Calculo I Limites y sus propiedades

CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO
Ponente: Ing. Diana Torres Guarnizo

1. ESCUELA : NOMBRES v LÍMITES Y SUS PROPIEDADES FECHA : Ing. Diana A. Torres G. OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 1 Ciencias de la Computación I Bimestre BIMESTRE

2. CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO

3. 3 INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES Dibujar la Gráfica de la función f dada por: Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores. Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.

4. 4 x se aproxima a 1 por la izquierda x se aproxima a 1 por la derecha x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81 f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3

5. 5 Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:

6. 7 Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.

7. 8 x se aproxima a por la izquierda x se aproxima a por la derecha x -0.01 -0.001 -0.0001 0.0001 0.001 0.01 f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499 f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2

8. 9 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0 f no es definida en x = 0

9. 10 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe: Solución

10. 11 Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán f(x) = 1 y f(x)=-1 Los valores negativos de x dan como resultado |x|/x = -1. Los valores positivos de x dan como resultado |x|/x = 1. Límite no existe

11. 12 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento no acotado. Analizar la existencia del límite: Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:

12. 13 f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.

13. 14 LÍMITES QUE NO EXISTEN Ejemplo: Comportamiento oscilante. Analizar la existencia del límite: x 2/∏ 2/3∏ 2/5∏ 2/7∏ 2/9∏ 2/11∏ Sen (1/x) 1 -1 1 -1 1 -1 Por tanto el límite no existe

14. 15 Conclusiones: f (x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c. f (x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.

15. 16 DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: Significa que para todo ε >0 existe uno δ >0 tal que si:

16. CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

17. 18 PROPIEDADES DE UN LÍMITE Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

18. 19 Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

19. 20 Teorema 1.2: Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: Suma o Diferencia Producto:

20. 21 Cociente: Potencias:

21. 22 Ejemplo: Límite de un Polinomio

22. 23 Teorema 1.3: Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

23. 24 Ejemplo: Límite de una Función racional Como el denominador no es 0 cuando x=1

24. 25 Teorema 1.4: Límite de una Función radical Si n es un entero positivo: Para toda c si n es impar c > si n es par

25. 26 Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta Si f y g son funciones tales que: y Entonces:

26. 27 Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas Sea c un número real:

27. 28 Ejemplos

28. CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES

29. 30 Definición de Continuidad Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

30. 31 Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes .

31. 32 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

32. 33 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

33. 34 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función. Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

34. 35 Ejemplo límite Lateral Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

35. 36 Teorema 1.10 Existencia de un límite Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

36. 37 Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado Una función f es continua en un intervalo cerrado [ a,b ] si es continua en el Intervalo abierto ( a,b )n La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

37. 38 Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado Analizar la continuidad de Se concluye que f es continua en [-1,1] Continua por la derecha Continua por la izquierda

38. 39 Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c: Múltiplo escalar: bf Suma o Diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

39. LÍMITES INFINITOS

40. 41 Definición de Límites Infinitos Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

41. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 42

42. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 43

43. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica 44

44. 45 Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que: Suma o Diferencia: Producto:

45. 46 Cociente:

46. 47 Ejemplo: Cálculo de Límites Calcular los siguientes límites

47. BIBLIOGRAFÍA CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS. CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES 48

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