Calculo diferencial con aplicaciones en fisica

Material didáctico para la
asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I
con aplicaciones a la Física

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Tesis de Licenciatura: Carrera de Física

2009

Matilde Yukie Suzuki Hayakawa

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ÍÍ N D I C E N D I C E

RESUMEN 1
MARCO TEÓRICO 3
PROPÓSITOS 11
SECUENCIAS DIDÁCTICAS 13
1. LA PELOTA ELECTRÓNICA 14
2. LA CARRERA DE LOS 100 METROS 24
3. TIEMPO DE VUELO 37
4. SENTIDOS CONTRARIOS 49
ANEXO 1 62
BIBLIOGRAFÍA 63
RECOMENDACIÓN 66

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3
Resumen Este material está constituido por cuatro secuencias didácticas, una para cada
unidad del programa actual de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I de la
Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades.
Cada secuencia tiene el propósito de presentar un problema motivador en
el área de la física que involucre el uso de los conceptos que se incluyen en el
curso de cálculo diferencial, con el propósito de detectar qué conceptos y qué
preconcepciones tienen los estudiantes al tratar de dar solución al problema. La
intención es que, con estas secuencias, los estudiantes logren reconocer y eliminar
sus conceptos erróneos (y/o preconcepciones), y sustituirlos por los correctos a
través de la discusión en equipos, para posteriormente, realizar una discusión
grupal que busque detectar las concepciones distintas y tratará de acordar cuáles
son las correctas.
En cada secuencia se presenta un experimento sencillo que no requiere de
material especial o de trasladarse a un laboratorio, cuyo propósito es detectar si
los conceptos usados por los alumnos para explicarlo son correctos. También se
utilizan herramientas computacionales para facilitar el manejo y la presentación de
la información. Mediante estas actividades de aprendizaje, se pretende que los
estudiantes reconozcan si sus conceptos son adecuados para explicar y resolver el
problema, o bien sus ideas previas resultan inadecuadas o insuficientes. Además,
se pretende que esta experiencia de aprendizaje les sirva como método para
abordar otros aprendizajes y motivarlos en los temas de física y de cálculo.
Antes de presentar el problema motivador, se debe hacer explícito a los
estudiantes, qué se pretende con el tema o la actividad, en ocasiones esto implica
hacer una revisión de los conceptos durante la actividad -en ambas disciplinas-
que se presume que los estudiantes no tienen claros.

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Cada secuencia va acompañada de una serie de preguntas y problemas
para reforzar lo que se pretende en ella. También se plantean ejercicios para que
el profesor pueda discutir y elaborar los conceptos con los estudiantes,
dependiendo de los temas que pretenda cubrir.
Este material didáctico para la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I
con aplicaciones en Física, está de acuerdo con el programa actual de la
asignatura y ha sido probado en varios grupos de estudiantes del CCH Sur, con
base en la didáctica de resolución de problemas.
Las secuencias didácticas ya se encuentran en la plataforma del Proyecto
H@bitat Puma, http://www.habitat.unam.mx , puesto en marcha recientemente
por la DGSCA, que surge de una de las líneas del Plan de Desarrollo de la Rectoría,
para incrementar los conocimientos y habilidades de los estudiantes de la UNAM, a
fin de que utilicen en forma eficiente y segura, las tecnologías de la información y
comunicación (TIC) en su desarrollo académico y profesional y también están a
disposición de profesores de todos los planteles de la Escuela Nacional Colegio de
Ciencias y Humanidades y Escuela Nacional Preparatoria, ya que el proyecto se
inició por el Bachillerato.

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Marco teórico

La forma en que los estudiantes de ciencias se apropian del conocimiento ha sido
investigada por diversas corrientes y se han obtenido diferentes resultados, como
es el caso del aprendizaje por descubrimiento o el inductismo que permite una
concepción sistematizada de la naturaleza por medio de la metodología científica y
los obstáculos que pueden surgir por las preconcepciones que tienen los alumnos.
Las preconcepciones en los estudiantes
Las preconcepciones son prejuicios muy arraigados en la mente de los
estudiantes y tal vez hasta en la conciencia colectiva. En particular, en física, por
ejemplo, los estudiantes creen a pie juntillas que "es necesaria una fuerza para
mantener el movimiento". Una preconcepción en biología sería: "si dejas basura se
crearán moscas". Una preconcepción en matemáticas sería: "la raíz cuadrada de
una suma es igual a la suma de las raíces cuadradas de cada sumando".
Es muy difícil eliminar las preconcepciones. Resulta más sencillo sustituir un
concepto por otro. Algunas preconcepciones se deben al estado de desarrollo de la
mente: si se le presenta a un niño una palangana que contiene agua y en su
presencia se deposita el agua en una botella delgada, su respuesta a la pregunta
¿en cuál de los dos casos hay más agua?, variará dependiendo de cuál de las
dimensiones (altura o anchura) tiene preferencia en la atención del niño. La
noción de conservación aparece normalmente después de los siete años.
Si a un adolescente se le da un pedazo de plastilina de forma ovalada,
aplastada y se le pregunta: ¿qué pasará si lo ponemos en una cubeta con agua?
Por lo regular la respuesta es: se hundirá, lo hacemos y se hunde. Ahora
rescatamos la plastilina y le damos la forma de una lanchita, la pregunta es: ¿y
ahora que pasará? Si existe un preconcepto, la persona dirá: ¡pues lo mismo!
Ponemos la lanchita de plastilina sobre el agua y...¡flota! ¿qué ocurrió con la

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predicción?, ¿en qué se basaba?, ¿qué nueva noción sustituirá a la anterior?, como
sabemos esta sustitución no es automática, porque la prenoción es persistente.
En las investigaciones se observa que el lograr conocimientos no es un acto
de ir agregando hechos a un recipiente o una mera copia mental de la realidad, en
donde el sujeto pueda jugar un papel totalmente pasivo. Por el contrario, el
individuo tiene, al enfrentarse a un nuevo problema, que construir, reconstruir o
generar su conocimiento.
La importancia de analizar las preconcepciones de los estudiantes radica en
que: no sólo influyen en sus interpretaciones de los fenómenos y las explicaciones
que dan a los mismos, sino que determinan la dirección de su observación,
focalizan su atención, orientan los experimentos que realizan y condicionan la
adquisición de sus conocimientos.
Es necesario aclarar que en ocasiones los estudiantes dan respuestas
incorrectas en base a su experiencia cotidiana y su capacidad de observación,
desde su perspectiva están facilitando una respuesta correcta, esto es, las
respuestas no son correctas desde el punto de vista científico pero desde la
perspectiva de la experiencia y el conocimiento cotidiano del alumno sí son
correctas.
A estas ideas, también llamadas "ideas de los alumnos", concepciones
erróneas, concepciones alternativas, y en inglés misconceptions, que podrían
deberse a la tendencia del ser humano a ser subjetivo, es lo que llamamos
preconcepciones. Las preconcepciones se contraponen o discrepan de la
explicación científica, su atractivo radica en que no son ilógicas y, en ocasiones,
están basadas en representaciones alternativas que cumplen una función útil en el
procesamiento cotidiano de la información (Carretero, 1996).
Mantener prenociones o representaciones incorrectas, impide la
comprensión de la mayor parte de los contenidos escolares, sin obstaculizar la
comprensión en otros. Parte de la investigación sobre las preconcepciones está

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enfocada a identificar los conceptos centrales así como los básicos dentro de un
dominio, que dificultan la adquisición de conocimientos más específicos. Este tipo
de investigación es muy útil y permite definir una secuencia de contenidos para
mejorar la comprensión del estudiante.
Las preconcepciones son muy resistentes y, consecuentemente, difíciles de
modificar (White y Gunstone, 1989; Pozo y Carretero, 1992; Fetherstonehaugh y
Treagust, 1992; Duit, 1994). Aquellas ideas que son centrales dentro del modelo
explicativo del estudiante son también las más difíciles de cambiar o sustituir. A
este tipo de ideas se refieren Chinn y Brewer (1993) como "creencias
atrincheradas". Si uno no dispone de un cierto nivel de conocimiento, difícilmente
puede entender los argumentos presentados para promover el cambio.
La afectividad, la motivación y las emociones.
Asimismo, los factores motivacionales juegan un papel muy importante: si el
estudiante no tiene interés en el contenido que está aprendiendo, resultará casi
imposible que modifique sus ideas sobre los conceptos erróneos. (Carretero, 1997)
Por ello es necesario reconocer que las emociones juegan un papel
fundamental en la orientación de nuestras funciones cognoscitivas:
“…la afectividad representa la energética de la conducta cuya estructura
define las funciones cognitivas… las relaciones entre afectividad y cognición son
funcionales” (Piaget, 1954).
Cuándo se produce el aprendizaje?
La perspectiva constructivista sugiere que más que extraer conocimientos
de la realidad, la realidad se va representando en la medida que la construimos. Si
hay acuerdo, decimos que comprendemos; en caso contrario intentamos con
nuevas construcciones o abandonamos la situación como “carente de sentido”.
El aprendizaje es significativo, desde el punto de vista constructivista,
cuando hay acuerdo entre nuestras experiencias y nuestras concepciones. El
María Teresa Velázq…, 21/6/09 10:03 AM
María Teresa Velázq…, 21/6/09 10:03 AM
Comment: ¿
Comment:

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aprendizaje es siempre funcional, a mayor grado de significatividad y
funcionalidad, cobran mayor sentido sus componentes procedimentales,
actitudinales y conceptuales.
Al parecer, el aprendizaje se produce cuando se establecen relaciones
sustantivas y no arbitrarias entre el conocimiento como parte previa de la
estructura cognoscitiva del estudiante y el nuevo contenido de aprendizaje, cuando
la distancia entre lo que se sabe y lo que se tiene que aprender es adecuada,
entonces el nuevo contenido tiene una estructura adecuada y el estudiante
presenta cierta disposición, el aprendizaje es significativo y está de acuerdo con la
adopción de un enfoque profundo (Ausubel, Novak y Hanesian, 1983); cuando no
se presentan estas condiciones se presenta un aprendizaje mecánico y fácilmente
sometido al olvido.
La disposición del estudiante a establecer vínculos entre los conocimientos
previos y los nuevos contenidos es una condición para que se desencadene el
proceso de aprendizaje, no basta que se encuentren ante contenidos para
aprender, es necesario que puedan actualizar sus esquemas de conocimiento,
contrastarlos con lo que es nuevo, identificar similitudes y discrepancias para
integrarlos en sus esquemas, pero esto no siempre es posible, también depende
de las capacidades cognitivas de que dispone el estudiante para dicho aprendizaje.
Se hace necesaria la intervención pedagógica como una ayuda al proceso de
construcción del estudiante, que va creando zonas de desarrollo próximo y ayudar
a los estudiantes a recorrerlas (Vigotsky, 1979).
Debe existir una disposición para convertir el aprendizaje en significativo, en
este proceso intervienen, junto con las capacidades cognitivas, el equilibrio
personal, la relación interpersonal y de inserción social, siendo relevantes para los
nuevos contenidos y los resultados que se obtendrán.
En suma, el aprendizaje significativo no se realizará convenientemente si no
existe una actitud favorable hacia el objeto de aprendizaje lo que dará sentido a lo

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que se aprende cuando esos conocimientos se consideren necesarios o de interés,
la motivación está relacionada con el aprendizaje. (Zabala, A. y Arnau, L., 2008).
Las habilidades para aprender a aprender son estrategias cognitivas
nucleares de cualquier actuación competente: planificar, identificar, aplicar,
controlar, evaluar y transferir, esta es la materia esencial por aprender en el CCH.
Queda claro que los profesores debemos procurar, ofrecerle problemas o
situaciones de aprendizaje adecuados, i.e., aquellos que produzcan un cambio
conceptual en los estudiantes para que su aprendizaje sea realmente significativo.
La evaluación
Si se quiere conseguir un cambio conceptual de las preconcepciones acorde
con las teorías científicas, se propone que también se modifique la evaluación para
orientarla a observar si se dio el cambio y en qué medida. No se intenta sólo
cambiar los exámenes y controles, ya que es necesaria una nueva actitud del
profesorado ante las decisiones a tomar relacionadas con la evaluación. Así, la
evaluación ya no debería ser vista como el proceso en el que se juzga a los
estudiantes por los resultados alcanzados. Será necesario valorar los materiales
empleados y el método utilizado, incluyendo el papel jugado por el mismo
profesor. En este sentido conviene no identificar evaluación con examen.
La evaluación supone un juicio de valor sobre el proceso enseñanza-
aprendizaje en su conjunto o sobre un aspecto parcial del mismo, mientras que un
examen no es más que un instrumento de medición de logros específicos. El
profesor debería contar también con varios mecanismos para allegarse información
y cuando las clases se desarrollan con participación real de los estudiantes, se
puede extraer una gran cantidad de datos a partir de las intervenciones de los
estudiantes.
Mediante la evaluación continua es posible detectar cómo se van
modificando las preconcepciones o si éstas permanecen inalteradas, valorando
todo el proceso de adquisición de conocimientos y no sólo los resultados que los

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estudiantes dan ante un problema. Al mismo tiempo, es posible comprobar si la
actividad propuesta es o no adecuada para lo que se pretende lograr con ella. Con
este enfoque las sesiones en clase pierden mucho de su rutina y se convierten en
algo vivo, en una pequeña investigación y aventura diaria aunque, eso sí, exigen
un esfuerzo mayor.
Cómo evaluar
Osborne y Wittrock (1983) sugieren algunas formas que podrían hacer de
esta tarea algo más que un buen deseo.
a) Se debe hacer explícito a los estudiantes, qué se pretende con el tema o
la actividad, de manera que puedan reconstruir por sí mismos el problema que ha
de ser resuelto o la tarea de aprendizaje de la que se trate.
b) El facilitador debe alentar a los estudiantes a que se hagan preguntas a
ellos mismos y a los demás, buscando siempre el por qué de las cosas; desarrollar
las destrezas interrogativas de los estudiantes es una tarea de la máxima
importancia para la educación científica.
c) El facilitador debe animar a sus estudiantes a que asuman la
responsabilidad de su propio aprendizaje, inculcarles la idea de que el éxito o el
fracaso, al dar sentido a su experiencia o para comprender las ideas de los demás,
depende de su propia actividad.
d) Elegir problemas, cuestiones o actividades que sean de interés genuino
para los estudiantes.
e) El facilitador debe asegurarse de que los estudiantes que hacen un
esfuerzo se encuentran con el éxito y que éste se perciba, en gran medida, como
consecuencia de sus propios méritos.
En clase lo más adecuado es el que Arons llama “diálogo socrático”. Se
propone una situación que debe ser analizada por los alumnos dispuestos en
pequeños grupos en donde se da una primera discusión, luego intervienen todos

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los grupos, se debe fomentar un ambiente distendido, de manera que los alumnos
se expresen libremente, no temiendo que sus ideas puedan ser ridiculizadas o
tomadas en cuenta negativamente por parte del profesor.
La clase se transforma en activa
Estos diálogos permiten transformar una metodología expositiva y pasiva en
una metodología activa para alumnos y profesor, siendo esto mucho más
motivante y satisfactorio que la rutina en la que a veces se convierte la tarea
docente. El conocimiento por parte del profesor del tipo de ideas que los alumnos
expresarán, debe servirle para preparar las actividades a desarrollar en la clase,
dado que los alumnos no son conscientes de cuáles son los esquemas que ellos
utilizan para analizar fenómenos y el primer paso a dar debe ser el que se den
cuenta de cuáles son sus propias ideas.
El diálogo socrático se refiere a Sócrates como un conductor del diálogo,
que intenta llevar a su interlocutor a traves de preguntas y de referencias sobre
contradicciones y confusiones (productivas) hacia el verdadero conocimiento, con
este método, él renuncia a una instrucción directa. Esta práctica supone que el
estudiante dispone de los conocimientos esenciales, sin que él esté consciente de
ellos, que él recuerda ese saber en la situación de diálogo, toma conciencia de ese
saber, (Schiefelbein, 1985).
Lo ideal es realizarlo entre el profesor y el estudiante, el profesor trata de
hacer preguntas en relación a un problema en particular, y promueve a que el
estudiante se cuestione y trate de resolver el problema planteado, pero ante la
imposibilidad de realizar esto en un grupo de 40 a 60 alumnos, el diálogo se realiza
con los estudiantes en pequeños grupos, expresan sus propias experiencias y
pensamientos, los diálogos pueden facilitar los conocimientos de aclaración (de
conceptos o ideas) pero también contribuir a la solución de problemas y después
en una discusión grupal se llegan a acuerdos entre todos, el facilitador y los

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estudiantes y se reafirma con una experiencia física o visual con ayuda de la
tecnología.

¿A qué edad se deben combatir las preconcepciones?
El problema de la edad es crítico. Si combatimos las preconcepciones a una
edad demasiado temprana se tienen problema asociados con el limitado desarrollo
intelectual. Si se hace demasiado tarde, las ideas pueden osificarse y ser más
reticentes al cambio. Son necesarias investigaciones que nos provean los datos
suficientes para decidir la edad más conveniente para introducir los diferentes
conceptos, lo que significa que los diseñadores de currículum no sólo necesitan
saber de la materia a enseñar, sino del modo que se produce aprendizaje.
El proceso de enseñanza aprendizaje se desarrolla a lo largo de etapas
delimitadas por edades y contenidos, que comienzan en preescolar y culminan en
la Universidad o Postgrado. Estas etapas están en estrecha relación con el
desarrollo cognitivo de los estudiantes, y para poder hacer estudios, dar ideas,
aportaciones y reflexiones didácticas, es importante situar la etapa cognitiva en la
que se encuentran los estudiantes.

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Propósitos de las secuencias didácticas

• Que los estudiantes que cursan la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I
y Física III lleguen a estar tan motivados e interesados en los conceptos clave de
estas asignaturas, que decidan continuar sus estudios, de preferencia, en el área
físico-matemática.

• A partir del reconocimiento de los estudiantes, respecto a sus preconcepciones
(obstáculos epistemológicos), hacer con ellos un esfuerzo consciente y reflexivo
por sustituir las ideas erróneas que tienen en algunos conceptos físicos y
matemáticos, por las correctas, mediante las experiencias de aprendizaje
propuestas y la continua revisión de los conceptos involucrados en el tema, al
trabajar con los problemas que se proponen.

• Con este enfoque de aplicaciones a la física en cálculo, se pretende que los
estudiantes se apropien de un método de estudio para estas disciplinas y los
conceptos correctos disminuyendo el índice de reprobación y de rechazo de las
asignaturas de cálculo y física.

• Establecer una comunicación y colaboración efectiva con los profesores de las
diferentes facultades (en particular de Ciencias e Ingeniería) para analizar las
fortalezas y las debilidades que llevan los egresados en cuanto a las asignaturas
de cálculo y física.

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Para lograr estos propósitos, se sugiere:

- Presentar problemas físicos generadores, motivadores e interesantes, en forma
de secuencias didácticas, al inicio de cada unidad, o al inicio de cada clase, de
manera que se pueda detectar si los estudiantes tienen buenas bases respecto a
los conceptos físicos y matemáticos aprendidos o son erróneos y en una discusión
grupal se trata de dar solución al problema generador.
- Detectar las preconcepciones, al hacer una indagación de los conceptos físicos
que traen los estudiantes, especialmente al discutir el problema generador con
ellos; mediante fichas de trabajo.
- Realizar las observaciones pertinentes a cada estudiante, para que éste sustituya
su preconcepto por el concepto correcto, que comprobará a partir de nuevas
experiencias, hasta que los conceptos erróneos se reconozcan como inadecuados
para resolver el problema generador de la secuencia didáctica.
- Definir lo más claramente posible cada palabra o concepto involucrado en el
problema, para evitar al máximo la confusión de conceptos. Para el profesor
puede resultar natural que los estudiantes ya comprendan, por ejemplo, lo que es
posición, espacio recorrido, desplazamiento, distancia, cambio de posición,
rapidez, velocidad, etc. y, en la práctica, muy pocos estudiantes tienen claridad en
estos conceptos.
- Ofrecer asesorías de la asignatura de Cálculo regularmente, discutir los temas
que se consideran más relevantes, proponer problemas físicos relacionados con
los conceptos de razón de cambio, caída libre, movimiento uniforme y
uniformemente acelerado, optimización, etc.
- Hacer recapitulaciones frecuentes y la evaluación continua presentada arriba.

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Secuencias didácticas

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Título:
1) “La pelota electrónica”

Ubicación en el curso:

Unidad I. Procesos infinitos y la noción de límite.

El inicio del curso está dedicado a explorar, mediante el tratamiento tabular y gráfico, varios ejemplos de
situaciones en las que intervienen procesos infinitos para que a través del reconocimiento de patrones, el
estudiante pueda describir su comportamiento, empiece a construir para sí el significado del concepto de
límite, comprenda y se familiarice con su notación. Los procesos infinitos constituyen uno de los ejes
temáticos, por lo que se retoman paulatinamente en el estudio de la derivada y posteriormente en el de
la integral, en el siguiente semestre.

Propósitos:
Que el estudiante:
– comprenda por medio del material sugerido, cómo se generan las series geométricas y si existe un
valor límite.
– logre expresar con sus palabras los conceptos de límite y de infinito.
– sustituya sus preconcepciones, si las tiene por los conceptos correctos a partir de la resolución de los
problemas y ejercicios sugeridos, la discusión grupal y las nuevas experiencias que se presenten.

Aprendizajes:
El estudiante:
– reconoce y expresa las características de los procesos infinitos utilizando explicaciones verbales
consecuentes.
– reconoce un proceso como una acción o serie de acciones que conducen a un resultado.
– dados dos o más procesos, distingue los procesos infinitos de los que no lo son.

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– utiliza sus conocimientos previos y procedimientos alternos para decidir si el problema del rebote de la
pelota es un proceso infinito y si el valor de la distancia recorrida por la pelota converge o no, tanto
desde el enfoque de la física así como del enfoque matemático.
– identifica un proceso como infinito siempre que sea posible continuar con el procedimiento hasta hallar
un resultado tan aproximado como se desee.
– identifica aquellos procesos infinitos que tienen un resultado límite (convergen) de los que no lo tienen
y es capaz de hallar dicho límite.

Estrategias de enseñanza:

– Se pretende que el estudiante descubra que el problema del rebote de la pelota, matemáticamente, es
un proceso en el que es posible determinar un resultado aproximado, que comprenda que desde el
punto de vista de la física, no puede ser posible el rebote infinito de la pelota (ya sea porque los choques
son inelásticos, o porque no se puede distinguir o medir los rebotes al llegar a las distancias moleculares
o atómicas, por la resistencia del aire, etc.).
– Plantear problemas y ejercicios que permitan al estudiante aplicar el conocimiento o concepto
adquirido o bien a encontrar procedimientos, patrones numéricos, geométricos o simbólicos.
– Pedirles explícitamente a los estudiantes que reflexionen acerca del método y la solución que
emplearon al resolver el problema del rebote de la pelota y qué conceptos lo hicieron posible.
– Buscar que los estudiantes concluyan que una serie y una sucesión permiten modelar, representar o
expresar de forma simbólica diferentes tipos de procesos infinitos.
– Recapitular y revisar los conceptos que recién se han descubierto, comprobar que el estudiante tiene
claridad en los conceptos involucrados en el tema.
– Pedirles que hagan un ejercicio de autoevaluación que incluya el material propuesto y la asesoría
brindada.

Introducción:

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Los procesos infinitos que pueden ser modelados como series o sucesiones pueden servir para abordar
las ideas de límite y convergencia, ambos son conceptos que suelen presentar diversas dificultades para
el aprendizaje.
El principal problema, desde el punto de vista epistemológico, es que el concepto de infinito no se
puede extraer a partir de las experiencias sensoriales; es un concepto que requiere ser elaborado
mentalmente, y que a menudo contradice al sentido común. Todo esto dificulta la apropiación del
concepto por parte del estudiante, ya que puede no darse la conexión entre el conocimiento formal y
el intuitivo (Sacristán, 1988).
El concepto aristotélico de infinito es una noción que dominó en la historia hasta la época
cantoriana. En una palabra, la noción actual de infinito es contraintuitiva (Garbin y Azcárate, 2001).
Galileo abordó el tema del infinito exponiendo sus puntos de vista, con extrema cautela, en Discorsi
e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), al respecto escribió:
"Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con
infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su
magnitud, los últimos debido a su pequeñez. A pesar de esto, los hombres no pueden abstenerse de
discutirlos, incluso aunque deba hacerse de forma indirecta"
Lo infinito está presente en casi todo el quehacer matemático. El enfrentamiento con el infinito ha
sido también una fuente de fecundidad en el pensamiento matemático.

Metodología:

Se sugiere que antes de llevar a cabo la actividad, el profesor conteste la ficha de trabajo.
Las respuestas, definiciones de conceptos, experimentos sugeridos y ligas a Internet se le
pueden enviar si lo solicita vía Internet, a la siguiente dirección [email protected]
El facilitador, con anterioridad a la sesión de trabajo, les envía a los estudiantes por correo
electrónico en formato pdf, la ficha de trabajo, que consiste en un problema generador, preguntas y
ejercicios que auxiliarán al estudiante a resolver el problema principal, para la discusión grupal. Los
estudiantes deberán imprimirla para contestarla en clase.
La manera sugerida de trabajar con la secuencia didáctica es formar equipos de 2, 3 ó 4
estudiantes en donde se realiza la primera discusión en relación a la ficha de trabajo y se les pide que
cada integrante escriba las ideas que expresó para abordar o resolver el problema y conteste las

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preguntas correspondientes individualmente, aunque los demás integrantes estén o no de acuerdo con
esas ideas.
La idea principal es que los estudiantes den una solución al problema inicial, si el facilitador
descubre que no pueden dar una solución al problema, les sugiere que contesten las preguntas y
ejercicios siguientes y que después de eso, retomen el problema inicial.
En una plenaria se analizarán todas las respuestas de los equipos, haciendo énfasis cuando los
estudiantes expresen respuestas correctas, cada equipo expresa las ideas que se aceptaron y las que se
rechazaron, y se discute por qué ciertas ideas o estrategias no funcionaron para abordar o resolver el
problema.
El facilitador adaptará los tiempos y la discusión de la secuencia para promover la participación y la
discusión para que los estudiantes se apropien de los conceptos y los hagan suyos, o bien aparezca
claramente el conflicto entre sus creencias o preconcepciones actuales y la solución al problema.
Se retoma el tema para ver si con la discusión grupal cambiaron sus preconcepciones, y para
examinar los métodos empleados y los resultados obtenidos, se presenta un experimento sencillo que no
requiere de material especial o de trasladarse a un laboratorio para examinar si los conceptos son
correctos, y en su caso, se hace una presentación con algunos de los ejercicios utilizando una
computadora y un "cañón", las imágenes hacen evidente que los conceptos erróneos se deben cambiar
ante la experiencia. Mediante estas actividades de aprendizaje, se pretende que los estudiantes se
tornen capaces de reconocer que sus ideas previas resultan inadecuadas o insuficientes para resolver el
problema.
En otra evaluación, ya sea por bitácora COL (Comprensión Ordenada del Lenguaje) o por examen
rápido, se retoma el tema y se observa si hubo un cambio en las preconcepciones de los estudiantes.
Es claro que cada grupo de estudiantes es diferente de otros, así que en algunos grupos puede
resultar que las cuestiones de la secuencia utilizada no generen una gran discusión, o bien que el tiempo
planeado para la actividad resulte insuficiente, así que el facilitador tiene que decidir cuántas y cuáles
preguntas o ejercicios son los que mejor se adaptan para que el desarrollo de la clase sea adecuado y en
caso necesario utilizar 2 ó 3 sesiones más para poder lograr los propósitos de la actividad. Y cada
experiencia en cada grupo hará que el facilitador busque mejorar los ejercicios y preguntas para que se
obtenga el mayor provecho de la secuencia didáctica. Así que las preguntas y ejercicios que se proponen
pueden seguirse en ese orden o bien eliminar o aumentar los que se consideren necesarios.
Evaluación. Los resultados de las respuestas de los estudiantes se concentran en una tabla de
datos, observando el porcentaje de estudiantes que contestan correctamente y el porcentaje de los que

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contestan incorrectamente para analizar en qué medida se observan cambios en las preconcepciones de
los estudiantes.

Conceptos clave:

Límite, infinito, serie, sucesión, razón (cociente).

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Ficha de trabajo 1. La pelota electrónica.
Problema motivador o situación a resolver:

Hace tiempo comenzaron a salir a la venta una serie de juguetes muy llamativos, con mucha tecnología
e increíblemente baratos, pero había uno de ellos que llamaba la atención: se trataba de una pelota con
una serie de luces que prendían y apagaban sincronizadamente y más notable era que la pelota,
rebotaba justo a la mitad de la altura de la que se dejaba caer y en cada rebote hacía lo mismo, hasta
que se quedaba vibrando imperceptiblemente.

*1. Si se deja caer la pelota desde una altura h, sobre una superficie horizontal, cada vez que la
pelota llega al suelo, rebota hasta una altura .
a) Se deja caer desde una altura de 2 metros, ¿será posible calcular la distancia total recorrida por
la pelota?, si es así ¿qué distancia recorre?, si se considera que no es posible, explica el por qué:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) ¿Es posible determinar cuántos rebotes hará la pelota?, explica tu respuesta: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) ¿Físicamente el problema del rebote infinito de la pelota es posible? ____________; ¿por qué sí?
o ¿por qué no?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Construye una gráfica que represente el movimiento de la pelota, discutan en el equipo, cuáles
son las variables que utilizarán en cada eje. Consideren que la pelota se mueve sobre una línea vertical.

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e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen, por escrito, los diferentes puntos de vista.

* El ejercicio 1 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de Garbin Dall’Alba, Sabrina ¿Cómo
piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito?

Aspectos matemáticos involucrados en el problema:

2. Expresa la mitad de un número ___________, el triple de un número ___________, la cuarta
parte de un número __________, la mitad de la mitad de un número __________, la mitad de la tercera
parte de un número ___________.

a) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista.

3. Define con tus propias palabras, de la manera más completa y clara posible los conceptos de
razón _______________________________________________________________________
sucesión _______________________________________________________________________
serie _______________________________________________________________________
infinito _______________________________________________________________________
límite _______________________________________________________________________

4. Una suma infinita de términos, ¿puede tener un valor finito? o es una cantidad infinita
indeterminable, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. ¿Contar los pelos de un gato constituye un proceso infinito?, explica la razón:

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______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Contar las estrellas de la Vía Láctea es un proceso infinito?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Se tienen dos segmentos, AB = [0, 1] y CD = [0, 4], ¿cuál segmento tiene más puntos?,
explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ **8. Un cuadrado de lado 1 se divide a la mitad, una de las mitades se divide otra vez a la mitad y
así sucesivamente, al sumar las áreas de todos los cuadrados y rectángulos que se van obteniendo,

a) ¿Cuál es el área que se obtiene?, ¿por qué?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) ¿Cuáles son los términos que se tienen que sumar?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Construye un dibujo para que puedas visualizar lo que se pregunta.

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d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista. Regresa al problema inicial y
averigua qué es lo que se pregunta.
** El ejercicio 8 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de The geometric series in
Calculus.

9. Tres personas dividen una manzana como sigue: la dividen en cuatro partes iguales y cada una
toma una cuarta parte, la parte que sobra, la dividen en cuatro partes iguales y cada persona toma la
cuarta parte de la cuarta parte y la parte que sobra la vuelven a partir en cuatro partes iguales y así
sucesivamente,

a) ¿A qué valor tiende lo que obtiene cada persona del total de la manzana?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) ¿Es un proceso infinito?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Y si la manzana se reparte entre dos personas y se parte en tercios, ¿a qué valor tiende lo que
obtiene cada persona? ¿por qué?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

d) ¿Y si se reparte entre una persona y la manzana se parte a la mitad? ¿puedes dar una
generalización del reparto de una manzana entre un número n de personas?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista. Regresen al problema inicial y
averigüen qué es lo que se pregunta y si todos están de acuerdo con las respuestas que se dieron o hay
que hacer alguna modificación.

f) Desde tu punto de vista, ¿quién de los integrantes del equipo, crees que aportó las respuestas
más acertadas o el que aportó más al equipo para llegar a una conclusión?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
g) ¿Qué fue lo que más te gustó de la actividad?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
h) ¿Qué sugieres para mejorar la actividad y/o la ficha de trabajo?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ i) ¿Qué aprendiste? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bibliografía para ”La pelota electrónica”:

27

1. Garbin Dall’Alba, Sabrina., 2005. ¿Cómo piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito?.
La influencia de los modelos, las representaciones y los lenguajes matemáticos.
Revista oficial del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, A. C.
Recuperado el 16 de junio, 2006. Vol. 8, Núm 2. pp. 169-193.
Las ideas, resultados y reflexiones que desarrollan, son producto de estudios y parte de investigaciones que han
pretendido contribuir con el debate de la problemática del infinito matemático sobre las percepciones del infinito y
de las inconsistencias e incoherencias de las respuestas de los estudiantes a problemas en los que están presentes
los procesos infinitos.

2. Mochón, Simón, 1994. Quiero entender el Cálculo.
Grupo editorial Iberoamérica ISBN 970-625-051-4, pp. 71 -102
En este libro se presenta un enfoque diferente del Cálculo Diferencial, basado en la intuición y la formación de
conceptos alrededor de situaciones concretas.

3. Sacristán, Ana Isabel, Simón, 1988. Espirales y fractales: visualización y estudio de
sucesiones infinitas. Actualizada el 22 de febrero de 1999.
Recuperado el 16 de junio, 2006 de http://www.matedu.cinvestav.mx/asacristan.html
IX Seminario Nacional. Microcomputadoras en la Educación Matemática.
Se trata el concepto del infinito y de los procesos infinitos, ideas fundamentales para el Cálculo, y que han
mostrado ser fuente de muchas dificultades tradicionalmente confinadas a ser estudiadas desde perspectivas
algebraico-simbólicas.

4. Andrews, George E., 1998. The geometric series in Calculus. Recuperado el 21 de agosto, 2008
de http://www.jstor.org/stable/2589524 pp 39.

5. O'Connor, J., Robertson, E. History of Mathematics.
Recuperado el 16 de junio, 2006 de http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php

6. La permanente conexión de la matemática con el pensamiento filosófico.
Recuperado el 16 de junio, 2006 de

28
http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/impactos/04filo.htm

Bibliografía de referencia:

7. Garbin, S y Azcárate, C, 2001. El concepto del infinito actual: Una investigación acerca de las
incoherencias que se evidencian en alumnos de bachillerato. Suma, 38. pp. 53 - 67.

8. Tirosh, D, 1990. Inconsistencies in students'mathematical constructs.
Focus on Learning Problems in Mathematics, 12. pp. 111 - 129.

9. Fischbein, E., 1982. Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 2 – 3 (48), pp.
309 – 329.

29
Título:
2) “La carrera de los 100 metros”

Ubicación en el curso:

Unidad II. La derivada. Estudio de la variación y la razón de cambio

En esta unidad se inicia el estudio de la derivada a partir del análisis de la variación de funciones
polinomiales, enfatizando el significado de razón de cambio. Mediante un proceso infinito ligado al
cociente de Fermat, se llega a la derivada como la función que proporciona la razón de cambio
instantánea. La intención de presentar la construcción de la derivada con funciones lineales, cuadráticas
y cúbicas, no solo radica en que éstas son más sencillas y más conocidas por los estudiantes, sino que a
la vez, permiten avanzar en el estudio de la variación y del análisis gráfico. Así en la función lineal,
sobresale la invariabilidad de la pendiente (asociada a la razón de cambio) y el por qué su derivada es
una función constante; en la cuadrática, la segunda variación permite analizar la concavidad; la cúbica
se presta para estudiar los cambios de concavidad vinculados con la existencia de puntos de inflexión.

Propósitos:

Que el estudiante:

– analice la variación y la razón de cambio, mediante el movimiento de un corredor que se desplaza en
línea recta, ya estudiado en las clases de Física I.
– reafirme los conceptos de posición, desplazamiento, espacio recorrido, trayectoria, rapidez,
aceleración, al realizar un análisis del movimiento lineal de un corredor.
– comprenda el significado de cada representación y pueda hacer una descripción verbal de lo que
ocurre con el cuerpo, dadas las representaciones gráficas del movimiento del mismo, como son posición-
tiempo, rapidez-tiempo y aceleración-tiempo.
– comprenda el significado de la rapidez como una razón de cambio instantánea, es decir como la
derivada, definida como la pendiente de la recta tangente en un punto, en una representación posición-
tiempo.

30
– reconozca que la gráfica no siempre representa la trayectoria del cuerpo, depende de las variables
que se estén comparando.
– comprenda el significado de la aceleración como una razón de razones de cambio, es decir, como la
derivada de la rapidez, o bien, la segunda derivada de la posición, definida como la pendiente de la recta
tangente en un punto, en una representación rapidez-tiempo.

Aprendizajes:

El estudiante:
– explica el significado de la pendiente de una función lineal en el contexto del problema del corredor y
da una interpretación física a la pendiente.
– elabora una tabla, realiza la gráfica y construye una expresión algebraica asociada al problema del
movimiento del objeto.
– identifica que una función lineal tiene variación constante, en intervalos de igual tamaño.
– identifica que si una función es cuadrática, el cambio del cambio es una constante.
– calcula la razón de cambio de una función polinomial, y la interpreta como un límite y
geométricamente como el proceso de convertir una recta secante en una recta tangente a una curva.

Estrategias de enseñanza:

– Con el movimiento de un objeto en una trayectoria rectilínea con rapidez uniforme, se revisará el
significado de la pendiente en una gráfica posición contra tiempo.
– Con el movimiento de un objeto en una trayectoria rectilínea con aceleración constante, se
compararán los diferentes valores de las pendientes, en una gráfica posición contra tiempo,
relacionándolas con la rapidez que lleva el cuerpo.
– Se establecerá la diferencia entre rapidez promedio e instantánea, al mismo tiempo que se revisa el
límite de la pendiente de la recta secante de una curva, cuando la distancia entre dos puntos de la
curva, tiende a cero.

31
– Con el movimiento de un objeto con aceleración constante, se revisarán los conceptos de razón de
cambio y la razón de la razón de cambio.
– En la representación tabular tomar valores de la variable independiente, en este caso el tiempo,
igualmente espaciados, para que al calcular las diferencias de las imágenes, en este caso las posiciones,
se puedan establecer relaciones con la representación gráfica y la algebraica.
– En una gráfica posición-tiempo dejar en claro que la gráfica no representa la trayectoria del cuerpo.
– Hacer una revisión si el estudiante no tiene claridad en los conceptos involucrados en el tema.

Introducción:

En la mayoría de los cursos de física se comienza con cinemática, y los estudiantes resuelven gran
número de ejemplos numéricos y aplican ecuaciones cuyo significado no tienen claro. Aunque los
términos de velocidad o aceleración son de uso común, no siempre son utilizados por los estudiantes en
el mismo sentido que tienen en la ciencia.
Palabras como posición, espacio recorrido, desplazamiento, trayectoria, rapidez, velocidad,
aceleración, etc., se incorporan casi simultáneamente al vocabulario que han de utilizar los estudiantes,
los cuales no siempre son capaces de diferenciar el significado de los mismos y esto es fuente de
dificultades en el aprendizaje adecuado de este tema.
El tema de cinemática muchas veces se enfoca más como un tema de matemáticas aplicadas que
como un tema de física ya que se dedica muy poco tiempo a la definición de los conceptos y la mayor
parte del tiempo se emplea en la resolución de ejercicios de aplicación de las ecuaciones del movimiento
uniforme o uniformemente acelerado. Vale decir que el profesor asume que el estudiante puede
relacionar y operar sin dificultad las magnitudes que se definen y lo que representan. Como sabemos,
esto no es así y se debe reflexionar sobre las dificultades que se presentaron históricamente para
“matematizar” la cinemática, proceso que se inicia con Galileo.
El estudiante debe aprender a describir un movimiento rectilíneo, señalar y distinguir lo que es la
posición y no confundir el modelo que describe al movimiento con la trayectoria del mismo.
Algo similar ocurre con la interpretación de gráficas de posición, rapidez y aceleración contra
tiempo. situaciones experimentales, sirviéndole para una mejor discriminación entre los conceptos
utilizados.

32
Algo similar ocurre con la interpretación de gráficas posición, rapidez y aceleración contra tiempo.
Por lo general, se realizan ejercicios de interpretación de gráficas, de manera que los estudiantes indican
qué tipo de movimiento corresponde a cada gráfica casi mecánicamente. Pero se ha encontrado que
estos mismos estudiantes no comprenden el significado de las magnitudes y sus cambios, representados
en las gráficas. Así la comprensión del significado de los conceptos que utilizamos para la descripción del
movimiento es una tarea previa.
Una de las dificultades que enfrentan los estudiantes está provocada por el hecho de que en la
rapidez y la aceleración se utilizan dos variables, que al analizar el fenómeno, han de tomarse en cuenta
simultáneamente. Se requiere de cierto grado de madurez mental para comprender correctamente una
razón de cambio, contribuiremos a facilitar la tarea si en el diseño de los materiales didácticos los
tenemos en cuenta e incluimos las actividades adecuadas. (Hierrezuelo, J., Montero, A, 2006).

Metodología:

Se sugiere que antes de llevar a cabo la actividad, el profesor conteste la ficha de trabajo.
Las respuestas, definiciones de conceptos, experimentos sugeridos y ligas a Internet se le
pueden enviar si lo solicita vía Internet, a la siguiente dirección [email protected]
El facilitador, con anterioridad a la sesión de trabajo, les envía a los estudiantes por correo
electrónico en formato pdf, la ficha de trabajo, que consiste en un problema generador, preguntas y
ejercicios que auxiliarán al estudiante a resolver el problema principal, para la discusión grupal. Los
estudiantes deberán imprimirla para contestarla en clase.
La manera sugerida de trabajar con la secuencia didáctica es formar equipos de 2, 3 ó 4
estudiantes en donde se realiza la primera discusión en relación a la ficha de trabajo y se les pide que
cada integrante escriba las ideas que expresó para abordar o resolver el problema y conteste las
preguntas correspondientes individualmente, aunque los demás integrantes estén o no de acuerdo con
esas ideas.
La idea principal es que los estudiantes den una solución al problema inicial, si el facilitador
descubre que no pueden dar una solución al problema, les sugiere que contesten las preguntas y
ejercicios siguientes y que después de eso, retomen el problema inicial.
En una plenaria se analizarán todas las respuestas de los equipos, haciendo énfasis cuando los
estudiantes expresen respuestas correctas, cada equipo expresa las ideas que se aceptaron y las que se

33
rechazaron, y se discute por qué ciertas ideas o estrategias no funcionaron para abordar o resolver el
problema.
El facilitador adaptará los tiempos y la discusión de la secuencia para promover la participación y la
discusión para que los estudiantes se apropien de los conceptos y los hagan suyos, o bien aparezca
claramente el conflicto entre sus creencias o preconcepciones actuales y la solución al problema.
Se retoma el tema para ver si con la discusión grupal cambiaron sus preconcepciones, y para
examinar los métodos empleados y los resultados obtenidos, se presenta un experimento sencillo que no
requiere de material especial o de trasladarse a un laboratorio para examinar si los conceptos son
correctos, y en su caso, se hace una presentación con algunos de los ejercicios utilizando una
computadora y un "cañón", las imágenes hacen evidente que los conceptos erróneos se deben cambiar
ante la experiencia. Mediante estas actividades de aprendizaje, se pretende que los estudiantes se
tornen capaces de reconocer que sus ideas previas resultan inadecuadas o insuficientes para resolver el
problema.
En otra evaluación, ya sea por bitácora COL (Comprensión Ordenada del Lenguaje) o por examen
rápido, se retoma el tema y se observa si hubo un cambio en las preconcepciones de los estudiantes.
Es claro que cada grupo de estudiantes es diferente de otros, así que en algunos grupos puede
resultar que las cuestiones de la secuencia utilizada no generen una gran discusión, o bien que el tiempo
planeado para la actividad resulte insuficiente, así que el facilitador tiene que decidir cuántas y cuáles
preguntas o ejercicios son los que mejor se adaptan para que el desarrollo de la clase sea adecuado y en
caso necesario utilizar 2 ó 3 sesiones más para poder lograr los propósitos de la actividad. Y cada
experiencia en cada grupo hará que el facilitador busque mejorar los ejercicios y preguntas para que se
obtenga el mayor provecho de la secuencia didáctica. Así que las preguntas y ejercicios que se proponen
pueden seguirse en ese orden o bien eliminar o aumentar los que se consideren necesarios.
Evaluación. Los resultados de las respuestas de los estudiantes se concentran en una tabla de
datos, observando el porcentaje de estudiantes que contestan correctamente y el porcentaje de los que
contestan incorrectamente para analizar en qué medida se observan cambios en las preconcepciones de
los estudiantes.

Conceptos clave:

34
Posición, desplazamiento, espacio recorrido, trayectoria, velocidad, rapidez, aceleración, variación, razón
de cambio, secante, tangente, pendiente.

35
Ficha de trabajo 2. La carrera de los 100 metros.
Problema generador o situación a resolver:

En 1991, Carl Lewis impuso un récord mundial, recorriendo 100 metros en 9.86 segundos, es decir, que
en algún momento, recorrió 10 metros en menos de un segundo:

v
Carl Lewis
=
100 m
9.86 s
=10.141
m
s

¡10 metros en menos de un segundo!
Y en las olimpiadas de 2008, en China, Usain Bolt recorrió los 100 metros en 9.69 segundos

v
Usain Bolt
=
100 m
9.69 s
=10.319
m
s

convirtiéndose en el hombre más rápido en esa competencia.
Lo que hay que observar es que, conforme el tiempo que se emplea para recorrer la misma
distancia, disminuye, el cociente, es decir, la rapidez, aumenta.
Ahora intenten comprender una rapidez muy grande, la velocidad de la luz. Como saben, la luz
recorre una distancia enorme en poco tiempo. La velocidad de la luz es de 299, 792, 458 m/s, o
aproximadamente: 300, 000 km/s, esto es, recorre 300, 000 kilómetros en un segundo.

v
luz
=
100 m
0.0000003335640952 s
=299' 792, 458
m
s

¿Se sabe de algo que viaje más rápido que la luz?
La velocidad es una cantidad vectorial, es decir, tiene asociada una magnitud, una dirección y un
sentido, si únicamente se considera el valor de su magnitud, entonces hablamos de la rapidez, la cual se
denota encerrando la velocidad entre dobles barras.

Contesta lo que se pregunta y explica la razón de tu respuesta en cada inciso.

1. En una carrera de 100 metros planos

a) ¿Cómo puedes calcular la rapidez de un corredor en los últimos 10 metros de la carrera?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) ¿Escribe la relación para calcular la velocidad promedio? para cualquier posición inicial:

36
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Esta rapidez promedio, ¿a qué concepto matemático corresponde?, explica tu respuesta: i) La raíz de la ecuación ii) El vértice iii) La pendiente iv) La ordenada al origen ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) ¿Con ese cociente, se puede determinar la rapidez que tiene el corredor en cualquier instante?, ¿por qué? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e) ¿Cómo puedes determinar si el corredor está acelerado?, explica: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista en una hoja anexa.
*2. En la figura 1 se muestra el movimiento de un objeto. ¿Cuál es la mejor interpretación de su
movimiento?, elige la respuesta correcta y explica la razón de la elección.

Figura 1. Interpretación del movimiento representado
El objeto: a) rueda por un plano horizontal, luego por un plano inclinado y finalmente se detiene.

37
b) está detenido al comienzo y luego se desliza por un plano inclinado deteniéndose.
c) se mueve con rapidez constante, a continuación desliza por un plano inclinado deteniéndose.
d) está detenido al comienzo, en seguida se mueve hacia atrás y luego se detiene.
e) se mueve por la superficie horizontal, cae por una pendiente y luego se sigue moviendo.
Explica la razón de tu elección: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) En la figura 1, determina las pendientes de los segmentos de recta AB __________________, BC __________________ y CD __________________. g) ¿Qué valor tiene la rapidez en cada uno de los segmentos anteriores?, explica: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ *3. La figura 2 corresponde a un objeto en movimiento, ¿Cuál de las siguientes opciones es la
mejor para interpretar la gráfica?

Figura 2. Interpretación del movimiento representado
El objeto:
a) se mueve con aceleración constante diferente de cero.
b) no se mueve.
c) se mueve con rapidez uniformemente creciente.
d) se mueve con rapidez constante.

38
e) se mueve con aceleración uniformemente creciente.

Explica la razón de tu elección:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) En la figura 2, determina la pendiente de la recta _____________________ g) En la misma figura, ¿cómo es la rapidez promedio comparada con la rapidez instantánea?,
explica tu respuesta:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ *4. Respecto a la gráfica siguiente, ¿cuál es la rapidez en el punto A?
Figura 3. Rapidez en el punto A a) 0.4 m/s b) 2 m/s c) 2.5 m/s d) 5 m/s e) 10 m/s Explica tu respuesta: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) De acuerdo a la respuesta que diste, ¿es una rapidez promedio o instantánea?, explica:

39
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Compara tus respuestas de los ejercicios 2, 3 y 4 con las de tus compañeros de equipo,
discutan, acuerden y concluyan, si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista
por escrito en una hoja anexa.
*Los ejercicios 2, 3 y 4 fueron adaptados y con algunas modificaciones de ejercicios de: Ricardo Buzzo y Ángel
Romero de ”Hipertests como elementos de evaluación formativa y análisis de preconceptos en física”.

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5. Se tomaron los siguientes datos del movimiento de un cuerpo
tiempo (s) posición (m) 1ª diferencia dividida rapidez (m/s) 2ª diferencia dividida aceleración (m/s2) 3ª diferencia dividida
1 4.9 2 19.6 3 44.1 4 78.4 5 122.5 6 176.4 7 240.1 8 313.6 9 396.9 10 490

a) Con los datos anteriores, realiza la gráfica de la posición del cuerpo contra tiempo.

41
b) En la tabla de datos realiza las diferencias divididas para obtener la expresión de la posición en
función del tiempo, en el anexo 1 se presenta la explicación para realizar las diferencias
divididas y para obtener la expresión algebraica, dada una tabla de datos:
s(t) = ________________________________

c) Con las primeras diferencias divididas, realiza la gráfica de rapidez contra tiempo, en el anexo
1 se presenta la explicación para realizar las primeras diferencias divididas.

d) Con las segundas diferencias divididas, realiza la gráfica de la aceleración contra tiempo, en el
anexo 1 se presenta la explicación para realizar las segundas diferencias divididas.

e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista. Regresen al problema incial y

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averigüen qué es lo que se pregunta y si todos están de acuerdo con las respuestas que se dieron o hay
que hacer alguna modificación.
f) Desde tu punto de vista, ¿quién de los integrantes del equipo crees que aportó las respuestas
más acertadas o el que aportó más al equipo para llegar a una conclusión?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) ¿Qué fue lo que más te gustó de la actividad? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) ¿Qué sugieres para mejorar la actividad y/o ficha de trabajo?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ i) ¿Qué aprendiste?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bibliografía para “La carrera de los 100 metros”:

1. Hierrezuelo, J., Montero, A., 2006. La ciencia de los alumnos. Su utilización en la didáctica de la
física y química. Fontamara ISBN 968-476-598-3. pp. 55 - 56
La ciencia de los alumnos es un estudio sobre las preconcepciones o ideas previas y erróneas que tienen los
adolescentes en torno a la ciencia, la física y la química, dando propuestas de trabajo que tratan de modificar
errores y estimular el descubrimiento, la experimentación y el diálogo abierto entre alumno y maestro.

2. Buzzo, Ricardo; Romero, Ángel. Hipertests como elementos de evaluación formativa y
análisis de preconceptos en física.

43
Recuperado el 15 de junio, 2007 de http://fis.ucv.cl/estrategias/h1.html
Recuperado el 29 de abril, 2009 de http://158.251.14.13/estrategias/pinteract/prueba1.html
Para el logro de un aprendizaje significativo, utilizan el test como una alternativa, en base a las posibles
preconcepciones de los alumnos. Se presenta la construcción de un test utilizando hipertexto que permite al
alumno navegar por cada alternativa, efectuando una real retroalimentación que lo ayudará a remover sus
preconceptos, permite al alumno efectuar un análisis a su respuesta, dándole la posibilidad de nuevos intentos y
sus respectivos análisis que lo ayudarán a superar sus concepciones erróneas o alternativas.

3. Tipler, Paul A., 2001. Física para la ciencia y la tecnología.
Editorial Reverté. 4ª edición. Volumen 1 ISBN: 84-291-4381-5
Está basado principalmente en la resolución de problemas, se muestra a los estudiantes un método lógico para
abordar los problemas.

Bibliografía de referencia:

4. Beichner, R., 1994. Testing student interpretation of kinematics graphs.
American Journal of Physics 62(8). Recuperado el 29 de abril, 2009 de

44

45
Título:

3) “Tiempo de vuelo”

Ubicación en el curso:

Unidad III. Derivación de Funciones Algebraicas

La tercera unidad está destinada a obtener las derivadas de funciones algebraicas por medio de las
reglas y fórmulas de derivación. Éstas se introducen a través de ejemplos que permiten al estudiante
entender cómo surgen y valorarlas como formas simplificadas de carácter general. Además al integrar la
algoritmia al estudio de la derivada como una función en sí misma, se amplían las posibilidades de
aplicación a situaciones concretas y se enriquecen los recursos para recabar información sobre las
características de la variación y la rapidez de cambio de la función que modela una situación o problema.
Si bien en todas las unidades se le da una presencia al manejo del registro algebraico, en ésta cobra
mayor relevancia, ya que es necesario que el estudiante adquiera destreza en la aplicación de las
fórmulas para obtener la derivada de funciones algebraicas.

Propósitos:
Que el estudiante: – analice la rapidez y aceleración de un cuerpo en caída libre y en un tiro vertical, ya estudiado en las
clases de física.
– reafirme, al realizar un análisis del movimiento de un cuerpo en una dimensión, los conceptos de
desplazamiento, trayectoria, rapidez, velocidad inicial, velocidad final, razón de cambio promedio e
instantánea, aceleración.
– comprenda el significado de las representaciones gráficas del movimiento de un cuerpo y pueda hacer
una descripción verbal de lo que ocurre con el cuerpo, como son posición-tiempo, rapidez-tiempo y
aceleración-tiempo.

46
– comprenda el significado de la rapidez como una razón de cambio instantánea, es decir, como la
derivada, definida como la pendiente de la recta tangente en un punto, en una representación posición-
tiempo.

– comprenda el significado de la aceleración como una razón de cambio, es decir, como la derivada en
un punto, en una representación rapidez-tiempo.
– entienda que la trayectoria de un objeto, no siempre puede coincidir con la gráfica obtenida en una
representación posición-tiempo.
– con los ejercicios propuestos, la discusión grupal, las nuevas experiencias y las continuas evaluaciones,
logre sustituir sus preconcepciones, si es que las tiene, por los conceptos correctos, al darse cuenta que
las preconcepciones pueden ser un obstáculo para poder dar solución a un problema.

Aprendizajes:

El estudiante:

– identifica las relaciones existentes entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada, y en
particular entre la gráfica de la posición y la gráfica de la rapidez de un cuerpo en movimiento.
– obtiene la rapidez instantánea como derivada de la función posición, cuando ésta es una función de
segundo grado y la aceleración como la derivada de la rapidez o la segunda derivada de la posición.
– da significado a la derivada de una función en el contexto del problema de un cuerpo en caída libre.

Estrategias de enseñanza:

– Se proponen ejemplos de la interpretación de la derivada cuyos modelos son polinomios, y para
resolverlos se utilizan las técnicas de derivación.
– Dibujar la gráfica de la función que representa la posición de un objeto al transcurrir el tiempo y la de
su derivada, es decir, la rapidez, para hacer comparaciones; buscando una primera aproximación de la

47
identificación de las relaciones entre ambas. Por ejemplo: máximos y mínimos de la función, intervalos
donde la función es creciente o decreciente.

48
Introducción:

En los primeros contactos con el tema de cinemática se cree fundamental establecer conexiones entre
las magnitudes y lo que éstas representan en la realidad.
El estudiante debe saber describir un movimiento real, señalando lo que es la posición, la
trayectoria, rapidez, etc. Esto ayudará a disminuir las dificultades que tienen los estudiantes cuando han
de interpretar situaciones experimentales, al mismo tiempo que le servirá para una mejor discriminación
entre los conceptos utilizados.
Otro aspecto sobre el que se debe insistir es en la diferencia que existe entre el valor de una
magnitud y el valor de una variación de esa magnitud. No es lo mismo el valor de la rapidez que el valor
de lo que ha variado la rapidez. Esto ayudará a evitar una confusión frecuente en el cálculo tanto de la
rapidez como de la aceleración.
Gran parte de la confusión que surge cuando se estudia el movimiento de los objetos que caen
provienen de mezclar la "rapidez adquirida" con la "distancia recorrida". Cuando deseamos especificar
qué tan aprisa se mueve un objeto que cae libremente desde una posición de reposo al cabo de un
cierto tiempo transcurrido, nos referimos a la rapidez o a la "velocidad" (la rapidez es la magnitud de la
velocidad de un objeto). Cuando queremos señalar qué tan lejos ha llegado el objeto, nos referimos a la
posición respecto a un origen o punto de partida. La rapidez (qué tan aprisa) y la posición (qué tan
lejos) son conceptos totalmente distintos.
Uno de los conceptos que más confusión ocasiona es la aceleración, o "qué tan aprisa cambia la
rapidez". Lo que hace tan compleja la aceleración es que se trata de una razón de cambio de una razón
de cambio. A menudo la confundimos con la rapidez, que es ella misma una razón de cambio. La
aceleración no es rapidez, ni siquiera es un cambio en la rapidez; la aceleración es la razón de cambio de
la rapidez.
La relación entre el tiempo de caída y la altura vertical, es decir, la posición de un cuerpo, está dada por:
s =

1
2
g t2, esto es, si conocemos la altura de la que cae el cuerpo, entonces el tiempo de caída
es:

t =
2 s
g

Si encuentras que necesitas algunas horas para entender con claridad el movimiento, toma tu
tiempo, ¡A la humanidad le tomó casi 2000 años hacer lo mismo, desde la época de Aristóteles hasta
Galileo! (Hewitt, Paul, 1999)

49

Metodología:

Se sugiere que antes de llevar a cabo la actividad, el profesor conteste la ficha de trabajo.
Las respuestas, definiciones de conceptos, experimentos sugeridos y ligas a Internet se le
pueden enviar si lo solicita vía Internet, a la siguiente dirección [email protected]
El facilitador, con anterioridad a la sesión de trabajo, les envía a los estudiantes por correo
electrónico en formato pdf, la ficha de trabajo, que consiste en un problema generador, preguntas y
ejercicios que auxiliarán al estudiante a resolver el problema principal, para la discusión grupal. Los
estudiantes deberán imprimirla para contestarla en clase.
La manera sugerida de trabajar con la secuencia didáctica es formar equipos de 2, 3 ó 4
estudiantes en donde se realiza la primera discusión en relación a la ficha de trabajo y se les pide que
cada integrante escriba las ideas que expresó para abordar o resolver el problema y conteste las
preguntas correspondientes individualmente, aunque los demás integrantes estén o no de acuerdo con
esas ideas.
La idea principal es que los estudiantes den una solución al problema inicial, si el facilitador
descubre que no pueden dar una solución al problema, les sugiere que contesten las preguntas y
ejercicios siguientes y que después de eso, retomen el problema inicial.
En una plenaria se analizarán todas las respuestas de los equipos, haciendo énfasis cuando los
estudiantes expresen respuestas correctas, cada equipo expresa las ideas que se aceptaron y las que se
rechazaron, y se discute por qué ciertas ideas o estrategias no funcionaron para abordar o resolver el
problema.
El facilitador adaptará los tiempos y la discusión de la secuencia para promover la participación y la
discusión para que los estudiantes se apropien de los conceptos y los hagan suyos, o bien aparezca
claramente el conflicto entre sus creencias o preconcepciones actuales y la solución al problema.
Se retoma el tema para ver si con la discusión grupal cambiaron sus preconcepciones, y para
examinar los métodos empleados y los resultados obtenidos, se presenta un experimento sencillo que no
requiere de material especial o de trasladarse a un laboratorio para examinar si los conceptos son
correctos, y en su caso, se hace una presentación con algunos de los ejercicios utilizando una
computadora y un "cañón", las imágenes hacen evidente que los conceptos erróneos se deben cambiar
ante la experiencia. Mediante estas actividades de aprendizaje, se pretende que los estudiantes se

50
tornen capaces de reconocer que sus ideas previas resultan inadecuadas o insuficientes para resolver el
problema.

En otra evaluación, ya sea por bitácora COL (Comprensión Ordenada del Lenguaje) o por examen
rápido, se retoma el tema y se observa si hubo un cambio en las preconcepciones de los estudiantes.
Es claro que cada grupo de estudiantes es diferente de otros, así que en algunos grupos puede
resultar que las cuestiones de la secuencia utilizada no generen una gran discusión, o bien que el tiempo
planeado para la actividad resulte insuficiente, así que el facilitador tiene que decidir cuántas y cuáles
preguntas o ejercicios son los que mejor se adaptan para que el desarrollo de la clase sea adecuado y en
caso necesario utilizar 2 ó 3 sesiones más para poder lograr los propósitos de la actividad. Y cada
experiencia en cada grupo hará que el facilitador busque mejorar los ejercicios y preguntas para que se
obtenga el mayor provecho de la secuencia didáctica. Así que las preguntas y ejercicios que se proponen
pueden seguirse en ese orden o bien eliminar o aumentar los que se consideren necesarios.
Evaluación. Los resultados de las respuestas de los estudiantes se concentran en una tabla de
datos, observando el porcentaje de estudiantes que contestan correctamente y el porcentaje de los que
contestan incorrectamente para analizar en qué medida se observan cambios en las preconcepciones de
los estudiantes.

Conceptos clave:

Rapidez inicial, trayectoria, altura máxima, rapidez de impacto.

51

52
Ficha de trabajo 3. Tiempo de vuelo.
Problema generador o situación a resolver:

Los jugadores de basquetbol, los bailarines de ballet, los atletas de saltos de altura y longitud, entre
otras personas, están dotados de una gran capacidad para saltar. Cuando dan un salto hacia arriba,
parece que se sostienen en el aire desafiando la gravedad.

*1. Michael Jordan ex-jugador de baloncesto, apodado "Air" Jordan y considerado el mejor jugador
de baloncesto de la historia, fue nombrado el mejor atleta del siglo XX,

a) ¿Cuál crees que ha sido el tiempo que Jordan ha estado volando, en el salto más grande y
espectacular que ha logrado?, esto es, ¿durante cuántos segundos estuvo en el aire?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) ¿Qué altura habrá alcanzado en ese salto?, explica la respuesta proporcionada:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) ¿Cuál será la rapidez con la que llega a la altura máxima?, ¿por qué?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) ¿Tardará el mismo tiempo en el aire si en lugar de realizar un salto parabólico, salta en vertical
llegando a la misma altura que con el parabólico, pero cayendo en el mismo sitio?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Describe el movimiento del basquetbolista en cuanto a su rapidez y aceleración durante su
salto, esto es, ¿cambia su rapidez durante su movimiento? y ¿su aceleración?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

53
f) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista.
*El ejercicio 1 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de: Hewitt, P. Física Conceptual.
**2. Observa la figura 4 y contesta:

Figura 4. Diferentes trayectorias de una canica que sale
disparada con diferentes velocidades.

a) En cuál de las trayectorias 1, 2 ó 3, la canica emplea el mayor tiempo desde que sale
disparada de la mesa hasta llegar al suelo, explica tu razón:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Y si la canica se deja caer desde la mesa, es decir, la velocidad inicial es cero y su trayectoria es
rectilínea, ¿realizará su caída en un tiempo menor que el empleado en las trayectorias 1, 2 ó 3?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Si la altura de la mesa es de un metro y el punto en el que abandona la mesa se considera el
origen de un sistema de coordenadas, el "eje Y" se considera positivo hacia abajo, la posición de la
canica en caída libre, está dada por: s(t) = (4.9) t2, esto es, s(t) =

1
2
g t2, donde g es la aceleración

54
debida a la gravedad (g = 9.8 m/s2), determina el tiempo en el que cae la canica, la rapidez con la que
llega al suelo y comprueba que la aceleración que actúa sobre la canica es g:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Una canica se coloca en el borde de una mesa, otra canica es impulsada por uno de los
integrantes del equipo, de manera que choque de manera "casi" frontal con la primera. El choque hará
que la canica que estaba estática, salga disparada de la mesa describiendo una trayectoria parabólica
amplia y la otra canica caerá en un punto casi debajo de la posición inicial de la canica que estaba
estática, casi en caída libre y otro integrante tomará un video con un celular de manera que pueda
captar el movimiento de las dos canicas, pongan atención a los sonidos de las canicas al caer, ¿qué
sucedió?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) Repitan varias veces la experiencia, ¿qué pueden concluir?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) ¿Qué sucede con el movimiento de las canicas si el choque de las canicas es totalmente frontal y
es un choque elástico ideal?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
**El ejercicio 2 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de: Hierrezuelo. J. La ciencia de los
alumnos.

***3. La mejor manera de medir la capacidad para saltar es por medio de un salto vertical
estacionario. Ponte de pie frente a un muro y, con los pies bien asentados en el piso y los brazos
extendidos hacia arriba, haz una marca en el punto más alto que alcances. Salta en seguida y haz otra
marca en el punto de altura máxima. La distancia entre esas dos marcas es la medida de tu salto
vertical. Si es mayor de 0.6 metros eres un saltador excepcional.

55
a) ¿Qué integrante del equipo realizó el salto más grande?____________________________,
¿cuánto saltó?_________________, ¿qué tiempo empleó para ello?____________________.

b) Qué sucede si en lugar de ser un salto estacionario, corres, tomas vuelo y saltas, ¿cambiará por
mucho la distancia entre las dos marcas? _________________, hagan las pruebas y tomen el tiempo
aproximado del salto y escriban lo que sucedió:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Comparando el tiempo que realizó el mejor saltador del equipo con la respuesta que dieron a la
pregunta del salto más grande de Jordan, ¿todavía siguen sosteniendo la respuesta que dieron para el
tiempo que logró en su salto más espectacular?, sabiendo que el salto más grande registrado de Michael
Jordan fue de 1.25 metros.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
***El ejercicio 3 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de: Hewitt, P. Física conceptual.

4. La figura 5 muestra una representación posición-tiempo del movimiento de un objeto que es
lanzado hacia arriba, la posición del objeto en cualquier instante está dado por: s(t) = - 4.9 t2 + 20 t en
metros y el tiempo en segundos,

Figura 5. Movimiento de un cuerpo que es lanzado hacia arriba

56
a) ¿El objeto cae a cuatro metros del punto del que se lanzó?, ¿por qué sí?, o ¿por qué no?,
explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Calcula la rapidez promedio que lleva el objeto en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2
segundos.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Cómo calculas la rapidez instantánea en t = 3 segundos?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) La trayectoria del objeto, ¿es necesariamente una parábola?, ¿puede ser una trayectoria
rectilínea?, ¿por qué?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) ¿La rapidez con la que sale el objeto, es la misma con la que llega de nuevo al suelo?, calcula la
rapidez inicial con la que salió disparado el objeto, explica tu respuesta:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
f) Calcula la aceleración del objeto en t = 1, en t = 2 y en t = 4, ¿qué puedes concluir?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

57
g) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista, si no hay acuerdos corrijan o
regresen a discutir.

5. Se deja caer un paquete con alimentos y medicamentos desde un avión, sobre una zona en la
que es imposible aterrizar,

a) La persona que deja caer el paquete asegura que la trayectoria que sigue el paquete es
rectilínea, las personas que están esperando el paquete con alimentos aseguran que la trayectoria del
paquete es parabólica, ¿quién tiene la razón?, ¿por qué?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista, si no hay acuerdos corrijan o
regresen a discutir. Regresen al problema inicial y averigüen qué es lo que se pregunta y si todos están
de acuerdo con las respuestas que se dieron o hay que hacer alguna modificación.

c) Desde tu punto de vista, ¿quién de los integrantes del equipo crees que aportó las respuestas
más acertadas o el que aportó más al equipo para llegar a una conclusión?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) ¿Qué fue lo que más te gustó de la actividad? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) ¿Qué sugieres para mejorar la actividad y/o ficha de trabajo?

58
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
f) ¿Qué aprendiste?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Bibliografía para "Tiempo de vuelo":

1. Hewitt, Paul., 1999. Física Conceptual.
Addison Wesley. 3ª ed. ISBN: 968-444-280-7 Serie AWLI. pp. 22, 35
Aquí se da un tratamiento conceptual para abordar los problemas, los conceptos se presentan en español común y
corriente. La comprensión de los conceptos antes de hacer cálculos es la clave del entendimiento.

2. Hierrezuelo, J., Montero, A., 2006. La ciencia de los alumnos. Su utilización en la didáctica de la
física y química. Fontamara ISBN 968-476-598-3. pp. 51

La ciencia de los alumnos es un estudio sobre las preconcepciones o ideas previas y erróneas que tienen los
adolescentes en torno a la ciencia, la física y la química, dando propuestas de trabajo que tratan de modificar
errores y estimular el descubrimiento, la experimentación y el diálogo abierto entre alumno y maestro.

59
Título:
4) “Sentidos contrarios”

Ubicación en el curso:

Unidad IV. Comportamiento gráfico y problemas de optimización

La cuarta unidad representa un primer momento de síntesis. Recupera el aspecto algebraico y enriquece
el análisis geométrico para profundizar en la comprensión de la relación existente entre una función y
sus derivadas. Además refuerza el concepto de derivada y permite extender el cambio de sus
aplicaciones a situaciones más complejas o nuevas, en particular, al campo de los problemas de
optimización.

Propósitos:

Que el estudiante:

– analice las relaciones entre la posición de un cuerpo y el tiempo y sus derivadas para obtener
información sobre el comportamiento de la función posición.
– utilice la información obtenida del análisis de las funciones posición, rapidez y aceleración.
– interprete las representaciones gráficas del movimiento del cuerpo como son posición-tiempo, rapidez-
tiempo y aceleración-tiempo y comprenda el significado de cada representación.
– obtenga la expresión algebraica de la rapidez y la posición de un cuerpo, dada la expresión de la
aceleración.
– obtenga la expresión algebraica de la rapidez y la posición de un cuerpo, dada la expresión de la
aceleración.

Aprendizajes:
El estudiante:

60
– infiere a través de un análisis gráfico, las relaciones existentes entre la gráfica de una función posición
y sus derivadas: rapidez y aceleración, signo de la rapidez, asociada con crecimiento o decrecimiento de
la posición, rapidez nula con puntos críticos, signo de la aceleración analizando las concavidades,
aceleración nula con un posible cambio de concavidad.

– bosqueja la gráfica de la rapidez de la función posición, dada la gráfica de ésta.
– determina gráfica y algebraicamente los intervalos en donde la función posición es creciente,
decreciente o constante.
– determina los puntos críticos de una función posición y los clasifica en máximos, mínimos o puntos de
inflexión.
– analiza el tipo de concavidad de la función posición a partir del signo de la aceleración.
– grafica la función posición analizando la información que proporcionan su rapidez y aceleración.
– comprende que los criterios de la primera y segunda derivada sintetizan el análisis realizado entre las
gráficas posición, rapidez y aceleración.
– realiza el análisis de las gráficas, utiliza como herramienta el programa de Geogebra para obtener en
una sola gráfica, la función posición, la rapidez y la aceleración para comparar a un tiempo t o cómo es
la rapidez y aceleración del cuerpo.

Estrategias de enseñanza:

– Con una función cuadrática s(t) = t2 – 6 t + 5 al hacer un análisis, el estudiante comprenderá lo que
es un punto máximo o un mínimo, al vincular el comportamiento gráfico de la función (creciente o
decreciente) con el signo de la pendiente de las tangentes (positivo, negativo), como la noción de punto
crítico (velocidad cero). Esto ayuda a establecer el criterio de la primera derivada.
– Con la función cúbica s(t) = t3 – 3 t2 + 2 t se muestra la insuficiencia de la condición de que un punto
crítico debe ser máximo o mínimo; lo que permite introducir el concepto de punto de inflexión.
– Es conveniente después de analizar, identificar y definir gráficamente punto crítico y concavidad,
obtener máximos , mínimos y puntos de inflexión en forma algebraica y dar una interpretación física de
esos puntos.

61
– Una vez que el estudiante ha comprendido el significado de máximo, mínimo y punto de inflexión, a
través de la primera derivada, es conveniente para estudiar la concavidad, utilizar alguna función de
tercer grado que tenga un máximo y un mínimo, por ejemplo s(t) = t3 – 12 t
– Realizar el análisis gráfico del comportamiento por intervalos tanto de la función como de la primera y
segunda derivada para obtener las relaciones entre todas ellas y concluir con el criterio de la segunda
derivada. Mostrar con este tipo de ejemplos (polinomios de grado tres o mayor) que el criterio de la
segunda derivada es más práctico que el otro.

– Conviene construir el bosquejo de la gráfica de la derivada a través de la gráfica de la función y
viceversa, ya que permite al estudiante (en el estudio posterior de la antiderivada) asociar la forma de la
curva con el significado geométrico de la derivada.
– Finalmente, hacer ver que dada la gráfica de una función o la de su derivada, se obtiene información
sobre el comportamiento gráfico de la otra.

Introducción:

Este es uno de los momentos más interesantes del curso, se hace un análisis y se aplican los criterios de
la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de las funciones, así como para conocer sus
máximos y mínimos, es una de las aplicaciones más comunes de la derivada en otras ciencias,
geometría, física, economía, construcción, por mencionar algunas.
La mayor dificultad que enfrentan los alumnos en este tipo de problemas es la interpretación
matemática del problema, es decir, el buscar un modelo que pueda representar la situación real, la
elección de las variables y funciones que hay que analizar.
Los fenómenos de la naturaleza son complejos. Para su mejor entendimiento y explicación se ha
buscado representar estos fenómenos por medio de modelos matemáticos, estos modelos dan una
imagen del fenómeno mucho más fácil de analizar ya que son más simples que los fenómenos que
modelan.
Otra dificultad a la que se enfrenta el estudiante, es la interpretación de una representación
gráfica. En particular en objetos en movimiento, por ejemplo, s(t) = t2 y s'(t) = 2t, la relación s te dice
donde está el objeto, la relación s' te dice qué tan rápido se está moviendo.

62
La confusión parece surgir en la mente de los estudiantes al preguntar cómo puede t2 representar
al mismo tiempo que 2t, el movimiento de un objeto. Al utilizar la idea de "movimiento de un objeto" se
las arreglan para mezclar dos cosas muy diferentes La distancia recorrida está dada por t2, la velocidad
está dada por 2t. Después encontraremos una relación, la aceleración, así que habrá tres posibles
significados para "esto".
Si se pide la gráfica de s(t), se está pidiendo la gráfica a partir de la cual se puede leer la posición
del objeto en cualquier tiempo, esta gráfica es una parábola, si se pide la gráfica a partir de la cual se
pueda leer la velocidad del objeto en cualquier tiempo, la gráfica será una recta. Son cuestiones
diferentes, sin embargo, los estudiantes confunden estas relaciones. (Sawyer, W, 1961)

Otra confusión que se crea, es que al graficar la parábola y la recta que representa la derivada,
observan que la recta no es tangente a la parábola.
El alumno debe saber describir un movimiento real, señalando lo que es la posición, el vector de
desplazamiento, la trayectoria, rapidez, velocidad, aceleración, etc. Esto ayudará a disminuir las
dificultades que tienen los alumnos cuando han de interpretar situaciones experimentales, al mismo
tiempo que le servirá para una mejor discriminación entre los conceptos utilizados.
La utilidad principal de la derivada de una función es que da información sobre cómo cambia dicha
función, nos indica cuándo la función es creciente y cuándo es decreciente. También nos ayuda a
determinar en qué puntos la función alcanza un máximo o un mínimo.
El Cálculo nos permite obtener una idea general de la gráfica de una ecuación sin graficar punto
por punto, es decir, sin estar evaluando la función en varios puntos del dominio y obtener bajo la
función, su correspondiente valor en la imagen, sino hacer un análisis completo, recopilando toda la
información y plasmarla en una representación gráfica.

Metodología:

Se sugiere que antes de llevar a cabo la actividad, el profesor conteste la ficha de trabajo.
Las respuestas, definiciones de conceptos, experimentos sugeridos y ligas a Internet se le
pueden enviar si lo solicita vía Internet, a la siguiente dirección [email protected]

63
El facilitador, con anterioridad a la sesión de trabajo, les envía a los estudiantes por correo
electrónico en formato pdf, la ficha de trabajo, que consiste en un problema generador, preguntas y
ejercicios que auxiliarán al estudiante a resolver el problema principal, para la discusión grupal. Los
estudiantes deberán imprimirla para contestarla en clase.
La manera sugerida de trabajar con la secuencia didáctica es formar equipos de 2, 3 ó 4
estudiantes en donde se realiza la primera discusión en relación a la ficha de trabajo y se les pide que
cada integrante escriba las ideas que expresó para abordar o resolver el problema y conteste las
preguntas correspondientes individualmente, aunque los demás integrantes estén o no de acuerdo con
esas ideas.
La idea principal es que los estudiantes den una solución al problema inicial, si el facilitador
descubre que no pueden dar una solución al problema, les sugiere que contesten las preguntas y
ejercicios siguientes y que después de eso, retomen el problema inicial.
En una plenaria se analizarán todas las respuestas de los equipos, haciendo énfasis cuando los
estudiantes expresen respuestas correctas, cada equipo expresa las ideas que se aceptaron y las que se
rechazaron, y se discute por qué ciertas ideas o estrategias no funcionaron para abordar o resolver el
problema.
El facilitador adaptará los tiempos y la discusión de la secuencia para promover la participación y la
discusión para que los estudiantes se apropien de los conceptos y los hagan suyos, o bien aparezca
claramente el conflicto entre sus creencias o preconcepciones actuales y la solución al problema.
Se retoma el tema para ver si con la discusión grupal cambiaron sus preconcepciones, y para
examinar los métodos empleados y los resultados obtenidos, se presenta un experimento sencillo que no
requiere de material especial o de trasladarse a un laboratorio para examinar si los conceptos son
correctos, y en su caso, se hace una presentación con algunos de los ejercicios utilizando una
computadora y un "cañón", las imágenes hacen evidente que los conceptos erróneos se deben cambiar
ante la experiencia. Mediante estas actividades de aprendizaje, se pretende que los estudiantes se
tornen capaces de reconocer que sus ideas previas resultan inadecuadas o insuficientes para resolver el
problema.
En otra evaluación, ya sea por bitácora COL (Comprensión Ordenada del Lenguaje) o por examen
rápido, se retoma el tema y se observa si hubo un cambio en las preconcepciones de los estudiantes.
Es claro que cada grupo de estudiantes es diferente de otros, así que en algunos grupos puede
resultar que las cuestiones de la secuencia utilizada no generen una gran discusión, o bien que el tiempo
planeado para la actividad resulte insuficiente, así que el facilitador tiene que decidir cuántas y cuáles

64
preguntas o ejercicios son los que mejor se adaptan para que el desarrollo de la clase sea adecuado y en
caso necesario utilizar 2 ó 3 sesiones más para poder lograr los propósitos de la actividad. Y cada
experiencia en cada grupo hará que el facilitador busque mejorar los ejercicios y preguntas para que se
obtenga el mayor provecho de la secuencia didáctica. Así que las preguntas y ejercicios que se proponen
pueden seguirse en ese orden o bien eliminar o aumentar los que se consideren necesarios.
Evaluación. Los resultados de las respuestas de los estudiantes se concentran en una tabla de
datos, observando el porcentaje de estudiantes que contestan correctamente y el porcentaje de los que
contestan incorrectamente para analizar en qué medida se observan cambios en las preconcepciones de
los estudiantes.

Conceptos clave:

Función, posición, velocidad, aceleración, máximo, mínimo, punto crítico, punto de inflexión, concavidad.

65
Ficha de trabajo 4. Sentidos contrarios.
Problema generador o situación a resolver:

*1. Dos trenes separados 75 kilómetros se aproximan uno al otro por vías paralelas, moviéndose
cada uno de ellos a 15 km/h. Una supermosca vuela de un tren al otro en el espacio que los separa,
hasta que se cruzan,

a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la supermosca, si ésta vuela a 100 km/h?, explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) ¿En cuánto tiempo los trenes se encontrarán?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) ¿Qué sucedería si la velocidad de la supermosca es de 15 km/h? , ¿de 30 km/h?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) ¿Qué puedes concluir?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
*El ejercicio 1 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de: Tipler, P. Física para la
ciencia y la tecnología.

66

2. La figura 6 muestra la posición de un cuerpo que tiene un movimiento rectilíneo (curva continua
negra), también se muestra la rapidez (curva punteada azul) y la aceleración (curva segmentada roja)
del mismo cuerpo. La aceleración del cuerpo en cualquier instante está dada por: a(t) = 3t –

11
2

Figura 6. Posición, rapidez y aceleración de un objeto
a) Determinar la expresión algebraica para la rapidez y para la posición del cuerpo y explica cómo
se obtienen:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) ¿En qué instante la velocidad es nula?, explica la razón de tu respuesta:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

67

c) Observando las gráficas y analizando cuando es positiva o negativa la velocidad y la aceleración,
explica de la manera más completa y clara qué sucede con el objeto cuando:
i) v>0 y a>o ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ii) v>0 y a<0
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iii) v<0 y a>0
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
iv) v<0 y a<0
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Observando la gráfica, ¿cómo se interpretan los puntos máximos, mínimos de la gráfica
posición-tiempo, respecto al movimiento del cuerpo?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) ¿Cómo se interpretan los puntos donde hay un cambio de curvatura? (puntos de inflexión),
observa la gráfica y explica:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

68
f) ¿Podrías asegurar que la trayectoria del objeto es recta?, explica tu respuesta: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
g) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista.
*3. Una persona en un ascensor ve un tornillo que cae del techo justo en el momento en el que el ascensor comienza a moverse. La altura del ascensor es de 3 metros, a) Si el ascensor se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 2.2 m/s, ¿cuánto tiempo
tarda el tornillo en chocar contra el suelo del ascensor?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Si el ascensor se mueve hacia abajo con la misma velocidad de 2.2 m/s, ¿cuánto tiempo tarda el
tornillo en chocar contra el suelo del ascensor?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) ¿Qué puedes concluir acerca del movimiento de los objetos cuando la velocidad y la aceleración
tienen el mismo sentido y cuando tienen sentidos contrarios?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros de equipo, discutan, acuerden y concluyan,
si no hubo acuerdo, expresen los diferentes resultados o puntos de vista, si no hay acuerdos corrijan o
regresen a discutir.
*El ejercicio 3 fue adaptado y con algunas modificaciones de un ejercicio de: Tipler, P. Física para la
ciencia y la tecnología.
4. Un cuerpo se mueve y su posición en cualquier instante está dada por: s(t) = t2 – 6 t + 5 ,
a) Utiliza Geogebra para trazar la gráfica de la posición contra tiempo:

69

b) Traza la gráfica de la rapidez correspondiente contra tiempo:

c) Traza la gráfica de la aceleración contra tiempo.

70

5. Un cuerpo se mueve y su posición en cualquier instante está dada por: s(t) = t3 – 3 t2 + 2 t,
encuentra:

a) El dominio e imagen de la función:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Las intersecciones con los ejes:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
c) Los puntos críticos: máximos, mínimos y puntos de inflexión:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) ¿En qué instante, la velocidad se anula?, explica tu respuesta:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) ¿Cómo se interpretan los cambios de concavidad de la curva?

71
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
f) Construye la gráfica de la función posición-tiempo con el análisis anterior:

g) Desde tu punto de vista, ¿quién de los integrantes del equipo crees que aportó las respuestas
más acertadas o el que aportó más al equipo para llegar a una conclusión?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) ¿Qué fue lo que más te gustó de la actividad? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
i) ¿Qué sugieres para mejorar la actividad y/o ficha de trabajo?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
j) ¿Qué aprendiste?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

72

Bibliografía para "Sentidos contrarios":

1. Sawyer, W, 1961. “De qué trata el Cálculo”. Publicación del Departamento de Matemáticas de la
Facultad de Ciencias, UNAM. Traducción: Ana María Sánchez y Arturo Nieva, 1976. pp. 96 - 105.

El libro tiene un enfoque más intuitivo y menos formal, enseñando la idea central de lo qué es el Cálculo, cuál es su
utilidad y cuál su papel dentro de la Matemática. No se dirige a un lector pasivo, sino a un activo participante que
hace cálculos, que reproduce experimentos al alcance de la mano y que efectúa ejercicios.

2. Tipler, Paul A., 2001. Física para la ciencia y la tecnología.
Editorial Reverté. 4ª edición. Volumen 1. ISBN: 84-291-4381-5. pp. 22 y 36

Está basado principalmente en la resolución de problemas, se muestra a los estudiantes un método lógico para
abordar los problemas.

73
Anexo 1 Algoritmo de Newton para las diferencias divididas.

74
Bibliografía: 1) Andrews, George E., 1998. The geometric series in Calculus. Recuperado el 21 de agosto, 2008 de http://www.jstor.org/stable/2589524 pp 39. 2) Ausubel D.,P., 1978. Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo. Trillas, México.
3) Bachelard, G., 1938. La formación del espíritu científico. Vrin, París. ISBN: 968-23-1731-2
4) Badillo, Edelmira, Azcárate, Carmen, 2003. La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de Matemática de Colombia. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Barcelona. Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales, Bellaterra.
5) Beichner, R., 1994. Testing student interpretation of kinematics graphs. American Journal of Physics 62(8). Recuperado el 29 de abril, 2009 de
6) Boyer C., 1939. The history of the Calculus and its conceptual development. Dover, USA. ISBN: 486-60509-4
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Recomendación Se sugiere que antes de llevara cabo la actividad, el profesor conteste la ficha de
trabajo. Las respuestas a las fichas de trabajo, definiciones de conceptos,
experimentos sugeridos, ligas a Internet y los formatos para análisis de
respuestas, se le pueden proporcionar vía Internet, a la siguiente dirección:
[email protected], además se aceptan observaciones y comentarios
para mejorar este trabajo.

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