Calculo integral

Muy buena para el estudio

1. Calculo Integral Melendres Mayon Ronny Orozco Torres Jimmy Machala 31/07/2014 Facultad de ingeniería civil Centro De Maza

2. Centro De Maza Nuestro principal objetivo aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal como se muestra en la figura. El punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Calculo de una variable. 7ed. Trascedentes tempranas

3. Primero se considera la situación más simple ilustrada en la figura , donde dos masas m 1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro ( punto de apoyo ) y a distancias d 1 y d 2 de éste. La varilla se estabilizará si M1X1 = M2X2 d1 d2 m 1 m 2 Fulcro

4. Éste es un hecho experimental que descubrió Arquímedes y se llama ley de la palanca. Nos dice que el momento de m sobre el punto P es: Momento= mx Donde m es la maza sobre el punto P y X= es la longitud del brazo del momento.

5. Para un sistema que no está en equilibrio, el centro de masa se define como el punto en el que hay que colocar el punto de apoyo para lograr el equilibrio. Si el sistema fuera Trasladado unidades, cada coordenada se volvería ( - ) y por que el momento del sistema trasladado sería 0, se tiene que:     =   -   = 0 Despejando para produce:   =         =

6. M=   My=   Mx=  

7. El momento de un sistema de masas en el plano puede tomarse respecto de cualquier recta horizontal o vertical. En general, el momento sobre una recta es la suma del producto de las masas y las distancias dirigidas de los puntos a la recta. Momento= ( -b)+ ( -b)+….+ ( -b)   Recta vertical x=a Recta horizontal y=b Momento= ( -a)+ ( -a)+….+ ( -a)  

8. Centro de masa de un sistema bidimensional Ejemplo: Encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales m 1=6 , m 2=3 , m3=2 y m4= 9 , localizados en: (3,-2);(0,0);(-5,3) y (4,2)

9. Solución:

10. Centro de Masa de una lamina Plana Considerar una lámina plana irregularmente formada de densidad uniforme , limitada por las gráficas de y=ƒ(x ), y =g(x ) y a ≤ x ≤ b , como se muestra en la figura . La masa de esta región está dada por:

11. Ejemplo: Encontrar el centro de masa de la lámina de densidad uniforme ρ acotada por la gráfica de ƒ( x)=4- y el eje x . dada por los limites de (-2,2).  

12. Solución: porque el centro de masa esta situado en el eje de simetría, se sabe que x=0 es mas la masa de la lamina es: Para encontrar el momento respecto del eje x, poner un rectángulo representativo en la región como se mostro en la figura. La distancia del eje X al centro de este rectángulo es:

13. Por que la masa del rectángulo es representativo : Se tiene: Y esta dada por:  

14. Asi el centro de masa (o punto de equilibrio) de la lamina es (0, ) como se muestra en la figura .  

15. Ejemplo 2: Hallar el centro de masa limitada por las siguientes funciones Y= 6x-   F(x)=6x-       0 0 1 2 3 4 5 6 7   G(X)     0 0 5 8 9 8 5

16. Apéndice