Cadenas de markov

un trabajo de investigacion sobre cadenas de markov,

1. 2012

Examen de Análisis y Toma
de decisiones.

Dr. Manuel Jáuregui Renault

[CADENAS DE MARKOV]
Carlos Delgado Avila. No de Cta: 409083200

2. Contenido
Contexto Histórico……………………………………………………………………….1
Introducción……………………………………………………………………………...3
Definiciones de cadenas de Markov……………………………………………………..4
Notaciones…………………………………………….…………………………………5
Cadenas homogéneas y no homogéneas………………………………………...5
Probabilidades de transición y matriz de transacción. ………………………….5
Cadena de Markov homogénea………………………………………………….6
Vector de probabilidad invariante……………………………….........................7
Clases de comunicación. ……………………………..........................................8
Tiempos de entrada…………………………….......................…………………8
Recurrencia…………………………….......................…………………………8
Periodicidad……………………………………………………………………..9

Tipos de Cadenas de Markov…………………………………………………………...9
Cadenas Irreductibles……………………………………………………………9
Cadenas positivo-recurrentes……………………………………………………9
Cadenas de Markov en tiempo continuo………………………………………...9
Cadenas absorbentes……………………………………………………………10
Cadenas ergódicas o irregulares………………………………………………...10
Cadenas Semiergódicas…………………………………………………………11
Cadenas no ergódicas…………………………………………………………...11
Cadenas cíclicas…………………………………………………………………12

Clasificación de cadenas de Markov…………………………………………………….13
Análisis topológico de las cadenas de Markov…………………………………..13
Propiedades de estado……………………………………………………………13
Propiedades de clase……………………………………………………………...15

Aplicaciones de las cadenas de Markov…………………………………………………16
Análisis y toma de decisión del uso de cadenas de Markov; Ejemplo Practico…………17
Bibliografía………………………………………………………………………………24

3. 0










“Una cadena de demostraciones debe tener su principio en alguna
parte”
JEREMY BENTHAM
An Introduction of Morals and Legislation

4. 1
Contexto Histórico
Andréi Andréyevich Márkov (14 de junio de 1856 - 20 de julio de 1922)

Matemático ruso conocido por sus trabajos en la
teoría de los números y la teoría de
probabilidades.
Márkov nació en Riazán, Rusia. Antes de los 10
años su padre, un funcionario estatal, fue
trasladado a San Petersburgo donde Andréi entró
a estudiar en un instituto de la ciudad. Desde el
principio mostró cierto talento para las
matemáticas y cuando se graduó en 1874 ya
conocía a varios matemáticos de la Universidad
de San Petersburgo, donde ingresó tras su
graduación. En la Universidad fue discípulo
de Chebyshov y tras realizar sus tesis de
maestría y doctorado, en 1886 accedió como
adjunto a la Academia de Ciencias de San
Petersburgo a propuesta del propio Chebyshov.
Diez años después Márkov había ganado el puesto de académico regular.
Desde 1880, tras defender su tesis de maestría, Márkov impartió clases en la
Universidad y, cuando el propio Chebyshov dejó la Universidad tres años después,
fue Márkov quien le sustituyó en los cursos de teoría de la probabilidad. En 1905,
tras 25 años de actividad académica, Márkov se retiró definitivamente de la
Universidad, aunque siguió impartiendo algunos cursos sobre teoría de la
probabilidad.
A parte de su perfil académico, Andréi Márkov fue un convencido activista político.
Se opuso a los privilegios de la nobleza zarista y llegó a rechazar las
condecoraciones del propio zar en protesta por algunas decisiones políticas
relacionadas con la Academia de Ciencias. Hasta tal punto llegó su implicación en
la política que llegó a ser conocido con el sobrenombre de "el académico militante".
Márkov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una
malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al quirófano y que,
con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el 20 de julio del año 1922 una
de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una infección
generalizada de la que no pudo recuperarse.
Aunque Márkov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, por ejemplo en
sus trabajos sobre fracciones continuas, la historia le recordará principalmente por
sus resultados relacionados con la teoría de la probabilidad. En 1887 completó la
prueba que permitía generalizar el teorema central del límite y que ya había
avanzado Chebyshov. Pero su aportación más conocida es otra.

5. 2
Su trabajo teórico en el campo de los procesos en los que están involucrados
componentes aleatorios (procesos estocásticos) darían fruto en un instrumento
matemático que actualmente se conoce como cadena de Márkov: secuencias de
valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro
depende del valor de la variable en el presente, pero es independiente de la
historia de dicha variable. Las cadenas de Márkov, hoy día, se consideran una
herramienta esencial en disciplinas como la economía, la ingeniería, la
investigación de operaciones y muchas otras.
Universidad de San Petersburgo

6. 3
Introducción
Un proceso o sucesión de eventos que se
desarrolla en el tiempo en el cual el resultado en
cualquier etapa contiene algún elemento que
depende de un proceso al azar se denomina un
proceso aleatorio o proceso estocástico. Por
ejemplo, la sucesión podrían ser las condiciones
del tiempo en Veracruz en una serie de días
consecutivos: el tiempo cambia día con día de
una manera que en apariencia es algo aleatorio.
O bien la sucesión podría consistir de los precios diarios al cierre de ciertas
acciones que cotizan en la bolsa en donde otra vez interviene cierto grado de
aleatoriedad. Una sucesión de elecciones gubernamentales es otro ejemplo de un
proceso estocástico.
Un ejemplo muy simple de un proceso estocástico es una sucesión de ensayos de
Bernoulli en, por ejemplo, una sucesión de lanzamientos una moneda en este
caso el resultado en cualquier etapa es independiente de todo resultados previos.
Sin embargo en la mayoría de los procesos estocásticos cada resultado depende
de lo que sucedió en etapas anteriores del proceso. Por ejemplo, el tiempo en un
día determinado no es aleatorio por completo sino que es afectado en cierto grado
por el tiempo de días previos. El precio de una acción al cierre de cualquier día
depende en cierta medida del
comportamiento de la bolsa en días
previos.
El caso más simple de un proceso
estocástico en que los resultados
dependen de otro(s), ocurre cuando el
resultado en cada etapa solo depende
del resultado de la etapa anterior y no
de cualquiera de los resultados previos.
Tal proceso se denomina cadena de
Markov (una cadena de eventos, cada
evento ligado al precedente).

7. 4
Definiciones de Cadenas de Markov
“Las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el comportamiento y el
gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que
evolucionan de forma no determinista a lo largo del tiempo en tomo a un conjunto
de estados. Por tanto, representa un sistema que varía su estado a lo largo del
tiempo. Siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están
predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función
de los estados, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema
homogéneo en el tiempo). Eventualmente, es una transición, el nuevo estado
puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la probabilidad de influir
en las probabilidades de transición actuando sobre el sistema (decisión).”
Joan B. Fonollosa – Jose M. Sallan

“Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en
la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en
donde también la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende
solo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier
resultado previo.”
Jagdish C. Arya – Robin W. Lardner

En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con
la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su
instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para
describir en probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El
rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado
del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en
estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:

Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es
la propiedad de Markov.

8. 5
Notaciones
Cadenas homogéneas y no homogéneas
Una cadena de Markov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado i al
estado j en un paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena, esto
es:

para todo n y para cualquier
i, j.
Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo n la propiedad antes
mencionada no se cumple diremos que la cadena de Markov es no homogénea.

Probabilidades de transición y matriz de transición
La probabilidad de ir del estado i al estado j en n unidades de tiempo es:


En la probabilidad de transición en un paso se omite el superíndice de modo que
queda:

Un hecho importante es que las probabilidades de transición en n pasos satisfacen
la ecuación de Chapman -Kolmogorov, esto es, para cualquier k tal que
0 < k < n se cumple que


Donde E denota el espacio de estados.
Cuando la cadena de Markov es homogénea, muchas de sus propiedades útiles
se pueden obtener a través de su matriz de transición, definida entrada a entrada
como esto es, la entrada i, j corresponde a la probabilidad de ir del
estado i a j en un paso.
Del mismo modo se puede obtener la matriz de transición en n pasos como:
, donde .

9. 6
Cadena de Markov homogénea
Decimos que una cadena de Markov es homogénea o estacionaria cuando se
verifica que:


Es decir que las probabilidades de transición solo dependen de la diferencia entre
los instantes de tiempo y no del valor absoluto de estos. Esta característica se
cumple en muchos casos de interés práctico.
Las cadenas de Markov homogéneas que van a ser de nuestro interés son
aquellas en las que en régimen permanente el vector de estado tiende a un valor
asintóticamente estable, es decir:


Ejemplo: Erase una vez un hippie, que decide quedarse
vagabundeando por la huerta valenciana, especialmente
entre los pueblos de Almacera, Alboraya y Tavernes. El
hippie en la tarde se puede cansar del pueblo en el que
esta, sale a la carretera y se pone a pedir raid. El
diagrama que vemos abajo representa las probabilidades
de que lo recoja alguien en la dirección dada. En
Alboraya, de vez en cuando decide pasar la noche y
endulzar su vida con una horchata con fartons. Nuestro
interés es conocer las probabilidades de estado y ver si
existe un límite en régimen permanente (independientemente del lugar en el que el
hippie empiece su periplo).

10. 7
La matriz de transición viene dada por:




Y no depende del tiempo.
Entonces recordando que P(i + 1)= P(i) T (i, i + 1), se calcularan las
probabilidades de estado después de varias transiciones y partiendo de
condiciones iniciales distintas:









Luego, como vemos


( )

Vector de probabilidad invariante
Se define la distribución inicial .
Diremos que un vector de probabilidad (finito o infinito numerable) es invariante
para una cadena de Markov si donde P denota la matriz de transición de
la cadena de Markov. Al vector de probabilidad invariante también se le
llama distribución estacionaria o distribución de equilibrio.

11. 8
Clases de comunicación
Para dos estados i,j en el espacio de estados E, diremos que de i se accede a j (y
se denotará ) si para algún n, si y entonces
diremos que i comunica con j y se denotará i↔j.

La propiedad "↔" es una relación de equivalencia. Esta relación induce una
partición en el espacio de estados. A estas clases de equivalencia las
llamaremos clases de comunicación.
Dado un estado x, denotaremos a su clase de comunicación como C(x).
Diremos que un subconjunto C del espacio de estados (al que denotaremos E) es
cerrado si ningún estado de E-C puede ser accedido desde un estado de C, es
decir, si para todo x∈C, para todo y∈E-C y para todo natural m>0.

Tiempos de entrada
Si , definimos el primer tiempo de entrada a C como la variable aleatoria

esto es, denota la primera vez que la cadena entra al conjunto de estados C.

Recurrencia
En una cadena de Markov con espacio de estados E, si x∈E se define:
y diremos que:
 x es estado recurrente si .
 x es transitorio si
 x es absorbente si
 Una clase de comunicación es clase recurrente si todos sus estados
son recurrentes.
Sea , si x∈Ediremos que:
 x es cero-recurrente si
 x es positivo-recurrente si
El real se interpreta como el tiempo promedio de recurrencia.

12. 9
Periodicidad
El periodo de un estado x∈E se define como:

donde denota el máximo común divisor.
 Si d(x)=1 diremos que x es un estado aperiódico.
 Una cadena de Markov se dice aperiódica si todos sus estados
son aperiódicos.

Tipos de cadenas de Markov
Cadenas irreducibles
Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las
siguientes condiciones (equivalentes entre sí):
1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.
2. Todos los estados se comunican entre sí.
3. C(x)=E para algún x∈E.
4. C(x)=E para todo x∈E.
5. El único conjunto cerrado es el total.
La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son
ejemplos de cadenas de Markov irreducibles.
Cadenas positivo-recurrentes
Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son
positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que
existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

Cadenas de Markov en tiempo continuo
Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i indexado en
el conjunto de números naturales, se consideran las variables
aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto de números
reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en
tiempo continuo la propiedad de Markov se expresa de la siguiente manera:

tal que
Para una cadena de Markov continua con un número finito de estados puede
definirse una matriz estocástica dada por:

13. 10
La cadena se denomina homogénea si . Para una cadena de Markov
en tiempo continuo homogénea y con un número finito de estados puede definirse el llamado
generador infinitesimal como:
2


Y puede demostrarse que la matriz estocástica viene dada por:


Cadenas absorbentes
Una cadena de Markov con espacio de estados finito se dice absorbente si se
cumplen las dos condiciones siguientes:
1. La cadena tiene al menos un estado absorbente.
2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su
complemento como D, tenemos los siguientes resultados:
 Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma

Donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz
identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz.
 , esto es, no importa en donde se encuentre la
cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.

Cadenas ergódicas o regulares
La cadena de Markov C1, de dos estados, tiene la matriz de probabilidades de
transición:

Calculemos la potencia decimosexta de esa matriz para aproximar la matriz de
probabilidades estacionarias:

Se observa que las probabilidades de estado estable de los diferentes estados son
independientes del estado de origen, razón por la que la matriz de probabilidades

14. 11
estacionarias tiene todas las filas iguales. Tenemos entonces una cadena de
Markov regular en la que las probabilidades estacionarias no dependen del estado
inicial. Además, ninguna de las probabilidades vale cero. Tenemos entonces una
cadena de Markov ergódica.
Cadenas Semiérgodicas
Tenemos ahora una cadena de C2 de cuatro estados, de matriz de probabilidades
de transición.



Si se observa la matriz de la transición decimosexta, se observa como todas las
filas tienden a ser iguales (aunque no completamente, especialmente las dos
primeras), con una diferencia respecto de las cadenas ergódicas: existen estados
cuya probabilidad de estado estable tiende a ser cero (esto es, que no aparecerán
den el comportamiento a largo plazo). Por lo tanto, no se trata de una cadena
ergódica. Sin embargo, sigue siendo cierto que todas las filas tienden hacia un
mismo valor, por lo que sigue siendo regular. Las cadenas de Markov regulares (y
también otras que veremos más adelante) con algunas de las columnas de la
matriz de probabilidades estacionarias igual a cero se llaman semiergódicas. Las
cadenas ergódicas pueden considerarse como un caso particular de las cadenas
semiergódicas, en las que no existen probabilidades de estado iguales a cero.



Cadenas no ergódicas
La cadena C3, de cuatro estados, tiene la siguiente matriz de transición:



Si observamos la matriz de la transición 16, podemos ver que, mientras algunas
filas tienen el mismo comportamiento que las de los casos anteriores, vemos que
otras tienden a ciertos valores, diferentes de los de las otras filas. Ello quiero decir
que, al contrario de lo que sucede con el caso regular, las probabilidades de

15. 12
estado estable si dependen de cuál ha sido el estado inicial de la cadena. Se trata
de una cadena semirregular




Cadenas Cíclicas
La cadena C4, cuya matriz de probabilidades de transición se muestra a
continuación, después de un número elevado de transiciones presenta un
comportamiento diferente del de las cadenas anteriores.



Al ir obteniendo matrices de transición, se observa que estas no convergen a un
valor concreto, sino que muestran un comportamiento cíclico. En este caso, las
transiciones impares tienden a un valor y las pares a otro.







Este tipo de cadenas son cadenas son cadenas cíclicas. En este caso particular,
nos encontramos ante una cadena de periodo p=2.
La columna es siempre cero, por lo que el estado I no aparecerá en las
probabilidades a largo plazo; quiere ello decir que la cadena considerada no es
ergódica, aunque es claro que pueden existir cadenas cíclicas ergódicas.

16. 13
También debemos preguntarnos qué ocurre con las probabilidades estacionarias
en las cadenas cíclicas, ya que si las sucesivas potencias de P no tienden hacia
unos valores determinados. Más adelante, cuando estudiamos el cálculo
sistemático de P*.

Clasificación de cadenas de Markov
De lo expuesto hasta ahora, si queremos analizar el comportamiento a largo plazo
de un proceso estocástico que cumpla la propiedad markoviana, necesitamos:
 Una metodología para poder clasificar la cadena como ergódica o no
ergódica por una parte, y como regular, semirregular o cíclica por otra,
examinado la matriz de probabilidades de transición.
 Una metodología que permita el cálculo de la matriz de probabilidades.
La clasificación de las cadenas de Markov puede realizarse mediante dos
metodologías:
 El análisis topológico, examinando las propiedades de los estados de la
cadena y estableciendo clases de equivalencia entre los estados.
 El análisis espectral, examinando los valores propios de la matriz de
probabilidades de transición de un paso.
Una vez clasificada la cadena, puede obtenerse información acerca de la forma
que presente la matriz de probabilidades estacionarias, lo cual facilita su obtención.
Análisis topológico de las cadenas de Markov
Permite la clasificación de las cadenas a partir de la información suministrada por
la matriz P utilizando propiedades relativas a la relación entre estados
(propiedades de estado). Estas propiedades permiten, a su vez, definir
subconjuntos de estados denominados clases. También podremos definir,
entonces, las propiedades de clase.

Propiedades de estado
Dados dos estados de una cadena, pueden establecerse dos tipos de relaciones
entre ellos:
 El estado i es descendente de j si cuando iniciamos el proceso es i existe
una probabilidad no nula de que el proceso llegue a j. En este caso,
diremos que existe un camino entre los estados i y j.

17. 14
 Los estados i y j se comunican si i es descendiente de j y j es descendiente
de i.
 Existirá un ciclo dentro de una cadena de Markov si existe un camino en la
cadena que comunique al estado i consigo mismo. Dicho circuito se
caracteriza por el numero mínimo de transiciones que necesitara el sistema
para volver al estado i, si se inició el proceso en ese estado. Dicho número
constituirá la longitud del ciclo.
Obsérvese que, con las definiciones dadas, la existencia de un circuito implica que
todos los estados que lo forman están comunicados. Se conviene que todo estado
esta comunicado consigo mismo, ya que se al menos puede acceder a él en cero
transiciones (circuito de longitud cero), con independencia de que además existan
otros circuitos de longitud mayor.
Para analizar estas relaciones entre estados, es útil recordar que, según la teoría
de grafos, toda matriz cuadrada tiene asociado un grafo, cuya representación
gráfica se puede elaborar a partir de la matriz de probabilidades de transición, el
diagrama de transiciones de estados.
Cada estado de la cadena se representa por un vértice del grafo y cada transición
con probabilidad no nula se representa por una relación entre los vértices que
representan los estados anterior y posterior de la misma. De esta manera el
diagrama se representan todas las situaciones en las que un estado i es
descendente respecto de j.

18. 15
Propiedades de clase
Hemos establecido que un
estado está siempre
comunicado consigo
mismo, la relación entre
estados estar comunicado
es reflexiva, simétrica y
transitiva, por lo que se
trata de una relación de
equivalencia. Po este
motivo, podemos decir que
un conjunto de estados
comunicados entre si
constituye un clase de
equivalencia. De esta manera podemos clasificar diversas clases los estados de
una cadena de Markov.
Podemos definir la propiedad de clase siguiente para las clases de equivalencia
que se hayan establecido:
 Una clase de equivalencia será final si cuando el proceso llega a uno de los
estados de la clase, en las transiciones siguientes el proceso evoluciona
siempre dentro de los estados de la clase.
 Aquellas clases de equivalencia que no sean clases finales serán las claves
de paso. Las clases de paso tienen un interés muy limitado en el estudio de
las cadenas de Markov.
Puesto que el sistema debe
ser capaz de evolucionar
indefinidamente entre un
número finito de estados,
toda cadena debe tener al
menos una clase final. Si en
su evolución a lo largo de
infinitas transiciones el
sistema puede pasar por
todos los estados, entonces
habrá una única clase final
que los englobara a todos
ellos. Este caso es el que
hemos definido anteriormente como cadena ergódica.

19. 16
Aplicaciones de las cadenas de Markov
Física
Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y
la física estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de
Ehrenfest o el modelo de difusión de Laplace.
Meteorología
Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el
estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de
modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos
climatológicos básicos.
Modelos epidemiológicos
Una importante aplicación de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso
Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras
cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático
de epidemias).
Internet
El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda)
se define a través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una
página en el buscador será determinada por su peso en la distribución
estacionaria de la cadena.
Simulación
Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una solución analítica a
ciertos problemas de simulación tales como el Modelo M/M/1.
3

Juegos de azar
Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena
de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que
una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es
una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.
Economía y Finanzas
Las cadenas de Markov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de
opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el
modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de
precios. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los
patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades
de personal y para analizar el reemplazo de equipo.
Música
Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Markov, por
ejemplo el software Csound o Max.

20. 17
Análisis y toma de decisión del uso de cadenas de Markov;
Ejemplo Practico

Modelos empleados para la Toma de decisiones en el cuidado de la salud
RESUMEN
El análisis de decisiones es un grupo de herramientas que permiten apoyar y
manejar un proceso de evaluación estructurado. Esta metodología se usa
ampliamente en la evaluación económica para planeación o programas de salud.
Este artículo delinea algunas características de las decisiones complejas y
muestra los fundamentos y etapas que deben considerarse cuando se toman
decisiones en un escenario de incertidumbre (definición del problema, selección
de un marco temporal de análisis adecuado, estructuración del problema,
desarrollo de un modelo para análisis, selección de la mejor alternativa y
realización de análisis de sensibilidad). Finalmente se presentan algunas críticas
que se han hecho a esta metodología.


Tomar una decisión implica escoger entre varias alternativas. Tomar la mejor
decisión supone haber hecho un análisis de lo que hubiera sucedido Tsi cada una
de las posibles alternativas se hubiera seleccionado. La toma de decisiones es un
acto cotidiano que está involucrado en múltiples actividades que generalmente se
hace por técnicas como la adivinanza, la reacción visceral, la intuición, o la
experiencia basada en opiniones o sucesos muy parecidos.
La toma decisiones de forma intuitiva generalmente resulta poco eficiente dado
que esta estrategia no suele incorporar todos los factores que pueden afectar la
decisión y sus resultados. Pocas decisiones se toman con plena certidumbre
sobre sus posibles consecuencias. El proceso de tomar decisiones puede ser
mejorado utilizando una metodología que combina una estructura explícita y una
técnica cuantitativa de análisis y que se ha denominado "enfoque sistemático de
toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre". Tal metodología, que no
es nativa del área de la salud, se concibió inicialmente como un proceso iterativo
para generar mayor conocimiento y facilitar la generación de alternativas creativas
que ayudaran a los tomadores de decisiones a realizar mejores decisiones.

¿Por qué puede ser difícil tomar una decisión?
La dificultad para tomar una decisión se relaciona con tres aspectos:
Estructurales, personales y políticos:

21. 18
1. Aspectos estructurales: Dentro de esta categoría se agrupan las siguientes
situaciones:
a. El grado de incertidumbre: La incertidumbre se presenta cuando no se conoce
completamente la probabilidad de que ocurra un evento. Al existir incertidumbre
resulta imposible conocer de antemano cuál va a ser el resultado de una decisión.
La incertidumbre puede relacionarse con el diagnóstico, la exactitud de las
herramientas diagnósticas, la calidad y disponibilidad de las fuentes de
información, la historia natural de las enfermedades, las opciones que tomen los
pacientes y los resultados del tratamiento. Al existir múltiples fuentes de
incertidumbre se hace más complicado tener un esquema claro de las diferentes
opciones y resultados de las posibles alternativas de decisión.
b. Cantidad de alternativas disponibles: Entre mayor sea el número de alternativas
entre las cuales haya que escoger, mayor será la complejidad del recorrido entre
la decisión y las posibles consecuencias. La utilización de herramientas gráficas,
como los árboles de decisión, permiten tener una visión más clara y precisa de los
diferentes cursos que pueden tomar las múltiples alternativas de decisión.
c. Consecuencias de tomar la decisión: Entre más graves son las consecuencias
de tomar una decisión incorrecta, más difícil resulta optar por una alternativa.
d. Frecuencia con la que se toman decisiones parecidas: A menor frecuencia,
mayor suele ser la dificultad para tomar la decisión.
2. Aspectos personales: Algunas características psicológicas de quien toma la
decisión pueden dificultar este proceso. Por ejemplo los patrones de personalidad
obsesivos, caracterizados por el perfeccionismo, la rigurosidad y la preocupación
exagerada por detalles, suelen presentar una tendencia a complicar la toma de
decisiones. Por otro lado las personas impulsivas tienden a tomar más fácilmente
decisiones, pero de manera no acertada, dada la falta de análisis que aplican a su
conducta. El tomador de decisiones debería ser una persona que tenga claridad
sobre las características personales que pudieran afectar el proceso de
seleccionar la alternativa acertada.
3. Aspectos políticos: En algunos casos la alternativa más acertada, escogida
mediante un proceso racional y sistematizado, debe supeditarse a
consideraciones de orden político que resultan prioritarias.
Para el manejo de los aspectos estructurales se ha desarrollado una metodología
que permite utilizar un abordaje cuantitativo y estructurado de las situaciones de
toma de decisiones, y que permite evaluar decisiones que se deben tomar en
situaciones en las que se presenten alternativas complejas y diversas fuentes de
incertidumbre. Dicha metodología, que como ya se mencionó se ha llamado
"análisis de decisiones bajo condiciones de incertidumbre", permite:
1. Generar una estructura gráfica que permita ver claramente la relación entre
alternativas y consecuencias.

22. 19
2. Asignar valores a las fuentes de incertidumbre: Asignando valores de
probabilidad a los puntos de incertidumbre se facilita su manejo. Si hay
certidumbre sobre un evento, su probabilidad de ocurrir es de uno (obviamente la
probabilidad de que no ocurra es cero). Si no hay certidumbre, la probabilidad de
ocurrir será menor que uno. Posteriormente se mostrará cómo se asignan estos
valores de probabilidad.
3. Facilitar la comparación entre las diferentes alternativas en términos numéricos.
En esta metodología, a las alternativas posibles se les asigna un valor numérico
que corresponde a un concepto estadístico denominado "valor esperado". En
estadística el valor esperado (o esperanza matemática) de una variable aleatoria
es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Dicho de
otra forma el valor esperado se asemeja al resultado que se espera en promedio si
se repitiera un experimento (como lanzar una moneda, o medir la talla de un grupo
de personas, por ejemplo) muchas veces. La utilidad del valor esperado es
permitir elegir entre distintas alternativas. En general la alternativa que se elige es
aquella que tenga el valor esperado más alto (años de vida ganados, muertes
evitadas, por ejemplo), pero en ocasiones se selecciona aquella con el valor más
bajo (mortalidad, costos, por ejemplo).
Con estos insumos el tomador de decisiones puede identificar fácilmente las
opciones viables, predecir sus consecuencias o desenlaces, valorar la
probabilidad de los posibles resultados, determinar el valor de cada uno de los
desenlaces, y seleccionar la decisión que puede proveer el mejor resultado.
En el área del cuidado de la salud, el análisis de decisiones es una metodología
que se desarrolló alrededor de situaciones clínicas en pacientes individuales.
Sin embargo, se usa cada vez más frecuentemente en análisis económicos y para
la toma de decisiones políticas.

Etapas en un análisis de decisiones
Dado que el análisis de decisiones es una metodología que pretende, no solo
facilitar, sino además sistematizar el proceso de selección de alternativas, para
hacerlo, de alguna manera replicable, se ha definido una estructuración a lo largo
de una serie de etapas sucesivas (8) (debe tenerse en cuenta que la replicabilidad
de los resultados se ve fuertemente afectada por los aspectos personales y
políticos mencionados atrás):

1. Definición del problema:
Un problema se ha definido como la distancia que hay entre una situación que
existe y otra que se prefiere. El primer paso suele ser escribir el problema
utilizando pocas palabras, preferiblemente recurriendo al uso de verbos en
infinitivo, y hacer una descripción de ciertos detalles como magnitud, posibles
causas o responsables, momento de inicio, identificación de afectados con el

23. 20
problema, estrategias con las que ha intentado solucionarse, y posible resultado si
no se intenta ninguna solución. Este primer paso puede ser suficiente para tomar
una decisión acertada, lo cual sucede cuando se vislumbran alternativas de
decisión que no se habían considerado, cuando se evidencia que se estaba
sobredimensionando la gravedad del problema, cuando se ve que se estaba
tratando de solucionar el problema equivocado (esto se ha denominado "error tipo
tres"), o incluso cuando se encuentra que si no se hace nada, no pasa nada, y lo
que genera la dificultad muchas veces son los intentos de solución (en este último
caso se habla de pseudo problemas). Otra posibilidad que surge en este primer
paso es encontrar que el problema tiene sub problemas, lo cual implica efectuar
un trabajo de jerarquización y definir claramente cuál es el problema primario o
principal.

2. Definición del horizonte de análisis (marco temporal):
Cuando se evalúan alternativas relacionadas con patologías crónicas, el horizonte
de análisis suele ser largo. En estos casos los eventos pueden reaparecer durante
el período definido en el marco temporal: esto supone utilizar estrategias
especiales de análisis (cadenas y modelos de Markov para eventos recurrentes).
Por otro lado, la evaluación de alternativas relacionadas con complicaciones a
corto plazo o con eventos agudos supone un horizonte de análisis corto. En otras
palabras, el horizonte de análisis dependerá de la naturaleza del problema de
salud que se esté evaluando. Cualquiera que sea el caso, debe hacerse una
especie de negociación entre la exactitud del modelo analítico y la simplicidad del
mismo (10). Un modelo no debe ser una representación completa del mundo real
sino una síntesis de sus componentes más importantes.

3. Estructuración del problema:
La etapa de estructuración supone seguir esta secuencia:
- Identificar las alternativas relevantes: Una vez identificado el problema, deben
plantearse una serie de alternativas, las cuales suelen caer en alguna de las
siguientes categorías:
- Esperar y observar, lo cual es equivalente a la política de "no hacer nada".
- Iniciar una intervención.
- Buscar más información antes de decidir una intervención.
- Definir las consecuencias de cada alternativa identificada previamente: Cada
alternativa genera una serie de consecuencias cuya incorporación en la
estructuración del problema supone que esté suficientemente sustentada con
algún tipo de evidencia. Las consecuencias pueden categorizarse en dos grupos:
i) consecuencias intermedias. ii) desenlaces finales. Por ejemplo, si un médico se
encuentra prestando su servicio rural en un lugar apartado donde no dispone de
medios diagnósticos ni posibilidades de remitir rápidamente a sus pacientes, y

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recibe a un paciente con una herida por arma de fuego en el cráneo, podría
plantearse, de manera general, que hay dos alternativas: esperar y observar, o
arriesgarse a intervenir quirúrgicamente al paciente. Las consecuencias de cada
alternativa podrían definirse de manera simplista en dos categorías: el paciente
sobrevive o muere (aquí las consecuencias se presentan directamente como los
desenlaces finales). Sin embargo, considerando la falta de pericia quirúrgica del
médico, puede plantearse una consecuencia intermedia de la alternativa
intervencionista: que la cirugía se complique o que no se complique; cada una de
estas consecuencias intermedias puede resultar en la salvación o en la muerte del
paciente.
En la Figura 1 se muestra esta secuencia de consecuencias, con unas
convenciones de representación gráfica que se explicarán más adelante.
- Establecer la probabilidad con la que pueden suceder las diferentes
consecuencias de las alternativas planteadas: Un paso fundamental en este tipo
de análisis es cuantificar la incertidumbre: esto se logra asignando valores de
probabilidad a cada una de las consecuencias emanadas de las alternativas
propuestas para la solución del problema.
- Asignar un valor a los desenlaces: Un desenlace es lo que finalmente sucede si
se escoge una de las alternativas planteadas. En esta fase de la estructuración del
problema, se debe asignar un valor numérico a los desenlaces. Esta calificación
se realiza con base en el concepto de utilidad. De forma práctica la utilidad se
puede considerar como la medida de la preferencia de las personas por un
resultado bien o servicio. En particular, en el campo sanitario, seria la medida
cuantitativa de la preferencia de las personas por un resultado específico en salud.

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4. Desarrollo de un modelo del problema:
Un modelo es una abstracción o representación de un sistema real, de una idea
de un objeto (13). En un análisis de decisiones el modelo es una estructura que
busca representar la realidad del problema, combinando los insumos generados
en la etapa previa (etapa de estructuración), con el propósito de efectuar una serie
de cálculos matemáticos que ayuden a tomar la decisión. Los modelos más
utilizados como estrategia de análisis son los árboles de decisión. Mediante su uso
se pueden integrar, de manera secuencial, los diferentes elementos que surgen
una vez se ha estructurado el problema. En la construcción de un árbol de
decisión se siguen las siguientes convenciones

Punto de arranque: Es la presentación del problema en pocas palabras. Nodo de
decisión: Representa un punto donde se toma una conducta, como por ejemplo las
diferentes alternativas de solución que se plantean al problema. Su forma de
representación en el árbol es un cuadrado. Nodo probabilístico o de azar: Muestra
el punto donde se generan las diferentes consecuencias de una decisión, que no
están bajo el control de quien toma las decisiones. Como previamente se comentó,
las consecuencias generadas de un nodo de azar tienen un componente de
incertidumbre cuantificable por medio de probabilidades. Se representan
gráficamente con un círculo.
Nodo terminal: Representa los desenlaces finales. Se representa con un triángulo.
Conectores: Son líneas que unen los diferentes elementos descritos previamente.
La manera de conectar las diferentes estructuras obedece a una secuencia en la
que, lo que está a la izquierda, temporalmente ha ocurrido antes que lo que está a
la derecha. La amplitud
con la que se desarrolle
el árbol corresponde al
horizonte de análisis.

Definiciones y valores:
Los conectores que
salen de un nodo de
azar tienen en su parte
superior la descripción
del desenlace y el su
parte inferior la
cuantificación de la
incertidumbre (valores
de probabilidad). En el
extremo de los nodos
terminales se ubican
los valores asignados a
los desenlaces
(utilidades).

Figura 2. Convenciones utilizadas en la construcción de un árbol de decision

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5. Efectuar análisis de sensibilidad:
Teniendo en cuenta que, ni los valores de probabilidad con que se mide la
incertidumbre ni los valores asignados a los desenlaces son valores fijos, al
efectuar un análisis de decisiones surge la duda sobre la posibilidad de que la
solución al problema cambiara si los valores de la medición de incertidumbre y
consecuencias variaran. Para resolver esta duda se realizan los análisis de
sensibilidad. Ellos permiten evaluar los resultados ante la posible gama de valores
que podrían tomar uno o más de los parámetros introducidos en el modelo.
Como resultado se puede conocer la estabilidad de la conclusión dada la
variabilidad de los supuestos introducidos en el modelo. Es frecuente que para
estos análisis se utilicen herramientas gráficas. En los casos en los que la
variabilidad se genera en un solo punto del modelo se utilizan los análisis de
sensibilidad de un parámetro. Si la fuente de variabilidad proviene de varios
puntos se habla de análisis de sensibilidad de múltiples parámetros.

6. Selección de la "mejor" alternativa:
Al finalizar el análisis se obtendrán una serie de valores numéricos (valores
esperados) que ponderarán de manera diferente las distintas alternativas de
decisión. Dependiendo de la medida de utilidad manejada, se seleccionará la
mejor opción (por ejemplo si se manejan años de vida saludable ganados, la mejor
opción será aquella con el mayor valor). Sin embargo, hay que tener en cuenta
que los resultados numéricos no son la única herramienta a la hora de tomar la
decisión final. Existen casos en los cuales tiene más peso algún otro tipo de factor,
como pueden ser aspectos clínicos o políticos. La recomendación general al
utilizar este tipo de métodos es que son solo herramientas para ayudar a decidir,
mas no el único elemento que se toma en cuenta para la toma final de la decisión.

Críticas al análisis de decisiones
Los detractores de esta metodología aducen tres razones para no recomendar su
uso:
1. Dificultad
Así existan herramientas manejables con computadores, la gran cantidad de
opciones derivada de la toma de una decisión compleja, hace que la estructura a
analizar se vuelva demasiado enmarañada y alejada de la realidad. Algunos
teóricos de la economía, conscientes de la limitación impuesta por la complejidad
que pueden alcanzar los modelos, han planteado que no es posible escogerla
mejor opción. Dentro de esta tendencia se plantea también la utilización de
modelos parsimoniosos que, si bien no capturan la integridad de la complejidad de
la situación, incorporan los aspectos más relevantes de la misma. Los árboles de
decisión tradicionales, presentan inconvenientes cuando se quiere representar
eventos que pueden ocurrir más de una vez, eventos cuyas probabilidades de
ocurrencia cambian con el tiempo, eventos que no ocurren inmediatamente y
eventos que tienen implicaciones a largo plazo en los pacientes (16,17). Las
cadenas y modelos de Markov permiten manejar estas dificultades que se
presentan con los árboles de decisión tradicionales, y son útiles cuando se quiere
modelar problemas que involucran riesgos que dependen del tiempo.

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2. Falta de sensibilidad política
Se ha planteado que esta metodología se engolosina con la estructura del
problema pero que no le da énfasis a las dificultades que implica poner en la
práctica la toma de la decisión. Aunque la objetividad y la neutralidad de valores
se han adjudicado a esta metodología como una de sus fortalezas, se h
encontrado que las personas que no han participado en la toma de la decisión
pueden mostrar resistencia ante el proceso de implementar la decisión. Esto ha
podido verse en el poco impacto que han tenido herramientas para tomar
decisiones, como las guías de práctica clínica o recomendaciones generadas en
consensos.
3. Limitación del razonamiento humano
Esta es una consideración más de índole filosófica y se basa en el planteamiento
de que no hay verdades absolutas, y que lo que se acepta como conocimiento no
es más que el resultado de cómo una cultura ha preparado y aleccionado a un
individuo para que evalúe y juzgue una situación. Desde esta perspectiva, los
hechos sobre los que se basa un análisis de decisiones no son completamente
objetivos, sino que están matizados por particularidades y características de un
grupo cultural: así las cosas, no tendría mucho sentido efectuar un riguroso
análisis numérico a unos datos que no son más que distorsiones introducidas por
la cultura.

Bibliografía
Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía.
Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner.
Pearson Education 2002

Métodos cuantitativos de organización industrial II
Escrito por Joan B. Fonollosa – José M. Sallan, Albert Suñé.
Edicions UPC 2002

Elementos de Probabilidad y Estadistica
Elmer B. Mode
Reverte 2005 Reimpresión

Modelos empleados para la Toma de Decisiones en el Cuidado de la Salud
Ricardo Sánchez-Pedraza, Oscar Gamboa y Jorge A. Díaz
Rev. Salud pública. 10 (1):178-188, 2008