CALAPENSHKO-TOMO 4 - ADRIAN INFANZON.pdf

ADRIAN YNFANZON

ADA AA

TRIG ONOMETRIA
In Advance

ADRIÁN INFANZON

CU, REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

DA TRIGONOMETRICA

Clasificación de las identidades Trigonométricas.…
|. Identidades trigonométricas para un mismo ángulo...

MEZA BRAVO ELVIS

CONTENIDOS DE LA COLECCION

CAPÍTULO O. | Trigonometría

CAPÍTULO 1 | Sistemas de Medicion Angular

CAPÍTULO 2. | Arco y Sector Circular

CAPÍTULOS | Angulo Barrido por una Rueda

CAPÍTULO 4 | Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos

CAPÍTULO 5 | Resolución deTriángulos Rectángulos

CAPÍTULO 6. | Ángulos Verticales y Horizontales

CAPÍTULO? | Números Reales

CAPÍTULO 8 | Sistema Coordenado Rectangular

CAPÍTULO 9 | RazonesTrigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud

EXT caríruLo 10 | necucción al Primer Cuadrante

CAPÍTULO 11 | Circunterencia Trigonométrica

CAPÍTULO 12 | Identidades Trigonométricas para un Mismo Angulo

EXT caríruLo 13 | tuentidadesTrigonométicas para el Angulo Compuesto

CAPÍTULO 14 | Identidades Trigonométricas para el Angulo Doble

CAPÍTULO 15 | Identidades Trigonométricas para el Ángulo Mitad

CAPÍTULO 16 | Identidades Trigonométricas para el Ángulo Triple

CAPÍTULO 17 | Transformaciones Trigonométricas

‘ CAPÍTULO 18 | Series y Productos Trigonométricos

MEZA BRAVO ELVIS

CAPÍTULO 19

Máximos y Mínimos Trigonométricos

CAPÍTULO 20

CAPÍTULO 21

CAPÍTULO 22

Resolución deTriángulos Oblicuángulos

Funciones Reales

Funciones Trigonométricas

CAPÍTULO 23

Funciones Trigonométricas Inversas

CAPÍTULO 24

Ecuaciones Trigonométricas

CAPÍTULO 25 | Inecuaciones Trigonométricas

CAPÍTULO 26 | vectores en el Plano a
CAPITULO 27 | La Recta = E
CAPÍTULO 28 | Lacircunferencla —— |
CAPÍTULO 29 | La Parábola fe

CAPÍTULO so | Lactpse ——

CAPÍTULO st ‘

CAPITULO 32

Tangentes y Normales a una Curva de Segundo Grado

CAPÍTULO 33

Transformación de Coordenadas

CAPÍTULO 34

¡Gráfica de Relaciones Reales

CAPÍTULO 35

Números Complejos

CAPÍTULO 36

Límites y Derivadas Trigonométricas

MEZA BRAVO ELVIS

CAPITULO

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

ANGULO DE REFERENCIA

Al ángulo agudo formado por el extremo final de un ángulo positivo en posición
normal @ con el lado positive o negativo del eje X se llama ANGULO DE REFERENCIA
y se denota por D.

10.11. EJEMPLOS

+ Elángulo de referoncia de 40° es 40° + El ángulo de roferencia de 120° es 60°
+ El ángulo de referencia de 200° es 20° = EI Angulo de referencia de 310° es 50°

a

EN GENERAL

Si oe! Si el

Er à

4
De x

sen Si 0, ev

> 0-00. > ee

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Reducir al primer cuadrante es calcular el ángulo de referencia 9, de un ángulo positivo
en posición normal menor que una vuelta no perteneciente al" primer cuadrante.

1021 DEL SEGUNDO AL PRIMER CUADRANTE
Sie > 8=r-0,

EJEMPLOS
Reducir al primer cuadrante:

18 to >

28 = 190 =

28 = =

12

DEL TERCER CUADRANTE AL PRIMER CUADRANTE
Sib,€ MC + 0,=0,-%
EJEMPLOS

Reducir al primer cuadrante:

LS = 200 = 9 = 200° 180°
29 0-20 = 4, = 220°- 160"
BS 0,20 = 9, = 280° - 180°
an an x
45 + = qe Er =F
Tx x
ss > a. Eo =%
Br ES x
ES. = a. For -%

DEL CUARTO CUADRANTE AL PRIMER CUADRANTE

ES

EJEMPLOS

Reducir al primer cuadrante

IS 4 = 960° -290° = 70"

29 4-310 = 9 = 360° -310° = 50"

aS = = 9, = 960° 350" = 10°
= en

Aa = = qa „2

ADRIÁN YNEANZON

13

19%
7

BS a. = 2e

[ES caLcuLo DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS NO AGUDOS

¡SI 0 es un ángulo en posición normal positivo no agudo y 9, su ángulo de referencia,
¡entonces se cumple que las R.T. de @ y las R.T. de 0, van a tener los mismos valores y en
algunos casos difieren en el signo.

1034. EJEMPLOS
1. Calcular: Sen 150° ‘
RESOLUCION

u

Sen ao

Entonces

‘Sen 150° = Sen 30°

NOTESE que el seno del ángulo 150° es igual al seno de su ángulo de referencia 30°

2. Calcular: Cos 225°

RESOLUCION
Cos 225 = À =

y

on

Cos 45° = SA

Entonces:

‘Cos 225° == Cos 45°

NÔTESE quo al coseno del ángulo 225" es iguala menos el coseno de su ángulo de referencia 4°.

14

LVIS

MEZA BRAVC
REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE | ADRIÁN uranzEn.

3. Calcular: Tan 300°
RESOLUCION

NÔTESE que la tangente del ángulo 300° es Iguala menos la tangente de su ángulo de referencia 60°.
1032 OBSERVACIÓN
En los ejemplos anteriores se ha notado que efectivamente los R.T. de un ángulo posi-
tivo 0 en posición normal es igual a la R.T. de su respectivo ángulo de referencia 9, En
algunos casos difieren en el signo.

Es decir: RT. (0)

+R. (0,)

EJEMPLOS
Son 150° = + Sen 30°
Cos 225° = -Cos 45°

Tan 300° = —Tan 60°

PROPIEDAD PARA CALCULAR R.T.DE ANGULOS NO AGUDOS

Para hacer cálculos directos vamos a usar 3 propiedades.
10.4.1 DEL SEGUNDO CUADRANTE AL PRIMER CUADRANTE

OJO; El signo (+) v (-) depende de qué RT. se trate,

EJEMPLOS
1. 100" Il entonces el seno es posiivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa. Por tanto:
Sen100* = +Sen(180*-100) = + San 80°
‘Cos 100° = - Cos (180°- 100") = Cos 80°

Tan 100° = Tan (180*- 100") = Tan gor

ee
15

ANALOGAMENTE
2. 180° € Il Entonces:

Sen 130° = + Sen (180° - 190")

Cos 130° =
Tan 190° =

3. 160° € II Entonces:

Sen 160° =
Cos 160° =
Tan 160°

Zr
4. Æ e 110 Entonces:

«sente
an

= cos (n= 9°
2

Tan (a

+ Son 50°
~ Cos 50°
—Tan 50°

+ Son 20°
= Cos 20°
—Tan 20°

2
m

(040: Si los ángulos son negativos, ss transforman a éngulos positivos aplicando las sl
¡guientes relaciones.

Sen (-6) = = Seno
Gos (-0) = + Cosa
Tan (-0) = = Tan 0
Cot (-0) = - Coto
Sec (-0) = + Sec 0
Cao (6) = - Cac 0

EJEMPLOS

7. Sen (110) =

i
i

=Sen 70°

8. Cos (-110")

E
i
3

= Cos 70°

9. Tan (-110") = ~Tan 110" = —{-Tan(180°- 110) = + Tan 70°

a
Ir y In ar
j

Marz

N en

en cou

Im ar
me) = Tan. Étant) = stn Gt

we

(OO: Si los ángulos 9 son mayores quo 360°, dividimos a 0 entre 960° y nos da como cociente un
número entero “n° y residuo “a”, es decir

8 = n (860) + &
So cumple que las A.T. do 0 y las PLT. de a son iguales, es decir

AT. (0) = RT. [n (860) + a] = RT (0)

17

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZON

EJEMPLOS:

3 Caleuar Sen 850

RESOLUCION — ;
50° [360 = Senaso’ = Sen130° = +Sen(i80'-130) = Sen 50°
02 Sr
190° nc

14.Calcular: Cos 830°

RESOLUCIÓN
830° [360° = Cos 890" = Cos 110° = ~Cos (180"~ 110") = -Cosg0"
720 2 E
110° ne

15.Calcular: Tan 890° (A
890° [360° = Tan 890° = Tan 170° = LTan(180"-170% = ~Tan 10°
ro 2 ne
170° nc

16.Caleuiar: Sen (-820)
RESOLUCIÓN

Son (-820") = - Sen 820° = Sen (180° - 100°)) = - Sen 80°

"e

1042. DEL TERCER CUADRANTE AL PRIMER CUADRANTE

eMC > RT.(0,) = 2 AT. (0, ~ 180")

(OJO: El signo (+) v (-) depende de que AT, se trate,

EJEMPLOS

4. 200* e I C Entoncos el Seno es negativo, el Coseno es negativo y la Tangente positiva.
Sen 200° = -Son(200°-180)) = ~Sen 20°
Cos 200° = - Cos (200° 180") = -Cos 20°

+ Tan 20°

Tan 200° = + Tan (200° - 180°)

18

ANÁLOGAMENTE
2. 220° e IC Entonces:
Sen 220°
Cos 220°

Tan 220°
3. 260° e IC Entonces:
Sen 260°
Cos 260°
Tan 260°

an
4. J e MO Entonces:

An
Sen $

Ar
cos $

ir
Tan

6 emo non

ES
sen ©

ES
cos SF

Tan ER

= -Son (220° - 180)
= Cos (220° - 180")
+ Tan (220° ~ 180°)

= -Son (260° - 1807)
= = Cos (260° - 180)
+ Tan (260° - 180°)

an
= Sen (TE =)

an
= = 005 (ZF -n

in
+ Tan (Gm

= Sendo"

= Cos 40°
= Tao
= Senso"
= Cos 80°
= +Tan 80°

= Cos

= +1

= +Tan

19

Sen 190° = ~ {= Son (190° - 180")) = + Sen 10°

me i

+ Cos 190° = + (- Cos (190° —180%))

mc

‘MEZA BRAVO ELVIS |

EDUCCIÓNAL PER CUADRANTE

ADRIAN YNEANZON
14.Calcular: Cos 1910
RESOLUCIÓN
1910 [9607 Cos 1910" = Cos 290% = *Cos (230° 180") = -Cos 50°
1080° 3
230°
15.Calcular: Tan 1700 3
RESOLUCIÓN
4700" [360° = Tan 1700" = Tan 260° = +Tan(260'=190) = +tango*
1440° 4
260
16.Calcular: Son (-2050")
RESOLUCIÓN
2050° | 360°
wor Ss
250°
Sont-2050°) = -Sen2050° = Sôn 250° = (= Sen(250° - 180")) = Seno"
we

SiO, «WO

DEL CUARTO CUADRANTE AL PRIMER CUADRANTE.

> RA.(0,)= = RT. (860° -0,)

(OJO; El signo (+) v (-) depende de que A.T.se trate

EJEMPLOS

4. 290° e IV O, entonces el seno es negativo, el coseno es positvo y la tangente negativa

Cos 290°
Tan 290°
ANALOGAMENTE
2, 310° e IVG Entonces:
Sen 310"
Cos 310°
Tan 310°

+ Cos (360° -
= Tan (360° - 290") =

Sen (960° - 310"
+ Cos (960° - 310°
— Tan (360° - 310")

‘Sen 50°
Cos 50°
Tan 50°

—— KK

‘Sen 950° = -Sen (960° -350°)= - Sen 10°
Cos 350° = + Cos (980° - 350°)= + Cos 10°
‘Tan 350° = -Tan (960° ~ 350") = — Tan 10°

a

Tn
Sn.

Tn Tx x
Cos = +Cos2r- 7) = +0085 =

Sen 260" = -(- Sen(360*- 280") = + Sen 80"

ADAN YNEANZON |

8 Cos (280%) = +008 280° = + (1 Cos (960" 280") = + Cos 80°
we
9 Tan(20)= -Tn20 = ~ ("Tan (960"— 280") = + Tan 80°
ve
25% 25% Y 25%
10. Seng) = = U Sonn FS) = +8en 75

25% x
a a) = + Cos 35

25x x
2 Ertan (= go) = +Tan 5
wc
13.Calcular: Sen 1030°
RESOLUCIÓN
1030° Laso" => Sen 1030" = Sen310° = “Son (360-210) = - Sen 50°
720 2 a
a we
14.Calcular: Cos 2140°
RESOLUCIÓN
2140" | 360° = Cos 2140° = Cos 340* = + Cos (960-340) = + Cos 20°
1800* 5 aa
We
340 o

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZON

15.Calcular: Tan 10000° Ñ
RESOLUCIÓN

10000* [360° =+ Tan 10000" =
9720: 27
280"

fan (360° - 280°) = - Tan 80°

16.Calcular: Sen (-281

RESOLUCIÓN
2810° | 360°
2520 7
290

‘Sen (360° ~ 290°)} = + Sen 70°

Sen (-2810°) = - Sen 2810" = — Sen 290° = -

wo

PROPIEDAD PARA CALCULAR R.T. DE [(2n + 1) 20]

Para entender la propiedad, nos ayudamos del siguiente gréfico.

En el gráfico se observa que 8 es un ángulo agudo, éntonces:

à a. à ae

en cee re
Nr
=

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZÓN

Las ALT. de los angulos anteriores se reducen a CO - AT. de (0), aplicando las siguier

AT. (90*=8) = + CO- RIT. (8)
RI. (90° + 0) = + CO — AT.)
RT. (270° -0) = 2 CO RIT. (0)
RT. (270° + 0) = + CO RIT. (0)
JO: El signo (+) v (-) depende de que AT. se tata.

EJEMPLOS

D ne

oO ae

|
I
|

me

on

7. Sen (270° +0) == Cos 8. cos +0) = Tsen0

we ve

040: Si 0 no es agudo, también se cumplen las propiedades. Para esto a 0 se le considera agudo.

EJEMPLOS

eae)

4, Siell-> Son(90"+0) = 10080 2 Sell» Cbs (F +0) = "Sone
we “We
3. Side WV=Tan(@70"-0)= 4010 A Sioelc= Cor +0) = Tano
we
25

foiend
2 z

Foe
EJEMPLOS

1, cacas +
RESOLUCION
(+1)
es oe =
Eee © 5 O +

we

À 157
2. Calcular: Cos (2. - 8)

RESOLUCIÓN

2. Calcular:Tan (22% + 0)

RESOLUCIÓN

wen
BE ans eh EN
we

4, Calcular Cot (22% +0)

RESOLUCIÓN
8-1

2m
2

Tara
ANT oF 2002 +0
5. Cala: Sec (32% - 0)

RESOLUCIÓN

(9241)

Sm Gat oE =
PE = +E © F = Se (7

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZON

EN GENERAL
V 8e Rane Z se cumple:

Arten 0] à 0 2 à co nr 6)

PROPIEDAD PARA CALCULAR R.T. DE [nx + 6]

Para entenderla propiedad, nos ayudamos del siguiente gráfico.

En el gráfico se observa que 0 es un ángulo agudo, entonces:
+ (1800) eC v (R-HeMC + (180° + Ve MO Y (Ree lic
(960° -0) e WCv (2-08) € VO (960+) 16 v @r+o e Ic

Las RT. de los ángulos anteriores se reducen a RT. de (0) aplicando las siguientes formulas:
RT. (180° -0) = = RT. (0)
RT. (180° +0) = = RT. (0)
RT. (960° — 9) = = AT. (0)
RT. 660° + 6) = + RT. (@)
-
(040: El signo (+) v (-) depende de que FLT. se trate

EJEMPLOS
1. Sen(180'—0) = +Seno

E

> acen = Sane a

mo

5. S00(960"-0) = +Seco a
we

7. Sen (960° +0) = +Sen0 8.
16

(OJO: Si 8 no es agudo, también se cumplen las propiedades. Para eso a 0 se le considera agudo.

EJEMPLOS:

1. Sid. WC Sen(180”-0) = +Seno 2.
wo

3. Sioe IVC- Tan(180" +0) =+Tano 4.
we

5. Side INC Se(860-0) = Y Seco 6.
we

7. SiO. II» Sen(260°+0) = +Sen9 8.

te
40.6.1 PARA ANGULOS DE LA FORMA [nx = 0]

Soe HC > Cosle-0) = “Cos
We
pute

Slee tic = Coles0) = coto
we

Sloe VC > Cscl@r-0) =" Csco

we

Sie MO = Cosn+0) = À Cos®
16

El lado final del ángulo cuadrantal de la forma Zn, n € Z coincide con el semieje X positivo,
y del ángulo cuadrantal de la forma (2n + 1)x, n € Z coincide con el semieje X negativo.

nor

EJEMPLOS

1. Calcular: Sen (8x +0)

RESOLUCIÓN
24)

de)

=D <> 0 = Sen (8x +0)
2. Calcular: Cos (13x 0)
26)+1
3

Sen (0 + 0) = Seno

13n = (2n+ 1) <> » = Cos (13x - 0)

Cos (x 8) = * Gos 0
we
3. Calcular: Tan (24x 0)
RESOLUCIÓN
242)
ra
Zi = Bik <> 0 = Tan (24r-0)
4. Calcular: Cot (35x + 0)
RESOLUCIÓN
20%: 1)
I

Tan (0-8) = Tan (-0)= -Tano

85x = @n+t)x <> x = Cot(85n+0)

Cot (x +0) = + Coto
me

5. Calcular: Sec (124n - 6)

RESOLUCION

tix = Bie > 0 = Sec(t2tr-0)
6. Cater Cox (213+0)
RESOLUCIÓN

EB]

213x = (2m + fx <> x =Cs0 (2191 +0) = Cee (n+

Sec0-0) = Seca) = «Seco

EN GENERAL

V 8e Rane Z se cumple

RT. [nx 2 6] = = RL. (0)

———— II 4 =—>s

MEZA BRAVO ELVIS

PEDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE. 1. Ark ran

LA ANGULOS RELACIONADOS
Se utilizan con más frecuencia
10.7.1 ANGULOS COMPLEMENTARIOS.
¡Sia a son complementarios, entonces se cumple:

a+ = 90°
a= 90-8
‘Sona = Sen (90* =P)
Sen a = Cos ÿ
ANÁLOGAMENTE
Tan a = Corp Seca = Csc p
EJEMPLOS
1. Sendo" = Cos 50” OJO:
2. Cos 10° = Sengo 040:
3. Tan 35° = Cs OJO:
“cat = tn OJO:
oa
x Sx
8.sec% = cee St ovo:
an Ir
6.080 2% = sec ZF vo:

10.7.2 ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Si a AB son suplementarios, entonces se cumple:

a+ = 180°
a= 100-8
Sona = Son (180° ~ 8)
Sen & = Sen $
ANÁLOGAMENTE
Cos B Tan a = Ton B
Cota = = Cot B Soc a = = Soc pr
Oso a = Ccp

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZON

EJEMPLOS

1. Son 130° = Sen 50° OJO: 130°+50° = 180°

2 Cos 110*= -Cos70* OJO: 110" +70" = 180°

3, Tan 140° = ~Tan 40" OJO: 140°+ 40" = 180°
on x one

400g =-cr5 oo: Peza
an Be er

5. Sec 5 = ~Sec À Say
ar on an on

6. csc = 00% oo: HE

[E] reoucción AL SEGUNDO CUADRANTE

Si 0 es un ángulo positivo en posición normal no perteneciente al segundo cuadrante y
, su ángulo de referencia, entonces reducir al segundo cuadrante es calcular un ángulo.
9, en función de

Recordamos la sección 10.2.1

sio, ene >

0, = 2-0.

EJEMPLOS

1. Reducir al segundo cuadrante: 200°
RESOLUCIÓN

9-20 = 020 = 180°- 20° = 160°

2. Reducir al segundo cuadrante: 310°
RESOLUCIÓN

o=310 = 0-50 = 180° 50" = 190°

3. Reducir al segundo cuadrante: 35°
RESOLUCIÓN
5»

180° 95° = 145°

[REDUCCIOWAL PRIMER CUADAANTE | HE ADAN MENTON |
10.8.1 CONVERSION DE AT. DE (0) A LT. DE (0)
Si0.€ Cy 9, es su ángulo de referencia, entonces se cumple:

Cae.

ALT. (0) = à (AT

dl

EJEMPLOS

1. Convert al segundo cuadrante Sen 220°
RESOLUCIÓN
9=220% = 0,=40° Luego:

[+ Sen (180*—40") == Son 140°
m ne

2. Convertir al segundo cuadrante. Cos 350"
RESOLUCIÓN
0=350° = 0,=10" Luego:

Cos 950" +[- Cos (180°

v "e

3. Convertir al segundo cuadranto Tan 50°
RESOLUCIÓN
0-50 = 0,=80" Luego:

AA

‘Tan 50° = + (Tan (180° - 50°)

ic nc

ELVIS

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE ADRIAN YAFANZÓN
[E] reoucción ALTERCER CUADRANTE

Si 9 es un ángulo positivo en posición normal no perteneciente al tercer cuadrante y 0,
su ángulo de referencia, entonces reducir al tercer cuadrante es calcular un 8, en fun
ción de 9.

Recordamos la sección 10.22:
side mo >

EJEMPLOS
1. Reducir al torcer cuadrante: 130°
RESOLUCIÓN

0=120° > 050 = Oy =180*+50*=230"

2. Reducir al tercer cuadrante: 820"
RESOLUCIÓN

0=320 = 0=40 = Oy = 180 + 40° = 220

3. Roduci al tercer cuadrante: 50°
RESOLUCIÓN

0-50 = 0-50 = 180° + 50° = 230"

10.9.1 CONVERSION DE A.T. DE (0) A RT. (0)

Si 0 € MC y 0, es su ángulo de referencia entonces se cumple:

AT. (0) = à Le RT. (x + 0,))

on

‘MEZA BRAVO ELVIS
| REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZON |

EJEMPLOS
1. Convertir al tercer cuadrante: Sen 110°

RESOLUCIÓN

m Luego:

o=110 = 0,
N

San 110" «+ [Sen 180+ 709] =~ Son 250"

nc mo

2. Convertir al tercer cuadrante: Cos 325°
RESOLUCIÓN

o. ee
a
(00s

(180° + 85°] == Cos 215°

nes
3. Convert al torcer cuadrante: Tan 55°
Luego:

vo mo

REDUCCIÓN AL CUARTO CUADRANTE

Si 8 es un ángulo positivo, en posición normal no perteneciente al cuarto cuadrante y 0,
‘su ángulo de referencia, entonces reducir al cuarto cuadrante es calcular un ángulo 0,,
fen función de 8.

Recordamos la sección 10.2.3
CS

EJEMPLOS
1. Reducir al cuarto cuadrante: 125°

RESOLUCIÓN
o=12% = 0,

EER BRAND ELIS)

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE
2. Reducir al cuarto cuadrante: 230°
RESOLUCIÓN
0=290 = 0250 = 9,=380°-50°2 910"

3. Reducir al cuarto cuadrante: 35°
RESOLUCION
0=35° = er er > 0, =960"-95° = 325"

410,10. CONVERSIÓN DE A.T. DE (0) A A.T. DE (0,)

‘S10 € IVC y O, es su ángulo de referencia, entonces se cumple:

VO
Ad

= LÉ RT @x- 0)

EJEMPLOS

1. Convert a cuarto cuadrante: Sen 100°

RESOLUCIÓN
9=100% = 0, =80° Luego:
; Va
Sen 100° = + [- Sen (960° - 80°)] =~ Sen 260°
we We

2. Convertir al cuarto cuadrante: Cos 235°

RESOLUCIÓN

o=23 = 0,=55° Luego:
A

Cos 295° = © [+ Cos (960° - 55") = - Cos 305°

we vo

3. Convertir al cuarto cuadrante: Tan 35"
RESOLUCIÓN
035 = = Luego:
Tan 35°
ic

Ve eisai

11. Simplicar:

E - Senl-120")-Cos(-210")+Sec(-300")
Tan(-135")+Sec(-225")+ Sec(-315%

A

Cos(-340") - Cos(-160)
‘Son(t 10°) -Tan(~125%).Cot(-235°)

E Bue co
09 Da
14. Simplicar:

190° + Tan765° - Cos1120°
Son1460° + Tan780° - Cost150°

A a os

ns HS

15. Si ‘n° es un número ontoro, calcular

E= Senjen + 1) À + Cos(120+1) 3

San +x) Sent" y) Seof™ +x)
Be rg gen
Gos(Sx-+x).Cso{7 =x) COUP +)

AJCOLX B)-Cotx C)-Senx
D)-1 EjSenx

17.

18.

19.

ADN ERA

Cov (8275)

23%
Vers(@- 10%) Vers (227 -0)

A2 Bj co
ON E)2

Si 0 es posiivo, menor que una vuelta,
úhallar 9 en cada una de las ecuaciones.

L oelc à

TAS

Moelle à

MOSCA

1
2
Voelc à 8
I.0S VO À Tano = =

‘Convertir al primer cuadrante

13m ain

L Cos FE a Sen 55
2m

Tan a5

Convertir al primer cuadrante,

L Son2 1M.Cos3 M.Tana

ICONS V. Sec 6

Convertir al primer cuadrante.
Am

1. son 431

Tan 327%
13,

‘MEZA BRAVO

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE |
22. Calcular:
E=Cos1*+082*+0059"+... + Cos180*
A-180 B)-1 Gyo
oh E)180
23. Hallar 0:

zur ae ES
Tanz + Tan Ÿ + Tan y = Cose.tan y

De 1
os

me nt
2A Sh a= 00 caer

Tan (da +6P) Senta + 4p)
Tan(6a + 4p) * Cos(aa + 58)

A2 84 Co

on Ej2

25. SI F(x) = Got x - Csc2x + Sec3k = Tandx.
Hallar: F(75°)

A0 BR CS 2
DS Be
26. Calcular:

en rum
Encoet® «con at ct

ne 6
=

at a bu à a pou
à ml it
ntl coed ot
mon oft os
AAO Bd
HAT DOE
DO

28.

30.

a.

Si: Tan(180°-0)=2.06 VC
Calcular

E 45 Go(e70 0) 4 Coton 0)
D à oe
de de
Si Cosi70-0)=0406 MO
catala
E-tan(180 +0) + Seo (800)
fr fs fz
a Ea 2 Ons
[EN
of 94
Vert 7225 à 0). Go (1288 +0
Re 9 08
A
Cela
IR coa 100%, Se
Sen(-—3" ).Cost- 3" )Tant- Gr)
es
ee
o)
ï 1
AG Ss. 04
a
ot 94
St ke 2 Caer

E= con + cou 0% +

Sont à 97 + cate

a1 8)0 0
De E)

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE.

33. Si: ke Z; calcular
Vers(kr) + Covlkn)

versie DE

AA) 8)2-(1X Ojal
D)0 Earl

34. Sabido qm
Maras E sake z

N = Gscfn + (tal ne Z
Calcular: M Seo a + N
A)-Sena 8)Sena C)0
D)Cos a E)-Cosu

3. Stabikez
Simpiiicar:

Satin + cor mn

E-
Sen kx + Cos kr
Aer DE GE
1 0

36. Simplicar:

x Se40S? + 6) Tn(230" + 6) Sen(302* + 0)
Cot(400* = 0) Cos(778° = 0) Sen(496° — 0)
a; Bt 9-1
Dz 92

37. Sabiendo que:
M= [Tan (180° + 6) + Tan (400° + 0)?
N = [Tan (220° + 0) + Tan (230° - a)?
¿A qué es igual? MN

A420
Dj2 Eja

38,

39.

ADRIÁN YNFANZON

¿Au estat San SE

Zn 13x
A)-Sen FF B)Son Tr
ar ox
Olsen FF D)Sen $F
Esen À
implicar:
45% | son 15% à sen DR
Son SE + son 25% + Son 99%
E=
255
7
AS BOO
on #3

Hallar: E = See 6 = Tan 9

er

44. Halar: Tan si a =P

Y
on
» .
P 4
pS 12
Nies
1 1
Ars Big OS ni 9-3
DER, 45, Si: AB = BO y BM = MO.HallrıTan 0
42. st Sena=-19; Calcular:
cen SOD og Stet
A2 aa 00 Si AB=B0=C0
on #2
Hallar: E = /5 Sen 0 + Tan ®
49. Calcular: E = bGsc a+ a Sec a + Cote >
an
ab Bb Oa a... msc
Da Eb oh E

a

o EV,

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE | ADRIÁN YNFANZON
erg
del triángulo sombreado. E = Tan lol + ICot 01 4
a : E
x on
NAT ne m2 co
ds io
mye a
n° 50, Si AM = OC y AB = AD. Calcular:
pics | pe EES)
e] AR E VE coto-Tne
i 7
‘
US
y
Ñ
= —:
me m1 oo
48. SiO, es contro, halla: D me
3. Clie odo sch ie

o Caen
E=Sen y +Cos 5

5 2 1
AR Br. gs
1
5

sición del punto °P" despues que la rueda,
(de radio a” hace un recorrido desde “O°
(Origen de coordenadas) hacia “A” ba-
imendo un angulo “0. Incalmonte el pun:
to *P* se encontraba a una altura "2a

‘Como se muestra en el gráfico.

A)(a 0+ Sen
B) (a {0 + Cos 0j a[t + Cos 0),
C){a 10 + Sen 9j a [1 + Cos 0),
D)(a (9 + Sen 0}: a(0 + Cos 0)
E)(@ 0 + Cos 0}; a[0 + Sen 0)

EEN PRANOESVS!

REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE N ADÁN VERNON

52. Si ABCD es un cuadrado, hallarTan 4 58. Si -71<0<-6r. Hallar 6 on:

59. Si ABCD es un cuadrado, calcular:

Eatin 3 +0: mo

53. Convertir al segundo cuadrante:
Tan(-2057")
A)-Tan 103° B)Tan 103° ha
C)-Tan 113° D)Tant19"
EJ-Tan 117°

54. Converts al tercer cuadrante Ast d

à ee ae A2 8-1 oo

L Sen FIL Cos SE tan 27 ON EJ2

= learn 160. Hallar: Tan 0 st «O» es centro.

L Sent M.Cos2 I.Tand

56. Si 270°<a<360". Hallar a en:
(Cos 3400° = - Cos a

A)290 B900 Cyan
Dia EJaso*

57. Hallar 0 sabiendo que está en el ercer
cuadrante, es postive mayor que una vue-
ta pero menor que dos vueltas.

E o
Cos0=-Sen 7 A
ar sn dr a "
Dirge Sitges o Mai a
Mr 4m "

PP A o eT Us et

CLAVES

PROBLEMAS RESUELTOS
ole s]o
02 | 6 s| o
0 | e | 8
os | 0 asl 0
os [o 3s| A
GE | 8
o|o | a
os |b æ| 0
0 [o »| 8
tol ¢ “| 8
[lo als
AE AE
a “| 0
mule \ “| o
[8 “| 0
16 | 0 | ©
wie | 0
| + | 0
19| > “| 8
20 | + so| o
ail: so
zis sol A
alec s| 8
24] 0 EJ
ale IE
ale 56| E
ala s7| o
28 | 0 s| 8
28 so| E
30| o sole

ra ques ga

ELVIS

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. a ADRIAN YNEANZON

RESOLUCIONES

01.E=Cos210*-Tan120* + Cot830" + Sen240" os.
= (-Cos90")

ply sce ee
El = (San4o) rota!)
O -* TOMAS (Csc40°)(-0sc40N)

[=>] .-
(Cot 60°) - (-Sen 30°) - (Cos 30°)

Sensao®

16 06. __ (- Gos x) + (- Son »)
22 Een

ee (Gos x + ( Sen x)
22

or.

SC Los)
Tan x

(03, = (Sen 45°(-Cosa0°)(Tan 60°)(-Cot00")

FARE ar
PCS EB)

(04. La relación incorrecta es IV.
Sec 240° + Oso 240° > 0
(E Sec 60") + (- Cse 60") > 0

A a. can (Gon x) Come)
bs (Cesew (008 JE Tan »)
Cox Sen

Tan.” “Gos

[ee]

2
2 > (Fais)

Jr

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE.

10.

1.

“Sema Ben Cos x
Sark à Jar =

cow - ex) EM

Senx

Cox

Cosator
Tanias + Soc
~{Sen60") = (-Cosa0*) + (Se060°)

e
Stands + 5005 + (50045)
pa
DE ee a
te Gost») mero
Tao ” Ses 600
ES
CT) Sex
Be ee es

13.

E= - (Sent x + Cost»)
Cost60°

(Sent 10°)(-Tant25°)(-Coiza5")
(Cos 20") - (- Gos 207)

Cosa4o” —

14.

15,

= Sen q+ 5) + Coste + 3)

E= Son À + Cos y

E = Sen 45° + Cos 60°

+1). Sen(°” F-08001 +3)
je, ea SON tH SOM Se +0)

Contes) CA CARA
e TS. (008 9. 0822)
Eos} 168 (Cot)

Son

m obte seca

1 Gag(0 - 10%) 1 Costa

mE 1-Son0-9

See,

Dot

1

RE
Trent

MEZA BRAVO ELVIS
REDUCCIÓNAL PRIMER CUADRANTE ADRIÁN YNFANZÓN.

20, 12010 = Senz - BEN

18. 1. 0e NC À Sono

IL 3euC = Cos3
Mae + Tans - CNE

MSaWC = cots
V.8<VC = Seco

Moe MG À Cos 0 = en
0 = 100° +30 DE pesos ?

iin ae

1.96 HC Cos 0 = TI T,

0 = 8000 AE oon sane À
Vv. be NC À Tano= 5
0 = 10060 AEE ee
ae an
: PR En ...::
= o 2% Vote on
E

22

2 2 es
mp pile 0 Cos 176° = Cos 176°
Gos 1777 = Cos 177°

2e ‘Cos 178° = Cos 178°
me PE =5a1 ewe CRIE Boies

‘Cos 180° = -1
225
Tan © Tan En Resulta: E=

ar

24 PA Sd
"a ph
Tan(960 + 29) Sen(360 +a)

Tan G60 +25 * C0
(Si A ae

= eats

Hans Sena
040: a9 00: Saas 3p 100
Eto

F(75°) = Cot7S" -Csc150*+Sec225"-Tango0"

F(75")=2- 8 -(+Csc907}+{-Sec45°)-{-Tan60°)
EOS fe- la AS

an EN

ES ES
26.008 = ~Cos q = Cost = Cost LE

FO

7 x Tr ur
Cos = -Cos =Cos = Cost

Roomplazamos:
E= Cost À + cost SF à cost + cost À
Ben Sen Ces

Er (eur + 008%)

27.

28.

ADRIÁN YNFANZON.
pore Gus 3% a So £
Gann

Suman 5

Reemplazamos:

(Cost + Sen? Ey

a
a.
en
en
“met cal

©

Tan (180° - )
Tano = 2

&
(er)

E= J Cos(270" - 0) - 4Co1(960" - 0)

5 Sen +4 Coto

2 1
E-Ke rs
Reg) +)
cs
<a
29. Cos (270"- 0) = 04
2
=50n0 = 2
ee
sono = 2.1

E
qa

la
E = Tan (180° + 0) + Sec (860° ~ 0)
E=Tan 0 + Seco
A
ei

a
E=
Ja

[i-seng-0} (1-cor-o]

* coat +a

32. ouo:

+ Cos (2k = 1) 5 =0

x ES
+ Coe (AE <> 00
+ Son (2 » 1) E = Sentir + 7)

= 1 (pan Sens + E)

ye
k=2 (par) = Son (2x +R )=1

+ Cos 2kr <> Cos0 = 1
Reemplazamos en:

ECOS) F «Ca À + Sen) $ Cod
ESO

oe En o

„ 1-Coskr+t-Sonkr „
1-Cos(2k +05

E

ape

24 MaTan (e+ E +0)
Para 'K' par o impar siempre:
M=tan( +0)

M=-Cota
N = Gec [nx + (-1)o}

Para: n = 1 (mpar)

N = Csefr - a] = Cow

Para: n = 2 (par)

Na Cocker + a) = Cc a
Reemplazamos en

MSeca+N= -Cota.Seca + Csca

35. Oso:

x an
+ Sen (4k 1) À <> son SE =

x on
+ Cos (k- 1) À <> Cos SE

+ Sen kx =0
+ Cos 2kx <> Cos
Aqemplazamos en:

Santa 92 «costa —9 E
Sen ki Cos An

=

‘Son(405°+0)= Sen(360°+45°+0) = Sen(45"+0)
Tan(230*49) = Tan(180°450+0) = Tan(50"+0)
‘Sen(292"+0)= Seni36Q'432"+0) = Sen(32°+0)
{Co4400"-0) = Cotae’+40"-8) = Cot(40"-2)
Cos(778'-0)= Cos(Pag'+58*-0) = Cos(56'-0)
Sen(495'-0) = Sen(3BK+135°-8)= Sen(135*0)

Roemplazamos en “E:
En Serias" +0). Tan(60" + 0) -San(32" + 0)
Goi(40° = 0). Cos(68"— 8). Son(135"=0)

Aplicando ángulos suplementarios y com-
plomentarios. Tenemos:

Saris 0) Jarts0 71 Santez-F0)
Jan +50”). San(82"F0) Sartss=+0)

eu

E

a.
M [Tan(130* + 0) + Tan(400" + 8)
[- Tan = 0) + Tendo” + OF
CE)
M [Tan(40" + 0) Cono" + 0
N = [Tan 220° + 0) + Tan (230° - 0!
N =(Tan(180"+ 40-40) + Tan(180°+50"-0)?
N = [Tan (40° +0) + Tan (so? - or
cot aor 0)
N = [Tan(40" + 9) + Got(40" + 0
MN En +9 Ca +0 +A AOF
Aplicamos “Legendre
MN = 4 Tan(do? + 9). Cato" +0)

Ga

on
Son Ft = + {+ sentr- 2%) = sen
te we
ir
30. 45 LZ
= 70:

5e =
Be
son ex
ol = + = eT
478
Sms ee
7
mt ee
eaves
eee
7

Reemplazamos en “E”:

e cn ges Br,
BEE Se a)
Son)

=

090: 6-4 = ~270°
9 = a-270

Reemplazames en:

E

E = Soc(a - 270°) ~ Tan(a = 270)

E = Sec(270° - a) + Tan(270" - a)

E = - Osca + Cota

2,2.
zus Ed

OTRO MÉTODO

eco Tan 0

E=Soc0-Tano

v8
Eagan ar E

‘ADRIAN YNFANZON

sco + Coto
= Oso(=0) = Cotf-0)

13_ 312 _ 13412 |

Eu 5

4.

Reemplazamos on "er
E=Tan(100°+0) +Cota-270) +Tant95°
E= Tana ~Colf270"~ a) 1

Ex ware
El

E =bOsca— aSecı + bCota
SS
E-rea

=o

00: 9-0 = 270°
© = 9-270"

Tano = Tan(o- 270)
Tan(270" ~ 6)

(08 = OC Por que los triángulos OCD y
‘OBA son congruentes (LAL)

E= (6 sen 0 +Tano

24 2
Ex a er.

‘MEZA BRAVO ELVIS

ee E x y
Por semejanza de triángulos: E = Sen(-37)+Cos(-37)

E = - Son 97° + Cos 37°
H _ 4Cosa

AS Kömark

Cosa.
Sena+t

o
Pero: À a= 180"

Luego por ángulos suplementarios tene-

090: -45°40 = -270°
270" +45"

= 2

Tan I + Got oi

Tani-25"1 + ICot-225")1

Tan 225° + Got 2281

= Tan 45° + Cot 45°1
dean

-11- E

Luego:

50.

ae

OJO: 0- a = -360"

0 = 360"

V2 Coto - Tano
V2 «Cotía—3607)-Tan(a DR)

E = V2 .Cota-Tanx

st.

ae

y=a(1+Cos a) u

Ba a Gan Dee ea
Cos 0 = Cos lang + a) = Cos a
nn

53,

sa.

Tan 4 = Cote

Coso
Sono

Tan 4

Tan 4

Tan dá =

Jan 4

Tan (-2057°)
Tan (-2057°)
ovo: o
= 0-77

Convertimos al segundo cuadrante: Z
Tan(-2057") = = [+ (-Tan(180* - 77")

708
Tan(-2057°) = [ERAS
uo:
elo =F
ES Zr
o=Felc= 0.7

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ‘ADRIAN YNEANZON

(ay

tor x
BE vem 9 (

rennen ooo Holen an coro

Roducimos al tocar cuadrante: ie we

Zen 2

[13%

abs =
we ne
se 16 a 000 8 a m

D=2e NC = 0=r-2

0-46 MO= 0, rente

Becucimos al cuarto cuacrant: sent
al
à L Sent = + [-Sen(2x - 1)] - Sen =
LATE = aot
gern
a Sen a = -Sen™
An >] 9
uc we a =
BEF Ar
AL Tané = + [-Tanfar- (4- RI] En (1): 277
me owe E
sa. 000: caca cee %

‘Convertimos al cuarto cuadrante
(Cos 3400" = Cos 160
090: 0 = 160° = 0,

ELVIS

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE |

OJ0: A ann ()
Reomplazamos en:
Tano = ~Tan À

Tan(-6x ~ 0) =- Tan

=Tana = -Tan E

7
ET
En)
0=-06- E

so.

040: da = 360° = 0 =360'a
+ = 04m

E= Tan ($ + 0) +Tan(x— 9)

E=-Coto— Tang

E=- Cot (960° - a) —Tent-90" -
= Cot = Cotp

Del triángulo sombreado:

on vuranizón
en E _ up
c= Se, Co cg
Lae
al
oo

OJO: 0+ «= 960" = 0=360-a
Del triángulo sombreado:

“a
Tena = PS o
ES Aspe
Ce
10

En ()
si
10
Tana= À

Tan 0 = Tan a=

01. Calcular

E [San 240%Sen 120%Cos &

9 3
1 2% of
3
DE #0
02. Simplicar

‘Tan 120° + Son 300° + Cos 150°
‘Gos 120" + Son 210° + Tan 315°

a) Bt os

1
Dz E

03. Calcular:
E = Sect35".Csct50" „Tan240° .Cot210”

A6 BR cn
D)-1 CA

04. Indicar la relación correcta:

Son 120° = Cos 240°
1 Tan 150° = 3Cor240°
MI. Cos 120° = Gos 300
IV. 2Sen 150° = Tan 225°

V, = Sec240* = C3c330°

ai en ou
DIV EN
os. Si a LA qué cs igual?

‘Sen 170* Cos 100°. Cos 350"
‘Gos 280° . Osc 100° „sc 260

Aa Bat oa
Dae Ba:

‘ADRIAN YNFANZON

PROBLEMAS PROPUESTOS

06. Simpificer
Tan(270° + x) + CONGO" + x)
Catı80° + x) = Tan(@60" = x)

no gt ot
D)Tax E)Corx
07. Simplficar:
a 3x
Tar 4x), seein»). Se{ SE +x)
Cosa)
ACsex B)-Secx C)Soc x
D)-Gsex E)-Tanx
08. Simplliar;
ee 08 Sen (960° =x)
© Gos (180 Sen ow)
ayo 82 02
Da En
09, Hallar el valor de:
ar x
lo 0} +coste-o-Tar(0+3)
Coven -0)~See-0)+Cae{ 5 +0)
Cuando 02 E
a1 94 oo
2 82

10. Simplcar
‘Sen(Qe0"—»)~Casi270"-1)-Seni90" +0
ee

A -Senx B)-Cosx C)Sonx
DJCosx E)-t
+1. Calcular:
Cos (-750") + Sen (-1020"
Cat (210%)
ayo en 9-1
AS

"REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

12. Simpiiicar
Sen (x= 270) _ Cos
© Scie 960") se (x= 180)
no 92 9-1
Dee Er
19. Calcular

E 2206-2409 + S
Cot(-815°) - San(-185°) + Cos(-225°)

a DN oe
1 1
Dra Dz
14, Simplicar:

‘Sen 630° + Cos 540* + Tan 900"

setae
la 8 la
yee yee
05
Dan
16. Sepia

CCE)

ES sacra Senora. Tanti rx)
ATanx — B)=Tanx C)Csc x
D)-Gec x E)Gotx

Jo

18,

19.

Si Vers(0~
Calcular
ve

1-Vor
mb)

EC)
A01 B02 C)-01
Dos Et

si son
positivos y menores que una vuela.

Hallar; $ y @ respectivamer

1
| ae IVC A Sena=-1
1 Vor Ss ;

WBENO A Cotp =
Mee MO à Sec = -2

A) 120°;150°;240° B). 900"; 150%; 210"
(€)330"; 120°;240° )300"; 120°; 210°
E) 390°; 150°; 240°

Al convert al primer cuadrante, resulta:

onde ot
+ oo os
te awe

‘Son verdaderas, las igualdades:

Aly ByN Chyin
D)NYIV E)Todas

Al convertir al primer cuadrante, resulta:

L Tan
1. Sons

Tan (4 - »)

= Sen (x-3)

ML Cot5 = ~Cot(2x ~ 5)

IN. Cos 2 = - Cos(a=2)

‘Son verdaderas, las igualdades:

AJIl; MY IV B)Solo! — C)IMy IV
D)I, Ly IV. E) Todas

DR E4

Calcular:

E=Send1* + Sen92”+ Senso” ++ Son270°
A270 Bro C)O

Dt En
Haar
POLE RL cos
co
5)

Si A y B son complementarios, al simpli.
car:

‘Sen (A + 28) Tan (2A + 38)
‘Cos (2A + B) Tan (4A + 38)
Se obtiene:

Aye b-W cn

0)-1 9-%

a

6) =Cotx—Ten E x+26en 15 x + Sec10x
pat ot

A 8)0 C4

D) GE

Calcular:

= Sony 24%) + Sent 2-7) +
E = Sony +5) + Sen( 2-7)

A0 8)4 cn63
DJ4J3 E)-445

Hallar el signo de cada expresión:

52% Cog 258
1. Son SIR . Coe 25%

Sr pap 228
1 cee $2 tan 22

Mm BR) on PE

AGMA ARO
ONO) Dd)
90 6 6

. Si: Cou(180" acc
Calcular.
de _1= Con 0" + 0)- Tan" -9)

ETAT TE]

5
8-5 0-

>

El

E)

Si: Tan (x=5)=, ¿A qué es igual?

Ex Viva .Sen5+acots

Aja-1 B)t-a Cja+1
Dj-a-1 Elo

a ‘ a

Mi 8-3 O
4 3

Di ei

Dé 9-2
3

32 Sinkezuo- =

Calcular:

e. Sonens +0) à Tan + 95-01
Osoláka = 0) = Go = 1x = 0]

nl a

3
DE EJ-

2
3

Calcular:

En cu (IEE + mn 2180

at

CE

Indicar el valor de verdad de las siguien-

à he Za Seta «coto Fe 1

tes proposiciones:
1. Senn +0) = (MS ;kez

M. Goel(en + 1) À + ¢] == Coso; ne Z

Tan (ke +a) = Tan a ikez

AWV BIFFF C)WF
DIFFV EJVFV

Aw € 11 G. Calcular el valor de:
E=Seca+Tana

a 9-6 os
hote
D)- = DES
Be ee
¿A qu es qua
E me, Sen(a + B +0)
Cota Cos B
a0 92
C2 D) Tan") - Tanp
E) Cot - Cotß
a

LA qué es igual Cos =>,
ES ES ES
A)Cos 2% B)- Cos °F C)Cos St

on ES
0)Cos 2 Ej= Cos S

40.

a.

El valor convertido al primo rcuadranto.os:

A) = Cota —3)
CC) Tanta = 9)
E) Sen(x - 3)

8) Cols - 3)
D)-Tan(r = 3)

Hat

(03004020

>
se on

8)- o-

9

9-2

Hallar: E= Sec ~Tan 0
Y

gun

=
es vie

eon
a )

E

EJ-2

42. Calcular:

A) Seno

B)-Seno C)-1
D)-Tano E)1

43. Hallar Tano

co)

45. Si ABCD es un cuadrado hallar: Tan 0.

ni

DE}

46. Halar E=Csc0+Tano

3
As. Bias
08 3

47. Siel menor arco AP mide 0. Hallar el área
del triángulo sombreado.
Y

mn sae
en

ey Sst + sae)

48. Hallar x

a.

aA

A)2Tan0 B)-27an0 C)2Coto
D)-2 Coto E)2Son0

49. Hallar
E=Tan lol—ICot

a 9%
0-3 9-2

50. Si AM=MB=BC.
Hallar: Tan 0

An re
2a+b
rer ao

51. La rueda de radio “ al recorrer el arco
‘AB dió una vuelta. Hallar Tan ©

ant 251

A-Tan BET Cot BRE
ant Zur

ca Zur DyTan SAC

53.

sa.

ss.

A)-4 Tan 4Sen4 8)4Tan 4 Sen4

C)4 Cot4 Cos 4
E)-4 Cot 4 Cos 4

D)2 Sen 4 Cos 4

Convertir al tercer cuadrante:
Sen (-2648")

A)-Sen235° B) Sen 235° C)Sen 245°
D)-Sen245° E) Son 235°

‘Al convertir al tl, I y IV cuadranto res-
pactvamente resulta,

1, Tan290* = “Tan 110°
Sen 100" = -Sen 260°

m. Cos 230"
Son verdaderas las igualdades:

Allyl O By Cy
DISéol E)Sdoll

Cos 310°

Al convertir al cuarto cuadrante,
Resulta:
1. Son (-2) = ~Son(x = 2)

4r 17x
1.008 (- 7" )= Cos +

I. Tan (-4) = Tania = x)
‘Son vordaderas las igualdades:

al OI om
D)lly ll E) Todas son falsas

‘Serio 28x) Sec(i23r +0)

x Br gy 3k
NE Of 0%

Sa
Cars

IE!

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

15

LAVES

PROBLEMAS PROPUESTOS

£lälsi2lslsls|sisielslele|e

a[a[>|m[olo[o[elolo|m|>|olololo|m|olo|>|>|o|»/olo|a|o|m
5
2[mo|>|>[m|mjolojo|ojo|>[o|>[v|oJo|m|o|>|=[o|o|o|>|m|ojo|m

olo|

cAPITULO fil

ICA

CIRCUNFERENCIA TRIGONOM

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

| Una crcunterencia se lama TRIGONOMETRICA si au centro es el origen de cooordenadas
y radio uno.

La circunferencia tigonométrca se representa mediante la ecuación

ARCO DIRIGIDO EN POSICION NORMAL

[Toa anguto en posición normal sora represent ado en una circunferencia trigonomética
|| Porun are dido medide parir el punto AC)

E

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON.
+ Al punto A(1:0) se le va a lamar ORIGEN DE ARCOS

+ Elvalordelángulo en posición normal será igual al valor del arco en posición noimal, dicho valor se
escribirá en el extremo del arco.

NOTESE que « A B son poslivos y 0 „ 9 son negatwos

11.2.1. EJEMPLOS

1. Ubicar los siguientes ángulos en posición normal en la circunferencla tigonométrica: 40°; 100%;
250°; 350°, -90”; ~160°; -200°; -310°

RESOLUCION
1.
=
a ig a x

3. Ubicarlos arcos x, ax, tal que x<x, <x,<

RESOLUCION

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

ÉS
1. Ubicarlos arcos «$ tal que = apa
4. Ubicar k P talque <a <p

RESOLUCION

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ARCOS DIRIGIDOS EN POSICION
NORMAL

Si9 es un arc diigido en posición normal, sus razones trigonométricas se van a calcul

como sigue:

1131 SENO DE UN ARCO 0

EL seno de un arco 0 es la ORDENADA de su extremo.

1. La circunferencia es igonomética, ubicar el seno de los arcos a, 0. y 9

Y
4

NOTESE que: Sena > Sonf > Song > Sond

2. Ubicar el seno de los arcos: 90°; 45%; 210° y 225°
RESOLUCION

‘Sen 210° = ~Sen(90°) =

‘Sen 225° = - Sen(4S) =~-

ak

2

2
2

3. Ubicar el sono delos arcos: 0°;
RESOLUCION

Recordar que: Sen (-20) = 4

ra

Son (45°) = -Sen(4s") = —-

Sent-210') = -Senf210°)= 4-San 907) =D = à

ar e em E

4 Indiar er ati ln srt ote:
h Sens > Sen2
¿IL Sen(-20") < Sen (-70°)
RESOLUCION

posición de sus senos respectivamente

‘oso:
Senj-20") =-Sen(20)
Sen(-70") = -Sen(70°)

Cowan gio, mars a valore vr del raies
1 Sen > Sona)
Sen(-20°) < Sen(-70)......

5. La circunferencia es tigonométrica, calcular a longitud del segmento PM

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

RESOLUCION

oo
Sen2>0

Labrptudde sermon mes snzenwmcr , EIST

6. Lacircunferencia es trigonométrica, calcular a longitud del segmento PM

RESOLUCION

oso
Sens < 0 = -Sens>0

La longitud del segmento PM es "Sen 5° es decir

7a

ADRIAN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

11.32 COSENO DE UN ARCO 0

EL coseno de un arco 0 es la ABSCISA de su extremo.

EJEMPLOS

4. Lacircunterencia es trigonomérica, ubicar el coseno delos arcos a, 0 y $

RESOLUCION

Con Cns a > Cos0 > Cos
2. Ubicar ol coseno des aon: 80:45: 210 y 259
RESOLUCION

Recordar que:

3. Ubicar el coseno de los arcos: 90"; ~45°; -210" y-225°

RESOLUCION

Recordar que: Cos(-30") = Cos 30°

Cos(-45") = Cos 45°

als als

Cos(-210°)= Cos 210° =-Cos 30” =

(Cos(-225") = Cos 225°

4. Indicar el valor de verdad do las siguientes relaciones:
1 0083 > Cos2
I. Cost-20°) < Cos(-70")
RESOLUCION

Ubicamos on la circunferencia trigonométrica a posición de los arcos 2,3,-20* y —70*. También de
sus cosenos respectivamente

00
Cost-20°) = Cos 20°
Cos(-70") = Cos 70"

valor de verdad de las relaciones.

Observando al gráfico, armamos
0 608 8 > C08 2.
I. Gos(-20") < Cost-70)

5. La crcunferenca es tigonométia, calcular la longitud del segmento PM

‘MEZA BRA

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIAN YNFANZON
RESOLUCION

oo
Cos2<0 = -Cos2>0

Latongtuic sorento Pt es os sd

6. La crcunferencia es trigonométrca, calcular a longitud del segmento PM

RESOLUCION

ee

Gos 5>0

La orga el eqn Ps Cone dt

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
11.33 TANGENTE DE UN ARCO 0

La Tangente de un arco 0 es la ORDENADA del punto de intersección entre la prolongación
‘del radio que pasa por su extremo y la recta tangente a la C. Ten el punto A(1:0).

O

Tan

EJEMPLOS

4. Las circunferencias son trigonométricas, ubicar la tangente delos arcos a, P, 0, y 9

NOTESEque: Tano > Tena > Tanf > Tang

2. Ubicar a targente delos arcos: 90°; 195%; 210" y 300°
RESOLUCION

ee m

Tan 195° = -Tanase = -1

E

Tanz = ana = 3S

= Tano" = -¥8

Hl HEHE LEE A
3. Ubicar el coseno de los arcos: ~30";~15%; -210° y-300°
RESOLUCION

: Recordar que: — Tan(-90°) = ~Tan20° =
Tanl-135) = Tan 195° = Tan 45) = 1

Tanf-210°) = -Tan 210° = -(+Tan 30°) =

4. Demostrar que la Tan 90° yla Tan 270° no ostän definidas
DEMOSTRACION

La recta Y y L son paralolas La recta Y y L son paralelas
Porlo tanto no hay punto de intersección Porlotantono hay punto de intersección
entonces la Tan 90° NO ESTA DEFINIDA — entonces la Tan 270° NO ESTA DEFINIDA -

ADRIÁN YNFANZON

5. Indicar el valor de vordad de las siguientes relacionos.
1 Tan 20° > Tan 50°
a Tan2 < Tang
RESOLUCION

Ubicamos en la crcunterencia tigonomét-
ca la posición de los arcos 20, 80, 2 y 3
También de sus tangentes respectamento
Observando a gráfico, firmamos el valor de
Verdad de las relaciones

1. Tan 20° > Tan 50°

Ne Tanz <Tan3. 0

6. La circunferencia es trigonométrica, calcular lafongitud del segmento AP
»

o
|
ta ar
nt
x 00
Te Se Tan1>0

RESOLUCION

Lae man et

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

7. La circunferencia os tigonometrca, calcular la longitud del segmento AP

RESOLUCION

N

La longitud del segmento AP es “Tan 2" es decir

1134 COTANGENTE DE UN ARCO 8

oo
Tan2<0 + -Tan2>0

La Cotangente de un arco 0 es la ABSCISA del punto de intersección entre la prolongación
del radio que pasa por su extremo y la recta tangente ala C. T en el punto B(0;).

ASIÓNDELA Gy
Fase men B gn

NOTESE que: Cota > Capa

2. Unica la tangente de tos arcos: 30"; 135%; 210° y 300"
RESOLUCION

Recordar que: Cot30” = V3
Cot 135° = -Cot 45? =-1

Corro”

‘Cot 300°

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

3. Ubicarla cotangente delos arcos: ~ 30°, = 135°,
RESOLUCIÓN

270° y-900°

Recordar que: Cotí-30) = ~Cot30 =-/3
Cot(-135°) = -Cot 195°
Cot(-210") = -Cot210°

4. Demostrar que la Cot 0° la Cot 180° NO están definidas
DEMOSTRACION

Las rectas X y L son paralelas, por tanto Las Rectas X y L son paralelas por tanto
No hay punto de intersección, entonces la no hay punto de intersección, entonces la
Cot 0° NO ESTA DEFINIDA. Cot 180° NO ESTÁ DEFINIDA.

5. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones:
1 Cot 35° > Cot 50"
1 Cotsi0" < Got 350°
RESOLUCION &

Ubicamos en la circunferencia rigonomätr-
ca la posición de los arcos 35°, 50°, 310° y
350°. También sus cotangentes respectivas.

Observando elráfio, afírmamos el valor de
verdad delas relaciones:

| Cotas > Corso”
1 Got3t0* < Cotasor

MEZA BRA\

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

ELVIS

6. La circunferencia es tigonomélrica. Calcular la longitud del segmento BP.

RESOLUCIÓN

ovo:
Cot 25" >0

La longitud del segmento BP es "Cot 2

RESOLUCIÓN

ADRIÁN YNFANZÓN

11.3.5. SECANTE DE UN ARCO 0

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

la C.T. en su extremo y el eje X.

La secante de un arco 0 es la ABSCISA del punto de intersección entre la recta tangente a

a a

Le

EJEMPLOS

MN

4. Las circunterencias son trigonométricas. Ubicar la secante delos arcos a, P, y 9.

N
2

RESOLUCIÓN

a

NOTESE que: Seca>Soch

67

a Sece> Seco

2. Ubicar la secante de los arcos 60°, 135", 240° y 315"

RESOLUCIÓN

Recordar que: Sec 60°
Sec 135°
Sec 240"

sec 45? =-/2

2

‘ADRIAN YNFANZON

(eae

3. Ubicarla secanto de los arcos; - 80°; 195%; - 240° y-315°
RESOLUCIÓN
Recordar que: Sec(-60") = Sec6o” =2
Sec(-135") = Sec 135° =-Secds? = „2
Seci-240°) = Sec 240" =-Sec60? = -2

Soc(-315) = Sec315" = +Sec45° = V2

Sec4s = V2

oe

4. Demostar que la Sec 90° yla sec 270° NO están definidas.
DEMOSTRACIÓN

Te
2

| pol
Las rectas X y L son paralolas, por tanto Las rectas X y L son paralelas, por tanto
No hay punto de intersección, entoncesla No hay punto de intersección, entonces la

Sec 90° NO ESTA DEFINIDA

ADRIÁN YNEANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

5. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones:
1 Sec 20° > Sec 50°
NN Sec 190° < Sec 250"

RESOLUCION

Ubicamos en la circunferencia trigonomét-
ca, la posición de los arcos 20”, 50°, 190° y
250°. También sus secantes respectivas.

ES 5% Obsarvando el gráfico, afmamos el valor de
190 20°" * verdad de las rolacionos.

1 S00 20° > 80630...
= M See 190° < See250"

6. La circunferencia es trigonoméática. Calcular la longitud del segmento OP

RESOLUCIÓN

La longitud del segmento OP es “Sec 5° es decir
7. La circunferencia es trigonomélrica. Calcular la longitud del segmento OP.

PE

ADRIAN YNEANZON

RESOLUCIÓN E
» a os:
ka Sec2<0 = -Sec2>0

La longitud del segmento OP es *-Sec 2”, es decir:

11.3.6. COSECANTE DE UN ARCO à

La cosecante de un arco 0 esla ordenada del punto de intersección entre la recta tangente
ala GT. en su extremo y el eje Y.

|

csc

EJEMPLOS.
1. La circunferencia os trigonomótrica, Ubicar la cosecante de los arcos a, P, 0 y $

NOTESE que: Oso f > Csc a > Csc 0 > Csc 9

2. Ubicar la cosecante delos arcos: 30°, 135°, 210° y 315°
RESOLUCIÓN
Recordar que: Csc90" =2

Oso 135" =+Cs045 = V2
Gse210 =-Cec30 =-2

Gecs1 = Cac 45°

3. Ubicar la cosecante de los arcos: - 30°, -135°, - 210° y- 315°

Gsc(-30) = -Csc30" = -2

Csc (-135°)= — Csc 135° = -(+ Cs0 45°)= — 2
sc (C210")= = Gse 210° = (- Gse 302 2

Ose (-315")= - Csc 315" = (-Csc 45')= V2

y ı Ñ

Las rc Y son pars. por aio, Las ls L on pars poa,
| No hay punto de intersección, entonces la RATE
(Gsc 0° NO ESTA DEFINI x E

5. Indicar el valor de verdad de las siguientes relaciones.
1 Csc 20" > se 70"
. Cse200° < Ose 250°

RESOLUCION

Ubicamos en la circunferencia tigonomética
la posición delos arcos 20"; 70"; 200° y 250°,

‘También sus cosecantes respectivas

"Observando elgráfico, armamos el valor de
verdad de las relaciones:

|
Ml. Csc 200° < Csc 250°. a

6. La circunferencia es tigonomélrica, calcular la longitud del segmento OP

RESOLUCION

cœur

BRAVO ELVIS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

7. La circunferencia es trigonometrica, calcular la longitud del segmento OP

RESOLUCION

La longitud del segmento OP es "-Cse 4” es decir

[EJ variaciones DE LAS R. T. DE ARCOS EN POSICION NORMAL

11.41 VARIACION DEL SENO DE UN ARCO &
À continuación analizaremos la variación del seno cuando 0 está en cada uno de los cuadrantes,
PRIMER CUADRANTE :

q Nótese que cuando @ esta entre 0° y 90°
entonces ol San @ est entre Oy 1 es decir

si 0° = 0<Seno<1

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIÁN YNEANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

SEGUNDO CUADRANTE

"Nótese quo cuando 0 esta entre 90° y 180°
entonces el Sen 0 ostä ente 0 y 1. Es de.

Si 90° <0 < 180

en 8 <1

Nótese que cuando @ está entre 180° y
270° entonces el Sen 0 está entre 1 y 0.
Es decir

Si: 180° < 0 < 270 Sen0<0

Nótese que cuando 9 está entre 270° y
360° entonces el Sen esta entre —1 y0 88
deci:

SÍ: 270*<0<360" = -1< Sen 0 <

EN GENERAL
(Cuando @recorre desde 0° hasta 360° enton-
| ces ol Sen 0 recorra desde -1 hasta 1. Es

decir:

MAXIMO (Sen @) =1 => ons

MINIMO (Sen 0)

VO ELVIS
GIRCUNFERENCIA TRIGONOUETRICA ADRIÁN YNFANZÓN.
PROPIEDAD

SI 0 recorre de 0° hasta -360° también el seno de @ recorre de -1 hasta 1

Así también si 0 recorre infritas vueltas en cualquiera de los sentidos (2nx; n e 2) Igual el sano de 0
recorre de -1 hasta 1

Entonces:
se verifica la desigualdad — 1 < Son 6 < 1

MAXIMO (Sen 0)=1 =

E senminez

no seat = en +amine 2
euros

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda on cada una de las siguiontos igualdades:

Eu
1 sono = Ls
sano = 8 E
M sino = E
RESOLUCION
Lu. en
Vom Bet 220 82 on

Por tant la igualdad es

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

N Sono = V8 - V2 =1,7-14=036 [1:1]
Portantolaigueldad os EN

eat

m seno=% M 1570 11,1)

Portanto la igualdad es [NES

2. Hallar el máximo valor de "para que la siguiente igualdad exista:

Sono = 22
RESOLUCION
WO se verifica que: as si
as st
Ss ss
5435 5543

2s x se

Kl

A |

3, Si0 IllC, Hallar todos los valores anteros de k que verifican la Igualdad:

sono = K7
RESOLUCION
Si0.e INC so verifica que: a< <0
Ep <o
4< <0
4 .7< <0+7
3< <7
te k

Luego el nic valor entero que toma kes [EJ]

97

‘MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIAN YNFANZON

4. Si 30*<0<150* hallarla extensión de:

Seno+1

RESOLUCION

Ubicamos los arcos extremos 30° y 150° en la circunforancia tigonométrica y calculamos sus
1

sanos, así Sen 30° = 4 Sen 150° = San 30° = +. Paracada arco 0 on el recomido (90%; 150°)

2
será remarcado por "Hechas" (+r»»»»»»)y alos sonos de dichos arcos 0 por"rayas" (mm)
Asi

En el gráfico observamos:

1

“wm = < smo et
o Beam <a
> hero asmer sarı
a

Luego la extensión de E es.

5. Si 0 es un arco positivo menor que una vuelta, halla todos los valores de 0 que verifican la
desigualdad:

FEI

4 < seno <- E
Ser 3

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIÁN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

RESOLUCION

Ubicamos las ordenadas -1 y~ À. y calculamos los arcos 0 cuyos senos son —

180° + 60°

40"

= 0=360"-60° = 300°

En ol gráfico, observamos

{3
S 80e = 20 < 0 < 200

Luego todos los valores que toma 0 son
1142 VARIACION DEL COSENO DE UN ARCO 0
‘A continuación analizaremos la variación del Coseno cuando 0 está en cada uno de los cuadrantes

PRIMER CUADRANTE

nes que ando 0 et ene oy 0"
foro À co do deu ate 01 02
= de x deci:

MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

‘SEGUNDO CUADRANTE

CUARTO CUADRANTE

EN GENERAL,

ADRIÁN YNFANZON

"Nótese que cuando 0 esta entre 90° y 180"
fentonces el coseno de 0 esta entre -1 y 0.
Es deci:

Si: 90° < 0 < 180 Cos0<0

Nótese que cuando 0 está entra 180° y 270
entonces el coseno de 9 esta entre —1 y 0.
Es deci:

Si:180°<0.<270° > -1<Cos0<0

Nótese que cuando 0 esta entre 270° y 360°
entonces el coseno de 0 esta entre O y 1. Es
decir:

Si: 270*<0.<360" = 0<Cos0<1

‘Cuando 0 recorre desde 0° hasta 360° en-
tonces el coseno de 0 recorre desde —1 has-
a 1. Es decir

MAXIMO (Cos 0)
MINIMO (Cos 8)

MEZA BRAVO ELVIS
om YNrANZÓN CIRCUNFERENCIA TAGONOMÉTAICA
PROPIEDAD

Si recorre de 0” hasta -260° también el coseno de @ recorre de -1 hasta 1

Asi también si 0 recorre infinitas vueltas en cualquiera delos sentidos (
de 8 recorre de

Entonces:

MAXIMO (Cos 0) = 1
MINIMO (Cos 0)

EJEMPLOS.
1. Indicar verdadero (V) also (F) según corresponda en cada una de las siguientes igualdades:

1: 0000 =
1. Coso =
1. Gose = E
5
RESOLUCION
L Cose = 2 2 o6et11
2
Por tanto la igualdad es
mo 0000= 2-1 = 14 04011
A venorocna |
z aus x
m coo=h MM. ore

Portanto la igualdad es ETA

o ET
101

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTAICA ADRIÁN YNFANZON

RESOLUCION

WO se verifica que:

st

<7

s7+4

sn

er - |

3. SI0 11 C. Hallar todos los valores enteros de °K” que verifican la igualdad:

RESOLUCION

Side NC se verifica que:-1< Coso <0

He «5

Luego los valores enteros que toma k son:

4. Si 120° <6 <240°. Hallar a extension de:

E=40080+3

102

Ubicamos los arcos extremos 120° y 240° en la circunferencia trigonométrica y calculamos sus
‘cosenos, asi

Cos 120° = -Cos00 = -}

cœur = omer = 1

En el gráfico observamos:

A + 1 some cd

+ 4 < 4000 < 2
443 < 4008043 <-2+3

1
Luego a ontansión de ses: FAR]
5. Halartodososvloos de 0 poivos menores que una vu que verican a desiguaiad:
de

1 a
3 < 00 < À

BE

& canons eus cosmos em 1

0 = 180"-60"= 120° v 0 = 180%+60* = 240°

‘MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

y @= 960° -30"= 330°

Enel gráfico, observamos:

cms = Wo UV 20 <0s0

Ling svar qe ma or

1143 VARIACION DE LA TANGENTE DE UN ARCO 0

continuación analizaremos la aración de la Tangente cuando 0 está en cada uno de los cuadrantes.

PRIMER CUADRANTE

"Nótese que cuando 0 esta entre 0° y 90° en-

tonces la tangente de 0 es mayor que 0. Es
deci:

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIÁN YNFANZON

‘SEGUNDO CUADRANTE

TERCER CUADRANTE

CUARTO CUADRANTE

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Nôtesa que cuando 0 esta entre 90° y 180*
entonces la tangente de 0 es menor que 0.
Es decir:

"Nóteso que cuando D está entre 180° y 270°
entonces la tangente de 6 es mayor que 0.
Es decir:

180°<0<270° = 0<Tand

[Nétose que cuando 0 esta entre 270° y 360°
entonces la tangente de 0 es menor que 0
Es deci:

Ton

<0

05

MEZA BRAVO ELVIS.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

EN GENERAL

Si recorte una vuelta sin tomar 90° y 270°
la tangente de 0 se extiendo a todos los rea
les. Es decir

à 10°; 360] - (90°; 270)

—<Teno
MAXIMO (Tan 0): Notiene
MINIMO (Tan @): No tiene
PROPIEDAD
¡SI 0 recorre de 0° hasta -360* sin tomar 90° y -270* también la tangente de 8 se extiendo a todos
los reales.

‘Asi también s recorre infinitas vueltas en cualquiera de los sentidos (2nx; ne Z) sin tomar arcos.

de la forma (2n + 1) , iqual la tangente de 0 se extionde a todos los reales. Es decir

“Rn 1h so Tee
MAXIMO (Tano): Nono
MINIMO (Tano) : Nono

MEZA BRAVO ELVIS
ADRIÁN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
EJEMPLOS
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes igualdades:

1 Tano

1 Tan = - 129456789

m. Tano = 10%

RESOLUCION

Tano

314
ren
5

Portanto la igualdad os MAIN

1 Tan 0 = -129456789 € R

Por tanto la jguakiad os venDaDERA

2. Tano = VER

Portanto la igualdad os MERE

2. Hallar todos los valores de °k’ para que la siguiente igualdad exista:

RESOLUCION
vox (an + 1) a lla tangente de 0 toma cualquier valor, por tanto la fracción será cualquier
valor vk#3

Luego los valores que toma k es: R-@)

3. SIV e IVC. Hallar todos los valores de “K’ que verifican la igualdad!

2-1

Tano

107

O ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNFANZON

108

RESOLUCION
Sie IVC, Se verifica que:

8

3

Luego todos los valores que toma k son:

4. Si 120° <0 < 185°. Hallarla extensión de:

E = \STano+1
RESOLUCION
Ubicamos los arcos extremos 120° y 185° en la circunferencia trigonomélrica y calculamos sus
tangontes, así:
Tan 120° = ~Tan 60° == V3

Tan 135° = Tan 45°

En el gráfico observamos:

Si 120<0<18 = -Y5< Tao <

= 3 < Wtne < -@

= Arte WTano+t < Br

eae < E < 1-43

Luego la extensión de E es

5. Hall todos los valores de 0 positvos menores que una vuelta que verifican la desigualdad:

3
2 ctano< V3
3

RESOLUCION

a
Uticamos las ordenadas “2 y V3 y calculamos ls arcos 0 cuyas tangentes son 22 y 43 así

stun ORR AEE oe Seog 180° + 30° = 210°
vary

Tano = 5 = 0

180° + 60° = 240°

En el gráfico, observamos:
3
=

Luego todos los valores que toma 0 son: 30°; 60°) [210° 240

109

si sTeno< => E E E

ADRIÁN YNEANZON

1144 VARIACION DE LA COTANGENTE DE UN ARCO 0

‘A continuación analizaremos la variación de la Cotangente cuando 0 está en cada uno de los

cuadrantes.

PRIMER CUADRANTE

TERCER CUADRANTE

j

Nôteso que cuando 0 esta entre 0° y 90° en-
tonces a cotangente de 8 es mayor que 0 Es.
decir:

Si0°<0<90° > O<Coto<+

Nótese que cuando 0 esta entre 90° y 180°
entonces la cotangente de D es menor que 0.
Es deci:

Nötese que cuando 9 esta entre 180° y 270°
entonces la colangente de @ es mayor que 0.
Es deci:

$i: 180°<0<270 + 0<Cotd<+=

mo

‘MEZA BRAVO EL:

NS
ADRIÁN YNEANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

CUARTO CUADRANTE y

Nótese que cuando 0 está entro 270° y 360°
entonces la cotangente de .es menor que D.
Es decir:

Si: 270° <0 <960° > -=<Coto<0

EN GENERAL

Si 0 recorre una vuelta, sin tomar 0*, 180° y
360°. La colangente de 0 se extiende a to-
dos los reales. Es decir

‘Si: € (0°, 360°) - (180°)
> 0 Cot <4

MAXIMO (Cot): No tiene

MINIMO (Cot®): No tiene

PROPIEDAD

Si 0 recorre en sentido horario una vuelta, sin tomar 0°, 180° y -360* también la cotangente de 0

se extiende a todos los reales. 2

‘Asi también si @ recorre infinitas vueltas en cualquiera delos sentidos (2nx;n € Z) sin tomar arcos.
¿e la forma nx, Igual la cotangente de 0 se exionde a todos os reales. Es deci:

a

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIAN YNFANZON

112

Y 0 2 nr se veria la desigualdad —= < Cot 9 <4 =

MAXIMO (Cot 6): No tene
MINIMO (Cot0) : — No tene

EJEMPLOS
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes
igualdades:
1 Coto = x
1 Cote = 987654321

m. Coto = -20®

RESOLUCION

1. Coto.

Portantola igualdad es [ETAPAS

0 Coto = 987654321 € R

Portantola igualdad es [EAN

Wu cvs

2. Hallar odos los valores do “K para que la siguiente igualdad exista:

er
2

ser

Got

RESOLUCION

We ne la Gt 0 toma clase val, portant la accion Fer culo va
ve

Luego todos los valores que toma k es:

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
3. $1@¢ IIC. Hallar todos los valores de "X" que verifican la igualdad:

Coto= 13
RESOLUCION
Si0 € 110. Se verifica que: Coto < 0
o
2 k-3 <0
e ak 23
o k<2
3

Luego todos los valores que toma k son:

4. Si 120*<0:5150”. Halarla extensión de:

+8 cot0-2

RESOLUCION

Ubicamos los arcos extremos 120° y 150° on la circunferenciatrigonométrica y calculamos sus.

caro = caso = - 8
Cot 150" = cargo = 48
En gro observamos que
si mos» -8 < cao < -8

113

BRAVO ELVIS
CUNFERENCIA TIGONOMÉTRICA DAN wiranzon

Luego la extensión de E es

5. Hallar todos los valores de 6 posiivos menores que una vuelta que verifican la desigualdad:
15Cot0< V3
RESOLUCION
Ubicamos las abscisas 1 y V3 y calculamos los arcos 0 cuyas cotangentes son 1 y VS, así:
Coto=1 = 0-45 y= 180" 4+ 45° = 225

Co = 0

0? y= 180° + 30" = 210°

En el gráfico, observamos:
si 1£Coto< V3 = 30°<0<45 u 210"<05225"

Luego todos los valores que toma 6 son

157

ES]
11.45 VARIACION DE LA SECANTE DE UN ARCO 8

A continuación analizaremos la variación de la Secante cuando @ esta en cada cuadrante!
PRIMER CUADRANTE.

|Nötese que cuando 0 está entre 0° y 90* en.
tonces la secante de 0 es mayor que 1 Es
der:

Si:0°<0

ma

MEZA BRAVO ELVIS
Aomtkn YNrANzÓN

‘SEGUNDO CUADRANTE

TERCER CUADRANTE

CUARTO CUADRANTE

Les

ENGENERAL +

a
E

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Nótese que cuando 0 esta entre 90° y 180°
entonces la secante de 0 os menor que -1
Es decir

Si: 90° < 0 < 180"

Nótese que cuando 0 está entre 180° y 270°
entonces la secante de 0 es menor que —1
Es decir

SÍ: 180°< 6 < 270° = = < Sec 0 <-1

Nótese que cuando 9 está entro 270° y 360°
entonces la secante de 0 es mayor que 1. Es
decir:

Si:270° < 0 < 360° > 1<S

Si 0 recorre una vuela, sin tomar 90° y 270°
la secante de 0 se extiendo a todos los rea
les sin tomar el segmento (-1; 1. Es deci:

‘Si 6 e (0%; 960°) - (90°; 2707

=< Sec 05-11 < Sec 0 < +=

MAXIMO RELATIVO (Sec 0)
MINIMO RELATIVO (Sec)

ns

MEZA BRAVO ELVIS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIAN YNFANZON
PROPIEDAD

Si 0 recorre en sentido horario una vuelta, sin tomar -90* y ~270° también la secante de 0 se
úxtiend a todos los reales sin tomar en cuenta el segmento (-1; 1

‘Asi también si recorre infritas vueltas en cualquiera de los sentidos (en; n € 2) sin tomar arcos de
la forma (2n + 1). Igual la secante de 0 se extiendo a todos los reales sin tomar el segmento (-1; 1

Es doch.

EJEMPLOS
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una delas siguientes igualdades:
1 seco = 2
3
D Seco = -13
m. Seco = E
2

RESOLUCION
seco = 2 =06e {1,+=)
7

ror aol guido

. $008 = 186 (11

Portanto la igualdad es Makel

m. seco = LM ore +2)
TRS

Portant la igualdad es RES

16

‘MEZA BRAVO ELVIS
ADRIÁN YNEANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

2. Hallar todos los valores de “k' para que la siguiente igualdad exist:

RESOLUCION

0% (an + 1) so verifica la desigualdad:

Secos -1 u Seco 21
u 1

o =4 u xizs
© er
3 5

Se sel ee
2 2

Luego todos los valores que toma k son

3. SI0. Ill C. Hallar todos los valores de X" que verifican la Igualdad:

aK
seco = +3
Q 7
RESOLUCION
Si0e INC. Severicaque: — Seco <
ass
7
we
a < 7-3
& < -0
5
eee
2

Lege todos os valores que toma son PEN

4, Si 45° < 0 < 60° halarla extension de:

E= (2seco+t
RESOLUCION
{Ubicamos los arcos extremos 45° y 60° en a circunferencia tigonoméática y calculamos sus secan-
tes, así

17

En ol grfico observamos que

si arco se = V2< Seco < 2
@ 2 < ‚seo < 242

+. 2+t< WBSeco+1s 242 +1
805 fe Sans

Lego la extension de Eos E

3. Hallar todos los valores do 0 positivos menores que una vuela que verifican la desigualdad.

-2<Sec0<- V2
RESOLUCION

Ubicamos las abscisas -2 y -/2 y calculamos los arcos O cuyas secantes son -2 y — V2, asi

Seco=-2 = © = 1807-60 =120 v 6 = 180°+60° = 240°

Seco=- 25 0

180° 45° = 195" y 0 =180%+45 = 225°

ne

ZA BRAVO ELVIS
ADRIÁN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
En el gráfico, Observamos que:

Si ~2<Sec<-\2 = 120°<0<195" U 225° <05 240°

Luego todos los valores que toma 6 son MISES

0

1146 VARIACION DE LA COSECANTE DE UN ARCO 8

A continuación analizaremos la variación de la Cosecante cuando à esta en cada cuadrante.

PRIMER CUADRANTE.

Nótese que cuando 0 está onto 0° y 90° en-

tonces la cosecante de 0 es mayor que 1.5
decir

‘SEGUNDO CUADRANTE
ceo
Nótese que cuando 9 está entre 90° y 180°
sont entonces la cosecante de 0 es mayor que 1
4 Es dect:
o|

19

MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ‘ADRIAN YNFANZON

TERCER CUADRANTE

Nótese que cuando 0 está entre 180° y 270
¡entonces la cosecante de 0 es menor que
=1, Es decir

Si: 180° <0 < 270

CUARTO CUADRANTE

Nótese que cuando 0 está entra 270° y 360
entonces la secante de 9 es menor que -1

Es deci:

EN GENERAL

Si recorre una vuelta, sin tomar 0* y 180° la
cosecante do 0 se extiende a todos los re
les sin tomar el segmento (-1; 1). Es decir

MAXIMO RELATIVO(Cse 0)
MINIMO RELATIVO (Osc0) =1

120

MEZA BRAVO ELVIS
ADÁN vuranzon ‘incunFEnENcia TIGONOMÉTRICA
PROPIEDAD

Si recorre en sentido horario una vuelta, sin tomar 0°, -180° y -360* también la cosecanto de 0 se
extiendo a todos los reales sin tomar el segmento (-1; 1.

‘Asi también si 0 recorre infinitas vueltas en cualquiera de los sentidos (2nx;n € 2) sin tomar arcos de
la forma nx, Igual la cosecante de 0 se extiendo a todos los reales sin tomar el segmento (-1; 1). Es
decir

<Csco

EJEMPLOS

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes igualdades:

2
1 cso = 2
CE
4. Caco = -100
m. Go = x

RESOLUCION

A
ine
ES)

0 eo = 1008 (-=-1]

Portanto la igualdad os ETRE

121

MEZA BRAVO ELVIS.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Mm. Osc = r=ä1de [t +=)
Portantolaigualdades ERRADA

2. Hallar todos los valores de”k que verifican la igualdad:

5-2

Gsco

RESOLUCION

vor

so vorifca la desigualdad:
CT

x-2

fou
4 8
e RE ke
5 5

on

3. S10 € IVC. Hallar todos los valores de “K" que verfican la igualdad:

RESOLUCION

Si0 € IVC. Se vorflca que:

Luego todos los valores que toma k son:

122

ADRIÁN YNFANZON

ADRIÁN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
4. Si 30° < 0 < 45° hallar la extensión de

E= V2Cs0+3

RESOLUCION
Ubicamos los arcos extremos 30° y 45° enla crcunferencia tigonomética y calculamos sus cose-
cantes, asi
08030 = 2
Csc4s = V2
En el grfico observamos que
ss = B< cao <2
e 2< VZCsco < 242
° 2+3< /20s00+3 < 2/2 +3
. 5< E s 2/2 +3

e

5. Hallar todos los valores de 0 posiivos menores que una vuelta que verifican la desigualdad:

2 < Cs s -V2
RESOLUCION

Ubicamos las ordenadas -2 y =/2 y calculamos los arcos 9 cuyas secantes son -2 y — V2, asi:
Geo =-2 = 0= 1807430" = 210% v 0= 360°-90° = 30°

am 0

cso = 1809445 = 225° v 0 = 960°-45° = 315°

123

ADRIÁN YNFANZON

En el gráfico, observamos que:

si 2<CscOs-/2 = 21005225 U 15:20 <930

Luego todos los valores que toma oson MESEEE IE

128

BRAVO ELVIS

ADRIÁN YNFANZON

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

HE ROBLEMAS RESUELTOS

SENO

(01, Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

1. Sen 20° > Sen 80°

IL Sen2 <Sen3
m. si E > a > p>x= Son «> Son
AFW BF OWF
Du

(02. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

1Sen 200*1> ISen 2501

IL Son 10° + Sen 260° > 0
AL. ¡Sen 3— Sen 21 = Sen 3~Sen 2
AE BIFVE OWF
DIFFF EFF

03. Indicar el menor valor:

A)Sent B)Sen2 C)Sen3
D)Sen4 =) Son5

(04, Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

Su -Boxaus-r

Entonces
1. Senx, >Senx,
1. ISenx! < Sen x)
A. Sen > Sen be

AJVEF BIEW C)WF
Dyvw

0s.

Para que valores de "Kl igualdad se ve-
ica.

las]

Si0e INC. Mallar todos los valores *k" que
o verifcan la iguadad.

seno KH

5

neo acho oro

4

Dez) ECN

Zoo ón
E <o< SE Hatarta extensión de
SE <0< Ha

Sen -3

Ach D Dean ope

OA DEAN)

Hallarla oxtonsión do:
E= Sono +2Sen0+3

ARS A OEL
DS) ER

Hallar a extensiön de

E Sonos
‘Seno+2

125

10. La cicunferencia es tigonométrica calcular
el área dela región triangular sombreada.

ASen0 — B)-Sano C) ¿Sano

Zeno E)-2Sen0

COSENO
11. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
LL Cos 20° > Sen20°
WM. 0082 < Cos3
US r>u>8> 5 = Cosa<Cos8

AW B)FFV
DVFV EJFVE

ow

42, Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

1. ¡Cos 100*1> Cos 160
It. Cos 160° +.C08 70° <0

IM. ¡Cos 3=Cos 21 = Cos 2-Cos 3
AWE BIFW C)FFF
DIFFV EJVW

13. Indicar el menor valor:

A)Cos1 8) Cos 2
D)Gos4 £) Cos 5

0083

1.

15.

16,

17.

ADRIAN YNFANZON
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
«corresponda:

Si mex ex <= m2
Entonces

L osx, > Cosx,
N. Iosx!< ICosx)
IM. Cos x,| > Cos bx!

AVFF B)FW
DIV EJFRV

FFF

Para que valores de “ka igualdad se ve-

10 11 C. Hallartodos los valores "que
0 verifican la iguadad.

HET DES 065
DES ES

HallarIa extensión de:
E = Coste + 0050 +

4 a
AS CITE]

COST

4
=
a

we ———"

125

IEZA BRAVO EL\

‘ADRIAN YNFANZON

19. Hallarla extensión de

20. La cicunferencia es tigonomética calcular
ol área dela región triangular sombreada.

Neo 9-co a com

ot 12000

TANGENTE

21. Indicar verdadero (V) © falso (F) según
corresponda:

1. Tan 10> Tan 70"

WM, Tan2 < Tana

m. Si, 2x>a>p> SE Tana>Tanp

Avery
D)FW

By vw
DIFF

OFF

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

ITan 100 > Man 160%
A. Tant0® + Tan 110° <0
IM. Tan 3 + Tan 21 = -Tan 3—Tan 2

AW = BFW C)VEF
D)FFF EJWF

Indicar el menor valor:

ATant B)Tan2 C)Tan3
D)Tané — ElTans

Indicar verdadero (V) a falso (F) según
corresponda:

a need

Entonces.
L Tanx, > Tanx,
M. Manxı < (Tan x!
M. Tan bg! > Tan x

Are B)FW
O)FFF E)VW

WF

Para que valores de “la igualdad se ve-
ica.

AD:

Dis EO:

Si: 0.6 1 C. Hallar todos los valores 4
que no vetifican la iguadad,

127

St: E <0.< = Halarla extensión de:
Si 9 <0< 7 Halarıa extension

6
E

Tan20+3

Aa BD OS
D? M2

I: = <0< © Halarla extension de:
St = <0< À Halarıa extensión d
= Tan'o—Tano +2

DIE)

sms odie

7 7
za DE
SIE <o< E. Hallarla extensión de:

„ 2Tandor3
Tantos

9 9 3

AGA ED oa
9 9

O Zi)

La creunferencia es tigonomética calcular
el área dela región triangular sombreada,

ADRIÁN YNFANZON
COTANGENTE
31. Indicar verdadero (Y) ofalso (F) segúnco-
responda:
1. 001200: > Cot 250°
N. Cotñ <Cot2

m nenne OA

A) VEV
D) FEV

aww
E) WF

C) FEF

32. Indicar verdadero (V) o also (F) según co.
rresponda:
1 Cot 1001 > ICo 160"
Cottt0+ Cono” > 0
ML ICot3-Cot2l = Cot3-Cot2

AFFF BW OFF
DIFFV EJWF
83. Incicar ol menor valor:
AJCOLI B)Cot2 C)Cot3
D)Cot4 E)CotS

(9 0 falso (F) según

1. Cox > Cotx,
Mo IGotx} < ICotx)
ML Cotix > Cot iy!
AFW B)VER
DIWF EVFV

AVE

35. Para que valores de “la igualdad se ve-
ica.

Coto =

7

adi ai om

3

Dro; À

oc:

128

ADRIAN YNFANZON

36. Si: VE IVC. Hallar todos os valores "k*
que no vorifcan la iguadad.

Aa Ba Ora)
DE Ee Aula +=)

ams 2 coc
s E<o

Hallarla extensión do

27

Ben
200043

na BE) OA
Dal EI

ne

38, si 7

Haar La extensión de:
E= Got + Cote + 1

a 3 a)
AS BD A
4 3
OIE DD
Ro. 2k

30 si Eco

Hallar extension de
_ 30o0+2

ea
Coro+2

DI)

ele

8
At: à

ore a

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

40. Lacircunterencia es tigonométrica caku-
lar olárea de a rogión trlángular sombrea-

E O
Ay aa
D)Cot6 © E)-2006

SECANTE

41. Indicar verdadero (V) falso (F) según co-
rresponda:

1. Sec20° > Sec 50°
1. Sec2 <Soca

ar
SE >a>p>n= Seca>sech
WFFV GFVF C)FFF
DWE) WF

m. si

42. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
‘corresponda:

1. ¡Soc 100'1 > ISec 140°1
WL Sect 10° + Sec20* <0,
M, ¡Sec 2 - Sec 31 = Sec 3 - Sec 2
AVW BWF Gr
DIFFV EJFFF

43. Indicar

A)Sect B)Sec2 C)Seca
D)Sec4 E)Secs

mono valor

129

ENERO

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
44. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

Si =rex ex <=

Entonces
1. Secx, > Secx,
M ISecxi < ISecx)
M. Sock! > Sec ix

AJFRV O B)FFF
OFF EV VW

CF

45. Para que valores de °K la igualdad se ve-
rica

seco = #22
adn cho 0h
ot) Eu

5

46. Si0 11€. Halla todos los valores
o verifican la iquadad,

ie

Seco = +2

2e og. ae
ar. st 2% <6 < SE Haltaria extension do
3 3

5

E-
2804013

7
ay 2)
Nur

5
DEN

st

ADRIÁN YNFANZON
Hallar ia extensión de:
Sec + 4 Soc + 5
NE BIRD lt)
DS Eli)

03 Hallar la extensión de

sectors

95
EOS
(Gi à

9.5
os 3

age

5
(0; $
eno À

La circunferencia es trigonomélrica caleu-
Jar elirea dela region triangular sombrea-
da

D)-Tand E)2Tant

COSECANTE

Indicar verdadero (V) o also (F) según co-
responda:

Csc20° > Cc 70*

M. Csc2 < 0503
me

m. st Æ>a>b>r Cscu> Coop

AJVEV B)VVV OFF

DIwF E)FVE

ADRIÁN VNFANZON

52. Indicar verdadero (V) o falso (F) según co-
responda:

1. 1Csc 20011 > ICse 2501
1. Gsc20* + Cec250° < 0
IM. ICsc 2- Cse

0903-0502

AVFV BJFFF O)FW
DWF EJVW

$53. * Indicar el menor valor:

AJCSc1 B)Ce2
D)Csc4 — EJCses

0J0sc3
54. Indicar verdadero (Y) o also (F) según co-

responda:

Soren eE

Entonces

L Gex > Ceo,

1 losexl< Icsex]

M. cee [x,|> Os 1x]

AFFE B)FFV C)WF
DIFVF E)VFV

55. Para que valores de % a igualdad se ve
fica

Ol
tiie)

56. Si 06 IC. Hallar todos los valores de
% que no verifican la iguadad.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

EE
. se E <o< FE Haltarla ext
57. su & <0< SE Halaria ext

sión de

a
20s00+3

5

ain ai» a

dis Ds

58. Hallarla extensión de:
E=Csc0-6.C8c0+7

NED Dr) Oe
DR EDR +)

Bo.
se. si E <0< 2%. Halarla extensión
si E <0< À Halarta de

60, Lacircunlerencia es tigonomética calcu-
larelárea dela región tianguiar sombrea-
da

MN.
NZ

cas

A-2008 B)-com SE

a oo

131

NCA TOON
MISCELANEA

te
st UE cxsn
Hallr la extension de:

8

Indicar su máximo valor

E=2Cos(2x- E

AB 92-18 01
De Be

3 402 aa oo e

E= Isençelol- ¿ol

AO Bb: OP:

2

DES

&) (1; 43)
La circunferencia es tigonomética. Cal-
‘cular ol drea de la región triangular som-

breada. 5;

A) ¿Seno Coso = TE Cost
6) Steam ou) DI an +n

Send Coss

Send ¢) Coso

ES Lie

N 1-Send 1+Cos0 Send
Sond) 1+Son0

cosa ©) 1rCos9

65. La circunferencia os trigonométrica. Cal-
‘ular el área de la región triangular som
breada,

A
Le

y Seno Seno
Ann Zune)
Sm Seno
Toon > AC
Seno
Barcos

6. Indicar ol valor de verdad de as siguientes
proposiciones:

3
si een

= [Sano + Coso] = Seno + Coso
En
ust Monet
Are
= [Seno —Coso| =Cosp- Seno

Sei gts
ms Boo
= |Sen0 + Coso]

AWE B)EFR
DFW E)FVF.

67. Indicarverdadero(V) o falso (F) según co-
responda

1 sto axed =Tamx> x >Senx

= x>Sone>Tanx

M. Sex <> x>Tane>senx

AVW FFF O)VFV
D)WF EFVF

68. Lacirunterenci

8 tigonomética, hallar

MN

5 x
A)Sec0-Tano B)Sec0-Cos®
C)Cos0-Seco D)Cos 8 + Cece
E)Sec0+ Coso

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

69. La crcunferencia os tigonométrica hallar

Tano
1 1
Nita”) aa
2 2
Che
oa Tecate
1
5
) zo

70. Hallarla extensión de

1
=
BEE

AIF Bia) Où

09 EDO;

71. Hallar todos los valores de “K tal que la
igualdad exista.

+24

Tand= E<o<x

Indicar la suma de los valores enteros.

AJO 82 91
De Ej

133

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

72. La circunterencia es trigonométrica, hallar
la extensión del área*S* de la region som-
Sr ogc 4

breada si: SE co
4

ayia)

oye; vs oye 2)
E

oc

73. Lacireunferencia es tigonomética, hallar
la extensión del drea ‘S dela región som-

Se
breada si SE

ar
soc E
3

avr ee

o){0: ya] eles 5

134

7.

7.

76.

ADRIÁN YNFANZON
Si 0052x, Hallar la extensión de:

E=Tav(E Senos E) +2

5) BUS A
7
os Es
TR.
si ZE <0 < 2%. Hallarla extensión de

E=cos([Tanzol + 43)
Indicar su menor valor

1
mA net

y )- 4
DJCost E)-Gos1
Si: lo] <1, Halar la extensión de:
a]
£)10;2)

= 11-2000 2
E= 11-2000

ABA 02
D@2 az)

Lacircunterencia es rigonoméitica, calcu-
lar ol área del triángulo sombreado.

(«co 03-54 co

16) Sent(F Cost) D) Sent $ Cost)

9-1 Se)

‘ata
“ADRIAN YNFANZON

"78, Lacireunferencia es tigonométrica, calcu-
lar el área del triángulo sombreado.

© er
1
AJ1+Tana BjTana Cc)
War À root
1
Der DC

79. Lacircunferencia es tigonomética, hallar
E" en terminos de 0:

Pre}
a

À) Cos0 + Send
() Sen Coso

E) Cos - Send

82.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Calcular todos los valores posiivos de “0”
menores que una vuelta que verifican la
igualdad:

2 Seno V2 Sena Si: 0£asr

1x. 5x
Jeno

5.2
en

etd

Calcular el máximo valor de “0” posiivo
‘menor que una vuelta que verifica la gual-

si h<gsn
i Esos
x 2 x
AE 8) 2 =
y )Æ of
x
De
I
Calcular la extensión de:
E-Costo+ coso si Esos UE
3428
Ayo, ES)

1
oc à

Se E sus ZE ar on

res de “k que verifican la Igualdad

84. Calcular todos los valores positivos de "U"
menores que 5 que verifican la desigual-

1
3
2.2) ok. SR
Se)
2,58

$i erg:

85. Calcuiar todos los valores positives de "9"
menores que > que verifican la desigual
dad:

Tarzo- &)>3

SNE
ee

ql

5) DCE &
(Fy 0: DE

86. La circunferencia es trigonométrica, Cal.
‘cular el ároa de la región triánguiar MPN

Atos sc 8) 1-5)
cat D) Lr)

8 outa

ar.

ADRIÁN YNFANZON

La crcunferencia es tigonomética, calcu-
lar ol ea de la región triängular MPN.

a) Írano 8)
2 2
D)- (fans - 1) gi
2 2

Lacircunferencia es trigonomética, calcu-
lar el ároa de la figura sombreada

1 S28 on Son)
8) £282 eno + Seno)
o 0 cut cou

D) $22 (0089 + 0000)

ET Son

‘ADRIAN YNFANZON

89. Lacircunferencia es tigonomética, hallar
9 menor que una vuelta para el cual la or
‘denada del baricentro del triángulo MPO.

sea mínima.
= x
7 ar 5x
AT 0% 0%
138 3
oe 7

90. Hallar todos los valores que toma
E= |Sonlol + Seno]

‘Cuando “en
AG: 45) Bt: 431
oo: 31 jou: +3]

EI UA V3)

3

91. St [Tano| < = entonces so verifica que:

mB comer 9 3 coos

3 Ya RE)
9-2 <c0s0 <1 0) «000

92,

EN

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
se |sero| < entonces se vortcaque:
A) 0 < Tano < ya
D-$ < tm < 8
c) -¥3 < Tano < VS

fi
bo << À
o Bm. 6

Si 12 Seno] e 11, v2]

Entonces:

12 Cosol

Pertenece al conjunto

B)1W2; 31 op: vs]
at v2)

At: Val
Dt; Y)

Hallar extensión de

En)

no wohin oka

DEN DD

Se tions tres números en progresión art-
mética de razón. = ‘Si el número interme-

dio esté comprendido entre 6y 7. Calcular
el máximo valor de la suma de los cose-

o
nte yoo 91 00
2 2 Do E) 2 Cos6 + 1

F7

ESSENCES!
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

9%. Si -h>0>0>p)>-.
2

Hallar todos los valores que toma:
e=|7Tan0-5|

AN(4:30) — B)(0:30] — C)[0;30)
D)(1:35) — EJ(0;30)

87. Hallar todos los valores de 8 en (ri E

para que la expresión:

E= (V3Tano-1+/1=Tano

Sea ra

os. 5 x<0< 2 ntmoscae>t

Hallar la extension de

Tan(Seno)
AA) (0: Tan 1) B){- Tan 1; 0)
G)(-Tan 1; Tan 1) 0)(4;Tan 1)
EN

on. 5% tez mcr como] 2

A 0<x< À. Hallar la extensión de:

Es VF: Sono
II)

O7; 130) D)-130;-4V7]
&)(-¥130;-4V7)

ADRIÁN YNFANZON

100. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.

1. Sen(Cost) < Cos(Sent)
1. Tan(Sent) > Senfrant)

Ml, Costa) < Tan(Cos1)
Aw av Ov
DFW Br

101. La circunferencia es tigonomética, caleu-
lar el área del triángulo OBA

102. Si: 0. IC halar todos los valores que
toma % para que se verfique la igualdad:

a Got6==- |K|
An) Dd]
96 DR

Erin)

au. se TE 0 # rar oe

do que vetican ligula
20. 51

ee 3

¡rare mayor valor

A1 92 04

De 88

RS

138

‘MEZA BRAVO ELVIS —

ADRIÁN YNFANZON

104. si: -2 <0<-2 halariaextonsion de
E-cogos E)
AN BE:
TE)
&
Ely: 3:

105. Si; 0. Il C halla todos los valores de "8"
‘que vertican la desigualdad

5 somo.

2x
am

2n
os Fy
2n
eS. Sy
106. Hallar el mayor valor de “K' para que se
‘cumpla:

Cotto + 80080 + 32k

a. 93 00
DE CH

107. Lacircunferencia os trigonométrica,calcu-
lar el area de la región sombroada.

>

108,

109.

mo.

z + Cos + 45)

A)
Hatar todos os valores que toma“ para
{uo la gunidad sea impose

koa

re
ACID BD Oi»
Del 2

E
ESPERA valores.
su SE <o< & natartodostos val

que toma para que la igualdad se ver

92 OT

oa arth

AR en
4% ¿o< E halarta extension
si E <0< E ratartao

Mes z
ct l30+ E 1)+2
1 190+ =)

Indicar el menor valor

ne of
2

os 9,

CHA

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIAN YNEANZON
111. Lacircunferencia es rigonométrica,calcu- 114. La circunferencia es trigonométrica. Cal.
lar ol área de la region triangular APC. cular a longitud del segmento BP

<<

4 1
A) (Sono Tano) 8) = (Tand— Seno) Mz erat: see:

4 i CCA0- Caen — DjSecos tano
©) no + aw) 0) (Bec Tan) Sa
©) Iano- seco) Ha. La giewereicia nu tienne
2 Mok
112. St 0e IVC» V3 <Secos2=>A<Co0<B ee
Dead 6,
ve = Feng Entérminos de 5e
A RES AE Ru
a 3 3 ,
=
ES

113. Lacircunferencia es tigonomética, calcu-
lar el área de la región triángular OPO.

N x
2 1
a x
2 Rei Bi ot
= oe De

116. Hallartodos los valores do “X para que la
igualdad sea imposib

n Ge an) ano eco)

k
©) (Sen 8 Tan 6)D) ¿(Tan 0 - San 0) rer
E) dcsce-coto) ACI Be) Or)

8) 3:0) 3:9)

140

18. Sk À <0<x, Hallarla extension de
E =Csc(Seno)
AA) (0; Cse 1)
(C)(Hi Gsc 1)
am

B) (-Cse 1; Cse 1)
D)(Cs0 1; +=)

Indicar verdadero (V) o falso (F), según

[Seco + Csc 0] = Sec 0+ Csc 0.

ES
noe

[sec 0 Csc 0] = Csc 0-Seco
3
ocn

= [Tano Cotol = Tan 9- Cote

Avw B)VEV C)VFF
DFW EFF

120. Si: -F <0< $. Hallarla extensión de:

E=Sectlo| -6Seclo! +11

A DES CEE
DR) Css

circunferencia es trigonométrica. Cal-
‘cular el área de la región triángular som-
breada: z

A) 2005 — Cos /15)
8) Liat 15 + Cos (15)
©) HiCos J15 cor 15)
0)- Hoot VIS + Cos VAS)

DS)

122. Lacircuntereficiaes tigonométrca, ¿a qué.
igual?

E= (Coté -8)1-Tan 0)

2, Si: De WCAGscg = SEE
Sonor
Harta astensón de: Cor ¢

nas

aa aa

3
4
II

. Sl; x, A x, Son soluciones de
2Sent +9 Senx-5=0
Cuando 0<x<x
Hallar la extensión de:
ESCS0x, -3Cscx,+3 Si x,<%,<%,

AD BO;

1 3
Don et

ner es
ms Paz
Halla ta extension de:
E=2Tanx + 8 Cotx

ANB +=) B)1248;+=)
ou: Des; an

ana
9679

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

In
>
E
El
¡O

PROBLEMAS RESUELTOS

slelelelelalslalelelelsielzlelele 2 (2 (ele (8 (sis is
glrlelelelsialslslelsisialelslsislelale|ls|s|a|s|s
slealelalejslolelalelojejejajejejojejeje¡e jejejeje
glslelalslsislsls|sls|s|islslelsislg|s|eleic|elels
ulolulul<lolololelalolælolola|«|ols|o|alo|<|olalo
slslglsipglglsigiglelsisololsiulelclelelg|alale|s|se

2

ot.

1. Sen 20° > Son 80°. (F)

3
ws #>a>p>r

= Sena > SenB ©

sento" <
Sento? < ~Sen260"

Santo + Sen260° < 0

tm, [Sena - Sen2| = Sena - Son2 … (F)

ADRIAN YNFANZON

©

©

Is0n260°!

Sens
Sons - Sen?

= |Son3- Sen2|
= |Sona- Son2|

ven: ZA

Son2
o

—(Sen3- Sen)
Son2- Sens

MEZA BRAVO ELVIS
ADRIÁN YNFANZON
03.

eimenorvaores. EE]

œ 8 Bonn

Sonx, > Song, ©

1. [senx | < [sen] ©

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
m. Senix | > Senlx,| Mm

05. VOelR = 15 Seno <1

06. Si 0EMO=> -1<Sen0<o
REE

5
> -5<k+1<0

. Be ok <a

ADRIÁN YNFANZÓN

09. Seno+3 | Som+2
=Seni-2 1
1
Send+3 1
Seno+2 "'* Senos?
VOelR=æ-1s Sem <1
15 Sond+2 <a
4
Pu)
ES
1
eet
Sondra <*
Send +3
CU
E

10, >
< Sono <1

1 < 2800 < 2
2 < 2Sen0-3 < 1

VoelR=æ-1< Sm st #1. 1. Cos20*>sen2o”

E= Gen +2

© 05 Somet 2 x

> 0s Gm <4

& 26 (Somos 1P+2 <6
+» 2 Send + 2Sen0+3<6

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNEANZON

15, VOeIR= -1< 000 st

ee =
a: an,
eg nt 3
> es mr ss
16, sive
1,

1)

A mie cn si
> 24 40 da
© 80 400041 <5

ae
re: [iad BEE

ADRIÁN YNFANZON
18, E= Cost + Coso + 1

a oil
= Costo + Cosd+ rl
E= Cost + Conds 441-4

st
s-1

1

= ai
3 <1
e 2
e s2

2

s

1
= Aunı-cose) =
Tanto” > Tan70°

Ton < Tan

(7)

ADRIÁN YNFANZON

1. [van] < Irenx m
x, 110= Tan, >0= | Tan,

x, IO => Tanx, >0= [Tanx,| = Tank,
Tanz, |< Fran]
Tanx, < Tank,

m. anlx,]>Tanlx, | w

anlx, > Tan

ro
25. voran, = Tanto > 0

- 20
> Bet
5
Los valores de °K’ que verifican la igual
dad son:
26. SOC = Tana < 0
een
e ds
2
* Los valores de “k’ que verifican la igual

dad son:

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Pro tanto los valores de k' que NO ver-
can la igualdad son:

28. E=Tan’o—Tano+2

yo-Tano+ 1-1,
E=Tavo-Tan+ 4-4 +2
B
UT

E= (ano- Art 7

151

29.

152

> o de
4 4
> oe <1
1
> 2
1 2
= os (ano-tp <2
an <q
7
e Ls qeno- irs 2 <4
Zs ar

La extensión de E es

2rano+3 |Taño+1

ann. 2
i
2Tan'o+3 1
Zranor3 9 1 _
Taro Tan'ovt

oes
3
= =< Tw <t
@ 0s Tam <3
1s most «a
1
we 1
4° mon *
9 1
ee
at Tann
Bano +3
Tan‘ <°
E
La extension de Es:
30.

‘Cot200° > Cot2s0:

1. Cots < Cote m
ms ‘=
1. Si xeacp< À

= Cota> Cot w

Rta: w
32. 1. |Cott00| > Icotıeor| ©

TOTS)

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETAICA
WL Cottt0" + Cotto" > 0

eatin NS ame"

Cotto? > Coon
otto > Cotto”

Gotio+ Cotto? > 0
in. [Co13=Cotel =Cot3=Cot2......(F)

Cots < Cot2 = Cota - Cot2 <0
cots - Cot2| = Cote - Cots

pta

33, y

ms —

F<xex<o
= low < Icon

= Cox > Col)

w

Y)

©

35. VOene

Los valores de “K° que verfican la Igual-

dad son:

36% Si 00 IVC = <0
e <0
> K-16 <0
> K+9K-9<0

eked

Los valores de" que vercan la igual
dad son

CT)

Por tanto los valores de k" que NO verif-
can la igualdad son:

- 35 2C0W+3 <9
e a gt
5° Rooms ‘3
27
e e u 50
ENT
E

La extensión de Eos: [EJ]

38. E=Cot+ Coto +1

E= Coro+ Co+ +- 441
44

ik
E- cm +2

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

00t'0+2

a
Coro+2

a
or CR
5 Cot 1
= os Core <1

a

o 153 ==
CRE

scoto+2 5

e 1 <=
E “cofor2 <3

La enension de Es

155

ÉS
msi À >a>pon
zB

> Secu > Sach ©
sen Sec t
x
1
s= Zoot) row: (EG
41. LL $0020°> 60060. (F) 42. 1 [Sectoo*| > [Secta0?l...... W)

Se sœur [O um

1. Sect00° + Sec20° <0 m

Seczo" <.ISect00"!
Sec20* < -Sectoo*
Soc20° + Sect00? < 0

156

m. |Sec2 - Sec] = Secó-Sec2... (V)

El menor valor es:

ML Si rex <u cm

= Som, > Secx,

©

as.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

1 Stren <<

= Iseex,| < ISeex,| (1)
Como:
AM € NO => Sac 0 Secx,co
Por tanto

|s00x,| < ISoex,|
~Secx, < ~Seex,
Seox, > Secx,
M. Si rex exe À
= seclx,] >seclx|....... (A)
como: x,<0=

x<0=

os: [E
os BTE ge vent que
su Sot
an meet
2
eee
2 ke

Los valores do K que voran i ig
fad son:

Sk 0e0 = Seco <
52

me Ghee

5

Los valores de “K que verifican la Igual-
dad son:

9
=

Entonces los valores de “K quo NO ver
can la igualdad son

2n ar
En <+
= 2< sm st
> 1s Sen <4
& 25 28000 <a
& 5S 2800043 <11

1 1
Decors ‘5

8

48. Eero 450008
E Scores
EM
VO4(2n+1) À Se verifica que:

LC 2 Se: q
> masivas
2 zos es
= Mauro
© mari
2 sean
ee)
Lacon de es

‘ADRIAN YNFANZON

eos?
ES

Sach

e tl.
3

52 Jess Her

71 Sens
2 Cosa

158

(0)

©

2.

eta,

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
1. 10sc200:| > Icscasor|
-05c200° > -Csc250°
Gsc200° < Csc250° ann (V)

7

1. Csc20* + Csc250° < 0
(Gsc20 - Gse70° < 0
Gsc20® < C8070" (FD

a

m. |0sc2- ses] = Osc3- 0502... (V)

4

es
ICsc2-Csc3| = Csc3-Csc2

159

MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOWETRICA
53,
ct

= Gex > Cacx, ©

OJ0: Cscx, > Osox,

MS ao e
= lcscx,l < |Cscx,| ©
Como:x ax, € NC=> Gsox, <0. Cac, <0
Por tanto

Icsex,| < [0scx,|
—Os0x, < -Csex,
30x, > Gsox,

ADRIÁN YNFANZÖN
Most ren xl
= Osolx] > Cel) coa. (M

Come: x,<0 = lx]

<0 [nl =m
Por tanto:
Cselx,| > Cselx,|
Gso(-x) > Ose(-x)
~Csex,

=

55. Vosnr So vorlica

> ~Cscx,

x, < Os,

> kstue ke

Los valores de “K" que verifican la igual-
dad son:

$6. Si OMC = Cee 4

eke

Los valores de “K" que verifican la igual-
dad son:

=)

Los valores de °K" que NO veiifican la igual

dad son:

160

SUN sa eee)

> 25 wee <4

& 5 < 206043 < 7

e ee
7° rs 5

e A
7 20 *

E

La extensión de E es KE

E=0sc0- 60800 + 7
E = Cec'0 - 60500 + 9-9+7
E= (Ga -2

YO 2 ne Se verica:
CE sco 21

e Cs0-35—4U SOs0-32 2

= (Csc0- 3} 2 16 = (00-37 20

> (Csco- 9) > 0

2 (Cxc-37'-2 2-2

<> Cscio— 60200 + 7 > 2

É 2

Csc0+4
CE

Formamos “E asi

1 os csv
= 4 < Cates
“an

3

1
ote Sete
8 <!* cours

o 16 à ac

3 ‘ Csors

E

La extensión de E es:

161

ADRIÁN YNFANZON

3 3
ice ex Esa
3 co E) E

s Senelol- E) <1
Sentelol - E

= 0 < Ismelel- 31 <1 ~

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIÁN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETAICA
63,
[ao
S= 3) (Tano) 0
3 I

Cálculo de

Send

Coso.

>= Sono

Reemplazamos en (1)

Coso
Seno-1

) (Tano)

163

Sono < |Cos0|
Send < ~Cose
‘Send + Cost < 0
= [Seno + Coso] = - Sono - Coso

CE
Eco

> [Seno- Coso] = Cos0 - Send ..(V)

si

‘Send < Cost

‘Sond - Coso < 0
> |Seno-Coso| = Cost - Sond

ADRIÁN YNFANZÓN

Tr
m se Æ<o<

= [ono + Coso] = Sens Coss... (V)

an

2 Coso < |Sono|
0050 < ~Seno

Send + Cos0 < 0

= [Seno + Cosel = - Seno Coso

Rota:

67. St vexed
Ea

> Tanx>x> SOM …… m

Tanx > x> Sonx

168

= x>Senx>Tanx w

x> Senx> Tan x
M si mex< À
2 2

= x>Tanx> Sonx ©

PRIMER CASO

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

‘SEGUNDO CASO

‘Tanx> x > Sonx (No siempre se cumple)

Rp

@ = 0180
Reemplazamos

MN = Sec(@ = 180") - Cos(0 ~ 180°)
32¢(180" — 0) - Cos(180° -0)

ADRIÁN YNFANZÓN

nm -1< Sex <4
= 0< Isom! <4
+ 0s 2lseml <2
25 -2Seml so
e 1s 3-2lseml <9
e 1s la-2lsemlls 3

1 1
3% manda * !

:
vomnwee [PI]

m1. Si Z<oce = no <
si Eco Tano < 0

3

= 2b

> k+2)k=1) <0
ecke

Los valores enteros de “k' son: (-1; 0)

La suma de estos valores os [RJ

1
0 essen)

© vio

Sono

166

Tomo: 06 1 AB => 8,
fi

s,= Loto

2 ze )

Cota.

Pero: 9 = 180° +0
Cot(180° + a)

74.

‘Coto
2

Sx an
fas ity oc

E
E
. £ ;
Ba x
: :
8
5
ee: : |
:
ME

167

76. MEA

Tan(Eseno+ E) < AA

Tanz Seno + 75) Sa E an a

> Tan seno +=) a 2: 2
0 < Ten(Zsen+%) <9 2 2

» -i« <a

+ 2 stan(Eseno+ E)+2s 5

3

rok
“1, a es
le ui.) s
mn 01
os mm „1
<a <1
x0
es 00 <1
oak we <« & = -1s1 200844) <2
276
= 0< led < 8 Ve
es Mole < 28 E arte ERC

= -1 < Cos(|Tanz0| + /3)s Cos /3
€
|

168

S=1-a
Cálculo de “a”

iy kam

0

-0080+2 = -Seno+b
a-b = Coso-Sono
ar = 1

= 0s sm <1
e 0s Sena <2

0s 28eno- 5) <2 (

e az
> 09 Seno- 2) <À

169

st.

170

242

242

Sen
‘Seno +8

[Seng +8

V3 Tano.

Tan

Tano

s

ADRIÁN YNFANZON

on
3

= sos EU r+asos

El máximo valor de“ posiivo menor que

una vuolla es:

06/0 + Coso

E= Costa + Cosa 2 e

2.1 coo < Y
2
15 const
e-js coset
= 0< Col < 248
2 2

1 ea
ets (Cos0+ EF +

S Costos Coso <

La extensión de “E” es

ADRIÁN YNFANZON

83. Costo + 20050

(Cost + 20060 + 1

wer “12

(Cost + 19 =
AT
i

ns le
2
e Es ko os

Los valores de’ son [NA

ia jala

a.
Los valores de posivos menores que 3
es. Tango 2) > 9
= aan > 6
ranízo— Ep] > 5
= Tan 3)! 3

Tan@o~ 2) <8 UTantzo- 3)> VS
Tan(20— 3) <-43 v Tango &)

an

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

PRIMER CASO

ar ran(20- E) <-3
Cuando: Tan(20- E) <= 3

er

Los valores de 0 positivos menores que À

FINALMENTE
Delos dos casos concluimos que los valo-

ros de 0 positvos menores que 3 son

Só

en

Send” “Cos

Ls 0-c--1 ete

Seno
1-Sono- Cos0)+ 1- 220% song)

ea

La figura sombreada es un trapecio cuya.
área "5" so cálcula así

1
Base mayor + Base menoníAlura)

y

89,

OJO; "Gr es Baricentro

O:+Tant270"-0):-Tan0,

173

MEZAE

NO EN

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Tano+Coto

Ordenada = 7200+

Tano + Cote
m
Recordar: Tan + Coto > 2
(Tano + COM)», = 2

Ordenaday,

PRIMER CASO.
-E<0<-E > 0<0 1 dene

E= |Sonlo] + Seno)
ISen(-0) + Seno!
E = |-Sono + Sono]
lo!

E=0

‘SEGUNDO CASO

Esoch = 00 1 0810

ISenlol + Seno]
¡Son 0 + Sen ol
I2Sen |

174

Ee di 3,
Finalmente todos os valores que toma" sn:

9.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

e Ws JáCosto < ya
& 2s |2Cos0l
Finalmente |20050] pertenece al conjunto

eee > |

ADRIÁN. YNFANZON

0-3) (0): 10+ 5)
Non pin:
E = 2) coo) + cout £
€ = ou -0) + cos) ou +0)
ex con
fag an to
. le tm < 5
en
nen
= o s |7Tamo-5| < 30
E
cost 0051 /
æ (os vag pre Eso
msi val: el uma deol Ea
En

Para que la expresión sea real, se debe
cumplir que:

ÁS fan0-12 0 A 1-Tan0 > 0

1
e Tam > re Tano s 1
®

1
. < Tam < à
rc +

4

MS me SE À Tan+Co0>1
on
reo, Gel voetl
0<% À cero
# nic 0 +
2
= < sm <0

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

=> -Tant <Tan(Seno) < 0
€
La extensión d

nt

Recordamos la propiedad de números
reales:

SkO<x< 5 =2<250nx+8000Xs VIS

an
Jia 5
© 4100 <

140 Seno < 4,7
va ocur de cos an |

177

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
100. 1. Sen(Cos1) < Cos(Sent) ...(V)

Sonics) Cost

D ST em

Sen(Cost) < Cos(Sent)
1. Tan(Sent) > Sen(Tant).....(V)

Tan(Sent) > Sen(Tant)
M. Cos(Tant) < Tan(Cost).....(V)

101.

Sn 7 (1) (H)

Cálculo de “H"

102.
3 ‘
5 “1 5
exkl > 0
x > UK ae
LC
CosfTani) < Tan(Cost)
Los valgres que toma “son
ms a [eel
178

108,

< 8

da
=
= ls coro
3
Sees
34 9
oe
Beh
El mayor valor

La extensión de "E" es:

de ros [EJ

107.

si

(tt + 80080 +3 = Ca + Co + 16 16 4

= (Coto + 47-13
V8 € nr Se verifica que
Corn 20
2 Core + 4 24
= (Cores ay 216
> (Coto 4y-1323,

4 cots) (1)- LS E
= Hays) m- diy (45 - 3)

loot ye - 1 x
el cays = Acs =
5=-¿00t/5 - 3145 - E

5)

ES <=
Par quolaigualid sea mposti ed |
a
Caro que
Ate ol m
a, 1 eee :
3 7
cue = oe À
2 4
a: <0 à 1
pare
Pare [receso ons que toma para que
| la ¡igualdad se verifique son:
1
3 A
a ds
3 fre

Todos los valores que toma k para que la so.

igualdad no se verifique son:

BRAVO ELVIS
‘ADRIAN YNFANZON

4

of 1190+ El) < 2
SeciHlo0+ El) < 2

digg om ñ
e 3 5 sellos El)+2<42 +2
3 5 seit la0+ El)

€
eee
an. .

1
S= £(1-Sec0)(-Sen0)

1
= Aseno (Seco 1
S= Seno ( )

1 1
= Lisono —1— - sere) = EMA
57 200 Cost E

112. 06 VO A V2 <Secos2

Finalmente: Ajay + Bun,

S=S,+S,

1 1
S = Zorn) (+ 21-6000) -Sen0)
S= J(-Seco) (1 Seno)

a Hees sot Som

S= A-5000 + D Seno)

1
fo
Tano

s- ME

ADRIÁN YNFANZON
116. Para que la iqualdad sea Imposbl se debe

een
q < Gan <1
ee
le
2
ee
i k+2 3
2
“a...
al open
a
esSeuttnn: Pauseur 2 a...
BP Secíén_0) + Tn(2n-0) Br

Todos los valores que toma

115, y la igualdad sea imposible son:
ee ee Wot
6 e 3
= 08 lol <i
e re
z lols E 5

En el triángulo sombreado, aplicamos |
Pitägore

(+ (Cos0- Cote)? = Ke
(Cos0- Con: = Ki=1

ADRIÁN YNFANZON
= 1< Geld) <2
æ 2 < 20clels#) < 4
e 1 < 20selal+Z)-15 9

E
La extensión de E es: [i
me Le o <n
= 0< Som <1
Agudo
= 0< — Sen(Send) <Sent
iS ee
Semen) "Sen
- CsctSent) >Csct
E
La extensión de E es
E
EE
Menos Beat
mer s Bo. E

= [5000 + Csc0| = Seco +0sc0.....V)

Seco > |Csco|
Seco > -Osch
Seco + Ce > 0
ISeco+ Gscb| = Seca + Csco

à
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

WL. Skr<o< E
4

= |S000—Csc0| = 500 Soc...)

y

Seco > Cec0
‘Seco -Cscd > 0
Iseco-csco| = Seco Csco

ÉS
Msi cor

> |Tan0- Co | = Tano- Cot...

Tand > Cote

Tand-Coto > 0
ITano- Cot| = Tang - Cor

mo: FE

ec'|0| -6Seclo| +9 +2

E= (Seclol-sy +2

o <i
=0< lol <i
sis Seclel <2
e -2s Seclol-3 <<
= 1< (Golol-s sa
+ 3< (Seclol-sy+2 <6

Seclol - 6seclol + 11 < 6

121. Y

ADRIÁN YNFANZON
122,

Colo =

Cote =

0)

Enel triángulo rectángulo OMN cbtenemos

a-Cos0 =-Seno=a= a= 2080 Seno

Reomplazando en (1)

Nos piden
E=(Cop-3)(1-Tano)

Roomplazamos
-3Sen0-Cos
Cost Sent
AN
Cost Sen Co

e

= 3) Tano)

E=(

124,

Seno+2
Seno+1

Sk Ge 0< Se <1

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Pero: 30° <x, < 150°

& 1< Senet <2
a. 1
2° on
wa,
2 mn
3, Semo+2
> Senos <7
ser
9
> ho cay <4
9
e $< 100% <4
5
“Se cm <a

La extensión de Got es

ass + 8Sam = 520
Sons 5
ee.

Sem

Sm.

= x=30° v 150°

Por tanto: X,=30° à X,= 150°
Pordato: X, < X, <X,
30" < X, < 150°
Nos piden la extensión de:
E= Gscx, -9050x, +3
9.2
E=Csc%x,-2Csex,+ 2-249
3 a
(sx 3" +3

5 7 <
= ho sm <1
eis ote 2

Som
> 13 Cex <2

1 1

e-js m <4

3 1

= 0s (0-3 st

ES 1

© 1
E

3
Manx + =o
+ Tanz

MECO
Tanx

185

MEZA BRAVO ELVIS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YHFANZON
Le x nog Pero: 1< 1 «ya 0
6 4 Tanx m
Muttipicamos: () y (D
wird re
ra
5. ans 146
= Le Ta oe we 3
2 A
ana
© 5 <2tam+3con < 148
> lo zm < 2 =
3
ae, La extensión de Es:

186

ADRIÁN YNFANZON

ot.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

PROBLEMAS PROPUEST:

SENO

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

1. Sen 100° < Sen 140°

ML Sens >Sen6
3
m. Si 2x>a>p> Ÿ Sena>Senp

AFW B)VFV “O)FFV
DIwv EJFFF

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

1. |Sen 290°] < |Sen 40]

1, Sen 160° + Sen 280° > 0

m. |Sen6-Sen5| = Sen6-Sens

AVFF =BIFFV C)FFF
DIFVF EVW

Indicar el mayor valor:

ASent *E)Sen2 ©) Send
D)Sen4 E)Sens

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

ÉS
se Eon ema

Entonces
1. Sonx <Senx,

1. ISenx > ISenx,|
m. Son lx, | < Sen Il

AFVF B)VFV CW
DEV E)FFV

os.

or.

Para que valores do "la igualdad se ve-
ica.

sen
ayer: 5)
om ont
on

Sib € IC. Hallr todos los valores do “K"
‘que no verlican la iguadad.

‚m ocho ond

£)(0;1)

si 2 <0 < 2% Haar ia extension do
3 3

E=4Son0 +3
ANG) BED C7
Den EM

Hallar extensión de
E=Son'o-2Seno-1

AE BE2-l O2
DA ED

Hallar a extensión de

10. Lacircunferencia es trigonoméirica caleu-
lar el área del triángulo sombreado.

A)Seng B)-Send ©) ¿Seno

D)- A0 67250

COSENO
1: Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
L Cos 70° < Son 70°
IL Coss >Cos6

M se Zas arm Cour Ce

AFFE B)FW OWW
D)VFV EJWF

12.. Indicar verdadero (V) 0 falso (F) según
corresponda:
1. [¢0s-200*| < [Cos 250°|
ll. Cos 200° + Cos 80° > 0
m. |Cos 5-Cos 6| = Cos 5-Cos 6
AFFV BIFFE C)VFF
D)FVF E)VFF

13... Indicar el mayor valor
MCosı B)Cos2 ©) Cos
D)Gos4 E)Coss

14.

15.

16.

1.

ADRIÁN VNFANZEN
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

3
AS
Te

Entonces
1. Cox, < Cox,

uf |cosx,! > Cos x,|
I. 0s |x | <cos lx,|

AVFF By YW.
DIFFV EJFFF

CE

Para que valores de “k' la igualdad no se
verifica

Se
cmon 262
7 y
AA 3 BI;
om Dr 2%
7
Des 1

Si0 e LC. Hall todos los valores de
‘que verifican la iguadad,

Cos 0= M2

si -Zco<% Hallarlaext
X <0< = Halaria extension de

E=2008°0-1 \
N) BG Ci
DO BL S

II AÁAAAu«AH

188

2, 4
tdi 83:4)

La circunferencia os tigonomética calcu-
lar el área del triángulo sombreado.

momo ace 0) oe

D)--3C080 E)20080

Indicar verdadero (V) 0 falso (F) según
corresponda:

1. Tan 100° <Tan 140°
Tans >Tans

m. Si a>a>ß> 5 = Tana < Tani

AWE 8)VFF C)FFF
DFW EVW

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
‘corresponda:

1. (Tan 280°| < |Tan 340° |

A1. Tan 20° + Tan 290° > 0

m. |Tan 5 + Tan 6| = -Tan 5-Tan6

AFFV ŒFW O)FFF
DIWF EW

Indicar el mayor valor:

ApTan1 B)Tan2 C)Tan3
DjTand E)Tans

Indicar verdadero (V) o also (F) según |

coresponda:
2

sena

Entonces

1. Tans, <Tanx,

1. Tan, > [Tansy

m. Tan Ix <Tan Lol

AW B)FFF C)WF

Dir Ever

Para que valores de *k" la igualdad no se

venia

&-1
Tanto Bet
rat = 2

ADRIÁN YNFANZON

26. Si 0 € IV C. Hallar todos los valores de 30. Lacircunferencia es tigonométrica calcular
% que verifican la iguadad. el área de la región iängular sombreada.
43

5
a a À

3

DSi) EUR

1. Si = <0< E Hallar ion de:
27. Sk - <0 < Z Hallaria extensión

o
Tanor2 }
nt CLS
An edn an D)-Taná --€)2Tan 4
ob msn A
7 8 COTANGENTE
31. Indicar verdadero (V) also (F) según co-
x gle respond
28. sí E <0 < À Hatarta extension de ie
UGS, >Cot6
= Tant 2Tand + 7 ie
M. Se JE <a<p<2x
ANI; 10423] — B)(6:10+243) = Cota <CotB
V6: 104248) De AEF BJEVE c)FW

E)[6; 10 +23) END

32. Indicar verdadero (V)ofalso(F) segúnco-
responda:
1. Icotz90*] < lot 340°)
IL. Cot340° + Cot a0" < 0
m. [cots-Cot6l = Cotg-cots
AJFFF B)FFV OJVFF
DWF EVW

33. Indicar el mayor valor:

A\Cott BICoL2 Cot
D)Cot4 E)CaS

190

MEZA !

ELVIS

ADRIÁN YNFANZON

sa.

a.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

Sk Renee

Entonces
L Cox, <Catx,

1. [cotx,|> IGotx
m. cot 1x | < Got bx,

AWW B)ERV CWF
D)FVE = E)FW

Para que valores do "la igualdad se ve-

Si: 0€ INC, Hallar todos los valores de
5% que verifican la iguadad,

Cotos ee
ARO 008
C)IR- 1-3: 3) D)E-3;3)
Sina)

se Eco

SO

Halar a extensión de
4

E ori

NY BBA A

DE URI

Tk g. Ta
Bet

Hallar la extension de:
E = Cor 2000 +3
AO BE C6
Dee) E)IR~(2:6)

si

40.

a.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Bo.
si Eco

Hallar la extensión de

2000+3

E ‚Corra+t

5 5 5
II

5, at
DD Es

Lacircunlerencia es trigonométrica calcular
el área de larogión tiángular sombroada.

nt D oca

D)Cot4 E)2Cot4

SECANTE

Indicar verdadero (V) o falso (F) según co-
responda:

1. Sac 10° <Sec 80°
N. Sec5>Soc 6

ws: aspas = warst

AWF EVE OFW
DW EFFF

1

191

4.

192

Indiar verdadero () falso (F) según
corresponda:

1. \Soc200:| < |S0c 250°|

1. Soc 200" + Sec 8° <0

m. [Secs -Sezsl = Soc 6 -60c 5

AWV B)VFF C)VFV
D)FFF EF

Indicar el mayor valor de:

8)Sec2
E)Sec5

A) Sec 1
D)Sec4

CiSeca

Indicar verdadero (V) o falso (F) según 7
corresponda:

ES
Eo en

Entonces
1. Secx, < Sec x,

1. |8ecx,| > [Secx,|
m. Sec |x,| <Sec Ix,|

AFFVB)FFF
DIWF EVW

OFVE

Para que valores de “K' la igualdad no se
verifica,

21
seco= At

8
OIR-CH2 DJIR-C1:2)
812)

Sie IV C. Hallartodos los valoras de K
que verifican la iguedad.

m2

Sec
A+) Demi] Cft:+)
Dh EMA ft: 1)

ADRIÁN YNFANZON

a7. st -E <o< © Hallaria extensión de
5 <0 < E Halarla extensión
en
Er

AIR eta

7 7
CE) DEN
7
ot
48. Hallar la extensión de:

E = Sect — 6 Secd + 4

ALS: +=) BB; +=)
DIE) E64)

CECI

a. 5: 3 c0< 2 ari one

car
EE

9.5 9.5
ED ae
9.5

Sl

Im
E) =

50. Lacircunferencia es tigonomética calcu-
lar ol área del triángulo sombreado.

o
Tans Tans,

a E ojos

D)-Tans E)-2Tans

ADRIÁN YNFANZON

st.

52.

COSECANTE

Indicar verdadero (V) o falso(F) según co-
responda:

1. Csc10* <Cse 80°

IL Ces >Cec6

ths: arr aap> 2 cm u> cp

A)FEV
DIFFF

8) WF
E) WE

OFvE

Indicar verdadero (V) 0 falso (F) según co-
responda:

1. [ese 290°! < |Cse250°|

Csc100° + 080340" > 0
Icsc5-Csc 6 = Csc 5-Cse 6

AJFFV BIVEV C)WF
DIVW EJFFF
Ingicar el mayor valor:
A)Csc1 B)Osc2 C)Gs3
D)Oscs E)Gse5

Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:

Mee
se - Fenn,

Entonces
1. Gex <csex,
1. [Gex |> IGæex,l
M. Cee 1x < Gse lol
AVFF SWF
DV EF

OFFV

Para que valores de °K Ia Igualdad no se
verifica.

2-4

ES

sr.

EN

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

Si 0. IC. Hallar todos los valores do
X que verifican la iguadad.

csco- 25

8)? Bd
NED Be) On à

eyin-(2)

9
is) 3

an ge SE
si 45 << Halarıa extensión de
4
E
4 4 4
ado an oda
4 4
omg ad
Hala la oxtensión de:
E = C500 +2C000+3
ANA) 2) Olea
De Elia
si: + <0 <=. Hala a extensión de
Osco
FT Gscors
Bo our
ED ag

6.7
DS

EEN PRAMOIEENRSS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

60. Lacircunferencia es tigonométrica calcular
l réa de la regón angular sombreada,

a
2

A) Cots ©)-cots

DES eyzcas

MISCELANEA

Son
ot. si exe

Hallar la extensión de:
E-Cos(lol- 2)
N BU:
DE: De

ern

Tk ye ®
Si 22 coc © Halaria
62 si -T<o< © Hatar

E=Sen(% -2lol)
non Bt)

= =

4
Osi

1
CR

‘ADRIAN YNFANZON

63. Lacicunferencia es tigonométrica calcular
olárea dela región angular sombreada,

19 so Ge) rt
0) Lest) 09 ona sun
a Lena

64. Lacircunterencia os tigonométrica, hallar
oP.

Cos) Cost Send
N 1-Sen sano ©) Cosb-1
DSP gy 120050

TrCose | 1=Send

194

ADRIAN YNFANZON CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
65. Laceunferenc es ngomomätieacaleular | 68. Lachcunerenciaes tigonomética Hallar
area dela region angular sombreada MN.

D
AG& 5-05 B)Gse5-Cos5
: ©)Cos5-Csc5 0) Sec Coss

A) Fono 1 Coss) 8) A Send + Cost) E) Sec 5 + Cos 5

69, Lacicunferencia es tigonométrca. Hallar

1 1
©) Cost Sen) D) 3.cosol 1 + Son) ee

1 y
€) Sand + Cost)

68. Indicar el valor do verdad de las siguien-
tes proposiciones:

Sen 1 - Cos 11 = Sen 1 -Cos 1
1 [Son2=Cos2| = Cos2-Sen2
m. |Sen 3 + Gos | = Sen 3 + Cos 3

AJVFF EFFV O)VFV
DW E)FFF

67. Indicar verdadero (V) 0falso(F) según co-
responda

i 1 Tany2 > 2 >Seny2

ML 2>Sen2>Tan2

m. At > Tan ii > Sen Vi
FW BIFFV CIVFF
DIWV EjWF

PEER pave ECVE

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
70. Hallar la extension de

psi
Benet

3 4 2
AA ja ods

oma Ba

TI. Hallar todos los valores de "X tal que la
igualdad no oxista

aaa BD) OR
D)IR-(2:8) EJIR- (2; 3)

72. Lacircunferencia es rigonomética hallar
la extonsión del área S" dela región som-

y cg SE

breada si BE so

1 Bier NS

zi Dean

ADRIÁN YNFANZON

73. Lacireunferencia es tigonométrica, hallar
la extensión del ároa"S* de laregión som-

2m ¿qe SR

asi gos St

breadasi À <0 < 5

74, se 2 £041 atari de

E=24 Tanz Cost)

aes Ds cs
vba De

196

BEER PRAM EES!

ADRIÁN YNEANZON

. Si E<os E. Halarla exten
76, Si - 20 < E. Hataria extensión de:

E=Tan(2Isenzo] + Y3)
Indicar su mayor valor.

Ayo Dana Ot
ONE Tanz V5)

en
76. Si -2 20 < +. Halarla extensión de:
1 sx
=2C0s(4|no| + 5%) 42
E=2009(5 |n0| + SS)

A) [an 15%; Cot 15°)
8) [-Cot 15°; 0)
OO; Tan 15°)
D): Cot 15°]
E) (Tan 15°; Cot 15°)

TT. La cicunferencia es vigonomética, calcular
al area dela region triangular sombreada.

¡E

Den

PEN

o au

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

78. Lacircunforencia es iigonométrica, calcular
el drea dela región triangular sombreada.

1 1
Arca 5 2(1-Cot2)
1 1
a ana

Er

79. Lacireunferencia es tigonométrica,hallar
la extensión do:

AVC V2: V2) Bet; 42)
©)(-¥2 51) DIS)
EX

198

Calcular todos los valores positives de “a”
menores que una vuelta que verifican la

V3 Cost = Cota Si He IR

ak: By; Bey
ES
on:
dr.
a

¡Calcular el máximo valor de “0” posijyo
‘menor que una vuelta que vera la igual
ad.

V3 Tano = JCos$ St: E sosn

x ES E

az 5% 0%
x an

Ds

Caleular la extensión de:
E=Cos(Sento + 2Send) Si 06 IR

A) (Cos 3; Cos 1] B){-Cos 1; Cos 3}
©)[C0s3;1] D){Cos 1: 1)
Elo; 1

Se 22 << LE hat nating
0000 on 1

3 a 4
ACE BED OS

4

3

amb aca

ADRIÁN YNFANZON

1. Calculartodos los valores posilvos de "0"

monores que 2 que verifican la desigual-

dad:

m1
sono &)2 4

aka tds os valores posts de
menores que À que veranla desi
dec

coro- 2) s1

1 8:41 OE:

5 Od: 3)

La circunferencia es trigonométrica, Cal-

"cular el dea do la región triangular MPN

19-00 8) fcc

O scant 0) en)
,

EJ L(t + 0080 + Csct)

ERASE
ADRIÁN YNFANZON

87. La circunferencia os trigonométrica. Si
S,=8, Hallar:

E=Send + Coso

a. DO

& e

la

98. Lacreunforoncia es tigonomérica,calcu-
lar ol perimetro del tiéngulo aquiátero
MPN on termin de 0 y 9

A) 3 (Gena - Sen)
8) +3 (Seno + Seng)
©) 248 (Seno - Seno)
D) 2 VS (Send + Sent)
E) 4 V3 (Send - Seng)

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA
89. Lacircunterencia es tigonomética. Halar

"9" menor que una vuela para el cual la
abscisa del baricentro del triángulo MPO

EX

°
ed
>
te 7a ES
a al 9%
25 ES
DE oF

‘90. Hallar todos los valores que toma.

E= |Cos|o| + Coso|

Cuando: E

A0: V2) BE 21 Co(0;1)
DNB) E CYB 1041 V2)

91. si: [Senol < +, entonces se veriicaque:

aos [coso] <1 Dos [Coso < $

©) $< lcostl <1 0) =< [Cosol <1

199

92.

st [0090] < 22 entonces o verten ue.
A) =1 < [ooo] < 1
8) -1 < [om] 1
©) 0 < [Cote] < 1
D) 0 < |Cote] < 1
8 0 < cool = 1

Si: |2 Sono| « (0; 43]. Entonces:
12 Cos®| pertenece al conjunto:

Ad BZ O2
2) E02]

1 fee
ae Dre
si P<cos0s1 AE <<

Hallar fa extension de:

na)"

8)10;2) C2
a 90:2

tres números on progresión art
metica de razón x. Si el número interme-
dio está comprendido entre 1 y 2. Calcular
el maximo valor de la suma de los senos.
de dichos números.

ASeni B)-Sent 0)
Do E)- Cos1

Si neuco<pe a

‘ A
Ar e er
Hala ods los valores que to

E= |1200t0-7|

BE 00:
EE)

ADRIAN YNFANZON

97. Hallartodos los valores de "U" en (

para que la expresión:

E= yTana=i + (VS =Tan0

Sea rea

AD TRES]
Zn. 5 Sr, 4e

QUES of

ES

98. si À <0< ŸE stan + Coto <1

Hallar la extensión de:
E = Son(Tano)

A) (Sen 3 ; -Sent)

E) (+1; Sen ¥3)

99. Hallartodos los valores de “9 que satisa-
con la igualdad

ee

a perc

Alkı+ Fike Z}

On. Fez
CETTE)
Oltra Eke 2

Elle Eike)

ADRIÁN YNFANZON

100. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.

1. Sen(Cos2) > Cos(Sen 2)
11. Tan(Sen 2) < Sen(Tan 2)
IN. Cos(Tan 2) < Tan(Cos 2)

AVFE B)FW oyvw
DIFFF E)FFV

101. La circunferencia es tigonomética. Si 8
5 centro del arco OC, hallar el valor de:

E= [Sono + Cos ol

102. Si: 06 ll Chalartodos los valores que toma
X para que no se verique la igualdad:

rCoto=r- Ik]

An) Beam]
OR-Exn o DIAS
ER

103.

104,

106.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

3: 2 <0< © har en are

de % que verifican la igualdad:

ee

ANS BS (Es
DVIS EEA +6)

Se oy. 78
si À <0 < E. Halaria extension de:

E=Cot(a0+ 7)

AB; ar

1 D)-¥8;0)

arms;

ace

Si: 0 € Ill Challar todos los valores de “0
que verifican la desigualdad:

Æ como sy

Halla el mayor valor de para que se
cumple:
Coto + 6000 + 1 2k

A 88 91
D)-8 E)-10

201

INEA

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA ADRIÁN YNEANZON

107. Lactcuntorencia e tigonométca,caleu- en
lar el drea dela región sombreada 108. Si: -% <0 < 5. halartodoslos valores
ue toma % para que la igualdad no se

à Veis.

2

seco= 201

i k-3

| ANS 96) O8
A Dee) Dos
EN # eee
mo. se Eos E Hater extensión de
_ E= 28ec(| 4 -0l)-1

AS BIS OB

Paz] E
À eas ca) Ai. Lacer oiga cl
As área dela región tianguiar CPE.
A) 1}
©) SCO + cor)
DIS Got (6 + ctv) 2
©) Sooty . cot Y ze
108, Si0.€ IC. Hallarla extensién de 4 para A) (Sec 5 Tan 5) ia
que se veriique la quad 2
1
8) Lans Sec 5)
sooo = K12 2
ket 1
© Loms+ tas)
3 a
o D) (San 5 + Tan 5)
3
lord EL - 1)

1
E) LfTan 5 - secs)
an 5 = Secs)

112, St À cece *-2<S008<-V2
=A<0o0<B
Indicar el valor de: A,
Ao

+8,

EJt+ 3

113. Lacireunferenia es tigonométrica,calcu-

lar ol área de la región triangular OPO.

1
A) See 5 + ans)

D Hoos.can
a

o) Joms-mmo
i

o) dasa

9 diees-cas

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETAICA

114, La circunforoncia es tigonomätrica. Cal-
ular I longitud del segmento BP

A) Sec V2 ~Tan v2
8) Csc V2 + Cot V2
©) Ose V2 -Cot V2
D) Sec V2 + Tan V2
E) -Sec V2 - Tan V2

115. La circunterencia es trigonométrica.
MT =m. Hallar: E = Sen 9 Tan 8, en ter
minos de m.

At-m Bm-1 CNA

D) (m1 EJ dira

116. Hallar todos los valores de "X" para que la

desigualdad sea posto
csco= Kr2
Ex)
8)1R-(0:1)
ELE

901

117. Si - © <0< =. Halaria exten: 3
30 tensión de:

2

E= V3 Csc(lol +

AJO; 6-21 B)l0; Ve -2)
©)2- 6:0) D)e-46:0
EJf2- V6 0)

110. Se x<0< À. Hata nt e:

E = Oso( Cost)

AYER; +=) Be
TES

di)

118. Indicar verdadero (V) o falso (F), según
“correspond.

1. ISec2+ Csc 2] = Sec 2+ Gsc2
1. [Sec 3 + Csc a] = -Sec 3- Cec 3
I. |Sec 5 + Csc 5| = Sec 5 + Ce 5

AWF BFW Gvw
DIFFF E)FFV

a.

ADRIÁN YNFANZÓN
“0-5 Hallar la extensión de:
E=Csctlo| - 80scle| +19

AM DT CH)
Damm Em)

La circunterencia es tigonométrica. Calcular
el área dela rogión triangular sombreada:

A) Sos - Cos V5)

8) Got V5 + 00648)
©) 21008 5 Cot v8)
0) Z(CotV5 + Cos 15)

E) Lose V5 -Cot5)

——— ____[[

204

122. Lacircunterencia os tigonométrica, Hallar
E= Csc 0 + Coto

E=Sec%,-3800%+9 Si mean

EN 4 3,
adn gad an

3, Eh
Dis» En
a. ma z

CE 5-3 15. St 0 <x< 7
128, Si 0e MC" Sec = 205012 Halla a extension de:
4 E=Senx à Csx Tanx + Cotx+ Sorxs Osex
Halla la extension de: Tap
4) DB +2)
Aa pa où u o
3/2 +2) DIN +2; +=)

os ah

CI

wor | e
102
103
0
105
106
107

i
=
a
iis
MA -
=
=
Es
=
a

ADRIÁN YNFANZON

“
8
86
a
8
E
E
a
9
96
97
se
300

61
66
EA
69
70
7
72
74
75

a |
RiF|r|ire|sls|s

5

m =

5

2 à

o

8 lolala

=

2 |slsle

=

a

al

a

©

2 [<lolul<lolole

(oy El RE a

40
E
42
4
a7
49

El se eal BS

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

08
09
0
a

12
13
14
48
16
7
18
9
a
24

206

GEN
E
El
5
E
6
A
o

CAPITULO

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA UN MISMO ARCO

E] INTRODUCCIÓN

La historia de la Trigonomera está Igada al cálculo y a la medi, Las operaciones topográicas y de
uo 1a bcoración astronómia, la medida de ls curpos y dtencascolesos, y os cálculos
Fecesaros para laborar tablas numéricas, disinguen a a Téigonometia

En sus orígenes. Aunque los aspectos de las operaciones matemáticas manuales son todavía impor
Thee, Sl importancia ha sido minimizado por la computadora y más recientemente por la calculadora
Weile, EV andleis del movimiento circular uniforme, de fenómenos periódicos como la osclación de
UN pendula, y el desplazamiento altemativo de un piston, iustan un aspecto más moderno de aplicación
ela materia El caráctor mismo de las funciones ayuda a expar estos fenómenos y llega a ser de
‘tres primordial Es necesaro poder implica o cambiar de algún modo expresiones tigonométicas
Complcadas. Esta es una parte importante de aplicación del cleo ala Trigonometría.

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA

Utizamos la palabra identidad para significar que el enunciado ge igualdad se cumple para todos los
valores de la variable para las cuales está definida.

EJEMPLOS
+ VxeIR se cumplo que: x = 1 (x +1)
+ vaeiR-{1} se cumple que Peart

ant

Una ecuación es simplemente un enunciado de igualdad y pueda ser verdadera o cie siempre. Una
ecuación que es siempre cierta se llama identidad y una que ruca lo es se denomina contradicción.
Las ecuaciones que se manejan usualmente en álgebra son iquaidades condicionales y se verifican.
únicamente para algún valor (o algunos valores) dela variable

EJEMPLOS

Sólo para x =2 se cumple que: 2x=1=3

2
= Para ningún valor do "a" so cumple que: à

su | ADRIAN YNFANZON

(m-1)(n+2)=0

+ La igualdad (x + 4) (x= 4) = x ~ 16 so cumple para todo valor de “x, Por lo tanto se llama identidad.

Una identidad se lama trigonomeirica cuando en los miembros de la Igualdad aparen
‘cen expresiones trigonométricas que se verifica para todos los valores permitidos |

de la variable donde el término valores permitidos so refiere a aquellos valores pa
los que esta definida la Igualdad dada. Be

EJEMPLOS y

+ VOIR se cumple que: Sono = 1- coso f
Mis Seno

+ voeiR -|(2n+ ne Z | se cumple que: Tano =

ela ta Mele a pe qe TAO eg

CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1231

1232

1233

Las identidades trigonométricas se clasiican en:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA UN MISMO ARCO

Son igualdades que expresan las dependencias entre las razones trigonométricas de un mismo arco.
EJEMPLOS

* Sen? +.Cos%=1

Sem
+ Tang = Sen

+ Cos0-S0c0 =1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO

Son igualdades que expresan las dependencias entre las razones trigonométricas detarco compuesto
‘con razones trigonométricas de los arcos simples,

EJEMPLOS

+ Sen(a +) = Sena =Cosß + Cosa» Sens

Tana Tans
+ Tan Tangs
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ARCO DOBLE

‘Son igualdades que expresan las dependencias entre las razones trigonométricas del arco doble con
razones trigonométicas del arco simple,

EJEMPLOS.
+ Sen29 = 2Sen0+Cos0

+ Tan(a =p)

2Tano

«Tange =
1- Tanto

ee

‘MEZA BRAVO ELVIS

ADRIAN YNFANZON. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

12.3.4. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ARCO MITAD.
‘Son igualdades que expresan las dependencias entre Las razones.
razones tigonométrcas del arco simple
EJEMPLOS

gonométricas del arco mitad con

CECI
2 2
42.3.5 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ARCO TRIPLE

‘Son igualdades que expresan las dependencias entro las razones trígonométicas del arco triple con
razones tigonométicas del arco simple
EJEMPLOS

+ Sen + Tan? = Cs - Coto
$= seo

Tano Tan's

Tango = =
1-STan/0

+ Sendo = 3send - asenTe .
12.36 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA LAS TRANSFORMACIONES

‘Son igualdades que expresan las transformaciones de una suma o diferencia de razones trigonométicas,
a un producto, como también la transformación de un producto de razones trigonométricas a una suma.

sde
EuempLos
et ee

EZ] IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA UN MISMO ARCO

La tigonometia se caracteriza por la gran cantidad de fórmulas que presentan una interelacion entre
las razones trigonométricas.

Estas formulas faciitan con mucha frecuencia ol trabajo de evaluación de una función trigonométrica
dada.

De estas formulas las más importantes
‘mismo arco llamadas también identidades bäsi
‘Que se van a clasificar como sigue

42.4.1 IDENTIDADES RECIPROCAS
Las identidades recíprocas se basan en la propiedad de qu
Las razones seno y cosecante son recíprocas es decir

-C D

Las razones coseno y secante son recíprocas es decir

las identidades trigonométricas que se relaciona para un
8 o identidades fundamentales,

1 producto de recíprocos es 1

son y Sone

‘Send

1
‘Seco

Las razones tangente y cotangente son recíprocas es decir:

:
3, - o

seco - 1 NO]

1
seco <1 v Coso,

1
oto = = v Tana

MEZA BRAVO ELVIS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ADRIAN YNFANZON
La verlicacin de cada identidad so obtiene a part delas detniciones empezamos con la Identidad (1)
Send cs = 1
yer
rye
a Lagd
“Andlogamente con la Idonidad (2).
Cos0+ Seco 1
Ar
nt Lago
Finalmente con la Identidad (2) ;
Tom-cow = 1
ve
Ey
Tai Land

1242 IDENTIDADES DE COCIENTE

La razón de sono entre coseno resulta la tangente, es deci:

Sam se
=Taro E
Cosa = "000 EX =

‘Como la tangente yla cotangente son recíprocas resulta que:

La verificación de la Identidad (4) se obtiene utiizando las definiciones del seno y coseno, así

y
Son £

cs * F

Seno

Coso =

Seno y

Coso x

Seno.

= Tem Lage.

210

ADRIAN YNFANZON IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

úAnálogamente se vera la Identidad (5), así

Coso

Sen = Y

Com er

Seno = yer

cose _

Send = y

oso

Se = cote Laga.

12.43 IDENTIDADES PITAGORICAS
Estas identidades se basan en el Teorema de Pitagoras y son las siguientes:

¡Coto - csc%o e
/ La verticación de la Identidad (6) se basa en la relación pitagórica:
a et

Si se dividen ambos lados de esta igualdad entre r? rosuita:

pe
PO
DC
(Somo? + (Co = 1

Sen/o+Cose = 1 Lagd.

EJ

El simbolo Senb se usará para denotar. (Send)? y una notación similar se aplicará para los demás.

Para la vericacion de la Identidad (7) también nos basamos de la relación pitagórcs

top = à

Si se dividen ambos lados de esta igualdad entre x? resulta:
e ig
Br reg
tye f
gl. ©
to (Tan)? = (Seco)?

1+Tan’o = Sedo Lagd.

Análogamente para la vericaciôn de a Identidad (8) nos basamos de la relación pitagórica.

Yet = à

Si se dividen ambos lados de esta igualdad entre y? resulta:

MEZA BRAVO ELVIS.
‘ADRIAN, YNFANZON IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS,

KEEI DeNTIDADES FUNDAMENTALES Y FORMAS EQUIVALENTES

Se pueden obtener varias formas equivalentes de las identidades fundamentales mediante la manipula:
ción algebraica,
Estas formas equivalentes la clasiicamos asi

12.5.1 FORMAS EQUIVALENTES PARA LAS IDENTIDADES RECIPROCAS

ae EXA

EXA
En

Tano
cas
. tano Cot

EXA

| Seno = Coso «Tano |

aes EXA
EXE

| cose sono: cote |
EJEA Coso
EXE

213

MEZA BRAVO ELVIS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS H ‘ADRIAN, YNFANZON
12.5.3 FORMAS EQUIVALENTES PARA LAS IDENTIDADES PITAGORICAS

Son? + Cos?o = 1

Tan? = 1

cot = csc’

[EG veriticacion DE IDENTIDADES COMPLICADAS

Las ocho identidades fundamentales y sus formas equivalentes se pueden usar para demostrar que

«oras Igualdades rolalvamente complicadas también son identidades.

Una domosiracón ógica puedo requerir

(A) La transiormación de uno de los miembros de la ecuación, o bien

(6) La transformacion de ambos miembros de la ecuación

En todo caso, no hay que pasar ningun término de un lado a otro de la ecuación, tampoco hay que dividir

‘© mulipicar la ecuación por ningún término. Para seguir una cia unllormidad, todas las demostraco-

nes de esta sección seguirán el método (A).

12:61 SUGERENCIA PARA VERIFICAR IDENTIDADES

Las siguintes sugerencias nos van a ayudar a transformar las oxpresiones trigonométricas, y así do-

mostrar las identidades.

(1). Transformar el miembro más complcado de la igualdad.

(2) Escrbiclas razones trigonométicas de un miembro de la igualdad en términos únicamente de
senos o cosenos.

(3) Si uno de los miembros de la Igualdad tiene una única razón tigonomética, escribir todas las
razones trigonométricas del otro miembro en términos de esa razón

(4) Si un miembro dela igualdad es una fracción con un sólo término en el denominador, escribirla
Tracción como una suma o diferencia de fracciones
EJEMPLO

214

1262

(6). Si un miembro está formado por la suma o diferencia de varias fracciones, calcular el mínimo,
común denominador y escribir el miembro como una sola fracción.

(6) Muñipicar un miembro por 1, en la forma A/A, donde A es una expresión rigonométrica escogida
adecuadamente.

(7) Descomponer en factores o expandir expresiones.
(8) Evitar ol introducir expresiones con radicales.

EJEMPLOS SOBRE VERIFICACION DE IDENTIDADES
‘A menudo, se emplea la frase "verifique la identidad" en vez de "demuestro que la igualdad dada es una
identidad"

Para que esto suceda emplearemos las identidades fundamentales junto con manipulaciones algebraicas
y las sugerencias antes mencionadas.

El método mas adecuado para demostrar quo una Igualdad es una identidad, consiste en transformar un
lado de la igualdad en el otro, como se ilustra en los siguientes ejemplos

EJEMPLO 1

cs
Demostrar que: Q = Seco

DEMOSTRACIÓN

De acuerdo con la Sugerencia (1), el lado izquierdo so va a simpllicar por ser el más complicado, de
‘acuerdo con la Sugerencia (2), el lado izquierdo de la ecuación se escribo en términos de Senos y
Cosenos, asi

Gsco

Coto a
4
= Sec
= Seco
Seco Lagd.

EJEMPLO2

oso _ 1+Sen0
Demostrar que: += Song

DEMOSTRACIÓN
De acuerdo con la Sugerencia (6), el lado izquierdo se mulipica por en la forma: (1+ Sen0)/ (1+-Seno)

Esta fracción se escoge en razón de que el producto de la expresión (1+ Sen) llamado conjugado de

(1-Seno) yla expresión (1= Send) se convierten en una sola razón tigonomética.

I

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1 ADRIAN. YNFANZON
Cost 1: Sen
(Sono = Cou
145000
= cs
Cosatt« Sant) 113000
{Fe Sans Sen0) Con
Cosb{t+ Sono) 145000
¡sento 7 Cm
ue ee
9A = cose
+Sen0 1+Seno
Co 7 Con ke!
EuenpLo a
eats
ay _ Sento = Cost cu
Demostrar que: Car = +cot%o
a Santo Cost
DEMOSTRACIÓN

De acuerdo con la Sugerencia (1), se simpliicarä el lado derecho, se descompone en factores.

(Sugerencia 7).

sento Coste, cor

Ce =
‘Sen’ - Cos"
CaN 2
Son?6 + Cos?o) (sen? Q
et ut Lato
E
csc%0 ¡Sent + Cos/0 + Cote
sco 1 + 001%
ost Cs Lagd.

OBSERVACIÓN

"Muchas de las ecuaciones trigonométricas no son identidades, no son válidas para todos los valores de
la variable. Para mostrar que una ecuación tigonométrica no es una identidad, hay que encontrar un
“arco o un ángulo que no satstaga la ecuación. Tal ángulo sie como contrajemplo. Al elegir un
“ángulo como contrasjemplo, hay que evitarlos ángulos cuadrantalos, ya que se puede obtener un valor
o definido.

216

El valor de 0. Se puede elegir de muchas formas, la elección es arbitraia, en esto caso elegimos
O=n/3

Cost - Seno
a 14 Tano

Cos (x/3}~ Sen(n/3)

“s «Tanta
Cos(x/3) Y.

112-4312
143

po sa) 1+ 43
16 » 6

ESTO demuestra que la Igualdad no es una identidad.
EJEMPLO 5

Dames que Sent 0080 T rang» Co no 0 una ono

DEMOSTRACIÓN
Elegimos 0 = x/4.

‘Sond + Cos Tano
Cost

San(x 14) +Cos(x/4)-Tan(x/4) ae
Set cee a Tee) Tan(x/4)(1+Cos(n/4))

ares (o(t+v212)

2 # 127
ESTO demuestra que la igualdad no es una identidad.

‘Tan (1+ Cost)

‘MEZA BRAVO ELVIS |
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ADRIAN YNFANZON

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS
Las ocho identidades fundamentale y sus formas equivalentes se pueden aplicar también para simp
ficar expresiones que contienen razones trigonométricas
Simpliicar quiere decir reducir el número de términos de la expresión 0 el número de razones.
tigonométicas distintas que se usan.

Esto proceso llamado reducción se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1

a
Tan au
Simpitcar a expresiin: € = COlD- Tan sacd
RESOLUCIÓN
Be
Coto- Tanga,
= 00%
> Got -Tanı
Saut Tan0){ Co + Coto» Tano + Teo)
EN ¿seco
(Cray)
E Co + Coto» Tang + Tan? — Sec?
i
E Coto +14 Tan? - eco
e =
E =
EJEMPLO 2
Simpllicar la expresión: E = (Sec0 + Tan) (1~ Seno)
RESOLUCIÓN
E = (Soco+ TanoJ(1- Sono)
E u-sen)
ES )e-som)
1
1+ Sen). Sana
E + Seno) (1 Seno)
1 2
€ (1-sex%e)
E = cos"

1
Cos
e - EM

‘Sect + Caco
‘Sect - sen
Tano+1_ Seco + Csco

EJEMPLO 3
Tano +4
ne
| RESOLUCIÓN
E = ram-1 Sect -Ceco
Sen, eet
‘cost ** Coso * Seno
ER: Seer, atl
oso! Coso” Seno
Send + Cosü _Send + Coso =
Cor Sen

a oe
Sond Casa ~ Seno Cab

EJEMPLO 4
Seno
Simplíicarla expresión: E = 1, Ga =

RESOLUCIÓN
E =

coso

‘Seni(1- Coso) - Sena(t + Coso)

EJEMPLOS
Simplticarla expresién; E=(Seco= {Csc0+ Coto)

MEZA BRAVO ELVIS

IDENTIDADES YRIGONOMETAICAS a ADRIAN YNFANZÓN

(1080140080)

© = (cos I sen)
(1- Gas} coso)

E = Gosu-seo

z Ss

cs

Seno

eo = ona

E

EF CALCULO DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS DADO UNA CONDICION

A continuación citaremos ejamplos que ustran el cálculo de expresiones trigonométricas a partir de una
condición, esta condición es una relación entre otras expresiones trigonométricas, para tal efecto aplica
remos las identidades fundamentales y sus formas equivalentes.

EJEMPLO 1

2
Si; Sent + Cost = 3 . Calcular el valor dela expresión: E = Send Cost

ESOL
ee ae ue
os:
27%
msc? (2)
2e 2 a
o
oa
a
re
:-H
EsmueLo 2
Si Son0-Cos0= À. Cala ol var d la expos: E = Tan + coto
RESOLUCIÓN
4
ere ee ee

1
Send Coso

sen? +.Cos?o

‘Send + Coso. E

Bra | A
“Sont + Cosi * Seno Coad
Seno , Coso

Coso * Seno 5

Tan + Co =

— =
EJEMPLO 3
Si: Seco - Cost = 3. Calcular el valor dela expresión:

E = Soc?o + Cos?o

RESOLUCIÓN
Partimos de la condición:

Secd-Coso = 3
(Seco-Cos0)? o

‘Seco + Cos?0 - 25000» Cos
wc
Sec/0+Cos 0-2 = 9
secto+ costo = 11
©
Si: SenŸo + Seno =m y Cos* + Cosd =n
ue

RESOLUCIÓN
Reomplazamos "my ‘n° en la expresión que nos piden:

+ 5c0-+ n+Seco

E m+Csc0 +n» Seco

E. (ares).

MEZA BRA\
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ADRIAN YNFANZON.

ELVIS

E Sor’'Csch + Serb Cet + Cos Saco + Coso» Seco,

= Sen? Send +Gso9 + 14 Con» Gost Sec + 1

E = Sentort+Costo+1

EJEMPLO 5
Si 0.€ NC. Calcular el valor simpificado de

E = \/1+ 2Sen0Gose + Seno,

RESOLUCIÓN
En este caso, partimos de la expresión que nos piden:
E = f1+2S0n0*Cos0 + Seno
E = YSon?o+ Cos/0 + 25en0+Coso + Send
[ 2
E = \[(Sen+ cose)? + Sen

‘Send + Cos0| + Send

E
Como 0.10 = Send<0 À Coso<o
= Send +Cos0<0

= |Sen0+Cose

(Send + Cost)
Reemplazamos:
E = -(Sen8+ Coss) + Sena

= Soma Coco + ana,

(ADRIAN | YNFANZON IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

[EX] ELIMINACIÔN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS CON CONDICIÓN

Si tenemos dos condiciones por lo menos entre expresiones trigonométricas y no tigonométicas, apli
cando las identidades fundamentales podemos eliminar las expresiones trigonométricas y oblener una
relación entre las expresiones no trigonométricas,

En los siguientes ejemplos lustramos lo explicado anteriormente,
EJEMPLO 1

Si Send + Cos = a À Seno- Coso =b- eliminarlas expresiones trigonométricas.
RESOLUCIÓN

Elevamos al cuadrado a ambos miembros de cada una de las condiciones:

Sk Send + Cos0 =a (Sono + Cos9) = a …()

Sk So-Coso=b > (Seno-Cosp =p? … (in
Sumamos (1) y (D.

(Sono + Cosa]? + (Send - Coso]? = a? + b®

Aplcamos la identidad algebraic llamada

gendre.

2(Ben/0 + Cos"
ua

Finalmente, con esto quot
luna relación entre "a" y

iminado las expresiones trigonométricas, resultando como consecuencia

Si: Tand + Coté =m A Tan? + Cot = n. Calcular una relación entre “my *
RESOLUCIÓN
Elevamos al cuadrado a ambos miembros de la condición:

EJEMPLO 2

Tan} Cat = (Tem +cooj? = m

‘Tanfo + Gotfe+2Tan0Coto - m?
‘Tanto + Cor + 2 m?

Finalmente obtenemos la relación pedia:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

EJEMPLO 3

Sk Sect + Tana

RESOLUCION

y À Sect Tano =

Escribimos on columna las condiciones:

Seco + Tano

Sec = Tano

ADRIAN YNFANZON

y ; eliminarlas expresiones trigonométricas.

x+y

xy

Muliplicamos las condiciones miembro a miembro:

(Seco + Tano) (Seed - Tano)

Soc? -Tan?o
DER:

oyo y)

ey

Finalmente quedo eliminado las expresiones trigonométricas, que da lugar a una relación entre "x € y"

EJEMPLO 4

Si: Seno + Cos0 =a „ Sent=Cos0 = b. Calcular una relación entre "a" y

RESOLUCIÓN

Elevamos a ambos miembros de la condición:

Send + Coso.

= (Sen0+ Coso?

Sen®0 + Cos”9 + 28en0 + Coso.

7

1+ 2Sen0 + Coso
TRE

Finalmente, obtenemos la relación pedida:

EJEMPLO 5

Sk: aSeno- Coso =

A Send + Coso.

Eliminar las exprosionos trigonométricas,

RESOLUCIÓN

De cada una delas condiciones "despejamos" aSeno y bSend asi

‘aSend -Cos0 = 1 = aSend = 1+ Cosd

bSen + Coso

1 = bSend = 1- Coco

o

0)

Multplicamos miembro a miembro () y (I):

[aSeneybsene) = (1+ Cost}t- Cost)
abeSerfo = 1-Cosfo

abeSen/o = Sento
Finalmente oiminamos las expresiones trigonométricas, dando lugar a una relación entre "a" yb”.
ER DENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES

A las siguientes identidados trigonométricas le vamos a denominar auxiliares. Dichas identidades van
‘a seducir o simpliicar con mucha facilidad a expresiones trigonométricas complicadas.

‘Vamos a ciar la identidades trigonométricas auxliares más importantes:

_ 12101 DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS AUXILIARES

Utilizando las identidades fundamentalas vamos a demostrar cada una de las identidades auxiliares.
DEMOSTRACIÓN |

(S0n0 + Cost + 9(Sen0 + Cost). = 25000eCos0
[tSeno+Cos0)+1][(Sono+ Cost) -1]= — 2sen0coso
(Seno + Coso]? - (1? = 2Sen0+ Cos

sentoxcos%0+2Sen0%Cos0-1 = 250nsCoso

Ng 25600 + cost 2Sen0+ Cost

2Send+Coso = —2Send+Cosv Lage.
DEMOSTRACIÓN I

Seno(t- Cost) 1-Cos0
(1+Cos0) (1-00) =

MEZA BRAVO ELVIS.

‘ADRIAN YNFANZON

DEMOSTRACIÓN 1

Coso

1+ Seno
Cos | 1-Seno
1+ Send” 1=Seno
os0(1- Seno)

(1+ Seno)(t- Send)

Gosoit- Seno)
1- Sono

Dosaft- Sens)
Costa,

1=Sen0
Cos

DEMOSTRACIÓN IV

DEMOSTRACIÓN V

sento + Cosa

onto + 2son?ocos’ + Cosy -2Son?0cas?0

2sen*0cos*o

1-2Sen?acos?o

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1-Seno
Coso

1-Sem
Cosi

1-Seno
Cos

1-Seno
Coso

1- Seno

1-Seno

‘Sono costo,
Sono Cosío

Sen? - Cos" Lagd.

1- 280n?ocos?o

1 280n/0Cos/0
1- 20n/0Cos/0

1-25enfocos?o Laga.

INEENPRANDELMEN
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a
DEMOSTRACIÓN VI
Seno + Cos"
‘Sen + 3Sen?0Cos"e + Cos" - 3Sen/0Cos ‘à
Sent + s8en“0Cos%o Sone + Cos*o) + os - asen?ocos?
Sen'o + 3Sen'0Cos’0 + 3Sen¥*Cos'e + Cos" -3Sen"¥Cos"a

(Sen*o + costo)

-asentacos'o

DEMOSTRACIÓN Vil
(1+ Sono + Cosojé

2(1{Send) + 2(1)(Cos0) + 2Sen0 + Coso

2+ 25en0 + 20080 + 2Sen0Cos0
2(1+ Send + Cos0 + SendCos6)
2[(1+Sero)+ (Coso + Senocoso)]
2[(1+ Seno) + Coso(1+ Seno)]

2(1+ Seno)(1+ Cost)
DEMOSTRACIÓN vit
Tano + Coto

Seno | Coso
(Coso * Seno

Son?o + Cos
CosiSen0

AR
CosSena

1- 86en/00os/0
1-8Son?cos?o,

1-8Son’ocos?o,

1-3Son?ocos?o,

1-3Sen®ecos’» Lagd

2(1+ Seno) (1+ Cosa)

2(1+ Sene)(1+Cos0)
2(1+ Send)(1+Cos0)
2(14Seno)(1+Cos0)

2(1+ Seno)(1+Coso)

2(1+ Seng){1 + Coso)

2(1+ Sene)(1+Cos0) Lage.
Sect sch

Seco Csc0
‘Seco Csco

Socd- sch

DEMOSTRACIÓN IX

Soc? Cs?
DEMOSTRACIÓN X

Seco + Tano.

(Seco Tano)

(Soo Te) (Seco Tar}

seco Tank

DEMOSTRACIÓN xt

EJEMPLO 1

implicar la expresión:
RESOLUCIÓN

Sens Go = (2

cms (ff

Sects Go + 2Sam-Co
a

28enxCosx =

E Senn + Cos'x
E = 1-28en?x+Cos?x
E = 1-2(Senx+Cosx)?
2
Paerpärane (D z= ee.)
ee
peas jee

EJEMPLO 3
Si: Sectx+Csc”x=25 À xeilC calcular: E = Tanx + Cox
RESOLUCIÓN
De 1a conden HR ae
Sec?xeCsc#x = 25
Ysec’x+cscx = ds
Sac = 5
|Tanx+Cotx| = 5 0
Como xe = Tanx<O à Cow <0
tanxs Coto
itanxe Cot = {Tant + Cote)
Roempazamos on (I:

ATam+ Cot) = 5

Tanx à Co = E

MEZA BRAVO ELVIS

EJEMPLO 4
San'x + Cos%x
Simplticar la expresión: E = °°",
Cos + Sen?
RESOLUCION
‘Citamos la identidad auxiar:
Senfx-Costx = sen -Cos?x
Sentx+Cos®x = Costx+ Sen’
Reemplazamos en la expresión “E”
Coss + San’
Cos + Sent

Buenos
Caesar una lación ee ay 1 Secta = 2 0
Csct+ Cott b m
RESOLUCIÓN
Patmos de SecteTamia
Sram!
:
man est ss
der co
ni
Aeempszanos on 0
orion e 0 =
st, 2a b
tada
a+ 2a+1
fh os

hous

GAN =»
EE)

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIAN YNFANZON

PROBLEMAS RESUELTOS

Gosx + Tanx

= Gscx + Secóx
Sen osx ~ CP &

02. Verifique la identidad:

1-Senx _{ Cosx ]?
1+ Senx © [1+ Sex

03. Verifique la identidad:

Tarx-1_1-Cox
Tant 17 14 Coby

04. Verifique la identidad:

Tank
Socx- Cosx

=Cscx

05. Verifique la identidad:

06. Voriique la identidad:

Sex + Tan

2
(Socx+ Tam? = $004 Tae

07. Verifique la identidad:

1+Cosx 2
12 osx (sex + Cob)
08. Veriique la identidad:

Sax, 1+ Cosx
¥+Cosx Som 20%

09. Verfique la identidad:

Cosx« Cosy - Senx* Seny _ 1- Tan» Tany

‘Cosx* Seny + Cosy *Senx — Tanx+ Tany

10. ¿Cuál el valor de "K", que verifica igual-
aa?

sen?2 + Cos?2-=K(1-Sen?2+Cos®2) 1

ay 8)2 9-1
D)-2 e)12

IMPLIFICACIONES

11. Simpliicar la expresión:

E = (C508 + (Seco - Tan)

an B)cow
co? 0) Tano
E)Tan’o

12. Simpliicar la expresión:
1+0013+Csoa

To Tans + Seca
a1 8)Sens C)Cos3
D) Tang E) Cota

13. Simplicar la expresión:

8% + Sent Tan

E Senx + Secx
A) Sone B)Cosx CTan
D) Secx E) Geox

14. Simpilicar la expresión:

(soc?)
ecx( Cscx=1)+ CosxSec’x-Cscx)

A1 B)Tant C)Cox
D) 2Cox E) 2Tanx

15. Simpllcar a expresión:
a
E = (rat -Senf1)csc1

A) Cost Boot ©) Sect

DES) CN

=

16. Simpliicar la expresión

iz
= Sont-$00°1 + VGoste cac - Ysochıscachn
A2 9-1 oo
D) Tam E) con
17. Simpiticar la expresión |
Ex (14 28end+Co89 + Cos
A) Sona 8)-Sen3__0) Coss
D) 20083 + Send E) 20053 - Sond
18. Si 225° 20 < 270 Simplcar la expresion
2
En [Taro +002 |,
Y Tano + Com
Acoso B)-Coso C)Sen
D)2Son0 - Cost E)-Seno
19. Simpliicar a exprostón
2
gx e -b*Sen?0— aos"
abs + ab(1+ sento)
asp a-b a
are Bast e
a 2a
De, Er 25
20. Simpicara oxpresón
ata cota aca?e 2) +1
Set? cy Tanke
2
21. Si Tano + Cow e
Calcula en tóminos de n°.
E = Sono sento + Cos" costs
An CE on
Dj En?

ADRIAN | YNFANZON
Si Seno + Coot =m

Calcular en términos de "mr.

E=(1+ Sen0}(1+ Cost)

tem? tom? „lm?

A)

i Le
2

(1m)

y Et+m

Si Tan?x+s Cox = 7

Calcular. E = Tank + Cox

wa 8)-3 CE]

os ES

Sora <45t a Tantos cote = 119
Calcular:

Etico
"a -3 83 3
ES E)25
Si: 1+Cos?0 = 9/1- Seno)
Calor
Em ou
ns 2. 0
Be BS
Se Tnt À ¿A qu esi?
scone sana
Coe ase
Be ES
Vea eae oie
ab
agit

28

Si: Senfo + Csc A Be Nc
Caer
€ 25001 Costa

A) V5 B-\5 93
0 os
Sao 1 (0

Sans» Cost + (1)
Car Tax
N re 0.
Ba, Dem

Calcular “n° para que la siguiente expresión
sea independionte de “0.

E= (our Con's) {sort « cost)
9. aa
93 Be

Calcular*% para que la siguiente expresión
sea independiente de 0

E =k(socto socio)» Tanto + Grant

A2 a
by 82

ELIMINACIONES

Calcular una relación entre “a” y *

oo

rand +Cot0 «1

b=Seco+Csco (1)

ara aja
Ga? +2a=b® pat
E)asb=ab

ES

34

rares °°

and + Send =
Tans

0
Som=n (0)

ay(m? -n?) = 16mn

(men? = 6m

ateo

orto

8a? +b =10
Elminar x “y!
k SenxeCos

w
k SenxSeny = b . (1)
-

KGosx =

AE

BRAVO ELVIS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

85. Calcular una relación entre

"mn" y p°

Seno _ Cos _ Tanw

ANY
Alm? à

Bm? m? nd) ano?

Sim? mé +n?) = tp?

Dyn? (a? +2) mp?
E)m=p

36. elimina“
Seno +Coso=a =. ()
SenŸo+ Cos*b=b +.)
8-28 ej +20 «30
OB’ 2-0 Dip’.
Barbe (av?

37. Calcular una relación entre “pr; a"
PCosx + qSerx=a …() )
PSenx = qGosx=b … (l)
Ap+q=asb
Bp-g=a-b
Cp? +a? =a? +b°
pegao?
E)pq=ab

38, Eliminar x.
TanA+ Gosx= TanB … ()
TanD + Tanx = Tan © (i)
A) TanAsTanB + TanG»TanD = 1
B) CotA-Tanß + ColCGaD= 1
©) (TanasTanB) + (ColC»COID} = 1
D) (TanArCotB)? - (TanCCotD}*
E) (TanArTang} - (TanC+TanD}" = 1

Ss

ADRIAN YNFANZON

89. Calcular una relación entre “a” y",

secto 25000» Tan

Tano - aSoc’o-Tando=b (0)

40,

A)

AJA p29 2

Det 42/3 _ ¿LIA à

E)a218 ap US _ g¥9,29 à

mu

ELANI

a1. Sk Tanx+ Tank + Tank = 1

Calcular
E =Cotx + Tan’x

AJO a1 02

D)3 94

42. Simplifcar la expresion:

e [se
Vi Sona "Vie Sena

212002 By aTana

C)-ZTan2 0) -2C0t2

80

ant

men

Simpilicar la expresión

Sonx +
Be eure
1- SenxCosx - Sor/xCos x
A) Senx + Cosx B) Senx = Cosx
(©) Gosx = Senx D) SenxeCosx
E)Sen?xe Cos?x

si sc À
Calcular 4A+8.

A2 9-1
D)2 83

5. Simpliicar la expresión:

A) CotŸ2
C)TanŸ2 D) Tan?2
E) Sec%2
, st M=(Seox /2Sen)(Csex + /2Cosx)

N = Sen"x + Secx + Cos"x= Cox
Calcular el valor de 'n' para que:

Man

48. Simplicar la expresión:
En 0081-Sents1_Cost+Sent—1
GostiSent-1| Cosi-Semi+1 |

A) 2Tant B)2Cott C)2Sen
D) 2Cost E) 2Cse1 E

A
a de

Indicar el valor de P+Q+R.

A2 8)4 cé 2
D8 £10 a

Si 8 e IC implicar la expresión:

A) Tano 8)SenoCoso
O)SechCsed D)Cot
E)-Sena«Coso.

|. Simpilicar la oxpresión:

PALIER

+ Cot

A) Cost 8) Cost
C)-Sent D)-2Sont+ Cost
€)-2Sont - Cost x

2. Sila igualdad se veria para un valor de "x"
en (0:x/2),

a

Indicar el valor

GTan°x + 8 Tax.
160o1 Pe 1801"

aan B)77

Ea ad le, da 36 venia Gia

er
send, Cos? _ Je
O
n-2 94 0
De ER

54. si: Cot?

Calcular:
ae 9 Ove
NJ e

55. Si Tan?x-kTane+1=0
Calcular *E* en términos de 4"

Sen? + Cos*x sy
(Senx+ Cosx)*
kot kar
2 kr
LE)
a
rane = 0289 +bSeny
BSE Tam = Seny=bCosy
LA qué es qual?
€ - [Sony + Cosy)(Sony-Cosy)_,
Senx+Cosx
ar ETS op?-
D)b?+2 yp? -2

Senfx + Cost 1 9
Sec + Osc

Entonces ol valor do SonxeCosx es:
Aas 84/4 yaa
DE 12

58. Indicar el valor de

Senfx + Cos?x

Son + Cosx = 1.
‘Cuando: IB

ay9ui28 8)99/128 c) 95/128
D) 971128 E) 99/128
59. si

(Sante (Tani + Coste [Coti]

N

(re
oe)

Caleta at pura que
wen
nestor 9 Sent- cost
som jouet
Soros

60. Si SSonx + 4Gosx = 5
Calcular el valor de:

E = 4Senx + 3Gosx
A5 8) 245 ©) 24/05
D)125 E) 1225
61. Simpliicar:
Sen2(Sen2 + Cos2 - 1)

Secz Tan2(Cos2 - 9-1
A) Sen2 + Cos2=1

B) Sena + Cos2 + 1

©) Senz=Cos2 + 1

D) Sen2 - Cos2-1

E) Send Cosa

(62. Dado la expresión:

(m-5)x2 —4me+m-2=0
¡Calcular el valor de "nY para que las raíces
‘Sean seno y coseno de un mismo arco
As ws C)18n3
D) 15/7 BED

(63. Calcular el mínimo valor de:

San? + Cas + Tan à Cox + S00%x + One’

AS 86 97
D)8 CH
64. Si: Tan -Cscd =1
Calcular el valor de
E= (1+ Coto)(Csco - Coso)
A2 a o1
D)2 En

65. si: 2Sec/x-Csc'y

Calcular ol valor de: E = 2Sec”y - Csc®x

N 9-1 ot
oe Ba
66. Caeuar ab
[i Sane us
= a$ecx bTanx
V1-Senx sl
a2 a. oo
on 92

67. Si: 4C0s%x + 4CosxCosy +1=0
Calcular e valor de:
E=Sec%x + Cos?y
ay 93 os
D)7 99

68, si: San?o+Cos'o

©)1-2a

69.

70.

n

fi= caso

fire „
SE V1-San0 * V1+ Coso

Además: 0 e IC, calcular E” en función de
“KE =1-Sen0 + Cosn

A) 2K Bra CES
D)-2K BEZ

Si 38/4 0.< r , calcular todos los valores
que toma “E”.

raro + com? - 4 + „(Tao cou +4

AER BB < wind
G<it=> D)R-(-2:2]
ER-C-tn

Si: M= 1 + Tanx = Socx - Sen

Tank Socx + Sonx

LA qué es igual? Mt +N

2800
1 Sox

2Secx
1=Cosx

E

LA qué es igual?

Co
E Sen, Coste

a Be
Mar)? alfaro?
Claro)? Dyfa+bj?
EI)

A) Tany
eee ee

B) Tany Cotx

E) Tanx + Tany

76. Calcular un valor de "a" para el cual la ex:
presión "M" sea independiente de "x"

a 0

Oe stay ace
218 213} 92
Pu ES

E = Tan’ Gotfx + Tan/x + col ra st Senta 2028-3
Aa Bhatols
CEN DEJO es

E = (Gos + Yeni /Tant + ySect

Aaa Baar)
+ Oyzda-n Wart
&) 20a)

70. Si 0<0< 7, además:

¡Seco + Gec/0 = 25

Calcular: E = seco - Csc°o
DEN 8)-20415
Chaos D)-20415
1515
80. Si; Verso =1- Cost
Exsocd = Sect 1
Además:
Vers Exseco
Calcular:
1 1
E =
vers’) Exsoc’o
A1 82 hays
DE) 84

Bt. Si n/acacr/2 a O<Ben/s

LA qué es igual?

senta» Sen

E= fi cou: Con

A) Cosu -Cosß 8) Cos Cosa:
©)Sen Cos D) Cosa + Cosi
E) Sena + Cos

82. Elminar 0".

xSeno+ycoso= yx? +? (1)

er

fe. Y
vo tdo?

implicar la expresión:
_ TanËt+ Gof1-7 _ Tan?1+ Cot®1-2
Tani+Coti-3 ” Tant+Cott+2
a1 82 os
04 85

Sh -r<0 <-5n/2. ¿A qué es igual?

[o socta-caña ,
Y Tanto + cot*e

2) sera

D) Coso

E i

A) Cos
C)-Seno
E) Send Cost

12 \2Tany = V2 Secx

Calcular:
fan + Tany.
A214 82/2 Où
Ove Ejaja
Som
St com
Calcular la expresión:

1
E= } (1+ Senx- Cosx)

met 2

me

zea ee
me met

ott oa

MEZA BRAVO ELVIS |

fan + 1e Serx + (Coto - 1Cosx = Seo Osos

ot.

Calcular el valor de:

Sen'x | Costa

Sen/o Cos*o
a1 82 os
4 85

Si: Cosx + Tanx = 1
Calcular el valor de:
E = Oscx + Cote + Tanx

a EN
D)3 CE

CE

Sk Senk= Coto
Seng = Cotx

LA qué es igual?

Tan’ _ csc

sco Seno

B)-2
D) E)2

que verifica las igual-

E

9-1

k_Ÿ_ Sacx-Csex

Coso) "Sem
AS Bs2 CE
Dadi2 Eavsrs
= Sony
Si Ca y
Tan
Cosb= Tay a)

)

92

93.

95.

ADAN yieanzon
cater ‘cose

AystanaCalb Ten»
ojsztanacaty0)21/2Tanacab
Hesmacach

Sn cs en ee:
donna)

sec xs Sec? + Sac*s — 2 Sec Secy Secz

ayo 8) 14 12
1 92
&:0<b<1 a a> 1. Calcular una relación
ent ay
aSenfx+ bCosx o
acosy +bsenfy w

aTanx=b Tany (tl)
Aasb Bja-b=0
Cja+b=1 Dja-b=1
Barbet

ee il
su Senfxe sony = À
Calcular el valor de

en's ty» Stare ar

aus Bue o1
Daz 92

Eliminar

(1-Seno\1+Cose) o

Send+Cos@ = jy (ln

Ex+y+y

Calcular el valor de:

E = Exsec20 - Co + 28000

ave 9

DE 94
100, Si Csox + Cscy
Calcular el valor de

€ = Senx + Oscx

as DRG CEA
D)13 Ef
implicar

Cox + Coty = b

Sec 1 Tan? 1

= DE

‘Sect Sao’ı Tan ee]

Aysec’1-1 Schr
Olanı-ı D)Tant+t
£) Sec

ADRIAN. YNFANZON

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |

CLAVES

PROBLEMAS RESUELTOS.

12.12

ol

76
7
78
7
80
El

82

83

85

87

El

9

ES

97

98

100

E

52

ss
56
57

se
50

E

62

s [o

65

El

68
69
70
7

72
73
7a
75

26
27
28

29

30

a

E

EJ

at

42

43

45
46

47

48
49

so

ot

02
03

oa

06

oz

09

10

a

12
19

14

15

16

7

18
19

21

2
23

osx + Tanx

2,

Ot. SenxeCosx 7 Cat + Sec

Transtomamos el primer miembro
cos Tanx

Some Grek * San Cosx

Ss
+ Cox

Sen” Sent» Cosx

Gack + Gosh
Gsox + Sectx Lagd.
1-Senx _ [_Cosx ]

92. j4sons ~ [1+ Sonx
Transformamos el primero miembro:
1-Senx, 1+ Senx
14Senx 1+ Sonx
(1+:Sena)(1~Senx)

{F2 Senaj(1+ Sex)

2,
1-sond«

(+ Son?
Cos"
(14 Sen}

Cosx ]?
ir son Lone.

Tam=1 _ 1-Coù

03. Tancıı ” 1+Coù
‘Transformamos el primero miembro,

Tanx=1,, Con
Tanx+1” Cox

os.

RESOLUCIONES

Tanx*Cobx ~Cobx
Tank Cobe + Cox

1-Coix
1+ Cox re

Tanx

= Csex
‘Secx- Cosx
Translormamos ol primer miembro.

Tam. Cox
Socx- Cosx ” Cosx

CON
Cosi.
‘Secx* Cosx - Cos?x
Son
1-Cos?x

sont
Sort

Som
scx Lagd
1 TarËx 2
=1- 500%
1= Cox

Translormamos el primer miembro.

1-Tan?x , CoËx

1- Cox Cox
Coffx Tan?ke Cox 1
1= Cox Cox
2,
Cot stanky
4-Cot%

(ed

se)

os,

or.

1-00” Lage.
Seca + Tank

nn)?
a see

Transformamos el primer miembro:
(Socx + Tans) + (Secx + Tanx)
1
(Son Tama) an
Secx + Tanx

Sack - Tanx Load

14 Cosx

?
= (Cscx + Coty
DOS ds:
Transtormamos el primer miembro; y

1+Cosx , Gsex
osx " Csex

1

sex Cosxe
E or

CSS

sex + Cow
(Csex - Cotx

1
(Csex- Coin)
(Csex + Cotx) » (Oscx + Cots)

(Cscx+ Cons

(Cscx+ Con? Laga.

an
ete
1-50 1+ Got

Sen

09,

10,

ADRIAN YNFANZON ||

1

2° Sen:

nese ta
Translomanes pr mono

Cones Cosy _ Sam Seny

Esso “omo,

Caesar „Cote

Casco) * Cost sony
an

Tank + Tany Laad.

Transomamos pic mie

SenŸ2 + Cos"24 25ant2Cos! 2 - 2Sent2 Cnst2
(sen; oe 4, 4,
(sente conta)’ —2sonta-cos'e
f. 2. A 4, 4
(1-280n?2+cos?2)*-2senta-cost2
1-48 21 Co + 45anŸ 2 2-25 2e Cost
1--4Sen?2+Cos?2 + 2San2 « Costa
2- 4Sen?2+Cos?2 + 2Sent2» Cos*2 -1
af 25en?2+Cos2 + Sen 2 Cost 2

, a
2(1-Senf2=cos*2)
Comparando
K(t=sutzscorto] -

"ADRIAN. YNFANZON

11. Es (Cache t)(Sec0 Tan)
E = Soc oct» Tar -Csot + Sood Tar
sera ;
= Th c= en
E = Com Brey + Soap
7 2. 14H + Co08
sy = 1+ Tand + Seca
nam,
Sora * Sond
ES 508 1
Cosa * Coss
Send Foot
SoS
Em ar J]
Coss
osx + Sones ane
1
E Senx+ Secx
Cosx + Sons» Se
Ee Cos
Some gis

15,

16

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

E Secn[osex- a Cosn( Soc - ex)

Canes 050%

¿Cora - Sao + Cos

E = Tons conser Cosa eng Conte al

E = Tanx + Gotx - Secx + Secx - Co
E

Tanx

ee [rari-sotijose

La

2. -1Sen?1-0021-0sc}h
(cos? =

E

[sent , ei Po
E Vos: \sen1 Voos'tesendt
Bent, Let 1
cos: ySen®1 Cos*1+Sen*t
{sents + Vos"
cost» Sen’

17, E= + 25003:C083 + Coss
Ex [Sofa 00023 25009 One + Coss
E= (sers + Cosa] + Coss

E = | Send + Cos3| + Cosa

QUO: Send + 0088 «0
E = {Send + 000) + Coss
E=-Send - Goes 005°
e- BEA

[Tana = ow 2

18 E van sco * Se

[Secocace = 2
Y Secocsen

[Se 2
= 2 + Seno

+ Sono

19,

Seno + Cos%e - 28en0Cos0 + Send

JíSeno -Cos0)? + Seno

E = | Sen Cost] + Send

225%<0< 270°

OJO; Send < Cos = Send - Coso <0

E = -(Send - Cost) + Sena

al -bsorfo a1 soto)

E

= a? +b/sente+ abf14 sente)

(82 - b?Sen?0 — ab + abSen?o

E Bos
a? + bPSen?0 + ab + abSen/o

(a2 an) »(ansonob"ser)

AOC)

"ADRIAN. YNFANZON

2

ala-b)+bSer
ala) +dSen*o(a +b)

(a-b(arbeento

(arbfaspsertay

DATO: Tan+ Co = m
1
Secd-Cscn = à
1 1
Cosisend = n
SenoCos) = n

NOS PIDEN:

E= Senfo sento + Cos°o- Costo

0 costo]

es (sto cms) (6
( (
E 1-0smfacao-(1-25aocaso)

E = -Sen’o+Cos%o

E= (Seno + Cost)”

aa

IDENTIDADES TRIGONOWETRICAS |
22. NOS PIDEN

E = (14 Seno\ 1+ Cost)

2E = 2(14 Send) + Cost)

2E = (1+ Send + Coso)?
‘(Oat

26 = (14m?

44m

23. DATO: Tan?x + Col’

Tan?x + 2TamCotx + Got

7+ 2TanCobs
Y

(Tam + Cote)? = 9
Tank + Cob = 3

Tank + Cobe=
19

24. DATO: Tan + corto

onto + 2Tan 0000 + Corto =119+21ufecao

21

ER
\(Tar20 + co)
W )

Jia
tando Coto! = 11
Tan?o + oo = 11

Tan?o- 2TandCotd +Cot?® = 11-2Tanncam

(Tara = Got? = 9

BRAVO ELVIS
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
y(Tano- con? = Jo

[Tae Coto| = 3... (9)

DATO: or<0<45*

and < Coto = Tand - Coto <0
En): [Tano Colo|=3
(Tano - Coto) =3

Tano - Coto

25. DATO: 140086 = 3(1-Seno)

1+1- Sen°o = 3- 3Seno

Sen0 = 1+ Sen®o
14 Sen? = Seno
a
A
Seno * Som

(Gsc9 + Seno = 3

sen + sco = EJ

26

27

ADRIAN YNFANZON

NOS PIDEN
_ aCos + bSen0
= bCs0 asen

acest, heno
Cost
E- Bea aon
os Coso

a+ brand

= b-arano =)

DATO: Tano-&

En:

5 A ce
"bat

=]

NOS PIDEN:
= 2Send +Cos0 Coto

Coso
= 2Sen9 + Coso» 2950
E Coso

E 2Sen%0 + coste

E Seno à Sono» coso
Send

1

E +
Senor * Seno

BRAVO ELVIS

"ADRIAN. YNFANZON

Sen + Gse0 (0)

DATO: Senfo+Cscó9 =7

¡Seno + 2Sen00sc0 + Csc%e = 7+ 2Senücsch
Sale

(Sone + so? =

{sono + csco? = v8
Send à sc] = 3
DATO: ENIC= Sem <0 À Gse0 < 0
= sand + se <0
“(Sent + sod) = 3

Seno +Cscd = 3
E

End);

28, Igualamos (D y {I};
aSenx-Cosx = bSenx + Cosx
aSenx—bSenx = Cosx + Cosx

Sonc(a=b) = 2Cose
sox 2
co * ab

ee]
E=n- ‘anSen/6Cos/0 + 2 - 6Sen/0Cos”

= (n+2)~(ansentocos% + ssefocosta)

a

(+2) - 25en?uoos?o(n+3)
ö

Para que "E* sea independiente d
{n + 3) debe ser cero, es decir:
n+3=0

Eat seño à eco) Tan atado

(stato)

= fear] Taster
E = k(2+ antes 3Tar’o + Tano + STan/0

= aco4{ anata) (Tato sa?)

E= x +(ranfo + Tan?o) +)

1
k+1=0
k
De (1 Tano + Coto
a= Soch-Csch
af = Soc? Cec?0
et: Seco + Cece

bt =(Se00 + Coco)?

D? = Sectn ac!) + 280000500,

Be af +2a

BRAVO ELVIS
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

32 Tan + Send=m ..()

Tano-Senv=n (0)
Der
seno = "5"
2
Ca =
4
ese = mon? = (tl)
+a
2 2
Co = 2
S 4
E)
mv)

cscfo-cote = 1
4 4

mn? men?

afin? -m-n?]

min’m-n?

Alm) = [m+nm-n]?

(14 2Tan0+ Tenfo = a°Sec%o

a

I: 1-2Tand + Tanto = bóSecZo

ADRIAN YNFANZON

Sumamos

NS

21+ Tao) «secto(a? +?)

34
We KSen®cos’y =
(e K?sen?xsen?y = 0?
au KCos2x =
Sumamos:

ee sara

35. Sen _ Coso_ Tano
A

Seno

m (D
Cosb=hn (1)

Tano =kp (ul)

1 = tt) on

MEZA BRAVO ELVIS
|| ADRIAN YNFANZON

ow

Seno Ám

Coso “An
Tano = = m
a) = (1),
En
kt
»
2
em
de
(when)

36. De (i:

(Seno Ga09)(Ser20 —SondGos-+Cas%0)= D

a(t Send+Cose) = om

02

(Sano + Coso? = of
Dean:

sere 2SenaCosd + Costa

28en0Cos0

SenaCose

(av) en am;

fut

\

37.

(e: p°Cos?x + 2pqSensCosx + Sen?)

tu: p*Sen?x - 2paSenxCosx + q Cox
SUMAMOS:

38.
De (D: TanarCosx = TanB
Tano

Cox = Ir

1. _ Tana

Go * Tan

Sec = TanACoB … (ll)
De i): TanA + Tanx = TanC

Tanc
Tand

Tanx = Tan + CotD … (IV)

Tan =

qu? - vy?

ssec®x -Tan?x

Tarn GB -Trfo+ Cat

253

BRAVO ELVIS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
39. 1

(TIDADES AUXILIAR!

POSE ee
[Sect + tants 1+ 25ec%tan?e

Sec Tann 350c% Tan’

sects Tax 1 4Sac*tai?x à 280
‘eel? Tanta 1 8SeeFeTan?x + Bec Tan‘

+a

ra aSecZuTen?o- 250

Tan? + 2Sec'ranto

REDUCIENDO RESULTA:

+
1
Dos = a
1-sento)
Ja
Som
Costo
= an
Seno =
ot
Dom = b
{1-C0s%0
À =>
Cost
2
Sento
A)
mm
Santo
Cos) a
Coso =
Sen

254

ER
a =o
AS,
Sa ee
nee
| 1 1
er
: ;
‚ist us =
E E
a ad

Tanı + Tar®x + Tan

)

Cot Tac Trt + Tan

a Tae Tr an OT Ta

14 Tanx + Tan?

NOS PIDEN:
E= Go + Tan’x

En 1+ Tors Tank Tarda

-H

;

de x Vie Sen _Vi-Sen2
Ji Sena + Sen2

oe sera? - so?
Sera Sera)

Te Send |-| 1- Send

Ni-Son?2

1+Sen2- (1- Send)

VCos?2
aa
cael
es
=p

Seco men
O 1-Cos0 © m-n
Seco 140080 _ men
1-Cos0"1+Cos9 = m-n

1- Coso En

soo EP]

ser, * LED

44. APLICAMOS COCIENTES NOTABLES:

salu os

Sam Seiten x So Co's
Se ne

teca ui Qu icon Stay one

| IDENTIDADES TR
Ser + Cos". Acto:
he Go (1 honor Cabo

she

Serb Osha 2 2,
fh | acaba Secada
Sen°x + Cos
Senx + Cosx
FINALMENTE

‘SenxCosx - Sen/xCos?x

Son + Cosóx
1- SenxCosx - Sen? Cos".

2,
csc #
ss T= Cosx * 1+ Cosx

coal.» À + ACosK-+ B-BCosx

2, « (A+B) +Cosx(A-B)

csc!
Sex

1 (A+B)+(A -B)Cosx

Senx Sex
1-4 0:Cosx» (A + B) + (AB) Cosx
COMPARANDO:
AsB=1
A-8=0
1 4

EFECTUANDO: A= 7 7 B= >
Nos PIDEN:

1.1
aa Be: |

25 tect
sec?2+ Tan? tang

46. E=
Soc?2+ Tanz

ened
Tant2+Tan?2+1 «rang
Tan? + Tan +1

25

(ra?) =?

Es Ta 2-1 + tone

(Tana) (m?
Tanz-ı
Taza

E Tanz

(tae (Tate)
a

1

= Tanta Tanz TO,

En 1+Tan?2

Es": |

47. m (Sec - Jasons csex+ Väcos)

me (gag 8am) he Yecost)

ee

Senx

ES
Sr Cox" Sem cof

49.

Mz Sen®x+ Secx + Cos x= Csox

M= Sen'ke Secx + Cos'xe Cacx
"Comparando obtenemos:

Cost+(1- Sent). Cost-(1-Seny)
E= Cost-(1-Sen o

[costs (1-seny]?-[cos1-(1-Seng]?
= CET

ACoste(1- Seni) _
(1-sen?1) -(1- sony?

_ AGoste(t-sen)
(F7 Son San E)
ESE
(Samy Sent > Seni)
cost
2Soni
Cost
E Sent
<- E
Trabajamos en ai segundo miembro:

1- Ser + 86% + Sen”
{+ Serft= Senx)

=) _——__

256

ELVIS

14 Sen?x
1-Sonx

14 Sen
Cos
1 Sen’x
O
osx" Cos?x
Sec’ + Tan?x
14-Tan’x+ Tan’

14 2Tantx

Comparando:
P+QTanx= 1+ 2Tan?x
obtenemos:

O=2;R=2
Nos piden:

A + |

50. Trabajamos en el numerador:

N _ Seno Vi + Costo - Costo Coso
“ 20080

N= ee)

= Sono + ((1+ cos?o)[1-cost0)
N= Sendo + 1+ Co 'o]1-costo)

N= Senda +| 14 Cos || Sen 0

OJO: geile

N= Sen - Seno 1+Cos%0)

N= Sono Sento

N= seno( -2008%0]

-2Senucos?,

Roemplazamos en “E”:

sent a
kos

st

Bari. 2 em
E= \sectsGsci” Sect-Gact °°"!
E= 1-2SenteCos1 - Sent

(Sent-Cos1? - Sent

E= |Sent-Cost|- Sent

Sent

IS] &

Sant > Cost = Sent = Cost >0
= | Sent=Cost|=Sent-Cost

Reemplazamos:

E= Bont Cost - Sond

257

52. xSenx = \xCosxy}xCosxy Coon)
Só
xSenx = JaCosx xSenx

XÉSen?x = xCosx+ xSenx

Sonn = MGosx
Senx = Cosx
Senx
osx
Tanı=1

x= jas

Reomplazamos en

Gran°ast18Tanfast

16001! 8 asr1acot Past
sa
KERZE)
6+8
16418
14
E=

53. Trabajamos en el primer miembro:

Sen2_| Cos2

y Cos2 * | Sena
Son2 '” Cosa
senta costa

Sen2-Cos2 ~ Sen2- Cos2

sa.

ss

ADRIAN YNFANZON

{Son2 +Cos2/'Sen2 - Cos2)
(Sone - Cos2)

iguslamos al segundo miembro:
(Send Gos2) = k (SoME-Cose)_
«D

Dato: Col®x = Csex

Be
Sort Son
Cos?x = Som

Co’ = sent
Reemplazamos en

E= Cosy à Cox
ser

ei
Dato: Tan?x-KTanc+1 =0

14 Tan?x = kTanx

Secta
1
Cost
1
de = Som
1
= Sent Cosx
NOS PIDEN:
Son’ + Cos°x
(Senx + Con)”

e Srs Sets Scones}
(Carver Casa Sere + Con

MEZA BRAVO ELVIS

ADRIAN. YNFANZON

1-SensCoss.
1+ 2SenxCosx

56. = (yy [Sy too Sean
= soy Conia syn
= o Coty tf en mr
E = (bSeny + Cosy)? + (Seny - bCosy)* -1
E = Verf may ly Say An Fan

E = b/(Sorfy + Co) + (Senfy co) 1

EX

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |

SenËx + Cos?x + 28emCosx

1 + 28enxCosx

SenxGosx =~

IDENTIDADES AUXILIARES

Sen'x + Cos'x = 1- 2Sen?xCos?x.

Senx + Cox

sen! + Cos!
NOS PIDEN:

Sena + Cos®x = 1- 3Son?xcos?x

4San/xCos?x + 2SontxCos x

SSenxCos/x + 5Sen'

Senx + Cos?x

ason?xoos?x + 2Sen'cos'x

4SensCosx)? + 2{SenxCosx)*

Soon a (oat of ay
SONO étre 7 16 tara)
1- sen a ed
re E- 256
ES _ 8
en
Cosx« Sen?x
ee E E
59. Mz (Sent: Tani + Coste oti
ie
[| o
5 =
Do ce
E q Bt ec
x = Cost * Sent
(Senx + Cosa)?
(sam mit =( 7)
=

BRAVO ELVIS |

„ Sen't+ Cost

Saniecosı * 2560 1+ Cost
a 1 te
> Sets Cost
1
M= Sent=Cos1
POR OTRO LADO,
MES)

N= ke Secète Cec®t
k

‘sen®t=Cos?1

IGUALAMOS:

Ne

60. DATO:
3Sonx +4Cosx = 5
3Senx = 5~4Cosx

(son? = (5 aCosx)®

9 Ser?x = 25~20Cosx + 16Cos"x

(rem)

9-9008% = 25~ 20006 + 16C05%

0 = 25C0s%x— 2C08x +16

0 = (5000-47
0 = SCosx-4

st

ENTONCES:

Sen

an

3
Senx == (No cumple la condición)

NOS PIDEN:
E = 4 Sonx + 3 Cosx

Sen2(Sen + 0082-1)
© Seca + Tar2{Cos2- 1-1

Sen2(Sen2 + Cos2 - 1)
Tanzlı -Cos2) + Sec -1

Sen (Sen + Cos2 — 1)

Sen (1-62)
~ Baty (1 Coa + (0

\DENDADES TriGONOMETRICAS |

Sen2(Sen2 + Cos2 63. Ex sw'x: ce
(1 Cos) ‘

(1- Sen)
Cos2 E= 14 Tanta Cox +14 Tan 1+ Cox

Sen2(1- Sen2 - Cos2) ade
2(1-Sen2)i1- Cos?) E= 9+2[{Tanx+ Cox)

20082
APLICAMOS LA PROPIEDAD:

“ADRIAN YNFANZON
Son? - Cos2(1-Sen2 -Cos2) |
= wer DIA GEONETRICA
>
.
:

(1- Sen - Cosel

‘Barreca , (Sen2+Cos2+) | + Cot

(Sen2+Cos2-1 (Semi Cost | 2

> Vrantre Gotéx

Tan?x+Cot®x> 2
‘Sen? + C

E 2(Tan?x + Cots) > 292
62 ms? - Ams+m-2

HE
34 2(Tandx + Cox) > 3 + 4
DATO: x,=Senÿ à x, = Cost AUS)

APLICAMOS LA PROPIEDAD ALGEBRAICA:

E27 ;
Am i
Send +Cos0- 5-0) | (Minimo) - EX
Ce | sa Nos Piven:
Sono +Cos0=™=2 ay

E = (1+ CotéCsc0 - Cost)

2 =
(sm
(0: [Seno coso ={ +", | 5
sa CE)
E= (1 Seno À Sons
2
sento + Cos% + 2S2n0Cos9 = 18",
ü (m-s)" {Send + Coso Y 1 |
E- (saw À som E
2
a a
u) (Seno + Cost] Sara Senasa Costo] à
E- dee
EFECTUANDO OBTENEMOS: Seno
tam? + 24m - 45 =0 en Sees caso
(13m - 15) (m + 3) =0 Seno
im = -9 (No satisface la igualdad +
3 nn Sara, costo
la sa

Be

261

RESPEC ERE!

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
DATO:
Tano Caco = 1
Sed 1 :,
Cost Seno
Senfo-Cos0 = SenuCosw

Seno = Cost + SondCoso
sen’ = Cos0(1+ Sens)
REEMPLAZAMOS ENE”

cos"

E = Sono +
Ser + cos (t+ Sons)

65. DATO: 2se0%x-csc%

Say Conse cur) = 12 Sony CosËx

20d sayo Seni*y »Cos?x

a8en’y - Cos" = Sen?ye Cos?x
2{1- cosy) -(1-sonx)=(1- cosy] 1-serêx)

2-20 14 Sor?s=1-SuPe- Co aby She

‘ADRIAN. YNFANZON
2Sen?x -Cos?y Cos/y+ Sen?x
Bacs rente.
Cos’ysen’x ~ cos

2
cosy Son’
NOS PIDEN
2Sec?y - Csc?x.
Fire
ee. aseox-bTans
fir Senx „1x Sem

Vissen tr some 9See%—bTanx

[er sem?
1-Senêx

aSecx - bTanx

1+Senx
eo = aSeox—bTanx

1, Sone

(dx * Co = asacx- Tame

[Secx + Tanx| = aSecx -bTanx

Soox + Tara aSecx - bTanx
-Socx- Tann aSecx = Tank
COMPARANDO OBTENEMOS:

“ADRIAN YNFANZON

67. ACos?x + 4CossCosy +1 = 0
sob ac scaly 0
(2Cosx + Cosy)? = Cosy -1
0
Cosy-1 > 0
Cosy-1>0 Y Costy-1=0

costy>1

ne eke

REEMPLAZAMOS EN ()

poor = 1-1
(2005117?
20st

cox = +

cos

NOS PIDEN:

E= SocÂx + Socy
E=4+1

-B

68. DATO: Sen’ + Cos"

AUXILIAR: Cos“0 + Sono = a
SUMAMOS:

NOS PIDEN:

Sono+cos'o = EEE

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |

1 Sem, [1= coso
u V1- Seno * V1+ Coso

Set Coen + (ise)
sm)

„El Sari Coso) + /21- Sent Cost)
Seno + Cost)

lao Son: 0007 + ft Seno Cos?

|1+ Sen + Coso] +|1- Send Coso! _
Send + Cost!
DATO: De. entonces:
14 Send + C030 > 0
Send ~Cos0 >0
Send +C0s0<0

LUEGO:

14 Bono + Costs 1- Dana Cost |,

{1 Seno + Cost)

NOS PIDEN:
2
«- E

aa rec

AN A

E [
Tan? - 2 + Cor? + \Tan?0 + 2 + Cor?o

283

IDENTIDADES TRIGONOMETAICAS

F
Es (Tano - Con)? + ¡(Tano + cot?

E = Tan -Coto| «Tano + Coto

DATO: 3x /4<0 27

= Tano <0 » Cow <0

= Tand à Coto <0
Snl4cuer

= Tano>coto

Tano Co > 0

=| Tano Col i+ Tano + Coto!

= Tano - Coto Tano - Coto
E= -20010

Sx/4<0<r

Coto < 1
2Cor8 < -2

2Co8> 2

ME

E>2

LOS VALORES QUE TOMA

171. NOS PIDEN:

ti
Meta ER

ER,

‘CALCULAMOS: M+N.

M=1 + Tan Secx- Sex

= Tanx = Socx + Sonx

= M+N=2-2S00x
MsN=2(1~Secx) .. (ly

CALCULAMOS: M »

MeN = Sc) Tac Sr 500). Tanı- See]
MEN = (1~ Sex)? - (Tan - Sen?
Men 1 2500+ SecÍa- (Ta ¿tomen » Sur)

MN 2500» Gen Tr à Tama Sots

MN = 1- 2C08x + Cos?x

Me

1 Coss)?

wens (gta)

Sack

A

Mone D

(1- Secx)®
renee

REEMPLAZAMOS (1) y (Il) EN (D:

Santo ‚Cost _ 1

An. DATO: ae ee ee

(canto HD) costo
29) sent FD) Coston 1

(re Pata fre Joue

sento» ? Santo + coso + ¿Costo

seso. Que Pontos cost
1

Ron ae
A=2sentacoso + Santo Ecos!

Berto -25afacao «costo

a ono: cm]

vost

2 ro
e
Hees

e, o
E= bSon0 * aCoso

MEZA BRAVO ELVIS
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Tan

(Seno)? a (Cosa? 1

(Cosoy”? Seno * (Sang)? Coso

(sono)"? (coso)?
(Cosoj”? (sono)?

Senfo + os?
(Coso+ Seno)?

1
Cosi + Seno

E

a”

E = (Seca +csoe}??

E= [Tana + Cor”?

FINALMENTE:

74. DATO: Tan?x+Cot®x=3
NOS PIDEN:

E = TanŸx + Cox + Tax + Cox

(ranÿx+ Tan’x) + (Cot®x + Cot’x
(Fan). (oo cu)
E = Tan®x(Tanx + Cotx) + Cot®x(Tanx + Cotx)
€ (Tans ot) (tanh Ca) 0

DATO: Tan?x+2+Cox=3+2

(Tan + Con)?

ADRIAN YNFANZON

Tanx + Got = 245 (il)

(Tan’x+ 00x) = (0?

DATO:

Pa Go = 27

FanŸx + Cox = 18 (tl)
REEMPLAZAMOS (I) y (1) EN (D:

VS)(re)

+18,

Cosx- Sent» Tany
75. M= Son + Gosse Try

Cosx _ Senx,
Sen Sone
Sox * Sanx 0

Tany

Cotx - Tany
1+ Gobx Tany

IGUALAMOS:

m

1+Cotx=Tany ® 1428

1 1
T+ Cobce Tany © +20
2a = Cot Tany

1
a PO

77. DATO: aTany + bCotx

Nos PIDEN:
sex
ES atan'x+b
Sec°x
ES atañx+b
Sec’

= atanx+b

Soc’
aTanxıb

secta
aTan’x +b

1
Es aranix +b|
1
atan’x +

atany

Party

atan’y

Ten’y =

secty
atan’y+b

Ar Tandy
atan’y +b
ee
ator
2
LED
aan

1

Arafo
ab? + ba?Tan?x
a Tan’x +b?
ooferar?a0)

ford

b
J

[an sabra tra]
| » |

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |

1 [basb)+aran'xia+d)

ES aranx + b| ab

78. NOS PIDEN

= cost + (Sent 'Tant + JSect

Vsent 1
(cost + ae
Cost * Cosi
sent, 1
VGosi + $20 ,
ES VGosi (Cost
Cost + Sent +1
Er Jos 0
DATO:

aCost
Coste

Sent

SantGost + Sent = aCost

1+ SentsCost + Sent = aCosıl

1+Sent«SenteCos1 +Cost = aCost + Cost

(1+Sent) + Costtt+Son!) = Cost(a+ 1)
(1+Sent) (1+Cost) = Cost(a+t)

2(14Sent) (1 + Cost)

2Cost{as1)

(1+ Sent Cost? = 2Cost(ast)

44 Sont + Cost = J2Costla +1)

PR RER ER
267

‘MEZA BRAVO ELVIS

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
REEMPLAZAMOS EN ()

Doat(a +1)

19. secos ceo

seco Cac
Sec Caco = 5
LUEGO:

(6ec0-0scoj? = 15

aa 45

[Seco —Csco|= vis

o<o<n/4

Gscp.

que

a Seco
Seco <Csch,

Sec - Gsch <0
[Seco - Oschl= - (Seco -Csco)
‘Sect - Csc0= Gsc - Seco

Ent
is

0

: ADRIAN VNFANZÓN |
NOS PIDEN
E = eco - CscŸo

E (sec cecal sec" à sececsco coca)
E = (Seed -Cach] Soc» ac + Sacs)
E= (-V1525 +5)

€ = (soo)

80. Dato: Verso=Exseco =1

(1~Cosa)(Seca -1)

tii
Coso")

(1=cosof
(1 Gas Cost) = Coso
(4-090)? = Coso ..()

1- 20050 + 008° = Cost

1+ Cos0 + Cos?0 = 4Cos9 ~ (1)
NOS PIDEN:
de gee
© Verso | Exsecto

1
= (1-Coso)? (Seco 9

1 ose
E= (1cosu)® (1-Coso)?

1=c0s%
(1-030)?

Treat: cose + coo}

ES casa 1- Coso)
1 Coste Caso
E- cof
REEMPLAZAMOS ()y (1)
¿Ton
st

=o

(1 cosu- Cosp)? - Senta sents

st

or» Coco -|1- Gata 1-0

(amin Cro non cafe Saad

Co? - 2CosuCosp + Coss

\icosu - Cosp)?
¡Cosa - Cost

ol Cosa Cosÿ
Cosa < Cos
Cosa - Gogh <0

LUEGO:
€ = ¡Cosa —Cospit

€

—__orIA
269

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |

82, APLICAMOS LA PROPIEDAD DEL PROB. 60.

De (1): xSen0 + yCost = yx

Entonces: Sem x.

a

Wr

Cost = 5%

very

esmplzamos en (2

Costo Senfo 1
ee Fr
re).
e ra Bay?

Er
Ehre:

83.

Tan? +Cot®1-7 _Tan’1+Cot’s~2
Tant+Cotf=3 Tant+Cott+2

sect +csc%1-9 Sec%1+ Osc%1—4

Fe" Seci-csct-3 ‘Sect+Csct+ 2

O 4
Seci+Csct=3 ” SectsGsci+2
oxen ma Fran

Er esa Era

E = Sect Csct + 9= (Sect Csci - 2)

E = S8CT-Gsc} + 3- SeerGsct +2

84, E=

Y tanto + coro |

1

un sit sn
er

¿Costo " sento

a=

atacados
6 at
|| Sen°o + Cos°o
Cos“esen’o

E- |Sen)| à ~3x <0 <-5n/2
= vemo
o
E Sono
- EM
85. 14 V2renx= V2Secy -~()

14 /2Tany = J2Secx … (I)
Sumamos () + (i

24 V2 (Tan Tany) = Va(Socx + Sey)
E

242

2 (Sex + Secy) qu)
Do () y (1) obtenemos:

VeTanx= 250cy =
2Tany = VaSecx -1
A cuadrado!
2Tan*x = 28ec%y - 2/28ecy +1
2Tan’y = 2Sec®x - 2\2Socx+ 1
Sumamos:

Metta) AG cd NA sone

srt sad

sate Sayfa)

-2=-2(Seex + Secy) +1

2|Secx + Socy)

Roemplazamos en (it)

2+ oe

1, Cox
Sana

sox + Cotx=

Gscx = Cox.

NOS PIDEN:
1
a+ Senk--Cosx)
af, 2m mt
eal meet mest)

{Nam

SA a

ess)

87. APLICAMOS LA PROPIEDAD DEL PROB 60.

fran à 12 Sant + JC 1 +Cosx= VE sa)
Entonces:
Tao

Sen 2
Seco + csc)

NOS PIDEN:
sent | Costx

A A [ [eow=t
Vsecocseo | [Y Secocsco |

‘sen’ | Gos"

(Tano+ 1? | (Coto 9
Sec’ Csco

E = (Seno + Coso)” + (Coso - Send)?

E = 2(Sen°0+ Cos/0)

ï
<a
88, NOS PIDEN

E= Cox + Cob + Tanı

E= Osox + Secx+ Csox

der
Senx * GosxSenx

DATO:
Cosx + Tanx=1

Tanx= 1 - Cosx

Sen
Gams = 1-00
ER

Se = Cosx
14 Cosx

Seo a Cosx

‘MEZA BRAVO ELVIS

| a) = an)
K? _ Socx - Gsox
LA EXPRESIÓN "E" EN TERMINOS DE *X” Cos*y ‘Seno
2 REEMPLAZAMOS (1) Y (1)
pc Li
tah | ee
1+Sen?x 28erCasx ~ Senxosx
fats foe aes 2
(14 sen)» sex
Eee )
Tan
BA
NN | a bee
Sem Cosa
Cosa > Cay
| Sony Son
CR pee
Tan Cost
c-Æ - > Coy =
si Tany am
so. Reemplazamos en:
| ne
Tancıcan-( + Y. Seox-csox | Gscéy -Cor
ia } Seno.
a Cosa]? [coso]?
Son) © Lan
Cos/a _ Cos’
Secx Csox en
Tan + Con = SG | sax Sen
Cox
Secx ~Csex Cosa Gos/b- Cos
Secx + Csex - XS ee
Cos/a - Cos*b + Cos*s
1 Sexx-Ceex |, ER 2
SemCosx” — Seno m. Cos/a - Cos?b-00s?x = 1-.Cos®x
Cos?x - Cos*b+Cos”,
Socx -Csex
en = Des
Send = ce | Costx{1 Conf)

92. Cosx (1~Seny + Senz) = CosyrCosz

1-SenyeSo 1
GosyrCosz ~ Cox

1 Sony» Senz
Cosy*Cosz — Cosy+Cosz
Secy=Secz= TanyTanz =Seox

Secy-Secz = Secx =TanysTanz

= Socx

(SocySecz - Sax?

any Tanz

Sec}y Sac? - 2SecxSecySecz + Sec’x

Saca - 280exSeoySecz + Secta
E]
s0c%x + Sec*y + Sec?2 - 2SecnSeoySecz - EJ]
9 De ()

aSen*x+bCos*x = 1

oe
FRS .
re Cosx

aTan?x+ b = Soc’

aTanx+ b= 14Tan?x

= Tan?x(t-a)

rennes 0)
De (1:
= =1

ER

A eal

arbTan?y = Sec?y

a+bTany = 1+Tan’y

a-1=Tan’y (1-b)
ay. 8-1
A]
Igualamos (IV) = (V)
Tan? = Tan?y
Tanx = Tany

Reemplazamos en (1):

a
= 3° cos/xe cosy

trous
Tarbes Say à Tarye Sex = 3 800» S0cfy

Tr) ty abe) 111] ay)

Try Tr = |

listed)

(tan rar ander) [1 rra] Tor)

TT GT Ty Tr Try

2Tan®x + 2Tan?y +5 Tan/kTan?y = 1
Tanta Tnt» tante :|
85. Det

eno Comt = V5

Sen?o« Cos/0 = xy

273

(1=costo)[1=sento) «xy

(14 Cost) Cost à Seno) Sano) = xy...)
Dividimos (1) > ()

Tesi! 0os0)(1+ Sonnen) x
(Sears

(1+ Sens} Cost)

2(1+ Sens} Cosa)

(1+Seno-.Coso)?

14:Send Coso = 3) ..(V)

De ()
(1-Sen0)(1+ C098) =
2{1- Sanofi + Cost) = 2x
{Send + Cost)? = 2x
Send + Coso = Vax... (V)
De (IV) y (vy

1+ Send - Coso =

1-Sono + Coso = /2x
Sumando resulta

2= Jay + ex

DURE)

96, Dato: 4Cot0+3=2Tan“e

Roomplazamos en “E

econ [aca 5) 4

= Cos + ¿Coto
Del dato:

ACo0+ 3 = 2Tanto

Tanto +1

4(1+ Coto)

405070 = 2tan®e +4

4 sp. Sento,
sento Com
Cost
42 = 2Sen?0 «Cost,
Sendo,

40010 = 1+Senío

= 6-0.)

sche 20 der 1-6= 6052" -0-Cacx Cacx
scx + sx 8Cs0%x- Csox = 4
Csc?x + Cecx - 8 - Senx = Sent

(Senx Css)? -(Gonx- se

274

(a+2\a-3)=0
=3 va

(Como xellC = Senx < Cscx

Sex - Csox <0
a<o
Luego:
} a=2
Sonx - Gscx = -2

(Som 050? =4
Sen?x à Cecx- 224

SenÊx + Osc®x +2

sen?x à Cecx +228

(Serx + ec?

Senx + Csox = +2V2

OS
Floor:

soos coc = EJ
+.

oc + Sec?
Soc Tan

Ce TA

\

= Scan ar]
‘Sect Tent

a, [estas tts} -rartonts= tat]
RE suche Tank |

fo
sects [serai]
secs Tati)

[satt tan?) (set Tan)

(sec anti)

En Soc?1+

E= Soc?1+ Sec*1— Tan?
E= Soc’t+ (Sec?

99, NOS PIDEN:

E = ExSoc?o - Cot/0 + 25000

E = (Seco- 1)? - Got? + 2500

= Seco 25660 + 1- Coto 3560

E= Soc/o - Cot#0 +1

= sein -(cac0-1) 1
E= Sec - Csc?o +2

DATO: Cos%

Verso
Cos%9 = 1-Cos0
oso =1-Cos/0
Cost = Son?
1 _ Seno
‘Send © Cost

(Csc9 = Tano

(l_AANNH[T[T[T[7[7T7>— TK KK

sco =Sec%0—1

1= Seco cs0%
REEMPLAZAMOS EN "E"

100
80x - Cor?x = Csc*y - Cot?y
Osea cse = cote coy

(Cect Oso) Car Cy) = (Cote Cay) Ga

a (Csex = Oscy) = { Cotx - Coty)

CR
Cotx=Goty = a
De () y:
(Csex + Cscy=a = Cscx=a~Cacy

Cotx + Coty = b => Cotx=b-Coty

NHL

Analogamente:

Csox + Cscy =a = Cscy == Gsex
Cotx + Coty =b = Coty=b=Cox

Reemplazamos en “E”:

ER 080K Cotx-Cscy + Coty
Cole — Coty

= (2-Csey}ld~ Coty) (a - sexo Cob)
= Cox - Coty

(Cox - Ca) «(Cs C3) + Cry Cay Cats
Gxx-Cay

arb CSX-Cscy _ Csox Cow - Cscy Coty
E= 24? Con Cow Co Coty,
EE

E= arbed-E

276

or

04

o7

DEMOSTRACIONES

Verifique la identidad:

Verifique la identidad:

San
T=Cosx

Verfique la identidad:

Tancıı

Co+ı
Cotx=1

Tanc-ı
Verifique la identidad:

14 Sox

SOK sex
Senx + Tam

Verfique la identidad:

Tanx+ Cox _ Sor«

Fan Got © Tanlx-ı
Verifique la identidad:

Tank + Senx _ Secx+1

Tanx—Somx © Secx=1

Verifique la identidad:

en ep
Ten = (Seox - Tea

Verique la identidad:

oc)
—Sonx * Te Some

Tank: Secx

Verifique la identidad:

Tank -Tany _ 1- Tan» Tany
‘Cox =Coty ” 1- Cote Coty

10,

1

12,

13,

14,

15

|) IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS |
PROBLEMAS PROPUESTOS

¿Cuáles el valor de"K”, que verifica la igual
dad?

1-Cos2 10082,
Sanz rk
À) Cota B)Sen2 C)Cos?
D) Tana E) Seca

SIMPLIFICACIONES

implicar la expresión:
E = (Seco 14800 + Coto)

At B)Tano C)Tan*o
D)coto E)cot%o
Simplíicar la expresión:

E Sec9-Tang=1

Cse3—Cot3—1
A) Tano. B)-Cots C1
D) Tan3 E)CoB
implicar la expresión:

Senx + Cosx» Cox

Cosx= sex

A) Senx B)Cox C)Tanx
D) Secx E) Gsox

Sintra rel
= cse( 60+ mcr)

ao 8) ~Tanx
D) Tanx E) Cow

implicar la expresión:

©) Cote

(cote -cor?a}sct2

A) Sena 8) Senf2
D)csc2 EN

©) Csc2

277

17.

18

19.

21

'Simplficar la oxpresión:

‚Seci-cscı
A) -2 Bl oo
D) Tant E)Cott
Simplíicar la oxpresion:

E=/1+ 280180085 + Coss
A) Sens B)-Sens ©) Coss,
D) 2Cos5+Sens E) 2Cos5- Sens

Sk: 0° < 0 <45°, simpliicar la expresión:

Fans Cotd—2
Y Tang + Goo * 579

A) Cost B)-Cost C)Sent

D)2SentCost E)-Seno

Simplticar la expresión

al -vCos*o - abSon?o

€
a? +b°Cos% + an[1+Cos20)
asp ao ab
Mazo Mao Das
ab 2ab
are Dar

Simplficar la axpresion:

= Tal Tarts ant +3) +1
B)Cos®3c) Tan®s

Bose

ES
DIESE

ON

AL.

Si: Tano Coto = Ê
3
Calcular
E = Senfo + Sen'o + Cos" + Cos‘ù

2 2 E]
N Dr CE

ES 7
Do CH

2

24

25

26.

Si: Seno - Cos =k

Calcular en término de “e

E=(1+ Sens] Coso)

2 2
14K (tek
a at
art à
0) E)t+k
Sk: TanËx + Cot®x=18
Calcular:

ranx—Cotx
aya Ba CE
De CEA

Sk: 180°< 9 < 270° À Tan‘ + Corfo = 47
Calcular:

= Tano + Coto
De 93 os
os 9-5

Sk 2+ Son?o = 4(1- Coso)

Calcular:
E = Cos0 + Seco

at 82 03

D)4 CH

St Got M. LA qu esigua?

E - mSend + COSO

‘Sen +mCos0
re +mê 2m ma
an Ram? One ame

Im In

Si; Gos/0 + Sec%= 23 » de VO

30,

st.

Cater:
E = 20060 Sen+Tand
ays a) ~¥5 os
05 os
Si xSend +yCoBD =z
x0080-ySon0 =2
Caleta. Tan.
xt ey Y,
Macy Day Day
a
Les EN

Cala para qu signs expen
Sen ndpenerts de "0°
onto» cost) -m sata + cos)
Ama Dam 08
Sms Bam

Caloular“E* para que la siguiente expresión.
sea independiente de “0.

E=K(sec%o— Tarfe) eae

ns ee ca
Be) ds

a ae a
en

pee

RETIRE)
ppt letrada)
EI zei are

ES

Eliminar “0%.
Coro+Cos0=m ..()
coto-Cos0=n tl)
A) om

B) m-n-4mn

or? + n°) =t6mn

om? =)" = 16m

E motion

Calcular una relación entra “a y".
1Cot0=acseo ...()

1-CotO=b0500 … (1)

ejard-2(0-») 4

Elmnrx y"

aSent-Cosm=m 0)

asany-Sonen =)
acesy=p (0

min

a mrnsp o?
de

rial

++

35

Calcular una relación entre
Sono +Cos0 _ Sent Coso _ +/Tand + Coto
x y 2

ar.

280

aye

Aye ry?

ox = 22” py x? —y? = 22’
ax

Elmina o".

‘Send - Cosd =m 10)

seno Coso=n ~~ 0)
A)m?+2n=3m B)m*-2n=3m
ChmŸ+3n=2m D)m°-3n= 2m
Em +n=m

Cables una relació entra y
3Senx + 2Cosx=a … (I)
2Senx + 3Cosx = b qu)
anal? +0?) = 20-2,

0) 10(o? +b?) -2tab +25

ES

oyto(a? -62)=2009-2s
(st +02) = 102
Bina

SenA Sen x = Sen B ... (I)
Simo can euro.)

A) (Send + Send)? -(Senc Send?

1
B) (Sena «CscB)? - (Senc »CscD)? =1
C)(GscA «SenB)? - (CscG SenDj? = 1
D)(Sena CscB}? +(SenC+Cscoj? = 1

E)(CscA + SenB)? + (CscC + Send)?

40.

a

2.

Calcular una rolacén ente a? y.
esc! -scsc%0-Coo=a + 1)
Cotl%9 + SGsc*0+ Gotfo =b =~

ae
D) a-b=1

Eliminar 6".

14 Cos0 = x (0)
1-Sen0=y 00
1- Send +Cos0=2 ... (Ill)
Axsysinz Bix-yslaz
Ox-y-1.z D
Dxeyezei

LANEA

Sk: Cox +Co=1

Calcular
E = Cotx—Tanx
A-2 a co
DR 52
Spica la expresión
A [Gest
nn dre
A) 2Tand B)-2Tans C)2Cou
D)-2Co4 CH
>
en
Costa,
a+b => a
A Der OS
> ab
Da Do

ADRIAN YNFANZG

44

45.

a

49.

BRAVO ELVIS
implica la expresión

Sen°x - Cos?
‘Sen?x*Cos”x - Senx » Cosx -1
IM Sans + Coon. B) San Cox

G) Cosx-Senx D) Senx + Cosx
E)Sen?x + Gos?x

E

A 8

2,
SE SO gone * 1+ Sem

Calcular: 8 A+ 8.

AJA 92 CE
DL, E16

Simpiiicar la expresión

e ca
E 0803+ 008 , cos

Gsc?3 + Cota

A) cot? Byesc®s C)cos
D) C3, Bosca
si M = Sen! sen"

N= Code os" x
Calcular el valor ‘n° para que:

M=N

A1 8)2 93
D)4 85
Simpificar la expresión:

4-Tant+Sec1 , 1+Tant-Sect
1+ Tant-Sect * 1-Tant+ Sect

A) 2Csc1 B)2Sect C)2Co
D) 2Tant €) 2Cos1

cn
je A4BGOÛx = +
= 17009

Indicar el valor de: A + B + C.
A1 Ba os
D)7 99

= San Goad Son + Coso
= Sen-+ Coso

aye m2/2 oyaı2
D) 2 EN

St. Simplificarla expresion: MN.

rene + cre? + ans cu)

ren

2{Tan8 + Coté)

A) Sec6-1 B)S2c6+1
D) 2Sac&. E) 25800.

'52, Sila igualdad se verifica para un valor de x"
en <0;n/2>

CE

xTanx = fxGotxe

Indicar el valor de:

2Son?x + 400s"
Ce mp
‘eSen®x + 8Cos"x
A) 25 8) 45 oes
D)85 EJ2
$3. ¿Para qui valor de ‘n° so verifica la igual-

dad?

(Cse2-Cot2j? = Got2 ~Cot®2+Csc2 + CscŸ2

a2 Bt oo
o)1 92

54. Si: Cosx- Cow = 1
Calcular

E = Cosx + Tanx
A) Ja 8) V2 Oa
Os CES

Calcular “E en términos de "K.

Fan? + San“t- Sect-Cost

AU Ban.

orbita op 2 dde
En dra

se Tank=

Indicar el valor de:
E=senx+ os!

40 a 4
a De Car
ES 4

OP ced Oat.

60.

st

M=(1+K)(Seo1+ Sent)

= (1+ Tant)(Gsc1 +k Sent)
Calcular el valor de "k" para que:

Man
AA) Tant B) Cott ©) Sent
D) Cost E) Sect
Si: ssenx— 2Cosx = /29
Calcular el valor de:

E = 2S0cx ~ 5Cs0x
A) 2/29 BO,
[EN 80 4
Simpiiica:

gq (1+ Tank + Snetlt+ Got + Ce)
1+ Tant+Got1+ Sec 1+ Cse1

A) Sent 8) Cost ©) SentsCost
Dt 92
Dado la ecuación:

mé -x+m’-m=0

Calcular el valor de ‘m' para que las raices
sean secante y tangente de un mismo arco.
a2 Ejes Oat

1

1
DE +}

|. Calcular ol mínimo valor de:

E = S0*0+ Coco
ns ED os
D)10 Ea
Si Gotx Cosx = 1
Calcular el valor de:

€ Cox + Csox f
A)2— V2 Bea ON
CE

Beer

ADRIAN YNFANZON |

65

Si 2ran?x-sTarty =1

Calcular el valor de:

2,
Er
Sec’
aan 258 o78
DEN E36
Calcular: A+B+C.
(Cox + Cow =D VOset tt, [io Bse ©
sex + Cow
A6 24 92
D)-4 8-2

67.

69.

70.

Si: 2008%%+ 300sÍy = 4
Calcular el valor de:

catas arts)

na as 07
09 on
Si: Csctx-Cofx= a
Calcular “Eon función 6
E=Csc*x + Cotfx
na-ı D2a-ı 1-20
Dice CE
&
[Sont _fi=cost

Nie Sont | 10081
Caleta "E" en función de a".
E=1+ Sont - Cost

À 2a Dar ca
DE Eee

Si: 8x /4 € 0 caleular todos lo valores
que toma E"

E = 1+ 25en0+ Cos® + V1-2Sen0
A<tV> B<ov2>
C<e:2> Die22V2>

E)<V2/2;1>

72

7.

Sk M= 1.4 Cosx + Tanx + Cotx + Cscx
N = 1 — Cosx + Tan + Cotx ~ Oscx

à A qué esiqual? MeN
A) Senx + Secx 8) Senx + Cscx
©) Secx + Csex D)Cosx + Secx
E) Sonx + Tank

Senfx , Cos*x _ Tano + Coto
‘Send * Coso ” Seco +Csch,
¿A qué es igual?

si

Tan®x , Cat“

Tan’) Core
B) Send + Cost
D) Seco + sch

E

À) Sent Cost
0) Seco+Csco
E) (Seno + Coso)”

¿A qué es igual?
+
b sente a Voos*o

us]5

(BEC) |

ET
LOT

7

75

78.

Si Tan?ı+ Got = n
Caleular el valor de:

Sach [suett+ Viv) Ga (ou? V2

Sect à Get
An? Byn?+2n C2
D) +an Ein? an
ES

M - Sony (Senx + Cosy) + Cosy (Gosx - Seny)

N = aSeny (Senx- Cosy) + Cosy (Cosx + Sony)
Calcular "a +? para que,

MeN
a 8)0 91
02 Es

Calcular “M si es Ps: deu

ji
(asen0 bano] + (acoso costa)

mas Baar 0160/9

Dja?/a Eta

2, 2,1
Si: Costas Cost» À
LA qué es igual?
=Cotfxe Coty
2+ Cor?x+ Cory

a) 415 8) 25
D)45 EN

ES

14 Senx_
= Sanc+ Cosx

1+ Cosx
Hr Senx - Cosx

LA qué es igual?
E = Tan + Coix + „Tank + Vox

A
C) Vab(a +) D)2Vab

E)vab12

80.

a

82

Soc/o à Csc/0- 9

Calcular: E = Sec°o - eco

Dr Bo cos
90/3 Ets
Si: (Vorsx+ Cove - 2 = ExSecx
Calcular
Secx | 1+ Senx

© Com Cox
A) -a 8) 14 ot
D)48 ES

Sk el à Bellic

LA qué as igual?

[tt Son Sen (Sera - sen?
Ÿ V1 Coa» coup? = (Cosa = Cop)?

ATea-Terÿ _B)-Tew-Toÿ à

CIGau-Cof 0) Cauca

01

Era

Val +0? «seco a+ Tand =b
Pacto. se
fee ne

(x y fx

ala) (ols) +a) =

121%] Ê po

dl ag

E)x+y=a+b

ELVIS

‘ADRIAN

83. Simpllicar la expresion:

Tan'1+ Sent-Tanft«sonfı
{ant + Sen‘)(Tant= Sent)

a) 12 EN CH
DE CH

84. Si Delle. ¿A qué es igual?

ee
vo
en

oe ee
Ir Tan?o D tanto
Je Tano
14 Tanto UE
E) J2Tano

85. Si pTan-/2qS0n0

Ba m)

Cot /2pCoso=V2p ~ (2)

Calcular
es E=Cos0—Sond
2-14 Ba 00
D)12 EN
Arsen
86. St 1.001
CCalcular fa exprosión:
E = Gsex + Cobx
A) Jan - 8) fam +1
©) J2m-1 D)Vemst
E24m
es:

Socx - Ta + Cos

9

92

Calcular el valor de:

E = Csox + Go + Tan,
A 12 CL 02

D)Sec*o ejoscto
Si Cox=Cosx=1 À O<x<x/4

Calcular el valor de:
E = Sonx + Socx + Oscx - Cosx

ayi 82 ose
D)4 98

Si Tanx + Socy + Cot» Cosy =

LA qué es igual?

E = Tank» Socy)”? —(Cotx- Cosy)?
Aa Ba CENT
D)+5 Bs

Indicar un valor de “K* que verica las igual
dades:

Senx=Tarx _,_ Cosx+ Secx
Tan —Coty "> Coty +Tany
DR ow

EJ2

E= Tanx+Cot0+ Coty 0500

B12 om
Es

sa

poot%e + qCot% = 1 ©

PCos/ + gCos/o =1 0)

pSen0=qSeng ... il)

oe oe]

E)p+a=pa
Si: 3Sonx + 4 Tany = 7Senx » Tany
Caleular el valor do:

1-Coty
Gsex-1

aan 93 CEA

Dar EN

Eliminar * 0
Sec0 Cos = xCac0 ...()

sco Seno = ySec8 ... 1)

Aide? rin nr nf =

Alo) fa? fot
ar + An =1 Ogio? de

EJ x+y + xy

Tan*o— Tanto - Tan/o

A2 Ba 04
D)5 96

97. Si: Senx + Sen?x + Son’ + Cos'x=0

Calcular el valor de:

A LES
fa
ae Diyiarz
Ela -2
38. implicar:
cout
cto «| 23"2 2 csct2- co col

GseŸ2+ coa

Acsc2-1 Blosc2+1
©) Tanto
Bosa

D)ran?o +1

98. Si Tank Con =0
Calar valor de
E = Sen?x + Cot?x + 2Versx
an 92 os
De ES
100.5: (Sama + (00902 = a

¿A qué es igual?

E= (Gers? (Cosy?
WWE of of
DES Ba

CLAVES

PROBLEMAS PROPUESTOS

2 | 8 si [ce 7 | A
ale s | mle
2a | ss |B 7s |o

04 29 | 6 ss | 8 7 |

SE s | 8 ss |e so | E

06 E ss | 0 e | 0

or |: o sz le ge | A

08 |- 8 s |B alc

oo | > aac so |e ss | ©

»|o 3 |B so | A ss | ©

«Je as | A a le 86 | a

le [e elo a |o

[o se | e ss | 0 se |e

[e s | o ss | o s | A

1s [o 40 | 0 ss | 8 so |o

16 | c a fe s | € sı | 8

wie alo 67 | a ale

se [a alc 68 | 8 ss | 0

w fe atc 6 | o oa | a

2 | A s [e mie es | o

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US a | o ES o | e

To 4 | 8 a | ce 08 | 8

2 | 8 4 ic mie »|c

25 |o so | c 7 | o 100 | 0

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