a) của (3.155) sẽ là
()
( 2)
( ) ( 1)
()
km
m
k x kx x
S
a
aa
NNTT
a N k dV N k dS k T dV
xx x x x
ΩΩ
  ∂∂∂∂ ∂
= = −  
 ∂∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫∫
(3.159)
Ở đây, m đặc trưng cho các nút. Các số hạng (b), (c) cũng có kế t quả tương tự như
trên. Sau khi thay (a), (b), (c) vào phương trình (3.155) trở thành:
()
()
() () ()
( 2)
( 1) ( 1)
( 2)
( 1)
kx y z V
V
a bc
km
m
kx x ky
SS
a
ab
km
m
y kz
S
b
c
T TT
N k k k q dV
x xy yz z
NNTT
N k dS k T dV N k dS
x xx y
NN T
k T dV N k
yy z
Ω
Ω

   ∂∂ ∂∂ ∂∂
+ ++   
   ∂ ∂∂ ∂∂ ∂
   

  ∂∂∂∂
=−+ 
 ∂ ∂∂ ∂
 
∂∂ ∂
−+ 
∂∂ ∂

∫
∫∫ ∫
∫∫()
( 1)( 2)
0
km
m
z kV
V
dc
NN
dS k T d V N q dV
zz
Ω
∂∂
−+
∂∂
=
∫∫
(3.160)
S
l
n1
n2

111. 111
Điều kiện biên (3.156) được viết tách thành:
()
( ) ( 1)
() ( ) ( )
( 2)
m
k x k y k z k km
S S S SS
km
e gh
ak
S
m
TTT
N k dS N k dS N k dS N qdS hN N T dS
xyz
hT N dS
∂∂∂
+ + =−−
∂∂∂

+
∫ ∫ ∫ ∫∫
∫

(3.161)
Trong các biểu thức trên, N
k là hàm nội suy nhưng vớ i ý nghĩa là hàm trọng số sẽ được
viết lần lượt viết cho các nút trong mỗi phương trình: {}
1
n
mm m m
m
T NT N T
=
= =
∑
là nhiệt độ bên trong phần tử, dạng ký hiệu
mm
T NT=

Với: N
m là hàm nội suy để phân biệt với hàm trọng số N k.
T
m là nhiệt độ tại các nút trong phầ n tử
Thấy rằng ba số hạng (e), (g), (h) trong vế trái của (3.161) tương ứng với (a
1), (b1), (c1)
trong (3.160). Bởi vậy ta thay (a
1), (b1), (c1) trong (3.160) bằ ng (k), (m 1), (m2) sẽ được:
() () ()
()
( 2)( 2) ( 2)
( 1) ( ) ( 1) ( 2 )
0
k m k m km
mmm
xyz
VV
cab
m
kV k k m a k
V SS S
dk m m
NN NN NN
k TdV k TdV k TdV
xx yy zz
N q dV N qdS hN N T dS hT N dS
Ω
∂∂ ∂∂ ∂∂
−−−
∂∂ ∂∂ ∂∂
+ −− + =
∫∫∫
∫ ∫∫ ∫
(3.162)
Nghĩa là (3.162) đã bao hàm cả điều kiện biên. Nhiệt độ các nút mT tuy là ẩ n phải tìm
nhưng trong phần tử là không đổ i, nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân. Gộp các số hạng
có nhiệt độ nút {}
mT lại với nhau sẽ được:

{}
k mk mk m
x y z km m
VS
V k k ak
V SS
NNNNNN
k k k dV hN N ds T
xxyyzz
q N dV qN dS hT N dS
∂∂∂∂∂∂
++ +

∂ ∂∂ ∂∂ ∂
= −+
∫∫
∫ ∫∫
(3.163)
Chúng ta lưu ý rằng, N
m là hàm nội suy nhiệt độ, N k là hàm nội suy nhưng có vai trò
và ý nghĩa là hàm trọng số. Giữa N
m và Nk khác nhau ở chỗ, trong một phần tử, hàm nội
suy N và đạo hàm B của nó là:

12
[ ] [ ]

mn
mmm
N NN N N
NNN
B
xyz
= …=
∂∂∂
++=

∂∂∂
(3.164)
Nghĩa là các đại lượng trên là các véc tơ hàng.
Còn N
k là hàm trọng số sẽ được lấy lần lượt theo các nút trong phầ n tử, và N và B sẽ
phải được viết lần lượt theo các nút, nghĩa là phần tử có n nút sẽ viết n phương trình. Khi
gộp n phương trình lại, thì N và B đươc viết theo véc tơ cột

112. 112

1
2
...
T
k
n
N
N
NN
N



= =



và
k
T
k
k
N
x
N
B
y
N
z
∂

∂

∂
= 
∂

∂

∂
(3.165)
Bởi vậy:
.
T
k mk mk m
xyzNNNNNN
k k k B DB
xxyyzz
∂∂∂∂∂∂
++ = 
∂ ∂∂ ∂∂ ∂

(3.166)
Với [D] là ma trận hệ số dẫn nhiệt:

00
00
00
x
y
z
k
Dk
k


=



và
T
km
NN N N=

(3.167)
Phương trình (3.163) viết ở dạng ma trận là:
( ) {}
T T TT
mV
V S VS
T
a
S
B D B dV h N N ds T q N dV q N dS
hT N dS

   +=−   

+
∫ ∫ ∫∫
∫

(3.168)
Viết gọn lại
{}{}KT f =

(3.169)
Trong đó:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(3.170)
{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(3.171)
Có thể thấy hai phương trình (3.168) và (3.149) là như nhau, nghĩa là cả hai phương
pháp Biến phân và phương pháp Galerkin cho cùng kết quả như nhau.




3.5. XÁC ĐỊNH PHIẾM HÀM BÀI TOÁN DẪ N NHIỆT
QUA CÁNH
Trở lại bài toán cánh ở phần trước đã công nhận phiếm hàm. Nay chúng ta đã nắm
vững các khái niệm cơ bản của phép tính biến phân nên sẽ xây dự ng phiếm hàm tương ứng
với phương trình vi phân chủ đạo.

113. 113
Phương trình vi phân chủ đạo

2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−=
(3.172)
Theo phương pháp biến phân thì (3.172) phải thỏa mãn bổ đề cơ bản, tức là:

2
1
2
20
.. 0
d
Id
d
θ
δ µ θ δθ ξ
ξ

=−=

∫
(3.173)
Trong đó, δθ là biến phân của hàm nhiệt độ phải tìm, biểu thị điều kiện biên củ a bài toán.
Từ đó ta xác định phiếm hàm I. Từ (3.173) tách ra:

2
11
2
200
. .. 0
d
Id d
d
θ
δ δθ ζ µ θ δθ ξ
ξ
=−=∫∫
(3.174)
Áp dụng tích phân từng phần đối với số hạng đầu của (3.174) như sau:
()
1
2
11 1
200 0
0
..
d dd d
dd d
dd dd
θ θθ θ
δθ ζ δθ δθ δθ
ξξ ξξ   
= = − 
  
∫∫ ∫
(3.175)
Vì δθ = 0 tại biên (0;1), cũng như
d
d
θ
ξ
= 0 tại ξ = 0 theo điều kiện biên, nên:

1
0
0
d
d
θ
δθ
ξ
=


(3.176)
Từ tính chất (3.67) đã có:
() .
d
dd
d
θ
δθ δ ξ
ξ
= (3.177)
Phương trình (3.174) trở thành:

11
2
00
.. 0
dd
I dd
dd
θθ
δ δ ξ µ θ δθ ξ
ξξ
=− −=

∫∫
(3.178)
Từ tính chất (3.68) đã có
21
2
θδθ δθ= , nên

2
1
2
dd d
dd d
θθ θ
δδ
ξξ ξ
 
= 
 
(3.179)
Thay các quan hệ trên vào (3.178) sẽ được:

2
11
22
00
11
.0
22
d
I dd
dθ
δ δ ξ µ δθ ξ
ξ
=− −=

∫∫
(3.180)

114. 114
hay
2
1
22
0
1
0
2
d
Id
d θ
δ δ µθ ξ
ξ


= +=


∫
(3.181)
Vậy hàm tích phân biến phân, tức phiếm hàm I của bài toán là:

2
1
22
0
1
2
d
Id
dθ
µθ ξ
ξ


= +


∫
(3.182)
Phương trình (3.182) còn g ọi là phương trình biến phân của phương trình vi phân chủ
đạo.




3.6. TÓM TẮT CHƯƠNG
Chương 3 đã đề cập tới cơ sở lý thuyết để thiết lập phương trình ma trận đặc trưng khi
áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong lĩnh vự c dẫn nhiệt. Chúng ta biết rằng, trong
dẫn nhiệt, phương trình vi phân dẫ n nhiệt tổng quát nhất là phương trình Fourier. Vì thế
cũng có thể bạn đọc cho rằng chỉ cần nắm được phương trình đặ c trưng của phương trình
Fourier là đủ. Tuy nhiên, trong thự c tế đã thấy rằng tùy thuộ c dạng hình họ c và điều kiện
biên cụ thể của bài toán mà có thể dẫn tới các loại phương trình vi phân dạ o hàm riêng rất
đa dạng và phứ c tạp. Chính vì vậ y mà cần phải nắm được phương pháp biến đổi cơ bản để
có thể xử lý mọi dạng khác biệt của từng bài toán cụ thể khi gặp.
Do chương này trình bày một số lý thuyế t toán học thuần túy như phương pháp biến
phân, phương trình Euler–Lagrange, phương pháp Galerkin... có tính chất giới thiệu nên
không có yêu cầu bài tậ p. Việc biến đổi phương trình đặc trưng để có thể tính toán sẽ được
vận dụng trong các bài toán cụ thể trong các chương sau.

115. 115

Chương 4
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪ N NHIỆT ỔN ĐỊNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦ N TỬ HỮU HẠN

Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát cách giả i một số bài toán dẫn nhiệt ổn định
bằng phương pháp PTHH. Mặc dù một số bài toán giải bằng phương pháp giải tích hết sức
đơn giản, nhưng khi dùng phương pháp PTHH lại khá công phu, nhưng chúng ta vẫn phải
xem xét, vì chúng bao gồm các bước cơ bản là cơ sở quan trọng sau này áp dụ ng cho các
bài toán phức tạp mà phương pháp giải tích không thể giải được.

4.1. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲ NG MỘT LỚP
Khảo sát vách phẳng một lớp dày l, hệ số dân nhiệt k. Phía mặt trái có dòng nhiệt q,
mặt phải tiếp xúc với môi trường nhiệt độ T
a, hệ số toả nhiệt tại bề mặt phải là h. Coi nhiệ t
độ trong vách thay đổ i bậc nhất, xác định nhiệt độ hai mặt vách.






Hình 4.1. Vách phẳng và phầ n tử một chiều tương ứ ng

Phần tử hữu hạn được chọn là một chiều bậc nhất, Hình 4.1. Đó là một đoạn thẳng ký
hiệu  có hai nút là ‘1’ và ‘2’.

4.1.1. Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt
Nhiệt độ hai nút và hàm nộ i suy tương ứng đã biết là:

12 12
T NT NT= + (4.1)

2
1
21
xx
N
xx
−
=
−
và
1
2
21
xx
N
xx
−
=
−
(4.2)
q h
T
a
• •
1  2

116. 116
+ Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng của phần tử theo (3.170)

TT
e VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.3)
Trong đó, vi phân thể tích dV = Adx, diện tích toả nhiệt S = A diện tích dẫn nhiệt.
- Tính số hạng đầu của [K]
e:

1
T
e V
K B D B dV =
 ∫

Với các ma trận [B], [D], [N] xác định như sau. Chọn tọa độ
12
0;x xl= = , thì hàm nội
suy là:

1
1
x
N
l
= − và
2
x
N
l
= (4.4)
Ma trận hệ số dẫn nhiệt: [D] = k
Đạo hàm của hàm nộ i suy [B]:

1
11B
l
  = −
  
nên

11
1
T
B
l
−
=

và

2
1 1111
11
1 11T k
B DB k
ll l
  −−
  = −=    
−  
(4.5)
Vậy số hạng đầu [K]
e
1
200
11 11
.
11 11
T xl l T
Vx
k Ak
B D B dV B D B A dx Adx
ll
=
=
 −−
   = = =     
−− 
∫∫ ∫
(4.6)
- Tính số hạng sau của [K]
e:

2
T
e SA
K h N N dS
=
 =
 ∫

S
là diện tích toả nhiệt tại mặt phải cũng là A. Mặt khác toả nhiệt xảy ra ở nút 2 nên
[N] lấy ở nút 2 , tức là

()()
12
22
01NNN  = =
  
(4.7)
Nên
0 00
01
1 01
T
A
A
h N N dS h dS hA
  
  = =    
  
∫∫
(4.8)

117. 117
Vậy ma trận độ cứng của phần tử

1 1 00
1 1 01
e
Ak Ak
llAk
K hA
l Ak Ak
hA
ll
  
−  
  −   
= +=   −     
−+  
  
(4.9)
+ Véc tơ phụ tải nhiệt {f}
Theo (3.171):
{}
23
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫

Trong đó: - Nguồn nhiệt trong không có nên q
V = 0.
- Số hạng thứ 2, dòng nhiệt q tại mặt trái, tứ c nút 1 của phần tử nên

11 2 1
[N] [(N ) (N ) ] 1 0= =


- Số hạng thứ 3, toả nhiệt tại mặt phải, tức nút 2 của phần tử nên

12 2 2
[N] [(N ) (N ) ] 0 1= =


Với diện tích bứ c xạ S
2 và tỏa nhiệt S 3 đều bằng A, véc tơ phụ tải nhiệt {f} là

{}
23
10
01
10
01TT
aa
S S AA
a
a
f q N dS hT N dS q ds hT dS
qA
qA hT A
hT A
 
 =+=+   
 
 
=+=  
  ∫ ∫ ∫∫
(4.10)

4.1.2. Phương trình đặ c trưng của phần tử
Phương trình đặc trưng {}{}KT f =

cụ thể sẽ là

1
2 a
Ak Ak
ll qAT
hT ATAk Ak
hA
ll
  
−  
  
=

   
−+  
  
(4.11)

Ví dụ 4.1. Cho vách phẳng rộng có bề dày l = 4 cm, k = 0,5 W/m
0
C, q = 100 W/m
2
,
T
a = 40
0
C, h = 20 W/m
2 0
C. Xác định nhiệt độ hai mặt.
Giải: lấy A =1 m
2
, thay số có:
1 0,5
12,5
0,04
Ak
l
×
= = ; qA = 100; hTaA = 40×20 = 800.
Thay vào (4.11) được:
1
2
12,50 -12,50 100
-12,50 32,50 800
T
T
  
= 
  

118. 118
Giải ra:
1
2
53
45
T
T

= 






4.2. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲ NG NHIỀU LỚP
Khảo sát vách phẳng có 3 lớp, bề dày và hệ số dẫn nhiệt các lớp tương ứng là l 1, l2, l3
và k
1, k2, k3. Mặt trái có dòng nhiệt q, mặt phải có môi trường nhiệt độ T a hệ số toả nhiệt h,
Hình 4.2. Xác định các nhiệt độ hai mặt ngoài , các chỗ tiếp xúc và dòng nhiệt qua vách.
Rời rạc vách thành 3 phần tử, mỗi lớp là một phần tử và ký hiệu các phần tử và các nút
như Hình 4.2.





Hình 4.2. Vách nhiều lớp và sơ đồ rời rạc các phần tử

4.2.1. Phương trình đặ c trưng của các phần tử
Từ kết quả của một lớp ở trên có thể viết ngay cho từng lớp như sau
- Phần tử 1 - (lớp 1). Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là

11
11
1
11
11
kA kA
ll
K
kA kA
ll

−

=
 
−

; {}
1
0
qA
f

=


Phương trình đặc trưng của phần tử 1

11
11 1
211
11
0
kA kA
ll T qA
TkA kA
ll

−

= 


−

(4.12)
- Phần tử 2 - (lớp 2). Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là

22
22
2
22
22
kA kA
ll
K
kA kA
ll

−

=
 
−

; {}
2
0
0
f

=


q h Ta


1  2  3  4
l1 l2 l3
L
   

119. 119
Phương trình đặc trưng của phần tử 2

22
22 2
322
22
0
0
kA kA
ll T
TkA kA
ll

−

=  


−

(4.13)
- Phần tử 3 - (lớp 3). Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là

33
33
3
33
33
kA kA
ll
K
kA kA
hA
ll

−

=
 

−+ 



; {}
3
0
a
f
hAT

=


Phương trình đặc trưng của phần tử 3

33
33 3
433
33
0
a
kA kA
ll T
hATTkA kA
hA
ll

−
 
= 

 
−+ 



(4.14)

4.2.2. Lắp ghép các phầ n tử
Để lắp ghép các phần tử, mỗi phương trình ma trận của từng phần tử được viết ở dạng
có số hạng toàn cục
Phần tử 1:
11
11 1
111
311
4
00
0
00
0
00 0 00
0 0 00
kA kA
ll T qA
TkA kA
Tll
T

−




 
 =−  
  
  




(4.15)
Phần tử 2:
22 1
22 2
322
422
00 00
0
00
0
0
00
0
00 00
kA kA T
ll T
TkA kA
Tll




−


  
 =  
   
−
   




(4.16)

120. 120
Phần tử 3:
1
33
2
33 3
433
33
00 0 0
00 0 0 0
0
00
0
00
a
T
kA kA T
ll T
hATTkA kA
hA
ll




 
− = 

 

 

−+ 


(4.17)

Cộng các phương trình trên lại được phương trình ma trận toàn cụ c sau

11
11
31 12
1
1 12 3
2
3322
42 23
33
33
00
0
0
0
00
00
a
kA kA
ll
kAkA kA kA qAT
l ll l T
TkAkA kA
hATTl ll
kA kA
hA
ll

−


 
− +−


  
=  
  
−+ 
   

 
 −+ 

 
(4.18)
Với số liệu của bài toán cụ thể giải ra dược phân bố nhiệt độ trong vách





4.3. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG CÓ NGUỒ N NHIỆT
BÊN TRONG
Khảo sát vách phẳng dày 2L, hệ số dẫn nhiệt k, nguồ n trong q V, nhiệt độ hai mặt là
T
W1 và TW2.









Hình 4.3. Vách phẳng có nguồn trong
-L
+L
TW1
TW2
0 x
T

121. 121
Trong Chương 1 ta đã biết phương trình vi phân đối với bài toán một chiều ổn định có
nguồn bên trong là:

2
2
0
V
qdT
kdx
+= (4.19)
Nghiệm giải tích củ a bài toán là hàm bậc 2 của toạ độ, Hình 4.3.
() ( )
22 12 12
2 22
V ww ww
q TT TT
Tx L x x
kL
−+
= −− + (4.20)
Nếu nhiệt độ hai mặt ngoài vách bằ ng nhau, nghiệm có dạng
() ( )
22
2
V
W
q
Tx L x T
k
= −+ (4.21)
Khi đó chỉ cần khảo sát trên một nửa vách.
Do phân bố nhiệt độ trong vách phẳng có nguồ n bên trong là đường cong, nên có thể
dùng phầ n tử hữu hạn 1 chiều bậc nhất hoặc phần tử 1 chiều bậc hai. Chúng ta sẽ lần lượt
khảo sát cách sử dụng hai loại phần tử dưới đây.

4.3.1. Giải bằng phần tử bậc nhất
a. Rời rạc miền nghiệm
Xét một vách phẳng rất dài, có bề dày 2L. Chia bề dày vách thành n phầ n tử, n+1 nút,
mỗi phần tử dài.
l = 2L/n, Hình 4.4. Diện tích mặt cắt ngang truyền nhiệt A. Ở đây lấy n = 4.






Hình 4.4. Rời rạc bề dày tấm thành n phần tử, n+1 nút

b. Ma trận độ cứng và Véc tơ phụ tải
Tính
e
K

và {}f
- Ma trận độ cứng của phần tử nằm bên trong vách theo (3.170), do không có toả nhiệt,
nên chỉ còn

T
e V
K B D B dV =
 ∫
(4.21)
1 2 3 4 n n+1
   …
2L
n 

122. 122
Hàm nội suy [N] của phần tử 1 chiều bậc nhất và đạo hàm của hàm nộ i suy [B] cũng
như hai bài toán trước, nên có

11
11T
e V kA
K B D B dV
l
−
 = = 
−
∫
(4.22)
- Véc tơ phụ tải nhiệt theo (3.171), do không có bứ c xạ và toả nhiệt nên chỉ còn
{}
T
V
V
f q N dV=
∫
(4.23)
Khi tính véc tơ phụ tải của mỗi phần tử ta lưu ý rằng, do q
V phân bố đều trong cả phần
tử, nên mỗi hàm nội suy tại mỗi nút lấ y giá trị trung bình tại hai vị trí, tức là

()()()()
10 01
2 2 22jjii
ij i j
ij
NNNN
N NN
 ++
++
= = =
 


(4.24)
Do đó:
1
11
2
N  =
  
;
11
21T
N

=

(4.25)
vậy {}
0
111
.
2211
xlT
V
VV
x
V
q Al
f q N dV q A dx
=
=
 
= = = 
 
∫∫
(4.26)

c. Phương trình đặc trưng c ủa phần tử
Phương trình đặc trưng củ a các phần tử có
e
K

và {}f như nhau

11 1 2
211 1
2
Vi
ii V
jj V
q AlkAkA
TTq AlkA ll
TTl q AlkA kA
ll

−    −  
= = =   
−      
−
  
(4.27)

d. Phương trình ma trận tổng thể
Lắp ghép các phần tử, với trường hợp có 4 phần tử 5 nút, ma trận tổng thể của hệ như
sau
1
2
3
4
5
0 00
2
00
22
00
22
00
2
00 0
V
VV
VV
V
q Al
kA kA
ll
q Al q Al
kA kA kA kA
T
l ll l
T
q Al q AlkA kA kA kA
T
l ll l
T
kA kA kA kA q Al q
T
l ll l
kA kA
ll

−




+−+−  
 


  
− +− =+  
 
 

 − +− + 
 

 −

2
2
V
V
Al
q Al





















(4.28)

123. 123
4.3.2. Giải bằng phần tử bậc hai
Phân bố nhiệt độ của trong vách phẳng có nguồn trong theo giải tích là hàm bậc hai,
vậy có thể khảo sát bài toán bài toán trên bằng phầ n tử bậc hai. Mỗ i phần tử bậc hai cầ n 3
điểm để biểu thị nhiệt độ thay đổi theo hàm bậc hai củ a toạ độ như đã biết.
T = N
iTi + NjTj + NkTk (4.29)
Các hàm nội suy đã có trong phần trước:

22 2
22 2
32 44 2
1 ; ;
i jk
xx xx xx
N NN
ll lll l
   
= − + = − =−+   
   
(4.30)
Đạo hàm của hàm nội suy [B] đã xác định được là

2 22
4 3 48 4 1x xx
B
ll ll ll
   
=−− −   
   
(4.31)

a. Ma trận độ cứng
Để tính ma trận độ cứng là
T
V
K B D B dV =
 ∫
, cần phải xác định tích số:

T
B DB


Trong đó, [D] = k; và chú ý các phép nhân ma trận sau:

1
1 2 11 2 2
2
b
a a ab ab
b

   = +  

và
1 11 1 2
12
2 21 2 2
a ab ab
bb
a ab ab
  
 =  
  
(4.32)
Nên
2
2 2 22
2
2
2 2 22 2
43
48 4 3 48 4 1
41
43 4348 4341
4
T
x
ll
xx xx
B DB D
l ll lll ll
x
ll
x x xx x
l ll l ll l ll l
D
l

−

 
    = − −− −    



−



− −− − −

=

2
22 2 22
2
22 2 2 2
8 4 3 48 48 4 1
4143 4148 41
xx x xx
ll l lll l ll
xx x x x
l l ll lll l l l





−− − −−




− − −− −



(4.33)

124. 124
+ Tính ma trận độ cứng
2 22
16 24 16 32 24 16 4 12
9 12 3
2 22
2 22
1 16 32 24 64 64 16 32 8
12 16 4
22 2 2
2
16 12 4
3
2
T
V
K B D B dV
x x xx x x xx
l l l lll ll
x x x xx x xx
Ak
l ll l lll l l
x xx
lll
   =
   
    
    − + − −+ − − +
    
    
   
   = −−+ −+ −−+
   
   

 − −+

∫
22
16 32 8 16 8
41
22
dx
x
xx x xx
ll lll





∫ 


   

   − −+ − +
    
   
(4.34)
Sau khi lấy tích phân sẽ có:
3 2 2 3 32
2 22
23 23 2 3
22 2 2
32 2 3
22
16 24 40 32 16 16
9 12 3
22 23 33
1 40 32 64 64 24 32
12 16 4
2 223 33
16 16 24 32 16
34
2233
xx xx xx
x xx
ll ll ll
xx xx x x
K Ak x x x
l llll l l
xx x x
xx
llll
    
−+ −− −+    
    
   
= − − − + −−    
   
  
− + −−  
  
32
2
0
8
23
l
xx
x
ll








−+

(4.35)

Thay cận sẽ được:
16 32 16
12 9 20 12 8 3
3 33
14 16 2
1 32 64 32
20 12 16 32 12 4 16 32 16
3 3 36
2 16 14
16 32 16
8 3 12 4 4 1
3 33
Ak
K Ak
ll
   
− + − − −+   
   
−

    
 = − − − + −− = − −    
   
−

    
−+ −− −+    

    

Cuối cùng có ma trận độ cứng của một phần tử một chiều bậc hai

14 16 2
16 32 16
6
2 16 14
Ak
K
l
−

=−−

−

(4.36)

b. Véc tơ phụ tải

T
V
Y
f q N dV  =
  ∫
, thay [N]
T
vào

2
2
2
2
2
2
32
1
44
2
T
VV
V
xx
ll
xx
f q N dV q Adx
ll
xx
ll
Ω

−+



  = = −   




−+

∫∫
(4.37)

125. 125
lấy tích phân sẽ được:
23
2
23
2
23
2
0
32
32
23
23
694 1
44 4
2 12 8 4
2 36 63
34 1
2
2
23
23
L
V
V VV
xx
x
lll
ll
q Alxx l
f qA qA l l qA
ll
ll
xx
ll

−+
−+


  −+

   
= − = − = −=    

    −+   
 −+
−+  

(4.38)

c. Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử

14 16 2 1
16 32 16 4
66
2 16 14 1
i
V
j
k
T
q AlAk
T
l
T
  −
  
− −=   
  −
  
(4.39)

Thí dụ 4.2. Vách phẳng dày 2L = 0,06 m; hệ số dẫn nhiệt k =12 W/m
0
C; nguồn trong
q
V = 200000 W/m
3
; nhiệt độ hai mặt ngoài đều bằng T W =30
0
C. Xác định nhiệt độ trong
tấm.
Do nhiệt độ đối xứng, nên chỉ cần khảo sát nửa tấm.
Giải bằng 4 phần tử bậc nhất, 5 nút. Chiều dài mỗi phần tử: l = L/4 = 0,03/4 =
0,0075(m)






Hình 4.5. R ời rạc các phần tử trên nửa tấm phẳng có nguồ n trong

Ma trận toàn cục của hệ: theo (4.28) ma trận toàn cục của hệ như sau

1
2
3
4
5
0 00
2
00
22
00
22
00
2
00 0
V
VV
VV
V
q Al
kA kA
ll
q Al q Al
kA kA kA kA
T
l ll l
T
q Al q AlkA kA kA kA
T
l ll l
T
kA kA kA kA q Al q
T
l ll l
kA kA
ll

−




+−+−  
 


  
− +− =+  
 
 

 − +− + 
 

 −

2
2
V
V
Al
q Al




















(4.40)
L = 0,03 m
   
x = 0 x
T
W = 30
0
C
q
V = 200000W/m
3
1 2 3 4 5

126. 126
Cho A = 1m
2
; Tính k/l = 12/0,0075 = 1600 m
2
/W; qV.l/2 = 200000× 0,0075/2 = 750
W/m. Thay trị số trên vào phương trình ma trận đặc trưng toàn cục được

1
2
3
4
5
1600 1600 0 0 0 750
1600 3200 1600 0 0 1500
0 1600 3200 1600 0 1500
0 0 1600 3200 1600 1500
0 0 0 1600 1600 750
T
T
T
T
T
   −
  
−−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 −   
(4.41)
Áp đặ t điều kiện biên
Tại bề mặt có nhiệt độ T
W = 30 = T5 , nên phải áp đặt điều kiện biên như sau. Để T 5 =
30 thì:
- Hàng thứ 5 chỉ có một hệ số 1 của nhiệt độ T
5 là:
12345
0. 0. 0. 0. . 30T T T TT+ + + +=
- Hàng thứ 4: nhân nhiệt độ T
5 = 30 vào cột 5, là -1600×30 = - 48000, rồi chuyển sang
vế phải:
12 3 4 5
0 0 1600 3200 0 30 1600 1500 49750TT T TT+− + +=× + =
Ma trận toàn cục sau khi áp đặt điều kiện biên là

1
2
3
4
5
1600 1600 0 0 0 750
1600 3200 1600 0 0 1500
0 1600 3200 1600 0 1500
0 0 1600 3200 0 49750
000 01 30
T
T
T
T
T
  −
  
−−
  
 
 =−−  

 
−
 

 
  
(4.42)
Giải ra

1
2
3
4
5
37,5000
37,0313
35,6250
33,2813
30,0000
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(4.43)

Thí dụ 4.3. Giải bài toán trên bằng phần tử một chiều bậc hai.
Theo đề bài có L = 0,03 m; k =12 W/m
0
C; qV = 200000 W/m
3


a. Khảo sát bằng sơ đồ 1 phần tử một chiều bậc hai
Phương trình đặc trưng của phần tử một chiều bậc hai

14 16 2 1
16 32 16 4
66
2 16 14 1
i
V
j
k
T
q AlAk
T
l
T
  −
  
− −=   
  −
  
(4.44)

127. 127
Phần tử có l = L = 0,03 m; 3 nút 1,2 và 3, Hình 4.6. Lấy A =1 m
2
.














Hình 4.6. Sơ đồ sử dụng 1 phầ n tử bậc hai có 3 nút

Tính các số hạng: k/6×l = 12/(6× 0,03) = 66,6667; q V×.l/6 = 200000×0,03/6 = 1000.
Thay vào phương trình đặc trưng của phần tử sẽ được

1
2
3
14 16 2 1
66,6667 16 32 16 1000 4
2 16 14 1
T
T
T
    −
    
− −=   
  −
    

Hay
1
2
3
933,3 1066,7 133,3 1000
1066,7 2133,3 1066,7 4000
133,3 1066,7 933,3 1000
T
T
T
    −
    
− −=  
  −
    
(4.45)
Áp đặ t điều kiện biên: Do T
3 =30, thay vào, hệ trở thành

1
2
3
933,33 1066,7 0 1000 133,3 30 2999,0
1066,7 2133,3 0 4000 1066,7 30 36001
0 0 1 30 30
T
T
T
    − −× −
   
− = + ×=   
  
   
(4.46)
Giải ra được
{}
37,5101
35,6317
30,0000
T


=


(4.47)

b. Khảo sát bằng sơ đồ 2 phần tử một chiều bậc hai
Phương trình đặc trưng của phần tử

14 16 2 1
16 32 16 4
66
2 16 14 1
i
V
j
k
T
q AlAk
T
l
T
  −
  
− −=   
  −
   
(4.48)
Khi dùng 2 phần tử bậc hai, thì mỗi phần tử có l = L/2 = 0,03/2 = 0,015 m; 3 nút. Hai
phần tử có 5 nút, H ình 4.7. Lấy A =1 m
2
.
l = 0,03 m
1 2 3
 e

128. 128
Tính k/6×l = 12/(6×0,015) = 133,3333; q V×l/6 = 200000×0,015/6=500.
















Hình 4.7. Sơ đồ sử dụng 2 phầ n tử bậc hai

Phương trình ma trận đặc trưng của hai phần tử là như nhau
Phần tử 1
1
2
3
1866,7 2133,3 266,7 500
2133,3 4266,7 2133,3 2000
266,7 2133,3 1866,7 500
T
T
T
    −
    
− −=  
  −
    
(4.49)
Phần tử 2
3
4
5
1866,7 2133,3 266,7 500
2133,3 4266,7 2133,3 2000
266,7 2133,3 1866,7 500
T
T
T
    −
    
− −=  
  −
    
(4.50)
Lắp ghép được
( )
1
2
3
4
5
1866,7 2133,3 266,7 0 0 500
2133,3 4266,7 2133,3 0 0 2000
266,7 2133,3 1866,7 1866,7 2133,3 266,7 500 500
20000 0 2133,3 4266,7 2133,3
5000 0 266,7 2133,3 1866,7
T
T
T
T
T
 − 
 
−−
 

 − +− = +


−−


− 








(4.51)
Áp đặ t điều kiện biên T
5 =30, hệ trở thành
1
2
3
4
5
1866,7 2133,3 266,7 0 0 500
2133,3 4266,7 2133,3 0 0 2000
266,7 2133,3 3733,4 2133,3 0 1000 266.7 30 7001
0 0 2133,3 4266,7 0 2000 2133.3 30 65999
00001 30
T
T
T
T
T
   −
  
−−
  
 
 =− − − ×=−  


− + ×=



  




(4.52)
Giải ra

37,4524
36,9862
35,5843
33,2523
30,0000
T




=




(4.53)
l= 0,015
1 2 3 4 5
 
l= 0,015

129. 129
So sánh các nghiệm của các phương pháp giải tích, phần tử bậc nhất, bậc hai một phần
tử và hai phần tử như sau
Bảng 4.1. So sánh nghiệm của các phương pháp
T
1 T
2 T
3 T
4 T
5
PTHH bậc hai
1 phần tử 37,5101 - 35,6317 - 30,0000
2 phần tử 37,4524 36,9862 35,5843 33,2523 30,0000
PTHH bậc nhất (5 phần tử) 37,5000 37,0313 35,6250 33,2813 30,0000
Nghiệm giải tích 37,5000 37,0313 35,6250 33,2813 30,0000

Thấy rằng nghiệm PTHH khi dùng 5 phầ n tử bậc nhất chính xác hơn hai phầ n tử bậc hai.

Trường hợp nhiệt độ hai mặt khác nhau
Thí dụ 4.4. Vách phẳng dày 2L = 0,075 m; hệ số dẫn nhiệt k =12 W/m
0
C; nguồ n
trong q
V = 200000 W/m
3
; Cho biết nhiệt độ hai mặt ngoài là T W1 45
0
C; TW2 =30
0
C. Xác
định nhiệt độ trong tấm, giải bằng 10 phần tử bậc nhất, 11 nút. Chiều dài mỗi phần tử: l =
L/10 = 0,075/10 = 0,0075(m)







Hình 4.6. R ời rạc vách phẳng có nguồn trong.thành 10 phầ n tử

Phương trình đặc trưng vầ n có dạng như (4.39), chỉ khác là có 11 nút nên K là ma trận
11×11. Thay giá trị số vào được
1600-1600000000000
-1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0
000000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 750
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
0 0 -1600 3200 -1600 1500
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 750
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 
 
 
 




 












 


















=


























(4.54)

Áp đặ t điều kiện biên T w1 = 45
0
C, Tw2 = 30
0
C
         
x = 0 x
T
w2 = 30
0
C
q
V = 200000W/m
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T
w1 = 45
0
C

130. 130
10000000000
0 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
01
45
73500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
1500
49500
000000000 30
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T













 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  



















=























(4.55)
Giải ra nghiệ m và thể hiện trên đồ thị như sau:
{}
45,0000
47,7188
49,5000
50,3438
50,2500
49,2188
47,2500
44,3438
40,5000
35,7188
30,0000
T









=









(4.56)








Hình 4.6. Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng
có nguồn bên trong




4.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ
Xét vách trụ đường kính trong d 1, ngoài d2 , hệ số dẫn nhiệt k, mặt trong có nhiệt độ
T
m1, mặt ngoài toả nhiệt ra môi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường T a. Khi sử
dụng phương pháp phần tử hữu hạn, có thể coi thay đổi nhiệt độ là tuyến tính.
Chọn 1 phần tử một chiều bậc nhất, chiề u dài phần tử là bề dầy vách l = r
2 – r1, Hình
4.7.






Hình 4.7. Vách trụ và chọn phần tử một chiều tương ứng

131. 131
Thể tích phần tử khảo sát là V = π (r 2
2- r1
2)×1, vi phân thể tích là dV = 2πrdr. Như vậy
biến số độc lập trong vách trụ là r thay cho x trong vách phẳng. Nhiệt độ trong vách trụ vẫn
tuân theo các công thức của phần tử một chiều bậc nhất, được nội suy qua nhiệt độ hai nút:

11 2 2
T NT NT= + (4.57)

4.4.1. Hàm nội suy
Khi đặt r 1 = 0; r2 = r, các hàm nội suy [N] đối với vách trụ cũng giống như đố i với
vách phẳ ng sẽ là:

12
1
rr
N NN
ll
 
  = = −    
 
(4.58)

4.4.2. Đạo hàm của hàm nộ i suy
Đạo hàm của hàm nộ i suy [B] cũng như trong vách phẳng

1
11B
l
  = −
  
(4.59)
Toạ độ r được biểu thị qua hàm nội suy như sau:

11 2 2
r Nr Nr= + (4.60)

4.4.3. Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng của phần tử vách trụ vẫn theo công thứ c

T T
VA
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.61)
- Tính số hạng thứ nhất:

T
V
B D B dV 
 ∫

Tích số
T
B DB

đối với phần tử một chiều bậc nhất, ta đã biết là

2
1 1111
11
1 11
T k
B DB k
ll l
  −−
  = −=    
−  

Ở đây, vách trụ có chiề u dài phần tử là l , và
22
21
l (r - r ) = . Bởi vậy,

( )
2
2
2
221
1
21
11 1122
211 11
r
Tr
Vr
r
k kr
B D B dV rdr
l
rr
ππ −−
  = =   
−−  −
∫∫

132. 132
Sau khi thay cận có

( )
( )
12
21 112
2 11T
V rrk
B D B dV
rrπ +−
 = 
−− 
∫
(4.62)
- Tính số hạng thứ hai:

T
A
h N N dS
∫

Diện tích toả nhiệt mặt ngoài vách trụ là A = 2π r
2×1. Toả nhiệt chỉ ở nút 2 đã tính
trong (4.7), nên có

2
0 00
0 1 2.
1 01T
A
A
h N N dS h dS r h π
  
  = =    
  
∫∫
(4.63)
Vậy ma trận độ cứng [K] là

( )
( )
12
2
21
1 1 002
2.
2 1 1 01
rrk
K rh
rr
π
π
+  −
= +   
−−   
(4.64)

4.4.4. Véc tơ phụ tải nhiệt
Do chỉ toả nhiệt tại mặt ngoài có diện tích A = 2πr 2×1, nên
{}
2
0
2.
1T
aa
A
f hT N dS hT r π

= = 

∫
(4.65)

4.4.5. Phương trình đặ c trưng của phần tử
Cuối cùng có phương trình đặc trưng phần tử là

( )
( )
12 1
22
221
1 1 00 02.
2. 2.
2 1 1 01 1
a
rr Tk
r h hT r
Trr
π
ππ
 +     −  
+=       
−−      
(4.66)

Thí dụ 4.4. Tính nhiệt độ mặt ngoài và phân bố nhiệt độ trong vách trụ với số liệu
sau: r
1 = 30 cm, r2 = 50 cm, k = 15W/m
0
C. Mặt trong có T W1 =80
0
C; mặt ngoài có h =
10W/m
2 0
C, Ta = 20
0
C.
a. Khảo sát bằng sơ đồ một phần tử bậc nhất













Hình 4.8. Chọn 1 phầ n tử một chiều cho vách trụ
T
W1 = 80
0
C
T
a = 20
0
C
h = 10 W/m
2 0
C
1 2
e 

133. 133
Chiều dài phần tử l = r 2 – r1 = 50 – 30 = 20 cm = 0,2 m.
Ma trận độ cứng và véc tơ tải như sau

( )
12
2
21
() 1 1 002
2.
2 1 1 01
1 1 002 .15 (0,5 0,3)
. 2 .0,5.10
0,2 2 1 1 01
188,4955 188,4955
188,4955 219,9105
e
rrk
K rh
rrπ
π
π
π +  −
= +  
−−   
  −+
= +  
−  
 −
=
−
(4.67)
{}
2
0 00
2 . 10.20.2 .0,5
1 1 628,3185
a
f hT rππ
   
= = =   
   
(4.68)
Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử là

1
2
188,4955 188,4955 0
188,4955 219,9105 628,3185
T
T
  − 
= 
−   
(4.69)
Áp đặt điều kiện biên: T
1 = 80
0
C sẽ có

1
2
1 0 80
0 219,9105 628,3185 188,4955.80
T
T
  
= 
+  
(4.70)
Giải ra: T
2 = 71,4286
0
C

b. Khảo sát bằng sơ đồ hai phầ n tử bậc nhất
Khi coi bề dày vách trụ gồm hai phần tử, sơ đồ sẽ có ba nút:1, 2 và 3. Chiều dài mỗi
phần tử là:
l = (r
2 – r1)/2 = (50 – 30)/2 = 10 cm, ba nút tương ứng với các toạ độ là: r 1 = 30 cm, r2
= 40 cm và r
3 = 50 cm.






Hình 4.9. Chọn 2 phầ n tử một chiều cho vách trụ
T
W1=80
0
C
T
a=20
0
C
h = 10W/m
2 0
C
1 2 3
 

134. 134
• Phần tử 1: Phần tử 1 có hai nút 1 và 2, không có đối lưu
- Ma trận độ cứng

( )
( )
12
1
21
11 112 . 2 .15 (0,3 0,4)
2 0,1 211 11
329,8672 329,8672
329,8672 329,8672
rrk
K
rr
ππ + −− +
= =  
−−−  
 −
=
−
(4.71)
- Véc tơ tải
{}
1
0
0
f

=

(4.72)
- Phương trình ma trận đặc trưng:

1
2
329,8672 329,8672 0
329,8672 329,8672 0
T
T
  − 
=  
−   
(4.73)
• Phần tử 2: Phần tử 2 có hai nút là 2 và 3, có đối lưu tại nút 3
- Ma trận độ cứng:

23
3
2
32
() 1 1 002
2.
( )2 1 1 01
1 1 002 .15 (0,4 0,5)
. 2 .0,5.10
0,1 2 1 1 01
424,115 424,115
424,115 455,531
rrk
K rh
rrπ
π
π
π +  −
= +  
− −  
  −+
= +  
−  
 −
=
−
(4.74)
- Véc tơ tải
{}
3
2
0 00
2 . 10.20.2 .0,5
1 1 628,318
a
f hT rππ
   
= = =   
   

(4.75)
- Phương trình ma trận đặc trưng:

2
3
424,115 424,115 0
424,115 455,531 628,318
T
T
   − 
= 
−    
(4.76)
+ Lắp ghép phương trình đặ c trưng tổng thể:

1
2
3
329,8672 329,8672 0 0
329,8672 (329,8672 455,531) 424,115 0
0 424,115 455,531 628,318
T
T
T
     −
    
− +− =  
  −
    
(4.77)
+ Áp đặt điều kiện biên: do T
1 = 80
0
C, nên

135. 135

1
2
3
1 0 0 80
0 753,982 424,115 329,8672 80
0 424,115 455,531 628,318
T
T
T
    
    
−=×  
 −
    
(4.78)
Giải ra
1
2
3
80,000
75,113
71,312
T
T
T


= 
 

(4.79)

c. Khảo sát bằng sơ đồ 4 phần tử bậc nhất
Khi chia bề dày vách trụ thành bố n phần tử, sơ đồ sẽ có 5 nút:1, 2, 3, 4 và 5. Chiều dài
mỗi phần tử là: l = (50 – 30)/4 = 5 cm, năm nút tương ứng với các toạ độ là: r
1 = 30 cm, r2 =
35 cm, r
3 = 40 cm, r4 = 45 cm, r5 = 50 cm.
• Phần tử 1: Phần tử 1 có hai nút 1 và 2, không có đối lưu
- Ma trận độ cứng

( )
( )
12
1
21
11 112 . 2 .15 (0,3 0,35)
2 (0,35 0,30) 211 11
612,61 612,61
612,61 612,61
rrk
K
rr
ππ + −− +
= =  
−−−−  
 −
=
−
(4.80)
- Véc tơ tải
{}
1
0
0
f

=

(4.81)
- Phương trình ma trận đặc trưng:

1
2
612,61 612,61 0
612,61 612,61 0
T
T
   − 
=  
−    
(4.82)



















Hình 4.10. Sử dụng 4 phần tử một chiều cho vách trụ
T
W1=80
0
C
T
a=20
0
C
h = 10W/m
2 0
C
1 2 3 4 5
   

136. 136
• Phần tử 2: Phần tử 2 có hai nút là 2 và 3
- Ma trận độ cứng:

23
2
32
() 11 112 2 .15 (0,35 0,4)
.
( ) 2 (0,4 0,35) 211 11
706,86 706,86
706,86 706,86
rrk
K
rr
ππ+ −− +
= =  
−− −− 
 −
=
−

(4.83)
- Véc tơ tải
{}
2
0
0
f

=

(4.84)
- Phương trình ma trận đặc trưng:

2
3
706,86 706,86 0
706,86 706,86 0
T
T
  − 
=  
−   
(4.85)
• Phần tử 3: tương tự trên có ma trận độ cứng và phương trình đặ c trưng

34
3
() 11 112 2 .15 (0,4 0,45)
.
2 0,05 211 11
801,11 801,11
801,11 801,11
rrk
K
lππ+ −− +
= = 
−− 
 −
=
−


3
4
801,11 801,11 0
801,11 801,11 0
T
T
   − 
=  
−    
(4.86)
• Phần tử 4: có đối lưu tại nút 5
- Ma trận độ cứng có thành phần đối lưu

45
5
4
() 1 1 002
2.
2 1 1 01
1 1 002 .15 (0,45 0,5)
. 2 .0,5.10
0,05 2 1 1 01
0 0 895,35 895,35
0 31,415 895,35 926,765
rrk
K rh
l
π
π
π
π
+  −
= +   
−  
  −+
= +   
−  
   −
= =  
−  
(4.87)
- Véc tơ tải
{}
5
4
0 00
2 . 10.20.2 .0,5
1 1 628,318
a
f hT rππ
   
= = =    
   
(4.88)
- Phương trình ma trận đặc trưng:

4
5
895,35 895,35 0
895,35 895,35 628,318
T
T
  − 
= 
−    
(4.89)

137. 137
+ Lắp ráp phương trình đặc trưng tổng thể

1
2
3
4
5
612,61 612,61 0 0 0 0
612,61 1319,46 706,85 0 0 0
0 706,85 1507,96 801,11 0 0
0 0 801,11 1696,46 895,35 0
0 0 0 895,35 926,765 628,318
T
T
T
T
T
   −
  
−−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 −   
(4.90)
+ Áp đặ t điều kiện biên với T
1 = 80
0


1
2
3
4
5
1 0 0 0 0 80
0 1319,46 706,85 0 0 49008,8
0 706,85 1507,956 801,11 0 0
0 0 801,11 1696,46 895,35 0
0 0 0 895,35 926,765 628,318
T
T
T
T
T
  
  
−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 −   
(4.91)
Giải ra nghiệ m

1
2
3
4
5
80,0000
77,3708
75,0921
73,0811
71,2818
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(4.92)
So sánh kết quả của các sơ đồ và nghiệm giải tích như sau
Bảng 4.2. So sánh nghiệm của các phương pháp
Nhiệt độ nút T
1 T
2 T
3 T
4 T
5
Sơ đồ 1 phần tử 80 - - - 71,4286
Sơ đồ 2 phần tử 80 - 75,1130 - 71,3120
Sơ đồ 4 phần tử 80 77,3708 75,0921 73,0811 71,2618
Nghiệm giải tích 80 77,3656 75,0835 73,0706 71,2700






4.5. DẪN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ CÓ NGUỒ N TRONG
Xét vách trụ đường kính trong d 1, ngoài d2, hệ số dận nhiệt k, mặt trong có nhiệt độ
T
w1, mặt ngoài toả nhiệt ra môi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường T a, bên trong
vách có nguồn q
V.
4.5.1. Ma trận độ cứng
Khi phầ n tử có nguồ n bên trong, phương trình ma trận độ cứng (4.64) vẫ n không thay đổ i

( )
( )
12
2
21 1 1 002
2.
2 1 1 01
rrk
K rh
rrπ
π +  −
= +  
−−   
(4.93)

138. 138
4.5.2. Véc tơ phụ tải nhiệt
Véc tơ phụ tải, ngoài số hạng đối lưu sẽ có thêm số hạng nguồ n trong 2.
T
V
r
q N rdrπ
∫

{} 2.
TT
aV
A
r
f hT N dS q N rdr π = +
 
∫∫
(4.94)
- Số hạng đối lưu đã biết là

2
0
2.
1T
aa
A
hT N dS hT rπ

 = 

∫

- Tính số hạng nguồ n trong, ký hiệu
qV
f

:
2.
T
V
qV
r
f q N rdr π  =
  ∫
(4.95)
Biến số độc lập r trong tọa độ trụ được biểu thị theo hàm nộ i suy

11 2 2
r Nr Nr= + (4.96)
Với các hàm nộ i suy N
1 và N2 là:

12
1 ;
rr
NN
ll
=−= (4.97)
thay (4.71) và (4.72) vào (4.70) sẽ được:

2
1 1 1 1 22
11 2 2 2
2 2 11 2 2
2 .( ) 2
VV
qV
rr
N N r NNr
f q N r N r dr q dr
N N Nr N r
ππ
 +
= += 
+ 
∫∫
(4.98)
Để tính biểu thức trên, có thể áp dụng công thức tích phân:

!!
( 1)!
ab
ij
l ab
N N dl
ab
=
++
∫
(4.99)
Với ;
ij
NN là hàm nội suy cũng là các toạ độ khu vực; a, b là các số mũ. Các số hạng

11 1!1!
(111)! 6
ij
l
l
N N dl= =
++
∫
và
2 2!0!
(2 0 1)! 3
i
l
l
N dl= =
++
∫
(4.100)
Thực hiện tích phân số hạng nguồ n trong (4.98)
12
2 2112 12
1
12 12
12 2 2( )22
36
2. .
2266
63
rj
rVV
Vr
qV
ri
rr
rr
q qr rrr rr
fq r
rr rrrr
rr
ππ
π

+
  −++ 
 = = = 
++   
+


(4.101)
Vậy véc tơ tả i của phân tố là
{}
21 12
2
12
2( ) 20
2. 2.
261
TT
V
aV a
A
r
qr r rr
f hT N ds q N rdr hT r
rr
π
ππ
− + 
 =+=+    
+ 
∫∫

(4.102)

139. 139
4.5.3. Phương trình ma trận đặc trưng
Phương trình ma trận đặc trưng của phân tố vách trụ có nguồn trong là
( )
12
22
21
21 12
12
1 1 00 02
2. 2.
( )2 1 1 01 1
2( ) 2
26
i
a
j
V
rr Tk
r h hT r
Trr
qr r rr
rr
π
ππ
π
 +     −  
+=       
− −      
− +
+ 
+


(4.103)

Thí dụ 4.7. Giải bài toán vách trụ khi biết nhiệt độ tại hai măt vách.
Vách trụ có đường kính trong 30 cm, đường kính ngoài 50cm, hệ số dẫn nhiệt 1,2
W/m
o
C. Vách có nguồn nhiệt thể tích 1000W/m
3
. Mặt trong vách có nhiệt độ 30
o
C, mặt
ngoài vách có 25
o
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong vách.
Chia bề dày vách thành 4 phầ n tử, mỗi phần tử dài l = (50-30)/4 = 5 cm như trên Hình
4.8. Toạ độ các nút r
1 = 0,30 m; r2 = 0,35 m; r3 = 0,40 m; r4 = 0,45 m; r5 = 0,50 m .





Hình 4.11. Rời rạc phần tử hữu hạn trong vách trụ

a. Ma trận độ cứng của các phần tử
- Phần tử 1 không có đố i lưu mặt trong nên có công thứ c như sau
( )
12
1
21
0,3 0,35() 1 1 1 1 49 492. 2.1,2
( ) 2 0,05 21 1 1 1 49 49
rrk
K
rrππ ++  − −−
= = =  
− − −−  

(4.104)
- Các phần tử 2, 3 cũng không có đối lưu nên có cùng dạng công thứ c trên, chỉ khác
nhau về các r
i

( )
23
2
32
0,35 0,40() 11 112.. 2.1,2
( ) 2 0,05 211 11
56,55 56,55
56,55 56,55
rrk
K
rrππ ++ −−
= = 
− −− 
 −
=
−

(4.105)

( )
34
3
43
0,4 0,45() 11 112. 2.1,2
( ) 2 0,05 211 11
64,08 64,08
64,08 64,08
rrk
K
rrππ ++ −−
= = 
− −− 
 −
=
−
(4.106)

   
1 2 3 4 5

T
w2 = 25
0
C
T
w1 = 30
0
C

140. 140
- Phần tử 4 có đối lưu,nên ma trận độ cứng là:

( )
( ) ( )
45
4
54
0,45 0,511 112 2 1, 2
2 0,05 211 11
71,63 -71,63
71,63 71,63
rrk
K
rr
ππ ++ −−
= =  
−−−  

=
−
(4.107)

b. Véc tơ phụ tải nhiệt của các phần tử
- Véc tơ lực của phần tử 1, không có đố i lưu
{}
21 12
1
12
2. ( ) 2 2.0,30 0,35 49,742 .1000(0,35 0,3)
266 0,3 2.0,35 52,36
V
qr r rr
f
rrπ π − +   +−
= = =    
+ +   
(4.108)
- Véc tơ phụ tải của các phầ n tử 2 và 3 không có thành phần đối lưu là
{}
32 23
2
23
2. ( ) 2 2.0,35 0,4 57,582 .1000.0,05
266 0,35 2.0,4 60,20
V
qr r rr
f
rrπ π − +   +
= = =    
+ +   
(4.109)
{}
43 34
3
34
2. ( ) 2 2.0,4 0,45 65,442 .500.0,05
266 0,4 2.0,45 68,06
V
qr r rr
f
rrπ π − +   +
= = =    
+ +   
(4.110)
- Véc tơ lực của phần tử 4 có thành ph ần đối lưu là
{}
45
4
45
2. 2 2.0,45 0,5 73,302 .500.0,05
266 0,45 2.0,5 75,92T
V
V q rr
f qNd l
rrπ π
Ω
+   +
= Ω= = =    
+ +   
∫
(4.111)

c. Lắp ghép các phần tử
1
2
3
4
5
49 49 0 0 0 49,74 49,74
49 105,55 56,55 0 0 52,36 57,58 109,94
0 56,55 120,63 -64,08 0 60,2 65,44 125,6
0 0 -64,08 135,71 -71,63 68,06 73,3
0 0 0 71,63 71,63 75,92
T
T
T
T
T
  −
  
−− +
  
 
 = =−+  

 
+
 

 −   
4
141,36
75,92









(4.112)
d. Áp đặt điều kiện biên
1
2
3
4
5
1 0 0 0 0 30 30
0 105,55 56,55 0 0 49 30 109,94 1579,94
0 56,55 120,63 -64,08 0 125,64 125,64
0 0 -64,08 135,71 0 71,63 25 141,36 1932.11
0 0 0 0 1 25 25
T
T
T
T
T
    
    
− ×+
    
  
 = =−   

 
×+
 

 
     



(4.113)

141. 141
Giải ra nghiệ m và biểu thị trên đồ thị như sau
1
2
3
4
5
30,0000
31,7745
31,3679
29,0485
25,0000
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(4.114)

Hình 4.12.

Bài toán vách trụ điều kiện biên giới loại ba
Thí dụ 4.7. Xác định nhiệt độ trong một vách trụ rất dài, đường kính trong 30 cm,
ngoài 50cm có nguồ n nhiệt thể tích 500W/m
3
, hệ số dẫn nhiệt 1,2W/m
0
C. Bên trong vách
có chất lỏng nhiệt độ 30
0
C, hệ số tỏa nhiệt 200W/m
2 0
C, bên ngoài tiếp xúc vớ i chất lỏng
nhiệt độ 25
0
C, hệ số tỏa nhiệt 12W/m
2 0
C.
Chia bề dày vách thành 4 phầ n tử, mỗi phần tử dài l = (50-30)/4 = 5 cm như trên Hình
4.13.







Hình 4.13. Rời rạc phần tử hữu hạn trong vách trụ

Toạ độ các nút r 1 = 0,30 m; r2 = 0,35 m; r3 = 0,40 m; r4 = 0,45 m; r5 = 0,50 m.
a. Ma trận độ cứng của các phần tử
- Phần tử 1 có đối lưu mặt trong nên có công thứ c như sau
( )
12
11
1
21
() 1 1 102.
2.
( )2 1 1 00
0,3 0,351 1 1 0 425,99 492 .1, 2
2 .0,30.200
0,05 2 1 1 0 0 49 49
rrk
K rh
rr
π
π
π
π
+  −
= +   
− −  
+     −−
= +=     
−−    
(4.115)
   
1 2 3 4 5

Mặt trong Mặt ngoài
T
a2 = 25
0
C
h
2 = 12W/m
2 0
C


T
a1 = 30
0
C
h
1 = 200W/m
2 0
C

142. 142
- Các phần tử 2, 3 không có đối lưu nên có cùng dạng công thức, chỉ khác nhau về các r i
( )
23
2
32
0,35 0,40() 11 112.. 2.1,2
( ) 2 0,05 211 11
56,55 56,55
56,55 56,55
rrk
K
rrππ ++ −−
= = 
− −− 
 −
=
−
(4.116)
( )
34
3
43
0,4 0,45() 11 112. 2.1,2
( ) 2 0,05 2 11 11
64,08 64,08
64,08 64,08
rrk
K
rr
ππ ++ −−
= =  
− −− 
 −
=
−
(4.117)
- Phần tử 4 có đối lưu,nên ma trận độ cứng là:
( )
( )
( )
45
52
4
54
1 1 002
2.
2 1 1 01
0,45 0,51 1 0 0 71,63 -71,632 1, 2
2 .0,5.12
0,05 2 1 1 0 1 71,63 109,33
rrk
K rh
rr
π
π
π
π
+  −
= +   
−−   
+     −
= +=     
−−    
(4.118)

b. Véc tơ phụ tải nhiệt của các phần tử
- Véc tơ lực của phần tử 1, có đối lưu tại điểm 1
{}
21 12
11 1
1
12
2. ( ) 2 1
.2 .
26 0
2.0,30 0,35 12 .500(0,35 0,3)
200.30.2 .0,3
6 0,3 2.0,35 0
24,87 11309,73 11334,60
26,18 0 26,18
V
L
qr r rr
f hT r
rrπ
π
π
π − + 
= +  
+ 
  +−
= +  
+  
    
=+=    
    
(4.119)
- Véc tơ phụ tải của các phần tử 2 và 3 không có thành phần đối lưu là
{}
32 23
2
23
2. ( ) 2 2.0,35 0,4 28,792 .500.0,05
266 0,35 2.0,4 30,10
V
qr r rr
f
rr
π π− +   +
= = =     
+ +   
(4.120)
{}
43 34
3
34
2. ( ) 2 2.0,4 0,45 32,722 .500.0,05
266 0,4 2.0,45 34,03
V
qr r rr
f
rr
π π− +   +
= = =     
+ +   
(4.121)
- Véc tơ lực của phần tử 4 có thành phần đối lưu là
{}
45
5
4
45
2. 2 0
.2 .
26 1
2.0,45 0,5 0 36,652 .500.0,05
12.25.2. .0,5
6 0,45 2.0,5 1 980,43TT
V
Va a
S q rr
f q N d hT N ds l hT r
rrπ
π
π
π
Ω
+ 
 = Ω+ = +   
+ 
    +
= +=     
+    
∫∫
(4.122)

143. 143
c. Lắp ghép các phần tử

1
2
3
4
5
425,99 49 0 0 0 11334,60 11334
49 105,55 56,55 0 0 26,18 28,79
0 56,55 120,63 -64,08 0 30,10 32,72
0 0 -64,08 135,71 -71,63 34,03 36,65
0 0 0 71,63 109,33 980,43
T
T
T
T
T
  −
  
−− +
  
 
 = =−+  

 
+
 

 −  
,60
54,79
62,82
70,68
980,43









(4.123)
Giải ra nghiệ m và biểu diễn trên đồ thị như sau
1
2
3
4
5
30,2405
31,5824
31,7763
30,9671
29,2564
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(4.124)

Hình 4.14. Phân bố nhiệt độ trong vách trụ






4.6. DẪN NHIỆT QUA THANH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔ I
Khảo sát bài toán dẫn nhiệt qua thanh thẳng dài L, tiết diên chữ nhật, bề rộng b, bề dày
a, hệ số dẫn nhiệt k. Gốc thanh có nhiệt độ T
b. Đỉnh thanh cách nhiệ t, mặt xung quanh
thanh tỏa nhiệt ra môi trường nhiệt độ T
a, hệ số tỏa nhiệt h, Hình 4.15.







Hình 4.15. Dẫn nhiệt qua thanh tiết diện chữ nhật

Thay đổ i nhiệt độ bên trong mỗi phần tử hữu hạn coi là tuyến tính. Chúng ta sẽ sử
dụng các phương trình phần tử từ công thức tổng quát đã cho trong phầ n 3.3.4 và 3.4 và xác
định phân bố nhiệt độ trên thanh.
L
a
b
cách nhiệt
Tb
h ; Ta
k

144. 144
Nhiệt độ trong các phần tử là tuyến tính, nên:
T = N
iTi + NjTj (4.125)

Đạo hàm bậc nhất là:

11ji
i j ij
dNdNdT
T T TT
dx dx dx l l
= + =−+ (4.126)
Ma trận gradient là:
{}
11
i
j
TdT
g BT
Tdx l l
 
==−=  
 
(4.127)
Ở đây:
1
11B
l
  = −
  
(4.128)
Phương trình ma trận:
{}{}KT f =

(4.129)

4.6.1. Ma trận độ cứng
Từ (3.151) và (3.170) có:

TT
VS
K B D B dV h N N ds      = +
      ∫∫

Ở đây vi phân thể tích là dV =Adx; vi phân diện tích là ds = Pdx; A là diện tích mặt
cắt ngang của cánh, P là chu vi của cánh từ đó có tỏa nhiệt đối lưu; [D] = k
x đối với bài
toán một chiều.

111
11
1
i
x ij
e
jlS
N
K k Adx h N N Pdx
Nll
−
   = −+     
 
∫∫
(4.130)
Hay
2
2 2
11
11
i ijx
e
lS ij i
N NNAk
K dx hP dx
l NN N
−
 = + 
−  
∫∫
(4.131)
Ở đây N
i = Li; Nj = Lj nói chung đúng với tất cả các phần tử tuyến tính có thể sử dụng
công thức:

!!
( 1)!
ab
ij
l
ab
L L dl
ab
=
++
∫
(4.132)

11 1!1! 1
(111)! 6
ij
l
N N dl= =
++
∫

145. 145

2 2!0!
(2 0 1)! 3
i
l
l
N dl= =
++
∫
(4.133)
Nếu A, k
x, P và h là không đổi qua phần tử, các số hạng tích phân trong (4.131) là

2
11 11
11 11
xx
l
Ak Ak
dx
ll
 −−
= 
−− 
∫

và

2
2
2136
612
63
i ij
ij i
ll
N NN hPl
hP dx hP
llNN N

 
 = = 
 


∫

Cuối cùng ma trận độ cứng [K]
e là

1 1 21
61 1 12
x
e
Ak hPl
K
l
  −
= +   
−  
(4.134)

4.6.2. Phụ tải nhiệt
Từ (3.51) và (3.171) đã có:
{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N ds hT N ds  = −+
  ∫ ∫∫
(4.135)
Trong trường hợp này tải nhiệt được phân bố đều giữa hai nút.
{}
11 1
22 211 1
va
e
q Al hT PlqPl
f
  
= −+  
  
(4.136)
Khi thay thế giá trị số cụ thể sẽ nhận được nghiệm của bài toán đã cho.

Thí dụ 4.8. Cho biết các kích thước của thanh thẳng như sau: L= 6 cm, a =3 cm;
b=4cm, k = 300W/m
o
C. Gốc thanh nhiệt độ T b = 100
o
C, môi trường xung quanh có nhiệt
độ Ta = 30
o
C, hệ số tỏa nhiệt h= 150W/m
2o
C, Hình 4.16.








Hình 4.16
6 cm
4 cm
3 cm
cách nhiệt
100
0
C
h = 150W/m
2 o
C ; Ta = 30
o
C
k = 300 W/m
o
C

146. 146
a. Khảo sát bằng sơ đồ một phần tử
Khi thanh chỉ là một phần tử thì l = 6 cm, như H ình 4.17




Hình 4.17. Thanh chữ nhật một phần tử

0,03 0,04 0,0012A=×= ; (0,04 0,03) 2 0,14P= + ×=
Ma trận độ cứng là

1 1 21
61 1 12
1 1 2 1 6,42 5,790,0012.300 150.0,14.0,06
0,06 61 1 1` 2 5,79 6,42
x
e
Ak hPl
K
l
  −
= +  
−  
    −−
=+=     
−−    

(4.137)
Số hạng tải là

1 1 18,9150.0,14.0,06.30
221 1 18,9
a
hPlT
f
   
= = =   
   
(4.138)
Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử là
{}{}
1
2
6,42 5,79 18,9
5,79 6,42 18,9
T
KT f
T
  − 
 =⇒=  
−    
(4.139)
Áp đặt điều kiện biên nhiệt độ đã biết tại điểm 1 là T
1 = 100
o
C

1
2
1 0 100
0 6,42 18,9 5,79 100
T
T
  
= 
+×  
(4.140)
Giải ra T
2 = 93,13
o
C

b. Khảo sát bằng sơ đồ hai phầ n tử (3 nút)
Chiều dài của cánh được chia làm hai phần tử, mỗi phần tử có l = 0,03 m.



Hình 4.18. Sơ đồ thanh gồ m 2 phần tử
L= l = 6cm
1 2
0,03 0,03

1  2  3

147. 147
Ma trận độ cứng của mỗi phần tử được tính toán tương tự với trường hợp một phần tử,
nghĩa là
12
1 1 21
61 1 12
1 1 2 1 12,21 11,8950,0012.300 150.0,14.0,03
0,03 6 1 1 1 2 11,895 12,21
x
Ak hPl
KK
l
  −
 = = +    
−  
    −−
= +=     
−−    
(4.141)
Véc tơ phụ tải của mối phần tử là
{}{}
12
1 1 9,45150.0,14.0,03.30
221 1 9,45
a
hPlT
ff
   
= = = =    
   
(4.142)
Lắp ghép hai phầ n tử lại như sau. Phương trình ma trận mỗi phần tử là:
Phần tử 1
1
2
12,21 11,895 9,45
11,895 12,21 9,45
T
T
  − 
= 
−   
⇒
1
2
3
12,21 11,895 0 9,45
11,895 12,21 0 9,45
0 00 0
T
T
T
    −
    
−=  
 
    

Phần tử 2
2
3
12,21 11,895 9,45
11,895 12,21 9,45
T
T
  − 
= 
−   
⇒
1
2
3
00 0 0
0 12,21 11,895 9,45
0 11,895 12,21 9,45
T
T
T
    
    
−=  
 −
    

Cộng hai phương trình ma trận trên được:

1
2
3
12,21 11,895 0 9,45
11,895 (12,21 12,21) 11,895 9,45 9,45
0 11,895 12,21 9,45
T
T
T
     −
    
− +− =+  
  −
    
(4.143)
Áp đặ t điều kiện biên: nhiệt độ tại gốc thanh đã cho là T
1 =100
o
C

1
2
3
1 0 0 100
0 24,42 11,895 18,9 11,895.100
0 11,895 12,21 9,45
T
T
T
    
    
−=+  
 −
    
(4.144)
Giải ra

1
2
3
100,0000
94,8892
93,2152
T
T
T


= 
 

(4.145)

148. 148
c. Khảo sát bằng sơ đồ bốn phần tử (5 nút)




Hình 4.19. Sơ đồ 4 phần tử, 5 nút

Chiều dài của cánh được chia làm bố n phần tử, mỗi phần tử có l = 0,015 m.
Ma trận độ cứng của mỗi phần tử
1234
1 1 21
61 1 12
1 1 2 1 24,105 23,94750,0012.300 150.0,14.0,015
0,015 6 1 1 1` 2 23,9475 24,105
x
Ak hPl
KKKK
l
  −
  = = = = +     
−  
    −−
=+=     
−−    

(4.146)
Véc tơ tải của mối phần tử là
{}{}{}{}
1234
1 1 4,725150.0,14.0,015.30
221 1 4,725
a
hPlT
ffff
   
= = = = = =   
   
(4.147)
Phương trình đặc trưng toàn hệ sau lắp ghép
1
2
3
4
5
24,105 23,9475 0 0 0 4,725
23,9475 48,21 23,9475 0 0 9,45
0 23,9475 48,21 23,9475 0 9,45
0 0 23,9475 48,21 23,9475 9,45
0 0 0 23,9475 24,105 4,725
T
T
T
T
T
   −
  
−−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 −   
(4.148)
Áp đặ t điều kiện biên T
1 = 100
o
C
1
2
3
4
5
10000 100
0 48,21 23,9475 0 0 2404,2
0 23,9475 48,21 23,9475 0 9,45
0 0 23,9475 48,21 23,9475 9,45
0 0 0 23,9475 24,105 4,725
T
T
T
T
T
  
  
−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 −   
(4.149)
Giải ra được:

1
2
3
4
5
100,0000
97,0116
94,048
93,6516
93,2357
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(4.150)
   
0,015 0,015 0,015 0,015



1 2 3 4 5

149. 149
Nghiệm chính xác:

cosh ( )
() ( )
cosh
ba a
mL x
Tx T T T
mL
−
= −+ (4.150)
Với x = [0 0,015 0,03 0,045 0,06]; m 7,637
hP
kA
= = ; nghiệm ghi trong bảng so sánh
sau:
Bảng 4.2. So sánh nhiệt độ thanh tính theo các phương pháp khác nhau x mm 0,0 0,015 0,030 0,045 0,060
1 phần tử 100,00 93,13
2 phần tử 100,00 94,8892
4 phần tử 100,00 97,0116 94,0480 93,6516 93,2357
Giải tích 100,000 97,0151 94,9107 93,6590 93,2435

Thấy rằng khi sử dụng nhiều phần tử, nghiệm có độ chính xác cao sát với nghiệm giải
tích.



4.7. DẪN NHIỆT QUA CÁNH CÓ TIẾT DIỆN THAY ĐỔI
Khảo sát một phần tử cánh điển hình, bề rộng b, chiều dài L. Tại vị trí i và j cánh có bề
dày
i
dvà
j
d diện tích mặt cắt tương ứng là
i
Avà
j
A, chu vi tương ứng là
i
P và
j
P như trên
Hình 4.13.





Hình 4.13. Cánh mỏng dần và phần tử với các nút i j

Từ hình vẽ chúng ta có diện tích tiết diện cánh và chu vi tại i,j là:

;
i ij j
A bd A bd= =

và 2( ); 2( )
i ij j
P bd P bd=+=+ (4.152)
Vì A thay đổi bậc nhất theo x:
1
ij
i ij
AA xx
AA xA A
L LL
− 
=− = −+ 

nên có thể biểu thị theo hàm nội suy:

ii j j
A NA NA= + (4.153)
L
di
dj
b
i j

150. 150
L là chiề u dài của phần tử. Bằng cách tương tự chu vi cũng biến đổi được thành:

ii j j
P NP NP= + (4.154)

4.7.1. Ma trận độ cứng
Từ định nghĩa

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.155)
Ở đây, V và S là thể tích và diệ n tích bao quanh miền khảo sát, nên:

0
xl
V
x
dV Adx
=
=
=∫∫
và
0
xl
Sx
ds Pdx
=
=
=∫∫

- Tính số hạng đầu:
T
V
B D B dV 
 ∫


20
2
2
11
11
11 11
2211 11
lT
ij
i
V
ij ij
i
AAk
B D B dV A x dx
ll
AA AAk lk
Al
lll
 −−
 = −  − 
  −+ −−
= −=    
  −−    
∫∫

Vậy,
11
211T
ij
V AAk
B D B dV
l
+−
 =  − 
∫
(4.156)
- Tính số hạng sau:
T
S
h N N ds
∫


( )
2
2
00
32 2 2
2 2 320
.
( )( )
( )( )
ll
T
i iji
i j ii j j
jS ij j
l
ii ijj iji ijj
i ji i jj ji i jj
N NNN
h N N ds h N N Pdx h N P N P dx
N NN N
NP NNP NNP NNP
h dx
N NP NN P N P NN P

 = = + 
 
 ++
=
++

∫∫ ∫
∫

Áp dụng công thức tích phân
!!
( 1)!
ab
ij
l
ab
N N dl
ab
=
++
∫
, với hai số hạng

( )
( )
3
2 0!3! 6
;
240 3 1!
1!2! 2
24121!
i
l
ij
l
N dx l l
N N dx l l
= =
++
= =
++∫
∫
(4.157)
sẽ được

151. 151
0
11
4 12 12 3
12 3
11
12 4 12
ij
ij
l
ij iji
ij
j ij i jij
ji
PP
PP
PP PPN hl
h N N Pdx hl
N PP P PPP
PP
 +
+ 
 ++  
 = =  

+++    
+ 

∫

(4.158)
Vậy ma trận độ cứng:

( ) ( )( )
( )( )3
11
2 1211 3
ij ijij
ij i j
PP PPAA
k hl
K
l PP P P
+++−
= +
− ++

(4.159)

4.7.2. Véc tơ phụ tải
Từ định nghĩa:
{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N ds hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(4.160)
q
V là mật độ nguồn thể tích, q mật độ dòng nhiệt bề mặt, h hệ số tỏa nhiệt bệ mặt, T a
nhiệt độ môi trường bao quanh; S = A; dV =Adx , ds = Pdx. Xác đị nh từng số hạng như sau.
- Số hạng nguồ n trong:
2
2
()
2
36
6 2
63
T
i i i jji
V V ii j j V
jll l i ji j j
ji
ij
V
V
j iji
N A NN AN
q N Adx q N A N A dx q dx
N NN A N A
AA
AAql
ql
A AAA
+
 = +=
+ 


+
= = 
 +



∫∫ ∫

(4.161)
- Số hạng dòng nhiệt bức xạ:

2
2
()
2
36
6 2
63
T
ii
ii j j
jjAl l
ji
iji i i jj
l j iji ji j j i NN
q N dS q Pdx q N P N P dx
NN
PP
PPN P NNP ql
q dx ql
P PPNNP N P P
 
−=− =− +  
  

+ ++
=− =−=− 
 ++ 

+

∫∫ ∫
∫
(4.162)
- Số hạng đối lưu tại bề mặt xung quanh A:

2
6 2
TT
ij
a
aa
Al ij
PPhT l
hT N dS hT N Pdx
PP
+
 = = 
 
+

∫∫
(4.163)
- Nếu mặt cuối cánh có diện tích A
n, , phần tử cuối sẽ có toả nhiệt biểu thị bởi

0
1
T
a an
An
hT N dS hT A

 = 

∫
(4.164)

152. 152
Vậy véc tơ phụ tải nhiệt của mỗi phân tố sẽ là:
{}
22 2 0
6662 2 21
i j i j ij
Va
an
i j i j ij
A A PP PPq l hT l ql
f hT A
A A PP PP
    ++ + 
= ++ +     
++ +         
(4.165)
Số hạng cuối chỉ có với phần tử cuối cùng.

4.7.3. Phương trình đặ c trưng của phần tử
Phương trình đặc trưng của phần tử
ijđối với cánh có thiế t diện thay đổi là

( ) 311
2 12 11 3
22 2 0
6662 2 21
ij ij ij i
jij i j
i j i j ij
Va
an
i j i j ij
AA PP PP Tk hl
Tl PP P P
A A PP PPq l hT l ql
hT A
A A PP PP
+ ++ −  
+   
− ++   
    ++ + 
= −+ +     
++ +         
(4.166)

Thí dụ 4.8. Khảo sát cánh phẳng bề dày giảm dần từ gốc dày d 1 = 3 cm đến đỉnh dày
d
3 = 2 cm, như H ình 4.14. Đỉnh cũng mất nhiệt ra môi trường, hệ số tỏa nhiệt h = 100 W/m
2
0
C, nhiệt độ môi trường T a = 25
0
C. Chiều dài tổng của cánh là L = 40 cm, chiều rộng cánh
b = 4 cm. Hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 250 W/m
0
C. Xác định phân bố nhiệt độ nếu gốc
giữ nhiệt độ T
b = 80
0
C.
Chia miền khảo sát thành hai phần tử chiều dài 10 mm như trên Hình 4.14.
Từ số liệu có:
A
1 = bd1 = 0,04.0,03 = 0,0012; P 1 = 2(b+d1) = 2(0,04+0,03) = 0,14
A
2 = bd2 = 0,04.0,025 = 0,0010; P 2 = 2(b+d2) = 2(0,04+0,025) = 0,13
A
3 = bd3 = 0,04.0,02 = 0,0008; P 3 = 2(b+d3) = 2(0,04+0,02) = 0,12










Hình 4.14. Sơ đồ rời rạc 2 phần tử
a. Ma trận độ cứng các phần tử
- Phần tử 1: l = 0,2
( )
12 12 12
1
12 1 2 311
32 1211
1 1 3.0,14 0,13 0,14 0,13250 0,0012 0,001 100.0,2
0,2 2 121 1 0,14 0,13 0,14 3.0,13
2,2916 -0,925

-0,925 2,258
AA PP PPk hl
K
PP P Pl
+ ++−
= +
++− 
  − +++
= +  
− ++  

=


(4.167)
 
20 cm 20 cm
1 2 3

153. 153
- Phần tử 2: l = 0,2
( )
( )
23 23 23
2
23 2 3
311
32 12 11
0,001 0,00081 1 3.0,13 0,12 0,13 0,12250 100.0,2
0,2 2 12 1 1 0,13 0,12 0,13 3.0,12
1,975 0,7084
0,7084 1,9416
AA PP PPk hl
K
PP P Pl
+ ++−
= + 
++− 
+   − ++
= +   
− ++  
 −
=
−
(4.168)
b. Véc tơ phụ tải
- Phần tử 1:
{}
12
1
12
2 2.0,14 0,13 34,1666100.25.0.2
266 0,14 2.0,1333,3333
a
hT lPP
f
PP
+  +
= = =  
+ + 
(4.169)
- Phần tử 2:

{}
23
0
2
23
2 0
26 1
2.0,13 0,12 0 31,666100.25.0,2
100.25.0,0008
6 0,13 2.0,12 1 32,833
a
a
hT lPP
f hT A
PP
+ 
= + 
+

  +
= +=   
+  

(4.170)

c. Lắp ghép các phần tử

1
2
3
2,2916 -0,925 0 34,666
-0,925 (2,258 1,975) 0,7084 (33,333 31,666)
0 0,7084 1,9416 32,833
T
T
T
    
    
+− = +  
  −
    
(4.171)
Phương trình đặc trưng tổng thể (chưa kể điều kiện biên)

1
2
3
2,2916 0,925 0 34,666
0,925 4,233 0,7084 64,999
0 0,7084 1,9416 32,833
T
T
T
    −
    
− −=  
  −
    
(4.172)
Áp đặt điều kiện biên T
1 =80
0
C, phải thay đổi như sau:
 Dòng 1: T
1 = 80;
 Dòng 2: 0T
1+4,233.T2–0,7084.T3 = 64,999+0,925×80 =138,999

d. Phương trình đặc trưng toàn c ục
Sau khi thay điều kiện biên, phương trình đặc trưng tổng thể trở thành

1
2
3
1 0 0 80
0 4,233 0,7084 138,999
0 0,7084 1,9416 32,833
T
T
T
    
    
−=  
 −
    

154. 154
Giải ra:
1
2
3
80,000
37,986
30,769
T
T
T


= 
 

(4.173)



4.8.
DẪN NHIỆT HAI CHIỀ U QUA PHẦN TỬ TAM GIÁC ĐƠN
Khảo sát bài toán dẫn nhiệt hai chiề u của một phần tử tam giác 1 2 3, có diện tích là A,
bề dày δ được thể hiện trên hình 4.15. Để bài toán mang tính tiêu biểu, nghĩa là có đủ các
thành phần phụ tải nhiệt, chúng ta cho mặt bên dưới ứng với cạnh 12 có dòng nhiệt bức xạ
q, mặt bên phải ứng với cạnh 23 có toả nhiệt với môi trường và trong tam giác có nguồn
nhiệt phân bố đều q
V. Mặt bên trái ứng với cạnh 31 được cách nhiệ t.






Hình 4.15. Phần tử tam giác tiêu biể u

Phương trình đặc trưng cần xác định

{}{}KT f =

(4.174)
Trong đó ma trận độ cứng phần tử

2
2
TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.175)
và véc tơ phụ tải
{}
12
12
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫∫∫
(4.176)
Trong các công thứ c trên:
 dV = δdA; với A là diện tích tam giác, δ là bề dày tam giác;
 S
1 là diện tích mặt bên có cạnh 12 dài l 12, nhận dòng nhiệt bức xạ q; dS 1 = δdl 12;
 S2 là diện tích mặt bên có cạnh 23 dài l 23, nhận dòng nhiệt đối lưu; dS 2 = δdl 23.

qV
h, Ta
1
2
3
cách nhiệt
q

155. 155
4.8.1. Thiết lập ma trận độ cứng
Phân bố nhiệt độ và hàm nội suy trong phầ n tử tam giác đã biết trong Chương 2.

11 2 2 3 3
T NT NT NT=++ (4.177)

( )
( )
( )
1 11 1
2 22 2
3 33 3
1
;
2
1
;
2
1
2
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++
(4.178)
Với
12332 123 132
2 3 1 13 2 3 1 2 1 3
3 12 21 3 1 2 3 2 1
; ;
; ;
;;

a x y xy b y y c x x
a xy xy b y y c x x
a xy xy b y y c x x
=− =−=−
=− =−=−
=− =−=−

(4.179)
đều là các hằng số khi tọa độ không đổi.
Đạo hàm hàm nội suy theo (2.109) đã có

312
123
312 123
1
2
NNN
bbbxxx
B
NNN cccA
yyy
 ∂∂∂

∂∂∂
= = 
∂∂∂


∂∂∂
(4.180)
- Tính số hạng dẫn nhiệt của ma trận độ cứng
.
TT
VA
B DBdV B DB dS δ   =
   ∫∫

Trường hợp tổng quát vật liệu không đẳ ng hướng thì hệ số dẫn nhiệt [D]:

0
0
x
y
k
D
k

=



11
123
22
123
33
11
123
222
123
33
22
1 1 1 2 12 13 13
2
12 12 22
011
022
1
4
1
4T
x
y
xx x
yy y
xy x y x y
x y xy
bc
k bbb
B DB b c
k cccAA
bc
bc
kb kb kb
bc
kc kc kcA
bc
kb kc kbb kcc kbb kcc
kbb kcc kb kc
A

 
 =  
 



= 


+++
=++
2
2 23 23
22
13 13 2 3 2 3 3 3
xy
x y x y xy
kbb kcc
kbb kcc kbb kcc kb kc


+

+++


156. 156

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
4
T
xy
A
b bb bb c cc cc
B D B dS k kbb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
δ
δ
  
  
 = +  
  
  
∫
(4.181)
- Tính số hạng đối lưu của ma trận độ cứng

3
2
2
TT
S
h N N dS h N N dl δ =
 ∫∫


2
1 1 12 13
2
2 1 2 3 12 2 23
2
3 13 2 3 3
T
N N NN NN
N N N N N N NN N NN
N NN NN N


  = =
  

 
(4.182)
Tại cạnh 23 có N
1 = 0, còn N2 và N3 thay đổi giữa 0 và 1 như đã biết trong phần trước
Bảng 4.4 . Tri số hàm nội suy tại các nút
Nút 1 Nút 2 Nút 3
N
1 1 0 0
N
2 0 1 0
N
3 0 0 1

Bởi vậy

3
2
2 2 23
2
22
23 3
00 0
0.
0
T
S
h N N dS h N N N dl
NN N
δ


 =



∫∫
(4.183)
Áp dụng công thức tích phân
!!
( 1)!
ab
ij
l
ab
N N dl
ab
=
++
∫
với các số hạng trên sẽ được

23
2
2
000
.
021
6
012
T
S hl
h N N dSδ


 =



∫
(4.185)
Vậy ma trận độ cứng sẽ là
22
1 1 2 13 1 12 13
2322
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
(. )(. )
000
.
021
64
012
xy
e
K doi luuK dan nhiet
b bb bb c cc cc
hl
Kk k bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
δδ
−−
   
   
= ++   
   
  
(4.186)
Chỉ số e trong phương trình trên biểu thị phần tử đơn.
Phương trình ma trận độ cứng (4.186) có hai số hạng là số hạng dẫn nhiệt (K
dan-nhiet) và
số hạng đối lưu (K
dol-luu).

4.8.2. Véc tơ phụ tải nhiệt
Công thức tính chung:

157. 157
{}
12
12
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫∫∫
(4.187)
- Số hạng nguồ n trong là
1
2
3
T
VV
VA
N
q N dV q N dA
N
δ


 =


∫∫

Do nguồn trong phân bố đều trong tam giác nên
()()(){ }{ }
11 1 1 1
123
1 11
100
3 33
NN N N N= = + + = ++ =
()()(){ }{ }
22 2 2 2
123
1 11
010
3 33
NN N N N= = + + = ++ =
()()(){ }{ }
33 3 3 3
123
1 11
001
3 33
NN N N N= = + + = ++ =
Vậy:
11
11
33
11
T
VV
V
VA q qA
q N dV dAδ
δ
 
 
 = = 
 
 
∫∫
(4.188)
- Số hạng dòng nhiệt bức xạ tại cạnh 12 là:
12
2
11
3
.
T
S
N
q N dS q N dl
N
δ


−=− 


∫∫

Trên cạnh 12 có N
3 = 0; còn N1 và N2 thay đổ i giữa 0 và 1, nên áp dụng công thức tích
phân:
!!
( 1)!
ab
ij
l
ab
L L dl
ab
=
++
∫
đối với N 1 và N2 thì đều có

10 1!0! 1
(1 0 1)! 2
i j ij
ll l
N dl N dl N N dl= = = =
++∫∫∫

Vậy:
12
1
1
1
.
1
2
0
T
S
ql
q N ds
δ


−=− 


∫
(4.189)
- Số hạng toả nhiệt trên cạnh 23 là:
1
3
22
2
2
3
.
T
aa
S
N
hT N dS hT N dl
N
δ


 = 


∫∫

Cũng tương tự như trên, N
1 = 0 tại 23, còn N2 và N3 được tính theo tích phân trên nên có

23
2
2
0
1
2
1
T
a
a
S
h Tl
hT N dS
δ


 = 


∫
(4.190)
Véc tơ phụ tải nhiệt:
{}
2312
11 0
..
11 1
32 2
10 1
a
e
hT lqlGA
f
δδδ
  
  
=−+  
  
  
(4.191)

158. 158
4.8.3. Phương trình đặ c trưng của phần tử tam giác
Phương trình đặc trưng của phần tử tam giác có nguồn trong, có bức xạ tại cạnh 12 ,
đối lưu tại cạnh 23 là
22
11 1 2 13 1 12 13
2322
22 12 2 23 12 2 23
22
313 2 3 3 13 2 3 3
12
000
.
021
64
012
11
.
11
32
10
xy
V
Tb bb bb c cc cc
hl
kk Tbb b bb cc c cc
A
Tbbbbb ccccc
qA ql
δδ
δ δ
     
     
++     
     
     
  
  
= −  
  
  
23
0
.
1
2
1
a
hT lδ


+ 


(4.192)
- Nếu các tải nhiệt có trên các cạnh khác, cách tính tương tự trên, có thể xem trong Bài
tập 4.15, 4.16.
- Nếu nguồn nhiệt không phân bố đều trong miền Ω, mà tập trung tại một điểm có toạ độ
(x
0, y0) gọi là “nguồn điểm” q* thì số hạng nguồ n thứ nhất trong vế phải là

1
1
3
1
V
qAδ





được thay bằ ng
00
1
2
3
(,)
*
3
xy
N
qA
N
N
δ





(4.193)
Với [N] tính tại (x
0, y0). Nguồn điểm q* có đơn vị (W/m) vì phân bố theo bề dày δ của
tam giác.





4.9. DẪN NHIỆT QUA PHẦ N TỬ TAM GIÁC LẮ P GHÉP
Cho hình vuông phẳ ng dày 1 m, cạnh 5 cm như trên Hình 4.16. Hệ số dẫn nhiệt là
50W/cm
0
C. Cạnh đáy hình vuông được cách nhiệ t, cạnh dọc đứng bên phải có nhiệt độ
100
0
C, cạnh đỉnh có đố i lưu trong môi trường có nhiệt độ T a = 30
0
C, với hệ số tỏa nhiệt 1,2
W/cm
2
K. Cạnh đứng bên trái có dòng nhiệt q = 2W/cm
2
. Hình vuông được tách thành hai
tam giác, tam giác phía trên có nguồn sinh nhiệt bên trong đề u bằng 1,2W/cm
2
, tam giác
dưới có nguồn điểm q* = 5W/cm tại điểm (1;1) cm theo hướng bề dày. Xác định nhiệt độ
tại các điểm góc còn lại trong hình.
Rời rạc hình vuông thành 2 phầ n tử tam giác như trên Hình 4.16. Các phương trình đặc
trưng của mỗi phần tử có thể thành lập riêng theo các công thức đã biết .

159. 159














Hình 4.16. Rời rạc hình vuông thành 2 phần tử tam giác

Bảng 4.5 . Tọa độ các nút của hai phần tử tam giác
Nút toàn cục 1 2 3 4
Tọa độ (cm)
x 0 5 0 5
y 0 0 5 5
Nút cục bộ
Phần tử 1 1 2 3
Phần tử 2 1 3 2


Công thức chung ma trận độ cứng và phụ tải nhiệt

TT
S
K B D B d h N N dS
Ω
      = Ω+
      
∫∫
(4.194)
.
TT T
V
SS
f qNd qNdS hTNdS
∞
Ω
   = Ω− +
   
∫ ∫∫
(4.195)

4.9.1. Phần tử 1
Tam giác 123, Hình 4.17






Hình 4.17. Phần tử tam giác 1
- Tính A, các hệ số a
i,bi, ci:

11
22
33
1 100
2 1 1 5 0 25
1 105
xy
A xy
xy
  
  
= = =
  
  
  

1 2
3 4


5 cm
5 cm
•(1,1) q* (5W/cm)
q
V =1,2W/cm
2
T=100
0
C
q = 2W/cm
2
h = 1,2 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt
1 2
3



q ← 
q* •

160. 160

1 23 32
1 23
1 32
2 31 13
2 31
2 13
3 12 21
3 12
3 23
5.5 0.0 25;
0 5 5;
05 5
0.0 0.5 0;
5 0 5;
00 0
0.0 5.0 0;
0 0 0;
50 5
a xy xy
byy
cxx
a xy xy
b yy
c xx
a xy xy
b yy
cxx
= − =−=
= − =−=−
= − =−=−
= − =−=
= − =−=
= − =−=
= − =−=
= − =−=
= − =−=
(4.196)

Bảng 4.6 . Các trị số a i , bi , ci của tam giác 1
a
1 = 25,0 b
1=-5,0 c
1 = -5,0
a
2 = 0,0 b
2 = 5,0 c
2 = 0,0
a
3 = 0,0 b
3 = 0,0 c
3 = 5,0


 Tính [K]1 , do không có đối lưu nên

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 231
22
13 2 3 3 13 2 3 3
2
1
4
25 25 0 25 0 25 2 1 1
50
25 25 0 0 0 0 1 1 0
2.25
0 0 0 25 0 25 1 0 1
xy
b bb bb c cc cc
Kk k bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
  
  
= +   
  
  
− − −−

=−+ =−
 −−−






(4.197)
 Tính [f]
1 ,do có nguồn điểm và bức xạ cạnh bên:

1
TT
S
f qNd qNdS
∗
Ω
  = Ω−
  
∫∫

- Số hạng nguồ n điểm trong
(1;1)
i
j
k
N
qN
N
δ
∗





tại điểm (1;1), các hàm nội suy có trị số là

( ) ( )
( )
( ) ( )
1 11 1
2 22 2
3 33 3
1 1 15 3
25 5 5
2 2 25 5
1 1 51
(0 5 0 )
2 2 25 5
1 1 51
00 5
2 2 25 5
N a bx cy x y
AA
N a bx cy x y
AA
N a bx cy x y
AA
= + + = −− = =
= + + = ++ = =
= + + = ++ = =
(4.198)
Vậy nguồ n điểm trong δ =1:

(1;1)
33
1
* 51 1
5
11
i
j
k
N
qN
N
δ
  
  
= =   
   
 
(4.199)

161. 161
- Số hạng bức xạ cạnh bên:

1
1
2
3
3
T
S
N
q N dS q N dl
N
δ


−=−



∫∫

Trên cạnh 31 có N
2 = 0; còn N3 và N1 thay đổ i giữa 0 và 1, nên áp dụng công thức tích
phân
!!
( 1)!
ab
ij
l
ab
N N dl
ab
=
++
∫
đối với N 1 và N3 thì đều có

10
13 1!0! 1
(1 0 1)! 2
ij
ll l
N dl N dl N N dl= = = =
++∫∫∫

Vậy số hạng bức xạ:

31
1 15
2.5
0 00
22
1 15
T
S
ql
q N dS
δ
  
  
− =− =−=−   
  
  
∫
(4.200)
Véc tơ tải:

1
35 2
*. 1 0 1
15 4
TT
S
f q Nd qNdS
Ω
   −
   
  = Ω− = − =      
   
−
   
∫∫
(4.201)
Phương trình đặc trưng của phần tử 1:

1
2
3
2 11 2
11 0 1
10 1 4
T
T
T
    −− −
    
−=  
 −−
    
(4.202)

4.9.2. Phần tử 2






Hình 4.18. Phần tử tam giác 2

2
T= 100
0
C
4 3
q
V
T
a = 30


162. 162
Bảng 4.7 . Tọa độ các nút của phần tử tam giác 2
Nút toàn cục 2 4 3
Nút cục bộ 1 2 3
Tọa độ (cm)
x 5 5 0
y 0 5 5


Diện tích tam giác

11
22
33
1 150
2 1 1 5 5 25 25 25 25
1 105
xy
A xy
xy
  
  
= = =+−=
  
  
  

Các hệ số

1 23 32
1 23
1 32
2 31 13
2 31
2 13
3 12 21
3 12
3 21
5.5 0.5 25;
5 5 0;
05 5
0.0 5.5 25;
5 0 5;
50 5
5.5 5.0 25;
0 5 5;
55 0
a xy xy
byy
cxx
a xy xy
b yy
c xx
a xy xy
b yy
cxx
= − =−=
= − =−=
= − =−=−
= − =−=−
= − =−=
= − =−=
= − =−=
= − =−=−
= − =−=

(4.203)
Tính [K]
2
2
TT
S
K B D B d h N N dS
Ω
      = Ω+
      ∫∫

22
1 1 2 13 1 12 13
2322
2 12 2 23 12 2 232
22
13 2 3 3 13 2 3 3
000
.1
021
64
012
xy
b bb bb c cc cc
hl
Kk k bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
δ
   
   
= ++   
   
  
(4.204)
- Số hạng đầu dẫn nhiệt: k
x = ky = k = 50, 2A = 25.

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
2
4
0 0 0 25 25 0 1 1 0
50
0 25 25 25 25 0 1 2 1
2.25
0 25 25 0 0 0 0 1 1
b bb bb c cc cc
k
bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
  
  
+  
  
  
 −−

= − +− =− −
−−

(4.205)
- Số hạng sau đối lưu: h =1,2 ; l
23 = 5 ; δ = 1

23
000 000 000
. 1,2.1.5
021 021 021
66
012 012 012
hlδ
 
 
= =
 
 
 
(4.206)

163. 163
Vậy ma trận độ cứng

2
1 1 0 000 1 10
121021 140
0 1 1 012 0 0 3
K
    −−
    
=− −+ =−
    
    −
    
(4.207)
- Tính véc tơ phụ tải:
Theo công thức tổng quát, trong tam giác tiêu biểu có nguồn trong, bức xạ và đối lưu,
Hình 2.30, có:
{}
2312
11 0
..
11 1
32 2
10 1
Va
e
q A hT lql
fδδ δ
  
  
=−+  
  
  
(4.208)
Phần tử 2 có nguồn trong, có đối lưu và không có bức xạ nên rút ra ngay được véc tơ
lực sẽ là:
{}
43
2
10
.
11
32
11
Va
q A hT l
fδδ
  
  
= +  
  
  

Thay số với q
V =1,2; A=25/2; δ=1; h=1,2; T a=30; l34=5

{}
2
1 050 5
1,2.25.1 1,2.30.5.1
1 1 5 90 95
3.2 2
1 1 5 90 95
f
 
 
= + =+= 
 
 
(4.209)
Phương trình đặc trưng của phần tử 2:

2
4
3
1 10 5
1 4 0 95
0 0 3 95
T
T
T
    −
    
−= 

    
(4.210)

4.9.3. Lắp ghép các phầ n tử
Việc lắp ghép hai phần tử tam giác 123 và 243 về bản chất là chuyển 6 phương trình
gồm 3 phương trình của hệ (4.202) và 3 phương trình hệ (4.210) thành 4 phương trình tại 4
nút toàn cục của hình vuông 1234. Muố n vậy cần phải tách hệ (4.202) và hệ (4.210) thành
các phương trình riêng, ghi số phương trình theo thứ tự nút cục bộ trong mỗi phần tử tại các
góc mỗi tam giác, Hình 4.19. Cộng các phương trình tại mỗi nút toàn cục của hình vuông
1234 lại để chỉ còn 4 phương trình
Hệ (4.202):
1 123
2 12 3
3 1 23
2 1 1 2 (1) 2 2
1 1 0 1 (2) 0 1
1 0 1 4 (3) 0 4
T TTT
T TT T
T T TT
    − − − −−=−
    
− = → −+ + = 
 − − −+ + =−
    
(4.202)

164. 164
Hệ (4.210):
2 12 3
4 123
3 123
1 1 0 5 (4) 0 5
1 4 0 95 (5) 4 0 95
0 0 3 95 (6) 0 0 3 95
T TT T
T TTT
T TTT
    − −+ =−
    
− = → −+ + =
 ++=
    
(4.210)






Hình 4.19. Ghi số phương trình tại các góc mỗi tam giác
- Để cộng số phương trình tại mỗi nút, ta lập bảng lắp ghép
Bảng 4.8 . Bảng cộng các hệ số nhiệt độ và phụ tải của phương trình tại mỗi nút
Nút toàn cục Phương trình số
Hệ số của các nhiệt độ
Phụ tải
T
1 T
2 T
3 T
4
1 1 2 -1 -1 -2

2
2 -1 1 1
4 1 -1 5
cộng PT tại nút 2: 2+4 -1 2 -1 6

3
3 -1 1 -4
6 3 95
cộng PT tại nút 3: 3+6 -1 4 91
4 5 -1 4 95

Từ các hệ số của nhiệt độ và phụ tải ở bảng trên, viết được phương trình ma trận đặc
trưng toàn cục

1
2
3
4
2 1 10 2
12 0 1 6
1040 91
0 1 0 4 95
T
T
T
T
  −− −
  
−−  

= 
−
 

 −   

(4.211)
- Áp đặ t điều kiện biên: biên 24 có nhiệ t độ 100
0
C, tức thay T 2 = 100 và T4 =100 vào
phương trình nút 2 và nút 4, tính lại phụ tải dòng thứ 1. Phương trình ma trận toàn cục
sau áp đặt điều kiện biên là

1
2
3
4
2 0 1 0 98
0 1 0 0 100
1040 91
0 0 0 1 100
T
T
T
T
  −
  
 

= 
−
 

 
   
(4.212)
1 2
3 4


1 2
3
4
6 5

165. 165
Giải ra

1
2
3
4
69
100
40
100
T
T
T
T


 
= 
 
 

(4.213)
Để rõ hơn cách lắp ghép các phần tử, xét bài toán nhiều tam giác hơn trong thí dụ sau.
Thí dụ 4.9. Hình chữ nhật phẳng có bề dày 1m cao 0,5 m; rộng 1m như trên Hình
4.20. Tại cạnh bên trái có nhiệ t độ 200
0
C, cạnh trên có bứ c xạ q = 500 W/m
2
, cạnh dưới
cách nhiệt, cạnh bên phải tỏa nhiệt với môi trường có hệ số tỏa nhiệt h = 20 W/m
2 0
C, nhiệt
độ không khí T
a = 20
0
C. Biết hệ số dẫn nhiệt của vật liệu là không đổ i k = 10 W/m
0
C. Sử
dụng các phần tử tam giác bậc nhất để xác định phân bố nhiệt độ trong hình.

a. Rời rạc các phần tử
Miền chữ nhật được chia thành 4 phần tử tam giác bậc nhất có kích thước bằng nhau
như trên Hình 4.21.
Từ (4.179) và (4.181) ta có nhận xét rằng, các đại lượng b
i, ci trong ma trận là hiệ u của
tọa độ các nút của tam giác, nên các hiệ u này không phụ thuộc vào vị trí tam giác trong
miền. Nói cách khác khi hai tam giác bằng nhau và có cùng hướng thì [K]
dan-nh là như nhau.
Như vậy sẽ có hai dạng ma trận độ cứng của phần tử theo sự định hướng của các tam giác.
Các phần tử 1 và 3 có cùng số hạng dẫn nhiệt trong ma trận độ cứng [K
dn]1, các phần tử 2
và 4 có cùng số hạng dẫn nhiệt trong ma trận độ cứng [K
dn]2.












Hình 4.20. Dẫn nhiệt hai chiề u trên hình chữ nhật

T = 200
0
C
cách nhiệt
h = 20 W/m
20
C
T
a = 20
0
C
q = 500W/m
2
0,5 m
1 m

166. 166






Hình 4.21. Rời rạc hình chữ nhật thành các phần tử tam giác

Ma trận độ cứng [K] của mỗi phần tử có thể có hai số hạng là số hạng dẫn nhiệt
dan nh
K
−


và số hạng đối lưu
doi luu
K
−


.

2
2
[] []
TT
VS
K dan nh K doi luu
K B D B dV h N N dS
−−
      = +
      ∫∫
(4.214)
Số hạng đối lưu
doi luu
K
−


chỉ có mặt khi phầ n tử có đối lưu ỏ cạnh biên giới.
Để dễ dàng thực hiện tính toán, chúng ta ghi số nút cục bộ trong mỗi phần tử, Hình
4.22, và lập bảng thể hiện quan hệ giữa số của phần tử, số các nút toàn cục, nút cục bộ.





Hình 4.22. Ghi số nút cục bộ trong các phần tử tam giác

Lấy gốc tọa độ là nút 1, tọ a độ của các nút ghi trong Bảng 4.12.
Bảng 4.9 . Tọa độ của các nút cục bộ và của các nút toàn cục của mỗi phần tử
Phần tử 1 2 3 4
Nút cục bộ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Nút toàn cục 1 2 6 2 5 6 2 3 5 3 4 5
Tọa độ nút
x 0 0,5 0 0,5 0,5 0 0,5 1 0,5 1 1 0,5
y 0 0 0,5 0 0,5 0,5 0 0 0,5 0 0,5 0,5

Công thức chung tính các hệ số b i , ci trong mỗi phần tử
b
1 = y
2 – y
3 b
2 = y
3 – y
1 b
3 = y
1 – y
2
c
1 = x
3 – x
2 c
2 = x
1 – x
3 c
3 = x
2 – x
1

(chỉ số trên lấy theo thứ tự nút cục bộ trong mỗi phần tử)

1 2 3
6 5 4
 
 
1 2 3
6 5 4
 
 
1 2 1 2
1 1
3 3
3 2 3 2

167. 167
Bảng 4.10. Tính các hệ số b 1,b2, b3 và c1, c2 , c3 trong mỗi phần tử
Phần tử 1
b
1 = y
2−y
6 = 0−0,5 = −0,5 b
2 = y
6−y
1 = 0,5- 0 = 0,5 b
3 = y
1−y
2 = 0−0 = 0
c
1 = x
6−x
2 = 0−0,5 = −0,5 c
2 = x
1−x
6 = 0−0 = 0 c
3 = x
2 -x
1 = 0,5−0 = 0,5
Phần tử 3
b
1 = y
3−y
5 = 0−0,5 = −0,5 b
2 = y
5−y
2 = 0,5−0 = 0,5 b
3 = y
2−y
3 = 0−0 = 0
c
1 = x
5 – y
3 = 0,5−1 = −0,5 c
2 = x
2−x
5 = 0,5- 0,5 = 0 c
3 = x
3−x
2 = 1−0,5 = 0,5
Phần tử 2
b
1 = y
5 – y
6 = 0,5-0,5 = 0 b
2 = y
6 – y
2 = 0,5−0 = 0,5 b
3 = y
2−y
5 = 0−0,5 = −0,5
c
1 = x
6−x
5 = 0−0,5 = −0,5 c
2 = x
2 – x
6 = 0,5−0 = 0,5 c
3 = x
5 -x
2 = 0,5-0,5 = 0
Phần tử 4
b
1 = y
4−y
5 = 0,5−0,5 = 0 b
2 = y
5 – y
3 = 0,5 – 0 = 0,5 b
3 = y
3−y
4 = 0−0,5 = −0,5
c
1 = x
5 – x
4 = 0,5−1 = −0,5 c
2 = x
3 – x
5 = 1−0,5 = 0,5 c
3 = x
4 – x
3 = 1−1 = 0

Thấy rõ ràng rằng các phần tử 1, 3 có b 1,b2, b3 và c1, c2, c3 như nhau và các phần tử 2, 4
cũng như vậy có b
1,b2, b3 và c1, c2 , c3 như nhau.

b. Ma trận độ cứng các phần tử
Do phần tử 1,2 và 3 không có đố i lưu, nên ma trận độ cứng của các phần tử này chỉ có
số hạng dẫn nhiệt.
 Tính các số hạng dẫn nhiệt của ma trậ n độ cứng [K]
1 và [K]2 , với δ =1, k x = ky có

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
4
dan nh
b bb bb c cc cc
k
K bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
−
  
  
 = +   
  
  
(4.215)
Tính diện tích tam giác A = D/2 , mọi tam giác có diệ n tích như nhau

11
22
33
1 10 0
1 1 0,5 0 0,25
1 1 0 0,5
xy
D xy
xy
= = =

(4.216)

Vậy A = 0,25/2
 Tính số hạng dẫn nhiệt trong móc vuông củ a phần tử 1 và 3: [K
dn]1
Phần tử 1 có: b 1 =−0,5; b2 = 0,5; b3 = 0; c1 =−0,5; c2 = 0; c3 = 0,5;
()( )( )
( )() ( )
( )( ) ()
2
2
1 12 13
2
2
12 2 23
2
2
13 2 3 3
0,5 0,5.0.5 0,5.0
1 10
0,5.0.5 0,5 0,5.0 0,25 1 1 0
0 00
0,5.0 0,5.0 0
b bb bb
bb b bb
bbbbb

−− −
 −
 
=−= −
 
 
 −



()( )( )
( ) () ( )
( )( )()
2
2
1 12 13
2
2
12 2 23
2
2
13 2 3 3
0,5 0,5.0 0,5.0,5
10 1
0,5.0 0 0.0,5 0,25 0 0 0
10 1
0,5.0,5 0.0,5 0,5
c cc cc
cc c cc
ccccc

− −−
  −
 
=−=
 
  −
 −



168. 168
Vậy,
22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23.1
22
13 2 3 3 13 2 3 3
2
4
1 1 0 1 0 1 80 40 40
10
0,25 1 1 0 0 0 0 40 4
0,25
0 0 0 10 14.
2
dn
PT
b bb bb c cc cc
k
K bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
  
  
 = +   
  
  
− − −−

= −+ =− 
  −


00
40 0 40



−

(4.217)
 Tính số hạng dẫn nhiệt trong của phần tử 2: [K
dn]2
Phần tử 2 có: b 1 = 0; b2 = 0,5; b3 =−0,5; c1 =−0,5; c2 = 0,5; c3 = 0;
() ( )( )
( ) () ( )
( )( )()
2
2
1 12 13
2
2
12 2 23
2
2
13 2 3 3
0 0 0,5 0 0,5
00 0
0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0 1 1
0 11
0 0,5 0,5 0,5 0,5
b bb bb
bb b bb
bbbbb

× ×−
 
 
= × ×− = −
 
  −
 ×− ×− −



() ( )( )
( )() ( )
( )( ) ()
2
2
1 12 13
2
2
12 2 23
2
2
13 2 3 3
0,5 0,5 0,5 0,5 0
1 10
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0,25 1 1 0
0 00
0,5 0 0,5 0 0
c cc cc
cc c cc
ccccc

− −× −×
 −
 
=−× × = −
 
 
 −× ×



Vậy,
2.2
0 0 0 1 1 0 40 40 0
10
.0,25 0 1 1 1 1 0 40 80 40
0,25
0 1 1 0 0 0 0 40 404.
2
dn
PT
K
  −−
 
 = − +− =− −  
  −−
 

(4.218)
 Tính số hạng đối lưu trong ma trận độ cứng của phần tử 4
Theo công thức định nghĩa (4.88), số hạng đối lưu là
2
2
T
a
S
hT N N ds
∫
với S2 là diện
tích ứng với cạnh có đố i lưu. Trong bài toán này cạnh đối lưu chỉ có trong phần tử 4, ở cạnh
35 (nút cục bộ trong ngoặc đơn).
Nên
5
2 35
3
2
TT
S
h N N dS h N N dl δ =
 ∫∫






Hình 4.23. Phần tử 4, nút toàn cục và nút cục bộ
4 5

3
(3) (2)


(1)

169. 169
Tại cạnh 35 có N 4 = 0, còn N3 và N5 thay đổi giữa 0 và 1 như đã biết trong phần trước
22
3 3 35 34 3 35
22
5 3 5 4 53 5 54 53 5
2
4 43 45 4
0
0
0 00
T
N N NN NN N NN
N N N N N N NN N NN NN N
N NN NN N
  
  
  = = =
    
  
   


2
3 352
2
2 12
53 5
1
1
0 210
.
0 120
6
0 0 0 000
2 1 0 3,333 1,667 0
20 1 0,5
1 2 0 1,667 3,333 0
6
000 0 0 0
T
N NN
hl
h N N dl h N N N dl
δ
δδ
 
 
 = =
 
 

  
××   
= =
  
  
  
∫∫
(4.219)
Vậy ma trận độ cứng của các phần tử là
Phần tử 1 và 3:

13
80 40 40
40 40 0
40 0 40
KK
−−

= = −

−

(4.220)
Phần tử 2:

2
40 40 0
40 80 40
0 40 40
K
−

=−−

−

(4.221)
Phần tử 4:

4
40 40 0 3,333 1,667 0 43,33 38,33 0
40 80 40 1,667 3,333 0 38,33 83,33 40
0 40 40 0 0 0 0 40 40
K
     −−
    
=− −+ =− −
    
     −−
    
(4.222)

c. Tính véc tơ phụ tải các phần tử
Công thức chung
{}
12
12
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫∫∫

Phần tử 1: không có nguồn trong, đố i lưu và bức xạ nên

{}
1
0
0
0
f


=


(4.223)

170. 170
Phần tử 2: không có nguồn trong, không đối lưu, có bức xạ tại cạnh 56 nên
{}
2
1 5 56 56
2
1 56 56
6
0 00
1 500 1 0,5 1 250
1 1 250
T
SS S
N
f q N dS q N dl q dl
N
δδ
     
     
=− =− =− =− ×× =−
     
     −
     
∫∫ ∫

(4.224)
Phần tử 3: không có nguồn trong, đố i lưu và bức xạ nên
{}
3
0
0
0
f


=


(4.225)
Phần tử 4: không có nguồn trong, có bức xạ tại cạnh 45, có đố i lưu cạnh 34, nên
{}
33
1 2 4 45 4 34
4
1 2 45 34
55
45 34
45 34
0 1 0 1 200
1 1 500 1 0,5 1 20 20 1 0,5 1 50
1 0 1 0 25
TT
aa
SS S S
a
SS
NN
f q N dS hT N dS q N dS hT N dS
NN
q dl hT dlδδ
 
 
 =−+ =− +
  
 
 
   
   
=− + =− ×× × + × ×× × = −
   
    −
   
∫∫ ∫ ∫
∫∫
0





(4.226)

d. Phương trình ma trận các phần tử
Mỗi phương trình ma trận của một phần tử gồm ba phương trình ứng với 3 nhiệt độ nút
của tam giác. Các phương trình này được ghi số nối tiếp nhau từ 1 đến 12 theo thứ tự nút
cục bộ.
Phần tử 1

1 12 6
2 1 26
6 12 6
80 40 40 0 (1) 80 40 40 0
40 40 0 0 (2) 40 40 0 0
40 0 40 0 (3) 40 0 40 0
T TTT
T T TT
T TT T
    −− − − =
    
− = − + −=  
  − − −+ =
    
(4.227)





Hình 4.24. Thứ tự ghi số các phương trình tạ i các nút trong mỗi phần tử từ 1 đến 12



1 2 3
6 5 4
 
 
1 2
4 10
7 8
3 9
6 5 12 11

171. 171
Phần tử 2
2 2 56
5 256
6 256
40 40 0 0 (4) 40 40 0 0
40 80 40 250 (5) 40 80 40 250
0 40 40 250 (6) 0 40 40 250
T T TT
T TTT
T TTT
    − − −=
    
− − = −+−=−  
 − −+=−
    
(4.228)
Phần tử 3
2 235
3 2 35
5 23 5
80 40 40 0 (7) 80 40 40 0
40 40 0 0 (8) 40 40 0 0
40 0 40 0 (9) 40 0 40 0
T TTT
T T TT
T TT T
    −− − − =
    
− = − + −=   
  − − ++ =
    
(4.229)
Phần tử 4
3 3 45
4 3 45
5 345
43,33 38,33 0 200 (10) 43,33 38,33 0 200
38,33 83,33 40 50 (11) 38,33 83,33 40 50
0 40 40 250 (12) 0 40 40 250
T T TT
T T TT
T TTT
    − − +=
    
− − =− − + −=−  
  − − −+=−
    
(4.230)
Tổng số ẩn tức nhiệt độ phải tìm là 6, trong khi đó có 12 phương trình. Bởi vậy phải
“dồn” 12 phương trình trên lại một cách thích hợp để được 6 phương trình. Đó chính là lắp
ghép các phần tử riêng lẻ lại thành hệ thống tổng thể.

e. Lắp ghép các phần tử
Quá trình lắp ghép các ma trận đặc trưng của từng phần tử thành ma trận tổng thể của
cả hệ là thủ tục hết sức quan trọng, đặc biệt các hệ thống lớn gồm hàng trăm, đế n hàng
ngàn phần tử. Để thấy rõ quá trình lắp ghép này, chúng ta sẽ trình bày và giải thích các
bước tiến hành:
 Lập bảng thông tin số phương trình thuộc mỗi nút
Tại mỗi nút toàn cục, liệt kê số của phương trình lập thành bả ng thông tin sau
Bảng 4.1 1. Số phương trình tại mỗi nút
Nút toàn cục 1 2 3 4 5 6
Phương trình số 1 2,4,7 8,10 11 5,9,12 3,6

 Lắp ghép ma trận độ cứng
Các phương trình tại mỗi nút phải được cộng lại để từ 12 phương trình giảm còn 6
phương trình.
Việc cộng các phương trình tại mỗi nút được thực hiện trên bảng lắp ghép. Nguyên tắc
là tại mỗi nút các hệ số của cùng nhiệt độ của các phương trình được cộng lại, phụ tải tương
ứng cũng được cộng lại.

172. 172
Bảng 4.1 2. Bảng lắp ghép ma trận độ cứng và phụ tải
Nút
toàn
cục
Số của
phương
trình
Hệ số của các nhiệt độ
Vế phải các
phương trình
T
1 T
2 T
3 T
4 T
5 T
6 {f}
1 1 80 -40 -40 0
2
2 -40 40 0 0
4 40 -40 0 0
7 80 -40 -40 0
2+4+7 -40 160 -40 -80 0
3
8 -40 40 0 0
10 43,33 -38,33 0 200
8+10 -40 83,333 -38,33 200
4 11 -38,333 83,33 -40 -50
5
5 -40 80 -40 -250
9 -40 0 40 0
12 0 -40 40 -250
5+9+12 -80 0 -40 160 -40 -500
6
3 -40 0 40 0
6 0 -40 40 -250
3+6 -40 0 -40 80 -250

 Phương trình ma trận đặc trưng toàn hệ
Từ bảng lắp ghép trên, tách các hệ số nhiệt độ và phụ tải ra. Từ đó lập thành ma trận
đặc trưng toàn hệ

1
2
3
4
5
6
80 40 0 0 0 40 0
40 160 40 0 80 0 0
0 40 83,333 38,333 0 0 200
0 0 38,333 83,33 40 0 50
0 80 0 40 160 40 250
40 0 0 0 40 80 250
T
T
T
T
T
T
  −−
  
−− −
  
  −−  
=  
− −−  
  − − −−
  
− −−   
(4.231)
(4.231) chưa phải là phương trình cuối cùng để giải, vì chưa sử dụng điều kiện biên đã
cho. Để có phương trình cuố i cùng cầ n áp đặt điều kiện biên.
 Áp đặ t điều kiện biên
Điều kiện biên cho T
1 = T6 = 200 á p đặt như sau:
- Hàng 1: số hạng đầu thay bằ ng 1, các số hạng khác cho bằng 0. Số hạng đầu của
cột phụ tải {f
1} lấy giá trị T 1 = 200, tức {f 1} = 200
- Hàng 2: số hạng đầu (-40) nhân với 200 chuyể n sang phụ tải, nên số hạng đầu
thành 0. Số hạng phụ tải tương ứng là {f
2}= 40×200 = 8000.
- Hàng 5: số hạng cuối (-40) nhân vớ i 200 chuyể n sang phụ tải, nên số hạng này trở
thành 0. Số hạng phụ tải tương ứng là {f
5} = 40×200-250 = 7750.
- Hàng 6: số hạng đầu (-40) và sát cuối thay bằng 0, số hạng cuố i (8) thay bằ ng 1;
số hạng phụ tải tương ứng thay bằng T
6 200, tức {f 6} = 200.
Kết quả sau áp đặt điều kiện biên

173. 173

1
2
3
4
5
6
1 0 0 0 0 0 200
0 160 40 0 80 0 8000
0 40 83,333 38,333 0 0 200
0 0 38,333 83,33 40 0 50
0 80 0 40 160 0 7750
0 0 0 0 0 1 200
T
T
T
T
T
T
  
  
−−
  
  −−  
=  
− −−  
  −−
  
    
(4.232)
Giải ra kết quả như sau và ghi trên Hình 4.26

1
2
3
4
5
6
200,0000
179,4197
161,7681
159,2319
177,9553
200,0000
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 

(4.233)








Hình 4.26. Thể hiện nhiệt độ tại các nút



4.10. DẪN NHIỆT HAI CHIỀU QUA PHẦN TỬ CHỮ NHẬT ĐƠN
Phần tử chữ nhật 1234, có kích thước hai chiề u x và y là 2a và 2b, dày δ, thể hiện trên
Hình 4.27.
Điều kiện biên hỗn hợp: Cạnh 12 cách nhiệt, 23 có nhiệt độ không đổi, 34 có đố i lưu,
41 có bức xạ, bên trong có nguồn nhiệt phân bố đều q
V và nguồn nhiệt điểm q* . Thiết lập
phương trình đặc trưng của phần tử.

1 2 3
6 5 4
 
 
T = 200
0
C = const
cách nhiệt
h = 20 W/m
20
C
T
a = 20
0
C
q = 500W/m
2
200
0
C
200
0
C
179,42
0
C 161,77
0
C
159,23
0
C
177,96
0
C

174. 174







Hình 4.27. Phần tử chữ nhật

Phân bố nhiệt độ trong phần tử chữ nhật được viết dạng

11223344
T NT NT NT NT=+++ (4.234)
Lấy gốc tại nút 1, các hàm nội suy sẽ là

( )( )
( )
( )
1
2
3
4
1
2 2;
4
1
2;
4
;
4
1
2
4
N ax by
ab
N x by
ab
xy
N
ab
N a xy
ab
= −−
= −
=
= −
(4.235)
Ma trận đạo hàm của hàm nộ i suy là

312 4
'' ' '
1234
'' ' '
312 4 1234
xxxx
yyyy
NNN N
NNNNxxxx
B
NNN N NNNN
yyyy
 ∂∂∂ ∂


∂∂∂∂
= =

∂∂∂ ∂


∂∂∂∂
(4.236)
Việc thiết lập phương trình đặ c trưng của phần tử chữ nhật là quan trọng, cần được
diễn giải chi tiế t các thành phần của phương trình.

4.10.1. Ma trận độ cứng
Công thức chung tính ma trận độ cứng [K]:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.237)
Trong đó
0
0
x
y
k
D
k

=

, là ma trận hệ số dẫn nhiệt
Để cho gọn viết đạo hàm ở dạng ký hiệu:

''
;
ii
ix iy
NN
NN
xy
∂∂
= =
∂∂

(0,2b) (2a,2b)
4 3
T
23 =const
1 2
(0,0) (2a,0)
cách nhiệt
y
x
h T
L
q

175. 175
Thì
4
'
'' ' '
1 1234
'' ' '4
' 1234
1
ix
i xxxx
yyyy
iy
i
N
NNNN
B
NNNN
N
=
=



= = 

 


∑
∑
(4.238)
và
''
11
'' '' ' '
22 1234
'' ' '''
123433
''
44
'2 '' '' ''
1 12 13 14
'' '2 '' ''
21 2 23 2 4
'' '' '2
31 3 2 3
0
0
xy
T
xy x xxxx
y yyyyxy
xy
x xx xx xx
xx x x x x x
x
xx x x x
NN
NN k NNNN
B DB
kNNNNNN
NN
N NN NN NN
NN N NN NN
k
NN NN N N



  =  
   


=
'2 '' '' ''
1 12 13 14
'' '2 '' ''
21 2 23 2 4
'' '' '' '2 ''
34 31 3 2 3 3 4
'' '' '' '2
'' '' '' '2
41 4 2 43 4
41 4 2 43 4
y yy yy yy
yy y y y y y
y
xx yy y y y y y
xxxxxx x
yyyyyy y
N NN NN NN
NN N NN NN
k
N NN NN N NN
NN NN NN N NN NN NN N






+






(4.239)
Sau khi tính tích phân từ ng số hạng trong (4.23 9), rồi thay vào
T
V
B D B dV 
 ∫
sẽ
được
2 2 11 2 1 1 2
221 1 12 21
66112 2 1221
1 1 22 2 11 2
T
yx
V kakb
B D B dV
abδδ
−− −−

− − −−

 = +

− − −−

−− −−
∫
(4.240)
Nếu k
x = ky , ký hiệu chung là k thì biến đổi tích phân trên thành
2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
T
V
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
B D B dV
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
δ
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

 = 

+
− −+ + −


+
−+ − − +


∫
(4.241)
Quá trình thiế t lập công thức trên khá dài, có thể xem phần Hướng dẫn giải Bài tập số
4.20.
Nếu trường hợp hình chữ nhật có chiề u rộng a, cao b, tức là kích thước giảm đi còn
một nửa so với trước thì công thức trên không đổ i vì các số hạng trong ma trận nhân với ¼
triệt tiêu với ¼ bên ngoài ma trận.
- Tính số hạng sau của (4.237) là
T
S
h N N dS
∫
. Số hạng này biểu thị toả nhiệt tại
mặt S = 1m × l

176. 176
Với
2
1 1 12 13 14
2
2 21 2 23 2 4
1234 2
3 31 3 2 3 3 4
2
4 41 4 2 43 4
T
N N NN NN NN
N NN N NN NN
N N NNNN
N NN NN N NN
N NN NN NN N



  = =
  

  
(4.242)
- Trường hợp toả nhiệt đối lưu tại cạnh 34
Đối lưu tại cạnh 34 sẽ có

34
0000
0000
.
30021
0012
T
S a
h N N dS hδ



 =




∫
(4.243)
Thay vào phương trình trên sẽ được ma trận độ cứng [K]
2 2 1 1 2 1 1 2 0000
2 2 1 1 1 2 2 1 0000
66 31 1 2 2 1 2 2 1 0021
1 1 2 2 2 1 1 2 0012
TT
S
yx
K B D B dV h N N dS
kakb a
h
ab
δδ δ
Ω
      = +
      
−− −−

− − −−

=++
− − −−

−− −−
∫∫

(4.244)

4.10.2. Véc tơ phụ tải

{}
12
12
T TT T
Va
V SS
f q N dV q N q N dS hT N dSδ   = +∗ − +
   
∫ ∫∫
(4.245)
- Số hạng đầu, nguồn trong

1
22
2
00
3
4
11
2.2.11
4 11
11
baT
V
VV V
V
N
q abN
q N dV q dxdy q ab
N
N
δ
δδ
  
  
   
 = = =   
   
   
 
∫ ∫∫
(4.246)
- Số hạng thứ hai, nguồn điểm

1
2
3
4
T
N
N
qN q
N
N
δδ



∗=∗
 


(4.247)
- Số hạng thứ ba , bức xạ tại cạnh 41:
1
1
T
S
q N dS−
∫


2
1
0
1
1
0
.
0
1
aTT
S
q N dS q N dy q bδδ



 −= − =
 



∫∫
(4.248)

177. 177
- Số hạng thứ tư toả nhiệt tại cạnh 34:
2
2
T
L
S
hT N dS
∫


2
2
0
0
.
1
1
T
aL
S
hT N dS hT aδ



 =




∫
(4.249)
Véc tơ tải
{}
1
2
3
4
1 10
1 00
..
1 01
1 11
VL
N
N
f q ab q q b hT a
N
N
δδδ δ
  
  
   
= +∗ − +
  

  

   
(4.250)
Để chứng minh các công thức trên có thể xem trong phầ n Hướng dẫn bài tập 4.18.

4.10.3. Phương trình đặ c trưng
Phương trình tổng quát của phần tử chữ nhật (có đối lưu tại cạnh 34, bứ c xạ tại cạnh
41 và nguồ n trong)
{}
12
12
T T TT
V
VS V
TT
a
SS
B D B dV h N N dS T q N dV q N
q N dS hT N dS
δ

    + = +∗   

 −+
 
∫∫ ∫
∫∫

có dạng cụ thể sau:
1
2
3
4
1
2
3
4
2 2 1 1 2 1 1 2 0000
2 2 1 1 1 2 2 1 0000
66 31 1 2 2 1 2 2 1 0021
1 1 2 2 2 1 1 2 0012
1
1
1
1
yx
V
T
kakb Ta
h
Tab
T
N
N
q ab q
N
N
δδ δ
δδ
 −− −−
 
− − −− 
++ 
− − −−


−− −− 


 
= +∗


 
10
00
. ..
01
11
L
q b hT aδδ
  
  
  
−+
  
  
   
(4.251)
Thí dụ 4.12. Tấm phẳng chữ nhật 1234 dày 1 đơn vị , cạnh 2a =10 cm, 2b = 8 cm,
Hình 4.28 . Hệ số dẫn nhiệt là k = 1,5 W/cm
0
C. Nguồn nhiệt trong q v = 4 W/cm
3
, nguồn
điểm q* = 8 W/cm tạ i điểm M (x ;y) = (2;3) cm theo hướng bề dày. Cạnh đáy 12 được cách
nhiệt, cạnh 23 có nhiệt độ 80
0
C, cạnh 34 có đố i lưu trong môi trường có nhiệt độ T a = 20
0
C,
hệ số tỏa nhiệt h = 4 W/m
2 0
C. Cạnh đứng 41 có dòng nhiệt bức xạ q = 6 W/cm
2
. Xác định
nhiệt độ tại các điểm góc còn lại.

178. 178
a. Ma trận độ cứng
Theo công thức (4.155)
2 2 1 1 2 1 1 2 0000
2 2 1 1 1 2 2 1 0000
66 31 1 2 2 1 2 2 1 0021
1 1 2 2 2 1 1 2 0012
yx
kakb a
Kh
ab
δδ δ
−− −−

− − −−

=++

− − −−

−− −−
(4.252)









Hình 4.28.

Thay số k = 1,5; h = 4; a = 5; b = 4; được

1,1250 - 0,1875 - 0,5625 - 0,3750
-0,1875 1,1250 - 0,3750 - 0,5625
-0,5625 - 0,3750 14,4583 6,4792
-0,3750 - 0,5625 6,4792 14,4583
K



=




(4.253)

b. Véc tơ phụ tải
Theo công thức (4.250) :
{}
1
2
3
4
1 10
1 00
.. ..
1 01
1 11
VL
N
N
f q ab q q b hT a
N
N
δδδ δ
  
  
   
= +∗ − +
  

  

   
(4.254)
Thay các giá trị: h=4; a=5; b=4; qv=4; q=2; T
L=40; q=6; q*=10; x=2; y=3; có các số
hạng tương ứng của {f} và kết quả như sau:

{}
80 5,0000 30 0 55.,0000
80 1,2500 0 0 81,2500
80 0,7500 0 800 880,7500
80 3,0000 30 800 853,0000
f
     
     
     
=+ −+ =
     
     
          
(4.255)
Ta=20
0
C
h= 4W/m
2o
C
q= 6 W/cm
2

8 cm
10 cm
qV =4 W/cm
3
q* = 8W/cm
• M (2;3)
1 2
4 3

179. 179
c. Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử

1
2
3
41,1250 - 0,1875 - 0,5625 - 0,3750 55,00
-0,1875 1,1250 - 0,3750 - 0,5625 81,25
-0,5625 - 0,3750 14,4583 6,4792 880,7
-0,3750 - 0,5625 6,4792 14,4583
T
T
T
T




=




 
5
853,00







(4.256)

d. Áp đặt điều kiện biên
Với T2 =80; T3 =80 phương trình sẽ được biến đổi như sau:
1
2
3
4 1,1250 0 0 - 0,3750 55,00 (0,1875 0,562
0 1 0 0
0 0 1 0
-0,3750 0 0 14,4583
T
T
T
T
 ++



=




 
5) 80 115,00
80 80,00
80 80,00
853.0 (0,5625 6,4792) 80 379,68
  ×
  
  
=  
  
  +−×  
(4.257)

Giải ra:

1
2
3
4
111,9435
80,0000
80,0000
29,1638
T
T
T
T


 
= 
 
 

(4.258)






4.11. DẪN NHIỆT QUA PHẦ N TỬ CHỮ NHẬT LẮP GHÉP
Chữ nhật kích thước rộng 3a cao 2b, nhiệt độ các cạ nh đáy 20
0
C, cạnh trái có dòng
nhiệt bức xạ q = 200 W/m
2
, cạnh trên có đối lưu với môi trường nhiệt độ T a = 50
o
C, hệ số
toả nhiệt 10 W/m
2o
C, cạnh bên phải cách nhiệt. Cạnh đáy giữ nhiệt độ không đổ i 20
o
C. Hệ
số dẫn nhiệt của vật liệu k = 1,25 W/m
o
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong hình, dùng 6
phần tử chữ nhật kích thước a×b.








Hình 4.29. Dẫn nhiệt qua hình chữ nhật
3a
2b
Tw = 20
0
C = const
Cách
nhiệt
q= 200W/m
2

Đối lưu: Ta = 50
0
C, h =10 W/m
2 0
C

180. 180
4.11.1. Rời rạc các phần tử
Chia chữ nhật thành 6 phần tử đánh số .., các nút từ 1 đến 12 như trên Hình
4.30. Mỗi phần tử kích thước bề rộng là a và chiề u cao là b.

4.11.2. Lập phương trình ma trận đặc trưng của phần tử
Dạng tổng quát của phương trình đặc trưng

{}{}KT f =


Trong đó ma trận độ cứng

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫

Véc tơ phụ tải, khi không có nguồ n trong
{}
12
12
TT
a
SS
f q N dS hT N dS =−+
 ∫∫















Hình 4.30. Rời rạc các phầ n tử chữ nhật

a. Hàm nội suy
Xét một phần tử, các nút được lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ như Hình 4.31.
Các hàm nội suy tương ứng sẽ là

()() () ()
1 2 34
1
; ;;
x xy y
N axby N by N N ax
ab ab ab ab
= −− = − = = − (4.259)
  
  
1 2 5 6 9 10
4 3 8 7 12 11
13 14 17 18 21 22
16 15 20 19 24 23
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
T
w = 20
0
C = const
Cách nhi
ệ
t

Đối lưu: T
a = 50
0
C, h =10 W/m
2 0
C
Bức xạ
q =200W/m
2

b



b

a a a

181. 181






Hình 4.31. Thứ tự các nút trong một phần tử chữ nhật

Ta có giá trị của hàm nội suy tại các nút như sau
Bảng 4.13 . Tri số hàm nội suy tại các nút
Điểm x y N
1 N
2 N
3 N
4
1 0 0 1 0 0 0
2 a 0 0 1 0 0
3 a b 0 0 1 0
4 0 b 0 0 0 1

Cũng thấ y rằng tổng hàm nộ i suy tại mọi x, y trong phầ n tử luôn bằ ng 1.
b. Ma trận độ cứng của phần tử
Số hạng dẫn nhiệt
T
V
B D B dV 
 ∫
đối với phần tử chữ nhật có hệ số dẫn nhiệt
 
xy
kkk= =
2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
T
V
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
B D B dV
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
δ
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

 = 

+
− −+ + −


+
−+ − − +


∫
(4.260)
Lưu ý rằng thứ tự của nhiệt độ tương ứng với K trong (4.260) ở trên bắt đầu từ nút
dưới cùng bên trái, rồi lấy lần lượt ngược chiều kim đồng hồ.
- Ma trận độ cứng các phần tử 1, 2, 3: Các phần tử 1, 2, 3 không có toả nhiệt nên
2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2123
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
KKK
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
δ
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

  = = = 
  
+
− −+ + −


+
−+ − − +


(4.261)
1 2
(0,0) (a,0)

(0,b) (a,b)
4 3

x
y

182. 182
- Ma trận độ cứng các phần tử 4, 5, 6: Các phần tử 4, 5, 6 có tỏa nhiệt tại mặt trên nên

34
TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫

Toả nhiệt ở cạnh trên tương ứng với 34 trong phần tử cơ bản, vì cạnh 34: x = 0 ÷ a; y =
b, nên







Hình 4.32. Đối lưu tại cạnh 34

Trên cạnh 34, trị số các hàm nội suy N 1 = 0, N2 = 0. Các hàm N3 và N4 thay đổ i trong
khoảng giữa 0 và 1, nên

2
1 12 13 14
2
21 2 23 2 4
22
3 3431 3 2 3 3 4
22
43 441 4 2 43 4
00 0 0
00 0 0
00
00
T
N NN NN NN
NN N NN NN
NN
N NNNN NN N NN
NN NNN NN NN N
 
 
 
 = =
  
 
 
(4.262)
Thay (4.262) vào số hạng đối lưu, rồi lấy tích phân được

34
000 0
000 0
.
00
36
00
63
T
S
aa
h N N dS h
aa




 =
 




∫
(4.263)
Cuối cùng ma trận độ cứng của các phần tử 4, 5, 6 như sau
456
2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
000 02 22
000 0
2 22
00
3
36
22 2
00
63
2 22
KKK
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k aa
h
abab b a
a ab b
aa
b ab a
a b ab
δ
  = =
  
 +
+ − − −+



 +

− + −+ −


= + 

+
− −+ + −




+ 
−+ − − +


(4.264)
Quá trình tính tích phân trực tiếp trên cạnh 34, cũng như trường hợp có đối lưu trên
1 2
(0,0) (a,0)

(0,b) (a,b)
4 3

h

183. 183
các cạnh khác có thể xem trong Hướng dẫn bài tập số 4.21 .

c. Phụ tải nhiệt các phần tử
{} {}{}
12
TT
a
qh
Sq Sh
f q N dS hT N dS f f =−+ =+
 ∫∫

Với ký hiệu q, h chỉ thành phần bức xạ và đối lưu.
Các phần tử 1, 4 có bức xạ tại cạnh 4,1: x = 0 ; y = 0 ÷b.





Hình 4.33. Bức xạ tại cạnh 41


()()
()
()
2
11
14
2
3
2
2
44
0
1
01 ;
22
0;
0;
1
22
l
b
y bb
N a b y N dy b
ab b b
x
N by
ab
xy
N
ab
y y bb
N a x N dy
ab b b
= − − =−→ =− =
= −=
= =
= −=→ = =
∫
∫

{}{}
2
41
14 0
41
1
0
.
20
1
aTT
qq
S b
f f q N dS q N dy q



 == − = −= −
 



∫∫
(4.265)
- Phần tử 4, 5, 6 có đối lưu tại cạnh 34 có: x = 0 ÷ a ; y = b.
{}
2
34
T
L
h
S
f hT N dS=
∫


()()
()
()
1
2
2
33
0
2
44
0
1
0;
0
1
;
22
1
1
22
a
a
N axby
ab
x
N by
ab
xy x a a
N N dx
ab a a
y x aa
N a x N dx a
ab a a
= − −=
= −=
==→==
= − =−→ =− =
∫
∫

1 2
(0,0) (a,0)
(0,b) (a,b)
4 3
q

184. 184

{}{}{}
2
456
34
0
0
21
1
T
aL
hhh
S
a
f f f hT N dS hT



= = = =




∫
(4.266)
Các phần tử 2, 3 nằm bên trong không có bức xạ và đối lưu nên phụ tải nhiệt bằng
không. Vậy ta có phụ tải nhiệt các phần tử như sau:
{}
1
1
0
.
20
1
b
fq



= +



(4.267)
{}{}
23
0
0
0
0
ff



= =



(4.268)
{}
4
10
00
.
2201
11
L
ba
f q hT
 
 
 
=++
 
 
  
(4.269)
{}{}
56
0
0
21
1
L
a
f f hT



= =




(4.270)
Thay các trị số cụ thể cho ma trận độ cứng và phụ tải các phần tử
- Ma trận độ cứng các phần tử 1,2 và 3: a=b=0,5m; k=1,25 W/m
0
C.

123
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,2083
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167
-0,4167 - 0,2083 0,8333 - 0,2083
-0,2083 - 0,4167 - 0,.2083 0,8333
KKK



  = = =
  



(4.271)
- Ma trận độ cứng các phần tử 4, 5 và 6:
Thành phần đối lưu trong ma trận: h = 10 W/m
2 0
C, a = 0,5m

34
00 0 0
00 0 0
.
0 0 1,666 0,833
0 0 0,833 1,666
T
S
h N N dS



 =



∫
(4.272)

185. 185
Ma trận độ cứng
456
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,2083
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167
-0,4167 - 0,2083 0,8333 - 0,2083
-0,2083 - 0,4167 - 0,2083
TT
VS
K K K B D B dV h N N dS    = = = +
    
=
∫∫
00 0 0
00 0 0
0 0 1,666 0,833
0 0 0,833 1,666 0,8333
 
 
 
+
 
 
 

456
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,2083
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167
-0,4167 - 0,2083 2,4999 - 0,625
-0,2083 - 0,4167 - 0,625 2,4999
KKK



  = = =
  



(4.273)
- Các phụ tải của các phần tử
Thay số: q = 200W/m
2
; h = 10 W/m
20
C; TL= 50
0
C; a = b = 0,5m;

{}
1
50
0
0
50
f
−


=

−
(4.274)
{}{}
23
0
0
0
0
ff



= =



(4.275)
{}
4
50 0 50
000
0 125 125
50 125 75
f
 −
 
 
= += 
 
 − 
(4.276)
{}{}
56
0
0
125
125
ff



= = 



(4.277)

4.11.3. Phương trình đặ c trưng các phần tử
- Phần tử 1
1
2
6
5
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,208350
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167 0
0-0,4167 - 0,2083 0,8333 - 0,2083
50-0,2083 - 0,4167 - 0,2083 0,8333
T
T
T
T
 −
 


=



 − 
(1)
(2)
(3)
(4)







(4.278)

186. 186
- Phần tử 2
2
3
7
6
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,20830
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167 0
0-0,4167 - 0,2083 0,8333 - 0,2083
0-0,2083 - 0,4167 - 0,2083 0,8333
T
T
T
T
 
 


=




  
(5)
(6)
(7)
(8)







(4.279)
- Phần tử 3
3
4
8
7
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,20830
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,4167 0
0-0,4167 - 0,2083 0,8333 - 0,2083
0-0,2083 - 0,4167 - 0,2083 0,8333
T
T
T
T
 
 


=




  
(9)
(10)
(11)
(12)







(4.280)
- Phần tử 4
5
6
10
9
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,208350
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,41670
125-0,4167 - 0,2083 2,4999 0,6250
75-0,2083 - 0,4167 0,6250 2,4999
T
T
T
T




=




 
(13)
(14)
(15)
(16)







(4.281)
- Phần tử 5
6
7
11
10
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,20830
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,41670
125-0,4167 - 0,2083 2,4999 0,6250
12-0,2083 - 0,4167 0,6250 2,4999
T
T
T
T




=




 
(17)
(18)
(19)
5 (20)







(4.282)
- Phần tử 6
7
8
12
11
0,8333 - 0,2083 - 0,4167 - 0,20830
-0,2083 0,8333 - 0,2083 - 0,41670
125-0,4167 - 0,2083 2,4999 0,6250
12-0,2083 - 0,4167 0,6250 2,4999
T
T
T
T




=




 
(21)
(22)
(23)
5 (24)







(4.283)


4.11.4. Lắp ghép phương trình ma trận đặc trưng toàn cục
a. Lắp ghép ma trận độ cứng
Như trên đã nêu, bản chất của việc lắp ghép các phần tử là cộng các phương trình ở
cùng một nút lạ i với nhau để được số phương trình bằng số nút toàn cục. Số của phương
trình tại mỗi nút đã được ghi trên hình. Từ mỗi nút, ta cộng các hệ số của cùng nhiệt độ sẽ
được bảng lắp ghép 4.14.

187. 187
Bảng 4.14 . Bảng lắp ghép ma trận độ cứng
Nút Phương
trình
Hệ số của các nhiệt độ
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
1 1 0,8333 -0,2083 -0,2083 -0,4167
2 2 -0,2083 1,6666 -0,2083 -0,4167 -0,4166 -0,4167
3 6+9 -0,2083 1,666 -0,2083 -0,4167 -0,4166 -0,4167
4 10 -0,2083 0,8333 -0,4167 -0,2083
5 4+13 -0,2083 -0,4167 -0,4166 -0,4166 -0,2083 -0,4167
6 3+8+14+,17 -0,4167 -0,4167 -0,4167 -0,4167 3,3332 -0,4167 -0,4167 -0,4167 -0,4167
7 7+12+18+21 -0,4167 -0,4167 -0,4167 -0,4167 3,3332 -0,4167 -0,4167 -0,4167 -0,4167
8 11+22 -0,4167 -0,2083 -0,4167 1,6666 -0,4167 -0,2083
9 16 -0,2083 -0,4167 2,4999 0,6250
10 15+20 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0,6250 4,9998 0,6250
11 19+24 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0,6250 4,9998 0,6250
12 23 -0,4167 -0,2083 0,625 2,4999

b. Ma trận độ cứng toàn cục
0,8333 0,2083 0 0 0,2083 0,4167 0 0 0 0 0 0
0,2083 1,6666 0,2083 0 0,4167 0,4167 0,4167 0 0 0 00
0 0,2083 1,6660 0,2083 0 0,4167 0,4166 0,4167 0 0 00
0 0 0,2083 0,8333 0 0 0,4167 0,2083 0 0 0 0
0,2083 0,4167 0 0 0,4166 0,4166
K
− −−
− − −−−
− − −−−
− −−
−− −−
=

0 0 0,2083 0,4167 0 0
0,4167 0,4167 0,4167 0 0,4167 3,3332 0,4167 0 0, 4167 0,4167 0,4167 0
0 0,4167 0,4167 0,4167 0 0,4167 3,3332 0,4167 0 0 ,4167 0,4167 0,4167
0 0 0,4167 0,2083 0 0 0,4167 1,6666 0 0 0,4167 0,2083
0000
−−
−−− − − −−−
−−− − − −−−
−− − −−
−0,2083 0,4167 0 0 2,4998 0,6250 0 0
0 0 0 0 0,4167 0,4167 0,4167 0 0,6250 0,49998 0,6250 0
0 0 0 0 0 0,4167 0,4167 0,4167 0 0,6250 4,9998 0,6250
0 0 0 0 0 0 0,4167 0,2083 0 0 0,6250 2,4999













−

 −−−

−−−

−−

(4.283)
c. Lắp ghép phụ tải {f}
Cộng các phụ tải theo số phương trình có ở cùng một nút lại như sau
Bảng 4.15 . Bảng lắp ghép phụ tải
Nút
toàn cục
Phương
trình số
Cộng phụ
tải
Nút
toàn cục
Phương
trình số
Cộng phụ tải
Nút
toàn cục
Phương
trình số
Cộng phụ
tải
1 1 -50 5 4+13 -50-50 9 16 75
2 2+5 0+0 6 3+8+14+17 0+0+0+0 10 15+20 125+125
3 6+9 0+0 7 7+12+18+21 0+0+0+0 11 19+24 125+125
4 10 0 8 11+22 0+0 12 23 125

188. 188
Véc tơ phụ tải toàn cục


{}
50
0
0
0
100
0
0
0
75
250
250
125
f
−






−


=









(4.285)


4.11.5. Áp đặt điều kiện biên
- Điều kiện biên loạ i một đã cho là: T 1 = T2 = T3 = T4 = 20;
- Áp đặt tất cả các hệ số của các dòng ứng với các nút 1÷ 4 trong ma trận độ cứng bằng
0, chỉ giữ bằng 1 tại các cột nhiệt độ tương ứng đã cho.
- Các số hạng trong véc tơ ứng với nhiệt độ đã cho được được thay bằng nhiệt độ đã
cho.
- Các hệ số của các dòng tương ứng với các cộ t có hệ số bằng 1 của các nhiệ t độ đã cho
được nhân với nhiệt độ tương ứng rồi chuyển sang phía trái cộng với phụ tải đã tính
được ở cùng dòng.
Bảng 4.16. Áp đặt điều kiện biên
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 f
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20
2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20
3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20
4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20
5 0 0 0 0 -0,4166 -0,4166 0 0 -0,2083 -0,4167 0 0 100+(0,2083+0,4167)×20
6 0 0 0 0 -0,4167 3,3332 -0,4167 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0 0,4167×20×3
7 0 0 0 0 0 -0,4167 3,3332 -0,4167 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0,4167×20×3
8 0 0 0 0 0 0 -0,4167 1,6666 0 0 -0,4167 -0,2083 (0,4167+0,2083) ×20
9 0 0 0 0 -0,2083 -0,4167 0 0 2,4999 0,625 0 0 75
10 0 0 0 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0 0,625 4,9998 0,625 0 250
11 0 0 0 0 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0 0,625 4,9998 0,625 250
12 0 0 0 0 0 0 -0,4167 -0,2083 0 0 0,625 2,4999 125

Kết quả được hệ phương trình sau

189. 189
100000000000
010000000000
001000000000
000100000000
0 0 0 0 -0,4166 -0,4166 0 0 -0,2083 -0,4167 0 0
0 0 0 0 -0,4167 3, 3332 -0,4167 0 -0,4167 -0,4167 - 0,4167 0
0 0 0 0 0 -0,4167 3, 3332 -0,4167 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167
0 0 0 0 0 0 -0,4167 1, 6666 0 0 - 0,4167 -0,2083
0 0 0 0 -0,2083 -0,4167 0 0 2, 4999 0, 6250 0 0
0 0 0 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0 0, 6250 4, 9998 0, 6250 0
0 0 0 0 0 -0,4167 -0,4167 -0,4167 0 0, 6250 4, 9998 0 , 6250
0 0 0 0 0 0 -0,4167 -0,2083 0 0 0, 6250 4, 9998
T













1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
















20, 000
20, 00
20, 000
20, 000
-87,500
25,002
25,002
12,000
75,000
250,000
250,000
125,000
=













(4.286)


4.11.6. Giải hệ phương trình
{T} = [K]
-1
*{f}

{}
20,0000
20,0000
20,0000
20,0000
98,6663
40,8372
35,3899
33,8459
31,3139
54,8600
46,4287
47,1136
T









=









(4.287)

190. 190
4.12. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT BA CHIỀU
Các phần tử hữu hạn ba chiều thường được chọn là khối tứ diện, chữ nhật, lăng trụ hay
các khối tròn xoay. Việc thiết lập phương trình đặc trưng cho các phần tử ba chiề u cũng
tiến hành tương tự như hai chiều tam giác hay chữ nhật. Khi đó phương trình ma trận đặc
trưng của phần tử hữu hạn vẫn có dạng
{}{}KT f =

(4.288)
Trong đó

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.289)
{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(4.290)
Khối tứ diện bậc nhất có 4 nút. là phần tử ba chiều thường được sử dụng nhất vì đơn
giản.







Hình 4.33. Khối tứ diện bậc nhất

Nhiệt độ trong khố i được xác định theo nhiệt độ các nút và các hàm nội suy theo công
thức:

11223344
T NT NT NT NT=+++ (4.291)
Nếu N
i là hàm bậc nhất theo các tọ a độ thì công thức chung là

( )
1
6
i ii i i
N a bxcydz
V
= +++ với i = 1, 2, 3, 4 (4.292)
Các hàm nội suy N
i đã được thiết lập trong chương 2 có dạ ng sau ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 34 4 32 23 43 42 24 3 4 3 2
2 3 41 1 43 34 14 13 31 4 1 4 3
3 4 12 2 14 41 21 2 4 4 2 1 2 1 4
4 1 23 3 21
1
( ) () ;
1
( ) () ;
1
( ) () ;
1
()
N xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N xyz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N x yz xyz yz yz x xz xz y xy xy z
D
N xyz xyz
D
= − +− +− + −

= − +− +− + −

= − +− +− +−

= −
( ) ( )
12 3 2 31 13 2 3 2 1
()yz yz x xz xz y xy xy z +− +− + −

(4.293)
1
2
3
4

191. 191
Trong phương trình ma trận độ cứng (4.308), [B] là ma trận đạo hàm của hàm nội suy
xác định bởi

312 4
1234
1111
1234
1234
1111
1
6
NNN N
xxxx
bbbb
NNNN
B cccc
yyyy V
dddd
NNNN
zzzz
 ∂∂∂ ∂

∂∂∂∂
 
∂∂∂∂ 
= =
 
∂∂∂∂
 

∂∂∂∂

∂∂∂∂
(4.294)
Trong đó các hế số b
i, ci , di được xác định theo

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 3 24 1 4224 1 3 42
2 4 3 1 2 13 31 2 4 1 3
3 1 42 3 2442 3 1 24
4 2 1 3 4 31 13 4 2 3 1
11 1
b = z y -y ; c = (x z -x z ); d = x y -y
DD D
11 1
b = z y -y ; c = (x z -x z ); d = x y -y
DD D
11 1
b = z y -y ; c = (x z -x z ); d = x y -y
DD D
11 1
b = z y -y ; c = (x z -x z ); d = x y -y
DD D
(4.295)
Từ đó thấ y rằng khi xác định các tích [B]
T
[B] và [N]
T
[N] làm khối lượng tính toán sẽ
tăng rất lớn so với bài toán hai chiề u. Để làm giả m khối lượng tính toán, nếu có thể được
thì tìm cách đưa bài toán ba chiề u về hai chiều. Ví dụ như với các hình khối chữ nhật có
cạnh rất dài, nhiệt độ sẽ chỉ thay đổ i theo hai chiề u trên mặt cắt ngang vuông góc với cạnh
dài đó. Một dạng hình khối ba chiề u khác có thể giải bằng phần tử hai chiều là các hình
tròn xoay có trục đối xứng.





4.13. CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHỐ I CÓ TRỤ C ĐỐI XỨNG
4.13.1. Khái quát
Các khối tròn xoay có trục đối xứng như khối trụ, khối chóp,... có thể dùng hai biến r và
z để biểu thị phương trình vi phân trong tọa độ trụ, nghĩa là đưa về bài toán là hai chiều.
Phương trình vi phân dẫ n nhiệt trong tọa độ trụ là

22 2
2 22 2
0
r
r zV
kkTT T T
k kq
rr rr z
φ
φ
∂∂ ∂ ∂
+ + + +=
∂ ∂∂∂
(4.296)
Do nhiệt độ không phụ thuộc vào góc ϕ nên với khối trụ bài toán trở thành hai chiề u là
r và z:

22
22
0
r
r zV
kTT T
kkq
rr rz
∂∂ ∂
+ + +=
∂ ∂∂
(4.297)

192. 192
Các điều kiện biên có thể là
1w
TT= trên biên S1
()0
rz a
TT
k l k n hT T q
rz
∂∂
+ + − +=
∂∂
trên biên S2 (4.298)
Xét hình khối có trục đối xứng như trên hình 4.34. Do nhiệt độ chỉ thay đổ i theo hai
chiều r và z, nên trên mặt cắt dọc qua trục đối xứng, nhiệt độ là hàm của hai biến r và z

12 3
( , ) Trz r zαα α=++ (4.299)
Công thức (4.299) giống như công thứ c (2.36) của nhiệt độ trong tam giác trong
Chương 2. Như vậy, nhiệt độ được biểu thị bởi

ii j j kk
T NT NT N T=++ (4.300)
Với i, j, k là ba nút, công thức hàm nộ i suy trong tam giác phẳng đã biết là
( ) ( ) ( )
11 1
;;
22 2
i ii i j j j j k kk k
N a brcz N a brcz N a brcz
AA A
= ++ = ++ = + +
(4.301)








Hình 4.34. Hình khố i có trục đối xứng

Với
- ; -; -
- ; -; -
- ; -; -
i jk k j i j k i k j
j k i i k j k i j i k
k i j j i k i j k j i
a rz rz b z z c r r
a r z rz b z z c r r
a rz rz b z z c r r
= = =
= = =
= = =
(4.302)
và
1
21
1
ii
jj
kk
rz
A rz
rz


=


(4.303)

4.13.2. Phương trình đặ c trưng
Để thiết lập phương trình đặc trưng cho bài toán có trục đối xứng cần áp dụng phương
pháp Galerkin đối với phương trình (4.302)
z
r
i
j
k

193. 193

22
22
0
r
i r zV
V
kTT T
N k k q dV
rr rz
∂∂ ∂
+++ =
∂ ∂∂
∫

Cũng tiến hành như trước, kết quả dẫn tới
{}{}KT f =

(4.304)
Trong đó:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(4.305)
{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(4.306)
Nghĩa là công thức chung không có gì thay đổi. Nhưng công thức cụ thể của các số
hạng có nhứng thay đổ i. Để xác định cụ thể các thay đổi này, xét tam giác trên mặt cắt dọc
qua trục đối xứng như sau, Hình 4.35. Giả sử tam giác có nguồn trong q
V phân bố đều, cạnh
i j có đối lưu, cạ nh j k có bức xạ.






Hình 4.35. Tam giác trên mặt cắt dọc qua trục đối xứng

Đạo hàm của hàm nộ i suy [B] đượ c tính theo r và z

1
2
jik
i jk
j i jkik
NNNN
bbb
r rrr
B
NN AcccNN
z zzz
 ∂∂∂∂
 
∂ ∂∂∂= = =

∂∂ ∂∂ 


∂ ∂∂∂
(4.307)
Mặt khác công thứ c vi phân thể tích dV là:

2.dV rdSπ= (4.308)
Số hạng dẫn nhiệt của ma trận độ cứng sẽ là:

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
2 ..
4
T
rz
V
b bb bb c cc cc
r
B D B dV k k bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
π
  
  
 = +   
  
  
∫
(4.309)
Với
3
i jk
rrr
r
++
=
i
j
k
h,Ta
q
q
V

194. 194
Số hạng đối lưu của ma trận độ cứng khi đối lưu trên cạnh i j sẽ là

30
30
6
0 00
ij ij
T
ij
ij i j
S
rr rr
hl
h N N dS r r r r
π
++

 = ++


∫
(4.310)
Ma trận độ cứng
22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3 30
2 ..
30
64
0 00
ij ij
ij
r z ij i j
rr rrb bb bb c cc cc
hlr
K k k rr r rbb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
ππ
++  
  
= + + ++  
  
   

(4.311)
Phụ tải gồm có nguồn trong q
V phân bố đều, đối lưu tại cạnh i j và bức xạ tại cạnh j k

{}
2211 0
2. 2 .2
121 2 2
12 6 6
112 20
TT T
Va
V SS
ij
i
jk a ijV
j jk i j
k jk
f q N dV q N dS hT N dS
rrr
q l hT lqA
r rr r r
r rr
πππ
  = −+
  
 +
     
= − ++ +     
    
+  
∫ ∫∫
(4.312)





4.14. TÓM TẮ T CHƯƠNG
Chương này đã trình bày cách thiết lập phương trình đặc trưng trong các bài toán dẫn
nhiệt ổn định và cách giải chúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Có thể thấy hầu hết
các bài toán dẫ n nhiệt cơ bản mà phương pháp giải tích đề cập đến đã được giải quyết ở
đây. Hơn thế nữa, trong khi giải tích gặp khó khăn rất lớn với các bài toán 2 chiề u, thì
phương pháp phần tử hữu hạn đã giải quyết khá dễ dàng.

195. 195

BÀI TẬ P CHƯƠNG 4

Dẫn nhiệt qua vách phẳng
4.1. Vách phẳng 4 lớp bề dày (cm) và hệ số dẫn nhiệt (W/m
0
C) tương ứng của các lớ p
là: l
1 = 5 ; l2 = 8 ; l3 = 2 ; l4 = 10 ; k1 =0,25 ; k2 = 1,2; k3 = 4; k4 = 20. Cho biêt nhiệt độ mặt
trái T
w1 =120
0
C, mặt phải tỏa nhiệt ra môi trường nhiệt độ T a = 20
0
C với hệ số tỏa nhiệt h =
10 W/m
20
C.
Xác định phân bố nhiệt độ trong vách, dòng nhiệt dẫn qua vách, dùng các phần tử hữu
hạn một chiều bậc nhất.
4.2. Vách phẳng 4 lớp bề dày (cm) và hệ số dẫn nhiệt (W/m
0
C) tương ứng của các lớ p
là l
1 = 6 ; l2 = 3; l3 = 15 ; l4 = 8 ; k1 =2,5 ; k2 = 12; k3 = 6,5; k4 = 8. Cho biêt nhiệt độ mặt
trái T
w =40
0
C, mặt phải tỏa nhiệt ra môi trường nhiệt độ T a = 25
0
C với hệ số tỏa nhiệt h =
12 W/m
20
C.
Xác định phân bố nhiệt độ trong vách, dòng nhiệt dẫn qua vách, dùng các phần tử hữu
hạn một chiều bậc nhất.

Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn trong
4.3. Vách phẳng dày 2L = 1,6 m; hệ số dẫn nhiệt k = 1,5 W/m
0
C; nguồn trong q V = 450
W/m
3
; nhiệt độ hai mặt ngoài đều bằng T W = 20
0
C. Xác định nhiệt độ trong tấm, dùng 4
phần tử một chiều bậc nhất và 2 phần tử 1 chiều bậc hai.
4.4. Vách phẳng dày 2L = 1,6 m; hệ số dẫn nhiệt k = 1,5 W/m
0
C; nguồn trong q V = 450
W/m
3
; nhiệt độ hai mặt là T W1 = 40
0
C, TW2 = 20
0
C Xác định nhiệt độ trong tấm, dùng 4
phần tử một chiều bậc nhất và 2 phần tử 1 chiều bậc hai .

Dẫn nhiệt qua vách trụ
4.5. Cho vách trụ có kích thước sau: đường kính trong d T = 80 cm, đư ờng kính ngoài d N
= 120 cm, k = 2,5 W/m
0
C. Mặt trong có T W1 =80
0
C; mặt ngoài có h = 10W/m
2 0
C, Ta =
20
0
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong vách.
4.6. Cho vách trụ có kích thước sau: bán kính trong r 1 = 20 cm, bán kính ngoài rn+1 = 80
cm, k = 1,5 W/m
0
C. Mặt trong có TW1 = 40
0
C; mặt ngoài có h = 15W/m
2 0
C, Ta = 25
0
C.
Xác định phân bố nhiệt độ trong vách.

Vách trụ có nguồn trong
4.7. Cho vách trụ đường kính trong d T = 0,12 m ngoài dN = 0,17 m hệ số dận nhiệt k =
2.5 W/m
0
C, Nhiệt độ mặt trong T w1 = 22
0
C, nhiệt độ tại mặt ngoài T w2 = 20
0
C. Bên trong
vách có nguồn q
V = 100000 W/m
3
.

4.8. Cho vách trụ đường kính trong d 1 =0,4 m ngoài d2 = 0,9 m hệ số dận nhiệt k = 3
W/m
0
C, bên trong có chất lỏng nhiệt độ T a1 = 50
0
C, hệ số tỏa nhiệt h 1=120 W/m
2 0
C, phía

196. 196
ngoài không khí Ta2 = 20
0
C , hệ số tỏa nhiệt h 2= 85 W/m
2 0
C. Bên trong vách có nguồn q V
= 30000 W/m
3
.

4.9. Cho vách trụ đường kính trong d T =0,6 m ngoài dN = 1,1 m hệ số dận nhiệt k = 1.2
W/m
0
C, bên trong có chất lỏng nhiệt độ T a1 = 50
0
C, nhiệt độ tại mặt ngoài T w2 = 25
0
C. Bên
trong vách có nguồ n q
V = 20000 W/m
3
.


Dẫn nhiệt qua thanh có tiết diện không đổ i
4.10. Thanh thẳng dài L= 25 cm, tiết diện chữ nhật a = 4 cm; b = 6 cm, k = 200W/m
0
C.
Gốc thanh nhiệt độ T
b = 80
0
C, môi trường xung quanh có nhiệt độ Ta = 20
0
C, hệ số tỏa nhiệt
h= 100W/m
2 o
C.
4.11. Thanh tròn thẳng đường kính d = 3 cm, dài L= 30 cm, k = 345 W/m
0
C. Gốc thanh
nhiệt độ T
b = 120
0
C, môi trường xung quanh có nhiệt độ Ta = 25
0
C, hệ số tỏa nhiệt h=
160W/m
2 o
C.
4.12. Thanh tròn thẳng đường kính d = 4 cm, dài L= 50 cm, k = 420 W/m
0
C. Gốc thanh
nhiệt độ T
b = 90
0
C, môi trường xung quanh có nhiệt độ Ta = 30
0
C, hệ số tỏa nhiệt h=
125W/m
2 o
C.

Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi
4.13. Khảo sát cánh phẳng có tiết diện thay đổi, bề dày giảm dần từ gốc dày d A = 6 mm
đến đỉnh dày d
B = 4 mm, như Hình 4.14. Cánh và đỉnh tỏa nhiệt ra môi trường, hệ số tỏa
nhiệt h = 100W/m
2 0
C, nhiệt độ môi trường T a = 25
0
C. Chiều dài của cánh L = 5 cm, chiề u
rộng cánh b = 4 cm. Hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 250 W/m
0
C. Xác định phân bố nhiệt
độ nếu gốc giữ nhiệt độ T
b = 120
0
C.






4.14. Khảo sát cánh phẳng bề dày giảm dần từ gốc dày d A = 10 cm đế n đỉnh dày d B = 5
cm. Hệ số tỏa nhiệt h = 150W/m
2 0
C, nhiệt độ môi trường T a = 20
0
C. Chiều dài tổng của
cánh là L = 25 cm, chiều rộng cánh b = 12 cm. Hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 110W/m
0
C.
Xác định phân bố nhiệt độ nếu gốc giữ nhiệt độ T
b = 60
0
C.
4.15. Khảo sát thanh tròn thẳng có tiế t diện nhỏ dần, dài L = 15 cm, gốc thanh có đường
kính d
A = 15 mm, đỉnh thanh có kính d B = 5 mm. Hệ số tỏa nhiệt h = 10W/m
2 0
C, nhiệt độ
môi trường T
a = 20
0
C. Hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 300W/m
0
C. Xác định phân bố nhiệt
độ nếu gốc giữ nhiệt độ T
b = 90
0
C.

Dẫn nhiệt qua phầ n tử tam giác
4.16. Xây dựng công thứ c tính số hạng đối lưu K doi-luu trong ma trận độ cứng đối với
phần tử tam giác, khi đối lưu lần lượt có mặt tại các cạnh của tam giác.
4.17. Xây dựng công thứ c tính các số hạng phụ tải bức xạ f buc-xa và phụ tải đối lưu f doi-luu
đối với phần tử tam giác, khi các phụ tải này lần lượt có mặt tại các cạnh của tam giác.
L
dA
dB
b

197. 197
4.18. Cho chữ nhật 1234 gồm hai tam giác như sau. Xác đị nh nhiệt độ tại các nút 1,2,3.
Biết k = 45W.m
0
C, T4 =100
0
C; Ta = 30
0
C; h = 20 W/cm
2
K










4.19. Cho chữ nhật 1234 như ở trên, chia chữ nhật thành 4 tam giác. Xác định nhiệt độ
các nút 1,2,3,5.
Biết k = 45W.m
0
C, T4 =100
0
C; Ta = 30
0
C; h = 20 W/cm
2
K










Phần tử chữ nhật đơn
4.20. Cho các hàm nội suy trong chữ nhật có cạ nh 2a, 2b là
( )( ) ( ) ( )
1 2 34
11 1
2 2 ; 2 ; ; 2
4 4 44
xy
N ax by N x by N N axy
ab ab ab ab
= −− = − = = −
Chứng minh công thứ c sau trong phần tử chữ nhật bậc nhất:

2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
T
V
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
B D B dV
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
δ
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

 = 

+
− −+ + −


+
−+ − − +


∫

6 cm
1 2
4 3


4 cm
T
4 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt k = 45 W/m
0
C

6 cm
1 2
4 3


4 cm
T
4 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt
5


k = 45 W/m
0
C

198. 198
4.21. Cho chữ nhật 1234, có cạnh là a và b. Xây dựng công thức tính số hạng đối lưu
K
doi-luu trong ma trận độ cứng [K] của phần tử chữ nhật , khi đối lưu lầ n lượt có mặt tại các
cạnh của chữ nhật, bằng cách tính trực tiếp tích phân các số hạng.
4.22. Xây dựng công thứ c tính các số hạng phụ tải bức xạ f buc-xa , và phụ tải đối lưu f đối
luu
của phần tử chữ nhật có hai cạnh là a, b bằng cách tính tích phân trực tiếp các số hạng,
khi các ph ụ tải này lầ n lượt có mặt tại các cạnh của chữ nhật.
4.23. Chữ nhật 1234 có kích thước và điều kiện biên như hình vẽ, xác định nhiệt độ tại
các điểm 1,2,3:









Phần tử chữ nhật lắp ghép
4.24. Cho chữ nhật như bài toán 4.21 ở trên. Hãy tách thành hai chữ nhật như hình dưới,
xác định nhiệt độ các nút, so sánh nhiệt độ với trường hợp dùng một phần tử.









6 cm
1 2
4 3
4 cm
T
4 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt
6 cm
1 2 3
6 5 4
4 cm
T
6 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C  

199. 199

Chương 5
DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH

5.1. KHÁI NIỆM
Hầu hết các quá trình truyền nhiệt trong thực tế là không ổn định vì nhiệt độ của vật
thể trong quá trình luôn thay đổ i theo thời gian. Thí dụ, trong các thiế t bị trao đổi nhiệt của
máy điều hoà không khí, tủ lạnh, máy sưởi, sấy, bộ đun nước… quá trình truyề n nhiệt là
không ổn định trong giai đoạn khởi động. Những quá trình không ổn định khác như kế t
tinh, nóng chả y kim loại… các quá trình nhiệ t có liên quan tới thay đổ i khí quyển trái đất
đều là không ổn định. Bởi vậy, dẫn nhiệt không ổn định có vai trò rất quan trọng.
Để giải các bài toán dẫn nhiệt không ổn định bằng phương pháp giải tích, các kỹ thuật
như tách biến, đổi hàm đổ i biến… đã được sử dụng. Phương pháp giải tích đã giải được
nhiều bài toán cơ bản và quan trọng. Tuy nhiên, trong thự c tế có thể gặp các bài toán nhiệt
trên các vật thể có cấu trúc đa dạng và các điề u kiện biên phứ c tạp. Khi đó phương pháp
giải tích cũng trở nên khó khăn và trong nhiều trường hợp không thể giải được. Do đó, nhu
cầu phát triển phương pháp số để giải các bài toán dẫn nhiệt không ổn định là một yêu cầu
rất cần thiết để giải các bài toán thực tế.
- Phương trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định đối với môi trường không chuyển động
là:

() () () .
x y z Vp
T T TT
kT kT kT q c
x xy yz z
ρ
τ
   ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
+ + +=   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂   
(5.1)
Ở đây, k
x(T), k y(T) và kz(T) là hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào nhiệt độ.
- Các điều kiện biên giới của bài toán có thể là loại 1:
T = T
m trên S1 (5.2)
và

() () () ( )0
xy z a
TT T
kT lkT mkT nqhTT
xy z
∂∂ ∂
+ + ++ − =
∂∂ ∂

trên S
2 (5.3)
Ở đây, S 1 và S2 là các bề mặt biên giới với
12 12
vaø 0SSS SS∪= ∩= ; l, m, n là các
cosine chỉ phương, h là hệ số toả nhiệt, T
a là nhiệt độ môi trường và q là dòng nhiêt tại
biên.
- Điều kiện ban đầ u là T = T
0 tại τ = 0 (5.4)

200. 200
Có thể sử dụng công thức số dư trọng số Galerkin tiêu chuẩn để rời rạc không gian và
thời gian để giải hệ phương trình trên.




5.2. PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
Để áp dụng phương pháp Galerkin nhiệt độ được rời rạc theo không gian như sau:

( ) ( )()
1
,,, ,,
n
ii
i
T xyz N xyzTττ
=
=∑
(5.5)
Ở đây, N
i là hàm nội suy nhiệt độ theo nhiệt độ các nút, cũng là hàm nội suy toạ độ, n
là số nút trong một phần tử, và T
i(τ) là nhiệt độ tại mỗi nút phụ thuộc thời gian.
Đặc trưng Galerkin của phương trình (5.1) là
() () () 0
i x y z Vp
V
T T TT
N k T k T k T q c dV
x xy yz z
ρ
τ
   ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
+ + +− =   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂   
∫
(5.6)
Áp dụng tích phân từng phần đối với ba số hạng đầu của (5.6) như sau. Số hạng đầu
() () ()
() ()
() ()
/
2
2
.
i x ix i x
VV V x
ix x i
Syz V
i
ix x
SV
TT T
N k T dV N k T dxdydz N d k T dydz
xx x x
TT
N k T dydz k T dN dydz
xx
NTT
N k T dS k T dxdydz
x xx
 ∂∂ ∂ ∂
= = 
∂∂ ∂ ∂ 
∂∂
= −
∂∂
∂ ∂∂
= −
∂ ∂∂
∫∫ ∫
∫∫
∫∫
(5.7)
Hai số hạng còn lại cũng biến đổi tương tự , phương trình (5.6) sẽ trở thành
() () ()
() () ()
2 22
22 2
0
i ii
x y z iV i p
V
ix iy iz
SS S
NNNTTT T
kTkTkTNqNcdV
xx yy zz
TT T
N k T ldS N k T mdS N k T ndS
xy z
ρ
τ
 ∂∂∂∂∂∂ ∂
− + + −+
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂∂ ∂
++ +
∂∂ ∂
=
∫
∫∫ ∫
(5.8)
Từ điều kiện biên (5.3) có

() () ()
( )
2 22
22 2
22
22
ix iy iz
S qS
i ia
SS
TT T
N k T ldS N k T mdS N k T ndS
xy z
N qdS N h T T dS
∂∂ ∂
++
∂∂ ∂
=−−−
∫∫ ∫
∫∫

(5.9)
Từ (5.5) viết nhiệt độ theo thời gian cho các nút ký hiệu j là
( ) ( )()
1
,,, ,,
n
jj
j
T xyz N xyzTττ
=
=∑
(5.10)

201. 201
Với Nj là hàm dạng nội suy theo thờ i gian tại các nút.
Đạo hàm nhiệt độ theo thời gian

j
j
TT
N
ττ
∂∂
=
∂∂
(5.11)
Thay (5.9), nhiệt độ (5.10) và đạo hàm theo thời gian (5.11) vào (5.8) sẽ được
() ()() ()() ()
()
( )
22
22
()
0
j jji ii
x jy jz j
V
j
iV i j p i i j j L
V SS
NNNNNN
kTTkTTkTTdV
xx yy zz
T
N q N N c dV N qdS N h N T T dS
τττ
τ
ρτ
τ
 ∂∂∂∂∂∂
− ++
∂∂ ∂∂ ∂∂
 ∂
−+ − − −
∂

=
∫
∫ ∫∫
(5.12)
Ở đây, i và j là chỉ số đại diện cho các nút.
Do nhiệt độ tại các nút là không đổ i nên đưa ra khỏi tích phân, sắp xếp lại sẽ được
() () () (){ }
()
2
22
22
j jji ii
x y z ij j
Sq
V
j
ij p
V
iV i i L
V SS
NNNNNN
k T k T k T dV N N hdS T
xx yy zz
T
N N c dV
N q dV N qdS N hT dS
τ
τ
ρ
τ
 ∂∂∂∂∂∂
++ +
∂∂ ∂∂ ∂∂
∂ 
+ 
∂
 
= −+

∫∫
∫
∫ ∫∫
(5.13)
Đặt:
() () ()
2
j jji ii
x y z ij
Sq
V
NNNNNN
K k T k T k T dV N N hdS
xx yy zz
 ∂∂∂∂∂∂
= ++ +
∂∂ ∂∂ ∂∂
∫∫

(5.14)
ij p
V
C N N c dVρ

=

∫
(5.15)
{}
22
22
iV i i L
V SS
f N q dV N qdS N hT dS= −+
∫ ∫∫
(5.16)
Các tích phân trên trong một phần tử là:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(5.17)
.
T
P
V
C c N N dVρ =
 ∫
(5.18)
{}
TT T
V
L
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(5.19)

202. 202
Phương trình (5.13) trở thành

{}.
T TT
P
V VS
TT T
V
L
V SS T
c N N dV B D B dV h N N dS T
t
q N dV q N dS hT N dS
ρ
  ∂
  ++    
∂  
  = −+
  
∫ ∫∫
∫ ∫∫

Phương trình ma trận đặc trưng đượ c viết gọn ở dạng sau
{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂
(5.20)




5.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
Trong dẫ n nhiệt ổn định, ta đã xác đị nh được phiếm hàm tương ứng phương trình vi
phân dẫ n nhiệt ổn định chủ đạo và các điều kiện biên giới là

( )
2 22
1
2
2
22
() 2
1
2
xyz V
V
a
SS
TTT
I T k k k q T dV
xxx
qTdS h T T dS

  ∂∂∂
= ++−  
∂∂∂  

++ −
∫
∫∫

(5.21)
Trong dẫ n nhiệt không ổn định, phương trình vi phân chủ đạo (5.1) viết thành
() () () .0
x y z Vp
T T TT
kT kT kT q c
x xy yz z
ρ
τ
   ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
+ + +− =   
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂   
(5.22)
Các điều kiện biên giới cũng tương tự.
Nghĩa là để xác định được phiếm hàm tương ứng theo phương pháp biến phân, ta chỉ
cần xác đị nh thêm phiếm hàm của số hạng chứa đạo hàm theo thờ i gian .
p
T
cρ
τ
∂

∂
. Gọi
phiếm hàm đó là phiếm hàm nhiệt dung, ký hiệu I
c.
Theo nguyên lý biến phân coi số hạng trên là phương trình Euler - Lagrange, thì phải
thoả mãn bổ đề cơ bản của phép tính biến phân, tức là:

.0
cp
V
T
I c TdVδρδ
τ
∂
= =
∂
∫
(5.23)
Trong đó, δT là biế n phân của hàm nhiệ t độ cần tìm. Trong bài toán biên luôn có δT =
0 tại biên giới của miền nghiệm.
Do ρ, c
p và
T
τ
∂
∂
đều là không phụ thuộc vào biến phân hàm nhiệt độ δT, nên có thể
đưa vào số hạng trong dấ u móc trong dấu biến phân

203. 203
.
cp
V
T
I c T dVδ δρ
τ
∂
=
∂
∫
(5.24)
Do nhiệt độ phụ thuộc thời gian nên đưa vào trong dấu đạo hàm theo thời gian là

()
2
1
.
2
cp
V
T
I c dVδ δρ
τ
 ∂
=
 ∂

∫
(5.25)
Vậy phiếm hàm nhiệt dung là:

()
2
.
2
cp
V
T
I c dVρ
τ
∂
=
∂
∫
(5.26)
Thiết lập công thức đặc trưng của phiếm hàm nhiệt dung
Để thiết lập công thứ c đặc trưng, cần tính cực trị của I
c trong một phần tử theo điều
kiện:

{}
()
0
e
c
c
IT
I
T
δ
∂
= =
∂
(5.27)
Trong đó, T
e
là nhiệ t độ tại điểm bất kỳ trong phầ n tử;
{}
e
T NT=

; [N] là hàm nội
suy, {T} là nhiệt độ tại các nút.
Ta đã biết trong một phần tử luôn có
{}
e
T
T
N
T
∂
=

∂
; từ đó tính

{} {}
() ()
{}
()
{}
( )
()
22
.()
.
22
.
2.
2
.
ee
e
pc
p
VV
e
T
p ee
p
VV
e
T
p
V
TT cIT
c dV dV
TT T
Tc
T dV c T N dV
T
T
c N dV
ρ
ρ
ττ
ρ
ρ
ττ
ρ
τ

∂∂∂ ∂∂ 
= =

∂∂∂∂ ∂


∂
∂∂
 = =

∂∂ ∂

∂
=

∂
∫∫
∫∫
∫
(5.28)
Do [N] là hàm nội suy nhiệt độ và toạ độ, không phụ thuộc thời gian nên
{}( )
{}
e TT
NT N
ττ τ
∂∂∂
 = =
 
∂∂ ∂
(5.29)
Cuối cùng có công thức đặc trưng của phiếm hàm nhiệt dung

{}
()
.
e
T
c
p
V
IT T
c N N dV
T
ρ
τ
∂ ∂
= 
∂∂ 
∫
(5.30)
Phương trình đặc trưng của phần tử khi dẫn nhiệt ổn định ta đã biết là

204. 204

{} {}( )
( ) ( )
3
23
TT
V Se
TT T
Va
V Se Se
B D B T dV h N N T dS
q N dV q N dS h N T dS

     +
    
  =++
  
∫∫
∫∫ ∫
(5.31)
Bây giờ xét trong trường hợp dẫn nhiệt không ổn định, ta cần thêm số hạng phiếm hàm
nhiệt dung vào
{} {}( )
( ) ( )
.
TT T
p
V VS
TT T
Va
VS S
T
c N N dV B D B T dV h N N T dS
q N dV q N dS h N T dS
ρ
τ
∂

  ++  ∂
  =++
  
∫ ∫∫
∫∫∫
(5.32)
Với các ký hiệu:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(5.33)
.
T
P
V
C c N N dVρ =
 ∫
(5.34)
{}
TT T
V
L
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(5.35)
Ta sẽ có phương trình đặ c trưng dạng ma trận của phần tử dẫn nhiệt không ổn định
{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂
(5.36)
Nếu trong [D], các hệ số dẫn nhiệt k
x(T), ky(T), và kz(T) phụ thuộc vào nhiệt độ thì
(5.36) là phương trình phi tuyến, còn khi các hệ số đó không phụ thuộc nhiệt độ thì phương
trình trên là tuyến tính.
Như vậy, có thể thấy phương trình ma trận đặc trưng của phần tử hứu hạn trong quá
trình dẫ n nhiệt không ổn định được thiết lập theo phương pháp số dư trọng số Gakerkin và
phương pháp biến phân là hoàn toàn như nhau.



5.4. RỜI RẠC THEO THỜI GIAN
Đối với bài toán ổ n định phương trình ma trận đặc trưng (3.150) hay (3.169) có dạ ng
{}{}KT f =

là phương trình cuối cùng dùng để giải ra nghiệm là phân bố nhiệt độ trong
vật. Nhưng vớ i bài toán không ổn định thì khác, phương trình (5.36) mặc dù là phương
trình đặ c trưng của quá trình, nhưng chưa phải phương trình cuối cùng để giải ra nghiệm vì
trong (5.36) còn chứa số hạng đạo hàm của nhiệt độ theo thời gian, có nghĩa là chưa xấp xỉ
hoàn toàn phương trình vi phân thành phương trình đại số, bởi vậy cần phải tiếp tục xấp xỉ
theo thời gian. Nói cách khác là (5.36) mới rời rạc theo không gian cần phải tiếp tục rời rạc

205. 205
theo thờ i gian. Để làm sáng tỏ điều này chúng ta xét thí dụ trường hợp dẫn nhiệt không ổn
định một chiều qua vách phẳng.
Thí dụ 5.1. Vách phẳng dày L = 25cm; hệ số dẫn nhiệt k = 45 W/m
0
C, mật độ ρ =
8000 kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 500 J/kg
0
C. Lúc đầu mặt phải có đối lưu với môi trường
nhiệt độ T
a = 45
0
C, hệ số tỏa nhiệt h = 35 W/m
2 0
C. Bỗng nhiên nhiệt độ mặt trái đột ngột
tăng lên 90
0
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong tường lúc ban đầu và thay đổi nhiệt độ
trong tường trong khoảng thời gian 1/3 giờ.

1. Rời rạc các phần tử
Rời rạc bề dày vách thành 5 phần tử, 6 nút. Mỗi phần tử dài l = 0, 25/5 = 0, 05 m, như
Hình 5.1



Hình 5.1. Dẫn nhiệt không ổn định trong vách phẳ ng

2. Tính các ma trận và véc tơ
- Ma trận nhiệt dung [C]

2
2
..
T
i ij
PP
Vl ij j
N NN
C c N N dV c Adl
NN N
ρρ

  = =
 


∫∫
(5.37)
Với A là diệ n tích truyền nhiệt vuông góc vớ i trục thanh, lấy A = 1 m
2
. Sau khi tích
phân (5.37), thay các trị số được ma trận nhiệt dung của 5 phần tử như nhau
15
. 2 1 2 1 66667 333338000 500 0,05 1
...
661 2 1 2 33333 66667
p
c lA
CC
ρ    ×× ×
 = = = = =    
  
(5.38)
- Ma trận độ cứng [K]:

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(5.39)
Ma trận độ cứng của 4 phần tử đầu như nhau, không có thành phầ n đối lưu
1234
1 1 1 1 900 -9001 45
0,0511 11 -900 900
Ak
KKKK
l
 −− ×
   = = = = = =     
−−  
(5.40)
Ma trận độ cứng của phần tử 5 có thêm thành phần đối lưu
51
900 900 0 0 900 900
35
900 900 0 1 900 935T
S
K K h N N dS
  −−
  =+ = +=     
−−  ∫
(5.41)
1 2 3 4 5 6
    
h = 35 W/m
2o
C
T
a = 45
o
C

206. 206
- Véc tơ phụ tải {f} Các phần tử 1, 2, 3, 4 không có phụ tải nên
{}{}{}{}
1234
0
0
ffff

= = = = 

(5.42)
Phụ tải tại nút 6 phần tử 5
{}
5
00
35 45 1
1 1575
T
a
S
f hT A N dS
  
= =×× =   
  
∫
(5.43)

3. Lắp ghép các ma trận
- Ma trận nhiệt dung toàn cục

66667 33333 0 0 0 0
33333 133334 33333 0 0 0
0 33333 133334 33333 0 0
0 0 33333 133334 33333 0
0 0 0 33333 133334 33333
0 0 0 0 33333 66667
C




=





(5.44)
- Ma trận độ cứng toàn cụ c

900 -900 0 0 0 0
-900 1800 -900 0 0 0
0 -900 1800 -900 0 0
0 0 -900 1800 -900 0
0 0 0 -900 1800 -900
0 0 0 0 -900 935
K




=





(5.45)
- Véc tơ phụ tải toàn cục
{}
0
0
0
0
0
1575
f





=




(5.46)

4. Phương trình đặ c trưng
Theo (5.36) phương trình đặc trưng là:

{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂
(5.47)

207. 207
Thì sẽ có:
1
2
3
4
5
6
66667 33333 0 0 0 0
33333 133334 33333 0 0 0
0 33333 133334 33333 0 0
0 0 33333 133334 33333 0
0 0 0 33333 133334 33333
0 0 0 0 33333 66667
900 -900
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂

∂

∂

∂

∂

∂
 
∂ 
 ∂
 
∂
 
∂

∂

∂
+
1
2
3
4
5
6
0000 0
-900 1800 -900 0 0 0 0
0 -900 1800 -900 0 0 0
0 0 -900 1800 -900 0 0
0 0 0 -900 1800 -900 0
0 0 0 0 -900 935 1575
T
T
T
T
T
T
  
  
  
  
 
=  
  
  
  
    
(5.48)
Rõ ràng chưa thể giải (5.48) được vì không biết gradient nhiệt độ tại các nút của phần
tử. Như vậy, phương trình trên mới rời rạc được một nửa theo không gian, cần phải xấp xỉ
đạo hàm nhiệt độ ở dạng ∆T/∆τ, nghĩa là cầ n tiếp tục rời rạc các số hạng theo thời gian.


5.5. RỜI RẠC THEO THỜ I GIAN BẰ NG PHƯƠNG PHÁP
SAI PHÂN HỮ U HẠN
5.5.1. Rời rạc số hạng đạo hàm nhiệt độ theo thờ i gian
Gọi hai thời điểm liên tiế p theo thời gian là p và p+1. Khai triển chuỗ i Taylor của nhiệt
độ tại thời điểm p+1 theo nhiệt độ tại thời điểm p là

22 33
1
22
...
1! 2! 3!
p pp
pp TTT
TT
ττ τ
τ ττ
+ ∆∂ ∆ ∂ ∆ ∂
=++ + +
∂ ∂∂
(5.49)
Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc hai trở lên vì đủ nhỏ, thì đạo hàm bậ c nhất của nhiệt độ
theo thờ i gian được rời rạc thành:

1
0.( )
pp p
TT T
τ
ττ
+
∂−
≈ +∆
∂∆
(5.50)

208. 208
5.5.2. Rời rạc các số hạng nhiệt độ và phụ tải nhiệt
Nhiệt độ tại các nút và véc tơ phụ tải có thể viết tại thời điểm p hoặ c p+1, tứ c là có thể
lấy sai khác nhau m ột bước thời gian ∆τ:
{}{}
1pp
ppTT
C KT f
τ
+
−
  += 
∆
(5.51)
hoặc
{} {}
1
11
pp
pp
TT
C KT f
τ
+
++
−
 += 
∆
(5.52)
Đại lượng cần tìm là nhiệt độ {T}
p+1
ở thời điểm p+1, theo nhiệt độ thời điểm trước
{T}
P
và phụ tải nhiệt {f}. Phương trình (5.51 ) có chứa một giá trị nhiệt độ các nút tạ i thời
điểm p+1, bởi vậy (5.51) được gọi là phương trình hiển thị hoàn toàn. Phương trình (5.52)
có chứa hai giá trị nhiệt độ các nút tại thời điểm p+1, bởi vậy (5.52 ) được gọi là phương
trình ẩn hoàn toàn.
Một cách tổng quát, trong phương trình đặ c trưng có thể biểu thị nhiệt độ và véc tơ phụ
tải cùng ở một thời điểm ξ nào đó trong khoảng p và p+1. Tức là tại thời điểm p+ξ, với ξ =
0÷1, phương trình ma trận đặc trưng khi đó sẽ là

{} {}
1pp
pp
TT
C KT f ξξ
τ
+
++
−
 += 
∆
(5.53)
Nhiệt độ T
p+ξ
tại thời điểm p+ξ được xác định theo quan hệ sau, Hình 5.2.








Hình 5.2. Biểu thị nhiệt độ T
p+ξ
tại thời điểm p+ξ


1
( ) ( 1)
p ppp
T TTT
p pp p
ξ
ξ
++
−−
=
+ − +−
(5.54)
Từ đó suy ra

11
( ) (1 )
p p pp p p
T T TT T T
ξ
ξ ξξ
+ ++
= + − = +− (5.55)
τ
∆τ
T
p+1
T
p
∆T
T

P p+ξ p+1
T
p+ξ

209. 209
Tương tự suy ra véc tơ phụ tải ở thời điểm p+ξ

1
. (1 )
pp p
ff f
ξ
ξξ
++
= +− (5.56)
Thay (5.55) và (5.56) vào (5.53) sẽ có

{} {}( ){} {}
1
11
(1 ) . (1 )
pp
p pp pTT
C KT T f f
t
ξ ξξ ξ
+
++−
  + +− = +− 
∆
(5.57)
Sắp xếp lại như sau

{} {}
{} {}
1
1
.. (1 )..
. (1 ).
pp
pp
C KT C KT
ff
ξτ ξ τ
ξτ ξ τ
+
+
     +∆ = −− ∆
     
+∆ + − ∆

(5.58)
Phương trình (5.58) cho biết giá trị nhiệt độ tại các nút ở thời điểm p+1 tính theo nhiệt
độ thời điểm p, nhưng cả hai giá trị của véc tơ phụ tải {f} tại thời điểm p và p+1 buộc phải
biết trước.
Tuỳ theo giá trị thông số ξ được chọn, mà tạo ra sơ đồ sai phân không ổn định khác
nhau. Thông thường chọn ξ có một trong ba giá trị 0; 0,5 và 1 như Bảng 5.1 sau:
Bảng 5.1. Các sơ đồ bước thời gian khác nhau
ξ Tên sơ đồ Chú thích
0.0 Sơ đồ hiển thị hoàn toàn Phương pháp sai phân về phía trước
1.0 Sơ đồ ẩn hoàn toàn Phương pháp sai phân về phía sau
0.5 Sơ đồ nửa ẩn Phương pháp Crank - Nicolson

Khi đó xác đị nh nhiệt độ tại thời điểm p+1 theo các phương trình sau sẽ thuận tiện
hơn.
Khi lấy ξ = 0, tức chọn sơ đồ là hiển thị hoàn toàn, từ (5.58) dẫn tới
{} {}{}
1
.
p pp
CT C K T f ττ
+
  = −∆ +∆
  
(5.59)
Khi lấy ξ = 0,5 từ (5.58) dẫn tới

{} {} {}{}( )
111 11
..
2 22
p p pp
CKT CKT f fττ τ
++  
   + ∆ =− ∆ + +∆
     
  
(5.60)
Khi lấy ξ = 1, tức chọn sơ đồ ẩn hoàn toàn từ (5.58) dẫn tới
{} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.61)

5.5.3. Điều kiện chọn bước thời gian khi áp dụ ng các sơ đồ
Khi chọn sơ đồ hiển thị hoàn toàn (5.59) hay sơ đồ nửa ẩn (5.60) để tính, để cho

210. 210
nghiệm của các phương trình trên hội tụ thì bước thời gian ∆τ phải chọn đủ nhỏ.
Ngược lại với phương trình ẩn hoàn toàn (5.61) thì không cần điều kiện ràng buộc về
bước thời gian ∆τ. Bước thời gian ∆τ quyết định mức độ chính xác của nghiệm xấp xỉ và
khối lượng tính toán.




5.6. RỜI RẠC THEO THỜ I GIAN BẰ NG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠ N
5.6.1. Rời rạc theo phương pháp Galerkin
Gọi (p) và (p+1) là hai thời liên tiếp sau bước thời gian ∆τ, nhiệt độ tương ứng tại hai
thời điểm đó là T
p
và T
p+1
, Hình 5.3. Nhiệt độ trong khoảng thờ i gian giữ a p và (p+1) là
T(τ) được nội suy từ T
p
và T
p+1
thông qua hàm nội suy thờ i gian N(τ). Nếu chọn hàm nội
suy là hàm bậ c nhất, tức là nhiệt độ phụ thuộc vào thời gian theo bậ c nhất, thì


1
1
() ().() () .()
pp
pp
T NT N Tτ ττ τ τ
+
+
= +
(5.62)










Hình 5.3. Biểu thị rời rạc nhiệt độ theo thời gian
Nếu lấy thời điểm p có t
p
= 0, thì thời điểm (p+1) có t
p+1
= ∆τ. Khi đó thay đổi nhiệt độ
theo thời gian sẽ tương tự như thay đổ i nhiệt độ theo toạ độ trong phần tử một chiều bậc
nhất, tức là:

1
1
() ()
() () 1 () ()
pp
p pp
TT
TT T Tττ τ τ
ττ τ τ τ
τ ττ
+
+
  −
= − ×= − +  
∆ ∆∆   
(5.63)
Bởi vậy hàm nội suy là:

1
() () () 1
pp
N NN
ττ
τ ττ
ττ
+
  
 = = −   
∆∆  
(5.64)
Và nhiệt độ là:
{}
1 1
()
() () () () ()
()
p
pp p
T
T NT N N
T
τ
τ ττ τ τ
τ
+ +

= =  

(5.65)
Đạo hàm hàm nội suy

1
() ()() 1
11
pp
NNNτττ
τ τ ττ
+
∂∂∂
= = −

∂ ∂ ∂∆
(5.66)
∆τ
T(τ)
p
T(τ)
p+1

p p+1

N(τ)
p N(τ)
p+1

211. 211
Đạo hàm nhiệt độ theo thời gian
{}
1
() () 1 ()
() 1 1
()
p
p
TN T
T
T
ττ τ
τ
ττ τ τ
+
∂∂ 
= = − 
∂∂ ∆ 
(5.67)
Trở lại phương trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định (5.20) đã có ở phần trước, số dư
R tương ứ ng là:
{}{} 0
T
R C KT f
τ
∂
 = + −≠ 
∂
(5.68)
Theo nguyên tắc của phương pháp số dư trọng số Galerkin thì hàm trọng số chọn là
hàm nội suy thời gian, thì phương pháp Galerkin yêu cầu
{}{}(). () 0
T
N Rd N C K T f d
ττ
ττ τ τ
τ
∆∆
∂
    = +−=    
∂
∫∫
(5.69)
Thay thế hàm nội suy thời gian, nhiệt độ và đạo hàm củ a nhiệt độ rời rạc theo thời gian
vào sẽ có
{}
111
1 () ()
() 1 1 () ()
() ()
0
pp
pppp
TT
N C K N N fd
TT
τ
ττ
τ ττ τ
τ ττ
+++
∆
    
      −+ −            ∆      
=
∫
(5.70)
Tích phân trên có ba số hạng, có thể tính lầ n lượt với ()
P
Nτ trước, sau đó tính với
1
()
P
Nτ
+
, rồi gộp hai kết quả lại, hoặc tính một lần với véc tơ
1
()
()
P
P
N
N
τ
τ
+



, hai cách tính là
như nhau.
- Số hạng đầu
11
1
1
1
() 1 () ()
11 11
() () ()
1 ()
11
221 ()
pp
p
pp o
p
p
p
N CTT
C dd
N TT
CC T
T
τ
τ
τ
τ ττ τ
ττ
ττττ ττ
τ
ττ
τ τ
∆
++
∆ +
+

−
         ∆
  −= −      ∆∆     
∆
  ∆  
=−=   
∆  
∫∫
1
11 ()
11 ()
p
p
T
T
τ
τ
+
− 

−  
(5.71)
- Số hạng thứ hai
1 1
1
2
1
21 1
11
() ()
() ()
() ()
() () () 21() ()
312() () () () ()
p
p
pp p
p
pp
p pp
pp
pp p
N T
KN N d
N T
N NN TT
K dK
NN N T T
τ
τ
τ τ
ττ τ
τ τ
τ ττ τ ττ
τ
ττ τ τ τ
+ +
∆ +
+
++
∆ ++
    
   
 
   ∆ 
 = =    
   
∫
∫
(5.72)
- Số hạng thứ ba có phụ tải f phụ thuộc thời gian, ở hai thời điểm tương ứng là f
p
, f
p+1
:
nên:

{}(
1
1
()
2()
p
p
p
pN f
fd
N f
τ
τ τ
τ
τ
+
∆ +
 ∆  
=  

 
∫
(5.73)

212. 212
- Vậy phương trình đặc trưng (5.68) trở thành
1 11
11 2 1 () ()
.0
2 3211 1 2() ()
p pp
p pp
C T Tf
N Rd K
T Tf
τ
τ τ ττ
τ
ττ
+ ++
∆
    − ∆∆ 
= + −=     
−      
∫
(5.74)
hay

1 11
211 2 1() ()
311 1 2() ()
p pp
p ppCK T Tf
T Tf ττ
τ ττ
+ ++
    −   
+=   
∆−     

(5.75)
(5.75) là hai phương trình biểu thị mối quan hệ của nhiệt độ tại hai thời điểm liên tiếp
tại một nút theo ma trận nhiệt dung [C], ma trận độ cứng [K] và phụ tải nhiệt tại hai thời
điểm. Để xác định nhiệt độ thời điểm sau theo thời điểm trước, cần cộng chúng lại thành
một phương trình. Kết quả cho
( )
1111 1
() ()
2
p pp p
K CT f f K CTττ
ττ
++ 
   + = +−−    
∆∆ 
(5.76)
Cuối cùng phương trình nhiệt độ ở thời điểm sau
1P
T
+
là hàm của nhiệt độ thời điểm
trước theo:
( ) ( ) ( )
11 1
2
P P pp
C KT C KT f fττ τ
++
   +∆ = −∆ + + ∆
   
(5.77)

5.6.2. Rời rạc theo phương pháp số dư trọng số
Có thể chọn hàm trọng số ω j(t) nào đó để tiến hành rời rạc nhiệt độ và phụ tải theo thời
gian. Tương tự phương pháp Galerkin gọi 1 và 2 là hai thời điểm tương ứng với bước thời
gian liên tiếp thứ (p) và (p+1), thì nhiệ t độ tại hai thời điểm đó tương ứ ng là T
1 và T2.
Chọn biến thời gian trong toạ độ khu vực của thời gian là

τ
ζ
τ
=
∆
; ζ = (0 ÷ 1) (5.78)
Nhiệt độ được biểu thị

11 2 2
()T NT NTζ= + (5.79)
Trong đó hàm nộ i suy là

12
(1 )N NNζζ  = = −
  
(5.80)
Đạo hàm nhiệt độ là:

11 2 2 2 1
() 1
()() () () () ()
T
NT NT T Tζ
ζζ ζζ τ τ
ττ τ∂∂
  = +=−
  
∂∂ ∆
(5.81)

213. 213
Số dư R tương ứng với phương trình đặc trưng dẫ n nhiệt không ổn định là:
{}{} 0
T
R C KT f
τ
∂
 = + −≠ 
∂
(5.82)
Theo nguyên tắc của phương pháp số dư trọng số thì hàm trọng số ω
j(ζ) được chọn là
hàm nội suy thời gian, phải thoả mãn yêu cầu { } {}{}( ). ( ) 0
jj
tt
T
Rd C K T f d
ωζ τ ωτ ζ
τ
∆∆
∂
 = +−= 
∂
∫∫
(5.83)
( ){}
2 1 11 2 2
1
() () () ()() () () 0
j
t
C T T KN T N T fdωζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ
τ
∆

   −+ + − =   
∆
∫
(5.84)
Đặt:
1
0
1
0
().
( ).
j
j
d
dω ζζ ζ
ξ
ωζ ζ
=
∫
∫
(5.85)
Sau khi biến đổi sẽ dẫn tới

{} {} {}
{}
11
.. (1 ).. .
(1 ).
p pp
p
C KT C KT f
f
ξτ ξ τ ξτ
ξτ
++
     +∆ = −− ∆ +∆
     
+− ∆
(5.86)
Thấy rằng phương trình rời rạc theo phương pháp số dư trong số trong phầ n tử hữu hạn
hoàn toàn giống phương trình rời rạc theo sai phân hữu hạn (5.58).

5.6.3. Rời rạc theo phương pháp bình phương nhỏ nhất
Phương pháp bình phương nhỏ nhất yêu cầu bình phương của số dư là nhỏ nhất. Gọi
nhiệt độ tại hai thời điểm liên tiế p là T
1 và T2 thì hàm sau phải nhỏ nhất

( ){}
2
1
12
1 2 11 2 2
0
NN
L C T T K TN TN f d
ζ
ττ
∂∂
 = + + +− 
∂∂
∫
(5.87)
Sau khi thực hiện biến đổi với chú ý phép tính ma trận [A]
2
= [A]
T
[A], sẽ dẫn tới {}
{}
{} {}
1
11
00
23
26
TTT
Tn
TTT
T nT T
MM KM MK
K KT
MM KM MK f f
K KT K d M d τ
τ
ζτ
ζζ
τ ττ +

 + ∆ ++

∆


 + ∆    =+ − −−
   
∆ ∆∆

∫∫
(5.88)
Phương trình trên khá dài, trong có chứa các ma trận nên khi tính toán sẽ tương đố i
phức tạp.

214. 214
5.7. TỔNG KẾ T MỘT SỐ CÔNG THỨ C RỜI RẠC THEO
THỜI GIAN

Bảng 5.2. Tóm tắt một số công thức rời rạc theo thời gian
Sai
phân
hữu
hạn
Tên gọi
Công thức tính nhiệt độ tại thời điểm sau T
p+1

Tổng
quát {} {} {} {}
11
. . (1 ). . . (1 ).
p pp p
C KT C KT f fξτ ξ τ ξτ ξ τ
++
     +∆ = −− ∆ +∆ +− ∆
     

Hiển
hoàn toàn {} {}{}
1
.
p pp
CT C K T f ττ
+
  = −∆ +∆
  

Nửa ẩn {} {} {}{}( )
111 11
..
2 22
p p pp
CKT CKT f fττ τ
++  
   + ∆ =− ∆ + +∆
     
  

Ẩn hoàn
toàn {} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  

Phần
tử hữu
hạn
Galerkin ( ) ( ) {}{}( )
1
1 1
2
pp
PP
C KT C KT f fττ τ
+
+
   +∆ = −∆ + + ∆
   

Số dư
trọng số ( ) {} {} {} {}
11
. . (1 ). . . (1 ).
p pp p
C KT C KT f fξτ ξ τ ξτ ξ τ
++
   +∆ = −− ∆ +∆ +− ∆
    

Bình
phương
nhỏ nhất
{}
{}
{} {}
1
11
00
23
26
TTT
Tn
TTT p p
T nT T
MM KM MK
KKT
MM KM MK f f
K KT K d M d τ
τ
ζτ
ζζ
τ ττ +

  + ∆ 
++ 
∆



  + ∆     =+ − −−
   
∆ ∆∆

∫∫

215. 215
5.8. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA VÁCH PHẲ NG
Thí dụ 5.2. Trở lại bài toán dẫn nhiệt của vách phẳng ở Thí dụ 5.1 trước.
Tấm phẳng dày L = 25cm; hệ số dẫn nhiệt k = 45 W/m
o
C, mật độ ρ = 8000 kg/m
3
,
nhiệt dung riêng c = 500 J/kg
o
C. Lúc đầu mặt phải đối lưu với môi trường có nhiệt độ T a =
45
o
C, hệ số tỏa nhiệt h = 35 W/m
2o
C. Bỗng nhiên nhiệt độ mặt trái đột ngột tăng lên 90
0
C.
Xác đị nh phân bố nhiệt độ trong tường lúc ban đầu và thay đổi nhiệt độ trong tường trong
khoảng thời gian 1/2 giờ.
- Ma trận nhiệt dung tổng (toàn cục)

66667 33333 0 0 0 0
33333 133334 33333 0 0 0
0 33333 133334 33333 0 0
0 0 33333 133334 33333 0
0 0 0 33333 133334 33333
0 0 0 0 33333 66667
C




=





(5.89)
- Ma trận độ cứng toàn cụ c

900 -900 0 0 0 0
-900 1800 -900 0 0 0
0 -900 1800 -900 0 0
0 0 -900 1800 -900 0
0 0 0 -900 1800 -900
0 0 0 0 -900 935
K




=





(5.90)
- Véc tơ phụ tải toàn cục
{}
0
0
0
0
0
1575
f





=




(5.91)
Bây giờ rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữu hạn. Phương trình đặ c trưng
tổng quát khi rời rạc thời gian theo sai phân hữu hạn là (5.58).
{ } {} { } {} {} {}
11
. . (1 ). . . (1 ).
p pp p
C KT C KT f fξτ ξ τ ξτ ξ τ
++
   +∆ = −− ∆ +∆ +− ∆
   
(5.92)
Giải theo sơ đồ có ξ = 1, do phụ tải nhiệt không đổi: {f}
p+1
= {f}
p
, nên (5.92) trở thành

{} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.93)

216. 216
Giải phương trình
Lấy 10 bước thời gian, mối bước ∆τ = 120s, thay vào phương trình (5.93) có
{} { } {} {}( )
11
120. * 120
p pp
T C K CT f
−+
  = ++
  
(5.94)
Kết quả tính nhiệt độ tại 4 nút qua 10 thời điểm ghi trong bả ng sau
Bảng 5.3. Nhiệt độ các nút qua 10 thời điểm
Thời điểm  Vị trí  1 2 3 4 5 6
P = 0 45,0000 45,0000 45,0000 45,0000 45,0000 45,0000
P = 1 90,0000 45,0000 45,0000 45,0000 45,0000 45,0000
P = 2 66,2344 54,4945 47,1822 45,5038 45,1233 45,0515
P = 3 59,1957 55,0099 49,3283 46,4733 45,4845 45,2444
P = 4 56,2719 54,2247 50,3243 47,4292 46,0318 45,6121
P = 5 54,6602 53,4157 50,6816 48,1525 46,6380 46,1042
P = 6 53,6073 52,7527 50,7560 48,6560 47,2113 46,6399
P = 7 52,8540 52,2266 50,7165 49,0019 47,7116 47,1552
P = 8 52,2873 51,8085 50,6370 49,2429 48,1295 47,6150
P = 9 51,8481 51,4736 50,5485 49,4140 48,4699 48,0064
P = 10 51,5010 51,2034 50,4635 49,5376 48,7430 48,3296





























Hình 5.4. Đồ thị thể hiện phân bố nhiệt độ trong thanh ban đầ u và tại 8 thời điểm

Thí dụ 5.3. Tường phẳ ng có bề dày L = 25cm; hệ số dẫn nhiệt k = 1, 5 W/m
o
C, mật
độ ρ = 2200 kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 880 J/kg
o
C. Mặt trái có nhiệt độ 25
o
C, mặt phải
tiếp xúc với môi trường nhiệt độ T
a = 45
o
C, hệ số toả nhiệt h = 35 W/m
2o
C. Bỗng nhiên
nhiệt độ môi trường tăng vọ t lên 400
o
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong tường lúc ban đầ u
và thay đổi nhiệt độ trong tường trong khoả ng thời gian 1 giờ.
Rời rạc tường thành 5 phần tử hữu hạn một chiều, l = L/5 = 0.05 thể hiện trên sơ đồ
sau, Hình 5.5.
Nhiệt độ (
o
C)

Vị trí nút
1 2 3 4 5 6
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95


P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
P=5

217. 217




Hình 5.5. Rời rạc bề dày tường phẳ ng thành 5 phầ n tử hữu hạn một chiều bậc nhất

- Ma trận nhiệt dung, thay số được

2 1 32267 16133..
..
61 2 16133 32267T
V c Al
C c N N dVρ
ρ   
 = = =   
  
∫
(5.95)

- Ma trận độ cứng 4 phầ n tử đầu

T
14 V
1 1 30 -30Ak
B D B dV
l11 -30 30
K
−
−
  = = =   
− 
∫
(5.96)
- Ma trận độ cứngphần tử 5

5
1 1 0 0 30 -30
1 1 01 -30 65
Ak
K hA
l
  −
= +=   
−   
(5.97)
Phụ tải nhiệt các phầ n tử 1, 2, 3, 4, bằng 0. Phụ tải nhiệt phần tử 5:
{}
5
0 0
1 1575T
a
a
S
f hT N dS hAT
  
= = =  
  ∫
(5.98)
Phương trình lắp ghép toàn cục sau khi áp đặ t điều kiện biên:
32267 16133 0 0 0 0
16133 64534 16133 0 0 0
0 16133 64534 16133 0 0
0 0 16133
1
2
3
4
5
6
64534 16133 0
0 0 0 16133 64534 16133
0 0 0 0 16133 32267
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂

 ∂∂

∂∂


∂∂

∂∂ 
1 0 0 0 0 0
0 60 -30 0 0 0
0 -30 60 -30 0 0
0 0 -30 60 -30 0
0 0 0 -30 60 -30
0 0 0




+



 
1
2
3
4
5
6
0 -30 65
25
750
0
0
0
1575
T
T
T
T
T
T





 
 
 
 
  





=





Rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn
{ }{} {} {}
11p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = +∆
  
(5.99)
Giải ra với bước thời gian ∆τ = 360 s; sau 10 bước có kết quả sau
     1 2 3 4 5 6
l
1 l
2 l
3 l
4 l
5
25
0
C h, T
a

218. 218
Bảng 5.4. Nhiệt độ các nút qua 10 thời điểm
Thời điểm  Vị trí  1 2 3 4 5 6
P = 0 25,0000 28,4146 31,8293 35,2439 38,6585 42,0732
P = 1 24,9993 28,4160 31,8099 35,5562 33,6343 122,9073
P = 2 25,0050 28,4045 31,9328 34,2959 42,3880 167,4676
P = 3 24,9917 28,4314 31,7898 34,2185 55,3822 194,5887
P = 4 24,9896 28,4357 31,5788 35,7398 68,9629 212,7741
P = 5 25,0082 28,3984 31,5323 38,5899 81,8327 226,0180
P = 6 25,0350 28,3441 31,7929 42,3811 93,6184 236,2955
P = 7 25,0484 28,3160 32,4176 46,7783 104,2944 244,6457
P = 8 25,0276 28,3571 33,4072 51,5301 113,9526 251,6546
P = 9 24,9563 28,5007 34,7322 56,4602 122,7135 257,6770
P = 10 24,8248 28,7676 36,3498 61,4488 130,6939 262,9423



























Hình 5.6. Đồ thị thể hiện phân bố nhiệt độ trong tường phẳng ban đầ u và tại
10 thời điểm





5.9. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA THANH
Thí dụ 5.4. Một thanh đồng thẳ ng kích thước: dài 24cm, tiế t diện ngang 3cm × 4cm,
đặt trong môi trường không khí, nhiệt độ ban đầu của thanh bằng với nhiệt độ không khí là
20
0
C. Nếu nhiệt độ gốc thanh bỗng tăng lên 150
0
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong cánh
theo thời gian. Biết hệ số dẫn nhiệt của thanh là k = 400 W/m
0
C, nhiệt dung riêng c =
385.10
3
J/kg
0
C, khối lượng riêng ρ = 8900 kg/m
3
, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh h =
180 W/m
2o
C. Xác định nhiệt độ bên trong thanh ở các thời điểm khác nhau

Nhiệt độ (
o
C)

Vị trí
1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
250
300


P=0
P=1
P=2
P=3
P=4

219. 219






Hình 5.7. Dẫn nhiệt không ổn định trong thanh đồng thẳng


5.9.1. Rời rạc các phần tử
Chia thanh làm ba phần tử như Hình 5.4, mỗi phần tử có chiều dài: l = 0,08 m; diện
tích tiết diện: A = 0,04×0,03 = 0,0012m
2
; chu vi P = (0,04 + 0,03)×2 = 0,14 m.





Hình 5.8. Rời rạc thanh đồng thẳng thành 3 phần tử

5.9.2. Tính các ma trận và véc tơ
- Ma trận nhiệt dung [C]:

2
2
..
T
i ij
PP
Vl ij j N NN
C c N N dV c Adl
NN N
ρρ

  = =
 


∫∫
(5.100)
Tích phân (5.100) được:

. 21
612
P
c Al
C
ρ 
= 

(5.101)
Ma trận nhiệt dung của ba phần tử như nhau
123
3
. 21
612
2 1 109648 548248900 385 10 0,08 0,0012
6 1 2 54824 109648
p
c lA
CCCρ 
  = = =   

  × ×× ×
= =  
  
(5.102)
- Ma trận độ cứng [K]:
3cm
4cm
24cm
T
L = 20
0
C
h= 180W/m
2 0
C
cách nhiệt
  
150
0
C
T
L = 20
0
C
h = 80W/m
2o
C
cách nhiệt
1 2 3 4

220. 220

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫
(5.103)
Ma trận độ cứng của ba phần tử như nhau nên

123
1 1 2 1 6,672 -5,664
61 1 12 -5,664 6,672
Ak hPl
KKK
l
  −
  === +=     
−   
(5.104)
- Véc tơ phụ tải {f}:
{}
TT T
V
L
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫ ∫∫
(5.105)
Do không có nguồn trong và bức xạ nên
{}
1
21
L
hT Pl
f

= 

(5.106)
Véc tơ phụ tải của ba phần tử như nhau nên
{}{}{}
123
1 1 20,16180.0,14.0,08.20
221 1 20,16
L
hPlT
fff
   
= = = = =   
   
(5.107)

5.9.3. Lắp ghép các ma trận
- Ma trận nhiệt dung toàn cục

109648 54824 0 0
54824 219296 54824 0
0 54824 219296 54824
0 0 54824 109648
C



=




(5.108)
- Ma trận độ cứng toàn cụ c

6,672 -5,664 0 0
-5,664 13,344 -5,664 0
0 -5,664 13,344 -5,664
0 0 -5,664 6,672
K



=




(5.109)
- Véc tơ phụ tải toàn cục

{}
20,16
40,32
40,32
20,16
f



=



(5.110)

221. 221
5.9.4. Phương trình đặ c trưng
Phương trình đặc trưng là

1
2
3
4
109648 54824 0 0
54824 219296 54824 0
0 54824 219296 54824
0 0 54824 109648
6,672 -5,664 0 0
-5,664 13,344 -5,664 0
0 -5,664 13,344 -5,664
0 0 -5,664 6,672
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
∂

∂

 ∂


∂

 ∂



∂

∂

∂



+



1
2
3
4
20,16
40,32
40,32
20,16
T
T
T


 
= 
 
 


(5.111)
Bây giờ rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn (5.58) với ξ = 1
{} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.112)
Lấy∆τ = 3600s. Kết quả tính nhiệt độ tại 4 nút qua 8 thời điểm ghi trong bảng và thể
hiện trên đồ thị sau
Bảng 5.5. Nhiệt độ các nút qua 8 thời điểm
Thời điểm p 1 2 3 4 5 6 7 8
Nút 1 150,0000 123,1325 104,7202 91,6883 82,1569 74,9570 69,3488 69,3488
Nút 2 20,0000 33,6150 41,2112 45,2634 47,2173 47,9259 47,8978 47,8978
Nút 3 20,0000 18,1805 18,6603 20,0630 21,7178 23,3194 24,7457 24,7457
Nút 4 20,0000 20,4687 19,9833 19,4206 19,1080 19,1178 19,4152 19,4152






















Hình 5.9. Đồ thị thể hiện phân bố nhiệt độ trong thanh tại 8 thời điểm

222. 222
5.10. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA VÁCH TRỤ
Khảo sát vách trụ đường kính trong r tr, đường kính ngoài r ng, hệ số dẫn nhiệt k, mật độ
ρ, nhiệt dung riêng c. Ban đầu mặt trong có nhiệt độ T
W1, mặt ngoài tỏ a nhiệt với môi
trường có nhiệt độ T
a1, hệ số tỏa nhiệt h. Sau đó nhiệt độ môi trường tăng độ t ngột lên T a2.
Xác định phân bố nhiệt độ lúc ban đầu và thay đổi nhiệt độ trong vách sau một khoảng thời
gian.
Phương trình đặc trưng

{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂
(5.113)

5.10.1. Thiết lập ma trận nhiệt dung

2
1 12
2
12 2
.. .. 2 .
T
Vl
N NN
C c N N dV c rdr
NN N
ρ ρπ

 = =  

∫∫
(5.114)
Biết rằng trong vách trụ cũng như vách phẳ ng, hàm nội suy nhiệt độ và tọa độ là như
nhau:

1122 1122
;T NT NT r Nr Nr=+=+ (5.115)
( )
2
1 12
11 2 22
12 2
2 .. .
l
N NN
C c N r N r dr
NN N
πρ

= + 

∫
(5.116)
Tính tích phân các số hạng trong (5.116) như sau

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 32
1 11 22 1 1 1 22
1 2 12
22
12 11 22 1 21 122
1 2 12
2 23
21122 12122
3!0! 2!1!
3
(3 0 1)! (2 1 1)! 12
2!1! 1!2!
(2 1 1)! (1 2 1)! 12
1!2!
(121)
ll
ll
ll
N N r N r dr N r N N r dr
l
rl rl r r
N N N r N r dr N N r N N r dr
l
rl rl r r
N N r N r dr N N r N r dr
+=+
=+=+
+ + ++
+= +
=+=+
++ + +
+= +
=
++
∫∫
∫∫
∫∫
( )
1 2 12
3!0!
3
! (3 0 1)! 12
l
rl rl r r















+=+ 
++ 

(5.117)
Cuối cùng có ma trận nhiệt dung của mỗi phần tử

( )( )
( )( )
12 12
12 1 2
3
2 ..
12 3
rr rrl
Cc
rr r r
πρ
++
 =

++

(5.118)

223. 223
5.10.2. Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng đối với mỗi phần tử có đối lưu ở nút 2, vẫn như trong trường hợp ổn
định, phương trình (4.64) đã biết
( )
( )
12
2
21 1 1 002
2.
2 1 1 01TT
VS rrk
K B D B dV h N N dS r h
rrπ
π +  −
      = += +         
−−   
∫∫
(5.119)

5.10.3. Phụ tải nhiệt
Khi có đối lưu tại mặt ngoài phầ n tử, ứng với bán kính r 2 cũng như trước
{}
2
0
2.
1T
aa
A
f hT N dS hT r π

= = 

∫
(5.120)

5.10.4. Phương trình đặ c trưng của phần tử:
Khi phần tử có đối lưu tại nút 2
( )( )
( )( ) ( )
( )
1
12 12 12 1
2
22 2112 1 2
2
3 1 1 002
2 .. 2 .
12 2 1 1 013
0
2.
1
T
aa
A
T
rr rr rr Tlk
c rh
TT rrrr r r
hT N dS hT r
πτ
πρ π
τ
π
∂
 ++ +   −    ∂
 ++       
−∂ −++       

∂

= = 

∫

(5.121)
Sau khi tính được [C], [K] và {f} của mỗi phần tử, cần lắp ghép các phầ n tử để được
phương trình ma trận đặc trưng toàn cụ c của bài toán. Sau đó chọn phương pháp rời rạc
theo thờ i gian để chọn sơ đồ tính toán.
Thí dụ 4.4. Cho vách trụ có đường kính trong r t = 30 cm, đường kính ngoài r ng = 50
cm, hệ số dẫn nhiệt k = 15 W/m
0
C, mật độ ρ = 1800 kg/m
3
; nhiệt dung riêng c = 900
J/kgđộ. Ban đầu mặt trong có T
W1 = 80
0
C. Môi trường đối lưu ở mặt ngoài cóT a = 20
0
C, h
= 10 W/m
2 0
C. Sau đó nhiệt độ môi trường tăng đột ngột lên T a = 200
0
C. Xác định phân bố
nhiệt độ ban đầu và thay đổi nhiệt độ trong vách sau 10 bước thời gian với ∆τ = 600 s.


















Hình 5.10. Rời rạc bề dày vách trụ thành 4phần tử
T
W1 = 80
0
C
T
a = 20
0
C
h = 10 W/m
2 0
C
1 2 3 4 5
  
T
a = 200
0
C

224. 224
1. Rời rạc các phần tử
Chia bề dày vách trụ làm 4 phần tử như Hình 5.4, sơ đồ sẽcó 5 nút: 1, 2, 3, 4 và 5.
Chiều dài mỗi phần tử là: l = (50 – 30)/4 = 5 cm, 5 nút tương ứng với các toạ độ là: r
1 = 30
cm, r
2 = 35 cm, r 3 = 40 cm, r 4 = 45 cm, r 5 = 50 cm.
2. Tính các ma trận và véc tơ phụ tải các phần tử
Thay các trị số r 1; r2; r3; r4; r5; l = r 2 – r1, ρ; c vào phương trình (5.117)

( )( )
( )( )
12 12
12 1 2
3
2 ..
12 3
rr rrl
Cc
rr r r
πρ
++
 =

++


Tính được ma trận nhiệt dung của 4 phần tử:

1
2
3
4
53014 27568
;
27568 57256
61497 31809
;
31809 65738
69979 36050
;
36050 74220
78461 40291
40291 82703
C
C
C
C

=


=


=


=

(5.122)
Lắp ghép được ma trận nhiệt dung toàn cục

53014 27568 0 0 0
27568 118753 31809 0 0
0 31809 135717 36050 0
0 0 36050 152681 40291
0 0 0 40291 82703
C



=






(5.123)
- Ma trận độ cứng [K] và véc tơ phụ tải {f}
Kết quả tính ma trận độ cứng và phụ tải cho 4 phần tử đã được thực hiện trong Thí dụ
4.4. ở phần trước. Sau khi lắp ghép, và áp đặt điều kiện biên T
w1 = 80
0
C, phương trình
(4.91), [K] và {f} như sau

{}
10 0 0 0
0 1319,46 706,85 0 0
; 0 706,85 1507,956 801,11 0
0 0 801,11 1696,46 895,35
0 0 0 895,35 926,765
80
49008,8
0
0
628,318
K
f


−

= −−


−−

−




=




(5.124)

225. 225
- Phương trình ma trận đặc trưng toàn cục trong quá trinh không ổn định

53014 27568 0 0 0
27568 118753 31809 0 0
0 31809 135717 36050 0
0 0 36050 152681 40291
0 0 0 40291 82703
10 0 0 0
0 1319,46 706,85 0 0
0 706,85 1507,956 801,11 0
0 0 801,11 1696,46 895,35
0 0 0 895,35 926,765
T










−

+ −−

−−

−
1
2
3
4
5
80
49008,8
0
0
628,318
T
T
T
T



 
= 
 
 
 


(5.125)
Để giải phương trình (5.125), cần rời rạc theo thời gian. Ở đây chọn phương pháp Sai
phân hữ u hạn với ξ = 1 (ẩn hoàn toàn) có dạng
{} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.126)
Gọi phụ tải ở thời điểm P = 0 là {f}
P = 0
ứng với Ta = 20
0
C,

{}
0
80 80
49008,8 49008,8
0 0
0 0
31,4159 628,318
a
f
T
 
 
 
  
= =  
  
  
×  


(5.127)
thì {}
10
0
TKf
−
=


(5.128)
Phụ tải ở thời điểm P = 1, 2, .., 10 là {f}
P = 1
ứng với nhiệt độ môi trường tăng lên T a =
200
0
C, là

{}
1
80 80
49008,8 49008,8
0 0
0 0
31,4159 6283,18
a
f
T
 
 
 
  
= =  
  
  
×  


(5.129)
Đặt
{ } {}{}
1
. ;
PP
A C K B CT fττ
+
  = +∆ = + ∆
  
(5.130)

{}{}
{}{}
1
1
1 11
0
1
1
2 22
1
*
*
B CT f T A B
B CT f T A Bτ
τ
−
−
= + ∆→ =

= + ∆→ =

(5.131)
Với ∆τ = 600s, kết quả tính toán nhiệt độ sau 10 bước thời gian được ghi trong bả ngvà
thể hiện trên đồ thị sau

226. 226
Bảng 5.6. Nhiệt độ tính toán sau 10 thờ i điểm
Thời điểm Vị trí 1 2 3 4 5
P = 0 80,0000 77,3708 75,0921 73,0811 71,2818
P = 1 79,4536 78,4334 77,5197 77,8246 80,2837
P = 2 78,7329 79,8469 80,2693 81,8105 84,8492
P = 3 78,0984 81,1085 82,5524 84,7766 87,9992
P = 4 77,6047 82,1099 84,3193 87,0003 90,3240
P = 5 77,2370 82,8773 85,6627 88,6756 92,0686
P = 6 76,9686 83,4593 86,6791 89,9399 93,3837
P = 7 76,7763 83,8993 87,4470 90,8944 94,3763
P = 8 76,6414 84,2317 88,0271 91,6152 95,1257
P = 9 76,5499 84,4828 88,4651 92,1596 95,6917
P = 10 76,4910 84,6724 88,7959 92,5706 96,1191

























Hình 5.11. Phân bố nhiệt độ ban đầ u và sau 10 thời điểm trong vách trụ






5.11. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA PHẦN TỬ TAM GIÁC
Bài toán dẫn nhiệt không ổn định nhiều chiều cũng được tiến hành tương tự như một
chiều ở trên, tuy nhiên việc lập các ma trận, phụ tải nhiệt và đặc biệt là lắp ghép các phần
tử có phức tạp hơn. Trong tài liệu này chúng ta tập trung xem xét bài toán dẫ n nhiệt hai
chiều, trong đó dẫn nhiệt qua phần tử tam giác và chữ nhật là quan trọng nhất nên sẽ bắt
đầu từ các phần tử này.
Phương trình đặc trưng

{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂

(5.132)
Trong phương trình đặc trưng (5.132), ma trận [K] đã được xây dự ng trong phần dẫn
nhiệt ổn định, ta sẽ xây dựng số hạng [C] của phương trình và các thành phần của các số
Nhiệt độ

(
o
C)

Vị trí
1 2 3 4 5
70
75
80
85
90
95
100


P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
P=5
P=10

227. 227
hạng đó, đồng thời sẽ tính trực tiếp các công thức tích phân mà trước đây đã công nhậ n để
sử dụng.
Xét hình chữ nhật 1234, có các cạnh là a và b, Hình 5.12a. Rời rạc chữ nhật thành hai
phần tử tam giác có số nút toàn cục ghi nét đậm là 123 và 134. Số nút cục bộ của hai tam
giác ghi chữ nhỏ ngược chiều kim đồ ng hồ, Hình 5.12 b









Hình 5.12. Rời rạc phần tử chữ nhật thành các phần tử tam giác

Biểu thị số nút toàn cục và cục bộ của tam giác.
Tọa độ các nút toàn cục và cục bộ được ghi trong Bảng 5.4:
Bảng 5.7. Tọa độ các nút toàn cục và cục bộ cuả 2 phần tử tam giác
Phần tử 1 2
Nút toàn cục 1 3 4 1 2 3
Nút cục bộ 1 2 3 1 2 3
Tọa độ nút
x 0 a 0 0 a a
y 0 b b 0 0 b



5.11.1. Phần tử tam giác 1






Hình 5.13. Tách riêng phần tử tam giác 1

(b) (a)
1 2
4 3
0
a
b
x
y



1 2
4 3
3 2
1
1 2
0
3
a
b
x
y
0 a
x
b

y
1
4 3

1
3 2

228. 228
1. Xác định hàm nội suy
Công thức chung của hàm nội suy của phần tử tam giác (2.89) trong Chương 2:

( )
( )
( )
1 11 1
2 22 2
3 33 3
1
;
2
1
;
2
1
2
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++
(5.133)
Trong đó các hệ số a
i, bi, ci (i = 1, 2, 3) viết theo tọa độ cục bộ của mỗi tam giác:

1 2 3 32 2 3 1 13 3 12 21
1 23 2 31 3 1 2
1 32 2 13 3 21
;;


a x y - x y ; a x y - x y ; a x y - x y
b y - y ; b y - y ; b y - y
c x - x c x - x c x - x
= = =
= = =
= = =

(5.134)
Các hệ số
a
1 = a.b a
2 = 0 a
3 = 0
b
1 = 0 b
2 = b b
3 = -b
c
1 = –a c
2 = 0 c
3 = a

Thay vào (5.133) đượ c các hàm nội suy của phần tử tam giác 1:

1 23
1; ;
y x xy
N NN
b a ab
=− = =−+ (5.135)

2. Thiết lập ma trận nhiệt dung
Công thức chung:

2
1 12 13
2
21 2 23
2
31 3 2 3
.. ..
T
V
V
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ρρ


 = =
 


∫∫
(5.136)
Các số hạng của ma trận ở trên dễ dàng xác định từ (5.135), gồm

2
2
2
1 12 2
22
2
2 13 22
22 2
2
3 23 22 2
2
1 1 ; 1
; 1
2
;
y y y y x x xy
N NN
b b b a a abb
x y xy xyxyy
N NN
b ab ababab
x xy y x x y x xy
N NN
ab a a b abab a
 
=− =−+ =− =− 
 
  
= = − −+ =−++ −  
  

= − + = −+ =− + 

(5.137)
Với dV = δdA, với δ là bề dày tam giác lấy δ = 1; dA là vi phân diệ n tích phẳng, dA =
dxdy
Bằng cách tính tích phân trực tiếp từng số hạng theo tích phân bộ i hai lớp trong tam

229. 229
giác, cuối cùng ma trận nhiệt dung của phần tử tam giác 1 là
2
1 12 13
2
21 2 23
1
2
31 3 2 3
211
. . 121
24
112
T
PT
VV
N NN NN
ab
C c N N dV c N N N N N dV c
NN NN N
ρρ ρ
 
 
 = = =
  
 

∫∫

(5.138)
Quá trình tính toán trên được thực hiện trong Bài tập 5.8.

3. Thiết lập ma trận độ cứng
Công thức chung

(1) ( 2 )
TT
VS
KK
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫

- Số hạng đầu: Công thức chung tính K(1) đã được xây dựng trong Chương 4, phương
trình (4.143)
22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
K(1)
4
T
xy
A
b bb bb c cc cc
B D B ds k k bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
δ
δ
  
  
 = = +    
  
  
∫
(5.139)
Với δ là bề dày tam giác lấy bằng 1, A là diệ n tích tam giác, hệ số dẫn nhiệt theo hai
hướng k
x = ky = k. Với các hệ sốb i, ci (i = 1, 2, 3) của hàm nộ i suy của phần tử tam giác 1
đã được xác định ở trên thay vào (5.139) được
22 2 2
22 2 2
22
2 2 2 2 2 2 22
00 0 0 0
(1) 0 0 0 0 0
44
0 0 ()
aa a a
kk
K bb b b
AA
b b a a a b ba
    −−
   
= −+ = −    
   − − −− +
   
(5.140)
- Số hạng 2: (2)
T
S
K h N N dS=
∫

Trong đó, S là diệ n tích tỏa nhiệt đối lưu, là mặt bên qua cạnh có đối lưu 43 (có nút
cục bộ là 23), diện tích tỏ a nhiệt là dS = δ×dl
23; với δ là bề dày tam giác lấ y = 1.
Cạnh 23 có y = b, x = 0 ÷ a, nên N
1 = 0;

2
000
021
6
012
T
S
ah
h N N ds


 =



∫

(5.141)
Ma trận độ cứng phầ n tử 1

22
22
21
2 2 22
0 000
0 021
64
( ) 012
PT
aa
k ah
K bb
A
a b ba
 −
 
 = −+
 
 −− +

(5.142)

230. 230
4. Lập công thức véc tơ phụ tải nhiệt
Công thức chung:
{}
12
12
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫∫∫
(5.143)
Phần tử 1 không có nguồ n trong, không có bức xạ, chỉ có đối lưu tạ i cạnh trên 23. Tại
cạnh 23 N
1 = 0, nên

{}
2 22
1
22
3
0
T
aa
PT
SS
f hT N dS hT N dS
N


= =



∫∫
(5.144)
Tính trực tiếp các tích phân

2
2
0
0
2
3
0
0
22
1
22
a
a
S
a
a
S
xxa
N dl dx
aa
x xa
N dl dx x
aa
δ
δ= = =

= −+ =− + = 
 ∫∫
∫∫

Véc tơ phụ tải của phần tử 1 là
{}
2
1
2
0
1
2
1
T
aa
PT
S
a
f hT N dS hT


= =



∫

(5.145)

5. Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử tam giác 1
Cuối cùng có phương trình ma trận đặc trưng của phần tử tam giác 1
22
11
22
33 2
2 2 22
44
/211 0 000
121 / 0 021
24 6 4
112 ( ) 012 /
0
1
2
1
a
TT aa
c ah
T k bb T
A
a b baTT
a
hT
τ
ρδ
τ
τ
   ∂∂  −
    
∂ ∂+ − +      
       −− +∂∂
     


= 


(5.146)

231. 231
5.11.2. Phần tử tam giác 2
Tách riêng phần tử tam giác 2





Hình 5.14.

1. Xác định hàm nội suy
Các hệ số của hàm nội suy của tam giác 2
a
1 = a.b a
2 = 0 a
3 = 0
b
1 = –b b
2 = b b
3 = 0
c
1 = 0 c
2 = –a c
3 = a

Hàm nội suy của phần tử tam giác 2:

12 3
1 ; ;
x xy y
NN N
a ab b
=−=− = (5.147)

2. Thiết lập công thức ma trận nhiệt dung
Công thức nhiệt dung của phần tử tam giác 2

2
1 12 13
2
21 2 23
2
2
31 3 2 3
T
PT
VV
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ρρ


 = =
 


∫∫
(5.148)
Các số hạng trong ma trận nhiệt dung: từ (5.148) có
2
22
2
1 1222
22
2
2 1322
22
2
3 2322
2
1 1 ; 1
2
; 1
;
x xx x xy xyx xy
N NN
a a a ab ab abaa
x xy y x y y xy
N NN
ab a b b abab
y xyy xyy
N NN
a b b abbb

  
= − =− + = − − =−− +  
  

 
=−+ =− =− 
 


= =−=−


(5.149)
Cách tính cũng như tam giác 1, nghĩa là tính trực tiếp theo tích phân bộ i 2 lớp trong
tam giác 2 kết quả được
0 a
X
b

Y
1
4 3
3
1 2 2


232. 232
2
1 12 13
2
21 2 23
2
2
31 3 2 3
211
. 121
24
112
T
PT
VV
N NN NN
ab
C c N N dV c N N N N N dV c
NN NN N
ρρ ρ
 
 
 = = =
  
 

∫∫

(5.150)
So sánh (5.151) với công thức tính ma trận nhiệt dung của tam giác 1 (5.138), thấy dù
hai tam giác có định hướng khác nhau nhưng có ma trận nhiêt dung như nhau.

3. Tính ma trận độ cứng
a. Số hạng đầu

1
T
V
K B D B dV =
 ∫
(5.151)
Với k
x = ky ; dV = δdA ; δ lấy bằng 1.

22
1 1 2 13 1 12 13
22
2 12 2 23 12 2 23
22
13 2 3 3 13 2 3 3
4
T
A
b bb bb c cc cc
k
B D B dA bb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
δ
  
  
 = +  
  
  
∫

Thay các hệ số của hai ma trận trên phần tử 2 được
22 2 2
2 2 2 2 222 2
222
22 2 2
0 00 0 0
00
44
0 00 0 0
PT
bb b b
kk
K b b a a bab a
AA
aa a a
  −−
  
 = − + −= − +−  
  −−
  

(5.152)
So sánh [K]
PT2 với [K]PT1 thấy rằng hai tam giác có định hướng khác nhau sẽ có ma
trận độ cứng khác nhau.
b. Số hạng 2

2
T
S
K h N N dS=
∫
(5.153)
Trong đó S là diện tích tỏ a nhiệt đối lưu, tương.ứng với cạnh có đối lưu 23 (23 lấy theo
nút cục bộ), diện tích tỏa nhiệt là S = δ×l
23, với δ là bề dày hình phẳ ng, lấy bằng 1.






Hình 5.15. Đối lưu tại cạnh 23 của phần tử 2 có nút cục bộ là 23
0 a
x
b

y
1
4 3
3
1 2 2


233. 233
Cạnh 23 có x = a, y thay đổi từ 0 ÷ b nên hàm nội suy của phần tử tam giác 2:

1 23
1 0; 1 ;
x yy
N NN
a bb
=−= =− =
Nên:
2
1 12 13
3
22
2 12 2 23 23 2 23
2
222
13 23 3 23 3
00 0
0
0
T
SS
N NN NN
K h N N dS h N N N N N dl h N N N dy
NN NN N NN N
 
 
= = =
 
 

∫∫ ∫

Sau khi lấy các tích phân trực tiếp các số hạng trong K
2 theo cạnh 23 được

3
2
2
2
000
K 021
6
012
T
S
b
h N N ds h dy hδ


= = =



∫∫

(5.154)
Cuối cùng có ma trận độ cứng phầ n tử 2

22
2222
2
22
0 000
.
021
46
0 012
PT
bb
kb
K baba h
A
aa
δ
 −
 
 =−+ +
 
 


(5.155)

4. Tính phụ tải nhiệt
Không có nguồn trong, không có bứ c xạ, có đối lưu tại cạnh trên 23. Tại cạnh 23
N
1=0, nên

{}
2 22
2
22
3
0
T
aa
PT
SS
f hT N dS hT N dS
N


= =



∫∫
(5.156)
{}
2
2
2
0
1
2
1
T
aa
PT
S b
f hT N dS hT


= =



∫

(5.157)

5. Phương trình ma trận đặc trưng phần tử tam giác 2
22
11
222 2
22 2
22
33
/211 0 000
.
. 121 / 021
24 6 4
112 0 012 /
0
1
2
1
a
TT bb
ab k b
c T bab a h T
A
aaTT
b
hT
τ
δ
ρτ
τ
   ∂∂  −
    
∂ ∂+ − + − +      
       −∂∂
     


=




(5.158)

234. 234
5.11.3. Lắp ghép các phầ n tử
Việc lắp ghép các phầ n tử cũng được tiến hành như trong trường hợp ổn định trước
đây. Tức là cầ n đánh số các phương trình của các phần tử lần lượt theo thứ tự của nút cụ c
bộ trong mỗi phần tử

















Hình 5.16. Đánh số phương trình tại các nút để lắp ghép hai phần tử

Phần tử 1: viết nhiệt độ theo số nút toàn cục
1
22
1
223
32
2 222
4
4
211 0 000
. 121 0 021
24 64
112 012
0 (1)
1 ;(2)
2
1 (3)
a
T
aa T
Tab k ah
c bb T
A
a bba T
T
ah
T
τ
ρ
τ
τ
∂

∂
     −
∂     
+ −+     
∂
     −− +
    ∂

∂



=




(5.159)
Phần tử 2: viết nhiệt độ theo số nút toàn cục
1
22
1
222 22
22
22
3
3
211 0 000
. 121 021
24 64
112 0 012
0 (4)
1 ;(5)
2
1 (6)
a
T
bb T
Tab k bh
c bab a T
A
aa T
T
bh
T
τ
ρ
τ
τ
∂

∂
     −
∂     
+ − + −+     
∂
     −
    ∂

∂



=




(5.160)
Hai phương trình ma trận đặc trưng của hai phần tử trên gồm 6 phương trình được
đánh số lần lượt từ 1 đến 6. Lập bảng lắp ghép căn cứ vào số phương trình tại mỗi nút như
sau
y


1 2
4 3
3 2
1
4 5
x
0
6

235. 235
Bảng 5.8. Chỉ dẫn lắp ghép hai tam giác



Cộng các phương trình tại mỗi nút lạ i sẽ được hệ phương trình toàn cục.
Thí dụ 5.5. Hình chữ nhật phẳng có bề dày 1m cao 0, 5 m; rộng 1m như trên hình
5.17. Vật liệu có mật độ ρ = 2000 kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 900 J/kgđộ. Tại thời điểm
ban đầu, chữ nhật có nhiệ t độ50
0
C, cạnh trên nhận bức xạ q = 250 W/m
2
, cạnh trái và cạnh
dưới cách nhiệ t, cạnh bên phải đối lưu với môi trường có hệ số tỏa nhiệt h = 20 W/m
2 0
C,
nhiệt độ không khí T
L = 20
0
C. Biết hệ số dẫn nhiệt của vật liệu là không đổi k = 1,50
W/m
0
C. Sử dụng các phần tử tam giác bậc nhất để xác định phân bố nhiệt độ trong hình.









Hình 5.17. Trao đổi nhiệt của hình chữ nhật phẳng

1. Rời rạc các phần tử
Miền chữ nhật được chia thành 4 phần tử tam giác bậc nhất có kích thước bằng nhau,
đánh số nút toàn cục và nút cục bộ trong mỗi phần tử như trên Hình 5.18.







Hình 5.18. Rời rạc hình chữ nhật thành 4 tam giác, đánh số nút
toàn cục và nút cục bộ trong mỗi phần tử

Nút toàn cục 1 2 3 4
Số phương trình 1,4 5 2, 6 3
T
p = 0
= 50
0
C
cách nhiệt
h = 20 W/m
20
C
Ta = 20
0
C
q = 250W/m
2
0, 5 m
1 m
cách nhiệt
h = 20 W/m
20
C
T
a = 20
0
C
q = 250W/m
2
cách nhiệt
cách nhiệt
1 2 3
6 5 4
 
 
1 1
1 2 1 2
3 2 3 2
3 3

236. 236
2. Ma trận nhiệt dung của các phần tử
Trong phầ n trước đã chỉ ra ma trận nhiệt dung các phần tử là như nhau, nên có thể viết
theo các chỉ số là nút cụ c bộ
1234
211
. . 121
24
112
T
PT PT PT PT
V
ab
C C C C c N N dV c ρρ


    = = = = =
    


∫
(5.161)
Thay các giá trị a = b = 0, 5; c = 900, ρ = 2000 được
2 1 1 2 1 1 37500 18750 18750
0,5 0,5
. 1 2 1 2000 900 1 2 1 18750 37500 18750
24 24
1 1 2 1 1 2 18750 18750 37500
ab
Cc
ρ
  
×  
== ×=
  
  
  

(5.162)

3. Ma trận độ cứng các phần tử
Ma trận độ cứng [K] của mỗi phần tử có thể gồm hai số hạng là số hạng dẫn nhiệt
[K]
dan-nh và số hạng đối lưu [K] doi-luu.

2
2
[] []
TT
VS
K dan nh K doi luu
K B D B dV h N N dS
−−
      = +
      
∫∫
(5.163)
Số hạng đối lưu [K]
doi-luu chỉ có mặt ở phần tử 4 có đối lưu ỏ cạnh biên giới.bên phải.
Ma trận độ cứng phần tử 1 và 3, theo (5.140), thay số δ = 1, A = ab/2 = 0, 25.0, 25; k
= 1, 5 được

22
22
213
2 2 22
0 60 6
.
0 06 6
4
( ) 6 6 12
PT PT
aa
k
KK bb
A
a b ba
δ
 −−
 
 = = −= −
  
 − − + −−

(5.164)
Ma trận độ cứng của phần tử 2, từ (5.152) thay số được

22
222 2
22
22
0 6 60
.
6 12 6
4
0 0 66
PT
bb
k
K bab a
A
aa
δ
 −−
 
 = − + −=− −
 
 −−


(5.165)
Ma trận độ cứng của phần tử 4
22
222 2
24
22
0 000 6 6 0
.
0 2 1 6 15,3333 4,333
64
0 0 1 2 0 4,333 9,3333
PT
bb
kb
K bab a h
A
aa
δ
   −−
   
 = − + −+ =− −
   
   −−
  

(5.166)

4. Véc tơ phụ tải các phần tử
Công thức chung:

{}
12
12
TT T
Va
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = −+
  ∫∫∫
(5.167)

237. 237
Các phần tử không có nguồ n trong. Phần tử 1 và 3 có bức xạ cạnh tại trên (có nút cụ c
bộ là 23), không có đố i lưu nên
{} {}
1
13
1
00
250 0,5 1 125
1 125
T
PT PT
S
f f q N ds
  
  
==− =×=   
  
  
∫

(5.168)
Phần tử 2 có phụ tải bằng 0:
{}
2
0
0
0
PT
f


=


(5.169)
Phần tử 4 có đối lưu tại cạnh bên phả i (nút cục bộ là 23), với h = 200; T
L = 20

{}
2
4
2
00
20 20 0,5 1 200
1 200
T
L
PT
S
f hT N ds
  
  
= =×× =   
  
  
∫

(5.170)

5. Phương trình đặc trưng của các phần tử
Đánh số phương trình theo thứ tự nút cục bộ của từng phần tử, Hình 5.19













Hình 5.19. Đánh số phương trình trong các phầ n tử

Viết các phương trình của mỗi phần tử theo thứ tự nút cục bộ, ghi nhiệt độ tương ứng
các nút toàn cục. Lưu ý ghi
/ i
i
T
T
τ
∂
=
∂

Phần tử 1

11
55
66
37500 18750 18750 ' 6 0 6 0 (1)
18750 37500 18750 ' 0 6 6 125 (2)
18750 18750 37500 ' 6 6 12 125 (3)
TT
TT
TT
        −
       
+ −=     
      −−
       

Phần tử 2

11
22
55
37500 18750 18750 ' 6 6 0 0 (4)
18750 37500 18750 ' 6 12 6 0 (5)
18750 18750 37500 ' 0 6 6 0 (6)
TT
TT
TT
        −
       
+− − =      
       −
       

1 2 3
6 5 4
 
 
1 7
4 5 10 11
3 2 9 8
6 12

238. 238
Phần tử 3

22
44
55
37500 18750 18750 ' 6 0 6 0 (7)
18750 37500 18750 ' 0 6 6 125 (8)
18750 18750 37500 ' 6 6 12 125 (9)
TT
TT
TT
        −
       
+ −=     
      −−
       

Phần tử 4

22
33
44
37500 18750 18750 ' 6 6 0 0 (10)
18750 37500 18750 ' 6 15.333 4.333 200 (11)
18750 18750 37500 ' 0 4.333 9.333 200 (12)
TT
TT
TT
        −
       
+− − =     
      −
       


6. Lắp ghép các phần tử
Bảng chỉ dẫn lắp ghép: cho biết các phương trình tại nút nào được cộng lại
Bảng 5.9. Chỉ dẫn lắp ghép 4 phần tử tam giác
Nút toàn cục 1 2 3 4 5 6
Phương trình cần cộng 1, 4 5, 7, 10 11 8, 12 2, 6, 9 3


a. Ma trận nhiệt dung
Bảng lắp ghép ma trận nhiệt dung C
Bảng 5.10. Bảng lắp ghép ma trận nhiệt dung
Nút
toàn
cục
Phương trình số
Hệ số của các đạo hàm
1
T
τ
∂
∂

2
T
τ
∂
∂

3
T
τ
∂
∂

4
T
τ
∂
∂

5
T
τ
∂
∂

6
T
τ
∂
∂


1
1, 4
1 37500

18750 18750
4 37500 18750 18750
Cộng PT tại nút 1 75000 18750 37500 18750

2

5, 7, 10

5 18750 37500 18750
7 37500 18750 18750
10 37500 18750 18750
Cộng PT tại nút 2 18750 112500 18750 37500 37500
3 11 18750 37500 18750

4
8, 12
8 18750 37500 18750
12 18750 18750 37500
Cộng PT tại nút 4 37500 18750 75000 18750


5

2, 6, 9
2 18750 37500 18750
6 18750 18750 37500
9 18750 18750 37500
Cộng PT tại nút 5 37500 37500 18750 112500 18750
6 3 18750 18750 37500

239. 239
Ma trận nhiệt dung toàn cục

75000 18750 0 0 37500 18750
18750 112500 18750 37500 37500 0
0 18750 37500 18750 0 0
0 37500 18750 7
C=

5000 18750 0
37500 37500 0 18750 112500 18750
18750 0 0 0 18750 37500









(5.171)

b. Ma trận độ cứng [K] và phụ tải {f}
Bảng lắp ghép
Bảng 5.11. Lắp ghép ma trận độ cứng và phụ tải
Nút
toàn
cục
Phương trình số
Hệ số của nhiệt độ
Phụ tải
T
1 T
2 T
3 T
4 T
5 T
6

1
1, 4
1 6

0 -6 0
4 6 -6 0 0
Cộng PT 1+4 12 -6 0 -6 0

2

5, 7, 10

5 -6 12 -6 0
7 6 0 -6 0
10 6 -6 0 0
Cộng PT 5+7+10 -6 24 -6 0 -12 0
3 11 -6 15,333 -4,333 200

4
8, 12
8 0 6 -6 125
12 0 -4,333 9,333 200
Cộng PT 8+12 0 -4,333 15,333 -6 325


5

2, 6, 9
2 0 6 -6 125
6 0 -6 6 0
9 -6 -6 12 125
Cộng PT 2+6+9 0 -12 -6 24 -6 250
6 3 -6 -6 12 125


Ma trận độ cứng và phụ tải toàn cục

12,0 -6,0 0 0 0 -6,0
-6,0 24,0 -6,0 0 -12,0 0
0 -6,0 15,333 -4,33 0 0
0 0 -4,333
K=
0
0
200
;
15,333 -6,0 0 325
0 -12,0 0 -6,0 24,0 -6,0 250
-6,0 0 0 0 -6,0 12,0 250
f
  
 
 
 

= 
 
 
 
  








(5.172)

240. 240
Phương trình ma trận đặc trưng toàn cục

75000 18750 0 0 37500 18750
18750 112500 18750 37500 37500 0
0 18750 37500 18750 0 0
0 37500 18750 75000
1
1
1
1
1
1
18750 0
37500 37500 0 18750 112500 18750
18750 0 0 0 18750 37500
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂

 ∂∂
 
∂∂
 
 ∂∂
 
∂∂  
12,0 -6,0 0 0 0 - 6,0
-6,0 24,0 -6,0 0 -12,0 0
0 -6,0 15,333 - 4,33 0 0
0 0 - 4,333




+
1
2
3
4
5
6
0

15,333 -6,0 0
0 -12,0 0 -6,0 24,0 - 6,0
-6,0 0 0 0 - 6,0 12,0
T
T
T
T
T
T





= 
 
 
 
  
0
200
325
250
250










(5.173)

7. Giải hệ phương trình

{} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.174)
Thuật toán:

{ } { }
1
1
.* .
pp
T C K CT fττ
−
+
= + ∆ +∆
(5.175)

8. Kết quả tính toán
Kết quả tính toán được ghi trong bảng 5.2 và thể hiện trên đồ thị 5.20












Hình 5.20. Đồ thị thể hiện thay đổ i nhiệt độ tại 6 nút qua 5 thờ i điểm
1 2 3 4 5 6
45
50
55
60
65
70
75
80
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=4
P=5
P=2
P=3
P=1
P=0

241. 241
Bảng 5.12. Nhiệt độ các nút qua 5 thời điểm
Thời điểm Vị trí 1 2 3 4 5 6
P = 0 50,0000 50,0000 50,0000 50,0000 50,0000 50,0000
P = 1 48,6911 49,6547 47,9684 52,3309 54,9568 61,2812
P = 2 50,1857 50,3439 47,5164 53,8871 58,5819 67,5518
P = 3 52,6171 51,7001 47,7881 55,1045 61,4412 71,8420
P = 4 55,3064 53,4032 48,4338 56,1949 63,8979 75,2466
P = 5 58,0070 55,2653 49,2814 57,2525 66,1410 78,1989



5.12. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH QUA PHẦN TỬ CHỮ NHẬT
5.12.1. Hàm nội suy
Xét phầ n tử chữ nhật có bề rộng a, cao b, đặt trong hệ tọa độ x, y, lấy gốc tọa độ tại
góc dưới bên trái. Thứ tự các nút được lấy ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc trái
phía dưới, Hình 5.21.






Hình 5.21. Thứ tự nút cục bộ trong phầ n tử chữ nhật

Với kích thước chữ nhật đã chọn và gốc đặt như trên thì các hàm nội suy đã được xác
định theo công thứ c (4.209) Mục 4.9, Chương 4.

()()
()
()
1
2
3
4
1
;
;
;
N axby
ab
x
N by
ab
xy
N
ab
y
N ax
ab
= −−
= −
=
= −
(5.176)


1 2
4 3
(0, 0) (a, 0) x
(0, b) (a, b)
y

242. 242
5.12.2. Ma trận nhiệt dung
Lập công thức tính ma trận nhiệt dung của phần tử chữ nhật

1
2
1234
3
4
2
1 12 13 14
2
21 2 23 2 4
2
31 3 2 3 3 4
2
41 4 2 43 4
. ..
..
T
VV
V
N
N
C c N N dV c N N N N dV
N
N
N NN NN NN
NN N NN NN
c dV
NN NN N NN
NN NN NN N
ρρ
ρ



   = =
    





=



∫∫
∫


(5.177)
Lưu ý tích phân các số hạng trong biểu thức trên không thể áp dụng công thức tích
phân số như đố i với phần tử 1 chiều được, mà phải tính trực tiếp. Sau khi tính các số hạng
trong móc vuông trên, lấy tích phân trực tiếp theo tích phân bội 2 lớp trong chữ nhật sẽ
được

4212
2421
.. ..
361242
2124
T
V
ab
C c N N dV cρρ



 = =
 



∫

(5.178)
Quá trình tính trên khá dài được thực hiện trong Bài tập 5.12.

5.12.3. Ma trận độ cứng

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫


1. Số hạng đầu K 1

1
T
V
K B D B dV =
 ∫

Số hạng dẫn nhiệt K
1 đã đượ c xây dự ng từ trong Chương 4, công th ức (4.191)
2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
1 22 2 200
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
ba T
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
K B D B dxdy
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

= = 

+
− −+ + −


+
−+ − − +


∫∫

(5.179)

243. 243
2. Số hạng sau K 2

2
T
S
K h N N dS=
∫

Số hạng đối lưu K
2 đã xây dựng được một trường hợp trong chương 4 là đối lưu trên
cạnh 34. Ở đây ta sẽ xây dựng lại cả bốn trường hợp đối lưu trên từ ng cạnh của chữ nhật.
Theo (4.192) thì

2
1 12 13 14
2
21 2 23 2 4
2 2
31 3 2 3 3 4
2
41 4 2 43 4
T
SS
N NN NN NN
NN N NN NN
K h N N dS h dS
NN NN N NN
NN NN NN N



= =
 


∫∫
(5.180)

a. Đối lưu trên cạnh 12
Cạnh 12 có y = 0, x = 0 ÷ a, nên
3
0;
xy
N
ab
= =

()
4
0
y
N ax
ab
= −=
Bởi vậy

2
1 12
2
21 2
2
0
00
00
0 0 00
0 0 00
aT
a
S
N NN
NN N
K h N N dS h dx



= =
 


∫∫
(5.181)
Sau khi tính các số hạng trong móc vuông, lây tích phân trên cạnh 12 theo biến x, sẽ
được:

2
2100
1200
60000
0000
a
ah
K



=




(5.182)

b. Đối lưu trên cạnh 23
Cạnh 23 có x = a, y = 0 ÷ b, nên
()()
1
1
0N axby
ab
= − −=; ()
4
0
y
N ax
ab
= −=
Bởi vậy

2
2 23
2 2
0
32 3
00 00
00
00
00 00
bT
b
S N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =




∫∫
(5.183)
Sau khi tính các số hạng trong móc vuông, lây tích phân trên cạnh 23 theo biến y, sẽ
được:

244. 244

2
0000
0210
60120
0000
b
bh
K



=




(5.184)
c. Đối lưu trên cạnh 34
Cạnh 34 có y = b, x = 0 ÷ a, nên
()()
1
1
0N axby
ab
= − −=; ()
2
0
x
N by
ab
= −=
Bởi vậy

22
0
3 34
2
43 4
00 0 0
00 0 0
00
00
aT
c
S
K h N N dS h dx
N NN
NN N



= =
 


∫∫

(5.185)
Sau khi tính các số hạng trong móc vuông, lấy tích phân trên cạnh 34 theo biến x, sẽ
được

2
0000
0000
60021
0012
c
ah
K



=



(5.186)

d. Đối lưu trên cạnh 41
Cạnh 41 có x = 0, y = 0 ÷ b, nên ()
2
0
x
N by
ab
= −= ;
3
0;
xy
N
ab
= =

2
1 14
2
0
2
41 4
00
0 00 0
0 00 0
00
bT
d
S
N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =
 


∫∫

Sau khi tính các số hạng trong móc vuông, lấy tích phân trên cạnh 41 theo biến y, sẽ
được

2
2001
0000
60000
1002
d
hb
K



=




(5.187)

5.12.4. Véc tơ phụ tải

{}
TT T
Va
V SS
f q N dV q N ds hT N ds  = −+
  ∫ ∫∫

245. 245
1. Số hạng nguồ n trong
{}
1
T
V
V
f q N dV=
∫

Khi nguồn phân bố đều trong chữ nhật, dV = δdA. Vớ i δ là bề dày chữ nhật, lấy δ = 1,
A là diện tích chữ nhật
{}
1
2
1
3
4
1
1
1
1
T
V VV
VV
N
N
f q N dV q dV q ab
N
N
 
 
 
= = =
  
 
 
∫∫
(5.188)
2. Số hạng bức xạ
{}
2
T
S
f q N ds= −
∫

{}
1
2
2
3
4
T
SS
N
N
f q N ds q ds
N
N



=−=−
 


∫∫

(5.189)
Tùy thuộ c cạnh có bứ c xạ mà {f
2} có giá trị khác nhau. Cụ thể như sau
Hàm nội suy:

()()
1
1
N axby
ab
= −−; ()
2
x
N by
ab
= −;
3
xy
N
ab
=; ()
4
y
N ax
ab
= −
Cạnh 12: có x = 0 ÷ a; y = 0 ;
3
0N=;
4
0N=.
()
1 1 22
00
1
;
22
aa ax a
N a x N dx N N dx
aa
= −→ = =→ =∫∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 12 là:
{}
2 _12
1
1
20
0
a
fq



= −




(5.190)
Cạnh 23: có x = a; y = 0 ÷ b;
1
N=0;
4
N=0;
()
2 2 33
00
1
;
22 bb by b
N b y N dy N N dy
bb
= −→ = =→ =
∫∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 23 là:
{}
2 _ 23
0
1
21
0
b
fq



= −




(5.191)

246. 246
Cạnh 34: có x = 0 ÷ a; y = b ;
1
N=0 ;
2
N=0
()
33 4 1
00
1
;
22aaxa a
N N dx N a x N dx
aa
=→ = = −→ =
∫∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 34 là:
{}
2 _ 34
0
0
21
1
a
fq



= −




(5.192)
Cạnh 41: có x = 0; y = 0 ÷ b;
2
N=0 ;
3
N=0.
()
1 1 44
00
1
;
22
bb by b
N b y N dy N N dy
bb
= −→ = =→ =∫∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 41 là
{}
2 _ 41
1
0
20
1
b
fq



= −




(5.193)
3. Số hạng đối lưu

{}
3
T
a
S
f hT N dS=
∫

Cũng lập luận tương tự như trên, tùy thuộc cạnh có đối lưu mà số hạng f
3 sẽ là
Cạnh 12:
{}
3 _12
1
1
20
0
a
a
f hT



=




(5.194)
Cạnh 23: {}
3 _ 23
0
1
21
0
a
b
f hT



=



(5.195)
Cạnh 34: {}
3 _ 34
0
0
21
1
a
a
f hT



=




(5.196)

247. 247
Cạnh 41: {}
3 _ 41
1
0
20
1
a
b
f hT



=



(5.197)
Ví dụ 5.8. Xét dẫn nhiệt không ổn định của chữ nhật có phụ tải nhiệt thay đổi như
sau. Chữ nhật kích thước rộng 3a cao 2b, nhiệt độ các cạ nh đáy 28,8
o
C được giữ không đổi,
cạnh trái có đối lưu, trên có bức xạ mặt trời và đối lưu với không khí, bên phải cách nhiệ t
như trên Hình 5.21.







Hình 5.22. Dẫn nhiệt của hình chữ nhật phẳng

Vật liệu có hệ số dẫn nhiệt k = 1,83 W/m
o
C.; nhiệt dung riêng c = 1208 J/kgđộ; mật độ
ρ = 2200 kg/m
3
. Kích thước a = b = 0,5 m. Nhiệt độ không khí T a và bức xạ mặt trời q thay
đổi liên tục trong ngày được lấy theo số liệu khí tượ ng.
1. Rời rạc miền nghiệm
Chia chữ nhật thành 6 phần tử đánh số .., các nút từ 1 dến 12 như trên Hình
5.22. Mỗi phần tử kích thước rộng a cao b.







Hình 5.23. Rời rạc các phầ n tử hữu hạn chữ nhật

Đánh số nút cục bộ của các phần tử theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ như phầ n tử
chữ nhật cơ bản đã khảo sát ở trên
b

b
a a a
Tk, h
q Tk, h
28,8
0
C = const
cách nhiệt
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
28,8
0
C
a a a
b


b
  
  

248. 248







Hình 5.24. Đánh số nút cục bộ của các phần tử theo phần tử hữu hạn chữ nhật cơ bản

Nhận xét đặc tính trao đổ i nhiêt củ a các phần tử:
- Phần tử : có bức xạ tại cạnh trên (34), đối lưu tại cạnh trên và cạnh trái (41)
- Phần tử , : có bức xạ tại cạnh trên (34).
- Phần tử : có đối lưu tại cạnh trái (41)
- Phần tử , : không có bức xạ, đối lưuvới bên ngoài.
Các đặc tính trao đổi nhiêt trên sẽ quyết định cấu trúc các ma trận của phần tử.

2. Ma trận nhiệt dung [C]
Từ công thức (5.187) đã thiết lập

4212
2421
.. ..
361242
2124
T
V
ab
C c N N dV cρρ



 = =
 



∫

(5.198)
Thay số cụ thể: c = 1208 J/kgđộ ; ρ = 2200 kg/m
3
; a = b = 0,5 được

73822 36911 18456 36911
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
C



=





(5.199)
Ma trận nhiệt dung [C] của các phầ n tử như nhau. Các số hạng trong ma trân [C] là hệ
số của các đạo hàm nhiệt độ. Thứ tự của các số hạng sắp xếp theo thứ tự của nút cục bộ
trong phầ n tử.

3. Ma trận độ cứng [K]

TT
VS
K B D B dV h N N dS      = +
      ∫∫

9 10 11 12
1 2 3 4
5 6 7 8
  
  
1 2 1 2 1 2
4 3 4 3 4 3
1 2 1 2 1 2
4 3 4 3 4 3

249. 249
3.1. Số hạng đầu K1

1
00
ba T
K B D B dxdy =
 ∫∫

Số hạng đối lưu đầu K
1 đã đượ c xây dự ng (5.188)

2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
1 22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
K
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

= 
+
− −+ + −


+
−+ − − +


(5.200)
Thay số cụ thể: k = 1.83; a = b = 0.5 được

1
1,220 -0,305 -0,610 -0,305
-0,305 1,220 -0,305 -0,610
-0,610 -0,305 1,220 -0305
-0,305 -0,610 -0,305 1,220
K



=




(5.201)
Số hạng đầu K
1 của các ma trận là như nhau.
Số hạng sau K
2 của các ma trận tùy thuộ c vào đặc tính trao đổi nhiệt của từng phầ n tử
như sau.
3.2. Trường hợp có đối lưu tại cạnh 34
a. Số hạng 2 đối lưu K
2

2 _ 34
T
S
K h N N dS=
∫

Phần tử có đối lưu trên cạnh 34, áp dụng công thức (5.192) đã được xây dựng là

2 _ 34
0
0000
0000
60021
0012
a T ah
K h N N dx



= =




∫
(5.202)
Thay số cụ thể: a = 0.5; h = 7.89; được số hạng đối lưu

2 _ 34
00 0 0
00 0 0
0 0 1.3150 0.6575
0 0 0.6575 1.3150
K



=




(5.203)

250. 250
b. Ma trận độ cứng khi có đối lưu tại cạnh 34
K = K 1 + K2_34

1 2 _ 34
1,220 -0,305 -0,610 -0,305
-0,305 1,220 -0,305 -0,610
-0,6100 -0,3050 2,535 0,3525
-0,3050 -0,610 0,3525 2,535
K KK



=+=





(5.204)

3.3. Trường hợp có đối lưu tại cạnh 41
a. Số hạng 2 đối lưu K
2-41
Công thức tính số hạng đối lưu tại cạnh 41 đã xây dựng (5.193) là

2 _ 41
2001
0000
60000
1002
hb
K



=




(5.205)
Thay số cụ thể: h = 7.89; b = 0.5; được

2 _ 41
1,315 0 0 0,6575
0 00 0
0 00 0
0,6575 0 0 1,315
K



=




(5.206)
b. Ma trận độ cứng khi có đối lưu tại cạnh 41
K = K 1 + K2_41

1 2 _ 41
2,535 -0,305 -0,610 0,3525
-0,305 1,220 -0,305 -0,610

-0,610 -0,305 1,220 -0,305
0,3525 -0,610 -0,305 2.,35
KK K



=+=




(5.207)

c. Trườ ng hợp có đối lưu tại cả hai cạnh 34 và 41
+ Số hạng 2 đối lưu K 2-34+41
Số hạng đối lưu kết hợp cả (5.192) và (5.193) là K
2_34 + K2_41 sẽ được

2 _ 34 41
2 00
000 01
60 02
0 2( )
bb
Kh
aa
b a ab
+



=


+

(5.208)
Thay số cụ thể: h = 7, 89; a = b = 0.5

251. 251

2 _ 34 41
1,315 0 0 0,6575
000 0
0 0 1,315 0,6575
0,6575 0 0,6575 2,630
K
+



=




(5.209)
+ Ma trận độ cứng khi có đối lưu tại cả hai cạ nh 34 và 41

1 2 _ 34 41
2,535 -0,305 -0,610 0,3525
-0,305 1,220 -0,305 -0,610
-0,610 -0,305 2,535 0,3525
0,3525 -0,610 0,3525 3,850
KK K
+



=+=



(5.210)

4. Tính véc tơ phụ tải
{}
TT T
V
L
V SS
f q N dV q N dS hT N dS  = ++
  ∫ ∫∫

(Lưu ý rằng phần tử nhận bức xạ, nên số hạng bức xạ lấy giá trị dương).
4.1. Số hạng phụ tải nguồn trong

{}
1
2
1
3
4
0,06251
1 0,0625
41 0,0625
1 0,0625
T
V V VV
V
V
N
N ab
f q N dV q dV q q
N
N
 
 
 
= = = =
  
 
   
∫∫
(5.211)
Bài toán trên không có nguồn trong nên không có số hạng này.
4.2. Số hạng phụ tải bức xạ tại cạnh 34

{}
2 _ 34
T
S
f q N dS= +
∫

Từ công thức (36) tính số hạng phụ tải bức xạ tại cạnh 34, thay a = 0,5 được
{}
2 _ 34
00
00
21 0,25
1 0,25
a
f qq
  
  
  
=+=
  
  
    

(5.212)
4.3. Số hạng đối lưu tại cạnh 34
Từ công thức (40) tính số hạng đối lưu tạ i cạnh 34, thay a = 0,5; h = 7,98 và nhiệt độ
không khí T
k được

{}
3 _ 34
00
00
21 1,9725
1 1,9725
aK
a
f hT T
  
  
  
= =
  
  
    

(5.213)

252. 252
4.4. Số hạng đối lưu tại cạnh 41
Từ công thức (41) tính số hạng đối lưu tại cạnh 41, thay b = 0,5; h = 7,98 và nhiệt độ
không khí T
k được

{}
3 _ 41
1 1,9725
00
200
1 1,9725
aK
b
f hT T
  
  
  
= =
  
  
    
(5.214)
4.5. Số hạng đối lưu trên hai cạnh 34 và 41
Kết hợp đối lưu trên cạnh 34 và 41 có

{} {}
3 _ 34 3 _ 41
0 1,9725 1,9725
00 0
1,9725 0 1,9725
1,9725 1,9725 3,945
KK K
f fT T T



+= + =



(5.215)
5. Lập các phương trình của các phần tử
Đánh số phương trình theo thứ tự nút cục bộ trong mỗi phần tử, nối tiếp nhau qua 6
phần tử














Hình 5.25. Đánh số phương trình trong từng phầ n tử

Viết phương trình cho từng phầ n tử
Lưu ý đạo hàm nhiệt độ ghi là
/
i
T
cho gọn.
Phần tử 1: có bức xạ tại cạnh trên (34), có đối lưu cạnh trên (34) và bên trái (41)
/
5
/
6
/
2
/
1
73822 36911 18456 36911
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
T
T
T
T













5
6
2
1
2,5350 -0,.3050 -0,6100 0,3525
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,6100 -0,3050 2,5350 0,525
0,3525 -0,6100 0,3525 3,8500
0
0
0.25
0.2
T
T
T
T
q


 

+ 

 

 
 

= +
1,9725(1)
0 (2)
(3)1,9725
5 (4)3,945
Tk


  
+  
  
  
 

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
  
  
1 2 5 6 9 10
4 3 8 7 12 11
13 14 17 18 21 22
16 15 20 19 24 23

253. 253
Phần tử 2 có bức xạ + đối lưu cạnh trên (34)
/
6
/
7
/
3
/
2
73822 36911 18456 36911
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
T
T
T
T













6
7
3
2
1,2200 -0,3050 -0,6100 -0,3050
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,.6100 -0,3050 2,5350 0,3525
-0,3050 -0,6100 0,3525 2,5350
0
0
0,25
0
T
T
T
T
q


 

+ 

 

 
 

= +
0 (5)
0 (6)
(7)1,9725
,25 (8)1,9725
Tk


  
+  
  
  
 

Phần tử 3: Cạnh trên, có đối lưu + bức xạ cạnh trên (như phầ n tử 2)
/
7
/
8
/
4
/
3
73822 36911 18456 36911
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
T
T
T
T













7
8
4
3
1,2200 -0,3050 -0,6100 -0,3050
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,6100 -0,3050 2,5350 0,3525
-0,3050 -0,6100 0,3525 2,5350
0
0
0,25
0,
T
T
T
T
q


 

+ 

 

 
 

= +
0 (9)
0 (10)
(11)1,9725
25 (12)1,9725
Tk


  
+  
  
  
 

Phần tử 4: Có đối lưu tại cạnh bên trái, (41)
/
9
/
10
/
6
/
5
73822 36911 18456 36911 2,5350 -0,3050 -0,6100
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
T
T
T
T




+




 
9
10
6
5
0,3525
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,6100 -0,3050 1,2200 -0,3050
0,3525 -0,6100 -0,3050 2,5350
1,9725 (13)
0 (14)
0 (15)
1,9725 (1
T
T
T
T
Tk









  



=


 6)

Phần tử 5: Nằm bên trong không có đố i lưu, bức xạ
10
11
7
6
'73822 36911 18456 36911 1,2200 -0,3050 -0,610
'36911 73822 36911 18456
'18456 36911 73822 36911
'36911 18456 36911 73822
T
T
T
T




+




 
10
11
7
6
0 -0,3050
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,6100 -0,3050 1,2200 -0,3050
-0,3050 -0,6100 -0,3050 1,2200
0 (17)
0 (18)
0 (19)
0
T
T
T
T









 



=


(20)

254. 254
Phần tử 6: Nằm bên trong không có đố i lưu, bức xạ
/
11
/
12
/
8
/
7
73822 36911 18456 36911 1,2200 -0,3050 -0,6100
36911 73822 36911 18456
18456 36911 73822 36911
36911 18456 36911 73822
T
T
T
T




+




 
11
12
8
7
-0,3050
-0,3050 1,2200 -0,3050 -0,6100
-0,6100 -0,3050 1,2200 -0,3050
-0,3050 -0,6100 -0,3050 1,2200
0 (21)
0 (22)
0 (23)
0 (24)
T
T
T
T









 



=





6. Lắp ghép các phần tử
6.1 Ma trận nhiệt dung
Ma trận nhiệt dung là như nhau đối với các phần tử
Bảng 5.13. Lắp ghép ma trận nhiệt dung: Cộng các phương trình ở mỗi nút
Nút
Phương
trình
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
1 4 73822 36911 36911 18456
2 3,8 36911 147644 36911 18456 73822 18456
3 7,12 36911 147644 36911 18456 73822 18456
4 11 36911 73822 18456 36911
5 1,16 36911 18456 147644 73822 36911 18456
6 2,5,12,20 18456 73822 18456 73822 295288 73822 18456 73822 18456
7 6,9,19,24 18456 73822 18456 73822 295288 73822 18456 73822 18456
8 10,23 18456 36911 73822 147644 18456 36911
9 13 36911 18456 73822 36911
10 14,17 18456 73822 18456 36911 147644 36911
11 18,21 18456 73822 18456 36911 147644 36911
12 22 18456 36911 36911 73822


6.2. Bảng lắp ghép ma trận độ cứng
Bảng 5.14.
Cộng các phương trình ở cùng nút
Nút
Phương
trình
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
1 4 3,8500 0,3525 0,3525 -0,6100
2 3,8 0,3525 5,07 0,3525 -0,6100 -0,6100 -0,6100
3 7,12 0,3525 5,07 0,3525 -0,6100 -0,6100 -0,6100
4 11 0,3525 2,5350 -0,6100 -0,3050
5 1,16 0,3525 -0,6100 5,07 -0,6100 0,3525 -0,6100
6 2,5,15,20 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,6100 4,88 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,6100
7 6,9,19,24 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,6100 4,88 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,6100
8 10,23 -0,6100 -0,3050 -0,6100 2,44 -0,6100 -0,3050
9 13 0,3525 -0,6100 2,5350 -0,3050
10 14,17 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,3050 2,44 -0,3050
11 18,21 -0,6100 -0,6100 -0,6100 -0,3050 2,44 -0,3050
12 22 -0,6100 -0,3050 -0,3050 1,2200

255. 255
6.3. Lắp ghép véc tơ phụ tải
Bảng 5.15. Cộng 24 phụ tải trên còn 12 phụ tải theo quy tắc lắp ghép
Nút
toàn
cục
Phương
trình tạ i mỗi
nút
Phụ tải Nút
toàn
cục
Phương
trình
Phụ tải
Hệ số q Hệ số Tk Hệ số q Hệ số Tk
1 4 +0,25 3,945 7 6,9,19,24 0 0
2 3,8 +0,25×2 1,9725×2 8 10,23 0 0
3 7,12 +0,25×2 1,9725×2 9 13 0 1,9725
4 11 +0,25 1,9725 10 14,17 0 0
5 1,16 0 1,9725×2 11 18,21 0 0
6 2,5,15,20 0 1,9725×2 12 22 0 0

7. Áp đặt điều kiện biên
Điều kiện biên cho biết nhiệt độ cạnh dưới tại các nút 9, 10, 11, 12 không đổi: T9 =
T10 = T11 = T12 = 28,8
Áp đặt điều kiện biên trên như sau:
- Nhiệt độ 28,8 được đặt vào các hàng 9, 10, 11, 12 trong cột véc tơ phụ tải f
o.
- Các hàng 9, 10, 11, 12 của ma trận độ cứng được bỏ đi, thay vào đó điền 1 vào các ô:
Hàng 9×cột 9; hàng10×cột10; hàng11×cột11; hàng12×cột 12.
- Hàng 5: các hệ số của T9, T10 được nhân với 28,8 cộng vào nhau rồi chuyển sang cột
phụ tải f
0 cùng hàng 5. Các ô đã chuy ển hệ số ở trên điền 0.
- Hàng 6: các hệ số của T9, T10, T11 được nhân với 28,8 cộng vào nhau rồi chuyển
sang cột phụ tải f
0 cùng hàng 6. Các ô đã chuyể n hệ số ở trên điền 0.
- Hàng 7: các hệ số của T10, T11, T12 được nhân vớ i 28,8 cộng vào nhau rồi chuyển
sang cột phụ tải f
0 cùng hàng 7. Các ô đã chuyể n hệ số ở trên điền 0.
- Hàng 8: các hệ số của T11, T12 được nhân với 28,8 cộng vào nhau rồi chuyển sang cộ t
phụ tải f
0 cùng hàng 8. Các ô đã chuyển hệ số ở trên điền 0.

Bảng 5.16. Áp đặt điều kiện biên cho K và phụ tải toàn cục
Nút T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 f f0
1 3,8500 0,3525 0 0 0,3525 -0,6100 0 0 0 0 0 0 0,25×q +3,945×Tk 0
2 0,3525 5,07 0,3525 0 -0,6100 -0,6100 -0,6100 0 0 0 0 0 0,5×q +3,945×Tk 0
3 0 0,3525 5,07 0,3525 0 -0,6100 -0,6100 -0,6100 0 0 0 0 0,5×q +3,945×Tk 0
4 0 0 0,3525 2,5350 0 0 -0,6100 -0,3050 0 0 0 0 0,5×q +3,945×Tk 0
5 0,3525 -0,6100 0 0 5,07 -0,6100 0 0 0 0 0 0 1,9725×Tk 7,416
6 -0,6100 -0,6100 -0,6100 0 -0,6100 4,88 -0,6100 0 0 0 0 0 1,9725×Tk 52,704
7 0 -0,6100 -0,6100 -0,6100 0 -0,6100 4,88 -0,6100 0 0 0 0 0 52,704
8 0 0 -0,6100 -0,3050 0 0 -0,6100 2,44 0 0 0 0 0 26,352
9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 28,8
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 28,8
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 28,8
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 28,8

256. 256
Như vậy véc tơ phụ tải toàn cục là của hai cột là f và f 0.

8. Các ma trận
a. Ma trận nhiệt dung [C]
73822 36911 0 0 36911 18456 0 0 0 0 0 0
36911 147644 36911 0 18456 73822 18456 0 0 0 0 0
0 36911 147644 36911 0 18456 73822 18456 0 0 0 0
0 0 36911 73822 0 0 18456 36911 0 0 0 0
36911 18456 0 0 147644 73822 0 0 36911 18456 0 0
18456 73822 18456 0 73822 29528
C=

=
8 73822 0 18456 73822 18456 0
0 18456 73822 18456 0 73822 295288 73822 0 18456 73822 18456
0 0 18456 36911 0 0 73822 147644 0 0 18456 36911
0 0 0 0 36911 18456 0 0 73811 36911 0 0
0 0 0 0 18456 73822 18456 0 36911 147644 36911 0
0 0 0 0 0 18456 73822 18456 0 36911 147644 36911
0 0 0 0 0 0 18456 36911 0 0 36911 73822





















(5.216)
b. Ma trận độ cứng [K]
3,8500 0,3525 0 0 0,3525 0, 610 0 0 0 0 0 0
0,3525 5, 0700 0,3525 0 0, 6100 0, 610 0, 610 0 0 0 0 0
0 0,3525 5, 0700 0,3525 0 0, 610 0, 610 0, 610 0 0 0 0
0 0 0,3525 2,350 0 0 0, 610 0,3050 0 0 0 0
0,3525 0, 6100 0 0 5, 0700 0, 610 0 0 0 0 0 0
0, 6100 0, 6
K=

−
− −−
−−−
−−
−−
−−
=
100 0, 6100 0 0, 6100 4,880 0, 610 0 0 0 0 0
0 0, 6100 0, 6100 0, 6100 0 0, 610 4,880 0, 6100 0 0 0 0
0 0 0, 610 0,3050 0 0 0, 610 2, 4400 0 0 0 0
000000001,0000
0000000001,000
00000000001,00
000000000001,0








−− −

−−− − −

 −− −
















(5.217)

257. 257
c. Véc tơ phụ tải: Véc tơ phụ tải gồm fvà f 0
{}
0,25. 3,945.
0,5. 3,945.
0,5. 3,945.
0,5. 3,945.
1,9725.
1,9725.
0
0
1,9725.
0
0
0
k
k
k
k
k
k
k
qT
qT
qT
qT
T
T
f
T
 +

+


+

 +



= {}
0
0
0
0
0
7,416
52,704
;
52,704
26,352
28,8
28,8
28,8
28,8
f


















= 
  
  
  
  
  
  
  
  


(5.218)

Bảng 5.17. Nhiệt độ không khí và bức xạ mặt trời trong ngày
Giờ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
T
K (
o
C)

26,3 26,5 27,2 27,7 28,5 29,4 30,1 30,7 31,3 31,8 32,0 31,7
q (W/m
2
)

0 34,89 209,3 407,0 610,5 779,2 895,5 930,4 872,2 744,3 593,1 401,2
Giờ 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4
T
K (
o
C)

31,3 30,2 29,6 28,8 28,4 28,2 27,6 27,2 27,0 26,8 26,5 26,4
q (W/m
2
)

203,5 58,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



9. Giải hệ phương trình
Chọn sơ đồ rời rạc thời gian theo sai phân hữu hạn ẩn hoàn toàn

{ } {} {}{}
11
.
p pp
C K T CT fττ
++
  +∆ = + ∆
  
(5.219)
Từ đó rút ra
( )
1
11
* ** *
P PP
T C K CT fττ
−
++
=+∆ + ∆

(5.220)
Kết quả tính toán nhiệt độ tại 12 nút sau 144 giờ được số liệu rất dày đặc nên chỉ có
thể biểu thị trên đồ thị sau

258. 258








Hình 5.26. Toàn cảnh diễn biến nhiệt độ tại 12 nút qua 144 thờ i điểm

Thay đổi nhiệt độ tại 12 vị trí nút









Hình 5.27. Thay đổ i nhiệt độ tại 12 nút qua 144 thờ i điểm

Từ đồ thị cho thấy nhiệt độ các điểm trên bề mặt trên 1, 2, 3, 4lớn nhất và dao động rất
mạnh do nhận bức xạ, đặc biệt điểm 4 ở góc hình. Các điểm 5, 6, 7, 8 nằm ở giữa hình dao
động ít hơn. Các điểm 9, 10, 11, 12 ở dưới cùng dao độ ng ít. Sự biến đổi nhiệt độ như vậ y
rất phù hợ p với thực tế.

259. 259
5.13. TÓM TẮ T CHƯƠNG
Chương này đã trình bày phương pháp thiết lập phương trình đặ c trựng của dẫn nhiệt
không ổn định và đề cập tới các phương pháp rời rạc phương trình đặ c trựng theo thờ i gian.
Đây là nội dung rất quan trọng và mang đặ c thù riêng của phương pháp phần tử hữu hạn
trong truyền nhiệt. Các bài toán dẫn nhiệt không ổn định trong các vật thể qua vách phẳng,
thanh thẳng, vách trụ, và dẫn nhiệt không ổn định hai chiều cũng được giải thông qua phầ n
tử tam giác và chữ nhật. Như vậy, bài toán dẫn nhiệt qua các vật thể có hình dáng bất kỳ có
thể đưa về các dạng phần tử cơ bản để khảo sát và giải quyết.

260. 260

BÀI TẬ P CHƯƠNG 5

Bài toán vách phẳng
5.1. Tường phẳng có bề dày L = 25 cm; hệ số dẫn nhiệt k = 1, 5 W/m
0
C, mật độ ρ =
2200 kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 880 J/kg
0
C. Mặt trái có nhiệ t độ 25
0
C, mặt phải tiếp xúc
với môi trường nhiệt độ T
a = 45
0
C, hệ số toả nhiệt h = 35 W/m
2

0
C. Bỗng nhiên nhiệt độ
môi trường tăng lên 400
0
C.
Xác định phân bố nhiệt độ trong tường lúc ban đầu và thay đổ i nhiệt độ trong tường
trong khoảng thời gian 1 giờ (3600s).
5.2. Tấm phẳng bề dày L = 5 cm; hệ số dẫn nhiệt k = 1, 15 W/m
0
C, mật độ ρ = 2300
kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 1080 J/kg
0
C. Ban đầu tấm có nhiệt độ không đổ i T = 30
0
C, sau
đó mặt trên tấm phẳng nhận dòng bức xạ 10000 W/m
2
. Xác định phân bố nhiệt độ trong
tường lúc ban đầu và thay đổi nhiệt độ trong tấm trong khoảng thời gian 1 giờ.
5.3. Tấm phẳng bề dày L = 20 cm; hệ số dẫn nhiệt k = 0, 5 W/m
0
C, mật độ ρ = 2000
kg/m
3
, nhiệt dung riêng c = 1280 J/kg
0
C. Ban đầu tấm có nhiệt độ không đổ i T = 20
0
C, sau
đó mặt trên tấ m phẳng tăng nhiệt độ lên 80
0
C. Xác định thay đổ i nhiệt độ trong tấm trong
khoảng thời gian 1 giờ.

Bài toán thanh thẳng
5.4. Một cánh thẳng kích thước: dài 25cm, tiết diện ngang 5cm ×1cm, đặt trong môi
trường không khí, nhiệt độ ban đầ u của thanh bằng với nhiệt độ không khí là 20
0
C. Nếu
nhiệt độ gốc thanh bỗng tăng lên 150
0
C. Xác định phân bố nhiệt độ trong cánh theo thờ i
gian. Biết hệ số dẫn nhiệt của thanh là k = 250W/m
0
C, nhiệt dung riêng c = 200.10
3
J/kg
0
C,
khối lượng riêng ρ = 2500 kg/m
3
, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh h = 120W/m
2 o
C.
5.5. Thanh tròn thẳng đường kính d = 4 cm, dài L = 50 cm. Vật liệu có k = 420 W/m
0
C,
c = 400 J/kg
0
C ; ρ = 8900 kg/m
3
; Gốc thanh nhiệt độ T b = 40
0
C, môi trường xung quanh có
nhiệt độ Ta = 30
0
C, hệ số tỏa nhiệt h = 125W/m
2 o
C. Bỗng nhiệt độ môi trường tăng tới
90
0
C. Xác đinh thay đổi nhiệt độ trong thanh.

Bài toán vách trụ
5.6. Cho vách trụ có đường kính trong d T = 80 cm, đường kính ngoài d N = 120 cm, k =
2, 5 W/m
0
C. Mặt trong có T W1 = 80
0
C; mặt ngoài cóh = 10W/m
2 0
C, Ta = 20
0
C. Vật liệu có
c = 900 J/kg
0
C, ρ = 2000 kg/m
3
. Nhiệt độ môi trường bỗng tăng tới 80
0
C. Xác định phân bố
nhiệt độ ban đầu và thay đổi nhiệt độ sau 10 thời gian, mối bước ∆τ = 600 s.

261. 261
5.7. Cho vách trụ đường kính trong d T = 0, 12 m ngoài d N = 0, 17 m hệ số dận nhiệt k =
2.5 W/m
0
C, Bên trong vách có nguồ n q V = 100000W/m
3
. Ban đầu nhiệt độ mặt trong T w1 =
22
0
C, nhiệt độ tại mặt ngoài T w2 = 20
0
C. Vật liệu có c = 1200 J/kg
0
C, ρ = 2200 kg/m
3
. Sau
đó nhiệt độ mặt ngoài bỗng giảm xuống T
w2 = 0
0
C. Xác định phân bố nhiệt dộ trong vách
ban đầu và thay đổ i nhiệt độ sau thời gian 50s.

Bài toán tam giác
5.8. Xây dựng công thứ c tính ma trận nhiệt dung của phần tử tam giác trong hình chữ
nhật 1234 sau bằ ng cách tính trực tiếp tích phân trong tam giác, mà không dựa vào công
thức tích phân có sẵn đã áp dụng.












5.9. Xây dựng công thức tính ma trận nhiệt dung của phần tử tam giác 2trong hình chữ
nhật 1234 sau bằ ng cách tính trực tiếp tích phân trong tam giác, mà không dựa vào công
thức tích phân có sẵn đã áp dụng.





Phần tử tam giác trong tọa độ quy chiếu
5.10. Xây dựng thành phầ n [B]
T
[B] của ma trận độ cứng của tam giác  khi nó có vị trí
và định hướng nhất định trong tọa độ gốc, bằng cách tính chuyển qua tọa độ quy chiếu.





y


1 2
4 3
3 2
1
1 2
x
0
3
a
b
0 a
x
b

y
1
4 3
3
1 2 2

0 a
x
b

y

1
4 3

1
3 2

262. 262
5.11. Xây dựng thành phầ n [B]
T
[B] của ma trận độ cứng của tam giác khi nó có vị trí
và định hướng nhất định trong tọa độ gốc, bằng cách tính chuyển qua tọa độ quy chiếu.






Phần tử chữ nhật
5.12. Xác định công thức tính ma trận nhiệt dung phần tử chữ nhật bằng cách tính trực
tiếp các tích phân trong phần tử.
5.13. Tính số hạng đối lưu trong ma trận độ cứng phần tử chữ nhật.

0 a
x
b

y
1
4 3
3
1 2 2


263. 263

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP

Chương 2

2.1. Ta có: x
i = 8; xj = 14 cm và Ti = 100
0
C, Tj = 40
0
C.
Công thức chung của hàm nội suy:

;
j i
ij
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −
= =
−−
(B2.1)
Nhiệt độ:
j i
iijj ij j
ji ji
xx xx
TNTNT TN T
xx xx
− −
= + = +=
−−
(B2.2)
Tính các hàm nội suy và nhiệt độ tại các vị trí
Tại A:
14 6 8 6 8 2
;
14 8 6 14 8 6
jA Ai
iA jA
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −− −−
= = = = = =
−− −−

→
082
100 40 120
66
A iA i jA j
T NT NT C= + = −= (B2.3)
Tại B:
14 10 4 10 8 2
;
14 8 6 14 8 6
jB Bi
iB jB
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −−−
= = = = = =
− − −−

→
042
100 40 80
66
B iB i jB j
T NT NT C= + = += (B2.4)
Tại C:
14 12 2 12 8 4
;
14 8 6 14 8 6
jC Ci
iC jB
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −−−
= = = = = =
− − −−

→
024
100 40 60
66
C iC i jC j
T NT NT C= + = += (B 2.5)
Tổng các hàm nội suy tại mỗi vị trí:

82
1;
66
42
1;
66
24
1
66
A iA jA
B iB jB
C iC jC
NNN
NNN
NNN
= + =−=
= + =+=
= + =+=
(B 2.6)

264. 264
2.2. Đặt gốc tọa độ tại i thì có x i = 0; xj = 10 cm.
Hàm nội suy là
10
10j
i
ji
xx x
N
xx
− −
= =
−
và
10
i
j
ji
xx x
N
xx
−
= =
−

Biến thiên củ a hàm nội suy theo x:
x 0 2 4 6 8 10
N
i 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
N
j 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Đạo hàm của hàm nộ i suy:
1
0,1
10
i
dN
const
dx
−
= =−= ;
1
0,1
10
i
dN
const
dx
==+=
Nhiệt độ tại các điể m
Điểm A:
10 4
0, 6
10
jA
iA
ji
xx
N
xx
− −
= = =
−
;
4
0, 4
10
Ai
jA
ji
xx
N
xx
−
= = =
−
(B2.11)

0
0,6.20 0, 4.40 28
A iA i jA j
T NT NT C=+= + = (B2.12)
Điểm B:
10 8
0, 2
10
jB
iB
ji
xx
N
xx
− −
= = =
−
;
8
0,8
10
Bi
jB
ji
xx
N
xx
−
= = =
−
(B2.13)

0
0,2.20 0,8.40 36
B iB i jB j
T NT NT C=+= + = (B2.14)

2.3. Gọi 3 vị trí đã cho là i,j,k thì tọa độ của chúng là: x
i = 10cm; x j = 15cm ; x k = 20cm;
chính là tọ a độ của phần tử một chiều bậc hai. Chiề u dài phần tử là l = x
k - xi = 20-10 =
10cm;
Công thức của hàm nội suy phần tử một chiều bậc hai là:

22 2
22 2
32 44 2
1 ; ;
i jk
xx xx xx
N NN
ll lll l
=− + = − =−+

(B2.15)
công thức trên ứng với x
i = 0; xk = l và xj = l/2
Nhiệt độ:

22 2
22 2
32 44 2
1
ii j j kk
ij k
T NT NT N T
xx xx xx
TT T
ll lll l
=++
   
= − + + − +− +   
   
(B2.16)
Để sử dụng công thức trên ta cho: x
i = 0, khi đó có xj = 15 – 10 = 5 cm; x k = 20 – 10
=10; và các tọa độ của các điể m A và B là x
A = 12 – 10 = 2 cm; x B = 18 – 10 = 8 cm; với T i
= 120
0
C, Tj = 80
0
C, Tk = 60
0
C.
Tính các hàm nội suy và nhiệt độ tại các vị trí

22 2
22 2
32 44 2
1; ; .
AA AA AA
iA jA kA
xx xx xx
N NN
ll lll l
=− + = − =−+

22 2
22 2
3.2 2.2 4.2 4.2 2 2.2
1 0, 48; 0, 64; 0,12
10 10 1010 10 10
iA jA kA
N NN=−+= =−= =−+=−


0
0, 48 120 0,64 80 0,12 60 101,6
A
TC= × + ×− ×=

(B2.17)

265. 265

22 2
22 2
32 44 2
1; ; .
BB BB BB
iB jB kB
xx xx xx
N NN
ll lll l
=− + = − =−+

2 22
2 22
3.8 2.8 4.8 4.8 8 2.8
1 0,12; 0, 64; 0, 48
10 10 1010 10 10
iB jB kB
N NN=−+=− =−= =−+=
0,12.120 0,64.80 0, 48.60 65,6
B
T=− ++=

(B2.18)
Từ trên có: N
A = NiA + NjA + NkA = 0,48 + 0,64 – 0,12 = 1
N
B = NiB + NjB + NkB = – 0,12 + 0,64 +0,48 = 1 (B2.19)

2.4. Ta có:
;
j i
ij
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −
= =
−−

a) Với a =1, b=0; thì

( )
! ! 1!0!
(1 0 1)! 21!
ab
ij
A
abl l l
N N dl
ab
= = =
++++
∫

Thực vậy:
()
22
02
0
11 1
1.
2 22
l
ja
ij
ll l ji
xx x ll
N N dl dx l x dx lx l
xx l l l
−   
= = − = − = −=   
−
  
∫∫ ∫
(B2.20)
b) Với a =1, b=1; thì

( )
! ! 1!1!
(111)! 61!
ab
ij
A abl l l
N N dl
ab
= = =
++++
∫

Thực vậy:

() ( )
2
22
2 3 33
22
011
11
2 3 23 6jab i
ij
ll l ljiji
l
xx xx
N N dl dx l x xdx lx x dx
xxxx ll
x x ll l
l
ll
− −
= =−= −
−−
  
= − = −=  
  
∫∫ ∫ ∫
(B2.21)
c) Với a =2, b=0; thì

( )
! ! 2!0! 2. .
(2 0 1)! 2.3 31!
ab
ij
A abl l l l
N N dl
ab
= = = =
++++
∫

Thực vậy:

( )
2
22
2
2 3 33
23
22
0
1
1. 2
11
22
2 3 23 3
jab
ij
ll l ji
l
xx
N N dl dx l xl x dx
xx l
xx ll l
lx l l
ll
−
= = −+
−

  
= − + = −+=  
  
∫∫ ∫

(B2.21)
d) Với a =2, b=1; thì

( )
! ! 2!1! 2. .
(2 1 1)! 2.3.4 121!
ab
ij
A
abl l l l
N N dl
ab
= = = =
++++
∫

266. 266
Thực vậy:

( )
( )
2
22
3
22 3 4
2 23
33
0
1
.2
11
22
2 34
121
2 3 4 12
jab i
ij
ll l ji ji
l
l
xx xx
N N dl dx l xl x xdx
xx xx l
lx x x
l x x l x dx l
ll
l
l
− −
= = −+
−−


= −+ = − + 


= −+ =

∫∫ ∫
∫

(B2.22)
e) Với a =2, b=2; thì

( )
! ! 2!2! 4. .
(2 2 1)! 2.3.4.5 301!
ab
ij
A abl l l l
N N dl
ab
= = = =
++++
∫

Thực vậy:

( )
( )
22
2 22
4
3 45
22 3 4 2
44
0
1
.2
11
22
3 4 5 30
jab i
ij
ll l ji ji
l
l
xx xx
N N dl dx l xl x x dx
xx xx l
x xx l
l x x l x dx l l
ll
− −
= = −+
−−


= −+ = − + = 

∫∫ ∫
∫
(B2.23)
g) Với a =3, b=0; thì

( )
! ! 3!0! 2.3. .
(3 0 1)! 2.3.4 41!
ab
ij
A
abl l l l
N N dl
ab
= = = =
++++
∫

Thực vậy:

( )
3
3 2 23
3
2 3 4 4 44
32 4
33
0
1
1.. 3 3
11
3 3 33
2 3 4 2 34
4jab
ij
ll lji
l
l
xx
N N dl dx l l x lx x dx
xx l
x xx l ll
l x l l dx l
ll
l
−
= = −+−
−

  
= − + − = −+−  
  
=
∫∫ ∫
∫
(B2.24)

2.5. Trong phần tử một chiều bậc nhất

;
j i
ij
ji ji
xx xx
NN
xx xx
− −
= =
−−

với x
i =0; xj = l; xj – xi = l
a)
2
000
0
1
2 22
l
ll l
j
i
l
ji
xx x x ll
N dl dx dx x i
xx l l
− 
= = − = − =−=
− 
∫∫ ∫

(B2.25)
b)
2
2 23
2
2200
0
22
11
23
33
l
ll
i
l
x xx x x
N dl dx dx x
ll l ll
ll
ll
  
= − = −+ =− + 
   
=−+ =
∫∫ ∫
(B2.26)

267. 267
c)
2 00
11 1 1
.e l
ji
l
jijidNdN
dx dx x
dx dx x x x x ll ζ−
= =−=−
−−
∫∫

(B2.27)
d)

3
3 2 23
3
3
2 34
3 2 444 4
33
0
33
1 1 331
33
2 34 2 3 4
4
j jj j
i
ll l
ji
l
jj j
x x x xx xx x
N dx dx dx
xx l
x xx
xx x x l l l l
ll
l
− −+ −
= =
 −
 
 
= − + − = −+− 

=
∫∫ ∫

(B2.28)
e)
2
200 0
33
2
1
1
23 6
l
ll
j i
i j j ji i
l
jiji
xxxx
N N dx dx x x x x x xx dx
xxxx l
ll l
l
− −
= = −− +

−−

= −=

∫∫ ∫
(B2.29)

2.6. Trong phần tử một chiều bậc hai có

22 2
22 2
32 44 2
1; ;
i jk
xx xx xx
N NN
ll lll l
=− + = − =−+ (B2.30)
Khi đổi sang tọ a độ khu vự c các hàm nội suy sẽ là:

2
(1 ); (1 ); (1 )
22
i jk
N NN
ξξ
ξξ ξ
=−− =− =+

trong đó: ξ
i = -1; ξ j = 0; ξ k = +1; ξ k - ξi = ξe = l = 2
a)
( )( )
11
2 23
11
11
11
(1 ) )
2 22 4 6
111
1 ( 1) 1 ( 1)
463
i
l
N dl dl dl
ξ ξξ ξ ξ
ξ
++
−−
−−

= − − = −+ =− + 
 
=− −+ + −− =
∫∫ ∫

(B2.31)
b) ( )
1
31
1
2
1 1
1
14
(1 ) 2 1 ( 1)
33 3
j
l
N dl dl
ξ
ξξ
+
− −
−
= − = − = − −− =∫∫

(B2.32)
c)
11
23
11
2
11
11
11
(1 ) ( )
2 2 22 3
1 1 ( 1) 1 ( 1) 1
22 3 3
k
l
N dl dl dl
ξ ξξ
ξ ξξ
++
++
−−
−−

= += + = +


−+ −−
= +=


∫∫ ∫

(B2.33)
d)
( ) ( )
11
2 22
11
11 1 1
32 5 4
1
2 43
1
11 1 1
1
(1 ) 1 ( ) 1
22
11
()
2 23 2 5 4
1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 2 2
2 3 2 5 4 2 3 5 15
ij
l
N N dl dl dl
dl
ξ
ξ ξ ξξ ξ
ξξ ξ ξ
ξ ξξ ξ
++
−−
++ + +
+
−
−− − −

= −− − = − −


= − − + = − −− +−


  −− −+ −− −+
= −−+ =−=
  
  
∫∫ ∫
∫

(B2.34)

268. 268
2.7. Tọa độ và nhiệt độ các nút được ghi trong bảng sau
Nút x (cm) y (cm) T
0
C
i 1 2 160
j 4 6 220
k 5 8 180

Nhiệt độ tại mỗi vị trí bên trong tam giác được xác định theo phương trình

ii j j kk
T NT NT N T=++ (B2.35)
Các hàm nội suy được tính theo phương trình (2.89) v ới các tọa độ x và y cho trong
bảng 2.4

( )
( )
( )
1
;
2
1
;
2
1
2
i ii i
j jj j
k kk k
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++
(B2.36)
Với các giá trị:

4 8 6 5 2; 6 8 2; 5 4 1
5 2 1 8 2; 8 2 6; = 1 5 4
1 6 4 2 2; 2 6 4; = 4 1 3
i jk k j i j k i k j
j k i ik j k i j i k
k i j ji k i j k j i
axyxy byy cxx
a x y xy b y y c x x
a xy xy b y y c x x
= − =×−×= = − = −=− = − =− =
= − = × −× = = − = − = − = − =−
= − =×−×=− = − = − =− − = −=
(B2.37)
( )( )( )2 2
i j ji ki ik jk k j k j i
A xy xy x y xy xy x y a a a= − + − + − =++= (B2.38)
Thay các giá trị trên vào (2)

i
j
k
1
N (2 2x y);
2
1
N (2 6x 4y);
2
1
N ( 2 4x 3y)
2
= −+
= +−
= −− +

(B2.39)
Tính hàm nội suy tạ i điểm (3;5)

1
1
(2 2 3 1 5) 0, 5;
2
1
(2 6 3 4 5) 0;
2
1
( 2 4 3 3 5) 0, 5
2
j
k
N
N
N
= − ×+× =
= +×−× =
= −−×+× =
(B2.40)
Nhiệt độ tại điểm x =3; y =5 là

0
0,5 160 0 220 0,5 180 170
ii j j kk
T NT NT N T C= + + = × +× + × = (B2.41)
Các thành phần mật độ dòng nhiệt theo hướng x và y

269. 269
Theo hướng x

22
jik
x ii j j kk i j k
t
ii j j kk i j k j
k
dNdN dNdT d
q k k NT NT N T k T T T
dx dx dx dx dx
T
kk
bT bT b T b b b T
AA
T

=−=− ++ =− + + 



−−
  = ++ = 
  



(B2.43)
Suy ra cho cả hai hướng x và y

160
26 40,5
220
22 1 43
160
160
2 160 6 220 4 160 1800,5
220
21 160 4 220 3 160 120
160
i
i jkx
j
y i jk
k
T
bbbq k
T
q Accc
T
 
  −−  
=−= −     
−    


  −× +× −× − 
=−=   
× −× +×   


(B2.44)

2.8. Từ các tọa độ: x
i = 1; y i = 4; x j = 8; yj = 1; xk = 6; yk = 7 giải ra:
a
i = 50; a j = 17; a k = -31; b i = -6; bj = 3; b k = 3; c i = -2; c j = -5; c k = 7; 2 A = 36
Thay các tham số trên vào hàm nội suy được:

1
(50 6 2 );
36
1
(17 3 5 );
36
1
(17 3 5 )
36
i
j
j
N xy
N xy
N xy
= −−
= +−
= +−

(B2.45)
+ Tính nhiệt độ tại A (x = 5 cm; y = 3 cm), B (x =6 cm; y = 5 cm).
- Tại A: x = 5; y = 3; thay vào đượ c:
0.3889; 0.4722; 0.1389
i jk
NNN= = = với:
T
i= 100; Tj = 180; Tk = 300, thay vào sẽ được:

0
0.3889 100 0.4722 180 0.1389 300 165.5556
A i i j j k k
T NT NT N T
C
=++
= ×+ ×+ × =
(B2.46)
- Tại B: x =6; y = 5; thay vào được:
N
i = 0.1111; N j = 0.2778; N k = 0.6111 với:
T
i= 100; Tj = 180; Tk = 300:

0
0.1111 100 0.2778 180 0.6111 300 244.4444
B i i j j k k
T NT NT N T
C
=++
= ×+ ×+ × =
(B2.47)
+ Tổng hàm nội suy tại A và B

0.3889 0.4722 0.1389 1;
0.1111 0.2778 0.6111 1
A
B
N
N
=++=
=++=
∑
∑
(B2.48)

270. 270
2.9. Với x i = 2; yi = 1; xj = 8; yj = 3; xk = 1; yk = 6; của tam giác ta tính được:
a
i = 45; bi = -3; ci = -7; aj = -11; bj = 5; cj = 1; ak = -2; bk = -2; ck = 6; 2A= 32
Các hàm nội suy:

1
(45 3 7 );
32
1
( 11 5 );
32
1
(2 2 6)
32
i
j
k
N xy
N xy
N xy
= −−
= −+ +
= −− +

(B2.49)
Tại M: x =5; y = 3 có N
i = 0.2813; Nj = 0.5313; Nk = 0.1875 nên

0
180 C
M i i j j k k
T NT NT N T=++ = (B2.50)
Tại N: x = 3; y = 5 có N
i = 0.0313; Nj = 0.2813; Nk = 0.6875 nên

0
260 C
N i i j j k k
T NT NT N T=++ = (B2.51)
Tại L: x = 7; y = 3; N
i = 0.0938; Nj = 0.8438; Nk = 0.0625 nên

0
180 C
N i i j j k k
T NT NT N T=++ = (B2.52)

2.10. Ba nút của một tam giác i (1;1) cm, j (10;1) cm, k (1;10) cm có nhiệt độ tương ứng là
T
i = 10
0
C; Tj = 50
0
C; Tk = 100
0
C. Tính nhiệ t độ tại A (1;3) cm, N (1;5) cm, L (1;7) cm.
Bài này hoàn toàn tương tự như bài 2.9.

2.11. Để sử dụng công thức chữ nhật cơ bản với kích thước hai chiều: chiều cao là 2a = 4,
và chiều rộng là 2b = 8, chuyển gốc tọa độ về tâm chữ nhật. Khi đó tọa độ các nút sẽ là x
1 =
-4; y
1= -2; x2 = 4; y2 = -2; x3 = 4; y3 = 2; x4 = -4; y4 = 2;
Hàm nội suy của chữ nhật với a = 4, b = 2 là

1
2
3
4
11
( )( ) (4 )(2 );
4 32
11
( )( ) (4 )(2 );
4 32
11
( )( ) (4 )(2 );
4 32
11
( )( ) (4 )(2 )
4 32
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N bxay x y
ab
= − −= − −
= + −= + −
= + += + +
= − += − +
(B2.53)
Tính nhiệt độ tại các điểm
- Điểm O: x = 0; y = 0
N
1 = 0.25; N 2 = 0.25; N 3 = 0.25; N 4 = 0.25;
T
1 = 160; T 2 = 60; T 3 = 80; T 4 = 100
T = N
1T1 + N2T2 + N3T3 + N4T4 = 100 (B2.54)
- Điểm M: x = 0; y = -2.
N
1 = 0.5; N 2 = 0.5; N 3 = 0; N 4 = 0
T = N
1T1 + N2T2+N3T3 + N4T4 = 110 (B2.55)
- Điểm N: x = 0; y = 2.

271. 271
N 1 = 0; N 2 = 0; N 3 = 0,5; N 4 = 0,5
T = N
1T1 + N2T2+N3T3 + N4T4 = 90 (B2.56)
- Điểm P: x = -4; y = 0.
N
1 = 0,5; N 2 = 0; N 3 = 0; N 4 = 0,5
T = N
1T1 + N2T2+N3T3 + N4T4 = 130 (B2.57)
- Điểm Q: x=4; y=0;
N
1 = 0; N 2 = 0,5; N 3 = 0,5; N 4 = 0.
T = N
1T1 + N2T2+N3T3 + N4T4 = 70 (B2.58)

2.12. Tương tự bài 2.11, chuyển gốc tọa độ về tâm chữ nhật, sẽ có các hàm nội suy

1
2
3
4
11
( )( ) (4 )(3 );
4 48
11
( )( ) (4 )(3 );
4 48
11
( )( ) (4 )(3 );
4 48
11
( )( ) (4 )(3 )
4 48
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N bxay x y
ab
= − −= − −
= + −= + −
= + += + +
= − += − +
(B2.59)
- Điểm O: x=0; y=0;
N
1 = 0.25; N 2 = 0.25; N 3 = 0.25; N 4 = 0.25 → T 0 = 90 (B2.60)
- Điểm A: x=0; y=-3;
N
1 = 0.5; N 2 = 0.5; N 3 = 0; N 4 = 0 → T A = 60 (B2.61)
- Điểm B: x = 4; y = 0;
N
1 = 0; N 2 = 0.5; N 3 = 0,5; N 4 = 0 → T B = 70 (B2.62)
- Điểm C: x = 0; y = 3;
N
1 = 0; N 2 = 0; N 3 = 0,5; N 4 = 0,5 → T C = 120 (B2.63)
- Điểm D: x = -4; y = 0;
N
1 = 0,5; N 2 = 0; N 3 = 0; N 4 = 0,5 → T D = 110 (B2.64)

2.13. Tương tự bài trước, hàm nội suy của chữ nhật với a = 4, b=2 là

1
2
3
4
11
( )( ) (4 )(5 );
4 80
11
( )( ) (4 )(5 );
4 80
11
( )( ) (4 )(5 );
4 80
11
( )( ) (4 )(5 )
4 80
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N b xa y x y
ab
N bxay x y
ab
= − −= − −
= + −= + −
= + += + +
= − += − +
(B2.65)
Giải ra: - Điểm O: x = 0; y = 0. T
O = 115
0
C
- Điểm M: x = 0; y = -5. T
M = 70
0
C
- Điểm N: x = 4; y = 0. T
N = 140
0
C
- Điểm P: x = 0; y = 5; T
P = 160
0
C
- Điểm Q: x= -4; y = 0; T
Q = 90
0
C (B2.66)

272. 272

Chương 4.
Dẫn nhiệt ổn định

Dẫn nhiệt qua vách phẳng

4.1. Chọn mỗi lớp là một phần tử có chiều dài bằng bề dày phầ n tử. Phương trình đặ c
trưng của phần tử là:

{}{}KT f =

;
[K] là ma trận độ cứng, {T} là véc tơ nhiệt độ nút, {f} là véc tơ phụ tải.
Các phần tử 1,2,3 không có tỏa nhiệt nên phương trình đặc trưng đều có cùng dạ ng

0
0
ii
iii
jii
ii
kA kA
Tll
TkA kA
ll

−

=  


−


i = 1, 2, 3 (B4.1)
Phần tử 4 có tỏa nhiệt đối lưu ở nút cuối nên phương trình đặc trưng có dạng

44
44 4
544
44
0
..
a
kA kA
ll T
T hATkA kA
hA
ll

−
  
= 

  
−+


(B4.2)
A là diện tích mặt cắt ngang truyề n nhiệt, lấy A = 1m
2
.
Lắp ghép các ph ần tử:

11
11
1 12 2
1
1 12 2
2
3322
3
2 23 3
4
33 44
5
3 34 4
44
44
0 00
00
0
0
00 0
0
.
00
00 0
a
kk
ll
k kk k
T
l ll l
T
kkkk
T
l ll l
T
kk kk
T hT
l ll l
kk
h
ll

−



−+−  
  

 

 − +− =

 

 

  
 − +−  




−+


(B4.3)

273. 273
Thay số

1
2
3
4
5
5 -5 0 0 00
-5 20 -15 0 00
0 -15 215 -200 00
0 0 -200 400 -2000
0 0 0 -200 2102
T
T
T
T
T
 
 
 
 =
 
 
 

00









(B4.4)
Áp đặt điều kiện biên T1= 1200 C

1
2
3
4
5
1 0 0 0 012
0 20 -15 0 0
0 -15 215 -200 0
0 0 -200 400 -200
0 0 0 -200 210
T
T
T
T
T
 
 
 
 =
 
 
 

0
600
0
0
200









(B4.5)
Giải ra:
1
2
3
4
5
120,00
66,90
49,20
47,88
46,55
T
T
T
T
T




=








(B4.6)

4.2. Phương trình đặc trưng sau khi lắp ghép các phần tử
..

(B4.7)
Áp đặt điều kiện biên

1 0 0 0 0
0 441,67 -400,0 0 0
0 -400,0 443,33 -43,33 0
0 0 -43,33 53,33 -10
0 0 0
1
2
3
4
5
40
1666,8
0
0
-10 22300
T
T
T
T
T
 
 
 
 =
 
 
 


(B4.8)
Giải ra:
1
2
3
4
5
40,00
37,79
37,55
35,42
29,74
T
T
T
T
T




=








(B4.9)

Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn trong

4.3. Xét nửa bề dày tấm L= 1,6/2 = 0,8.
a) Dùng 4 phầ n tử một chiều bậc nhất, mỗi phần tử dài l = 0,8/4 = 0,2
Phương trình đặc trưng của mỗi phần tử

274. 274

2
2
Vi
i
j V
q AlkAkA
T
ll
T q AlkA kA
ll

−   
 = 
 
−


 

lấy A = 1 (B4.10)
Lắp ghép 4 phầ n tử

1
2
3
4
5
0 00
2
00
22
00
22
00
22
00 0
2
V
VV
VV
VV
V
kk ql
ll
k kk k
ql ql
T
l ll l
T
k kk k ql ql
T
l ll l
T
ql qlk kk k
T
l ll l
ql
kk
ll
 
−
 
 
 
−+−  +
 
 

  
− +− = + 
  
  

 + − +− 
 
 
 −

(B4.11)
Thay số được

1
2
3
4
5
7,5 -7,5 0 0 0
-7,5 15 -7,5 0 0
0 -7,5 15 -7.5 0
0 0 -7,5 15 -7,5
0 0 0 -7,5 7,5
T
T
T
T
T
 
 
 









45
90
90
90
45




=





(B4.12)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
1 0 0 0 0
0 15 -7,5 0 0
0 -7,5 15 -7,5 0
0 0 -7,5 15 0
0 0 0 0 1
T
T
T
T
T
 
 
 










20
240
90
240
20




=





(B4.13)
Giải ra
1
2
3
4
5
20
38
44
38
20
T
T
T
T
T




=




(B4.14)
b) Dùng 2 phần tử một chiều bậc hai, mỗi phần tử dài l = 0,8/2 = 0,4
Phương trình đặc trưng của mỗi phần tử một chiều bậc hai

14 16 2 1
16 32 16 4
66
2 16 14 1
i
V
j
k
T
q AlAk
T
l
T
  −
  
− −=   
  −
   

(B4.15)

275. 275
Thay số: k = 1.5; l = 0.4; qv = 450, được

8,75 -10 1,25 30
-10. 20 -10 120
1,25 -10 8,75 30
i
j
k
T
T
T
  
  
= 
 
   

(B4.16)
Lắp ghép được

( )
1
2
3
4
5
8,75 -10 1,25 0 0 30
-10 20 -10 0 0 120
1,25 -10 8,75 8,75 -10 1,25 30 30
1200 0 -10 20 -10
300 0 1,25 -10 8,75
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 + = + 

 

 

 


(B4.17)
Áp đặt điều kiện biên:

1
2
3
4
5
1 0 0 0 0 30 20
0 20 -10 0 0 120 320
0 -10 17,5 -10 0 60-1.25 20 35
0 0 -10 20 0 120 10 20 320
0 0 0 0 1 20 20
T
T
T
T
T
    
    
    
  
 = = ×  

  
+×
  

  
     

(B4.18)
Giải ra
1
2
3
4
5
20,00
39,67
47,33
39,67
20,00
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 


(B4.19)

4.4. Xét nửa bề đà tấm L= 1,6/2 =0,8. Như bài toán trước, phương trình đặc trưng toàn
cục:

1
7,5-7,500000000
-7,515-7,50000000
0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0 0 0
0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0 0
0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0
0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0
0 0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0
0 0 0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0
0000000-7,515-7,5
00000000-7,57,5
T















2
3
4
5
6
7
8
9
10
45
90
90
90
90
90
90
90
90
45
T
T
T
T
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
(B4.20)

276. 276
Áp đặt điều kiện biên: T 1= 40; T2 = 20

1
2
3
4
5
6
7
8
9
1000000000
015-7,50000000
0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0 0 0
0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0 0
0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0 0
0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0 0
0 0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0 0
0 0 0 0 0 0 -7,5 15 -7,5 0
0000000-7,5150
0000000001
T
T
T
T
T
T
T
T
T















 10
40
390
90
90
90
90
90
90
240
2T
 
 
 
 
 
 
 
  
=  
  
  
  
  
  
  
  
(B4.21)
Giải ra được
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
40,00
85,78
119,56
141,33
151,11
148,89
134,67
108,44
70,22
20,00
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 
 
 
  
=  
  
  
  
  
  
  
  
(4.22)

Hình B4.1. Phân bố nhiệt độ trong vách


Dẫn nhiệt qua vách trụ

4.5. Dùng phầ n tử một chiều bậc nhất: chia bề dày vách trụ thành bốn phần tử, 5 nút: 1,
2, 3, 4 và 5. Chiều dài mỗi phần tử là l = (60 – 40)/4 = 5 cm. Toạ độ 5 nút là: r
1 = 40cm, r 2
= 45cm, r
3 = 50cm, r 4 = 55cm, r 5 = 60cm.
Phương trình đặc trưng của một phần tử có tỏa nhiệt tại nút 2

( )
( )
12
1
22
221
1 1 00 02.
2. 2.
2 1 1 01 1
a
rr Tk
r h hT r
Trr
π
ππ
 +     −  
+=       
−−      
(B4.23)
Ma trận độ cứng các phần tử từ 1 đến 4

( )
( )
1
1112.
2 11ii
ii
rr
k
rr
π +
+
+ −

−− 
i = 1,2,3,4 (B4.24)
Thay số r
1=0.4; r2=0.45; r3=0.5; r4=0.55; r5=0.6; k=2.5; pi=3.1416; T a=20; h=10 được:
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
140
160

277. 277

133,54 -133,54
1 ;
-133,54 133,54
149,25 -149,25
2 ;
-149,25 149,25
164,96 -164,96
3 ;
-164,96 164,96
180,67 -180,670
4
-180,67 218,37
K
K
K
K

=


=


=


=


(B4.25)
Lắp ghép các phầ n tử

1
2
3
4
5
133,54 133,54 0 0 0
133,54 133,54 149,25 149,25 0 0
0 149,25 149,25 164,96 164,96 0
0 0 164,96 164,96 180,67 180,67
0 0 0 180,67 218,37
0
0
0
0
754,08
T
T
T
T
T
 −

− +−


 − +− 


− +−



 




=





(B4.26)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
1 0 0 0 0 80
0 282, 79 149,25 0 0 10683.,2
0 149,25 314,21 164,96 0 0
0 0 164,96 345,63 180,67 0
0 0 0 180,67 218,37 754,08
T
T
T
T
T
  
  
−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 
  

(B4.27)
Giải ra
1
2
3
4
5
80,00
71,41
63,73
56,77
50,43
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 


(B4.28)

4.6. Dùng phầ n tử một chiều bậc nhất: chia bề dày vách trụ thành bốn phần tử, 5 nút: 1,
2, 3, 4 và 5. Chiều dài mỗi phần tử là l = (80 – 20)/6 = 10 cm. Toạ độ 5 nút là: r
1 = 20 cm,
r
2 = 30 cm, r 3 = 40 cm, r4 = 50 cm, r5 = 60 cm, r6 = 70 cm, r7 = 80 cm.

278. 278
Thay số được ma trận độ cứng các phần tử

1
2
3
4
5
6
23,57 -23,57
;
-23,570 23,57
32,99 -32,99
;
-32,99 32,99
42, 42 - 42, 42
;
-42, 42 42, 42
51,84 -51,84
;
-51,84 51,84
61,27 -61,27
;
-61,27 61,27
7
K
K
K
K
K
K

=


=


=


=


=

=
0,69 - 70,69
-70,69 146,10




(B4.29)
Lắp ghép

1
2
3
4
5
6
7
23,57 -23,57 0 0 0 0 0
-23,57 56,56 -32,99 0 0 0 0
0 -32,99 75,41 42,42 0 0 0
0 0 -42,42 94,26 -51,84 0 0
0 0 0 -51,84 113,11 -61,27 0
0 0 0 0 -61,27 131,96 -70,69
0 0 0 0 0 -70,69 146,10
T
T
T
T
T
T
T



 −






 
0
0
0
0
0
0
1885,2













=





(B4.30)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
6
7
1 0 0 0 0 0 0 40
0 56,56 -32,99 0 0 0 0 942,8
0 -32,99 75, 41 42,42 0 0 0 0
0 0 -42,42 94,26 -51,84 0 0 0
0 0 0 -51,84 113,11 -61,27 0 0
0 0 0 0 -61,27 131,96 -70,69 0
0 0 0 0 0 -70,69 146,10
T
T
T
T
T
T
T



 −

=




 
1885,2











(B4.31)

279. 279
Giải ra
1
2
3
4
5
6
7
40,00
35,97
33,10
30,87
29,04
27,49
26,15
T
T
T
T
T
T
T





= 
 
 
 
 

(B4.32)

Vách trụ có nguồn trong

4.7. Phương trình đặc trưng vách trụ có nguồn trong

( )
12
2
21
21 12
2
12 1 1 002
2.
( )2 1 1 01
2( ) 20
2.
261
i
j
V
a
rr Tk
rh
Trr
qr r rr
hT r
rrπ
π
π
π
 +   −  
+    
− −    
− + 
= +  
+ 
(B4.33)
Thay số r
1=0.06; r2=0.065; r3=0.07; r4=0.075; r5=0.08; r6=0.085; k=2.5; qv=100000;
được phương trình đặ c trưng
196,35 -196,35 0 0 0 0
-196,35 408,408 -212,058 0 0 0
0 -212,058 439,824 -227,766 0 0
0 0 -227,766 471,24 -243,474 0
0 0 0 -243,474 502,656 -259,182
0 0 0 0 -259,182 25
1
2
3
4
5
6
96,8660
204,2040
219,9120
235,6200
251,3280
9,182 130,9000
T
T
T
T
T
T
  
  
  
  
 
=  
  
  
  
    
(B4.34)
Áp đặt điều kiện biên:
1 0 0 0 0 0
0 408,408 -212,058 0 0 0
0 -212,058 439,824 -227,766 0 0
0 0
1
2
3
4
5
6
-227,766 471,24 -243,474 0
0 0 0 -243,474 502,656 0
0 0 0 0 -259,182 1
T
T
T
T
T
T





 
 
 
 
  
22
4523,9
219,9
235,6
5435,0
20




 
= 
 
 
 


(B4.35)
Giải ra
1
2
3
4
5
6
22,0000
23.,199
24.,569
23,6913
22.,880
20,0000
T
T
T
T
T
T








 
= 
 
 
 


(B4.36)

4.8. Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử vách trụ có nguồn trong có đố i lưu tại
nút 2 là (B4.33)

280. 280
Thay các trị số r 1=0.2; r2=0.25; r3=0.3; r4=0.35; r5=0.4; r6=0.45; k=3; qv=30000;
T
a1=50; h1=120; Ta2=20; h2=85;

11
22
33
235,6200 -84,8232 8560,9
; ;
-84,8232 84,8232 1099,6
103,6728 -103,6728 1256,6
; ;
-103,6728 103,6728 1335,2
1 22,5224 -122,5224
;
-122,5224 122,5224
Kf
Kf
Kf
  
= =  
  
  
= =  
  

=

44
55
1492,3
;
1570,8
141,3720 -141,3720 1727,9
; ;
-141,3720 141,3720 1806, 4
160,2216 -160,2216 1963,5
;
-160,2216 373,8504 6848, 7
Kf
Kf

=

  
= =  
  
  
= =  
  

(B4.37)
Lắp ghép được

235,62 -84,82 0 0 0 0
-84,82 188,49 -103,67 0 0 0
0 -103,67 226,19 -122,52 0 0
0 0 -122,52 263,89 -141,37 0
0 0 0 -141,37 301,59 -16,22
0 0 0 0 -160,22 373,85









1
2
3
4
5
6
8560,9
2356,2
2827,5
3298,7
3769,9
6848,7
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 
 

(B4.38)
Giải ra
1
2
3
4
5
6
84,4573
133,6771
151,2206
142,9878
112,5191
62,1057
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 

(B4.39)

4.9. Thay các giá trị r
1=0.3; r2=0.35; r3=0.4; r4=0.45; r5=0.5; r6=0.55; k=1.2; qv=20000;
T
a1=50; h1=120; tính được ma trận độ cứng và các phụ tải của các phần tử

1 23
4
275,2042 -49,0090 56,5488 -56,5488 64,0886 -64,0886
; ; ;
-49,0090 49,0090 -56,5488 56,5488 -64,0886 64,0886
71,6285 -71,6285
-71,6285 71,6285
K KK
K
   
  = = =     
   

=

{} {} {} {} {}
5
12345
79,1683 -79,1683
;
-79,1683 79,1683
12305 1151,9 1309,0 1466,1 1623,2
;;;;
1047 1204,3 1361,4 1518,4 1675,5
K
ff f f f

= 
 
    
= = = = =    
    

281. 281
Lắp ghép được
275,2042 -49,0090 0 0 0 0
-49,0090 105,5578 -56,5488 0 0 0
0 -56,5488 120,6374 -64,0886 0 0
0 0 -64,0886 135,7171 -71,6285 0
0 0 0 -71,6285 150,7968 -79,1683
0 0 0
1
2
3
4
5
6
12305
2199
2513
2828
3142
0 -79,1683 79,1683 1676
T
T
T
T
T
T

  

  

  

  
 
=  
  
  
  
   

(B4.40)
Áp đặt điều kiện biên
275,2042 -49,0090 0 0 0 0
-49,0090 105,5578 -56,5488 0 0 0
0 -56,5488 120,6374 -64,0886 0 0
0 0 -64,0886 135,7171 -71,6285 0
0 0 0 -71,6285 150,7968 -79,1683
0 0 0
1
2
3
4
5
6
12305
2199
2513
2828
5121
0 -79,1683 79,1683 25
T
T
T
T
T
T

  

  

  

  
 
=  
  
  
  
   

(B4.41)
Giải ra được
1
2
3
4
5
6 71,2681
149,1212
177,7089
163,7173
111,7241
25.0000
T
T
T
T
T
T








 
= 
 
 
 


(B4.42)

Dẫn nhiệt qua thanh có tiết diện không đổi

4.10. Phương trình đặc trưng của phần tử khi không có nguồn trong và bức xạ là

1
2
1 1 21 1
621 1 12 1
a
hT PlTAk hPl
Tl
     −  
+=      
−      

(B4.43)
Dùng 5 phần tử bậc nhất: l = 0.05; a = 0.04; b = 0.06; k = 200; h = 250; T
a = 20; sẽ có

10,43 -9,18 25
;
-9,18 10,43 25
Kf
  
= =
  

(B4.44)
Lắp ghép

1
2
3
4
5
6
10, 43 9,18 0 0 0 0 25
9,18 20,86 9,18 0 0 0 50
0 9,18 20,86 9,18 0 0 50
0 0 9,18 20,86 9,18 0 50
0 0 0 9,18 20,86 9,18 50
0 0 0 0 9,18 10, 43 25
T
T
T
T
T
T
  −
  
−−
  
  −− 
= 
−− 
 −−
 
−   
(B4.45)
Áp đặt điều kiện biên T1= 80

282. 282

1
2
3
4
5
6
100000 80
0 20,86 9,18 0 0 0 734, 4
0 9,18 20,86 9,18 0 0 50
0 0 9,18 20,86 9,18 0 50
0 0 0 9,18 20,86 9,18 50
0 0 0 0 9,18 10, 43 25
T
T
T
T
T
T
  
  
−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−   
(B4.46)
Giải ra được
1
2
3
4
5
6
80,00
52,89
40,19
32,99
29,33
28,21
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.47)

4.11. Dùng 5 phần tử bậc nhất có l = 0.06; r = 0.015; k = 345; h = 160; T
a = 25; sẽ có

4,37 -3,9 11,31
;
-3,9 4,37 11,31
Kf
  
= = 
  

(B4.48)
Lắp ghép các phầ n tử

1
2
3
4
5
6
4,37 3,9 0 0 0 0 11,31
3, 9 8, 74 3, 9 0 0 0 22, 62
0 3, 9 8, 74 3, 9 0 0 22, 62
0 0 3, 9 8, 74 3, 9 0 22, 62
0 0 0 3, 9 8, 74 3, 9 22, 62
0 0 0 0 3,9 4,37 11,31
T
T
T
T
T
T
  −
  
−−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−    

(B4.49)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
6
100000 120
0 8, 74 3,9 0 0 0 490,62
0 3, 9 8, 74 3, 9 0 0 22, 62
0 0 3, 9 8, 74 3, 9 0 22, 62
0 0 0 3, 9 8, 74 3, 9 22, 62
0 0 0 0 3,9 4,37 11,31
T
T
T
T
T
T
  
  
−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−    

(B4.50)
Giải ra được
1
2
3
4
5
6
120,00
83,81
62,02
49,37
42,83
40,81
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.51)

4.12. Dùng 5 phần tử bậc nhất có l = 0.1; r = 0.02; k = 420; h = 125; T
a = 30.
Ma trận độ cứng và phụ tải mỗi phần tử

283. 283

5,80 -5, 02 23,56
;
-5, 02 5,80 23,56
Kf
  
= = 
  
(B4.52)
Lắp ghép được

1
2
3
4
5
6
5, 8 5, 02 0 0 0 0 23, 56
5, 02 11,6 5, 02 0 0 0 47,12
0 5, 02 11,6 5, 02 0 0 47,12
0 0 5, 02 11,6 5, 02 0 47,12
0 0 0 5, 02 11,6 5, 02 47,12
0 0 0 0 5, 02 5, 8 23, 56
T
T
T
T
T
T
  −
  
−−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−    

(B4.53)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
6
100000 80
0 11,6 5, 02 0 0 0 448, 72
0 5, 02 11,6 5, 02 0 0 47,12
0 0 5, 02 11,6 5, 02 0 47,12
0 0 0 5, 02 11,6 5, 02 47,12
0 0 0 0 5, 02 5, 8 23, 56
T
T
T
T
T
T
  
  
−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−    

(B4.54)
Giải ra được
1
2
3
4
5
6
80,00
59,15
47,30
40,77
37,51
36,53
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 

(B4.55)

Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi

4.13.





Hình B4.2

Phương trình đặc trưng của phần tử
ijđối với cánh có thiế t diện thay đổi là

( ) ( )( )
( )( )
3
11
2 1211 3
22 2 0
6662 2 21
ij ijij i
j
ij i j
i j i j ij
Va
an
i j i j ij
PP PPAA Tk hl
Tl PP P P
A A PP PPq l hT lql
hT A
A A PP PP
 +++ −  
+  
− ++  

    ++ + 
= −+ +     
++ +         
(B4.56)
Chia chiề u dài thành 5 phần tử, kích thước mỗi phần tử: l = 0,05/5 = 0,01
L
d
A
d
B
b

284. 284
Thay các kích thước đươc ma trận độ cứng và phụ tải các phần tử như sau

11
22
33
4
5,63 -5,58 1,143
; ;
-5.58 5,63 1,137
4,83 - 4, 78 1,123
; ;
-4, 78 4,82 1,117
4, 03 -3,98 1,103
; ;
-3,98 4, 03 1, 097
3,23 -3,18
-3,18
Kf
Kf
Kf
K
  
= = 
  
  
= = 
  
  
= = 
  
=
4
55
1, 083
; ;
3,23 1, 077
2, 43 -2,38 1, 063
;
-2,38 2, 43 1,256
f
Kf
  
=
  
  
= = 
  
(B4.57)
Lắp ráp các phần tử

1
2
3
4
5
6
5,63 5,58 0 0 0 0 1,143
5,58 10, 46 4, 78 0 0 0 2,26
0 4, 78 8,859 3,98 0 0 2,22
0 0 3,98 7,26 3,18 0 2,18
0 0 0 3,18 5,66 2,38 2,14
0 0 0 0 2,38 2, 43 1,256
T
T
T
T
T
T
  −
  
−−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−    
(B4.58)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
6
1 0 0 0 0 0 120
0 10, 46 4, 78 0 0 0 671,86
0 4, 78 8,859 3,98 0 0 2,22
0 0 3,98 7,26 3,18 0 2,18
0 0 0 3,18 5,66 2,38 2,14
0 0 0 0 2,38 2, 43 1,256
T
T
T
T
T
T
  
  
−
  
  −−  
=  
−−  
  −−
  
−   

(B4.59)
Giải ra
1
2
3
4
5
6
120,00
113,90
107,57
102,68
99,09
97,57
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.60)

4.14. Chia chiề u dài thành 5 phần tử, kích thước mỗi phần tử: l = 0,25/5 = 0,05
Sau khi thay các giá trị tính ma trận độ cứng, véc tơ phụ tải: rồi lắp ghép lại được:
l=0.05; b=0.12; d
1=0.10; d 2=0.09; d 3=0.08; d 4=0.07; d 5=0.06; d 6=0.05; k=110; h=150;
T
a=20 rồi lắp ghép lại được:

285. 285

26,1675 -24,5425 0 0 0 0
-24,5425 49,6200 -21,9275 0 0 0
0 -21,9275 4,.2400 -19,3125 0 0
0 0 -19,3125 38,8600 -16,6975 0
0 0 0 -16,6975 33,4800 -14,0825
0 0 0
1
2
3
4
5
6
32
63
60
57
54
0 -14,0825 15,3825 44
T
T
T
T
T
T
  
  
  
  

= 
 
 
 
   

(B4.61)
Áp đặt điều kiện biên

1 0 0 0 0 0
0 49,6200 -21,9275 0 0 0
0 -21,9275 44,2400 -19,3125 0 0
0 0
1
2
3
-19,3125 38,8600 -16,6975 0
0 0 0 -16,6975 33,4800 -14,0825
0 0 0 0 -14.,825 15,3825
T
T
T
T









4
5
6
60
202,64
60,0
57,0
54,0
44,0
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.62)
Giả ra được
1
2
3
4
5
6
60,00
64,41
53,35
45,97
41,86
41,18
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.63)

4.15. Chia chiề u dài thành 5 phần tử, kích thước mỗi phần tử: l = 0,15/5=0,05
Thay các trị số: l = 0.05; d
1 = 0.015; d2 = 0.013; d3= 0.011; d4 = 0.009; d5 = 0.007; d6 =
0.005; k=75; h=80; T
a=20; pi=3.1416 tính được các ma trận độ cứng và phụ tải các phần tử

11
22
33
0,928 -0,2028 1,8012
; ;
-0,2028 0,2886 1,7174
0,2232 -0,1457 1,5499
; ;
-0,1457 0,2190 1,4661
0.,630 -0,0980 1,298
;
-0,0980 0,1588
Kf
Kf
Kf
  
= = 
  
  
= = 
  

= =

44
55
5
;
1,2148
0,1122 -0,0598 1,0472
; ;
-0,0598 0,1080 0,9634
0,0708 -0,0310 0,7959
;
-0,0310 0,0666 0,7435
Kf
Kf



  
= = 
  
  
= = 
  

(B4.64)
Lắp ghép các phầ n tử

0,2928 -0,2028 0 0 0 0
-0,2028 0,5118 -0,1457 0 0 0
0 -0,1457 0,3820 -0,980 0 0
0 0 -0,0980 0,2710 -0,0598 0
0 0 0 -0,0598 0,1788 -0,0310
0 0 0 0 -0,0310 0,0666









1
2
3
4
5
6
1,8012
3,2673
2,7646
2,2620
1,7593
0,7435
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 
 
(B4.65)

286. 286
Áp đặt điều kiện biên

1 0 0 0 0 0
0 0,5118 -0,1457 0 0 0
0 -0,1457 0,3820 -0,980 0 0
0 0 -0,098
1
2
3
4
5
6

0 0,2710 -0,0598 0
0 0 0 -0,0598 0,1788 -0,0310
0 0 0 0 -0,0310 0,0666
T
T
T
T
T
T





= 
 
 
 
  
90
21,5193
2,7646
2,2620
1,7593
0,7435











(B4.66)
Giả ra
1
2
3
4
5
6
90,00
51,55
33,38
25,27
22,00
21,41
T
T
T
T
T
T




 
= 
 
 
 


(B4.67)

Dẫn nhiệt qua phầ n tử tam giác

4.16. Biết rằng ma trận độ cứng của phần tử

TT
VS
K dan nhiet K doi luu
K B D B dV h N N dS
− − −−
      = +
      
∫∫

(B4.68)
Diện tích đối lưu S tạo bởi bề dày tam giác δ và chiề u dài cạnh l, nên dS = δdl

TT
Sl
K doi luu
h N N dS h N N dl δ
−−
 =
 
∫∫
, mặt khác có

2
1 1 12 13
2
2 1 2 3 12 2 23
2
3 13 2 3 3
T
N N NN NN
N N N N N N NN N NN
N NN NN N


  = =
  

 

(B4.69)
Tri số hàm nội suy tại các nút là
Nút 1 Nút 2 Nút 3
N
1 1 0 0
N
2 0 1 0
N
3 0 0 1

+ Đối lưu trên cạnh 12
Cạnh 12 có N
3 = 0, còn N1 và N2 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

2
1 12
2
12 2
12 12
0
0
0 00
T
ll
K doi luu
N NN
h N N dl h N N N dl
δδ
−−


 =



∫∫

(B4.70)
+ Đối lưu trên cạnh 23
Cạnh 23 có N
1 = 0, còn N2 và N3 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

287. 287

2
2 23
223 12
23 3
00 0
0
0
T
ll
K doi luu
h N N dl h N N N dl
NN N δδ
−−


 =



∫∫

(B4.71)
+ Đối lưu trên cạnh 31
Cạnh 31có N
2 = 0, còn N1 và N3 thay đổ i trong khoảng giữa 0 và 1, nên

2
1 13
231 12
13 3
0
000
0
T
ll
K doi luu
N NN
h N N dl h dl
NN N
δδ
−−


 =



∫∫

(B4.72)
Các tích phân trên đều có thể áp dụng công thức đã được chứng minh trong hướng dẫn
Bài tập 2.4

( )
( )
22
23
23
0!2! 2
;
60 2 1!
1!1! 1
6111!
ll
l
N dx N dx l l
N N dx l l
= = =
++
= =
++
∫∫
∫

(B4.73)
Sẽ được số hạng đối lưu trong ma trận độ cứng trong 3 trường hợp

2
1 12
2 12
12 2
12 12
0 210
..
0 120
6
0 0 0 000
T
ll
K doi luu
N NN
hl
h N N dl h N N N dl
δ
δδ
−−
 
 
 = =
 
 

∫∫

(B4.74)

2 23
2 23
223 12
23 3
0 0 0 000
..
0 021
6
0 012
T
ll
K doi luu hl
h N N dl h N N N dl
NN Nδ
δδ
−−
  
  
 = =
  
  
  
∫∫

(B4.75)

2
1 13
31
231 31
13 3
0 201
..
0 0 0 000
6
0 102
T
ll
K doi luu
N NN
hl
h N N dl h dl
NN N
δ
δδ
−−
 
 
 = =
 
 

∫∫

(B4.76)

4.17. Biết rằng véc tơ phụ tải của phần tử là

{}
12
12
..
TT T
Va
V SS
f buc xa f doi luu
f q N dV q N dS hT N dS
−−
  = −+
  ∫∫∫

(B4.77)
Diện tích bứ c xạ và đối lưu S tạo bởi bề dày tam giác δ và chiều dài cạnh l, nên dS = δdl
+ Bức xạ trên cạ nh 12
Cạnh 12 có N
3 = 0, còn N1 và N2 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

1
12
2
1 12 12
.
1
.
1
2
00
TT
Sl l
f buc xa
N
l
q N dS q N dl q N dl qδ δδ
−
  
  
 −= − = − = −
   
  
  
∫∫ ∫

(B4.78)
+ Bức xạ trên cạ nh 23
Cạnh 23 có N
1 = 0, còn N2 và N3 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

23
2
1 23 23
.
3
00
.
1
2
1
TT
Sl l
f buc xa
l
q N dS q N dl q N dl q
N
δ δδ
−
  
  
 −= − = − = −
   
  
  
∫∫ ∫

(B4.79)

288. 288
+ Bức xạ trên cạ nh 31
Cạnh 31 có N
2 = 0, còn N1 và N3 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

1
31
1 31 23
.
3
1
.
00
2
1
TT
Sl l
f buc xa
N
l
q N dS q N dl q dl q
N
δ δδ
−
  
  
 −= − = − = −
   
  
  
∫∫ ∫

(B4.80)
+ Đối lưu trên cạnh 12
Cạnh 12 có N
3 = 0, còn N1 và N2 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

1
12
22
2 12 12
.
1
.
1
2
00
TT
a a aa
Sl l
f doi luu
N
l
hT N dS hT N dl hT N dl hTδ δδ
−
  
  
 = = =
   
  
  
∫∫∫

(B4.81)
+ Đối lưu trên cạnh 23
Cạnh 23 có N
1 = 0, còn N2 và N3 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

23
22
2 23 23
.
3
00
.
1
2
1
TT
a a aa
Sl l
f doi luu l
hT N dS hT N dl hT N dl hT
N
δ δδ
−
  
  
 = = =
   
  
  
∫∫∫

(B4.82)
+ Đối lưu trên cạnh 31
Cạnh 31 có N
2 = 0, còn N1 và N3 thay đổi trong khoảng giữa 0 và 1, nên

1
31
2
2 31 31
.
3
1
.
00
2
1
TT
a a aa
Sl l
f doi luu
N
l
hT N dS hT N dl hT dl hT
N
δ δδ
−
  
  
 = = =
   
  
  
∫∫∫

(B4.83)

4.18.











Hình B4.3. Phầ n tử tam giác 1, và 2 trong chữ nhật

Phương trình ma trận độ cứng và phụ tải

TT
VS
K B D B dV h N N dS    = +
    ∫∫
(B4.84)
.
TT T
V
SS
f qNd qNdS hTNdS
∞
Ω
   = Ω− +
   ∫ ∫∫
(B4.85)
k = 45 W/m
0
C
6 cm
1 2
4 3


4 cm
T
4 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt
1 (1) 2 (2)
3 (3)
3 (6)
1 (4)
2 (5)

289. 289
Trong đó số hạng dẫn nhiệt:

22
1 1 2 13 1 12 13
22
12 2 23 12 2 232
22
13 2 3 3 13 2 3 3
1
4T
xy
V
b bb bb c cc cc
B D B dV k kbb b bb cc c cc
A
bbbbb ccccc
  
  
  = +   
  
  
∫
(B4.86)
Với các thông số

12332 123 132
2 3 1 13 2 3 1 2 1 3
3 12 21 3 1 2 3 2 1
; ;
; ;
; ;

a x y xy b y y c x x
a xy xy b y y c x x
a xy xy b y y c x x
=− =−=−
=− =−=−
=− =−=−

(B4.87)
Tọa độ các nút củ a hai phần tử tam giác
Nút toàn cục 1 2 3 4
Nút cục bộ
T giác 1 1 2 3
T giác 2 1 2 3
Tọa độ (cm)
x 0 6 6 0
y 0 0 4 4

Phần tử tam giác (1)
x
1=0; x
2=6; x
3=0;
y
1=0; y
2=0; y
3=4;

Tính được:

123123123
24; 0; 0; 4; 4; 0; 6; 0; 6; 2 24a aab bbc cc A= = = =−= = =−= = =
(B4.88)
- Ma trận độ cứng:

1
4.0625 -1.2500 -2.8125
-1.2500 1.2500 0
-2.8125 0 2.8125
K


=



(B4.89)
- Phụ tải nhiệt:
{f}1 = 0
- Phương trình đặc trưng phần tử 1

1
2
4
4.0625 -1.2500 -2.81250 (1)
-1.2500 1.2500 00 (2)
0 (3) -2.8125 0 2.8125
T
T
T
   
   
=  
  
  

(B4.90)
Phần tử tam giác (2)
x
1=6; x
2=6; x
3=0;
y
1=0; y
2=4; y
3=4;

Tính được
1 2 3 123 1 23
24; 24; 24; 0; 4; 4; 6; 6; 0; 2 24a a a bbb c cc A= =− = = = =−=−= = = (B4.91)
- Ma trận độ cứng:

2
TT
VS
K B D B dV h N N dS   = +
   ∫∫

290. 290

12
2
2,8125 -2,8125 0210
.
-2,8125 4,0625 -1,2500 1 2 0
6
000 0 -1,2500 1,2500
29,4792 10,5208 0
10,5208 30,7292 -1,2500
0 -1
hl
K
δ
 
 
= +
 
 

=
,2500 1,2500






(B4.92)
- Phụ tải:

34 23
2
01
. .1 . 1
10
0 1 2400
300 6 1 20 30 4 1 4200
1 0 1800
TT
a
SS
f q N dS h T N dS q l h T l δδ
∞
 
 
  =+ + =−+    
 
 
   
   
= × +×× =   
   
   
∫∫

(B4.93)
- Phương trình đặc trưng phần tử 2

2
3
4
29.4792 10.5208 02400 (4)
10.5208 30.7292 -1.2500 4200 (5)
1800 (6) 0 -1.2500 1.2500
T
T
T
  
  
= 
 
 
(B4.94)
Lắp ghép: Thông tin cộng phương trình tại từng nút
Nút toàn
cục
Phương
trình số
Hệ số của các nhiệt độ
Phụ tải
T
1 T
2 T
3 T
4
1 1 4,0625 -1,2500 -2,8125 0
2
2 -1,2500 1,2500 0
4 29,4792 10,5208 0 2400
2+4 -1,2500 30,7292 10,5208 0 2400
3 5 10,5208 30,7292 -1,2500 4200

4
3 -2,8125 0 2,8125 0
6 0 -1,2500 1,2500 1800
3+6 -2,8125 0 -1,2500 4,0625 1800

Phương trình toàn cục

1
2
3
4
4,0625 -1,25 0 -2,8125
1,25 30,7292 10,5208 0
0 10,5208 30,7292 -1,25
-2,8125 0 -1,25 4,0625
T
T
T
T






0
2400
4200
1800


 
= 
 
 


(B4.95)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
4,0625 -1,25 0 0
1,25 30,7292 10,5208 0
0 10,5208 30,7292 0
0 0 0 1
T
T
T
T









 
281,25
2400
4325
100



=
 
 


(B4.96)

291. 291
Giải ra
1
2
3
4
80,80
37,61
127,87
100,00
T
T
T
T


 
= 
 
 


(B4.97)

4.19.
Nút toàn cục 1 2 3 4 5
Phương trình số 1,4 5,7 8,11 3,12 2,6,9,10













Hình B4.4. Bốn tam giác trong chữ nhật
Tọa độ các nút củ a hai phần tử tam giác
Nút toàn cục 1 2 3 4 5
Nút cục bộ
T giác 1 1 3 2
T giác 2 1 2 3
T giác 3 1 2 3
T giác 4 2 3 1
Tọa độ (cm)
x 0 6 6 0 3
y 0 0 4 4 2

Phần tử tam giác (1)
- Ma trận độ cứng:

1
4,0625 -2,5000 -1,5625
-2,5000 5,0000 -2,5000
-1,5625 -2,5000 4,0625
K


=



(B4.98)
- Phụ tải nhiệt:
{f}1 = 0
- Phương trình đặc trưng phần tử 1 (nhiệt độ theo nút toàn cục)

1
5
4
4,0625 -2,5000 -1,56250 (1)
-2,5000 5,0000 -2,5000 0 (2)
0 (3) -1,5625 -2,5000 4,0625
T
T
T
   
   
=  
  
  

(B4.99)
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
6 cm
1 2
4 3


4 cm
T
4 =100
0
C q = 300 W/cm
2
Cách nhiệt
1 (1)
3 (3)
3 (6)
1 (4) 2 (5)
2 (2)
1 (7)
2 (8)
3 (9)
1 (10)
(11) 2 3 (12)
5


k = 45 W/m
0
C

292. 292
Phần tử tam giác (2)

21
T
V
K B D B dV
−
 
 ∫

- Ma trận độ cứng:

4,0625 1,5625 -5,6250
2 1,5625 4,0625 -5,6250
-5,6250 -5,6250 11,2500
K


=


 (B4.100)
- Phụ tải:
{f}2 = 0
- Phương trình đặc trưng phần tử 2

1
2
5
4,0625 1,5625 -5,62500 (4)
1,5625 4,0625 -5,6250 0 (5)
0 (6) -5,6250 -5,6250 11,2500
T
T
T
   
   
=  
  
  

(B4.101)
Phần tử tam giác (3)
Ma trận độ cứng:

TT
VS
K B D B dV h N N dS    = +
    ∫∫


12
3
4,0625 -1,5625 -2,5000 210
.
-1,5625 4,0625 -2,5000 1 2 0
6
000 -2,5000 -2,5000 5,0000
30,7292 11,7708 -2,5000
11,7708 30,7292 -2,5000
-2,5000 -2,5000
hl
K
δ
 
 
= +
 
 

=
5,0000






(B4.102)
- Phụ tải:

23
3
1 1 2400
. . 1 20 30 4 1 2400
0 00
T
a
S
f h T N dS h T lδ
∞
   
   
  = = =×× =      
   
   
∫
(B4.103)
- Phương trình đặc trưng phần tử 3:

2
3
5
30,7292 11,7708 -2,50002400 (7)
11,7708 30,7292 -2,5000 2400 (8)
0 (9) -2,5000 -2,5000 5,0000
T
T
T
  
  
= 
 
 

(B4.104)
Phần tử tam giác (4)
- Ma trận độ cứng (không có đối lưu)

4
11,2500 -5,6250 -5,6250
-5,6250 4,0625 1,5625
-5,6250 1,5625 4,0625
K


=




(B.105)

293. 293
- Phụ tải f4 (bức xạ trên cạ nh 23 nút cục bộ)

34
4
0 00
. 1 300.6 1 1800
1 1 1800
T
S
f q N dS q l
   
   
  =−===      
   
   ∫
(B4.106)
- Phương trình đặc trưng phần tử 4:

5
3
4
11,2500 -5,6250 -5,6250 0 (10)
-5,6250 4,0625 1,5625 1800 (11)
1800 (12) -5,6250 1,5625 4,0625
T
T
T
  
  
= 
 
 

(B4.107)
Lắp ghép: Bảng thông tin cộng phương trình tại từng nút
Nút toàn cục 1 2 3 4 5
Phương trình số 1,4 5,7 8,11 3,12 2,6,9,10

Nút toàn
cục
Phương
trình số
Hệ số của các nhiệt độ Phụ tải
T
1 T
2 T
3 T
4 T
5 0
1
1 4,0625 -1,5625 -2,5000 0
4 4,0625 1,5625 -5,6250 0
1+4 8,1250 1,5625 -1,5625 -8,1250 0

2
5 1,5625 4,0625 -5,6250
7 30,7292 11,7708 -2,5000 2400
5+7 1,5625 34,7917 11,7708 -8,1250 2400

3
8 11,7708 30,7292 -2,5000 2400
11 4,0625 1,5625 -5,6250 1800
8+11 11,7708 34,7917 1,5625 -8,1250 4200

4
3 -1,5625 4,0625 -2,5000
12 1,5625 4,0625 -5,6250 1800
3+12 -1,5625 1,5625 8,1250 -8,1250 1800

5


2 -2,5000 -2,5000 5,0000 0
6 -5,6250 -5,6250 11,2500 0
9 -2,5000 -2,5000 5,0000 0
10 -5,6250 -5,6250 11,2500 0
2+6+9+10 -8,1250 -8,1250 -8,1250 -8,1250 32,5000 0

Phương trình lắp ghép toàn cục

1
2
3
4
5
8,1250 1,5625 0 1,5625 8,1250
1,5625 34, 7917 11, 7708 0 8,1250
0 11, 7708 34, 7917 1,5625 8,1250
1,5625 0 1,5625 8,1250 8,1250
8,1250 8,1250 8,1250 8,1250 32,5000
T --
T -
T -
T- -
T- - --












 
0
2400
4200
1800
0



 
= 
 
 
 


(B4.108)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
5
8,1250 1,5625 0 0 8,125 156,25
1 5625 34, 7917 11, 7708 0 8,125 2400
0 11, 7708 34 7917 0 8,125 4043,8
0 0 0 1 0 100
8,125 8,125 8,125 8,1250 32,500 812,5
T -
T. -
T .-
T
T- - --
 
 
 

 =






  










(B4.109)

294. 294
Giải ra
1
2
3
4
5
103,3365
44,4194
122,8357
100,0000
92.6479
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 


(B4.110)
So sánh nhiệt độ trong hai cách tính
Điểm 1 2 3 4 5
Dùng 1 PTHH tam giác 80 37,61 127,87 100,0
Dùng 2 PTHH tam giác 103,34 44,42 122,86 100,0 92,65

Phần tử chữ nhật đơn
4.20. Ta ký hiệu:
//
;
ii
ix iy
NN
NN
xy
∂∂
= =
∂∂
, nên
//
11
// // / /
22 1234
// / ///
123433
//
44
/2 // // //
1 12 13 14
// /2 // //
21 2 23 2 4
// // /2
31 3 2 3
0
0
xy
T
xy x xxxx
y yyyyxy
xy
x xx xx xx
xx x x x x x
x
xx x x x
NN
NN k NNNN
B DB
kNNNNNN
NN
N NN NN NN
NN N NN NN
k
NN NN N N



  =  
   


=
/2 // // //
1 12 13 14
// /2 // //
21 2 23 2 4
// // // /2 //
34 31 3 2 3 3 4
// // // /2
// // // /2
41 4 2 43 4
41 4 2 43 4
y yy yy yy
yy y y y y y
y
xx yy y y y y y
xxxxxx x
yyyyyy y
N NN NN NN
NN N NN NN
k
N NN NN N NN
NN NN NN N NN NN NN N






+







(B4.111)

Tính các thành phần tích phân trong số hạng đầu của công thức trên
Các hàm nội suy trong chữ nhật cạnh 2a, 2b:

( )( )
( )
( )
1
2
3
4
1
2 2 ;
4
1
2 ;
4
;
4
1
2
4
N ax by
ab
N x by
ab
xy
N
ab
N a xy
ab
= −−
= −
=
= −
(B4.112)
- Các đạo hàm của hàm nộ i suy theo x

/
1
/
2
/
3
/
4
1
(2 );
4
1
(2 );
4
1
;
4
1
4
x
x
x
x
N by
ab
N by
ab
Ny
ab
Ny
ab
=−−
= −
=
= −

(B4.113)

295. 295
Tính các tích phân
22 23
22
/2 /2 2
11 22 2200
(4 4 ) 1 48
(4 .2 .2 4 . 2 2 )
23316 16 ab
xxb by y bb b
N N dxdy b a b b a a
aab ab
−+
= → = − +=
∫∫

22
22
/ / /2
12 1 22 00
(4 4 )
316
ab
xx x
b by y b
N N N dxdy
aab
−+
=− →= − ∫∫
;
2
22
// //
13 13 22 00
(2 )
616
ab
xx xx
by y b
N N N N dxdy
aab
−
=−→ =− ∫∫

2
22
// //
14 1422 00
(2 )
616 ab
xx xxby y b
N N N N dxdy
aab
−
=→=
∫∫
;
22
22
/2 /2
22 22 00
(4 4 )
316
ab
xx
b by y b
N N dxdy
aab
−+
= →= ∫∫

2
22
// //
23 2322 00
(2 )
616 ab
xx xxby y b
N N N N dxdy
aab
−
=→=
∫∫
;
2
22
// //
24 24 22 00
(2 )
616
ab
xx xx
by y b
N N N N dxdy
aab
−
=−→ =− ∫∫

2
22
/2 /2
33 22 00
316
ab
xxy b
N N dxdy
aab
=→=
∫∫
;
2
22
// //
34 2422 00
316
ab
xx xxy b
N N N N dxdy
aab
=−→ =−
∫∫

2
22
/2 /2
44 22 00
316
ab
xx
y b
N N dxdy
aab
=→= ∫∫


- Tính các thành phần tích phân trong số hạng sau
Các đạo hàm của hàm nội suy theo y

/
1
/
2
/
3
/
4
1
(2 );
4
1
;
4
1
;
4
1
(2 )
4
y
x
x
x
N ax
ab
Nx
ab
Nx
ab
N ax
ab
=−−
= −
=
=−−

Các tích phân

22
22
/2 /2
11 22 00
(4 4 )
316 ab
yya ax x a
N N dxdy
bab
−+
= →=
∫∫
;

22
// //
12 1222 00(2 )( )
616 ab
yy yyax x a
N N N N dxdy
bab
−−
=−→ =
∫∫


22
// //
13 1222 00(2 )
616 ab
yy yya xx a
N N N N dxdy
bab
−
=−→ =−
∫∫
;

296. 296

22
22
// //
14 1422 00
(4 4 )
316 ab
yy xxa ax x a
N N N N dxdy
bab
−+
=−→ = −
∫∫


2
22
/2 /2
22 22 00
316
ab
yy
xa
N N dxdy
bab
=→= ∫∫
;

2
22
// //
23 23 22 00
316
ab
yy yy
xa
N N N N dxdy
bab
=−→ =− ∫∫


22
/ / //
2 4 1222 00(2 )
616 ab
yy yya xx a
N N N N dxdy
bab
−
=−→ =−
∫∫
;

2
22
/2 /2
33 22 00
316
ab
yyxa
N N dxdy
bab
=→=
∫∫


22
/ / //
34 12 22 00
(2 )
616
ab
yy yy
a xx a
N N N N dxdy
bab
−
=→= ∫∫
;

22
22
/2 /2
44 22 00
(4 4 )
316
ab
yy
a ax x a
N N dxdy
bab
−+
= →= ∫∫

Thay thế các kết quả trên vào số hạng đầu của công thức trên có

2 2 11 2 1 1 2
221 1 12 21
66112 2 1221
1 1 22 2 11 2
T
yx
V
kakb
B D B dV
ab
δδ
−− −−

− − −−

 = +

− − −−

−− −−
∫
(B4.114)
Nếu kx = ky ký hiệu chung là k thì biến đổi tích phân trên thành

2 22 2
2 22 2
22 2 2
2 2 22
22 2 2
2 2 22
2 2 22
22 2 2
/2 /2
/2 /2
3 /2 /2
/2 /2
/2 /2
/2 /2
3 /2 /2
/2 /2
T
V
b bb b
kb bb b
B D B dV
abbb b b
b b bb
aa a a
ka a a a
aba a aa
aa a a
δ
δ
 −−

−−

  =
  
−−

−−
 −−

−−

+

−−

−− 
∫

(B4.115)
Hay gộ p lại

2 22 2
22 2 2
2 2 22
2 22 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2 2 22
2 22
2 22
3
22 2
2 22
T
V
a ab b
ab b a
a b ab
b ab a
k
B D B dV
abab b a
a ab b
b ab a
a b ab
δ
 +
+ − − −+

 +
− + −+ −

 =

+
− −+ + −


+
−+ − − +


∫
(B4.116)

297. 297
4.21. Biết rằng ma trận độ cứng của phần tử

TT
VS
K dan nhiet K doi luu
K B D B dV h N N dS
− − −−
      = +
      
∫∫

(B4.117)
Diện tích đối lưu S tạo bởi bề dày tam giác δ và chiề u dài cạnh l, nên dS = δdl bởi vậy

TT
Sl
K doi luu
h N N dS h N N dl δ
−−
 =
 ∫∫
, trong đó

2
1 1 12 13 14
2
2 21 2 23 2 4
1234 2
3 31 3 2 3 3 4
2
4 41 4 2 43 4
T
N N NN NN NN
N NN N NN NN
N N NNNN
N NN NN N NN
N NN NN NN N



  = =
  

  

(B4.118)
với chữ nhật có kích thước a,b








Hình B4.5. Phần tử chữ nhật kích thước a×b
Hàm nội suy là

()()
()
()
1
2
3
4
1
0;
0;
;
1
N axby
ab
x
N by
ab
xyx
N
ab a
y x
N ax
ab a
= − −=
= −=
= =
= −=−
(B4.119)
Bây giờ xác định các số hạng trên bằ ng cách tính trực tiếp tích phân
a) Đối lưu trên cạ nh 12:
Cạnh 12 có y = 0, x = 0 ÷ a, nên
3
0;
xy
N
ab
= = ()
4
0
y
N ax
ab
= −= ;

Bởi vậy

2
1 12
2
21 2
2
0
00
00
0 0 00
0 0 00
aT
a
S
N NN
NN N
K h N N dS h dx



= =
 


∫∫
(B4.120)

1 2
(0,0) (a,0)
(0,b) (a,b)
4 3

298. 298
Với y = 0 thì

23
2 22 2 22 2 22 2 2
11 22 22 0
11
(2 ) ( 2 )
2 33
a a aa
N a b ab x b x N dx a b a ab b
ab ab
= − +→ = − + = ∫


23
2 22 2 2
12 12 22 22 0
11
() ( )
2 36
a a aa
N N ab x b x N N dx ab b
ab ab
= −→ = − = ∫


23
22
22 22 0
33
ax aa
N N dx
aa
=→==∫

Vậy
2
2100
1200
60000
0000
a
ah
K



=



(B4.121)
b) Đối lưu trên cạnh 23:
Cạnh 23 có x = a, y = 0 ÷ b, nên ()()
1
1
0N axby
ab
= − −= ; ()
4
0
y
N ax
ab
= −=
Bởi vậy

2
2 23
2 2
0
32 3
00 00
00
00
00 00
bT
b
S N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =




∫∫

(B4.122)
Với x = a thì

23
22 2 2 2
22 22 0
11
(2 ) ( 2 )
23 3 b bb b
N b by y N dy b b b
bb
= −+→ = − + =
∫


23
2
23 2322 0
11
() ( )
23 6 b bb b
N N by y N N dy b
bb
= −→ = − =
∫


2 3
22
33 22 0
33
by bb
N N dy
bb
=→==∫

Nên
2
0000
0210
60120
0000
b
bh
K



=




(B4.123)
c) Đối lưu trên cạ nh 34:
Cạnh 34 có y = b, x = 0 ÷ a, nên ()()
1
1
0N axby
ab
= − −= ; ()
2
0
x
N by
ab
= −=
Bởi vậy

22
0
3 34
2
43 4
00 0 0
00 0 0
00
00
aT
c
S
K h N N dS h dx
N NN
NN N



= =
 


∫∫

(B4.124)

299. 299
Với y = b thì:

()
( )
23
2
22
33 22 2 2 0
23
2
34 34 22 0
23
22 2 2 2
44 22 0
1
33
11
23 6
11
(2 ) ( 2 )
23 3
a
a
a
x aa
N xy N dx
ab a a
aa a
N N ax x N N dx a
aa
aa a
N a ax x N dx a a a
aa
= =→==

= −→ = − = 

= −+→ = − +=
∫
∫
∫

Bởi vậy
2
0000
0000
60021
0012
c
ah
K



=




(B4.125)
d) Đối lưu trên cạnh 41:
Cạnh 41 có x = 0, y = 0 ÷ b, nên ()
2
0
x
N by
ab
= −= ;
3
0;
xy
N
ab
= = nên

2
1 14
2
0
2
41 4
00
0 00 0
0 00 0
00
bT
d
S
N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =
 


∫∫
(B4.126)
Với x = 0

23
22 2 2 2
11 22 0
23
2
14 14 22 0
23
22
44 22 0
11
(2 ) ( 2 )
23 3
11
() ( )
23 6
33
b
b
b
bb b
N b by y N dy b b b
bb
bb b
N N by y N N dy b
bb
y bb
N N dy
bb
= − +→ = − + =
= −→ = − =
=→==
∫
∫
∫


2
2001
0000
60000
1002
d
hb
K



=




(B4.127)

4.22. Biết rằng véc tơ phụ tải của phần tử là

{}
12
12
..
TT T
Va
V SS
f buc xa f doi luu
f q N dV q N dS hT N dS
−−
  = −+
  ∫∫∫

(B4.128)
Hàm nội suy của chữ nhật có hai cạ nh là a, b:

()()
()
()
1
2
3
4
1
;
;
;
N axby
ab
x
N by
ab
xy
N
ab
y
N ax
ab
= −−
= −
=
= −
(B4.129)

300. 300
Cạnh 12: có x = 0 ÷ a; y = 0

()()()
11
0
11
0
2 a a
N axb ax Ndx
ab a
= − −= −→ =
∫
;
()
22
0
0
2
axx a
N b N dx
ab a
= −=→ =
∫
;

3
0
0
x
N
ab
= = ;
()
4
0
0N ax
ab
= −=
Số hạng bức xạ trên cạnh 12 là
{}
2 _ 12
1
1
20
0
a
fq



= −



(B4.130)
Cạnh 23: có x = a; y = 0 ÷ b

()()
22
0
1
2
bab
N by by Ndy
ab b
= −= −→ = ∫
;

33
0
2
bay y b
N N dy
ab b
==→=
∫
;

()()
1
1
0N aaby
ab
= − −=;
()
4
0
y
N aa
ab
= −=
Số hạng bức xạ trên cạnh 23 là
{}
2 _ 23
0
1
21
0
b
fq



= −



(B4.131)
Cạnh 34: có x = 0 ÷ a; y = b
()() ()
12
1
0; 0
x
N axbb N bb
ab ab
= − −= = −=;

33
0
2
axb x a
N N dx
ab a
==→=
∫

()()
2
41
0
1
22
ab aa
N ax ax Ndx a
ab a a
= −= −→ =− = ∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 34 là
{}
2 _ 34
0
0
21
1
a
fq



= −



(B4.132)

301. 301
Cạnh 41: có x = 0; y = 0 ÷ b

()
()()()
()
2
3
11
0
44
0
0
0;
0
0;
11
0;
2
0
2
b
b
N by
ab
y
N
ab
b
N a by by Ndy
ab b
yy b
N a N dy
ab b
= −=
= =
= − −= −→ =
= −=→ =
∫
∫

Số hạng bức xạ trên cạnh 41 là
{}
2 _ 41
1
0
20
1
b
fq



= −



(B4.133)
Cũng lập luận tương tự như trên, tùy thuộc cạnh có đối lưu mà số hạng f3 sẽ là
Số hạng đối lưu {}
3
T
a
S
f hT N dS=
∫
cách tính tương tự như trên có
Cạnh 12: có x = 0 ÷ a; y = 0; N
3 = 0; N 4 = 0

{}
3
12
1
1
20
0
T
aa
S
a
f hT N dS hT



→= =




∫
(B4.134)
Cạnh 23: có x = a; y = 0 ÷ b ; N
1 = 0; N 4 = 0

{}
3
23
0
1
21
0
T
aa
S
b
f hT N dS hT



→= =




∫

(B4.135)
Cạnh 34: có x = 0 ÷ a; y = b; N
1 = 0; N 2 = 0.

{}
3
34
0
0
21
1
T
aa
S
a
f hT N dS hT



→= =




∫

(B4.136)
Cạnh 41: có x = 0; y = 0 ÷ b; N
2 = 0; N 3 = 0

{}
3
1
0
20
1
T
aa
S
b
f hT N dS hT



→= =




∫

(B4.137)

302. 302
4.23. Phương trình đặc trưng của phần tử khi có đối lưu tại cạnh 23, bức xạ tại cạnh 34:













Hình B4.6. Phầ n tử chữ nhật

1
2
3
4
2 2 1 1 2 1 1 2 0000
221 1 12 21 0210
66 3112 2 1221 0120
1 1 2 2 2 1 1 2 0000
00
01
. ..
11
10
yx
L
T
kakb Tb
h
Tab
T
q a hT b
δδ δ
δδ
 −− −−
 
− − −− 
++ 
− − −−


−− −− 
 
 
 
=−+


 






(B4.138)
Thay các trị số a = 6, b = 4 đượ c phương trình đặ c trưng:

1
2
3
4
32,50 1,25 -16,25 -17,500
1,2500 85,833 9,1667 -16,25 2400
4200-16,25 9.,667 85,8333 1,25
1800-17,50 -16,25 1,2500 32,50
T
T
T
T
 
 


=




  







(B4.139)
Áp đặt điều kiện biên

1
2
3
4
32,50 1,25 -16,25 0 1750
1,2500 85,833 9,1667 0 4025
-16,25 9.,667 85,8333 0 4075
0 0 0 1 10
T
T
T
T




=




 
0








(B4.140)
Giải ra
1
2
3
4
81,6952
39,4312
58,7312
100,0000
T
T
T
T


 
= 
 
 


(B4.141)


6 cm
1 2
4 3
4 cm
T
4 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
h = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
Cách nhiệt
1 (1) 2 (2)
3 (3) 4 (4)

303. 303
Phần tử chữ nhật lắp ghép

4.24.












Hình B4.7. Hai Phần tử chữ nhật
Tọa độ các nút củ a hai phần tử chữ nhật
Nút toàn cục 1 2 3 4 5 6
Nút cục bộ
Phần tử 1 1 2 3 4
Phần tử 2 1 2 3 4
Tọa độ
(cm)
x 0 3 6 6 3 0
y 0 0 0 4 4 4

Phần tử 1:
- Ma trận độ cứng: (không có đố i lưu)

1
31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500
-14,3750 31,2500 -1,2500 -15,6250
-15,6250 -1,2500 31,2500 -14,3750
-1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500
K



=




(B4.142)
- Phụ tải: bức xạ trên canh 34

1
1
0 00
0 00
1 . 300.3
1 1 900
1 1 900
T
S
f q N dS q a δ
   
   
   
=−===

   
   
      
∫

(B4.143)
- Phương trình đặc trưng

1
2
3
4
31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500 0
-14,3750 31,2500 -1,2500 -15,6250 0
900-15,6250 -1,2500 31,2500 -14,3750
900-1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500
T
T
T
T
 
 

 
=




  
(1)
(2)
(3)
(4)







(B4.144)

6 cm
1 2 3
6 5 4
4 cm
T
6 =100
0
C
q = 300 W/cm
2
H = 20 W/cm
2
K
T
a = 30
0
C
1 (1)
(3) 3 4 (4)
(2) 2 1 (5) (6) 2
(7) 3 4 (8)
 

304. 304
Phần tử 2:
- Ma trận độ cứng: (có đối lưu cạnh 23- cục bộ ):

2
31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,25000000
-14,3750 31,2500 -1,2500 -15,6250 0 210
30120-15,6250 -1,2500 31,2500 -14,3750
0000-1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500
b
Kh
δ
 
 
 
= +
 
 
 
31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500
-14,3750 84,5833 25,4167 -15,6250
-15,6250 25,4167 84,5833 -14,3750
-1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500






=



(B4.145)
- Phụ tải:

2
0 0 0 00
0 1 0 1 2400
. . . 300.3 20.30.4
1 1 1 1 900 2400
1 0 1 0 900
L
f q a hT bδδ
     
     
     
=−+ = + =
      +
     
          

(B4.146)
- Phương trình đặc trưng

1
2
3
4
31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500 0
-14,3750 84,5833 25,4167 -15,6250 2400
3300-15,6250 25,4167 84,5833 -14,3750
900-1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500
T
T
T
T
 



=




 
(5)
(6)
(7)
(8)







(B4.147)
Lắp ghép
Nút toàn
cục
PT số
Hệ số nhiệt độ
Tải
T
1 T
2 T
3 T
4 T
5 T
6
1 1 31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500

2
2 -14,3750 31,2500 -1,2500 -15,6250
5 31,2500 -14,3750 -15,6250 -1,2500
2+5 -14,3750 62,500 -14,3750 -15,6250 -2,50 -15,6250
3 6 -14,3750 84,5833 25,4167 -15,6250 2400
4 7 -15,6250 25,4167 84,5833 -14,3750 3300

5
3 -15,6250 -1,2500 31,2500 -14,3750 900
8 -1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500 900
3+8 -15,6250 -2,50 -15,6250 -14,3750 62,500 -14,3750 1800
6 4 -1,2500 -15,6250 -14,3750 31,2500 900

Phương trình toàn cục

31,2500 -14,3750 0 0 -15,6250 -1,250
-14,3750 62,5000 -14,3750 -15,6250 -2,5000 -15,625
0 -14,3750 84,5833 25,4167 -15,6250 0
0 -1
1
2
3
4
T
T
T
T5,6250 25,4167 84,5833 -14,3750 0
-15,6250 -2,5000 -15,6250 -14,3750 62,5000 -14,375T
-1,2500 -15,6250 0 0 -14,3750 31,250









5
6
0
0
2400
3300
1800
900T








 
= 
 
 
 
 

(B4.148)

305. 305
Áp điều kiện biên

31,2500 -14,3750 0 0 -15,6250 0
-14,3750 62,5000 -14,3750 -15,6250 -2,5000 0
0 -14,3750 84,5833 25,4167 -15,6250 0
0 -15,6250
1
2
3
4
5
T
T
T
T 25,4167 84,5833 -14,3750 0
-15,6250 -2,5000 -15,6250 -14,3750 62,5000 0T
0 0 0 0 0 1









6
125
1562,5
2400
3300
3237,5
100T








 
= 
 
 
 
 


(B4.149)
Giải ra
1
2
3
4
5
6
T
87,8081
T 73,1457
T 42,2452
T 56,8824
100,3221T
100,0000T








 
= 
 
 
 
 


(B4.150)
So sánh nhiệt độ các nút tính được bằng 1 phần tử và 2 phần tử chữ nhật
Điểm 1 phần tử 2 phần tử
1 81,6952 87,8081
2 73,1457
3 39,4312 42,2452
4 58,7312 56,8824
5 100,3221
6 100,0000 100,0000


Chương 5.
Dẫn nhiệt không ổn định

Bài toán vách phẳng

5.1. Rời rạc tường thành 5 phần tử hữu hạn một chiều, l = L/5 =0.05 thể hiện trên sơ đồ
sau, Hình 5.1.






Hình B5.1 Rời rạc tường thành các phầ n tử
     1 2 3 4 5 6
l
1 l
2 l
3 l
4 l
5
25
0
C h, T
a

306. 306

Phương trình đặc trưng của phần tử hữu hạn trong quá trình không ổn định:
{}{}
T
C KT f
τ
∂
 += 
∂

(B5.1)
Ma trận nhiệt dung của phần tử một chiều bậc nhất, với ρ = 2200; c = 880 là

2
T
i ij
2
Vl ij j
N NN
C .c N N dV .c. Adl
NN N
2 1 32267 16133.c.Al
.
6 12 16133 32267
ρρ
ρ

  = =
 



= = 
 
∫∫
(B5.2)
Ma trận độ cứng

TT
VS
K B D B dV h N N dS    = +
    ∫∫

(B5.3)
Các phần tử 1,2,3,4 chỉ có số hạng dẫn nhiệt, với k =1.5; l = 0.05 sẽ là

1,2 ,3,4 20
11
.
11
1 1 30 -30
11 -30 30lT
Vk
K B D B dV Adl
l
k
l
−
 = =  
−
−
= =
− 
∫∫

(B5.4)
Số hạng đối lưu chỉ có ở nút thứ 2 của phần tử 5, với h=35

0 0 0 0
01 0 35
T
A
h N N dA hA

 = 
 
∫

(B5.5)
Ma trận độ cứng phầ n tử 5

5
30 -30 0 0 30 -30
.
-30 30 0 35 -30 65
K

= +=


(B5.6)
Phụ tải nhiệt các phần tử khác phụ tải bằng 0, chỉ phần tử 5 có đối lưu, vớ i h=35;
T
a=45

{}
0 0
1 1575
T
a
a
S
f hT N dS hAT

= = = 

∫

(B5.7)
Lắp ghép các phầ n tử:
Ma trận nhiệt dung:

32267 16133 0 0 0 0
16133 64534 16133 0 0 0
0 16133 64534 16133 0 0

C=

0 0 16133 64534 16133 0
0 0 0 16133 64534 16133
0 0 0 0 16133 32267












 

(B5.8)
Ma trận độ cứng và phụ tải

307. 307

30 -30 0 0 0 0
-30 60 -30 0 0 0
0 -30 60 -30 0 0
0 0 -30 60 -30 0
0 0 0 -30 60 -30
0 0
K=

{}
0
0
0
;
0
0
0 0 -30 65 1575
f
  
  
  
  

= 
 
 
 
   


(B5.9)
Sau khi áp đặ t điều kiện biên có phương trình toàn cục sau

32267 16133 0 0 0 0
16133 64534 16133 0 0 0
0 16133 64534 16133 0 0
0 0 16133
1
2
3
4
5
6
/
/
/
/ 64534 16133 0
/ 0 0 0 16133 64534 16133
/ 0 0 0 0 16133 32267
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂

 ∂∂

∂∂


∂∂

∂
1 0 0 0 0 0
0 60 -30 0 0 0
0 -30 60 -30 0 0
0 0 -30 60 -30 0
0 0 0 -30 60 -30
0 0
τ








∂
+
1
2
3
4
5
6
25
750
0
0
0
15750 0 -30 65
T
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 
=  
  
  
  
  

(B5.10)
Sử dụng rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn có phương trình sau
{ }{} {} {}
p1 p p1
C K T CT fττ
++
  +∆ = +∆
  
(B5.11)
Giải (5.11) bằ ng pp ma trận nghịch đảo như sau:

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

(B5.12)
Kết quả tính toán với 10 bước thời gian, mỗi bước ∆τ =360s, được thể hiện trong bả ng
và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí  1 2 3 4 5 6
P=0 25,0000 28,4146 31,8293 35,2439 38,6585 42,0732
P=1 24,9993 28,4160 31,8099 35,5562 33,6343 122,9073
P=2 25,0050 28,4045 31,9328 34,2959 42,3880 167,4676
P=3 24,9917 28,4314 31,7898 34,2185 55,3822 194,5887
P=4 24,9896 28,4357 31,5788 35,7398 68,9629 212,7741
P=5 25,0082 28,3984 31,5323 38,5899 81,8327 226,0180
P=6 25,0350 28,3441 31,7929 42,3811 93,6184 236,2955
P=7 25,0484 28,3160 32,4176 46,7783 104,2944 244,6457
P=8 25,0276 28,3571 33,4072 51,5301 113,9526 251,6546
P=9 24,9563 28,5007 34,7322 56,4602 122,7135 257,6770
P=10 24,8248 28,7676 36,3498 61,4488 130,6939 262,9423

308. 308















5.2. Rời rạc tấm thành 5 phần tử hữu hạn một chiều, l = L/5 =0.01 m, thể hiện trên sơ đồ
sau, hình





Hình B5.2. Rời rạc tấm thành các phần tử

Phương trình đặc trưng của phần tử một chiều trong quá trình không ổn định như
(B5.11) ở trên.
- Ma trận nhiệt dung của phần tử một chiều bậc nhất với l =0.01; r
0=2300; c=1080

T
V
2 1 8280 4140.c.Al
C .c N N dV .
6 12 4140 8280
ρ
ρ

 = = =  
 
∫

(B5.13)
- Ma trận độ cứng của 5 phần tử như nhau vì không có đố i lưu, với k=1.15; l=0.01;

lT
2V0
2
11k
B D B dV Adl
11l
1 1 11500 11500k
11 11500 11500l
K
−
  = =   
−
−−
= = 
− − 
∫∫
(B5.14)
- Phụ tải nhiệt chỉ có bức xạ ở phần tử 1 sau thời điểm ban đầu, các phần tử khác phụ
tải bằng 0.

{}
1
1
1 1500
00T
S
f q N dS q
  
=−==   
  ∫

Lắp ghép các phầ n tử tương tự như bài trước
Phương trình toàn cục sau khi áp đặt điều kiện biên tại nút 6
1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
250
300
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4
     1 2 3 4 5 6 T = 30
0
C
l
1 l
2 l
3 l
4 l
5
q

309. 309

8280 4140 0 0 0 0
4140 16560 4140 0 0 0
0 4140 16560 4140 0 0
0 0
1
2
3
4
/
/
/
/ 4140 16560 4140 0
0 0 0 4140 16560 4140
0 0 0 0 8280 41407
T
T
T
Tτ
τ
τ∂∂

∂∂

 ∂∂

∂∂




5
6
/
/
11500 -11500 0 0 0 0
-11500 23000 -11500 0 0 0
0 -11500 23000 -11500 0 0

T
T
τ
τ
τ







∂∂

∂∂
+
1
2
3
4
5
0 0 -11500 23000 -11500 0
0 0 0 -11500 23000 0
0 0 0 0 0 1
T
T
T
T
T









6
0
0
0
0
345000
30T




 
= 
 
 
 


(B5.15)
Sử dụng rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữu hạn và giải (3.89) bằ ng
phương pháp ma trận nghịch đảo như sau:

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

(B5.16)
Trong đó
{}
{}
1
00
0
* ;
0; 0; 0; 0;345000;30 ;
20000; 0; 0; 0;345000;30
p
T
pi
T
TK f
f
f
−
=
=
=

=

=

(B5.17)
Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 5s, ghi trong bả ng và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí 1 2 3 4 5 6
P=0 32,5948 31,3247 30,6712 30,3302 30,1429 29,7145
P=1 33,9177 32,4500 31,4585 30,8092 30,3709 29,2595
P=2 34,8630 33,3229 32,1521 31,2777 30,6051 28,7925
P=3 35,5995 34,0164 32,7274 31,6831 30,8120 28,3806
P=4 36,1885 34,5743 33,1971 32,0195 30,9851 28,0368
P=5 36,6637 35,0254 33,5788 32,2945 31,1270 27,7557
P=6 37,0483 35,3909 33,8887 32,5181 31,2426 27,5276
P=7 37,3600 35,6870 34,1399 32,6996 31,3364 27,3431
P=8 37,6126 35,9272 34,3437 32,8468 31,4125 27,1943
P=9 37,8174 36,1218 34,5089 32,9662 31,4742 27,0744
P=10 32,5948 31,3247 30,6712 30,3302 30,1429 29,7145











1 2 3 4 5 6
26
28
30
32
34
36
38

310. 310
5.3. Ma trận nhiệt dung các phần tử, với l = 0.04; r 0 = 2000; c =1200;

T
V
2 1 32000 16000.c.Al
C .c N N dV .
6 12 16000 32000
ρ
ρ

 = = =  
 
∫

(B5.18)
- Ma trận độ cứng các phần tử không có đối lưu, với k = 0.5; l = 0.04

2
1 1 312.5 -312.5Ak
11 -312.5 312.5l
T
V
K B D B dV
−
 = = =  
− 
∫

(B5.19)
- Phương trình toàn cục:

32000 16000 0 0 0 0
16000 64000 16000 0 0 0
0 16000 64000 16000 0 0
0 0 16000 64000
1
2
3
4
5
6
/
/
/
/ 16000 0
/ 0 0 0 16000 64000 16000
/ 0 0 0 0 16000 32000
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂

 ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 
312,5 -312,5 0 0 0 0
0 625 -312,5 0 0 0
0 -312,5 625 -312,5 0 0
0 0 -312,5 625








+
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0-312,5 0
0 0 0 0 -312,5 625 -312,5
0 0 0 0 0 -312,5 312,5
T
T
T
T
T
T
 
 
 
 
 
=   
  
  
  
   








(B5.20)
Sử dụng rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn, có phương trình

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

(B5.21)
Trong đó
{}
p0
T
T
=
= [20;20;20;20;20;20]; {}
p
T
T
i=
= [100;20;20;20;20;20] (B5.22)
Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 5s, ghi trong bả ng và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí 1 2 3 4 5 6
P=0 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000
P=1 100,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000
P=2 71,2024 34,0084 20,3798 20,0103 20,0003 20,0000
P=3 57,6806 38,0647 22,9427 20,1463 20,0058 20,0004
P=4 50,4711 38,7621 25,2535 20,7006 20,0459 20,0046
P=5 46,1232 38,3570 26,9178 21,4695 20,1806 20,0271
P=6 43,2145 37,6297 28,0266 22,2742 20,4140 20,0965
P=7 41,1089 36,8496 28,7370 23,0208 20,7229 20,2305
P=8 394950 36,1060 29,1772 23,6739 21,0796 20,4318
P=9 38,2059 35,4242 29,4371 24,2286 21,4612 20,6918
P=10 37,1448 34,8071 29,5768 24,6939 21,8512 20,9972

311. 311












Bài toán thanh thẳng

5.4. Chia thanh làm 5 phần tử, mỗi phần tử có chiều dài: l = 0,05m; diện tích tiết diện:
A=0,05×0,01=0,00005 m
2
; chu vi P=(0,05+0,01)×2=0,12m.
- Ma trận nhiệt dung [C] của phần tử thanh thẳ ng là

2
2
. 21
..
612
T
pi ij
PP
Vl ij j c lAN NN
C c N N dV c Adl
NN Nρ
ρρ 
  = = =  
 
∫∫

(B5.23)
Thay các trị số A= 0,00005; l = 0,05; c = 200.103; ρ= 2500; có

15
212500 200000 0.05 0.00005
...
6 12
416.6667 208.3333
208.3333 416.6667
CC
× ××
 = = =  


=

(B5.24)
- Ma trận độ cứng [K] với l=0.05;A =0.00005; P=0.12; k= 350; h=120;

15
1 1 2 1 0.5900 -0.2300
...
61 1 12 -0.2300 0.5900
Ak hPl
KK
l
  −
 === +=    
−   

(B5.25)
- Véc tơ phụ tải {f} với Ta=20; l=0.05;P=0.12;h=120;

{} {}
15
1 7.20
...
21 7.20
q
hPlT
ff

= = = =   


(B5.26)

1 2 3 4 5 6
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4

312. 312
Lắp ghép

416.67 208.33 0 0 0 0
208.33 833.34 208.33 0 0 0
0 208.33 833.34 208.33 0 0
0 0 208.
1
2
3
4
5
/
/
/
/33 833.34 208.33 0
/ 0 0 0 208.33 833.34 208.33
0 0 0 0 208.33 416.67
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂

 ∂∂

∂∂


∂∂

∂ 6
/
0,59 -0,23 0 0 0 0
-0,23 1,18 -0,23 0 0 0
0 -0,23 1,18 -0,23 0 0
0 0 -0,
τ








∂
+
1
2
3
4
5
6
7,20
14,40
14,4
23 1,18 -0,23 0
0 0 0 -0,23 1,18 -0,23
0 0 0 0 -0,23 0,59
T
T
T
T
T
T





= 
 
 
 
  
0
14,40
14,40
7,20











(B5.27)
Sử dụng rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn, có phương trình

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

(B5.28)
Trong đó
{}
p0
T
T
=
= [20;20;20;20;20;20]; {}
p
T
T
i=
= [200;20;20;20;20;20] (B5.29)
Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 120 s, ghi trong bả ng và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí  1 2 3 4 5 6
P=0 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000
P=1 200,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000 20,0000
P=2 169,7410 31,1008 17,8660 20,4108 19,9182 20,0303
P=3 145,9904 38,1960 17,1868 20,4090 19,9465 20,0108
P=4 127,1236 42,5063 17,3570 20,2261 20,0050 19,9845
P=5 111,9552 44,8906 17,9857 19,9924 20,0566 19,9679
P=6 99,6147 45,9536 18,8256 19,7766 20,0880 19,9641
P=7 89,4589 46,1208 19,7245 19,6099 20,0975 19,9708
P=8 81,0089 45,6911 20,5926 19,5022 20,0891 19,9837
P=9 73,9053 44,8744 21,3805 19,4516 20,0681 19,9989
P=10 67,8763 43,8176 22,0648 19,4506 20,0402 20,0132












1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
200
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4

313. 313
5.5. Dùng 5 phần tử bậc nhất có l = 0.1; r = 0.02; k = 420; h = 125; T a = 30.
- Ma trận nhiệt dung phần tử, với d = 0.04; l = 0.1; ρ = 8900; c = 400;
2
4
d
A
π
=


123
. 21
612
2 1 149,1213 74,56068900 400 0.1 0.0013
6 12 74,5606 149,1213
p
c lA
CCC
ρ 
  = = =   

× ××
= = 
 

(B5.30)
- Ma trận độ cứng và phụ tải mỗi phần tử, với d = 0.04; l = 0.1; P = π
d =0.1257; k =
420; h = 125; T
a = 30;

15
1 1 2 1 5,8015 -5,0161
...
61 1 12 -5,0161 5,8015
Ak hPl
KK
l
  −
 === +=    
−   


{} {}
15
1 23,5620
...
21 23,5620
L
hPlT
ff

= = = =   

(B5.31)
Lắp ghép được các ma trận nhiệt dung

149.12 74.56 0 0 0 0
74.56 298.24 74.56 0 0 0
0 74.56 298.24 74.56 0 0
0
C=

0 74.56 298.24 74.56 0
0 0 0 74.56 298.24 74.56
0 0 0 0 74.56 149.12













(B5.32)
Ma trận độ cứng và phụ tải toàn cục sau khi áp đặt điều kiện biên


{}
0
100000 40
0 11,6 5, 02 0 0 0 247, 768
0 5, 02 11,6 5, 02 0 0 47,12
;
0 0 5, 02 11,6 5, 02 0 47,12
0 0 0 5, 02 11,6 5, 02 47,12
0 0 0 0 5, 02 5, 8 23, 56
Kf
  
  
−
  
  −− 
= = 
−− 
 −−
 
−   

(B5.33)
Giải ra nhiệ t độ trong thanh ở thời điểm ban đầu:

1
00
40,0000
35,8009
33,4184
32,1063
31,4539
31,2567
TK f
−





= ∗= 





(B5.34)
khi nhiệt độ môi trường tăng lên 900C, phụ tải mỗi phần tử với l= 0.1; h = 125; T
a = 90;
thay đổ i là

{} {}
15
1 1 70.686125 0.1257 0.1 90
...
2211 70.686
L
hPlT
ff
  × ××
= = = = =    
  

314. 314
Phương trình đặc trưng toàn cục

149,12 74,56 0 0 0 0
74,56 298,24 74,56 0 0 0
0 74,56 298,24 74,56 0 0
0
1
0 74,56 298,24 74,56 0
0 0 0 74,56 298,24 74,56
0 0 0 0 74,56 149,12
T∂








2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
/
/
/
/
/
/
40,0000100000
30 11,6 5,02 0 0 0
0 5,02 11,6 5,02 0 0
0 0 5,02 11,6 5,02 0
0 0 0 5,02 11,6 5,02
0 0 0 0 5, 02 5,8
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂


−

−− 
+= 
−− 
 −−
 
−  
42,0120
141,3720
141,3720
141,3720
70,6860










(B5.35)
Sử dụng rời rạc thời gian theo phương pháp sai phân hữ u hạn, có phương trình

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

(B5.36)
Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 60 s, ghi trong bảng và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí 1 2 3 4 5 6
P=0 40,0000 35,8009 33,4184 32,1063 31,4539 31,2567
P=1 37,0920 43,9571 43,3088 42,4142 41,8610 41,6824
P=2 36,2536 48,6488 50,5959 50,6200 50,3526 50,2366
P=3 36,2217 51,7529 55,9156 57,0343 57,2004 57,1936
P=4 36,5203 53,9560 59,8598 62,0126 62,6656 62,7956
P=5 36,9398 55,5796 62,8297 65,8731 66,9948 67,2666
P=6 37,3817 56,8027 65,0925 68,8702 70,4072 70,8105
P=7 37,7999 57,7367 66,8308 71,2008 73,0880 73,6058
P=8 38,1746 58,4563 68,1739 73,0154 75,1899 75,8033
P=9 38,4996 59,0137 69,2157 74,4298 76,8355 77,5268
P=10 38,7756 59,4471 70,0258 75,5331 78,1228 78,8767












Bài toán vách trụ

5.6. Dùng phầ n tử một chiều bậc nhất: chia bề dày vách trụ thành bốn phần tử, 5 nút: 1,

1 2 3 4 5 6
30
40
50
60
70
80
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4

315. 315
2, 3, 4 và 5. Chiều dài mỗi phần tử là l = (60 – 40)/4 = 5 cm. Toạ độ 5 nút là: r 1 = 40 cm, r2
= 45 cm, r
3 = 50 cm, r4 = 55 cm, r5 = 60 cm.
Phương trình đặc trưng phần tử hình trụ
( )( )
( )( ) ( )
( )
1
12 12 12 1
2
22 2112 1 2
2
3 1 1 002
2 .. 2 .
12 2 1 1 013
0
2.
1
T
aa
A
T
rr rr rr Tlk
c rh
TT rrrr r r
hT N dS hT r
πτ
πρ π
τ
π
∂
 ++ +   −    ∂
 ++       
−∂ −++       

∂

= = 

∫

(B5.37)
Phân bố nhiệt độ ban đầu theo phương trình ổn định

( )
( )
12
1
22
221
1 1 00 02.
2. 2.
2 1 1 01 1
a
rr Tk
r h hT r
Trr
π
ππ
 +     −  
+=       
−−      
(B5.38)
Thay số được phương trình đặc trưng (bài 4.5)

1
2
3
4
5
1 0 0 0 0 80
0 282, 79 149,25 0 0 10683,2
0 149,25 314,21 164,96 0 0
0 0 164,96 345,63 180,67 0
0 0 0 180,67 218,37 754,08
T
T
T
T
T
  
  
−
  
 
 =−−  

 
−−
 

 
   
(B5.39)
Giải ra được
1
2
3
4
5
80,00
71,41
63,73
56,77
50,43
T
T
T
T
T



 
= 
 
 
 

(B5.40)
- Khi nhiệt độ môi trường tăng tớ i 800C bài toán là không ổn định.
- Ma trận nhiệt dung của phần tử vách trụ

( )( )
( )( )
12 12
12 1 2
3
2 ..
12 3
rr rrl
Cc
rr r r
πρ
++
 =

++

(B5.41)
Với r
1=0.4; r2 = 0.45; r3 =0.5; r4 = 0.55; r5 = 0.6; c = 900; r 0 =2000; k = 2.5; T a=20; h =
10, có

1
2
3
4
77755 40055
;
40055 82467
87179 44768
;
44768 91892
96600 49480
;
49480 101320
106030 54190
54190 110740
C
C
C
C

=


=


=


=

(B5.42)

316. 316
Ma trận nhiệt dung toàn cục

77755 40055 0 0 0
40055 169646 44768 0 0
0 44768 188492 49480 0
0 0 49480 207350
C=
54190
0 0 0 54190 110740








(B5.43)
Phụ tải nhiệt tại nút 5 thay đổ i, với T
a=80;

5
00
2.
1 3015.9
T
aa
A
hT N dS hT rπ

 = =   

∫

(B5.44)
Phương trình đặc trưng toàn cục

77755 40055 0 0 0
40055 169646 44768 0 0
0 44768 188492 49480 0
0 0 49480 207350
1
2
3
4
5
/
/
/
54190 /
0 0 0 54190 110740/
10 0 0 0
0 282,79 149,25 0 0
0 149,25 314,21 164,96 0
0 0 164,96 345,63 180,67
0 0 0 18
T
T
T
T
T
τ
τ
τ
τ
τ
∂∂

∂∂


 ∂∂


∂∂


∂∂ 
−
+ −−
−−
1
2
3
4
5
80
10683.,2
0
0
0,67 218,37 3015,9
T
T
T
T
T
  
  
  
 
 = 

 

 

 
   

(B5.45)
Nhiệt độ các thời điểm

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  

Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 600 s, ghi trong bả ng và đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí 1 2 3 4 5
P=0 80,0000 71,4100 63,7300 56,7700 50,4300
P=1 79,9920 71,4257 63,8301 57,5415 56,2122
P=2 79,9543 71,4996 64,2039 59,1554 59,3956
P=3 79,8640 71,6768 64,8463 60,7852 61,5811
P=4 79,7202 71,9602 65,6322 62,2784 63,2823
P=5 79,5378 72,3213 66,4746 63,6267 64,6987
P=6 79,3336 72,7276 67,3241 64,8479 65,9235
P=7 79,1210 73,1534 68,1541 65,9607 67,0077
P=8 78,9093 73,5807 68,9502 66,9801 67,9824
P=9 78,7042 73,9983 69,7055 67,9180 68,8677
P=10 78,5090 74,3995 70,4171 68,7835 69,6775

317. 317












5.7. Nhiệt dộ trong vách có nguồ n trong ban đầu xácđịnh theo trạng thái ổn định (bài 4.7)
từ phương trình

( )
12 21 12
1221
2( ) 2112
2( )2 6 11
i V
j
rr T qr r rrk
T rrrr
ππ
 +  −+−    
=     
+− −   
(B5.46)

1
2
3
4
5
6
22,0000
23,6199
24,1569
23,6913
22,2880
20,0000
T
T
T
T
T
T








 
= 
 
 
 



(B5.47)
Khi nhiệt độ mặt ngoài thay đổi, nhiệt độ trong vách tuân theo phương trình

( )( )
( )( ) ( )
( )
1
12 12 12 1
22 2112 1 2
21 12
12
3 112
2 ..
12 2 113
2( ) 2
26
V
T
rr rr rr Tlk
c
TT rrrr r r
qr r rr
rr
πτ
πρ
τ
π
∂
 ++ + −    ∂
 +     
−∂ −++     

∂
− +
= 
+

(B5.48)
Tính ma trận nhiệt dung phầ n tử, với r
1= 0.06; r2=0.065; r3=0.07; r4=0.075; r5=0.08;
r
6=0.085; k=2.5; q v=100000; c = 1200; r0 = 2200; l = r2-r1; thay vào được

1
2
3
4
5
1693,3 863,9
;
863,9 1762, 4
1831,6 933,1
;
933,1 1900, 7
1969,8 1002,2
;
1002,2 2038,9
2108, 0 1071,3
;
1071,3 2177,1
224
C
C
C
C
C

=


=


=


=

=

6,2 1140, 4
1140, 4 2315, 4



(B5.49)
1 2 3 4 5
45
50
55
60
65
70
75
80
85
Vi tri
Nhiet do (do C)
P=0
P=1
P=2
P=3
P=4

318. 318
Ma trận nhiệt dung, độ cứng, phụ tải tổng thể


1693,3 863,9 0 0 0 0
863,9 3594 933,1 0 0 0
0 933,1 3870,5 1002,2 0 0
0
C=

0 1002,2 4146,9 1071,3 0
0 0 0 1071,3 4423,3 1140,4
0 0 0 0 1140,4 2315,4










(B5.50)

196,35 -196,35 0 0 0 0
-196,35 408,408 -212,058 0 0 0
0 -212,058 439,824 -227,766 0
K=

0
0 0 -227,766 471,24 -243,4740 0
0 0 0 -243,474 502,656 -259,182
0 0 0 0 -259,182 259,182









;
{}
96,866
204,204
219,912
235,620
251,328
130,9
f





=




; {}
1
22,0
23.,6199
24,1569
23,6913
22,2880
0
P
T
=





=





Phương trình đặc trưng

1
2
3
4
5
5
/
1693,3 863,9 0 0 0 0
/863,9 3594 933,1 0 0 0
/0 933,1 3870,5 1002,2 0 0
0 0 1002,2 4146,9 1071,3 0 /
0 0 0 1071,3 4423,3 1140,4 /
0 0 0 0 1140,4 2315,4 /
196,35 196,
T
T
T
T
T
Tτ
τ
τ
τ
τ
τ∂∂


∂∂



 ∂∂
 
∂∂ 
 
∂∂
 
 ∂∂

−
+
1
2
3
4
5
6350000
196,35 408,408 212,058 0 0 0
0 212,058 439,824 227,766 0 0
0 0 227,766 471,24 243,474 0
0 0 0 243,474 502,656 259,182
0 0 0 0 259,182 259,182
96,866
204,204
219,9
T
T
T
T
T
T




−− 


 −− 
 
−− 
 −−
 
− 

=
12
235,620
251,328
130,900











(B5.51)

319. 319
Nhiệt độ các thời điểm

{} { } {} {}( )
1p1 p p1
T C K *CT fττ
−++
  = +∆ +∆
  
(B5.52)
Kết quả tính toán với 10 bước ∆τ = 5 s, ghi trong bảng và thể hiện trên đồ thị sau
Thời điểm  Vị trí 1 2 3 4 5 6
P=0 22,0000 23,6199 24,1569 23,6913 22,2880 20,0000
P=1 22,0000 23,6199 24,1569 23,6913 22,2880 0,00
P=2 22,7763 23,6361 24,1554 23,6113 18,7298 8,0260
P=3 23,2790 23,7752 24,1319 22,9536 17,8434 12,0101
P=4 23,6495 23,9422 24,0203 22,3827 17,8706 14,2858
P=5 23,9445 24,0900 23,8753 22,0103 18,1993 15,7676
P=6 24,1841 24,2074 23,7420 21,8112 18,6148 16,8393
P=7 24,3778 24,2988 23,6425 21,7396 19,0425 17,6761
P=8 24,5331 24,3721 23,5832 21,7572 19,4576 18,3656
P=9 24,6578 24,4351 23,5627 21,8361 19,8532 18,9557
P=10 24,7597 24,4933 23,5762 21,9571 20,2289 19,4752












Bài toán tam giác

5.8. Công thức tính ma trận nhiệt dung của phần tử tam giác











Hình B5.3. Hai phần tử tam giác trong chữ nhật
y


1 2
4 3
3 2
1
1 2
x
0
3
a
b

320. 320

2
1 12 13
2
21 2 23
2
31 3 2 3
.. ..
T
V
V
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ρρ


 = =
 


∫∫

(B5.53)
Với hàm nội suy của phần tử tam giác là

( )
( )
( )
1 11 1
2 22 2
3 33 3
1
;
2
1
;
2
1
2
N a bx cy
A
N a bx cy
A
N a bx cy
A
= ++
= ++
= ++

Trong đó các hệ số ai, bi, ci (i = 1,2,3) viết theo tọa độ cục bộ của mỗi tam giác:

1 2 3 32 2 3 1 13 3 12 21
1 23 2 31 3 1 2
1 32 2 13 3 21
;;


a x y - x y ; a x y - x y ; a x y - x y
b y - y ; b y - y ; b y - y
c x - x c x - x c x - x
= = =
= = =
= = =

(B5.54)
Tọa độ các nút toàn cục và cụ c bộ cuả 2 phần tử tam giác
Phần tử 1 2
Nút toàn cục 1 3 4 1 2 3
Nút cục bộ 1 2 3 1 2 3
Tọa độ nút
x 0 a 0 0 a a
y 0 b b 0 0 b

Các hệ số của hàm nội suy ghi trong Bảng 5.5
Các hệ số của hàm nội suy của tam giác 1
Phần tử 1
a
1 = x
2y
3–x
3y
2 = a.b–0.b = a.b a
2 = x
3y
1–x
1y
3 = 0.0–0.b = 0 a
3= x
1y
2–x
2y
1 = 0.b–a.0 = 0
b
1 = y
2–y
3 = b–b = 0 b
2 = y
3–y
1 = b–0 = b b
3 = y
1–y
2 = 0–b = –b
c
1 = x
3–x
2 = 0–a = –a c
2 = x
1–x
3 = 0–0 = 0 c
3 = x
2–x
1 = a–0 = a


Hàm nội suy của phần tử tam giác 1:

1
2
3
1
( ) 1 ;
1
( ) ;
1
()
y
N ab ay
ab b
x
N bx
ab a
yx
N bx ay
ab a b
= −=−
= =
= − + =−+

(B5.55)
Các số hạng trong ma trận nhiệt dung gồ m

321. 321

2
2
2
121 2
22
2
2 1322
22
2
2
3 22 23 2
2
111
1
2
y xyy yy x x
NNN
b a a abbb b
y y y xy yx xx
N NN
b ab ababab
xy yx y xyxx x
N NN
abab a a b ab a

=−=−=− =−+ 

  
= = − −+ =−++ −  
  

=−+ = −+ =− +

(B5.56)








Hình B5.4. Phầ n tử tam giác 1
Tính tích phân từng số hạng của các hàm nội suy trên trong tam giác, với lưu ý cận tích
phân theo hướng y là các đường y1, y2, xác định bởi các phương trình như trên hình 5.3
(1)
2 2
2
1
01 0
0
1. 1..
2 22
a
yaa
yb
b
yx
aAy
b x ab ab
dA dydx y dx bx ab
a=
= 
= = = − =−= 
 
∫ ∫∫ ∫

(2)
2
2 22
22 2
22
01 0 0 01
3
2
0
11
22 22
2 332
y
yaa a a
y y
a
y y b bb
dydx dx b x dx x dx
bb b aa
b b x ab
x
a
 
= =−=−  


=−=

∫∫ ∫ ∫ ∫

(3)
2
2
2
21
01 0 0 0
23
2
0
236
ya aa a
y
y
y
a
x x x b bx b
dydx y dx b x dx x dx
a a aa a a
b x b x ab
a a
  
= =−=−   
  

=−=

∫∫ ∫ ∫ ∫

(4)
222 2 2
2
3
2 2 2 231
01 0 0 0
34
23
0
3 4 12
ya aa a
y
y
y
a
x x x b bx b
dydx y dx b x dx x dx
aa a a aa
b x b x ab
aa

= =−=− 
 

=−=

∫∫ ∫ ∫ ∫

(5)
2
223 3
33
2 2 23
01 0 0 1
4
3
0
11
3 3
3 4 3 12 43
y
yaa a
y y
a
yy b
dydx dx b x dx
b b ba
b b x ab ab ab
x
a

= = − 


= − =−=

∫∫ ∫ ∫

0 a
x
b

y y
2 = b
x
a
b
y=
1

1
4 3

1
3 2

322. 322
(6)
2
2 2 2 24
22
23
01 0 0 1 0
2 2 22 4 8 2
ay
yaa a
y y
yyx x x b b x b x ab
dydx dx b x dx
a b ab ab a aa
  
= = −=− =   
  
∫∫ ∫ ∫


Tính tích phân các hàm nộ i suy và các tích của chúng
(7)
1
1
23 6
AA
y ab ab ab
N dA dA
b

= − =−=

∫∫

(8)
2
6
AA
x ab
N dA dA
a
= =∫∫
;
(9)
3
636
AA
yx ab ab ab
N dA dA
ab

= −+ =− + =

∫∫

(10)
2
2
1 2
2
12
2 3 4 12
AA
yy ab ab ab ab
N dA dA
bb

= −+ =− +=

∫∫

(11)
2
2
2 2
12
AA
x ab
N dA dA
a
= =∫∫

(12)
22
2
3 22
2
2
12 8 4 12
AA
xy yx ab ab ab ab
N dA dA
abab

= − + =− +=

∫∫

(13)
12
6 8 24
AA
xyx ab ab ab
N N dA dA
a ab

= − =−=

∫∫

(14)
2
13 2
6 3 8 4 24
AA
y xy yx ab ab ab ab ab
N N dA dA
a b ab b

=−++− =−++−=

∫∫

(15)
2
23 2
12 8 24
AA
xyx ab ab ab
N N dA dA
aba

=−+ =−+=

∫∫


Thay các kết quả trên vào (B5.53), được ma trận nhiệt dung của phần tử tam giác 1 là

2
1 12 13
2
21 2 23
1
2
31 3 2 3
.
211
. 121
24
112
T
PT
VV
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ab
c
ρρ
ρ


 = =
 




=



∫∫
(B5.57)

5.9. Phần tử tam giác 2, Hình 5.10. Tính các hệ số của hàm nội suy củ a tam giác 2, B ảng
5.6
Bảng 5.6. Các hệ số của hàm nội suy của tam giác 2
Phần tử 2
a
1 = x
2y
3–x
3y
2 = a.b–a.0 = a.b a
2 = x
3y
1–x
1y
3 = a.0–0.b = 0 a
3 = x
1y
2–x
2y
1 = 0.0–a.0 = 0
b
1 = y
2–y
3 = 0–b = –b b
2 = y
3–y
1 = b–0 = b b
3 = y
1–y
2 = 0–0 = 0
c
1 = x
3–x
2 = a–a = 0 c
2 = x
1–x
3 = 0–a =–a c
3 = x
2–x
1 = a–0 = a

323. 323







Hình B5.5.
Hàm nội suy của phần tử tam giác 2:

1
2
3
1
( ) 1 ;
1
( ) ;
1
()
x
N ab bx
ab a
yx
N bx ay
ab a b
y
N ay
ab b
= −=−
= −=−
= =

(B5.58)

Công thức nhiệt dung của phần tử tam giác

2
1 12 13
2
21 2 23
2
2
31 3 2 3
T
PT
VV
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ρρ


 = =
 


∫∫

(B5.59)

Tính các số hạng trong móc vuông của ma trận nhiệt dung: từ (B5.58) có

2
22
2
1 12 22
22
2
2 13 22
2
2
3 23 2
2
11 1
2
1

y y xyx xx x x x x
N NN
a a a ab ab abaa
xy y y y xyxx
N NN
ab a b b abab
yy x
N NN
abb
 
= − =− + = − − =−− +  
  

=−+ =− =− 


= = − 

2
2
y xy y
b abb
= −
(B5.60)

Tính các thành phần trong số hạng trên căn cứ vào tích phân trong tam giác









Hình B5.6. Phương trình của cận tích phân theo hướng y trong ph ần tử 2
0 a
x
b
y
1
4 3
3
1 2 2

0 a
x
b

y
y
1 = 0
x
a
b
y=
2

1
4 3
3
1 2 2


324. 324
(1)
2 2
2
1
01 0 0
0
1. ( - 0)
22
a
ya aa
y
y
Ay
b b x ab
dA dydx y dx x dx
aa

= = = = =

∫ ∫∫ ∫ ∫

(2)
2
2 2 23
22
2 22
01 0 0 0 01
11
2 2 36 22
y a
yaa a a
y y
yy b b b x ab
dydx dx x dx x dx
bb b a aa

= = = = = 

∫∫ ∫ ∫ ∫

(3)
2 3
2
2
221
01 0 0 0
0
33
a
ya aa a
y
y
y
x x x b b b x ab
dydx y dx x dx x dx
a a aa aa

= = = = = 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫

(4)
222 2 4
2
3
22 2 3 3 1
01 0 0 0
0
44
a
ya aa a
y
y
y
x x x b b b x ab
dydx y dx x dx x dx
aaa a a a
  
= = = = =   
   
∫∫ ∫ ∫ ∫

(5)
2
223 34
33
2 2 23 3 3
01 0 0 0 1 0
11
3 4 12 3 33
ay
yaa a a
y y
yy b b b x ab
dydx dx x dx x dx
b b ba a a
  
= = = = =   
  
∫∫ ∫ ∫ ∫

(6)
2
2 2 24
23
2 33
01 0 0 0 1 0
2 2 48 22
ay
yaa a a
y y
yyx x x b b b x ab
dydx dx x dx x dx
a b ab ab a aa
   
= = = = =    
  
∫∫ ∫ ∫ ∫

Các số hạng của ma trận nhiệt dung
(7)
2
2
1 2
2
12
2 3 4 12
AA
x x ab ab ab ab
N dA dA
aa

= −+ =− +=

∫∫

(8)
22
2
2 22
2
2
4 8 12 12
AA
xy yx ab ab ab ab
N dA dA
abab

= − + =− +=

∫∫

(9)
2
2
3 2
12
AA
y ab
N dA dA
b
= =∫∫

(10)
2
12 2
3 6 4 8 24
AA
y xyx x ab ab ab ab ab
N N dA dA
a b aba

= −+−+ =−−+=

∫∫

(11)
13
6 8 24
AA
xyx ab ab ab
N N dA dA
a ab

= − =−=

∫∫

(12)
2
23 2
8 12 24
AA
xy y ab ab ab
N N dA dA
abb

= − =−=

∫∫

Thay các kết quả trên vào (B5.59) có ma trận nhiệt dung phần tử 2

2
1 12 13
2
21 2 23
2
2
31 3 2 3
211
. 121
24
112
T
PT
VV
N NN NN
C c N N dV c N N N N N dV
NN NN N
ab
c
ρρ
ρ


 = =
 




=



∫∫
(B5.61)
So sánh (B5.61) với công thức tính ma trận nhiệt dung của tam giác 1 (B5.57), thấy dù
hai tam giác có định hướng khác nhau nhưng có ma trận nhiêt dung như nhau.

325. 325
Phần tử tam giác trong tọa độ quy chiếu

5.10. Phần tử tam giác 1








Hình B5.7. Phầ n tử tam giác  trong tọa độ gốc x,y (a), và tọa độ quy chiếu ξ,η (b)
Các hàm nội suy của tam giác 1 trong tọa độ gốc (x,y) đã biết ở trên:

1 23
1; ;
yy xx
N NN
b a ab
=− = =−+ (B5.62)
Khi chuyển tam giác sang tọa độ quy chiếu,t ọa độ các nút trong hệ tọa độ gốc và hệ
tọa độ quy chiếu như sau
Bảng 5.13. Tọa độ các nút cụ c bộ trong tọa độ gốc và tọa độ quy chiếu
Nút cục bộ 1 2 3
Tọa độ gốc
(x,y)
x
1 y
1 x
2 y
2 x
3 y
3
0 0 a b 0 b
Tọa độ quy chiếu
(η,ξ)
η
1 ξ
1 η
2 ξ
2 η
3 ξ
3
0 0 0 1 1 0

1. Các hàm nội suy theo biến ζ, η trong tọa độ quy chiếu
- Diện tích tam giác

11
22
33
1 100
2 1 110 1
1 101
Aξη
ξη
ξη  
  
= = =
  
  
  

vậy
1
2
A= (B5.63)
Các hệ số của hàm nội suy cũng vẫ n được xác định theo công thứ c chung như trong
tọa độ gốc
Từ
1 2 3 32 2 3 1 13 3 12 21
; ; a xy xy a xy xy a xy xy=− =−=− có

1 23 32
2 3 1 13
3 12 21
1.1 0.0 1;
0.0 0.1 0;
0.0 1.0 0
a
a
aξη ξη
ξη ξη
ξη ξη= − =−=
= − =−=
= − =−=
(B5.64)
Từ
1 2 3 2 31 3 1 2
; ;

b y y b y y b y y=− =−=− có

1 23
2 31
3 12
0 1 1;
1 0 1;
00 0
b
b
b
ηη
ηη
ηη
= − = −=−
= − =−=
= − =−=
(B5.65)
Từ
1 32 2 13 3 21
; ;

c x x c x x c x x=−=− =− có
x
0 a
b

y
1
4 3

1
3 2
(a)
η
ξ
1
3
4
ξ =1
η =1
1 2
3
(b)

326. 326

1 32
2 13
3 21
0 1 1;
0 0 0;
10 1


c
c
c
ξξ
ξξ
ξξ
= − = −=−
= − =−=
= − =−=
(B5.66)
Vậy các hàm nội suy theo biến ξ, η là

1 11 1
2 22 2
3 33 3
1
1;
2
1
;
2
1
2
N ab c
A
N ab c
A
N ab c
A
ξ η ςη
ξ ης
ξ ηη= + + =−−

= ++ =

= ++ =

(B5.67)

2. Đạo hàm của hàm nộ i suy theo biến quy chiếu

11
22
33
1; 1
1; 0
0; 1
NN
NN
NN
ξη
ξη
ξη
∂∂
=−=−
∂∂
∂∂
= =
∂∂
∂∂
= =
∂∂

(B5.68)

3. Phép biến đổi từ biến x,y sang biến ξ,η
Quan hệ hàm số x = x (ξ,η) và y = y (ξ,η) được xác định theo nguyên tắc hàm nội suy
tọa độ (2.92)

1 12 2 3
1 12 2 3
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
k
k
x N xyx N xyx N xyx
y N xyy N xyy N xyy
=++
=++

(B5.69)
Trong đó N
1(x,y), N2(x,y) và N3(x,y) là hàm nội suy tọa độ cũng là hàm nội suy nhiệt
độ trong tọa độ gốc. Nhưng giả sử hàm nội suy nhiệt độ trong tọa độ gốc chưa biết, mà chỉ
biết hàm nội suy trong tọa độ quy chiếu N
i(ξ,η), N j(ξ,η) và N k(ξ,η) thì thay các hàm nộ i
suy đó vào công thức trên. Khi đó x và y là hàm của ξ và η như công thức (B5.69):

1 12 23 3
1 12 23 3
(,) (,) (,) (,)
(,) (,) (,) (,)
x N xN xN x
y N yN yN y
ξη ξη ξη ξη
ξη ξη ξη ξη
=++
=++

(B5.70)
Từ trên xác định được các hàm x và y theo biến ξ và η

( , ) (1 ).0 ( ) ( )0
( , ) (1 ).0 ( ) ( )
x aa
y b bb b
ξη ξ η ξ η ξ
ξη ξ η ξ η ξ η
= −− + + =
= −− + + = +

Vậy có phép biến đổi từ biến gốc x,y sang biến quy chiếu mới ξ,η là

(,)
(,) b
xa
yb
ξη ξ
ξη ξ η
=
= +

(B5.71)
Kiểm tra lại:
Nút 1 trong tọ a độ quy chiế u ξ = 0, η = 0 → x = 0, y = 0, chính là nút 1 trong tọ a độ gốc
Nút 2 trong tọa độ quy chiếu ξ = 1, η = 0 → x = a, y = b; chính là nút 2 trong tọa độ gốc
Nút 3 trong tọa độ quy chiếu ξ = 0, η = 1 → x = 0, y = b; chính là nút 3 trong tọa độ gốc

4. Tính Jacobien J

327. 327
Công thức tính J đã biết trong chương 2

yx
J
yx
ξξ
ηη
∂∂

∂∂
=
∂∂

∂∂

(B5.72)
Do quan hệ x = x (ξ,η) và y = y (ξ,η) đã biết trong (B5.71) nên tính đạ o hàm sẽ được
Jacobien

0
xx
a
J
y y bbξη
ξη
∂∂

∂∂
= = 
∂∂ 

∂∂

(B5.73)
Cũng có thể tính J theo cách khác khi không biết mối quan hệ x = x (ξ,η) và y = y
(ξ,η) như sau.
Từ (B5.70) lấy đạo hàm của x và y lần lượt theo ξ và η

312
123
(,)(,) (,)(,) NNNx
xxx
ξηξη ξηξη
ξξ ξ ξ
∂∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂

(B5.74)

312
123
(,)(,) (,)(,) NNNx
xxx
ξηξη ξηξη
ηη η η
∂∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂

(B5.75)

312
123
(,)(,) (,)(,) NNNy
yyy
ξηξη ξηξη
ξξ ξ ξ
∂∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂

(B5.76)

312
123
(,)(,) (,)(,) NNNy
yyy
ξηξη ξηξη
ηη η η
∂∂∂∂
=++
∂∂ ∂ ∂

(B5.77)
Từ đó có công thức tính Jacobien sau

33
11
33
11
(,) (,)
(,) (,)
ii
ii
ii
ii
ii
ii
NNxx
xx
J
yy N N
yy
ξη ξη
ξη ξ η
ξη ξη
ξη ξη
= =
= =
∂∂∂∂

∂∂ ∂ ∂
= =
∂∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂ 
∑∑
∑∑

(B5.78)
Với tam giác trên có:
x
1 = 0, x2 = a; x3 = 0;
y
1 = 0; y2 = b; y3 = b
Với các hàm nộ i suy theo η , ξ:

1 23
1 ; ; N NNξη ξ η=−− = =

(B5.79)
Từ (B5.79) có các đạo hàm

312
312
1; 1; 0;
1; 0; 1
NNN
NNN
ξ ξξ
η ηη
∂∂∂
=−= =
∂ ∂∂
∂∂∂
=−= =
∂ ∂∂

(B5.80)

328. 328
Thay (B5.80) vào (B5.74),(B5.75), (B5.76), (B5.77) được:

( 1).0 1. 0.0
x
aa
ξ
∂
=− ++ =
∂

(B5.81)

( 1).0 0. 1.0 0
x
a
η
∂
=−++=
∂

(B5.82)
( 1).0 1. 0.
y
b bb
ξ
∂
=− ++ =
∂

(B5.83)

( 1).0 0. 1.
x
b bb
η
∂
=−++=
∂
(B5.83)
Từ đó cũng có Jacobien như (B5.73):

0
xx
a
J
y y bbξη
ξη
∂∂

∂∂
= = 
∂∂ 

∂∂

(B5.85)
5. Tính các đạo hàm của hàm nội suy trong tọa độ gốc (x,y) theo tọa độ quy chiếu
Công thức đạo hàm theo biến gốc x,y của hàm nội suy

1
ii
i i
NN
x
J
N N
y
ξ
η
−
∂∂

∂ ∂
= 
∂ ∂
 
 ∂ ∂ 

(B5.86)
Định trị của Jacobien

0
det det
a
J ab
bb

= =


(B5.87)
Nghịch đảo của Jacobien

1 11
0det
yy
bb
J
ab axxJηξ
ηξ−
∂∂
−

−∂∂
= =
∂∂ −
∂∂

(B5.88)
Theo (B5.86) sẽ có

11
1 1
1 ( 1) ( )( 1)1 11
0 0 1 0( 1) ( 1)
01
NN
bb bb b bx
N ab ab ab aN a a
y
aba
ξ
η
∂∂

  − − − − +− −∂ ∂
= = =     
∂ ∂ − −+−   
 ∂ ∂ 

=
−

(B5.89)

22
2 2
1 (1) ( ).01 11 1
0 0 0 0( 1) .0 0
NN
bb bb b b bx
N ab ab ab ab aN a a
y
ξ
η
∂∂

      − − +−∂ ∂
= = = =        
∂ ∂ −+       
 ∂ ∂ 
(B5.90)

329. 329

33
3 3
0 .0 ( ).11 11 1
0 0 1 0.0 .1
NN
bb bb b b bx
N ab ab ab ab aN a a a
y
ξ
η
∂∂

    − − +− −∂ ∂
= = = =      
∂ ∂+     
 ∂ ∂ 
(B5.91)
Vậy đạo hàm của hàm nộ i suy [B]

312
312
01
0
NNN
bbxxx
B
NNN abaa
yyy
 ∂∂∂

 −∂∂∂
= =
 ∂∂∂ −

∂∂∂

(B5.92)
Cuối cùng có thành phần [B]T[B] trong ma trận độ cứng của tam giác

22
22
22
2 222
00
011 1
00
0
T
a aa
bb
BB b b b
ab ab aa ab
ba a b a b
−−
 − 
 = = − 
− − −− +
 

(B5.93)
So sánh (B5.93) với (5.140) thấ y kết quả tính
T
BB

như nhau.

5.11. Chuyể n sang tọa độ quy chiếu








Hình B5.8. Phầ n tử tam giác  trong tọa độ gốc (x,y) và tọa độ quy chiếu.( ζ,,η)

- Tọa độ các nút trong hệ tọa độ gốc và hệ tọa độ quy chiếu
Bảng 5.14. Tọa độ các nút cục bộ của tam giác 2 trong hệ tọa độ gốc và hệ tọa độ
quy chiếu


1. Các hàm nội suy theo biến ζ, η trong tọa độ quy chiếu
- Diện tích tam giác: các tọ a độ quy chiế u giống tam giác 1 nên diện tích tam giác cũng
vậy:
Nút cục bộ 1 2 3
Tọa độ gốc (x,y)
x
1 y
1 x
2 y
2 x
3 y
3
0 0 a 0 a b
Tọa độ quy chiếu (ξ,η)
ξ
1 η
1 ξ
2 η
2 ξ
3 η
3
0 0 1 0 0 1
0 a
x
b

y
1
4 3
3
1 2 2

η
ζ 1
2
3
ζ =1
η =1
1 2
3


330. 330

11
22
33
1 100
2 1 110 1
1 101
Aξη
ξη
ξη  
  
= = =
  
  
  

vậy
1
2
A=

(B5.94)
Các hàm nội suy cũng giống như hàm nội suy của tam giác 1:

1 23
1 ; ; N NNξη ξ η=−− = = (B5.95)

2. Đạo hàm các hàm nội suy

11 2
332
1; 1; 1;
0; 0; 1
NN N
NNN
ξη ξ
ηξ η
∂∂ ∂
=−=− =
∂∂ ∂
∂∂∂
= = =
∂∂ ∂
(B5.96)

3. Phép biến đổi
Xác định x, y theo biến quy chiếu, theo công thức:

1 12 23 3
1 12 23 3
(,) (,) (,) (,)
(,) (,) (,) (,)
x N xN xN x
y N yN yN y
ξη ξη ξη ξη
ξη ξη ξη ξη
=++
=++

(B5.97)
Thay các trị số tọa độ xi, yi ( i = 1,2,3) trong B ảng 5.14 vào (B5.97), từ đó xác định
được các hàm x và y theo biến ξ và η

( , ) (1 ).0 ( ) ( ) . .
( , ) (1 ).0 ( )0 ( ) .
x a a aa
y bbξη ξ η ξ η ξ η
ξη ξ η ξ η η= −− + + = +
= −− + + =

Vậy phép biến đổi là
(,) ; (,)x a ay bξη ξ η ξη η=+=

(B5.98)
Thực vậy:
Nút 1 trong tọa độ quy chiếu ξ
1 = 0, η 1 = 0 → x = 0, y = 0 chính là nút 1 trong tọa
độ gốc x,y
Nút 2 trong tọa độ quy chiế u ξ
2 = 1, η 2 = 0 → x = a, y = 0 chính là nút 2 trong tọ a
độ gốc
Nút 3 trong tọa độ quy chiế u ξ
3 = 0, η 3 = 1 → x = a, y = b chính là nút 3 trong tọ a
độ gốc








Hình B5.9. Từ phần tử tam giác  trong tọa độ tọa độ quy chiếu (ζ,,η), suy ra
tam giác trong tọa độ gốc (x,y)
4. Jacobien của phép biến đổi tam giác 2.
Đạo hàm (B5.98) có
0 a
x
b

y
1
4 3
3
1 2 2

η
ζ
1
2
3
ζ =1
η =1
1 2
3


331. 331

0
yx
a
J
y abxξξ
ηη
∂∂

∂∂
= = 
∂∂ 

∂∂

(B5.99)
Định trị của J: det [J] = ab
Nghịch đảo của J

1 011
det
yy
b
J
abaaxxJ
ηξ
ηξ
−
∂∂
−

∂∂
= = 
 −∂∂ −
∂∂

(B5.100)
5. Đạo hàm của hàm nội suy trong tọa độ gốc (x,y) theo tọa độ quy chiếu

1 01
iii
i ii
NNN
bx
J
N abN aa N
y
ξξ
ηη−
 ∂∂∂
 
∂∂  ∂
= =   
∂ ∂ −∂   
  ∂ ∂∂  

(B5.101)
Cụ thể

11
1 1
0 0 1 ( 1) 0( 1)1 11
1 ( )( 1) ( 1)
1
0
NN
b bbx
N ab ab abaa N aa a a
y
b
abξ
η
∂∂

   − −+−∂ ∂
= = =     
∂ − ∂ − − − −+−   
 ∂ ∂ 
−
=


(B5.102)

22
2 2
0 0 1 .1 0.011 1
0 .1 .0
NN
b bb bx
N ab ab abaa N aa a a a
yξ
η
∂∂

   +∂ ∂
= = = =     
∂ − ∂ − −+ −   
 ∂ ∂ 
(B5.103)

33
3 3
0 0 0 .0 0.1 01 1 11
1 .0 .1
NN
b bbx
N ab ab ab abaa N aa a a a
y
ξ
η
∂∂

       +∂ ∂
= = = =        
∂ − ∂ − −+       
 ∂ ∂ 
(B5.104)
Ma trận [B]:

312
312
01
0
NNN
bbxxx
B
NNN ab aa
yyy
 ∂∂∂

−∂∂∂
= = 
 ∂∂∂ −

∂∂∂
(B5.105)
Cuối cùng thành phần [B]T[B] của ma trận độ cứng

()
22
222 2
2
22
00
011 1
0
00
T
b bb
bb
B B b a bba a
ab ab aa
ab
a aa
−−
− 
 = − = − +−  
−  −
 
(B5.106)

332. 332
So sánh (B 5.106) với (5.152) thấ y kết quả tính
T
BB

như nhau.
Từ trên cho thấy, để xác định thành phần của ma trận độ cứng của tam giác có thể
không cần xác định hàm nội suy trong tọa độ gốc, mà xác định trong tọa độ quy chiếu.

Phần tử chữ nhật

5.12. Công thức tính ma trận nhiệt dung của phần tử chữ nhật

1
2
1234
3
4
2
1 12 13 14
2
21 2 23 2 4
2
31 3 2 3 3 4
2
41 4 2 43 4
. ..
..
T
VV
V
N
N
C c N N dV c N N N N dV
N
N
N NN NN NN
NN N NN NN
c dV
NN NN N NN
NN NN NN N
ρρ
ρ



   = =
   





=



∫∫
∫

(B5.107)
- Tính
2
00
ba
i
N dxdy∫∫
:

()()
22
2 2 22 2
1 22 22
22 2 22 2 2 22 2 22
22
11
(2 )(2 )
1
(2 242 2 )
N a x b y a ax x b by y
ab ab
a b ab x b x a by abxy byx a y axy x y
ab
= − −= −+ −+
= −+−+−+−+


3
2 2 22 23
2 22 2 2 2
2200
3 23 33
2
33 33 33 33 3 3
33 33 33 33
22
1
(2 2 4 2
2 3 2 22 23
2)
3 23 33
1
=( )
3 3 3 3 33 9ba
i a a b ab ba
N dxdy a b ab ab b b b a b a ab b
ab
b ab ab
a aa
ab ab ab ab a b ab
ab ab ab ab
ab
= − +− + −
+− +
−+ −+− + − + =
∫∫

Vậy có

2
00
9
ba
i
ab
N dxdy=∫∫

(1)
- Tính
12
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()()
2
2 2 22 2 22
12 22 2211
(2 2 )N N a x x b y ab x abxy axy b x byx x y
ab ab
= − −= − + − + −
nên

12
00
18
ba ab
N N dxdy=∫∫

(2)
- Tính
13
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()()
2 2 22
13 22 22
11
()N N a x b y xy abxy bx y axy x y
ab ab
= −− = −−+ nên

13
00
36
ba ab
N N dxdy=∫∫
(3)

333. 333
- Tính
14
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()()()
2 2 22 2 22
14 22 2211
(2 2 )N N a x b y a x y a by abxy bx y a y axy x y
ab ab
= − − −= − + − + −
nên

14
00
18
ba ab
N N dxdy=∫∫

(4)
- Tính
2
2
00
ba
N dxdy∫∫
; do ()
2
2 22 2 22
2 22 2211
(2 )N xb y bx bxy xy
ab ab
= −= − +

nên

2
2
00
9
ba ab
N dxdy=∫∫
(5)
- Tính
23
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()
2 22
23 22 2211
()NN xb yxy bxy xy
ab ab
= −= −
nên

23
00
18
ba ab
N N dxdy=
∫∫
(6)
- Tính
24
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()
2 2 22
24 22 2211
() ( )N N b y x a x y abxy axy bx y x y
ab ab
= − −= − − +
nên

24
00
36
ba ab
N N dxdy=∫∫
(7)
- Tính
2
3
00
ba
N dxdy∫∫
; do
()
2
2 22
3 22 22
11
()N xy x y
ab ab
= = nên

2
3
00
9
ba ab
N dxdy=∫∫
(8)
- Tính
24
00
ba
N N dxdy∫∫
; do
()
2 22
34 22 22
11
()N N xy a x y axy x y
ab ab
= −= − nên

24
00
18
ba ab
N N dxdy=
∫∫
(9)
- Tính
2
4
00
ba
N dxdy∫∫ ; do

2
2 22 2 22
4 22 22
11
() ( 2 )N a x y a y axy x y
ab ab
= −= −+

nên

2
4
00
9
ba ab
N dxdy=
∫∫
(10)
Thay các kế t quả tích phân (1), (2),...(9), (10) ở trên vào (B5.109) nhận được công thứ c
sau

334. 334

4212
2421
.. ..
361242
2124
T
V
ab
C c N N dV cρρ



   = =
   



∫
(B5.108)

5.13. Số hạng đối lưu trong ma trận độ cứng phần tử chữ nhật

2
1 12 13 14
2
21 2 23 2 4
2 2
31 3 2 3 3 4
2
41 4 2 43 4
T
SS
N NN NN NN
NN N NN NN
K h N N dS h dS
NN NN N NN
NN NN NN N



= =
 


∫∫
(B5.109)
a. Đối lưu trên cạnh 12:
Cạnh 12 có y = 0, x = 0 ÷ a, nên

3
0;
xy
N
ab
= = ()
4
0
y
N ax
ab
= −=
Bởi vậy:

2
1 12
2
21 2
2
0
00
00
0 0 00
0 0 00
aT
a
S
N NN
NN N
K h N N dS h dx



= =
 


∫∫
(B5.110)
Với y = 0 thì (1) trở thành
2 22 2 22
1 221
(2 )N ab abx bx
ab
= −+
; và

23
2 22 2 2
1 220
1
(2 )
2 33
a a aa
N dx a b a ab b
ab
= − +=∫
(1)
(3) trở thành
2 22
12 221
()NN abx bx
ab
= −
; và

23
22
12 220
1
()
2 36a a aa
N N dx ab b
ab
= −=
∫
(2)
(9) là
2
2
2 2
x
N
a
=; và

3
2
2 20
33
a aa
N dx
a
= =
∫
(3)
Vậy
2
2100
1200
60000
0000
a
ah
K



=




(B5.111)

b. Đối lưu trên cạ nh 23:
Cạnh 23 có x = a, y = 0 ÷ b, nên
()()
1
1
0N axby
ab
= − −= ; ()
4
0
y
N ax
ab
= −=

335. 335
Bởi vậy

2
2 23
2 2
0
32 3
00 00
00
00
00 00
bT
b
S N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =




∫∫

(B5.112)
Với x = a thì (9) trở thành
22 2
2 2
1
(2 )N b by y
b
= −+ ; và

23
22
2 20
1
(2 )
23 3
b bb b
N dy b b b
b
= − +=∫

(4)
(1) trở thành
2
23 2
1
()N N by y
b
= − ; và

23
23 20
1
()
23 6
b bb b
N N dy b
b
= −=∫

(5)
(5) trở thành
2
2
3 2
y
N
b
=
; và
3
2
3 20
33
b bb
N dy
b
= =
∫
(6)
Nên

2
0000
0210
60120
0000
b
bh
K



=




(B5.113)

c. Đối lưu trên cạnh 34:
Cạnh 34 có y = b, x = 0 ÷ a, nên ()()
1
1
0N axby
ab
= − −= ; ()
2
0
x
N by
ab
= −=
Bởi vậy

22
0
3 34
2
43 4
00 0 0
00 0 0
00
00
aT
c
S
K h N N dS h dx
N NN
NN N



= =
 


∫∫

(B5.114)
Với y = b, (15) trở thành ()
2
2
2
3 22 2
1 x
N xy
ab a
= =; và

3
2
3 20
33
a aa
N dx
a
= =
∫

(7)
(7) trở thành
2
34 21
()N N ax x
a
= −
; và

23
34 20
1
()
23 6
a aa a
N N dx a
a
= −=∫
(8)

336. 336
(9) trở thành
22 2
4 2
1
(2 )N a ax x
a
= −+ ; và

23
22
4 20
1
(2 )
23 3a aa a
N dx a a a
a
= − +=
∫

(9)

2
0000
0000
60021
0012
c
ah
K



=




(B5.115)

d. Đối lưu trên cạ nh 41:
Cạnh 41 có x = 0, y = 0 ÷ b, nên
()
2
0
x
N by
ab
= −= ;
3
0;
xy
N
ab
= =

2
1 14
2
0
2
41 4
00
0 00 0
0 00 0
00
bT
d
S
N NN
K h N N dS h dy
NN N



= =
 


∫∫

Với x = 0; (1) trở thành
22 2
1 21
(2 )N b by y
b
= −+
;và

23
22
1 20
1
(2 )
23 3
b bb b
N dy b b b
b
= − +=∫

(10)
(7) trở thành
2
14 21
()N N by y
b
= −
; và

23
14 20
1
()
23 6b bb b
N N dy b
b
= −=
∫

(11)
(9) trở thành
2
2
4 2
y
N
b
=; và
3
2
4 20
33
b bb
N dy
b
= =
∫
(12)

2
2001
0000
60000
1002
d
hb
K



=




(B5.116)

337. 337

Tài liệu tham khảo
[1]. Roland W. Lewis, Perumal Nithiarasu, Kankanhalli N. Seetharamu. Fundamentals
of the Finite Element Method for Heat and Fluid Flow. John Wiley & Sons, 2004.
[2]. R.W. Lewis, K. Morgan. H.R. Thomas, K.N.Seetharamu. The Finite Element
Method in Heat Transfer Analysis. John Wiley & Sons, 1996.
[3]. J. Chaskalovic. Finite Element Methods for Engineering Sciences. Springer, 2008.
[4]. Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott. The Mathematical Theory of Finite
Element Methods. Springer, 2008.
[5]. J.N. Reddy. An Introduction to The Finite Element Method - Solutions manual.
McGraw—Hill, New York, 2006.
[6]. J.P. Holman. Heat Transfer. MrGRAW-Hill.Inc, 1997.
[7]. Nguyễn Bốn. Các phương pháp tính truyền nhiệt. Bài giả ng cao học ĐHBK Đà
Nẵng, 2001
[8]. Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa. Phương pháp phần tử hữu hạn. Nxb Khoa học và
Kỹ thuật, 2007.
[9]. Trịnh Văn Quang. Phương pháp PTHH trong Truyền nhiệt. Bài giảng Cao học Cơ
khí ĐHGT, 2009.
[10]. Trịnh Văn Quang. Khảo sát trạng thái nhiệt kết cấu bêtông khối dạng hộp bằng
PP PTHH. Đề tài NCKH cấp Cơ sở, nghiệm thu 2010.
[11]. Trịnh Văn Quang. Khảo sát trạng thái nhiệt mặt đường bê tông xi măng bằng PP
PTHH. Tạp chí Cầ u đường Việt nam, số 12-2009.
[12]. Khảo sát trường nhiệt độ vật nung trong quá trình nung. Đề tài hướng dẫn sinh
viên NCKH đạt giải Vifotec và giải của Tổ chức Sở hữu trí tuệ thế giới WIPO - 2005.
[13] Trịnh Văn Quang.
Khảo sát biến dạng nhiệt của cấu kiện bê tông khối lớn
trong thời kỳ xây dựng
. Tạp chí Cầu đường Việt Nam, số 10,11- 2004
[14]. Trịnh Văn Quang. Đánh giá trạng thái nhiệt áo đường bêtông bằ ng phương pháp
số Tạp chí Cầu đường Việt nam, số 10-2002.
[15]. С.А.Фрид. температурные напряжения в бетонных и железобетонных
конструкциях гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое
издтелЬство. Москва 1959.
[16]. Trịnh Văn Quang. Kỹ thuật nhiệt dành cho sinh viên ngành công trình. Nxb Khoa
học Kỹ thuật, 2007.