Calculo Integral de una Variable Real MA2 Ccesa007.pdf

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1. DEMETRIO CCESA RAYME

2. 1)Áreadeunaregiónplana.
2)Volumendeunsólidoderevolución.
TEMARIO
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)

3. LOGRODELASESIÓN
Alfinalizarlasesióndeaprendizajeelestudiante:
Calculaelvalordeláreadeunaregiónplanamedianteintegraldefinida.
Calculaelvalordelvolumenderevoluciónmedianteintegraldefinida.

4. SABERES PREVIOS
FórmulasbásicasdeIntegración.
Métodosdeintegración.
MétododeBarrow.

5. Tantolaintegral,asícomoladerivada,esimportantedebidoasuaplicaciónamuchosproblemasque
aparentantenerpocarelacióncondichamotivaciónoriginal.Porejemplo,enelcampodela
administraciónylaeconomía,problemasdecrecimientodepoblaciones,excedentedelos
consumidores,excedentedelosproductores,valorfuturototalyvalorpresentedeunflujode
ingresos,montodeunaanualidad,distribucióndelingreso(curvasdeLorentz),entreotros.
Elteoremafundamentaldelcálculoproporcionaunaconexiónvitalentrelasoperacionesdederivación
eintegración,laqueproporcionaunmétodoeficazparacalcularelvalordelasintegrales.Veremos
queenvezdeencontrarladerivadadelafunciónf(x),necesitamosdeterminarunanuevafunción
F(x)cuyaderivadaseaf(x).
Introducción

6. AplicacionesdelaIntegralDefinida:
Elcálculodeláreabajounacurvaesunejemploclásicodelusodelcálculointegral.Engeometría
elementalsededucenfórmulasparalasáreasdemuchasfigurasplanas,perounpocodereflexiónhace
verqueraramentesedaunadefiniciónaceptabledeárea,eláreadeunaregiónsedefineavecescomo
elnúmerodecuadradosdeladounidadquecontienelaregión.
Lanociónanalíticadeintegralsurgecuandoseasocianáreasconfunciones:eláreadeunaregión
acotadaporelejehorizontal,lasrectasx=a,x=bylagráficadelafunciónftalquexϵ[a;b],el
cálculointegralescapazdehallarestevaloryestádadapor:
f (x)dx=F(x)=F(b)−F(a)
b
a
b
a
A=


7. Aplicacióndelaintegraldefinida-Áreas

8. Cálculodeáreasderegionesplanas
xb
a)Silaregiónestálimitadaporunafunciónfcontinuapositiva,porelejeXylas
rectasx=a yx =b:
y
f(x)
a
a
Eláreadelafunciónestádadapor:
b
A=
f(x)dx
a

9. Cálculodeáreasderegionesplanas
b)Silaregiónestálimitadaporunafunciónfcontinuapositiva,elejeXycortaalejede
lasabscisasenlospuntosx=ayx=b:
b
Eláreadelafunciónestádadapor:A=
f(x)dx
a

10. Cálculodeáreasderegionesplanas
Eláreadelafunciónestádadapor:
b
A=−
f(x)dx
a
f(x)
c)Si laregiónestálimitadaporuna funciónfcontinuanegativa,elejeXycortaaleje de
lasabscisasenlospuntosx=ayx=b:
y
x
b
a
a

11. Cálculodeáreasderegionesplanas
Eláreadelafunciónestádadapor:
b
A=
f(x)dx
f(x)
d)Silaregiónestálimitadaporunafunciónfcontinuanegativa,elejeXycortaalejede
lasabscisasenlospuntosx=ayx=b:
y
x
b
a
a

12. Cálculodeáreasderegionesplanas
e)Silaregiónestálimitadaporunafunciónfcontinuanegativa,ytieneregionespor
encimaypordebajodelejedelasabscisas:
Eláreadelafunciónestádadapor:
e0
a
dc
f (x)
x
y
R
1
R
2
R
3
4
R
0
0
f(x)dx−f(x)dx+f(x)dx−f(x)dx
c d e
a c d
A=
   

13. Cálculodeáreasderegionesplanas
f)Silaregiónestácomprendidapordoscurvasylasrectax=ayx=b:
Eláreadelafunciónestádadapor:
b
A=
[g(x)−f(x)]dx
a
a b x
f(x)
g(x)
−y
x
ba
y
f(x)
x
y
b
a

14. Cálculodeáreasderegionesplanas
g)Silaregiónestácomprendidapordoscurvas:
Eláreadelafunciónestádadapor:
b c
A=
f(x)−g(x)dx+
g(x)−f(x)dx
a b
f(x)
g(x)
a b c

15. Cálculodeáreasderegionesplanas
h)Silaregiónestácomprendidaportrescurvas:
Eláreadelafunciónestádadapor:
b c
A=
f(x)−h(x)dx+
g(x)−h(x)dx
a b
g(x)
f(x)
h(x)
a cb

16. y =x
2
u
2
4
2
64856
32
x
3

4
Área=
x
2
dx==−=
333
1.Hallareláreadelrecintolimitadoporlaparáboladeecuacióny=x
2
,elejeOX,larectax=2
ylarectax=4.
Ejemplo

17. y= x
4
-2x
3
+2
−1

2
u
2
10
−+2x=
52
x
5
x
4
−2x
3
+2)dx=
2
Área=
(x
4
−1
51
2.HallareláreadelaregiónRlimitadaporlacurvay=x
4
–2x
3
+2entrex=-1yx=2.
Ejemplo

18. u
2
2
−2
333
8816
=+=
x
3
2

3−2
Área=−(−x
2
)dx=
y =-x
2
3.Hallareláreadelrecintodeterminadoporlaparáboladeecuacióny=-x
2
,elejeOXylas
rectasx=-2yx=2
Ejemplo

19. 4.Hallareláreadelimitadaporlagráficadey=Cos(x)yelejeOXenelintervalo[0,2]

2
3
2
2
y=Cos(x)
Área(R)=
3
2

2
2

2
0
2
3
2
Cos(x)dx−Cos(x)dx+Cos(x)dx=4u
  
Ejemplo

20. 5.Hallarelárealimitadaporlacurvay=x
3
–6x
2
+8xyelejeOX.
Área(R)=
2 4
0 2
(x
3
−6x
2
+8x)dx−
2
(x
3
−6x
2
+8x)dx=8u
 
y=x
3
–6x
2
+8x
Ejemplo

21. Ejemplo
Área(R)=
4
2
2 238
3
[x−(2x−3)]dx=u

6.Hallareláreadelaregiónlimitadaporlasfuncionesy=x
2
ey=2x–3entrex=2yx=4
y= x
2
y= 2x–3

22. Ejemplo
7.Hallareláreadelaregiónlimitadaporlasfuncionesy=x
2
ey=x
y= x
2
y=x
Área(R)=
1 1
0 0
0
1
2
3
2 2
2
2 x
3
1
xdx−xdx=x−




3
=u
1
3

3

23. Ejemplo
8.Hallareláreadelrecintolimitadoporlaparábolay=x
2
,larectay=-x+2y elejeOX
Área(R)=
1 2
0 1
2 25
6
(−x+2)dx=uxdx+

y=x
2
y =-x+ 2

24. EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Midoel logrodemi aprendizaje

25. Hallarelárealimitadaporlassiguientescurvasenelprimercuadrante.
Obtenereláreadelaregiónlimitadaporlascurvas: y
2=x
4
−4x
3
+x
2
+6x+2
y
2=x
2
+3x+7
y
1=x
3
−x
2
−2x+2;
y
1=x−x
3
; y
2=x1−x
2
Obtenereláreadelaregiónlimitadaporlascurvas:
x
2
=9y−81;x
2
=4y−16; x
2
=y−1Obtenereláreadelaregiónlimitadaporlascurvas:
Obtenereláreadelaregiónlimitadaporlascurvas:
y
1=3x
3
−5x+3;
Practica Calificada

26. TRANSFERENCIA –APLICACIÓN
Formemosequiposdetrabajosparapotenciarnuestrosaprendizajes

27. PREGUNTAS FINALES:
1)¿Quéheaprendidoenesta
sesión?
2)¿Qué dificultadesse
presentaronenlaresolución
delos ejercicios?
3)¿Alcanzasteellogrodela
sesión?