calculo del momento de inercia mecánica estructural

momento de inercia

1. S09: MOMENTO DE INERCIA – PARTE I

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7. LOGRO DE APRENDIZAJE Al terminar la sesión, el estudiante resuelve problemas de momento de inercia de área, método de integración, momento de inercia polar, radio de giro, teorema de steiner siguiendo un procedimiento lógico y fundamentado.

8. CONTENIDO INTRODUCCION TEOREMA DE STEINER MOMENTO DE INERCIA SUPERFICIAL RESPECTO AL EJE X MOMENTO DE INERCIA SUPERFICIAL RESPECTO AL EJE Y PRODUCTO DE INERCIA DE LA SUPERFICIE MOMENTO POLAR DE INERCIA DE LA SUPERFICIE MOMENTO DE INERCIA DE SUPERFICIES RADIO DE GIRO DE UNA SUPERFICIE MOMENTO DE SUPERFICIE COMPUESTO PROBLEMAS DE APLICACIÓN

9. MOMENTO DE INERCIA INTRODUCCIÓN En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma Donde representa un elemento de superficie y la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él.   Momento segundo de la superficie Son siempre positivos y sus dimensiones serán (unidades: o ).    

10. MOMENTO DE INERCIA En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma Momento de inercia (de masa) Donde representa un elemento de masa y la distancia de este elemento a un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones serán (unidades: ).     INTRODUCCIÓN

11. MOMENTO DE INERCIA MOMENTO DE INERCIA DE SUPERFICIES Los momentos de inercia de superficie se representan cuando se calculan momentos con respecto a un eje de fuerzas que varían linealmente con la distancia al eje. El momento de inercia de una superficie representa el segundo momento del área con respecto a un eje. Se usa con frecuencia en fórmulas relacionadas con la resistencia y la estabilidad de elementos estructurales o elementos mecánicos. El momento de inercia de una superficie es una propiedad puramente matemática de esa superficie y, de por si, carece de significado físico.

12. MOMENTO DE INERCIA DEFINICIONES Los momentos de inercia de superficie son integrales de forma similar a la de las usadas para determinar el centroide de un área. Sea una superficie en el plano (Figura 2). Definimos cuatro momentos de inercia de .   Figura 2 MOMENTO DE INERCIA DE SUPERFICIES

13. MOMENTO DE INERCIA Momento de inercia superficial respecto al eje :     … (1) donde es la ordenada del elemento diferencial de área . Este momento de inercia se expresa a veces en términos del radio de giro respecto al eje , , definido por:     … (2)

14. MOMENTO DE INERCIA Momento de inercia superficial respecto al eje :     … (3) donde es la ordenada del elemento diferencial de área . Este momento de inercia se expresa a veces en términos del radio de giro respecto al eje , , definido por:     … (4)

15. MOMENTO DE INERCIA Producto de Inercia de la superficie   … (5) Momento polar de Inercia de la superficie   donde es la es la distancia radial del origen a . El radio de giro respecto a , se define como     … (6)

16. MOMENTO DE INERCIA El momento polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes y :     Sustituyendo en esta ecuación las expresiones para los momentos de inercia en términos de los radios de giro obtenemos:   … (7) … (8)

17. MOMENTO DE INERCIA TEOREMA DE STEINER Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema de Steiner. Demostración : Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje paralelo a él es       Figura 3  

18. MOMENTO DE INERCIA La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal . La segunda integral es cero ya que el eje pasa a través del centroide del área; esto es, ya que . Observamos que la tercera integral representa el área total , el resultado final es, por tanto     … (9) Una expresión similar puede ser escrita para ; esto es,     … (10)

19. MOMENTO DE INERCIA Finalmente, para el momento de inercia polar con respecto a un eje perpendicular al plano y que pase a través del polo (eje ), figura 3, tenemos     … (11) La forma de cada una de estas tres ecuaciones establece que el momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo que pase a través el centroide del área más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes .

20. MOMENTO DE INERCIA El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta por el cuadrado de la separación de los ejes . Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal o, al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él. Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:

21. MOMENTO DE INERCIA RADIO DE GIRO DE UNA SUPERFICIE El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro . Así pues, Y como:              

22. MOMENTO DE INERCIA MÉTODO DE INTEGRACIÓN Si la forma del área es irregular pero puede describirse de manera matemática, entonces debe seleccionarse un elemento diferencial e integrarse sobre toda el área para determinar el momento de inercia. Figura 4

23. MOMENTO DE INERCIA Cuando las fronteras de un área plana son expresadas mediante funciones matemáticas, las ecuaciones y pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área elegido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura 2, debe efectuarse una integración doble para evaluar el momento de inercia. Sin embargo, a menudo es más fácil efectuar una integración simple eligiendo un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección.  

24. MOMENTO DE INERCIA PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Si se efectúa una integración simple para determinar el momento de inercia de un área con respecto a un eje, será necesario especificar e l elemento diferencial .   La mayor parte de las veces este elemento será rectangular, de tal manera que tendrá una longitud finita y ancho diferencial. El elemento deberá estar ubicado de manera que interseque la frontera del área en el punto arbitrario . Hay dos maneras posibles de orientar el elemento con respecto al eje para el cual se desea determinar el momento de inercia.  

25. MOMENTO DE INERCIA CASO 1 La longitud del elemento puede ser orientada paralelamente al eje. Esta situación ocurre cuando el elemento rectangular mostrado en la figura 5 se usa al determinar para el área. En este caso puede efectuarse una aplicación directa de la ecuación , esto es, , ya que el elemento tiene un espesor infinitesimal y, por tanto, todas las partes del elemento se encuentran a la misma distancia x de brazo de momento desde el eje y .   Figura 5

26. MOMENTO DE INERCIA CASO 2 La longitud del elemento puede estar orientada perpendicularmente al eje. Aquí no es aplicable la ecuación 1 ya que todas las partes del elemento no se encuentran a la misma distancia de brazo de momento desde el eje. Por ejemplo, si el elemento rectangular de la figura 5 se usa al determinar para el área, será necesario calcular primero el momento de inercia del elemento con respecto a un eje horizontal que pase por el centroide del elemento, y luego determinar el momento de inercia del elemento con respecto al eje usando el teorema de los ejes paralelos. La integración de este resultado dará .  

27. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

28. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Determinar los momentos de inercia de la superficie triangular respecto a su base y respecto a ejes paralelos a ésta que pasen por el centroide y el vértice.

29. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Determine el momento de inercia del área con respecto al eje e .      

30. MOMENTO DE INERCIA MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICIES COMPUESTAS Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes. Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.

31. MOMENTO DE INERCIA PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El momento de inercia de un área compuesta con respecto a un eje de referencia puede ser determinado usando el siguiente procedimiento. Partes componentes. Usando un croquis, divida el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia. Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia de cada parte debe ser determinado con respecto a su eje centroidal, que es paralelo al eje de referencia. Para efectuar el cálculo use la tabla N° 1.

32. Si el eje centroidal no coincide con el eje de referencia, el teorema de los ejes paralelos, , deberá usarse para determinar el momento de inercia de la parte con respecto al eje de referencia.   Sumatoria El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia es determinado sumando los resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un “agujero”, su momento de inercia se encuentra “restando” el momento de inercia del agujero del momento de inercia de toda la parte, incluido el agujero. MOMENTO DE INERCIA

33. MOMENTO DE INERCIA Tabla N° 1

34. MOMENTO DE INERCIA

35. MOMENTO DE INERCIA

36. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

37. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Determinar el momento de inercia de área y el radio de giro respecto al eje y al eje de la superficie sombreada de la figura.  

38. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Determinar el momento de inercia de área y el radio de giro respecto al eje y al eje de la superficie sombreada de la figura.  

39. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Determinar el momento de inercia de área y el radio de giro respecto al eje y al eje de la sección transversal de la figura.  

40. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS STILES HIGDON Ingeniería Mecánica. Tomo I. Estática Vectorial. Editorial PHI- Prentice- México, 1998. BEDFORD, Antony y FLOWER, Wallace, (2008), Mecánica para Ingeniería – Estática (Quinta Edición). México D.F., México: Pearson Educación. NARA HARRY. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Tomo 1 Edit. Mc. Graw Hill. HIBBELER R. Mecánica para Ingenieros. Tomo 1. Estática Edit . Reverté . BEER Ferdinand P y otros. Mecánica Vectorial para Ingenieros. – Estática (Novena Edición). Editorial Mc. Graw. Hill. 1990.