CALCULO DIFERENCIAL APLICADO ECUACIONES 2

ECUACIONES

1. I.- DERIVADA I.I.- DEFINICIÓN DE DERIVADA. La derivada de una función f es otra función f´ (léase “f prima”). Formula:

2. EJEMPLOS DE DERIVADAS Ejemplo 1: Obtener la derivada de f (x) = 3x + 2 Primer paso: copiar 3x + 2; y en lugar de X hacer un paréntesis y volver a colocar la operación; f (x + h) = = 3 (x + h) + 2 f (x + h) = 3 (x + h) + 2 Ejemplo 2: Obtener la derivada de f (x) = 2x ₂ -3x+5 Primer paso: copiar 2x ₂ -3x+5 ; y en lugar de X hacer un paréntesis y volver a colocar la operación; f (x + h)= = 2 (x + h) 2 – 3 (x + h) + 5 f (x + h)= 2 (x + h) 2 – 3 (x + h) + 5

3. FACTORIZAR LA h Ejemplo 3: Obtener 3xh + h 2 Primer paso: lo que resulte de dividir 3xh + h 2 entre h 3xh h 2 h h SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO = h ( 3X + h) https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys NOTA: LAS h´s SE ELIMINAN POR QUE SE DIVIDEN ENTRE SÍ 3xh h 2 h h

4. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE ACUERDO A LO ANTERIOR. f (x) = x 2 f (x) = x + 3 f(x)= x 3 + 5 f (x + h) = f (x + h ) = f (x + h) = Factorizar h Factorizar h Factorizar h 5x 2 h + 3xh + 2h 2 xh + h 3xh + 6h 2 + 8h 3

5. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Tenemos la formula: f (x) = x 2 Si x = 2 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (2) 2 y = 4 Significa exponencial (equis cuadrada)

6. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Si x = 2 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (2) 2 y = 4 en la gráfica:

7. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Si x = 3 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (3) 2 y = 9 en la gráfica: 3 9

8. RESOLVER LAS SIGUIENTES Y GRAFICAR DE ACUERDO A LO ANTERIOR. x y -5   -4   -3   -2   -1     1   2   3   4   5  

9. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. La velocidad: se define como la razón entre la distancia total recorrida por el cuerpo y el tiempo total que tarda en recorrer dicha distancia; se mide en m/s o kms./hr. FORMULA: v = d / t La aceleración: es el cambio velocidad aplicada al cuerpo. v = d 2 – d 1 t 2 – t 1

10. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t)= 2t 2 . ¿calcula la velocidad media entre t1 y t3 y la velocidad instantánea en t1? FUNCIÓN: e(t)= 2t 2 SUSTITUCIÓN: VELOCIDAD INSTANTANEA: Velocidad media v = d f – d i = 18 - 2 = 16 = 8 e´(t )= 2t 2 DATOS: t f – t i 3 - 1 2 DERIVAR: t 2 = 3s 2t 2 = 4t t 1 = 1s v(t) = 4t e 2 = e(t)= 2t 2 = 2(3) 2 = 18 m/s velocidad en t 1 e 1 = e(t)= 2t 2 = 2(1) 2 = 2 m/s v(t) = 4 (1) = 4 m/s

11. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de velocidad constante. En la gráfica la velocidad “v” permanece constante, el área de la región sombreada representa la distancia “d” recorrida por le móvil en un tiempo “t”.

12. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de distancia contra tiempo: La gráfica muestra la distancia “d” recorrida por un cuerpo en un tiempo “t”, la pendiente de la recta representa la velocidad con que se mueve dicho cuerpo-

13. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de distancia contra tiempo: La gráfica muestra la distancia “d” recorrida por un cuerpo en un tiempo “t”, la pendiente de la recta representa la velocidad con que se mueve dicho cuerpo.

14. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Completar la siguiente tabla y graficar

15. 2.- LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.I.- DE FINICIÓN DE LÍMITES El cálculo es el estudio de los límites . Decir el , significa que cuando x está cerca pero diferente de c , entonces f(x) está cerca de L. https:// www.youtube.com/watch?v=svAINAEpL8U https://www.youtube.com/watch?v=LDkdAr6m0gg https://www.youtube.com/watch?v=onyOpZBC8Rk https://www.youtube.com/watch?v=8a7hjaPOCaU

16. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES. Límite de una función constante Sea f(x)=k , donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x tiende a a , para a=4. Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k , el límite es siempre k . Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:

17. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES.

18. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES. Límite de f(x)=x cuando x tiende a a Sea f(x)=x . A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x tiende a a , para a=4 . La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:  

19. 2.3.- LÍMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES. no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable .

20. 2.4.- FUNCIONES CONTINUAS. Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

21. Ejemplo. Que el limite de la función f(x) cuando nos acercamos por la izquierda de ese punto es igual al límite de esa misma f(x ). Cuando nos acercamos por la derecha de ese punto. Cuando estos dos límites son iguales al punto para ese valor de “ x ”

22. Ejemplo. Será continua si al calcular el límite de la función por la izquierda; es un número más pequeño que el 7 (6.9, 6.99, 6.999); nos da que el límite también es 6. ( 6.9, 6.99, 6.999 )

23. Ejemplo. Y si calculamos el límite por la derecha de 7 (7.01, 7.001, 7.0001), también nos debe de dar 6 ( 7.01, 7.001, 7.0001 )

24. Ejemplo. Cuando los tres resultados coinciden en la función, decimos que es continua en el punto de x = 7 Ejercicio Tenemos la siguiente función: https://www.youtube.com/watch?v=svAINAEpL8U

25. 3.- APLICACIÓN DE LA DERIVADA. 3.I.- DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí.

26. 3.I.I.- EN LA ECONOMÍA. E s importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.

27. 3.I.I.- EN LA ECONOMÍA. Ejemplo: Dada la función de ingresos I(x) y costo C(x), determina el ingresos máximo y la utilidad máxima. I(x ) = 300x – x 2 C(x ) = x 2 + 40x + 80 X = número de piezas producidas o fabricadas. I(x) = 300x – x 2 para de mostrar analizaremos los siguientes valores Obtenemos la derivada cuando (0,150) y (15,300). I´(x) = 300 – 2x se iguala a cero 0 = 300 – 2x 300 = 2x X = 300 / 2 X = 150 piezas. https:// www.youtube.com/watch?v=CFsKW9mtQf0 https://www.youtube.com/watch?v=6SnjqZbFzZ8

28. 3.I.I.- EN LA ECONOMÍA. Por lo tanto se comprueba que x = 150 piezas es la producción máxima. Ahora encontraremos los ingresos: I(150) = 300x – x 2 I(x) = 300 (150) – (150) 2 I(x) = 45,000 – 22,500 I(x) = 45,000 – 22,500 I(150) = $ 22,500.00 En la producción de 150 piezas vamos a obtener $ 22,500.00 de ingresos máximos.

29. Ejemplo. Dada la función de ingresos I(x) y costo C(x), determina el ingresos máximo y la utilidad máxima. I(x) = 300x – x 2 C(x) = x 2 + 40x + 80 I(x ) = 300x – x 2 C(x ) = x 2 + 40x + 80 La función utilidad U(x) = I(x ) - C(x ) Determinar la función utilidad: U(x ) = ( 300x – x 2 ) – ( x 2 + 40x + 80 ) U(x ) = 300x – x 2 – x 2 - 40X - 80 U(x ) = 260X – 2X 2 - 80 RESTA DE DOS POLINOMIOS ELIMINO TÉRMINOS SEMEJANTES

30. Ejemplo. U(x) = 260X – 2X 2 – 80 Derivar U´( x) = 260 – 4 X – 0 aplicamos la segunda derivada de: Igualar a cero: U ´(x) = 260 – 4X 0 = 260 – 4x y obtenemos la segunda derivada: 260 = 4X U´´( x) = – 4 X = 260 / 4 por lo tanto si nuestra segunda derivada X = 65 (valor crítico) f´´(x) = ­< 0 en este instante existe un máximo Entonces en x = 65, existe un máximo LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO

31. Ejemplo. Por lo tanto U(65 ) = 260X – 2X 2 – 80 U(65) = 260 (65) – 2(65) 2 – 80 U(65) = 16,900 – 8,450 - 80 U(65) = 16,900 – 8,530 U(65) = 8,370 La utilidad máxima la obtenemos cuando producimos 65 piezas se obtienen $ 8,370.00 https://www.youtube.com/watch?v=PZgNfGQp_dQ https://www.youtube.com/watch?v=ciKmfuFsGqc

32. EJERCICIO NÚMERO 1 Dada la función de ingresos I(x) I(x) = 15,000x – x2 y costo C(x) C(x) = x2 + 400x + 2000 , determina el ingresos máximo y la utilidad máxima.

33. 3.I.2.- EN LA COMPUTACIÓN. Aplicado en: Fabricación de chips. Miniaturización de componentes internos. Administración de las compuertas de los circuitos integrados. Comprensión y digitalización de imágenes, sonidos y video. Aumento en la inteligencia artificial.

34. 3.I.3.- EN LAS CIENCIAS NATURALES. Estudian todo lo que existe ; todo el universo, todos los fenómenos naturales. Así , por ejemplo , los biólogos estudian a los seres vivos , los astrónomos a los cuerpos celestes y el espacio , los físicos estudian los cambios físicos de la materia (siempre que no alteren su composición química , por ejemplo , cuando la materia cambia de estado) como también el calor , la energía , la estática , la inercia , la gravedad , etcétera; los químicos estudian , en cambio, los cambios en la composición de la materia y sus transformaciones químicas , como también las fórmulas de los átomos , sustancias y moléculas ; y los geólogos estudian las rocas,los minerales y toda la formación de nuestro planeta , La Tierra.

35. 3.2.- ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y LA NORMAL. Una recta se dice que es tangente a una función en un punto cuando pasa por ese punto y su pendiente es f'(a). La recta normal a una función en un punto, por su parte, es la que pasa por dicho punto y tiene pendiente -1/f'(a). En azul, la recta tangente a la función f(x), en rojo, en x=a.

36. 3.3.- FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) < f(x2). Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) > f(x2).

37. 3.4.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN FUNCIONES. Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos ). Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

38. 3.5.- CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA. Primera derivada: Al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c . Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c  un punto crítico de una función f  que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c .

39. 3.5.- CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA. Segunda derivada: Para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c)  = 0,  f'(c)  debe ser un mínimo relativo de f . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c  , y  f'(c) = 0 debe ser un máximo relativo de f  . Teorema Sea f  una función tal que  f'(c) = 0  y la segunda derivada de f  existe en un intervalo abierto que contiene a c  1.

40. 3.6.- CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. El concepto de concavidad se utiliza para determinar si la gráfica de la función es de la forma cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si para los valores dados de intervalo, la doble derivada de la función es mayor o igual que 0, entonces el gráfico de la función será cóncavo hacia arriba, y cuando la doble derivada se convierte en menor que 0, entonces la forma de la gráfica será cóncava hacia abajo. Ahí se encuentra una posición en la cual el gráfico de la función cambia su forma de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o vice-versa. Estas posiciones, o más bien los puntos, son conocidos como puntos de inflexión. En estos puntos de inflexión, la doble derivada de la función se convierte en 0.

41. 4.- CALCULO DIFERENCIAL. 4.I.- CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Definición: Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a toda función: f R n → R Y llamaremos función vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función: f R n → R n En ambos casos se dice que f es una función de n variables

42. 4.2.- NOCIONES TOPOLÓGICAS EN R, R2 Y R3. Producto escalar En un espacio vectorial real, R n , se llama producto escalar a una aplicación de R n ´R n sobre R, que a cada par de vectores x, y de R n le hace corresponder un número real que se representa por x×y . Norma euclídea Se llama norma de un vector xÎ Rn a una aplicación de Rn sobre R, de forma que a x se le hace corresponder un escalar que se representa por , norma de x, debiendo cumplir dicha aplicación

43. 5.- ECUACIONES DEFERENCIALES (EDO) 5.I.- CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo distinguimos entre: Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus derivadas.

44. 5.I.- CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. TIPO DE ECUACIONES DIFERENCIALES: ** ORDINARIAS: que poseen derivadas con respecto a una sola variable independiente. Ecuación diferencial existe una variable independiente ** PARCIALES: que poseen derivadas con respecto a más de una variable independiente. No únicamente existe una variable independiente, si no que hay otra variable independiente, en este caso la variable z

45. 5.I.- CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. DE ACUERDO A SI ORDEN: ** PRIMER ORDEN: Lo determina la máxima derivada presente en la ecuación diferencial, en este caso la primer derivada representada por “ ´ ” ** SEGUNDO ORDEN: es la segunda derivada. ** TERCER ORDEN: es la tercera deriva. ** CUARTO ORDEN: es la cuarta derivada y así sucesivamente. https://www.youtube.com/watch?v=giuEYJhb5gU

46. EJECICIO NÚMERO 1: