C.T. 6 Planos en tres coordenadas del algebra lineal

Un plano en el espacio tridimensional se puede describir de varias maneras equivalentes. A continuación se presentan las formulaciones más comunes y útiles, con ejemplos y propiedades clave.

1. PLANOS EN TRES COORDENADAS
ING. AMBIENTAL

2. Fundamentos Matemáticosde la
Ingeniería
2
Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal
consistió en resolver sistemas de consistió en resolver sistemas de mm ecuaciones lineales con ecuaciones lineales con nn
incógnitas, comenzaremos este curso estudiando la estructura incógnitas, comenzaremos este curso estudiando la estructura
de de espacio vectorialespacio vectorial..
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos
con otros (por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un con otros (por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un
número real:número real:
Pero,Pero, ¿qué es un vector libre del plano?¿qué es un vector libre del plano?
Definimos como el conjunto de vectores con . Definimos como el conjunto de vectores con .
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo, vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,
para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza, para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector
no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y
“dirección”.“dirección”.

3. Fundamentos Matemáticosde la
Ingeniería
3
Tanto en Física como en Tanto en Física como en
Ingeniería un vector se Ingeniería un vector se
caracteriza por dos magnitudes caracteriza por dos magnitudes
(longitud y dirección) y se (longitud y dirección) y se
representa por un segmento representa por un segmento
recto dirigido. Un vector en el recto dirigido. Un vector en el
plano puede ubicarse en plano puede ubicarse en
diferentes lugares. Sin diferentes lugares. Sin
embargo, con independencia de embargo, con independencia de
dónde esté situado, si la dónde esté situado, si la
longitud y dirección no varían longitud y dirección no varían
se trata del mismo vector.se trata del mismo vector.
El conjunto de los vectores libres del plano El conjunto de los vectores libres del plano (( )) es sólo un es sólo un
ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos
que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por números que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por números
reales, y que además satisfacen unas mismas propiedades. reales, y que además satisfacen unas mismas propiedades.
Este ejemplo de los vectores libres del plano (o el de los Este ejemplo de los vectores libres del plano (o el de los
vectores libres del espacio) es importante porque su vectores libres del espacio) es importante porque su
representación geométrica ayuda a entender la definición representación geométrica ayuda a entender la definición
general de vector.general de vector.

4. Fundamentos Matemáticosde la
Ingeniería
4
Algunos ejemplos que podemos mencionar son:Algunos ejemplos que podemos mencionar son:

los propios números reales, los propios números reales,

los números complejos,los números complejos,

los vectores en el plano,los vectores en el plano,

los vectores en el espacio,los vectores en el espacio,

los polinomios de grado menor o igual que los polinomios de grado menor o igual que nn,,

las funciones reales de variable real con dominio las funciones reales de variable real con dominio DD,,

las funciones continuas en un intervalo,las funciones continuas en un intervalo,

las funciones derivables en un punto,las funciones derivables en un punto,

las funciones integrables en un intervalo,las funciones integrables en un intervalo,

..........................................................................
Un vector puede ser un número, una Un vector puede ser un número, una nn-tupla, un polinomio, -tupla, un polinomio,
una función continua, etc.una función continua, etc.

5. Fundamentos Matemáticosde la
Ingeniería
5
También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las
mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras
similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al
ente resultante. Aunque este primer tema tiene el inconveniente ente resultante. Aunque este primer tema tiene el inconveniente
de trabajar en el mundo abstracto de los espacios vectoriales de trabajar en el mundo abstracto de los espacios vectoriales
arbitrarios, también presenta una gran ventaja. La abstracción arbitrarios, también presenta una gran ventaja. La abstracción
resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que resulta ser matemáticamente eficiente en el sentido de que
ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez
afecta a todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se afecta a todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se
establecen los hechos sobre los espacios vectoriales en establecen los hechos sobre los espacios vectoriales en
general, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios general, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios
vectoriales. De otro modo, habría que probar cada hecho una y vectoriales. De otro modo, habría que probar cada hecho una y
otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).encontráramos (y existen un sin fin de ellos).

6. Los Tres Planos Coordenados

7. Base Canónica, estándar o
natural
Existen tres vectores especiales a lo largo de los ejes x, y, z:
◦i: (1,0,0)
◦J: (0,1,0)
◦k: (0,0,1)
Sea (a
1, a
2,a
3)
entonces
a = a
1i+ a
2j+ a
3k
x
y
z
j
i
k

8. Base Canónica
Representación del vector
(2,3,2) en términos de la
base canónica

9. Producto Interno
Dados dos vectores
a = a
1
i+a
2
j+a
3
k y
b = b
1
i+b
2
j+b
3
k
el producto interno de a y b se define como
Nótese que el producto interno es un escalar.
332211
bababa ba

10. Producto Interno
Propiedades del producto interno. Sean a, b, c vectores en ³ y
ℝ
números reales, entonces

.4
.)()(.3
).()(.2
.0
;0.1
abba
cbcacba y cabacba
baba ybaba
0aaa
aa






 y

11. Longitud
Dado un vector
a = a
1
i+a
2
j+a
3
k en ³
ℝ
definimos su longitud
como
2
3
2
2
2
1 aaa 
x
y
a
1
a
3
P = (a
1
,a
2
,a
3
)
z
a
2
)(
2
3
2
2
2
1
aa
a

 aaa

12. Vectores Normalizados
Dado el vector a = a
1
i + a
2
j + a
3
k diferente de cero, para normalizarlo
forme el vector
a
a

13. Ejemplos
Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k.
Solución
La normalización del vector v está dada por
,574)2(15
222
v
.
57
4
57
2
57
151
kjiv
v
u 

14. Ejemplos
Defina en el plano el vector
Observe que es un vector
Unitario.
ji )(sen)(cos re

15. Vectores Ortogonales
Si a y b son vectores diferentes de cero y es el ángulo entre ellos.
Entonces si y sólo si los vectores son ortogonales.
Ejemplo
◦Los vectores de la base canónica i, j, k, son ortogonales entre si.
◦Los vectores y son ortogonales.

0ba
jisencosre
ji
 cossene

16. Vectores Ortonormales

17. B
A


18. B
A
cB

19. B
A
K B
C
Por tanto
A = k B + C


20. B
A
K B
C
Por tanto
A = k B + C
¿Cómo despejar o reslover para k?


21. Usemos lo que conocemos:
i) Ortogonalidad o perpendicularidad

ii) Producto punto

22. Por otro lado:
||||||||cos
||||
||||
||
||..
cos
ABAB
B
AB
B
A
B





entonces
c
pero
c
hip
ac

23. B
A


24. B
A

K B
cos (180 –  ) = cos 180 cos + sen 180 sen  = cos 

25. B
A


26. B
A

u
u
x
A

27. Por tanto si A es unitario
u B = || u || || B || cos = B
u
Y por tanto si || B || solo escribimos B
Bx = B cos 
By = B sen porqué
Y asi
B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos + uy sen  )

28. 





N
i
ii
ba
bbbaaa
1
)
0
1
AB
kj)(ikj(iAB
kijkij
kkjjii
zyxzyx

29. 








parejas
ml
todos
l
N
l
l
VVVV
ABBA
BAV
ABBA
BAV
2
cos2
2)(
cos2
2)(
22
1
22
222
22
222
VV
ABBB)(AA
ABBB)(AA



30. Ejemplos
Calcule el angulo entre los vectores
A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k
Solución:
Usando
0
3.96
?109.0
17.9
1
cos
45.2411
74.3194
12)1()1(3)1(2
||||||||cos









oceano
que
unidadesB
unidadesA
AB
ABAB

31. Reflexiones
Ángulo en grados o en radianes
Se mide con respecto a que?
Ejemplo en el Planeta Tierra

35. Ejemplos
Encuentre los angulos que forma el vector A = 2i + 3j + 2k con los ejes x
& z
Solución



cos
cos
AA
senAsenA
AsenA
z
y
x




36. Base Canónica
Representación del vector
(2,2,2) en términos de la
base canónica

37. A x B
No es conmutativa A x B = - B x A
Es asociativa?
Es distributiva ?
| A x B | = A B sen 

40. Significado Físico?