Calculo C - Diva Flemming - ocr.pdf

integrais

1. SDOW666
~
MAKRON
Books I
3ª Edição
Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas,
Integrais de Superfície
Mirian Buss Gonçalves, Ora.
• Professora do Departamento de Matemática da UFSC nas disciplina$ de Cálculo e. Análise Matemática.
• Professora do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção/UFSC.
• Mestrado em Matemática Pura/Análls~ Matemática/UFSC.
• Dúutorado em Engenharia de Produção!UFSC.
• Pós·Doutorado no INSA·Rouen/FR.
Diva Marília Flemming, Dra.
• Professora do Centro de Ciências Exatas da UNISUL nas disciplinas de Cálculo e Tecnologia na Educação.
• Professora do Curso de Pós-Graduação ~m Educação da UNISUL.
• Professora aposentada do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civii/UFSC.
•
Professora
aposentada do Departamento de Matemática da UFSC nas disciplinas de Cálculo e Teoria de Informação.
• Mestrado em Matemática Aplicada/Teoria de Informação.
• Doutorado em Engenharia de Produção/UFSC.
MAKRON Books do Brasil Editora Ltda.
Rua Tahapuã, 1.348 -Itaim-Bibi
CEP 04533-004 -São Paulo -SP
[phone] e [phone]
e-mail: [email protected]
São Paulo • Rio de Janeiro • Ribeirão Preto • Belém • Belo Horizonte • Bras(/ia • Campo
Grande • Criiabá • Curitiba • Florianópolis • Fortaleza • Goiânia • Manaus • Natal • Porto
Alegre • Recife • Salvador ·
Barcelona • Bogotá .• Buenos Aires • Caracas • Ciudad de Mexico • Frankfurt' • Guadalajara
• Lisboa • London • Madrid • Montevideo • New York • Paris • Porto • Santiago
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2. Cálcul~ C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilfneas, Integrais de Supor/ície -3' edição
Copyright© 2000 MAKRON Books do Brasil Editora Ltda.
Todos os direitos para a lfngua portuguesa reservados pela
MIIKRON Books do Brasil Editora Ltda. Nenhuma parte desta publicação poderá
ser reproduzida, guardada pelo sistema 'retrleval" ou transmitida de qualquer
modo ou por qualquer outro meio, seja este eletrônico, mecânico, de fotocópia,
de gravação, ou outros, sem prévia autorização, por escrito, da Editora.
EDITOR: MILTON MIRA DE ASSUMPÇÃO FILHO
Gerente de Produção
Silas Camargo
Editor Assistente
Benjamim Peixoto
Produtora Editorial
Marileide Gomes
Capa
MarcE:Io da S. Franço7.o
Editoração_ e Fotolitos em Alta Resolução: J.A.G.
Dados de Catalogação na Publicaç~o
Gonçalves, Mirian Buss
Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíne~s. Integrais de
Superfície -3• edição ; Mirian Buss Gonçalves e Diva Mmília Flemming.
São Paulo : MAKRON Books. 200.0.
ISBN: 85.346.0955-1
NOTA Ad LEITOR -1ª E~ição
~
MAKRON
Books
A falta de textos, ao alcance de nossos alunos, que abordem o C.~l<.:ulo Vetorial de uma
forma mais abrangente, nos motivou a escrever o presente livro. Este livro pode ser utilizado
nos cursos de Cúl<.:ulo, cujo programa prevê o estudo das Funções Vetoriais, Integrais
Curvilíneas e Integrais de Superfície.
O texto consiste de seis capítulos. Os dois primeiros _.capftulos, referentes a Funções
Vetoriais de uma Variável e Curvas, ~ão pré-requisitos pat;a ~estudo das Integrais Curvilíneas,
apresentado no Cap(tulo V. No Capítulo Hl são estendid.os os conceitos do Cálculo para as
Funções Vetoriai!t de Várias Variáveis. No _Capítulo IV são exploradas as Idéias Físicas
ligadas ao Cál<.:ulo Vetorial. O Capítulo VI ini~ia corno estúdo de Superfícies e a seguir as
Integrais de Superfície são apresentadas.
Cada capíttdo apresenta enunciados claros das definições, propriedades e teoremas
relativos ao assunto abordado. No decorrer de todo o texto, as idéias intuitivas e geométri­
cas são realçadas. As figuras apresentadas no decorrer dos exemplos, facilitam a visualiza­
ção espacial dos conceitos apresentadrJs. São propostas lista~ de exercícios, com respostas,
para complementar a aprendizagem do aluno. Algumas demonstrações de teoremas, que
foram omitidns, podem ser encontradas em livros mais avançados.
Quaisquer erros que apareçam são, naturalmente, da responsabilidade das autoras, as
quais ficarão muito agradecidas se forem comunicadas sobre os mesmos.
Florianópolis, agosto de 1991.
Mirian Buss Gonçalves
Diva Marília Flemming
v
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I

3. I
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~
MAKRON
Books
NOTA AO LEITOR-32 Edição
Este livro foi lançado em 1992 e desde então vem sendo utilizado como livro texto para
alunos dos cursos de Matemática, Ffsica e Engenharia, nas disciplinas de Cálculo Diferen­
cial e Integral que abordam funções vetoriais, integrais curvilfneas e integrnis de superfície.
Considerando algumas sugestões receb idas, pequenas alterações foram feitas no de­
correr do texto. Dessa fom1a, em relação ao conteúdo, esta nova edição não apresenta alte­
rações significativas. A principal mudança, nesta terceira edição, é a melhmia da qualidade
da apresentação do texto e figuras.
Como nas edições anteriores, quaisquer erros que apareçam são, naturalmente,
da
responsabilidade das a utoras, as quais ficarão muito agradecidas se forem comunicadas
sobre os m
esmos.
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.... ~-~-. . -· • ·-·4 -~ . -· ,. ........ -. ........... ...
Florianópo lis, setembro de 1999:
Mirim! Buss Gonçalves
Diva Marflia F/emming
VIl

4. AGRADECIMENTOS
~
MAKRON
Books
As autoras agrade cem aos colegas do Departamento de Matemática da Universidade Fede­
ral de Santa Catarina, que com seu incentivo e sugestões, contribuíram para a realização
deste trabalho.
Agradecem aos Professores Carlos José Ferraris, lnder Jeet Taneju, lto Pedro de Sou­
za, Licério Brasil da Silva, Maria da Graça Rodrigues, Miguel Pelaudré Perez, Waldir
Quandt e William Glenn Whitley pela sua contribuição.
Em especial, agradecem ao Professor Jaime Bruck Ripoll, da Universidade Federal do
Rio Grande do Sul, que leu todos os manu scritos e apresentou valiosas sugestões.
Finalme
nte,
agradecem ao acadêmico de Engenharia Mecânica, Jean Carlo Gueths,
ex-nluno das autoras, pela sua dedicação na confecção da~ figuras.
IX

5. li;_~!' '
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I
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SUMÁRIO
. :··.
Capítulo 1.:. FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL ...................... 1 , :·:":
Hodógrafo ............................................................................................................ 3 :~ ··'.
Operações com Funções Vetoriais .......................................... ............................. 7 ··
·:<:·
~,Limite e Continuidade ............................................................................. ............ 9 ·
Exercíci
os
.................................................................. ,,,,,,,,,,,,, ....... ..................... 16
Derivada ..... ......... :: ............................................................................................. 21
é. Interpretação Geom~trica da Derivada ........................................................ 22
,_. InterpretaçãO Física da Derivada .......................... ! ...................................... 25
Regras ele Derivação: .................................................................................... 29
·'·
Derivadas Sucessivas .................... , ............................................................... 30
Exercícios ............................................................ y ............................................. 31
Capitulo 2-CURVAS: .. : .... : ............................................................ ....... 3.7
Representação Paramé.trica ............................................................................... 37
1
/
Parametri~l\_ção
de uma Reta ............. , .......................................................... 39
'í Paramctrização de uma Circunfer ência ........................... : ........................... 41
1
, Parametrização de uma Elipse ..................................................................... 44
Parametrização de uma Hélice Circular ...... , ............................................... 47
Parametrização de uma Ciclóide .................................................................. 50
Parametrização de uma Hipociclóide ........................................................... 51
Parametrização' de.-outras curvas .................................................................. 55
° Curvas Suaves ................................................ , ................................................... 59
Orientação de uma Curva .......................................................................... : ....... 62
~~ _Tangçnte .................................................................................................... 67
Exercícios ......... ....... : .......................................................................................... 70
(Comprimento ?e A_rco .. : .............................. : ...................................................... 75
i Reparametnzaçao de Curvas por Compnmento de Arco ............................ 80
·Vetor Tangente Unitário ............................................... ..................................... 83
Curvatura .............................. ............................................................................... 88
Vetor Normal Principal ............................... : ............. ........................................ 94
Vetor Binom1al ................................................................................................. : 97
Torção ............................................................................................................... I O I
XI

6. • .:"r~/.:00, ((
.....
·:·
((
Cálculo C
'•·
··~
Aplicações ................ .......................... .............................................................. 105
Componentes Tangencial e Normal da Aceleração ................................... J 05
F6nnulas de Frenet -Teorema Fundameiltal das Curvas ......................... J 08
·Exercfcios .......................................................................................................... li O
Capftulo 3-FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS ............ 117
Bolas Abertas e Fechadas .................... ............................................................. 117
Conjunto Aberto .............
............................ ....................... ............................... 119
Donúnios
Conexos ................... ............................. ...........................................
120
Sumário Xl/1
Exercfcios ......................................................................................................... 235
Integrais de Linha de Campos Vetoriais .............................. ........................... 240 ·
Trabalho Realizado por uma Força ............................................................ 240
Definição ...................................................... : .............................................. 244
Exemp
los ................................................................................ ..................... 247. Exercfc:ios ......................................................................................................... 253
Integrais Curvilfneas Independentes do Caminho de Integração .................. 258
Exercfcios ................................................................................. ....................... 274
Teorema
de Green ............................................................................................ 279
((
_(
(
(
(
(
(
(
( (
((
( (
Funções Vetoriais de Várias Variáveis ............................................................ 122
Limite e Contin
uidade ..................................................................................... 1 23
Derivadas
Parciais ....................................... .................................................... 1 26
Exerdcios ................................................... ...................................................... 287
Capítulo 6-INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE ......................................... 289
(
(
( (
Interpretação Gc:ométrica ........................................................................... 127
Derivadas Parciais Sucessivas . ................................................................. .. 131
Exercícios ...................... ................................................................................... 134
Capítulo 4-DERIVADA DIR;CIONAL E CAMPOS GRADIENTES .... 139
Campos Escal ares e Vetoriais .......................................................... ............... 139
Representação Geométrica de um Campo Ve torial ........................................ 142
Exercfcios ................................................ ......................................................... 147
Representação de uma Superfície ................................................................... 289
Equações Paramétricas .................................. .................................................. 292
Rc:prescntação Paramétrica de Algumas Superfícic:s ..................................... 294
Parametrização da Esfera ...................................................... ..................... 294
Paratuctrização de um Cilindro .................................................................. 2 98
Parametrização
de
um Cone ................................................................. ...... 301
Pararnetrização ele um Parabolóide ............................................................ 304
Parametrizaçào de Outras Superffci cs ....................................................... :105
(
(
( (
( (
( (
( (
Derivada Direcional de um Campo Escalar ................................................... 149
Gradiente de
um
Campo Escal~r .................................................................... 154
Interpretação Geométrica do Gradiente .......................................................... 158
Cálculo da Derivada Direcional usando o Gradiente ..................................... 160
O Gradiente como Direção de M~xima Variaçíio ........................................... 163
Exercfcios .................................................................................................... ..... 309
Curvas Coordenadas ................................................ ......................................... 311
Plano Tangente e Reta Normal ....................................................................... 313
Equação da Reta Normal ............................................................................ 3 17
Equação do Plano Tangente ........................................................................ 318
r
' (
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Exemplos de Aplicações elo Gradiente ......................................... ~ ................. 164
Exercfcios ........................... ............................ .:. ................................................ 173
Derivada Direcional de um Campo Veturial : ................................................. !71)
Superfícies Suaves e Orientação ..................................................................... 3~2
Exercfcios ................................... ............................ .......................................... 330
Área de uma Superfície ...................................... ............................................. 3.\3
(. (
(
' (
interpretação Ffsica .................................................................................... 1 R5
Divergênc ia de um Campo Vetorial ................................................................ 1 !!6
lnterpret nção Física da Divergência ........................................................... 188
Rutacional
de um Campo Vetorial ...................... ............................................ 192
Intcrpretaçiio Física do Rotacional ......
.~ .................................................... 195
Integral de Superfície de um Campo Escalar .................................................. J39
Centro de Massa c Momento de Inércia ....................................... .................. 344
Exercícios ......................................... ................ .............................................. .. 34S
Integral de Superfície de um Campo Vetorial ............................................... 353
Interpretação Física .................................................................................. .. 357
( (
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Campos Conservativos . ................................................................................... 199
Cálculo de: urna Função Potencial ................................................................... 202
Algumas Identidad es Vetoriais ............... , ....................................................... 206
Exercícios .... , ............................................ : ....................................................... 207
Capítulo 5-INTEGRAIS CURVILÍNEAS ... ' ......................................... 215
i;, I · · · · · ·· .. Integrais de Linha de Campos Escalares ................................ ........................ 215
Aplicações . ....................................................................................................... 224
Exercícios ......................................................................................................... 367
Teorema de S
tokes ...........................................................................................
370
Teorema da Divergência .................................................................. ................ 381
Exercíci
os
......................................................................................................... 387
TABELAS ............. ................................................................................ 391
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ......................................................... 395
(
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Massa e Cen tro de Massa ele um Fio Delgado ........................................... 224
Momento de Inércia .................................................................................... 229
Lei de Biot-Savart ....................................................................................... 231
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I
Capítulo 1
FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA
VARIÁVEL
..... •, ..
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MAKRON
Books
Neste capítulo, apresentaremos os conceitos do Cálculo para funções vetoriais de uma
variável. Serão apresentadas as definições fonnais de limite, continuidade e derivada. A
derivada_será interpretada geometricamente como um vetor tangente ao hodógrafo da fun­
ção. Fisicamente, ela será interpretada como o vetor velocidade de uma partfcula em movi­
mento no espaço .
1.1 DEFINIÇÃO
Chamamos de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo/, a função
que a cada t e I associa um vetor ] do espaço. Denotamos
J :: ](t) .
O vetor ]<n pode ser escrito como
j(l) =: J; (t)f + h (t)j + J; (t)k.
Assim, podemos dizer que a função veto(ial ] determina três funções escalares de
t: f
1 =-f, (I), f
1 = f
2
(t) e f, = f,(t). Reciprocamente, as três funções escalares f
1
./
2
e f
3
detcnninam a função vetorial f( I) .
Observamos que, dado um ponto P(x,y,z) do espaço, o vetor
;: == xT + y] + zk

8. 2 Cálculo C Cap. 1
é chamado vetor posição do ponto P (ver Figura 1.1 ).
A' cada ponto P(x,y,z) corresponde um único vetor posição e vice-versa. Em vista
disso, muitas vezes, um vetor v = v/ + v
2
] + v
3k é representado por (v
1
, v
2
, v
3
). Esl.a
notação também é usada para representar as funções vetoriais.
--------
----P (•.y.z)
~~----~--~~ -- ,
,.................... I ~,,. y
. -------------_:...._...J.,
Figura 1.1
1.2 EXEMPLOS
(i) Podemos expressar o movimrnto de uma partícula ?,.'sobre uma circunferência de raio I,
pela função vetorial ]<n = cosi i + scnt ]. Neste ~.:aso, a variável/ representa o tempo e
P(f
1(t),j
1
(t)) nos dá a posição da partfcuia em movimento (ver Figura 1.2).
y
Figura 1.2
SDOW666
Cap. 1 F1mções vetoriais de uma \'nriável 3
--------------------
(ii) Em Economia podemos estabelecer uma função vetorial preço. Co .. sideremos 3 merca­
dorias tais que a primeira tem preço 1
1
, a segunda tem preço I+ 2 e a terceira tem preço dado
pela soma dos preços das duas primeiras. A função vetorial preço é
- ( 2 2 )
P(t) = I I I + 2, I + I + 2 .
(iii) Outros exemplos são dados nas expressões:
1.3 DEFINIÇÃO
l<n = ti' + íj -· (t
2
-4)f
g(t = 6 + 1
2
] + 3k
h(f) = 2cosl i + 2senl] + 5k.
O hodógrafo de uma funçiio vetorial ]ctl J; (tlf + h. \ll] + .!; (tlk, t e I, é o lugar
geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição f(t), t e I (ver Figura 1.3).
Figura 1.3
/Existe uma estreita ligação entre as funções vetoriais de uma variável real e as curvas
nd espaço. Por exemplo. se ]cn é o vetor posição de uma pat1fcula em movimento, o
hodógrafo de ]cn coincide com a trajetótia da partícula.

9. .,
I .
4 Cdlcu/o C Cap. I
1.4 EXEMPLOS
(i) Descreve~ a trajetória L de um ponto móvel P, cujo deslocamento é expresso por
j(l) = ri + ij + 3k.
Solução. Podemos descrever a trajetória L traçando um esboço do gráfico da função veto-·
ria! dada, ou seja, construindo o hodógrafo de .
]cn = ri + ij + 3k.
Para fsso, fazemos uma tabela e assinalamos os pontos correspondentes (ver Tabela
1.1 e Figura 1.4).
Tabela 1.1
---·
( -2 -I o I 2
lu> -21 -2] + 3k -i -J + 3k 3k i + j + 3k 2T + 2] + 3k
L
3
Figura 1.4
(li) Fazer o hodógrafo das funções exemplificadas em 1.2 (iii).
f
I
I
I
i
I
-. '~
': .···
Cap. I Fu11ções l't/oriais de 11111a variável 5
Seja ]cn = tT + ij -(t
2
-4)k. Neste caso, o hodógrafo pode ser esboçado atra-·.
vés da intersecção de superf(cies. Basta observarmos que os pontos P(x(t), y(t), z(t)) do
hodógrafo de
J têm coordenadas
x(t) = t
)'(i') =
I
z(t) = 4-t
2
•
...
.,
Eliminando t, obtemos as superffcies.y :::: x e z = 4-x
1
, cuja intersecção nos dá o ..
hodógrafo de ]co (ver Figura 1.5). '··
. '. ~·
·,•.
':.::-,.
~ :.·
, .
.. _.
Figura 1.5
I
I Seja g(t) = t
2
T + t
2
]
+
3k. Ysando o mesmo raciocínio anterior, temos que o
hodógrafo pode ser esboçado pela intersecção de
x =
) y ~O e z = 3 (ver Figura 1.6).
: .·
.,, .
· .. ~· .. ·
I
I

10. 10 Cálrulo C Cap. 1
r-------------- --~
/
y
Figura 1.8
1. 7.2 Proposição
Seja Jw = J; (t)f + h U>] + ,/j (t)k e ã = a/ + a
2
]
+ ai. O lim ]<n = ã se, e so-
mente se,
lim
/;Ul = a
11
i = 1, 2, 3
Prova. Se lim ]<n = ã. então para um e> O arbitrário, existirá um ô >O, tal que
j/<n -ãl < e sempre que O < lt -t
0
1 < o.
Como
]<n ·-ã = [J;U>-adi + [h<n-a
2}j + [h<tl-aJZ:, para O < :1 --t
0
1 < õ,
temos que
para i== 1, 2. 3. Pot1anto, lim /;Ul = a
1
•
f-+111
{,
Cap.
I Funções •·ctoriais de uma variá~·el 1J
Reciprocamente, se lim /;Ul == a
1
, i = 1, 2, 3, para todo e> O, existirá o> O, tal
que j;;u> -a
1
1 < E/3 quando O < lt -t
0l <o.
Usando a desigualdade triangular, vem
j]Ct)--ãj == j[J;<n-adi + [hU>-a
21J + Lt;UJ-a
3]kj
s 1/;<n-a,l + l.t;U>-a2l + lhUJ-a1l
c e e
<-+- +-
3 3 3
= E.
Logo lim ]<n = ã.
t-u
0
1 1.7.3
í
Propriedades
r
~
J.
t
f.
!
~
l
I'
r
i
~
I
f.
L·
~
;
I
I
Sejam f(t) e g(t) duas funções vetoriais e lt(t) uma função escalar, definida5 em um mes-
mo intervalo. Se
lim ]<n == ã, lim g(t) = b e fim IJ(t) == m,
,__.,4)
então:
a) lim [f(t) ± g(t)] = ã ± b;
b) lim ]<n. gU> = êi. b;
c) lim ]<n x .~U> = ã x E:
Prov::~. Estas proprie dades podem ser mostradas usando a proposição I. 7.2 e as proprieda­
des de limite das funções escalares. Como exempl o, provaremos o item (d), isto é,
lim /z(t) f(t) = mã.
t-u,,

11. I
I
12 Cálculo C Cap. 1
Sejam ]<n = f. cnr + h cn] + h (l)k e ã = aJ + a
2
]
+ a/c.
Então, hU> ]co = h CO f. cor + hCtl h Ctl] + h{ I) h Ct)k e
lim hCI) ]cn = lim [/z(t) IJ<n]r + lim [h(t) J;cn]J + lim [h<n h<n]k
t-u
0
1-+1
0
1
-+1
0
I-H
0
= [lim h(l). lim f..Ul]r + [lim h(t) .lim h<olJ
1-+1
0 1-+1
0
t-tl
0
+ [lim h(t) .lim h(t).]k
t-H
0
· ·
l-tt
0
= mã.
1.7.4 Exemplos
(i) Calcular lim (6 + (t
2
-
1)] +
2k).
1-+ .J2
Usando a proposição 1.7.2, temos
lim (6 + (1
2
-
1)] +
2k) = ( Jim 1
2
)r + ( lim; (1
2
-
1)]) + ( lim 2)k
1-+.f'i I-4.J'i_ 1-+,T'f' 1-+·12
:::: 2i +. J + 2k ..
- - senl--
(ii) Calcular lim j(t), onde /Ct) = -i + lj.
I 1-+0
Temos
lim. ]cn :::: (lim senl )r + (lim t 1:
1-;0 1-+0 t 1-+0 y
= i.
I
SDt$W6!!6
Cap. 1 Fu11çõe.r vetoriais de uma variável J 3 .
- ã + 2b -
(iii) St"ja j(t) = --
2
-, onde ã = J e b = 2] -k. Calcular:
I -
a) lim ]cn;
!->0
b) lim (1
2
-
4t + 4)
]cn.
1->2
Temos que
-J + 2(2] -k)
j(t) = --t-'---2--
1 - 4 - 2 -
=--i+ --j---k.
t -2 I -2 I ·-2
Assim,
a) lim ]cn = (tim -
1
-)r + (lim -
4
-
\;-
(lim .~ }~
,....0 ,_,o I -2 t->0 t -2 Y ,.....o· I -2
1 ---
=--i-2j+k.
2
b) Para resolver este item, calc ulamos inicialmente
(1
2
--4t + 4) ]cn = (r~ -4t + 4) (-
1
-J + -
4
-
J --
2
2
-
f)
t-2 1-2 1-
12 -4t + 4 -: 4(t
2
-41 + 4) -; 2(t
2
-
41 + 4)
:
= -----1 + J------k.
t-2 1-2 1-2
Temos, então
[
1
2
-4r+4]-: [· 4V-4t+4)J.
lim (t
2
-
4t + 4)
]co = lim ----r + lun. ·
t-+2 t-+2 I -2 t-+2 I -2
I . [ . 2(t
2
-41 + 4)]-
-hm k.
t-+2 (-2
...
...
,.
•,•

12. .'·:.
~
f
l
f
I
e
14 Cálculo C Cap. J
Resolvendo os limites das funções escalares pelos métodos já conheduos, vem
Iim (t
1
-4t + 4) ]cn = oi + o] + of = õ. ·
t->2
f
Observamos que a propriedade 1.7.3 (d) não foi usada porque lim ]<O não existe. f.
1->2 (
Calcular: a) lim (f(l) + g(t)];
1-+l
b) lim []<n . g(l)];
l-ti
c) lim []<n x g(t)].
1-+ I
Usando 1.7.2 e 1.7.3, temos
a) lim [f(l> + g(l)] = lim ]u> + lim g(l)
1-+1 l-ti l -ti
= lim (ti+ 2t
2
]
+
3t
3
k) + lim (3ti-2] + 4t
2
k)
1--t I 1--t I
= 4i + 7k.
b) lim [/(ll. g(IJ] = lirn ]co. lim g(l)
I_, I l-ti f-ti
= (i' + 2] + 3.i.=). (3i -2] + 4k)
= 1.3 + 2. (-·2) + 3.4
= 11.
1.
f.
f
Cap. J Funções l't·toritlis de 11/lltl I'Oritfve/ 15
----------------------------
c) lirn []co x gU>] = lim ]u> x lim g<o
1-+1
== (i + 2] + 3k) X (3i -2} + 4k)
= !4i + 5] -8k.
1.7.5 Definição
Uma função vetorial ] = ](1), definida em um intervalo /, é contínua em /
11
E /, se
'
lim ]<n = ](1
0
).
l-H
0
Da proposição 1.7.2 segue que ]Ui é contínua em /
11
se, e somente se, suas compo­
nentes são funções contfnuas em /11'
1.7.6 Ex~mplos
(i) Verificar se a função
I
]<tl = sent Í + cost] + f é contfnua em t,, = n.
Sabemos que ](I) é ddinida para /
11 = n.
Ainda,
lim ]<n :.: lim (senti + cost] + k)
1-Ht 1-i/1
=-]+f
= ](1Tl.
Vortanto, ]<n = sclll T + cost] + k é contfnua em 1
11
= 1r.
I
( .
I
(I
(
t
(
{
(

(
(
(
(
(
t
(
I
(
(
(
t
(
i
(
I
( (
(
(
(
~
(I
(

{
{
I
(

I

13. .·. ~-,.
I'
i
16 Cálculo C Cap. 1
(ii) V_erificar se a função
·_ lsen/ i + ], t '# O
g{l) = I
2i+] 1=0
é contínua em /
0
= O.
Essa funçã~ não é contínua em /
0
=O, pois lim (sen/ i + J) = i + J é diferente
1-111 I
de g(O) = 2i + ].
(iii) Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções:
)
-( ) 1 7 1"7
a g I = · I + l"j;
I
b) h{l) = lnt] + 2k.
Temos:
a) g(l) é contínua em!?-{0}, pois g
1
(1) = ~é contínua em!?-{O} e g,(t) = t
2
é contínua em 1/J.
1
-
b) ~orno 11
1
(t) = In/ é contínua em (0, oo) e h
1
(I)= 2 é contínua em fl, segue que
h (i) é contínua em (0, oo ).
1.8 EXERCÍCIOS
1. A pqsição de uma partícula no plano xy, no tempo t, é dada por x(t) =e', y(t) =te'.
a) Escrever a função vetorial f(/) que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em 1 =O e em_.'t = 2?
2. O movimento de um besouro que desliza sobrc•a superfície! de uma lagoa pode ser
expresso pela função .vetorial
_
I "'7 COSI -: ( I -se n/ ) -:
r(l) = 1 + 21 + 1,
m m
onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante 1 = O c
I= 7t.
SD$W61ili
Cap. 1 Fu11ções vcloriais de Wllo variá1•el 17
? 3. Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriai s:
a) ]<n ;, (4 -4ni + <4 -41)], t e [O, 2)
b) g(l) = 6sent i + 4] + 25cost k, O ~ 1 ~ 27t
-- )-
c) h (I) = 2i + I j
d) rcn = 2i + 4] + tf
e) ivU> = t
2
i + t]
f) V(/) = 4i + t] + COSI k.
4. Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
a) ]<n = ti + (2t
2
-
1)]
)
- 2-: 2 -: o
b g(l) = -I + --j, I >
t + 1
c) h(l) = ti + ] + 4t
1
k
d) v(/) = lnti + t] + k, I > 0
e) iv(l) = 3cost f + 3sen/] + (9 -3senOk; t e (0, h]
o r<n = ti + <9 -n] + t
2
f, 1 > o
g) f(l) = ti + sent] + 2k
h) r (f) = (8 -4senl)i + 2cos/ J + 4sen/ k.
5. Seja ]<n = ãt + bt
1
e g(l) = ti + sent] + cost k, com ã = f +]e b = 2i -];
o ~ t ~ 27t.
Calcular:
/-
aJ j(t) + g(l)
b) ]<o . 8<n
c) f(l) x g(l)
li

14. 18 Cálr.ulu C Cap. I
------------
d) ã. ]co + E . 8<n
e) ]<1 -I) + g(l + l).
6. Dadas ]<n = ti -}-c g(l) = T + t], esboçar o hodógrafo de ]<r> x g(l}.
~
~
7.
t
(
f
~
~
i
7. úmn purtfcola so dosloca no ospnço. Em cadn i"'""'' 1 o soo veta< P"'ição é dado por I
- L -- ,
ru> + 1i + --j + k. t
I-2 1,
a) Detenninar a posição da partícula no ins(ante t =O e t = I.
b) Esboçar a trajetória da partícula.
c) Qu:tndo I se aproxima de 2. o que ocorre com a posição da partícula?
8U> = 2tT +]-3r
2
f,t ~o.
Calcular:
a) lim [J<n + 8<n]
, .....
b) lim [l<n -c<n]
1->l
c) lim [3Jcn -·~ g(I)J
,..... 2
d) lim [lu>. gcn]
l-ti
e) lim (f(l) X .~(/)]
1-H
f) Jim [u + 1> Jcn]
, ....
g) lim [J<n x 8<n]
, .... o
r <?,f. I
~
t
r
t
r
~
f
I
l:
I
l­
r
Cap. I Funções ~etoriaü de 1111111 variável 19
-----~---
9. Seja j(l} = scnl T + cost j + 2k e /z(l) = l/t . Calcular. se existir, cada um dos se­
guintes limites:
a) lim fU>
1->fl
b) lim [h< o. ]u>).
, .... o
10. C:Jlcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.
a) Jim (cosi T + r
1
] ·-
sf)
,_..
b)
lim
( 1J + 41
2
+ 4t 7 -:1
------( +}
1--t-2 (l + 2) (i .... 3) )
c) liru -
1
-
[(t
2
-
4)T + (I -2>})
t->2 I -2
d)
[ Jt. --1-~ - -J
lim / ----i + (I -l)j + (I + 1)k
Hl I -I
[/.' -I - --J
..,
e) lim -·-~-·i+ (2'-l).i + tk .
1->U
11. Mostrar que o limite do módulo de uma função vetorial é igual ao módulo do seu limite,
se este último existir.
12. Mostrar que a função vetorial ]cn = Nni + [
2
CO] + f
3
(1)k é conlfnua em um in­
tervalo I se, c somente se, as funções escalares ;; (t), /
2
(i) e /
1
(I) siiu c0ntrnuas em !.
13. Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos
indicados.
-· ~Ir .... ~! T + 1 ~ J. 1 ;te · 3
a) {(f) = t -3
I
/ -
I 0, t = 3
em 1::: O e 1 = 3.
I
(
(
(
I
(
. I
(

(
I
(
(
I
(
(
(
(
I
(
(
I
(

(
I
(
(
I
{
í .
'
\I
I
.
(

15. I
''.·
20 Cálclilo C Cap. 1
l
1- -
..: rsen -i + cost j, t :t. O
b) f<tl = t
j, t =o
t = o
. 17 Jt+2-J2-;
- 11 + ), t :1-o
c) f<t) = t
. J2] t = o
t = o
d) l<n =senti-cosi]+ k; t =O
--i + --}-5k
1
2 - 4 --
e) l<n = ~-I t -2 I
t:t.let:t-2
t=let=2
em t =I e t = 2.
14. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) l<n = ã sent + b cost
onde ã = T e b = T + ]
b) g(t) = ~ T + (t
2
-
1)] +
e'k
t
em [O, 21t]
c) h (I) = e-'T + lnt] + cos2t k
d) ii(t) = (tn(l + ]), 7• t)
e) iv(t) -= (sent, tg t, e')
f) r (f) = (e' 1
12
-.
1
1 In (I + 1>)
t -1
g) l(t) = (vt. -=!._ -
1
-)
/2 -1 I /2 -4
-(' 2 -/2
h) g(t) = r + l,
2
,
t -2t + 1
Cap. 1 Funções vetoriais de r1ma variável 21
15. Provar os itens (a), (b) e (c) das propriedades 1.7.3 .
16. Sejaml e g funções vetoriais contínuas em um intervalo/. Mostrar que:
a) 1 + g é contínua em /;
b) 1 x g é coÍltfnua em/,
1.9 DERIVADA
1.9.1 . Definição
Seja l<t> uma função vetorial. Sua d.erivada é a função vetorial 7' (I), definida por
- -
- . f(l + !J.I) -f(t) -
f' (t) = hm AI • para todo t, tal que o limite existe. Se a derivada f' (I)
.11--+0 Ll
existe em todos os pont.os de u1~ intervalo /, dizemos que 1 é deri,vável em /.
temos
lu+ tJ.t) -lu> = J;U + tJ.n-J;<n T + f2<t + !J.tl-f1<n] + f,u + tJ.r>-f,<n f.
~ Ól !J.I !J.I
Portanto, pela Proposição 1.7 .2, segue que J é derivável em um ponto t se; e somente
se, as três funções escalares f,(t), h(t) e fP) são deriváveis em t. Neste caso, temos.
1' <n = J;' <ni + f/ <n] + N <nk.
1.9.2 Exemplos
(i) Se J>t) = t
2
T + cosi] + (51 -l)k, temos
I
1' (I) = 2ti -sent] + 5k.
I
I
I
I
j
!
l
I
.i
il
I
i-
1
i
c
I
jl
!
I
l
·l
I
I
I

16. . :f
~1f; .
,.
~ .
22 Ctllculo C Cap. 1
(ii) Se g(t) (2t -3J.1T + e'
51
], temos que
x' (/). = 6(2/-3)
2
f-5e'
5
'].
1.9.3 Interpretação geométrica da derivada
Seja f (I) uma função vetorial derivável em um intervalo I. Quanto t perco1Tc /,a extremida­
de livre do vetor f(l) descreve uma curva C no espaço.
Para cada I E /, f(l) é o vetor posição do correspondente ponto sobre. a curva (ver '
Figura J .9).
y l
' !
Figura 1.9 . 1·
Sejam P e Q os pontos de C, COITespondentes aos yetores posição ](I) e f(l + 61), '
respectivamente. A reta que passa por P e Q é; secante à curva C e o vetor f
t:.f = _Ju + t:.l) -]<n coincide com o segmento PQ (ver Figura 1.1 0). Com0 t:.r é esc a-~~
lar, Y. tem n mesma direção do segmento PQ. . ~~
t:.t i .
.
.
Cnp. 1 Funções vetnriais de 1111:<1 :•o~ridve l 23
-----------------------
p
Figura 1.10
Quando t:.t -7 O (Q -7 J>), a reta secanle se aproxima da reta tangente à curva C em
P (ver figura l. Ll ).
Figura 1.11
Assj!Íl, se ]'(I) :t O, ]'(I) é um vetor tangente à curva C. Seu sentido é o do
· movimehto da extremidade livre do vetor ]<tl ao crescer 1 .

17. ' I
1
24 Cálculo C Cap. I
1.9.4 Exemplos
(i) Dada .f<n = ti + 1
2
]. determinar]' (I). Esboçar o hodógrafo de J e os vetores ]' (1),
]' (-1) e]' (0).
Solução. Temos, ]' (I) = i + 2i].
A Figura 1.12 mostra c hodógrafo de f, onde desenhamos os vetores
]'O>= i+ 2], f'(-1) =i-2] e]'(O) = 1.
Flgura1.12
(ii) Determinar um vetor tangente ao hodógrafo de g(l) =.cosi i + sent] + k,
t e [0, 2n), no ponto P(O, I, I). :
Solução. Temos,
g' (t) = -sen/ i + COSI ].
Necessitamos do valor de g' (I) no ponto P. Pa.ra isso, precisamos determinar o
corresponde
nte valor de 1. Como o vetor posição de
Pé"] + k, t deve satisfazer
--- ., -
COSI i + se n/ j + k = j + k.
Portanto, cosi = O e sent = I e dessa forma t = ~ .
. 2
Um vetor tangente ao hodógrafo de g(l) em P(O, I, I) é 8' (~) = -i. A Figura 1.13
ilustra este exemplo. 2
Cap. 1 Funções vetoriais de rrma variável 25
----------------------------~----~---
g '(~)
Figura 1.13
1.9.5 Interpretação Física da derivada
Consideremos uma partícula em movimento no espaço. Suponhamos que no tempo 1, r(l) é
o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas cartesianas. Ao
variar I, a extremidade livre do vetor r (I) descreve a trajetória C da partícula.
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo 1 e em Q no tempo 1 + llt. Então
ór = r(t + Ól) -r(t) representa o deslocamento da partícula de p para Q, ocorrido no
inteiValo de tempo lll (ver Figura 1.14).
A taxa média de variação de r(l) no intervalo llt é dada por
r<t + t::..n -r<n
6.!
e é chamada velocidade média da partícula no inteiValo de tempo 6.!. A velocidade instan­
tânea da partícula no tempo 1, que denotamos \i (I), é definida pelo limite

quando este limite existe.
r<t + 61) -r<n
v(l) = lim
óJ-+ o !::..t
'
R
. 1
I
I
I
I
l
i I
I
t

18. 26 Cálculo C Cop. 1
--~------------ -------- ----
Figura 1.14
Portanto, quando r(t) é derivável, a velocidade instantânea da partfcula é dada por
ii<O = r' u>.
Analogamente, se ii(l) é derivável, a acelaração da partícula é dada por
ã(l) "' ii' (t).
1.9.6 Exemplos
(i) O vetor posição de uma partícula em m'ovimento no plano é
- l -
r<n = ,; + --j. f i o.
I+ I
a) Detenninar o vetor velocidade. e o vetor aceleração.em um instante qualquer f.
b) Esboçar a trajetória dll partícula, desenhando os ~etores velocidade no tempo f = O e
o f= l.
Solução de (a), Em um instante qualquer f, o vetor velocidade é dado por:
vu> = r' cn
i
I
I
= i + <l :to' J I
Cap. 1 Funções vetoriais de uma variável 27
---------------------------~----~-
O vetor aceleração é o vetor
ã(t} = ii' (I)
2 -
----:-, j.
(I + /)"'
Solução de (b). No instante f= O, os vetores velocidade e aceleraç ão, rer;>ectivamente, são
dados por:
ii<O> ::: T-] c
Para t = l, temos
- -: 1 -:
vll) = 1 --J e
4
ã(O) = 2].
-I I -:
a( ) = -J.
4
A Figura 1.15 mostra a trajetória da partícula. Os vetores ii(O) c ii(Ol estão dese­
nhados com origem no ponto P(O, I) porque no instante t =O o vetor posição da partf-
cula
é
r(O) = ]. Como r(l) = T +
1
], os vetores ii(l) e ã{l) tem sua origem no ponto
2
Q (1, 112).
'á( o)
1 p
-(1)
---

r~ ' '(I)
I

Figura 1.15
(
(
(
I
(
(
!I
l ,,
( o
l
(
:t
(
I
(
tI
f
·I

19. 28 Cálculo C Cap. 1
(ii) Detenninar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se mo~e
segundo a lei
r(t) = cos2t T + sen2t ] + k.
Mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor acele-.
ração
é perpendicular ao vetor velocidade.
Solução. Temos,
e
mos,
e
vu> = r' <n
= -2sen21 i + 2cos2t j
â(t) = ii' {f)
= -4cos2t T -4sen21 ].
Sabemos
que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo.
Te~
r(t) . \i (I) = ( cos2t T + sen2t] + f) . ( -2sen2t T + 2cos2t ] + Ok)
= -2sen21 cost21 + 2scn21 cos21 + O
= o
\i(t) â(l) = (-2sen2t T + 2cos2t J) . (-4~o st2t T -4sen2t ])
8sen2t cos 2t -8sen2t cos2t
=O.
··-:
Portanto, o vetor r {I) é perpendicular ao vetor ii(t) f v(t) é perpendicular a ii(t). (Vçr
Figura 1.16.)
Cap. 1 Funções vetoriais de uma variável 29
Figura 1.16
As REGRAS DE DERIVAÇÃO de funções vetoriais são similares às de funções
escalares. Temos a seguinte proposição:
1.9. 7 Proposição
Sejam ]<n e g(t) funções vetmiais e h(t) uma função escalar, deriváveis em um intervalo
I. E~tão para todo t E /, temos:
a) (l<n + 8U> )' = ]' <n + ê' <n
b) (h<n]<n)' = Mn]' <n +h' <nl<n .
c) (l<n . 8<n)' = ]' Ul . c<n + f(t) . S' <n
d) (f(() X g{l) )' = f' (I) X g(l) + f(t) X g' (1).
Prova do item (c). Sejam
]<n = ft<ni + /~(1)} + j,(t)k e
g(t) = g
1 <ni + g
2 <n] + g., (t)k. Então;
Como ]<n e g{l) são deriváveis no intervalo /, o mesmo ocorre com a~: funções
f" /
1
, J;. g
1
,
g
2 e g.,. Usando as regras da derivação da soma e do produto de funções
escalares, vem:
'· ·I

20. ·i:ll
·Jf·:
:~r!t:·
. '
.·
·n
i i
F
..
l
30 Ctflculo C Cap. 1
--------------------------------------
(Jcn. g<n)' = [.t;<n g,<n + !2<1) c2u> + J)<n g)<n]'
= (.t;<n g,<n)' + U2u> c2<n)' + (Nn gJ<n)'
= J;'(l) g, (I) + J; (I) g;<n + !{U> 82 (I) +
+ !2<t> g~<n + f{<n gJu> + Nn g;cn.
= (!,'(/) g,(t) + j{(t) g2(t) + f{(l) gJ(I)] +
+ [.t; (I) g; (I) + f~ (I) g~ (I) + /3 (/) g; (I)]
= J· cn. 8U> + ]<n. i? u>.
1.9.8 Derivadas sucessivas
- -
Seja /(1) uma função vetorial derivável em um intervalo /. Sua derivada f' (I) é uma
função vetorial defini da em /. Se ]• (t) é derivável em um ponto 1 E /, a sua derivada é
chamada derivada segunda de ]no ponto 1 c é representada por ]" (t).
Analogamente, são detinidas as derivadas de ordem mais alta.
1.9.9 Exemplos
(i) Sejam /r(l) = 1 c Jcn = cos1 J + sen1 j.
a) Determinar (hu> ]<n)' .
b) Mostrar que J (I) é ortogonal a J<n.
Solução de (a). Pela Proposição 1.9.7, temos que
(h(n]<n)'::: [1(cost J + senl J))'
= 1( cosi T + senr ])' + (I)' (cosi J + senl J)
= 1(-senl J + cosi]) + (cosi i + senr .7)
= (cosi -1 sent)f + (senl + 1 cosn].
'
I
f.
~
..
f.
l
t
i
I
I
i
Cap. f Funções \'e/oriais de uma \'MÍá1•e/ 31
Solução de (b). Para qué ]<n e ]' (1) sejam ot1ogonais, de\•emos ter
l<n . J· <t> = o.
Temos,
]<t) . ]'. (I) == (COSI i + SCO/ ]) . (-se n/ f + COSI ])
== -COSI SC!l/ + SCI11 COSI
=O.
(ii) Mostrar que f' (I) é ortogonal a ]<n sempre que IJ<nl é uma constante.
Como IJ<nl == k, k constant e, e jJ<nl = lf(t). j(l), temos que ]<n. ]U> = e,
para todo t.
Detivando, vem
[l<n .J<nr = o
]<n . ]' <n + J• <1> . ]<n = o
2/(t). f' (I) = o
f(/) . f' (t) = o
Logo, o~ vetores ]<n c ]' (t) são ortogonais.
1.10 EXERCÍCIOS
l. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriai s:
.. i - - ) -
a) /ltJ = c:os·1 i ~-tg 1 j + sen-t/.:
b) .~(1) = sen1 cosi J + e-~· J
... __ _
.. -,-l -
c) h(t) = (2 -t)i + r j --k
I
d) ]<n = e·• J + e-
1
' J + f
i'
(
i
(
!
. 't
:.r
i
~I
. (

21. ·I
32 Cálculo C Cap. 1
e) g(l) = lnt T + i} + lk
- 51 -2 -· 2 - -
f) h(t) = --i + ln(l-1 )j + 5k.
21 + 1
2. Detenninar um vetor tangente ao hodógrafo das seguintes funções, nos pontos i~~i-.
cactos.
a)
f(t) = (1, 1
2
, 1J), P(-1, 1, -1)
b) g(l) = (t, r.'), P(l, e)
c) h(t) = (sen I, cos 1, t), P(l, O, 1t 2)
d) p(l) ·= (1- f, -
1
-), P(-1, -1)
1-f
e) r(t) = (21, lnl, 2), ?(2, o, 2).
3. Mostrar que o hodógrafo de ]cn = (~ senl, ~cosi, ~) está sobre a esfera ~
unitária com centro na origem. Determinar um vetor tangente a essa curva no ponto
P (o _!_ • !3_)
' 2 2 .
4. Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto
indicado.
a) ]co = ~e', e·'. t
1
+ 1); P(l, I, I)
b) g(t) = (4 + 2cosl, 2 + 2 sent, 1); P(4, 4, 1)'
c) h(t) = (~I, JI+T, I+ 1} P(l, J3, 3)
d) r(l) "' (f cosi, I seúf, I); P(O, rt/2, rt/2) :
5. Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante 1. Determinar,
ainda, o módulo desses vetores
no instante dado.
·.BIBLIOTECA
UNED-f'ONTA GROSSA
CEFET-PR
(J~P a) r(f) = 2cosf T + 5sent] + 3k; f = n/4
b) r(f) = e'T + e-
2
']; f = In 2
c) r(f) = coshl T + 3senht]; f = O.
Cap. 1 Frmçõts vetoriais de 111110 varidvel 33
6. A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo 1, é dada por
. . . 1
x(f) = -(I -I)
2
y(f) = _!_ (t
2
-2t + 1).
4
. a) Escrever a função vetorial ]co que descreve o movimento desta partícul a.
b) Dete-nninar o vetor velocidade e o vetor aceleração.
· ·. c) Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante
I= 5.
7. No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por
x(t) = 1
1
, y(t) = 2../i, z(t) = 4.JI3.
a) Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da pru1ícula.
b) Determinar um vetor tangente li trajetória da partícula no ponto P( 1, 2, 4).
c) Detem1inar a posição, velocidade e a aceleração da partícula para f= 4.
8. Uma partícula se move no espaço com vetor posição r(t). Detenninar a velocidade e a
aceleração
da partícula em um instante 1 qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os
vetores velocidade e aceleração
para os valores indicados de/.
a) r(t) = li + 4] + (4 -1
2)k; I := O;
2
1 - -
b) rcn = --i + rj; 1 = 1; 2
I+ I
---
d) rcn = o -oi + o + n]; t = I; 2.

22. :E
31 Cáir.ulo C Cap. 1
--------------------
I
----1
9. Sejam ã e E dois vetores constantes. Detemúnar o vetor velocidade da partícula cujo '
movimento é descrito por:
a) ii (I) = ii + tb
b) ;i(t) "' ãt
2
~ ht.
I~. Se r (f) é o vetor posição de uma partfcula em movimento, mostrar que o vetor veloci-.
clade da partfcula é peq1endicular a r(/).
a) r(f) = (COSf, senl)
b) i:(t) = (cos3t, sen3t). ·1
11. Em cada um dos itens do exercfcio anterior, mostrar que o vetor aceleração tem o I
sentido oposto ao do vetor posição.
12. Mostrar que, quando uma partfcula se move com velocidade constante, os vetores .
velocidade e aceleração são ortogonais. .i;;
13. Sejam ii e b vetor~s constantei não nulos. S~ja r(t) = e
2
'ii + e-
2
'
b.
Mostrar que r" (f)
tem o mesmo sentido que r(t).·
14. Seja Í'(ll = 2coswt i + 4senwt ], onde w é uma constante não nula. Mostrar que
d
1r
2
_
-, = -w r.
dr-
!5. Dados ]<n = r] + t
1
f
e
determinar:
a) (l(l) x ~(f))'
b) (lu> . 8<n)'
C) (1(1) X ]CI))'
d) (g(l) . g(t))'.
·I
Cap. I Fwtçõe.f \'etoriaix di! umn I'DI'ití1•e/ 35
----------------- -------~~--~ ·
.16. Se j(l) = t ~
1
e ]cn = tT + t
2
]. determinar (f<n ]u>)'.
17. Sejam j(t) uma função escalar 2 vezes derivável e ã c~ vetores constantes. Mostrar
que se g(t) = ã + h j(t), então i' (I) X g" (I) = Õ.
18. Se j é uma função vetorial derivável e h(f) = IJ<nl. mostrar que
]<n. ]' u> = Jt<n h' cn.
·----.
l
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23. I
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... Capítulo 2
CURVAS
f'.:l'"~õ.ii\:;; .;•,.), ~· ·
~
MAKRON
Books
Neste capítulo, faremos um estudo sobr~ curvas, representando-as por meio de equações
paramétricas
ou de uma equação vetorial.
Serão introduzidos vários conceitos necessários
no estudo das integrais curvilíneas que será feito no capítulo V.
2.1 REPRESENTAÇÃO PARAM~TRICA
Sejam
x = x(l)
y = y(l)
z = z(l)
(I)
funções contínuas de uma variável I, definidas para I E [a, b]. Chamamos CURVA o
conjunto de todos os pontos (x;.y, z) determinados por estas equações.
As equações (I) são chamadas equações paramétricas da curva e 1 é chamado parâ­
metro.
Podemos obter uma equação ve!ori.al. de uma cun•a,. Basta considerar o vetor posição
r (I) de cada ponto da curva. As componentes de r (I) são precisamente as coordenadas do
ponto (ver Figura 2.1 ).
Escrevemos,
-----....
r(t) = x(t)f + y(l)j + <.(l)k' (2) aS 1 '5: b.
37

24. 38 Cdlculo C Cup. 2
z(t)
y(t)
I /
' I ,.'
x(t) --------~\~ .......
Figura 2.1
Observamos que se as funções x = x(t), y = y(r) e z = z(t) são funçõt:s constantes, a
.
·~
Cap. 2 Cun•a.r 39
2.3 DEFINIÇÃO
Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que
não é plana chamada-se curva reversa.
As curvas rios exemplos 2.2 (i) e (iii) são ·planas e a curva do Exemqlo 2.2 (ii) é
·reve.·sa.
2.4 REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS
CURVAS
curva degenera-se em um ponto. A seguir daremos a parnmetrizaçJo de algumas curvas consideradas importantes tendo ern
vista a sua utilização em muitos exemplos práticos.
2.2 EXEMPLOS ~.
~ 2.4.1 Parametrização de uma reta
(i) A equação vetori al r(f) == tÍ + t] + tk representa uma reta, cujas equações paramé- A cquaçfio vetorial de Uina reta qualquer pode ser dada por
tricas são
x{t) = t
y(t) =I
z(J) = t.
I
~·
(ii) As equações paramétricas
X:: 2 COSI
y = 2sent
copcoseotaon """ """ no O'p•ço. dmm:d: ::Jico ci""'"· A <q"'ção vetmi•l <mT'"I""' '·
dente é b.
,,
r(t) = 2cost i + 2sent] + Jr k.
(iii) A equação vetorial
r(t) = tÍ + t
2
]
+
3k representa uma parábo la no plano z = 3.
ru> = fi + tE, (J)
onde ã e h são vetores constantes e t é um parâmetro real.
Na Figura 2.2 podemos visualizar os Vt"tores ii e /;. A reta passa pel<) ponto A, qLJe
tem vetor posição Ci e tem a direção do vetor b.
Consider:ltldo as coordenadas de A (a
1
,
a~, a)
que coincidem com as componentes
do vetor ii e con~iderando também :ts componentes do vetor b = (b , b,, !; ), recscnwemos
I • ,I
(3) como
(4)
De (42: podemos dizer que as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
(a,, a
2
, a)) e -Íetn direçlio b
1
Í + b
2
] + b.J.são
x(l) = a
1
+ tb
1
y(t) = a:+ tb~
z(t) = a)+ tb)
(5)
·l
.;
-~
'
. ~ l
jt
!'
l
l

25. I j 1:·
!
I :
,
:.
i
! ~.
40 Cálculo C . Cap. 2
a, _________________ ___ ,,"''
Figura 2.2
2.4.2 Exemplos
,,,'"
,,',,,'
o,
(i) Detenninar uma representação paramétrica da reta que passa pelo po nto 11(2, I, -I) na .
d
ireção do vetor
b = 2i -3] + k. .
Usando (4), escrevemos
r<n = <2 + t.2>i + (I + 1<-3>>] + <-t + 1.llf
= <2 + 2nT +(I-3n] +<-I .~ nk.
A Figura 2.3 nos mostra a representação gráfica d~s ta reta.
Figura 2.3
·;·
Cap. 2 Curvas 41
(li) Determinar uma representação· paramétrica da reta que passa por A (2, O, 1) e
B(-1, 1/2, 0).
Usando (3), podemos escrever
r(l) = ã + tb, ondeã = (2, o. l) e
Logo,
b = (-1, 1/2. O) -(2, O, l)
= ( -3, 1/2 . -1}
(
--) ( -1 --)
rU> = 2; + k + 1 -3i +
2
j -k
1 - -
= (2 -31)Í + .. tj + (l -t)k.
2
A
Figura 2.4 ilustra este exemplo.
Figura 2.4
2.4.3 Parametrização de uma circunferência
Uma eqliãÇlio vetorial da circunferência de raio a, com centro na oligem, no plano xy, é
r(l) = acost J + asen/ ]. O $ 1 $ 2rr. (6)
Na Figura 2.5, visualizam os o parâmetro 1, O $ 1 $ 2rr, que representa o ângulo
fo
rmado pelo eixo positivo dos x e o vetor posição de cada ponto da curva.
..
1;.
li
:: ~
.I,
il.

26. j,
l
·!
42 Cálculo C Cap. 2
Figura 2.5
Do triângulo OAP na Figura 2.5, obtemos
x(t) ::: acost
y(t) ::: asent.
Quando a circunfer~ncía não está centrada na origem (ver Figura 2.6), a equação J.
vetorial é dada por
e
~{I) = acost i + asent ]. O $'I ~ 27t.
Figura 2.6
I
'' ':r
§
!
SOI$W666
Cap. 2 Curvas 43
Portanto, neste caso, a equação vetorial é dada por
r(t) = (xu + acos!)T + (y
0
+ asent)], O s 1 ~ 2n. {7)
De maneira análogn. podemos obter uma equação vetorial para unia circunferência
contida no plano xz ou yz. Também podemos obter uma equação vetotial para uma circun­
ferência contida em
um plano paralelo a um dos planos coordenados.
2.4.4 Exemplos
(I) Obter equações paramétricas da circunferência x
2
+ l -6x -4y + 4 == O no plano
z ::: 3.
·Para encontrarmos o centro e o raio da circunferência dada, devemos completar os
quadrados da equação x
2
. + / -6x -4 y + 4 = O.
Ternos, (x -3)
2
+ (v -2)1 == 9.
Usando (7), obtemos
x(t) = 3 + 3cost
·y(l) = 2 + 3sent
z{f) = J o ::; ~ 2rt.
A Figura 2.7 ilustra este exemplo.
-....
Figura 2.7
I'

27. I ~ ~
l ·-·· ~-f-Jn·
I ,o,''•
•· '
~ . ~ .
~ ~ .
. r,
I
I
. -·
~.
44 Cálculo C Cap. 2
(li) A equação vetorial
. .
r(l) = 2i + 3cost] + 3sent k representa uma circimferência. Detemlinar a corres-·
pondente equação cartesiana.
As equações paramétricas são
x(t) = 2
y(!) = 3cost
z(t) = 3sent o
~ t ~ 2rc.
Para detenninar a equação cartesiana, devemos eliminar o parâmetro t.
·I
'\'
•··(
. ,.
Elevando ao quadrado cada uma das duas últimas equações e somando-as, obtemos
·:·.
:i
::: 9.
Portanto, a circunferência é dada pela intersecção de y1 + .z
2
9ex 2.
2.4.5 Parametrização de uma elipse
Uma equação vetorial de uma elipse, no plano ..ty, com tentro na origem e eixos nas di~e­
ções dos eixos x e y (ver Figura 2.8) é
r(l) = acost i + bsent ], . o ~ t ~ 271.
. '
Figura 2.8
Cap. 2 Curvas 45
Consideramos um ponto P(x(t), y(f)) da curva. Traçamos um arco de circunferência de
raio
a,
c outro de raio b, ambos centrados na migem,
Marcamos, respectivamente, sobre esses arcos os pontos A de abscissa x e B de
ordenada y. Pode-se verificar que os pontos A, s· e a origem estão em uma mesma reta. O
parâmetro t representa o ângulo que esta reta faz com o eixo positivo dos x.
Do triângulo retângulo ONA, obtemos• x = acost, e do triângulo retângulo OMB,
y = bsent.
Se a elipse estiver centrada em (x
11
, y
0
) e seus eixos forem paralelos aos eixos coorde­
nados (ver Figura 2.9), sua equação vetorial é
r(l) :;: ro + li (t),
onde r
0 = x
0 i + y0j e ij(t) acost i+ bsent], O s; t ~ 271.
Assim,
rcn = (xu + acosr)i + Cvu + bsent)], O s; s; 271. (9)
y
Yo t b
Yo
y,-b
Figura 2.9
2.4.6 Exemplos
(i) Escrever uma equação vetorial da elipse 9.r + 4/ 36, no plano.)'.
Podemos reescrever 9x
2
+ 4y2 =· 36, como ..
..

28. ·:;
;•.
'>
. I
. ' ..
46 Ctllct•lo C Cap. 2
x2 .. /
-+ - 1. Desta forma, usando (8), ~scrcvemos
4 9
r(/) = 2cost T + 3sen/ j, o ~ I ~ 21t.
(ii) Esc r~ ver uma equação vetorial para a elipse da Figura 2.1 O.
Figura 2.10
Na Pigura 2. I O, observamos que o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos x e mede
6 unidades. O eixo menor é paralelo ao eixo dos y e mede 4 unidades.
O centro da elipse é o ponto (2, 1). Portanto, a equação cartesiana da elipse é
(X -2)
2
+ (y -1)
2
= :1.
9 4
Suas equações paramétricas são:
x(t) ;::; 2 + 3cost
y(l) = I + 2sent
z(l) = O
e então, a equaç~o vetorial é
r(/) = (2 + 3cosl)l + (1 + 2sent)],
o ~ f ~ 21t
0 $ I ~ 21t.
Cflp. 2 Ctm·as 47
2.4.7 Parametrização de uma hélice circular
A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superfície cilíndrica
>.~ + y1 = a
1
• Este fato pode ser visualizado como segue.
Consideremos pm·te da supelifcie cilíndrica .x
2
+ y2 = a
1
, como na Figura 2.11.
c
Figura 2.11
Enrolemos à volta da superfície um triângulo retângulo flexível ABC de modo que A é
o
ponto (a,
O, 0) e que o lado AB se enrola sobre a seção do cilindro no plano xy. A hipote­
nusa AC determina, então, sobre a supcti'ície cilíndrica uma curva chamada hélice circular.
Para panunetrizar a hélice, consideremos um ponto P(x, y, z) da hélice cuja projeção
no plano xy é Q. O ponto P se originou do correspondente ponto M sobre a hipotenusa A C.
A projeção de /vi é N e obviamente PQ = trft'v. Temos ainda AN = iQ = at.
Dessa forma, escrevemos
.r(l) = acost
y(t) ;::; asent
z(t l = PQ = AN tg C:l m tg e.
onde 9 é o ângulo agudo BÂC.
(
(
(
.. (
.(
I
( '
('
.~ I
(I
~
f
'

29. .,
I•
~ ·
~I
.il
l.:
48· Cd/culo C Cop. 2
Podemos fazer tg e = m e escrever a equação vetorial da hélice circ ular como:
r(l) = acosl i + asenl J + amt k.
{lO).
Observamos que (1 O) representa a equação da hélice esboçada na Figura 2.11, c .
portanto, m >-0. Sua forma lembra um parafuso de rosca à direit11. Poderíamos, de maneira'.
anál~ga , encontrar a equação vetorial de uma hélice onde 111 < O, cuja forma lembra um·:
parafuso de rosca à esquerda (ver Figura 2.12).
y
Figura 2.12
2.4.8 Exemplo
I
Representar graficamente a hélice circular r(l) = COSI i .j. SCll( J + tk para o ~ ~ 3n ..
Encontrar o seu vetor velocidade e o seu vetor açeleração.
Mostrar no gráfico os
-(97t) -(97t) vetores v
4
e a -
4
Já sabemos q ue a hélice circular dada neste c:(emplo se desenvol ve no cilindro ·
X
2+i=l.
Podemos tabelar alg uns pontos convenienteme~te (ver Tabela 2.1) e esboçar a curva
(ver Figura 2.13).
--
Tabela 2.1
r<n
o
(1, O, O)
rt/4 (.fi/2, h/2, 7t/4)
rt/2
(0, 1, rt/2)
1t (-1, o. rt)
3rt/2
(0,
-l, 31t/2)
' ' ,,
21t (1, o. 27t)
r'
I
31t (-1, o. 31t)
I
'
' '
'
'
'
'
'
'
'
I
'
'
Figura 2.13
O vetor velocidade é dado por
e o vetor aceleração
é Portanto,
dr
vul =
dt
= -senf i + COSI ] + k,
d\i
ã(l) =
dt
= -COSI i -S~lll j.
J2-J2--
\i(97t'4) = --i +-j + k'
2 2
·J2-J2-
ã(9nf4) = -2 i -2 j.
Os vetores v(9n:4) e ã(9n 4) podem ser vistos na Figura 2.13.
Cap. 2 Curvas 49
t
I
I
:I
,(
:c
l
;~,
I
!
l
il
!l

30. 50 Cálrlllc> C Cap. 2
----·---
2.4.9 Parametrização de u.ma ciclóide
. .
A ciclóide é uma curva que surgiu para solucionar dois problemas famosos:
(i) A deterrninação da f01ma de um cabo, de um ponto A a um ponto abaixo B, como mostra .'
a Figura 2.14, tal que uma bolinha sem atrito, solta em um ponto P entre A e B sobre o cabo, .::
. .'
gaste o ~1csmo tempo para alcançar B, qualquer que seja a posição de P.
(ii) A detem1inação de um único cabo que liga A a B, ao longo do qual uma bolinha escor-·,
regai·á de A a B no menor tempo possfvel.
A
/~ /
I' / '
; . -;' '
~ , .
p -
B
Figura 2.14
Esses problemas são resolvidos, considerando-se o cabo com a forma de meio arco .
de uma ciclóide.
A ciclóide pode ser descrita pelo movimento do ponto P(O, O) de um cfrculo de raio a, ·
centrado em (0, a). quando o cfrculo gira sobre o eíxo dos x (ver figura 2.15).
O X )
Figura 2.15
Quando o círculo gira um ângulo I, seu centro' se move um comprimento OT. Na
Figura 2.15 temos 01; = fP = at, CT =a. CA == acost e AP = asent. .
Cap. 2 Crm•as 51
Portanto, as coordenadas de P são
x = OT -AP = ai -asent "' a(l -senl)
y = ÀT = CT -AC = a -acost = a(1 -cost).
Essas equações são válidas para qualquer p Logo - · .
· • a equaçao vetonal da ciclóide é
r(l) = a(t -senl)f + a(l _ coso].
Quando I varia de O a 27t obtemos o primeiro arco da dei ''d
01 e.
2.4.1 O Exemplo
(11)
Escrever a equação vetorial da curva descrita pelo movi
1
d
men o e uma cabeça de pre<>o em
um pneu de um cano que se move em linha reta · 1 "'
' • se o raw uo pneu é-. 25 em.
Supondo que a cabeça do prego se encontre localizada no n
F
. 2 . .
t neu no ponto
P. conforme
1gura .15, sua tJ·aJetóna é uma ciclóide.
Usando ( 11 ). temos que
i'(l) = 25(t -scnt)l + 25(1 -cosi)].
2.4.11
Parametrização de uma hipociclóide
:a hipocic.lóide t! a curva descrita pe lo movimento de um ponto fixo P, de um círculo de
o b, que gira dentro de um círculo fixo de raio a, a> b (ver Figura 2.16).
a
p
-a
-n
Figura 2.'16
I!
I I
. I
('
11
!l'
~~
·JI
T ,'
I (
I I

31. . -~.I
52 Cálc11/0 C Cap. 2
Suponhamos que, inicialmente o círculo de raio b tangencia o círculo de raio a no
ponto (a, O) e que o ponto P é este ponto de tangência.
Para parametrizar a curva, vamos analisar a Figura 2.17, onde demarcamos o ponto P, j _
quando o ponto de tangência dos dois círculos é T. ·
Pela construção da curva, temos que os arcos Ar e Pr são iguais.
Portanto,
a
at =
ba e assim a = -t.
b
-a
Figura 2.17
Por outro lado, como P = PCD, segue que
p = (1.-t
a
-t-t
b
a-b
--f.
b
·.::
:'!
·.
\.:
.··
...
.. ~
.. ,
•J
'l
.!
Cap. 2 Curvas 53
Queremos detenninar as coordenadas x(t) c y(l) do ponto P. Temos,
X= OB + BM
= (a -b) cosi + bcos~
• (a -b)
= (a -b> cosi + bcos ---1·
b '
y = PM
= BN.
BC-CN
(a -b) sent -bsen~
= (a -b) scnl ~ bscn (a -b> 1.
b
Portanto, as equações paramétricas da hipociclóide são
X(/)
(a -b)
(a-b) cost + bcos ---1
b
y(tl = (a -b)-sent -bscn (a -b) 1.
b
A equação vetorial CO!Tespondente é
(12)
r(!) =-= [<a -b)cost + bcos (u : b) I ]r + [<a -b)sent - bscn (a ~ b) ( J}. ( 13)
Os cúspides ocorrem nos pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é
0
ponto P. Portanto, ocon·em quando
ou
at =
11 • 2nb
-b
t = n . 2rr
a
n = O, I, 2,
11 = O, I, 2, . . . .
Um caso particular muito usado é o da hipocic!Óide de quatro cúspides (ver Figura
·2.18) que é obtida fazendo b = ~. .
4

32. . i.
54 CálciiiO C Cap. 2
vem
Substituindo o valor de b ~em (12), obtemos
4 .
a
x = -(3cost + cos31)
4
(/
v = -(3sent -sen31).
. 4
Figura 2.18
Usnmlo as relações trigonométricas
eos3t = 4cos
3
t -3cost
sen3t = 3sent-4sen.1t, .
Assim,
uma equação vetorial da hipociclóide da Figura 2.18 é
dadn por
. ~
(.14)
r(t) ::: acos,~/ i + asen-'r ] , .' 1 e [0, 27t~ (15)
Eliminando 0 parâmetro 1 das equações (.14)/obtemos a equação cartesi ana desta .
hipociclóide, que
é dada por
3
213
xu-' + /' = a . (16)
Cap. 2 Cun•a.1· 55
2.4.12 Exemplo
Dada x",~ + y"·' = 2, encontrar uma equação vetorial desta hipociclóide. Encontrar o vetor
(
.fi
3./6)
velocidade e o vetor aceleração 110 ponto 4 • 4
Us:~ndo ( 15), escrevemos a equação vetorial
r(l) ::: 2./2 cos
3
1 f + 2./2 sen-'t ].
O vetor velocidade é dado por
dr
ii(l) ::: = -6J'i COS
2
/
Setl/ i
+ 6.fi sen
2
t COSI].
dt
O vetor aceleração é
di.i f:,' J I - {;; J ) -
ã(f) = = -6v'L (cos·t -2sen·l cost) i + 6v2 (2cos
2
1 scn1 . sen·r j.
dl
No ponto (~i,
3
J} temos que 1 = ~
Portauto,
-(1t) v-=
.3
3J6' 7 9./2-;
I+--;
4 4
e
2.4.13 Parametrização de outras curvas
Na seção 2.1 vimos que uma curva pode ser representada por uma equação vetorial. Exis­
tem mlii'lrs k>rmas de representação de uma curva. Por exemplo, o gráfico de uma função
contínua y =/(.r) representa uma curva no plano xy. A intersecção de duas superfícies
representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.

, .
I
. '
., I
I

; I
'
. (
:. (

33. ' :
• 56 Cdlcrilo C "Cap. 2
~------------ -------- ----
A seguir, encontraremos uma representação paramétrica para algumas curvas repre­
sentadas .~o~lO intersecção de duas superfícies.
2.4.14 l;xempl os
(i) Escrever uma equação vetorial para
y = 5x + 3 no plano z = 2.
Splução. A curva C que queremos parametrizar é a intersecção dos planos y = 5x + 3 e '
z = 2.
Fazemos
e então,
x(l) = 1
y(l) =51+ 3
z(l) = 2,
r(l) = 1T + <5t + 3>] + 2f.
Observamos que esta parametrização não é única. Também poderíamos ter feito, por .' .
exemplo,
e então,
x(l) = 21 + I
y(l) = 5(21 + 1) + 3.
z(l) = 2,
r<n = <2t + oi + <101 + s'>J + 2k.
(ii) A intersecção entre as superfícies z = x! +i e z = 2. + y determina uma curva. Escrever ·
uma equação vetorial desta curva.
Cap: 2 Curvas 57
Figura 2.19
A Figura 2.19 mostra um esboço da curva. Para parametrizá-la, obs~rvamos que x e y
devem satisfazer a equação
2+y= x2 + l
' + l-y = 2 x·
x2
+ (y-~y
9
= -.
4"
é
o fA'd ,3 (
que uma c1rcun erenc1a e ra10
2
e centro O,
curva sobre o plano .xy. Fazemos então,
3
X = -COSI
2
1 3
y =
2 +
2
sent
ou
ou ainda
_21) Esta circunferência é a projeção da
I E (0, 27t).
Sub~!l!uindo o valor de y na equação z = 2 + y, obtemos
I 3
z = 2 + -+ - senl.
2 2
l.
H
.ji
I
i
'!
I
(
i~
:]I
' ~
":1·
'i:
/o.
"j::

34. i:·
. _,
·-
58 Cdlwlo C Cap. 2
Portanto,
3 -( l 3 )-(5 3 . )-
r(t) = -COSI i + -+ -senl j + ·-+ -sent k
2 ? 2 2 2 I
E [0, 2nl
(iii) Representar parametricamente a curva dada pela intersecção das superfícies x + y = 2 e
x
1 +i + z
2
= 2(x + y).
Figura 2.20
A Figura 2.20 mostra um esboço da curva.
Neste. exemplo, é conveniente projetar a curva no plano yz ou no plano xz.
Projetando no plano yz. temo~
(2 -y)
1
+ / + ~~ = 2.2
4 -4y + / + / + z~ = 4
z2
(y -I )2 + -= L
2 .,
2
Logo, a elipse (y ·-1)
2
+ ~ = 1 representa esta projeção.
2
.,
..
;
·:~
:i
·J
.t
'<
·;;
~
--·---
· Usando (9), temos
y(l) = 1 + COSI
z(t) = .. ./2 sent t E [0, 2n].
•
Substituindo o vàlor de y em x + y = 2, encontramos
Dessa forma,
X(t) = 2 -(l + COSI)
= l -COSI.
Cap. 2 Curvas 59
r(t) :.: <1 -cost)l + (I + cosi)] + ..fi sent f, 1 E [0, 2nl,
é a equação vetorial pedida .
2.5 CURVAS SUAVES
Uma curva pode ter pontos angulosos. Vejamos dois exemplos.
(i) Seja r(t) = 6 + r
1
], -I ~ t ~ 1.
A Figura 2.21 mostra esta curv~ O ponto (0, O), cotTespoudentc a 1 =o, é um onto
anguloso. Observamos que r' <Ol = O. p
y
Figura 2.21
l
i_+ t]_· •
(ii) Seja r(t)
ti + i .
o ~ t ~ 1
,(
(
.I
(
I
.(

35. 'I I
'
I~ •
I
i!\:
•j.,
60 CdlcTt1o C Cap. 2
Na .Figura 2.Ú, temos um ~sboço destà curva. Podemos obse.rvar que o ponto (I, I)'; ··:
correspondçnte a 1 = 1, é um ponto anguloso e que a derivada r' (l) não existe.
y
t --------y-----,
Figura 2.22
Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulo_· -~
sos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tangente ún ica que varia continuamen~e ·;
quando se move sob re a curva (ver Figura 2.23).
i.
,!
;
Figura 2.23
Sempre que uma curva C admite uma parametrização r(l), t E I c 1/l, que tem·.
derivada contínua r' (I) e r' (I) -~; Õ, para todo 1 E 1~: C é uma curva suave ou regular.. :,
·.·
Unia curva é suave por partes se. puder ser dividida em um número finito de curvas :.
' .
suaves.
2.5.1 Exemplos
(i) Retas, circunferências, elipses, hélices são curvas suaves.
(ii) As curvas dos exemplos 2.5 (i) e (ii) são curvas suaves por partes.
(ill) A ciclóide e a hipociclóide são curvas suaves por partes.
(iv) A Figura 2.24 mostra esboços de curvas suaves por partes.
(a)
(b)
y ..
y
(c)
(d)
Figura 2.24
2.6 DEFINIÇÃO
Cap. 2 Curvas 61
a) Uma curva parametrizada r(l), I E [a, b].é dita fechada se r(a) = r(b).
b) Se a cada pont~ da curva con·esponde um único valor do parâmetro t (exceto quando
t =a e I= b), dtzemos que a curva é simples.
2.6.1 Exemplos
(i) A Fig~Q_a,! .25 mostra esboços de curvas fech~da ~ simples.

36. .,
·~ ·
~ .
62 Cálculo·c .. Cap. 2 __ ;__ _____ _
;~_
Figura 2.25
··,
(ii) A Figura 2.26 mostra esboços de curvas que n ão são simples.
,,
Figura 2.26
2.7 ORIENTAÇÃO DE UMA CURVA
I
Se um ponto material de.sloca-se sobre uma curva suave C. temos dois possfvcis scnlitlos de ~
percurs~. A escolha de um deles como sentido positivo, define uma orie ntação na curva C. l
Suponhamos que a curva C seja representada por
r(/) :: X(/)'[ + y(l)j + z(l)k , I E [a, b}
Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C, o sentido no qual a curva é.
traçada quando o parâmetro 1 cresce de a até b (ver Figura 2.27). O sentido oposlo é
chamado sentido negativo sobre C.
E 3
.,
a
'·
b
X
Figura 2 .27
..
SDI$W666
--'-------C..:..a
2
p..:..·.:._2 C!m•as 63 (
De acordo com nossa convenção, sempre que uma curva sua c é .
ve 1eprcsentada por
r(f) :: xcnT + y(f)] + z(t)k • I E [a, b ],
C é uma curva orientada e o seu sentido positivo de perc
11rso é 'd d
• · o sentt o os valores
crescentes
do parametro 1.
Se uma curva si mples C é suave por partes llOdcmos
0
.·
1
' 1 ·
, . • uen a- a, como mostm a Figu-
ra 2./.8, oncutando cada parte suave de C.
y
-~/.
-~-- -----~
Figura 2.28
2.7.1 Definição
Dada uma curva orientada C, representada por
'--.,
. I
r(t) == x(t)i + y(l)] + z(t)k t E [a, b) ;
'.I
·-I
tI

37. 64 Cálct!lo C Cap. 2
.·,f
a cu~a -d é definida como sendo· a curva C com orientação oposta. A curva -C é dada'
por
r -m = r<a + b -n
·= · x<a + b -nT + y<a + b -n] + z<a + b -nf
2.7.2 Exemplos
I E (a, b ]. 'l
~~
i
.f
;j
'!'
i
·:~
(i) Na parametrização da reta do Exemplo 2.4.2 (ii), o sentido positivo de percurso é do ~
ponto A para o ponto B. )
.~
(ii) o sentido positivo de percurso sobre uma circunferência parametrizada como em 2.4.3, ·1 ,
é o sentido anti-horário. :;
._:
(iii) Parametrizar a circunferência de centro na origem e raio a no sentido horár io.
Solução. Queremos a curva -C, onde
C: r(t) = acoslí + asentj, 1 E [0, 27t}
Pela definição 2. 7.1 , temos
-c: ;:-<n r (O + 21• -n ..
;
= acos(27t -nT + asen(irr -n].
--
= acos i -asenl j, (E (0, 27t}
A Figura 2.29 ilustra este exemplo.
·l
';
• •f
Figura 2.29
,·:
Cap. 2 Curvas 65
(lv) Parrunetrizar o segmento de reta que une o ponto A(O, O, 1) ao ponto B(l, 2, 3), no
sentido de A para B.
Conforme 2.4.1, a reta que passa pelos pontos A e B pode ser parametrizada por
r<n = ã + 1E.
Podemos escolher o vetor posição ii = (0, O, 1). Como queremos o segmento de
reta de
A para B, o vetor direção
b é dado por b = (I, 2, 3)-(0, O, 1) = ( 1. 2, 2).
Temos então,
r<n <O. o. o + 10, 2, 2)
= (/, 2t, 1 + 2t).
Precisamos determinar o intervalo de variação do parâmetro 1.
Como o vetor posição do ponto A é (0, O, 1), o correspondente valor de 1 satisfaz
(1, 2t, 1 + 2f) = <0, O, 1).
Portanto, t = O.
No ponto B, temos
(1, 2t, 1 + 21) = (1, 2, 3) e conseqUentemente, t = I .
Uma equação do segmento de reta que une o ponto A ao ponto 8 é dada por
r<n = (t, 21. 1 + 2n
A Figura 2.30 ilustra este exemplo.
3 '
',, [l
I
I
c:
1 A. :
I I
1 ~------j, ,'
Figura 2.30
I E (0, lJ
(;
11 .,
'1
tr
.1
1'
!I
!'
jl
il
•:· ...

38. ::
: ..
!
r
66 Cá/clt/Q C Cap. 2 1
· ..
·~ .,
. -~
Observamos que sempre que queremos parametrizar um segmento de reta com onen--~
. ~
tação de A para B, podemos tomar o vetor ii como sendo o. vetor posição do ponto A e o i:
vetor direção b como B -A. Neste caso, o parâmetro r terá uma variação no intervalo -~ .
[O 1]. · · ~
I ~
.• 1
Sempre que nos r~ferimos a um segmcnio que une o ponto A ao ponto B estaremos :.
(~
entendendo que o sentido é de A pura B. -~.
~ .
(v) Paramctriznr o segmento de reta que une o ponto (1, 2, 3) uo ponto (0, O, 1) (ver Figura i·~
.f
2.31). .:
Fazemos r (I) = ã + tb, onde ::
..
ã "' (1, 2, 3) -;.,.
Tt~mo s,
b = (0, o. I) -'-(l, 2, 3)
= (-1, - 2, -2}
3 -
'•,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
"" I '/
-'-,------r-----
1 I ,' ________ .J,
Figura 2. 31
;: (/) = (l, 2, 3) + 1(-1, - 2, .:. 2)
= (l ·-I, 2 -21, 3 -21): E (Q, Jl
Também poderíamos ter usado o resultado do Êxemplo (iv) e a definiçüo 2.7.1.
De fato, como
r u> ~ u. 2r, 1 + 2n. I E (0, 1),
. ,
1:
i
...
Cap. 2 Cun•as 67
;:-co = ;:co + 1 -n
= (l -1, 2(1 -1), 1 + 2(1 -/))
= (1 -I, 2 -21, 3 -21), ·r e [0, 1).
2.8 RETA TANGENTE
Seja C uma curva suave represen!:lda por
r{J) := X(/) r+)'(/) l + z(l) k, I E (a, b).
Sejr. P (x11• YU' z) um ponto de C c 1
11
o con·espondente valor do parámetro t. Conforme
vimos em I .9.3, o vetor ;:' (t
11
) é tangente à curva C em P .
Portanto, uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto P, é dada por
(j(O)) = r(t
11
) + Wr' (t
11
) , onde ü) é um parâmetro real (ver Figura 2.32) .
Figura 2.32
2.8.1 --Exemplos
(i) Determinar a reta tangente à curva
r(tl = 2cost r + 2sent ] , no ponto P( Jf J2).
('
,.
·I , ...
(I
(

I

39. 68 Cd/culo C Cap. 2
Temos,
rUJ = 2cos1 T + 2sent ] ;
r' <tJ = -2sent T + 2cost ].
Para obter o valor de 1
0
, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas·:?
da curva, que são dadas por
No ponto P ( Ji, ..fi), temos
1t
Portanto, 1
0
=
4
x = 2cost
y = 2sent.
.fi = 2cost
0
.fi = 2sent
0
•
A equação da reta tangente. será dada por
(
1t -1( -)
= 2cos .
4
i + 2scn 4 j
(
1t - 1t -)
+ co -2sen '4 i + 2cos 4 j
= ( Ji -.firo) T + (.fi + .Jiw) ].
A Figura 2.33 ilustra este exemplo.
Figura 2.33
. . :
•. ~ ..
:. ~
.. :,
.. '
• •• !-
.' ·:
'
.:.:
l
. 1
. "
. ·1
·}
Cap. 2 Cravas 69
(li) Determinar a equação de Ullla reta T, que passa no ponto ( l, 0) e é tangente à curva C
dada por
ru> = 1
2
T + t) J . t ~ o.
SoluÇão: Para I> O, o vetor r' (t) = 2t T + 31
2
J é tangente à curva c.
Portanto, como a reta T passa no ponto (I, 0) ·e é tangente à curva C, ela pode ser
representada por .
q(roJ = O. O> + {2t, 31
2
)ro
= (I + 21w, 31
2
(l) ) .
Precisamos determinar o valor de t. Para isso, observamos que, no ponto de tangência,
os vetores r(t) e q(W) coincidem. Assim, temos
t
2
= I + 21ú>
I) ::: 31
2
00.
Resolvendo o sistet!)a, obtemos 1 ·= ±JJ. Como i:(l) é definida para 1 ~O, o valor
procurado é 1 = +J3.
A equação da reta 1 é dada por
q(rol = (1 + 2J3 w, 9ro).
A Figura 2.34 ilustra este exempl o.
Figura 2.34

40. ' I
!: .
I,
}·.
:; i
,.
.:. ~
:1 ••
.·.!
.i
·.1.
i .
. .
,.
70 Cálctllo·c Cap. 2
---------------·----
,
2.9 EXERCICIOS
i ,.
~
'
...
1. Esboçar o gráfico da curva dcsctita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro I r,f
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos ig
' :. ~
itens: •
. '
-
a) x = 2cosf
y = 2senr, O :c:; f ~ 21t
-b) x = 4cost
y :-: 4scnf
z = 2' o :c:; t ~ 21t
c) x = 2 + 4sent
y = 3 -2cosr, O ~ t :c:; 21t
d) X = ( + 1
.. --2 . -oo < I < + oo,
2. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:
a) i:cn =(~f, 3t + s)
b) ru> = (f ..:. 1, r
2
-2r + 2)
. ( ' 2 '
c) r (f) = s· -!, s + l. 2 }-
..
3. Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma.:
equação vetotial para cada uma.
a) x
2
+ / -2x + 5y -· 3 = O
b) x
2
+ / -6x + 8y = O
c) x
2
+ l + Sy -2 = O.
~
SD$W666
4. Identificar as curvas abaixo e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico.
a) 2x
2
+ 2/ '+ 5x + 2y --3 = O
b) 2xz + 5./ --6.r -2y + 4 = O
c) x
2
+ 2/ -4x -2y = O
d) x
2
-
8y
+ 4 "' O
I
c) \' ---= O, x > I
. X-I
5. Ver.ificar que a curva
Cup. 2 Cun·as 71
r(t) :-: 3cosht i' + 5senht ] é a metade de uma hipérbole. Encontrar a equação carte­
siana.
6. Determin~tr uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A. na direçiio
elo vetor b, onde:
a) A( 1, i-, 2) e /J = 2i' -j
b) A<O, 2> e b sT -J
c) A(-1, 2, Ol e E = si -2] + 5k
d) A(J2. 2. J3) e ,; = si-3k.
-..
7. Determinar umn representação paramétrica dfl rt:ta que passa pe los pontos A e B.
oucle:
~) t(2, o. ll <: il(-3, 4, 0)
ll) A(s. _,, ... ;n c uw, o, 2>
c) AfJZ. I, ~) e IJ(-7, ~. 9)
d) A( n:, ~- , 3) e B(n. -l, 2)
(

41. ·:
72 Cálculo C_ Crrp. 2
· 8. Det~rminar uma representação paramé'!ica da reta representada por:
a) y = Sx -1, z = 2
b) 2(..· :... 5y + 4z = 1, 3x -2y -5z = 1
c) 2x -5y + z = 4, y -x = 4.
9. Encontrar uma equação vetorial das !'>cguintes c.•Jrvas:
a) x
2
+ l :.: 4, z = 4
b) y = 2x
2
, z = x
3
c) 2(x + 1)
2
+ l = 10, z = 2
g) SegmcntoderetadeA(2, 1, 2l a llC-1. I, 3)
h) Circunferência de centro em (2. 21 c raio 2 no sentido anti-horário
i) Circunferência de centro em (2. 21 c raio 2 no sentido horário
j) Segmento de reta de C(O, O, I) a !>(I, O 0)
k) Parábola y = ±-h, O ~ x S l
I) Segmcntode.retadeA(l, -2. J) a B(-1, O, -1)
m) y = x
3
-7 x
2
+ 3x -2, O S .r ~ 3
n) X + J + Z = 1, Z = X -2)'
o) x
2
+ l = 1, z = 2x -2y
1 2 2 2
p) x-+ )' + z = y, z = Y
q) Segmento de reta de E(3, 3, -~) a F(4, 5, -2).
-.. ~
_.:'
Cap. 2 Curvas 73
1<10. Esboçar as curvas seguintes, repr~s .entando o sentido positivo de percurso. Obter uma
, parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário. ·
a) r(f) = (2 + 3cost, 1 + 4sent), I E (0, 27t)
·b) rcn = u. r + 2, 21· + 1), .t E co. 11
c) r(t) = (21 -1, 2t + I, 4 -2(), I E (1, 2)
d) rcn = (1 -1. r
2
-2r + 1 ). r E [ -1, 21
e) r(t) = u -scnt. 1 -cosi), I E [0, 27r]
f) r(t) = (I + COSI, 1 + scnt, 21), I E [0, 41t)
g) r(f} = (2cos
3
1, 2senJt), I E [o. ~].
11. Dctenninar uma equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a) r(t) = (COSI, 2senl); ~1(1, 0); ~( ~, J2)
b) z = 4·-x
2
, y = 2; P
0
(1, 2, 3)
c) r(l) = (2cost, 2senl, 4~); ~.(1. ·?-~: J3, -:7t)
d) rcn = 1
2
i + r'j; Pc,(4, -8)
c) r(t) = (cosi, sent, t
2
); lo = ~
2
f) r(t) = (2cost, 2sent, 31); lu
g) -c r(l) = /'
I , )
(' r ; lu = 2
'-.
h) ;=cn; (e]''
e-Jt,
3./21); 1
0 = o
7t
3
. :
.,.
r,
t~
...
;~
111
:?
I!·
'i
h.
'.·

42. .. .
--~~
-----~
~ -
~
·H
74 Ct1lc111o C Cop: :!
.12. Dctr:rmjnar a equação de urna retas que é tangente à curva
r(/} = (t, -
1
-). I < 1 c passa na origem .
.. I -1 ·
13. Se r (I} ::; (t, 1
2
I /)) para todos os reais I, determinar todos os pontos da curva descri-}.
ta por r(l) nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor (4, 4, 3). Existem alguns 1-
·.!(
1:{
pontos nos quais a tangente~ perpendicular a (4, 4, 3)?
14. Determinar a equação da reta tnngente à curva
r(l} = (a~ost, asenl, bl) em um ponto qualquer da curva.
15. Detemlinar os pontos em que a curva
r<n = (t
2
-l)i + (1
2
+ 1)] + 3t k corta o plano 3x-2y-z + 7 =o.
16. Verificar que a curva r(l) = tcost i +·tsent] + tk, r ~ O está sobre um cone.
17. Verificar quais das seguintes curvas são suaves:
- ,-;-")-:
,,, a) r(f) = ,. 1 + ,-J, t E [ -1, 1]
·'
·\o
b) r(tl = r
3
T + t
2
], t E [~. 1]
·-
c) r(l) = 2(1 -seniii + 2(1 ..:. cosi)], 1 E [TC, 3n]
d) r(/) = (3cos 3sen.\1), I E [%, ~]
e) r(/) = (2cost, 3senl}, I E (Q, 2n:}.
18. Verificar que as equações vetoriais
r(ro) = (o), 0)
2
), 2 ~ ro ~ 3
e r(f) = (.fi, I). 4 ~ t ::; 9
representam a mesma curvH.
-~
~:
··.~
.)
·;·i·
;·~
.... ~
J
·,i i
fi
.,
·,
,.
-~~;
:·;•à
,
... 1
2.·10 · COMPRIMENTO DE ARCO
SejA C umá curva dada pela equação vetorial
r(t) = X(f)f + y<tJ] + z(t)k, I E (a, b}.
Vamos calcular o comprimento e de um arco AB, com
1
E [a, b}.
Seja
P: a = lu < t, < t1 < ... < 1,._, < I
- - i < ... < 1, = b
Cap. 2 Curvas 75
uma partição qualquer d.:: [a, b]. Indicamos por e
0
· · , compnmento da poltgonal de vénices
A = P,, = r(tu). IJ = r{t,). ... , B = P = r(t )
' 11 , •
Então,
..
e. = I jr(t;) -r(t;_, )i
i ::ri
. :.
(I)
Na Figura 2.35 visualií'.amos uma curva C, onde a poligonal foi traçada para n =-6.
Figura 2.35
I
I' ' I
;,

43. .j I
,,
!'I
I. ...
'i'.·
r·· I
' .
,.!.
! !':·.
1!.
I.
76 Cdlculo C Cap. 2
~
Intuitivámcntel podemos aflrmar que se o limite de e" quando n 4 oo existe, est~ .·
limite define o comprimento e do arco ÂB da curva c, ou .seja,
e = lim e,,
(2).
mtfJ ót
1
-JO
Se a curva C é suave, podemos encontrar uma fórmula p ara calcular o limite de (2): .~
Temos o seguinte teorema.
2.1 0.1 Teorema
Seja C uma curva suave parametrizada por r(t), a ~ 1 ::; b. Então,
J
"
"
~~
(3) ~;
. I e = a Ir' Ull dt.
(.'
Prova. Para provrumos este teorema, vamos utilizar o seguinte resultado cuja demonstra-;
'"
ção será omitida. ·;
'
"Se as funções x(t), y(t) e z(t) são contínuas no intervalo (a, b], e se Pé uma patiição:;; ..
do intervalo [a, b] (P: a = t
0
< t
1
< ... < f
1
_
1 < f
1 < ... < f, = b), e t;, I; e I; são i
.:i·
números quaisquer em (f;_p f;), então
11
litn 2:
i DI
=: r ~[x(l))
2
+ [y(fl]
2
+ [z(l)f dl ...
:i
\:
·'·
~
.,
.:
(4h
't
·
Se C é uma· curva suave em [a, b], temos que x,;, x(l), y::..: y(t) e z = z(t) são funçõe(j
deriváveis em cada su~int ~rva lo (1
1
_
1
, ti] da partição P. Assim, pelo teorema do valor médio,J
existem números t;, t; e t1 em (t
1
_
1
, ti) tais que · ~
.7.
x(t;) -x(1
1
_
1
) = x' (t;} b.t
1
y(tl)-y(t;_,) = y' (f;) b.t;
z(f
1
)-z(t
1_d = z'U;)b.t1
·:.
Cap. 2 Curvas 77
Substituindo (5) ein (1) e (2), obtemos
e
(6)
e
= lim
n'h 6t;-J0
Usando (4), escrevemos
e = r ~[x' (1)]
2
+ [y' <tlf + [z' cnr dt
f
" = Ir' <nl dt,
"
que é o resultado procurado.
Se a curva C é suave por partes, seu' coinprimento é dado por
e = f Ir' <nldt + J:' Ir' <llldt + ... + (Ir' <nldt,
onde [a, t,], [r,, 11], ... , [1._,. b] são os subintervalos,de [a, b] nos quais a curva C é suave
. .
2.1 0.2 Exemplos
(i) Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é
r(/) = ti + t
21
·'}, para l ::; t ::; 4.
Temos,
.. , ';' 2 -
r <ll = , + -r'JJ i
3

44. I ..
.. :,
·78 Ctílculo ç: Cap. 2
=
Aplicando (3), obtemos
e = -~ J
4
(91
213
+ 4)"
2
,-In di.
3 I
b · · • f do 11 -91w ~ 4 Esta integral pode ser resolvida por su stttmçao, a zen -· ·
Temos,
l
"13 )V2
l (91" . + 4
=-
3 6 3/2
= _!_ [(9.411.1 + 4)J/2 -(9.11/.1 + 4).112]
27
= ..!... ((1s ifi + 4}
312
-13m}
27
(ii) Encontrar o comprimento da hélice circular
r(t) =(cosi, senl, 1) do ponto A(l, O, 0) a B(-1; O, 7t).
Temos que
r'(/) = (-senl, COSI, [)
= .J'i .
'f
·' .. ,
"
I :~
.;
·) T
.··r
...
Cap. 2 Cun•as 79
Para A(l, O, O) temos 1 =O e para B(-1, O, 7t) temos 1 = rc.
Usando (3), obtemo):
e = in J2 dl
11
= n.Ji.
2.1 0.3 Função comprimento de arco
f
'·
Na integral e = . ir' (IJI dr, se subl:itituimos o limite superior b por um linúte variável
<I
1, 1 E[~ . b], a integral se transforo~1a em uma função de t.
Escrcv~mt)S,
s<n = J' Ir' {t' )! dr'.
<I (7)
A função s = s(r) é chamada função comprimento úe arco e mede o comprimento de ,/
arco de C no intervalo [a, r]. ql) S. : c,{í ·á."
1
t&tÚ /lVI /1..lvh{. ;1&' ~·:Gi(; cli
1
IJ' /~{"-..
c{. Uv?l·7' C<YIIlt.yw•v-/t •• Ü o. .;) ~ o ;w(/f, .l)l/1 .Mt<;.Ü. 1~ :. :/1 /:'1:.
1
.
,, cv[t(/t/.-
11
;, [fl.w{~:r ­
_rvt6vf. o-. :o
1 oW-o, .1)
: JdJJ, },Jin'{}'JV/io~.
2.10.4 Exemplos · ··
(i) R~crcver a funçiio comprimento de arco da circunferência de raio R.
Vamos usar (7), observando que o limite inferior de integração a, pode ser substituído
por qualgue.r outro valor /0
, t
0 E {a, b], islo é, o ponto da curva correspondente as= O pode
ser escolhido de maneira arbitrária.
1
J " j ..., 11 c.·,..., f ·' lí, lÃ
r1
1
( : • n J\<"' ) J. /I VJ J / -((:__o_·_ I
1'!-lrtt/r, IIV!~ -J- :Jl,.i r, .,~J; J):flrnj ·í{ /r
&~(J.J)~ 'íi I f)(f): 1?. r/
= Rt, onde usamos r(l) ::: Rcost T + Rsenr]. ~
Escolhendo a = O, temos
f.
J •
s(f) = R dr
11
(ii) Enconlrar a função comprimento de arco da hélice circular
r(/) "' (2cost, 2senr, f).
, .
. ,.

45. r':·.
\:
I"';
80 Cdlculo C Cop. 2
Vamos novamente usar (7) c escolhér a = O. Temos,
2.10.5
s(t) = f' J5 dt'
Jo
= J5 t.
Reparametrização de curvas por comprimen'o de
arco
t•
"'
;~
... ·ll
., 1.
É conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como parâmetro o comprimento dej
arcos. ; .]
·)
I·;;
'"
'•
Para reparamctrizarmos uma curva suave C, dada por
r(t) = x(t)f + y(t)j + z(t)k, I E (a, b] (8) t
-~
procedemos como segue.
(i) Calculamos s = s(t), usando (7).
(ii)
Encontramos a sua inversa t = t(s),
O :::; s :::; e.
(iii) Finalmente, reescrevemos (8) como
h(.s) = r(t(s))
:::: x(t(s))f + y(t(s))] + z(t(s))k , .. o :::; s :::; e.
····~
Temos então, que h(s) descreve a mesma curva Ç que era dada por r(t), mas com,_·
uma nova parametrização, onde a variável s; o :::; s :::; e. representa o comprimento de:~
'
arco de C. ?·.:~
2.1 0.6 Exemplos
(i) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva
C: r(t) = (Rcost, Rsenl), O :::; t :::; 2n.
A função s = s(t) já foi calculada no Exemplo 2.10.4 (i).
.:L
.;
SDI$W666
~-7-- -------- ----------------------------------~C~a p~.~2~~C~z~zr ~va~s~81
Temos,
s = s(t) = Rt.
Er.ta função é uma função linear, cuja inversa é
Portanto,
I = t(s) = .:_
R'
O :::; s :::; 2nR.
- ( s ) /z(s) = r(l(s)) = Rcos-R s O <
. R ' sen R • -s :::; 2rrR, é a rcparametrização da cir-
cunferência dada.
(ü) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por
r(t) :::: (e'cost, e'sent), t ~ o.
Vamos calcular a função comprimento de arcos= s(t).
Temos,
e
Logo,
r' (t) = (e'cost -e'sent, e'cost + e'sent)
Ir' <nl = .fi e'.
s = s{t) = f' li e'' dt'
Jo
= .fi (e' -1).
j
.JJ:: V1-(-\''2.
- .-/" J
Podemos escrever
JJ tV'2: )Z f
1 = t(s) = ln(s + .fi)
.fi'
s ~o
I ',•
.·
I
.,
.,
.~ ·

46. :I
. '
1 í
'·.
i_;
. i
~
. I
i;
• I f
82 Cálculo C Cop. 2
---------------------
e então.
J, ••
(iii) Dada uma curva C representada por r(l), mostrar que se Ir' (I li =
tro t é o parâmetro comprimento de arco de C.
De acordo com (7), temos
Como r' (t) = 1, vem
s = s u> = f' r' (r·) dr •.
Ju
f' •
s ~ ), dt
. 11
= f.
O parâmetro t é o p·artltrÚ :~tro · comprimento de arco s, de C.
(iv) Vcrilicar que a curva
-( s 2s)
C: h(s) = .fs , J5 . s ~ O
está paramctrizada pelo comprimento de arco.
Basta aplicar o resultado do exemplo anterior.
Temos,
h' (s) (}s i).
~L~Y + ('JsY
Jr:1
= L
:;
1 , então o parâme-··:
);
·;..
..
·!:'
.'
. ,:
/;
·.·
'}.
Portanto, a curva C dadn tem como parâmetro o comprimento de arco.
Cop. 2 Cun•as 83
(v) Seja C uma curva suave reparametrizada pelo compr
1·m t ti ·
- _ e:n o e arco. Mostrar que C é
representada por h (s), então jlr' (.flj = 1. • se
Temos,
/~(s) "' r(l(s)).
Usando a regra da cadeia, vem
1
-, (' ) -, dt
1 s =r (t(s)).--.
ds
C ( )
, · ds
_omo t s e a tnversa de s(t) c dt = Ir' (t)l ternos que
dt
-----
ds Ir' (t(slll ·
Substituindo em (9), vem
I~' (s) "' l' (l(s))
ir' <t<s>ll ·
Pottanto,
ji;• (slj = I~' (l(s)) I
Ir' (t(slll
= I.
2.11 VETOR TANGENTE UNITÁRIO
(9)
Dada uma curva suave C, queremos encontrar, em cada ponto de C
curva C, que seja unitário. • um vetor tangente ?I
Em ·1...2:2• vimos que se a curva C é representada por
r(t) = (x(l), y(t), z(t)),
0
vetor ;=• (I) é tangente à curva C.
r
.,

47. I
I
i
I
f.
~' ;
·i
\.I
' .
:.
,.
...
84 Cálculo C Cap. 2
O vetor
- r' (I)
11(1) = --
Ir' <nl
(I) .
.:ih
~
é denominado vetor tangente unitário à curva C. :Jf.
Por outro lado, no Exemplo 2.10.6 (v) vimos que quando C é representada por J
h(s) = (x(s), y(s), z(s)), onde sé o parâmetro comprimento de arco, Ih' (s)j = I. Assi~l, '1
neste caso, o vetor tangente unitário é dado por j
ii(s) = ÍÍ' (s).
2.11.1 . Exemplo
~
{2) ~­
d
:~
t
·J: ...
·.~
Encontrar o vetor tangente un.itário à circunferência de raio 2, centrada na origem, no ponto ··h
P(h·h) 1
J • ..~ .,.
Uma parametrização dessa circunferência é 'dada por
Usando (I), temos
r(l) = (2cosl, 2senl), 0 ~ I ~ 2n.
-. r' u>
. u(l) = --
Ir' Clll
(-2senl, 2cosi)
2
= ( -senr, cost).
. r;:; r;:;) . n; --(n;) ( h
Par~ Pl v2, ..;2 ,,temos que I =
4
. e entao u 4 = -2,
gente unitário à curva em (.fi, F2).
•'
·i
.:'t
l!
·!
" ~~
'f
•
:1-
:r.
. .f
;
\~
r;:;) t ..;2 '·
- é o vetor tan; ;,.
2 '" :J :.
,.
Poderíamos também chegar a esse resultado u~ando (2). Fazendo a reparametri zação •. V
usando o comprimento de arco s como parâmetro, vem . :~
·.·.
· .. ·
Cap. 2 C11fV1U 85
-r·. Temos,
Ü(s) = h' (s)
= ( -sen i , cos i) .
No ponto P( ./2, J2) temos s = !: e então
2 '
2.11.2 Proposição
Seja C uma curva suave dada por,; (s) onde sé A •
- , o parametro compnmento de arco d C S
u(s) é o vetor tangente unitário de c c ii' (s) ~
0 1
-
-,
é _ e · e
para o lado côncavo de
c. 'en ao
11
(s) ortogonal a u(s) e aponta
Prova parcial. Provaremos que ii'. (r) é ortogonal -( ) . .
zação geométrica de -, ( ) . ' a 11 s e a segutr daremos uma visuali-
que u s aponta para o lado côncavo de C.
Desde que ii = ii(s) é unitário, temos
liil = I
Jii. ü = 1
ii. ii = 1.
Derivando, obtemos
. ii' . ii + ii . ii.' = o
2ii'. ü = o
L
'---:.,
ogo, u é ortogonal a ii .
ii'. ii = o.
.
(
S S)
. 'j'l. .
/r(s) = 2cos -
2
, 2sen -
2
. · Q, · ··
·1:::/.
:~
·~ .i
;~ .. " .
.. j};·::

48. • j
·'.
·s6 Cálculo.C Cup. 2
Para·veriticar que ii' (s) aponta para o lado côncavo de C, vamos analisar ge.ometrica­
niente a expressão
ii(s + Ó.S) -ii(s)
ü' (s) = lim
lu-tO ÓS
Ob.~ervando a Figura 2.36(a), vemos que para ós > O, o vetor óii = ii(s + ós) -ii(s) ··
11
I
~ d I" . I Mi ··•
aponta para o ado concavo e C. Como ó.s > O, o mesmo ocorre com o unlte c e -
l:ls ··;
quando lls ~ o·. -~
Para ós < O, o vetor óii aponta para o lado convexo de C (ver Figura 2.36(b)) ...
, ~ A~ f
Porém, como ór é negativo, o vetor-aponta para o lado oposto de UJI. Desta onna, o ··
ó.s
o d ó.ii d A " o I d õ d c o.
linute c -quan o = ~ -aponta para o a o c ncavo e .
ós
Concluímos assim, que ii' (s) aponta para o lado côncavo de C .
(a)
(b)
Figura 2.36
2.11.3 Exemplo
Seja C a hélice circular dada por r (I) = (2cost, 2senf, .J5 r). Representar geomcuica·· :;
mente o vetor tangente unitário ii(t) e o vetor ii' (t) no ponto P( .fi, Ji, ~1t). .:
··;
,';
-------'--__ __:c~·a'!!.p. 2 Cwvas 87
---
Temos,
e
iíU> = . r' cn
li" (t)j
= (-~ senf, ~ cost, ~)
-, ( 2 2
11 (I) :: --COS( -·-Se!lf
3 ' 3 ' o).
O valor de f correspondente ao ponto pé f _ Tt p
. -4 . 01tanto, nesse ponto, temos
c
-, (~) -(' J2 -Ji )
I( 4 --3 > -3-I o •
A Figura 2.37, mostra os vetvres ií e ii' encontrados.
Figura 2.37

49. 88 Cdlcillo C' Cap. 2
•.
t
2.12 ':CURVATURA ... :j
A Figura 2.38 mostra duas curvas C, e C
2
, onde representam~s os vetores tangentes unitá-·~
rios em alguns pontos. · · }{
~
c,
:..-
•.·.
Figura 2.38 _j.
t~
Podemos observar que na curva C
2
, a direção do vetor tangente unitário varia mais ;:
rapidamente quando nos deslocamos sobre a curva. Temos a seguinte definição: ;,Í'
-.. ~
• ..
-··-
·'
2.12.1 Definição
·-;
Seja C uma curva suave dada por h(s), O ~ s ~ e. Definimos a curvatura de C em um.;í
-:,
ponto como -~~
k(s) = \ii' (s) (1) -~
.)
ou
k(s) = jh" (s)J.
.. _ ..
; t
A expressão (I) nos diz que a curvatura é a taxfi de variação do vetor tangente·::_.
unitário ii(s) em relação ao comprimento de arcos. Como este vetor não varia em int ensi-.:i
.':f
dade, ela exprime a razão de variação da direção do vetor ü (s). Assim, geometricamente, ?-J
. ':1
podemos dizer que a curvatura k(s) nos dá a razão de variação da direção da tangente,_;r
·.<
quando esta se desloca sobre a curva.
2.12.2
"'
Proposição
;::
·u
'•.
f
:l
·.·t-
'f~
Se uma curva suave C é dada por r(t): onde t é um parâmetro qualquer, sua curvatura pode~
ser expressa por }
(;~ ;
~
·' : .. ·
~: l .
::~ .·
' <r> x r" u>i
k(t) == .
' <t>\3
Cap. 2 Curvas 89
Prova. Sejas o parâmetro comprimento de arco de c e
1
-; --( )
• -u s o vetor t angente u · .~..:
Podemos escrever, . Dlt.<UlO,
r' (t) == dr ds == ii ds .
ds
dt dt '
r" (t) == !!..._ (ü ds)
dt dt
dii
==-
dt
dii
ds
-, ( (ds)
2
_ d
2
s
== 11 s) dt + u(s) -·
dt2 I
r' (f) X r" (t) = Ü(s) ds X [ii' (s)(ds)2 + Ü(s) d2 ~J
dt dt dt'
== ( ~ Y [Ü(s) X ii' (s)] + ( ~; ~::) [ii(s) x ii(s)]
(
ds)
3
= dt [ii(s) x ii' (s)];
Ir' (I) X r" (1) == l~;r lr/(s) X ii' (sll;
ds
Como --= Ir' <tll vem
dt '.
Ir' <n x r" <nl = Ir' U>f lii<s> x ii' <s>l
= Ir' (1)1
3
lü<s>llii' <s>l sen e,
onde e é o-.A,n~ulo formado por ii(s) c ii' (s).
: .. ~ · Como lii(s) = I, Jii' (sll = k e ii'. (s) é ortogonal a Ü(s) (ver Proposição 2.11.2), se­
gue que
kU> = Ir' <n x r" <nl
I
r' <nl3

50. 90 Cd/crtlo C Câ p. 2
2.12.3 · Exemplos
(i) Calculai· a curvatura da circ~nferência
C: i'(t) = (a COSI, a sent), I E (0, 2Jt) ·
Usand~ os resultados do Exemplo 2.10.6 (i), escrevemos
C: h(s) = (a cus;, a sen ;).
onde s é 0 parâmetro comprimento de arco.
Temos, então
ii(s) = h' (S)
= ( -sen ; , cos ; ) e
ii' (s) = (-.!.. cos ..:_ , .:.!. sen ~}
a a a a
Portanto, a curvatura de C é dada por
k(s) = lii' (s)j
=-
a
(ii) Encontrar a curvatura da parábola r(t) = (1, 1
2
),
-;-00 < I < 00,
Usando a fórmula (2), temos
kttl =
l(t + 2t]) X 2]1
10. 21)1)
2
'.L:.
-;,
·;
. 'l
.·
.,
.('
~
· .• ~·
·.t.
. . '. ~
!~:~
Podemos observar, neste resultado, que para r = O, k tem seu valor máximo e qu: :l: ·
·-'·"-'·'
k ~ O quando 111 ~ + oo. :J
~~
·~~
t! :
·.~z .
Cap. 2 Curvas 91
2.12.4 Círculo de Curvatura
Quando k :t O em um ponto P de uma curva C, podemos encontrar o cfrculo de curvatura
de C em P (ver Figura 2.39).
Este círcu
lo tem
as seguintes características:
(i) Está contido no plano fonnado pelos vetores ii e ii' .
(ii) Está centrado na semi-reta de origem em P, na direção do vetor ii' .
(üi) Tem raio R = !.., onde k é a curvatura de C em P.
k
Figura 2.39
O raio R do círculo de curvatura é chamado raio de curvatura de C, em P.
1
Como a c urvatura de uma circunferência de raio R é R (ver Exemplo 2.12.3 (i)),
vemos que a cu rvatura de C coincide com a de seu cfrculo de curvatura em P.
Podemos dizer que, nas proximidades de P, o cfrculo de curvatura é o cfrculo que
melhor aproxima a curva.
2.12.5, Exemplos
'
(i) Determinar o raio e o cfrc ulo de curvatura em um ponto qualquer da circunferência
C: r(l} = (a COSI, {I sent), t E (0, 21t).

51. \"!
.. '·
i
'I
qi
:i
92 . Cálcu_ lo ·ç Cap. 2
No E~empio 2.12.3 (i), vimos que a curvatura em· um ponto qualquer de C é k
(I
Portanto; o rriio de curvatura é R = a.
Para detenninar o círculo de curvatura em um ponto qualquer P, basta observar que a
semi-reta de origem t:m P, na direção de ü' contém a origem, que é o centro da circunferên­
cia dada (ver Figura 2.40).
·.\"
,l;j
.:<
:i
"!:
:~
.•.
.. :t
J
-~
·I
";!
Portanto, como o raio de curvatura é R =a, o centro do círculo de curvatura é (0, 0). ..
"'I.
Dessa forma, o círculo de curvatura coincide com a circunferência dada.
a
Figura 2.40
(ii) Detenninar o raio e o círculo de curvatura da parábola do Exemplo ~.12.3(ii), na origem. .,
No Exemplo 2.12.3(ii), vimos que a curvatura da parábola é dada por
2
k(t) = ------=-
~3
Como r(t) = (t, t
1
), na origem, t =O. Dessa for~a, o raio de curvatura é
1
R=­
k<O>
2
.
,.·
:\{
.:~
.· ,ll,
l
t•
.
'
'
~
SDI$W66fi
Cap. 2 C11rvas 93
Para ~eterminar o círculo de curvatura, devemos calcular 0 vetor tangente u~tári -
e o vetor 11' (I). Temos, o u(t)
-I" (I)
u(l) = --
Ir' cn1
(1, 21)' ..
~·
ii(O) = (1, 0);
ii' (I) = ( ~ 3 , ~ 3) e
ii' (0) = (0, 2).
Portanto, a semi-reta com origem em P(O O) na direção de ii' é
0
·
·t·
d ·
• • eiXO pOSI IVO OS y.
o centro do círculo de curvatura é.( o~ ~-) .
A Figura 2.41, ilustra este exemplo.
Figura 2.41
(üi) Det~nmRar o raio e o círculo de curvatura da hélice
r(f) = (2cost, 2 se nt, J5 t) no ponto p( J2, J2, ~1t)

52. ,.
·' ,.
r
(•
94 Cálculo C · Cop. 2
. ~~
No Exemplo 2. 11.3, detetminamos·o vetor tangente unit ário ii e o vetor ii' no ponto P. OJ·
Necessitamos ainda, detenninar a curvatura da hélice neste p onto.
Temos,
Ir' <t> x r" u >I
k(t) =
Ir' <OI
3
=
1(--2 senl, 2 COSI, JS) X (-2 COSI, --2 senl, 0)1
I (-2 senl, 2 cost, J5)1
3
I(2J5 senl, -2JS cost, 4)1
33
2
=-
9
Portanto, o raio de curvatura no ponto P é
R=~
k
9
=
2
-
O centro do cír culo de curvatura está sob re a semi-reta;com origem etn P JIU direção
do vetor ii' = -- , --, O .
(
.fi -·Fi )
3 . 3
Na Figura 2.42, esboçam os o círculo de cur vatura.
2.13 VETOR NORMAL PRINCIPAL
·.·
'·
·' .I
Quando k(s) i' O, podemos detinir um vetor unitário p(s), chamado vetor normal prinr.ip31,. ·,.
'
como
_ ü' (s)
p(s) = --.
k(s)
Cap. 2 Curvas 95
De acordo com a Proposição 2.11.2, o vetor uonna1 plincipal jj(s) é o t
t
angente unitário
.ii(s) e aponta para o lado côncavo de C. r ogonal ao vetor
Figura 2.42
2.13.1 Exemplo
Escrever o vetor normal ptincipal da circunferência do Exenlplo 2 li l P( ., .
· · . , no ponto ...; L,
No Exemplo 2.11.1 vimos que
1t~lll0S,
h (.1·) = (2 c os .:_ , 2 sen !...)·
. 2 2 '
-, ) ( s s)
11 .1· = -sen 2' , cos '2
ii' (.1') = (·-_!_ cos ~~ '
' 2 2
k(s) = lii' (s)j
=
2
/
I .\·)·
---scn-·
2 2 .
.fi).

53. rf·"' ·~":__::..Cá ::.:l.:..c '.:..:.'/o:.._C.::. ·_C_:ap:.__ ._2 ________________________ _
··l
~
,'':i
.,~,.
'(..
-~ t'
,:1 .,
' •'
:i

,{
'I
I
;
• !
1:
' I·
I.
·I·.
I
.I
"'!
'lf
(-~cos~. -rsen~)
Portanto, p(s) =
1
~
I
_;'j
.f:
2
·.~
··~
;1
~:
.';
= ( -cos ~ , -sen ~).
., ..
·; No ponto P( .fi, ..fi), temos
p(%) = (-~ • -~)
~:~:
-~~
-~ .. A Figura i43 ilustra este exemplo.
'
.I.
Figura 2.43 ._}
.!.
Os vetores ü e p como foram definidos em 2.11 e 2.13, respectivamente, calculados .~~­
em um ponto P da cur~•a, definem um plano. Este plano contém o cfrculo de curvatura de C:(
em P, e é chamado PLANO OSCULADOR. . :;
:J;.
A Figura 2".44 mostra o plano osculador em três po~tos P
1
, P~
e P
3 de uma curva C. ·?
-~
Quando a curva é uma 'curva plana, com exceção· da linha reta, o plano osculador ·-:~
coincide com o plano da curva. <~ :
-~ ~-.
-~.
? :,
.
f
:
Cap. 2 Curvas 97
y
Figura 2.44
2.14 VETOR BINORMAL
O vetor binonnal, denotado por b(s), é definido como o vetor unitário, nonnal ao plano
osculador
que é dado por
b(s) = u(s) X p(s).
Os três v~tores ii, p e E detemlinam um sistema de coordenadas que se move sobre
a
curva
C. O tnedro determinado por estes vetores é c~amado triedro de Frcnet da curva C.
A Figura 2.45 mostra este triedro em um ponto p de uma c . C
. UIVa ,
Figura 2.45
I~
!!J
~~
: ~
J
. (
·'
·!
.'I
•'
. )
:.t
, .
. !.

54. 98 Cálculo C Cap. 2
2.14.1 Exemplos
.(i) De.temunar o vetor binonnal da circunferência do Exemplo 2.13.1 em um ponto qual­
quer P.
Do Exemplo 2.13.1, temos que
ii(s) "' (-sen ~, cosi}
(
s s)
p(s) "' -tos
2
, .:.sen 2 .
Portanto,
b(s) ii(s) x p(s)
i j k
s s
o
==
-sen-cos-
2 2
s s
o -cos--sen-
2 2
(
, s , s) ..
== sen ·
2
+ cos-2 k
k.
Na Figura 2.46, representamos o vetor binonnal em alguns pontos de C.
X
/
Figura 2.46
'11
·'
'·
·.·
_·..:_
....
~ ..
..
--::.~ .
:~; .
'(.
:t-r:
~ ·:
·{f
--~~ --.
::J. ..
SDI$W666
(ii) Determinar o vetor binormal da hélice circular
C: r(t) "' la ccst, a sen1, bt), ~ o,
a, b > O,
em um ponto qua lquer.
Ternos qu~ a funç:ão comptimento de arco de c é
P011anto, 1
Logo~
l
i r-,-r-;.--
s "' V(/" + b
2
dl* = \
1
c/ + b
2
1
ll
= -
1
, s __ , . Chamando J;;=;-~ b
2
·Ja· + b·
(
s
h(sl::: acos ro,
s
a sen ·­
<o '
w, temos 1
b !..) .
(J.)
O vetor tangente unitário é
ii(.l') == ii' (s)
(
' (/ s
"' --scn-,
' (I) (1)
A curvatura é
k(s) "' lii' <s>l
:0: 1(-..!!._ CQS!.. I
co
2
(1)
g
"' ' Ú)
a
--~,- .
w·


(/ s
-cos-
ú> (1) '
-a s o)i' -
2 sen-,
(J)
(I)
s
:.
(

55. j.:r -~~j~;~,,; ....
)"
I
'1.00 · Cdlcii/O C · Cap. 2 .
I
,:
. -
I~~
''"
I ~ ·1
t~
I'
ll·
i.
I !J
I I
i
I I'
Ó vetor nonnal principal é
ii' (s)
p(s) = -·­
k(s)
(
a s
-a sen
!... ' o)
-----,-cos-' 0)2 O)
= ~J:!roL-_ ___cro~~!...---=--­
a
0)2
-sen ~, O)
Port&nto, o vetor binormal é dado por
b(s) =o ii(s) X p(s)
i
(I s
--sen-
O) (0.
s
-cos-
O)
j
a s
-cos-
<O (0
s
-sen-
O)
k
b
O)
o
b S7 b S-; !!_f
= _ sen - r - -cos - J + ·
<O O) (0 O) O)
··i
'· ,,
.'.
,l
Vamos ilustrar este exemplo para ( r23 n). ~ ,
(o 2, ..f3n).'.'e P2 = .fi . .fi, ~-
r<n = (2 COSI, 2 senl, 2.J31), nos pontos pl = , · .. :;
1t ·.
P. (o
2 J3n) temos I = e s = 21t. Asstm,
No ponto 1 • • • 2 !
(
2 2n 2 21t : 2./3)
ii(21t) = -sen .4. , 4 cos .4 ' 4
4 .
=(-~.O, ~}
2 I
k(21t) = ,. = -8 '
4-
p(21t) = (0, -1, 0) e
.. (../3 l)
b(2n> = 2, O, 2 ·
No ponto P{ ..fi, ..fi, .J3) 1t A'
-1t , temos 1 = -e s = 1t. sstm,
2 4
u(1t) = --sen -, -cos -- ( 2 1t 2 1t 2../343)
4 4 4 4.
-(-..fi . J2 Jj)
- 4 • -4 • 2 .
2
k(7t} =
,.
4-
1
8
p(7t) = (-cos ~ , -sen ~ . O)
l
i.J2 .J2)
= --2. ' '-~ , .O ... ':.
. ~
-r J6
b(rt) = ,_
4 .
·.
-./6' !_).
4 2
Estes vetores podem ser vistos- na· Figtrra 2.47.
2.15 TORÇÃO
Cap. 2 Cwvos 1 O 1
Nas seções anteriores, vimos que os vetores ·tangente unitário ii e normal principal p deter­
minam um plano, chamado plano osculador e que o vetor binonnal é ortogonal a este plano.
Se a curva é plana, o plano osculador é o mesmo e~ todos os pontos da curva e o vetor
binormal é constante (ver Exemplo 2 .. 14.1 (i)). No caso de uma curva reversa, ao deslocar-se
sobre a curva, o ~no osculador se _altera, mudando a direção do vetor binormal (ver Ex em-
.. pio 2.14.(ii)). Veremos que, a me.nos de sinal, a torção exprimirá a taxa de variação do
Vetor binormal.
(iJ
···'·. ·,·:
.. ... ..
..

56. ! .
;
'.
t.
í.
~ i
. ;
!•.
.. .
'·
~ -~·
•.
y
---
Figura 2.47
2.15.1 Proposição
Se o vetor ÍJ' (s) é diferente de zero, então ele é ortogonal ao vetor /1 (s). 'I
A demonstração desta Proposição é análoga à da Propos~ção 2.11.2.
2.15.2 Proposição
Se b' (s) é diferente de zero, então ele é ortogonal ao vetor iangente unitário ii(s).
Prova. Sabemos que b(s) é ortogonal à ii(s) .
Portanto,
b LI 0
Derivando, vem
b' ii + b . ii' = o.
Como /~ é 011ogonal à p, temos
COfJ. 2 Cun·a.t 103
b.p=O ou
b. (k ii') = O, ou ainda,
Substituindo este resultado em(!), segue que
b' u -O.
Portanto, /;' (s) é ortogonal à ii(.r).
Em conseC]üência das proposições antetiores, podemos escrever
b' (s) = aji(s),
onde a é urn escalar .
ou
Se em (2) f<tzemos o. ---T, obtt:'mos
b' (s) = -T jj(,\').
Multiplicando cscalurmente por jj<s), vem
b' (s) . p(s) :: -T jj(s) p(.r)
1' = -I;' (s) . p(l').
A (unçfio escalar T, assim definida, é chamada TORÇÃO da curva c.
Como líi<.n! = l, usando (3), obtemos

jb' (s)/ = 1-T p(s)j
= ITI
= ±T,
ou ainda,

T = ±jE· <s>/.
Assim, a menos de sinal, a torção é a taxa de variação do vetor binonnal.
!2)
{3)
t4)

57. 104 Cálculo C Cap. 2
Intuitivamente, podemos sentir a torção quando subimos uma escala helicoidal.
Também podemos observá-la quando torcemos
uma
ma~gueira. Sob o efeito da tor-·~
ção; a mangueira assume a forma de uma hélice. ;fr,
2.15.3 Exemplo
Encontrar a torção da hélice do Exemplo 2.14.1 (ii), nos pontos onde I
siderando a = 2 e b = 2 J3.
No Exemplo 2.14.l{ii), obtivemos
p(s) = ( -cos : , -sen : , O)
e
-(b s
b(s) = - sen -.
(J) ú)
-b s
-cos-,
(J) (J)
onde co = Ja
2
+ b
2
• Temos então,
- ( b s
b' (s) = -, cos-,
oo- oo
b s )
-, sen -, O
oo- oo
e portanto, usando (4), temos
~;,{
.$i'
)!1
1t 1t t
= n --con-f
' 4 ' 2' .i~
7
T(s) = -( -cos ~, -sen ~ , O) . (;
2 cos ~ , c:f sen : , O)
. \.
= _ (-_!!__ cos
2 !_ -~ sen
2 !_)
(J) 2 (ú (J) - (J)
b
, o
(.)-
Substituindo os correspondentes valores de a e bl obtemos ·
J3
T(s)
8
Nos pontos onde t
7t 7t J3
rt, -a torção é -.
4' 2 8
SDI$W666
Cap. 2 C!1rvas 105
Observamos que o resultado encontrado justifica o sinal negativo int,roduzido na defmi­
ção de torção. Dessa fom1a, curvas que lembram parafusos com rosca à direita, t êm torção .
positiva.
Também
é interessante observar que, neste exemplo, a expressão (3) toma-se
- J3
b' (s) = --p(s).
8
Como o vetor p(s) aponta para o centro da hélice, podemos dizer que o ve tor b'
"pende sempre para fora" à medida que se move sobre a hélice. Esta afirmação é confir­
mada na prática quando sentimos a torção ao subir uma escada helicoidal.
2.16 APLICAÇÕES
2.16.1 Componentes tangencial e normal da aceleração
Na Física, discutimos o movimento de uma partícula P em função de sua velocidade insta n-
~ ~s . .
tânea -, de sua aceleração -
2 ao longo da tra.~etó na bem corno da curvatura da mesma.
dt dt
Para isso, fazemos uma relação entre os vetores velocidade e aceleração e ós vetores
unitários ii e p.
Seja r(t) x(l) i + y(t)] + z(l) k a função que descreve o movimento de uma
partícula P.
Em I. 9.5, vimos que
(I)
Usando a regra da cadeia, podemos reescrever (I) como
v
ãr ds
ds dt
0\1
v = ll(S)
ds
-
dt
(2)

58. . Portanto, a velocidade esca lar v é dada por
- 1-1 ~- dsi V = ~· :-: U(S) -
o dt
ds
= -,
dt
ds
0
desde que -:2: •
dt
Derivando (2) em relação à t, obtemos
dii d
2
s clii(s) ds
ã = -= ii(s) -+ --
dt dt
1
dt dt
t/
2
s dii eis
= ii(s) --+-
dt
1
ds dt
C
o 213 rlii
omo v1sto em . , -=
ds
k(s) jj(s). Portanto,
ds
dt
dl.\,-
a = -, II(S) + k(s)
dr
(
ds)
2
_
- p(s).
dt.
'"
•.
.t
._;.
·:,
.·:~
·~i ·
(3) -~;.,
'·'·
(4)
A equação (4) é muito utilizada na Mecânica. Os vetores ii c j) são utilizados como ··~·:
vetores unitários de referência, tais como T c.]. As componentes de ã em (4) sao chama-. ·7
das de tangencial e normal, respr.clivamente. Dessa forma, a aceleração pode ser expressa ·
em função de suas componentes:
·
tangencial: a,
norma!: a, = k(s)
2.16.2 Exemplo
dv
dt
k(s) v~
Uma partfcula se move ao longo da curva C dada por
r(l) = 1!
1
COSI l + e
1
senl ].
(5)
(6) .:
_______ c_u:._l'· 2 Curvas
107
Determinar: (i) os vetores velocidade e aceleração;
(ii) a velocidade escalar;
(iii) as componentes tangcncial e normal da aceleração.
Soluçiío.
(i) Temos,
c fi
I'=--=
dt
(-·e' senr + e' cosi, ' , ) e cost + e scn/
e
ã dii
== "'df :-: (-e' cosi - e' senl -e' senl + e' cosi,
,' • I L I I
-e ~en ·r e cosi + e cosi + e' sent)
= (-2e' sent, 2e' cost).
(il) v= ~; = liil = J(-e' ;;;;;-;e' cnst)~~(e' cosi+ e' sent)2
,12 e1'


==e' J2.
(iii) A componente tangencial é
a, -· = .~(e' .fi)
dl o
"'J2 e'.
----
A componente normal pode ser calculada utilizando (ó) onde d f . .
t~cular
0
valor de k(s). • ever amos pnme1ro
No entanto, ;•amos calcular como segue por S"'r
1
· ·
1 • ,. na1s sunp es.
. I

59. +~~~ .~~-j,~ -:_:.
·,')!:
i 108 Cálcu!o C Cap. 2
1~1 '
)
!;·
i
~ ~:
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,,
I
l
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I
~ .,
I
I.
,.
,
..
. !
·I •
-!-
1
.i ~
)'
-:
'·
Podemos escrever,
e
ou
Logo,
a,
ã a, ü +a, p
2
-a,
Ji(-2e' sent, 2e' costt -(.fi e')
2
.fi e'.
2.16.3 Fórmulas de Frenet -Teorema Fundamental das
Curvas
.:.
~
.,
.,
·,
Na Geometria Diferencial, os conceitos de curvatura e torção são muito importantes para . ·
um estudo mais aprofundado das curvas.
.
As
F61mulas de Frenet permitem caracterizar diverso ~·tipo s de curvas pelas proprie­
dade de sua curvatura e torção. Por exemplo, quando a curvatura é nula, temos uma reta, e :i
quando a torção é nula, temos uma curva plana.
O Teorema Fundamental das curvas mostra que, quando k t= O, a curvatura e a
torção descrevem geometricamente a curva, exceto por ~ua posição no espaço.
A seguir apresentamos
as Fórmulas de Frenet e
en\lnciamos o Teorema Fundamental
das Curvas.
Fórmulas de Frenet:
ii' = kp
/l = -kü + Tb
b' = -Tp
SD$W666
Cap. 2 Curvas 109
A fóm1Ula (7) é obtida da definição do vetor normal principal (ver 2.13).
A fórmula (9) pode ser encontrada em 2.15 (3).
Vamos verificar a fórmula (8):
p' = -kü + Tb.
Podemos representar o vetor p' como um~ combinação linear de ii, j) e b . Temos,
fi' = ex,ii + a
2j). + a/;.
Multiplicando escalarmente (10) por b, ven~
p'. b = a.;-i. b + ex
2p. b + a
3b. E
= a,.o + o:
2.0 + a._
1.1
exl.
Lembrando que E . p = O, vem b . p' = -p. b', e reescrevemos ( 11) como
-p. E'= a
1
.
Da definição de torção (ver 2.15(4)) vem
o.l = T.
Multiplicando escalarmente (lO) por ii obtemos
fi' . ü = cr.,ü . ii + a
2p. ii + ex~E . ii ·
= ex,.l -~ a2.0 ·+ al.o
:: o:,.
Como p' . ii -ii' . p, reescrevemos ( 13) como
Da definição de curva tura tem.os
-k = ex
1
•
Analogamente, encontramos ex
2
= o.
(lO)
(11)'
(13)
.• ...

60. l
~··.l"~~ .. . ~.
f ... :
l-···
'
110 Cálculo C Çap. 2
--~~----------------------------- -------------
Substituindo os valores de 0:
1
,
o:
2 e o:
3
na expressão (10), obtemos
~ .
p' = -kü + Tb.
Teorema Fundamental das Curvas. Toda curva suave C, com curvatura k > O, é comple­
tamente determinada, a menos de posição, por sua curvatura e torção.
2.17 EXERCÍCIOS
1. Detenninar o comprimento de arco das seguintes ciJlvas:
a) r(l) = (e' CO$/, e
1
Sel\1, e'), 0 ~ t ~ 1
c) r(t) = t T + sent] + (1 + cosi) k, O ~ t ~ 2rc
d) )' = x
312
, z = Odcf.,<O, O, 0)aP.<4. 8, 0)
f) hélice circular r(l) = (2 COSI, 4t, 2 sent) de fl
0(2, 0, 0) a~ (Ü, 21<, 2)
g) um arco da ciclóide r(t) = 2(t -sennT + 2(1 -cosi)]
h) r(/) := (-senl, COSI, 2) para f E (0, 2rc)
i) r(t) = (t sent, 1 cosf) para t E [0, rc]
j) r(t) = (31 + l)Í + (/ + 2)] para I E (0, 2)
k) r (f) ::: (e', e-', t..fi), t E (0, I].
2. Escrever a função comprimento de arco de:
a) r(t) :: (sen i ' cos i ' 21)
b) r(/) = (cos21, sen21, 4)
,·,
d) r(l) = (eos' scn ~cos21)
e) r(ll = (cos2t, sen21), f e [0, n]
f) hipociclóide r(l) = (a cos l! sen"f), f E [O, !!:}
2.
3. Reparamctrizar p~lo compdmcnto de arco as segu· t
' 111 es curvas:
u) r(l) =:(.fiel)~~\ J2'senf), f E (0, 2rc)
b) r(t) = (31 -I, I + 2)
c) r(t) = (cos21, scn2t, 21)
d) r(l) = ( 21, * J&{f, 12 ), I E (0, 3)
e) r(l) -= (e' cosi, e' scnt, e')
f) r(l) = (cos2t, sen2t ), f E [0, n]
g) hipociclóide rtt) = (a cos a senJt), 1 E [O, i]
• - ~ • - • " :.: .!. sent, 1 E O ~
h) hélice circular r = "j co•·t )' -4! , n [ .... 1
' 2J
i) X = J -I, )' = 2 + 21, z = 31, I E (0, l),
Cap. 2 C11n•a.r 111
4. Verificar se as curvas dadas estão pararnetrizadas pelo comprimento de arco:
a) r(/) "' (SCnl, COSI), I ~ Q
b) r(s) :: ('_:__ @_'J) s > o
J7 · v7 · -
c) r(l) = (2t -I, 1 + 2, n. 1 ?-o
.,
'I

61. 112 Cálculo C Cap. 2
d) q-(s) = (a cos !._, a sen !._, b !._),onde c
2
•
= a
2 + b
2
c c c
e) h(s) = (2 cos s, 2 sen s), s E [0, 21t]
f) f(S) = ( 'Í COSi 1 4Sel i). S E [0, 87t]
g) r<s> = Ines + oT + c; + s
2
)I. s ;::: o
- ( s s )
.h) /z(s) = .J2 1 .J2 1 s ;::: o.
S. Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
1t
a) r(f} = (I cos21, t sen2t). t E (0, oo); I = 2
1t
b) i:(r) = (2 COSI, 3 senl), f E (0, 21t); I = 4
c) r((} ::: f T + (1
2
+ 1)]. t E [0, 4]; Pn<2. 5)
d) r(t) = (2 cosf, 2 sent, 2 -2 sent}; P
0(0, 2, 0)
e) r(tl = (~COSI, ± sent} R{~-, ~)
f) r(t) = (e' cosi, e' senf, 2); P
0
(l, 0, 2)
g) r(t) = (t, 21
2
, 3t
3
); P
0(l, 2, ~)
h) r(t} = (e' + 1, e-' -I, t); R,<2. o. 0).
6. Dad~ a curia r(t) = (2 + 2 cost}f + (-1 + 2 sent}], representar geometricamente o ..
vetor tang~nte unitário ii(t) e o vetor ii' (I) no pon~~ P(2 + ./3, 0).
I
7, Calcular a curvatura da circunferência de raio .J2 centrada na origem.
-~ '
S. Calcular a curvatura da circunferência de raio 4 centrada em (2, 3).
9. Determinar a curvatura das seguin tes curvas, nos pontos indicados.
a) r(t) = ~ -
1
-). t > O; P
0
(1 • ..!._)
llll. I + t · 2
Cap. 2 Cun•as 1/3
b) r(t) = (t + 2, t + 3, 2f-4), -00 < t < oo; fc,(3, 4, -2)
I I
c) X = 1:1, y = !='t, t E (1, + oo); t = 2
d) r(s) = ln(s + l)l + ( s; + s
1 )I. s ;::: O; fc{ln2, ~)
e) Y =I-x
2
;
P
0<0,
)); P,(l, 0) c~(3, -8)
f) .-)' = 12, X > O; fc,(3, 4)
s !i
0°) x = 4 cos -, y = 4 sen - s E [O 81t]
4 4' ' ;s=n
h) h(s) = (2 cos s, 2 sen s), s e [0, 2n:]; R,C2, 0).
10. Calcular a curvatura das seguintes parábolas:
a) r<n = (2t, 4t
2
); -oo < t < + oo
b) ru> = (1, 1
2 + 1).
-oo < 1 < + oo.
11. Mostrar que a curvatu ra da catenária r(t} = (1, coshl), -oo < 1 < + oo é dada por
I
k(t) = --,
cosln
12, Determinar o cfrculo de curvatura das seguintes cu1vas, nos pontos indicados, repre­
sentando-os geometricamente:
él) r(t) = (2 COSI, 2 senl, 2 COSI), 0 ~ I "' 2'"'·, P. (2 0 2)
.;:, " I) • •
b) hélice r(t) = (3 cosi, 3 senr, -3f); t = ~
3
c) y = senx; R{i, 1)
d) y = 2x
2
-1, no seu vértice. ,.
(
(

62. -:.~·.:: ..
1 )4 Cálculo C ClrJI. 2
13. Detemlinar os pontos d.a curva onde o raio de curvatura é menor:
·a) y = lnx, x > O
. b) r(/) = (t, e')
c) ciclóide r(t) = (t -sent, l -cosi), E [0, 2rtl
14. Representar geometricamente o círculo de curvatura da elipse
lt
x = 3 cosi, y = 5 senl, O ::; I ::; 27t em I = -i
15. Mostrar que a curvatura de uma reta é nula.
16. Escrever o vetor normal principnl das seguintes curvas no ponto Jado:
a) r(l) = ( J2 cosi, J2 sen/, 4); ?
0
(1, L, 4)
b) r(s) = ( 4 cos ~, 4 sen ~). s E [0, 8r.); P 0(2J2, 2.J2)
7t
c) r(t) = (4 cosi, 4 seot, t); t = 2.
1'/, De.termiu;u· uma equação para o plano osculador da hélice
r(l) = (2 cosi, 2 senl, 41)
nos pomos P
0
(2, O, 0), !~ (2, O, 8rt) e P
2
(0, 2, 2rt).
18. Determinar o vetor binor mal das seguintes curvas, nos pohtos indicados:
a) r(s) = ( 4 cos ~ , 4 sen -~). s e [0, 81t); P
0<4. 0); li(4J2. 2..fi)
b) r(t) = (3 COSI, 3 sent), ~ 1
<3, 0)
c) r(l) = (2 COSI, 2 senl, /)em I
7t
=-
2
7t
d) r (I) "' (2 cos21, 3, 2 sen2t) em 1 = -.
. 8
e) r(l) = (21, cosi, sent); P
0
(27t, -I, Ol.
19. Determinar a torção das curvas do exercfcio 18, nos pontos indicados.
~-··
------------------------ ·----=C::ap~. 2 CttrVtLr 1 !5
20. Determinar a torção em um ponto qualquer da curva:
a) X = I ~~COSI, y = -21, z = 2 + 2 senl
b) r(t) = J2 cosi, J2 sent, 41)
· c) r(l) = (3 cost, 3 sen1, -51}
· 21. Uma partfcula move-se no plano de modo que, no instante 1, sua posição é dnda por
r(!) ::: ( 2 cos i . 2 sen ±).
a) Calcular o vetor ii(l) = v(l) onde ii{l) é o vetor velocidade da t>artícula no ins­
liiUll
tante 1.
dii - .
b) tviostrar que Ü(l) e -sao ortogonats.
dl
c) Calcular o raio de curvatura p da trajt~t<Íri a.
dii
dv _ 11
2
_
d) Mostrar que ii = --· . 11 + - . 11
dl p
é a aceleração da partícula.
onde íl
=
1
~;
1
. " é a velocidade esçalar e ã
22. Uma partícula ~e move ao longo da curva C, dada por r (I J r
2i +
1JJ + f. Determi-
nar:
a) os vetores velocidade e aceleração
b) a vcl.o<.:idade escalar
c) as componentes tangencial e normal da aceleração.
23. Determinar as componentes tanoencial e norm<Jl da aceleração deu t' 1
" ' ma par tcu a que se
move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer 1, for dado por:
a) rcn = (S1, 21
2
-
I)
b)
r(l) = (e
1
COSI, e' SCIII, e')
C) r{l) ::: (COSI, Senl, [)
d) r1n = (4:, 1
2
, 21
2
)
e) r(l) = (31, 1
3
, 1).
'·
. I
~.
{

63. . partfcula move-se ao longo de uma cmva C com velocidade cons-
24. Provar que, se uma
tante, então a aceleração é sempre normal à curva C.
2 1 · 2! -3 de modo que a compo-
25 Uma partícula move- se ao longo da curva y = x -• .x .
• h . ntal da velocidade é sempre 2. Detetminar as componentes tangenctal e
nente onzo
normal da aceleração, ilustrando geometricamente.
!
!"
:,
I
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,.
J.!~
l :·
I.
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I ~
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I
. I
•
, ..
..
..
;_.
·-~.·
Capítulo~
SDI$W666
~ · · :
MAKRON
Books
FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS .
Neste capítulo, estenderemos os conceitos do Cálculo para as funções vetoriais de várias
variáveis. Inicialmente, introduziremos algun ~ conceitos que serão utilizados no decorrer
deste e
dos
yróximos capítulos.
3.1 DEFINIÇÃO
:')' Dados ;::, (x,,. )'0 , z0) E ln
3
e um número positivo r, a bola aberta B(P
0
, r), de centro em
P0 e raio r, é definida como o conjunto de todos os pontos P(x, y, z). cuja distância até P
0
é
menor que r, isto é, os pontos P(x, y, <:)que satisfazem IP -Pc
1
1 < r.
Analogamente, definimos a bola aberta em R2•
Geometricame nte, em //J
3
,
B(P
11
,
r) é o interior de uma esfera e em I/J2 é o interior de
um disco centrado em P
0
(ver Figura 3.1) ..
·ee~)
' ' y,
Figura 3.1


I
I
I
/
_,
117

64. (1y~r',·> .. _.
,
JJB .• CtÚculo C, Cap. _:3-------------------'---------
3.2 DEFINIÇÃO
D~dos p
0
(x,>, y
0
,
z
0
)
E !1
3 e um número positivo r, a bola fechada B lf'0, r], de cent ro em
p
0
e raio r, é definida como o conjunto de todos os pontos P(x, y, z), que satisfazem
IP -Pol S r (ver Figura 3.2 (a)).
Analogamente. definimos a bola
fechada em
lf.f
2
(ver Figura 3.2 (b)).
Yo -------
Yo Y
," ,/.,----
~ --------- -------~',"
(a)
(b)
Figura 3.2
3.3 EXEMPLOS
(i) O conjunto dos pontos P(x, y) tais que (x-2)
2
+ (y-4 )
2
s 16 é a bola fechada B [ P,. 4]1
onde P
0
(2, 4) (ver Figura 3.3).
p
Figura 3.3
Cap. 3 Funções velariais de l•c1rias variáveis
119
(ii) O conjunto dos pontos P(x, y, z) tais que (x -·V + (y-2)
2 + (z-2)2 < 1 é a bola aberta
B(P
0
, 1) onde P
0
( 1, 2, 2) ( \'er Figura 3.4).
2 (:]··-_..,.),
',,?: ... ~
' ', Po A .... _..,._ ..... I
\. I -'
~- .....
I
I
2
y I/
-~ -------~--
Figura 3.4
3.4 DEFINICÃO
.>
Seja A um ~onjunto de pontos de t'/
2
ou R·'. Dizemos que A é aberto, se para cada ponto
P0 E A, e:mtc uma bola aberta fl(P
0
, r) totalmente contida em A (ver Figura 3.5).
y I
-----/ -------.....
I I , 1
I \,:-' 1·'-~\ I
I I·' I I
I , ___
1
I
I
A -'
'·-(-:-, " ........ .... _,...;
-----
-~-...... I
""-... A _,,.1 ..... __ _
Figura 3.5
Observamos que, no estudo das funções vetoriais, um conjunto aberto no plano ou no
espaço será denominado um c.Jmnfnio.

65. /.:~~ t::-:: .
/
I
)
;:}20 Cálculo C Cap. 3
·3.5-EXEMPLOS
(i) Em fl2,
0
conjunto dos pontos inteliores a uma curva fechada simpl es é um conjunto
aberto.
(ii} o conjunto dos pontos interiores de um paralelepípedo, é um conjunto aberto em
fMJ.
(iii} 1?
2 e 1?
3
são conjuntos abertos.
3.6 DOMÍNIOS CONEXOS
Um domínio D de fl2 ou /l
3 é dito conexo, se dados dois pontos quaisquer em D, eles
podem ser ligados por uma linha poligonal contida em D.
A Figura 3.6 mostra exemplos de conjuntos conexos no plano. Podemos ver que, da­
dos dois pontos no domínio D, sempre é possível ligá-los por meio de uma linha poligonal
contida
em D.
.------·----...
I I
:/:
I I
I I
: : I
I I ,•
I t ,·
I I
·-----------'
, ... ---......
, '
' '
' '
I I
I I
t., __ )
', . ...... ___ ... ""
(b} (c)
(a)
-----------
~-- --........
,-~~< >-,
I - ~-, ,-, l
: ,' ,'
I I I
',, ..... _,, . ' ......... ' /
''...... ~,,.'
......... ,. ...... ........ ___ ·_ .. __ ......
(d}
,~<>_,,,--------,,,\
;i
I • I , .' ,........
I
1 I ' I
• I I
: I ~ : :
~: '.. ,/ . ,
X --- /
'
'
' ' ' ,
'' ........... _____ ......... '''
(e)
Figura 3.6
.. ·:·
SDI$W666
Cup. 3 Fu11ções vetoriais de várias variáveis 121
Na Figura 3.7, representamos alguns domínios conexos em /J·'.
(a) (b)
Figura 3.7
, ... ,.----............
-~-- , .. ~,
, ~ ./\
. I 1 '
I I
,'') ..... ___ ,.,'
I ,
(c)
ObserVando a Figura 3.6, vemos que um domínio conexo em /ll
2 pode apresentar
"buracos".
Quando um domínio D c R
2
não apresenta buracos, isto é, quando toda curva fecha­
da simples C de D, circunda somente pontos de D, D é dito simplesmente conexo.
Assim, podemos dizer que
os domínios representados em (a), (b) e (c) da Figura 3.6
são simplesmente conexos, enquanto que os domínios repre sentados em (d) e (e) não são
simplesmente conexos.
Se D é um domínio
em/!?>, dizemos que D é simplesmente conexo quando qualquer
curva fechada simples em D pode ser reduzida de maneira contínua a um ponto qualquer de
D sem sair de D.
Os domfnios representados em (a) e (b) da Figura 3.7 são simplesmente conexos. O
domínio representado na Figura 3.7 (c) não é simplesmente conexo.
3. 7 EXEMPLOS E CONTRA~EXEMPLOS
(i) 1?
2
e 1?
3
são simplesmente conexos.
(ii) Em R
2
, D = ((x, y) 14 < x
2
+ y2 < 16} é um domínio conexo que não é simplesment~
conexo (ver Figura 3.8).

66. 122 Cálculo C Cap. 3
... -,. ...
; .
/
I
I
I
I
I
I



'
'

'
'
' ',
.... _
.... ,
'
.. • o ',
... _ ...
...



....
,
. 14
I
.... I .
;
I
I
/
Figura 3.8
(iii) Em fl D = { (x, y) 11 x I> 1} não é um domínio conexo (ver Figura 3.9).
(iv) O interior de uma esfera com um númer ~ finito de pontos removidos é um domínio
simplesmente conexo em /fll ·
(v) 0 interior de um cubo com uma diagonal removida n ão é simplesmente conexo em R
3
•
I
y
I
I
I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
1--t ti i
I I
I
I
I I
I I
I I
I I
I I
Figura 3.9 ·'
3.8 FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS
•':'
.,'·,
Como no caso das funções vetoriais de u ma variável. se J é uma fuução vetorial d as variá-.,f'.
"'"· y, z, dofinidoem um domínio D c R>, d• pode "'"xp<mn "'forma ·~ '
~­
t~.
SntOW66to
Cup. 3 Fu11ções l'tloriuis de várias variá1•eis 123 ____ __..::. __
ondef
1
,.f
1
e f, são funções escalares defin idas em D .
As .funções escalares f,,~ e f; são chamadas componentes da função vetorial .f ou
também funções coordenadas.
Analogamente,
se] é definida em um domfiúo D c
lfl
1
, podemos escrever:
3.8.1 Exemplos
(i) f(x, y, z) == xz i + xy] + 2>Íz. k é uma função vetorial definida em todos os pontos
(x, y, z) de ll·' tais que z ~O. Suas funções coo rdenadas são dadas por
J;(x, y, z) :::: xz, /
2(x, y, z) == xy e f,(x, y, 7.) = 2.fi..
(ii) ](x, y) = x i + J1 -x
2
-/] é uma função vetorial defin ic.Ja em todos os pontos de
R
2
tais que x
2
+ yl::; l. Isto é, o domínio de ] é o círculo unitário centrado na origem. As
funções coordenadas são J; (x, y) = x, f
2
(x, y) = J1 -x
2
-/ e IJ(x, y) == O.
3.9 LIMITE E CONTINUIDADE
3.9.1 Definição
Seja Pl\'
11
, )'
11
, Z
11
) um ponto de um donúnio D e r
0
seu vetor posição. Seja J uma função
veto tia! definida em D, exceto, possivelmente, em r
0
• Seja ã = a/ + a~J + ai um vetor
constante. Se r é o vetor posição c.Jo ponto P(x, y, z), dizemos que
lim ]ex. y, z:) = ã
i -t ~.
se para todo E> O, existe o> o tal que ll<x. y, z) -ãl <E sempre que o < I r -~~ I < o.
A desigualdade o < I r -il, I < o representa o interior (exceto P) de uma esfera de
raio o e centro em ?
11
• Portanto, geometricamente, podemos visualizar a Definição 3.9.1 na
Figura J.l O. Dada qualquer bola B(A, E) de raio E, centrada em A(a
1
,
a
1
,
a
3
), existe uma bola
f:
M:
~
~
I
l
~
I
~-.
-' f.
-~

67. ,·.
.,
,
I'
,.
) .
I'
'
I:
124 Cálcrtlo C Cap. 3
.B(P õ) de raio õ, centrada em P
1
;(x
0
,
y
0
,
zc),
tal que os pontos deB(Po, Õ) (e~ceto, pos sive~-
o• · d' - t do e o compn
mente, P
0
) são levados por ] em pontos de B(A, e). Ass1m, a 1re_çao, o sen
1
-
mento de f(x, y, z) tendem para os de ã quando ~x. y, z) ~ <xo, Yu• Zo).
c
r
/
X
Figura 3.10
De fonna análoga às funções vetoriais de uma variável, se
](x, y, z) = (J.(x, y, z). /
2(x, y, z). Nx, y, z))
ii = (ai' a
2
, a
3
), temos
------------ --~ ---~-~
lim ](x, y, z) = ii ~ lim ."J;(x, y, z) = a;,
( )
(.1 • .\-.:)-->(.<o•.l'u•=ol
(.<.y,:)-> ...... -•. :.
para i = 1/ 2, 3. L_________________________ --------~
Também as propriedades dos !ircites são análogas (v~ 'r L7 .3).
·.3.9.2 Exemplos
(i) Dada a função vetorial f(x, y) = yi -x], detenninar
lim f(x, Y~
r-+Õ
:~~: .
· ... >,:
..
SD$W666
Cap. 3 Funções vetoriais de várias variáveis 125.
Temos,
li~ (yi' -x]) = lím yi - lim xj
r-1!1 (.r,y.;)-toll. !1, 01 (x.y,:)-tl!l, !1, OI
= õ.
(ii) Se f(x, y, z) = (ex-!, y(x -!) 3xz.)
x
2
-I '
determinar l im f(x, y, z).
(x .. •·.:)->1 I. 2, lo
Temos,
fim -f(x, y, z) = ( lim e'-
1
, lim y(x --lJ
(t.y.;)-tll, 2. ,, (.r .y,:)-tl(, 2. ,, (.r.)-.:)-tll, 2. li x
2
-l •
(1, I, 3).
3.9.3 Definição
lim 3xz)
!.1,)',;)-H(, 2. 11
Seja f(x, y, z) definida em um domínio D. Dizemos que] é contínua em um ponto
P
0
(X11
, _\'
11
, z
11
)
E D se
lim f(x, y, z) = ](x
11
, )'
1
,. <:
11
).
1-•·.1-.:1-t(.•o• .l'u• :,.)
Se] é contínua em cada ponto do domínio D, dizemos que fé contínua em D.
De fonna análoga às funções vetoriais de uma variável, temos que ] é contínua em D
se, c somente se, as três funções coordenadasf.,/
2
e f, são contínuas em D.
3.9.4 Exemplos
(i) No Exemplo 3.9.2 (i) a função vetorial é contínua em todos os pontos do plano.
(ii) No Exemplo 3.9.2 (i i), a função ](x, y; z) é contínua em todos os pontos (.r, y, .z) E ffll
tais que x -:1 ±I.
·~
...
~ :.·

68. 126 Clllcrllo C . Ct~p. 3
(iii) A função vetorial f(x, y, z) = --k~ , onde k é constante positiva e r é o vetor posição
lrl .
. do ponto (x, y, z). é contínua em todos os pontos de R
3
, exceto na origem, ponto no qual a
função não está definida.
3.1 O DERIVADAS PARCIAIS
3.10.1-Definição
Seja ] = j(x, y, z) uma função vetorial. A derivada parcial de ] em relação a x, qur.
denotamos por a] . é definida por
ax
a] . ]<x + Ax, y, z) -]<x. y, z)
·-= hm
dX 6.<->0 Ó.X
para todo (x, y, z). tal que o limite exis te.
Analogamente,
a] lim j(x, )' + ó.y, z) -](x, y!~
ã"J = 6)· .... o ó.y
e
a] = lim ](x, y, z + &,) -f(x, y, z)
az õ..: .... u 6z
Se f(x; · y, z) "' /
1
(x, y, z)i + /
2
(x, y, z)J + f, (x, y, z)k, de maneira análoga à
derivada de função vetorial de 1 variável, temos
a] aJ; 7 a12 -: a13 k-.
·-= -I + -} + - I
dX ax dX dX
aJ = aJ; T + a12 J + arl f
ay ay oy ay
e
aJ = aJ; T + ~ J + ?!) f.
az az ê)z é)z
________ ___::Cap. 3
Frmções vetoriais de \'árias v ariá!•ci.f
127
3.1 0.2 Exemplos
(i) Dada a função vetori al f(x, y, z) -JX T + 2-: 4 ,. f
das pru"Ciais. -. A)'Z J + e·-.• determinar suas deriva-
Temos,
a]
1 7
-= --I + yz 2 J;
ax 2./X
a]
= xz
2
J + 4ze..-c k;
é)y
aJ 2 -: , .. -
-;--= xyz J + 4ye· -k
uz .
(ii) Dada a função f(lr, v) = (ue'·, 112v) dctc · a] é)r
• rmmar - no· ponto (? O) 'J a -· e -no ponto
(-1, 1 ). 1/ ôv
1
.
a]
( ,. )
emos, -= e 2uv ;
ou .
a] I ( n --;-- = e , 2.2.0)
OI/ (2,Ü)
::: (!, 0).
aJ ( ,. ')
--;--= ue , u-;
OI'
f. I (-1,1) = (-e, !).
3.1 0.3 Interpretação geométrica
Seja] = ](x, y, ) f
pod
. z uma unção vetorial contínua. Se todas as variáveis, exceto uma, que
e ~iCr tomada como parâmetro pem!a fi _ -
· • nccem vcas, entno f descreve uma curva no espaço.
-
·'
. .
•.. !.
, ..
( ~;

69. 128 Cálc11lo C Capo 3
A derivada parcial de] em relação a x no ponto P
0
(x
0
, y
0
,
Zo)
é a derivada da função
g(x) = ](x, Yo• Zo)
no pontox
0
o Portanto, como vimos em lo9o3, se no ponto P
0
, a] i= O, este vetor é tangç:nte
ax
à curva dada por g(x)o
Analogamente, no ponto P
0
, % é um vetor tangente à curva dada por
h(y) = ](x
0
, y, z
0
) e
a] é um vetor tangente à curva d ada por
az
Na Figura 3011 ilustramos a interpretação geométrica das derivadas parciais para uma
função vetorial de duas variáveis ] = ](x, y)o Denotamos por C
1 a curva dada por
g(x) = ](x, y
0
) e por C
2
a curva dada por h(y) = ](x
0
, y)o A derivada parcial
~ (xo. Yo) é tange~te à CU!Va cl e a derivada parcial a] (xu. Yo) é tangente à curva CJ'
~ ~
y
Figura 3.11
·.:,~
,·,·'·
Capo 3 F~tnções vetoriais de várias variáveis
'129
3.1 0.4 Exemplos
(i) Seja ] a função vetorial dada por
f(x, y, z) = li + z cosx ] + z senx k.
a) Descrever a curva obtida fazendo y = O e z = 3.
b) Representar nesta curva a derivada parcial a] no ponto p, (~
ax o 6. o. 3 ).
Solução de (a). Fixando y = O e z = 3, obtemos a função vetori al
g(x) = f(x, O, 3)
= 3 cosx ] + 3 senx k ,
que descreve uina circunferência no plano yz (ver Figura 3 12(a)) A v ·, 1 d
• A • • anave x po e ser
mterpreta
da como o parame tro
1, conforme vimos em 2.4.3. o
(a)
Figura 3.12
Solução de (b). A derivada parcial a] é dada por
dX
a] - -
ox = -z senx j + z cosx k o
No ponto ,c:{~ , O, 3). temos
(b)
. a] (P. ) 1t -: 1t -
-:;--
0 = -3 sen-1 + 3 cos-k.
ax 6 o o 6 .
o;
I;
00
;.·

70. !30 Ct1/culo C ~C!!_O(!:f'·~J~----------
Esta derivada parcial é a deriyada da função
g(x) = 3 cosx] + 3 senx k,
= ~ e, geometricame~te, está representada na Figura 3.12 (b ).
no ponto Xo
6
(ii) Seja J a função vetorial definida por
](11, v) = (11 cosv, 11 senv, 4 -11
2
).
P
ara O ~ u ~ 2, O ~ v ~ 27t.
o 1t
· f d _ J2 c v = -respectivamente.
a) Determinar as curvas obttdas azen o 11 -
4
•
o a] ( r;; !.:)' a] (J2 ~) representando-os geometticamente.
b) Detenrunar -·-v2, e ()v ' 4
ali o 4 o
Fazel.tdo 11 = J2 • obtemos a. curva c,. dada por
Solução de (a). -
. h(v) = .f( J2, v)
= ( J2 cosv, J2 senv, 2 ). O ~ v ~ 2n.
·
(O 0
2) . aio .fi localizada no plano
A curva c, é uma circunferência dl"-centro • • c r, •
z = 2 c está representada na Figura 3.13.
Fazendo v ~ obtemos a curva C,, dada por
4, -
g(ll} = J(rt, ~)
(
J2 J2 o 4
2
) o <_ .it ~ 2.
= 2 11, 2 11, -11 •
As equações paramétricas da curva C2 são
J2
v::- 11
·' 2
J2
)' = -11
2
Cap. 3 Funçõ~s \'etof'iais úe várias variávei.t 131
------·------~----~
Eliminando o parâmetro 11, temos x = y, z = 4 -2x
2
•
Is~o
nos mostra que a curva C
2
é
uma panibola contida no· plano x = y (ver Figura 3.13).
Solução de (l>). Témos.
Portanto,
Figura 3.13
a]
--= (cosv, scnv, -2u);
ou
a]
--= (-u senv, 11 cosv, 0).
()v
..:... .fi -= ----2J2 e ar ( rr) ( J2 .fi )
011 • 4 2 • 2 •
ar r rc)
..2.lJ2 -4 = (-l, 1, 0). ov .
Na Figura 3.13, representamos os vetores ii
1
= :?v ( ./2,
que são tangentes às curvas cl e c~. respectivamente.
3.1 0.5 Derivadas Parciais Sucessivas
1t) -
-ev
4 2
= a] (-12 ~~
OII , 4)
As derivadas parciais de uma função vetorial de várias variáveis J são também funçóes
vetoriais de várias variáveis. Se as derivadas parciais destas funçõ es vetoriais existem, elas
são chamadas derivadas parciais de 2• ordem de j.
;.I
o," I

71. l"
132 Cálc111o C Cap. 3
Se J = f(x,···y), temos quatro derivadas parciais de 2• ordem dadas por
a
2
]
a (al). a
2 J _ i_ (al).
àx
2 = ox ax ' àyàx -ay àx '
a
2
] _ i.(al) o
2
]
a· (al)
axày
-éb: ày e ã/ = ày ày ·
Se ] = ](x, y, z), cada uma das três derivadas parciais de P ordem ori~ina três
derivadas parciais de 2~ Órdem.
Analog~mente, obtêm-se as deriv~d as parciais de ordem maior.
3.1 0.6 Exemplos.
_ . ., _, ..
(i) Dada a função
Temos',
](x,
y, z) = (sen(.\Y + 2z), e·' seny, x!nyz)
a] , (y COS(.l.y + 2z), e' seny, lnyz);
ax.
a2 J ( 1)
--= -2y scn(.l.Y + 2z). O, ~ ;
azax "
aJ] = (-2yxcos(,)
1 + 2z)-2 sen(xy ~ 2z). o. 0).
oyazax .
(ii) Dada a função
a2 J a2J
detenninar -:>-e --no ponto P(2, 1, 4).
oyux axoy
:'I
··~
... /
SD.W666
Cap. 3 F11nções vetoriais de várias variáveis
133
Temos,
à] ( J 2 )
-;-= 4x y , O, yz;
o X
()2] J
oyox = (8x y, O, z);
a2J .
oyax (P) = {8.2
3
.1, O, 4)
= (64, O, 4J;
. o
2
]
a~]
Neste exemplo, poae.mos observar que--=:: --.. Temos o seguinte teorema cuja
demonstração será omitida. · àyox axoy
3.10.7 Teorema
Suponhamos que ] = f(x, y) seja definida sobre uma bola aberta B({r ·" )· r) e que
. "u• · u '
a] a] o
2
] o
2
.1
. ·. a27 a~
1
-
ax , êly I oyox c oxoy também SeJam defintdas em B. Então, se oyax e oxày são
o
2
f- a'-
contínuas em 8, temos--(x
11
v
0
) = __J_ (r y )
d)'OX ' • OXO)' . U•
11
.
·.lt.
O teorema anterior é conhecido como Teorema de Schwarz e também é válido, ~om as
· <·· hipóteses adequadas, para funções de três ou mais variáveis.
i
i
~-
.­
·'
··~ .·.
;:.·

72. /34 Cá/cuia C Cap. 3
I
EXERCICIOS 3.11
1. Representar geometricamente as seguintes bolas:
a) B(I~,. r) P
0 = (1, 2, --: 1) e r = ~
fl
1 == ( 1, ~ , 2) e r = 2
P. = (-.!_ !) e r = 3
u 2. 2
b) B(P
0
, r] E;, = (-1, -·1, -1) e r = 1
P0 = (~. 2)er = ~-
-----·---
2. Cada uma das inequações abaixo determina um conjunto de pontos em lflÍ ou !Jl.
Identificar as bolas abe1ias c as bolas fechadas detenninando o centro e o raio.
a) x
1
+ y
1
--2y + 1 < 3
b) x
1
+ y2 + z
1
~ 2x + 2y + 2z
e) x~ + 4x + y! < 5
f) .x2 + y
1
+ z < 2.
3. Identiticar as afinnações verdadeiras:
a) A uni
ão de bolas abertas é uma bola aberta. )1 A união de bolas abe1ias é um conjunto aberto.
c) A união de bolas abertas
é um conjunto conexo. jr O conjunto A:..: { (x, y) I x
2
+ 2x + y
1
-
4y
>O} é conexo.
e)' O conjunto B = {(x, y) I x
1
> yl} é aberto.
"'
o o
. . ~
.•
i o
:; ..
·r ..
SDI$W666
Cap. 3 Fw1çtics l'eloriais d<! vdriay \'Orláveis
135
4. Verificar quais dos conjuntos abaixo são conexos:
f= {Cx. y) E I!J
2
12x
2
+ 5/ s 10}
l ={ex.
J = {ex.
) //J
,, 1 [1
)' E 'I--$ X.$-~
2 21
y, z) E R
3
13x
1
+ 9/ + z
2
;::>: 18}
D = {(x, y) E lf.!
2
I y > _!_, x t:. 01.
,,\, f
----
S. Escrever a função vetorial que associa a cada ponto do plano xy
0 triplo de seu vetor
posição.
6. Escrever a função vetorial que assoCia a cada ponto do espaço um vetor unitário com a
m~sma direção do vetor posição e sentido contrário.
7. Dar o domínio das seguintes funç<ies vetoriais:
a) f(x, y) "' .rT + yj + J4 -x
1
-/ k
b) ··c I - -
g x, y) = -i + xyj
.r
c) /~(.r, y) = (x
2
+ /, xJY, xy)
d) Ji(x, y. z) "' (.!. . .!. . -
7
1
)
y .\' ~
c) q(x, y) = c~ ' JX.Y)
f) ii(.r, ) z) :: x
2
y r + yj + .JZ'k
g) v(x. y, z) :: yj + JX+i'k
J---
J1
h) r(x, z)
, , -
l' :: 2 -x· -y· i
. ' + -x2
, -
-y-j + l,k.
~ o
I
.. I

73. I .
136 Cálculo C , Cap. 3
8. Calcular lim f(x, y, z), dado:
;-+;o
a) f(x, y, z) = (x
2
+ /, xzy , ~-
2
); r
0 = (2, I, ll
X -4
b) f(x, y, z) = (ex, se~)' , X + )' + Z} fo = ( 1, 0, ~)
c) f(x, y, z) = (x + y, x
2
, .!i.); ~~ = (2, 1, 4).
x-y
9. Detenninar os limit es seguintes:
a) lim (.J_ , JXY)
(x. r)->11, 2• xy
b) lim (~ sen l , cosx, tg yz)
( n) .Y x
(.r • .r.tH O, I, 'i
(
xz-x )
c) lim xfY, ~, ylnz .
(.< •. •·.:)->(~. ~.1) z
10. Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais:
- ( ' ' ) a) f(x, y) = .\y, x--y-, 2
{(
x, y seny, xz
2
sen ~). z -:F O
l>) g(x,-y, z) =
(x, y seny, O) , z = O
c) h(x, y) = (x lny, y lnx)
d) p(x, )': z) = ex:.-"j + lnxz] + 2k
e) q(x, y, z) = (-x-, :?:. • z)
X-)' X.
o r(x, y, z) = ~~ onde ã = xT + y] + Zf
(
2 2 ' 2 2 2)
g) ü(x, y, z) =-= x + y , y-+ z , z + x .
......
.,
r
Cap. 3 Funções vetoriais de várias variáveis 137
11. Calcular as derivadas parciais de P ordem das seguintes funções:
a) f(x, y, z) = JY T + x
2
/z
2
] + eX)·: k
- (X-)' ) b) g(x, y, z) = --, 2x, 3
x+y
d) p(x, y) = (e
2
·', xye.1.•·)
e) ij(x, y) = (xJY, (x-y) lny)
f) ü(x, y, z) = e·~ · T + lnxz] + 2k.
12. Dada ](x, y, z) = (e' e-'~, e·rz) encontrar a] + aj + aj .
ax ay êJz
13. Dada ](x, y, z) = (.r
2
y, x + y, xz) verificar que f (I,
onde ã = lim f(x, y, z).
(.<.y.:H(I.I.I)
O, I) + a] (1. O, 1) = ii,
dy
14. Seja J a função vetorial dada por ](x, y, z) = xz T + y(l + x
2
)] + zf.
a) Descrever a curva obtida fazendo y = 2 c z = 1.
b) Representar nesta curva a derivada parcial ~ no ponto P
11
( I, 4, 1).
o X
15. Seja J a função vetorial definida por J (11, v) = (11 cosv, 11 senv, 3 + 112)
para O ~ u ~ 3, O ~ v $; 27t.
a) Determinar as curvas obtidas fazendo 11 = J3 e v = !.: , respectivamente.
2
b) Determinar ~f (13. !.:) e ()j (JJ. ·~) representando -os geometricamente.
ou 2 av 2
a'] a
2
]
cP] 16. Dada a função ](x, y) = (xyz, xy, /r
2
+ z
2
). determinar :.x-.
2
, :.Y
2
e
o u ax.Jy
T

(,
l
...
,I~

74. i'
138 Ctflcttlt> C Cap. 3
:~Jf- -,4!- - ( ~ -' I \''-'7.)
. . . o. o d f( x >'•. z) = xy ' xz + ' . <. •
17 Determinar-;--;:;-e --,-' sen ° · · '
•. u.wyuz é)xé}z·é)y
3-
. :~l/- 1"
2J- :~
2
/- :~.1/- é)
f · f ·o-e•·
u " u _u __ e -das segumtes unç ···
13. Encontmr ;)2 • d)'2 • dxdy • ()x2oy ()z
3
ex
-f( ) (x.V?., lny, lnz) a) . x, y, z =
b) f(x, y, z) = (e··· senx, ~!·' seny, z)
c) f(x, y, ~) = (~· y • xyz}
()
2j
. o
2
l ( ) 4 ?~ 1 (P. ) dados
19. Encontrar --
1
(Po) + -;-:2 Po -
07
2 o '
ê>x u) ·
Y'
(.-) = (x + Y + z.(x + Y + d. (x + Y + d)ef~,(!. O, l). f(x,
Capítulo 4
(!}.
MAKRON
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DERIVADA DIRECIONAL E CAMPOS
1 . GRADIENTES
,r
·':-: ..
Neste capítulo apresentaremos a derivada direcional de uma função escalar e de uma função
vetorial. O uso do gradiente é cnt?io introduz ido, facilitando o dlculo da derivada direCional
e de suas aplicações.
Também, analisaremos combinações especiais das derivada$ parci<:is de uma função
vetorial ]"(x, y, z). Surgem então. o· divergente t. o rotacional de f(x, y, z).
Veremos que campos vetoriais podem ser definidos a pariir de campos esc:~lan:s e
I' ice-versa.
4.1 CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS
Dada unw região D do espaço. podemos associar a cada ponto de Duma grandeza escalar
ou também urna grandeza vetorial. No mundo físico fazemos isso, freqüentemente. Por
exemplo, dado um corpo só I ido T, podemos associar a cada um de seus pontos a sua tempe­
ratura. Oizcinos que um campo escalar está definido em 7'.
No caso de um fluido em movimento, a cada partfcula corresponde um vetor velocida­
de ii. Neste exemplo, vemos que um campo vetoriál está definido em D.
Veremos a seguir que um campo escalar é definido por urna função escalar e um
campo vetorial por uma fun~ ão vetorial.
l'
... ........
139

75. t·· ..
.!
(
1
140 Cálculo. C Cap. 4
l
I
1 4.1.1 Definição
Seja D uma região no espaço tridimensional e seja f uma função escalar definida ~~n D.
- d onto p e D f associa uma única grandezà escal ar f(P). A regtao D,
Entao, a ca a P ' c 1
juntamente com os valores de f em cada um de seus ponto~, é chamada um campo es a ar.
Dizemos também que f define um campo escalar sobre D.
4.1.2 Exemplos
(i) ~e D é uin sólido no espaço e p a densidade em cada um de seus pontos, p detine um
campo escalar sobre D. ·
(
") Seia D um só;ido esférico de raio r cuja temperatura em cada um de seus pontos é
11
~ u d · tema de coordena ·.· ·
ro orcional à distância do ponto até o centro da esfera. san ~ um sts -
~aspcartesianas adequado, descrever a função escalar T que defme o campo de temperatu-
ra em D.
Cap. 4 Derivada direcional e·campos gradientes 141
Como a temperatura em P(x, y, z) é proporcional à distância de P até o centro, a
função que define o campo
de
tempc:ratura é dada por T(x. y, z) == k~ x
2 + / + z2 , .
onde k é uma constante.
(iii) Um tanque Ttem a forma de um cilindro circular reto de raio lm e altura 3m. O tanque
está cheio de uma substância líquid
a. Cada partícula desta substância está sujeita a uma
pressão que é proporcional
à di.stância
dà partfcula até a superfície livre do líquido. Usando
coordenadas cm1esianas, defin.ir· uma função escalar que descreve o campo de pressão no
interior
de T.
Solução.
A Figura 4.2 mostra o
ta~que T. O sistema de coordenadas cartesianas foi traça­
do de tal forma que sua origem coincide com o centro da ba se do tanque.
A distância de uma partícula qualquer Q(x, y, z) até a s uperfície livre do líquido é dada
por
d = 3-z.
Portanto, a função
Solução. Traçamos um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem coincide com o ., ,. P(x, y, z) = k(3-z),
centro da esfera (ver Figura 4.1). ···'. onde k é uma constante de prôporcionalidade, define o campo de pressão no interior de T .
!.~
~ ~1
''"'
·.-1
d
,·.~
I
• i
' ..
I
1; 1':
!
<I
I
··I
~ !
·,
y
Figura 4.1
A distância de um ponto qualquer P(x, y, z) do sólido esférico até o centro é dada por
Jx
2
+ l + Z
2
·
...
: .
. . ~.~
Figura 4.2
. '(iv) Um campo minado consiste de uma região de combate R, onde previamente são esco­
. :;.; lhidos pontos aleatórios, nos quais se colocam explosivos. Esse campo pode ser descrito . '.
:·· pela função escal ar que associa a cada ponto de R onde existe uma mina, o valor 1 e aos . . .
<::.demais pontos de R, o· valor O .

76. ·'
•'·
142 Cálculo C Cap. 4
----'----- ------------
4.1.3 Definição
Sej11 Duma região no espaço e. J uma função vetorial detlnida e.m D. Então, a cada ponto
p E p, J associa um único vetot: ]<P). A região D, juntamente com os correspondentes
vetores j(P), constitui um campo vetorial. Dizemos também, que ] define um campo
vetorial sobre D.
4.1.1 Exemplos
(
(i) Seja D a atmosfera terrestre. A cada ponto P E D associamos o vetor ii(/)l que re-
presenta a velocidade do vento em P. Então v define um campo vetorial em D chamado
campo de velocidade.
(ii) ]ex, y) = -yT + x] define um campo vetorial sobre ll
2
•
(lii) ](x, y, z) "' (x, y, --z) define um campo vct0rial sobre úl·'.
Freqüentemente, identifica-se um campo escalar com a função escalar que o de tine.
Da mesma forma, uma função vetorial é identificada com o campo vetorial por ela dl!l"tnido.
4.1.5 Representação geométrica de um campo vetorial
Podemos r~presentar graticamente um campo vetorial ] dcfii}Ítlo em uma região D. Para
isso. tomamos alguns pontos P E JJ e desenhamos o vetor /<Pl como uma seta com a
origem em P (trasladada paralelamente da origem para P). Podemos visualizar o campo
vetorial, imaginando a seta apropriada emanando de cada poilto da região D.
4.1.6 Exemplos
Representar geometricamente os campos vetoriais:
- -
(i) f(x, y) == xi .
] define um campo vetorial em ll
2
• A todos os pontos do eixo y, J associa o vetor ·."
nulo. Aos pontos que estão sobre a reta x = 1, ] associa o vetor T. De forma geral, Í · A
associa a todos os pontos que estão sobre uma reta vettical x =a, o vetor ai. A Figura 4j .. )~
. ·-~~
mostra este campo. .~· o f.!.•
''!/{
• ,t;l
. ,.u
.;rh.
Cap. 4 Derivada direcional e cattlpos d'
gra ume.f J 43
Figura 4.3
(ii) ](x, y) = xi + yj.
·': função vetorial ] associa a cana ponto (x )') do pl"llo
0 se
1
. -
_ . -: , u u ve. or postçao
r =o .\'I • ~ ·::' : Para ~·ep~·esentar o campo, traçamos algumas retas que passam pela o ri >e'm
e al,unht~ c!rcunfen.>.nctas com centro na origem Desenll' n g
. · a 1os os vetores correspondeme~
,.. aos pomos de mtersecção das circunferências com as retas. ·
A Figura 4.4 mostra este campo que é denominado campo radial.
Figura 4.4

77. J'
) :
:~
)~
) ~ I
• !
r· <
H·
I
) ::
~ '
I:
J44 Cálculo.C Cop. 4
(iii) f(x, y)
-y X ~
::::: I i + J 2 -2 J.
vX
2
+ l X + Y
Neste exemplo podemos observar que, para qualquer ponto (x, y), f(x, y) é um
vetor unitário. Além disso, se r ::::: xi + >q é o vetor posição do ponto (x, y), o produto
escalar
r f(x, y) = O.
Isso nos diz que
0 vetor ](x, y) é perpendicular ao vetor posição r, sendo, portanto,
tangente
à circunferência de centro na origem e raio
11-1·
A Figura 4.5 mostra este campo, que é chamado c~mpo ta~genci~l. Fisicamente, ele
pode representar um campo de velocidades em um movtmento cJrculru.
y· .
.v'
"'-...
"'"" /
'

I / ~

rr /
i

/'
~ /
~
~
Figura 4.5
~-....
. ·:~
(l'v) f-(x, y, z) -k _!__ r xT + y] + zk e k > O constante.
•• 1'1) I ) ~
--~, ... , __ '
E te campo
é chamado campo radial de quadrado inverso e ocorre freqüentemente
'-~F( _ ·
s ' - . . I de,, . ..
I. aço-es Em Física ele é usado para descrever a força de atraçao gravttac10na :~i; . , : ·
nas ap tc . , ~~ .
·<?.[,'
:i/1~. ' .
;~~ '
~.»! . '
-~ .- -,.
;l~~' :: :
·~~~4 1l f;~K-,
SDOW666
Cop. 4 Dcri1•ada direcio11al e campos gradie11tes 145
uma partícula de massa M, situada na origem, sobre uma outra partícula de massa mlocali­
zada no ponto P(x, y, z).
Para ilustrar este campo, observamos que:
a) f(x, y, z) não é definido na origem;
1
-
~ ' lrl
k . -.
b) f(x, y, z "' k -=-'i" = -:-;-, 1sto é, o módulo do vetor f(.~. y, z) é inversamente pro-
Ir!· lrj·
porcional ao quadrado da distância do ponto (x, y, z) até a origem;
c) f(x, y, z) é um múltiplo escalar negativo do vetor posição r. Portanto, ele tem a
mesma direção
de
r e aponta para a origem.
A Fig~ra 4.6 mostra o campo.
:-~~ I ~ ':::-:
~ ~1, ,\:'
I
Flgura4.6
(v) A Figura 4.7 mostra o esboço de diversos campos vetoriais que ocorrem nas aplica­
ções. Na Figura 4.7(a) temos um campo de velocidades de 'um fluido em movimento e na
4.7(b) temos um campo de força eletrostática, originário de 2 cargas de sinais opostos .
A Figura 4.7(c)
nos mostra um campo de velocidade em um volante
em movimento
circular
unifom1e. Na Figura 4.7(d) vemos o campo de velocidade de um redemoinho .

78. 146 Ctflculo C Cap. 4
------
--------
---
-~--
__....-~~-_.... I
(a)
J
I
....
""
I
~
..._
\j_
(b)
l
/
"
+ .......
"'
,.. ... ,
.. -- .. ,
#' ...
' F'
'
(c)
I
'

t
t
~
~

I

/ .·
"'
,;t
....
.A
......
-
. ... ....
{d)
Figura 4.7
Cap. 4 Derivada direcional c mmpf>S gradieutes 147
4.2 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais:
l. f(x, y) "' -xi -yj
2. f(x, y, z) = xi + yj +V<
3. j(x, y) = -yi + xj
4. f(x, y) = 2i
5. f(x. y) = 2T + j
j~(x, z)
xi + yj + zk
6. v = -..
Jx2 ' 2
+y-+ z
.,
,, f(.r, r'• . ' ;-; (x,
~)
ti. Suponhamos que n temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço é dada por x2 + / + z1•
Uma p<u"tícula P se move de modo que no tempo 1 a sua posição é daua por (t, 1~. t-').
a) Identificar a função escalar que nos dá a temperatura em um pon<o qualquer do espaço .
IJ) ldentiticar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula P.
c) Detem1inar a temperatura no ponto ocupado pe la partícula em 1 ::: _!_.
2
9. O campo vetorial j = --,..=L., i + ., x , ] aproxima o campo de \'elocidadc da
x· + y· .c + y·
água, que ocorre quando se puxa um tampão em uma canalizaçüo. Repr~sentar grafi­
<.:amente este campo.
10. Seja D um sólido esférico de raio r. A temperatura em cada um de $eus ponll'S é
proporcional·n distância du ponto até a superfície da esfera .
a) Usando <.:oordcnndas cartesianas, determinar a função que define o campo de tem­
peratura.
b) Determinar as supe11kies isotcrmas do campo de temperatura em D, isto é, deter­
minar
as
supelfícies onde a temperatum é constante.

79. ... __ _
I i· .,
'•
I I {
. j:
I I ,.
!
t I
148 Cálculo C . Cap. 4
~
f
-bai·xo definem campos vetoriais sobre ffll. Detenninar e fazer os gráficos
ll!.) As unçoes a _ ,
1 -das curvas onde IJI e constante. .
b) 1 xi + 4y]
a) f
== xi + y]
d) 1 = (X -2)l + (y --4 )].
c) 1 = Ú + ;;.]
12 Um tanque teril a forma de uma paralelepípedo retângulo cuja ~as: tem d~::~~~~:
. . lt a é I Sm O tanque está cheio de uma substancla com
lm e 2m e cuja a ur , . . A • é rf' ..
'á I E ada ponto a densidade é proporcional à distancia do ponto at a supe 1
van ve. me ' .
cie supeJior do tanque.
a) Determinar a função que define o campo de densidade.
b) Detennina.r as superfícies onde a densidade
é constante.
. d sólido esférico
é
daM pelo quadrado da distância do
13 A ratura nos pontos e um
, tempeé tro da esfera Usando coordenadas cartesianas, determinar o campo de
ponto at o cen ·
temperatura.
.
do tem a fonna de um retângúlo de lados a c b.
O campo foi divi~ido
14. Um campo =~:!ângulos de lados alm e b/n, m e n inteiros positivos. Os ~xplosivos
~:a:~~~:cados nos vértices desses retângulos. Usando coordenadas cartesianas, des-
crever analiticamente este campo.
15. As funções abaixo definem campos vetoriais em ffl2. Det .. enninar e fazer os gráficos
das curvas onde
1 tem direção constante.
~) 1 = xT+ 2y]
b) 1 = x
2
T + )~
c) 1 = xT +]
- -; 2-;
d) f :: XI + Y } ·
.,
•'
· .. ·~
16 O
o f-(x y) = yT _· x] representa a velocidade de um volante em rota?ão rígidda ..
. camp • Q
1
< ntido do movimento e
em' tomo do eixo z. Descrever graficamente· O campo. ua o ve . . ...
rotação?
. . . 'li d
20 km .
17 Um furacão se desloca na superfície terrestre, atmgmdo uma fal~a retl nea e . é de,
. de largura.
Na zona central da faixa (2 km de largura) a veloctdade do vento
Cap.4
200 kmlh. Nos demais pontos é dada por ii = 200 -14x, onde x é a distância do
ponto até o centro da faixa. Esboçar o campo.
18. Seja P
0
um ponto fixo no espaço e d(P, P
0
) a distância de um ponto qualquer P até P
0
•
Se Pn
tem coordenadas cartesianas (x
0
,
y
0
,
z
0
)
e P = P(x, y, z), descrever analiticamente
este campo.
19.
Uma cidade x está localizada a !100m acima do nível do mar. O plano diretor da cidade
prevê a construção de edifícios, desde que eles
não ultrapassem a cota de ! 140m.
O
relevo da cidade é bastante irregular, tendo partes altas e baixas. Definimo .s_um campo
escalar em x, associando a cada ponto P, a altura máxima que poderá ter um edifício ali
localizado. Descrever analiticamente este campo.
20. a) Escrever uma função vetorial em duas dimensões que defina um campo radial, cuja
intensidade é igual a 1.
b) Escrever uma função vetorial em três dimensões que det1na um campo radial, cuja
intensidade
é igual a 1.
c) Escrever uma função vetorial em duas dimensões que defina um campo vetorial
tangencial, cuja intensidade em cada ponto
(x, y)
é igual a distfmcia deste ponto até
a origem.
4.3 DERIVADA DIRECiONAL DE UM CAMPO
ESCALAR
Vejamos os seguintes problemas:
Problema 1. Suponha que um pássaro esteja pousadp em um ponto A de uma chapa R cuja
temperatura T é função dos pontos da mesma. Se o pássaro se deslocar em uma determi­
nada direção, ele vai "sentir" aumento ou diminuição de temperatura? (ver Figura 4.8).
Problema 2. Suponhamos que, em uma outra situação, podemos conhecer a temperatura
do ar nos pontos do espaço por meio de uma função T(x, y, z). Um pássaro localizado e!ll
úm ponto P, deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em qtie direção e sentido ele deve voar?
-~.' Estas e outras situações podem ser resolvida s, tendo-se o conhecimento da derivada
. .
direcional.
·

80. '150 Cá/etilo C Cop. 4
Figura 4.8
4.3.1 Definição
Consideremos um campo escalar f(x, y, z). Escolhemos um ponto P no espaço e uma
direção e1!1 P:. dada por um vetor unit;io b. Seja C uma semi-reta cuja origem é P e possui
a direção de b e seja Q um ponto sobre C cuja distância de Pés (ver Figura 4.9). Se existir
~~~~
f(Q) -f<P>
o limite
.oJ(t)).;. ff!2/,í;'!._ffP!
,_,. J uf P
1
.
-:-( ) = 1111
ds ,_,o s
ele é chamauo derivada direcional de f em P, na direção de b.
.;{. rvtf~ )·: :tz:. 9.~
I
i
Figura 4.9
Observamos que:
1) O tluociente f(Q) -/CP) é a taxa média de variação do campo escalar}: por unidade . · ~} .
s ~ _,
de comprimento, na direção escolhida. Assim, o f_ <P> é a taxa de variação da função f, ·.'[.~_-.. :_.~,·-~;-~ ,· .
na direção de b, no ponto P. os >;:
·-~~ ...
:,~ ~-· ...
----- ----=-C~liP:..:.·_:4_:D:::..:e::_r:,::iv:ad:a~d~ir~e~iono/ e campos gradientes
151
Voltando ao Problema 1, podemos dizer que a resposta para a pergut t
encontrada mediante
a análise da taxa de variação da tem t 1 a_ proposta será
. pera ura em relaçao
à
distância
no ponto A, quando o passara se move na direção dada Logo deve . ~ -'
d
· · · • s..enconlfa-ra oeriv
a dtrecmnal da função temperatura. a--
'1} F {ffd .. ·;._(r':, (1/'c?)
2) Existe um número infinito de detivadas direcionais de f em P. I,.. . · _f \' •••
3) As derivadas parciais de f.
at uf ar
ox , oy e âz em P,
-1 I
0~7(((\
são as derivadas direcionais defnas direções de
1
7
-: k-; •
· • J c , respecttvarnc nte.
4.3.2 Exemplos
(i) Calcular a derivada direcional do campo escalar ((r >') -jf Y p .
de
-
1
, _
-:-
2
-: · · · • - ~
+ --~m (2, 1 ), na dtreç:io
--1 + } . - .
O vetor unitário ua direção de v é
;; :: i_ = (-1, 2) - ( -[ 2 ) .
liil Jl+4 -J5 • ·JS (vcrFtgura4.10).
I
I
I (1
I
'
I I
I ----R; -------~---Ip
' '
I I
I I
I I
I I
r---~· ______ _j_ ____ ~ 2-$ 2
·15
Figura 4.10

81. 1 .,_.,, .
···-.......
·152 Cálculo C Cap. 4
i~ i_;. I. (< . ~ I I f .12)
- l .rz._ i1 ..
PN '" r.= e MN = ~. O tnan-
~5 ~5 ·
ift~ } ).t' : (;, I) 1 j ( -G-.Jt,)
Do triângulo retângulo MNP temos que PM = li
's -· 2s
gula QRP é semelhante ao triângulo MNP. Portanto, P~ = J5 e QR = J5, onde
_ _ ({.:: ·s 2s)
s = PQ. As coordenadas do ponto Q sao 'f -·r;: 1-J + r;:
' __ .~5 ) ~5 )
Aplicamos agora a Definição 4. 3. l. Temos,
of ~~'/ = lim J(Q)-j(P)
as , ..... n s
, ..... o
2
lim !__
, ..... o s
= lim s
.f-til
=O.
j .. , '•
s
/
(ii) Determinar a derivada direcional do campo escalar j{x, y, Ú = x~ +i-2z em
- - - I I .., )
P(l
12, 2)
1 na direção do vetor ã =i + 2j + 2k. (~ .·
1
''i--;1 1
Neste exemplo, ilustramos um procedimento alternati~o para encontrar a derivada
direcional, utilizando uma parametrização de C pelo comprimento
de arco.
A Figura
4.11 mostra o ponto
P e a semi-reta C, com çrigem em Pl na direção de ã ·
Uma parametr~zação de C é dad.a por r (f) = O + t, 2 + 2i, 2 + 21), t ~ O.
Reparametrizando C pelo comprimento de arco a parÚr de P, obtemos
- ( s 2s 2s) >
/z(s) "' 1 + -, 2 + -
1 2 + - , s -O.
3 3 3
..
.. ,
·.· ..
SD1$W66G
Cap. 4 Deri1•ada direcional e campos gradiellles
153
2,, __ ;~ c
',,P
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I ,'
I I ,,""
------------" Figura 4.11
Como o ponto Q é um ponto de C, suas coordenadas são
(
. s 2s 2s)
1+-2+-2+-3'
3 I 3 .
1
Portanto, aplicando a Definição 4.3. I, vem
a.r (P) = tim f(Q) -fCPJ
as , ..... o s
= lim
s->fl
(I + ~)
2
+ ( 2 + ~)
2
-z( 2 + ~)
2
-
(I + 4 -8)
,
s·
-2s--
= lim 3
...... o s
= -2.
s
(iii) Supor que a derivada parcial de f(x, y) em relação a x em um ponto p existe.. Verificar
que esta derivada é igual a delivada direcional def(x
1
y) em P
1
na direção b = i.
A Figura 4.12 auxilia em fazer_!llOs esta verificação. . r'·
~
'
{;
' .

82. 154 Cdlculo C =Ca~P::._· :.._4 ---------------------
Temos,
y
·xbs·Al! t
Yo -------.:..
1
-"------'--
1
I
I
I
I
I
T :
..
Y-o+4X
Figura 4.12
()J <P> = lim f(Q) -J<P>
os 1~o s
d[
::: -(P).
ax
O cálculo lk .a! ( P>, usando a Definição 4.3. 1, é bastante trabalhoso. Podemos facilitá-
a .~· .
lt), U$ando as deri\'adas parciai~ de 1• ordem de f em P. Para isso/vamos definir o gradiente
de f em um ponto P.
4.4 GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR
Seja f(x, y, z) unúampo escalar definido em um certo domínio. Se existem as derivadas
r~m:ia is de !• ordem de f neste domínio,_ elas fonnam as com~onentes do vetor gradiente de f
4.4. ·t Definição
o gmdiente da função escalar f(x, y, z), denotado por grad f, é um vetor, detinido como
a1-: 'df -: ~r -
grad f = --r + -J + - k.
ax ()y 'dz
-
_____________ __.::::Cap. •I Derivada tlirecional c campos . d'
• g1a rentes J 55
4.4.2 Exemplos
(i) Encontrar o gradiente dos campos escalares:
a) f(x, y, z) = 2(x2 + y2) :-zl; () / (,", y, 1 } ; ?ftf '2 f )'
7
)
J ... '< ''J 1-t< ·.1~
1
-----·
b) g(x, y) = x + e·,._
Usando a det1nição 4.4.1, ternos
a) grad f = 4x T + 4y] -2z k e
b) grad g = T + e·'}.
(:i) C~ gradiente de um car~po cscalar.f(x, y, z) de tine um campo vetorial denominado campo
gradrente. Esboçar o gráfrco do campo gradiente gerado pela função
f(x, y, t.) = ~ (x
1
+ / + z
1
).
Temos que
grad f = xT + y] + zk.
O gráfico deste campo pode ser visto na Figura 4. 13.
Figura 4.13
{ .
.l
-
i.

83. J.
<"/56 Cá/c11lo C ·cap. 4
(iii) Calcular o gtadiente def(x, y) = 2x
2
+ yl, em P(2, -1).
Temos, grad
f = 4x
T + 2y ];
grad /(2, -I) = 8 T -2].
(i v) Em uma esfera metálica d<! raio 3, a temperatura T(x, y, z) em cada ponto é proporcional
a distância
do
ponto até a superfície da esfera, sendo 1 o coeficiente de proporcionalidade.
Representar geometricamente o campo gradiente gerado por
T(x, y,
z).
A Figura 4.14(a) mostra a esfera metálica de raio 3, centrada na origem.
A temperatura é dada por
T(x, y, z) = 3 -Jx
2
+ l + z
2
•
L-...
Portanto,
. g<ad T = (Jx' .-;, + z'' Jx' .-;, + t'' N2' + z')
O campo gradiente está representado na Figura 4.14(b).
(a)
(b)
Figura 4.14
..
•.!·
,v'
;
SDI$W666
Cap. 4 Deril'ada direcional e campos gradientes 157
É comum denotrumos o grad f como V f onde V (lê-se nabla ou de!) representa·o
operador diferencial . ·
Temos
d-d-d-
'V=-i+-j+-k
ox ày êJz •
grad f = Vf
(
a -a -a -)
= -i+-j+-k f
. ax d)' dZ
of 7 at '7 of­
=-t+-j+-k
ox ày dz ·
4.4.3 Propriedades
Sejam f e g funções escalares tais que existam gradfe grad g e seja c uma constante. Então:
(i) grad (c.!J = c grad f; c.:-é/i
(ii) grad (j + g) = gradf + grad g;
(iii)
grad (jg) =f grad g + g gradf;
(iv) grad (f/g) = g grad f
~ f grad g
g
Prova do item (iii). Supondo f= f(x, y, z) e g = g(x, y, z). temos
a -a ·-a -
grad (.fg) = -(fg) i + -(fg)j +-(fg) k
àx oy {Jz '
= (t. ~ali + g .. ~) T + (t. ac + c. at); + (t. ac + g. of) f
X ~ ~ ~ ~ ~
(
ag -. ac -ac -) (at -of at )
=f-i +-j +.-k + g-i +-J +-k
~ ~ ~ ~ ~ ~
= f. grad g + g. gradf.

84. l ~·
I.
i
158 Cálculo C Cop. 4
Interpretação geométrica do gradie~te
Consideremos uma função escalarf(x, y, z) e suponhamos que, p.;.ra cada constante k, em
um intervalo /, a equação j(x, y, ·z) == k representa uma superfície no espaço. Faz~n.do
k tomar todos os valores, obtemos uma fanu1ia de superfícies, que são chamadas super fJcJes
de nível da função f
4.4.4 Proposição
Sejafuma função escalar tal que, através de um ponto P do espaço, passa uma superfície de
nível
S de
f Sc graê:l f * O em P, então grau fé n01mal aS em P.
Prova. Seja c uma curva 110 espaço que passa por P e esteja contida na superfície de nível
S def(ver Figura 4.15).
Figura 4.15
Representamos C por
r<n == x<tl T + yUl] + z<tl f.
Como C está contida em S, temos que
f(x(t), y(t), z(t)) = k.
Derivando em relação a 1, vem
àf dx + àj dy + àf dz =
0
ox dt ôy ·dt àz dt i
ou
'Vf . ~f!_ == o.
dt
·-
Cop. 4 Or.riw;da direcio11nl c campos grndielllcs 159
dr
Como di é tangente à curva C em P, segue que V f é normal à curva C l!m P.
Como C é uma cu r\' a qualquer de S, concluímos que grad f é normal à superfície S.
4.4.5 Exemplos
(i) Determinar um vetor nonnal à superfície z == x
2
+ yl no ponto P( \, O, J ).
1
A supe1fíde z == x
2
+ l pode ser escrita como .A' 1-'/ -J :
0
f(x, y, z) =O onde f(x, y, z) = x
1 +i-z.
Desta forma um vetor normal a z = x
1
+ y
2
no ponto Pé dado por gradf(P).
Como
grad f "' 2x i + 2y J -f.
em P( I, O, I), temos grau f(!, O, l) = 2i' -k.
Portanto, o vetor 'Ú -I é normal ao parabolóide z = x~ +/em f( I, O, I). conforme
ilustnt a Figura
4.16.
Figura 4.16
(Ü) Determinar um vetor
peqlendicular à circunferência x~ +i == 9 no ponto P( 2, JS).
Neste exemplo, temos que x
2
+ y1 = 9 é uma curva de nível da função
f(x, y) = X
2 +i -
9.

85. ,.
·'
I
·I
fi
ir
li
'I
11:
li
~~ '. .
:·
'' '
i\/t'
160 Cálculo C Cap. 4·
Portanto, se Vf<P> ~ O, ele é perpendicular à circunferência dada. Temos,
grad
f= (2x, 2y);
grad
f<P> = ( 4, 2J.S).
Logo, no ponto P(2, J.S), o vetor 4f + 2J.S ] é perpendicular à circunferência
x
2 +
y2 = 9, conforme ilustra a Figura 4.17.
Figura 4.17
4.4.6 Cálculo da Derivada Direcional usando o Gradiente
Seja ã o vetor posição do ponto P. Então, r(s) = x(s)f + y<s:>] + 7.(s)k = á + bs, onde
s ~ O é o parâmetro complimento de arco, é uma equação vetorial para a semi-reta C (ver
Figura 4.18).
l .
Figura 4.18
SDI$W666
Cap. 4 Derivada direcional e campos gradientes
161
A d . d d'
· <Jf - .
enva a Irecwnal as (P)' na direção b' em P, é a derivada da função
f(x(s), y(s), z(s)) em relação as em P.
Supond~ que f(x, y, z) possui derivadas parciais de 1 a ordem contínuas c a licando a
regra da cadeia, temos P
<Jf <P> = (()f dx + <Jf dy + of dz)
os ox ds oy ds ()z ds (P). (l)
Substituindo
r' (s) = (dx ' dy
ds ds'
dz)
ds
= b e
d f
of 7 of -<Jf -
gra =-r+-j+-k
<Jx êJy oz
em (1), vem
"df -
às (P) = b . grad f(P). (2)
4.4.7 Exemplos
(i) Determinar a derivada direcional def(x )' ·) -Sx~ 6 p
d
. ~ d --- • • ' --.)' + z, no ponto (--1, I, 0), na
Ireçao o vetor 2i - Sj + 2k.
Temos,
grad f = (lOx - 6y) i ~ 6x] + k;
grad f(-1, I, 0) = -16f + 6] +f.
O vetor unitário na direção dada é
b 2Í :-5] + 2k
-121 -5] + 2.q

86. .. ---~ ~
M? .5:.~c__sc~4~--~------:---- ---.!!:_ Ctf/culo _op.
2i-5] + 2k
J4 + 25 + 4
2 -5 -: 2 -
-·-i -J33 } + J33 k.
-J33
Portanto, usando (2), temos
~ (-1, 1, 0)::; (~ 0 .k 1 J~
3
). (-16, 6, 1)
2. (-16) -5.6 2
= m +m+JYS
-20133
=
11
· d' · 1 d f(-) -r2+ v!+ zl no ponto P(-1. 2, -
2
~). na
(ii) Detemlinar a denvada trectona e x, y, z -. . •
direção do vetor que une p a Q( -2, O, ~).
Temos,
grad f = 2x r + 2 y ] + 2z k;
grad f(·-1, 2, ~) = -21 + 4] + ~~
O vetor unitário na direção dada é
PQ
ii = IPºI
- -( 1 . 1 )f
(-2 + l)i + (0 -2)j + 2 -: 2 '
1-f-2]1
-1 -: 2 -:
= JS I -Js J.
I
I
i.
'
'?
i
...• ·.jl
-·
CofJ. 4 Dcri1•ada tlireciona/ e campos gradiemes 163
---·
P01tanto, usando (2), teJ!loS
~ (-I, 2. i)= (Js. -Js, o). <~2, 4, I>
-6
= JS.
O Gradiente como direção de máxima variação
4.4.8 Proposição
Seja
f(x, y, z) uma função escalar que possui derivadas parciais de la ordem contfnuas.
Então, em cada ponto P para o qual V f t: O, o vetor 'V f aponta na direção em que f cresce
mais rapidamente. O comprimento do vetor V f é a taxa máxima de crescimento de .f
Prova. Como 'df (P) = h. V f, usando a definição de produto escalar, temos
dS
~ ( P) = jEjiVfl cos e, onde o é o ângulo entre os vetores Vf c E.
Como b é unitário, vem
{}f U'> = V f cose.
'ds
O ~alo r má:<imo de o f <Pl é obtido quando escolhemos e = O, isto é, quando esco­
as
lhernos b com a mesma direção e s_r.mido de V f.
Neste caso, rlf (P) = IVJj.
ds
Assim. o vetor V f aponta na direção em que f cresce mais rapidamente e seu compri­
mento é a taxa máxima de crescimento de f

87. 'i·:·,·'··.
~ '.
l
(

!

I
) .
164 'Cdlcr~lo C Cap. 4
4.4.9 Exemplos
(i) No caso do Problema 2, apresentado no início da seção 4.3, podemos dizer .que~ se
grad r:~; o em P, para se esfriar o mais rápido possível, o pássaro deve voar na dueçao e
sentido
de-grad
T(P).
(i~) Sejaf{x, y, z) = z-X
2
-y2.
a) Estando em ( 1, !, 2), que direção e sentido deve-se tomar para que f cresça mais rapida­
mente?
b) Qual é o valor ináximo de~ (1, 1, 2)?
Solução de (a). Estando em (1, 1. 2), devemos tomar a direção e sentido do vetor
VJO, 1, 2> = -2Í -2] + k
para que f cresça mais rapidamente.
Solução de (b). O valor máximo de ~ (1, 1, 2) é dado por
IV/O. 1, 2>1 = 3.
4.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES O~ GRADIENTE
(') s · T( ) 10 · ~2 y! z! uma distribuição de temperatura em uma região do
I eja X, y, Z = -· · -- . .
espaço. Uma partícula p
1
localizada em Pp, 3, 5) necessità esquen~ar-se o ma~s ráp~do .
possível. Outra partícula ?
2
localizada em ?
2
(0, -1, 0) necessita esfnar-se o mats ráptdo ·
possível. Pergunta-se: •
a) Qual a direção e sentido que P
1
deve tomar?
b) Qual a direção e sentido que P
2
deve tomar?
· · 1 é á · a de
c) Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura
1
em P, e qua a taxam xtm
decrescimento da temperatura em P
2
?
• .'f
' ...
1:'
..
-
"
..
·'·
. ;; ..
,)1'
. I~.
.. ·.~
Cap. 4 Derivada direcional e campos gradientes
1.65
Solução. Temos que
a)
b)
grad T = ( -2x, -2y, -2z) .
Como P
1 necessita esquentar-se o mais rápido possível, deve tomar a direção e sentido do
grad T(2, 3, 5) = (-4, -6, -lO) .
Como P
2 necessi ta esfriar-se o mais rápido possível, deve tomar a direção e sentido do
vetor
-grad T(O, -1, O) = -(0, 2, 0)
= (0, -2, O)
c) A taxa '!láxima de crescimento da temperatura em P
1
é dada por
l
grad
T(2, 3, 5>1 = Jlfi. ,, .
., I I) , t .. r
-JiíJf(f': ' : -1- I•
A taxa máxima de decre-scimento da temperatura em P
2
é
Jgrad T(O, -r, O~ = 2.
(ii) Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato é aproximadamente o do gráfico
dez= 25 -x
2
-/. z ~O. Se ele parte do ponto ?
0
(4, 3, 0), determinar a trajetória a ser
descrita, supondo que ele busque sempre a direção
de maior aclive.
.. Solução. Seja r(t) = (x(t), y(t), zU>) a equação da trajetória do alpinista.
Inicialmente
vamos determinar a projeção
~ <d = (x(t), y(l)) de r (f) sobre o plano
xy.
No plano.ty a direção de maior aclive da montanha é dada por V f, onde/= 25-x
2
-/.
Como o alpinista deve se deslocar na direção de maior aclive, o V f deve ser tangente à
projeção ~ (t) da trajetória.
Fazemos então,
(
/'( ( Q) . I f i -l ,, } . J
( ~· (I} = grad /(~ (!)) ou
t/ f I •.' • .. ~ o( '_ 'I
f(• r 1 ..
,(t;•
(
dx
dt '
d )' _]_ = (-2x(l), -1y(t)).
dt '
í/
I ( ,., ' . l ' ' l
1 : --· .-•: . ... . ~ . ·:. I . I
(1)

88. ... : /'11
,:,'('}:LI
, r
r
, L 1
1
( ~~ ~ 1l' 1! L
~J6~6~C~If~k~'ll~lo:.:_C_:C::a~p::_. :"--i'!---r.:'=' ==-=.,:=, ::~=---- >/. (~) ~ I. ------
/').
= -2x(t) e dy =
· ,.:{ 1 . ,tfr _ \~t
-2y(l) ou
(
/} )'--1 2 2
~~rdfl .-j ?oi,L x(t)-C1 e-' e y(l) = C2e-'.
-·. '' ·' (l l p' • l ' C C I b d 'd d I ' ara parttcu anzar as constantes
1
e
2
, em ramos que o ponto e parll a o a pl-
nista, con·espondente a 1 =O, é ?
0
(4, 3, 0).
Portanto.
x(O)
= 4 e y(O) = 3 e dessa forma, C
1
= 4 e C
2
= 3. Logo, a projeção de r(l) é
r
1
(1) = (4e-
2
', 3e-
2
') e a trajetória é dada por
= ( 4e-
2
', 3e-
2
', 25 ·-25e-l'' ).
A Figura 4-.19 ilustra este exemplo.
I'-
P,
Figura 4.'19
(iii) A Figura •1.20 mostra as curvas de nível da temperatura T(x, y) da superfície do oceano,
de uma determinada região do globo terrestre. Supondu que
T(x, y) é
aproximadamente· .
. 1 ] 1 2 1
•gual a x --x· --y + -pergunta-se:
12 4 2.
Cap. 4 Dt:rivada rfirecio 11a( e campos gmdiem.:s
167
-------
a) Qual é a taxa de variação da temperatura nos pontos P (2 3) e p (4 1) d' -
u ·• 1 • , na 1reçao
nordes
te?
·
b) Se nã~ conhecermos a forma da função T(x. y), como podemos encontrar um valor
aproxunado para a taxa de variação du item (a)?
c) Qual
é
a taxa m;íxima de variação da temperatura em P
0
?
5
Figura 4.20
Solução tlc (a). A taxa de vm·inção da temperatura é dada pela derivada direcional. c'.msi­
derando que um vetor unitário na direção nordeste é (-1-, _I_)· e que
(
I -1 ) .J2 ..fi
gradf = J --x
2
, -y , vem
4 2 -
é)j' 'df (' 1 l )
-:;-(P,,) = -;-<2. 3) = "Vj(2, 3). J=. -
os us 2 .J2
= (t-±.4, -~ .3).(Ji. ~)
3
-2../2 .
; ;·
. I

89. -
.',· ..
168 Cálculo C Cap. <f
aJ un = vf (4, t>
vs vs
-7
2.fi.
'VJ(4, l). ( ~2 ' ~)
"'-v'J.
Solução de (b). Se não wuiH:<:ennos a forma da fun~~ão T(x, y), podemos <:a leu lar a taxa de
variação média da temperatura na direção nordeste no ponto P
1
" Basta observar a Figura
4.20 e assinalar as temperaturas a nordeste: -I", e a sudoeste: 0". A seguir faz-se o quociente
-1" -0°
l km
onde l km é a distância aproximada entre os dois pontos cujas temperaturas foram observa­
das.
Portanto, -I grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da temperatura, em f'
0
,
na direção nordeste.
Analogamente, temos que
-2o -(-l o)
= -2,5 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da tempera-
0,4 km
tura em ?
1
, na direção nordeste.
Observamos que or. valores encontrados em (a) são aproxinJadamente os mesmO$ en­
contrados em (b).
Solução
de (c). A taxa máxima de variação
da temperatura em.'P
0 é dada por
jgrad f(~,)l = ~o + (-%Y = ~.:
(iv) Encontrar a equação da reta tangente à curva x~ + y
2
=~no ponto ( J3, 1), usando o
gradiente.
i
Solução. Analisando a Figura 4.21, vemos que a equação da reta tangente
a uma curva de
nfve1f(x, y) = k, em um ponto P
0
(x
0
,
y
0
),
pode ser encontrada através da equação
'·
Vf(P
0
) • [r -/b] = O,
Cap. 4 Derivada direcio11al c campos gradiellles 169
onde r xi + yj c;;,
y=l(x) ~";]
~" .,b
~~
Yc -------~ ------- o
Figura 4.21
Neste exemplo, temos que f(x, y) = x
2
+ i e P
0
( ./3, 1).
Usando (2), vem
VJ(J3, l) . [(x,· y)-(J3, t)) = O
(2J3, 2). (x-J3, y -·1) =·o
2J3 (x -J3) + 2(y -l) = O
2J3.r + 2y-8 = o.
Portanto, 2J3 x + 2y -8 = O é a equação da reta tangente à cUiva x~ +i= 4, no
ponto ( J3, 1).
(v) Potencial de um campo elétrico.
Consideremos
uma carga elétrica positiva Q,
situada na origem do plano .ty, confom1e
Figura 4.22.
Da Ffsica, temos que o potencial V, a uma distância r dà carga Q, é constante e é dado ·
por

90. .. : . :
'170 Ctflculo C Cap. 4
Assim, us curvas equipotcnciais no plano xy, isto é, as curvas de potencial constante,
são as circunferências de equação
x
2
+ y1 = r, ,. > o.
Figura 4.22
Seja P(x, y) um ponto de uma curva equipotencial. Se colocamos em P uma carga
unitária positiva
q, esta sofrerá; segundo a lei de Coulomb, uma repulsão.
O campo elétrico
E, gerado por Q, no ponto P, tem a direção do vetor r = xi + >1 e sua intensidade é d:~da
por
E= q.
r
Podemos então dizer que a carga q sofre a ação do campc/elétriw E. que é dado por
E
Q r
=
·,:f
I ri
Qr
-·
7
:I
Qx
i
Qy
j. =
2 ))/2
+ ., )J/2
(3) ..
(xl + y (x2 +' y-
: ?·.
Vamos agora determinar o gradiente do potencial V~ compará-lo com (3).
,-
SDI$W666
·--- ------ -- -----..:.(·:'acp·:_:4:.__::D~e~rl~·v~ad~'~' direcional e campos gradientes
171.
Como o potencial V é
,, Q
=
r
=
Q
J(x2 + /) ,
ternos
v v
;w-a v -
::-i+-j
dX êJy
--Qx Qy
(xl + l)Jn i -(x2 + /tr j
=-E.
Segue que, se conhecermos o potencial \1, podemos detcnn.inar
0 t:ampo elétrico E
pela fórmula '
É= -\'V.
l':Jmbém podcm~s enco~trar a taxa de variação do potencial V, na direção ;: , no ponto
P. Basta calcular a dcnv11da dm!cionnl. Temos,
ê)V
·-<P> = VV(P)
d.f
r
Ir i
= [ -Qx
(
> , ).vf,
x· + y-
-Qy )
(
' ')3/2 .c+ y·
--Qx2 Q/
(x2 -:;:-/{- (x2 + l)2
-Q
:: --:;---,
.c+ y·
-Q
=
~.T
(
X
) .,~ ,
R+ y-

91. 172 Cdlculo C Cap. 4
A expressão ~V <P> ::: -I.Êinos mostra que o potencial V decresce à medida que nos
as ·
afastamos da carga Q na direção do vetor r ::: xi + yj.
Visualizando o campo elétrico Ê representado na Figura 4.23, vemos que, para au­
mentar o potencial de uma carga positiva, é necessário deslocá-la em sentido contrário ao do
campo ei~trico. .
y
Figura 4.23
(vi) Um potencial elétrico é dado por V :::
20
, . Achar a i~tensidad e do campo elétrico
xz + y· . . ..
no ponto (1, 0).
Conforme o exemplo anterior, temos
Ê = -grad V
(
-20. 2x -20. 2y )
= (x2 + l)2 • (x2 + l)z
_ ( -40x -40y )
-( 2 1 )2 • 2 2 2 •
x + y· (x + y )
,·.
i.
. : ~ ::
:".
. •;.·
"l:.
Cap. 4 Derivada direcional e campo; gradien;es: 173
fto. O> grad V(!, 0)
(-40, O)
::: -40 i.
P011anto,
E ::: lEI ::: l-40 TI ::: 40.
4.6 EXERCÍCIOS
1. ~a l.cu lar, usando a definiçã_:>. a ~crivada direcional do campo escalar f(x, y) 110 ponto
md1cado e na direção v ::: ( + j . .
a) f(x, y) = 2x
1
+ 2/ em P(1, 1).
b)
f(x, y)
= 2x + y em P(-1, 2).
c) f(x, y) =e" r em P(O, 1) .
Nos exercícios de 2 a 6, calc.ular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e
direção
indicados:
2. f(x, y) =
x
1
-
yl, P(l,
2), na direção de ii ::: 2T + 2].
3. f(x. y. z) "'.\)
1 + z. P(2, I, 0), na d ire~·ão do eixo positivo dos z.
4. f(x, y) = 2x + 3y, P(-l, 2), na direção da reta y = 2x.
5. f(x, y) = 2-X
1 ~ yl, .P(1,
1), na direçã_ o· do vetor tangente unitár io à curva
C: r(t) = (t, t·) emP{l, 1). . . · .
6. f(x, y, z) = 2x + 3)i-z. P( 1, 1, -I), na direção do eixo positivo dos y.
·:-· . Nos exercfcios de 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.
· ·.-;·:.-· 7• f(x, y, z) = xy.+ xz + yz
· ~L.f(x, y, z) = x
2
+ 2y2+ 4z
2
· 9';· f(x, y) = 3.\i -2y
.. ';"_•
I
I'
:I
i
I
I
I
. J
: ,.
~ i
(
I
I

92. "174 Cá/.:ulo C Cap. 4
10. f(x, y, z) = Jxyl:
11. f(x, y, z) "' z-V+ ./
12. f(x, y) = é•, '_,.
· 13. f(x, y) = are tg xy
2x
14. f(x, y) = -­
x-y
15. f(x, y, z) = 2xy + )'<.
2
+ lnz
rx+Y
16. f(x, y, z) = v-:-
,l_,.
17. j(x, y, z) =: ze· ·
Nos exerdcios de 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido
pela função dada:
Cap. 4 Derivada dirtcimwl e campos grodiellles 175
27. Provar as propriedades (i), (il) e (iv) da seção 4.4.3.
28. Detcmunar e representar graficamente um vetor normal à cu1va dada no ponto indic ado:
a) 2x
1
+ 3/ = 8: P(I, .fi)
b) y = 2~!; P(--1, 2)
c) x2 + yl= 8; P(2, 2)
d) \'"' 5;:-2: P(-~
.2' ·i)·
29. Dctenninar um vetor normal à superfície dada no ponto indicado e representá-lo geome­
tricamente:
a) 'Lx + 5y + 3z = I O;
c) 2z "'x ~ + y~;
.,
P(l 2 .:2)
' • 3
P(O, O. 0)
P(l, 1, 1).
18. u(x, y, z) =-~ (x
2
+ / + <:
2
)
l
1 I
2
, 30. Traçm· as curvns de nfvcl de J(x, y) =
2
x +
2
y que passem pelo~ rontos (I, J ),
(1, -2) e (-2, -1).
19. II(X, )') = 2X + 4y
20. u(x, y) = í, ,
2vx-+ y-
1 '
21. u(x, v) = -x-
. 2
22, II(X, y) = X
1
+ i
23. u(x, y) = 2x-y
' ' .. >Jf
24. u(x, y, z) = 2x
2
+ 2y· + 2z- : j:J
25. Sejaf(x, y) = 2x! + 5/. Representar geometricamente ~f(x 0• y) sendo (x11• Y0) dado por .?fi
a) (l, l) b) (-l, l) o) (~, J3} ·~ ~~ ·
26. Dados A(l, 2) e 8(.!_ 2) c a funçãof(x, y) =In .xy, determinar o ângulo formado {~~f ..
2 2 I (li~ ·~:
pelos vetores V f(A) c í/ f(JJ). . ·.:Mf~t? .
·*I"; r:.··
·~·~.r. ..
'$.~ft \.:J.: ...
Traçar os vctore~ \
7
f(l. 1), Vf(l, -2) e Vf(--2, -!).
Nos exercícios de 31 a 35, determinar uma equação para a reta normallt curva dada,
nus ponto~ indicados:
31. y:: x~; Pu<1. 1), Pp, 4)
32. X~- · y
2 = I; ~,(...fi, I)
33, X-· \'
1
= -4· p ( 3 1) . ' ,,-.
34. X+ y = 4; Pfl(3, 1)
35. x
1
+ y
1
== 4; 1',,(2, 0)
t·· .. Nos exercícios de 36 a 40, determinar uma equação vetori éll para a reta normal à super­
ffcic dada, nos pontos indicadrJs:
3G,z "'X
1
·t yl-1, P,(l, 1,1)
;
' J
. ·I
. ,,

93. I.
/76 Cálculo C Cap. 1
37. x
2 + y
1
+ z
1
= 4, P
0
(1, 1, J2), Pp, 1, -J2)
38. x
2
-+ l= zl, P
0
(3, 4, 5)
1 1
39. X+-y + -Z = 1, P
0
(1, 2, -3)
2 3
x
2
, z
1
( 1 3J3)
40. 4 + y· + 9 = I, ~. O, 2 , 2
41. Calcular ()J (x
11
, y
11
) na direção ii = 2T -]:
as
a) J(x, y) = 3x
1
-
2/;
(xu, )'
0
) = (1, 2)
b) f(x, y) =e''; (x
11
, Y
11
) = (-1, 2)
X+ y (
c) J(x, y) = --; (xu, Y
0
) = O,
1-X
42. Calcular as derivadas direcionais das seguintes funções nos pontos e direções indicados:
a)
f(x, y) =
e-x cosy em (0, O) na direção que forma um ângulo de 45" com o eixo
positivo dos
x, no sentido anti-horário.
b) f(x,
y, z) = 4x~-3y~ + z en1 (-1, 2, 3) na direção da norn1al exterior à supe1ffcie · ..
x~ + l+ z
2
== 4, no ponto P(l, I, .fi).
Nos exercícios de 43 a 47, determinar a derivada direcional dj função dada:
43.
J(x,
y, z) = 3x
1
+ 4/ + z, na direção do vetor â = i + 2] + _'2k.
44. f(x, y, z) = xy + xz + yz, na direção de máximo crescimento.ôef.
45.
J(x, y) = x
1
+
yl, na direção da semi-reta y-x = 4, x ~O. ·
46. J(x, y) = 4-x
1
-y,
na direção de máximo decrescimento.'def.
47.
f(x, y, z) = J1 -x
2
-
l -z
2
,
na direção do vetor
ã ~' i + ] + k.
48. A derivada direcional da função O> = f(x, y) em f,p, 1) na direção do vetor··
aro .
Po~, ~ (1, 2), é 2, e na direção do vetor P
0
P,, P
2
(2, 0), é 4. Quanto vale a; em
P
0
na direção do vetor P
0
O, onde O é a origem?
~ · ...
49. Em que direção devemos nos deslocar partindo de Q(1, 1, 0) para obtermos a taxa de
maior decréscimo da função f(x, y) = (2x + y-2)
2
+ (5x-2y)2?
50. Em que direção a derivada direcional de f(x, y) = 2.)'-x
2
no ponto ( 1, 1) é nula?
51. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente
no ponto dado? Em
que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a) f(x, y) =
2x
2
+ xy + 2yl em (1, 1) ·.
b) f(x, y) = e'
1
' em (2, -I).
52. Determinar os dois vetores unitários para os quais a derivada direcional
de f no ponto
dado
é zero.
a)
f(x,y)::;x
3
yl-xy, P(lO, 10)
X
b) f(x, y) = --, P(3, 2)
X+)'
c) f(x, y) = e
1
" .",
P(l, 0).
""53. Uma função
diferenciávelf(x, y) tem, no ponto (O, ~).derivada direcional igual a~
d. -3' 4
7
. 1 li d' -4
7
3
7
C 1 I na treçao 1 + J e 1gua a -na 1reçao 1 -1 . a cu ar:
5
a) V f( o, ~)
b) CJf (o . .!:) na direção ã = i + j.
as 2
. 2
54. Detenninar a derivada d irecional da função z = (y -I) no ponto P
0
( I, J2), na dire­
x
ção da normal exterior à elipse 2~ + 3y2 = 8 no' ponto P
0
•
Nos exercícios de 55 a 58, encontrar o valor máximo da derivada direcion al do campo
escalar dado, nos pontos indi
cados:
'>·;~S. f(x, y) = xy
2
-(y-x)
2
; P
0
( I, l)
· · · 156. f(x, y, z) ~ x
2
+ 2xy + z
2
; P
0
(0, O, O) e P
1
(1, 2, 2)
-;
J
. ~
:j
!

94. --.....
178 Cálculo C Cap. 4
57. f(x, y, z) "'cos x + sen y; P
0
(x, y, z)
v
58.f(x, y)=arctg-'-,?
0
(-1,1).
X
59. Dada a função w = .x
2
+ l + · z
2
,
detenninar sua derivada direcional no ponto
P(1, 1, J2), na direção da normal exterior à superffcie z
2
= .x
2
+ y? em P.
60. Admita que T(x, y) = 4 -2x
2
-
2y2
represente uma distribuição de temperatura no plano
:ry. Determinar uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se
desloca, a pnrtir de (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da tem­
peratura.
61. A Figura 4.24 mostra uma
plataf01ma retangular, cuja temperatura em cada ponto é
dada por T(x, y) = 2x + y. Um indivíduo encontra-se no ponto P" desta plataforma e
necessita esquentar-se o mais rápido possível. Detemlinar a trajetória (obter uma equa­
ção) que o indivíduo deve seguir, esboçando-a sobre a plataforma.
Figura 4.24
62. Uma plataf01ma retangular é rep~esentada no plano -D'.P?r
O S x S 15 e O S y S 19
A temperatura nos pontos dn platafonna é dada por T(.r. y) = x + 3y. Suponhamos que
duas partículas P
1
e P
2
estejam localizadas nos pontos ,(i, 1) e (3, 7), respectivamente.
a) Se a partícula P
1
se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e a
partícula f se deslocar ua direção em que se esfriará mais rapirl:unente, elns se
encontrarão?
, I
~·i
j
. I
. i
. i
I
··l
··.
I
I
I
. I
Cup. 4 f>eril•f!da direcional e campos gradicnrt:s
179
b) Obter uma equação para a trajetória da partícula p. representando a b
1 forma. . I' -so re a p atn-
63. Resolver o exercício 6~ supondo que a temperatura seja c!ada por
T(x, y) = 1 (.x
2
+ /) -100 .
64. A densidade de uma distribuição de massa varia em 1 -- ·
'· re ayao a uma ongem dada Sel'undo
a fórmula p = -R-__
4
_ .,
, , .
r + y-+ 2
Achar a razão de vari:~ção da densidade no po1Jto (J 2) na d'. - f •
n • • • • 11 eçao que Olma um anguJo
de
45 , no sent1do
anll-horáno, com o eixo positivo dos x E
1
o nue d'. - -
. -· , . · ., ueçao a razao de
vanaçao e
máXJma?
65. Usando o
gradiente, encontrar uma equação para a reta tangente à curva i! _ .: ·-
1
ponto (.J2, 1). -Y -• no
66. Encontrar o vetor intensidade elétrica E :::-grad I' a J>a
111
· d fi - ·
t
·
1
.
d r a unçao
potenCHII V, 110
pon o 111r 1ca o.
a) 1
1
= 2t~ + 2)
12
- 7.~·, P(2 2 2
-. ' )
11t )
b) \1 = e>'cos x; Pl'2. o, 0
c) V= (x! + y1 + z!)·"!; P(\, 2, -2).
67. Um potencial elétrico é dado por 11 :::: 10
, 2 1 · Detenninar o campo elétr1'co
representando-o graficamente .
.r-+ y + z . •
4.7
DERIVADA DIRECIONAL DE UM CAMPO
VETORIAL
4.7.1 Definição
Consideremos um campo vetorial

95. ' ....
I,
180 Cálculo c; Cop. 4
Escolhemos um ponto p no espaço e uma direção em P, d_ada por um vetor unitário b.
se· a c uma semi-reta, cuja origem é P e possui a direção de b e ~eja Q um ponto sobre C
J . . r 't
cuja distância de Pés (ver Figura 4.9). Se extsllr o tmt e
à] (P) = lim f(Q)-]<P>, (I)
os s~n S
ele é chamado a àerivada direcional de] em P, na direção de b.
Usando as componentes de ] , reescrevemos (1) como,
a-. (.t;<Q)T + f
1(Q)] + f,(Q)k)-(.t;<P>T + !2<P>] + NP>k)
,}f_ (P} = hm ~~_.:._~~__::.::..:.::.:......!~~---=-------
as s~O S
(
. J;(Q) ·- J;<P>)-: (t· /2(Q)-f2<P>)
1
-= + (lim /1(Q)-NP>)k (2)
= hm· ' + tm s
.~o s s~O S s-tll
Observando (2), concluímos que a derivada direcional de] em um ponto P existe, se
e somente se, existem
as derivadas direcionais das funções escalares/1'/2 e
f,. Neste caso
temos
à] <P> = à.t; <P)T + of1 <P>] + (Jjl (P)k ..
dS OS OS OS
Usantlo os resultados obtidos na Seção 4.4.6, podemos escrever
(3)
SDOW666
Cop. 4 Derivado direcional e campos gradientes 181
= [b, ~ CP>+ b1 ~ CP>+ b3 ~ <P>]T +
[b1 ~ (P)+b2 ~ (P)+b.l ~ <P>]J +
[b1 ~ CP)+ b2 ~ (P) .+ .b
3 ~ (P)}.
Ou, em notação matricial,
'àf.. (P)
ds
of.. (P) 'àf.. (P) oJ; CP)
dx ()y (}z
a]
oh <P> o/2 CP) o/2 (P) êJJ; (P) -(P) =
=
as
ds dx oy oz
(4)
aJ; <P>
oJ; <P> of
3 <P> oJ; <P>
ds
ox dy (}z b)
A matriz que aparece em (4), formada pelas derivadas parciais das funções/, f /, é
• •• ')t l'
conhecida como MATRIZ JACOBIANA. Ela aparece em diversas ocasiões dentro de ;,m
curso de "Cálculo Diferencial e Integral". No Capítulo VI, voltaremos a u~i-la para fazer
transformação de variáveis no cálculo de Integ~~s de Superfície. q}_((Jj, (!(L (,,/,)(f)...;>
&.,(J~V\~ 'J J1ó/l Z([_!_,l f-,. ~I~] ( P) (Jjj' IA
Q (,,, '/, :1) à(~. ''')}
4.7.2 Exemplos . '
(i) Encontrar a derivada direcio~al em P(2, 1), do campo vetorial radial
](x, y) = xT + >J, na direção do vetor ã = i -].
Solução. Usando (3), temos
o] r- ]-; r-
as (2, 1) = b. grad f..C2, 1) I + b. grad /2(2, 1>]].
-ã 1 -I· -
Como b = -= -i --j·
d lãl .fi .Ji .

96. .......
)82 Cálculo C Cap. 4
J; = x; grad f.. (2, 1 l = i ;
f
2 = y e grad Ji<2, 1) = ], vem f&.~ l'
'-~ /I
~ <2. ll = [( ~ -T --~ 7). T ]i + [( ~ T -~]).] ]J
1-1- ~(1,') ~ 1-, al[í'r·J
= .Ji i -..fi j. {)J-
0
1 ·'/(1
0õ) S<j' ](x, y) ·,§ -?? ff~
1
'•': r~ l•" ,? i -I~ )
a) Mostrar que o ~ódulo da derivada direcional de f(x, y). no ponto (I, 1), é· •ual a 2,
para qualquer direção no plano xy.
b) Encontrar a direção no plano xy, na qual I f (1, 2)1 tem valor máximo .
Solução de (a). Uma direção no plano xy pode ser e_xpressD pelo vetor unitário _
.. :: ·)' -.. - ---------:-----?f.-Ji;, v/11.-..<· J 5(1'1/ft
. ,, = cose i + sen o j. conforme Ftgura 4.25. . I .
Usando (3), vem
y, ----------À
" '
I
I
I
:})1> I (j
I
0 C,6>Ú
: .
y, -----.---------~
: : ·x
x,
Figura 4.25
-f o, 1>
7 (E. grad f.. O, n)T + p;. 'grad /
20, o]].
Como J; = x
2
;
grad
f.. (1, 1) == 2T;
/2 = -l egrad /
20, 1) = -2], temos
Cap. 4 Derimda dire<'io11al e campos gradit!ll/cs 183
a](!, 1) "' [(cose T + sen a]). 2T)T + [(coso T + St!ll e]). (-2])]7
ds ,, , o
I. ;:)' • I ,z ~ r t-/
- - (}v C> ·-I . '~
= 2 cos o i -2 sen e j. . - r ' '
t7~' () . ... . L ti:t· ,.'
. '·f
Portanto,
= 2, para toda direção no plano .)'.
Solução de (b). Para encontrar a direção no p1anoxy, na qual la] (1, 2>jtem valor máximo,
êJs
. . . 1 I I J]' 2 -•· d - - -
vamos tnlCJa mente ca cu ar (], ) • na utreção e b = cos e i t seu a j. Temos,
êJs
~~ (1, 2) =[h . grad J;o. 2>)1 +[L; grad /
2
0, 2)]/
= [(cose T + sen e]) . 2T)T +[(cose f + sen e]) . (-4])].7
"' 2 cos e T -4 sen e].
= 2 .rc;;;!e + 4 sen
2
a. ();e..c I + > il.<---z. ~
Devemos encontrar, ~gora, o valor máximo de
Deriva
ndo
gCe), vem
•
9
1 ( , 2 )-In
g ( ) = 2.-cos-e + 4 sen a . (-2 cosa sen a + s sen e cos 8)
2
~ ---2__".
-------r
/1;-. 3 ))h.
2 o ..
'

97. .; ~,-..
I Í
'
I
I ;
·. '
I •
I .
'·---...
~.
i ..
u·
f.
I ,.
I
18-1 Cálculo C · Cnp. 4
1t 31t -
e O t-a - o -1t e -sao
Igualando g' (8) = o I temos 6 cos e sen = I e en ao.. -~ 2 : / 2
o Jllx' 20' = 9 :::P ~e =;w·I(IJ ;~"(_o Í e' l..!!. pontos çríticos de g. Para e = I temos ()': !i.f{.-() ' rrh- ;?
- 2 0,-)'f'(
l
a] (1. 2)1 = 2; para e = 2: temos lo! o. 2)1 = 4; para e = 1t temos
~ I 2 ~
l
a] \I, 2)1 = 2 e para e =
3
; temos lfs (1, 2)1 = 4.
às
l
-
1
31t
· àf (1 2 a e -~ e -.Dessa forma, a
Portanto. o valor máxtmo de às , ocorre pare -2 2
_ J_J., {o; I)~ .Mt (orl)
_,. .~)no plano X'\' na qual lo/ (1, 2)1 tem valor ;:náximo, é d~d~
ul~\.ll . ' às -~
à--------
h = ±].
tiiD C:tlcular a derivada direcional da função
-: . . -) = exT t e-'·
1
-= + e'k no ponto P(l, 2, 2), na direção do vetor
.ft.\. ·'· ~
,-: -; + j.'
,; _, -.I ..
:\,·~ •~ ~~~mplo, usaremos a notação matricial. Temos,
à!; (1 2 2)
2
às ' '
[''
6
:l
J6
à] (i ofl <1 2 2) ~2
-I
2, 2) =
= :
J6 às ' às ' '
of) o .2 2)
,O
el
1
J6 êls ' '
SDI$W66fi
Cnp. 4 Derimda direcional e .:ampos gradientes 185.
2e
../6
4.7.3 Interpretação Física
Consideremos um fluido movendo-se em uma região D, em regime estacionário, isto é, ave­
locidade em qualquer ponto P(x, y, z) é independente do tempo. Então, a cada ponto P e D,
está associado um vetor v(x, y, z), que é a velocidade do fluido em P (ver Figura 4.26).
Figura 4.26
,. . A derivada direcional de ii em P, em uma 'direção dada h, expressa a variação da
velocidade do fluido, em P, na direção b.
, 4.7.4 Exemplo
·,'. (I .
: .
. ·~ ... Seja v(x, y, z) = x
2
T + 2/] + zk, a função vetorial que define a velocidade deu~ de­
_: temúnado fluido, em um ponto P(x, y, z) do espaço. Detemúnar a variação da velocidade do
. fluido na direção do vetor ã = i + k, em P(l, 1, 2).
. .... :

98. t•:-;r •
:,
·--..
•· •· •. t.
·-. · .. ~-
186 Cálculo C Cap. 4
O vetor· unitário na dirt:ção dada é
jj = !!._
lã I
1 -l -
= .J2 i + .,fi' k.
- ()ii .
Em P(1, 1, 2), a aceleração na direção de b é dada por -;-(I, I, 2).
os
Temos,
~~ (1, 1, 2),. [E. grad _t;(l, I, 2l)T + [b. grad 1;<1. 1, 2>]] +
[E. grad /
3
(1, 1, 2>]f
'"[(~i+ ~f) . (27)} +[(~i+* f) . 47]] +
[ ( ~ i + ~ k) . k ]f
4.8 DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO VETORIAL
4.8.1 Definição
Seja](x, y, z) == f.(x, y, z)Í + f
2(x, y, z)] + f,(x, y,_·z)k umcampovetorialdefini­
do em
um donúnio D. Se existem e são contínuas as derivadas
a1; . of
2
, oj) , definimos
ox êly az
a divergência do campo vetorial ] , denotada por di v ] , c~mo a função escahu·
div ] = êl_t; + êl/2 + of, .
. . ax oy oz
(I)
Podemos interpretar (I) como
1:
· .. \.
-:à
r
SD$W666
Cap. 4 Derivada direcional e campos gradimtcs
187
---
div j = V.]
Quando usamos esta simbologia, entendemos que o produto (!). f. representa uf~ .
(
a) a (a a ax
Analogamente, -. f
1
== _'1/
2
e -) . h = 1h .
ay ay az az
4.8.2 Exemplo
Dado o campo vetorial f(x, y, z) = 2x
4
i' + e"~} + >.yz k, calcular di v j.
Aplicando (I), lemos
4.8.3 Propriedades
Sejam] = (f., f!, f,) e g == (g
1
, g
2
• g
3
)
funções vetoriais definidas em um domfnio D
e suponhamos
que di v] e div g existem. Então:
a) div (1 ± if) = div ] ± div g
b) di v (!if) = h di v] + grad h. ]. onde h = h(x, y, z) é uma função escalar diferen­
ciável
em D.
Prova do item (b). Temos,
di v (h]) = di v (h_t;, h/
2
, hf,)
a <J a
= -;-( h_t; ) + ": (/Jf; ) + -(/if3)
ax oy oz
·!
. I
I
I'
I
i
i!
! .
i
I I

99. r.-· ..
~
·:
''
·188 Cálculo C Cap. 4
ê)J ar àh àfl àh àfJ
= ___.!. J; + h _:1_11 + -f. + " - + -fJ + " -
dX êJx oy
2
êJy ê)z , ê)z
= '{ ~ . + ~ + ~) + ( ~; J; + ~~ /2 + ~~ f,)
...
= h di v] + grad h . ].
Supondo que existam as derivadas de 2
1 ordem de f, podemos detenninar di v .(grad f).
Como grad f= (~ • ~ • t}
temos
. a (ai) <> (at) j_ (à!)
dtv (grad f) = êJx àx + ày ày + àz àz
à
2
! à
2
! a
2
f
= àx
2 + à/ + àz
2
•
Usando o operador V na expressão (2), reescrevemos
al a2 a1
div (grad f) = V'. Vf
·= '12 f,
·' ....
.t
~~ .
·t
r,
'!
:·
·~·
~~
',!
onde '1
2
= -, + -, + -, .
ax-ê)y-()z- ,i .. ,
·~··
o operador diferencial V
2
é chamado Laplaciano e é muito usado na Física. A equa-;?
ção
é chamada equação de Laplace.
4.8.4
i
Interpretação Física da Divergência
Na Mecânica dos Fluidos, encontramos a Equação da Continuidade
. -ap o
dtv u +-= •
àt
. ) ~~
p ~r · 1) :.
----~/ 1
/
~.~1;
·'"
(3) :~:
Cap. 4 Derivada dirtcional e campos gradientes 189
onde ii = pii. sendo p = p(x, y, z. t) a densidade do fluido e ii = v(x, y, z, t)
0
vetor
velocidade.
Reescrevendo a equação (4) na fom1a ~~ = -di v ü, vemos que a divergência de um
campo vetolial surge como uma medida da taxa de variação da densidade do fluido em um
ponto.
Quando a divergência é positiva em um ponto do fluido, a sua densidade e1;tá diminuin­
do com o tempo. Neste caso, dizemos que o fluido está se expandindo, ou ainda, que existe
uma fonte de fluxo no ponto.
Quando a divergência
é negativa, vale o oposto. Se a divergência é zero em todos os pontos de uma regiã _o, o fluxo de entrada na região
é exatamente equilibrado pelo de saída. O fluxo não é criado nem destruído, ou seja, não
existe fonte nem sumidouro na região.
Se p = const<tnte, isto é, a densidade não é função das coordenadas x, y, z e nem do
tempo t, dizemos que o fluido é incompressível. Neste caso, a equação da continuidade toma
~ a fonna di v v =O, e o campo vetorial v é chamado soleno idal.
4.8.5 Exemplos
(i) Um fluido escoa em movimento uniforme com :ve loc id~de ii = .\]. Mostrar que todas as
partículas se deslocam em linha reta e que o campo de velocidades dado rep resenta um
possível escoamento incompressível.
Solução. Analisando a representação gráfica
do campo vetorial
íi (ver Figura 4.27), con­
cluímos que todas as partículas se deslocam em linha reta.
Para verificar que v representa um possível fluxo incompressível devemos mostrar
que o campo de velocidade v satisfaz a equação
1
f... "l ( · , r.L~·/ <. p
1
tP l.i /..o
h o(.(, tlJI'
::; O.
<J
'---;> r;, eLe, 1-lMÚ -' J ((,
,,.,_,~ ./-- {:J..-L' T-:lC•
I
{)f.~ J.,:,...{J;)J,l.,, Jp >o
f[
~& --, a~-t (.-/ .L:.,,('
(/r;, r'··· •. C . •. - . /,. I

100. 190 Cdlculo C Cap. 4
t i
i t lj
t i
, I
Figura 4.27
(ii) Um campo de escoamento compressível é descrito por
I -: -1 -:
ii = pii = 2xe-1 -)..ye J,
onde x e y são coordenadas em metro, t é o tempo em segundos, p .~ v em kg/m
3
e mls, ··I
respecti vame ntc. Calcular a taxa de variação da densidade p em relaçao ao tempo, .~o po~ .to _ : j
P(3 2 2) parat=O. :· ;;r"/;tyJ,f, ''IJJ }.!t~\ 1
. . • ·. J f -1 /·)
'I, (' (I, l, 2 J1tVU• . :11> &·;
Solução. Usando a equação (4), vem
- -) ap o.
div (2xe-' i -xye-' j + ãf =
()p _, 2 _,
- = xe -e .
dt
o
-
~' -~f,J-f,.·
ai I
ÇL/'
1
; .z} .. t -j.
(li 1,1 .1)))
...
Para t = O, temos = -< (J.., 7, 1) , ·.;~
élp 1 •. -v :;:
é)p = x _ 2 e portanto, no ponto P(3, 2, 2), dt .:: 1 kg/m· .s. --~ )~J J.c..,.,. llJ~
iJt ·· ;rt
~t.{,
~]·
·.1~ (·. ,.
Cap. 4 Deril•nda direcio11a/ e campos gradielltes 191
(iii) Quando uma funç~o escalarf(x, y, z) tem derivadas de 2a ordem contínuas e
di v grad
f=
O em um domínio, ela t! chamada h annônica nesse domínio. Verificar- se as
seguintes funções são harmônicas:
a) f(x, y, z) = x~y + eY-z
b) f(x, y, z) = by + yz.
Solução. De (3) e da definição de função hannónica, concluímos que uma função f é hannõ­
nica se e, somente s~,J é solução da equação de Laplace.
Basla, portanto, fazer essa verificação.
a)
Paraf(x, y,
z) = x~y + e.r-z. temos
o' . d ( ) O ( > ") (j
,.·1 = :-2.ty +-x· +e· + -(-1)
âx ély ()z
= 2y +e-'' +O
= 2y + eY :f. O.
Pottanto,f(x, y, z) = x~y + er-z não é uma função harmônica.
b)
Paraf(x. y,
z) = 2xy + yz, temos
'Vf == (2y, 2x + ;:, y) e
'V~f = o.
Pottanto,f(x, y, z) = 2ty + yz é uma função hannônica.
(i v) Verificar que a equação da continuidade
pode
ser escrita como
d
o
- élp o
IV ll +-=
élt
iJp
-+ grad p . ii + p div v = O.
dt
, I
I,
. I
I

101. .
.,
).
. ~
);{
··,
,.
!•
/92 Cálculo C Cap. 4
Solução. Confonne vimos em 4.8.4, ii = pii, onde p = p(x, y, z. 1) é a densi~ade de um
fluido e ii = ii(x, y, z. 1) o vetor velocidade.
Considerando ii = (v,. v
2
,
v
3
), temos
div
ii = div p ii
a a a
= -:;-(pv1) + -:;-(pv2) + -;-(pv3)
ox ~ oz
av. ()p av2 ap av] ap
= p-+ v
1
-+ p-+ v
2
-+ p -· + v1 -
OX dX oy dy OZ . dZ
(
av1 av2 ov3) ( ap ap ap)
= p - + -+ -+ v. -+ v, -+ v, -
ax ay az OX -(Jy . az
= p div v + grad p . ii.
Portanto,
d
. -ap o
lVII +-=
OI
pode ser reescrito como
()p
- + grad p . ii + p div ii = O. !
at
4.9 ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL
4.9.1 Definição
Seja f(x, y, z) =. ft(x, y, z)i + f
2
(x, y,. z)] + f
3
(x, y
1
;
z)k
um campo vetorial defini­
do
em um domínio D, com derivadas de
1• ordem contínuas em D. Definimos o rotacional de
J, denotado por tut ] , como ·
rot] = 'V x J
i j k
a a a
ax oy az
Cap. 4
Deril•ada direcional e campos gradientes
= (afl _ ofl)T + (at. _ ah); + (af2 __ at.)f.
dy dZ ()z dX dX (Jy
4.9.2 _Exemplo
Determinar rot J, sendo
- 2- - -
f = xzy i + xyzj + 3xy k.
Temos,
rot] = 'V x J
i j k
a a a
ax ay oz
= (3x -).)')i + (xy
2
-
3y)] + (yz -
2xzy)k.
4.9.3 Propriedades
'193
Sejam f(x, )', z) = (f.. f2. h) e g(x, y, z) = (g,. g
2
,
8.r)
funções vetoriais definidas
em um donúnio D com derivadas parciais de 1~ ordem contínuas em D. Então:
a) rot
{J +
8) = rot J + rot g

102. 194 Cd/culo C Cal'· 4
b) rot {IJ) == h rot 1 + grad h X 1
onde h = h(x, y, z) é uma função escalar diferenciável em D.
Prova do Item b. Temos,
j
a
ay
k
a
az
(
. 2/1 • ?f, ah I ê!f2 ) 7
"' -.h+h-:t"-~·~2- I~ I+
i)y ·O)' V' U(.
(
Cir r I (!.. -êJh f -11 ((, ) )-: +
."+I. a·J a
()z ô.: r r
(
dlr (f, iJr I é!; )ik_
- . !2 + " -a--~ . J; -r :;-•
~ r v)' uy
'
(
(f, (!2 ) 7 ( (ir f dlr f ) ~
=h-·--1+ -
3
-- 2 I+
ay dz cy êiz.
(
êY; (f, ) -: ( 0/r ?ir )'-:
" ---· J + -J; --f, J +
(}z ar (}z ar
(
(f, êY; ) -( (J/r 0/r ') ..
h ·--=--_L k + -!2 - -Jj k
ar ~· ar ê)y
= Ir rot 1 + grad Ir x ].
I
.,
..
. l
:f
.I
.. ,
. "•'l
·~ ..
./
.·
·)
Cap. 4 Derivada direcional r. campos gradienles 195
4.9.4 Interpretação Física do Rotacional
O rotacional de um campo v.;;torinl aparece em di versas situ~ções da Física. Por exemplo:
(i) Na análise de campos de velocidade na Mecânica dos Fluidos;
(ii) Na análise de campos de forças eletromagnéticos;
(iii) Pode ser interpretado como uma medida do movimento angular de um fluido e a condi­
ção
rot ii = Õ,
para um campo de velocidades v, caracteriza os chamados fluxos irrotacionais;
(iv) A equação rot E = Õ, onde E é força elétrica, caracteriza que somente forças eletros­
táticas estão presentes no campo elétrico.
Nos próximos capítulos, voltaremos a explorar essas idéias físicas.
4.9.6 Exemplos
(i) Um corpo rígido gira em torno de um eixo que passa pela origem do sistema de coordena­
das, com vetor velocidade angular & constante. Seja ii o vetor velocidade em um ponto P do
corpo. Calcular rot ii.
Solução. A Figura 4.28 ilustra este exemplo.
Figura 4.28
:r,.
i

103. ·196 Ctflc111o C Cap. 4
Da Física, sabemos que o vetor velocidade em um ponto P do corpo é dado por
v = & x r,
onde ;: é o vetor posição do ponto P.
Fazendo & = (co" W
2
, w3) e r = (x, y, z), temos
i j k
v
X )' Z
(w
2z-w
3y)T + (w
3x-w,z)J + (w,y-W
2x)k.
P011anto,
rot v
i j k
i) () a
dX ê)y az
w,y -wlx I úl2Z -WJY úl3X ·-.colz
(úl1 + úl1)i + (ro
2 + co2)] + (úl3 +/roJk.
== 2ro
1
i + 2ro
2 J + 2ro
3 f
2&.
(ii) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
v = !Ox T -lOy J + 30 f. ,'
Verificar se o escoamento é:
a) um possível escoamento incompressível;
b) in·otacional.
I
i
I
I
·i
I
'
•,I
·I
:!
. ..
.. ~.i
·. I
' I
.. I
.. ,
.. I
,,.,.
<i
SDI$W666
Cnp. 4 Deril•adn direciollal e campos gradie11tes 197
Solução de (a). De acordo com 4.8.4 devemos verificar se di v v = O.
Temos,
a a a
div v = -a OOx> + -a (-lOy) + -(30>
X )' az
10-10
=o ..
Logo, temos um possível es~oamento incompressível.
Solução
de (b). Devemos verificar se rot
v = O.
Temos,
rol I'
j
() a. a
ax ay az
10x -IOy 30
=·Õ.
Logo, o escoamento é itTolacional.
(iii) Para um escoamento no plano xy; .n componente em y da velocidade é dada por
yl-2x + 2y. Determinar uma possível componente em x para escoamento incompressíve l.
Solução. Para um escoamento no plano xy incompressfvel, devemos ter
div v == O, onde v = vJ + (/ -2x + 2y)J.
Temos,
div v
av, a ( 2 )
-+ -y - 2x +·2y
ax ay
av
·
a;
+ 2y + 2.
i!
, I
. I
J
.,
I

104. .. _ .. ,_.,
'·--. ... .
··--
198 Cálculo C Cap. 4.----------------
Resolvendo a equação
a v, + 2 )' + 2 :: 0 encontramos uma pOSSÍVel componente em X, isto é,
.ax ·
v
1 = f (-2y -2) dx + a(y)
= -2yx -· 2x + a(y),
onde a(y) é qualquer função em y.
(iv) No Exemplo 4.5 (v) vimos que o campo eletrostático associado a urna carga positiva Q
édadoporÉ = -VV,ondeV = Q r= R-+y
2
•
r
Verificar que rol É = O.
Solução. Podemos escrever
(
Qx
E -(x~ + l )312 •
Qy O 'j· e então
(
2 2 )J/2 •
X + )'
i j k
a a a
rol É' = ax a _v ()z
Qx Qy
o
( 2 2))/2 (x2
2)312
),' + y +y
-: -: ( -3 Qxy 3 Qxy ) -:
= Ot + OJ + ( ' 2)sn + ( ' . 2)~n k
x-+ y x· ,+ y
O, em todos os pontos fora da o~gem.
,!1
!
i
I
I
. I
i
Cup. 4 Derivada direciOtlal e campos graJiclltcs 199
4.10 CAMPOS CONSERVATIVOS
4.'10.1 Definição
Seja 1 um campo vetorial em um domínio U. Seu= u(x, y, z) é uma função diferenciável em
U tal que
J = grad 11,
dizemos que J é um ~ampo conservativo ou um campo gradiente em U. i função 11 é
chamada funçüo potencial de 1 em U.
4.10.2 Exemplo
V:•.t f</ I -+-i I ;j ) ·1. !
O campo vetorial
] = (4x + Syz)T + SxJ + Sxyk
é um campo conservativo, pois a função 11 = 2x! + Sxyz é diferenciável e.m !J-' e o seu
gradiente r. ]'. Portanto. 11 é uma função potencial para 1.
4.1 0.3 Teorema
Sejn 1 = (f;, f~. f,) um campo vetorial contínuo em um domínio U, com derivadas par­
ciais de. !A ordem contí nuas em U. Se 1 admite uma função potencialu, então
rol j = Õ pnra qualquer (x, y, z) e U. (1)
Reciprocamente, seU for simplesmente conexo e (1) for verificada, então j admite
uma função potencia ltt::: u(x. ,v.;::) em U.
Observamos que ( l) pode ser ree~c rita como
CJJ; CJf2 oJ; CJfl ~r2 CJJ3
--= -. -=-e-;:-.
(Jy CJx (}z ax (}z ()y
(2)
Prova Pardal. Provare mos apenas a ~ondição necessária. A prova da condição suficiente
será omitid a.
I I

105. I,.
200 Cálc11lo C Cap. 4
Seja 11 = u(x, y; z) uma função potencial para 1, em U. Então ué diferenciável em U e
1 = grad u,
isto é,
I
-: -: dll -: ou -; 011 -
J;t +. fzJ + /3' = -I + -J + -k.
êJx ~v oz
Temos, então
r _ ou f _ ou f _ 011
Ji - ' ' - e 3 - •
ox -oy a ..
. (3)
Derivando ambos os membros da primeira igualdade de (3) em relação a y, temos
'dJ; = !._ (êJu)
ay oy ox
=--
oyêJx
Derivando ambos os membros da segunda igualdade de (3) em relação a x, temos
d/2 = !._ (dll)
ax ax dy
cfu
êJxêJy
Como as derivadas de 1 são contfnu as em U, usando o Te~rema de Schwarz eoncluf­
mosque
êJJ; êJf2
-=-
oy ·ax
Analogamente, obtemos as demais igualdades de (2).
4.1 0.4 Exemplos
Usando o Teorema 4.10.3, o que podemos afim1ar a respeito dos seguir1tes campos vetoriais
1 cmD?
I
!
i
. I
: I
I
.I
l
.. :~. i
>I
. I
.... I
\j
Cap. 4 Derivada direcional e campos gradientes 201
a) 1 = 2x
2
y 7 + 5xz] + x
2
/
k
em D = /?3.
b) 1 = (4xy + z)i + 2x
2
]
+
xk emD=/?3.
c) -y
7 x -:em
f = x2 + l ' + x2 + l J
D, ={(x,y)l(x-3)
2
+/ <l}eD
2
={(x,y)ll<x
2+/ <16}.
Solução de (a). Calculando as derivadas parciais, temos
êJJ; = 2x
2
oy
o fi
f '1 ) (• _, " I·'' ·'? I t -' . > ).1
, l(c li· .. · l -..: ,, ;,.. "' -; J , ( "-·'.!,:I f.
... :. ,)
= 5z,
dX
{
:.
• j ·,c, . . , • .'/;~ '.
oJ; = o
oz
ofz = 5x
oz
e
êJJ) = 2xy2.
êJx
Portanto, rot 1 :t. O e dessa forma 1 não é um campo gradiente em !i3.
Solução de (b). Neste exemplo, o campo dado é contínuo com derivadas parciais de p
ordem contfnuas em /1?
3
• Além disso,
i j k
rot f =
a a ()
êJx oy oz
4xy + z 2x
2
x
= (0 -O)t + (l -1>] + (4x -4x)k
= õ.
Portanto, 1 é um campo conservativo em /J
3
•
Solução de (c). Calculando as derivadas parciais, temos
oJ; "ofz l -x2
oy = dx = (xl + l)2 .
) -. .... :
·!.!_D~ j "·. '.' • ,·
() '' ,, :
I 'I
. (,. ,.j v·) • I I
.I
• I
-/
----,;"
I
/
·>
~
l-
(::
~-,
o /
_.,
/~ ()
,.""),,,
·' .,
....... :.
-----

106. /.02 Cri/cu/o C Cap. 4
Além disso, essas deiivadas são contínuas em todos os pontos (x, y) :1: (0, 0). Porém,
como o campo] e suas derivadas não estão definidos na migem, devemos tomar muito
· cuidado ao analisar o domínio.
A Figura 4.29 mostra os domínios D
1
e D
2
•
y
.... -,
I O,
y
(
, '
,, .... ----.... ,,:
/,; ', ti····
I ', lt
/ o, ,-..t··(
, J!l
I ,-' I
I
I
I X
-r-----i ·-1---&-,----~
/1 I
I
I
I

'
' '
figura 4.29
' ...
' / I
"' ...........
_ .....
/
/
I
I
I
Podemos observar 4ue D
1
é um domínio simplesmente r.:onexo. 4ue não contém a ori­
gem. Portanto, usando o Teorema 4. 10.3, concluímos que ] é conservativo em Dr
O domínio D~ também não contém a origem. Mas ele apresenta um "buraco". Não é
simplesmente conexo. Assim, usando o Teorema 4.10.3, nada :podemos concluir sobre a
. ·existência de uma função potencial para ] , em D
2
•
-No próximo capítulo, veremos que J não é conservativo em D
2
•
4.10.5 Cálculo
de uma função potencial
Supondo que ] = (,iJ, /
2
, /
3
) é o gradiente de uma função potencial 11 em um domínio
U C /J
3
, podemos determinar 11, usando as igualdades
Os exemplos que seguem, nos mostram o procedimento a ser adotado.
. ;
I
'·.
Cup. 4 Derivt"la direciono/ e campos grodientes
203
#
4.1 0.6 Exemplos
(i) Veriticnr se o campo vetorial
J = (yz + 2)f + (xz + O] + (xy + 2z)k
é um campo gradiente em fi?
3
• Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial u.
Solução. O ~ampo vet~ri .al ] é um campo tal que ft, .t;, e 1; são funções contínuas que
possuem denvadas parc1ms de li ordem contínuas em R.!.
Portanto, como
'dJ; oJ2
Z,
dy é'Jx
~~ {)JJ
::: y e
oz dx
df, -
é)y = x. concl~fmos que f admite uma função potencial u em /JPJ.
dz
I ' í7"" . .;.. <'o I . . ?.!~-
Para determinar a função 11::: u(x, y, z). vamos escrever /;-·
d/1
::: J;
OX
y~ + 2
êJu
-=h = xy + 2;;.
dz
Integrando (4) em relação ax, vem
u = J (yz + 2) d.r
"i( = xyz + 2x + a(y, z).
Destt: resultado eJ8a rel<-aç~ã~
1
~~-~ cscrev::lo~
- xz + -= xz + L .,
dy, é)y /
(4)
(5)
(6)

107. 204 Cálculo C Cap. 4
()a
Logo, =
ê)y
a = f dy
= y + b(z).
Substituindo o valor de a(y, z) na expressão (7), obtemos
Deste resultado e de
(6), vem
ê)u
u = xyz + 2r + y +b(z).
db
- = xy + - = xy + 2z.
dz
db
Logo, - = 2z;
dz
êJz·
b = z
2
+ c, onde c é uma constante.
Finalmente, substituindo o valor
de bem (8), obtemos
u
=
xyz + 2x + y + z
2
+c.
(8)
Esta expressão representa uma fanulia de fu~ções. Para cada valor atribuído à cons­
tante c, obtemos uma função potencial do campo f.
(ii) A lei da gravitação de Newton estabelece que a força 1 de at~~ção entre duas partículas.
de massa Me m é dada por ·
f
-
G M
-J-
=-m rr
onde r xT + y] + zk e r lt=l. Encontrar o potencial newtoniana 11, tal que
f = grad u.
Solução. Inicialmente vamos reescrever 1.
1 = -GmM.(x
2
+ l + z
2
f
312
(xT +i >g + zk).
Calculando as derivadas parciais, temos
I.
·I
I
I
1
I
:.I
· ... ·
!4''
,.';·
SDI$W666
Cap. 4 DÚi1•ada direcional e campos gradieuJe; 205
{)FI êJ!f; ( 2 2 2 )-5/2
-~-
1
- - -3 GmMxz x + y + z e
éh -ôx -
of2 a11 ( 2 , , )- SI'
--::;-= -· = 3 GmMyz x + y· + z· · -.
uz é)y .
Salientamos que o campo 1 está definido em 1/?
3
-
(0, O, 0).
Corno o domínio de
definição de ] é simplesmente conexo e.(2) é verificado, usando o Teoren,a 4.10.3; pode­
mos concluir que existe uma função poten cialu.
Temos então,
OI/ 2 2 2 )-J/2
= -GmMx (x + y + z
ox
êJu
C!y
OI/ ( , , , )-312
---= -GmMz .c + y· + z· .
C!z. . . .
Integrando (9) em relação a x, obtemos
(
, 2 2)-112
GmM ,.c + y + z + a(y, z).
Derivando este resultado em relação a y e usando (I 0), vem
da
ê)y
. .
O e então a = b(z).
Logo, (12) pode ser reescrito como
. -1/'
u = GmM (x
2
+ l + /) -+ b(z).
Derivando este resultado em relação a z e usando (LI), vem
db
dz
O e. portanto b é uma constante.
Logo, o potencial
de Newton é dado por
{9)
{10)
{ll)
Cl2)

108. -206 Cdlcule> C Cap . .f
4.11 ALGUMAS IDENTIDADES VETORIAIS
·Usando o operador V == (~ , !._ !._) representamos o gradiente de um campo escahu·
ax é.ly ' oz
$. V$, o divergente de um campo vetorial], V.]. e o rotacional de J, .\' x ].
Listamos a seguir uma série de identidades vetoriais que podem facilmente ser
verificadas.
Sejam J e i campos vetoriais, <jl um campo escalar e r o vetor posição.
Então,
a) (1. V)$ == ]. (V$)
b) (1. v);: == l
c) (1 X V)<j> ::: .f X (V~)
d) (J X V). g = j. (V X g)
e) V.($])"" $V.]+ j. V<!~
f) V . (1 X .~) = g . (V X J') -j . (V X g)
g) 'V X (1 X g) = j('V. g) -g(V. f) + (.~ . V)f -(1 . '\l,)g
h) 'V x (V x f) = V(V. f) -\7
2].
Vamos
verificar o item (t). Temos,
i j k
]xg ::: ;; ;; /3
g, 81 83
Cap . .f Derimda dir ecion~l t cu:;~pos grorfientts 207
Portanto,
=
8,(o;; _ a12 1 + g
2
(a.Á _ ~r1) +
8
J~ -_ a.Á)
ay az ) oz êJx ~ ox ay
+ .Á(~g2 _ ~~~) + .r
1
(~g) _ ~g,) ... h( ê.Jg, _ ug2 ·)
~ ~ ~ ~ '~ ~)
= (g,, g,.
8
,) . ( ê.Jh .. _ ~12, ~IJ _ a h . a h. _ .aJ; 1
-. vy dz C.lz Jx êh i)y J
-(J;, /2
1 f,) ' ( ~~ -~g: • ~~~ -· ~; 1 ~~: ~~:)
= g . (V X i) -f . (V X g).
4.12 EXERCÍCIOS
·I
1. Encontrar a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor
ã:::Ú-]+k.
a) ](x, y, z) =-= 2xf + 5.\J + ·~k; P(l, I, 2)
b) ](.r, y, z) "' (x + y)l. + (.r -y)] + zk; P(O, O, O)
c) ](x, y, z) :-: e.u·•I + e"'--'} + 2k; P(J, I, O).

109. --
·208 Cdlculo C Cap. 4
---------------------------------- ----------
2. Calcular a derivada direcional da função ](x, y, z) = senx i + cosy] + 2k no ponto
~ ~ , ~ , 2). na direção do vetor ã = 3i -J + 2k.
3. Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direção indicados.
4.
S.
6.
7.
8.
a) f(x, y, z) = (x
2
,
/,
z
2
); P
0
(1, 1, 1); na direção do vetor ã = i + ] + k
b) ](x,y) = -yf + x]; P
0
(2,1);nadireçãodasemi-retay=2x,x>0
c) ](x, y, z) = (x
1
+ /)i + ze·')}; P
0
(1, 2, 2); na direção do vetor i + 2]
d) ](x, y) = e·< ( cosy i + seny ]); P
0
(0, O); na direção do vetor T -].
Encontrar o módulo da derivada direcional do campo vetorial
F(x, y, z) = (xl. yz~, zx
2
), rio ponto P
0
(1 .' 1, 0), na direção do vetor
ã = J + J + 2k.
Seja ](x, y) = 2xT + >~7. Encontrar a direção no plano ..t)', na qual la] (-I, 1)1 tem
I
~ . é)s
va or muxtmo.
Encontrllr a direção de máximo valor absoluto para a derivada a] (fr
1
), sendo
- é)s
f = (x+y, 1) e P
0
= (0, 0).
Mostrar que o valor absoluto da derivada direcional de ](x, y) = xT + y] é indepen­
dente da direção dada no plano xy.
Seja
ii(x, y, z)
o. campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a varia­
ção de ii no ponto e direção indicados.
a). v(x, y, z) = (x, y. z); P
0
(1, 2, I); na direção do vetor nqm1al exterior à esfera
x
1
+ y~ + z
2
:.: I, no ponto (1, O, 0)
(
1) . ---
b) v(x, y, z) = 2x, 2y, -2 z ; P
0(1, I, 2); na direçã~ 'do vetor i + j + k
c) v(x, y, z) ::-: (-x
1
,
-/, z
2
); P
0(0, O,
I); na direção do vetor T-2k
d) v(x, y, z) = (2x, 2y, 2); P
0
(1, 1, 2); na direção do vetor-k
e) v(x, y) = x], P
0(2, 2); na direção do vetor i + ].
' .. ~~-
. ·:·
,:
. "'·.
·~
·· ...
, .. ,
,'.!
,• I
·.:.I
·'
J:
}:{·
... , ...
···~~ i
~·
.
.... . ,
.... l
Cap. 4 Derivada direcional e campos gradientes 209
9. Dado o campo vetorial], calcular di v].
b) ](x, y) = sen
2
x T + 2cosx]
- 22- - -
c) f(x, y, z) = 2x y i + 3xyz) + /zk
d) ](x, y, z) = lnxy T + x] + zk.
10. Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade v dada. Veriticar se v repre­
senta um possível fluxo incompressível.
2--2-
a) v = z i + xj + y k
b) v = 2T + x] -k
c) ii = 2xyT + x].
11. Provar a propriedade (a) da seção 4.8.3.
12. Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.
a) f(x, y, z) = (2x + 4z, y -z. 3x -yz)
b) ](x,y) = (x
2
+ /. x
2
-/)
c) ](x, y, z) = (x
2
•
l. z
2
)
d) f(x, y) = (e.rcosy, e-<seny)
e) f(x, y, z) = (xyz
3
, 2xi, -x
2
yz)
f) f(x y) = ( -y x ) (x, y) :F (0,0)
' J X
2
+ l ' J X
2
+ l '
g) f(x, y, z) = xlz (T + 2] + 3k) .
13. Determinar rot ] sendo:
a) ]
= senxy
T + cos.\y] + zk
b) ] = 2x
2
y T + 3xz] -yk
c) ] = (x + y).J-lnzk.

110. .......
210 Cdlc:ulo C Cop. •!
14. Provar a propriedade (a) da secção 4.9.3.
15. Sejam ] = (xz~ yzl :i:y) e g = (x
2
1 l~ z
2
). Dctem1jnar:
a) V . ]
c) V x]
e) V )( (] x g)
g) {V X f) . (V X g).
b) v . g
d) V X g
f) {V X f) X g
16. Seja ii =-(x
1
-
/). V
f. Calcular di v íi no ponto P(l
1 2
1 3) sendo:
a) f:::: SC!UJ + .\'
b) f= .ryz + 2.1.y .
17. Se f = 2x·'yz e v = x
3
l + xz] + senxk I calcular:
a) (VJ) + rol v
b) div (f ii)
c) rol (f ii)
18. Se.ndo ii ::.: 2xzi + (x
2
-z
2
)] + (.r
2
+ 2z)k
1 calcular rol (rol ü ).
19. Supondo que representa a velocidade de um fluido em l~lovimento, verificar se ii
representa um possível fluxo incompressfvel.
a) íi(X
1 y) = (ly-3)l + x
2
]
b) íi(x~ y, z) = (x~ y, z)
c) ii(x, )'
1 z) = (2x. -2y, O)
d) íi(X
1 y) = (-y, x)
e) íi(x~ y, 1.) = (2xz. -2yzl 2z).
20. Um fluido escoa em movimento unifonne no domínio D = {(x~ y) I O ~ y ~ 8}. Se a
velocidade em cada ponto é dada por ii = (y + l)l I veriticar que todas as pat1fculas se
deslocam em linha reta e que íi representa um possível fluxo incompressíve l.
-.. ~ :.
.,.
•·:
. :,
...
Cap. 4 Dnimda dirt,~ona/ e campos gmdicmes 2 JJ
21. Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum donúnio:
a) f(x~ .v~ z) == xz + lnxy
b) f(x1 y) = 2(x
2
--/) + y + 1 O
c) f(xl )') = senx coshy
d) f(xl Y1 z) = x~ + l + z~
) f( )
, J , l ,
e x, .v~ z = x---v· ·--7-
2. 2 ~
f) .f(x~ .v~ z) = x + y + z
g) .f(x, y) = e'cosy.
22. Verificar se o campo dado é in·otacional.
a) ]Cx~ y, z) = (yzl XZ1 xy)
b) ftx. Y~ z) = (-0'Z
1 2t-l
1 x
2
z)
c) ](x~ y, z) = (yze') xze')'~ .l.)'e')·:)
d) ](x, y, z) = (2x + cosyz, -xz seny;::, -xy senyz)
c) ]Cx~ y, z) = (.r
1
,/, z
1
).
23. Um campo de. escoamento compressível é descrito por ii = pii "' xy lnt { + yt J onde
x e y são coordenadas em em, e 1 é o tempo em seg, p e ii em g/cm~ e cm/s
1
respectiva­
mente. Calcular a taxa de variação da densidade p em relação ao tempo, no ponto
P( 11 21 2), para t :: 2 seg.
24. Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
- ( , , )- - 2 -
v == y· + z-i + xzj + 2x l k.
Verificar se o escoamento é:
a) um possível escoamento incompressfvel;
b) irrotacional.
25. Para um escoamento no plano. xy
1 a componente em x da velocidade é dada por
~· + .\.:!+).2. Determinar uma possível componente em y para escoamento incompressfveL

111. 212 Cálc11/o C Cap. 4
26. Mostrar que sef(x, y, z) é solução da equação de Laplace, V f é um campo vetorial que
é ao mesmo tempo solenoidal e irrotacional.
27. Usando o Teorema 4.10.3, o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?
a) ]Cx. y) = (e' seny, e' cosy) em R
1
D = {(x, y) I (x -3)
2
+ (y -5)
2
< 3}
c) ](x, y) = (-(
1
x
1
)312 , , Y
2 312
) em D = {(x, y) I x
2 +
i < 1}
x· + y· (x· + y )
d) ](x,y,z) '-' (( 1 : 2)312 • (, : 2)312 • ( 1 ,z ')3'')
x· + y + z x· + y + z x· + )'" + z· ·
em D = {(x, y, z) I O < x
2
+ l + z
2
< 1}
e) ](x, y, z) = (x
2
seny + z, y cosy + 1, z
2
-xy) em R
3
f) ](x, y) = (x~ + y, y
1
-
x) em
R
2
g) ](x, y, z) = (-senx + cosx, z. y) em /n
3
h) ](x, y) = (senx, cosy) em R
2
•
28. Verificar se os seguintes campos vetoriais são conserv~Üvos em algum domfnio. Em
caso afmnativo, encontrar uma função potencial.
a) J = 2x T + 5yz] + x
2y
2
z
2
k
b) J = (1 + y senx) T + .(1 -cosx>]
c) J = lnxy T + 1nyz] + 1nzx k
d) 1 = (i -3 -
2 y ) T + (-
1
-
+ 2xy + 2 y) J
x
+Ãy x+.y
, .
. ,
( .
______________ c_a.:_p._4 __ D:_er:_il•:_ad:.::a:...::d:.:.:ir_:ec:_::io:.:"::al e campos gradientes 213
e) J = (10xz + y senxy)i + x senxy J .+ 5x
2 k
f) ] = ex i + 2e·'} + 3e: k.
29. Encontrar uma função potencial para o campo J, no domínio especifica.do: ·
a) f(x, y, z) "' . ' 312 , .· z - ( X )
~x· + l + z2) (xz + l + z2)312 ' (x2 + l + zz)Jil
em qualquer donúnio simplesmente conexo que não contém a origem.
!
-( ~ _ ( 2x 2y 2z )
b) .\, y, z) - 1."2 + l + z2 • .2 2 2 •
2
, , emqualquerdo-
• X + )' + Z X + y· + z·
núnio simplesmente conexo que não contém a origem.
c) /tx, y, z) = (ye', xe', xye') em fnl.
30. Verificar as identid<jdes vetoriais (a), (b), (c), (d), (e), (g) e (h) de 4.11.

112. -:·:·:
Capítulo 5
~INTEGRAIS CURVILÍNEAS
~
MAKRON
Books
Neste capítulo apresent:u·cmos definições, propriedades e a plicações das integrais cutvilínr.as,
também chamadas integrais de linha.
5.1 INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS
ESCALARES
Nesta SI!Çiio introduziremos o conceito de integral de linha de um campn escalar. Veremos
que ela co:Jstitui uma gcueraliznção simples e natural do conceito de integral definida.
5. i .1 Definição
Seja C uma curva suave, orientada, com ponto i nicial A e ponto terminal B. Seja.f<x. y, ~)
um campo est::alar definido l!lll cada ponto de C. Dividimos a curva C em 11 pequenos arcos
pelol> pontos
A = P
11
, P
1
, P
1
,
.... P;_
1
,
Pi'
... , P. = B.
,...--._, ...--...
Denotnmos por !1.1·; o comprimento do arco P
1
_
1
Pr Em cada arco P
1
_
1
P
1
, escolhemos
um ponto Q
1
(ver Fi gura 5.1 ).
soma
Calculamos o vnlor de f no ponto Q,, multiplicamos este valor por ós
1
e formamos a
2/5

113. ) -
216 . _Cálculo C Cop. 5
P,
Figura 5.1
A integral de linha de f ao longo de C, de A até B, que denotamos f f(x, y, z). ds, é
definida por
f f(x, y, z)ds =
c
quando o limite
à direita existe.
11
lim LJ(Q
1)ó.s
1
,
mcl.fAC;-tO i•l
A curva C é também chamarla CAMINHO DE INTEGRAÇÃO.
c
(1)
Se a curva C é. suave por partes, a integral de linha sobre C é definida como a soma das
integrais sobre cada parte suave de C.
A f f(x, y, z) ds também é denominada integral do cam~~ -escalar f com respeito ao
c
comprimento de arco de c.
5.1.2 Cálculo da Integral de Linha
Para calcular a integral de linha, necessitamos da equação que representa a curva C.
' ·.·
....
lg CASO. Representamos C por h(s) = x(s)l + y(s)] +·'z(s)k, s E [a, b], onde sé o · :~
parâmetro comprimento de arco de C.
'
Neste caso, a divisão da curva C pelos pontos P
0
,
P,,
... , P,_,. P,, ... , P. origina uma
participação no intervalo [a, b], dada pelos pontos
(ver Figura 5.2).
I
\/
Ol
---------...,,..e:...,_ __________ c....:ap_._5_I_"'..:;eg~rais cwvi/(ueas 217
\....1
a =s, .... .,
Figura 5.2
O ponto Q, em (1), tem coordenadas (x(~), y(s
1
), z(s
1
)), onde .r, é algum ponto do
intervalo [s
1
_
1
,
s
1
]. A soma que aparece em (1) pode ser reescrita como
11
r f(x(:r,), y(s,), z(s,)) ó.s,.
1=1
Esta soma é uma soma de Riemann da funçãof(x(s), y(s), z(s)). Assim, o limite em (l)
é a integral definida desta função. Temos, ent ão
f f(x, y, z) ds = J:!(x(s), y(s), z(sl) ds
c
(2)
Exempl os. (i) Calcular f (x + 2y) ds, onde C é a semicircunferência dada na Figura 5.3.
c
y
Figura 5.3
Solução. Conforme vimos em 2.10.6 (i), a curva dada pode
ser representada por
- · s- s­
h (sl = 3 cos - i + 3 sen - j,
3 3
o s s s 31t
i
~
I
~
1 ,,
~
I

114. 218 Cd/culo C Ca1'· 5
Pqrtanto,·
I (x + 2y) ds = J (3 cos 1 + .6 sen j) ·ds
c o
= 36.
(ii) Calcular J (x
2
+ l -z) ds, onde C é a hélice circular dada por .
)
oo /·,H[,{/ d(
- - n'll '-_p- ·
C r(t) = COSI i + sent j + tk ,
--------·-·( '":
''. ' ' I " ' -' ~ ;, dopontoP(l,O,O)atéQ(l, O, 27t). Jln/(t l,t·~~~· · .cr .. · ~ ,
Solução. A função comprimento de arco de r (I) é dada por j( . ) ,.; ' ' " 'l I) i~ li
' !' ' I ! ((· •• ,.,,. • ' I.
I 11.' 'J ' ' o ,. ..
s{l) :: J I r' (t*) I dt* ..
1
,
por
o
\' '.
.j-. I .
I
J J2 dt*
o
I {l ; _ 12_ ~~ .
. • ~ 1
= J2 t.
~'·l~f -Z\'1Ío -~
f"' ( -) d
s : 7 'Z ii 1-,, /
= ~ . Logo. C pêde,-sor-I'Craraní. ll zada
.v2 ·
Encontrandü 1 como função de s, obtemos I
- S - S - S· -
lz(s) = cos Ji i + sen J2 j + J2 k.
O ponto P(l, O, O) corresponde as= O e Q(l, O, 2n) corresponde a s = 2.Jiít.
Portanto,
2J'i~ . . '
I
,,) J( ,s ;s s)
1 (x· + y· -z ds = cos· J2 + sen·· J2 -J2 t s
c (I
= 2J21t (1 -1t).
<.
Cal'· 5 111/egrai.t cun•ilf11eas 219
z~ CASO. Representamos C por
r {I) = x{lj T + y{t) J + z(t) k, I E (to, r,]' onde I é um parâmetro qualquer.
Para calcular a integral de linha neste caso, fazemos tima mudança de variáveis em
(2). Temos,
h
f f(x, y, z) ds = f f(x(s), y(s), z(sl) ds
('
Como :!_s_ = I r' {f) '·temos
dl
(/
'' ds
= J f(x(t), y(t), z(t))-c/1.
dl
'"
,,
f f(x, y, z) ds = f f(x!t), y{t), z(f)) /1 r' (I) I} dl.
('
(3)
Exemplos. (i) Podemos rc~olver o exemplo (ii) do 1u caso, desta seção, usando a f6rmula
(3). Temos,
r(t) :: COSI i + senl] + tk;
r' {I) = -senl i + COSI] + k;
I r' U> I = J'i.
Ao ponto P(l, O, 0) conesponde I= O e ao ponto QO, O, 2n:) corresponder = 2rr.
logo,
ln
J(/ + /-z)ds = J (cos
2
t + sen
2
/-.1) . .fi d1
c o
= 2J'in (1 -n:).
(ii) Calcular f xy ris, onde C é a intersecção das superf(cies x
2 + yl:.: 4 e y + z:: .8.
c
f
(
,•
·'
.,
I.
' I
( I
. •,

115. 1,:. ~ ...
:j·'
' i
~
I
I
l
I
I

'
'
220 Cálculo C Gap. 5
Solução. A Figura 5.4 mostra um esboço da curva C. Para parametrizá-la, observamos que
x e y devem satisfazer a equação da circunferência x
2
+ yl = 4, ql!c é a projeção de C sobre
o plano >.y. Fazemos então,
x 2cost; y = 2sent; 1 E [0, 2nl
Figura 5.4
Substituindo o valor de y na equação y + z = 8, obtemos
z"' 8-2senl.
Portanto,
;:u> = 2cost T + 2sent} + (8 -2senl)k, ,f=. (0, 2n).
Usando (3), temos
J >..)' ds
c
2~
J 2cost . 2senl . 2~1 + cos
2
1 dt
()
2.1
J
2 )"2
=. 4 (l + cos I 2 cosi senl dt
o
2 ( 2 )J/2
= -4 . -l + cos I
3
11
=o.
-~ ·
·.-
Cap. 5 Integrais r.urvi/fneas 221
(iii) Calcular f (x + y) ds, onde C é a intersecção das superfícies x + y = 2 c
c
x
2
+i + z
2
= 2(x + y).
Conforme Exemplo 2.4.14 (iii), uma equação vetorial de C é dada por
r(l) = O -cosi) T + (l + cosn J + J2 sent k; t E [0, 2n).
Logo,
2~
J (x + y) ds = f[<~ -cosi) + (l + cosi)) J2 dl
c
o
2~
= 2J2 J dl
n
= 4J2n.
5.1.3 Propriedades
As propriedades das integrais de linha são análogas às propriedade.s das integrais definidas.
Nas propriedades que seguem estamos supondo que C é uma curva suave ou suave por
"" partes e que f(x, y, z) e g(x, y, z) são funções contfnuas em cada ponto de C.
Temos,
a) J kf(x, y, z) ds = k J f(x, y, z) ds,
c c .
onde k é uma constante.
b) J [f(x, y, z) + g(x, y, l)] ds = J f(x, y, z) ds + 'J g(x, y, z) ds.
c c c
c) Se C é uma curva com ponto inicial A e ponto terminal B, P um ponto de Centre A e B;
C
1 a parte de C de A até P e C
2
a parte de C de P até B (ver Figura 5.5), então,
'·'· ....
·~J; ~ · · .·

116. :-
222 Cálculo C Cap. 5
-f f(x, y, z) ds = f f(x, y, z) ds_ + f f(x, y. z) ds.
c c, c,
Figura 5.5
d) f f(x, y, z) ds = f f(x, y, z) ds, onde -C representa a curva C orientada no senti-
c -C
do oposto.
5.1.4 Exemplos
(i) Calcular r 3>.)' ds, sendo C o triângulo de vértices A(O, 0), /J(I, 0) e C( I, 2). no sentido
J
c
anti-horário.
Solução. Pru·a calctllar a integral, devemos dividir a curva C em três partes suaves, confor­
me Figura 5.6.
c
c,
Figura 5.6
Uma parametrização de C
1
é r(t) = t i, t E (0, 1).
A{ n, tJ}
!](1•JO}
_: c(J
12)
'I
.I
I
f
/
_______________ ___::C:..::aP~·...:.5~!nregrais curvi/(t~~
Portant o,
I
f Jxy ds = J 3t.O.I dr = O.
c, o
C
1 pode ser parametrizacfa por r(t) = i + tj, t E (Q, 2).
Assim,
2
J 3xy ds = J 3.1. t.l dt = 3. ~
2
c, 11
= 6.
11
o caminho c_, pode ser representado por
Por
tanto,
Logo.
rU> = o -ni + (2 -2tJ}. , E co. 11.
l
f 3xy ds = f 3(1 -I) (2 --21) . .../5 ti r
c, ll
I
= 3.../5 J (2 -41 + 21~) dt
ll
= 2.../5.
J 3xy ds = J 3xy tis + f 3xy ds + f 3xy d. \'
c c, c,
= o+ 6 + 215
= 6 + 2.J5.
,.
~ ..
(iil Calcular J Oxl ~ IYD tis e J (lxl + IYD ds, onde C é o segmento de reta All, com
-C
A(-2, 0) e ll(2, 2).
Uma equação vetorial de C é dada por
rU> = <-2 + 4n T + 21 ]. r E ro. 11.
• I
• I
:··

117. l ·11
l'
),)
I .,
I
'.
'-·
I·
.{
224 Cálculo C Cap. 5
Portanto,
'
J (lxl + IYD ds = J <1-2 + 411 + 1211) 2JS dt
c 11
[
'n 1 l
= 2JS f (2 -4t + 21) dt + f (-2 + 4t + 21) dt
= 4JS.
u 1n
+ ( -2t + 3t
2
) ' l
I f~
Conforme vimos em 2.7 .l, a curva -C é dada por
r-(1) = r(a + b-t), t E (a, b].
Como r(t) = (-2 + 4t) J + 2t J' t E [O. 1], temos
;:-ul = ;:o -n
= (2 -41) f + (2 -2t)], E (0, 1).
Portanto,
I
f (lxl + IYD ds = f <12 -4tl + 12 -2tll 2JS dt
·C 11
4JS.
Aplicações
A seguir, desenvolveremos algumas aplicações das integrais curvilíneas de função escalar.
5.1.5 Massa e Centro de Massa de um Fio Delgado
Consideremos um fio delgado de densidade variável, com a fonna de uma curva C, como na
Figura 5.7.
i
·l
·.~
<
'
~ .,
·~
..
' ...
. !
-
·I
. ~ ~·· ·,·
Cap. 5 l11tcgrais curvilf11eas 225
s~o lransver5al
do •roaS
~
FIO DELGADO
R
curva C no ""PaÇO
A
Figura 5.7
Vamos supor que sua densidade de massa p(x, y, z) seja constante sobre qualquer seção
transversal de área
S. Então o fio pode ser identificado com a curva
C.
A função f(x, y, z) = p(x, y, z) S é chamada densidade linear de massa ou massa por
unidade de comprimento.
Se o
fio é represent ado pela curva
C da Figura 5.8 e se a densidade no ponto (x, y, z) é
dada porf(x, y, z), então uma aproximação da massa da parte do fio entre P
1
_
1
e P
1
é dada por
Figura 5.8
A massa total M do fio é aproximadamente igual à soma
/c)
Pot1anto, pela Definição 5.1.1, obtém-se
M = J f(x, y, z)ds.
c
O centro de massa (x, y, i") é d.ado por

118. 226 Cálculo C Cap. 5
x -__!_f xf(x, )', z) ds
M
c
y ~f yf(x, y, z) ds
c
z = IJ M zf(x, y, z) ds.
c
O ponto(.\', .v. z) é também chamado centro de gravidade. A coincidência do centro
de gravidade com o centro de massa vem da hipótese de que o campo gravitacional da Terra
é unifom1e. Algumas experiências nos mostram
que esta h.ipótese não é inteiramente correta.
No entanto,
para quase todos os problemas de Mecânica ela é usada.
5.1.6 Exemplos
(i) Calcular a massa de um fio ddgado com a forma de um semicírculo de raio a, conside­
rando que a densidade em um ponto Pé diretamente proporcional a sua distância à reta que
passa pelos
pontos extremos.
Solução.
O fio tem a fonna da curva C representada na Figura 5.9.
Uma pl!rarnetrização de C é dada por
r(t) = a cosi i + a sen1 j, 1 E (O, r.].
c
-a
. Figura 5.9
Como a densidadef(x, y) no ponto (x, y) é diretamente proporcional a sua distância à
reta que passa pelos pontos extremos
do fio, analisando a
Figura 5.9, concluímos que
f(x, y) = J.:y, k constante.
!~
,I
,;.
,.
.-..
. >
· ..
·:I
.~ ..
Então,
M = f f(x, y) ds
('
-f kyds
c
K
Cop. 5 l11tegrais Cllrvi/breas 227
f k. asen1. J(-asent)
1
+·(acost)
2
dl.
o
= 2k a
2
unidades de massa.
(ii) Calcular as coordenadas do centro de mllssa de um fio delgado que tem a forma da hélice
r(t) = 2cosl i + 2sent J + 51 k I I E (0, 2n),
se a densidade no ponto (x, y, z) é x
2
+ y2 + z
2
•
Solução. Inicialmente vamos calcular a massa M do fio. Temos,
M = f (x~ + y
2
+ z
2
)
ds
c
:!r.
f (4co:;
2
t + 4sen
2
1 + 251
2
)
Jc-2senl)
2
+-C2cosl/-:;:-
25 dt
2n
= f ( 4 + 25 1
2
) J29 dl
11
~ ( 200 J)
v L9 8n + -
3
-1t , unidades de massa.
A coordenada x é dada por
x"' ~fx(x
2
+/ +z
2
)ds
c
l 2r.
= M f 2cost (4 + 251
2
)
J29
dl
11

119. )
'
'
',
'
I
" I
-,
228 Cálculo C Cap. 5
gJ29
2
~ 50.fi9
2
~ 2
= M J costdt + ~ J t costdt
o o
2x
gJ29
=--
M
sent
50 .fi§
+ ---(t
2
sent + 2t cost -2sent)
M
=
Portanto, x
200.fi9rt
.M
o
200.fi9 TC
J29 ( Brc + 2~0 rtJ)
75
Analogamente calcula-se y. Temos,
y = ~ f y(x
2
+ / + z
2
) ds
c
l 2n
= -f 2sent (4 + 25t
2
)
.fi9
dt
M
Cl
=
Substituindo o valor de M, já encontrado, vem
-75rc
y = ---7
3 + 25rt
2
•
Finalmente cakulamos z, que é dado por
i
z M f z(x
2
+ l + z
2
) ds
c
l 2n
= M f 5t( 4 + 25t
2
)../29 dt
o
2n
o
. ~
_..
-~;
.f!
·>
~( ..
~i
.,t
.,
..
·.,~·
:,
Cap. 5 Integrais curvi/f n<!as 229
----------------------------------~
Portanto, z
15(2rt + 25rt
3
)
6 + 50rc
2
5.1. 7 Momento de Inércia ·
Cada ponto matelial em um corpo em rotação tem uma certa quantidade de energia cinética .
Um ponto material P, de massa m, a uma distância r do eixo de rotação, tem uma velocidade
v= ror, sendo roa velocidade angular do ponto P (ver Figura 5.10). A energia cinética de P
é dada por
Figura 5.1q
Para um corpo composto de massas puntiformes discretas, a energia cinética tot al é
dada por
(4)
O somatório que aparece em (4) define o momento de inércia do corpo em relação ao
eixo de rotação considerado. ; ..
Se um fio delgado tem densidade variáve lf(x, y, z), fazendo considerações análogas às
que foram feitas em 5.1.5, conclufmos qúe o momento de inércia do fio em relação a um eixo
.L é dado por
.. I
..
:r
, ..
·' ..
• >
J
"1
.,

120. ,.
;
...
/
·
.·
·-··
2.10 Cd/culo C Cap.
5
/L = J Õ
1
(x, y, z) f(x, y, z) ds,
c
onde o(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) de C ao eixo L.
5.1.8 Exemplo
(5)
Um arame tem a fonna de um semicírculo de raio 4, conforme Figura 5.11. Determinar seu
momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos ext~emos do arame, se a densi­
dade no ponto (x, y) é x + y.
y
-4
Figura 5.11
Solução. Umn equação vetorial de C é dada por
r(/)= 4costf + 4sent], I E (Q, TC).
Para usarmos (5) necessitamos encontrar ô(x, y, z). Como o/eixo L coincide rom o eixo
dos x, temos que o(x, y, z) = y. Então,
/L = J l<x + y) ds
c
•
J 16sen
2
t (4cost + 4sentl 4 dt
o
•
-256 J ( sen
2
t cosi + se1á) dt
!I
'
: ..
,
"
'·
•j
.j
i
·J
.. I
:;_.
SD.W666
Cap .. < · lnlegrais cun•i/{neas 23 J
n
2
r -(sen
3
/ cos '')
.>D ---COSI + --
3 3
11
1024
unidades de momento de inércia.
3
5.1.9 Lei de Biot-Savart
A Figura 5.12 mostra uma carga puntiforme positiva q,movendo-se com uma velocidade v.
Esta carga em movimento origina um campo magnético, cuja intensidade, em um ponto
qualquer P, é dada por
k q v senO
8, = --'---:2:---
, r
onde k é uma constante, r é a distância de P a q e O é o ângulo formado por v e ;: .
p
Figura 5.12
Veremos, agora. como determinar a intensidade, em um ponto qualquer P, de• campo
magnéÍico jj, produzido por todas as cargas em movimento em um circuito.
Suponhamos que uma con·ente elétrica de intensidade i circula um condutor com a
forma de uma curva C. conforme Figura 5.13. Dividimos o condutor em pequenos elemen­
tos ele l'Omprimcnlo ds. O volume de cada eleme1Íto é dado por A ds, onde A é a área de sua
seção rela. Se existirem// portadores de carga por unidade de volume, cada um de carga q,
a carga total dQ. em movimento no elemento, é
dQ = 11 q A ds. (6)
O conjunto de cargas em movimr.nto, no elemento, é equivalente a uma única carga
dQ. movendo-se com velocidade ii. Portanto, em um ponto qualquer P, o campo magnético
dB produzido por estas cargas tem intensidade d!J dada por

121. I.
232 Cálculo C Cap. 5
kdQ v sena
dB = ____ i ___ .
r
(7)
p
c
Figura 5.13
Substituindo (6) em (7), obtemos
k n q A ds v sen8 . . .
dB =
2
• Mas n q v A é a mtens1dade 1 da corrente no elemento, de
,.
modo que
dB = k i ds ~en8 (8)
,.-
A expressão (8) é chamada Lei de Biot-Savart. Ela nos dá a intensidade, em um ponto
qualquer P, do campo magnético ii1, produzido pelo conjunto de cargas em movimento no
elemento ds.
A intensidade em um ponto qualquer P do campo magnéti.co resultante iJ, devido ao
circuito completo, é dada pela integral
5.1.1 O Exemplos
8 = k J i se:1ft ds.
r·
c
(i) Seja um condutor da forma de uma espira circular de raid 2, percorrido por uma corrente
de intensidade
i, como mostra a Figura 5.14. Achar a intensidade do campo magnético jj, no
centro da espira.
Neste caso
r e
8 são constantes: r= 2 e 8 = 90°. Então, B = k J ± ds.
c
B 1 B L I O 'f E C A
fÚNEO-PONTA GROSSA
CEFET-PR SD I$W 6603~
Cap. 5 Integrais curvi/(neas 233
Figura 5.14
Resolvendo a integral, temos
2~ .
B = k J ±J(-2send + (2cost)
2
dt
o
k 1t i.
(li) Um condutor tem a forma de um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Uma corrente de
intensidade i circula o condutor. Detenninar a intensidade do campo magnético resultante 8
no vértice de menor ângulo.
r A Figura 5.15 mostra o condutor que é fo1mado por 3 segmentos retilíneos C
1
,
C)
e C,.
A intensidade do campo magnético jj no ponto Pé dada por
B _ kJ i sena d k f i sen8 d k f i senO
---
2
-s + --
2
-
s + --
2
-ds.
r r r
G ~ ~
c,
p
ti. c, 4
Figura 5.15
J
1
J
J
. ..
'

122. 234 Cálculo C · Cap. 5
Devemos calcular as integrais ao longo de C
1
,
C~
e C
3
•
·Temos:
a) À.o longo de c,. Neste caso, r~ 4 ·-x e sene =O. Pot1anto,
J
i se,n~ ds = J O ds = O.
,.-
r., c,
b) Ao longo de C
1
•
Também neste caso sen6 =O
e dessa forma
r
i scne d -o
') s - .
. ,-
c,
c) Ao longo de C\. Conforme Figura 5.16, temos r = /tt
2
+ / e senO
O segmento C_~ pode ~er parametri7.ado por
r(l) = (3 -31)], I E ((), 1).
Portanto,
c
)
p
Figura 5.16
4
-----------~ 5 flll<!grais t:urvilít1ea.s 235
---------
I
. J' 4
:: I U Jt6 + (3-31)
2
[16 + {3 -· 31)~]
3
d/
I
= 12i f [16 + <3 _ 31)
1r
312
r11.
()
A integral f ( 16 + (3 -31)~ r
312
dt é resolvitln pela substituição trigonorné.trica
3-31 = 4tgfi. Temos,
f
jsenfJ /a .. . (-=! (3 -31) ) j'
, (v -121 -·-.. 1
,.- 48 JI6 + (3-3d I
~ "
Jki
Portanto, B = --.
20
-12i ( (3-3) 3 )
= 4'8' .fl6 + (3 -3l~ -· Jf6+ 9 '
3i
= 20.
5.2 EXERCÍCIOS
' I
Nos exercícios de 1 a 19, calcular as integrais curvilíneas.
1. f (2x -y -l· 7.) ds, onde C é o segmento de reta quê liga A( 1, 2, 3) a 8(2, O, 1 ).
c
2. J (3y-.fi.) ds, onde C é o arco de parábola l .. = yl, x = 1 de A{1, O, 0) a B(l, 2, 4).
c
3, J Xl ds, onde C é a intersecção da esfera x~ +i+ z
2 = 4 r.orn o plano x = y.
c
f IYI ds, onde C é a curva dada por y = x
3 de (-1, - 1) a (1, 1 ).
c
. I
:c
:•
,,
i·, I
:j
.. H
'·l '-
··~
·11
-'
.f
'i
.I .,
i!
I r.
I

123. r
I.
. 236 Cálculo C Cap. 5
s. J y(x -z) ds, onde C é a intersecção das superfícies x
2
+ y2 .+ z
2
== 9 ex+ z == 3.
c
G. J (x + y) ds, onde C é a inte~sccção das superfícies z == X
2 +i
e z = 4.
c
7. J 2xy ds, onde C é o arco da circunferência x
1
+ y2 = 4 de (2, 0) a (1, .J3).
c
S. J x
2
ds, onde C é o arco da hipociclóide x
213
+ y
213
= am, a> O, 1 • qu.adrante ..
c
9. f / ds, onde C é ~, 1 Q arco da ciclóide r (t)
c
2(1 -seni)Í + 2(1 -cosl)j.
l ') 2
.c y· z
10. J (x2 + l + z
2
) ds, onde C é a intersecção das supetfícies 16 + ·9 + J6
c
y= 2.
o{ ..
!~
.;
·.{
' .
11. J (x + y + z) ds, onde C é o quadrado de vértices (1, 0,,...1), (1, 1. 1), (0, 1, 1) c ·:~·;·
c
(0, O, 1).
, 1
x· y·
12. J xy ds, onde C é a elipse ;r + 11 == 1.
c
13. J x/ (l _ 2x
2
) ds, onde C é a parte .?a curva de Ga~ss, Y = e_,,. de t(0, l) at~
c
14. J
xl ds, onde C: é a curva dada· por y ==
1
~-~ x
2
• de (0, l) a (I, 112).
,Jl;4x
2
/
c
·-. d:.
·'
Cap. 5 1!1/egrais curvi/íne~s 237
is.' J (!xl + bi) ds, onde C é o retângulo fonnado pelas retas x = O, x = 4, y :: -1 e y =·r·.
c
16. J (x + y -1) ds, onde C é" a parte da intersecção das superfícies z = x
2 + y~ c y = I que
c
está abaixo do plano z = 5.
17. f (x
2
+ l -z) ds, onde ·c é a intersecção das superfícies x
2 +i+ z2 = 8z e z = 4.
c
18. J (x --y) ds, onde C é o triângulo da Figura 5.17.
c
y
y
~ ===~: I I
I I
I I
2
Figura 5.17
Figura 5.18
19. f/ ds, onde C é a semicircunferência da Figura 5.18.
c
20. Um fio delgaçlo é preso em dois suportes fixos de mesma altura, tomando a forma da
catenáda
y = cosh x, -2
~ x $; 2. Supondo que a densidade do fio é a mesma em todos
os pontos, calcular a massa
do fio.
21. Dado
um arame semicircular
unifor!Tie de raio 4 em:
a) Mostrar que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância de ·
8
.,.. em do centro.
1t
b) Mostrar que o momento de inércia em relação ao diâmetro que passa pelos extremos
do arame é 8M sendo M a massa do arame.
.: · ...
I
" ii
I'
:I
1
i
I
I
I
I
·i I
I''
. i
,, i
~, .
. , ..

124. 238 Cálculo C Cap. 5
22. Calcul'ar a. massa de um arame cujo formato é definido pela intersecção do plano
2x + y + z = 4 com os planos coordenados, se a densidade do arame em um ponto (x, y, z)
é'2x + I.
23. Determinar a massa de um fino anel circular de raio 2 em, sabendo que sua densidade é
constante.
24. Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos z de uma esp:rll da hélice circular
unifom1e
;: <n = 2cost T ·+ 2sent] + tf.
i .. ,.,, . ·:'. "'.:.:. y.: .. : • .
25. Um ·fio delgado tem a forma do segmento de reta que une os pontos (1, 1) e (2, 4).
Detenninar o momento de inércia do fio em relação ao eixo y = -1, supondo que a
densidade no ponto (x, y) é proporcional à distancia deste ponto até o eixo dos y.
26. Calcular o centro de massa de um arame com a forma de um quadrado de vértices
(0, -1 ), (2, -I), (2, I) e (0, I) sabendo que a densidade no ponto (x, y) é proporcional ao
quadrado da distância deste ponto até a origem.
27. Dá-se a um arame a fonna de um arco de parábola conforme Figura 5.19. Se a densida­
de no ponto (.t, y) é proporcional a sua distância ao eixo de simetria, calcular a massa e
o centro
de
rnass[l do arame.
28. Calcular a 1nassa de um fio delgado reto de 2m de comprimento se a densidade-em cada
ponto~ proporcional a distância deste ponto à extremidade .mais próxima.
29. A Figur~ 5.20, mostra um fio. delgado C e um eixo L. Calcular o momento de inércia do
fio em relação ao eixo L, supondo a densidade constante. ·
30. Um segmento retilíneo de tio, de comprimento e: conduz. uma corrente i. Mostrar que a
intensidade do campo magnético B, associado a este segmento, a uma distância R,
tomada sobre a s ua mediatriz (ver Figura 5.21) é dada J?or
2 ki e
ll = -~--.--:-=
R( e
2
+ 4R
2
)
11
~ •
. : ~
·-~·,
·.·
I
SD$W666
y
2 ---;...:--,
I
I
--t----+--
'"' X I
'
-2
Figura 5.19
r
H
r.----·p
Figura 5.21
Cap. 5 Integrais curvilfncas 239
y
L
FigurA 5.20
Figura 5.22.
31. O fio mo str ad~ na_ Figura 5.22 conduz uma corrente i. Dctenninar a intensidade do
cai!Jpo magnéltco B no centro C do semicfrculo, produzido:
a) por um dos segmentos de reta de comprimento f;
b) pelo segmento semicirculllr de mio R·
I
c) pelo fio todo.
32. Uma espim quadra _~a de lado a conduz uma corrente i. Mostrar que a intensidade do
campo magnético B. no seu centro, é dada por
.. ,.: ..
.'f.
8J2 k i
IJ=-­
(1
I I
'I
. ,
·''·
•"l I
:t'
. .j
:í I
:i
!
l
'I
!

125. 240 Cálculo C Cap. 5
5.3 INTEG-RAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS
A integral de linha ou curvilfnea de um campo vetorial, também pode ser considerada como
uma generalização natural do conceito
de integral definida.
Para compreender sua origem e
utilidade, iniciamos explorando intuitivamente o conceito físico de trabalho.
tis' Trabalho realizado por uma força
Na Física, o trabalho realizado por uma força constante ] , para deslocar uma partícula em
linha reta, é definido como o produto
da componente da força na direção do deslocamento,
pelo deslocamento.
Então, confom1e Figura 5.23,
se denotamos por
w o trabalho realizado por ] para
mover
uma partícula de A até B, temos
w = (jJj cos a) i:Wi
= llliX8I· cos a
J
I~
I I
I I
I I
-1
AB.
,.j)u. : .a
1
Figura 5.23
Vamos analisar agora, a noção mais geral de trabalho •. supondo que uma partícula se
move ao longo de uma curva C, sujeita à ação de um campb de forças variável ] .
Suponhamos que a curva C: r (f) = (x(t), y(t), z(t)), t e [a, b ], seja suave e que
J = ](x, y z) seja contfnua nos pontos de C. Dividimos C em pequenos arcos e aproxima··
mos cada arco por um segmento retilíneo tangente à curv~, como mostra a Figura 5.24. :
Cap. 5 Integrais curvi/fnea.s
Além disso, aproximamos a força variável 1 que atua em um arco genérico P.,......P.
1
c
- 1 I+ I pe a1orça
.constante /( P;). .
::
Figura 5.24
O trabalho realizado pela força constante 7( P;), ao longo do segmento retilíneo tan­
gente à curva no ponto ~, é dado por
](P;) . r' (t,)Qt
1
-e constitui uma aproximação do trabalho realizado por 1 ao longo de ífP; TI' Assim,
11
Lf(P;). r'(t
1)L'.r
1
~os dá uma aproximação do trabalho totalw, realizado por J ao longo de c.
,. 5.3.1 Definição
Sejam C: r(l) = (x(l), y(t), z(l)), t E [a, b], uma curva suave e J = 7Cx. y, z) um
, . campo de forças contínuo sobre C. O trabalho realizado por l para deslocar uma partícula
· . ao longo de C, de A até B. é definido como
w =
(I)
Podemos observar que a somatória da expressão (l) é uma soma de Riema~n da fun-
de uma variável ](r (I)) . ;:' (I), sobre [a, b]. Portanto, ·
I i
; I

126. ~cu/o C Ca.:!.p~-.:_5 ______________ _
b
J ]CF (I>) . r' (IJ dt.
·Ev= ,
·-------'
(2)
5.3.2 Exemplos
(i) Calcular o trabalho realizado pela força J = ( ~ , ; ). para deslocar uma partícula, em
linha reta, do ponto P(l, 2) até Q(3, 4). .
Solução. Para calcular o trabalho, necessitamos de uma parametrização da trajetória C da
partícula, que neste exemplo, é o segmento d~ reta que une P(l, 2) a Q(3, 4), conforme
Figura 5.25.
Uma parametrização de C é dada por
r(tl = o. 2> + (3 -1. 4 -2)t
= (1 + 21,· 2 + 21), t E [0, 1].
' . y
~ ----------7:0
y·:
2 __ ?/ i
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I
:
3 . X
Figura 5.25
Portanto,
'· ( 2 2 )
-J ---+--dt
1 + 2t 2 + 2t ..
o
Cap. 5 lntegruis cwvi/(neas 243
= ([nO + 21) + ln(2 + 2t))
o
= In 3 + In 4 -In 2
= In 6 unidades de trabalho.
(il) Uma partícula move-se ao longo da circunferênciax~ + y~"' 4, z = 2 sob a açiío do campo
de forças .
f(x, y, z) =
1
=
1
~ , onde r = xi + }J + zk.
r. .
. Determinar o trabalho realizado por J, se a posi~ ·ão inicial da partícula é ?(2, O, 2) e
ela se move no sentido anti-horário, completando uma volta.
Solução. A Figura 5.26 mostra a trajci6ria C da partícula. De acordo com 2.4.3, c pode ser
represenlmln relu cquaçàü vetorial
i~(tl "' (2cost, 2sent, 2), O ~ 1 s 2rr.
c
/-·----.2
Figura 5.26
A função ] que define o campo de forças é
i.
-r
f(x, y, z) "' --
IYI
3

127. I._.,
:!
)
244 Cálculo C· . Cap. 5
Portanto,
b
w = I lcru)) . r' <n dr
a
2~ -1
I
.
3
n (2cosl, 2sent, 2) . (-2senl, 2cost, 0) dt
o
(4cos
2
Í + 4sen
2
t + 4)
-l 2n
-..j-I (-4cost senl + 4cost sent) dt
t6 2
o
= O unidades de trabalho.
A integral sobre uma curva C, como surgiu na definição de trabali:o, pode ocoiTer em
outras situações e
é denominada integral curvilínea do campo vetorial f ao longo de
C.
~-
,,
~ 5.3.3 Definição
Seja C uma curva suave dada por r(l), t E [a, b ]. Seja]_= f(x, y. z) um campo vetorial -:~
definido e limitadv· sobre C. A integral curvilínea de f, ao longo de C, que denot amos :;_
J ] . ãr, é definida por
c
b
I J . ãr J ]cru>) r' <n dt
c o
.,
(3) -"'
':·
. '·
·-·
sempre que a integral à direita existe. . -~
Quando a curva C é suave por partes, definimos I] ·;· ãr como a soma das integrais ,';~
sobre cada parte suave de C. · c ·\lf
Se
0 campo 1 tem comp_onentes f
1
,f
2
e f
3
e r (I) = (x(t), y(t), <:(/) ), t E (a,
integral curvilínea de 1 ao longo de C, pode ser reescritaicomo
b
J] ãr = J [J;(x(t), y(t), z(t)) x' {f) + fz(X(t), y(t), ~:(1)) y' (I) +
c
+ f
3
(x{t), y(t), z(t)) <:'(I)] dt.
Cap. 5 Integrais cu rvi/fneas -245
A equação (4) nos sugere a notação
J] . ãr = J (J;dx + J;dy + jjdz).
c c
tradicionalmente usada para representar a integral curvilínea de um campo vetorial.
5.3.4 Propriedades
Em 5.1.3 vimos as propriedades da integral de linha de um campo escalar f As proprie dades
(a), (b) e (c) permanecem válidas para a integral de linha de um campo vetorial J. A
propriedade (á) é substituída por: : ;
J ] . ar = -J l . ar.
-C
Além dessas propriedades, convém destacar a relação existente entre a integral de um
campo vetorial e a integral de um campo escalar. Temos a seguinte propo sição.
5.3.5 Proposição
Seja ] um campo vetorial contínuo, definido sobre uma curva s uave
C: r(/) = (x(t), y(l), z(l)), t E [a, b]. Se T é a componente tangencial de l sobre c
isto é, T é a componente de ] na direção do vetor tangente unitário de C, temo~ . '
J ] . dr = J T ds.
c c_
Prova. Seja ii(l) = ~~· (l)l o vetor tangente unitário de C. A componente tangencial de f-
r' (f) ,
que pode ser visualizada na Figura 5.27, é dada por
T = f. cose.
i
I
'1
,·
'

128. 246 Cálculo C Cap. 5 :..____::_ __ _
Figura 5.27
Como o vetor ii é unitário, podemos escrever
T = 171 liil cose
f . 11.
Portanto, usando 5.1 (3), temos,
b
J T d.1· J T(x(l), y(l), z(t)) r' (I) dl
C a
b
__ J [J<x<n. y(l), z(l)) i(<l)] lr::'<nl dr
11
J
" [- > ,., (/) ]' 11-:' <r)l c11
f(x(l), y(l), z(t) .
11-' (1)1
u
b
J'l<x(t), y(l), z(l)) r' (t).'c/1
J ]. dr.
c
Esta proposição nos permite fazer uma análise da integral de linha
vetorial em diversas situações práticas, como segue:
:!
·.··
..... :.
-·
-;
,,
·.<
,.
-s
·-·
Cap. 5 Integrais curvilrneas 247
(i) Se em cada ponto P da curva C, o campo ] é perpendicular à reta tangente a C em P, a
integral de] ao longo de C será nula. Em pru1iculnr, se] é um campo de forças, ser:í nulo
0 trabalho realizado por } ao longo de C.
(ii) Se o campo 1 é o campo de velocidades de um fluido em movimento, a componente
tangencial
de ] determina um fluxo ao longo de
C. Se a curva C é fechada, a integral de
linha de 1 ao longo de C, que denotamos T]. ãr, mede a tendência elo JJuido de circular
c
em tomo de C c é chamada circulação de f sobre C. Em pat1icular, se C é uma curva plana
e o campo
de velocidades
é perpendicular ao plano que contém C, a circulação será nula.
5.3.6 Exemplos
(i) Calcular J (2x (Ü + yz dy + 3z dz). ao longo da:
c
a) parábola z = x
1
,
y
= 2 do ponto A(O, 2, 0) ao ponto 8(2, 2, 4);
b) linha poligonal A O 8 onde O é a origem.
Solução de (a). A Figura 5.28 mostra o caminho C de integração. Fazendo x = 1, obtemos as
equações paramétricas de C. dadas por
X = I
y = 2
'
'
'
I E (0, 2}
~ ' ~
' ' -
: ,/ 2 y
o/
----- --~''
Figura 5.28
,.
C i
li
~I
i l
)I
.)I'
1., I
!I

129. I·
----·
248 Cúlc11lo C Cap. 5
. Utilizando a equação (4), vem
2
J] . ãr = J (21.1 + 21
2
.0 + 3/
2
.2~) dt
c o
::: 28.
Observamos que, neste item, poderíamos ter usado como parâmetro a variável
x, já
que para parametrizar
C fizemos x = 1.
Solução de (b). A Figura 5.29 mostra o caminho C de integração. Como o caminho não é
suave, vamos dividi-lo em dois pedaços suaves C
1
e C
2
•
Figura 5.29
_j
O caminho C
1
tem equação vetorial r (I) = (2 -21)j, 1 E [0, 1).
Portanto, utilizando a equação (4), temos
I
J ] ãr = J (2.0.0 + (2 -21) o. o + 3.0.0) dt
c, o
=o.
o caminho c2 tem equação vetorial
r(l) = 2tf + 21] + 4tk, I E (0, 1).
Portanto, utilizando a equação (4), temos
·i
.·i
:i
:~
;
J
..
•.
':
·.,
~í
I
.. ~
··'
Logo,
Cap. 5 Integrais c11rvilfneas 249_
I
J] ãr = J [2.2t.2 + 2!.41.2 + 3.41.4] dt
c, o
100
=-
3
J [2x dx + yz dy + 3z dz] = J [2x dx + yz dy + 3z dz]
c
+ J [2x dx + yz dy + 3z dz]
c,
100
=-
3
(ii) Calcular J ] · ãr, sendo ] == (xz, J.)', yz) e C o caminho poligonal que une o ponto
c
A.(1, O, O) ao ponto B(O, 2, 2), passando por D(1, 1, O).
Solução. Para calcular a integral, dividimos C em 2 caminhos C c c, conforme Fioura
5.30.
1
- e
O caminho C
1
tem equação vetotial
r(/) = f + 11)-:, I E (0 !) -. .
Portanto, utilizando a equação (3), temos
I
f J · ãr = f (LO, L I, ,t.O). CO. I, 0) dt
c, o
I
::: J t dt
o
"jí.
:::-
2

130. ..
250 Cálculo C C...:aP:_·_s _____ -------------------
y
Figura 5.30
o caminho c2 pode ser representado pela equação vetorial
r(t) =o-nT +o+ n] + 2rf. r E [O, 1).
Portanto, utilizando a equação (3), vem
I
f 1. dr = J w -n2r. o.-tlO + r>. (1 + n2r1 . (-1. 1, 2> dr
c,
I
J [(2t-2t
2
)(-1) + (1-1
2).1 + (2t + 2t
2
).2) dt
n
11
=-
3
Logo,
fJ - ~n= f 1. dr. + f J._:m-
c c,
25
6 ·, I
(iii) Calcular o trabalho realizado pe lo campo 1 = (-,-:.:_r,
2
-y
2
)
para
deslocar j'
I 11
:::-+-
2 3
x-+ y x + y ·;(~
uma partícula ao longo da semicircunferência :c
2
+ y
2
= 4, y ~O, no sentido anti-horá rio. -.~
·Y,
·~
·.·}~ ·'
:X'{ I
;1~ ~
;':' :
Cap. 5 lntegrai.f crm•i/(neus
251
--
Solução. Neste exemplo, podemos verificar que em cada ponto de C,
0 campo J é perpen­
dicu_lar ao vetor tangente unitário de C (ver Figura 5.31). Portanto, a componente tangenci al
de f sobre C é nula. e dessa forma, pela Proposição 5.3.5,_concluímos que
w=J]. dr
c
=o.
y
Figura 5.31
(i v) O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por
ii = (-y, x).
Calcular a circulaçfio do fluido ao redor da curva fechada C = c, U c_. U c
• '.l•
vista na Figura 5.32.
y
2 ---- ---
Figura 5.32
I

131. I•
1;
I•
I
''
•,
I :•
I I
l
I
!
· 252 Cdlculo C Cap. 5
Solução. A circulação do fluido ao redor de C é dada por
f v . ãr =f v . dr + f v . ar + f ii : m=.
c c, c, c.~
Antes de passarmos ao cálculo dessas integrais, é interessante analisar a representa­
ção geométrica do campo vetorial v (ver Figura 5.33). Podemos observar que, em todos os
pontos dos caminhos C
1
e C
3
, o campo ii é normal a C. Portanto, para estes caminhos, a
componente tangencial de
1 é nula. Da Proposição 5.3.5, segue que
J
ii . ãr = O e J ii . di' = O.
c, C
1
/
Figura 5.33
Basta então, calcular J ii . áF.
c,
Como uma parametrização de cl é dada por r(t) = (l, t), f E [I, 2), usando a equa­
ção (3), temos
2 '
f ii . áF = J (-(, 1) . (0,; 1) dt
c,
::: 1.
SD.W666
Cap. 5 Integrais cotrvi/(neas 253
Logo, a circulação do fluido em tomo de C é igual a 1.
5.4 EXERCÍCIOS
1. Calcular o· trabalho realizado pela força ]-= (-
1
-,
X+2
partícula em linha reta do ponto P(3, 4) até Q(-1, 0).
-
1-) para deslocar uma
y+3
2. Determinar o trabalho rea lizado pela força
1<x. y) = (;, f) para deslocar uma
partícu_ la ao longo da curva y = 1/x do ponto (I, I) ao ponto (2, 1 /2).
3. De1em1inar o trabalho realizado pela força 1<x. y, l) = (x, O, 2<.) para deslocar
uma partícula ao longo da poligona! que une os pontos A(O, O, 0), 8(0; l, 0), C( O, l, 1)
e D(l, l, l) no sentido de A para D.
4. Determinar o trabalho realizado pela força constante 1 = i + j para deslocar urna
partícula ao longo da reta x + y = l do ponto A(O, 1) a 8(1, O).
S. Calcular o trabalho realizado pela força 1 = (y_,_ z. x) r.ar~ deslocar uma par;fcula ao
longo da hélice r (f)= (cosf, sent, 2f) de f= O a r ::;; 21i. ·
~ 6. Calcular o trabalho realizado pela força 1 = 2i + .\] + zk, sobre uma partícula ao
longo de C, onde C é mostrado ila Figura 5.34 ..
y
Figura 5.34
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
•I
3

132. l ...
,.
254 Cálculo C Cnp. 5
7. Detenninar o trabalho r ealizado pela força f(x, y, z) = (y, x, z
2
)
para
deslocar uma
partícula ao longo da hélice dada por r (f)= (2cóst, 2sent,,2t), do ponto A(2, O, 0) ao
ponto 8(2, O, 4rr).
- -r
8. Um campo de forças é dado por f(x, y) = lrf, onde r = (x, y). Sob a ação desse
campo, uma pa1tfcula desloca-se sobre a curva x
2
+ 4yl = 16, no sentido anti-horário. do
ponto A(4, 0) ·ao ponto B(O, 2). Determinar o traba lho realizado por J nesse desloca­
mento.
9. Um campo é formado por uma força J, de módulo igu al a 4 unidades de forçn, que tem
a direção do ·semi-eixo positivo dos x. Achar o trabalho deste campo, quando um ponto
material descreve, no sentido horário, a quarta parte do círculo x
2
+i= 4, que está no
1 Q quadrante.
lO. Achar"o trabalho de uma força variável, dirigida à origem das coor denadas, cuja gran­
deza é proporcional ao afastamento do ponto em relação à origem das coordenadas, se o
ponto
de
aplicrtção desta força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse
\"1 i
.:..__ + ·--= 1 no I,. quadrante.
4
16
. Nos
exerdcios de 11 a 17 detemúnar a integral curvilínea do campo vetorial f, ao
longo da cun·a C dada.
11. f(x, y) = (lxl, y); C é o quadrado de vértices (-1, -1.), (-1. 1), (1, 1), (1. -1) no
sentido anti-hotário.
12. f(x, y, l) = (x
2
, 1 y, xz); C é o segmento de reta que une o ponto A(2, 1. 0) ao
ponto B(O. 2, 2).
13. ]<x, y) = (x
2
y, ~)');C é o arco da parábola x = y!, do ponto (0, 0) ao ponto (4, 2).
14.
J (x, y)
~ (x
2
~·· xy); C é o segmento de reta que une o.J)Onto (0, 0) ao ponto (4, 2).
cs. J (x, y, z) = (x, y, z); C é a intersecção das supetffci~s x
2
+ y
2
-2y = O e z = y orientada
---'no sentido anti-horário.
16.f(x, y) = (x, y); Céacurvadadapor r(l) = t
2
i + 1
3j,
I E (-1, 1).
17. J (x, y, z) = (-yz, xz, .xy); C é a elipse x
2
+ 9y
2
= 36 no plano z = 2, orientada no sentiuo.
anti-horário.
"-:'
;i,
:·~
,,
SDI$W666
Cnp.~rais curvilfneas 255
Nos exercícios de 18 a 25 calcular as integrais curvilíneas dadas:
18. f [xdx + ytly], onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, J) no sentido anti­
c
horário.
19. f lxl dy, on de C é o segmento de reta x = 2y-I do ponto A( ...,.3, -1) ao ponto B( 1,
1
).
('
10. J [x
2
dx + /dy + Z
2
tlz]. onde Cé'o arco de hélice circular dado por
c
r(/)== (4cost, 4 sen/, 8t), I E (0, 21t].
1 21. f [zdr + ydy -xd~]. onde C é a intersecção das superfícies y +;: = 8 e
c
' ' , 8
x· + y-+ z· -z =O. Considerar os dois possíveis sentidos de percurso.
22. J [ dx + <~I' + dl). onde C é a intersecção das supetfícies y + z = 5 e z, 4 _ x2 do ponto
c
/(2, 5, 0) <lO ponto 8(-2, 5, 0).
~ _.23. J [xdx + ydy + .n/z), onde C é a intersecção das superf
1'c
1'cs 7 r:T·-,
""' ,.x· + y· ex=2do
c
ponto A(2, -Jfi, 4) ao ponto 8(2, Jfi, 4).
24, J [ydx + zdy -.)'dz), onde C é dado por)'= sem; z = 4; X E f0, 21t].
c
25. J Y e·''.dx onde C t! dado por y = x
2
, x E (--1. O].
c
26. Calculara integral/= j(xe·•dx-(x + 2y) dy),ondeCé:
c
;f
:;
. ;
. i

133. ,
' .
. ::·
)
)
)
\:
)•!
,l
) N
,.
).:
..
..,
) ·• ..
1 ,,
i
) ·•
~
•l
·i
I!
256 Cálculo C ·Cap. 5
a) o segmento de reta de (0, O) a (-1, -2);
b) a trajetóri:; parabólica y = -2x
1
de (0, O) a (-1, -2);
c) a poligonal de (0, 0) a (0, 1) a (-1, -2).
27. Calcular a integral do campo vetorial] :::: (2..\y, x
2
,
3z). do
pontoA(O, O, 0) ao ponto
B(l,
1, 2), ao longo dos seguintes
caminhos:
a) segmento de reta que une os pontos dados;
b) intersecção das superfícies z = x
2
+ y2 ex= y;
c) poligonal A C B, onde C= (3, 3; 1 ).
28. Resolver o exercício 27 para] = (3xz, 4yz, 2.ry).
29. Calcular a integral do campo vetorial] = (-y, x) ao longo dos seguintes caminhos
fechados,
no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro
na origem e raio 2;
b) elipse
x
1
+ 36y! = 36;
c) triângulo de vértices
(1, 1), (-1, 1) e
(0, -1).
-( , , )
30. Resolver o exercício 29 para f = ..)'", x· y .
31. Calcular a integral I = J (e-• dx + zdy + cosy dz) ao lo~go de C, onde C é mostrado
c
nas Figuras 5.35, 5.36 e 5. 37.
2 -------
,7
I)
! y
2
(I
Figura 5.35 Figura 5.36
· •.
j
\.
' '·
~.:
:;·.
f
H
~ . .
Cup. 5 Integrais cun•i/(neas 257
Figura 5.37
32. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ii = (x, -y). Calcular
a circulação do fluido
ao redor da curva fechada c =
c, u c2 u c)' onde
C
1
: segmento de reta deA(O, O) e B(l, 1);
C
2
: parte da curva 4x
2
-12x + 4y2-8y + 12 =O do ponto 8(1, 1) a C(2, 1);
C
3
: segmento de reta CA.
33. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ii = (2x, 2y, -z).
Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada C, onde C é dada por
r(t) :.: cost T + sent] + 2k, t e [0, 27tl
~34. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ii == (2x, -y). Calcu­
lar a circulação do fluido ao redor da curva fechada c = c, u c2 u c) representa­
da na Figura 5.38.
y
2 ------------------
2 3
Figura 5. 38

134. ;
'258 Cd/culu C Cap. 5
------
35. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por v = (y, -x). Determi­
nar a circulação do fluido
ao
redor do triângulo êle vét1ices .A(O, 0), B(2. O) e C(2, 2).
Qual o sentido segundo o qual o fluido gira ao redor da curva dada?
r
36.
O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ii = -, , onde
líl
r = (x, y). Determinar a circulação do fluido ao redor da curva fechada formada
pelos segmentos
AB e BC, A(2,
0), B(O, l) e C(-2, O) e a semicircunferência
)' = _J4-X~ .
37. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ii = 3] + k. Deter­
minar a circulação
do fluido ao redor do quadrado de vér1ices
A(O, O, 0), B(2, O, 0},
C(2, O, 2) e D(O. O, 2).
Jt 5.5 Integrais Curvilíneas lnqependentes do Caminho de
Integração
Para introduzir adntegrnis curv-ilfneas independentes do caminho de integração, vamos
analis·ar o Exemplo 5.3.6 (i) e. o exemplo que segue.
5.5.1 Exemplo
Calcular J [~en xdx -2yz dy-/dz] ao longo úe C, de A(0,!2, O) até B(2, 2, 4). onde C:
c
a) é a parábola z = x
2
,
y = 2.
b) é a poligonal AMB, M(l,
O. 0).
Solução de (a). A Figura 5.39 mostra o caminho C de integração. Usando x como parâme­
tro, temos ·
f[sen xdx -2yz dy -/dz] =
('
,,
~:
Cap. 5 l111egrais Cllrviilirea.t 259
2
= J [seJU. 1 -2.2. x
2
.0-2
2
.2x] dx
o
= -15 -cos 2.
B
Figura 5.39
Solução de (b). O caminho C de integração pode ser visto na Figura 5.40.
v
Figura 5.40
Para calcular a integral. dividimos C em dois caminho~ c e c o . · 1 c
1 -
1 ,. t.arrun 10
em
equação vetorial -
1
r(l) = tf + (2 -2/)J~, t [0 l)
E I •
·.'
i~
•'
L
I t
~~ ~· I
:.;I~
..i
,\,
:I: r:
-. 1
·oj'
-!!
;·,
i'

135. .,.
I
J ,,
J
·I·
\i
·260 Cálcii/O C Cap. 5
Temos, então
J (senx dx -2yz dy ·-/dz) =
c, I
J[senl -2(2-21).0.(-2) - (2-21)
2
.0] dt
(I
I
J sent dt
o
= -cos 1 + 1.
o caminho c2 tem equação vetorial
r(tl. = ( + t)f + 2t} + 4tk, E (0, 1].
Logo,
J (senxdx-2yzdy-/ dz) =
I
J [sen(! + t)-2.2t.4t.2-(2d.4] dt
o
-cos2 + cos1 - 16.
Portanto,
J (senx dx -2yz dy-l dz) ~ J (senx dx -~yz dy-/dz)
c c,
+ J (senx dx ,~ 2yz dy -/ dz)
'
= -cos1 + 1 -' cos2 + cosi -16
i
= -cos2 - 15.
•'
~.
-~
'•
1
··.'
Observando os dois exemplos citados, vemos que, no primeiro, a integral J 1 ár. ·.:<;
c !{
foi calculada de A até B ao longo de dois canúnhos distintos e os resultados encontrados ':l.
,·~~~· I
·=?
· . .;!~ .
1:~~ .
{~ .
·'.
Cap. 5 Integrais curv/Uneas 261
foram diferentes, No segundo exemplo, a integral dada foi calculada, de A até B, ao longo de
caminhos distintos, no entanto, os resultados encontrados foram iguais. Temos a seguinte·
definição.
5.5.2 Definição
~eja 1 um campo vetorial contínuo em um domínio D do espaço. A integral
J 1. dr
c
é dita independente do canúnho de integração em D se, para qualquer par de pontos A e Bem
D, o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos em D, que iniciam emA e ternúnam
emB.
Pode nos oco1Ter uma série de perguntas:
(i) Como identificar uma integral de linha independente do caminho de integração?
(ii) Podemos calculá-la conhecendo apenas os pontos A e B?
(iii) O que acontecerá se o caminho de integração for fechado?
Estas perguntas são respondida.s
com auxílio da Definição
4.10.1, Teorema 4.10.3 c
com os teoremas
que seguem.
t'
5.5.3 Teorema
Seja 11 = u(x. y. z) uma função diferenciável em um domínio conexo U c fi·' tal que i Vu
é contínuo em U. Então,
J i . <ír := u(B)":_ u(A),.
c
para qualquer caminho C em U, unindo o ponto A ao ponto B.
Pl'ova .. Sejam A e B dois pontos quaisquer em U. Vamos unir A e B através de um. canúnho
suave
C. Seja
r(t) (x(t), y(l), z(f)), t E [a, b], uma parametrização de C. Então,
:.·
.,
11
11
j
l j
I
I
j:
•I
) i
:I

136. ,.
> ..
,l

·i
I
'
'
I .
.I
I
;
I
:26~2~~Cd~k~t~do~C:_~C~o .~p-~5----------------------------------------- -------
f1 áF = f \lu áF
c c
b
= f "Vu[rU>] r' u> dt.
"
Seja g(l) = u(r(l)], t e [a, b ]. Pela regra da cad':ia, temos
... ·'
I
I
du dx ê)u dy du dz
g' (t) = --, --+ --, --+ --o --1
dx dt iJy dt ê)z dt
onde as derivadas parciais deu são calculadas nos ponto (x(t), y(t), z(f)). Portanto,
g' u> = "Vu[r<n] . r' <t>.
Como 1 \lu é contfnuo e C é suave, g' (tl é contínua em [a, b]. Podemos, então,
aplicar o
Teorema Fundamental do Cálculo e escrever
,,
f ] .
dr "' J g' u> dr
c
= g(f)
"
,
= u[r<n]
u[r<b>] -u[rca>]
= u(B) -u(A ).
Observamos que se o caminho t!ntre A e B fosse suave por pa11es, faríamos a mesma
demonstração sobre cada parte suave.
5.5.4 Exemplos
(i) Calcular a integral f 1 . áF, onde 1 é o campo vetorial do Exemplo 4.10.6 (i), ao longo · :{
·.;y.
'•
·~· !!:
c
de qualquer canúnho que une o ponto A(O, O, l) a 8(1, 2, l ).
Cap. 5 111/egmis cun•ilí11cas 263
-------------------
Solução. No Exemplo 4.10.6 (i), vetificamos que
1 = (yz + 2)i + <xz + l)] + (.~y + 2z)k
é o gradiente da função 11 = xyz + 2( + y + ;::
1
+ C.
Usando o Teorema 5.5.3, escrevemos
f 1 . d'P = J [(y~ + 2) dx + (x;:: + !) dy + (xy + 2z) dz]
c c
= u(l, 2, 1.) -u(O, O, 1)
= 6.
(ii) Verificar que o campo vetorial J = sen:( i -2yz] -/ k, do Exemplo 5.5. I, é um
campo conservativo em R
3
• Calcular f]. ar ao longo de qualquer caminho C de
A(O, 2, 0) até 8(2, 2, 4). c
Solução. O campo vetorial J é um campo tal que J;. f
1
e (
1
são funções contínuas que
possuem derivadas parciais de P ordem contínuas em/fll, Como
()J, = êJh = O,
ôy êJx
oJ; = êJf, = o e uf! = àf, = -2y. J admite uma função po-
ê)z êJx uz dy
tencial11, ou ~eja, J é um campo conservativo.
Para cJlcular a integral dada, vamos determinar uma função potencialu = u(x, y, z) de
] . Para isso. procedemos de forma análoga ao Exemplo 4.10.6.
Temos,
d/1
--= sen.t.
ê)x
ôu ôu ,
--= -2yz ~ :~z = -y-.
dy u
Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos
u = J senx dx
= -cosx + a(y, z~
r'
I
ji

137. ).
264 Cálcttlo C Cap. 5

. . au
Derivando este resultado em relação a y, e usando a igualdade - == -2yz:, vem
, · . oy
ali aa
-=\- = -2yz:.Porumto,
ay a,y
~
a J -2yz: dy
Substituindo este resultado na express ão de 11, obtemos
11 = -cosx-z:y2 + b(<:).
Delivando este resultado em relação a z e ·usando au = -/,vem
oz
au 2 db 2
- = -y +-= -y
az dz
db = O, b = C, C constante.
dz:
Finalmente, obtemos 11 = -cosx-zy
2
+ C.
Logo,
J] ãr = J (senxdx-2yzdy -l?z:)
c c
= u(2,2,4) -u(0,2,0}
= -cos2 -15.
5.5.5 Teorema
Se] = (fi, /
2
, /
3
) é um campo vetorial contínuo em um;'dominio conexo U c R
3
, são
equivalentes as tr ês afirmações seguintes:
i
a) ] é o gradiente de uma função potencialu em U, ou seja,] é conservativo em U.
'
b) A integral de linha de] é independente do caminho de integração em U.
c) A integral de linha de ] ao redor de todo caminho fechado simples em Ué igual a zero.
Cap. 5 l11tegrais cttr\'ilf11eas 265
Prova parcial. Vamos demonstrar que (b) implica (c), (c) implica (b) e (a)·implica (c).
(b) ~ (c).
Vamos supor que a integral
J [Jidx + J;dy + f3dz]
c
é independente do caminho de integração em U.
Seja C um caminho fechado simples em U. Dividimos C em dois pedaço~ C
1
e C
2
,
conforme Figura 5.41.
c,
y
Figura 5.41
Então,
c c, c,
Como a integral é independente do caminho d~ integração, usando 5.3.4 (d), podemos
escrever
c,
-c,
c,
.i
I
Jl " .
'!
·:
.,
:!
li
J;
l
i.
: ~
I t•
d
d
I·.;
1 ·~
l
:~
!i
'li .:
!~
. " : ,,
''r[
;11!1 . ,,,
• ,J,
;··

138. 266 Ccílculo C Cnp. 5
Portanto, segue que
'

,,
',
(c) -~ --(b).
Vamos supor que f [."dr + f
1dy + }jdz] = O ao longo de qualqut!r cami11ho fechado
simples. em V.
c
Sejam P c Q dois p~ntos quaisquer de V e C
1
e C
2
dois caminhos em V que unem P e
Q e não se interceptam (ver Figura 5.42). Então, C = C
1
U -C .~ é um caminho fechado
simples.
Temos,
c,
y
__...
Figura 5.42
-c,
= f [J;dx + f
2<Íy + f,dz]
c
=o.
·;.
Cap. 5 lutegrais Cl<r1'ilfuc a.r 267
Portanto,
c, -c,
J [J;dx + Jidy + }jdzJ
c,
Se os caminhos se inte.rceptam em um ponto M (ver Figura 5.43), podemos dividir os
canúnhos C 1 e Cl, aplicar a propriedade 5.13 (c) e usar o raciocínio anterior sobre cada
.
parte.
O mesmo racior:ínio é válido para um número finito de intersecções.
Logo,
f [J;dx + ;;dy + f,dz] é independente do canlinho de integração em U.
c
(a) => (c).
c·
~---------'-----!
Figura 5.43
Se f é o gradiente de uma função potencialu em V, pelo Teorema 5.5.3, temos
f j . r/r = 11(8) -II(A),
c
para qualquer caminho C em V de A até 8.
Se o caminho C for fechado, o ponto A coincide com B, e portanto,
f j. <ri = O.
r
·'

139. I.
\-" .
,.
{
,,
268 Cálculo C Cap. 5
5.5.6 Exemplo~
(i) Velificar se f = (e .. Y + I)T + eX+.l'J é um campo conser'vativo em R
1
• Em caso afi~-
matiz~· calcular
-......... _
II,IJ
f 1 . ãr
. ::~
11.11 .I
onde a notação f significa integral de li~ha ao longo de qualquer caminho de ( 1 ,0) a ( 1,1).
CI,Ol
.. : ...
Solução. O campo vetorial] é um campo tal que/
1
ef
1
são funções contínuas e possuem ,.,
derivadas parciais de 1
1 ordem contínuas em lll
1
•
Como
a;;
()y
servativo.
o f,
= --=-
ax
J adntite uma função potencialu, ou seja, J é um campo con~
·r
t.
' ...
''·'' .. ,
Portanto, pelo Teorema 5.5.5, f J dr é independente do caminho de integração erú-·
ti,Ot
1?
2
• Para calcular a integral, vamos encontrar a função potencial u e usar o Teorema 5.5.3 . ..::'
Temos,
a11 X<\' au H\'
-=e·+le-=e·.
ax d)'
dU
Integrando --= e .H!' + 1, em relação a x, vem
ax
11 = f (e<+y + l) dxi
= e ... _,. + x + a(y).
Derivando este resultado
em relação a y e usando a igualdade
du = e,.._,., vem
d)'
...
•.:
..:,
SDI$W666
Cup. 5 Integrais Cllrvilfneas 269
vu
é)y
Obtemos, então
Logo,
ti, h
da
= O; a
'·dy
''·''
Ç. C constante.
fl · dF J [(eX+·'· + l) dx + e.r+·'· dy]
cl,OJ
= u(l,l) -u(l,Q)
=· e
2
-e:
(ii) Determinar o trabalho realizado pela força
J = (yz + !)i + (xz + !)] + (xy + l)k, no deslo~amento:
a) ao longo da poligonal ABCJ?E da Figura 5.44 (a);
b) ao longo
do cantinho fechado da Figura 5.44 (b).
3
2 : ,,"'
3 :. ,·,.,"
---------J''
(a)
(b)
Figura 5.44
y

140. 270 Cálculo C Cn_._P_·5~--------
Solução. É conveniente verificar, inicialmente, se ] é conservativo. Em caso afirmativo, .;
podemos usar os Teoremas 5.5.3 e 5.5.5.
. O"ca(T!po de forças J é tal ql)e/1'!,. e~ são funções contínuas que possuem derivadas
parciais de J ;;·õi·dem contfnuas em //?
3
• Como
a~ 'd/2
z.
é)y ox
é)~
=
df]
= )' c
oz ox
d/2 é)j]
=X,
d;: é)y
J admite uma função potencialu, isto é, ] é um campo de forças conservativo.
a) Para rewlver est~ ítem. vamos encont~ar uma funçiío potencialu de J. Temos,
uu 011
= y;: + l,
dx dy
011
= xz + l e = xy + L
d'l,
ou
Integrando 7- yz + I em rclação a x, obtemos
ôx
u f (yz + I) dx
= yzx + x + a(y, ú
dll
Derivando este resultado em relação a y e usando -:;-~
oy
Ôll
ê)y
0(1
=x~+Ú+-:­
dy
da
é)y
Xl: +I,
xz + l, vem
a = f dy y + b(zl.
Substituindo este valor na expressão de 11. temos
11 == xyz + x + y ~ b(;:).
-----------
Derivando este resultado em relação a z e usando
dll
é)z
d/1
é)z
db
.)'+o+ o+-
dz.
xy + I, vem
A)' + J,
db = l
Cnp. 5 lnte[;ruis f'lm•ilfneas 271
b = J dz = z + C, C constante.
Logo, a função potencial é dada por·
11 = .)'Z + X + y + z + C.
Usando o Teorema .5.5.3, vem
11' = J J. dr
c
(·U .~ l
= f
f. ái:
>1.1.11•
-11(4,5.5) ... 11(1,1,0)
= 112 unidades de trabalho.
Observamos que o trabalho poderia ser calculado diretamente, usando
5.3.1 (2), ao
longo de qualquer cam inho
de ti até E. Poderfamos tomar, por exemplo, o segmento de reta
ÃE. .
b) 11' = f] . d/
c
=O unidades de trabalho, já que a curva C é fechada.
(iii) Calcular J [
2
-y , dx + x dy]
x + ,- x2 + 0~
c .
onde C é dado na Figura 5.45.
. '
;
'•
I, ,.
I
i ~ I
,.
;.
I
,.

141. •.·
272 Cdlc111u C . Cap. 5
Solução. O ca_inpo vetorial 1 = -y i + x J já foi analisado no Exemplo
x2 + y2 x2 + y2

4.10.4(c). Este campo é conservativo em qualquer domfnio si"mplcsmente conexo que não
~ .
contém a origem,.
a) Para a curva C dada na Figura 5.45(a) não encontramos dificuldades, pois C est: con­
tida em um domínio simplesmente conexo que não contém a origem.
Portanto, pelo Teorema 5.5.5, temos que
.( [ 2 -y 2 dx + 2 x 2 dy] = O.
jx+y x+y
c
b) Para a curva C dada na Figura 5.45(b) não podemos aplicar o Teorema 5.5.5. Neste
caso, para resolver a integral, vamos parametrizar a curva C e usar a Equaçâo.5.3.3(4).
Temos,
C:
r(t) 2cost T + 2sent ]. E [0, 2nJ
2
X
(C)
Figura 5.45
!:··;•
Cap. 5 f11tegrais cmvilf11eas 27 3
Então,
dx + x
x2 + /
]
2
J" [ -2sent 2cost J
dy = -
4
-(-2se
nt) + -
4
-{2cost)
dt
o
21t .
Como o resultado desta integral
foi diferente de zero, a integral de 1 em um domfnio
U
que contém C, depende do caminho de integração.
Voltando ao Exemplo 4.10.4(c), podemos afirmar que 1 não é conservativo no domí­
nio D
2 = {(x, y) 11 < x
2
+ l < 16}.
c) A Figura 5.46 mostra um domfnio simplesmente conexo U, que contém C da Figura
5.45(c) e não contém a origem.
Figura 5.46
·· · Então, para calcular a integral ao longo de C, podemos encontrar uma função poten-
'' -cialu de f em U e usar o Teorema 5.5.3.
Temos,
011
ox
(1) e
011
oy
X
(2)

142. 274 Cálculo C Cap. ~
. 5.6
·--
Jntegrando (1) em relação ax, obtemos
u - dx
J
-y
-x
2
+ l
X
"" -are tg-+ a(y~
y
Derivando este resultado em relação a y e usando (2), vem
Obtemos, então,
Logo,
,
dU
dy
da
dy
EXERCI CIOS
=O, a= C, C constante.
X
u --are tg -+ C
)'
are tg l + C.
X
dt· + x , dy] = u(B) -u(;)
x2 + y-
Tt
arc,tg 2--.
4
!l
.s,
'I
t
.... ;
.· ..
··-·
·'·
·:.i-
~J;
j.:O •
... \!
c1-
~-~~ -
'!i'
------
Cap. 5 brte3rais curvilfneas 275
2. Verit1car se o cmnpo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, detenninar uma
tu,b,,·J
função potencial para] e o valor dn integral J ] dr, onde a, b, c e R.
•O.U,IIl
a) f (x, y. z) = (yz, xz + Sy, .ty)
b) 1 (x, y, z) = ((x + y + z)
413
, (x + y + z)
4
n, (x + y + z)4'l)
c) 1 (x, y, z) = (3x
2
+ y, 4/ + 2t, Sxy)
d) ] (x, y, z) = (e'(cosy +sem:), -e' seny, e' cosz)
e) 1 (x, y, z) = (2.x, 2y, 2z).
3. Calculru· a integral f J . di onde ] é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer
,-
camiuho que une o ponto A(l ,1,0) no 8(1,2,-1).
a) ] = (setu· + 2y)l + (2x + cosz>J + (z -y senz)k
b) ] ~ (t'' + e'')i +(e·'· + z)] + (2xze=' + y)k
c) ] = (2x
2
y + i + z)T + (j x
3
+ 2~)' + z
2 )J + (x + 2yz)k.
_4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integra1;ào e determinar seus
valores.
(5.3)
a) . f (xdx + wl)•)
J •
!1.1•
~~~-
1. Verificar se o campo de forças 1 é conservativo. Em' caso afinnativo, determinar u ma .;.ftf .:·· :.
função potencial para este campo e calcular o traba ll1o que ele faz sobre uma pnrHcula .' .J~t :~ ..
12.11
J (-ex cosy dt + r.·' seny dy) b)
que. se desloca de A( I, -1, 0) a 8(2, 3, 1). .._~:]~ :.: ·
--~: :, ;!.').
}ff~ {:,
. ;.~~~ Í)·:. .
.~\.· ~~\ -.;:· :·
;),;:.~ .•:.;·.•·
'f ~~~
a) f
b) 1
== (2/x
2
z, 3/x
2
z, /x
2
+ y)
== (y cos~)' + yeX>')'i + ( x co~y + xeX)')J +. k
c) f (yz + cosx)T + (xz -seny)] + xy k.
I !I, OI
c)
11.0,11
f (2xydx + x
2
dy + 2dz)
10,1,11

143. . , ..
l:
•,
r
il
li
!·
li
I'
,I
I
l
.'·
276 Cálculo C Cpp. 5
12,2,31
d) f (dy + dz)
c-1,0,01
11,2,31 ' .
e) f[2x senz dx + (z
3
-e")dy + (x
2
cosz + 3yz
2
)dz]
11,1,11
Cl,l,ll
f) f [e·''dx + (xe·'· + e')dy + (ye' -2e-
2
')dz]
1-1.0,01
IK,Il
g) J ( e"cosx dx + eYsenx dy ).
cO, OI
S. Calcular J 1 . ([/:,onde 1 = (
2
y
2
1
2
-x
2
), ao longo dos seguint es cami-.
x+y x+y
c
nhos .
a) circunferência de centro em (4,4) e raio 2, no senti do anti-horário;
b)
roligonal A8CD, onde
A(l
10), 8(1,1), C(2,l) e D(2,2), de A até D;
c) quadrado de vértices A(1,0), 8(2,0), C(l,-1) e D(2,-Ú no sentido anti-horário;
d) circ
unferência de centro na origem e raio 4, no
scnti,do anti-horário.
6. Calcular j[(2xz + /)dx + 2xydy + x
2
dz], onde cé a intersecção das superfícies ·.
7.
c
z = x'-+ yl ex+ y = 2 do ponto A(2,0,4) a 8(0,2,4). :
Determinar o trabalho r
ealizado pela força conseryativa 1 =
(yz, xz, ~)' + I) nos
seguintes deslocamentos: .
a) ao longo
da elipse x
2
+
yl/4 = 9, no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) ao 8(0,6);
b) ao l ongo do arco de parábola x = yl-1
1 z = 2, do ponto A(-1,0,2) ao ponto
8(3,-2,2); .
Cap. 5 Integrais cccrvilfneas 277
c) ao longo do cantinho fechado fmmado pelas curvas y = x
2 ex == y2, no sentido anti­
horário.
. 8. Calcular f [
0
x dx + y dy]~ ao longo dos seguint es caminhos:
c -.JX" + l )x2 + l
a) circunferência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti -horário;
b) r<n =(f, llr), f E [1, 4];
c) poligonal A8CondeA(1,1),B(3,3)eC{4
1
1/4);
d) circunferência
de centro na origem e raio
1
1 no sentido anti-horário.
9. Calcul~· f J . ar, onde 1 =
1
;~) I r = (x, y, z), ao longo dos seguintes caminhos:
c
a) elipse x
2
/4 + y2 = 4, z = 2, uma volta completa no sentido anti-horário;
b) quadrado lxl + lyl = 1
1 z =O, no sentido anti-horário;
c) segmento de reta que une o ponto A(O,l ,0) ao 8(1 ,0, J3 );
d) intersecção das superfícies z = Jx
2
+ / , x:; 2, do ponto A(2,0,2) ao 8(2,4,2 J5 ).
~10. ~ma partíc~la de massa m move-se no plano .ry sob a influência da força gravitacional
F = -mgj. Se a partícula move-se de (0,0) a (-2,1) ao longo de um caminho C, mos­
tre que o trabalho realizado por F é w =-mg e é independente do caminho.
11. Determinar as seguint es integrais ao longo dos caminhos fechados:
a) f[c2~y + 4)dx + (x
2
+ z
2
)dy + 2zydz] ·
c
C: r(t) = (Senf
1 COSI, 7t), f E (0, 21t)
b) p [(~)· + z)dx + (x -y)dy + 4úlz]
c
C: r(t) = (sent, cosr, n), t E [0, 2n).
,,,.
•'
lf
I' ,.
!·
I

144. .. I
~; I
n
.·1
278 Cálc11lo C Cap. 5
~--------------
i_
-··--------·'!
:;-
~
12. Detenninar o trabalho realizado pela força ] =: (yze·r.:, e··~, ÃJ'e ··~ + I) para deslocar fl
2 . l
uma partícula ao longo da curva y = -, do ponto A(-1,-2,0) ao B(-2,-1,0). Esse 1
. X ~
trabalho é maior, menor ou igual ao trabalho realizado pela mesma força ] para deslo­
car uma partícula em linha reta de A até B?
13. Determinar o trabalho realizado peia força J = (e_. + yz, xz, xy) para deslocar uma
pattícula ao longo da intersecção das superfícies x
2
+ y2 + z
2 = 4 e z = /r
2
+ / , do
ponto A(l,l, .fi) ao B(.fi.o. J2).
-ti
?.
-~
-~
~, .
·' 11-
···}
14. Calcular. J[ ,-)'
2
dx + , x
2
dy].ondeCédadanasFiguras5.47,5.48e5.49. }
X .. + )' X"' + y :~ .
c
Figura 5.47
___ ú)JCV---
1 I
I I
I I
I
I I
I I
. 1.
. ~­
·._!
-~~; . :~.·
Cap. 5 Integrais curvi/(nens 279
15. Calcular o trabalho realizado pela força
J = (2x + <: + 4 )f + (/ -3z -1)] + (x -3y + z)k, sobre uma partícula, no lon­
go de C, deA(2,4,2) a 8(2,0,0), onde C é:
a) o segmento de reta AB;
b) a parábola y = z
2
no plano x = 2.
5.7 TEOREMA DE GREEN
Este teorema expressa uma integral curvilínea ao longo de uma curva fechada no plano,
como uma integral dupla sobre a região limitada pela cutva.
~ 5.7.1 Teorema
Sejam C uma cun·a fechada simp les, suave por partes, orientada no sentido ::mti-horátio, e
R a região fechada delimitada por C. Se ] = (f.,, f
1
) é um campo vetorial contínuo com
derivadas parciais
de J
~ordem contínuas em um domínio D que contém R. enlão
(I)
Prova Parcial. Faremos a prova do teorema para o caso em que a curva C é suave c a região
R pode ser descrita, simt~ltaneamente, como indicado na Figura 5.50(a) c (b). lsto é,
U = {(x1y)la ~ x ~ b e g
1
(x) ~ y ~ g
2
(x)} e
R = {(x, y) I c ~ y ~ d e h
1
(y) ~ x ~ h
2
(y)} .
Figura 5.48
--4--- :~~ --+.~-- ----~
1
,I~ :,
Figura 5.49
lo)
(b)
Figura 5.50
. I

145. IJ
,.
: ~
I
'I
~~ !
'I
;'i
.,
·I .,
-----280 Cálculo C Cap. 5
--~---------------------------------------------
Para provar (1), basta mostrar que
f ftdx = -Jf ~ dxdy
C R
e
f f2dy = fi~ dxdy.
C R
Vamos mostrar (2).
Observando a Figura 5.50(a), podemos ver que a curva C pode ser dividida em duas . ·
curvas C
1 e C
2
, de equações y = g
1
(x) e y = g~(x), respectivamente.
Usando x como parâmetro, obtemos uma parametrização de C
1
, dada por
Para a curva C
1 não podemos proceder da mesma forma, pois o sentido positivo deter-·.
minado pelos valores crescentes de x em [a, b ], nos dá a orientação sobre C
2
, no sentido.
oposto
ao desejado.
Podemos, porém, parametrizar -C
2
e usar a Propriedade 5.3.4(d). Te-: ·
mos,
Portanto,
p ftdx = f ftdx + f ftdx
c c, c,
b b
=. J ft (x, 81 (x)) dx -J ft \~• g
2 (x)) dx.
I
n a
Por outro !~do, como àft_ é contínua, desenv'olvendo o 2
9 membro de (2), temos
ày
SDI$W666
Cap. 5 Integrais cun•ilfneas 281
=-f ft(x, y) dx
b [ 182 (X)]
a g,(x)
b
= J [ft(x, g
2(X))-ft(x. g
1(xl)] dx
o
"
= -f [ft(x, g
1(x))-ft(x, g
2(x))] dx (5)
o
A partir das expressões ( 4) e (5), obtemos
f ftdx = -JJ ~ dxdy.
C R.
Para mostrar (3) procede- se de forma análoga, utilizando
R = {(x, y) I c ~ y :::; d e h
1
(y) :::; x :::; J~(y)}.
Observamos que o Teorema de Green também é válido para uma região R que conte­
yha buracos. Neste caso, o cantinho de integração C f: todo o contorno de R, orientado de
maneira que a região
R se encontre à esquerda, como mostra a Figura 5.51.
Figura 5.51

146. --~::1
.f.
1:.ii
,.(;
(.·.
.,. :
·: ~ :
. ~ .
.:/
.\I ;
... ...
\.
282 Có/t:ulo C Cap. 5
5.7.2 Exemplos
(i) Usando o Teorema de Green calcular f (l dx + 2x
2
dy), s~ndo C o triângulo de vérti­
c
ces (0,0), (I ,2) c (0,2), no sentido anti-horário.
Solução. A Figura 5.52 mostra o caminho C de integração e a região R delimitada por C.
y
Figura 5.52
Como R é dada por
0 s; X s; 1
2x s; y ::; 2,
usando o Teorema de Green, temos
f[l dx + 2x
2
dy] = Jf (4x - 2y) dxdy .;
c R
I 12' J (4xy -l)
2
; dx
o
I
= J [<Rx -4)-(8x
2
-
4x
2
)] dx
o
::: -4/3.
Cap. 5 llllegrais c:un•ilfneas 283
Observamos que, neste exemplo, para calcular a integral curvilínea diretamente, tería­
mos que dividir a curva C em três partes suaves, calculando a integral sobrt! cada parte. A
utilização do Teorema
de Green simplificou os cálculos.
(ii) Calcular
f ] . dr. ao longo da circunferência x
1
+ (y -1 f = 1, no sentido horário,
c
sendo J ::: ( 4x
2
-9 y, 9.)' + J'l"71).
Solução. A Figura 5.53 mostra a curva C. Como C está orientada no sentido horário, não
podemos aplicar o Teorema
de Green diretamente. No entanto, podemos aplicar
o Teorema
de Green para calcular a integral sobre a curva -C e depois usar a Propriedade S.3.4(d).
reinos,
J ] . d"i = Jf (9y + 9) dxdy
-C R
= 9 Jf (y + 1) dxdy.
R
·c
Figura 5.53
Passando para coordenadas polares, vem
f] . ár = 9] [
2
'J ~r sene + I) r dr] de
-C O O
I
n ( ,.J ,.2) 12sen9
= 9
3
sene +
2 0
de
11
. i

147. .·1
284 Cálculo C Cap. 5
Logo, f 1. ár -l81t.
c
'-.._,
,.~-·· -.
= 9 j (~ sen
4
9 + 2sen
2
9) ~e
o
181t.
(iii) Area de·uma região plana como uma integral curvilínea ao longo de seu contorno.
Usando o Teorema de Green, podemos expressar a área de uma região plana R, como
uma integral curvilfnea ao longo
de seu contorno.
Sejam
R e
C como no Teorema de Green. Sejam 1 xj e g -yi. Os campos
vetoriais
1 e
g são contfnuos com derivadas parciais contínuas em 1?
2
•
Aplicando (1) ao campo 1, obtemos
f X dy = JJ dxdy.
C R
Da mesma fonna, aplicando (1) ao campo g, vem
f -y dy = Jf dxdy.
c R
Portanto, se denotamos por A a área de R, temos
A = f xdy
c
ou
A=f-ydx.
(7)
c
Combinando (6) e (7), obtemos uma terceira
fótmyla para a área de R, dada por
A = .!. ! (x dy -y dx)
2j o
(8) .
c
Eventualmente, outras fónnulas para a área podem ser encontradas, aplicando o Teorema
de Green a outros campos vetoriais convenientes.
·':.•'
SDI$W66[;
_____________________ _ c_a..:..P.·_ .:.._5__:/.:..:."':.::eg~rais cun•ilf11eas· 285
. 2 2
(iv) Calcular a área delimitada pela elipse ~ + L = 1.
4 9
Solução. A elipse dada tem equação vetorial
r(t) = {2cos/, 3senl), o ~ f ~ 21t.
Usando (6), vem
A fxdy
c
1Jt
= f 2cost . 3cosl dt
o
2Jt
6 J COS
2
/ dt
o
2n ( 1 I
6
J 2 + 2
cos2t) dt
Cl
67t.
(v) Seja D = {(x, y) I x
2
+ y2 < 4}. Dado o campo vetorial
-( -y X )
f = ., t ') , ,
x-+ y
2
x-+ y-
mostrar que f 1 . di' = 2Tt para toda cutva fechada simples C
1
c D, suave por partes,
c
orientada no sentido anti-horátio e que circunda a .01igem.
Solução. Para resolver este exemplo, devemos voltar aos Exemplos 4.10.4(c) e 5.5.6(iii).
Seja C
1 c D uma curva fechada simples, suave por pat1cs, orientada no sentido anti~
horário, que circunda a origem (ver Figura 5.54).
.. .';1.:
. Sejam C
2 a curva que delimita D, Órientada no sentido anti-horário e R a região com­
'Pfeendida entre as curvas C
1
e C
2
•
O
contorno de R, orientado de maneira qu~ R fique à
:·esquerda, é fornlado pelas curvas -C I e c2 (ver Figura 5.55).

148. .. l'i
:.f
. ::·
. ,.
' )~
.;
. ·~
... . .
.. ,
.. ,
;_ ;·
•. j,
t li
l-li
I.
:J.
:. Y·.
286 Cálcrrlo C Cap. 5
,,~ ~"" ""
I
I ,
,
'
I
I
I

',,
,,
Figura 5.54
X
Figura 5.55
Aplicando o Teorema de Green, vem
fJ ( t~ _ ~·) dxdy = f ]. dr +f ]. dr
n -c, c!
= -f ]. dr +f ]. dr.
Como ~{
2
= ()~ V(x, >') E R (ver Exemplo 4.10.4(c)), obten1os
é>x ã).'
c, c,
Como f f. dr = 2n (ver Exemplo 5.5.6(iii)), segue·que
f]. dr = 2n.
c,
..,
!:
~
-----i

/
/
/
·.:f

-~
;~
=i
:ç
'{
{
·:r .
. ·~
·<
/ .. :
•.
.,
. ·t
Observamos que, usando este resultado e_o_Teofeiua 5.5.5, podemos concluir que a ·)f"
integral curvilfnea do campo f depenêle do CÚtnlnho de iutegração ell qualquer domfnio que ·.~,
contém a origem.
~~~~: .
-:,Jf'.:
·\{~:
;z;: ..
·'·IM ,
~~~\~: ··:
·--------------
Cop. 5 Integrais curviUIIeos 287
5.8 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de la 11 calcular as integrais curvilfneas dadas usando o Teorema de Grecn:
1. f[ x
2
Jx + ( 4.r + y) dy]. ao longo do ttiângulo de vénices (0,0), ( 1.2) c (2,0) no sentido
c
anti-horário.
2. f [(ln.x - 2y)dx 1· (2x t-e.r) dy] ao longo da elipse x
2 + y1!9 = I no sentido horário.
c
1
3. f[{/ + J4-x
2
) Jx + (lny - 4x)] dx ao longo do retângulo de vé11ices (0,0), (3,0),
c
(3,2) e (0,2). no sentido anti-horário.
4. f ( -2x dx + .f8:: !n(y + 2) dy) ao longo do paralelo grama de vértices A(0,0),
c
B(2,0), C(3,2) e D( l ,2), no sentido horário.
5. f (xdx + xy dy), ao longo do paralelo grama de vé11ices A( I,!), 8(3,2), C(4,4) e D(2,3)
c
no sentido
anti-horário .
6. T ]. dr, onde ] = ( -3x
2
y, 3xl) e C é a circunferência .rl + y
1 + 4y = O no ~entido
c
anti-horário.
7. f]. dr, onde J = (y, O) e C é o triàngulo de vértice~ A(O,l ), B(J,l) e C(2,2) nn
c
sentido horário.
1 .(
·, S. )'f. dr. onde J = (x~ + 4..\}',. 2x
2
+ 2x + l) e C é a elipse x~ + 4y! = 16 no senti-
c
do anti-horário.
9. f ( JY dx + JX dy) nnde C é o contorno formado pelas retas y = O, x == I e a parábola
c
y = x! no sentido anti-horário.
10. f[e·'.dx + (e_.. + I) dy] onde C é o triânguloA(-1,2), R(-·3,1) e C(l,O) no sentido anti­
c
horário.

149. -:~lr l
·. : J ~ I I
l.~ ! .,
\'..·.
'' ··~ 1 ..
n::
.r ·•
t~.
f ...

. -r
I~· .~
" I •
1
;
tl;
•,\:'
'
288 Cálculo Ç . Çap. 5
'"' ~--
~; 11. f [(e·•-' + l) dx + (x + JlD2) dy] onde C é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), ·
c
(1,1) e (0,1) no sentido hor_ário.
12. Calcular a área da elipse x = 6cos9, y = 2sen9.
13. Calcular a área da Figura 5.56. ·
. Figura 5.56
14. Determinar a área entre as elipses:
a) 4x
2
+ y2 = 4 e x'IY + yl/4 = I
b) x' + 9/-2x-18y + I =O e x
2
-2x + 4y2-8y + 4 =O .
. - ( X y ) d>-
15. Dado o campo vetorial f = ,
2
,
2 2
,
mostrar que
l f. ãr
x· + y x + y
c
= O para
toda curva ·fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
16. Dado o campo vetorial] =
2
, ,
2
-
2
, m.ostrar que 't f. dr = -2rc para
(
)' X ) ' :\,-
X + y· X + )' '
. c
toda curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário que
circunda a origem.
17. Calcular f]. m:, onde] :.: ((x
3
+ 2) Jx
4
+ 8x .'+ y, 4x
1
y) e C é a poligonal de.
c
vértices A( 1,0), 8(3,2), C(0,2), D(O,O), de A para f).
;:; 18. Calcular f]. dr, onde. ] = (2,ry + xe
3
"
1
•l, 4x'
2 + In(/ + 4y + 2)) c C é a poli·
c
. .
gonal de vértices A(O,O), 8(2,0), C(2,2) e D(-1,0) de A para D.
·'·' (
../
SD.W666
tapítulo 6
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
· .. r. 't,· .. ·: ,,
~ · ·
MAI<RON
Books
Neste capítulo apres entaremos as integrais de superfície: I,nicialmcnte, veremos alguns as­
pectos elementares da Teoria de Superfícies .. O çálculo ·:~â área de uma superfície e outras
aplicações serão analisadas
no decorrer do capítulo.
·. · ;·
6.1 REPRESENTAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE
Em geral, uma superfícieS em f?J pode ser descrita como um conjunto de pontos (x, y, z).
que satisfazem uma equação da forma
f(x,
y,
z) = O, (I)
ondefé uma função contínua.
A equnção (I) é chamada uma representação imp(fcila de S .
Se for possível
resolver a .equação
(I) para uma das variáveis em função d as outras,
obtemos umn representação explfcita de Sou de parte de S.
6.1.1 Exemplos
(i) A equação .... ~ + y2 + z' = é!2
(2)
é uma representação implícita da esfera de centro na origem e raio a.
Se resolvermos esta equação para. z em furição de x e y, obtem os duas soluções da(las
por
e -J 2 2 ' z=-a-x-y.
·_ .. ll'.
- ~·~ ···
289

150. ij
'J•
.··.
~-.! I :
~ ·;''
.~ ..,1
. ·ll
290 Cálculo C Cap. 6
Cada·uma das equações anteriores constitui uma representação explícita de parte da -~'
esfera. A primeira representa o hemisfério superio~ e a segun.da o hemisfério inferior (ver .;~
Figura 6. 1 ). -~
.;fi
~
I~
,;
Figura 6.1
Resolvendo a equação (2) para
x em função de y e z. obtemos
as equações
~ 2 2
x = "c r -y -z e .J 2 2 2
x=-a -y -z.
. ;.
?
I,
~-
que constituem outras representações explícitas de partes da esfera. A primeira equação ;·~ .
representa o hemisfério da frente e a segunda o hemisfério de trás (ver Figura 6.2). \·
,~·
.t
.
•/
.. ·~:
Figura 6.2 .. ~.
::·ff •.
Analogamente, resolvendo a equação (2) para y em função de x c z. obtemos )\i ·
.-:~:; :
r=;- . )·~l ...
y = -va· -x
2
-z
2
e y = -.Ja
2
-x
2
-z
2
• . ,:.,_i!· ..
-:~:~~ ~ {
Neste caso, a primcim equação representa o hemisfério à direita. e a segqnda represen: :J~ .. ~:. : ·'
ta _o hemisfério à esquerda (ver Figura 6.3). ~~ 'f' · :
'1t1j) f' :
:'{!w .. , ..
··.eltí! ;:·
Cap. 6 lmegrais de supuf(cic 291
Figura 6.3
1 I
(ii) A equação x + -y + -z
2 3
a, a > O, é uma representação implícita do plano incli-
nado que corta os eixos coordenados x, y t! z nos pontos (a, O, 0), (0, 2a, O) c (0, O, 3a),
respectivamente (ver Figura 6.4) .
As equações
1 1
X = a--y---7
2 3 ~·
.Y 2(a-x-~ z) c
constituem representações explicitas deste plano .
2a
Figura 6.4

151. '·'
1.
I•

;:/J
)~,;
-r'
j ....
}·· .
·r
)'.:
, ______ ....
29.2 · Cdlculo C Cap. 6 · ·
De maneira análoga à feita para curvas no espaço, podemos considerar representações
paramétricas de uma superfície S.
6.1.2 Equações Paramétricas·
Seja S uma superfície no espaço. Se os pontos de S são detemlinados pelas equações
x = x(11, v)
y = y(11, v)
z = z(11, v)
onde x, y, z são funções contínuas das variáveis 11 e v, definidas em uma região conexa R
do plano 1111, as equações (3) são chamadas equações paramétricas de S.
Se denotamos por r(tt, v) o vetor posição de um ponto qualquer
(x(11, v), y(11, v), z(tt, v)) da superfície, temos
r(ll, v) = X(ll, v)f + y(u, v>] + z(tt, vlk,
(ver Figura 6.5).
Dessa fom;a, a superfícieS, parametdzada pelas equações (3), pode ser representada · ·
pela equação vetorial
r(u. I') "' X(ll, v)f + y(u, vl] + Z(ll, v)ki (11, I') E R.
A equação (4) é chamada represe11tação vetorial da ~uperfície S.
-·
I •
I
I
I
'
'
I
~
y(u,v)
z(u,v)
).(U,Y
y(u,v)
I ,,'
: ,,
-------------J"'
Figura 6.5
SD.W666
Cap. 6 111/cgrais de superffcie 293
6.1.3 Exemplo
A equação vetorial
r(ll, v) = ui + v] + (u
2
+ l)k,
onde -2 ~ 11 ~ 2 e O~ v~ 5, representa uma superfície paramet.rizada em R .I.
Eliminando os parâmetros 11 e v das equações paramétricas
x=11
Y"'V
.
obtemos a equação cartesiana z "' x
2
+ 1.
Como x"' 11 e y = v, a superfície está definida para
-2 ~X~ 2, o ~y ~ 5.
A Figura 6.6 mostra a superfícieS, que é chamada cilindro parabólico.
I ,,"'
____________________ J,
Figura 6.6
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
----- -~
/
,-'
y

152. i
:j
li
ij.
1!
t
l.
J
I· .
294 Cólculo C Cap. 6
---------------------
:·~
....
6.2 REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE
. ,
ALGUMAS SUPERFICIES. .
6.2.1 Parametrização da Esfera
A Figura 6.7 mostra uma esfera de raio a, centrada na origem, onde marcamos um ponto :~
P(x, y, z) e dois ângulos u e v. O ângulo ué o mesmo que em cooi·dcnadas polares, e o ângulo :~.·
I' é formado pelos segmen tos OP e o~). :<
Do triâng ulo retângulo P
0
0P, temos que
OP
0 = acosv c z = asenv.
Do triângulo retângulo PpP
1
, temos que
x = OP
0cosu e y = OP
0
senu.
Substituindo OP0, nas duas últimas e quações, obtemos x = acosv cosu c
y = acosv sen11.
As equações
x :: acosv cosu
y = acosv senu
z = asenv
Figura 6.7
',\,
. .: -~
. :; ~ ..
(I) ·::
CnJI. 6 Integrais de superffcie 295
constituem uma parametrização da esfera.
A equação vetorial correspondente, é dada por
r(u, I') = acos1• cosu i + acosv senu] + asenv k.
(2)
Fazendo O ~ 11 ~ 2n e -2: $ v $ 2:, as equações ( J) descrevem toda a esfera.
2 2
Para obtermos uma parametrização de uma parte da esfera, deven1os determinar os
correspondentes valores
de
u e v. Por exemplo, uma parametrização do hemisfério s:.~pe rior
é dada pelas equações (l ), onde O ~ 11 ~ 2n e O ~ v ~ ~
2
Observamos que a parametrização da esfera dada pelas
equações (l) não é única.
Uma outra parametrização muito usada é dada por
r<u. v) == (asem• cosu, asenv senu, acosv),
(3)
onde O $ 11 :;; 2n e O ~ v ~ 1t,
Nesta parametrização, os parâmetros 11 e v coincidem com os ângulos e e <P das coor­
denadas esféricas (ver Figura 6.8).
X _..
Figura 6.8

153. I • (j
ll
. ':1 ,,
·:'

f)
,.
'
)I
,.
'· ---..
296 Cálcrtlo C Cap. 6
6.2.2 ·Exemplos
(i) Obter uma parametrização da parte da esfera x
2
+ yl + z
2 = a
2
,
que está no 1
g octante.
Podemos usar a parametrização
da esfera dada pela equação (2) e detenninar os
cor­
respondentes valores dos parâmetros li e v.
Analisando geometricamente a Figura 6.9, podemos observar que ambos os parâme­
tros li e v variam de O a !:. .
2
Portanto,
r(u, v) = acosv cosr4 i + acosv senli] + asenv k,
1t 1t
onde O S li S --e O S v S -.
2 . 2
(ii) Determinar uma parametrização da parte da esfera
x
2
+ yl + z
2
:: 16, acima do plano z = 2.
Vamos usar a parametrização da esfera dada pela equação (2) e determinar os valores
de li e v de modo a obter os pontos dá esfera que satisfazem 2 S z ~ 4.
Cap. 6 llllegrais de srtperffcie 297
1
Como z = 4senv, temos 2 ~ 4senv:::; 4 ou 2 S senv ~ I.
1t 1t
Segue que -S v :::; -
6 . 2
Analisando a Figura 6.10, observamos que O :::; u ~ 21t.
y
Figura 6.10
Portanto,
r<u, v>:: 4cosvcosuT +4cosvsenu] + 4scnvf,
. i( . . . 1t
·onde-S v ~ -e O ~ u S 2n.
6 2
~ü) Obter uma parametrização da esfera
x
1
-2x+yl-4y+z
1
+.1 =0·:·:
Necessitamos completar os quadrados para encontrar o centro e o raio da esfera. Te-
mos,
x
1
-2x + 1 +i-4y + 4 + z
2
+ 1 = 5 ou
y
~r---t---t-..,-f-;'9-; ;----.. (x-1)
2
+ (y-2)
2 + z
2
:: 4.
· -s· Portanto, a esfera dada tem centro ·h~ ponto (1, 2, O) e raio 2.
Sejam !iJ = T + 2] e
Figura 6.9 ~ (u, v) = 2cosu·cosv T + 2senu cosv J + 2senv k,
1t 1t
e -- :::;v~- .
2 ·2

154. ::
... t
!:?
'
298 Cálc111n C Cap. 6
---
Obse1vando a Figura 6.11, vemos que o vetor posição de um ponto P da esfera, é dado
por
. r(ll, v) fu t ~ (11, V).
-\---_:Y ..
Figura 6.11
Portanto,
r(u, v) = (1 + 2cosrt cosv)l + (2 + 2senll cosv>] + 2senv k,
onde O ~ u ~ 2rc e -~ S v ~ ~, é uma parametrização da esfera dada.
2 2 f
6.2.3 Parametrização de um Cilindro
Consideremos um cilindro vertical, dado pela equação x
1
:
yl = a
2
•
Seja P(x, y, z) um ponto qualquer sob re o cilindro. De.vemos introduzir dois pm·âmetros
11 e v e obter as coordenadas de P como funções deu c v.,'
Na Figura 6.12, representamos o cilindro, onde visualizamos geometricamente os pa·
I .
rãmetros 11 e v. O parâmetro 11 é o mesmo que em coordenadas polaref. e I' coincide com
Podemos observar que
x = acos11, y = asen11 e z = 1'.
Cap. 6 Integrais de Sllperffcie 299
a
X/
Figura 6.12
Portanto, uma paramctJizaçào do cilindro é dada por
r(ll, v) ~ liCOSII T + ascnu j + vk.
(4)
onde O ~ 11 ~ 2Tt e _.., < v < +<».
6.2.4 Exemplos
(O. Obter uma parametrização da parte do cilindro x
2
+ yl = 4, O~ z :S 5, <.lelimitada pelos
.~cnúplanos y = x e y = 2x, com x;::: O.
Vamos usar a equação (4) e determinar os COtTespondentes valores de 11 e v.
Como z = v, temos O~" :S 5. Para determinar os valores de 11, precisnmos dos ângulos
111 e 11
2 indicados na Figura 6.13.
Usando a equação do semipl ano x = y, x;::: O e as equações paramétricas x = 2cosu,
Y:::: 2sen11, vem que
;:o:..
~·
.·:.'.
ou
2cos11
1
= 2senll
1
tg 111 = 1.

155. l.
).
~~ ·
300 CtUculo c· Cap. 6
1t
Segue que li
1 = 4.
De forma análoga, de y = 2x, x :2: O, vem que
2 sen u
2
= 4cos 11
2
ou
Logo,
u
2
= are tg 2.
Figura 6.13
Portanto,
y
r cu, vl = 2cos u T + 2sen u]. + vk,
onde O ~ v ~ 5 e ~ :5: 11 :5: are tg 2.
4
(ii) Obter uma parametrização do cilindro X
2
+ z
2
= a
2
•
i
o cilindro df\dO é mostrado na Figura 6.14, onde introduzimos geometricamente.
parâmetros u e v. Podemos observar que
x = acos 11, y =v e z = asen 11.
SDI$W666
Cap. 6 Integrais de superffcie 301
Portanto,
r(u, v) = acos u T + v] + ascn uk,
o ::;; I( ::;; 21t e -oo < v < +oo,
é uma parametrização do cilindro dado.
Figura 6.14
·6.2.5 Parametrização de um Cone
A Figura 6.15 mostra um cone circular, on de denotamos por a o ângulo formado pelo eixo
·positivo dos z e uma gera triz do cone.
Dado um ponto qualquer P(x, y, z) do cone, sejam u o ângulo polar e v a distância de P
até a origem.
.\''·.
Do triângulo retângulo POP
2
, temos z = vcosa e Of>o = vsena.
Do triângulo retângulo PpPI, vem X= Of>o cos 11 e y = o~, sen 11.
Substituindo 0~ 1 nas últimas equações, obtemos
x = v sen a cos u e y = v sen o; sen 11.
Portanto, uma parametrização do cone da Figura 6.15 é dada por
r(u, v) = v se na cos u T + v sencx sen u] + v cosa k. (5)
Fazendo O ::;; u ::;; 2n e O ::;; " ::;; h, a equação (5) descreve um cone de altura h cos ex.

156. [:
•I .,
-~ ·-
C'·:
,.-:
,.: ..
.. ··
.-i ..
:-.
,
·.'
i'
;' .·
302 Cálcuio C Cap. 6
Figura 6.15
(i) Obter uma parametrização do cone gerado peln semi-reta z = J3y, y ~ O quanáo esta
gira em torno do eixo positivo dos z.
Vamos determinar o ângulo a. formado pelo eixo p_ositivo dos z e a gera triz do cone e
usar a equação (5).
Seja f'( O, y, z) um ponto qualquer sobre a semi-reta dada. Observando a ~igura 6.1 ú(a), ...
vemos que
Como z
y = O!' sen o: e z = O f' cos o:.
= ./3 y, segue que cos o: = .J3 sen a ou · tg o:
(<I
,'~-.. -i-'--. ~·---­
' I t I
[b)
Figura 6.16
1t
.. 1/ .J3. Po11anto, o: = 6'
~ ....
__________ c...:"P:_·_6_...:.l:..:.:ntegrais de .tllpo!rffcit 30.l
Logo,
1 -· J -Jj
T(/1, V) = -I' COS ll i + -11 Sen ll j + - V k,
2 2 . 2
onde O ~ 11 • ~ 2Jt e O ~ v < +oo,
(ii) Obter uma parnmetrização do cone z = -.J x
2
+ / .
A Figura 6.17 mostra o cone dado, que está representado na forma explícita.
Figura 6.17
Podemos pararnetrizá-lo, fazendo
X :::: 11
y = v
Neste caso, sua equação vetorial é dada por
r(u, V) :: 1/ i + v j -l;;
1;.--;? E,
onde --oo < 11 < +oo e __,., < v < +oo.

157. . ·IJ
•, .,
3Q4 Cálculo C Cap. 6
6.2.7 Parametrização de um Parabolóide
A Figura 6.18 mostra um parabolóide z = a
2
(x
2
+ y2). Este parab~lóidc pode ser parametrizado
fazendo-se
Figura 6.18
Neste caso, a equação vetorial será dada por
onde u e v podem assumir quaisquer valores reais.
Observamos
que, muitas vezes, as próprias
variáveis :~· c y são usadas como parâme~
tros. Neste caso, a equação (6) é reescrita como
-( ) 7 -: 2 ( 2 +. y2 ')k-
r x, y = xt + YJ + a x .
Uma outra parametrização do parabolóide z = a
1
(x~ + /) é dada por
. '
' 2 2)
r(u, v) = (ucosv, usenv,.; a 11 '
onde O ~ v ~ 27t e O ~ Ít < +
00
•
Nesta parametrização, os parâmetros u e v coincidem com as coordenadas r c 8
coordenadas polares (ver Figura 6.19).
·,,- SDOW666
Cap. 6 llltegrais de super/(cie 305
Figura 6.19
6.2.8 Exemplo
Obter uina parametrização da parte do parabolóide z = 2(x
2 + y2) abaixo do plano z = 8.
Usando x e y como parâmetros, urna equação vetorial do parabolóide é dada por
r(x, y) = (x, y, 2(x
2
+ /))o
Como queremos a parte do parabolóide abaixo do plano z = 8, os parâmetros x e y
devem satisfazer
ou
Podemos observar que, neste exemplo, a r~gião R = { (x, ·y) I x
2 + / ~ 4} é a pro­
jeção da superfícieS sobre o plano xy (ver Figura 6.20).
6.2.9 Parametrização de Outras Superfícies
De maneira geral, dada uma supetffcie S, sempre procuramos parametrizá-la da forma mais.
natural possível.
Por exemplo, quando S for o gráfico de uma função z = z(x, y), definida em uma região
· R do plru10 xy, as variáveis x e y sempre podem ser tomadas como parâni.etros. Uma paràme­
trização de S será dada por

158. 306 Cálculo C Cap. 6
r(x, y) = (x, y, z(x, y)).
onde (x, y) E R (ver Figura 6.21).
Figura 6.20
Figura 6.21
A região R é a projeção de S sobre o plano ~··
.· . . ,
.)
..
·! ..
.. ·.
·-r.
·-------------------.:.C<Ip. l'í Integrais de super{fci~ 307
6.2.1 o Exemplos
(i) Parametrizar o henúsfétio x
2 + yl + z
2 = 4, z :?: O.
A Figura 6.22 mostra a superfícieS, que é o gráfico da func;ão z = J4 -x2 _ l
definida para .e +i ~ 4.
Figura 6.22
Uma paramc!rização de Sé dada por
r(x, y) ::: xf + y_f + J4 -x
2
-/ k, (x, y) E R,
onde R é o círculo x~ + y2 ~ 4.
(Ü) Parametrizar a superfí cieS dada por y = x
2 + z y ~ 4.
A Figura 6.23 mostra a superffcie S. Neste caso. Sé o gráfico de uma função
Y = y(x, z), definida em uma região R' do plano xz .
Figura 6 .23

159. r.:
I
308 Cálct!!o·C Cap.·6
Tomando x e z como parâmetros, obtemos uma parametrização de S, dada por
onde
x e
z satisfazem x
2
+ z
2
~ 4.
Observamos que, neste exemplo, a região
R' é a projeção de S sobre o plano xz.
(iii)
Obter uma par~metrização da parte do cone x
2
= y2 + z
2
que está entre os planos x = 1 e
X= 4.
4 y
Figura 6.24
A Figura 6.24 mostra a superfícieS e a sua projeção _R'' sobre o plano yz.
Podemos observar que S é o gráfico da função
x = Jl + 1.
2
, (y, z) e R" .
Tomando y e z como p;âmetros, obtemos uma parametrização de S, dada por
J2 27 -: k-
r(y, z) = y + z ' + y; + z •
onde (y, z) e R''.
.. · ~~;:\:~ ··· .
...
...
. , .
Cap. 6 Integrais de superffcie 309
A região f(' é o anel circular delimitado petas circunferências y2 + z2 = 1 e y2 + z2 = 16.
6.3 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 7 a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.
a) Identificar a superfície.
b) Escrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as grafica­
mente.
2. x
2
+ i +-z
2 = I 6
· 3. x
2
-4x + y2-2y + z
2
= 1 I ~,
4. 2..\·
2
-
4x
+ y2 -2y + z
2
-2z + 3 = O
s. 2x+ J2 y-z= 10 ~~r
. 6. z-x2 = Ó c:.~(./,·~éU1,.:.-{!<"' ., . , .-.
7. x2 + y2 -z
2
= O 1/~
Nos exercícios de 8 a 14, obter uma equação cartesiana para a superffcie dada. Representá­
la graficamente.
8. r(u, v) =
( , ,
u-+ v· -l )T + ti} + vk
9. r(u, v) = ui+ v]+ 2Ju
2
+ v
1
f
10. r(u, v) =
-.,--
-2~ li ~ 2, o~ v~ 4 ui + u·j + vk,
v) = (u, J4 -112 -v2.
v)
v) = ( J 4 -11
2
-v
2
, u, v)
1C
v) = (2cos u; 3sen u, v), O ~ u ~
2
~ O ~ v ~ 4
. i
~

160. .,
.,
'I
,,
I
'•
1
.f
-~.
1·
-j
310 Ctl/culo C Cttp. ~
·--.
Nos exercfcios de 15 a 20 parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:
15. x
1
+i+ z
2
-2x-4y = 4
16. x
1
+ /-z = I
17 . .\' + y + z = 8
18. x
2
+ z' = 4, -o·• < y < <><>
19. x
2
-
4x
+ y2 + 2y + z.' + 1 =O
Nos exercfcios de 21 a 45 escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.
21. Esferu centrada na origem e raio .fi
22. Esfera centrada em (2, - 1, 3) e raio 4
23. Parte da esfera x
1
+ y2 + z
2 = 8 que está no 2° octante
J
24. Parte da esfera x
2
+ y
1
+ z
2
= 1 acima do plano z = 2
25. x
2
+i= 3
O
.Y
26. Parte do cilindro .x
2
+ y2 = 16. -·2 ~ z S 2 delimitado por x = y, y ~ ex=:= ·2
27 • .1..2+z
2
= 10
28. Cone gerado pe la semi-reta z = 2y, y <!O quando esta gira'cm torno do eixo positivo dos z
1 ' J
--
29. z = 2 x· + y·
,-'
30. z = -2..;.c + y·
31. 2x
1
+ 2y
2
-
3z =O
32. 4z-3x
2
-
3y2 =O
33. 2t
2
+ 2z
2
-y = o. y ~ 8
34. x
1
+ yl + z
2
-16 = O, z ~ O
35. Parte da esfera .x
1
+ yl + 7.
1
-4z ::: O, que está acima do plano z "' 2
-~-
;~
·i
-::·
__________________ C...:....'ap. 6 l11tcgrais de superffciP. 311
36. Parte da esfera x
1
+ l + z
1 = 36, tal que x ~ O e y S O
37. Pane da esfera x
2
+ y2 + z
2
= 1 que está entre os semi-planos y = x e y == 2x. x ~O
38. Cilindro yl + z
2
= 9, O~ x ~ 4
39. Cilindro x
2
-2x + y2-6y = 3
40. Cone gerado pela semi-reta y = ./3x, x ~O, quando esta gira em tomo do eixo positivo
dosy
41.
Parte do cone y = I -J.\·
2
+ z
2
tal que y ~ -3
42. Parte uo parabolóide z = x
2
+i-l, que est~ entre os planos~= O e z == 3
43. Parte do plano x + y + z = 4 que está no 1 Q octante
44. Parte do plano 2t + 3y = 9 delimitada pelos planos coordenados x = O e y = O
45. Parte do plano y + z = 8, delimitada pelo cilindro x
2 + y1 = 4.
6.4 CURVAS COORDENADAS
Seja S urna supcdfcic pararnéttica representada por
i'(u, v) = x(ll, v)l + y(u, vJ] + z(u, vJÍ,·. (u, v) e R.
(1)
Se fix.amos o parâmetro v, a equação ( 1) descreve uma curva. Tal curva está contida
em S e é chamada 11 -curva.
Analogamente, fixando o parâmetro 11, obtemos uma v-curva sobre S.
Dado um ponto p sobre s. de vetor posiÇão r(uo, Vu). a 11 -curva r(u, vi)) c a
v-curva r(u0, v) são chamadas cun,as coordenadas de Sem P.
A Figura 6.25 mostra as curvas coordenadas em um ponto P de uma superfície S.
Salientamos que a u-curva é a imagem de um segmento horizontal v= ''o contido em R e
av-curva é a imagem de um segmento verticalu = 11
0
•

161. 3/.2 Cálc11lo C Cop. 6
.,
··---~
I
--~----~· ~-------u
u.
Figura 6.25
-·· -----......
Observamos que uma curva coordenada pode degenerar-se em um ponto.
6.4.1 Exemplo
Determinar as curvas coordenadas da esfera x
2
+ y2 + z
2
= 4, no ponto P(2, O, 0).
Usando a parametrização da esfera vista em 6.2.1 (2), vem
1t 1t
r(u, v)= (2cos li cos v, 2 sen 11 cos v, 2sen v), onde o :::; li :::; 21t e --:::; v :::; -.
2 2
No ponto P(2, O, 0), temos 11 = O e v = O.
Portanto, a 11-curva em P tem equação
r (r r, 0) = (2cos u, 2sen li, 0), O :::; 11 :::; 21t.
A
v -curva em
P é dada por
r(O, v)= (2cos v, O, 2sen v), -~ :::;.·v :::; ~.
2 2
A Figura 6.26 ilustra este exemplo.
·.: .
. l
. ..
I'
·.;
-~.:
Cap. 6 Integrais de srrperffcie 313
y
Flgurn 6.26
6.5 PlANO TANGENTE E RETA NORMAL
Seja P um ponto de uma superfície paramétricaS, representada por
r(u, V), (11, v) E R.
Suponhamos que P tem vetor posição r(u
0
,
~0
)
e que as curvas coordenadas de sem
P sejam suaves. Então, conforme vimos em 3.!0.3, no ponto P,
0
vetor dr = d(r(u, vo))
a-d(-( )) dll du
~tangente a 11-curva r(u, Vu) e O vetor_!__ = I' llu, V é tangente 'lV-curva r(ll v)
dv dv ' ' rp
(ver Figura 6.27).
C:::
Figura 6.27

162. '
'.
' !
. '
i''
314 Cálcult:_' C::..___:C::.a:!.:p.:.... 6=-·--·-------------------------
Se os ~etores ~;: e ~;: são lineannente independentes, eles dete.nninam um plano. Este
oll ov ·
plano é chamado plano tangente. à superfície no ponto P. ·'·,
O Veto!. ar X a;: é perpendicular ao plano tangente e é denominado vetor normal à
au élv j.
superfícieS (ver Figura 6.28).
Figura 6.28
6.5.1 Exemplo
Uma superfícieS é descrita pela equação
r(u, v)= (ucos v. usen v, 11
2
-1).
onde O ~ 11 ~ 4, O ~ v ~ 2n.
a) Representar graficamente a superfície S.
b) Dar a equação e desenhar av-curva correspondentT a 11 = 2 e a u-curva correspon­
dente a v = ~· sobre a superfície S.
a;: a;:
c) Detemúnar os vetores :;-. a •
011 v
~ ~ R ..
- X - para 11 :, 2 c v = -e representá-los no
ou ê.lv 4 ·
ponto correspondente sobre o gráfico de S.
·'':....
:.·· ..
·;
·;.•
· .. :
..·
Cap. 6 Integrais de superffcie 315
-----
Solução de (a). Para representar graficamente a superfícieS, vamos encontrar sua equação
canesiana. Eliminando os parâmetros 11 e v das equações paramétricas
X:, IICOS V
y = 11sen v
z = 11
1
-
I,
obtemos z = x
2
+ i-I, sendo que z está definida na região R = { (x, y) I .r2 + l ~ 16}.
A Figura 6.29 mostra a superfícieS, que~ um parabolóide.
Solução de (b). Fazendo 11:, 2 na equação da supcrffcie S, obtemos a v-curva
r(2, v)= {2cos V, 2sen V, 3), 0 s; I'~ 21t,
que é uma circunferência no plano z:, 3.
rr
Fazendo v == -.obtemos a 11-curva
4
r(u. ;) "' ( ~· u, ~
2
11, u
2
_ 1). o ~ 11 s; 4,
que é um arco de parábola no plano x = y.
A 11-curva e a I'-curva obtidas estão representadas na Figura 6.29.
Figura 6.29

163. j
I
' I

316 Cálcllla C Cap. 6
Solução de (c). Temos,
a;:
- = (cos v, sen v, 211);
ali
a;:
-= ( -11sen v, 11cos v, O);
av .
a;: a;:
-X-=
au av
i j k
cos v sen v 2u
-usen v ucos v O
- 2 - -
= -2r/cos v i -211 ser. v j + uk.
1t
Para 11 = 2 e v = -, vem
4
a;: = ( J2 , J2 4) ;
au 2 2
a;: = (--fi, J2, o) e
a v
a;: a;:
1
-X- = (-4J2, -4J2, 2).'
au Jv '
Os vetores encontrados estão representados na Figura· 6.29, com origem no ponto
P( J2, J2, 3), que é o ponto de S correspondente aos valores dados de 11 e v. Podemos
observar que:
(i) a;: e a;: são linearmente independentes e portanto, dete~rninam o plano tangente aS, no
au dV '
pontoP.
( .. ) a;: a;: é 1 à rr · s
11 -x -norma super CJe .
a11 av
·. •.
'.':
Cap. 6 luregrais de Sllperffcie 317
~ 6.5.2 Equação da Reta Normal
Conforme vimos em 2.4.1, uma equação vetorial de uma reta é dada por
r(l> = ã + Er,
onde o vetor ã é o vetor posição de um ponto da reta e o vetor b nos dá a direção da reta.
Queremos a equação da reta normal
à superfícieS em um ponto
P de S. Se r(u
0
,
v
0
)
é o vetor posição do ponto P, podemos tomar
-
ã = r(uo, "o)
e b = (~;: X dr)(u
0
,
v
0
)
.(ver Figura 6.30).
ou dv
Um(j equação da reta normal/f, é dada por
Figura 6.30
6.5.3 Exemplo
. ' :. J?etenninar a equação da reta normal à superfícieS do Exemplo 6.5.1, no ponto
. . . P(J?. r;; )
: . 2, v2, 3 .
(I)

164. !i
318 Cdlculo C Cap. 6
O vetor p~siçüq do ponto P é
r(2. ~) = (.fi, .fi. 3).
No Exemplo 6.5.1, calculamos o vetor·
-X-2, - = -4v2, -4"2, 2. (
a; a')( 1t.) ( r;; r;; )
d/1 av 4
Portanto, urna equação da reta notmal é dada por
r<n = ( Ji, .fi. 3) + r(-4./2, -4./2, 2)
:: (./2-4Ji f, .fi-4.fi f, 3 + 2t).
A Figura 6.31 ilustra este exemplo .
..... --- ---....
. y
Figura 6.31
'··-
Cap. 6 l11tegrail de superffcie
319
(
a;: êlr)
q . dll X a~ (llu, l'u) = O
onde q = ( x -X o' y -Yu' z -Zo ).
Figura 6.32
6.5.5 Exemplos
~(~tcrr:;;nar)a equação do plano tangente à superfícieS do Exemplo 6.5.1,
110
ponto
2, "2, 3.
Do Exemplo 6.5.1, temos que
(uu, v11) = ( 2, · *);
r(uo, 1'
11
) = ( J2, J2, 3);
e
(2)

165. I.
).
320 Cdlcu/o C .Cap. 6
Portanto, ·a equação do plano tangente a S em P é dada por
(x-.fi, y-.fi. z-3). {-4'-'Í,-4'-'Í, 2) =O ou
-4.fi(x -.fi) -4.fi(y --12) + 2(z -3) = O
ou ainda, 2'-'Í x + .2-12 y -z = 5.
(ii) Detemúnar a equação do plano tangente à superfícieS dada por
x
2
+ y2 + z
2
= 4, no ponto P(l, 1, -12).
Utilizando a equação vetorial da esfera, dada em 6.2.1 (2), temos
r(ll, v) = (2cos 11 cos v, 2sen 11 cos v, 2sen v),
n 7t
onde O ~ 11 ~ 27t e --~ v ~ -e
2 2
a-r a;: ( 1 1 )
- x - = 4cos 11 cos-v, 4sen 11 cos-v, 4cos v sen i> .
ali av
-~
ü
~ .,
:;
jl
·~
. ·,
-~
:·
. .,
··.:
1t TC
Os valores de 11 e v correspondentes ao ponto P(l, I, J2) são u = 4 e v = 4' .. _'l.'
. •: respectivamente.
•,'I''
·'.·
Temos então,
(llo, v0) = (~, ~}
r(llo, Vo) = (1, 1, J2")
e
a;: ar
-X-(11
0
, v
0
)
= ( J2, '-'Í, 2).
au av
Portanto, a equação do plano tangente a Sem P, é dada por
(x -1, y -l, z -J2) . ( -12, -12, 2) = O
ou
<x -ll J2 + (y-1) J2 + (z--12). 2 = O
Cap. 6 Integrais de superfície 321
ou ainda, x + y + J2 z = 4.
Na Figura 6.33, representamos a superfície S, o plano tangente a S em P c o vetor
a;: ar
-x-nopontoP .
au av
Figura 6.33
(üi) Detcnninar a equação do plano tangente à supetfície S do exemplo anter ior, no ponto
P
0
(0, O, 2) .
Este exemplo
não pode ser resolvido, utilizando a equação
vetorial
r(u, v)= (2cos u cos v, 2 sen 11 c_os v, 2sen 1')
. ar ar
po1s, no ponto Po<O. O, 2), o vetor-x --se anula.
. ali av
No entanto, podemos resolvê-lo com o auxfii~ do gradiente, como segue.
A esfera dada é uma superfície de nfvel S, da função f(x, y, z) = x
2 +i + z2 c passa no
ponto P
11
(0, O, 2).
Logo, conforme Figura 6.34, a equação do plano tangente aS em P
0
, é dada por
'Vf(Ft) . [r -'o] = O, onde·
r = xi + y] + zk e r
0
= 2k.

166. '322 Cálculo C Cap. 6
·:f!. ·_,o·-,. ., .:
Figura 6.34
Temos,
gradf(P c)= (0, O, 4) e
r -/b = (x -O, y -O, z -2).
Po11anto, a equação do plano ta ngente aS em P, é dada por
(0,0,4). (.~.y.z-2)=0 ou
l = 2.
, H
6.6 SUPERFIClES SUAVES E ORIENTAÇAO
Na seção 2.5 vimos que uma curva suave não possui pontos angulosos. Analogamente, uma
superfície suave ou regular é caracterizada pela ausência de ·arestas.
Podemos dizer que em cada ponto P de uma superffcie· suaveS existe um único plano
tangente aS em P.
As equações p:u·amétricas podem ajudar na formalização da idéia de suavidade de
uma superfície. Uma maneira conveniente de descrever a ~oção de suavidade de uma super· .. : ..
ffcie S é di7.er que S pode ser dividida em partes e cada uma destas partes admite uma .;' .. :.
parametrização r(u, v)= (x(u, v), y(u, v), z(u, 1•)), onde x = x(u, v), y = y(u, v) e z = (11, v) /},:
admitem derivadas contrnuas de todas as ordens e que, para todo (u
0
,
v
11
)
E R, as derivadas. ·:;P
primeiras satisfazem a condição ~~~~(
:-&1:·
:.1~ ---
Cap. 6 llllegmis de superjfcie 323
or a;
-;---(uo, Vo) e ·::;-(u0, v
0
) são linearmente independentes.
Ull UV
( 1)
A condição (I) é conhecida como condição de suavidáde ou regularidade.
Os pontos de Sonde falha a condição de suavidade para qualquer parametri:-ação são
chamados
pontos
singulares.
Obscr•:amos que uma má escolha de parametrização pode nos Ievnr a pontos onde a
condição
de suavidade não
é verificada, 1nesmo que a superfície seja suave. Este~ pouto~ são
chamados pontos .1·ingu/ares fal.ws.
6.6.1 Exemplo
O ponto P(O. O, 2) da esfera x
2
+ y2 + z
2
= 4 é um ponto singular da parametrizaç:'io
r(u, v)= (2cos 11 cos 1', 2sen li cos 1', 2sen 1'),
(2)
'á . or ar - a; a;:
J que no ponto PLO, O, 2) temos que-x -:--= O, e então-e -não são linearmente
au dv ou av
independentes em P. Logo, no ponto P(O, O, 2) falha a condição de suavidade para a parame­
triznção (2).
No entanto P(O, O, 2) é uma singularidade falsa pois Sé uma supe1ffcie s uave. De fato,
llsando n parametrização
(3)
obtemos
~r (P) =o. o. O)
Ull
e
a;
-;-(P) = (0, I, 0).
uv
ar ar
Como -;---(P) e -;-(P) são linearmente independentes, para a parametrização (3) a
UI/ UI'
condição de suavidade é satisfeita.

167. 324 Cálculo C Crip. 6
6.6.2 Superfícies Suaves por Partes
Dizemos que uma supetffcie Sé suave por partes se S pode ser dividida em um número finito
de partes suaves.
6.6.3 Exemplos
(i) Planos, parabolóide s, cilindros e esferas são superfícies suaves.
(ii) O cone não é uma superfície suave.
(iii) A superfície de um cubo é uma superfície suave por partes, pois pode ser dividida em 6
partes suaves. Cada parte corresponde a uma face do cubo.
(i v) A Figura 6.35(a) mostra esboços de superfícies suaves e a Figura 6.35(b) mostra algu­
mas superfícies suaves por partes.
l•l
(b)
Figura 6.35
.. •.
Cap. 6 lnte8rais de Sltper/fcie 325
6.6.4 Orientação de uma Superfície
Dada uma superfície suaveS, em cada ponto P E S, temos dois vetores unitátios normais a
S (ver Figura 6.36). Se for possível escolher um desses vetores de maneira contfnua em toda
a supetffcie, dize mos que Sé orientável.
y
Figura 6.36
Uma superfície S está orientada quando escolhemos em cada ponto P E S um vetor
unitário íi(P), normal aS, que varia continuamente com P. O campo de vetores ií é chamado
· um campo normal unitário.
Observamos que se
Sé representada por
r(11, v), (11, v) e R, nos pontos onde a condi­
ção de suavidade é satisfeita, os vetores
a; a;:
-X-
III = dll àv e íi
l
a;: x a;:l
2
011 àv
são vetores unitários normais a S.
6.6.5 Exemplos
·. (I) Detemtinar um campo normal unitárió da esfera x
2
+ y2 + z
2 = a
2
, representandq grafica­
mente o vetor normal unitário encontrado em alguns pontos da esfera.

168. ;j
I·
326 Cdlculo C:_~C~aPr:·_::6:_ ___________ --:----------:-
Solução. Vamos usar a representação paramétrica da_e~fera dada por
;:(11, v)= (acos li cos v, asen 11 cos v, asen v)
Temos,
e
o 5 li 5 21t,
1t 1t d .
5 v 5 -, e etemunar o vetor
2 2
or a;­
-x-
011 av
llr = lar X Orl'
a11 av
~ ~ ' ' )
- x - = (a·cos 11 cos
2
v, a
2
sen u cos
1
v, a·sen v cos v
011 ov
l
a;: a;:l ,
-:-x -::--= a·cos v, sendo que
ôu cJ\'
vi' vr + ~
_ x ---:: O nos pontos onde v = -
2 au iJv
Portanto. para v 'f. ± ~, um vetor normal unitário é dado por
ii, = (cos 11 cos 1', sen 11 cos v, sen :i).
Nos pontos onde v =-= ± ~,podemos obter um vetor nor~al unitário tomando o limite,
como segue:
1t
Para v = -. temos
2
lim (cos 11 cos v; sen 11 cos v, .senv)' = (0, O, l)
"
~·-f-
2
lC
e para v = --,temos
2
Jim (cos 11 cos v,. sen u cos 1•, sen v)= (0, O, -1).
k
\'--t--
1
.. il
'
,.
....
:·
Cap. 6 luregmi.~ de suJ'erjlcil! 327
O campo ii
1
definido por
(em: 11 cos v, sen li cos v, sen v), P:!!a v -ct. ± ~
2
1t
(0, O, 1), para v = '2
(0, O, -1), para v
é um campo noimal unitário da esfera dada.
Na Figura 6.37, representamos o vetor ii
1
em alguns pontos da esfera. Observamos
que ele aponta para fora e que varia continuamente ao deslocar-se sobre a esfera.
Figura 6.37
(ii) Determinar um campo normal unitário do parabolóide S. dado por
r(x, y) = (x, y, x
1
+ y?), onde x
2
+ y!5 4.
Solução. Um vetor normal unitário do parabolóide é dado por
n, =
a;: a;:
-x­
êJx êJy
~~ .~ X ~:1

169. -j
,l
·'.
328 Cálculo C Cap. 6
O campo normal unitário definido por ii
1
está representado na Figura 6.38. Podemos
observar que o vetor ii
1
aponta para o interior do parabolóide.
y
Figura 6.38
Freqüentemente, uma superfície orientável é denominada superfície bilateral. As su­
perfícies que usualmente encontramos no Cálculo, são todas bilaterais. No entanto, existem
superfícies unilaterais como mostra o exemplo a seguir.
6.6.6 Exemplo
A Figura 6.39, m ostra a fita de Mobius, que é um exemplo clássko de superfície unilateral.
Ela pode ser obtida a partir de um longo retângulo ABCD, onde os lados AC c BD são unidos
de tal forma que A coincida com D e B com C.
Figura 6.39
. ·.
··'· ..
SDI$W665
Cap. 6 lmegrais de superffcie 329
Podemos observar que, dado um ponto P da fita de Mobius, podemos escolher uin
vetor normal unitário ii. No entanto, quando ii se desloca continuamente sobre a curva c e
retoma a P, seu sentido se inverte.
6.6.7 Orientação de uma Superfície Suave por Partes
Se uma superfície suave e orientadaS é limitada por uma curva fechada simples C, podemos
~ssociar à orientação de S, um :~entido positivo sobre C, conforme ilustra a Figura 6.40.
Figura 6.40
Usando esta convenção, podemos ?rientar uma superfície suave por partes. Vamos
exemplificar, supondo cjue sé formact'a.'por duas pades suaves, orientáveis, s e s conforme
F
. 6 4 $ ' I 2
1gura . I. e C e o contomo comum de S, e S, escolhemos um vetor normal unitário de
SI_ e s! de tal maneira que o sentido posi .tiv~ d~ c em relação a s, é o sentido oposto do
sentido positivo de C com relação a Sl. . ..
. õ
Figura 6.41
Se a superfície S é formada por ma·!s de duas p;ute~ suaves, procedemos d~ forma
análoga. ' · ·
· .. ·:
,,
'l• ,,
·I
r

170. ·330 Cálcttlo C Cap. 6
6.6.8 Exemplo
A Figura 6.42 mostra uma possível orientação da superfícieS de um cubo. Com esta Olien­
tação, sé denorrúnada superfície exterior do cubo dado.
1 ;;
I~
I .
d
Y
........ --------­
;
"' .
........
.....
. ,
....
Figura 6.42
6.7 EXERCÍCIOS
1. Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:
a) Esfera r (11, 1•) = (c os 11 cos v, sen u cos v, sen v)
n n (1
1
~}
O < 11 < 2n -·-:::; v :::; -no ponto P -,
2
--' 2 2 2
b)
Parabolóide r(tl, 1') = (11 cos V, usen v, 11~)
o :::; I' ::; 2rt, o :::; 11 s; 2; P(l, 1, 2).
c) Parabolóide r (11, v) = (11, 1', u
1
+ 1'
2
);
P(
1, 1, 2).
d) Hemisfério r (11, v) = (11. \', Jl_ 112 -1'2 ) ; Pu-.
2 2'
Ji)
2 _.
..
.: f
. I
~ • ;o ' .
. :'!:~ :::
. ·-· .. -
->.t;
::.:·:.. ...
-•• "J.
-~'i ·~
~~1
Cap. 6 Integrais de Sltperjfcie 331
--------------------
2. Parametrizar as seguintes superfícies, determinamlo as curvas coordenadas, nos pontos
indicados:
a)
Plano x + ..!_ )' + ~ z = L· rf..!. ..!. 2)
2 3 •• \4' 2 '2
b) Cilindro x
2
+ y2 = 9; P(3, O, 4)
3. Sejil Suma superfície descrita pela equação
r(11, v)= (ucos v, 2ul, usen v) onde O:::; 11:::; 2 c O::; v:::; 27t.
a) Representar graficamente a superfíci~ S.
b) Encoutrar as curvas coordenadas no ponto P( ~ , 2, ~) e representá-las gra­
ficamente.
c) Determinar os vetores dr ( P), or (P) ~ (P) X a;: (P) e representá-los gra-
011 ov ' ou àv
ficnmeute.
4. Dada a superfície param~:trizada
TC lC
S: r(u, v);-: (2cos 11 CO$ V, 2sen 11 cos v, 2sen v), onde o :::; 11 :::; -. o :::; v :::; -:
2 2
a) Representar S graticamente.
n n
b) Esboçar a 11-<:urva correspondente a v = -e a 1'-<:urva <:OtTespondente a u = -.
3 4
;:H oi
c) Detcnni11~r os vetores-;-----, :. ,
ull uv
a;: a;: 1t rr
ou X ov para 11 == 4 e v = )'representao-
do-os no ponto correspondente sobre o gráfico de S.
d) Determinar as equações da reta normal e do plano tangente. à superffcir S, no ponto
onde u :: ~ e v == ~ -
4 3
S. Determinar uma equação vetorial da re ta normal às seguintes superffcie~ nos pontos
indicados.
a)
r(tt, 1•) = (11
1
t-11
7
-l, 11, v); P(4, I, 2)
h) r(u. v)::: (11~ -L, IICOS l', usen v); P(4, I, 2)
• I
,,
:i
I
; ~
j:
,,

171. 332 Cdlculo C Cap. 6
c) r(u, v)= (u
2
-1, li, v); P(3, 2, 4)
d) r(u,v)=(u,v,i-u-v); p(±· ±· ~)
e) r(u, v)= (li, v,-u
2
-v
2
); P(l, 1, -2)
f) r(u~ v)= (u, 1', J4-u
2
-
v
2
);
P(l, I, J2)
(
5v + 2u-lO) (·. 2)
g) r (11, v) = li, v, 3 ; p i, 2, 3 .
6. Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano
tangente e da reta nom1al, nos pontos indicados:
a) z = 3x
2
y; P
0
(l, 1, 3); P
1
(-1, 1, 3)
b) z = x~ + y2; P
0
(0, 1, 1); P
1
(-l, -1, 2)
c) z = xy; P
0(1, ~, ~} P,(o, J2, o)
d) x+2y+z=4; P
0(1, ~· 2} P
1
(0, 1,2)
e) x~ +i+ z~ = 9; Pp, O, 0); P
1
(0, 3, 0); P
2
(0, O, 3); Pp, 2, 2)
f) x
1
+ y2 = 4; P
0
(
J2, J2,
2); P
1
(0, 2, 2).
7. Determinar a equação do plano tangente à superfícieS dada, no ponto indicado:
a) r(u, v)= (ucos v, usen v, -2u
2
); P(l, 1, -4)
b) r(u, v)= uT + 1'l + (t? + 2v
2
)k; P(O, 1, 2).
8. Encontrar a equação de uma reta que passa na origem ~·é nom1al à superfície
X+ 2y + Z = 4.
, .. ,,
.. ··
. ...
· .. · .. ·
.··.
BIBl.IO'fECA
~NEO-PONTA GROSSA
CEFET-PR
Cap. 6 l111egrais de supeiffcie 333
10. Determinar um campo nonnal unitár io do plano que passa nos pontos (1, O, O), (0, 1, O)
e (0, O, 1), usando as seguintes parametrizações:
a) r(u, V) = (li + v>T + (11 -v)] + (l -2u)k
b) i'Cu; v) = ui + v] + O -u -v)k.
Representar geometricamente, comparando os resultados.
6.8 ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
SejaS uma superfície paramétrica suave, representada por
· r(u, v) = x(u, v)t + y(11, v)] + z(u, v>k. (u, v) E R.
Na seção 6.4, definimos as curvas coordenadas de Sem um ponto P. Podemos conside­
rar que, na 11-<:Urva r (11, v"), o parâmetro li representa o te mpo. Desta fom1a, a;: representa
l 'd d d ' ou
o vetor ve oct a e e uma parttcula que se desloca ao longo da 11-curva.
Quando 11 sofre um acréscimo D.u, a pat1fcula move-se uma distância aproximada­
mente igual a lur' D.u sobre a 11-curva.
011
-A 1 t f' , 1 d' • · la;:l na ognmen e, para 11 IXO, a part1cu a move-se uma IStancJa -t:,.,., no tempo D.v,
dl' .
ao longo da 1'-<:urva r (ull, v).
O
l
a;:l A la;:/ . .
s vetores
011
l.l/l e àv D.v determmam um paralelogramo (ver Figu ra 6.43), cuja
área é dada por:
t:,.S = lar D.u X or D.vl = lar X ar' Óll D.v.
ou av au av 9. Determinar um campo normal unitário do parabolóide
r(u, v)= (ucos v, usen v, 11
2
!..._ 1),
representando-o graficamente sobre a supetfície.
A parte
de S, correspondente ao retângulo de área
~uD.v· em R, é nproximada por esse .,
1 ';p,alologromo de''"~.
·i:t-\<. '.·.
:~~~ ~:
·)l1·;
;~~~+-
..
i'
J

172. 334 Cálculo C Caj'. 6
~___:_ ___ _:_. ___________ ---·--·
v.
__ {f ___ [ _____ ! "
Yo ------ __._....
I I
I +-
1 I
I I
I I u
>.
Figurá 6.43
6.8.1 Definição
A área de S, denotada por a(S), é definida pela equação
E
.
·1vr a;'l
J
-
x-
dlldv
Clu av ·
R
(I)
quando a integral à direita existe. ·. 1
Se S é suave por panes, a área de S é dcfinidn como a soma das áreas sohrc cada
pedaço suave de S.
6.8.2 Exemplos
(i) Det'erminar a área do parabolóide?.= 2(x~ .+ yl), abaixo do plano z = 8.
Solução. Conforme Exemplo 6.2.8, tomando li e v como parâmetros, uma equação vetorial · ..
desse parabolóide é:
Usando a Definição 6.8.1, vem
a(S} = JJ I (1, O, 411) x (0, 1, 4v) I dlldv
fi
...
, ..
'I',! }~ ·:.:
·-----------·--C:::::a':!..l::_'· :::_6__:_1:.:_"'~eg~,~-a~is d<' mper[fde 335
= Jf I (·-4u, -4v, I) I dudv
H
= fJ Jr + J6(ll
2
+ v
2
)dud1•.
fi
Passando para coordenadas polares, temos
2n 2
a(S) = J f JJ. + l6r
2
r drdB
11 f)
~n
--f _!_{l 16 ·
2
)
312
43 + I
o I)
2n .
f
4
1
8
(GsJ65 -·r) da
(I
_ 65./65-I O
<18
()
d6
( 65./6~ -I )rr
=
24
unidades de área.
(ii) Determinar :t área da esfera de raio a.
Solução, Vamos utilizar a equação vetorial da esfera de raio a determinada "'nl G ? 1 · t ,
" --· , JS o e,
r(ll, v) = acos 1• cos ui + acos I' senti] + asen vk,
O ::; li ::; ~11: e
Usando a Definição 6.8.!, vem
1( s \' < ~
2 -2
a(S) "' fJ I (n
2
cos\• cos u, a
2
cos
2
v senu, a
2
cos v senv) dudv
R
-f f li
2
COS \' dudv
R

173. 336 Cálculo C Cap. 6
.".
2 2n
=
J
J a
2
cos v dudv
n
(I
2
.". 2n
2
J a
2
cos v u dv
n
2 o
.".
2
J 2rr~/cos v dv
n
2
·-4ru·/ unidades de área.
(iii) SejaS uma superfície representada na fom1a explfcita por z = z(x, y). Usando x e y como
parâmetros, escrever a integral que define a área de S.
Solução. Usando x e y como parâmetros, podemos representar S por
r(x, y) = xT + y] + z(x, y)k, (x, y) E R,
onde R é a projeção de S sobre o plano xy (ver Figura 6.44).
y
Figura 6.44
;',.
Cap. 6 Integrais de superjfcie 337
Assim,
or = (1 o àz) à r = (o 1 é)z) e
dX ' ' dX ' ày ' ' ày .
a;: a;
-x­
ax ày
oz -; oz -: -
=--I --J + k.
àx ày
Logo, usando a Definição 6:8.1, vem .·
a(S)
(iv) Detenninar a área do hemisfério de raio a, usando a representação explfcita
z = Ja
2
-x
2
-/.
Solução. A Figura 6.45 mostra o hemisfério e a sua projeção R sobre o plano).)'.
Temos,
dZ
dX
dZ
oy
Figl!ra 6.45
(
2 2 2)-112
= -y a.- x -y .
(2)

174. 338 · Cd/culo C Cap. 6
Usando o resultado do exemplo anterior, vem
. ' 2
-y J dxdy
' 2
-x· -y
Passando para coordenadas polares, te mos
a(S) = JJ .J a r drde,
a2 -r2
R'
onde R'= {(r, 0110 :::; r :::; a, O :::; O :::; 21C}.
Esta integral é uma integral imprópri a, que pode ser resolvida co mo segue:
a(S) = Iim
I-M
1 [2x l ur de dr
[, _[, D _ ,.
2
I
= lim ar a -r - 27t dr
f (
2 2
)"'''
I """i ti
o
lim (2na
2
-2na(a
2
-t
2
}"?}
1-JO
2M
1
unidad es de área.
(v) Encontrar a área da superfície cônica x
1
= y2 + z
2
que está entre os planos.\·= I c x = 4.
Solução. Conforme vimos no Exemplo 6.2.10(iii), uma para'!letrização da superfície cônica
é dada por
r(y, z) = Ji + z
2
i + y] + zk, (}•, z) E R,
onde R é o anel circular no plano yz, delimitado pelas circu~ferências y2 + 7.
2 = I e y
1
+ z~ = 4.
Usando a Definição 6.8.1, temos
= fJ .fi dydz.
n
Passando pam coordenadas polares, vem
2tt .s
a(S) = J J J2 rdrdO
!J I
2
n 15./i
= J-
2
-
de
I)
Cap. 6 Integrais de superffcie 339
l5..fin unidades de área.
6.9 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO
ESCALAR
De cena forma, as integrais de superfície são análogas às integrais cn~·vilíneas. Definimos
as integrais curvi líneas usando uma represe ntação paramétrica de uma curva. Definiremos
as integrais de superffcie usando uma representação paramétrica da s uperfície.
6.9.1 Definição
SejaS uma superfkie suave, reprC'sentada por i'(u, v), (u, v) E R. Sejafum campo escalar
definido e limitado sobre S. A integral de superfície de f sobreS, denotada por Jf fdS, é
definida pela equação s

175. 340 Cálculo C Cap. 6
l
a-<ri fJ fdS = Jf f(r(ll1 v)) a: X a: dudv
s R
quando a integral dupla à direita existe.
Se S é suave por !1artes
1 fJ fdS é definida como a soma das integrais sobre cada
pedaço suave
de
S.
s
Se Sé dada na forma explícita por z = z(X
1 y)
1 então
Jf fdS = fJ f(x~ y, z(xl y)) 1 + __3_ + __3_ dxdy (
a )2 (a )2
àx · ày
s R
onde R é a projeção de S sobre o plano xy.
6.9.2 Exemplos
(i) Calcular I = JJ (z -x
2
+ x/ -l) dSI ond~ .s é a superfície
s
r<u~ v> = uT + v]~ (u
2
+ l)k~
O S u S 2 e O S v S i
Solução. A superffcie deste exemplo é a parte da frente da calha que podé ser visualizada na
Figura 6.6 do Exemplo 6.1.3. ·,
Usando a equação (1), temos
I = JJ (z -x
2
+ >.y
2
-l) dS
s
=
fJ (r? + l -r? + r1v
2
-t)J4u
2
+ l dudv
R
5 ~
-f f uv
2
J4u
2
+ 1 dudv
o I)
·:-..... ···
I.
... ;·
s (4 2 1)3/2 2
= J v2 ~ u + dv
8 3/2
o o
5
.
12
(17Ji7 -1)j v
2
dv
o
125 (t7Jl7-t)
36
Cap. 6 Integrais de Sllpcrjfcie 341
(ii} Calcular I = Jf x
2
z dS 1 onde Sé a porção do cone z
2 = x
2 +i que está entre os planos
z = 1 e z = 4.
s
Solução. A Figura 6.46 mostra a superffcie Se a sua projeção R sobre o.plano >.y.
Figura 6.46
Usando a equação (2)
1 temos
= J2 Jf x
2
Jx
1
+ / dxdy.
R
.,
!'
.!
i
I
i

176. ·342 CcJ/cu/o C . .::::C::!.IIf.::_'·..:.:6 ___________ _
----:------·--
Passando para coordenadas polares, vem
2K 4
1 == J2_ f J r
4
cos
2
e drde
(I I
4
2n ,.s
== .fi f cos
2
e S de
o
o
l023J2
2n c 1 )
:: f
2
+
2
cos20 d0
5
o
~r.
1023J2
G e+± s~n29) =
5
11
102JJ2
:: -- ·-rr.
5
(iii) Calcular/ :: ff (x + )' + z.) dS I onde s:: s,u sl é a supe!ffcie representada. na Figura
s
6.47.
, . art. ·A lt'catldo a Definição 6.9 .1 - f' · s , ma superftcte suave por [l es.. P ' Soluçao. A super tcte e u .
sobre cada parte suave, vem
1 = J J (x + y + z)
dS
s
::: fJ (x + Y + z) dS + Jf (x + _)' + d dS.
s, sl '
Para calcular fJ (x + y + z) dS usamos a equação (2).
s,
···
::,
i.~
. •:
'•':!
.J
Cap. 6 Integrais dP. superft'de 34.J
Figuro 6.47
Temos,
4 1
Jf (x + y + z) dS == f J (x + y + O) JJ + O + O dxdy
s, r. !I
4 2
f J (x + y) dxdy
o 11
4 2
= f ('~
2
+ yx) dy
o 11
4
-f (2 + 2 )') dy
o
= 24.
Para calcular f f (x + y + z) dS não podemos usar a equação (2), pois a superfície S
2
s,
. é representada explicitamente como y ':' y(x, z). No entanto, podemos reescrever (2) como
'f Jf [,. (()y)2 (()y)2 J fdS = . f(x, y(x, Z), z) yl + iJ:c + ()z drdz,
s /{'
(3)
. '~n 'de R' é a projeção de S sobre o plano xz.

177. D. . , :
·-:.
l'··
344 Cálclllo C Cap. 6
Usando (3), vem
fJ (x + y + z) dS = fJ <x + O + z> .Jt + O + O dxdz
Portanto, l = 24 + 8 = 32.
R"
2 4-h
= J J <x + z> dzdx
() o
= 8.
6.1 O CENTRO DE MASSA E MOMENTO DE
INÉRCIA
0 centro de massa e o momento de inércia de uma lâmina delgada podem ser calcul ados ·.
usando-se in tegrais de superfície.
Suponhamos que S represente a lâmina e que o campo escalar f(x, y, z) represente a ..
densidade (massa por u
nidade de área) no ponto
(x, y, z). Então a massa m da lâmina é dada ·
por
m = fJ f(x, y, z) dS.
s
o centro de massa (x. y. z) é dado por
- l JJ . x = - xf(x, y, z) dS
111 • •
s :
I ,
y = -JJ yf(x, y, z).dS
1/l I
s
z = I_ JJ zf(x, y, z) dS.
1/l
s
.-
.
Cap. 6 Integrais de superfície 345
O momento de inércia /L de Sem relação a um eixo L é dado por
11• = JJ [õ(x, y, z)]
1
f(x, y, z) dS,
(5)
s .
onde o(x, y, <:) é a distância do ponto (x, y, z) de S até o eixo L.
6.1 0.1 Exemplos
(i) Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = y recortada pelo c ilindro x2 + (y-I)~= l.
Detem1inar a massa dessa lâmina se a densidade
no ponto (x,
y, z) é proporcional à distância
desse ponto ao plano ..\y.
Solução. A-Figura 6.48 mostra a superfícieS que representa a lâmina e a sua projeção R no
planoxy. : .. · · .
R
Figura 6.48
Como a densidade no ponto (x, y, z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy,
temos
f(x, y, z) = kz. onde k é Úma constante de proporcionalidade.
Usando 6.10(1), vem
· m = JJ f(x, y, z) dS
s
= JJ kz dS
s

178. í
i ,.
j;_
·I•
H
i
~ .:
Q I
rli
. 1.
c;
~I '
-,;r: , ..
;p
. ~·
-i:
.1•.
I' . :
!;
1:
IJ,
I!,
!I
. .
r;
I :•
i;
;t=
'.
Ül
I (
[j
~~
l!~l
t· .•
L
346 Cálculo C Cap. 6
= k Jf y Ji + O -1: l dxdy
R
= .fi k Jf y dxdy.
R
Passando para coordenadas polares, temos
n 2<en0
111 = .fi k J J r
2
sene drde
o o
n
2!1:en9
,.3
d9
3
·'
.:.;
= .fi k J sen e
o 11
... ~ · . .-:-·-
S.fik n
= -
3
J sen
4
8 d8
o
= J2 k 1t unidades de massa .
(ii) Determinar o centro de massa do hemisfério z = ~ -l com densidade
f(x, y, z) = 0,3 unidades de massa/unidades de área.
Solução. Vamos, neste exemplo, usa.r uma representação paramétrica para o hemisfério
superior S:
1t
r(u. v) = cos 11 cos v i + sen li cos v] + sen v k. o '$ 11 $ 21t, o $ v ~ 2
Corno a densidade é constante, podemos dizer que
massa
=
:irea de S X densidade co.nsta nte .
Pot1anto,
m = 21t . 1
1
•
0,3 = 0,6n unidades·
de massa.
Ainda, devido ?I simetria de S, as coordenadas .r e y do centro de massa são nulas.
Falta-nos, portanto, calcular z. Te.mos,
z ..!... f f zf(x, y, z) dS.
/11
s
·.::~ ..

Cap. 6 Integrais de supt>rjfcie 347
Usando a equação 6.9(1), vem
z •· __!:-J.J sen v . 0,3 . cos v dud1•
O,úrt
/(
n/2 lrt
f f
sen v cos v dudv
21t
(I (I
2
Portanto, (x, y, z) = (O, O, .~).
(üi) Uma lâmina tem a forma de um hemisfério unitário. Encontrar o momento de inérc ia
dessa lâminacm relação a um eixo que passa pelo pólo e é perpendicular ao plano q"ue
delimita o hemisfério. Considerar a densidade no ponto P lia lâmina proporcional a distância
deste ponto ao plano que delimita o hemisfério.
Solução. Podemos representar a lâmina como mostra a Figura 6.49. N
este caso, o eixo
que
passa pelo pólo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério é o eixo dos::.
A densidade é /(x, y, z) = kz.
Usnndo 6.1 0(5), vem
Figura 6.49
I. = fJ (x ~ + /) kz dS,
s

179. 1:
t 1'
l'
! ~
,.
I.
I
í.
i:
,·.
);
i;'
i.
. '
; ~ ~
;{i
"I
I~ l .,
il ~I
J;
-~
'li
6
\;;,_ ..
~ ·
I: .,
,~ .
348 ·Cálculo C Cop. 6
onde õ
2
(x, y, z) = x
2
+ yl (ver Figura 6.49).
Aplicando 6.9(2), lemos
It = k ff (x2 + /)J1 -x2 -l J; + x1 + )~2 , dxdy
1 -x
2
-y
2
1 -x· -y·
H
Passando para coordenadas polares, temos
I~= k fJ r
2
~
R'
onde K = {(r, 8) I O ~ r ~ 1, O ~ e ~ 2n}.
Resolvendo esta integral imprópria, obtemos
I 2~
I, = lim f f r
3
dO dr
1-t I
o o
k'1t d'é'
= -unidades de momento e m rc1a.
2
6.11 EXERCÍCIOS
1. Calcular a área da superfície plana 2x + 2y + 3z = 6, to,inada no lu octante.
·.·.
'<•
.,
>_,
t.'.
. (~·.
•'•.·.
2. Calcular a área da superfície do parabolóide y = 3 -(~
2
+ z
1
) intl!rceptado pelo plano · ·:::·
y= o.
3. Encontrar a área da superfície do cilindro .\.2 + z
2
=_:25 limitada pelos planos x = O,
x = 2, y =O e y = 3.
4, Encontrar a área d.o parabolóide z = x
2
+ yllimitado 'superiormente pelo plano z = 2.
I
S. Achar a área da superfície do plano 2x + y + 2z = 16, interceptado por
a)
x
=O, y =O, x = 2 e y = 3;
b) x =O, y :-'O e x1 + y
2
= 36, no Jll octantc.
•',{
·. ·.·
SDOW66fj
Cop. 6 Integrais de super[fcie 349 .
6. Achar a área da superfície do cone z
2
= 3(x
2
+ yl) interceptado pelo parabolóide ' '
z = x
2
+ yl.
1. Determinar a área da superfície esférica .r2 + l + z
2
= 9 que está no interior do cilindro
x
2
+ y2 = 3x.
8. Calcular a área da parte da esfera x
2
+ y
1
+ z
2 = 16 interior ao cilindro yl + z2 = 4z.
9. Calcular a área da parte da esfera x
2
+i+ z
2 = 9, interior ao cilindro x2 + y2 = 4.
10. Calcular a área da parte do parabolóide x = l + z
2
delimitada pelos planos x = 4 e
X= 9.
11. Determinar a área da porção esférica x
2
+i+ z
2
= 4, cortada pela parte superior do cone
x2 + y2 = z2.
12. Determinar a área da porção do plano z = 4x, cortada pelo cilindro x2 + yl = 4.
13. Detemunar a área da superfície plana x + y + z = 8 delimitada pelo cilindro x2 +i = 4.
14. Calcular a área da parte do parabolóide z = 4 -(x
2
+ yl) acima do plano Ay.
15. Calcular a área da parte do cone z
2
= x
2
+i que está no interior do parabolóide
z = 2x
2
+ 2/.
16. Detenninar a área da superfície do parabolóide z =r+ i exte1ior ao cone z = J x2 + l .
-, 17. Calcular a área da parte do plano 2x + 2y + z = 4 compreendida no interior da superfície
plis!llática 1 ~ x ~ 2, l ~ y s 2.
18." Calcular a área total da superfície cuja lateral é parte do cilindro x2 +i = 4; cuja parte
s
uperior é uma porção do hemisfério
z = JI6 -x
2
-/ e cuja parte inferior é a
porção
do plano z =
O.
19. Calcular a área da súpe1fície plana.!. x + z '= 4 recortada pelo cone z = Jx
2 + / .
2
20. Calcular a área da superfície do tetraedro cujas faces são partes dos planos z =O, y = ~·
x + 4y + 2z = 8 e -2x + 4y + 2z = 8.
21. Seja S a face da frente dei tetraedro limitado pelos planos coordena dos e pelo planÓ
.:_ + !'.. + ~ = l, a, b, c > O. Mostrar que a área de Sé dada por ..
a b c '; ·.!, li•'r.
1.:J .\~~
As J A1
2
+ Ai + Ai, onde A
1
, A
1
e A
1
são as áreas das outrus faces êfo tetraedro.

180. 350 Cálculo C Cap. 6
·,
22. Uma superfícieS é representada pela equação vetorial
. .:.~
r(11, v) = cos vi + sen v] + uk, O ~ 11 ~ 4, O ~ v ~ 2rr.
· a) Mostrar que Sé uma parte de uma superfície de revolução.
b) Determinar a área de S.
23. Dada a equação vetorial r (11, .v> = (ucos v, 11sen t', 11
2
):
a) elinúnar os parâmetros 11 e v detenninando a equação cartesiana da supetiície;
b) faze.r um esboço e indicar o significado geométrico dos parâmetros 11 c v;
c) determinar a área da pat1e da superfície que está entre os planos z =O e z = 4.
24. Mostrar que:
a)
Se
Sé uma superfície dada na fom1a explícita pela equação y = y(x, z). então
Jf fdS = Jf f(x. y (x, z), z) Jl + (*;Y + (~~y dxdz,
S R
. ·,
· .. ·
onde R é a projeção de S sobre o plano xz.
b) Se Sé dada por x:::: x(y, z), então
fJ fdS ~ ff r<x (y, z), )' I z) !I + ( ~: y + { ~: y dydz,
s /(
onde R' é a projeção de S sobre o plano yz;.
25. Calcular f f (x + y + ·z) dS, onde:
s .
a) SéafacesuperiordocuboO~x:::; l,O ~y:::; l.O.~z~ l.
b) Sé a face da frente do cubo do item (a).
':.· .. _:
26. Calcular f f x( z
2
+ l) dS, onde Sé o hemisfério da frente da esfera x~ + y! + z! = 9 ..
s ·~
27. Calculru· fJ .\·
2
zds. onde Sé a superfície cilíndrica x~ + y
1
= l; O::::; z ~ I. . ··/Ú•: .:
. I:
-----------_________ C....:ap_. 6 __ lotegrais de supP.rffcie 351
28. Calcular fJ (X + z) dS, onde Sé a superfície plana 2x + 2y + z::: 6, tomada no [Q
s
octante.
29. Calcular fJ .t)'Z dS, sendo S a superfície plana 3x + 2y + z = 12, delimitada pelos pl anos
s
y :::: 0, )' ::: 2, X ::: 1 e X::: 0.
30. Calcular Jf (x
2
+ /) dS, onde Sé a superfície esférica x~ + l + z~ = 16.
s
31. Calculru· fJ ~ x~ + / dS, onde Sé a superfície lateral do cone
s
1 1 '
x· y· z-
4 + 4 -9 ::: O, O ~ z ~ ló .
32. Calcular fJ xz dS, se11do S a prute da supe1 fície y = ..\:~, delimitada pelos planos z = O,
,Ç
Z = 4, X::: 0, e X= 2.
~ 33. Calcular Jf 2z dS, sendo S a patte do parabolóide z ::: x~ + y1 -2 abaixo do plano xy.
s
34. Calcular fJ xdS, senuo S a superffcie plana z-x = 2 recortada pela esfera
s
35. Calcular Jf )' dS, sendo S a parte do plano x = 2, recortada pe lo cone z
s
e pelo plano z = 4.
36. Calcular I = Jf ; dS, onde S é a superffcie
s
r(u, v> = ui + v] + (I' + l)k; l ~ u 5 2 e -1 ~ v ~ L

181. I
( i
1
)
)
l.
) .
352 Cdlculo C Cap. 6
37. Uma lâmina tema fonna da superfície later al do cone z
2
= 4(x
2
+ y2), O:;;; z ~ 2 .. Calcular
a massa da lâmina se a densidade
no ponto (x,
y, z) é proporcional a distância desse
ponto ao eixo dos z.
38. Uma lâmina tem a forma da superfície do cone z
2
= 3(x
2
+ yl) limitado por z =O e
z::: 3. Determinar o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo z se a densidade
éf(x, y, z) = I.
39. Uma lâm.ina tem a forma da parte do plano z::: 2y + 1 rec011ada pelo cilindro
x
2
+ (y-2)
2
::: 4. Determinar a massa dessa lâmina se a densidade no po nto (x, y, z) é
proporcional a distância desse ponto
ao plano
xy.
40. Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica x
2
+ y2 + z
2
::: 16, que está
abaixo do plano z::: 2 c acima do plano xy, supondo a densidade constant e.
41. Uma superfícieS é representa da pela equação vetorial
r(rl, v) ;:: (4cos li, 4sen u, 4v). o :::; ll :::; 21t, o :::; v :::; 2.
a) Determinar a equação cartesiana de S.
· b) Desenhar sobre a superfícieS as curvas coordenadas obtidas fixando li = 2: e
3
v= 1, respectivamente.
. a; a; n
c) Deternunar o vetor-x -no ponto onde ·li = -e 11 = I, representando-o no
ou ov 3 .
con·espondente ponto P de S.
d) Súpondo que uma lâmina de densidade constante é reprisentada por r(u, V). deter ~
minar o momento de inércia da lâm.ina em relação ao eíxo z.
42. Uma lâm.ina esférica é representada pela equação vetorial·
r(ll, v) = (acós li cos v, asen li cos v, asen v), O :;;; /1 :;;; 2n e -2: :::; v :;;; 2:. ·.
2 2
a) Supondo a = 4, representar sobre a esfera as curva ~ coordenadas obtidas fixando
1t 1t .
u ::: -e v = -, respecttvamente.
4 6
b) Determinar os vetores tange ntes a;: (2:, 2:) e or (2: 2:). representando- os.
au 4 6 av 4 ' 6 .
sobre a esfera.
.. ..,,
"'
··.·
.o:·
.. ·.
"
·.
Cap. 6 l11tegrais de superffcil! 353
) D
. a; a; ( n n) .
c eternunar o vetor-x ---
6
representando-o
no
con·espondente ponto P ..
OU 0ll 4 I
d) Supondo que a dens idade da esfera é constante, calcular o momento de inércia da
esfera com relação ao eixo y.
6.12 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO
VETORIAL
No Capítulo V, vimos que a integral curvilínea de um campo vetorial depende do sentido de
percurso sobre C, isto é, depende da orientação da curva. Analogamente, veremos que a
integral da s~pe rffci e de um campo vetorial dependerá do lado da superfície escolhido para
a integração. Todas
as superfícies consideradas serão superfícies
odentáveis .
6.12.1 Definição
Sejam S uma superfície suave, representada por
r(u, v) ::: x(u, v)t + y(u, v>] + z(u, \')k, (u; v). E R; e ii = ii(u, ·v) um vetor unitá­
rio, nonnal a S. Seja ] um campo vetolial definido sobre S. A inte~ral de superfície de ]
;obreS, denotada por Jf ]. ii dS. é definida pela equação
s
l
a;: a;:/
ff]. ii dS = JJ ](r(ll, v)). ii(u, v) -x .:..:..._ ·dudv
ali ov · '
s R
quando a integral à direita existe.
.m
Se a superfícieS é suave por partes, a ínteg ra! é'dcflnida como a soma dns integrais
sobre cada pedaço suave de S. .
6.12.2 Cálculo da Integral J J J . il. dS
s

182. 354 Cdlculo C Cap. 6
Podemos ter íi = 11
1 ou 11 = -íi
1
• Portanto, substituindo em (I); vem
lrs - ff - (a; a;)
~ f. /l dS = ± H f(r(u, V)) • dl~ X av dlldv (2}
Teremos o sinal positivo em frente à integral dupla, quando o lado de S escolhido para
a integração for o lado do qual emana o vetor normal unitário 1i
1
• Em caso contrário, tere­
mos o sinal negativo em frente à integral dupla.
6.12.3 Exemplos
(i) Calcular fJ ] . ii dS, sendo ] = xT + y] + zk e S a superfície exterior da esfera re­
s
presentada por
lt lt
r(ll, v) = (acos li cos v, asenll cos v, ascn v), O ~ li ~ 2~! -2 ~ v ~ 2:
Solução. No Exemplo 6.6.5 (i), calculamos or x or , obtendo .·
dll OV
· a;: ar • , , 1 • )
- x - = (a·cos u cos·v, a·senu cos v, a·sen v cos v .
011 dV
Vimos também que este vetor aponta para o exterior da esfera (ver Figura 6.37).
Como o lado escolhido para a integração é o lado exteriór de S, teremos o sinal(+) em
frente à integral dupla.
Usando a equação (2), vem
: .. -·
Cnp. 6 lntccrais de s11perjrcle 35
5
fJ J. ii
dS = fJ (acos 11 cos v, asen li cos v, asen v) .
s H
(
2 . 2 2 2 '
a cos 11 cos 1', a sen u cos v, a.·scn \' cos v) dlldv
Jf (
l 2 • J J 2 1 1 2 )
= • a cos 11 cos v + a sen 11 cos· v + a· sen v cos v dlld\•
R
= fJ {tr'cos
3
'' + a\en
2
v cos 1•) d11dv
N
-f f a
3
cos V dlld\1
R
n
.'!n ~
= a·' J J cos v dvdu
li .!:
2
(li) SejaS a superffcie exterior do p<~rabolóide r(x, y) = (x, y, x
1
+ / ), (x, y) E R,
onde R =-= {(x, y) I x
1
+ / ~ 4}. Determinar fJ] . ii dS , sendo] o campo vetorial
- s
dado por f ::o (3x, 3y, -3ú
Solução. No Exemplo 6.6.5 (ii), vimos que o vetor normal unitário
aponta para o interior do pambolóide dado (ver Figura 6.38). Como o lado escolhido para a
integração é o lado exterior de S. teremos o sinal(-) em frente à integral dupla.
a;: élr
Como-x -:-= (-2x, -2y.. 1), usando a equação (2), vem
OX ây
.i .
'·'

183. I .
356 Cálculo C CaP.. 6
JJ ]. ii dS = -JJ (3x, 3y, - 3(x
2
+ l)). (-2x, -2y, 1) dxdy
s
= -JJ (-6x
2
-
6/-3x
2
-3/) dxdy
R
=:= 9 fJ (x
2
+ /) dxdy.
R
Passando para coordenadas polares, temos
2 2n
fJ ]. ii dS = 9 f f r
3
dOdr
s o o
= 72rr..
6.12.4 A Notação Jf (f
1 dydz + !
2 dzdx + !
3 dxdy)
s
,.
i·
·.~·.
··•··
. ~.· ·~
·ir·
Se a superfícies é representada por r(u, v) = X(U, v)T + )'(11, v)] + .<:(11, v)k, (11, V) E R,
·, :.
····.
a;: a;: . ..
o vetor -x -pode ser escnto na 10rma
ali av '
ar ar a(y, <:) 7 d(Z, x) '7 d(x,iy);:
-X-= ---t + ---} + ---"'·
a11 ov d(ll, v) o(rt, v) d(ll; v)
Assim, se o campo vetorial ] é dado por
J = J;i + J
1
] + JJ< , usando a equação (2), podemos ~screver
fi
]. ii dS = ±ff ~ (r<u, v)) a{y, z) .'d11dv ±
d(ll, v),'
s R
fJ f2(r(ll, v))
a(z, .f)
d11dv ±
a(ll, v)
R
Jf f
3(rCrt, v))
a(x, y)
a<u, v)
d11dv.
R
.·· .
•':
.. ,·.
~-·! :.:
·.··
.. -~
r ••••• ••
.: .... ~ .. ·~
... ·
. : :' ~ .
Cap. 6 llllcgrais de super/fcie 357
Estas integrais lembram a fórmula de mudança de variáveis para integrais duplas e .
sugerem a notação tradicional.
fJ ]. ii dS = JJ (~ dydz +h dzdx + J; dxdy).
{3)
s s
6.12.5 Interpretação Física da Integral JJ J. ii dS
s
Consideremos um fluido em movimento em um domínio D do espaço. Sejam ii (x, y, z) o
vetor
velocidade do fluido no ponto (x, y,
z) c p(x, y, z) a sua densidade. Seja j o campo
vetorial dado por
] (x, y,
z) = p(x, y, z) ii (x, y, z).
O vetor ] tem a mesma direção da velocidade e seu comprimento tem dimensões
massa distância m:~ssn
unid. vol. unid. tempo (unid. área) (unid. tempo)
Assim, podemos dizer
que] representa
a quantidade de massa de fluido, por unidade
de área e por unidade de tempo, que escoa na direção de ii, em um ponto qualquer (x, y, z) E D.
Sejam S: r(u, v), (u, v) E R, uma superfície paraméttica suavy, contida em D, e ii um
v;:tor unitátio, normal a S. A componente de ]na direção de ii (ver Figura 6.50), é dada por
j]jcos a = j]jliilcos o:
= f. ii .
Figura 6.50

184. 358 Cc'lculo C Cap. 6
--~----------- ------------- -------- --
Portanto, se dS é o elemento de área de superfície de S, o produto (l ii)dS represen­
ta o volume de um prisma cuja área da base é dS e cuja altura .é a componente de /na
direÇão de ii. Podemos, então, dizer que (1 . ii)dS nos dá a quantidade de massa de fluido
que· atravessa dS, na direção de ii ,·em urna unidade de tempo.
A quantidade total de massa de fluido que atravessa a supetfície S, na direção de ii, em
uma unidade de tempo, será dada por
<j> :: H j o ii dS (4)
s o
e é charnadafluxo do campo vetorial], através da superfície S.
6.12.6 Exemplos
(i) Um fluido de densidade constante, com velocidade v = (-2x, -2y, z). escoa através da
superffcie S, dada por r(u, v):: (ucos v, usen v, 11
2
-l ), O 5 11 S 4, O S v S 2n, na dire-
a;: a;:
ção do vetor - x -.
011 av
Determinar n massa de fluido que atravessaS em uma unidade de tempo.
Solução. Devemos calcular
$ :: H ]. IÍ dS,
s
onde 1 = p
0
(-2x, -2y, z). sendo p
0
uma constante.
fl
d
. -d
or or . . I ( ) f t à .
Como queremos o uxo na 1reçao e -x -, teremos o s1na + em ren e
dll av
integral dupla.
Como
i j k
a;: a;:
2u -X-= cos v sen v
ou ()v ·
o -usen v IICOS I'
•. /.
.. >.
' ; .~
Cap. 6 lntegrai.f de superf!cie
359
usando a equação (2), vem
<{> = fJ 1. ii dS
s
"' + fJ P0(-2ucos v, -2usen v, u
1
-1) .
R
~ 2n:
Pn J J ( 4tr'cos
1
v + 4u
3
scn ~v + 11
3
-u) d!•du
11 11
624rr Po unidades de fluxo.
(ii) Sejam S a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices (4, O, O), (0, 4, O) e
(0, O, 4) c ii um vetor unitál'io, nonnal aS, com componente z. não-negativa. Usando a
representação vetorinl de S dada por
r(u. v)= (u + 2v, 11-2v. 4-2u),
determinar o fluxo do campo vetorial ] = xT + >i + zk, através da ~uperfície s. na dire­
ção de ii.
Solução. A Figura 6.51 mostra a superffcie Se o vetor IÍ.
Usando a representação vetorial dada, temos
a;: a-r
-x­
ou ov
i j
1
2 -2
-4T-4] -4k.
Figura 6.51

185. I
l
360 Cálculo C Cap. 6
Como o vetor nom1al unitário escolhido para integração tem componente z não-nega-
a;: a;: · · 1 t' r à
tiva e a componente z do vetor - x -é negativa, teremos o sma nega tvo em rente
du dv
integral dupla.
Usando a equação (2), vem
<j) = Jf ]. ii dS
s
= -fJ (u + 2v, 11 -21', 4 -2u). (-4, -4, -4) d11dv
= -JJ [-4(11 + 2v)-4(u -2v) -4(4 -2ul) d11dv
R
= 16 fJ dudv
H
16 AR'
Para determinar a região R, devemos resolver o sistema de inequações
l
o ~ 11 + 2v ~ 4
O ~ 11 -2v ~ 4
o ~ 4 -211 ~ 4.
Este sistema pode ser resolvido geometricamente (ver Figura 6.52).
i u
..
Figura 6.52
..• :
·;·.
f.,
·~·
.. -
. '·.
-;:
. ,
·.'
'
o o
o'
_..; .. -
. .t_::·
\'r .. _
·. ':.:·_
.. ~-
Cap. 6 llllegrais de sllperflcie .361
Temos, então,
16
2.2
.~ = o 2
=· 32 unidades de fluxo.
(iii) SejaS uma superfície suave rep resentada na forma explícita por z = z(x, y). Usando x e
y como parâm~tros, determinar uma equação para calcular JJ ]. ii dS .
s
Solução.
Usando x e y como parâmetros, podemos representar S por
r(x, y) = xT + yJ + z(x, y)k, (x, y) E R,
onde R é a p_rojeção de S sobre o plano xy.
Analisando o vetor
at ar az -: az --
-X-=--1--j+k
ux o o ()y OX é)y '
vemos que ele .tem componente z posi tiv~ ,.
Portanto, se ii é um vetor unit ário, normal a~. com componente z positiva, usando a
equação
(2),
ternos . · .· · ·
JJ ]. ii dS = + JJ ]Cr(x;· y)) (
();: ();:)
-x -· dxdy
é)x. ·dy
s R
JJ
~ . ~
= [-J;(x, y, z(x, y)) ~ -h (x, y, z(x, y)) ~
H . . A . J'
+ f,(x, y, z(x, y))] dxdy .
... ·:·.:;,·' Se a componente z do vetor ii for negativa, teremos o sinal (- )em frente à integral
·(:i dupla.
Portanto, simplificando a notação,.podemos escrever
Jf ]. ii dS = ± Jf [-Ir ~; -/2 .. ~; .~ f, J dxdy
S . R . . :
(5)

186. ·362 Cdlculo C Cap. 6
(i v) Resolver o exemplo (ii), usando a fonna explícita. z = 4-x-y.
Solu.ção. Como o vetor ii, dado no exemplo (ii), tem compon·ente z positiva, usando a
equação (5), temos
fJJ. ii dS = H [-x(-1)-y(-1} + 4-x-y] dxdy
R
= H 4 dxdy
/(
= 4AR'
Neste cuso. a região R é a projeção de S sobre o plano xy, que pode ser vista na Figura
6.53. Portanto,
4 . ~ = 32 unidades de fluxo.
2
Figura 6.53
{v) SejaS a parte do cone z = (x
2
+ i)
112
, delimitada pelo cilindro x
2
+ y
2
= I, com a normal
apontando para fora. Calcular
fJ (2 clydz + 5 dzdx + 3 dxd.)•).
s
"
Solução. Na Figura 6.54 (a), representamos a superfície S e a normal dada, em alguns :·
pontos de S. A Figt;ra 6.54 (b), mostra a região R, que é a projeção de S sobre o plano xy. : . .':. :
--------------=C..::.aP~·..:.6:__ Integrais de superf!cie 363
----
y
y
(b)
Figura 6.54
Observando a Figura 6.54 (a), vemos que o vetor nom1al ii tem componente z negati-
va. Portanto, usando a equação (5), temos ~
fJ J · ii tiS = Jf (2 dydz + 5 dzdx + 3 dxdy)
·'
s
-II l/ -2 ----x --5 y + 3)'1 dxdy.
11 .Jxl + / J x] + )'2
Esta integral é uma integral imprópria. Passando para coordenadas polares, temos
:!n I
ff .7. ii dS = -I I [ ,:-2r~os e - 5rs~n e + 3 J rdrde
s (I (I
= <f[ lim. f (-2cos e -5sen (J + 3)rdr] d()
,, ..... I) '
Cl h
1 2n
= -2 I <-2cos 8 -5sen 8 + 3l df)
(I
= -3n.
Observamos que a superfície dada neste exemplo não é suave na região de integração,
pois ela apresenta problemas na origem. No entanto, foi possível calcular a integral dada,

187. ;~.
~:~
!i~
.,
.i
I
I
·I
'.
364 Cdlculo C Cap. 6
tr é de uma integral imprópria. Sempre que a superfície apresenta problemas em um
a av s ri f' . . t d
ponto, podemos adotar este procedimento. Neste caso, a integral .,..e super I C! e ex1s e quan o
a integral imprópria converge.
(
')
Sejam s uma superfície paramétrica suave, representada por r(u, v), (u, v) E R e
_v
1
-( ) t r
ru'tan'
·0 normal as Se f-é um campo vetorial contínuo definido 11 = 11 11, v um ve o u • .
sobre S e T é a componente de ] na direção de ii • mostrar que
JJ ]. ii dS = JJ T.-~~, r:
s s
Solução. Pela Definição 6.12.1, lemos
Jf ]. ii dS = fJ f(r(u, v>) . ii(u, v> ~~~ x ~~~ dudv.
s R
A componente de ] na direção de ii é dada por
T = ']coso:,
onde o: é o ângulo entre ] e ii (ver Figura 6.55).
Como ii é unitário, temos
T = IJiiiil cos o:
= J. 11.
Figura 6.55
Portanto,
II
f-,-, dS = JJ T(u, V) làr X àrl dudv,
· ()u àv
s
Cap: 6 Integrais de superffcie 365
c assim, pela Definição 6.9.1, temos
JJ ] . ii dS = JJ T dS.
s s
Este resultado nos permite fazer uma análise da integral de superfície de um campo
vetorial
em diversas situações práticas, como segue:
a)
Se em cada ponto da superfície S, o campo vetorial] for perpendicular ao vetor ii, a
integral
de ]
sobreS será nula. Em particular, se ] representa a densidade de fluxo de
um fluido
em movimento, será nulo o fluxo através da supe1fície
S.
b) Se o ângulo entre] e ii for agudo, a componente de] na direção de ii será positiva e
desta forma, teremos um fluxo positivo através
de
S.
c) Se o ângulo entre] e ii for obtuso, a componente de] na direção de ii será negativa.
Neste caso, teremos um fluxo negativo através
de
S. Na prática, isto significa que o
fluido estará atravessando a superfícieS no sentido contrário ao do vetor il.
A Figura 6.56 esquematiza as três situações descritas.
<'<O
Figura 6.56
(vii) Detem1inar o fluxo do campo vetorial] = (x; y, O) através da superfície exterior do
sólido
x
2
+
l ~ 9, O~ z ~ 4.
Solução. Como a superfície dada é formada por 3 partes suaves S
1
,
S
2 e S
3
(ver Figura 6.57):
·.temos
~ = If ]. ii dS + fJ ] . ii dS + ff ]. ii dS.
s,

188. 366 Cálculo c~~~C~a~p.~6~ · --------------------
y
-
Figura 6.57
ff . S e S temos ii = k e ii = -k, respectivamente. Como Para as super c1es
1
" _ _
1 = (x, y, O), em ambos os ~asas, a componente de f na direção d~ 11 é nula. Portanto,
usando o exemplo anterior, conclufl11os que
JJ 1 . _.ii dS :: JJ 1 . ii dS = O.
s, s,
JJ
-,-1 dS, prtc. 'Js", UlOS ele u.ma parmnetrizaçiío de sr Conforme vimos
Para calcular f. "
d -( v) = (3c:os H, 3sen u, 1'), onde O~ u :Ç ?.n: e em 6.2.3, s
3
pode ser representa a por r 11,
o~ v~ 4.
Como or x a;: = (3cos u, 3sen li, 0), usando a equação (2), temos
oll av ,
JJ J. ii dS = JJ (3cos u, 3sen 11, O) . {3cos 11, 3sen 11, O) dudv
R
2M 4
= J J 9(cos
2
u + sen
2
u) cludv
o o
.•
·· .. ··.
= 72n:.
Logo,
4> = H 1. íi dS + JJ ] . ii dS -1' H 1 ' ii dS
··'/: !~~~~-. ·~··
. ~·{~~ ..
.. :~~;i~ : :-~
s, s, s, :.::®~L ~
ftii_~f :t
:::&~; , ;/.
Cap. 6 lurtgrais de superjfcie 367
----·-------
=o+ o+ 72lt
= 72rt unidades de fluxo.
6.13 EXERCÍCIOS
1. Provar que
a) Se a superfície Sé dada na forma exp lfcita por y = y(x, ~). (x, á E R', onde R' é a
projeção de S sobre o planoxz e ii denota a normal unitária de S com componente y
não-negativa, obtemos:
Jf ] . ii dS = Jf J; dydz + .!
2 dzdx + /
3
dxdy
s s
b) De maneira a náloga, se Sé dada por x:: x(y, z), (y, ~)E R", onde ff' é a projeção de
S sobre o plano yz e ii denota a normal unitária de S com componente x não-negati·
va, temos:
s s
JJ (
ax ch)
= .li -/2 ê)y -f, a·, dydz.
R'
2. Seja Ta r.uperffcie exterior do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
x + y + z :.: 4 .. Calcul:u·
onde:
I = Jf (yl. dydz + xz dzdx + ..)' dxdy),
s
a)
Sé a face da frente de 7';
b) Sé a face de T que está no plano xz;

189. "'
I
I
,.
J
l
,)
ll
368 Cá/cu(o C Cap. 6
c) Sé a face de T que está no plano yz;
d) Sé a face de T que está no plano xy;
e) Some os resultados dos itens a, b, c e d. Interprete fisicamente.
3. Um fluido tem vetor densidade de fluxo] = xT -(2x + y)] + k. SejaS o henúsfério
x~ + y2 + z
1
= 4, z ~O e ii a normal que aponta para fora. Calcular a massa de fluido que
atravessaS na dire
ção de
ii em uma unidade de tempo.
4. Calcular H ] .. ii dS, sendo ] = yT -x] e S a parte da esfera x
1 +i + z~ = ~
2
no I Q
s
octante com a normal apontando para fora.
5. Calcular Jf ] . ii dS, sendo ] = xT + >'l + zk, S a parte do plano 2x + 3y + 4z = 1"
s
cortada pelos planos x = O, y = O, x = 1 e y = 2, e ii a n01mal com componente z
não-negativa.
6. Calcular I = H x
2
dydz + / dzdx + z
2
dxdy, onde Sé a superfície exterior da semi­
s
esfera x~ + yl + z
2
= a z ~ O.
7. Calcular Jf x dydz + y dz.dx + z dxdy, onde Sé a supe~:Í'ície exterior do cilindro
s
x~ + z
1 = a
1
limitada pelos planos y =-4 e y = 4.
Nos exercícios de 8 a
ll calcular a integral de superfície
d~da.
8. Jf x dydz +. 2y dzdx + 3z dxdy, onde Sé a superfíci,e plana delimitada pelo triângulo
s
de vértices (3, O, 0), (0, 2 •. 0) e (0, O, 3) e a normal a,fasta-se da origem.
'
9, JJ dydz. + dzdx + dxdy, onde Sé a superfície exterior do cone z = J x
2
+ l delirui­
s
tado pelos planos ;: = 1 e z = 4.
Cap. 6 l11tegrais dt! supu/fcie 369
10. f f X
2dydz
+ ldzdx + z
2
dxdy, onde sé a superfície planax + y = 2, delimita?a pelos .
s
planos coordenados e pelo plano z = 4 e a normal se afasta da oligem.
11. fJ x dydz + y dzdx + z dxdy, onde Sé a sup.~~ffci~ plana x = 11 +v, y = 11-v, z = 1 -
s
2u, tomada no 1 u octante c a normal afasta-se da origem.
12. Calcular I = fi]. ii dS, sendo] = xT + 2] + 3k e S a supctfície exterior da esfe­
s
ra r(u, v)= (2cos 11 cos v, 2sen 11 cos v, 2 sen v), O ~ u ~ 2n e -~ ~ v ~ ~
2 2
-
13. SejaS a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices (2, O, O), (0, 2, O) e (0, O, 2)
e ii um vetor unitário normal aS, com componente z·não negativa. Determinar o fluxo
do campo
vetorial.] =
yT + :(} + 2k, através da superfícieS, na direção de ii.
14. Determinar o fluxo do campo vetorial ] = (0, 2x, 2y) através da superffcie ext.!rior do
sólido x
2
+ y
1
~ 16, O~ z ~ 4.
15. Calcular I = fi ] . ii dS, sendo ] . = (x +·oi + .1'l + 2k c S a superfície 'exterior
s
~ dez=/+ 1 delimitadaporx=O,x=.l ez= 17.
16. Determinar o fluxo do campo vetorial ] = (2x, 2y, 2z), através da supetffcie esférica
x
2
+i+ z
2
= a
1
intetior ao Cof)e z = J.x
2
+ l com nom1al exterior.
17. Sejam S
1
a superfície paramétrica dada.por
ij(u, v)= (u. v, ~u
2
+ v
1
),11
1
+ ii
2
·:::; 36 eS
2
asuperfíciedadapor
/i(u, 1') = (11, v, -Ju
2
+ v
1
.
), 11
1 + v
2
:::; 36.
a) Calcular o fluxo do campo vetotial ] = (x, :y, z) através de S
1
, na direção dó vetor
normal unitátio exterior a S
1
•
b) Calcular o fluxo de] através de S
2
na direção do vetor notmal.unitário exterior de S
2
•
c) Comentar os resultados obtidos em (a) e (b), interpretando fisicamente.

190. :
I
I
! .
I·
j:
I
I
i
I
370 Cá/cu/11 C Cap. 6
18. Calculàr /
1
:;::; Jf J . ii
1 dS, onde ii
1
é o vetor normal unitário superior de Se
s
/
2 = fJ ] ii
2 dS, onde ii
2
é o vetor nmmalunitário inferior de S, sendo
s
J = xT + y] + J e S a parte do plano 3x + 2y + z:..: 12 cortada pelos planos;.;:.:: O,
y = O, x = l e y = 2.
Por que o resultado de /
2
é negativo','
19. Seja S a superfície paramétrica dada por
r(u, V) = (u, V, .J11
2
+ v
2
), COm 11~ + V
1 ~
36.
. a; a;:
a) Dclennmar o vetor normal-:-x -· no ponto P(3, 4. 5).
du é'Jv
b) Calcular o fluxo através de S, do campo vetorial] = (x, y, -z), na direção do vetor
ar êh~
-·X·--.
011 éJv
c) Como se explica o sinal negativo que ocmTeu em (b)?
20. Calcular 1
1 = Jf J . ii1 dS, onde ii1 é o vetor normal unitário superior de Se
s
!
2
= Jf ]' . ii
1
dS, onde ii
1 é o vetor nonnal inferior dc:'S, sendo
s
f = 2i + 5] + 3.~ e S a parte do cone z = (x
2
+ y~)
1
'~ i;1terior ao cilindro ..r~+ y! = 1.
Por que o resultado de /
1
é positivo?
21. Seja Ta região limitada pelos gráficos de x
2
+ y! = 4, z ~O e z = 3. SejaS a superfície de
T, com normal exterior. Calcular f f ] . ii tiS. sendo .J = (xJ, y z·').
6.14 TEOREMA DE STOKES
-_:.....
::~
··.·
, .
...
·1·).
.. : .:!:.
1 ~ ... ·'
No Capítulo V, vimos que sob cet1as condições, uma integral curvilínea no plano podr ser .·/Y· ·
transformada em uma integral dupla, pelo Teorema de Green. . ~-~~ ~\ :
'oi·.:.
:: .
. · ·.
'~.)1 ..
Cap. 6_ Integrais de sup<'t/(cie 371
O Teorema de Stokes constitui uma generalização do Teorema de Green para o espa
0
tridimensional e pode ser utilizado para transformar detemtinadas integ rais curvilíneas e~1
integrais de superfície ou vice-verM.
Além disso, ele é de grande irnpor1ância em aplicações físicas.
6.14.1 Teorema
SejaS uma superfície orieutável, suave por partes, deliutitada por uma curva fechada, sim­
ples, ~uave por partes, C. Então, se.~ é um campo vetorial contínuo, com derivadas parciais
de l ~ordem contínuas etn um donúnio que contém S lJ C, temo>
(1)
onde a integração ao longo de C é efetuada no sentido positivo deterntinado pela orientação
de S, como mostra a Figura 6.58.
Figura 6.50
Se o campo g tem componentes g
1
,
g
1 e g
3
, {1) pode ser reescrita como
(a~, -àgl )dzdx + (dg
2
-081 )dxdy]. (2)
O.:. ê!x àx é)y
Prova Parcial. Vamos fazer a demonstração para uma superffcie S pararnetrizada por

191. .i
I
il2 Cálcu~o C Cap. 6
r(u, v) = x(u, v)l + y(u, v>] + z(u, v)k, (11, V) E R,
:!.§:
supondo ~ue as derivadas parciais de 2• ordem de r são contfduas e R é uma região onde ·:~~­
podemos aplicar o Teorema de Green. O vetor ii considerado será o vetor
a; a;:
-x-
ou ov
11
= la; a;l·
-x-
ou ov
Para obtern1os (2), basta mostrar que
f g1dx = Jf (~ dzdx-~~ dxdy),
c s
f g2dy = If (-
0
tz
2
dydz + a:: dxdy) •
c s
e
f g)dz = JJ (a~ dydz -0:: dzdx}
c s
Vamos provar a equação (3).
..
(3)
(4)·
(5)
Seja c, a curva que delimita a região R. Suponhamos ,que C
1
é orientada no sentido
anti-horário e
que o sentido positivo sobre
C, detenninado p~la orientação de S, corresponde
ao sentido positivo
de
C, (ver Figura 6.59).
c,
;<-8)
u
Figura 6.59
:,,,
... ,-,
<·
..
'
·.,'
..
. ··:-
··~\j~
-~:. .. ·.
~::·~· .
. ·.~·;:. ·.
..
..
I :
.. : I
._,; ... -
~ .. ,.
.-~
Cap. 6 Integrais de .wperffcie
Seja h(l) = (u(l)), v(l)), t E [a, b] urpa parametrização de c,. Então,
r(u(t)), v(t)), t E (a, b)
é uma parametrização da curva C.
Portanto, escrevendo 11 = 11(1), v = v(t), temos
b
! .~. J (-v)) dx(u, v) d
j g1u.. = g
1 r(u, dt t.
c "
Usando a regra da cadeia, vem
b
,( f _ ( ox du ox dv)
j g
1dx = g
1(r(lt, v)) --+--dt
o11 dt ov dt
c (I
b
f(
C>x _ ox) (du dv)
= g,(r(lt, v)) -a • g,(r(lt, v)) -a . -.--dt
11 v dt dt
= f] dr, onde] é o campo vetorial dado por
c,
Aplicando o Teorema de Green, obtemos
373
Como r(ll, v) tem derivadas parciais de 2• prdem contínuas, a integral à direita existe.
Desenvolvendo as derivadas parciais
do integrando com o auxflio da regra da cadeia,
temos
:= fJ {a~Jg,(x(u, v), y(ll, v), z(u, v))~~] -
R

192. 374 C!llculo C Cap. 6
~ [g
1
(x(u, v), y(rt, v), z(u, v)) ih]} dudv
av dl/
{
a
2
x
= JJ g
1 (x(u, v), y(u, 1i), <:(fi, v))--+
dUdV
R
(
êJ dX êJg
1 d)l ug
1 dZ) êJx d~ X
_!l..!_ --+ ---'-+ ---- g
1
(x(u, v), y(u, 1'), z(u, 1•)) ·-­
é)x ê)u é)y êJu êJz êJu dv êJv<lu
-·(êJg
1 êJx + êJg1 ày + àg1 êJz) êJx} dudv.
vx êJv êJy êJv ih êJv vu
Aplicando o Teorema de Schwarz c agrupando convenientemente, vem
f
(' dx = fi [ag, (ê)z ax -é}z ax) -· é)g, (()y êlx -()y ox)]dudv
"
1 êJz êJu dv êJv é)u êJy êJv du êJu êJv
c 11
= JJ [~ ~z. x) -êJg, êJ(x,_ll] dudv
êJz êJ(u, v) êJy d(u, v)
R
= JJ (~~l dzdx -êJg, dxdy).
êJz êJy.
s
De fonna am\loga, podemos provar as equações (4) c (5:).
Observamos que a demonstração do Teorema de Stokes
1
~10 caso geral é bastante c labo·
rada e foge aos objetivos deste texto. ·
6.14.2 Exemplos
:f .
. -:·
. I
.·I····
. ·I
(i) Usando o Teorema de'Stokes, calcular I = J (/ cb: + z;
2
dy + x
2
dz), onde C é o contorno ·
c ..
da parte do plano x + y + z =a, a> O, que está no te oct'ante, no sentido an ti-horário.
_::/"
So!Úção. A Figura 6.60 mostra o caminho .C de integração. Como C é formado por:~ partes ... :; .. :~· .
s
uaves, para obter mos a
inte.gral dada usando a Definição 5.3.3, devemos calcular três ·.:.:/}· .·.
integrais curvilíneas. Pelo Teorema de Stokes, podemos transfonná-la em uma única integral. -~~~W ';: ·
• . .::.1;:] .•
de superffcte. ·~fií. iP..: :;).·
.:·i~!t f;:-
------·
Cap. 6 IIIIC8rais de SIIP•'rffcic 375
·----
Vamos escolher uma superfície S que seja delimitada pela curvn C e oril!ntar s de
forma a sl!r possível a <1pHca~ão do Teorema.
Como a curva dada é plana, escolhemos para S o próprio plano que contém a curva.
Em nosso exemplo, o vetor ii será o vetor normal superior de S (ver Figura 6.60).
Usando a equação (2), obtemos
I = fJ [-2zdydz -2xdzdx-2yd.rcly].
s
Para calcuhu· esta integral de superfície, vamos usar a forma explícita e aplicar a
equação 6. J 2{5). Temos,
6.61).
f = Jf {-[(-2)(a-x-y)(-1)]- (-2x)(-l)-2y} tlrcly
r.
:o.: -2a JJ dxdy, onde R é a projeção de S sobre o phmo xy (ver Figura
1/
,
a·
Logo, I = -2a . --· = -a
3
•
2
1 L
3:'><
1 n
I
'
I
I
s L------~,.;.__ _ _....r
,,,---~ a
_.,""' ___ .....-----
n
y
Figura 6.60
Figura 6.61
(ii) SejaS a patte do gnítieo dez= 9-x~-yl, z ~O comnonnal exterior. Determinar
' I

193. '•
~:
I
!.
I
11
I
I
)
I
I
I
I
)
.j
!
i
:j
1
,I
I
I
'
376 Cálculo C Cap. 6
JJ rot g. ii dS, sendo g = (3z, 4x, 2y).
s
Solução. A Figura 6.62 mostra a superfícieS e a curva C que delimita S. Como a normal
considerada é a normal exterior, podemos observar que a curva C deve ser orientada no
sentido anti-horário.
r<n
y
Figura 6.62
Usando a r~presentação vetorial de C dada por
(3cos
t, 3sen t,
0), O ~ 1 ~ 21t, e aplicando (1), obtemos
JJ rot g . ii dS = p g . dr
s c
2Jt
= J (3.0, 4.3cos t, 2.3sen t). (-3sen t, 3cos t, O) dt
o
2n ( 1 I )
36 J 2 + 2 cos 2t dt
o
361t.
··.· .. '
Cap. 6 Integrais de mperj(r.ie 377
(üi) Seja·m S 1 a superfície parabólica z = x
1
+ y O ~ z ~ 4 com normal exterior e S
2
a parte
do plano z = 4 delimitada pelo cilindro x
2
+i= 4, com normal inferior. Mostrar que
fJ ro.t g . ii dS = Jf rot g . ii dS,
s,
sendo g um campo vetorial com derivadas parciais de li ordem contínuas.
Solução. A Figura 6.63 mostra as supc;:rfícies S
1
e S
2
•
Podemos
observar que as duas superfí­
cies
são delimitadas pela mesma curva C e que, para aplicar o Teorema
de Stokes, em ambos
os casos, C deve ser orientada no sentido horário.
. Figura 6.63
Portanto, usando a equáção (1), obtemos
fJ rot g . ii dS' = f g . dr
s, c
e
fJ rot g . ii
dS = f g dr,
c
concluindo, dessa forma, que
-JJ rol g ii dS = Jf rot g ii dS.
s, s,

194. (
i
j·
i
I'
!
I
I
I'
r
J
,.
I
378 Cdicltio C Cop. 6
Este re·sultado pode ser generalizado. Se g é ut~ campo vetorial contínuo com deriva­
das parciais de 1
1
ordem contínuas, a integral de sÚperffcie do rotacional de g depende
ap.enas da curva que delimita a supetfície. Isto é, se S
1
e S
2
são delimitadas pela mesma
cutva
C
e detenninam a mesma Órientação em C (ver Figura 6.64), temos
Jf rot g . ii dS = fJ rot g . ii dS.
s, s,
c
/------v
Figura 6.64
(i v) Calcular I = J (sen z dx-cos x dy + sen z dz), onde C é o petimetro do retângulo
c
O ~ x ~ Jt, O ~ y ~ 1, z = 3 no sentido horário.
Solução. A curva C, que é formada por quatro pedaços suaves, pode ser vista na Figura
6.65. Neste exemplo, a superfícieS é dada na forma explícita pela equação z = 3 c o vetor ii
tem componente z negativa. A projeção de S sobre o plano xy é o retângulo O :Ç x ~ rr,
O~y~l.
Figura 6.65
'
'
I
·I
f
•
,•'
------------·------------Cop. 6 lt~~egrais de Sllpu/(cie 379
Portanto, usando (2) c a equação 6.12(5), temos
I = Jf [<O -OJ dydz + (cos z -O) dzdx + (sen x -0) dxdy]
s
= JJ [~~ ~ .dzdx .. +~n x dxdy]
s
== -Jf ( -0 . O -cos z . O + sen x) dxdy
11
• I
= -J J sen x dydx
I) o
-2.
(v) Urna interpretação física do rotacional.
Se li é um campo de velocidades de um fluido em movimento, usando o Teorema de
Stokes, podemos obter uma interpretação física para o rotacional de j: .
Dado um ponto P no domínio de íi, sejam S, a supetffcie de um disco de raio r, centrado
em P e C, a circunferência que delimita este disco. Escolhemos um vetor unitário, normal a
S, e determinamos a cmTespondente orientação de C, (ver Figura 6.66). Então, supondo que
ii satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, temos
p ii . dr = Jf rot " . ii eiS.
c, s,
'•,,, @.c,
'•, •• 5:
p
~-
n '•
Figura 6.66
'•,
(ó)
Conforme vimos em 5.3.5 (ii}, a integral curvilínea f v . dr nos dá a circulação de v
c,
ao redor de C,, a qual representa a tendência do fluido em girar em torno de c·,
r

195. li
111'
i
ai
I
ri
I
r;
I
I:
i
I
)
'
)
)
380 Cálculo C . Cap. 6
~ .·•.:
. ·r; ': ···~
·1;
~:r .,
I·
J ,,
?.
i~.
Para r sufiiientemcntc pequeno, podemos dizer que f ii . ãr descreve o comporta-. ·~
~ j
menta do fluido nas proximidades de P, fornecendo uma medida da tendência do fluido em
· girar em tomo do eixo determinado por ii. Por outro lado, nos pontos de S,, podemos
aproximar
rol
ii . ii pelo valor constante rot ii(P) . ii. Então, se representarmos por A, a área
do
discoS,. a integral do segundo membro de (6) é aproximadamente dada por
fJ rol v . ii dS = A,[rot ii(P) . ii].
s,
Substituindo este valor em (6), obtemos
f ii . ãr = A,[ rot ii(P) . ii]. {7)
c,
A expressão (7) nos diz que a circulação em tomo de C, será maior quando o vetor íi
ti ver a mesma direção do vetor rot ii (P). Podemos então dizer que rol ii (P) detemlina o eixo .
em tomo do qual a circulação é máxima nas proximidades do ponto P. Em Dinâmica dos
Fluidos, o vetor
rol
v é chamado vórtice do escoamento.
Usando a equação (7),
também podemos dar uma definição alternativa do rotacioual
de um campo vetorial
1, como segue: f 1. ãr,. rot J . íi = lim
r-IO A,
c,
(8)
A equação (8) define a componente de rol 1 na direção.-de um vetor ii perpendicular
ao disco S . Se tomamos, sucessivamente, o di sco S contido em cada um dos planos
r r . _
coordenados, com uma orientação conveniente, obtemos !IS componentes do rot f nas
direções i, ] e k, isto é, obtemos as componentes cartesiilnas de rol 1.
Fisicamente, esta definição nos diz que a componel)te de rot 1 em uma dada dire­
ção ii é a densidade de circulação (circulação por unidade dt! área) de 1 em tomo de ii.
Cap. 6 Integrais de superffcie 381
6.15 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
O teorema da divergência expressa uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido e
uma integral de superfície sobre a fronteira desse sólido.
Este teorema também
é conhecido como Teorema de Gauss c é de grande importância
em aplicações físicas.
6.15.1 Teorema
Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S. Se il r. a normal
unitária exterior
aS e se 1 (x, y, z) =
f
1
(x, y, z)T + J;(x, y, z)] + J;(x, y, z)k é uma função
vetorial contínua
que possui
derivad11s parciais de P ordem contínuas em um donúnio que
contém T. então
.JJ 1. ii dS = JJJ div1dv (I)
s r
ou
Jf [ftdydz + f2dzdx + f,dxdy] = JJJ [~~ + ~
2
+ i'] dxdydz..
s r y z
(2)
Prova Parcial. Para mostrar (2), basta mostrar as três equações:
JJ ftdydz = JJJ ~ dxdydz (3)
s r
Jf hdzdx = JJJ ~~ dxdydz
s r
(4)
Jf J;dxdy = J Jf ~ dxdydz. (5)
s r
Vamos provar a· equação (5).

196. 382 Cdlcrrlo C Cap. 6
Suponhamos que o sólido T é um conjunto de po.ntos (x, y, z) que satisfaze~n ~relação
g(x, y):::.; z ::>f(x, y), para (x, y) E R, onde R é a projeção de T sobre o plano xy, hmttada por
uma curva suave fechada simples C.
As funções f e g são contínuas em R com g(x, y) ::>f(x, y) para cada ponto (x, y) E R
(ver Figura 6.67).
figura 6.67
Então a superfície Sé composta por três partes:
S
1
: z = g(x, y), (x, y) E R
S
2
:
7.
= f(x, y), (x, y) E R
S
1
: g(x, y) s; z ::>f(x, y), (x, y) E c:
Podemos dizer que S
1
é a "base" do sóiido, S
2
é a "tampa" e 5'
3
, a "parte lateral". Pode
ocorrer que S degenere em uma curva, por exemplo. se Sé uma esfera.
)
Analisando a integral tripla de (5), temos
J [/(.r, _,., IJf l
J [f ~ dxdydz = f J
8
J Yl. -a: dz dxdy
I
I
. I
!
Cap. 6 b:tcgrais de superjfcle 383
/(.t,y)
dxdy
R g(.r, y)
= fi [!,(x, y, f(x, y))-[
1(x, y, g(x, y))] dxdy. (6)
R
Analisando a integral de supetffcie de (5), temos
A integral fi f,dxdy é nula pois s~bre S
3
a nonnal ii é paralela ao plano .tJ' e o campo
s_,
vetorial (0. O, f,) é peq>endicular a ii (ver 6.12.6, Exemplo vi( a)).
Logo,
s s, s,
Sobre S 2 a normal ii tem a componente z positiva e sobre S
1
a nomtal ii tem a compo­
nente z negativa. Usando 6.12 (5), temos
fJ f,dxdy = -fJ f,(x, y, g(x, y))dxdy + fJ f)(x, y, f(x, y)) dxdy
s 11
= Jf [J;(x, y. f(x, y))-f
1(x, y, g(x, y))] dxdy. (7)
R
De (6) e (7) vem
Jf f1drdy = JfJ ~xdydz,
S T
que é o resultado que queríamos mostrar.
Analogamente, supondo que T é projetado sobre o plano y.::, mostramos <1 equação (3)
e supondo que
T é projetado
sobre o plano xz, mostramos (4).

197. \,
384 Cálculo C Cap. 6
Concluúnos a demonstração para o caso em que o sólido T pode ser projetado sobre os
planos coordenados. ·
Se T não sati sfaz as nossas hipóteses, mas em particular pode ser dividido em um
número finito
de sólidos do tipo descrito, então o teorema também
pode ser facilmente
verificado.
Basta obter os resultados sobre cada parte e depois somá-los.
Para o caso mais geral, a demonstnição foge aos objetivos deste texto.
6.15.2 Exemplos
(i} Calcular I = Jf [<2x -zldydz + x
2
dzdx -x/dxdy], onde Sé a superfície ex.terior
s
do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = l, y = l e z = I.
Solução. A Figura 6.68 mostra o sólido T limitado pela superfície S dada.
y.
Figura 6.68
Como Sé formada po~ 6 partes suaves, para obtermos·/ usando a definição, devemos
calcular 6 integrais de superfície. Pelo Teorema da Divergê~cia, podemos transformá-la em
uma única integral 'tripla.
i
Seja ii a normal unitária exterior a S.
Como 1 = (2x -zll + x
2
] -
xz
2 k é uma função vetorial contínua que possui deri­
vadas parciais contínuas
em
1/lJ, temos
I
:.I
. !
!
. '!
I
·~.
!
l
I
·I
I
!
'
Cap. 6 l11tegraís de Sllperffcie 385
Jf [<2x -z) dydz + x
2
dzdx -xz
2
dxdy] ;-,
s
= f Jf [2 + O -2xz] dxdydz
T
I I I
f f f (2 -2xz) dxdydz
o o o
3
=-
2
(ü} Calcular a integral do exemplo anterior sobreS, onde S é a superfície exterior do cubo
exceto a façe que está no plano z = 1.
Solução. Para resolver este exemplo vamos utilizar o resultado já obtido no exemplo ante­
rior.
Temos,
I = fJ 1 . ii dS + JJ 1 . ii dS +. . . + ff 1 . ii dS
= i .
s, s,
onde SI, s2 ..... s6 são as faces do cubo.
Queremos calcular /
1 = I -Jf 1 . ii. dS, onde S
1
é a face que está no plano z = 1.
Logo,
s,
/1 = %-Jf [<2x-z)dydz + x
2
dzdx - xz
2
dxdy]
s,
= %-ff[-<2x-I) O-x
2
•
O-
x . 1
2
]
dxdy
R
' I I
= % + f J X dxdy .
o 11
. 3 I
=-+-=2.
2 2

198. 386 Cálculo C . C11p. 6
(iii) Usando o Teorema da Divergência, dar uma definição alternativa para a divergência de
. . . ···- .
uma campo vetorial.
Solução. Seja ](x, y, z:) um campo vetorial contínuo que possui derivadas parciais de 1'
ordem contfnuas em uma região esférica T. Existe um ponto A(11, 1', w) no interior de T, tal
que
JfJ di v ](x, y, z)dV = di v ]<u. v, w) . V,
T
(8)
onde V é o volume de T. Este resultado decorre do Teorema·do Valor Médio para integrais
triplas.
Pelo Teorema da Divergência, vem
fi]. ii dS
di v ]<u. v, w) = _,s,__ __ _
v
(9)
onde Sé a superfície exterior de T. A razão i direita de (9) é interpretada como o fluxo do
campo vetorial ] através de S, por unidade de volume, sohre a esfera T (ver 6.12.5).
Sejn
P um
ponto arbitrário. Suponhamos qnt!] seja contínua em um domínio conten­
do P em seu inte rior. SejaS, a superfície de uma esfera de raio r t: centro P. Então, para cada
r, existe um ponto P, dentro de S,, tal que :
jJ j. ii dS
di v ](P,) = ....:.s,_, ---, onde V, é o volume da es~era (ver rigura 6.69).
V,
Fazendo r -1 O, P, -t P, e então, podemos esc rever, :
If J. ii dS
di v ]<P> = lim _s_, ----
V,
(lO)
·.···
. !
!
·J
i .,
I
l
.
.~
1
l
-..,:·\,..}.
- . ·f~~:::;,
isto é, a divergência de f em Pé o valor limite do fluxo por unidade de volumr., sobre uma f.#\~ ~ ···.
esfera de centro em P, quando o raio dessa esfera tende para zero. ::Jl!J~
·'c.'Jf'-~
;~~ {.;~;\
Cop. 6 Integrais de superfície
387
ii
Figura 6.69
6.16 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de I a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha.dada:
1. f (/dx + X
2dz),
onde C é o contorno da parte do plano 2x + y + z = 4 que está no
1
u
c
octante, no sentido anti-horário.
2
·
P
[(y +
2
z)dx + <2z + x)dy + (x + y)dz], onde C é a intersecção das superiícies
c
x~ + / + z2 2 a C
~ a c x "' 2. onsiderar os dois sentidos de percurso.
··.3. T (xdx + ydy + Z
2
dz), onde C t! o perímetro do retângulo Os x s 2, os v s 4, z = 4,
c .
no seu tido anti-horário.
4
·
T (e-'!
dx + (.r + z)dy + <2x -z>dz), onde C é o contorno da parte do plano
c
x + 2y + z = 4 que está no 1 u octante, no sentido anti-horário.
S. P J · ái · onde J = (y-'cos xz, 2x
2
+ 7?, y(x-z)) e C é o retângulo O s; x s; 4, o s; z s 1,
c
no plano y = 2. Considerar os dois sentidos do percurso.
6
· f
[ydx + (x + Y + 2z)dy + (x + Íy)dz), onde C é a intersecção do cilindro
c
x~ + l = I com o plano z = y, orientada no sentido anti-horár io.

199. ,•
l
)
I
I
)
J88 Cd/cu/o C Cap. 6
7. f [(y - x)dx + (x -z>dy + (x -y)dz]. onde C é o retân~ulo de vértices (0, O, 5),
c
(0, 2, 5), (-1, O, 5) e (-1, 2, 5), no sentido horário.
8. f1. dr,sendo1 =(ex'+ 2y, e.l.l + x,.e:
1
)eCaelipsex'=cos/,y=2sent,z=2,
c
0 SI S 21t.
9. f[(x
1
+ 2/)dx + >..y
2
dy + 'Vz
2
+ 1 dz]. sendo C a circunferência x = acos I,
c
y = asen 1, z = 2, OS 1 S 27t.
10. Seja S a parte do gráfico z = 16 -x
2
-i, z ~ O com normal exterior. Determinar
fJ rot g . iidS, sendo g = (2y, y + z, z).
s
11. Calcular fJ cot g. iidS, sendo g = (xyl, x, z
3
) e S qualquer superfície suave delimitada
s
pela curva r(l) = (2cos t, 3 sen /, 1), OS 1 S 27t, com a normal apontando para cima.
Nos exercícios de
12 a
19 usar o Teorema da Divergência para calcular a integral da super­
fície dada.
12.
fJ
[x
2
dyd<. + /dzdx + z
2
dxdy], sendo S a superfície extf'rior do tetraedro delimitado
s
pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1.
13. fJ 1. iidS, sendo 1 = (x
2
y, 2xz, z
2
)
e S a
superfí~·ie exterior do paralelepípedo
s
retângulo delimitado pelos planos coordenados e pelos' planos x = 1, y = 2, z = 3._
14. fJ 1. iidS, sendo 1 = 2xl + 3y] + 4zk e S a supetfície exterior do sólido delimitado
s
pelos parabolóides z = x
2
+ y2-9 c z = -2x
2
-
2y
2
+ 9.
.

·I
Cap. 6 Integrais de superj{cie 389
15. JJ J. iidS I sendo J = (2x, 2y, O) e s a superfície do exe~cício 13, exceto a face.
s
superior.
16.
fJ]. iidS, sendo] =
(0, O, 2z) e S a superfície do exercício 13, exceto a face supe­
s
rio r.
l7i Jf [x dydz + y dzdx + <: dxdy] sendo S a parte da esfera x
1 + y! + z
1 = I abaixo do
s
I
plano z = 2, com normal exterior.
18. Calcular
I = fJ [(4x-y)dydz +
/dzdx->..)' dxdy]. onde Sé a superfície exterior
s
do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 2 e z = 2.
19. Jf (2dydz + 3dzdx -5dxdy), onde Sé a superfície do parabolóide z = 9 -x
1
-i
s
acima do plano z = O.
.,zo._Usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial ] , através
da superfície do sôlido T, sendo:
a)]= ->'l +zk,eTocilindrox
2
+/Sl6,-2SzS2.
b) f xyT + yi} + xzk e To cone z ~ Jx
1
+ /, z :s; 4.
c) ] 2T + 2] + 2k e Ta esfera x
2
+ yl + z
1 S 4.
21. Yerificar o Teorema de Stokes para g = 4 yl -xi} + y;;
2
k, onde Sé a superfície do
parabolóide 2z = x
1
+ y21irnitado por z = 8 c C é o seu.contorno percorrido no sentido
anti-horário.
22. VerificaroTeoremadaDivergência. para] = (2xy +
z)i + /]-(x + 3y)k tomado
no sólido limitado por x + y + 2z = 6, x ==O, y =O e z ==O.

200. I
I
I
I
I
I
i
I
i
; ;
I
TABELAS
1b
MAKRON
Bo()ks
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1. scn~ x + cos~ x ==I 6. sen2x = 2 senx cosx
7. senx cos y == 1/2 [sen (x-y) + sen (x + y)]
R. senx sen y = 1/2 [cos (x-y)-cos (x + y)]
4. seu
2
x = 1/2 (l-cos 2x) 9. COS X COS )' = 1/ 2 ( COS (X -y) -· COS (X + )')]
S. cos
1
X= l/2 (I + COS 2x)
TABELAS DE DERIVADAS
Nesta tal>!:! a. 11 e v $lO funções deriváveis de x, e c, a e a são constantes.
1. y=c~y'=O
2. y=x~ y'= I
3. y=c.ll~y'=c:.u'
"'· )' = ll + V ~ y I = 11 I + \'I
S. y=u.v~y
1
=u.v'+ v. ll
1
11 ,, • u' -u . v'
6. y=-~ v'=---
v . 1'2
7. y = t/', (o; ;tO)~ y' =a. lia· i . u'
8. y =a", (a >0, a :;t. 1) ~ y'==o" .lua.u'
9. y =c"~ )'
1
=e". u'
ui
lO. y = logn 11 ~ y
1
= -logu e
li
39/

201. 'I
392 Cálculo C
li'
11. y =In li~ y' =­
li
26. y = cosh li ~ y' = senh li . u'
12. y = u'' ~ y' =v. u•·-l .11' + u•· .In u. v' (11 > 0)
13. y = sen 11 =:-y' = cos u . u' 27. y = tgh 11 =:-y' = sech
2
11 • 11'
14. y = c os u =:-y' = -scn u . u' 28. y = cotgh li =:-y' = -cosech
2
11 . u'
15. y = tg 11 =:-y' = scc
2
u . u' 29. y = sech u =:-y' = -scch u . tgh u . 11'
16. y = eotg 11 =:-y' = -cosec
2
li . 11' 30. y = cosech 11 =:-y' = -cosech 11 • cotgh 11 • u'
17. y = scc 11 =:-y' = se c 11 • tg u . 11'
u'
31. y = arg senh 11 =:-y' = --===
Ju
2
+ 1
18. y = cose c 11 =:-y' = --cosec 11 . cotg 11 . u'
11'
19. y =are sen u ~ y' = -===
p
-11'
20. y = are cos 11 =:-y' = ~==
Jt-11
2
11'
21. y = are tg u =:-y' = --
2
l +li
-11'
22. y = are cotg 11 ~ y' = --
1 + u
2
11'.
32. y = arg cosh 11 =:-y' = Ft , 11 > I
u'
33. y = arg tgh 11 =:-y' = --
2
, lu I< 1
: 1-u
. u'
34. y = arg cotgh 11 =:-' y' = --
2
• lu I > I
1-11
-li'
35. y = arg sech 11 ~ · y' = -J===, O< u < l
li
23.y=arcsecll,llll ~I:=;. y' = ~. lul> l
lu I u--l
24. y =are cosec 11, l11l ~
. -11'
=:-y' = ~,l1d> l
lrtl.yu
2
-l
~S. y = senh 11 :=;. y' = cosh u . 11'
-li'
36. y = arg coscch.u :=;. y' = ~, 11 '# 0.;;
lul.yl'+u
2
..
i:·.:·
Tabelas 393
TABELAS DE INTEGRAIS
1. ftiu = 11 +C
f
du
2. -=lni11I+C
li
J
d11 11
16. r:;---:; = are sen -+ C
..;a2 -112 a
f
11
a +I
3. ua dli =-- +C (a é constante t:. -1)
a+ I
a"
4. Ja" du =-+ C
ln a
S.
J
e" dli ~ e" + C
6. f sen u du = -c os li + C
7. f cos li dli = sen 11 +C
8. f lg 11 d11 =In I sec 111 +C
9. f cot g li du =In I seri ui+ C
f
du l ~~~~ . 18. ~ = -arcsec-+C
II..Jii2- a2 a a
19. f senh 11 du = cosh 11 + C
20. f cosh u du = senh li + C
21. f sec h
2
11 du = tgh 11 + C
22. f cosech
2
u du =-cotgh u +C
23. f sec h 11 • tgh 11 d11 =-sech u + C
-10. f cose<.: 11 d11 =In I cosec 11-cotg ui+ C
11, f sec 11 du =In I see 11 + tg ui+ C . · 24. J cosech 11 . cotgh u d1t =-coscch 11 + C
12. f sec
2
u dli = tg u + C
f
. du r,-,
25. ~ = In lu + ..; 1r ±a-I+ C
..;u
2
±a-
13. f eosec
2
11 drr =-cotg 11: C 26. f~=__!._ In 1
11
+a'+ C
a--u-2a u-a
14. f sec li. tg 11 d;t = sec 11 + C
f
du. . l a+J(I
2±u
2
27. =--In .
li J a 2 ± (12 a . li .
+C
15. f cos ec 11 . cotg 11 du = --cosec 11 + C

202. 394 Cálculo C
FÓRMULAS DE RECORRÊNCI~ .
f
1 11 1 n -I f n-2 d
1. sen
11
11 du = --sen -11 cos 11 + --sen 11 11
11 n
f
1 11-1 /I -1 f 11-2 d
2. cos
11
u du = -cos 11 sen u + --cos u 11
., 11
f
11 d 1 11-1 f ,_] d
3. tg 11 ,, == --tg u -tg 11 11
11 -l
f
11 1 ,_, f n-1 d
4. cot g 11 du == ---cotg 11-cot g 11 11
11 -1
f
J , 2 11-2 f n-1 J
5. sec" u du = --se.c -u tg 11 + --sec u c tt
11-1 11-1
f
1 ,z II-2J , _, d
lí. cosec" u du =---cosec -u cotg u + --cosec · u ,
11-l n-1
I
I
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
~
MAKRON
Books
Observamos que muitos d os exercícios podem apresentar respostas diferentes das listadas
aqui. Isso ocon·erá principalmente nos exercícios que envolvem parametriza ções de curvas
e superfícies.
CAPÍTULO 1
SEÇÃO 1.8
1. a) ]<o == â +te']
2 -o 0--
2
-: (" n: )-: • r( ) = ; r(n) = -1 + .. n + -1
/11 111
··S. a) 2(t'-+ t)i + (t-t
2
+ sent)} +cosi k, 0 s; I ~ 2n:
b) I~ + 2t
3
+ (I - I~ )sent, 0 ~ I ~ 27C
c) tcost <.I -nT -tcost (I + 2!)] + (t
3
-1
2
+ 2t
2
sent + tsent)k, O s; t ~ 2n
d) ;
2
+ 4t -sent, O ~ 1 s; 2n
c) (21
2
--2t + 2)T + (-1
1
+ 3/-2 + sen(/ + !))] + cos(f + l)k, O $ 1 $ 2rc
7. a) (0, -1/2, 1), (1, -1. 1)
c) A partícula tende para uma posição infinita.
395

203. )"
396 Cálculo C
8. a) 3f + 3] b) -i + .7 + 6k
-11 -21 -
c) 2i +-j +-k
2 .2
d) -5
e) -9T + 9 J -3k f) 2T + 4] + 6k
g) õ.
9. a) J + 2k b) 1l
10. a) -T + n
2
] -5k b) J (c) 4T + J
13. a) -T, é contínua em t == O; tl, não é contínua em t = 3
b) J, é contínua em 1 =O
J2_
c) - j , não é contínua em t = O
4
d) -J + k, é contínua em 1 == O
e) tl, não é contínua em I = 1
11, não é contínua em 1 = 2
d) .!. T + 2f
2
e) In 2 T
14. a) [0, 2rt) b) (-C>?, 0) U (0, +oo) c) (0, +oo) d) (-1, 0) U (0, +oo)
e) U (_:: + tm, i + (n + I )rt)
IIEl 2
f) (-1, 1) U:(l, +oo)
g) (-oo, -2) U (-2, -1) U (-1, 1) U (1, 2) U (2, +
00
)
h) (,0, 1) U (!, +oo)
SEÇÃO 1.10
1. a) -3cos
2
t sent T + sec
2
tJ + 2sen t cosi k
- 2-l -
c) -i + 3t j +
1 k
I"
9 -: 21 -:
f) (21 + 1)2 I -~ }
. ( 2 , )-: _,,-:
b); cos 1 -sen·l 1 -2e -J
1 ---
e) -i + j + k
I
-::;~j ~ ··
f:
-(•
SDI$W666
2. a) (1, -2, 3)
d) (-1, 1)
3. G, o. o)
h) (1, e)
e) {2, 1, O)
c) (0, -1, I)
b) ± (-1, O, O)
Respostas dos exercfcios 397
4. a) ± ( ~ , -~ , O)
c) ± ( ,fj .!. J3)
4 ' 4, 2
d) ± ( d-; ' ~ , -2 )
rt
2
+ 8 rt I 8 [;2;8
S. a) ii(l) = -2sen t f + 5cos 1 J ã(t) = -2cos 1 T -5sen 1 J
!v(.::) = {3%
4. ' 2
la(~) = J3f
b) ii(l) = e'f -2e"
2
'] ã(t) ~" e'T + 4e"
2
']
1-I I Jfi v( n 2) =-
2
lãOn 2>1 = J5
c) v(l) ;, scnhl T + 3cosht J ã(tl = cosht T + 3senht J
lii<O>I = 3 lã<O>I = I
6. a) .!. (I -l)[ + .!. (t
2
-
21 + 1)] b)
ii(l) = (.!.
2 4 2' ~u-n) ã(l) = (o: ~)
c) ii(5> = (-i-, z) ã(S> = (o, ~) ·
7. a) 6 + 2Jf] + 4,{,l k b) (2, 1, 6)
c) (16,4,32)

204. 398 Cd/cu/u C
------------- -------.---------
8. a) ii(tl. == i -2tk ii(t) = --Ú~ ii(Ol = i
iiCO) ·= -2k ii(2) = i -4k ii(2) = -2k
-1 --
b) ÍO(I) = ---,-i + j
o + n-
- 2 -:­
a(t) = --t
(1 + I)~
c) ,ill) = 2t] + Gr\k li(l) = 2] + 30t
4
k
ii(Ul = Õ ii(l) = 2} + 6k ã(O) "' 2] li(ll = 2] + 30k.
d) ii(l) = -i + j ii(l) = o ii(l) = ii(2) = -i + j {i(l) = ii(2) = õ
9. a) b h) 2tii + h
15. a) (-2r -4t;)T b) O c) Õ d) 4t
3
+ 2r
-1 ~· t
2
-'2r -:
16. ---I + ---, }
u -t>
2
<r -1 r
CAPÍTULO 2
SEÇÃO 2.9
c) (x -2)~ + (y -3)2 = I
16 4
d) y = x
2
.-2x + 5; z = 2
2. a) y = 6x + 5 b) y = x
2
+ I c) y = x + 2; <: = 2 X ;:: -1
r
J
I
.......
. -:·-
----------
RespoHm· dos exercício.! 399
3. a) (1, -5,2); ---; 1 + --cosi, -+ - sent
1 .J4l ( ... '41' -5 .J4l )
2 2 2 2
h) (3, -4); 5; (3 + 5cosr, -4 + 5sent)
c). (0 -5/2)· -· --cosr -+ --senr -Jn ( m --s m )
I I 2 I 2 I 2 2
4 ) ,
0
• A
0
d
0
5/4 1 /2'
0 E3 . a e uma cm:untcrencta e centro (-. , -) e raw --
4
5 J5j l J53
x = --+ --cosr· v = ---+ --sen1· O $ t $ 2rr
4 4 I • 2 4 I
b) urna elipse: x :.: ~ -+ Cfcost; y = J. + [7sent; O s 1 s 2n:
2 v2õ s v5õ
3Ji l 3
c) uma elipse: x =-= 2 + --cosi; y = -+ -sent; O :::; t :::; 27t
2 2 2
'2 + 4
d) uma par:ibola: x = i; y = -
8
-
1
c) uma hipérbole: x = t; y "' --; 1 > l
I-1
l l
" x· y·
.,, ------:::: I· X ~ 3
9 25 I
G. a) (I + 2ni" + ( ± -t )J + 2k
c) (-1 + 5ni + (2 .. 2n] + 5rk
'1. a) (2 -51)f + 4i] + Cl -t)k
b) <5 -sni + c-1 + n] + <-2 + 4t)k
b) 5ti + í2 -nJ
~) (li+ st)T + 2] + (J3-3t)f
c) (Ji-(7 i-Ji)r)i +o+ n] + G + -
2
3
6
~)k·
- ( n: ( 1t) 1: -
d) 1ti + l -l + 2 I _;-i + (3 -I )k

205. 'i
( .
I
I
400 Cálculo C
8. a) ti + (51 -l)] + 2k
22/ -9 -llt -3 -
b) ti + ). + --k
33 ' 33
c) ti + (4 + n] + (3/ + 24)k
9. a) (2cos I, 2sen /, 4); 1 E [0, 2n]
c) (-1 + ../5 cosI, ../lO sen /, 2); 1 E [0, 2n]
d) (t, /
112
, 2); I~ O
f) (1, I, 2/
2
)
h)_ (2 + 2cos t, 2 + 2sen 1, 0); O S 1 S 2n
i) (2 + 2cos t, 2-2sen t, 0); O S 1 S 27t
k) (1
2
, I, 0); I E (-1, 1]
m) (1, t
3
-1t
1
+ 31-2, O); 0 SI S 3
o) (cosI, sen /, 2cos t-2sen 1); OS t S 27t
e) (t, lnt, e'); 1 > O
g) (2-3/, 1, 2+1); I E (0, 1)
j) (1, 0, l-1); I E [0, l)
l)
(1-2/, -2+21, 3-4/);
I E (0, l)
n) (t, 2/-1, -3/ + 2)
P)
(
.fi cos 1 _!_ + _!_ sen 1 _!_ + _!_ sen r)· O S t S 2rt
2 '2 2 '2 2 '
q) (3 +I, 3 + 2/, -2); I E (0, 1).
10. a) (2 + 3cos t, 1 -4sen t); 1 E (0, 2lt)
c) (5-2/, 7-21, -2 + 2t); I E (1, 2) ·
e) (2n-1 + sen /, l -cosI); 1 E (0, 2n]
f) (1 +cosI, 1 -sen /, 8rt-2t); 1 E [0, 47t]
b) (1-1;3-/, 3-2/); /E (0, l)
d). (-/,I~); I E (-1, 21
g) (2cos
3
(·i-t). 2sen
3
{~-t)} 1 E [o. ~]
--'(.J2 J2 )-( ~ ~ )-
11. a) i + 2wj; ---IV i + v2 + v2 IV j
. 2 2
b) (l + w>i + 2] + (3 -2w)k
. !1"' l' •
.-.~r l,.:
J~--~ ''
.i:'j.,
. :
.·
'.·
Respostas dos cxerclcios 401
c) (1 + J3 w)T + (-J3 + w)] + ( ~n ~ 4w ).~
d) (4 -4w>i + (-8 + 12w>]
e) --(7t2 )-·
-wi + j +
4
+ TCw k
1) (1-./3 IV)i + (J3 + IV)] + (1t + 3iv)k
g) c
1
f c
1
)- ~
2
-
4
IV i + 2 -
4
IV j + (4 + 41V)k
h) (l + :h~)i + (l -3w)] + 3J2 wk
i) (! + w)i + (1 + 3w>] + (1 + 4w)k
•:.··
12. (IV, -4\v)
13. (.!.. ' _!_ • .!..); 1l
2 4 8
14. (acos 1 -awsen t)l + (asen 1 + awcos n] + (bt + bw)k
15. (3, 5, 6) c (0, 2, 3)
17.
a) não é suave
d) é
suave
b) é suave c) não é suave
SEÇÃO 2.17
1. a) J3 (e-1)
d) ~ (toJlõ -r)
27
1) ../5n
e) ésuavc
b) 60
g) 16
1t c--:;-1 c--:;)
i) 2 "1 + 1C-+ 2 1.n( 1t + v 1 + n
2
c) 2J2TC
h) 2rt
j) 2Jiõ k) e--
e
.

206. 402 Ctflr.ule> C
---,--·-··----
. Jl7
2. a) s(l) = -
2
-
1 b) s(t) = 21
· ·
· c) s(l) = .!. (t Jl;4;2 + J. In !21 + J1;4;21)
2 2
:,Ji 2
d) s(l) = - sen I
2
3asen
2
1 [ _rc
2
J
f) s(t) = --
2
--; t E O,
e) s(t) = 2t, tE [0, 1t)
3. a) ( .ficos Ji , ,li sen -~). s E [o,
b) ( ~so -· 1, ftõ + 2)
(
s s
c) cos ""J2, sen J2 ,
d) (2(-1 + ,~). ~ J8 (--1 + Jl+sfn. (-1 + Ji+ -~Y} sE [O, 15)
(
s + J3 (I s ~-J3) s + J3 . (I s + ,fi) s + .fj)
e) -~- c os 11 ------;:=---, -y--:.cu n ----;;;-, -c---
,/3 -v3 v3 v3 .,13
f) (cos s, sen s), se [0, 2rcj
(
' 2s))n (2s)m ,-3a
g) all ---. a - J'• O S s _, -
3a 3a 2
h) (2cos -s r;: , -3;;. , 2sen sr; ). O :::;; s :::;; -J5n
2-v5 -v5 2-v5
4. a) Sim
f) Sim
l>) Sim
g) Não
S. a)
(
-] -1t )
Ji~ :-lt
2 . ~
3s ) r.-:.
J
-= 1 o $ $ ~ '114 •
14 .
c) Não 9l Sim
h) Sim
b) (-2J13 3Ji3)
13 I 13
c) (Jf?_ 4Jfi)
17 I 17
d) (-11 o. 0)
e) (-~ 1 '7)
c) Não
. I . ..
f
I
l
!
.I
I
l
i
!.
Respostas dos exerdcios 403
f) (J2
J2
o) (Ji
2../2 9Ji)
-2. g) 141 -
2 I
7
.
14
h) (-~-
-J3
'7)
- I . 3 •
3
7. J2
2
1
8
-
. 4
9. a)
e)
10. a)
12. a)
b)
16
u,m
b) o
2 2
2
; 5J5 ; 3757
2
108
c) 82J82
f) 24 g) -
125 4
2
2".!
d) 37137
h)
2
O círculo de curvatura tem raio J2 e está centrado na semi-reta cuja origem é
(21 O, 2) e tem direção -T -k.
O círculo de curvatura tem raio 6 e esh centrado na semi-reta de origem em
(
3 3J3 ) . - 1 7 .J3 -:
"2. -
2
-
1 -lt
e d1reçao -
12
1 -·(2 J.
c) · O círculo de cun•atura tem raio I c está centrado em ( ~ , O}
d) O círculo de curvatura tem raio ~ e está centrado em (O, -~J
13. a) ( ~ In J2)
2 • 2
b) (-~~
2 . ~)
c) tl
16. a) (-~
2 •
-.J2 o)
2 • '
b) --( J2
2 • -'7)
c) (0, -1, 0)
17. -2y + z"' O; -2y + z == 8rc-4; 2x + <: == 27t

207. li
f'
~ : ,, 404 Cálc11lo C
I
I
' 18. a) k; k b)
I
I
k c)
I .:. 2 -
../5 i +. J5 k
I -2 -
d) -j e)
JSÍ+JSk
e)
2
19. a) o b) o c) d) o -
5 5
2
c) 5 20. a) b) -
4 9 34
21. a) (-sen i, cos i) c) 2
22. a) (2t, 3t
1
,
0)
e (2, 6t, O)
d4 + 9t
2 4 + 18t
2
6t
b) c)
J4 + 91
2
J4 + 9/
2
20
23. a) 16t (25 + 16t
1
)-ln;
J25 + 161
2
b) . .fj e'; J2 e' c) O; I
101
8Ç
e)
I 8tJ 6Ji0 I
d) .
J4 + 5t
2 4 + 5t Jw + 9t~ J·w + 9t~
32t 8
25.
JJ + 16t
2
' Jt + 16/
2
CAPÍTULO 3
SEÇÃO 3.11
2. a) bola aberta de centro (0, I) e raio J3
b) bola fechada de centro ( l, I, I) c raio J3
... ·
.t .• ,
...
···-
.·. ·. ~
c) não é uma bola ·
e) bola aberta de centro (-2, 0) e raio 3
3. São verdadeiras (b), (d) e (e)
4. São conexos os conjuntos A, B t~ C
7. a) {<:t· y) E il
2
I x
2
+ / $ 4}
b) {(x, y) E fl
2
1x i= 0}
c) {<x. y) E ffl
2
I y ~ o}
d) {(x, y, z) E flJ I x i= O, y i= O e
e) {<x. y) E IJ
2
I xy > o}
f) {(x, \' . '
z) E ffl
3
1 z ~ o}
g)' {(x, y, z) E ffl
3
I X+ Z ~ 0}
h) { (x, y, z) E IJ
3
I x
2
+ / $ I}
8. a) (5, 2,
~)
b) (e, I, %)
9. a)(~. J2) b) (0, l, i)
Respostas dos exerdcios 405
d) não é uma bola
f) não é uma bola
z i= o}
c) (3, 4, 2)
c) ( 6, %, O)
10. a) ~contínua em R
2
b) é contínua em R
3
c) é contínua em {(x, y) E ffl
2
1 x, y >O}
d) é contínua em { (x, y, z) E /!l
3
I xz >O}
e) é contínua em { (x, y, z) E /n
3
I x ;tO ex i= y}

208. 406 Cd/culo C
-------·---
f) é contínua em IJ
3
-{ (0, O, O)}
· g) é contínua em 1?
3
()f 2 1- -olf-1 l/r 1 '- -
11. a) _a'J = 2xy ·z.-j + y7.c·•rzk; -= -y-i + 2:cyz'j + xze'-' ~k;
x ay 2
ox 2y -: 2-og -2x -: Clg :: 0-
b). dX :: (X+ )')2 I + j; ()y :: (x+ .d t.; dZ
aii -êJh "7 a;; -
c) dx ::: 2xk; êJy = -2)'}; -
0
z = -2zi
oii ,_.-:
--= xe ., ;
é)y
12. ((x + y)e'·'". (Y + z)e! (x + z)e'')
14. é uma parábola no plano z = 1
15. a) ( Jj COS V, ·f) SCI 1', 6), 0 $; \' ~ 2rt; (0, li, 3 + 11
2
), 0:,; 11:::; 3
b) (o. l, 2.J3); (-J3·. o .. o)
17. (0, O, e·'~(yz + 1); (0, O, (iz + 2y)e! ~)
:.1
...
•.··.
Rtlposta.r dos l'Strcícios 4 07
18. a) (0, O, O); (O, ~~, O} (z. O, O); (0, O, 0); (O, O, ~)
b) (-ésen x, e'sen y, 0); (eYsen x, -e'sen y, 0); (écos·x, e'cos y, 0);
(-e-'"sen x, e•cos y, 0); (0, O, 0)
c) (!3• O, O} (O, )~~ , O} (0, O,
z); (0, O, 0); (0, O, 0)
19. (0. -4, -·24)
CAPÍTULO 4
SEÇÃO 4.2
S. a) f(x, y, z) = x: + y2 + z
1
c) 3.!. unidades de temperatura
64
lU. a) T = (r -Jx
1
+ y~i)
b) Superfícies esfélicas de raio r -k
1
e centro na origem
k
11. a) familia de circunferências centradas na origem
b) família de elip~cs centradas na origem
c) famrJia de retas verticais
d) famflia de circunferências centradas em (2, 4)
12. a) f(x, y, z) = .':(1,5- z) b) planos paralelos à base do tanqur:
13. T(x, y, z) = x' + yl + z
1

209. 408 Cálculo C
l
(
ia
I, se (x, y) = -,
14. f(x, y) = m
O, nos demais casos
ex
15. a) y =-
2
c) x =c
jb) (i = 1,
11
b) y = ex
2
d) y2 =ex
18. f(x, y, z) = /(x -x
0
)
2
+ (y -Y
0
)
2
+ (z -zS
19. h(x, y, z) = 1140-z. onde z é a altitude em P(x, y, z)
20. a) ](x, y) = x T + Y j
.{;? + / Jx
2
+ l
c) f(x, y) = ±(y, - x)
SEÇÃO 4.6
1. a) 4./2 b)
3./2
c) .fie
2
2. -.fi 3. 1
4. 8J5
S.
5
7. (y + z)i + ex + z>] + (x + y)k
m; j = 1, ... , 11)
-f>J5
6. 3
5
8. 2xT + 4y] + 8zk 9. 3/T + (9x/.-2)}
1 r:= ( I - 1 - 1 -)
10.-vxyz -i+-·j+-k
2 X y Z
13.
)' -; X . -:
' ' I + 2 2 J
I + .c y- 1 + X y .
-2y -; 2x -:
14. , I + , }
(x -y)- (x -yt
- 2 - ( 1)-
15. 2yi ~ (2x + z )j + 2yz + ~ k
16 J z (__!__
· x + y 2z' 2z'
14
26. El = are cos J22f
28. a) 4i + 6.f2]
-(x + y))
2z
2
Respostas dos exercfcios 409
~. c) 4T + 4]
b) .-4T-]
d) · si -]
1
I .,
I
29. a) (2, 5, 3) b) (0, o. -1) c) (2, 2, -4)
! 31. X+ 2y-3 =c: 0; X+ 4y-18 = 0
32. X + J2 )'-2./2 = 0 33. 2t + y + 5 = o
34. X-y-2 = 0 35. y =:o .
36. (I -21)f + (I -21)] + (I + l)k

210. .410 Cálculo C
37. (t + 21)i +o+ 2n] + (.J2 + 2../2 r)k; o+ 2nT +o+ 2n] +
(-...!2 -2../2 l)k
38. <3 + 6nT + <4 + sn] + <5 ·-JOnk
41. a) 4Js .J5 e-2
c)
2
b)
J5
b)
--20 +...fi
----
2
42. a)
2
16 2
43. 2x + -y + -
3 3
·-X-)'-7.
45, ...fi X+ J2 )' 46. -2R +l 47.
j3(l -x
1
--/ -z2)
48. -2-fi-,, 49. -341 + 10] 50. à f. ll E R-{0}
51. a) sT + 5]; -sT -5]
b) -e-
1
i' + 2e-
1
]; e-
2
T -2e-
2
]
52.
a) +-(...fi
-2 • -~)
b) ±( 3
.Ji3.
2 ) .
m·
c) ±(~.
Js Js)
53. a) (2. -J)
b) .J'i
2
54. 6-2./i
J22
. 55. ..rs 56. 2Ji4
r ' ,
57. ~scn ·x + cos·y
J2
58.
2
Respostas dos ~xcrd.:ius 4 I I
59. o
61. (21 + 2, I + 4 ), 0 s; I s; 1
62. a) Sim b) (f+ l. 31 + J.), 0 ~ I s; 3
63. <~) Não b) )':=X, X E ( l, 10]
64. -G{il : (-=~, 7-·~7)
49 7.f7 "'
65. ...fi X -y -1 = 0
6G. a) t-·S, -H. 4) b) (1. O, 0) (
I 2 -2)
c) 27.' 27 ' 27
20 -- -)
67 -----, (xi + )'i + zk
• • 'J ., .. )" •
tx· + y· + z"
SEÇÃO 4."12
..,J6-sJ6-
1. a) ---i ---j
3 6
l -:
2. J-)
14
2 (---)
3. a) J3 i + j + k
l -: l -:
U) -fi I -J2 ./
m
4. --- S. ±i
6
!6-: Fó-: J6-
b) ---I + -) + - k
6 2 6
J
--8e
1
J5-
c) 2 5 i+ --j
5

211. I
:1
!
·I
· 412 Cálculo C
i
:;
l 8. a) i b)
(1·
2
-1 )
-4-
J3' 2J3
c) -k
JS.
d) õ e)
n-:
-)
2
9. a) 8x
3
+ xe')'
10. a) Sim b) Sim
12. a) 3-y; (1-z)i + j
c) 2(x + y + z); O
f) O;
k
13. a) (-ysen xy-xcos xy)k
15. a) 2;: b) 2(x + y + z)
b) 2sen x cos x
X+ 1
d)
X
c) Não
b) 2(x-y); 2(x-y)k
d) 2e'cos y; 2e'sen y k
g) iz + 4xyz + 3xy
2
;
b)
(-1-3x)f +(3z-2x
2)k
c) (x -.y) (T + J)
c) -k
d) õ
e) (2xyz-x
2
z + 3xz
2
)f + (3yz
2
+ lz + 2xyz) J + (3x
1
y-2;:
3
+ 3.xyl)k
f) z
2
(x-y)f + z
2
{y-x)] + (x-y) {y
2
-
x
1)k
g) 9
16. a) 15 sen 2 + 2 b) O
17. a) (6x
2
yz-x)i +(2x-'z- cosx)] +(2x
3
y+z)k
b) 12x
5
yz + 2x~z
1
+ 2l'
3
)' SeÚ X
c) (2x
3
zsen x-4.ryz)f + (2x.6y-6x
2
yzsen x-2x
3
yz cos x)] + (8x
3
yz
2
-
2x.6z)k
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I
I
I
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I
r

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j.
·.··:,·
'I
·r·.'.,,,;
. ' .. ~-: . , ..
)?. :-:'.
·::~·);':· .
Rcsposta.f dos exercícios •4/3
18. o 19. a) Sim b) Não c) Sim
d) Sim e) Não
21.
a) Não b) Sim c) S im d) Não
e) Sim f) Sim g) Sim
22.
a) Sim b) Não c) Sim d) Sim
e) Sim
23.
-21n 2-2 24. a) Sim b) Não
25. -l ~ 2xy + a(x)
27. a) é conservativo em /J
2
b) é conservativo em D
c) não é co nservativo em D d) é conservativo em D
e) não é conservativo em R
3
f) niio é conservativo em /JJ
2
g) é consetvativo em /?
3
h) é conservativo em f..f
2
28. a) Não b) Sim; 11 = x-ycos x + y + c c) Não
d) é conservativo em domínios simplesmente conexos que não contêm pontos da reta
y = -x; 11 = lnjx + yj-lnlxl-3x + / + xi +c
e) Si m; 11 = 5x
2
z-cosxy +c
CAPÍTULO 5
SEÇÃO 5.2
1. 12 2. _!_ (17Jl7
6
f) Sim; 11 = e'+ 2e-" + 3e' + c
b) 11 = In (x
2
+i+ '
2
) +c c) u = xye' +c
1) 3. o

212. ·:.
'414 Cálculo C
1 10JRí
4.--+ ---
27 27
. .3aJ
8.-8-
12. o
15. 34
13.
16.
S. O
9. ·20~8
!.:>
-1 +-, [( 2r
1
12 e
-1]
o 17. 961C
~ .. o.
10. 928 Jsn
27
1
14.
4
1
18.
2
19. 41t
20. k(e
1
-e-~) u.m. 22. 6J2o + Jfi u.m.
23. 4kn: 11.111.
26, (.!.! 1 o J
7 '
28. k 11.//1,
SEÇÃO 5.4
3
1.ln-
35
5.-1t
9.-8
24. 8Js krr. 25.
85
Jlõ k
4
21. _': (t7.f0-1)· (JJJ.-!f7 +
1
o)
6 • l70Jf7 -10 •
k(7Ji + 12)
29.
3
2. o
6. 8
3
3.
2
64)
7. -7{
3
31. a) O
4. o
/..-rei
b)
R
10. -6k 11. o
4
-4
12. -+ Jn2
112
14.
3
15. o
~
16.
7. 6.
11. 8
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kr.i
c­
H
17. 487t
21. ± 8Jin:
1 l
25.---
3 3e
2'1. a) 7
29. a) 81t
18. o 19.
22. -4 23.
2
26.
a) ---4
e
b) 7 c) 7
h)
l21t c) 4
5
2
o
31. 1 + 2cos 2-e~;-4 + sen 2; 3 --e~
34. o 35. -4; HORÁRIO
SEÇÃO 5.6
b) ~ + 13
e 3
20.
24.
28. a) 6
30. a) O
32. o
36. o
Respostas dns e.rercfcios
4096 )
--n·
3
o.
-2 9
c)--­
e 2
b) 11
2
b) o
33. o
37. o
c) -· 4
c) O
L a) Não b) Sim; u == sen xy + e•) + z +c; sen 1 + ..!.. + sen 6 + e'+ I
e
c) Sim; u = xyz + sen x + cos y +c;-seu I --cos l + sen 2 + cos 3 + 6
2. a) Sim; 11 = xyz + 4yl + c; abc + 4b'
3 3
b) Sim; 11 = -;;<x + y + z)m +c; -;;<a+ b + c)
7
'
3
c) Não d) Sim; u =(co:> y + sen ~)e <+ c; e" (cos b + st:n c)-l
e) Sim; 11 = x
2
+i+ z' +c; a~ + b
2
+ d
3
3. a) 2cos 1 + -
2
b) e
2
-3
14
c)
3
415
' I
! i

213. !I:
i:
)
I
t;
I
I
!
I
d
.j
I
I
416 Cálc11lo C
4. a). 16
e) sen 3-sen 1 -e
1
+ e+ 53
S. a) o
6. -16
8. a) o
9. a) O
b)
1t
--
ti
7. a) O
b) J257 -.J2
4
b) o c) -
2
c)
O
f) 2e + e-
2
d) 5
g)" o
c;) o d) -21t
b) -12 c) O
c)
J257__-.J2
4
d) s.J2-J!õ
20
d) o
11. a) O b) -1t 12. 1; igual
1 3
14. O; 2ít; arctg--arctg-
2 2
SEÇÃO 5.8
1.8
S.~
2
3
9.-­
LO
13. 1 u.a.
2. -L2n
6. 72rt
10. o
14. a) 47t u.a.
1 ( ' 5) 18. 18 --e--e .
6
2
15. a) -
3
3. -36
7.
3
-
2
11. o
b)
5n
-u.a.
2
2
b) 3
4.
64
3
8. 161t
·12. 12n u.a.
17.
221 -
6
Respostas dos
exerclclos 417
CAPÍTULO 6
SEÇÃO 6.3
1. a) elipsóide;
/24 -3/ -4z
2
+ J24 -2x
2
-4z
2
b) X = ± V 2 ' y = - 3
2. a) esfera;
3. a) esfera; . b). x = ± J16 -(y -1)
2
-z
2
+ 2;
y = ± J16 -(x -2)
2
-z
2
+ 1; z = ± J16 -(x -2)~ -(y -1)
2
4. a) elipsóide;
) 1 -(y - 1)
2
-
(z
-1)
2
•
b) X = ± + L,
. ' 2
y = ± J1 -2(x - 1)
2
-(z ·-.1)
2
+ 1; z = ± J1 -2(x -1}
2
-(y -1)
2
+ 1
·.'I: S. a) plano;
lO --J2 y + z I O -2x + z r;:;
b) x =
2
;
y =
.J2 , z = 2x + ..;2 y -!O
6. a) cilindro parabólico; · : b) x = ± .JZ, z = x
2
7. a) cone;
8. x = y
2
+ z
1
-1
10. y = x
1
,
O s; z s; 4, -
2 s; . ..: s; 2
. ) ~:

214. n
tt
tl
:I
I
i
i
I
41.~ ('á/cu/o C
-----
x2 v2.
14. - + "----= I, o :::; X ::; 2, o :::; y :::; 3, o :::; z :Ç 4 .
4 9
15. x = 3cos v cos 11 + l, y = 3cos v sen 11 + 2, ;: = 3sen v.
o ~ 11 $; 27t,
-1( ~ 1t
e-<v:::,-
2 - 2
16. X= 11, y = 1', z = 11
2
+ v
2
-I
17, X= Ú, )':: 1', Z = 8-11-I'
18. x = 2cos 11, y = 1', z = 2seu 11, -oo < 1• < +oo e O ~ u ~ 2n
1.9. x =:?. + 2cos v cos 11, y =-I + 2cos v sen 11, z = 2sen 11
-1( 1C
O $; 11 ~ 2n e - ~ v ~ -
2 2
20. x = cos v cos 11, y = l + cos v sen 11, z = sen v,
o $; 11 ~ 21t,
-1t 1t
--$;v<-
2 -2
21. x = J2 cos v cos 11, y = Ji cos " sen 11, 7. = J2 scn v
-lt 1t
O $; 11 $ 27t e - ~ v ~ -
2 2
22. x = 2 +. 4cos v cos 11, y =-I + 4cos v sen 11, z = 3 + 4sen v:
O < ?
-rc .-
1
,
:::; _n
_ 11 ~ _n
e .::.
2 2
23. x = J8 cos v cos 11, y = J8 cos v sen11, z = J8 sen v,
1( 1t
-:::;ll:::;neO:::;v:::;-
2 2
24. x:: cos v cos 11, y = cos v seu 11, z,., sen v,
O $; 11 :::; 21t e 1t :Ç v :::; .~
6 2
25. x = J3 cos 11, y = J3 sen 11, z v
O $; 11 $; 2n e _., < v < +oo
26. x = 4cos 11, y = 4seu 11, z :: v
lt
-~ 11 $; arctg 2, ·-2 $; v $; 2
4
27. X = JiQ COS 11, <: = Jlô sen 11, y 1',
-oo < V < +oo, O ~ 11 $; 21t
I 1
28. x = J5 vcos 11, y = J5 vsen 11, z =
O 5: 11 ~ 211: C O $; I' < <->
30, X:: 11, )'::V, Z = -2~ 1•
2
2u~ + 21•
2
3).. X= 11, I':: I', Z"' -----
. 3
311~ + 3v
2
32. X= 11, )' :: I', Z:: ----
4
33. x = 11, y = 211
2
+ 21· <: = 1', 11~ + v
2
~ 4
2
Js v.
35. x = 2cos v cos 11, y = 2cos v sen u, z:: 2 + 2sen v,
O :;; 11 s 2n e O ~ v ::;; .!:
2
36. x =--= 6cos v cos 11, y = 6 cos v seu 11, z = 6sen v,
3rr
:::; 11 :::; 2 7t,
2
...,
L
1(
\' ~-
2
Respostas dos t!XI!rcfcios 419

215. . I· ·
i.
I'
)
ll
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'
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I
'.
,! .
f::
\~ i;
I [
' I
420 Cdlculo C
37. x = cos v cos u, y = cos v sen u, z = sen v,
~ -lt ~
-~ u ~ arctg 2 e - ~ v ~ -
4 2 2
38. x = v, y = 3cos 11, z = 3sen 11, O ~ v ~ 4 e O ~ u ::;; 21~
39. x = 1 + Jl3 cos 11, y = 3 + JI3 sen 11, z = v
O ~ li ~ 2n: C -oo < V < +oo
1 J3 1
40. x = -vsen 11, )' = - v, z = -vcos 11
2 . 2 2 '
O ~ li ~ 21t e O ~ v < oo
42. x = 11, y = v, z::: rt
2
+ v
1
-1, 1 ~ u
2
+ v
1
~ 4
43, X ::; U, y ::; V, Z ::; 4 -U -· V, 0 ~ U ~ 4, 0 ~ V ~ 4 -U
9-2u 9
44, X= U, y ::; --, Z =V, 0 ~ li ~ -, -oo < V < +oo
3 2
45. x::; li, y ::; l', z == 8 -v, 11
2
+ v
2
~ 4
SEÇÃO 6.7
1. a) ( ~ cos v,
..fi
) -n: 1t
-cos v, scn v ,
2
~ v ~ '2 ;
2
( ~ cos 11,
..fi
..fi) -senu, 2 . o~ 11 ~ 21t
2
b) (..fiu J2u
2 ' 2 , ll2). o ~ li ~ 2; ( J2 cos v, J2 sen v,
o~ v~ 2~
c) (li, 1, u
1
+I), (1, v, v
2
+ 1)
2),
I
I
·'
I
,_;
. ·l
·· ·:~
· .. ·
• ...
'.'(t::
··::f.
' -.~: ·:
.:1;-.:;;·
~i~1J .. /~·
.Yt1f~.' .;.:·;~.
Respostas dos exerdcios 421

2. a) x =li, y =v, z::; 3(1 -li -~ v} (u. ~, ~-3u} (±, v, * ~ %v)
b) x::; 3cos 11, y = 3sen u, z =v; (3cos 11, 3 sen 11, 4); (3, O, v)
J2 J2 J2
c) x ::; -vcos 11, y = -v, z = -vsen u O < u < 2n O <
2 2 2 • - - . , _, V < oo;
( Jf3 cos 11, JI3, JI3 sen u), O ~ u ~ 27t;
-(H; v, '7 v, % H; v). o ~ v < 00
3. b) ( ~ 11, 2t/, ~;~).O~ 11 ~ 2; (cosv, 2, senv), O~ v~ 27t
c) ( ~, 4, ~): (-~, O, ~} (2./2, -J, 2./2)
4. b) (cosrt, scnu, J3), O~ u ~ ~;
2
( J2 cos v, J2 cos v, 2sen v), O ~ v ~ !:.
2
c) (-~ , ~ , O): ( -~ , -~·, 1} ( ~ , -~· , J3)
d) ( J2 + J2__ I ..fi + J2 I .fi . r;; )
2 2 • 2 2 .
3 +
"
3
t ;
J2 X + J2 y + 2./3 Z -8 = 0

216. '422 C.11culo C
S. a) ( 4 + ~. l ·-2!, 2 ·-4t) b) (4 + J5.r. 1-215 r, 2-41"51)
c) (3 + I, 2-41, 4)
e) (1 +21,1 +21,-2+1) f) (1 +~I, 1 +~I, J2 + 1)
(
2 5 2 )
g) 1 - -
I 2 - -f ·-+ I
3 ' 3 ' 3
6. a) (11, v, 3u
2
v); 6x + 3y-z-6 =O, 6x-3y + '+ 6 =O;
(1-61, 1-3t, 3 + 1), (-1 + 6/, l-3t, 3 + 1)
b) (11, v, 11
2
+ v
7
); 2y-z-1 =O. 2.~: + 2y + z + 2 = O;
(0, I -2t, I + t), (-1 + 2t, -·l + 21, 2 +r)
c) (11, v, uv); x + 2y-2;:-1 :.:O, -fi x-z = O;
l --r ..:. --f -· + 1 (-!i 1 J2 r)
(
I ' I )
2 • 2 • 2 t ' •
d) (11, 1'. 4'-11-21•); X+ 2y + '-4 =O; X+ 2y + ?. -4 = ô
(1 + 1, ·} + 21. 2 +r). (r, l + 2t, 2 -t: t)
:..rc 1t
e) (3cos I' cos 11, 3cos v sen 11, 3sen v) O ~ 11 ~ 2Jt, -· < v < -·
'/.--2·
X -3 = o. )'-3 = o. 7.-3 = O, X + 2y + 2<: -9 = q;
(3 + 9t, O, 0), (0, 3 + 9t, 0), (0, O, 3 + 6t),
(1 + J5 t, 2 + ~r, 2 + 215 r)
I
I
I
I
I
I
I.
1/c.•ptnttJs JcJs exercfcios 423
--------··----
l) (2cos 11, 2 sen 11, v); x + y-2-./2 =O, y-2 =O;
( Ji + .fi I, J2 + J2 f, 2), (0, 2 + 2/, 2)
7. a) 4xl·4y+z-4;;Q b) <:-4y+2=0
8. }' = 2x e z = x
9•
( -2u _c~~ '' • -211~.:-n 1' I J
------·---= . 11 ":/. o
.. .,J4;t
2
+ 1 J4u~l' W + L
10. a) (::!i, _.,fj -·./3)
' 3 3 t J
(
r;;:3 J1, jlJ_". )
b) ~· ~· ~ ·'
SEÇÃO 6.1·1
,-
3-J 17
1. 2 lf.{l.
13
4. -1t 11. (/.
3
2.
5.
13./fj ·-I
6
1C 11. a.
a) 9 /1.(/.
'I
3. 30arc sen ::_ 11. a.
5
. 27
h)-Jt //. (/.
2
6. 61c tt.a. '1. (1}-;n-3ó) tut. 8. ~~n 11.11.
9. 12n (3-15) 11. a. 10. ~ (37h7 -17Jl7)n 11. a. 11. 4rr (2-J2) 11. a.
12. 4n Jfi 11. o. 13. 4 J3n 11. a.
(17J17 -1)
14. ·----Jt 11. a.
6
1
~ J2
;,, --1t 11. (/.
4
1t - '
16. -(s!S -1) 11. a.
6
l'l. 3 //.(/.
18. n(36 -sJ3) 11. a.
64Jl5n
19. 11. ti.
9
20. (36 + 4 .f2f + 4.J6) 11. (/.
22. h) · Sn tt.a. 23. a) x
1
+ yl = z
C) ~(17m ·-J) /I, (1.
I '

217. :ii
I
4'24 Cálc111p Ç . •
2S. a) 2
29. nJ14
3
33. -37 7t
5
b) 2
30
.
2048rr
3
34. -7t
4
26.
243
1t
2
32768Jí3n
31.----
81
27. ~
2·
3S. o 36. 2!2 In 2
38. 9rr 39. 20.J5 k7t 11. 1/1, 40. (0, O, I)
c) (8, 8./3, o) d) 10247t
42. b) (-./6, J6. o), (-.fi, - .fi, 2JJ)
c) {6!2, 6-ii, 4./3)
d) 20487t k
3
1 SEÇÃO 6.13
I
·J
i
i'
I
I
I
2. a) 32
d)
32
---
3
3.
47t
7.
167W
2
1
11. 2
lS. 208
3
b) -
32
32
c)--
3 3
e) ·O; o fluxo é nulo
4. o S. 6
8. 18 9. -151t
32
20
12.
3
n· 13. 3
16. 27ta
3
(2 -fi) 17. a) o
28. ~
2
2{l7Jfi-1)
32. --'--------'-
3
2J5 kn
37. --. - 11. 111.
3
rca
4
·
6-
. 2
10.
64
3
14. o
b) o
I
.: .. ,
Respostas dos ex~rcfcios I 4i5
18. 24; -24 19. ·a) (-~ , ·-~, 1) b) -2881t
20. 3n; -3rr 21. 1801t
SEÇÃO 6.16
1. -16 3, o 4. -16
4
S. ± (8sen 4 -40) 6. 1t 7. o
' ..
8. -21t
. -5a
4
1t .,, __
4
10. -321t_ 11. 61t 12. _!
4
13. 24 14. 4867i
15. 24 16. o 17. 3rr 18. 48 19. -457t
20. a) O b) 647t · c) O 7.1. -l927t . 22. 108
o I o o
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218. I
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