Calculo para leigos

Cálculo Integral e Derivação

1. Fr

2. CáleulosPara Leigos® 7

Mn 0
Tabela geométrica muito boa

Todos os tiángulos. Star do cireulo Cilindro ciroular eto, Prisma reto
Ante ata {pense nopedago de pizza) oucaixa

ren ae

Trióngulo egüilätero

(06 0 ángulo central

lado /3

4 Comprimento do arco= Zr (ge) Aree de superficie
Tränguloretängulo (Comprimonta doarcoéo {Po perimatrofe
Teorema de Pitigoras + D = € comprimente da caca) reunforünie] da

(ca hipotenusa)

Sen Goometria de Coordenadgs
Volume = $ ne Dados dois portes
ban) o boy

Area da superficie 4x0

inagao =
‘Cone da pirámide. vera

(base plana, top pontudo)

Distáncio=

Ponto médio

ESSE DEZA
Tabela trigonométrica rápida

Trigonometia do tidngulo retängulo Identidades Formulas
Identidades recíprocas: Fórmulas do angulo-metade:

sent

Fórmulas dos ängulos dupls:

Identidades quociente: s0n20= 2eendcos0
wo. conto
A Formales de edu:
ns seni =—son0
Poca coma dorado pera anda Pagaroma: cola cosd
ras, molto par, sen cost a
Par comora oom or 129000

‘adianos,mlipique par 7A. 1 cog?o= cosacto

3. Cáleulos Para Leigos”

STA en
$ Tabela elegante da derivada

Regre do produte:-S (wv)=u'vevu Regra do quocieme (4) =

4
Lo
À ment.
6 fimo

3

4
9. sem cose

fi é
10. cose =-sene 12 Le eotges -cosee’x

em
13. seox=sextox

AA DOO
Fable elegante e util da integral
ae O fraceec
5 joa aso efinstsextmense
sfr 4 fetienaaayec
A fetes neem
À 1 [ena 14 feoterrdca-cormrsc 15 fsoextmeéneauece €
ee 1

Para Leigos”: Colecäo de sucesso para iniciantes

4. Calculos

PARA

LEIGOS

Mark Ryan

5. BIBLIOTECA DANTE ALIGHIERI

6. Calculos
LEIGOS

Mark Ryan

7. Clos para Leigos - 2 eticao

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ne by Mark Ryan Al hs reserved including the night of reproduction in whole or in part i
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comté COROM, disquete ou qualquer outra mia

rats atualizagóes: Sempre nos esfontamos pora enregar a oct, feto, um lor tore de eros
fées ou de condo porém, em sempre so € conseguido seja por motivo de alter de
Se. inerpreagio où mesmo quando alguns dexizs costa na verso origina de alguns
toro que rauzimes Sendo asin, criamos em nosso le, wit altabotes com ha sep Er
Hal one reotoremos, com adie corecdo, qualquer rro encontrado em nossos loros.

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Coondenacao Estonia: Marcelo rine
Coondenador Adminiratico e Conrtacta: Anderson Cámara
Tradogdo: Marcio Daniele

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Fechamento: Equipe Alta Books

Impresso no Bresil

O código de propriedade imelectal de 1 de Julho de 1992 proie expressamente o uso colo
tico sem utero dos detetores do diri autora da obra, bem como a cpia ilegal do
Original. Esta prática generalizado nos estabelocimentos de ensino, provoca uma brutal basa
nas vendas dos hero a ponto de impossibilar os autores de criarem novas obras.

ALTA BOOKS"

8. Sobre o Autor

Püs-raduado pela Universidade de Brown e pela Universidade de
Direito de Wisconsin e membro do Conselho Nacional de Professores de
Matemática, Mark Ryan ver ensinando matemática desde 1980.

Ele dirige o Centro de Matemática em Winnetka, llinois
(wwnwthemathcentercom),onde ensina nos cursos de matemática do
ensino médio incluindo uma introducáo ao cáleulo e um workshop para
05 pais baseado em um programa que ele mesmo desenvolvew:Os 10

hábitos dos estudantes de matemática mais bem sucedidos. No ensino.
édio,ele conseguiu obter duas vezes, uma pontuacáo de 800 na prova
de matemática do SATE ele ndo sabe apenas matematica ele também
tem uma facilidade de explicar tudo com um inglés caro, Ele exerceu a
profissfo de advogado por 4 anos antes de decidir que deveria fazer algo
que gostasse e usar seu talento natural para a matemática € laro,4 anos
€ muilo tempo, mas antes tarde do que nunca,

Cálculos Para Leigos é o segundo Io de Ryan.Seu primeira Ir,
Everyday Math for Everyday Lite ("Matemática para todos os dias da sua
vida”). oi publicado em 2002.

Um jogador de tomeios de gamáo « um esquiador e jogador de ténis
entusiasmado, Ryan mora em Chicago.

9. Dedicatória

Para os meus alunos de hoje e para os meus exalunos.Que aos ens
também fui ensinado por eles

Agradecimentos do Autor

Eu estou muito agradecido - mais uma vez — ao meu agente Sheree
Bykofskye sua equipe por ter me arrumado esse Iino Foi uma sorte para
mim quando eu me lei a Sheree Bykolsky Associates, Ine.

Um agradecimento especial ao meu cuntado,Steve Mardiks,e meus amigos
Abby Lombardi Ted Lowitz e Bany Sullivan pelos seus conselhos,edicio,e
apoio valiosos Josh Dillon fez um ótimo trabalho verificando o conteúdo
sobre cálculo do ro bem como a objetvidade do que fol exposto.

Todos na Wiley Publishing foram étimas de se trabalhar O editor de
aquisigdes Kathy Cox tem um desejo revigorante sem fim de atender
{8 desejos do leit: O editor de projeto Tim Gallan tem a mistura cena
de paciéncia e uma atitude de seguir dentro do prazo. Ele é um ed
talentoso que entende a foresta,as vores, quando editar e quando
näo editar.O copidesque Laura Peterson fez inómeros aperfcigoamentos
significainos no liro.E a equipe responsável pelo layout e ilustragáo lez
timo trabalho com as figuras dificeis e complexas do livro Esse lvro &
um testamento dos altos padröcs de todos da Wiley Publishing

10. Sumario Resumido

Introdugáo .

Parte I: Uma visäo geral do cálento....
Capítulo 1:0 que é Cálculo,

randes idéias do Cálculo: Diferenciagáo e integraçäo.… 15
Capítulo 3: Por que o cálculo funciona. 2

Parte Il: Se aquecendo com os
pré-requisitos do caleulo.

Capitulo 4:Préslge

Capitulo 5:Funçôes le

lo 7:Limites e continuidade 7

1 &:Avalando limites. E
Parte IU: Diferenciacao.. . 109
Capitulo 9-Orientagáo da die u
Capitulo 10: Regras da dilerenclao-Simcar,elas mandam. 131
Capitulo: Dilerenciacto eo formato das curvas. ist
lo 12:Seus problemas esto resovidos À dferenciaçao a re 125
Parte U: Integracáo e series infinitas...... 207
Capítulo 13: Inrodugäo. integra e rea aproximada 29
gracáo:Sua diferenciagáo ao contri. zu

as de inegragäo para especialista 250

Capitulo 16-Esquega o De Pil Use a integral para resolver problemas... 283
Capitulo 17: Série finit à 313
Parte UI: A parte dos “dez”... 337
Capitulo 18 Dez coisas para se Lembrar…. 230
Capítulo 19: Dez coisa para esquecer Ber
Capítulo 20: Dez coisas com as quai vocé náo pode escapar... 45

Indice Remissivo

349

11. Sumario

Introduçäo ..ssscscsee 1
Sobre este lio. E 1
Convengies usadas neste bro 2
Como usar ete ro: ae?

3
3
3

Suposigoes tolas
Como este livro € organizado.
Part Uma visio geral do cálculo,
Parte I: Se aquecendo com os prérequisios do cálculo.
Parte Il: Limites, 4
Parte IV-Diferenciacáo. 4
Parte V Integral e séries infinitas E 4
Parte VIA parte dos "dez? 5
Icons usados nest Iwo, 5
Para onde ir daqui pa 6

Parte I: Uma visäo geral do cálento.
Capítulo 1: O que é Cálculo?

O que ocálculo no €
Entao,o que é Cálculo? 2
Exemplos de cálculo no mundo real Y

Capítulo

Diferenciagáo e integral.
‘Adetvada € uma inlinacáo 5
Adenda 6 uma rao. nl

lnvestgando aintegragio. 1
Classifcando a ses infos. 1
Sees divergent 1

Capítulo 3: Por que o cálculo funciona
O que acontece quando voce amplia
Mas o que info realmente signi?

12. KIT Câlculos para Leigos — =

Parte Il: Se aquecendo com os
pré-requisitos do cálento ....

Capítulo 4: Pré-algebra e revisáo de álgebra .
Ajustando as suas rages
Algumasregras rápidas.
Muliplicandofragóes
Dividindo tracoes
SomandoIragoes
Subiraindofagoes
Simplicando fagoes
Valor absolut absolutamente ci

Fortalecendo os seus poderes,
Fisando as rires
Regra das razes — ou melhor regra da raiz
Simpliicando rares i
Logaritmos - isso náo € um evento na competigao de lenhadores „39

Fatorando - Quando é que eu vou precisar disso? 10
‘Achando o MDC un 40
Procurande um padrso. ee
Tentando algumas fatoracóes tinomials a
Resolvendo eq) a2
Método 1:Fatorando. 42
Método 2:A formula quadrática. 2
Método 3:Completando o quadrado a

Capitulo 5: Fungöes legais e seus ótimos gráficos 45

Ö que é uma fungao? 5
As características explicativas de uma funçäo. 45
Varidveis independentes e dependentes.…… 47

Notacño das fungoes. 48
Fangio composta me)

Com 0 que uma funçao se parece”, 49

Fungöes comuns e seus gráfico. El
Retas no plano em portugués claro. 51
Funçäo de 2° grau e modular - mesmo trabalho 5
Algumas fung es esquisitas…. 55
Fungdes exponencial 56
Funcóes logarítmicas 56

Fungóes inversas rom 57

Deslocamentos,reflexos eticamentos e vedugdes 58
‘Transformacoes horizontais.

Transformagdes verticais 5

Capitulo 6: A dança da trigonometria,
Estudando tigonomeria no acampamento Sola 68
Doi ing retängulos espect “

Otrangulo 45749990", si

13. ‘Sumario

O triángulo 30-60-90" — 6
Circulando o inimigo com 6 círculo unitário 66
Angulos no círculo rigonométrico 67
Medindo ángulos com radianos. 67
Querida eu encolhi a hipotenusa. 69
Colocando tudo junto 69
Desenhando o gráfico do seno,cosseno e da tangente a
Funçoes trigonométricas inversas are 2
Identificando com identidades trigonométricas en 1

Parte 111: Limites.

Capítulo 7: Limites e continuidade ..
Leve 20 imite - NAO. Sr
Usando trás hungöes para llustar o mesmo limite
Andando de lado com limites lateais
finicäo formal de limite —0 que voce estava esporando #2

tos € assímolaS VELÄCAI ennn ®
es no infinito - bem distantes, cara! 88
alculandoa velocidade instantánea usando limites a

Unindo limites e continuidade 86

Continuidade e limites normalmente andam juntos. 87

A excegáo do intervalo aberto conta toda a história 88

Descobrindo a bobagem matemática da continuidade 89
‘© mnemónico 33333 do limite

Capitulo 8: Avaliando limites
Limites face's
Pegue e Leve, e
xdadciros problemas sobre linites cenas 95
Descobrindo o limite com a sua calculadora, 9

Er

Resolvendo problemas sobre limite com a alg 97
Faga uma pausa e prepare um sandufche de limite 100
Avallando limites no infinito. 104
Limites no infinito e assintotas horizontal. 105
Resolvendo problemas no Infiito com uma calculadora... 105
"Usando a álgebra para limites no inn. 107

Parte IV: Diferenciagao..
Capítulo 9: Orientagäo da diferenciagáo

Fazendo a dierenciacio: É somente encontrara inclinagáo.
Ainclinagao de uma reta
A derivada de uma ret,

A derivada: É apenas uma razáo.
Cálculo no parque infantil,

KIN

14. XUV Cálculos para Leiges —__ A _—

Velocicade - a razäo mais familia. us

A correlacáo razao ~ inclinagäo. nig
A derivada de uma curva, 10
O quociente da diferenga. a 12
Razio média e instantánea. 128
Ser ou no ser? Ties casos onde a derivada nao existe 129

Capítulo 10: Regras da diferenciagáo —

Sim, cara, elas mandam..

Regras básicas de diferenciacáo.
la constante

A regra da poténcia

A regra do múltiplo constante

A regra da soma ~ El! Esa 6 uma regra € tanto que voce tem af

A regra da dilerenga- nao faz ierenca,

Achando a derivada de fungoes trigonométricas

Achando a dorivada das funçües exponenciais e logaritmicas. 186

Regras da diferenciacäo para especialistas —
Ah sim,eu sou um nerd do cálculo. 137
À regra do produto. ‘ 137
A regra do quociente, 138
A regra da cadela, 139
Diferenciagao implícita. 144
Entrando no ritmo com a diferenciagao logaritmica 16
Fazendo a diferenciagao de funçBes inversas, 147
Escalando as alturas das derivadas de ordem superior. 148

Capítulo 11: Diferenciagáo e o formato das curvas 151

Fazendo uma longa viagem de carro através do cálculo, 151
Escale cada montanha,cruze cada riachiorinciinagóes
positvas e negativas. 182

Eu näo consigo pensar em uma meldfora sobre viagem
para essa segäo:concavidade e pontos dei
Esse vale das lágrimas: valor minimo local
Uma vista panoráimica:o máximo absoluto.
Problema no cano: preso no vértice.
Euma descida a partir daqui
Seu díário da viagem
Encontrando os valores exte

os locals Minha mae

ela é assim totalmente extrema i 155
Escrevendo os números erticos AT
O teste da derivada primeira 157
O teste da derivada segunda = näo,näo tudo menos

out teste 159

Encontrando os valores máximos € mínimos absolutos em
“um intervalo fechado.

ntrando as valores máximos € mínimos absolutos

sobretodo o dominio de uma JUNgáO va 165

15. ‘Sumario
Localizando a coneavidade e os pontos de inflexáo. 166
Olhando os gráficos das derivadas até que eles me tirem do sério. 168
Oteorema do valor médio — GRRRRR 12

Capitulo 12: Seus problemas estäo resolvidos:

A diferenciaçäo ao resgate!
Aproveitando o melhor (ou pior) da vida: problemas.

175

de olimizacio 15
O volume máximo de uma caixa 16
Area maxima de um curral -yeehaw! im

1oiö-Poigöo,velocidade,e aceleracäo. re
Velocidade versus rapidez (ou celeridad) nn 182
A altura máxima e minima 132
Velocidade e deslocamento 153
Rapidez e distancia viajada. 181
Cantando pneu e marcas de derrapagent acelergao

e desaceleracio. 185
Amatrando tudo junto. 185

‘Taxas relacionadas — elas avaliam, elatvamente 187
nchendo uma calha 189
Aperte o cinto de seguranga:vocé esta se aproximando

do cruzamento do cálculo.
‘Tangentes e normais: conectadas intimamente.
© problema da tangente
O problema da normal
Atirando em linha reta com aprosimacóes lineares.
Problemas de administracao e economia.
Controlando marginais em economia.

Parte U: Integracáo e séries infinitas.

Capítulo 13: Introducáo à integragáo e
área aproximada

Integragáo:apenas adicáo sofsticada. 209
Encontrando a área sob uma curva an
Lidando com a área negativa zu

‘rea aproximada 214

Area aproximada pela soma dos extremos esquerdos. 214

tea aproximada pela soma dos extremos diets. 218
Área aproximada pela soma dos poto médios.….220
Ficando sofisticado com a notacáo somatória En]
Resumindo os conceitos básicos. zı
revendo as somas de Riemann com a n01aga0 Sigi nu. 222
Encontrando a área esata com a integral definida 225
Area aproximada com a regr do tapézio € a regra de 5 228

A regr dotrapério 229

‘A regra de Simpson ~ isto 6 Thomas (1710-1761),
‘endo Homer (1987-) 2 A 230

xv

16. KUÍ Cálculos paraLeigos aN

Capitulo 14: Integragäo: sua diferenciaçäo
ao contrário..
Antiiterenciagdo 10 6. dllerenciagao ao contre
Vocabulrio Vestumab lao Que detenga io fa?
Ainitantefangio da rea E
‘poder ea lóra do Teorema Fundamental do Calculo
© Teorema Fundamental do Cateulo:parte dois
For que 0 leorema funciona: xpllacho
das unçoes da área
Porque o teorema funciona: 2 explicacio
das ungöes da área
és técnicas básicas.

yacáo / diereno

Encontrando as antiderivada
Regras inversas para as antiderivadas
Adivinhando e verificando.
O método da substituigäo

¡comtrando a área com problemas de substituicao.

Capítulo 15: Técnicas de integragäo para
especialistas.
ne
a
Pen
Andando enero
a ae
toners
Deere
Seu ies pesao niet tigpnem eed
Caso I angers
Caso 2 Sens,
Cas scan z
Os As Bee Gs des ages parias
Goo EE apena Rang iar
Cao 210 denominator coer stos quad eos red
ae 6.0 deroninadorconie ere Ina 6a
dre repetidos
Beine Bela ar eee

Capitulo 16: Esquega o Dr. Pl
para resolver problemas.

: Use a integral

'O Teorema do Valor Médio para as integris e valor 284
À fea entre dus curvas - duas vezes a diversio 287
Encontrando os volumes de sólidos estranhos, 290
O método do cortador de caine. : 290
O método da pilha de par 282

17. _ Súmario YY if

O método da pilha de rosquinhas nas quais alguém sentou

em cima 203
© método das bonecas rissa aninhadas uma dentro da outa, 295
Analisando o comprimento do arco. 297
Superticies de revolugAo - passe a garrala de pesson para pessoa, 299
Regra de 1: Hospital: Cálculo para o docnte.. 302
Colocando as formas inaceltáveis em forma. ...308
Mais tres formas inaceiláveis EN
Integris impróprias basta olhar para a maneira como
a integral está segurando o seu gar! 305
Integrais impróprias com assintotas vertical 306
Integra impróprias com um ou dois limites infinitos
de integraçao… 308
Fazendo soar a cometa de Gabriel... 310

Capitulo 17: Série infinita

Seqücncia e vérie:O que elas ño. a $14

Amarrando as seqúéncias 1
Somando series 316
Convergencia ou divergéncia? Essa € à questao, 319
Um teste de divergencia Sbvio:0 teste do nésimo termo 319

Ties séries básicas e seus testes de convergéncia/divergencia . 320
Ties estes de comparagáo para convergéncia/divergéncia.....323

Os dois testes do"R":Razäo e raizes, za ei
ie allernada…… 331
Encontrando a convergencia absoluta versus a condicional … 381

O teste da série aternada, aot 332
Mantendo todos os testes corretos 3

Parte VI: A parte dos “dez” .

Capitulo 18: Dez coisas para lembrar.
‘Seu óculos de sol
&-b=(a-b)(a+b)

2 =0.mas 5 € indefinido 339
qualquer coisa’ 1 340
SohCalvlva, =
Valores trigonomótsicos para ángulos de 90,45, 60 graus

Sert(8) + cos (2) rs

A regra do produto sal
À regra do quociente.. su
Onde vocé coloca as suas chaves. as sl

Capitulo 19: Dez coisas para esquecer.
(q+ bf =a".

18. XVII Cálculos para Leigos —

indlinaçäo = - Erradol. ES
aro 0?

prado! 346
4 43231? -Erradol

Frese -Erad = 36
ee pre estas ss

A regra do quociente €

Tea

Errado! 46

ae

ado 4
[censée co à C- Edo >
Race en

Capitulo 20: Dez coisas com as quais
vocé nao pode escapar..

Dé duas respostas em perguntas de prova.
Escreva de forma level nas provas.
[Nao mostre seu cálculo em prov
Nao faca todos os problemas da prota.
Culpe seu companheiro de estudo pela sua nola baixa
5 ¡ue vocé precisa de um’X em cálculo para
Impressionar sua cara metade 346
Reclame que provas de manhä cedo nño sño justas porque

ga 20 sau professor

voce nao € uma"pessoa matutina 917

Proteste contra toda essa idéia de notas. 2
Puxe o alarme de incéndio durante a prova. ed
Use esse livro como desculpa 347

Indice Remissivo ...

349

19. Introducáo

que cálculo € impossivelmente difícil a menos que vocé seja um
«lescendente direto de Einstein.

Bem eu estou aqui para dizer a vocé que vocR pode dominar cálculo.
Nao chega a ser to difícil quanto o seu misticismo leva a crer À maioria do
cálculo é apenas álgebra, geometria e tigonometria avancada Ebaseado
cm e& uina extensao lógica dessas matéras Se voce pode fazer álgebra,
geometria etrigonometria,vocé pode fazer cálculo.

Mas por que vocé deve se incomodar ~ esceto pelo fato de ter que fazer um
‘curso? Por que escalar o Monte Everest? Por que ouvira nona sinfonia de
Beethoven? Por que visitar o Louvre para ver a Mona Lisa? Por que ver Os
Simpsons? Assim como esses esforos fazer cálculo pode ser sa propria
recompensa.H4 muitos que dizem que o cálculo é uma das malores
conquistas de toda a historia intelectual. Como tal, vale o esforca Leia esse
livro sem jangoes, entenda cálculo,ese junte aos poucos que podem dizer
com ongulho:*Calculo? Ah,& daro,cu sei Cálculo.Náo é grande coisa”

Sobre este livro

Cálculo Para Leigos € destinado a ts grupos de letores:estudantes que
estao no seu primeiro curso de cálculo, estudantes que precisar rever
cálculo para se preparar para outros estudos, e adultos de todas as idades
que gostariam de uma boa introducáo ao assunto.

vocé está matriculado em um curso de cálculo e acha que seu livronáo &
muito laro.este 6 lvro para vocá Ele abrange os tópicos mais importantes
do primeiro ano de cálculo: iferenciagáo,ntegracio e séries infinitas.

Se vocé teve cálculo intermediário, mas faz alguns anos, e quer revisar os
‘onceitos para se preparar para, digamos, lgum programa de pósgraduacño,
Cálculo Para Leigos vai Ie dar um curso de recilagem completo esensato.

Os eitores que nao säo estudantes váo considerara exposigáo clara
«e acessivel. Cälculo Para Leigos tira o cálculo de dentro da torre de
marfim e 0 traz de volta atera

20. 2,

Cálculos Para Leigos — —

Este 6 um livo de matemática amigável. Sempre que possivel.ev explico.
os conceltos de cálculo mostrand do cálculo.
as idéias mais fáceis da álgebra e da gcomerra, Eu entáo mostro como
05 conceitos de cálculo funcionam em exemples concretos e apenk
depois é que mostro as fórmulas de cálculo mais sofisticadas Todas as
explicagóessño em portugués clar, e nao em linguagem mate

Convencóes usadas neste livro

As convengdes a seguir mantem o texto consistente e muito fácil de
comprender
1 varidweis esto em étdico
1 Ostermos do cálculo estáo escritos em itlico e definidos logo que
aparecen no texto.

17 Na resolugäo de problemas passo a passa acáo geral que vo
precisa tomar está em negrito, seguida pelas partes específicas do
problema em particular

Como usar este livro

Este tivo, como todos os livres Para Leigos,é uma referéncia, náo uma aula
de reforga Essa abordagem pode parecer um pouco estranha para um ro
de matemética mas a idéia básica é que os capítulos possam valer po ió.
Se voce nao quiserlero wo de capa a capa, ndo precisa. Agora se voce €
‘um iniciante absoluto, voce provavelmente deve iniciar com o Capítulo 1 e
Seguir o seu caminho através do lio. Mas se voc® já conhece cálculo fique
2 vontade para pular e ler apenas os tópicos que Ihe interessam.

Pode ser uma grande ajuda para realmente entender cálculo - ou.por sina,
‘qualquer tépico de matemática — focar no porqué juntamente com o de
¿que forma Com isso em mente,cu me estorcei muito para explicara lógica
básica de muitas das détas desse lio Se vocé quer dar ao seu estudo de
cálculo uma base sólida,vocé deve ler estas explicagóes. Masse voc
realmente com pressa,vocé pode chegar ao ponto e ler apenas as cosas
introdutórias importantes, os exemplos, as solugdes passo a passo;e todas
asregras e definigdes pero dos icones Voc pode ento er as explicagóes.
tes somente se sentir necessidade

Eu acho as informagóes adjacentes interesantes e divertidas (O que voce
perava? Eu as escrevi), Mas voce pode pular elas sem perder nenhum
culo essencial.Nao,vocé nao vai ser testado nessas coisas

21. Introduçäo

Suposiçôes tolas

de doido mas eu suponho que.

ometria eda tigonometria.

senos o básico da älge
rajado, Parte Il

pequenos e importantes da álgebra, da geometria e da trigonom
va panhar todas as

que saber das árvores
A Mocé está disposto a ter algum t

Iho.Eu

mas é cálculo afinal de contas.Voc® nao pode

Jo apenas ouvindo uma fa no seu carro ou tomando
menos ainda nao

1550 € pedir muito?

Como este livro é organizado?

0 divididas em capítulos
icos (Eu pedia patente para

s capítulos
se esquema),

livro€ dividido em parte
sho divididos em tépicos es

Parte I: Uma visáo geral do caleulo

Depois de ler a Parte I, voc® vai ser um dos poucos que pode realmente

a chave que

faz o cálculo uke 6 concelo de limite

3

22. 4 Cateutos Para Leigo

Parte 11: Se aquecendo com
os pré-requisitos do cálculo

Juinde fungoes)

menos pa
prérequisitos~ especialmente álgebra

Parte 111: Limites

dos limites é toda bascada em cálculo. Limites nos.
permit eta forma, ampli
mais e mais até o infinito até que fique e
Tinka rela, a velha álgebra e geometria basi
a mágica do cálculo.

Parte IV: Diferenciacáo

curl do cáleulo Di

& 0 proceso de encontrar uma derivada e
‘como quilómetros por hora ou reais por
derivada diz a vocé a inclinagio da curva

uma derivada €
unidade.No gr

23. Introdugáo

Esobre as séries infinitas? Pense nisso por um instanteSe vocé comega a
ima distancia de 1 jarda de uma parede e depois anda metade do espaco,
© depois mais uma metade,e depots mais uma metade (Eu aposto que voce
JA ouviu iso), quanto tempo vocé vai levar para chegará parede? Resposta
Depende. Há números infinitos de passos nesse proceso, entño,se cada.
passo leva digamos, I segundo, voce nunca vai chegar1á.5e,no entanto,
pode manter uma velocidade constante de, digamos, jarda por segundo,
sem parar e diminult ao final de cada passo,vocé ainda vai dar um número.
infinito de passos mas voce vai hogar lá em exatamente 1 segundo!

Esse surpreendente resultado de somar um r infinito de passos, mas
Obter uma soma finita, € 0 que o último capítulo da Parto V abrange:É um
'ópico cheio de paradoxos bizarros.

Parte Ul: A parte dos “dez”

Aqui voc® vai encontrar tés lists dos 10 mais: dez coisas para lembrar dez
‘coisas para esquecer e dez coisas com as quais voce pode escaparse ser
professor de cálculo nasceu ontem (meu favorito.

Ícones usados neste livro

Mantenha seus olhos nesses icones:

deste (cone esto regras essenciais de cälculo,definigöcs,e fórmulas

Y ages, Essas slo coisas que vocé precisa saber da álgebra, geometria, ou
© MM) ‘sigonometria, ou coisas que voc’ deve se Iembrar de algum lugar do

J/ comego do liv.

oh
O icone do centro do alvo aparece perto de coisas que vio tomar a sua
vida mais faci. Anote,

N

SD
M) se core destaca ros comons de ciclo Pres tengo
}

cálculo ertico,voc® geralmente náo precisa
orizar as fórmulas sofisticadas perto deste cone a nfo ser que seu

) protessor de cálculo insista.

24. 6 catcutos Para Leigo

Para onde ir a partir daqui

Para o Capitulo 1,6 clato,se vocé quer comecar pelo cc
Já tem alguma base em cálculo ou precisa de apenas um curso de
reciclagem em uma área ou outra, entáo fique a vontade para pular
algumas coisas. Use o sumário e o indice remissivo para achar o que voc®
está procurando. Se tudo estiver indo bem, em mais ou menos um ano,
vacé vai estar aplo alicaro cálculo na sua ista:

negoSe voce

Comer uma maratona
Saar sem páraquedas
2 Bscrever um tivo

2 Aprender cálculo

— Nadar no Canal da Mancha
—_ Curro cancer

— Bscrever uma sinfonia

Darum salto de 360° inverido no X Games

Para 0 resto da sua lista, voce vai ter que resolver tudo sozinho,

25. Parte |
Uma visáo geral
do cálculo

A 5% onda por Rich Tennant

[Eusoumatematican
| disléxico. Mas náo é to incomum
1550 |

26. s sempre feitas"O que é

27. Capítulo 1
0 que é Cálculo?

Neste capítulo

‘Voce está apenas na página 1 € voce já tem uma prova de céleulo

Cálculo - € apenas matemática básica modifi

Dar um close é à chave
(O mundo antes e depois do cálculo.

“Meu melhor dia na turma de Cálculo 101 na Universidade
da Catifórnia do Sul foi o dia que eu tive que faltar aula para
fazer um canal

Mary Johnson
“Eu continuo a ero mesmo sonho onde meu professor de cálculo
me persegue com um machado"
Tom Franklin, aluno do 2° ano da Faculdade do Colorado
"Cálculo € divertido, e € muito fácil. Eu ndo entendo porque
tanto ue”.

‘Sam Einstein bisneto de Einstein

O que o cälculo nao é

Nao faz sentido adiar o inevitével Voc8 está pronto para o seu pri
teste de cálculo? Responda verdadeiro ou falso.

28. TO parte umo visto goral do cálculo ____— A

VF Anko ser que voce seja um nerd vocénáo tem quese meter com cálculo

V F Estudar cálculo é prejudicial à saúde

V F Cálculo é totalmente irelevan

Falso, falso, also! Wa essa lenda sobre o cálculo de que cle é
extremamente diffi, uma matéra tio misteriosa que ninguém em sá
consciéncia estudaria a nao ser que fosse um curso obrigatério.

Nao se deixe convencer por esse mito. claro que cálculo € difici Eu
no vou mentir para voce: — mas € administrável,passivel de ser fito.

Voce consegui sobreviver álgebra, geometria trigonometra. Bern,
cálculo apenas comega onde essas matérias termina —ésimplesmente o
próximo passo em uma progressao lógica.

Ecálculo nao é uma lingua morta como o aim falada apenas por
profesores a linguagem dos ongenheiros,cietitas e economistas ok,
nt € uma linguagerm um pouco fora da sua vida diäria € pouco provavel
de surgir em um coquetel Mas o trabalho desses engenheiros,cientistas

e economistas tem um grande impacto no seu dia a dia - desde o seu
microondas telelone celular IVe caro até os remédios que voce toma,

‘0s mecanismos da economia. e a sua scgurança nacional. Neste exato
momento,algo ao seu alcance ou à sua vist oi impactado pelo cálculo.

Entáo, o que é o Cálculo?

Cálculo é basicamente toda a álgebra e geometria avangada. Em certo
sentido, náo é nem uma nova matéria~ ele pega as regras corriqueiras
da álgebra e da geometria © as ajusta para que possam serusadas em

problemas mais complicados (O problema,clar,é aquelé outros
no qual cálculo é uma matéria nova e mais difícil)

Veja a Figura 11.Na esquerda tem um homem empurrando uma caixa
em uma rampa com inclinacáo em linha zeta. Na dirita,o homem es
empumando a mesma caixa em uma rampa com inclinagäo cura. O
problema,em ambos os casos é determinar a quamidade de energia

ecessária para empurar a caixa até topo Voce pode fazero problema
da esquerda usando matemática básica, Para o da direia,voce precisa do
cálculo (supondo que vocé nao saiba dos atalhos da física)

Para a rampa com uma inclinagäo em linha reta,o homem empurra com
uma forga constante a cal sobe a rampa com uma velocidade constante.
‘Com algumas formulas simples da ica e da matemática básica (incuindo
álgcbra e rigonometria),voe8 pode calcular quantas calorias de energía

so necessärias para empurrar a caixa na rampa, Note que a quantidade de
energia gasta em cada segundo continua a mesma.

29. ent
Adterenga
menées
básica e
calcul
emuma 36

Capitulo 0 que é Cálculo? 17

Para a rampa com inclinaçäo curva, por outro lado,as coisas estáo
mudando constantemente A inclinagño da rampa está mudando - €

do apenas em incrementos como, por exemplo,é uma inclinagáo para
os primeros 10 pés e depois uma inclinacáo diferente para os próximos.
10 pés — está constantemente mudando.E o homem empurra com uma
forca que está constantemente mudando - quanto mais inclinada € a
rampa, mais pesado fica empurra a caixa. Come resultado, a quantidade
de energia gasta também está madando,nao a cada segundo ou a cada
milésimo de segundo,mas constantemente mudando de um momento
para o outro. É iso que o faz ser um problema de cálculo Por agora
no deve ser surpresa para voce que o cálculo seja descrito como "a
matemática da mudanga”.Cälculo pega as regras básicas da matemática €
aplica em problemas fextvels e desdobrávels

Para o problema com inclinacäo curva,as fórmulas da física continuar

as mesmas,e a álgebra e a tigonometra que voc® usa continua a mesma.

A dilerenga € que em contraste ao problema da rampa com inclinagáo.

reta,onde vocé de certa forma pode fazer num piscar de olhos- vocé tem

que dividiro problema da inclinaçäo curva em pedagos pequenos e fazer

cada pedago separadamente A Figura 12 mostra uma pequena parte da
nclinagdo curva ampliada em muitas vezes o seu tamano.

Faust
Ampliondo &
curve val
est ela

Problem de edle

Quando vocé amplia o suficiente,o pequeno comprimento da inclinagáo
curva se toma praticamente reto. Depols, pelo fato de estar roto,vocó pode
resolver esse pequeno pedago da mesma maneira que o problema com.

30. 12 parte 1: Uma visio geral do cálculo _

a inclinaçäo em linha reta. Cada pequeno pedago pode ser resolvido d
sma maneira,¢ depois vocé tem que apenas soma todos os pedagos.

cálculo

poucas palavras.É preciso de um problema que
cr fito com a matemática básica porque as coisas estáo

mudadas s40 vistas no gráfico
como curvas = elas sáo ampliadas na curva até que setornern retas,e
depois deixe a matemálica regular terminar o problema,

O que torna o cálculo uma # 30 € que ele realmente
amplia infinitamente. Na reali je vocé faz em cálculo
envolve o infinito de uma maneira ou de outra, porque se algo

lando,está freqientemente mucando infinitam
itesimal momento até próximo.

decada

Exemplos de cáleulo no mundo real

Assim,com a matemática básica voce pode fazer o problema com à
inclinagäo em linha reta;com cálculo vocé pode fazer o problema com a
inclinagäo curva. Aqui tem mais alguns exemplos.

Com a matemática básica vocé pode determinar o comprimento
de um cabo subterráneo que corre diagonalmente de uma quina
de um parque para a outra. Com cálculo vocé pode determinar o,
comprimento de um cabo sublerräneo entre duas torres que tem
© formato de uma catenäria (que por sinal € diferente

circular simples ou uma parábola).Saber o comprimento certo $e
extrema importáncia para uma empresa de energia elétrica planejando.
centenas de milhas de cabos eléticos novos Veja a Figura 1-3.

et

Problema de ese:
blos, Quai eonprimonte do cabo?

Figura
Sem cálculo

ua comgrimam cabo?

31. — Capítlo1:0 que 6 Cateuto? 13

Vocë pode calcular a área do télhado plano de uma casa usando a
matemática básica.Com o cálculo vocé pode calcular área de uma figura
mais complicada e nao esférica como a abóbada do Houston Astrodome.
Osarquitetos desenhando tal construgño precisar saber a área da abóbada

nina o custo dos materials para descobriro peso da abóbada,
(com ou sem neve). peso claro, necessrio para planciar a resisténcia da
situ de suport DE uma olhada na Figura 14,

Figura ra
Sem cálculo

died, Problema de matemática básica Probleme de eu:

‘Qual área do tohado? (ala ros da abóbada?

Com a matemática e a física básicas, voc’ pode calcular a distancia,
‘que um zagueito deve langar a bola para o atacante para completar o
passe. Note que o atacante corre em uma linha reta e a uma velocidade
«constante, Mas quando a NASA,em 1975,caleulou a trajetória
necessäria para o satélite Viking I chegar até Marto, ela precisou de
cálculo porque tanto a Terra como Marte giram em Órbitas elfpticas (de
diferentes formas) e as velocidades de ambas estäo constantemente
mudando - sem mencionar o fato de que no seu caminho para Marte, a
nave espacial é afetada pela diferente e constante mudanga da atragáo
gravitacional da Terra, da lua, de Mante, do sol Veja a Figura 15.

Voce verá muitas aplicaçôes do cálculo no mundo real ao longo desse
liero:Todos os problemas de diferenciagäo na Parte IV envolvem a
ilinagáo da curva - como a inclinagáo da rampa curva na Figo
1-1.Na Parte V,vocé fara problemas de integraçäo como o problema
do comprimento do cabo mostrado na Figura 1-3.Esses problemas
envolvem dividir algo em segóes menores, calcular cada segáo, e depois
somar as seçôes para obler o total.0 Capítulo 2 ter mais sobre iso.

32. TE. pare Uma visto geral do cálculo ———

Probl
ual

AE cians E
da Era do = a
Gates} e
ECltrado

Cate)

33. Capítulo 2
As duas grandes idéias do Calculo:
Diferenciacáo e integracáo

Neste capítulo

Investigando profunda

a derivada: é uma razño ou uma inclinagio
Investigando a integral adicáo para espectalistas

Séres infnitas: Aquiles versus a tartaruga ~ fagam suas apostas

ge dois t6picos principais em cálculo - iferenciacäo
to topico.séres infiitas.Todos.
montados com base

a iia de infinito.

Definindo a diferenciacáo

A derivada é uma inclinacáo

Fm álgebra,vocé aprendeu sobre a inclinagäo da reta

entre 0 aumento e a distancia

Veja a Figura 21.Deixe me adivinhar:L

está tomando conta de você.

34. 16 an:

az
Aineinacáo
de uma ia
Sigual ao
sobre a
distancia

ma visäo geral do cálculo

© aumento 6 mais ou menos metade do tamano da
distäncio,assim a inha tem uma inclinagáo de mais ou menos

Em uma curva inclinago está constantemente mudando entáo voce
precisa do cálculo para determinar sua inclinagäo Veja a Figura 22

Foun22 =
Aincinagio LT |umanto
de uma

c

ti simples — =
—— "À Distäncia

Assim como a linha na Figura 21,a linha da Figura 2-2 tem uma.
inclinacao de mais ou menos %.E a inclinacáo dessa linha € a mesma
em cada ponto entre A e B. Mas voe8 pode ver que, ao contrário da
linha, a inclinagáo da curva está mudando entre A e B.No ponto Aya
‘curva é menos inclinada do que a linha, e no ponto Ba curva € mais
inclinada do que a linha.O que vocé faz quando quer a inclinaçäo
exata no, digamos, ponto C?Vocé pede adivinhar? Tempo esgotado
Resposta:Vocé amplia. Veja a Figura 23.

ET
Amplando à
sea, — 7

Quando vocé amplia bastante suficiente - muito bastante na verdade ao
infinito pequeno pedago da curva se toma sea, voc’ pode descobhira.
inclinagáo da maneira antiga F assim que a diferenciaçäo funciona

35. Capitulo I As duas grandes idéias do Cálculo: Diferenciagdo eintegragao 7 7

A derivada é uma razáo
Vio que a derivada de uma cura a incinaçäo que 6 igual ao FRE
au aument por istncia- a derada também uma rzño um ds por
aqua comoporesempl quilómeirs por hora o os por minuto (o
ome de uma 230 em particular depende simplemente das unidades

as nos eins x). dois gáficos na Fgur 24 mosram arlacio ene
disóncia tempo cs podem rpreentaruma viagem no seu cana

y trino) y mes)

Problema de matemática hésica: Probloma de cálculo
Qual a 12230 média ual à rar instamänos
entre os pomos Ae 87 ‘no Ponto C?

Um problema de álgebra básica € mostrado à esquerda na Figura
Se vocé sabe onde estáo os pontos A e B, voc® pode determinara
inclinagäo entre A e B,e, nesse problema, essa inclinacio Ihe dá a razáo
média em quilómetros por hora para o intervalo de A até B.

4

Para 0 problema da direta,por outro lado, vocé precisa do cálculo. Usando
a derivada da curva,voc? pode determinar a inclinagáo exata no ponto.
C.Logo à esquerda de Ca inclinagáo € menor e logo à direita de Ca
incinagäo € maior Mas exatamente no ponto C,por um único momento
infinitesimal, voce acha uma inclinagao diferente das inclinagóes dos scus.
vizimhos.A inclinagáo para este ponto infinitesimal único na curva dá a
vocë a razáo instantanea em quilómetros por hora no ponto C

Investigando a integracáo

Integracáo € a segunda grande idé
uma adigño mais sofisticada. Integra
‘em pequenas segdes,descobrir

em cálculo, e é basicamente apenas
0 6 0 processo de dividir uma área.
eas dessas sedes menores, e depois

36. 18 pare t: Uma visio geral do cálculo

somar os pequenos pedacos da área para achar a rea Lotal.A Figura
'5 mostra dois problemas de área ~ um que vocé pode fazer usando a
geometria e um onde voce precisa do cálculo.

Probloma de geometria: Problem de cálculo:
Quel a área da paro sombreada? Quai 2 dre de parte sombreado?
ET
Se vooe
ño pode
determinar
esquerda,
destigue
esleuladors

A área sombreada na esquerda 6 um retángulo simples, entäo sua área,
6 claro,é igual à base vezes a altura. Mas vocé näo pode descobrir a
área da direita com a geometria básica porque näo há uma formula
para esse figura engragada. Entáo,o que vocé faz? Vocé amplia, clavo
À Figura 26 mostra a porgáo de cima de uma faixa estreita da figura
estranha ampliada em muitas vezes o seu tamanho.

ver, quan
voed ampli,
toma uma

Quando voc& amplia como mostado na Figura 26,3 curva se tor
praticamente reta,e quanto mais voc® amplia, mas eta ela fica - com

a integragáo,vocé realmente amplia a uma distancia infinita, de cera

forma \océ acaba ficando com o formato da direta na Figura 26,que &

um simples rapezóide - ou,se vocé quiserser bem basico,é um triángulo.
sentado no topo de um retángulo.Visto que voc2 pode calcular as áreas dos
retángulos,tiangulos e trapezóldes com a geometria básica,voc? pode ter
à área disso e de todos os outros pedacos finos e depois somar todas esas
reas para obrera área total Iso € integragäo.

A Figura. 27 mostra dois gráficos do consumo de energia elérca de dus
cidades em um dia típico de veráo.O eixo horizontal representa o número de
horas depois da meienoit.e o eixo vertical a quantidade de poténcia (em
quilowats) usada por uma cidade em diferentes horas durante dia.

37. — Capitulo I As duas grandes lies do Célculo:Diferenciagao eimegracan 7 9

Probloma do geomet
Qual 6 0 nimer etal de quit hors mero ot tora
do onerga usada entre De 287

Figura)
Total do
quilowat:
hora de man
energia
usade por so
uma cidade
durante um

nico i

Alina deformada na esquerda e a linha curva na diteta mostram como
'O número de quilowatts de potencia depende da hora do dia, Em ambos
05 casos a área sombreada dá o número de quilowattshora de energia
«consumida durante um período típico de 24 horas.O problema super
simplificado da esquerda pode ser feito usando geometria básica, Mas

a relacáo entre a quantidade de poténcia usada e a hora do dia € mais
complicada do que uma linha reta deformada, assim vocé precisa do
cálculo para determinar a área total. No mundo real, a relagäo entre as
diferentes variáveis 6 raramente 140 simples quanto um gráfico de uma
Tinha reta. É isso que torna o cálculo tao tit

Classificando as séries infinitas

Series infiitaslidam com a soma de um número infínito de números.
io tente Isso na sua calculadora - ao nao ser que voce tenha muito.
tempo livre. Aquí temos um exemplo simples. À seqilencia de números
a seguir 6 gerada por um processo de duplicaçäo simples - cada termo
& duas vezes o seu antecesor:

1,2,4,8,16,32,64,128.

As series infinitas asociadas com essa seqiiéncia de
soma dos números

¡meros é apenas a
1424448416 4924644 1284,

Séries divergentes

A séria acima de números duplicados 6 divergente porque se vocé,
‘continuar a adigao indefinidamente, soma vai crescer sem limite. se voce
pudessesomar todos” os números nessa série —isto &,todos os infinitamente
‘muitos deles=a soma sera iniita.Divorgente normalmente significa hä.
excegdes ~ que assériestendem ao infinito.

38. 20 ario: Uma visto geral do cáloulo

Séries divergentes sáo pouco Interessantes porque elas fazem o que
spera Vocë fica somando mais nlimeros,assim a soma continua

aumentando,e se vocé conlinuar com isso para sempre, a soma tente
para 0 infinito. Grande surpresa.

Séries convergentes

todos os muitos termos infinitamente é um número finito, Esse resultado.
surpreendente me recorda o famoso paradoxo de Zeno,de Aquiles e à
tarteruga (Quer dizer Zeno de lea,é claro,do século 5a).

Aquiles está participando de uma corrida com uma tartaruga -um
veneiro corajoso,hein? Nosso generoso herói dä para a tartaruga

ma vantagem de 100 metros. Aquiles core a uma velocidade de 36

uilómetros por hora: taranuga "correa uma velocidade de 36km/h.

o seguinte argumento para “provar

alcangar ou passar a tartaruga.A propósito, se w
por essa prova’,vocé realmente tem que sair m

Imagine que vocé é um jornalista cobrindo uma corrida para a Spartan
Sports Weekly,e vocë está tirando uma série de fotos para o seu artigo,
À Figura 2-8 mostra a situacäo no comego da corrida e nas suas duas
primeiras foto

‘ood ra sua primeira foto instantánea no momento em que Aquile
20 ponto que a tartaniga comegou.Na hora les chega nesse porto
tartaniga’correu"e está agora a 10 metros na frente de Aquiles (A tartamuga se

move a um décimo da velocidade de Aquiles ento tempo que Aquiles leva
para viajar 100 metros tartar cobre um décimo dessa distancia, ouseja 10
metros) Se vocé fer as contas vai descobrir que Aquiles lewou 10 segundos

para comer 100 metre (Se vocé havia achado estanho os números de 360

amara eles lazem sentido!

39. — Capitulo I: As dues grandes

Figura 28.
Aqules
tartaruge
2 à nal
aportado

inegragáo 21

: Diferenciaçäo

omega

Prima foto

coueco ‘eomeves

Vocë tem uma Polaroid bem rápida, entáo voc’ olha para a sua
primeira foto e anota precisamente onde a tartaruga está quando
Aquiles cruza o ponto de partida da tartaruga.A posicao da tartaruga
€0 ponto A na primeira foto na Figura 28.Em seguida voc® tra a sua
segunda foto quando Aquiles chega ao ponto A,o que leva mais um
segundo, Nesse segundo, a tanaruga moveu para o ponto B:Vocé tira à
sua terceira foto (náo mostrada) quando Aquiles chega ao ponto Be a
tartaruga move para o ponto C

‘Toda vez que Aquiles chega ao ponto onde tartaruga estava,vocé tira
‘outra foto Essa série de fotograñas náo tem fim.Supondo que vocé e
‘ua cámera possam trabalhar infinitamente rápido, voc® val tirar um
némero infinito de fotos. E tada vez que Aquiles chega ao ponto em que
a tartaniga estava, tatoruga lerd andado mais um pedago = mesmo que

40. 22 pane: Uma visio geral do céloulo

somente um milímetro où

im milésimo de um milimetro.Desse modo,o
“argumento vale, porque voce nunca vai poder chegar ao fim da sua série
infinita de fotos,e Aquiles nunca vai poder alcangar a tartaruga.

Bem,como todo mundo sabe, Aquiles, de fato,alcanga € ultrapassa
alarlaruga —aíestá 0 paradoxo.A matemática de uma série infinita
explica como essa série infinita de intervalos de tempo tende para uma
quantidade de tempo finita — o tempo exato de quando Aquiles ultrapassa.
A tarlaruga. Aqui está a soma para os que sio curiosos:

a er QD Os. sou 1 sendos

Aquiles ultrapassa a tartaruga depois de 11 1/9 segundos na marca de
111 19 metros.

les infinitas € um tópico cheio

e coisas bizaras,paradoxos ab
Vocë vai ver mais na Parte.

41. Capítulo 3
Por que o cálculo funciona?

Neste capítulo

cura

oc leu os Capitulos 1 e2,vock ouviu muito sobre o processo de
smpliar uma curva até que cla parega reta.A matemática do cálculo.

um microscópio A tera € redonda, má
nds meio que estamos embaixo de u

aotamanho date ue uma vez que as curvas sejam
retas vocé pode usar a álgebra e a geometria básica com elas.O proceso de
ampliaçäo é aleancado através da matemática dos limites.

O conceito do limite: um
microscópio matemático

A matemática dos limites € 0 microscópio que amplía uma curva. Aqui
está como um limite funciona. Digamos que voc® precisa da inclinagäe
exata de uma par nto (1.1) Veja a Figura $1

Figura st Y da inhatargente?

Aparibola f
yarcom
uma inne
tangente om
fi

42. 2£ pare 1: Uma visäo geral do cálculo

Com a fórmula da incinagao usada em älgebra,voce pode descobrira
nclinacao de uma reta entre os pontos (1,1) € @.4) De (1,1) para G
“anda 1 casa € sobe 3,entio a inclinacño é 3/1 ou apenas 3 Mas voce pode
Ver na Figura 3 que essa linha € mais inclinada do que a linha tangente.
who ponto (1.1) que mostra a inclinagäo da parábola nesse ponlo específico
De cert forma, o processo do limite deixa voce deslizar para baixo o ponto
que comega em (21) alé o ponto (11 até que esteja a um milésimo de
mime afastado, depois um millonésimo, depois um bilionésimo.e assim
Sucessivamente até o nivel de um microscópio Se voc fizer as con
incinagóes entre o ponto (1,1) e o seu ponto mével váo se parecer mais ou
menos com 2.001,2.000001.2.000000001,e assim por diante.E com a quase
magica matemática dos limtes,voc8 pode concluir que a inclinagáo em
(11) écxatamente 2, mesmo que o ponto móvel nunca chegue em (1.1)
(Se ele chegasse voce só tera um ponto sobrando e voce precisa de dois
pontos separados para poder usara fórmula da inclinagño),A matemática
Jos mites é toda baseada nesse processo de ampliacäo,e ele funciona,
"ovamente, porque quanto mais vocé amplia, mas ret a curva fica

0 que acontece quando vocé amplia

A Figura 32 mostra tés diagramas de uma curva e trés coisas que vocé
Talvez goste de saber sobre a curva 1) a inclinagáo exata no ponto C,2)
“área abaixo da curva entre os pontos À e B,e 3) o comprimento exato
da curva entre os pontos À e B.Vocä nao pode responder essas perguntas,
‘com matemática básica porque as fórmulas da matemática básica para
nclinacdo,área e comprimento funcionam para linhas retas (e curvas
simples como eirculos),mas náo para curvas estranhas como essa aqui.

Aprimeira fleira da Figura 33 mostra um detalhe ampliado dos res
‘Gingramas da curva na Figura 32.A segunda feira mostra uma ampliacäo,
maior € a terceira fleira outra ampliagao.Voce pode ver como cada
“ampliacño toma as curvas cada vez mais ¡etas e cada vez mais perto da
Tinha diagonal. se processo é continuado indefinidamente.

Finalmente, a Figura 34 mostra o resultado depois de um número”infinito”
de ampllagóes - mais ou menos. Voce pode pensar sobre 05 comprimentos,
34 na Figura 34 (Gem trocadilhos) como 3 e 4 milionésimos de

‘um milímetro, nao, faga isso 3 € 4 bilionésimos de um milímetro,náo
trilionésimos,náo.ziionésimos.

43. Capítulo: Por que o cálculo funciona? 2D

E
Peer
Zu ‘curva no pomo C?

velo corpimano de
uv on or porto: AB?

Figura 33

BIBLIOTECA DANTE ALIGHIERI

44. 26 rane uma visto geral do cálculo

ereneinch iin

setontsinos

nein digo a
rato nag cn dana

>
y

Le 2

tte de mutig ins
aliorésimos 0 quadraco.

asin como 0 comprimeno
arm mes ureben

saonsinos
ETES
Seu destino TH
a ona
sive su, tear dePitigoras
sub, sub, (esd 6) 660
atiica, sete anus

Depois de a
as férmul

pliar para sempre‘,a curva está pertitamente reta e agora
da álgebra e da geometria básica fun

Para o diagrama da esquerda na Figura 34,vocé pode usar agora a fórmula
dinacáo no ponto
atada Figura 32.

básica da ineinagdo usada na
CE exatamente # - ess 6 a resposta par

45. Capitulo I: Por que o cálculo funciona? 27

Para o diagrama do melo.a fórmula para um wiangulo regular usada
a geometia Ihe da área de 6 Entáo para achär o valor total da área
sombreada mostrada na Figura 32, voc® tem que somar esse Ga área do
pequeno retángulo abaixo desse triángulo (oretangulo escurosombrcado
na Figura 32 mostra aida básica repita esse processo para todas as outas
faixas esteis, depois apenas some todas as pequenas áreas.

E para o diagrama da direita,o teorem:
na geometria Ihe dá um comprimento de 5.Entáo para achar o
comprimento total da curva entre os pontos À e B na Figura
faz a mésma coisa para as outras pequenas seç0es da curva e depois
soma todos os pequenos compris

Pitágoras regular usado

Bem af est. Cleulo usou o processo do limite para ampliaruma curva
até que cla casse rta Depois que ets rca, egrs da vella bic
matemática funcionar. Cálculo, desa formo, dad álgebra ea gcomeira
básica poder para lidar com problemas complicados envolvendo
quantidades em constante modificagäo (o que nos gráficos aparecen
como curvas) lso explica 0 (ao de o cálelotertants uss prticos pois
se exis algo que voce com cereza pode contar lem da more e dos
impostos- é que as coisas est sempre mudando.

Dois avisos — ou precisáo

Nem tudo nesse capítulo (ou nesse live porsina
padróes dos matemáticos da academia, io
suas demonstragóes.

En posso perder minha licença
para praticar matemática

Com respeito aos diagramas do meio da Figura 3-2 até 34,eu tenho

agido como um irresponsävel com a matemática. O processo de

ntegraçäo - encontrar a área embaixo de uma curva — ni

exatamente da maneira que eu es

errado, apenas meio enganoso, Mas ~ eu nae ligo para o que dizem

essa é minha história e eu vou ficar com ela. Na verdas

maneira ruim de pensar como a Integragäo funciona,
ulo de apresentagáo.

de qualquer

modo, esse é apenas um cap

46. 28 Parte 1: Uma visño geral do cálculo

Mas o que “infinito”
realmente significa?

47. Parte Il
Aquecendo-se
com os pré-requisitos
do cálculo

A 5% onda por Rich Tennant
an

“David está usando álgebra para calcular a gorjeta
Bárbara, vocé se incomoda de serum
expoente fracionário?”

48. Nesta parte...

E. = >: da vigonormea (in

49. Capitulo 4
Pré-álgebra e revisáo de álgebra

Neste capitulo

Vencendo a batalha das fragSes:separando para controlar

ete cerifiquese de revisar os conceitos basic

Ajustando as suas fraçôes

Abra um liso d
ver uma fragáo o
vocé saiba algumas regras

Algumas regras rápidas

Primeitamente existe uma regra que 6 simples, mas muito importante
porque sempre aparece no estudo do cálculo:

© denominador de uma fraçäo nunca pode ser igual a zero.

0 5
9 é igual a zero,mas3 é indefinido.
Dei mas À

É facil de ver que 2 & indefinido quando vocë considera como à
dés funciona © i

50. 32 Part: So aquecendo com os prö-reguisitas do cálculo x

1sso diz a vocé € claro. que 8 é 2 somado quatro vezes; em outras palavras
4 24 2 + 2 = Dem, quantos zero

5? Vocë nao po

out nämero) por zero

precisaria somar para chegar a
fazeriso,e assim voe# no pode dividir5 (ou qualquer

O reefproco de um número ou expresso € 0 seu inverso rmultiplic
que & uma maneira sofisticada de dizer que o produto de algo pelo seu

recíproco é igual a 1.Paraachar o recíproco de uma faczo,coloquea

invertida, Deste modo,o recíproco de à 6,0 recíproco de 6,que é igual a

Multiplicando fragöes

Som
Multiplica

lo que multiplicar mas com frag
ace entäo eu quero li
tre

ar com a muliplicacäo primei
los dedos = apenas mulipliqu

2.3.6 _3,4,¢_ac
54720 10°b à bd

Dividindo fracöes

Dividir fagoes tem um passo adicional: vocé inverte a segunda fragáo e
ois multiplica = dessa forma:

3
$

E {agora cancele o 5 do numerador e do denominador)

Note que vocé poderia ter can
de 0 5 ser somado uma vez para dar $ e
0,voce pode cancelar um 5:

ntes de multiplicar Devido ao fato
ade dues vezes para dar

8 3
lote também que o problema original poderia ter sido escrito como 19.
Not que o prob poderia ter sich como À

51. __ Capítulo V:Pré-dlgebra o revisño de älgebra 3D

Somando fracóes

Vocésabe que

Vocë pode samar desse jeito porque voce já tem um denominador
commu Isso também funciona da mesma maneira com variáveis
a,b ab

Note que nao importa que voc® tenha um 2 no topo da equagäo,cu um
a na parte de baixo da equacáo; nao importa se um 3 está no topo da
‘equacdo, ou um b esté na parte de baixo da equaçäoe da mesma maneira
um 7 ou Isso ilustra um principio poderoso:

As varidvels sempre so comportam exatamente como os números.

Entäo.se vocé está se perguntando o que fazer com a variável ou comas
variávels em um problema, perguntese como vocé fria um problema com
números ao invés de variâveis Depois faga o problema da mesma maneira
(com as variäveis.Iso € ilusrado com o exemplo a seguir:

Vocé nao pode somar esss fragôes como lez no exemplo anterior porque

esse problema náo tem um denominador comum.Agora,supondo que

voot est devariéveis,

ido faga o problema com número em

+ À? Bu näo vou simpli
solugiaVoc® vai ver por que ern um minuto,

1. Encontre o menor denominador comum (na realidade, qualquer
“denominador comum vai funcionar ao se somar fraçôes), e
converta as fragóes.

O menor denominador cor

um &5 vezes 8,0u 40,entáo converta cada
fragao em 40

52. 34 rane

e aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

2. Some os xdores e mantenha o denominador con
inalterado:

2-8:3:5 (\ocapode ver que isso € igual a LH. oy 31,
25233 (oca pode ver que iso eiguala LÉ. ou St

Agora vocé está pronto para fazer o problema original, y © Nese

‘problema, vocé tem um a em vez de um 2,um b em vezlde im 5, um € em

vez de um 3,e um dem vez de um 8.Apenas siga ex

a

pode pensar

em cada uth dos nú dos em um

Jado de uma moeda com a variável correspondente do outro lado. Por
exemple: hé uma moeda com um 2 de um lado e um a no lado opost:

outra moeda tem um 8 de um lado € um d.do outro lado, assim por

ante Agora, faca cada passo da solucáo anterior vire cada moeda, e oil,

vocé tem a solugáo para o problema original. Aqui está a resposta final

ad. ch
Bd

Subtraindo fraçôes

Subtair fracoes é

“asomar fragdes com excecäo de em vez de

voce subtrai, Percepgoes como essa sáo a razáo pela qual eles
im muito dinheiro.

Simplificando fracóes

Terminar problemas de cálculo - depois que voce lez todos os
passos do cálculo - algumas vezes requer um pouco de matemática
complicada, incluindo a simplificacao. ertifiquese de que voce sabe
‘como simplificar e quando pode fazer isso.

wring reger

¡denominador resultando na fraçäo simplificada À Se vocé escrever
os x em vez de usar os expoentes, voce poderá ver mais claramente

Agora simplifique os is x do numerador e do denominador!

Sexe y
Rz

Isso deixa voce com.

53. > Capítulo: Prö-älgehra erovisäo de álgebra 3D

Se expresse
Uma expresso algébrica ou simplesmente expressdo 6 algo do tipo 2.01
<p fa 6 basicamente qualquer coisa sem umsinal de igual (sc ter um
inal de igual, 6 uma equacáo) Simplifcacáo funciona da mesma mancira
ara as expressOes e paras as vaidves Por snal essa € uma dica näo apenas
para simplifica, mas para todos 05 tópicos da álgebra.

As expresses sempre se comportar exatamente como as variávcis

Assim se cada xno problema acima for subituido por (90 —).vocé tem:

E uës das expressöcs (ayu - 4) sio simplificadas do numerador e do
denominador assim como 0s ès x foram simplificados. O resultado.
simplificado €

Lo0- ay

A regra da multiplicagäo
Agora vocé sabe como simplificar É ig
vocé pode simplifica.

portante saber quando

Voce pode simplificar uma fraçäo somente quando ela tem uma cadeia
de multiplicagdo contínua através de todo o numerador e de todo o
denominador

Asimplificagäo 6 permitida em fraçôes c

no esta:

EP Gy pa) (Crd)
‘ab! 0F= pay”

Pense na multiplicagäo como algo que conduz eletrcidade: Uma
corrente clétrica pode passar de uma extremidade do denominado
para a outra, do a até 0 (c+ e), porque todas as varives e expresses
estäo conectadas através da multiplicagäo (Note um sinal de adigño e
de subtraçäo dentro dos parénteses —0*+"em (cd) por exemplo - nao
quebra a cadeia).Devido ao flo de o denominador também ter uma
cadeia de multiplicagäo continua, voce pode simplificar um a, tres 0,
très expressöes (xy + pg).Aqui está o resultado:

DES

Mas somando um inocente { no numerador (ou denominador) na fraçäo
original muda tudo:

ICI
AOS

54. 30 parte : Se aquacendo com os pré-requsitos do cálculo

O sinal de adicño na frente do 1 quebra a c
permito nenhuma simplificagäo em nenhuen

la ragän.

Valor absoluto — absolutamente fácil

na um número negativo em um número positivo.
zero Por exemple,

Valor absoluto apen:
eno fa

ero positivo ou

[-81=5,131=3,e101=0

E um pouco complicado quando Tidamos com vardvel

positivo.entáo as barras de valor absoluto ndo fazer n

Lel=x
Mas sex for negativo,o valor absoluto de x é positivo, e vocé escreve

Forexemplosex=-3,1-51=-(-3)=5

Quando x um número net -x (se como’ negative oposto
mero positivo,

Fortalecendo os seus poderes

jotente no cálculo se náo souber as regras de poténcia:

10 inverso para transformar um
m raiz em um problema de poténcia mais fácil

axe

de fazer nada
que eles näo sie

Aqui vocé soma as poténcias (A propósito,voce n
com 3° mais x Noel no pode somar a? ax p

55. Capitulo IV: Prö-älgehra e revisäo de álgobra 3 7.

termos iguaisN
da variävel de cad

subtairte
pore
caso de 1050,50 functor

termos diferentes, assim como näo

Nao distribua a poténcia nesse caso.Em vez dis
Tonge: yey)
acontece

a conexo fundamental entre razes

epoténcias 6 es oque tedizer

Regra das raízes — ou melhor,
regra da raiz

“ Dessa forma, voc£ na verdade näo pre
5 transformar cada raiz de um probler
"gras das potencias para resolver problema (ess
inal), Mas caso voc® sea um guloso por castigo aqui es
der pela primeira vez?).Na ealidade

ve provavelmente saber esas eras

56. 38 rare 1: Se aquecendo com os pré-requsito do cälculo

Mas vocé sabia disso, certo?

quadrada où
em cálculo básico.
Le Va.\6= Va. Va. Vb= Vab.e Va. V6 Vab
vw
es do radi

posta, porque se

barras de valor absoluto Assim,

assim por diante

4 NE Ba b.NAOL

ometa esse emo e vá direlto para a cadeia
3, que ndo 6 igual a 2 +3.

Simplificando raízes

Aqui estio as duas últimas coisas sobre rízes.Prime

05 dois métodos para simplifica raízes como Y3D0 ou 5

Or
perfeito, 100,que tem no número
3,0 100 sai com

Assim,a resp

0.Folofato à

a 6 1003

Para 1S0i,nio é fácil achar um quadre
0 vocé tem que usar o método mais longo:

étodo rápido funciona para 300 porque é facil pere

lo perfeito grande que

Voc® nao pode ter um número negativo dentro de uma raiz
valquer outra raiz de número par- pelo menos nao

a raiz de nümero par,vocé precisa das barras de valor
ido a positivo ou n
é positiva.Se for uma raiz de número impar; vocé nao precisa das

à voce precisa saber

0

oquadrado

ser igual a 100 vezes
sua raiz quadrada, 10, deixando o 3 dentro do radica)

1. Quebre o número 504 em um produto de todos os seus

números primos.

57337

2. Circule cada par de,niimeros.

7

57. = capitulo 1v: Pré-élgebra e rovisäo de álgebra 39

3. Para cada par circulado, tire um número para fora da raiz.

plifique.

ova

‘ta coisa sobre raizes &que,por convengño,vocé no deixa uma raiz
vocé mulíplica iso por 38
dl me

2
=

Logaritmo — náo e o nome de escola
de danca, nem de academia?

Um logaritmo € apenas uma maneira diferente de expressar uma relaçäo
exponencial entre nümeros.Por exemplo,

ento,

10g,8=3 (le como “log de 8 na bas

Essas duas equagdes dizem exatamente a mesma coisa Vbc8 pode pensar em
uma delas como a manera dos gregos escreserer essa relagäo matemática
a outr como a maneir latina de escrever essa mesma coisa.A base de

um logaritmo pode ser qualquer número exceto o |, maior do que zero.e
pe nçäo sea base for 10,xocé nao a esreve Por exemplo.10g1000= 3
significa log,,1000=3.E tambér log de base e (e = 2,12) é escrito como in em
vez de log, = matemáticas usam tanto isso que eu suponho que eles quiseram
uma abreviagáo especial paraiso.

Vocé deve sabor as seguintes plopriedades dos logaritmos

log. 1=0

1 log, (ab) log a log,
+ tog(2) loga—tog,

e log. a! <b loge

58. SO rane 1: Se aquecendo com as prérequisites do cälculo

log.
1 Com essa propriedade, voc® pode calcular algo do tipo log, 20 na sua

calculadora digitando

w log, & = b
Be

Fatorando — Quando é que
eu vou precisar disso?

Quando 6 que vocé vai precisar disso? Para eäleulo,€ claro.

Fatorarsignifica"desfazer a muliplicaçäo”, como reeserever 12 como 2 -2-
3. No entanto, voe® náo vai encontrar problemas como esse no cálculo. Para,
Célculo, voce precisa saber fatorar expressdes alsébricas, como latorar Say +
10yz em $y(x + 22) Faloraçao algébrica sempre envolve reescrever a soma
de termas na forma de produlo. O que se segue é ur curso de reviso

Achando o MDC

© primeiro passo em fatorar qualquer tipo de expressio é encontrar em
tras palavra, atorar - a maior coisa que todos termes tém em comum
6 0 máximo divisor comum ou MDC Por exemple, cada um dos tés
termos de Re ÿ + 12423" + 20x'y"z tem o ftor A y, entáo ele pode ser
retirado da seguinte forma: 4x°y°(2xy’+ 3)" 5x%).Ceriiquese de sempre
procurar um MDC para retirar antes de tentar oulras técnicas de fatoracáo.

Procurando um padráo
Depots de rear o MDC se houver um. a próxima cosa nse leeré
procurar por um dos spares. primalo podido € importantes

‘outros dois säo menos importantes.

Diferenga dos quadrados
Saber como fatrar à diferenga de quadrados € eco:

B= (a-Dy(a+d)

er como que algo do tipo 9-25 se parega com
(isso) ~(aquiloy entäo voce pode usar o padráo de ftoraco Veja como:

OS

59. Capítulo IV: Pré-álgebra e revisäo de álgebra

Agora, desde que (580)? - (aquilo)"=Gsso —
pode fatoraro problema:

quil) iso + aquilo),vocé

OO
A diferenga de quadrades, a - b pode ser fatorada, mas a soma de
quadrados, a + 6?,ndo pode ser fatorada, Em outras palavras,a? + 2, como
os números 7e 13,6 primo —vocé náo pode quebráro.

Soma e diferenga de cubos
Voc talvez também queira memorizar as regas de fatoragáo para à soma
e diferenga de cubos:

db (ar ba -abıB)

a

a Dy(o? + ab +b)

Tentando algumas fatoragöes trinomiais

Vocáselembra da fat

rao regular de inómios dos seus dias de à

{Um trinómio € um polinómio com tes termos. Um polinömio € uma
expresso do tipo Ax - x + x ~ Sx + 2 onde,com excecäo da constante (0
mero 2 no exemplo), todos os termos tém uma varie! elevada a uma
poléncia de número intiro postivo.Em outras palavras.nenhuma poténcia
na forma de ftagóes e com números negativos € permitida. E nem radical
logaritmos, senos ou cossenos ou qualquer outra coisa apenas termos com.
lum coeficiente, como o à no termo dx‘ muliplicade por uma verivel
elevada a um poténcia.O grau de um polinémio é à maior poténcia de x do
polinômiaO polindmio acia, por exemplo tem um grau de 5.

[Nao seria uma má idgia votar boa forma com problemas do tipo

Gex

2x4 5x1)

Umas poucas técnicas básicas de adivinhar e verfcarpara fatorar um
trinomio como ese etáo futuando ao redor do fluido matemático —vo
provavelmente aprendes uma delas na sua aula de álgebra. Se voce se lembr
¿limo Mas tas regras de fatoragáo nao si críicas porque voe® pode sempre
fatora (a resolver trinómios com a fórmula quadráica, que € abrangida,

a próxima secño Para mais sobre fatoracäo de tindmios veja Algebra Para
Leigos de Mary Jane tering (publicado pela Wiley).

41

60. 42. raitett:Se aqeocande com os pré-roquisitos de céteato

Resolvendo eee quadráticas

polinon

le segundo gran
vel usada, € 2

‘Voce pode resolver aquagdes quadráticas usando um dos trés métodos básicos.

Método 1: Fatorando

Resol

1. Traga todos os termos para um lado da equacáo, deixando o
zero do outro lado.

2. Fatore.

3. Coloque cada fator Igual a zero e resolva (usando a propriedade
do produto nulo),

x-4=0

Método 2: A fórmula quadrática
À soluto ou solugóes de uma equacho quadetica a+ fr sto dados

através da fórmula quadrática

Agora resolva a mesma equaçäo do Método 1 com a fórmula quay

61. ____ Capitulo IV: Pré-álgebra e revisáo de álgebra 43

1. Traga todos os termos para um lado da equacáo, deixando o
ga
zero do outro lado.

sso concorda com as solugdes obidas previamente € melhor que as
gps sejam iguas porque nés estamos resolvendo a mesma equacho
y

Aqui está uma cima dica para usar à ormula quadrátca para fatrarrinómios.

se 12=0Xja

Digamos que vocé queira apenas fatorar o inômio 2
de resolver a equaçäo quadrälica correspondente, 2x
aqui o que voce deve fazer

1. Use a fórmula quadrätica para achar os valores de x (Voce
também pode usar sua calculadora para achar as solugóes)
Certifique-se de que as solugdes estáo escritas como fragóes
em vez de como decimals e que elas estäo reduzidas aos
menores valores.

2. Pegue as duas solugöes e coloqueas em fatores. Se a solugäo for
positiva, use a subtracao, Se a solugáo for negativa, use adicáo.

Entáo coma solugho iguala Anoc&tem (x- ie com--

3 3
Soc tem e $

3. Se uma das solugdes for uma fracäo, pegue o de
coloque-o na frente do x

(eer)
(arg)

E.voila,o windmio éfatorado em (x -4)(2x+ 3)

62. 4G parc 1: 8e aquecendo com os pré-equisitos do cáleulo

Método 3: Completando o quadrado

O terceiro método para resolver equagbes quadráticas é chamado de
completando o quadrado porque ele envolve criar um tinómio quadrado
perfeito que vocé pode entáo resolvetirando a sua raiz quadrada.

Resolva Axt = 2x

1. Coloque o x e os termos de x de um lado e a constante do outro.

aye = 2s

da ambos os lados pelo coclich
claro, que seja 1).

ie de x (a nao ser, €

3. Pegue metade do cocñe
some isso em ambos

ente de x, eleve ao quadrado, e depots
ados.

Metade de-8 6-4 e (-4)*6 16,entáo some 16 em ambos os lados

Pers 16204

4. Fatore o lado
exemplo).

querdo. Note que o fator sempre contém
ro que vocé encontrou no passo 3 (4 nesse

28

a ralz quadrada de ambos os lados, I
um sinal de + do lado direito.

nbrando de colocar

Ve)

x-4=35

6. Resolva,

63. Capitulo 5
Funcóes legais e seus ötimos gráficos

Neste capítulo
Entendendo fungöes erelagóes
Aprendendo sobie inhas
Focando nas parábolas
Lutando com os gráficos

Investigando fungoes inversas

ve funçoes e seus
cial envolve

tas fungóes,e o

.0es.E no somente

mais fundamentais em toda

O que é uma funcáo?

Basicamente,uma funçäo é a relagäo ent
‘numérico de uma coisa em alguma for
Exemplos estño ao nosso redor A temperatura diára
cidade depende, & uma lungáo de,da

‘um objeto cal é uma funcáo de quanto ter
soloi

rea de um círculo é uma funcáo do seu raio;e a pressäo de um
arralado 6 uma fungao da sua temperatura

As características explicativas
| de uma fungäo

Uma fungáo tem apenas um valor de saída (output) para um valor de

Considere a Figura 51

64. 46 rare

e aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

Maquina do Maquina
roftigerarto caçarniquois

Figures TA

7

io. Uma
coçe-riqueis
fungi

Uma fango. No € ume funcio

A máquina de refigerante € uma funcio porque depois de inserr os os dados
de entrada (sun escolha eseu dinheito), voce sabe exatamente qual &o
retoma Com a máquina cacartíqueis por outro lado, o output é um misério,
endo nao € uma funcio.

A lungño elevada ao quadrada£é uma funcáo porque tem exalamente
um output designado para cada input. Nao importa que tanto 02 como ©

2 produzam o mesmo output de 4 porque dado um determinado input,
digamos 2,nä0 há misteri sobre o output. Quando o input €3 em g.no
entanto vocé nao sabe se 0 output vai ser 1 ou 2 Devido ao fato de nenhum
mistéro sobre o input ser permitido em fungöes,g nao € uma fungáo.

Boas fungdes.ao contráo de boa literatura, tm finals prevsieis.

f 9
input output
(dominio) (imagem) | (domo) ager)

est
Lune
fango. y

88886 O conjunto de todos os inputs é chamado de domínio;o conjunto de

SE todos os outputs & chamado de imagem.

/ Algumas pessoas gostam de pensar na lungño como uma máquina.
Considere novamente a fungáo ao quadrado f da Figura 5-2 À Figura 53
mostra dois inputs e seus respectivos outputs.

65. Capitulo V: Fungées legais e seus étimos gráficos 47

Ea ja

lingiga sai

Vocé insere 1 dentro da máquina, e do lado de fora sai um I;voe® coloca
unt-2 e um sai. Uma funcáo como uma máquina recebe um input, opera
de alguma forma, depois cospe um output

Variäveis independentes e
dependentes

Em uma fungäo,a coisa que depende da outra coisa é chamada de
variável dependente;a outra coisa € a varidvel independente Visio

que vocé coloca números na varlävel independente; ela também €
‘chamada de varidvel de entrada. Depois de colocar um número,vocé
ento calcula o output ou a resposta para a variável dependente assim a
variável dependente é também chamada de varidvel de saída. Quando
voce desenha o gráfico de uma fungäo,a variável independente vai para
© cixo x € a variävel dependente vai para o eixo .

Algumas vezes a dependéncia ente as duas coisa € relaçäo de causa e
efcito - por exemplo aumentar a temperatura do gés causa o aumento da.
preso Nesse caso,a temperatura € à varidvel independente ea pressio € à
varivel dependente porque cla depende da temperatur.

Muitas vezes, no entanto,a dependéncia nño € uma relagáo de causa e:
efeito,mas somente algum tipo de associagäo entre duas coisas. Geralmente
a varidvel independente é o que nés à sabemos ou podemos facilmente
verficane a variável dependente € o que queremos descobrr Por exemplo,
vocé náo diria que o tempo causa um objeto car (a gravidade € à causa),
mas se vocé sabe quanto tempo se passou voce pode descobrira altura

da queda Entäo.o tempo &a variévelindependente,e a altura a varive!
dependente;e voc® diria que à altura € uma funcio do tempo.

Qualquer que seja otipo de correspondéncia entre as duas variäveis a
varivel dependente € a coisa com a qual a gente se preocupa — quando.
e quáo rápido ela sobe e quando e quáo rápido ela desce Geralmente,
nés queremos saber o que acontece à variável dependente ou y quando a
varidvel independente ou x aumenta (vai par a diria)

66. 48 rare: se aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

Notacáo das funedes

Uma maneira simples de eserever a funcio y = 5x — 2x + 3 6 tocar
o*y pelo f(x)" e escrever (x) = 5x0 22 + 3.É apenas uma notagao
diferente para a mesma coisa. Esas duas cquagóes säo,om todos os.
aspectos, matematicamente idénticas. Alunos ficam normalmente
rigados pela notagio da fungäo quando eles a véem pela primeira
vez, les se perguntam o que o°T significa e se o (x) significa f vezes
x Ele náo significa isso.Se a notagao da fungäo incomoda vocé, meu
<onselho é pensar no f(x) como simplesmente a maneira que o y é
escrito em algum outro idioma, Nao considere o fe 0 x separadamente;
apenas pense no f(x) como um simbolo simples para y.

Pense no 16) (se de x") como uma abr
Vocé pode escrever y= (a) =3%traduzido como y & uma funçAo de xe
«essa lungño € 3x", Contudo algumas vezes oras letras so usadas em vez
def como por exemplo,g(x) ou pC) = geralmente para diferenciar as
fungdes. À letra da foncio no necessariamente representa alguma coisa,
mas ds vezes a letra inicial de uma palavra & usada (nesse caso vocé usa

l).Ror exemplo voc’ sabe que a área de um quadrado &
«eterminada elevando a medida dos seus lados ao quadrado:Área - lado ou
À $ A área do quadrado depende,e 6 uma funçäo da medida do lado.Com
a notaçäo da luncäo,voc2 pode escrever A) ="

iagao para"uma fungio dex”

Considere a fungño quadrática y = x ou f(x) =x". Quando voce coloca
Oo número 3 no lugar de x,vocé tem como resposta 9.A notacao da
fungao é conveniente porque voce pode expressar abreviadamente a
entrada e escrevendo #3) = 9 (se "/de 3 é igual a 9). Lembre-
Se que /(3) =9 significa que quando x € 3,10%) € 9; equivaleniemente,
ela dia voc® que quando x é 3,y é 9

Funcáo composta

a lungáo composta 6 a combinagio de duas fungóes Por exemplo o
familiar de energia elétrica depende de quanto vocé consome,e.

‘consumo depende da temperatura do lado de fora Posto que o custo

“depende do consumo e o consumo depende da temperatura, custo vai
¡epender da temperatura. Na linguagem da furgo, o custo € uma funçäo

do consumo,o consumo é uma fungño da temperatura, assim o custo

6 uma fango da temperatura. Esa última funglo, uma combinagáo das

duas primeiras,® uma funcño composta

Deixe£09 =x eg (8) =5x-8.Col 5-3-8, queé
iguala 7 Agora pegue esse resultado, 7,e coloque em F(x)=/(7) =7=49.8
metáfora da máquina mostra 0 que eu fiz aquí Veja a Figura 54.A maquina g
transforma win 3 em um 7,0 depols a máquina ftransforma o 7 em 49,

67. wos gráficos 49

Capítulo V: Fungöes legais e seus ét

nn
SA Due. 9
fungdes
como , A 5x8)

máquinas LT

Voce pode expressar o resultado das das lungöes em um passo com a
seguinte fungáo composta:

re

Vocé calcula primeiro a fungáo de dentro de uma funcáo composta - g(3)
Depots voce pega o resultado, , e calcula /(7),que € igual a 45.

Para determinar a fungáo composia geral, ().coloque gCx).que &

iguala 5x 8,em (Cx). Em outras palavras,voee quer determinar F(Gx = 8).

À funçäo Fou maquina f pega esse valore eleva 40 quadrado.Assim,

1Gr-8)

Sa = 40x — 40x +64

8x + 64

Assim, f(g (2) = 2532 80+ 64

\| Com tuncdes compostas a ordem é importante. Como uma regra eral

(800) +30)

Com o que uma funcáo se parece?

Eu nfo sou um histórico matemático, mas to
René Descartes (15961650) veio com a i
xy mostrado na Figura 55.

parecem concordar que
ia do sistema de coordenadas

‘0 plano Al
(para b
e IN e

68. Parte Il: Se aquecendo com os prö-requisitos do cálculo =

Isaac Newton (1642-1727) e Goitiried Leibniz (1
inventores do cálculo, mas é difícil imaginar que eles possam ter feito
isso sem a contribuigäo de Descartes, muitas décadas antes, Pense no
sistema de coordenadas (ou a tela da sua calculadora gráfica) como
sua janela para o mundo do cálculo Virtualmente tudo no seu ivro €

cálculo e nesse livro envolve gráficos de linhas ou curvas geralmente.

fungdes - no sistema de coordenada xy.

Considere os quatro gráficos na figura 56.

Essas quatro curvas sáo fungóes porque elas satistazem o teste da reta
vertical (Nota: Bu estou usando aqui 0 termo curva para me referir
qualquer forma,seja curva ou reta).

Uma curva é uma funçäo se a reta vertical desenhada —sem levar em
consideracäo onde é desenhada = tocar a curva apenas uma vez Iso
garante que cada input tenha exalamente um output

Nao importa onde voce desenhe arta vertical em qualquer um dos quatro
gráficosna Figura 56 a reta tocará a curva em apenas um ponto Tee.

Se no entanto,uma reta vertical puder ser desenhada para que toque a
‘curva duas ou mais vezes,entáo a curva nao € uma fungáo.As duas curvas.
na Figura 57, por exemplo,näo sao ur

vers vex
"4 X

i i
LA

Aongdos
oe ot: Esos gráficos im ascalas diferentes)

69. ——— capitulo v: Funges legais e seus ótimos gráficos 5 7

eo

Fauasr:
Essas duas
cures do.
do fungées
porque fram +
roprovadas
no teste de
tota vertical
as sao,
no entanto,
rolagóes.

(Mota Esses gráficos tm escalas diferentes)

Ent squat cues ign 5 o ange as dus na Fur 57
"oe mas ass cunas lo lazos
yee

Uma relagáo & qualquer coleçäo de pontos no sistema de coordenadas x)

Y y
NG \ocë passa pouco tempo estudando algumas relagöes que náo sáo
funçôes no cálculo - cireulos,por exemplo — mas a grande maioria dos
problemas de cálculo envolve funcóes.

Funçôes comuns e seus gráficos

ai ver centenas de no seu estudo de cälculo,entäo nao

má idéia familiarizarse com as fungóes básicas nesse tópico:a
reta a parábola,a fungäo de valor absolutos fungóes cúbicas e de raiz
Cúbicas,e as funçoes exponenciais e logarítmicas.

Retas no plano em portugués claro

Uma reta € a funçäo mais simples que vocé pode desenhar num plano
cartesiano (Retas sáo importantes em cálculo porque quando voce
amplia bem uma curva,ela parece e se comporta como uma reta). A
Figura 58 mostra um exemplo: y = 3x +5.

70. 52 parte 1 Se aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

Figures
Ogriico da

Acertando as inclinagóes

‘A coisa mais importante sobre a reta na Figura 58 - pelo menos para o.
seu estudo de cálculo — € a sua inclinacäo Note que toda vez que x se
desioca em 1 para a direita,y sobe em 3.Uma boa maneira de visual

a indinaçäo € desenhar uma escada embaixo da reta (veja a Figu
A parte vertical do degrau é chamada de aumento,a parte horizontal
‘chamada de distáncia,e a inclinagäo € definida como a razño entre 0
“aumento ea distáncia:

„ aumento _ 3
inclinasdo= acia = | =

ETES
Areta

yaar

tem uma 5

iquala3,

71. anges legais e seus ötimos gráficos ID

di Cp

‘Voce nüo precisa fazer a distancia ser igual a 14 razño do aumento sobre a
«distancia assim a inlinagáo sempre resulla a mesa, náo importando qual
0 tamenho des degraus.Se vocß quer fazer a distincia igual 1,no_entantaa.

incinagäo €igual ao aumento porque um número dividido por 1 igual a ele
mesmo Essa é uma boa maneira de pensarsobre a inclinaçäo- a incinacáo &
valor que reta sobe (ou desce) quando se desloca em 1 para a dire

Retas que sobem à direita tem uma inclinagáo positiva retas que
descem à direita tém uma inclinacáo negativa. Retas horizontais ten
uma inclinagao igual à zero, e retas verticais náo tem inclinagáo = voca
diz que a inclinaçéo de uma reta vertical € indefinida,

Aqui está fórmula para a inclinagáo:

inclinaçäo = HEIL
Escolha dois pontos a rta da Figura $9, digamos (1.8) e G.14).e
coloqueos na fórmula para calcula e inclina:

14-8
3

inchnagdo =

Esse cálculo envolve,em certo sentido,um degrau da escada que vat
até 2 esobe em 6.A resposta 3 concorda com a inclinaçao que voce
pode ver na Figura 59.

Qualquer inha paralela a ess tem a mesma inclinagän,e qualquer reta
Perpendiculara essa tem uma inci

0 de= 3, que Go recíproco oposto de 3.

gue
D Revs paratelas tem a mesma Inclinagño.Retas perpendiculares tem
y

Desenhando linhas

Se vocé tem a equagäo da Reta, y =x + 5, mas náo.oseu grifico, voce
esenhar a reta da maneira antiga ou com a sua calculadora grafica.A
maneira antiga € criar uma tabela de valores substtuindo x por niimeros e
célculando y.Se voce coloca 0 no lugar de x,y vai ser igual a S;coloque 1 no
lugar de x. y va ser igual a 8; coloque 2 no lugar de a,e y vai ser Ise asian
sucesivamente À Tabola 5-1 mostra os resultados.

Tabela 541 Pontos na reta y=3x +5

72. 5G pane it: Se aquecendo com os pré-requsites do cálculo

Desenhe e conecte os pontos, e coloque setas nas duas extremidades —
af está a sua reta

Isso € muito fácil com uma calculadora gráfica Apenas dite y= x + 5 e
sun calıladon ir desear gico dt produ una taba como à
bel 5

Equacáo de uma reta na forma inclinagáo-intersecáo (ou
forma reduzida) e forma ponto-inelinagäo

oct pode ver que a reta na Fgura 54 ca o eisoyno ponto 5:
© ponte onde a reta intercepta o eixo y.Visto que tanto a inclinagdo de 3
‘como a interseçäo no eixo y de 5 aparecem na equacáo y=3x +5, essa
equagäo é dita esar na forma inclinapdo-intersegäo.Aqui está a forma
escrita de maneira geral:

=meeb

nde m é a inclinagäo e b 6 0 ponto de interseçäo no cixo y)

2 lembrar de nada - nom mesmo uma lembranga distante
tamento de matrícula e abandone o cálculo,

ss retas,com excegño das retas verticais, podem ser escritas dessa
forma, Relas verticais sempre se parecem com x = 6.0 número diz a voc
conde a reta vertical cruza o eixo x

A equagäo de uma reta horizontal também parece diferente
por exemplo Mas ela tecnicamente se encaixa na forma y mx + b
sómente porque a inclinagao da reta horizontal é igual zero, porque
zero muliplicado por xé zero,näo há um termo x na equacáo.

¡SE $ Uma era 6 0 tipo mais simples de fungäo,e uma reta horizontal (chamada
de funcio constante) € 0 tipo de rela mais simples.E, todavia, azoavelmente
importante em cálculo, entáo se corfique de saber que a reta horizontal
en uma equagäo de tipo y = 10€ que sua inclinagáo igual a zero.

im = Le b =0,vocétem a fungáo y = x.Essa reta passa pela origem
(00) e faz um ángulo de 45° com ambos os eixos.É chamada de funcño
identidade porque os inputs sáo iguais aos output.

Em adicáo à forma inclinaciointercepto para a equacio da reta,vocé
deve saber a forma do pontoinclinaçao:

y mx,
Para usar essa forma, voc® precisa sabe

na reta e inclinacdo da reta.Vocó pod
¡Considere novamente a reta na Figura

divinhou=um ponto
quer ponto da rea.
Escolha qualquer ponto,

73. Capítulo V:Fungées legais e seus ótimos gráficos 55

digamos (2,11), depois coloque as coordenadas xe y do ponto ema, ey,
e coloque o coeficiente angular3,em m.

PATES

Com um pouquint de álgebra vocé pode transformar essa equaçäo em
‘uma que nés conhecems ya 3x + 5.Tente.

Funcáo de 2° grau e modular —
mesmo trabalho

‘Voce deve esta familiarizado com as duas lungöcs mostradas na Figura 5-10:
le 2 ga.) =x a fungaomodulay, 8 (9 =1x 1.

nas sh
i {
| y
\ f EA
D ee :
TT
signes

gdh |

Note que ambas as fungdes säo simétricas com respeito ao eixo y. Em
utras palavras,os lados direilo e esquerdo de cada gráfico säo reflexos
um do outro Isso os toma fungóes pares. Uma funcáo polinomial do.
tipo y =9x'- à 3,onde todas as potencias de x sto pares (com

(ou sem um termo constante), 6 um tipo de fungáo par Outro tipo de
fungao par é y= cos (x) (veja o Capítulo 6),

Algumas funcóes esquisitas

aga o gráfico das fungdes (x) = x eg (x) =*/X na sua calculadora gráfica.
Esas duas fung llstrar una simelra impar Fungóes impares 530
simétricas com relacio origem 0 que significa que se voc® asgirar em 180°
sobre a origemelas váo atemissar nelas mesmas. Uma funcáo polinomial do
tipo y=4x'~2° +21; onde todas as poténcias de x so Impares, um tipo de
fungao impar Outra funçäo impar 6 y =sen(x) (ja o Capitulo 6).

Muitas fungoes náo sao nem pares e nem impares,por exemplo,y=3x2
— 5x: Minha professora do ensino médio disse que um parágrafo nunca,
deveria ter apenas uma sentenca,entáo voila,agora ele tem duas.

74. 56

Parte Il: Se aquecendo com os pré-requisitos do cálculo >

Fungöes exponenciais

Uma fungáo exponencial é uma com uma poténcia que contém uma
variável,como f(x) =2*0u g(x) = 10%. A Figura 511
dessas duas Jungdes no mesmo sistema de

astra os gráficos

3
é ="

Faust
Os gráficos

erinere
glx) 10

mbas as fung es passam pelo ponto (0.1).assim como todas as lung
exponenciai da forma f(x) = bF Quando b é maior do que 1 voe® tem

um erescimento exponencial Todas as fungoes desse tipo aumentarn para
a dreita para sempre,e como elas váo para a esquerda no sentido negativo
infinitamente elas avancam ao longo do eixo x.sempre chegando pero,
mas nunca tocando o elxoocé usa essa e fungdes relacionadas para
descobrir coisas como investimentos,inflacáo e aumento populacional

Quando b está er
exponencial.Os gráficos desse tip
rescimento exponencial ao in
também cruzam o elo y no ponto (01), mas elas sober para a
esquerda para sempro, avancam ao longo do éixo x para a dieita.Essas
fungées exemplificam coisas que encolhem ao longo do tempo,como.o
decaimento radiativo do uranio.

0e 1,vocé tem uma fungdo de decaimento
de fungdes s80 como fungdes de
150 Funçoes de decaimento exponencial

Funcoes logarítmicas

Uma fungao logertmica ésimplesmente uma funçäo exponencial com o.
ixoxx ey trocado.Em outra palawas,a dirosáo para cima e para baixo em
un gráfico exponencial comesponde à direcáo dieta esquerda em um

gráfico logartımico,e a directo dieta e esquerda em um gráfico exponencial
corresponde Adiresäo para cima e para baixo em um gráfico logartmico
(Se vocé quiser uma revisio sobre logs veja o Capitulo 4).\ocë pode ver esa
relagio na Figura §-12,na qual ambos os funçôes (x) =2" eg (x) =log.esio
desenhadas no mesmo conjunto de eixos,

75. Capitulo M Fungúos logais e seus timos gráficos D 7

PTE
n

Fan Te

Os
gráficos de
Memo *

Laa

Tanto a funçäo exponencial como a funçäo logarítmica sao
monotónicas. Uma fungáo monotónica pode subir sobre todo o seu
dominio (chamada de lungäo crescente) ou descer sobre todo o seu
dominio (uma fungáo decrescente),

Note a simetria das duas funçoes na Figura 5-12 sobre a linha y = xfs as
toma inversas uma da outra,o que nos leva para o próximo tópico.

Funçôes inversas

As fungóes/(9 = (para x 20) e funcio = (9 = VF (se como.
de x € iguala raiz de x') sio funcóes inversas porque cada uma
ddesfaz o que a outra lez. Em outra palavas, (x) =x* recebe uma entrada de
3 e produz uma saída de 9 (porque 3= 9);/=! (x) =Xrecebe uma entrada
e103 (porque V9 = 3). Note que / (3) =9

de 9e toma isso de volta ao nin

ef @) =3Nock pode escrever tudo isso em um passo como f (CD) =

3 Funciona da mesma mancira se woe comegar com (3). (1)
(Gorque VI6=4),¢ (1) = 16 (porque = 16).Se voce
passa toc tem (F(16)) = 16 (Note que lemos ~ (x) como inversa de

nao temos o inverso de x mas as fungdes so inversas uma da outra).

A maneira sofisticada de somar tudo isso é diser que f(x) e £ (9) sto
13 (9) =xeN('@) =x

fungdes inversas se,e somente

76. FE pe sas nio es ansias alcala

392 __ Mo confunda 0 sobreserto-1 em (3) com o expocnte-1.0 expoente
su € = x
EPP) es 0 coca por esemplo, x= 29 60

.

1 i
À inverso de F)..Ndo é igual a1 que é o recíproco de FG). claro que
Dee Se aay E 5

vocé talvez pergunte: entäo por que o mesmo símbolo é usado para duas

coisas diferentes? Nao lago a menor idea.

¡Quando voce desénha o gráfico de fungóes inversas,cada uma € o reflexo
ra, refletida sobre a linha y = x Veja a Figura 5-13,que tem os gráficos
des lungdes inversas (09 =? (para x > 0) e f(x) =x.

a Aridi
el |
2

TEO
Os gráficos
de Fx) =

(parax>0)0
=

Se voce rotacionar o gráfico na Figura 5-13 no sentido antihorário para
‘que a linha y = x fique vertical, voc® pode ver facilmente que f(x) e =
(9 sa0 reflexos uma da outra, ma conseqiéncia dessa simetria & que
se um ponto como (2.4) estiver em uma das fungöes.o ponto (4.2) v
estar na outra. E também,o dominio de fé o contradominio de Fe o
o dominio de /

contradominio de Fé

Deslocamentos, reflexos, esticamentos
e reducóes

Qualquer fungño pode ser transformada em uma fungäo correspondente,
deslocandoa horizontalmente ou verticalmente, virando (refleindo)
horizontalmente ou verticalmente,ou esticando ou reduzindo.
horizontalmente ou verticalmente. Eu fago os deslocamentos horizontais
primeiro Considere a funçäo exponencial y= 2 Veja a Figura 5

77. ETES

> Capítulo V: Funçôes legais e seus ótimos gráficos

y

Ográico do =
zee: À

Transformagöes horizontais

‘Taneformagées horizontals ño feitas sorando um número ou diminuindo.
um número da vardvel de entrada.x ou multiplicando x por qualquer
numero. Todas as translormagóos horizontaisexceto © relexo, funciona
da maneira oposta que vocé espera: Somando um valor ax laz a luncáo se
deslocar para a esquerda,subtraindo um valor dex fazafungao se deslocar
para a direita multiplicando x por um número maior do que 1 reduza
funçäoe mulliplicando x por um número menor do que 1 estica a fungáo.
Por exemplo.o gráfico de y= 2 tem a mesma forma e orientagäo do que o
gráfico da Figura 5-14; 6 apenas deslocado em tés unidades para a esquerda,
Em vez de passar pelos pontos (0.1) e (1,2). fungáo deslocada passa por
C3.) e (22).Eo gráfico de y=2* está a trás unidades à direita de y

A funcáo original e as ransformagées so mostradas na Figura 515.

Se voc multiplicar ox em y = 2 por2,a funçäo reduz horizontalmente p
um lator de

to todo ponto na nova fungao é m
original do eixo y.A coordenada y de cada ponto continua a mesma;a
passa por (12),
2 pass

fade da sua distnel

coordenada x € cortada pela metade Por exemplo,

pesa por (4,1)

entäo y=2 passa por(1,2
por (-2 L
fc poso Quando

16,

3
do que Item um
+ cada ponto em y
2 alatado do exo y por uma distancia 4 vezes maior do que era Fora

Multiplicando x por um

transformado em y

visualizar o gráfico de y=2"", imagine que voce tem o gráfico de.

um sistema de coordenadas clásico. Agarre o sistema de coordenadas na
esquerda ena direila e estique por um fator de 4,afastando tudo do eixo y,
mas mantendo o eixo y no contro.Agora vocé tem o gráfico de y = 2.

59

78. 60 part: Se aquecendo com os prö-requisitos do cálculo

ES

O último deslocamento horizontal é um refleno sobre o cixo y M

lilicando
irou var em torno do elxo y Por exemplo o

oxemy=2"por=1 vai ref

12) se toma C12)

gua $16.

RTE
gráficos de y=
Koysz-,

79. Capitulo V: Funçües legais e seus ótimos gráficos

Transformagöes verticais

Para ransformar uma fungäo verticalmen
subirai um número de toda a fungáo ou mutiplic
fazer algo para uma funçäo toda, digamos y= 10% imagine que todo
lado direito da equagáo está dentro dos parénteses, como y = (109.
‘Agora, todas as ranslormagdes verticais so feitas colocando um número
‘em algum lugar & dieita da equago do lado de fora dos parénteses
(Obviamente. voce realmente náo precisa dos; rio
das anslormacdes horizontais,as ransformacées vericais uncionam da
mania que vocé espera: Somat faz a fungáo ir para cima, subtair az a
fungao ir para baixo, multiplicar por um número maior de que 1 expande

ungäo,e multiplicar por um número menor do que 1 encolhe a func:
Porexemplo,

énteses).Ao cont

y=10%+6 desloca a fung3o original em 6 unidades para cima

y=10*—2 desloca a funçäo original em 2 u

¡dades para baxo.

0" expande a funcio original verticalmente por um fatorigual 35

reduza fungáo original horizontalmente por um fator igual à

Ao multiplicar a fungäo por-I,ela vai refletirsobre o eixo x, ou,em outras

palavras,virar de cabega para bai

61

80. G2 Parte tt: se aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

81. Capitulo 6
A danca da trigonometria

Neste capitulo
Arremessando para eles com SoCahToa
“Todo mundo tem um ängulo:30°,15°,60

Cire

gando um círculo unitário

Fazendo o gráfico de funçôes trigonométricas.

Investigando fungóes trigonométricas inversas

Meteo seen cren cocciorra
so mesmo mp Edo me ee lema sess

Estudando trigonometria no
acampamento SohCahToa

© estudo da trigonometria começa com o triángulo retángulo As és
ungóes mais importantes da trigonomeria (seno, cosseno e tange
e seus recíprocos (cosecante,secante e co
sobre as medidas dos lados de um triángulo que ca
agudo dado ~ como o ángulo.x na Figura 61.0 maior lado desse triángulo
retängulo (ou de qualquer triángulo retángulo),o lado diagonal, 6

chamado de hipotenusa.O lado que mode 3 unidades é chamado de lado
posto porque está no lado oposto ao ángulo x,e a medida do lado 64 e €
chamado de lado adjacente porque € adjacente a,ou tocando,o ángulo x.

ém um ángulo

aer
Seradoso |
recorda — Mipotenusa th)” y

foguoita, posto (0)

5
octudands
um tidnguio ee
À
1

ángulo.

Adjacent {A}

82. 64 Parte Il: Se aquecendo com os pré-requisitos do cálculo —

ido que ajuda voce a se

SohCahToa & um mnemönico sem

as definiçôes das fungdes seno,cosseno,¢ tangente.SohCahToa usa
as letras inicais de seno,cosseno, e tangente, e as letras inicias de
hipotenusa, oposto,e adjacente para ajudar vocé a se lembrar ds
definiçües a seguir (Para lembrar como se soletra SohCahToa, note a sua
pronuncia e o fato de que contém trás grupos de letras em cada sílaba).
Soh Can Toa
sen 0-0 cos 0-A 10-0
u H A
Para o triángulo na Figura 61
18.
4

As outras très fu
recíproco do:
Got) 60 recíproco da tangente

cosec 0:

coga

Dois triángulos retángulos especiais

jue muitos problemas básicos de cálculo envolvem ängulos de 30
50" é uma boa idea lecorar os dois tiángulosretangulos na Figura 62,

O triángulo 45°-45°-90°

45°99" tem a forma de um quadrado cortado pela metade
na sua diagonal. O triángulo 45°-45°-90° na Figura 6-2 € metade de um
quadrado de lados 1 por 1.0 teorema de Pitágoras Ihe dá a medida da
hipotenusa, ¥2,ou mais ou menos 1,41.

lodo

teorema de Pitágoras diz a voc® que para qualquer triángulo retángulo,
Y © += conde eb sao as medidas das pernas do triángulo (os lados que

o eto) ec a medida da hipotenusa,

83. Capítulo VI: A danga da tigonometria OF

Foun6z
O wibagulo
a

cotringule
E

Wri

EN A fe
7

ca a funçoes trigonométricas SohCahToa e sews recíprocos.
90° voc tem as seguintes valores rigonométricos:

ndo voc
ao tiängulo 45

CA
sa

O71 wei

coig 45°=

O triángulo 30°-60°-90°

‘Todo triangulo 30°60"90° é metade de um triángulo eúiltero.

O tiängulo 30%60*90* na Figura 62 6 metade de um triángulo eatilät
de 2por2por2.Ele tem pernas que medem Le Y3 (mais ou menos 1,73),
uma hipotenusa de medida igual a2,

Nao cometa o ero comum de trocar 0 2 pela y3 em um wiangulo 30260290
Lembrese que 02 & maior que v3 GA € igual a2,entio (3 deve se menor do,
que 2) e que a hipotenuse ésempre o malorlado de um triángulo retangulo,

SM Quando voce amplia um triángulo 30%60"90* exagere o fato de que é
mais largo do que alto. Isso torna Gbvio que o menor lado (de medida
igual a 1) € oposto ao menor ángulo (30°)

Aquí estdo os valores trigonométricos para o ángulo 30%0*90".

sen 30

SA
cos = À

= ©.

84. 66 paro: Se nquecendo com os pré-requisitos do eéleulo ___

O triángulo 30*60*90" mata dois coelhos com uma cajadada só porque
le também Ihe dá os valores rigonomévicos para um Angulo de 60

DE novamente uma olhada na Figura 62. Para o ángulo de 60°,0 lado do
riangulo que mede N & agora o lado oposto para os fins do SohCahToa
porque está no lado oposto do ángulo de 60*.0 lado de medida igual a 1
se torna o lado adjacente para o ángulo de 60",¢ o lado de medida igual
a2 continva,& claro.sendo a hipotenusa. Agora use o SohCah Toa de
para achar os valores trigonométricos do ángulo de

mnem@nico SokCahToa, junto com os dois triángulos retin
muito fäcels de serem lembrados na Figura 62,te dáo a resposta para
18 problemas trigonométricos!

Circulando o inimigo com o circulo unitário

SohCal Toa somente fun

ona com triángulos retángulos e assim só pode
lidarcom angulos agudos -ängulos menores que 90° (Os ángulos em u
triángulo devem somar 180° porque um trimgulo reángalo ten um ángulo.
de 90°,c os outros dois ángulos devem ser menores do que 909.Como
cfrulo trigonométrico (unilrio) no entanto, voce pode achar valores
trigonoméricas para qualquer tamano de ángulo.O eirculo rigonom6
tem um rato de uma unidade e € sado em um sistema de coordena
‘com oseu centro na origem Neja a Figura 63

Agua es te
"lado circulo
trigonomético, Quadrate I Quadrante IV

85. Capitulo VI: A danga da trigonometria O 7

A Figura 6 tem bastante informagáo, mas nao entre em pánico; tud vai
fazer sentido em um minuto.

Ángulos no círculo trigonométrico

Para medir um ángulo no ctcalotrigonomético,comece no lado postivo do
elo xe sign em sentido antétorário para o lado terminal do ángulo.

Por exemplo,o ángulo de 150° na Figura 63 comeca no lado positivo
do eixo x e termina no segmento que toca o círculo unitário no panto
E, 1) se.em vez dis vocé seguir no sentido horrio vocé pode
(2: 2) Seem vez aiso.voce sen rário,vocé pod

Obter um Anglo com medida negativa.
Medindo ángulos com radianos
océ sabe tudo sobre grau oc sabe como sio ángulos de 5° e de 90°

voc® sabe que meia volta significa uma volta de 180° e que voltando até
onde vocé comegou & uma volta de 300°.

Mas graus nao é a única maneira de medir ángulos Vocé também pode
usar radianos. Graus e radianos sáo apenas duas maneiras diferentes
de medir ángulos,como polegadas e centimetros sño dues manciras de
medir o comprimento.

A medida em radiano de um ángulo € o comprimento do arco ao longo
da circunferéncia do cículo unitário cortado pelo ángulo.

Othe para o ángulo de 30° no quadrante ! na Figura 63.\oc& vé a seçäo
em negrito da circunferencia do cireulo que € cortada por esse angulo?
Visto que o círculo todo tem 360,0 ángulo de 30° € um doze avos do
círculo Entáo o comprimento do arco em negrito € um doze avos da
circunferéncia do círculo.A circunteréncia é dada pela fórmula C= Zur
Esse círculo tem um rio igual a 1,entáo sua circunteréncia € igual a2r.
Posto que o areo em negrito seja um daze avos disso seu comprimento é
que 6 a medida em radiano do ángulo de 30°

6

Shea JP” A circunferencia do círculo trigonomético de 2x toma mais fácil se
lembrar que 360° é igual a Zn radianos. Metade da circunferéncia tem uma
medida igual a ,enlao 180° € igual a rradianos.

Se voce focar no fato de que 180° € igual a x radianos, outros ángulos
seráo faces:

86. 68 pare 1:52 aquocondo com os pró roquistos do cálculo

190" & metade de 180° entio 90° Eiguala metade de 1.0u A. radianos
2,

+ 60° éumtergo de 180°,en

0 0° igual a um tego de mou radians.

1 45° Sum quarto de 180° ento 45° igual a um quarto der, ou A radians.

1 30° é um sexto de 180°,ento 30° 6 igual a um sext de ou À radios,

+
SY Aqui estio as fórmules para converter de graus para radianos e vice versa

x

(yy

) Para translormar de graus para radianos, multiplique a medida do

“angulo por T8

Para transformar de radianos para graus, multiplique a medida do.

eer
Angulo por HE

Porsinal.a palavra radiano vem de raio.Olhe a Figura 63 novamente. Um
“Angulo medindo 1 radiano (mais ou menos 57°) cora um arco ao longo da
‘ircunferéncia desse círculo de mesma medida do raio do circula Isso €
verdade nao apenas para citculs unitirios, mas para creulos de qualquer
tamanho Em outras palavras pegue o rio de qualquer circu, coloqueo ao.
longo da circunferéneia do eiculo,e esse arco era um ángulo de 1 radian,

Wark Nesse ou em qualquer outro ivro de cálculoalgumas problemas usam
graus e outros usam radianos,mas radianos € a unidade preferivel Se um
problema nao especificar a unidade,laga o problema em radianes.

Querida, eu encolhi a hipotenusa

Olhe novamente o circulo unitrio na Figura 63.

wo triángulo d
60" -90* no quadrante 1 É a mesma figura, porém melade do tamanho do

triángulo da Figura 62.Cada um dos seus lados é igual metade do da

Figura 62.Visto que a hipotenusa tem agora uma medida d

auando HE 1,9 pal oem do ángulo de que gata
termina gumando à media odo apostolado ost iguala
ent 04 sno de 30 Noto que a media do ldo pas 6 mes

¿ue coordenada yd pomo, 1) Se voce descobre coseno de

aba se igualando à medida do lado adjacente,que &

‘o mesmo que a coordenada x do ponto [A3, 1), Not

para 0 sen 30° € cos 30: so os mesmos que os dados pelo triangul

de

30°- 60° - 90° na Figura 62.10 mostra a soc. propásito,que encolhendo
um triángulo retängulo (ou aumentando) nao tem efeito nos valores

luigonométricos para os ángulos no triángulo.

87. Capitulo VIA danga datrigonometria OF

Agora olhe para o triángulo de 30” 60°-90° no quadrante Ina Figure

63.Visto que é do mesmo tamanho que o triángulo de 30-60*-90*

2) otranguono

quadrante II toca o círculo no ponto que está do outro lado e é simétrico
ao ponto (+
rat

cortetnas do pot no quadantet (A

Mas lembre'se que os ángulos no círculo unitário sio todos medidos.

a pati d box sim a potes deste iguo indica um Anl

de 5eme ingul eno" asociado comopemo ($, 1) 0
é dado pela coordenada x desse ponto.- ,e o seno de

150° éigual a coordenada y

1
2

O lado terminal de um ángulo no círculo unitário toca o circulo em urn

onto cuja coordenada x € o cosseno do Angulo e cuja coordenada y
o seno do angulo. Aqui está um mnemónico: e y estáo em ordem
alfabética assim como estáo o cosseno e 0 seno.

Colocando tudo junto

Olla Figura 64. Agora que vocé sabe tudo sobre o triángulo de 45”45"
90°,voc8 pode facilmente

eu crea que digo ue

Ugo de 4-45-90" no quaint tae alt no pont

(2, 2) e oct vn oigo de 10-00" no quadrants tem
Here (1-8) ss pono tem as

mesmas coordenadas que as do ángulo de 30° mas invertidas.

Gm ang

Figura ca
Guadrante
Ido círculo

trigonomético

comes
ángulos o suas
nados.

88. 70 pare 1: Se aquecendo com os pré-requsites do cálculo

Toda vez que voc® desenhar um triángulo retángulo no circulo unitário,
coloque o ángulo agudo, que serio imput das fungóes tigonometricas
tha origem = ou seja,(0.0) —e depois coloque o ángulo reto no eixo x=

3

Para evtarmistura os números Le ao dar com um ángulo de 30° ou

com in angio de sth ote que igual 05e que cig mas

2
‘ou menos 087, Entdo.devido ao lato de um angulo de 30° tocar o circu

mais para a direta do que para cima a coordenada x deverser maior que a

1)

coordenada y. Aso. ponte dave ser (15,2) eno o conta

Agora para todo o processo Por causa da simeria nos quatro quadrantes,
trés pontos no quadrante Ina Figura 64 tém equivalentes nos outros trés
‘quadrantes, dando a voce 12 pontos conhecidos.Some a eses os quatro
pontos nos eixos.(1.0).(0.0,C1.0).e (0-1).e voc tem um total de 16 pontos,
«ada um com um ángulo correspondente,como mostrado na Figura 65,

MES
“mu

coordenadas tae

Esses 16 pares de coordenadas te dao automaticamente o cosseno e 0 seno
send

cos

tangente desses 16 ángulos dividindo a coordenada y do ángulo pela.

dos 16 ángulos.E devido ao fato de ig 4 .vock pode obter a

coordenada x do mesmo (Note que a tg Ztambém é igual à inclinagáo

89. Capitulo VE À dança da trigonometria 7 7

do lado terminal do ángulo). Finalmente, voce pode encontrar a co-
secante,secante,e cotangente dos 16 ángulos porque essas fungoes
uigonométricas Sao apenas os recíprocos do seno, cosseno, e tangent
Agora vocé tem,na ponta dos seus dedos ~ ok,talvez eu esteja

exagerando - a resposta para 95 quesides trigonométricas.

Seg Saber os valores trigonoménicos para o círculo unitáro é muito
importante em cálculo.Entdo faga um teste com vocé mesmo. Comece
‘memorizando os triángulos de A5"-45"-90* e de 90°. Depois
imagine como esses triángulos cabem dentro dos quatro quadrantes do
Ireulo unitário,Use a simetra dos quadrantes como ajuda.Com alguma
pritica, voc8 pode produzi as valores pra as seis funçôes trigonométricas
dos 16 ángulos na sua cabeça Tente fazer isso com radianos e tamb

‘com graus.Iso val aumentar o seu total para 192 f

trigonométricos!

Rápido - qual é asecante de 210, qual 6 0 cosseno de.
1

Aqui estio as

respostas (sem olhar)ı 25e
posts ( Dre

Desenhando o grafico do seno,
cosseno e da tangente

À Figura 66 mostra as gráficos do seno,cosseno e da tangente,os quais
‘oe’ pode naturalmente,produzir em uma calculadora gráfica.

Oseno cosseno e atangente—e seus recíprocos, cosecante¡secante eco.
tangente sio fungoes periódicas o que significa que seus gráficos contém
) vena forma bésica que se repete indefinidamente para a esquerda e para a
dira. O periodo desse tipo de funçao & 0 comprimento de um de seus ciclos

Os gráficos
dos lungoes

sangente, |

90. 72 pare

e aquecendo com os pré-requisitos do cálculo

Se vocé conhece o cirulo unitriowocé pode facilmente reproduzi esses trés
gráficos manualmente Primeiro.note que os gráficos do seno e do cosseno
{ma mesma forma - cosseno 6 0 mesmo que seno apenas desize em 90”
para a esquerda Também note que sua forma de onda simples val até 1 e até
21 esegue para esquerda e para reia eternamente sereperindo a cada 360°.

© period de ambas as fungóes, 360" (Nao € coincidencia, porsinal,
que 360" 6 também uma volta a0 redor do círculo) O circulo uniário diz
‘voce que sen 0'=0,sen 99°= I,sen 180°=0 sen 270'=-1,e que o sen 360°
.$e voce comega com esses cinco pontos voce pode esbogar um eireulo.O
ciclo entäo se repete par a esquerda e para a delta Vocé pode usar o ciclo
unitrio da mesma maneira para esbogar a funçäo cosseno,

Note na Figura 66 que o período da funcio tangente € 180° Se vocése

lembrardisso edo padräo básico de repetir o formato em $ para trás

úesbogar nño € to dificil. Devido ao lato dea 1g ==, vocé pode usar o

círculo unitáio para determinar que a tg (-45')=-1,18 00 e18:45"=1.kso
dá a vocé os pontos (45° 1),(00),¢ (45°,1) Miso que a tg (909 e a tg 90°
sio indefinidas (X nesses pontos te do um zero no denominador) voce

desenha assíntotos em 0 & 0°

Uma assintora 6 uma linha imaginária com a qual acu

aproximando cada vez mals, mas.

As dus assintotas em 90* e em 90° € os és pontos em (45%-1),(0,0),€
(45",1) mostram a vocé onde esbocar um $ para trás.Os formatos em Sse

repelem a cada 180° para a esquerda e para a direita

Funçôes trigonométricas inversas

Uma funçäo tigonon

¿tica inversa, assim como qualquer luncao inversa,
1

inerte o que a lungio original faz. Por exemplo, sen 30°=1 entioa funcio

ida.Assim, sem“

inversa do seno — eseita como sen” invente a entrada ea

1

30 Isso funciona da mesma maneira para as fungoestigonométicas.

SP WP potencia negativa. apesar de o ato des parecer com isa levar algo a
À M ) potencia at onda endo voce rs pere user 288

91. Le - Capítulo VI: A danga da trigonometria

© único truque com fungóes h

intervalos alo das suas entradas. Devido ao fato de sen

‘ou seja.o in
30°=Lesen 150°=-1 ,n3

como saberse sen 1 igual 30° où
a 150” a nao ser que vocé saiba como o intervalo das entradas é definido.
Elembrese para que algo sen uma lung no pode haver nenes
miso sobre a entrada de uma dada sada Se voc et funcio seno
sobre linha y= para car os inverso soem um onda vertical
aque no € uma funo porque nio pas no ese da nha venical Veja

a defuico do tse dana erica no Capo) Para omar o meso
coseno uma ungäo oc tem que pegar um pequeno pedago da onda

vertical que passa pelo teste da linha vertical. Aquí esiäo os intervalos

O intervalo do sen x&

23) (-90, 90°}
O intervalo do cost x [0.1] ou [0.180]
ou [-90°,90°1
O intervalo da cotg" x {0,300 [0,180]

O intervalo da ig x ef

Note o padräo:o intervalo do sen x € o mesmo da tg” x ,¢ o intervalo
do cos" x 6 0 mesmo da CON x.

Acredite se quises.mas os autores de cálculo náo concordam com 0
intervalo para as ungoes do inverso da secante e da cosecante oca.
pensou que eles concordavam sobre iso assim como concordam

‘com quase completamente todo o resto em matemática Tolice, Use os
tervalos dados no seu livro em particular Se vocé nao tem um lo, use o
intervalo do sen x para o seu primo cosec” x,e use o intervalo do cos
x para sec" x (Por sinal,eu näo me refro a cosec” x como 0 recíproco

do sem x porque ndo 6 0 seu recíproco ~ mesmo que cosec x seja o
recíproco de sen a. mesmo para cas" x € sect

Identificando com identidades
trigonométricas

Vocé se lembra das identidades trigonométricas sen? x + sen? x=1e
sen 2x = 2sen x cos x? Diga a verdade agora ~ a maioria das pessoas.
se lembra das identidades trigonométricas assim como se lembra dos
presidentes do século dezenove.Elas sio úteis no cálculo,entáo uma
ita de outras identidades üteis está na folha de consulta

92. 74. pare 1:86 aquecendo com os pré-requisi

93. Parte Ill
Limites

A 5% onda

por Rich Tennant
PES > en
| Ronny tinha o tamanho e a velocidade, mas |
| náo sabia nada sobre gráficos de equaçôes

N
| auadräficas para jogar um ötimo futebol
[americano

ss

| cortesano Ronny. vocee |
| x + 2x+3;Doug, voce é

94. Nesta parte...

matemática dos limites fundamenta todo o cálculo, De

95. Capitulo 7
Limites e continuidade

Neste capitulo
Dando uma olhada em limites
Avaliando fungóes com intervalos abertos - quebrando as bolas de nattalina
Explorando a continuidade e a descontinuidade (desprezar a continuidade €

extremamente proibido)

digo oma de uma deal lv nn coo a

uma integral del

Leve ao limite - NAO

les podem sere
‘compreender o con

licados. Mas nao se preocupe se vocé näo
ito de uma vez.

(o. limite de uma funcáo (se ele exist para algum valor de x a,6 a altura da
ES qual a funçäo cada vez mais se aproxima à medida que x se “aproxima dea
) vela esquerda e pela diia

dj

ndeu?Vcé esta brincando! Deixeme dizer de outra maneira. Una
o tem um limite para um dado valor de xse a funcáo zera em algum,
ponto à medida que xse apróxima ao dado valor pela esquerda e pela diet
Isso ajudow? Eu ache’ que náo,É muito mais fácil entender limits através de
exemples do que através dessa bobagem, ntäo dé uma olhada em alguns

96. 78 parte ut Limites

Usando trés funçôes para
ilustrar o mesmo limite

Considere a funçäo f(x) =3x- 1 na Figura 71.Quando nés dizemos que o
limite de FG) quando x se aproxima de 2 é7,escrito como ling (D = 7,nós
queremos dizer que à medida que xse aproxima de 2 pela esquerda où pela
dira, se aproxima de uma altura iguala 7, Por sina te onde eu sei,

o número? nesse exemplo náo tem um nome formal,mas eu o chamo de
nümero x Com o x em seu nome,vocé náo vai confundito com a resposta
para o problema de limite ou simplesmente límite ambos se referem a um
valor you altura da fungáo (7 nesse exemplo) Agora,olhe aTabela 71

CA +
gráfico de is
Sev
Tabela7-1s Valores de ontrada e saída de f(x)=3x+1a
medida que x se aproxima de 2
0 aproxima de 2 se aproxima de 2
pol esquorda tye la dca
EEE
am] a Les [67 [esrlesen [7.00703] 73 | es | 10 |
ysvaprorinade? —" ~_yseaproina oT

A partir da Tabela 7.1,voc® pode ver que y está cada vez mas pero de Tem
ambas os lados Se voce ester pensando sobre porque todo o alvorogo —
porque no colocar o número 2 no lugar dex e obter uma resposta igual
eu tenho certeza que vocé tem mua compania Als se todas sfungóes.
fossem continuas (sem descontinuidades,sern"quebras”) como a da Figura

97. wate 79

71, vocé poderia apenas colocar o mimero x para tera respostae náo haveria

necessidade desse tipo de problema sobre limite Nés precisamos de limites
m cálculo por causa das importante fungoes que tém buraces.

A fungáo na Figura 72 6 idéntica à funçäo na Figura 7-1 exceto pelo

buraco no ponto (2,7) eo ponto em (25).

Na verdade, essa lungäo,g(@).nunca aparecería em um problema de
célcul simples - Eu apenas uso para ilustrar como os limites funcionam.
{Continue lendo,eu tenho mais coisas essenciais para mostrar antes de
vocÉ ver porque eu as coloquei aqui).

As fungdes importantes 620 as fungóes como as da Figura 73 que aparecem
com freqéncia no estudo das deriadas A tercera fungi A+) idémica a
1) exceto pelo fato de o pont (27) tersido anancado.deixando um buraco
em (27) e nenhum outro ponto onde x sea igual a 2.

Imagine que a tabela de valores de entrada e salda seja parecida para g(x)
£ H().Vocë pode ver que os valores seriam idénticos aos valores na Tabela
7-1 para f(x)? Tanto para g(x) como para h(x), 3 medida que x se aproxima
de 2 pela esquerda e pela dieita,yse aproxima cada vez mais de uma.
altura igual a 7 Para todas as tres fungoes, o limite à medida que xse
aproxima de 2 é7.kso nos leva a um ponto crítico: quando determinamos
¿limite de uma fungao à medida que x se aproxima, digamos que de

2,0 valor de ((?) = ou mesmo se (2) realmente existe — € totalmente
inretevante. Dé uma ollvada nas trés fungdcs novamente na Figura 74,

Fgua72
gráfico de
Foren
109 como

pont (27) «
movido para
223)

98. 80 paro it:Limites

Figura

Ográfico

de ha a

fungi x)
en “|

Considere as trés fungóes 0 2:12) & iqual a 7.2
C2) nao existe (ou, como os matemáticos dizem, € indefinida). Mas
{quando voce esta calculando o limite dessas funcóes A medida que x

26 irrelevante."E
zunte.Náo

se aproxima de 2,0 que realmente acontece em x
asado? vocÉ talvez pi

se em x = 2 a funcao fizer assim

söhleg,, Em um problema sobre limite,xse aproxima cada vez mais do número;
SPS mas nunca chega le que acontece com a funçäo quando ré igual ao
E "número x ndo fem efeito na resposta do problema sobre limite (embora
SN para fungúes contínuas como {(x),0 valor da fungáo é igual ao limite e.
es se
ara
Os gráficos Jen
de Mx) si

PENALES!

AS

99. Capitulo Vit Limites e continuidade & 7

Andando de lado com limites laterais

Limites laterais funcionam como limites bilaterais regulares com
excecáo do x se aproximar do número x apenas pela esquerda ou pela
diteita.O objetivo mais importante para esses tipos de limites é que eles
sio usados na definicio formal de um limite regular (veja o próximo
tópico sobre detinicño formal de um limite),

limite lateral, voc’ coloca um pequeno sinal de
sublragáo sobrescrito no número x quando x se aproxima do número.
x pela esquerda ou um sinal de adigäo sobrescrito quando o x se.
eprosima do número x pela direita, Dessa maneira:

Para indicar u

Tin’) ou tine

Othe a Figura 75.A resposta para um problema sobre limite regula
limp (92.6 que o limite náo existe porque xse aproxima de 3 pela
esquerda e pela dreita,p(x) ndo tende a zero em nenhum ponte

No entanto,ambos os limites laterais existem. À medida que x se aproxima
‘de 3 pela esquerda,oszeros de p(x) estáo a uma altura igual a 6,e quando
se aproxima de 3 pela diteta,os zeros de p(x) estáo a uma altura igual a2
Assim como os limites regulares o valor de p(3) näo tem efeito na resposta.
‘de nenhum desses problemas de limites atera, Assim

limp G) =6 ou limp G

Figurar / 5

Puma #

stage ——
de uri

we a

Uma fungao do tipo p(x) na Figura 75 é chamada de funçäo definida
por partes porque tem pedagos separados, Cada pedaco de uma f
definida por partes tem sua propria equagáo - como por exemplo, a
funçäo de trés pedagos a seguir

= para el
y= |3x-2 para 1<xs10
x+5 Pam x>10

Algumas vezes um pedago de uma funçäo definida por partes se conecta
‘com 0 pedago vizinho,e nesse caso a fungi € continua nesse pedago.

lgumas vezes, assim como (x), um pedago näo se conecta com o.
pedaço adjacente - isso resulta em uma descontinuidade.

100. A definicáo formal de limite —
0 que vocé estava esperando

Agora que vocé sabe sobre limites lateraiseu posso dara vocé a definicao
matemática de um limite. Aqui va

0 de limite:
= número real

she, Di
PA

¡ma fungáo e deixe que a seja um

7 mx) existe se,e somente se

1.lim/ 69 existir

2.limy 69 exis

3, lim = ime (D

Livros de cálculo sempre apresenta iso
a existéncia de um limite, mas a condigao

“indefinido = indefinido où que inexistente «inexistente Desd
tenia entendido soa condigáo 3 étudo o que voce precisa

stu, Quando nés dizemos que um limite existo, isso significa que o limite
ES à quai a um número finito. Alguns limites so ¡guiso infinito ou ao

Inline negativo mas voce. no entanto diz que eles ndo existem Isco
pode parecer estranho,mas leve o que eu digo em consideragáo (Mais
Sobre lites infos no próximo tópico)

Limites infinitos e assintotas verticais

Uma funsáo racional como f

pontox=3exx=-1 Nbc® se lemb

das quai uma funcio:

aprosin

vai para a esquerda,ou para a deta em diregño ao infnta\eja a

sidere o
le3.A medida
à medida que x 5e a
Algumas vezes € informativo indicar isso eserevendo,

0 na Figura 76 à medida que x se aproxima
roxima de 3 pela esquerda, f(x) sobre para
oxima de

lima e lim

101. ites econtinuidade 83

— Capítulo

gráfico de 1

Assintta
horizontal

Assintotas
Vertele

Fonte
Uma funcio

Mas também é coreo dizer que ambos os nites acim ndo eisen porque
6 infnito nao 6 um número real.Sepechrem a voe® para determina’ um nite
bilateral regular in GO voce nao tem escolha a mo ser dizer que

existe porque os limite da esquerda e da dret so sinus.

Limites no infinito — bem distantes, cara!

Aé agora eu olhei para limites onde o x se aprosima de um número finito
«regular Mas x também pode se aproximar de « ou Limites no infinito

existe quando a fu

lucio gu To, «DD um

na assintota horizontal

em y = 1,10 qual a funcáo se move à medida que segue na diregä do =
para a direita e =» para a esquerda (Indo para a esquerda,a funcáo cruza
a assíntota horizontal em x = -7 e depois vai gradualmente descendo em

direçäo a assintota), Os limites so altura da assíntota horizontal e

escritos como:

lime x

Him 1

‘Voce verá mais sobre limites no infinito no Capitulo 8.

102. EL pare Limites

Calculando a velocidade
instantánea usando limites

Se vocé estava cochilando até agora, ACORDE! O problema a seguir
que eventualmente se toma um exemplo de problema sobre limite (eu
prometo),traz voce para o pont inicial do cálculo propriamente dito.
Digamos que vocé e o seu gato que adora cálculo estejam passeando
um dia e voce decida soltar uma bola da sua janela do segundo andar,
“Aqui está a fórmula que te diz a altura da bola depois de passados
alguns segundos (ignorando a resistóncia do a

(ende h € a altura da qual a bola calu,em metros e #6 0 valor do
tempo desde que a bola fo jogada, em segundos)

Se vocé colocar | no lugar de i, € 5;entäo a bola cai 5 metros durante
© primeiro segundo. Durante os 2 primeiros segundos, ela cai um total
de 5: 2,0u 20 metros,e assim sucessivamente. Agora, e se voce quisesse
determinar a velocidade da bola a exatamente 1 segundo depois que
jogou? Voc8 pode comecar usando essa velha e confiével fórmula:

Distancia = velocidade - tempo,entao velocidade = distancia/tempo

Usando a fórmula da welocidade, voce pode descobrir facilmente a
velocidade média da bola no 2*segundo da sua queda Devide ao fato de a
bola tercaído 5 metros depois de 1 segundo e um total de 20 metros depois
de 2segundos ela calu 205,01 15 metros de ¢= Isegunto al = 2 segundos.
Alórmula a seguir lhe dí a velocidad média:

Velocidade média = SNS

= 15 metros por s

Mas essa nao 6 a resposta que voc® quer porque a bola cai cada vez
mais rápido à medida que cla cai, e vocé quer saber a sua velocidade
à exalamente 1 segundo depois que voc? a joga. A bola acelera entre 1
«e 2 segundos, entao a sua velocidade media de 15 metros por segundo
durante os 2 segundos € certamente mais rápida do que a velocidade
“instantánea no final do 1° segundo. Para uma melhor aproximagáo
calcule a velocidade média entre = 1 e ¢ = 1,5 segundos. Depois de 1,5
segundos a bola calu 5. 1,5, ou 11,25 metros, entáo de 4 = Laté f= 15,
ela cai 11,25 - 5,04 6,25 metros.Sua velocidade média € assim:

103. ‘metros por segundo

Se voce continuar esse processo para lapsos de tempo de um quanto de
segundo, um décimo de segundo, depois um centésimo, milésimo, e dez
milionésimos de um segundo, voce chega a uma lista de velocidade
média mostrada na Tabela 72.

Tabela 7 velocidades média a partir de 15 até fsegundos

esegundos | 2 | 13 | af

Tole
mn

(steam 15 | 85 | mas al

À medida que £se aproxima cada vez mais de 1 segundo, velocidade
média aparenta se aproximar cada vez mais de 10 metros por segundo,

Aquí está a fórmula que nós usamos para gerar os números na Tabela 72.
Ela Ihe dé a velocidade média entre | segundo e (segundos.

Velocidade média

se
ii
= 50-0040

eel)
A Figura 77 mostra o gráfico dessa funcáo,

Fi
A funçäo da +
velocidade

md |

104. 86 parto u:timites

Esse gráfico ¿identico ao grá
buraco em (1,10). Ha um burac
na fungao da veloc

so da linha g (=
14 porque se voc

16,exceto pelo
‘colocar 1 no lugar de?

Velocidade média = À

de média = q

iguala distancia total dividida pelo

tempo decorrido — det = 1 a 1 = 1.Masde 7-1 ai 1» 1ndo € € claro tempo,

durante” esse ponto no tempo,a bola nao percomre nenhuma distancia,

no voc tem

10 a velocidade média entre

"ero segundo,

Obviamente há um problema aqui Segure ose chapéu, voce chegou a urn des
grandes momentes A ha” no desenvolvimento de cálculo diferencia

N Velocidade instantánea € definida como o limi

5 da velocidad média à
81%.) medida que o tempo decorrdo se aproxima do zero
an

O fato de que o tempo deconido nunca chega a zero
resposta para esse problema sobre limite ~a resposta € exatamente 10 metros
"por segundo altura do buraco na Figura 77.0 que é incrivel sobre limites

que cles permitem que vocé calcule a velocidade instantanea exata em

tum determinado ponte no tempo achando o limite de uma fungao que está
bescado no tempo decorrido,um período entre dois pontos no tempo.

Unindo limites e continuidade

Antes que eu amp

le o material incrivelmente maravilhoso sobre limites que
‘presente’ nas segóes anteriores desse capítlo,eu quenointroduzir uma ideia
‘comelata - continuidade. Esse € um conceito super simples de verdade
“confie em mim.Uma fungáo continu

é simplesmente uma fungio sem
intervalos — uma funcio que vocé pode desenha sem tra o |
Considere as quatro fangóes na Figura 78.

‘Se uma funçäo é ou näo contínua € quase sempre óbvio.As duas primeiras
angoes na Figura 78-1) eg)
continus. As próximas duas- pfx) a(x) terrupodes em =
entäo elas nao sao contínuas Pronto, resolvida. Bem, no realmente. AS
dues fungöes com interrupgöcs náo sho contínuas om todos os lugares,
mas devido a0 fato de voc2 poder desenhar segdes delas sem trar lápis
do papel.vocé pode dizer que partes dessas funçes sho continu
algumas vezes a fungáo é continua em qualquer lugar que soja definida.
Esse tipo de luncáo € descrita como sendo continua sobre todo 0 seu

105. Capitulo Vit Limites e contimuidade & 7

dominio,e significa que seu intervalo ou intervalos acontece em valores
dex onde a funcio é indefinida. funsáo p(x) nao € continua sobre to
‘0 seu dominio porque nao é continua em x = 3,que está no dominio da
fungao.Muitas vezes, importante é se uma funcáo € continua em um
dado valor de. ela é a ndo ser que haja uma interrupgáo naquele x

‘Todas as fungóes polinomiais sao continuas em todas as partes

de ka),

as as funçôes racionais - uma fungáo racional € o quociente de duas
( unge mia — sáo continuas sobre todo o seu dominio,

Continuidade e limites
normalmente andam juntos

Olhe para x = 3 nas quatro fungdes na Figura 73.Considere se cada
funçäo € continua nesse ponto e se existe um limite no valor de x As dues
primeiras fe g.náo tém interrupedes em x = 3,ento elas säo continues
nesse ponto.Ambas as fungdes também tém limites em x - 3,e em ambos
os casos o limite é igual altura da fungäo e
aproxima cada vez mais de 3 pela esquerda e pela direi
cada vez mais de (3) e g(3) respectivamente.

80 aproxima

Asfungóes p e q por outro lado.náo so contínuas em x = 3- ou vocé pode.
izer que elas sáo descontinuas nesse ponto e nenhuma tem limite em x
3.Para ambas as fungócs;as intermupgóes em x = 3 näo apenas quebram à

106. 88 rare tu

ites

limites nesse
pela esquerda ou

‘continuidade,mas também fazer com que elas nao tenha
ponte porque à medida que woe® move em direçäo a x
pela dira voe8 no rende a um valor específico de

n valor de xsignifica que há um limite

Entäo aqui est. Continuid
para esse valor de x Descontinuidade em um valor dex significa que nao há
limite nese lugar Ber, quase Continue lendo para saber a excecño.

A exceçäo do intervalo aberto
conta toda a historia

A exceçäo do intervalo aberto 6 a única exceçäo para a regra que diz que
a continuidade e o limite andam juntos, mas € uma importante excegäo.
E,eu tenho que adm, um pouco estranho dizer que continuidade
imite geralmente andam juntos e falar sobre essa excegdo porque a
excecño & 0 ponto crucial. Quando voce chega aqui,a excegño € mais
importante do que a regra. Consider

e 26 duas lunges na Figura 74,

Essas fungóes tém interrupgöes em x = 3e náo sáo obviamente continuas.
esse ponto,mas tém limites à medida que x se aproxima de 3. Em cada

cette, 3590 limite 6 igual alturado intervalo aberto
SC 5 Um intervalo aberto infinitesimal em uma funçäo € o único lugar em que
322) a tuncao pode ter um limite onde ndo é contínuo.

“Gonos

gura 79 tém cs mesmo limite à medida
que x se aproxima de 3;0 limite é 9,e o fato de que r(3) = 2 € que (3) €
indefinido & irrelevante, Para ambas as fungóes, medida que x tende a 3
pela direita e pela esquerda,a altura da fungáo tende a nove na altura do
intervalo aberto— esse & 0 limite. Iso tolera repeticáo ~e até um feone:

Entao ambas as fungóes na

ie X ea
| À }
¡eo |

al

2| /

NZ
A
O=grátcos Al
decos :l 2

5) 4

107. PAPA — Capítulo Vit: Limites e cominuidade OF

Isso € timo’. voc’ deve €

pensando:Mas por q

voce deveria se

preocupar”. Bem continue comigo por apenas um minuto.No exemplo

‘da bola caindo no tópico"Calculando a velocidade instantánea usando

limites no comego do capítulo,eu tentoi calcular a velocidade möcin
al a zero. Isso me deu —22% Metros
zero segundo

durante o intervalo de tempo ig

fi
le serindefinido,o res
0

ra funcao.Imervalos abertos

Devido ao t

funcoes fregúentemente vém da

impossibilidade de dividir zero por zero É nessas lunçoes que o processo

do limite é crítico, e esses tipos de fungóes sáo o coraçäo do significado de

uma derivada,e a derivada 6 o coragäo do cálculo diferencial.

{Uma derivada sempre envolve a fragáo inde!

o
a Le sempre envolve

Ÿ 0 limite de uma fungao com um intervalo aberto (Se vocz está c

} todos os limites do Capítulo 9- onde a derivada € formalmente definida

sio limites de fungóes com intervalos abertos),

Descobrindo a bobagem
matemática da continuidade

‘continuidadle é que a continuidade de uma fangáo em um dado valorde x
significa que náo há intervalo nesse valor No entanto,vito que voce pode ser
testado na definigäo formal a seguir eu suponho que voce vá querer saber

Tudo que vocé precisa saber pera entender plenamente a

tuidade: Uma funge f(x) € continua em um poto x

3 Definicáo de cont
es a seguir fre satiseitas:

‘ase as és condi

1 f(a) & definido,
2 NICD existe, e

ara

Assim como a definiçäo formal de limite,a definigäo de continuidade
está sempre presente como um teste de 3 partes,mas a condigäo 3
Única com a qual voce precisa se preocupar porque as condigoes
estao inseridas na 3 Vocë deve se lembrar.no entanto,que a condicao
3 ndo 6 satisfeta quando tanto o lado esquerdo como o lado direito da
‘equacao forem indelínidos ou inexistentes,

108. YO bart Limites ___

O mnemónico 33333 do limite!

Aqui está um 6timo dispositivo de memörla que coloca um bocado de
inormagäo junta em uma tacada de mestre sso talvez parega forgado ou
bobo. mas com dispositivos mnemônicos forgado e bobo funcionam ©
neón do limite ajuda voc’ a se Jembrar de duas coisassobre
mites, cas coisas sobre continuidade e uma coisa sobre derivadas (eu
sei que ainda nao chesamos a derivadas, mas este 60 melhor lugar para
xmónico Acredite no que eu digo = nada é perfeito),

presentar esse

‘cinco 36 nesse
etireo trago do

Primeito.note que a palavra“timit tem cin
Innemönico.Depois,esereve limit com um { minüscu
para que ele se torne um = assim:

mi

Agora,os dois” so para limite,os dois"s sto para continuidade (note
que a letra*7 tem um buraco nela,näo sendo,dessa forma,continuo),e o
m'é para inclinagäo (vocé se lembra de y = mex + B7) que € sobre o que
as derivadas falam (CE verá isso daqui a algumas páginas no Capitulo 9).

Cada uma di a vocd a se lembrar de trés coisas

cinco letras aj

limit
333

443 partes para a definigao de

Veja adefinigäo de limite no tópico"Definicáo formal de limite.
Lembrandose que ela ter tes partes que ajudam v
partes = confie em mir.

143 casos onde o limite

do existe:

Em umaassntola vertical -chamada de descontinuidade infiita —
como em x = 3 na funçäo p na Figura 78

Puls de descontinuidades como em x 3 na funcio q na Figura 78.

Com um limite no infinito de uma fançäo oscilante como lf @)
en x,onde a funcio sobe e desce para sempre,nunca tendendo

à ura valor definido.

223 partes para a definiçäo de continuidade:

Assim como a definiçäo de limite Jembrar que a definigäo de
Continuidade tem 3 partes ajuda vocé a lembrar as 3 partes (veja
© t6picoDescobrindo a bobagem matemática da continuidade”
abordado anteriormente no capítulo)

109. Capítulo VI: Limites e continuidade 9 1

2 3 tipos de descontinuidade:

+ Uma descontínuidade removível - esse € um termo mais sofisicado.
para um intervalo aberto - como os intervalos na funçäo re na
Figura 79.

Uma descontinuidade infinita como em x = 3 na fungáo p na
Figura 78.

Palos de descontinuidades,como em x= 3 na fungdo q na Figura 78.

123 casos onde a derivada nao existe

(Eu explico isso no Capítulo 9 fique calmo)
Em qualquer tipo de descontinuidade.

+ Em um ponto acentuado de uma fungáo ~ chamado de inflexáo.
Em uma fangente vertical (porque a inclinagáo € indefinida
nesse lugar)

Bem ai est

Vocë provavelmente notou que a outra maneira que esse mnemónico
funciona é que ele Ihe dá 3 casos onde um limite nao existe, casos
onde a continuidade näo existe,e 3 casos onde a derivada nao existe
Santo triplo trio de inexistencia Batman, isto ainda € outro 3 - os 3
Tópicos do mnemönico: limites, continuidade, e derivadas!

110. 92 rena Mt: Limitos o

111. Capítulo 8
Avaliando limites

Neste capítulo
Caleulando limites com uma calculadora
Multiplicando conjugados
Resolvendo limites com um sanduiche

Encontrando limites no infinito

men bote paces a are
nn
Geh Tender enema malen ea Inga ende

Limites fáceis
Ags problems de ii sho muti cis Teo cl que o
ee ee

Limites para memorizar

Vocé deve memorizar os limites a seguit Se vor@ fracassar em decorar
05 tés últimos, voce pode perder muito tempo tentando descobri-los,
Leve o que eu digo em consideracáo.

112. YL pare t-Limites =

1 07 > uma linha horizontal, entáo 6 limite que & a altura da lungäo

10 importando o número x).

deve seriguala €

lim does
Le
1
ml zo

Pegue e Leve

Os problemas "pegue e leve" faz
ices Apenas plugue um núme

sm parte da segunda categoría de limit
na funçäo se 0 cálculo resultar
esta. Por exemplo,

Esse método funciona pra limites envolvendo fungöes cont
e funcdes que säo continuas sobre todo o seu dominio, sses säo
e limite bobos,e,para ser sincero, eles nao tem nexo.

problemas so!
imite é simplesmente o valor da fungáo.

O método plugandchug funciona para qualquer tipo de fungáo incluindo
fungbes definidas por partes a ndo ser que haja uma descontinuidace no
plugou (Vela o Capitulo 7 para uma descrigáo sobre

nero x que voc
es definidas por p

Sek Se vocé plugaro número x em um limite do tipo in e obtiver

vocé sabe que esse limite nao existe

113. _Capituto Vil Avaliando limites YS

Os “Verdadeiros” problemas
sobre limites

Nenhum dos métodos rápidos que eu apresente no tópico anterior funciona,
para a maloria dos problemas sobre limites Se vocé plugar o número xe 0
resultado for indefinido,em geral -2-,voc8 tem um problema sobre limite
verdadeiro"- e um pouco de trabálho para fazerEsse € o foco principal
dessetópica Essessáo os problemas sobre limites interessante, 6 que
provavelmente té buracos infinitesimais os que sho importantes para o
cálculo diferencial -voc® verá mais sobre eles no Capitulo 9

Quando vocé pluga um número x e o resultado € indefinido,voc& pode:

var qua colas sua calculadora älgebr fazer um sanduichede
he ea egra de LHöspitl (que será vta no Capitulo 16)

Descobrindo o limite com

a sua calculadora

Dig que oc qua rar osetia SO météo

Pugand-chug no funcion porque plugando Sno lug de produz 0

resultado indo de- mas assim como a main dos problems sobre

limites, océ pode resolver esse problema na sua calculadora,

io método € pegar um número extremamente pero de 5eplugar
o lugar dex Se vo ver uma calelador como a Texas Insuments

18 digit o seu número digamos 42088 n página nica presione o

o(ermazenat, depos o botox por fimo tig Enter (sso

guarda o número em.)-Deposintoduza a angio =" pere
Enter O rest, 99¢ extremamente peto de ui nero intra
10 enti esa ésa resposa.Em adios amazene 4908099 em x
depois suba a barra derlagem de volla para fonchotecando Ze Enter,
2nd. Enter cando Enter mas uma vez he dá 359099 muito mas
pero de 10.Sevocé anda ter dvds tent mais um número Armazene
49999000 em x volt par funcio. apt te. rsa, 10
aparece (0 valor da tango em 4390999 no 6 xatamente 10 mas & 0
pero que calzuladra aredonda para 10) À propósitos voce ester
usando un model de calculador ierent 6 bem provvel que voce
encontre o mesmó sellado com a mesma técnica ou algo bem parecido.

114. 96 rane: imites

Método 2

O segundo método usa

dg,uma calculadora & produzir uma tabela
de valores. Digite y= 2 2 no modo de desenhar gráficos na sua
calculadora.Depois vá para "configurar tabela”e digite o número do
limite,5.como o número" inicial da tabela”,e digite um número pequeno,
digamos 001, para A7B1- esse é 0 tamanho dos incrementos de x na
tabela. Aperte o botáo Table para produzir a tabela Agora suba a barra
de rolagem para que voce veja alguns números menores do que 5,e voce
deve ver uma tabela de valores como os da Tabela 81

Tabela8-1 Tabela TI-83 para =? depois de subir a
barra de rolagem até 4,998

E y
om CA IE
1500 ET
Sn 5 erro
a i 500 10.01 ME
Ta 5002 10002
500 10005

Devido ao fato de y chegar bem perto de 10 à medida
aproxima de 5 por cima e por baixo, 10 € 0 limite

Essas técnicas em calculadoras sáo úteis por várias de razdes Sua
caleuladora pode Ihe dar as respostas para problemas sobre limi
‘que sño impossiveis de serem feitos algebricamente.E ela pode resolver
problemas sobre limite que voo’ poderia fazer com papel e lápis a menos
que voce esteja confuso Também, para problemas que vocé faz no papel,
voce pode usar a calculadora para verificar suas respostas. E mesmo
2 escolhe resolver um limite alget

fazer dessa maneira — € uma boa idéia criaruma tabela como a Tabela Bel
ro apenas para confirmar sua resposta, mas para ver como a hungäo se
comporta perto do número x. Iso dá a voc® uma compreensao numérica

6 problems, o que aumenta seu entendimento algébrico.Se voce
Olhar o gráfico da fungáo na sua calculadora, vocé tem uma terceira
mancira gráfica ou visual de pensar sobre o problema.

amente - ou € obrigado a

Muitos problemas de cálculo podem ser fetos algebricamente
graficamente e numericamente Quando possivel uso das ou ts dessas
abonlagens Cada abordagem dá a vocé uma entrada diferente no problema
e aumenta oseu entendimento sobre os conceit

115. Capítulo Vi: Avatiando limites Ÿ 7

Use as métodos da calculadora para complementar os métodos algebricos,
mas näo confie muito neles.Para comego de conversa. as técnicas da
calculadora nao vao the dar uma resposta exata a náo ser que os números.
que a sua calculadora Ihe dá estjam se aproximando de um número que
vocé reconhece - como 9.99998 está pero de 10,04 0.333332 está perto
de 1/3,0u talvez voce reconhega que 1,414211 está bem perto de v2 Mas
Sea resposta para um problema sobre limites € algo do tipo —L-.voce
provavelmente no vai reconhecerisso.O número he é apioki

iguala 0288675, Quando voce vé nümeros na sua talk perto desse
1

e apfokimadamente

decimal vocé näo vai reconhecer
seja um Arquimedes,um Gauss ou um Ramanujan (membros da Galería
da Fama da matemâlca) No entanto mesmo quando voce nao reconhece
a resposta exua nests casos voc anda pode descobriruma resposta
aproximada na forma decimal para a quest do ite

como olimite~a nâo ser que vocé

‘segunda linitacao da caleladora€ que ela nova funcionar com
) Esse limite € igual

algumas unçôes peculiares como Ji r=5 «sin (=
a zero,mas voc® näo pode achar essa resposta coma

fa calculadora.

A propósito, mesmo quando.o método da calculadora funciona, as
calculadoras podem fazer algumas coisas esquisitas de tempos em
tempos. Por exemplo,se vocé está resolvendo um problema sobre limite
onde x se aproxima de 3,e voce coloca números na sua calculadora
que sño muito perto de 3 (como 3,0000000001), voce pode chegar bem
perto do alcance decimal máximo da calculadora. lso pode resultar
em respostas que se distanciam da resposta do limite, mesmo quando
voc® coloca números cada vez mais perto do nümero x

A

¡oral da história € que vocé deve pensar na sua calculadora como
ma das muñtasferramentas à sua disposigäo para resolver limites —e ato
‘como uma substituta para as técnicas algébricas,

Resolvendo problemas sobre limite
com a álgebra

Voce usa duas técnicas algébricas importantes para problemas reais' sobre:
limit: fatoragio e multipicagao conjugada, Eu agrego outra técnicas da
älgebr na secdo Algebra diversa" Todos os métodos algébricos envolvem
a mesma idéa básica.Quando a subsiuigä0 nao funciona na funcño.
original geralmente por causa do intervalo aberto na fungáo —vocé pode
sara álgebra para manipular a fungáo alé que a substituicio funcione (ela
funciona porque a manipulagäo tampa o intervalo aberto)

Se divertindo com a fatoragáo

Aqui está um exemplo.Avalie lim &° 25,0 mesmo problema que vocé fez

‘com uma calculadora no tópico anterior

116. 98 pare m:timites —

o lugar de x - vocé deve sempre tentar primeiro.

Voce obtém 2 —nao & bom. vi para o plano 8

2. x - 25 pode ser fatorado, entäo faga iss.

Snip A2=28 = 10,confimando a resposta da calculador
A propésto.ahingio que ve? ble depois de canelar 0 (x 5)asabe

+5),6idé

ica 3 hung origina, 2 exceo pelo ato de intra aber
na fungáo original em (5,10) ter sido plugado E note que o limite à medida

que x se aproxima de 5 é 10,que é a altura do intenvalo aberto em (5.10)

Multiplicaçäo conjugada — Náo, isso náo tem

nada a ver com produçäo

Tente esse método para funcóes raclonais que contentar raizes
Quadradas.A multiplicagáo conjugada racionaliza o numerador ou 0
«denominador de uma fragáo,o que significa se lvrar das rares quadradas

Tente esse aqui: Aval lim VE

1. Tente a substituigáo.

Insira o número 4:isso the dé © .

para o plano B.

2. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado de YX —

conjugado de uma expressño de dois termos € a mesma expresso co
a subtracio trocada pela adigäo e viceversa.O produto de conjugados é
‘sempre igual ao primeiro termo ao quadrado menos o segundo termo a
quadrado,

Agora faca a racionalizacao,

117. Capitulo Vit: Avaliando

jim =

xd

lim 2
end) er?

im 0-2

00D

D
00D

3. Cancele o (X- 4) do numerador e do denominador.

4. Agora a substituigdo funciona.

Entao,lim A2=2..
see,

Asslın como 0 exemplo da fatoragáo,esse processo de racionalizacáo
plugou o intervalo aberto na fu

scbearesposa.ea funcio

riginal.Nesse exemplo,4 € o número

fem um intervalo aberto ema,

Algebra diversa

Ao ftorar e fazer muliplicacio conjugada nao tenha trabalho, tente
outa Algebra básica para somar ou subir façôes multiplica dividir
Fes cancer ou our forma desimplieagan Aqui st um expo

med 4

Avalielim x

1. Tente a substitulcäo.

Insira o número 0:isso the dé. nao € bom

0
2. Simplifique a fragäo complexa (essa € uma fraçäo grande que
‘contém pequenas fragöes) multiplicando o numerador e o
“denominador pelo menor denominador comum das pequenas
fraçôes, a saber, 4(x + 2).

Somar as pequenas fragöes no numerador também funcionaria, mas.
& mais demorado do que o método deserito aquí

118. TOO rare m: rimites on

"img
+

hip A

ren

3. Agora a substitulçäo funciona.

Esse & olimite

Faca uma pausa e prepare um
sanduiche de limite

de limite.
er o método do sandufche ou da
espremedara'é olhando um gráfico Veja a Figura 81

para resover
um inte. As +

fungées fe h m
säoopio,e E
géssaime. |

Othe as fungos ge h na Figura 8 1:46 o sanduíche entre Fe 4e perto
do número x nesse exemplo o número 2
mpre maior ou da mesm

sempre maior ou da mesma

que heseo lin F)

119. Capitulo Vii: Avatiando limites 1 7

lim h 0 ,emtdo gx) deve ter o mesmo limite porque está sendo espremido
‘ou aperado entre Fe h.O limite de fe hä medida que xse aproxima 263
Nao há nenhum outro lugar pra it

Enido3 ¡em quesero limite ¢
Aqui está outro exemplo:Avalie lim sen -L
1. Tente a substituicio,
Coloque 0 em xs he dä uma sen A bom ndo pode dividir

porzeróVamos para o plano B.

2. Tente os métodos algébricos ou qualquer outro traque que
vocé tena na manga.

‘Va nessa.Nocé náo pode fazer Plano C.
3. Tente a calculadora.
Esempre uma boa idéia ver o que sua calculadora diz mesmo que

esse seja um problema para "mostrar o seu trabalho
gráfico dessa fungáo ajuste o modo da sua calculadora pa

xmin=-04
xmax=04
ymin =-03

ymax=03

A Figura 82 mostra como o gráfico se parece:

»

pi:

es ANSE
Figura 8-2: 0 Tock
ate HV

ghd =xsen er

Parece que definitivamente 0 limite de y é zero à medida que x e aprosima
dezero pela esquenda e pela dirt Agora verifique tabea de valores na sua
«calculadora (ajuste o Tia para 0c ATW para 0001).A Tabela 82 dé alguns.
os valores par à tabela Nota: Nova bara de rolamento para baixo para ver
todos os nümeros.da Tabela 82 na sua calculadora.

120. 102 parte:

Tabela8-2 Tabela de valores para glx) =x sen

m

ns
08
uns
06
au
08
Ds

se eativessem chegando
cada vez mais perto de zero à medida que x se aproxima de zero,mas
eles náo sio convincentes se tipo de tabela nao funciona tao bem para
fungBes oscllantes como o seno e o cosseno (Note que alguns valores da
fungao na tabela, por exemplo ~ 0.000969 para x=0.006,estáo mais perto
de zero do que outros valores maiores na tabela onde x € menor ss €
posto do que o que nés queremos ver)

Uma melhor ma

ira de ver que o limite de g ézero € usar o primeiro
método da calculadora que eu mencione n cscobrindo o
limite com a sua calculadora", Digi inicial insira
sucessivamente os valores de xlistados na Tabela 83 para obter os valores
da fungáo correspondentes.

Tabela8:3 — Tabela de valores para g(x) = x sen +

E Fe]
or ETE,
(00088
001 000031
= 00001 00000036.

Agora voe® pode definitivamente ver que g tende para zero

121. = Capítulo VI Avatiando limites 7 03

A longa e tortuosa estrada

hi Mas me diga, como pode a curva slguma
Conso a lung, ad =x en x, mostre- veztocar(0) ou se conectara 0) pela es
de asfigras8 2003 e iscuil notópico _ querd (ou pea dirt)? Supondo qu oc
sobre frerum sandiche de mis. Eléde passa atravesar uma din int di
finda em todo lugar exo em eto. Se nbs ia infinitamente rapido, quando vocd
agota a alramas un pouco — defninde nalment passe pela gen, vob está em
que A 0 nés orenos une furgo com una das peras d ua que esto pare cia
propriededes bizarras. A fungáo & agora ou una das pars que est para bab?
Sertin em todo lugar, om ostras palarat, Nenum dos des parece possvl porque
elandotem ntenalos berne Masem (00), ndo ingore a dstäncia que voce esta
ola parece conradizo a ji básica de da oxigem,vord tem um número rio do
contado que dz que voc pode tragar. peras o um número Info de curas na
2 fungdo sem rar épis do papel. Sua Irene. NEO NA uma Úlima cura anes
Imagine comegando em qualquer luar en de chegar a (LL Eno parece que a un-
tx) para a agua de Ban yo ie do CAO MAD pode e conectará orgem e iso,
Do da estada tomuosa na sigem, (09) Conseientemenie, ne pode er continua
Na 0. Vo pode comacar sua viagam o nesse lugar apesar de à matemática nes

mais perto que vocé quiser da ongem 0 que sizer que ela é continua.
ood acha da arg de um prton lange Ge Aq est uta maneira de oer paraiso
(O0)-cocomprinertodeestedaensevecé Imagine una Inha vericl desenhada no
(00€ infinitamente gel Iso mesmo. tapodafunçäo am x -12 Agora desizeve
Ela se enosea para cima para boo com gerosamente ala par a dita o longo
ral foqinciacescara media que vocé da ing té que wood passe po (0.0
a sproxina cada vez mais de (00) que a há intervalos aborts na fangáo, ento em
dura do eu paseo én verde info cade instante aline vstcaleuz aun
apesar de ofatode cada "reta esta fiancé emalgumlsgasPenseno port onde inha
Cada vor menor Nessa Inge tons es artea se mercepta com lun. Ame
‘rade, we muncsvachegorá porta dela da que ocd puna alin pra deta, esse
Dont viejo o longo da fun, se eos
cando para cima e para baix ao longo da
estado, , à metia que vocé pura a linia
sio do(0)- porue Suma estados she augen oonbchego po |
sa e conectada, Epoque Jen 1 5a (001 Agora me dig o seguis quando |
Oluejaotópicaco senduiche de mite pre © nto ating (00), le estava subido ou |
prev). porque D) ei como senda escendo Como yu poo comparar.
0,0 esta de ás parts para coninidace S90” ESO de saber |
om Dé ss Afnço 6 eno continua |
|

sso fungi altorada 6 olaramente continue
em todos os pontos com a passive! exce.

Coisas como essa realmente bagungam a
sue cebo.

122. VOB parents >

4. Agora voc® precisa provar o limite matematicamente, mesmo.
que voc® Já tenha resolvido na calculadora. Para fazer Isso, vocé
precisa fazer um sanduíche de limite (Enganel voc® - aposto que
voce pensava que o passo 3 era o último passo).

A parte eiffel sobre usar o método do sanduiche é produzi as fungóes das
pies" (As funcdes fe hsño o pao € ag €0 salame).Näo hä uma maneira
Automatica de fazer isso Voc tom que pensar sobre o formato da funcáo do
Salame,e depois usar o seu conhiecimento sobre fungoes e sua imaginacáo
para produzir alguns bons prospectos para as funcoes dos páes.

Devido ao fato de aimagem da fungáo seno ser do negath alé 61 positivo,
toda vez que voc® multiplicar um número pelo seno de alguma coisa.o
resultado ou fica à mesma distancia de zero ou se aproxima de zero Assim,
ai chegar acima de Lv au abaixo de Lx Entáo tente desenhar 0
des fx) = Le HG)
funçôes de pao adequadas parag.A Figura 83 mostra que elas sia.

graft y bájunto co

1860 para verse Fe ho

Nés mostramos — apesar de talvez ndo sera saslacáo de um matemático por
Deus! que 16) > 869) 2 1G9.E devido ao fato de o litt (x) = lim x) =0,5e
0

segue que g(x) dever ter 0 mesmo limite:voila—limg

gráfico de
169) = bd
100 «log,
CEE
Euma gravés

botholstal

Avaliando limites no infinito

Nos tópicos anteriores, eu olhei os limites à medida que x se
aproximava de um número finito, mas vocé também pode ter limites
‘onde x se aproxima do infinito ou do infinite negativo.Considere a

fungao f(x) - 1

e dí uma olhada no seu gráfico na Figura 84.

123. Capítulo Vit: Avatiando limites TOS

+

Fonte
Doráfico de
=.

Vocé pode ver no gráfico que à medida que x aumenta cada vez mais em
outrs palavres à medida que x se aproxima do infinito a altura da funcio
a vez menozmas nunca chega à zera Iss & confirmado considerando.

fac
6 que acontece quando voc2 insere número cada vez maioresem-L.Os
Oupussetomam cada vez menores Ese grafico dess forma tem ulna
sin horizontal de -0(0 exo). nds dizemos que o iL =0.0 io
dx unca realmente tocar o infinito e de fnuncachegara zero ho em
releváncia.Quando nósdizemos que lim L=0,queremes dizer que à medida
que x fica cada vez maior sem fim /seapixima cadaver mais dezero -f

tene ze para sempre.A funcáo Ftamibém se aproxima de zero medida.

‘que xe aproxima do infinito negaivo,o que é escrito como lim-L=0,

Límites no infinito e
assintotas horizontais

Assiniots horizons e os limites no infinito sempre andam de mäos juntas.
Vocé näo pode ter um sem o outa Se vocé tem uma funcáo racional como
rs

2x+8
mesmo que encontrar o local da assintota horizontal.

determinar o limite no infinito ou no infinito negativo $0

Aqui está o que vocé faz. Primeiro, preste atencáo no grau do
numerador (esse & a maior poténcia para x no numerador) e o grau do
denominador Agora, vocé tem trás casos:

124. 106 pare mis > — — —

Se. grau do numerador for maior do que o grau do denominador

por exemplo,f) T.ndo há uma assíntota horizontal eo

be +8
limite da fungao à medida que xse aproxima do infinito (ou infinito.
negativo) náo exite.

1 Se o grau do denominador for maior do que o grau do numerador, por

exemplo,g) 0 cixo x (sto 6 à linha y = 0) € a assíntota

2412

horizontal e 0 lin gx) = iM. g(x) =0.

1 Se o grau do numerador e do denominador tor igual, pegue o
cochciente da maior poténcia de x no numerador e divida pelo

«coeficiente da maior poténcia de x no denominador Esse quocient

E A ol n=l na)= Lek

4

SETS Para impresstonar ses amigos, aponte 0 seu dedo indicador para cima,

SD levante uma sobrancelha, diga em tom profsional Em uma fungáo

EUA 2) racional onde o numerador e o denominador tem grausiguis,o
limite da fungao à medida que x se aproxima do infinito ou do infinito

negativo é igual ao quociente dos coeficientes dos termos principais

\ A substituigdo nao funciona para os problemas desse tópico.Se voce
tentar inserir = no lugar de x em qualquer uma das funçôes racionais
esse tépico, voce obtém £, mas isso ndo € igual a 1.Um resulted

= náo te diz nada sobre a resposta para um problema sobre limite

Resolvendo problemas no infinito
com uma calculadora

Aquí está um problema que näo pode ser feito pelo método do tópico
‘anterior porque nao € uma lungáo racional: lim (A+ x x). Mas € muito
fácil com uma calculadora. Digite a fungáo no modo de gráficos, depois vá
para table setup e configure TBiStart para 100.000 e ATOI para 100.000.A
Tabela 64 mostra os resultados,

125. Capitulo Vili: Avaliando

Tabela 84, Tabela de valores para y = ($753
Ei x Y
100m a
200000 4999998 eRe
300.000, TN
200000 4999097
500000 4999008
00.000 4999098
~ 700.000 4999098
800000 4990098
200.000, 4999999

Voce pode ver que y está chegando bem perto de 0,5 à medida que x

fica cada vez maior Entáo 0,5 € 0 limite da fungáo à medida que x se
aproxima do infinito, há uma assintota horizontal em y = 05.Se vocé tem
alguma düvida sobre o limite ser igual a 05,volte para table setup e insra
un número extemamente grande para TblStrt e para ATO, digamos,
1.000.000 000, verifique os resultados da tabela de novo Tudo que voce
vé é uma coluna de 0 5s.Esse € o limite (A propósito, ao contráro das duas
fungdes racionats nos tópicos anteriores,o limite dessa fungáo à medida.
que x se aproxima do infinito negativo náo 6 igual ao limite à medida
que xse aproxima do infinito: lim (A+ x - x) == porque quando voc’
coloca = = voce len « + = que & igual a =). Mais uma cola: Assim como
‘com limites regulares, usar uma calculadora para limites infinitos nto
Ihe dä uma resposta exata a no ser que os números na tabela estejam se
aproximando de um número que voc® reconhega como,por exemplo.05.

AA substtuiçäo nao funciona no problema acima Jim (A +X-a).Se vocé
coloca = no lugar de x,v0c2 obtém =» que ndo é igual a zero Um resultado.
de «na diz nada sobre a resposta para um problema sobre limite

Usando a álgebra para
limites no infinito

Agora tente um pouco de álgebra para o problema lim (4x ~x).Noce
úbteve a resposta com a calculadora, mas em iqualdade de circunstancias,
‘melhor resolver o problema algebricamente porque assim vocé tem uma
resposta malemática incontestável resposta da calculadora nesse caso 6
bem convincente, mas nao é matemalicamento rigoresa,entáo se vocé parar
aqui a polícia da matemática pode te pegar

1. Tente a substituiçao - sempre uma boa Idéla.

126. 108 pare mt Limites dis en

Nada born, Voce obtém s = »,que náo te diz nada -veja 0 fc
“Atengáo!"no tópico anteriorVä para o plano B.

xx) conter uma raiz quadrada,o método

Devido ao fato de (4
da multiplicagáo conjugada seria uma opgáo natural, exceto pelo
ato desse método ser usado para huncdes fracionáris. Berm, apenas

110 I e‚voilä,voc tem uma fragño:

coloque (dé + xx) sobre o ná

icagio conjugada.
1

Agora faga a multip

Multipique o mumerador e o denominador pelo conjugado de
(fF rx) esimplifique,

lim —X —— (Fatore x para fora do denominados)

ETES ES)

ES ES)

3. Agora a substituigáo funciona.

jm
Gembrese que lim +

na a resposta da calculadora

127. Parte IV
Diferenciacáo

A 5° onda por Rich Tennant

128. Nesta parte...

129. Capitulo 9
Orientacáo da diferenciacáo

Neste capítulo

Descobrindo a alge!

a básica por trás do cálculo.
Entendendo as símbolos esranhos do cálculo,

| e Hardy

goes lineares e quadráticas
Lidando com problemas sobre tangente e o quocicnte de diferenca

Fazendo a diférenciaçäo com Lau

Encontrando as derivadas de equ

( álculo dilerencial é a matemática da mudanga e a matemática do.
infimtesimalNoce talvez diga que é a matemática das mudangas
infiite

nais - mudances que ocorrem a cada milésimo de segundo

Semo caleulo diferencial—se voc# tem somente a álgebra,a geometria ea
leigonometia -voc® está imitado A matemática das coisas que mucam ou
‘ngo,ou que mudam ou se movem à uma rao constante Lembrase daqueles
problemas da álgebra? O trem sai da estagáo indo para norte a 90kra/n;yoce
dirige para o leste a S0kanvh.. oc8 pode lidar com esse tipo de problema com
a álgebra porque as velocidades ou rames sño constantes, Nosso mundo no
úentanto,náo € uma das razöcs constantes as raz0es esto cm fluso cons

Pense sobre colocar um homem na lua, Apollo 11 decolou de uma.
plataforma de lancamento móvel (a tera está tanto rodando em torno do
Seu eixo como girando ao redor dosal) À medida que o Apollo subia cada
vez mais alto ati provocado pela atmosfora o eeite da gravidade da
terra estavam mudando náo apenas a todo segunde,nao apenas a cada
rmilienésimo de segundo, mas a cada Façäo infinitesimal de segundo.

© peso da name espacial também estava constantemente mudando à
medida que queimava combustivel Todas essascoisasinfluenciaram a
mudança de velocidade do foguete E além disso,o foguete tinh qu
alingirum alvo mövel,a lua.Todas esses coisas estavam mudando,e suas
raz0es de mudanga estavam mudando Digamos que o foguete estava a
{uma velocidade de 2000km/h em um segundo e a 2020km/h um segundo
depois = durante esse segundo, a velocidade do foguete passou literalmente
wés do número infnito de velocidades diferentes entre 2000 e 2020km/h,
‘Como fazer as contas para ess cosas efemeras que mudam a cada parte
infinitesimal de segundo? Voe8 no pode lazer isso sem a diferenciacáo.

© cálculo diferencial € também usado para todo tipo de coisa terrestre
Grande pane da teoria da economia moderna seria impossvel sem a
difereneiagäo.Em economia, tudo estä em um Nuxo constante Pregos

130. 112 parce rv: Ditorenctagao à — —

sobem e descem,suprimentos e demanda flu
‘constantemente mudando Essas coisas est
as maneiras que elas afetam cada um est
Vocé precisa do cálculo para iso.

me a inflagáo está
mstantemente mudando,
constantemente mudando.

à das invengúes mais práticas e poderosas na
0, vamos logo comegar

Océlculo diferencia! &
ixória da matemática E

Fazendo a difereneiagäo: É somente
encontrar a inclinagáo

A diferenciagáo € a primeira das duas malones idélas er
¿a integracáo, que eu abordo na Parte VA dilerenciagáo
de encontrar a derivada de un =x Aderivada 6
apenas um termo pes ida que voce
Sabe da álgebra —a inclinagäo.A inclinacdo,como vocé sabe, é 0 termo.
sofisticado da álgebra para declive E lara sofisticada para
live € palavra usual que voce conhece desde crianga,como
diferencial é relacionado à simples idéia de declive.

EU, No cálculo diferencial, vock estuda a diferenciagdo,que € o processo de

£ derivar ito &encontar~ deriadas Bas Sho grandes palawras para
) ma simples ¡dé Encontrar a Inclinagäo de uma rt ou de uma curva
Use alguns dees termos para impresionar 0 eus amigos. A propósito,
à ait des palas diferencial e diferenciagdo € diferenga- eu explico

‘Conexio no final esse capitulo no tópico sobre o quociente da diferenga.

91.Uma inclinaçäo de ¥ significa que à medida que
6 homer palito anda um metro par ‘ele some Y merro¡onde
2inclinagao for 3,ele sobe 3 metros à medida que anda 1 metro par

à direita, Onde a inclinacáo forzero, le está no topo.nem subindo e
nem descendo;e onde a inclinacao for negatva,ele está descendo. Uma
inclinagáo de 2,por exemplo significa que ele desce 2 metros para cada
metro para a tela. iso é mostrado com mals precisao na Figura 92,

Considere a Figur

Para lembrar que subire descer para a direita (ou para cima à
úesquerda) 6 uma inclinagáo negatica, imagine um "N" malúsculo como
mostrado na Figura 93.

131. — Capítulo IX: Orientagäo da diferenciagáo I 73

1O/— Possondo cálculo

war / > ome ia

ET
Fazer à
toren
apenas
inion

incinagio, |,
¿mero
|
fee Amero
Portugués: declve =} decive 3
Algebra: ineinagko- } ineinagio-3
Tansy Cie a4 de
Aderveda
= intinag

LE, tido como it y, dá x, é um dos muitos simbolos.

deeive
para a derirada = vej texto complementar

— A

CETTE
Een ON

N

132. 114 varo 1 Diterenciacáo

Todo mundo sabe que 3 = 9. Agora, nfo
| sera estranho se da próxima vez que vocé
| esse esse fata matemático, ele fosse escri
to como 3 8 ou 3, =9? Como 3=8 te che:
ma a atangäo? Ou 3 47 Variodade ndo € o
quo toma a matomática excitante, Quando
|| os matemáticos decidem por uma maneira

de expressarumaidéo, les a

tm =

cet it @, com eéleulo. Voc8 está pronto?
Nao porca as estibaires, Tudo o que so
seque 530 diferentes símbolos para à dori
vada a
mesma coisa: Y ou oy M

Sie CET

todos les signlicam exatamenta à

Variedade é o que torna a vida mais excitante

uy ou fou ou fouD you D x. Existe
mais, Agora, vocd tom dues alternativas: 1}
Bater sua cabaga na paredo tontando on- |
tender coisas como essa quando algum au

tor usa um símbolo uma ver © um diferente
símbolo outra vez, e 0 que exatamente o d
fsignificam do qualquer mangia, e assim |
por dant, eto. ou 2) Näo tente antender
seo; aponas rate eses diferentes símbolo
‘como palavras em idiomas diferentes para
a mesma idéia - em outas palawras,nño sa
preocupo. Eu recomendo fortemente a li
ma opgéo.

linagóes das linhas vertical

e horizontais. Qual a inclinacáo de

88200. Mo fique no meio da egiao de estudantes que confundem as
El in

Inclinacäo zero.Entáo,
zero.Como é dirigir em

) uma estrada plana e horizontal

ma linha horizontal
ina estrada vertical? Vo
isso.E vocë näo pode obter a incl

Nem um pouco inclinada, € claro,

uma inclinagäo igual à
nao consegue fazer
nagao de uma linha vertical - ela

no existe, ou,como os matemáticos dizem,é indefinida.

A inclinaçäo de uma reta

Continue com a idéia da inclinacáo - a esta altura vocé jé deve saber que
A inclinagao € do que se trata a diferenciagao.D@ uma olhada no gráfico
da reta,y=2e-+3,na Figura 94,

Voce se lembra da álgebra = eu estou totalmente confante sobre isso —
que voce pode encontrar pontos nessa reta Inserindo números no lugar de
xe calculando y. coloque 1 no lugar de x e y igual a 5,0 que the dá um
ponto localizado em (1.5): coloque 4 no lugar de x ey vai ser iguala II,te
dando o ponto (4,11),e assim por diante

Eu tenho certeza que voce tambén se lembra como calcular a inclinagáo.
dessa reta Eu percebo que nenhum cálculo é necessário aqui~ voce sobe
2 à medida que passa por | entáo a inclinaçäo € automaticamente 2 Noc
também pode simplesmente notar que y =2x +3 está na forma inclinagäo-
intercepta (y= me + 6) e que desde que m = 2, incinacáo 62 (Veja o.
Capitulo 5 se vocé quiserrevisar y= mx +). Mas fique firme comigo porque
vocé precisa do que se segue Primeiro,Jembrese que:

133. E m Capitulo I: Orientagäo da diferenciagäo I 1 I

inclinado = amena
) ist
y
À
f
sen en

“Huet “iol i isa set eae
Ográficode F il

Ye, y

O aumento 6 a distancia que vocé sobe (a porte vertical de um degrau da
escada),e adistáncia 6 o espago que voce passa através (a parte horizontal
‘do degrau da escada) Agora, pegue quaisquer dois pontas ma eta digamos,
(15) e (615).e descubra 0 aumento e a distancia. Voce aumenta em 10a
partir de (15) para (615) porque 5 mais 10 é igual a 15 (ou voce pode dizer
que 15 menos 5 éigual a 10).E voce encontra 5 a partir de (1,5) 16 (6,15)
porque 1 mais 5 6 igual a 6 (ou em outraspalavras,6 menos L € igual a5),
Depois,voce divide para tera inclinacáo.

aumento

inclinagáo = aumento

Aqui está como vocé faz.o mesmo prob}

ema usando

à fórmula da inclinacáo:

inclinaçäo = EI

134. 116 pare 1: Dierenciagño
Id os ponts LD #68)

inelinagdo =

(Ok vamos resumir o que sabemos sobr
pontos na reta e inclinacáo im

essa reta. A Tabela 91 mostra
vel de 2.

Tabela 91 Pontos na rota Y=2X +38 a
inclinagäo nesses pontos

wwasrotorcron| 1 | 2 | a [+ [5 [o]
IENENENENEIEZE:
Glee].

A derivada de uma reta

Otépico anterior

ostrow a vocé a algebra da inclina

0 Agora aqui está o
inciinagño) da reta na Figura 94 € sempre 2 entäo

a
de

Cased y, dx iguala?
Outra forma comum de escrever a mesma coisa €

(ise y línha € iguat

Exocé iz,

A derivada da fungáo,

(Lesea derivada da fungáo,

2.150 € uma piada.)

135. Capítulo IX: Orientagäo da dierenciagáo I 17

A derivada: E apenas uma razáo

‘Aqui est outra maneira de entender a idéia de uma derivada que émais
fundamental do que o conceio de indinagäc:a derivada 6 uma razdo.Entio
porque eu comecei o capítulo com a incinagdo? Porque a inclinagáo &em

ns aspectos o mais fácil dos dos conccitos,eainclinagáo & a idéla para
val voce volta multas vezes nese lio € em qualquer ro de cálculo à
medida que vocé olha para o gráfico de dzias e das de fungóes Mas antes
de vocß ter uma Inclinagä vocé tem uma razäo Uma inclinagáo é,de cea
forma,uma imagem da razao;a razdo ven prime a imagem dela ver em
segundo Assim como voce pode ter uma fungáo antes de vero seu gráfico,
vocé pode ter uma razio antes de vóla como inclinagño.

Cálculo no parque infantil

Imagine Laurel e Hardy em uma gangorra — dé uma olhada na Figura 95,

Fgura.
Laurel e
Hardy =

alegremenre
alhois das L el
implicagaes 7
do céeulo,

Rf By
Ah

Supondo que Hardy pese duas vezes mais do que Laurel, Hardy tem que
sentar duas vezes mais perto do centro do que Laurel para que eles se
equlliprem.E para cada centímetro que Hardy desce, Laurel sobe dois
centímetros Entáo Laurel se move duas vezes mais do que Hardy Vol,
voce tem uma derivada

$ A derivada & simplesmente a medida de quanto uma coisa muda
) comparada com outra =e isso € uma razdo,

Laurel se move duns vezes mais do que Hardy entáo com os símbolos
do cáleulo voce escreve:

di=24Ht

Vagamente falando,dL pode ser pensado como sendo a mudanca na
posicño de Laurel e dH como sendo a mudanga na posigäo de HardyVocé
pode ver que se Hardy descer 10 centímetros entao dH € 10. devido ao
fato de dl ser igual a2 vezes di, dl € igual a 20 - entio Laurel sobe em 20

136. 118 parte v:diferenciagaa

«centímetros Dividindo ambos os lados dessa equagäo por dH,voc® tem

derivada de Laurel em relaçäo à Hardy (Elida como“a,
fi

a
simplesmente significa que Laurel est se movendo 2 vezes mais do que

Bessa

IT on como; derivada de Lem relagño a H').O lato de

Hardy ra

0 de movimento de Laurel € de 2 centímetros por centímetro.

do movimento de Hardy.

Agora vamos olhar para isso do ponto de vista de Hardy Hardy se move a
metade de Laurel,entáo voce também pode escrerer,

Dividindo por dl,voe® tem

Essa é a derivada de Hardy em relacio a Laurel isso significa, € claro,

que Hardy move I- centímetro para cada centímetro que Laurel

se move. Assim a razio de Hardy &1- centímetro por centímetro

de movimento de Laurel.A propósito,voc8 também pode obter essa

derivada usando = 2,que & 0 mesmo que LL =-2 ¢ colocando de

a dí

am LE =
cabeça pra baixo voce obtém 4H =

Esas razdes de 2 centímetros por centímetro e centimetro por
cenlimero podem parecer um pouco estranhas Porque nés nomalmente
pensamos em rôles como se referindo a algo por unidade de tempo, como
‘quil6metros por hora. Mas uma razio pode ser qualquer coisa por qualquer
coisa. Entictoda vez que vocë ver iso por aquilo, voce tem uma razäo;e se
vocö tem uma razio.xoeé tem uma derhada,

Velocidade — a razäo mais familiar

m quilémetros por hora, digamos que vocé estejadirigindo a uma.
lade constante de 60 quilometros por hora, Esa é à razao doseu
caro. 60 quilómetos por hora € a dervada da posigäo do seu carıo (p) em
relagao a0 tempo ().Com as simbolos do cáleulo,vocéescreve

py 4ullometros
de hora

8 que a posiçäo do seu carro muda a cada 60 quilômetros
a que o tempo muda, Ou vocé pode dizer que a posigäo

Isso diz a
para cada

137. Capitulo IX: Orientagao da dterenciacao I 19

do seu carro (em quilömetros) muda 60 vezes até que o tempo mude.
uma vez (em horas). Novamente, a derivada apenas diz a voce quanto
uma coisa muda comparada à où

Eassim como o exemplo de Laurel e Hardy;essa derivada,como todas as
derivadas, pode ser colocada de cabeca para baixo:

1 _ horas _
© quilómero

Arto horas por qulómetro $ muito menos familar do ques razo
sluts prs ns eh Sb ed le
à poc que paa cada aulömero que voc anda. tempo mids em
ee ne ee
See
ES seize (pare o consumo de conteste Kurs por mine pue alone
al chats) produ por Acid (par prodded de una
ee
en

A correlacáo razáo — inclinacáo

Razöes einclinagdes tm uma correlacáo simples Todos os exemplos anteriores
sobre razáo podem ser desenhados em um sistema de coordenadas xy. onde:
cada 12230 aparece como uma incinaçäo Considere novamente 0 exemplo
de Laurel e HardLaurel se move duas vezes mais do que Hardy so pode ser
representado pela seguinte equacáo:

La

A Figura 96 mostra o gr

dessa fungi,

1

m
181
15

ig 4

28
sf
— 3/7
ns A”
Ográfcodo À 35 RER
A Y iceninerros)

As centimetros no exo indicam a distancia que Hardy se move para
‘ima ou para baixo a partir da pasiäo nical da gangoma; as centímetros

138. 120 pari Ni Diteronciegso 2" =

no eixo E mostram a distancia que Laurel se moveu para cima où para

paino.A rea sobe 2 centímetros para cada centimetro que vai paraa direita

+ assim sua inclinaçao & À ,ou 2.Essa 6a representagäo visual
mostra que a posicäo de Laurel muda

vezes mais que a de Hardy

Um último comentário antes de seguirmos em frenteNoce:
aumento gay
‘distancia

inctinaga vocë pode pensar em d£ como o aumento:

d# como. disnei. so amara hid junto muito bem,
à) einagdo= Francia an = "2200
MS Lembrese.umi la é apenas uma inclinagäo,e a derivada €

A derivada de uma curva
A derivada da fungáo de Laurel e Hardy desenhada no gráfico acima à
reta.Cálalo € a malemálica da mudanca,e

87 €0 gráfico da parábola, y=.

139. Capitulo IX: Orientacáo da

iferenciagáo 12 7

Note como a parábola fica cada vez mais inclinada à medida que vai para

a dircita a

pode vera partir do gráfico que no ponto

val a2:em (69),a inclinacáo €

1), inclinagáo

€ iguala I;em (41) a inclinagao €
‘gual à 3.e assim por diante No fim das contas, derivada dessa funcio €

iguala 3x (eu mostro a voce como cheguei a isso em um minuto). Para

inaçäo da curva em qual
1

y ponto, voc® apenas insere

a coordenada x do ponto na derivada,- x,e vocß tem a inclinacäo Por

exemplo,se vócé quiser a inelinacio no ponto

225) dues o
lugar dex ncaa srs es Lu 15 A Ten 93 sta guns
pont na parábola inna gio meses pont

Tabela2 Ponts na parabola y= Lea
inclinacóes nesses pontos

as | |

er |

Fr

Aqui esté o eäleulaNoc escreve:

il: x
Cpe ey
E voce di,

Ou voce pode dizer,
ile
qe

Aderivada de

1. Pegue a

tencla e coloque na frente do cocficiente!.
>

140. 122 paro 1: viterenc AO cn

3. Reduza a poténcia em 1.

sis
q ou apenas Lx

Essa e muitas outras técnicas de diferenciagáo serdo discutidas no
Capitulo 10

O quociente da diferença

Soem as trombetas! Voce chega agora ao que talvez seja a pedra
fundamental do cálculo diferencial:o quociente da dilerenga,a ponte
entre limites €. derivada. Eu continuo repetindo.=vocé notou? 6
importante lato de a derivada ser apenas uma inclinaçäo Voce aprendeu
Somo encontrara inclinacáo de uma reta em álgebra. Na Figura 97, eu
dei a inclinagao da parábola em diversos pontos, depois eu mostre o
método do atalho para encontrar a derivada - porém eu deixei de fora
matemática importante no meto, ssa matemática envolve limites, e nos
leva para olimiar do cáieulo.Náo perca a calma.

er >
y inclinagdo € definida como Qumento à
# À inclinacäo & defini 2

des

Para calcular a inclinacáo, voce precisa de dois pontos para inserir na
fórmula. Para uma reta iso € ci. océ apenas escolher quaisquer dois
Pontos na reta € os insere. Mas digamos que voce queira a inctinagao da

parábola abaixo no ponto (24) como mostrado na Fi

4 4
Br
Ográfico de
tangenta em „.
(2

141. gee

Figura

O grafico de

‘angente

101% Orientaçäo da dierenciagáo 1.2.3

\Vocé pode vera reta desenhada tangente à curva em (24),e devido ao fato
de ainclinagáo da reta tangente sor igual inelinagao da parábola em (2)
tudo o que vocé precisa é a inclinagao da reta tangente. Mas voce nao sabe
a equagáo da reta tangente;entáo vocé náo pode pegaro segundo ponto—
emadicáo a (24) - que voce precisa para a fórmula da inclinagäo.

Aqui está como os inventores do cálculo contornaram essa barcira.
A Figura 99 mostra a reta tangente novamente e uma reta secante
Interceptando a parábola em (2,4) e em (10,100)

SE

ST N, Una reta secante € uma linha que intercepta a curva em dois pontas ko
( ) é um pouco simplificado demais,mas vai servir
\

(00,100,

pd

A inclinagao dessa reta secante € dada pela fórmula da inclinacáo:

aumento
Imelinagäo = mento

=2

Vocé pode ver que essa reta secante 6 mais inclinada do que a
reta tangente, e assim a inclinagáo da secante, 12, maior do que a
inclinagáo que vocé está procurando.

Agora adicione mais um ponto em (6,36) e desenhe outra secante usando
esse ponto e (24) novamente Veja a Figura 910.

Calcule a inclinagäo dessa segunda secante:

142. 124 pane :iterenciagao

Vock pode ver que essa reta secante é uma melhor aproximacio da reta
tangente do que a primeira secante

Agora, imagine ú que aconteceria se voce pegasse o ponto em (636) e o
desizasse parábola abalxo em direcáo a (2.4) arrastando a reta secante.
ao longo com ele No

consegue ver que à medida que o ponto se

aproxima cada vez mais de (2.4),a reta secante se aproxima mais e mais
reta tangente, e que a inclinagdo dessa secante se aproxima cada vez.
mais da inclinagáo da tangente

Ento,vocé pode pegar a inclinagño da tangente se voct pegar. limite

da inclinacáo dessa secante móvel. Vamos dar aos pontos méveis as
À medida que esse ponto (x,y,) se aproxima cada
1),a disfancia— istoé (x, -X,)- se aproxim

‘do zero.Entäo aqui está 0 limite que vocE prec

cada vez

Inclinagä0 u = He Cinclinagäo,

lim aumento
Le isräneia
ya

Veja o que acontece a esse limite quando voc® insere mais tes pontos na
parábola que estäo cada vez mais perto de (24)

Quando o ponto (x,.,) desliza para (2.1.4:11),ainclinagáo € 4.1

‘Quando o ponto desliza para (201,4.0401),ainclinacio € 401

‘Quando o panto desliza para (2.001, 4.004001), incinagäo € 4001.

É claro que parece que inclinagho está caminhando em direço a4

Assim como todos os problemas sobre limite, vaivel nesse problema,

à distáncio,se aproxima, mas nunca realmente ch

a zero ~oque aconte

a se voce deslizasc o ponte que vocé pegou ao.

longo da parábola até que el jealmente ficasse no topo de (24)

143. — Capítulo IX: Orientagáo da diferenciagäo 125)

uma indinagäode ‚que € indefinida Mas. é claro cssa & precisamente a

indinaçäo que vocé quer = a inclinagáo da rela quando o ponto pousa no.

topo de (24). Énesse lato que est situado a beleza do processo do limite.

Com esse i

te vocé obtém a inclinagáo exata da eta tangente mesmo que.

afungao limite gere incinagdes de reta secantes.

Aqui esté,de novo,a equagdo para a inclinagáo de uma reta tangente

inclinagao = = Jim Y= 4

Ea inclinagáo da reta tangente é - voce adivinhou —a derivada,

7 Ÿ A derivada de uma funcio f(x) em algum número x= 6,escrito como
2) 700,6 inclinagao da reta tangente /desenhada em c

À fraçäo da incl acto HT 6 expressa com a terminología da álgebra.

‘Ago mos reescrever pr dar aquee toque pomposo docálcula Mes
primeira definicae:

© Ese um emo sofsicado do ciculo para a ger da ininac,

Fr
nia =
comox,=x, slo dienen cena? Entänvoib,6

A lragño & um quociente,certo? Etamto y, ~y,

hamada de quociente

da diferenca.

Oki aqui está a mancira mais comum de escrever o quociente da dilerenca
(voce talvez se depare com outras maneiras equivalentes) Primeito,a
distancia.x, - x, (nesse exemple x 130 me pergunte o
porqué —h.Depois, devido ao falo de x, =2 e a distancia ser igual a
iguala 2 + N.Vocd entáo esereve y, como A2) ey, como A2 + h) Fazendo
todas as substituigdes, voc® tem à definicáo da derivada de x° em x = 2
como o limite do quociente da dilerenga

Fam)
h

# à): jp L221) =1) eno ra da escada

r@ztint

apenas o contraído:

) que voce pode ver na Figura 9108 media ue po desizaprabola

abaixo em direçäo 20 ponto (24).Dé uma olhada na Figura 911

144. 1 2 6 Parte IV:

Figura 3-10
Sorten
vor
tangente ©
dus rete
sacamos

TT
Ográfico
mostrando

tangenteem
2a

145. —— CapítuloiX:Orientacio da diterenciagáo 127.

im a+,

+0

Entáo a inclinacáo 6 4 (A propésito,é uma coincidencia absurda que a
inclinagao em (24) sea igual a coordenada y do ponto).

Mo Definigao da derivada: Se vocé substitui o ponto (2,/(2)) na equacño do
limite acima pelo ponto geral (x f(x)), woe’ tem uma definicäo geral da
derivada como uma fungäo de x:

Jim Po = £69,

h

ee

A Figura 9-12 mostra essa definiçäo geral graficamente Note que a
Figura 9-12 é virtualmente idéntica à Figura 9-11 exceto pelo fato de os
xs substiturem os 25 na Figura 9-11 e que o ponto móvel na Figura 9 12

desliza para baixo em diregáo a qualquer ponto antigo (x.1(%)) em vez
‘de em direçäo ao ponto (2,402)

Y

»

me ©
Ográfico

deyse &
mostrando

comoolimio #
produz uma

inclinagio
a rota da
tangente no
porto geral
foo)

Agora calcule esse limite e obtenha a derivada para a parábola (x) =»

elim f& Mr
res! >

lim + Y=)
2 seh

TES

lin £
= h

146. 128 pane: iterenciacáo

ne

h

=!im Ox)

+0

2x

Assim, para essa parábola, derivada, isto 6,a inclinacáo da reta
tangente,é igual a 2x. Insta qualquer número no lugar de x e voc irá
obtera inclinagáo da parábola naquele valor Tente.

Razáo média e instantánea

Retomando mais uma vez para a correlagäo entre inclinagdes e razdes,a
jumento

distancia

apenas diz a vocé arazáo na qual y muda quando comparado com x.Se,por

da razño:a inclinacáo,

inclinacio € apenas a descrigdo vi

exemplo,y loro número de quilón

ets e x 0 número de horas, voce oblerd

uma razáo familiar de quilómetro por hora.

Cada reta secante nas Figuras 99 e 910 tm uma incinacáo dada pela

(nin =. incinagio a azo méd no itera dex; a,

¿quilómetros por hora durante intervalo de tempo de x, a x,

Quando vocé pega o limite € obiém a inclinaçäo da reta tangente voce
‘Obtém a razáo instantánea no ponto (x, y,)-Novamente,se y está em
quilômetros e x em horas, vocó tem uma velocidade instantänea no
ponte no tempo, x, Devido ao fato de a inclinagäo da reta tangente ser a
derivada,isto nos dá outra definigäo da derivada.

EN à derivada de uma fongáo fC) em algum valor de x € a razño instantánea
_) da manga de Fem relagáo à xnaquele valor

147. Capítulo IX: Orientagäo da diterenciagao 1 29

Ser ou náo ser? Trés casos
onde a derivada náo existe

Eu quero discutir as tés situagóes onde a der
altura vocé certamente sabe que a derivada d
pont é a inclinacao da reta tangente nesse pe
pode desenhar a reta tangente, ndo há derivada - isso acontece nos
dois primeiros casos. No terceiro caso, há uma reta tangente, mas sua
inclinaçäo e a derivada sao indefinidas.

2 Nao hä uma reta tangente e assim náo há derivada em nenhum
tipo de descontinuidade: infinita, removivel,ou pulos (Esses tipos
de descontinuidade foram discutidos e ilustrados no Capítulo

«ontinuidade 6,entäo,uma condigáo necessdria para derivada,

1o Fna Figura 9-13,
Onde a fu onto de inflexäo vertical, a inclinaçäo €
10 existe Neja

9:13 (Pontos de inllexäo seräo explicados no

fox fe tage

“Foust /
Os casos le
Monde nao
há dorada. |

148. 130 pane :Diterenciagäo

149. Capitulo 10
Regras da diferenciagäo -
Sim, cara, elas mandam.

Neste capitulo
Aprendendo as regras quervocé goste ou näo- desculpa amigo.mas essassño as regras
Dominando as regras básicas da dilerenciagño
Graduando em regras para especialistas
Entendendo a diferenciacao implícita
Usando logaritmos em diferenciagao
Fazendo a diferenciagäo de funcóes inversas

cour ena ces didas
errno soso ce sic sica do qu tums rats
compren sol iv des ins damental

Vocé também sabe agora a base matemática da derivada e sua definiçäo
técnica envolvendo o limite do quociente da diferenca. Agora,eu vou ser
banido para sempre da Ordem Real de Pitágoras por dizer isso, mas, para
ser perfitamente franco, voce pode basicamente esquecer esse negócio
sobre limite—exceto que vocé precisa saber disso para sua prova final —
porque neste capitulo eu dou técnicas de atalho para encontrar derivadas
+ evitar as difículdades dos limites € o quociente da diferenga.

Um pouco desse material ¢inevitavelmente soco.Se voce ter problema em
ficar acordado ao trabalhar arduamente por esas tegras,dé uma olhada

no último capitulo e dé uma espiada nos dois próximos capítulos para ver
por que voce deve se preocupar em dominar essa regras da diferenciagio.
Problemas incontáveis em administagio,em economia, medicina,
engenharia efísica,assim como em outras malérias dam com a velocidade
com a qual uma funcao aumenta ou diminui,e sso € o que a derivada nos
diz. Muñtas vezes é importante saber onde a fungao está aumentando où
diminuindo mais rapidamente (a inclínacáo máxima ou minima) e onde
seus picos e vales etáo (onde a inclinagño € zero) Antes que voce possa
fazer esses problemas interessantos,vocé tor que aprender como encontrar
derivadas. Se os Capitulos 11 e 12.o como tocar piano, entáo esse capitulo
como aprender suas escalas- & banal, mas vocé tem que fazer isso oc
talvez queira pedir um café com leie com espuma extra

150. 132 vane nv viterenciagao

Regras básicas de diferenciacáo

Cálculo pode ser dificil mas voc’ nunca saberia isso julgando somente
‘ese tópico Aprender essas sels ou mais regras € um estalo Se vocé ficar
¡cansado desse material ácil.no entanto eu prometo a voce muitos
\desafios no 16pico a sogui,

A regra da constante

Isso 6 simples. f(x) =5 6 uma reta horizontal com uma inclin
«e assim sua derivada € também igual a zero Entao para qualqui

f= on) =0.0 ort pode rer Le 0m dahin

A regra da poténcia

par
se toma A) sso dä a voce (x) = 5x Para
depois reduza a poténcia em 1.10 & tudo.

ticleve a poréncia para frente
e fazer

[No Capitulo 9.eufiza dilerenciacio de y=," com o quociente da diferenga

elim

2h oh

- lim 2x4 A

nais.Em vez de tudo isso apenas use a regra da
a trente reduza a poténcia em 1,0 que deixa voc2
1 que vocé pode deixar pra lá (porque uma
potencia igual a 1 nao faz nada) Assim,

te considerando o fat

151. Capítulo X: Regras da diferenciagäo - Sim, cara, elas mandam. 1.3.9

em todos os cursos eliros de cálculo porque Ihe dé um entendimento
‘completo e mais ico sobre o cälculo eseus fundamentos - pense nele
‘como um formador de caráter matemático. Ou porque os professores de
matemälica s40 sádicos Voce será 0 jui.

A regra da potencia funciona para qualquer poténcia: positive, negativa

Sea) =x? entao (O,
Se g(x) = 3° entdo g (x
Se h(x) =x entao tr = 1

jar
# T essen como a im engin à
fund mals amples embor sono problema mais cl de rar

A melhor maneira de entender essa última derivada € pereeber que A(x) =
é uma reta que se encaixa na forma y =mx + b porque h(x) =x é o mesmo
que AG) = 1x4 0 (ou y= 1x + 0).Devido ao fato de a inclinagao dessa reta

ser a derivada é igual a 1.Ou voce pode apenas memorizar que a derivada
dex é 1.Mas se voce esquecer essas duas idéias,voc® sempre p
regra da poténcia.Reescreva h(x) =x como h(x) = x! e aplique a regra: aga
91 para frente ereduza a poténcia em 1 até ero,te dando f(x) Lx’ Vito

que 6 igual a 1,vocé tem 169 = |

SÍ \oc# pode achara de
funçoes exponencials e entño usar a regra da poténcia Por exempl se
Vx reescreva como £69) =

la de funçoes com radical eeserevendoas como

eux a eg da potencia We ta pode
sara regra da poténcia para diferencia fungóes do tipo x)
a fungao0 como fx)

Reescreva

Se use a regra da po

A regra do múltiplo constante

O que aconteceria se a fungáo que voc® está tentando diferenciar
‘comegasse com um coeficiente? Nao faz diferenga. Um coeficiente nao.
{em efeito no processo da diferenciagäo.Voc& apenas o ignora e acha a
erivada de acordo com a regra apropriada,O coeficiente continua onde
está até o passo final quando voce simplifica sua resposta multiplicando
pelo coeficiente.

Ache a derivada de y=4x.

Solusäo: Voce sabe através da regra da poténcia que a derivada de. &
3x, eni2o a derivada de A(x) 6 4(3x).0 número 4 fica apenas af sem
fazer nada. Depois, como um passo final, vocé simplifica: 4°) € igual

152. 134 eanewv:viterenciagdo ==

Solugdo: Esta 6 uma reta na forma y= mx + b com m=5.entáo a
inclinagáo 65 e assim a derivada € 5.y'= 5 (E importante pe
graficamente dessa mancira de tempos em tempos). Mas voc

também

de pe.
ge resolver problema com arg da potencia 4 x La en
Is) =5 (928

Ein poucas palavras,a regra do múltiplo constante pega a fungáo do tipo
lervada dessa coisa —isto é coisa’ enquanto

169 = 10 (coisa), acha a
“o número 10 fica apenas quieto no seu lugar Assim
entao g(x) = 15 (corsa).

u

Solugáo:0 eoeficiente aqui € I ntäo,devido ao fato de

ds ee
(pela regra da potencia) x Mer

Nao se esquega que a (= 3,14) e e (= 2,72) sio nümeros,e näo variveis,

entáo eles se comportam como números normais.As constantes nos

J problemas, como ce k também se comportam como números normais (A
propósito. número e, em homenagem ao grande matemätico Leonhard

Euler. talvez o número mais importante de toda a mater

ao vou entrar nisso aqui).

essa forma,se y = x, = isso funciona exalamente como achar
derivada de y - 5x. E devido ao fato de ser apenas um número.
€ entdo y = 0 iso funciona exatamente igual a achar a derivada de y
10Xocé também verá problemas contendo constantes como ce k-Tenha
Certeza de ratios como números normais. Por exemplo,a derivada de y=
5x+24 (onde k é uma constante) 6 5,e nao 5 + 6k?

A regra da soma — Eh! Essa é uma
regra e tanto que vocé tem aí

Quando voce quer a derivada da soma de termos, ache a derivada de
cada um dos termos separadamente.

Qual 6169 se 109 = + 107

Solugäo: Apenas ue a regra da poténcia para cada um dos primelros quatro
termos a tega da consiante para O último termo.Assim f(x) =G + Sx? + 2x 1

153. Capítulo X: Regras da diferenciacáo - Sim, cara, elas mandam. 1.34

A regra da diferenga — näo faz
diferenca

Sevocétemuma ierenga (to 6 uma ubuncio) em vez de uma soma
no fz diferenga Nbc ainda acha a dervaa de cada ternosepradanent

Assim,se y = = = 2s" + Ge + Sr entio y = a Ge + 1204508
Sinals de adicáo e subtragäo náo so aletados pela diferencingä

Achando a derivada de
funçôes trigonométricas

¡horas € senhores: Eu tenho um grande prazer e um distinto prvilégio
de introduziras derivadas de seis fungóes trigonométricas.

A sone = cose 1 cosecx = coseex col
Lsenx=co “4 cosecx =—caseex cotgr
4 cose =-sent

de

dd da
Ligr=secix “core -cosecx

Cenifiquese de memorizar as duas primeira - elas säo muito fäceis- eu
nunca conteci ninguém que as esquecesse.Se vocé for bom em decoreba,
memorize as quatro últimas da mesma maneira Alternativamente,se voce
náo for louco pela memorizacáo ou er medo que esse conhecimento vá
desalojar a data da Batalha do Hastings (1066) - que € muito mais provével
de aparecer em um jogo de tabuleiro do que as derivadas trigonométricas
= voce pode descobrir as quatro últimas derivadas pelo começo usando a
regra do quociente (veja otópico”A regra do quociente" mais diante).

Su" Cu 1000 talvez guste do seguinte truque mnemönico para as quatro úlimas.
erivadas tigonométicas Imagine que voce esteja fazendo uma prora e
¡ao consiga lembrar esas derivadas Vocé se debruca sobre o aluno sentado
próximo a vocé esussurr ps, qual é a derivada de cosecx?” Agora, pe
asu úlimas letras de pss (ss) - esas so a letras iniciais de sec. sec
Escreva ess tés. abaixo deles escreva suas cofungöes:coser,coser, cote
Coloque um sinal negativo no cosec do mein Finalmenteaicione setas
como no diagrama abaixo,

sec) see tg
cosee-> —cosec —colg

Acrdite no que eu dig rar da palavra psst.c depois disso
diagrama será muito (cil de lembrar Othe paraa flea de cima:A sec da
esquerda tem uma seta apontando para sec 1g- eno a derivada de secx

154. 136 rane: diterenciacio —

Esccxtana: A da diria tem uma seta apontando para sec se ent
derivada de tgx sec'xA fileira debaixo funciona da mesma maneir
‘que ambas as dentadas sio negatives.

Achando a derivada das fungöes
exponenciais e logarítmicas

Cuidado: decoreba à frente. Que alegria, felicidad pura, maná dos eis

Funeóes exponenciais
Sevocé ndo conseguir decorar a próxima rega.desigue a sua calculadora

19 mesmo - pode realaxa — a

funçäo especial. e seus mülipl
‘suas proprias derivadas, Pen
na Figura 101.

—
Fu 0:

Escola qualquer ponto nessa funcio,
fungáo nesse ponto,« 74,6 igual inclinacáo nesse ponto.

a base for um número diferente de e,vocé te
mulúplicandoa pelo log natural da base

que ajustar derivada

155. Capitulo X: Regras da diferenciagáo — Sim, cara, elas mandam.

Fungöes logaritmieas

todos woes estavam esperando as derivadas de funçes

icas (Veja o Capitulo 4 se quiser revisar logs). Aqui est a dertrada de
um log natal (ou logaritmo neperano) ~isto .0log com bas e

Lima

Se a base do log for um número diferente de e,vocé ajusta essa derivada =
‘assim como lungdes exponenciais ~ excelo pelo de voce dividir pelo log
natural da base em vez de multiplicar Assim,

a E

ae 8" a FD?

q 1 embrese qu &escı

A log = hip (Lembrese que log, esco sem 0 10)

Regras da diferenciacáo para
especialistas — Ah, sim, eu sou
um nerd do cálculo.

ue vocé já dominou totalmente todas as regr
“aprecio seu sucesso por um instante. .OK,pronto para um desafio?
As regras a seguir especialmente a regra da cada, pode ser dificil
Mas voce sabe o que eles dizem: 30 arrisca ndo petisca’ Sem
Sacrifieio,näo hä recompensa”, bls bl, bls

6 cas laça uma
pa

A regra do produto

Vocé usa essa regra para = nfo perca a calma = o produto de duas
fungoes do tipo

yee sen x
2) A regra do produto:

Se y isso - aquilo,

Entáo y” = isso". aquilo + iso « aquilo".

137

156. 138 pane iv: iterenciagäo

Assim, para

A regra do quociente

Eu tenho a sensaçäo que vocé pode adiv
o quociente de duas fungóes do tipo

ssa reg

har para que serve:

se, x
EZ) a regra do quociente:
Ges

say. tere

De

en po base = 1990 base!

base

Quase todos os lis de cálculo que eu jé vi do essa regra em uma forma
um pouco diferente que € mais dificil de lembrarE alguns Ios fomecem
un imnemónico”que envolve as palavaslodeeh e hideelo ou hodeehi e
hidecho.que € mao fil se confundir 6imo,muito obrigado.

Decore a regra do quociente da maneira que eu a escrevi Voce náo vai ter
problema em se lembrar do que vai no denominador ninguém nunca

ece isso. O truque é saber a ordem dos termos no numerador Pense
nisso dessa mancira. voce está fazendo a derivada,entáo a primeira coisa
A fazer é achara derivada.E é mais natural comegar no topo ou na base
da fragño? No topo,é claro. Assim, regra do quociente comega com a
derivada do topo Se voes se lembrar diso,o resto do numerador € quase
automático Concentrese nesses pontas © vocó val se lembrar da regra do
quociente daqui a dez anos —ah,é caro,

Eo qui esa dertvada de y= AE

x cosx- A sens

x (xcose dsenx)

xcoëx - dseny

157. Capítulo X: Regras da diferenciagio - Sim, cara, elas mandam. 1.39

Notópico'Achando a derivada de funçôes trigonométricas” eu
prometi mostrara vocé como encontrara derivada de quatro fungóes
trigonométricas = tangente, cotangente,secante e cosecante - coma
regra do quociente.Eu sou um homem de palavra, entáo aqui val Todas as
‘quatro funcoes podem ser escritas em funçäo do seno e cosseno - certo?

(tao Capítulo) Por exemploge= SE agora, vocé quer derivada
ga 1008 pode war a reg do quo Se
EXT ose

tay) = Genen enteo

(sen)

(A identidade trigonométriea de Pitágoras diz que
cos! x + sen? x= 1 Veja a folha de consulta para esta
ours identidades trigonométricas útes)

Reconhego que isso é muito trabalho comparado com apenas decorar
a resposta ou usar o mnem@nico mostrado algumas páginas atrás, mas &
bom saber que vocé pode achar a resposta dessa maneira em último caso.
As outras tés fungóes náo sdo mais difícls Tente fazBlas

A regra da cadeia

A regra da cadeia € de longe a regra da derivada mais complicada,
mas ndo é 130 rulm assim se voc® se concentrar com cuidado em
alguns pontos importantes. Comece achando a derivada de y=Yix=8
NocE usa a regra da cadela aquí porque voc® tem uma funcäo (43°

3) dentro de outra fungáo (a fungáo da raiz quadrada) - em outras
palavras,6 uma funcio composta.

A propósito aquietá uma maneir de facilmente reconhecer uma fangáo,
composta. = x ndo é uma fungño composta porque o argumento da raiz
qundrada ~iso € à cosa da qualvoc tra a raíz quadrada = simplement
Toda vez que o argumento de uma funcáo for algo com excecáo do

Simple velo x CE tem uma fungáo compesta Tome cuidado ao
dling uma funcio composta de algo do ipo y Ven x o que é
produto de duasfungdes, (x. € sen x cad qua contendo apenas um
Simples e velho x como argumento

(Ok entäo vocé tem esca funcio composta y
char a derivada usando a regra da cadeia

V3 Aqui está como.

158. 180 rane: Diferenciagäo

1. Vocé comega com uma funeño externa, Y”, acha derivada diss,
IGNORANDO o que está dentro. Para ter certeza de ignorar o que está
do lado de dentro, substitua tempos
palavra coisa.

rlamente fungño de dentro pela

Entño vocé tem y = Yeolka. Ok,agora ache a derivada de y= Va

‘mesma maneira que vocé acharia a derivada de y= fx Devido ao fat

de = VF sero mesmo que y=x"%,a regra da poténcia Ihe dá y”.

Entáo para esse problema,vocé comega com coisar

resultado do Passo 1 pela derivada da fungáo

»
D& uma olhada nisse ads os proble

+ básicos envolvendo a regra da ca
seguem esse formato Voce usa a regra da derhada para a furcio.extema,
ignorando ela derivada da coisa.

visa intema, depois multiplica io

3. Ache a derivada da coisa interna.

A coisa interna nesse prob
da poténcia

Sesua de

4. Agora coloque a coisa real e sua derivada de volta no lugar
de origem.

1 5
y =L ae —5)"-(1289),

5. Simplifique.

Vals (19-571

Ou,se vocé tiver algo contra poténcias negativas, y"

Ou,se voce tiver algo contra poténcias fracionaris,y

Vamos tentar achar a derivada de outa funçäo composta: y = send)

1. A fungao externa é a funçäo seno, entäo voo8 comega af, tirando
a derivada do seno e ignorando a coisa interna, +. A derivada do.
senx 6 0 cosx, entáo para esse problema, vocé comeca com:

2. Multiplique a derivada da fungáo externa pela derivada da
colsa.

y =cos(coisa)-coisa

3. A coisa nesse problema € x, entdo coisa’é 2x. Quand
Insere esses termos de volta, vacé obtém:

y = costs") Ar

159. Capítulo X: Regras da diferenciagäo- Sim, cara, elas mandam.

De vez em quando descobrir qual funcáo está dentro de qual pode ser
im pouco complicado — especialmente quando a fungáo está dentro
¿e outra e ambas estáo dentro de uma Lerceira lunçäo (voce pode ter
quatro ou mais funcdes aninhadas, mas tr € prov o máximo

Reescreva a funçäo composta com um conjunt
funcáo interna, e reescreva as fungóes trigonométricas do lipo sen’x com a
poténcia do lado de lora dos parénteses: (sens)?

exemplo- esse é diil,se prepare ache a derivada de y=sem(5e ~
4x), Primeiro reescreva a ungäo cúbica do seno:y= (sen —4x)} Agora
fácil de vera ordem na qual as fungóes estäo aninhadas A funcio
interna está dentro dos parénteses mais internos it 6x — dx. Depas,
a lungáo seno está dentro do préximo conjunto de parénteses~ isto €
Sen(coisa) Por fim a funçäo cúbica esta do lado de fora de tudo iso é
coisa? (Por eu ser um professor de matemálica,e sou obrigado a mostrar
que cotsa em coisa? é diferente de coisa em sen(coisa).É totalmente
matemático de minha parte usaro mesmo termo para me referir coisas
diferentes mas no se preocupe = eu estou apenas usando 0 termo coisa
ara me referr ao que quer que eteja dentro de qualquer fungáo.O termo
1öcnico para essa coisa € o argumento da fungio).Ok, agora que voce sabe
à onde das fungóes,vocé pode achar a derivada as avessas.

1. À fungáo mais externa € coisa? e sua derivada é dada pela regra
da poténcia.

3coisa

2. Assim como todos os problemas que envolvem a regra da
‘cadela, vocé multiplica isso por coisa

Sooisa#- coisa

3. Agora coloque a coisa, sen Gat ~ 43), de volta ao seu
origem.

jugar de

3(enç 49) (sentó? —

4. Use a regra da cadela de novo.

Voce näo pode terminar esse problema rápido apenas tirando
simples derivada porque vocé tem que achar a derivada de outra funçäo
omposta, sen(Sa* 4x). Apenas trate sen(5x - 4x) como se fosse 0
problema original e ache a sua derivada.A derivada de sena é cost,
à derivada de sen(coisa) comeca com cos( coisa). Multiplique isso pel
coisa. Assim a derivada de sen(coisa) €

cos(coisa) - coisa

141

160. 14 2 renew: Diferenciagáo

5. A coisa € 5x° - Axe sua derivada € 10x- 4. Insira essas colsas.

de volta.
Cost ~ 4) -(10x=4)

6. Agora que vocd tem a derivada de sin (52° — 4), insia esse resultado
no resultado do Passo 3, dando a vocé 0 grupo todo junto.

Ben 40) cos (x4) - (1048)
Iso pode ser um pouco simplificado.

Ga 12) sen - x) cos = 4x)

Eu disse à vocé que era um problema dificil,

Vocé talvez tenha imaginado que pode economizar tempo náo mudando
Para palavra coisa e depois mudando de volta. Iso é verdade,mas as
técnicas forgam voc® a deixar a coisa sozinha durante cada passo do

SA fr problema, Esse € o ponto crítico.

Certifique'se de NAO TOCAR NA COISA.

Desde que voce se lembre disso;vocé náo precisa,na prätica,usar a palavra
coisa ao fazer um problema envolvendo a regra da cadeia Voce sö precisa
ter certeza de nao mudar uma funçäo interna quando ester achando a
derivada de uma fungäo externa. Digamos que voce queira achar a derivada
def)

toque nele durante o primeiro passo da soluçäo que 6 usar a regra do

1) .O argumento dessa fungáo logaritmica básica € .Näo

tra dx «À ss og di que vt clea o amen da
tango dominador ob nine | Ente depot do pce pao

em difereniar derivada de In¢x).voce tem Vocé ent termina o

problema multiplicando isso pela derivada de Y que € 3°

¡Sua Jr Outre mancira de ter certeza que vocé entendeu corretamente ar
da cadeia € lembrar que vocé nunca usa mais do que uma regra da
derivada de cada vez,

No exemplo anterio InGe),vocé us

Primeiro a regra log natural, depois

como um passo separado, vocé usa a regra da poténcia para achar a

derivada de x Em nenhum ponto,em nenhum problema envolvendo a
Team da cadeia, oc® usa ambas as regras ao mesmo tempo Por exemple,
‘com In), voce nao usa a regra natural do log e a regra da poténcia ao.

tempo para obter 317.
‘mesmo tempo para obter 3

Aqui esti a bobagem da regra da cadeia

161. Capitulo X: Regras da dilorenciagäo - Sim, cara, elas mandam. 143

ao composta):

(so),
entio y = (860) #6)

Ou, de forma equivalente,

Sey=fu),
eu=g@)
dr di (note como os duas se cancelam
entio $= Bd. (hote como os de ncelam)
Veja otexto complementara seguir Por que aregra da cadeia funciona?” para
uma explicagáo em portugues claro de toda essa confuso.

Por que a regra da cadeia funciona?

Vocá näo sabera part da ici mate na boca - aquela que desenrole quando
| mática nesse tópico ou da bobagom so- vocB assopra, e para cada polegada que
fisicada da regrade cadeia, mes a regra ele sobe, le assopre línga de sogra em
da cadela 6 baseada em uma idéia muito 3 centímetros. A razdo do movimento da
simples, Digamos que uma pessoa estoja lingua de sogra (SI 6 assim3vezos arazao
andende, outra caminhando lentamente, de movimento de Laurel Nos símbolos de
8 uma trceira andando de bicicleta. Se
8 pessoa que está andando lentamente
vai dues vezes mais rápido que a pessoa de movimento da Ingua do sogra em rla-
que está andando, apessoe andando de ¢30 à Handy? 1so 6 apenas bom senso. A
Bicicleta vai quatro vezs mals rápido que lingua de ogra está se movendo 3 vezes
‘que ands lentamente, etäo a pessoa na. mais rápido do quo Laurel, e Laurel está
|| bicicleta val 2 eze 4 ou 8 vezes maisrá- so movendo 2 vezes mais rápido do que |
pido que a pessoa andando, cent? Essa & Hardy, ento lingua de sogra se move
Arears da adela resumida =vocé apenas 3 vezes 2, où vozos mais rápido do qu
multiplie o raz6es olivas. Hardy, Aqui está em símbolos (nato que
[| vocé se lembra da Figura 85 mostrando . 150 6 0 mesmo que a definigäe formal da
|| Laurel 8 Hardy em uma gangorra? Lem. regra da cadsia perto do icone de boba-
tro que Har. Sem matemática).

eile, a na, gl cid

bre-so que para cada cent

dy desce, Laurel soba em 2 centímetros aN aN. at
Endo, a razño do movimento de Laurel & oH” aL ah
23:2

dues vezes a razáo de Hardy, © em con

2, Agora imagine

a
Seatänea diso À

| que Laurel tonha uma lingua de sogra

‘Apenas uma brincadair de crianga,

Um último exemplo e uma última dica. Ache a derivada de 4x sens)
Esse problema tem uma nova distorgáo —ele envoke a regra da cadeia e a
regra do produto. Como voce deve comecar?

162. 164 parte 1: Diterenciagáo —

Abr Se vocé náo tiver certeza de onde comegar a fazer diferenciagáo da
‘expressio complexa, imagine inserir um número no lugar de x e depois.
avaliar a expressño na sua calculadora um passo de cada vez.Seu
último céleulo diz a vocé a primeira coisa a se fazer.

Digamos que vocé tena inserido o número 5 no lugar de x em dx sen(+
Vock atalia 4 « 5° isto 6,100, assim, depois de achar 5*= 125 vor® lazo
sen(125),qque € mais ou menos 0,616. Finalmente, voc® multiplica 100 por
“0.616. Posto que seu último cálculo 6 uma multiplicagdo seu primeiro
passo na diferenciaçäo é usar a regra do produto (Se © seu último cálculo
fosse algo como sen (125),entáo voce comegaria com a regra da cadei
Vocé se lembra da regra do produto?

Se x)» isso aquilo,entáo FG) = ¿sso”-aquilo + isso - aquilo’.

Entio para f(x) = 4x sen),

1) = Gx (sen) + Arsen")

Agora vocé termina o problema achando a derivada de 4x? com a regra da
poténcia e a derivada de sin(e) com a regía da cadeia:

100 = Gx) (senta) + (x9 (cos) x)
agora simpliique:

P(x) =BxsenG) + 12e cost

Diferenciacáo implícita

Todos os problemas de diferenciagäo mostrados nos tópicos anteriores
esse capítulo säo funçôes do tipo y = 2 + 3x’ ou y= senx (e y era
algumas vezes escrito como f(x) como em f(x) = x = 4x). Nesses
tipos de casos, y € escrito implicitamente como uma lungäo de x. Isso
significa que a equacio é resolvida em fungáo de y, em outras palavras,
y está sozinho de um lado da equagao.

As vezes,no entanto,pedem para voe8 achara derivada de uma equagäo
que nao é resolvida em hungäo de y, como y* +3x'=senx- dy. Essa
équaçäo define yimplicitamente como uma fungáo de x,e vocé nao pode
escrevsla como uma fungio explicita porque nao pode serresolvida em
fungao dey. Para esse tipo de problema, voce precisa da diferenciacdo.
“implícita. Ao diferenciar implicitamente todas as regras da derivada
funcionam da mesma maneira com uma excegao: quando vocé diferencia
um termo com um y nele,voce usa a regra da cadeia com uma pequena.
distorgäo.

Vocë se lembra de usara regra da cadeia para achara derivada de algo do

163. —_Capituto X: Regras da diferenciaçäo - Sim, cara, elas mandam. 145.

tipo send‘) com a técnica da coisa? A derivada do seno £o cosenaentäo
a derivada de sen(coisa) ésen(coisa) coisa’ Voce termina o problema.
achando a derivada da coisa que € Ar e depois fazendo as subsltuigoss
para obter cos(+)- 3x.Com a diferenciaçäo impliita,um y funciona
‘exalamente como a palavra coisa Assim, devido ao [ato de

(senteoisa))'= cos(coisa) coisa’
Gen cos y

A distorçho é que enquanto a palavra coisa está tomando o lugar da
fungao de x (o nesse exemplo) temporariamente;vocé nao sabe a que o
y € igual em termos de x.Entáo 0 ye. 0 y = a0 contrário de coisa e coisa

continuam na resposta final. Contudo,o conceito € exatamente o mesmo.

vocé pode pensar em y como sendo igual a uma fungäo misteriosa e
desconhecida de x Mas como vocé ndo sabe qual € funcáo, voce nao
pode voltaraos.xs no final do problema como pode com um problema
regular envolvendo a regra da cadela

Eu creio que vocé deva estar pensando se eu vou em algum momento
cchegar a fazer o problema. Aqui vai. Novamente, ac
Be =sena = dy

ea derivada de y+

1. Ache a derivada de cada termo em ambos os lados da equagäo.

Sy y arcos ayy

Para 0 primeiro e quarto termo vocé usa aga da poténcia ea regra da.
cadeia. Para 0 segundo termo; vocé usa a reg regular da poten
Otercelrotormo,vocé usa a regia regular da trigonometria.

ia para
2. Reina todos os termos contendo um y"no lado esquerdo da
equagäo e todos os outros termos no lado direito

+128 Y=cose Ge

Note que essa derivada ao conträrio das outras que vocé fez até agora,
© expressa em termos de x y em vez de apenas x Entéo.se vocé quiser
avaliara derivada para achar a inclinagäo de um determinado ponto,vocé
precisa ter os valores de xe y para insere na derivada

164. 146 pare nv

A gg ie nue

d
ES
cada passo das solugóes como a solucáo acima.Eu acho y" mais fácil

Tamb

note que em muitos livros,0 símbolo © é usado em vez de y’em

dy
nte para se vabalhar Mas © tem a vantagem de lembrar
te p balhar Mas & tagen de lem

está achando a derivada de y em relagao a x.Cada un

a vocé que voc

das manciras esta certa.Faga a sua escolha.

Entrando no ritmo com a
diferenciacáo logarítmica

Digamos que voce queira achar a derivada de (x)= (2° —5)(3x'+ 10)
(Cle OX 5x +10). Agora, vocë pode multiplicar tudo e depois achar
a derivada, mas isso seria um grande sofrimento.Ou voce pode usar a

regra do produto algumas vezes, mas isso também seria muito entediante e
demorado. A melhor maneira é usar a diferenciagao logarunica.

1. Tire o log natural de ambos os lados.

(ax + 1x

Taf) = In (6 = D8 -Se'+ 10))

2, Agora use a propriedade do log do produto, que vocd com
certeza se lembra (se náo, veja o Capitulo 4.

Inf) = Ing? 5) +n +10) «Int 1) + n> +10)

3. aga rence de ambos odos
De acordo com arg d ade dera den) ¿10.0
a) A
Rx)

problema regular envolvendo a regra da cadeia ou um y em um problema

(© Kx) funciona da mesma maneira que a palavra coisa em um

de dite

ta) Para cada um dos quatro termos do lado

dirito da equagäo,vocd usa a regra da cadeia.

>, e ES 1x 10% _
BD a +10)
4. Multiplique ambos os lados por AY) e vocd terminou.

me, tox |
ely TR O)

OA OE REO) +

Eu admito que esa resposta € bem cabeluda,e o processo de solucáo no &
‘exatamnente um passeio no parque mas, eve o que eu digo em consideracao,
esse método é muito mais teil do que as outrasalterativas.

165. Capítulo X: Regras da diferenciagäo - Sim, cara, elas mandam. 1 4 7.

Fazendo a diferenciacáo
de funçôes inversas

Existe uma fórmula difícil envolvendo as derivadas de fungóes inversas,
mas antes de chegarmos nela,olhe a Figura 102, que gentilmente
resume a idéia

Fauna
Os grálicos
defungöes +

Ie be

A Figura 102 mostra um par de fungóes inversas, fe g.Lembrese que
fuuncoes inversas sio simétricas em relagao à linha,y = x Assim como
qualquer par de funçoes imersas,se o ponto (10.4) estiver em uma
funçäo (4,10) está na sua inversa.E, por causa da simetia dos gráficos,
ses pontos so recíprocas: Em

voce pode ver que as inclinagóes ne
(10,9) a inclinaçäo € 1/3 e em (4,10) a inclinacáo € 3/1. É assim que a
idéia funciona graficamente,e se vocé continua comigo até agora, voce

aprendes pelo menos visualmente
No éntano à eplcaco algébrica € un pouco complicada. pont (104)
em pode ser excrto como (10.110).ea incinagáo esse ponto "€ deso
modo a derivada pode er express como (10). pon (410) em gpodo
Ser eset como (4.4) Ent, por 10) = 4.soce pode batir os cm
(130) por (10s dando a voce (CIO) (ID) Alncinacao e a derada
ne pont podem ser expresas como 10) Ess inalnngoessao
rues eo Iso he da equacao:

= 1

er a

166. 148 parte 1: Diterenciagáo ———

Essa equagáo difícil expressa na
triangulos nas duas fungöes na Fig

mais nada menos do que dois
a 102.

Usando tem vez de 10, ocB tem a fórmula ger:
nae
(= FG
Em ours pavas esa örmula diz que derada de uma
eae 6 ecpraco da dernada do seu verso em lagB08
Ok ae se mio complicada

Escalando as alturas das
derivadas de ordem superior

contra a segunda terceira,quaria, ou maior dertada é incrivelmente
simples segunda derivada de uma fungáo é apenas derivada da sua
primeira denvada.A lerceira derivada € a derkada da segunda derivada,
Quarta derivada € à derkada da erccira,e aim por diante Por exemplo aquí
Es uma fungáo e sua primeira segunda terceira,e subseqúentes derivadas,
esse exemplo todas as derivadas So obtidas pela regia da poténcia

10905 12-3
PO) = 40 — 10x 12
P= 12-10
FG) = 4x
oq) = 24

F(3)=0

f= 0

etc. = 0

ete =O

Todas asfungóes polinomiais como essa Vio eventualmente para 0 zero

quando vocé faz.adiferenci

EEE promo ada fm cada ver cas meta que ci

0 separadamente Funçôes racionais do tipo

¡do as derivadas superiores E as derivadas superiores do seno e do
cosseno so cidicas. Por exemplo,

nente com todo múltiplo de quatro.

Nos Capitulos 11 e 12,eu mostro as muitas utilidades das derivadas

167. Capitulo X: Regras da diferenciaçäo - Sim, cara, elas mandam. 249

superiores ~ na maioria de segunda ordem (Aqui está uma prévia: A
primeira derivada da posigáo € a velocidade,e a segunda derivada
da posiçäo € a aceleragäo).Mas por enquanto, deixeme dar a voc®
uma das muitas idéias em poucas palavras.A primeira derivada, como
1c@ sabe, diz quáo rápido uma funçäo está mudando - quao rápido
está subindo ou descendo ~ isto 6,sua inclinagáo.A segunda derivada
diz quäo rápida a primeira derivada está mudando — ou, em outras
palavras, quo rapido uma inclinaçäo está mudando. Uma terecira
derivada diz quáo rápida a segunda derivada está mudando, que diz
a voc® quao rápido a razáo da mudança da inclinaçäo está mudando.
Se vocé estiver um pouco perdido aqui, nao se preocupe - eu também
estou perdido. Fica muito à
te dizem à medida que voc® passa da segunda derivada, porque voce
começa a entrar na razáo da mudanca da razáo da mudanga da razio
da mudanga,e assim por diante.

168. 15 O rane: iterenciagán

169. Capitulo 11
Diferenciacäo e o formato das curvas

Neste capítulo
Aglentando os altos e baixos das funçôes mal humoradas
Localizando os valores extremos
Usando as testes da derivada primeira e segunda

avidade dos pontos de inflexao

icos das funcóes e derivadas.

Interpretando a e

Comparando,
Apresentando o teorema do valor médio - GRRRRR

S

vocé leu os Capítulos 9 e 10, voc 6 provavelmente um

Fazendo uma longa viagem
de carro através do cálculo

Considere o gráfico de f(x) na Figura 114.

Imagine que voc® estejadirigindo a0 longo:
dlireta.Ao longo da sua viagem existen di
e Todos les com exceçäo dos pontos de pa
‘com o declive da estrada - em outras pala

chegada,s relacionan
sua incinacáo ou derivada,

mul as as.
a,envolvem nogdes de bom senso como diiir para
{ou passar pelo topo de uma colina

Agora,se prepare — eu vou mostrar:
‘de uma s6 vez

porque els, na sua
‘ima ou para baixo de uma.

170. 152 parts 1: diterenciagio ————
fa

Valor máximo local

Máximo absoluto

Fort
Ográfico

de hd com
diversos ñ
ports de Ki
interesse, Minimo absoluto

Escale cada montanha, eruze cada
riacho: inclinaçôes positivas e negativas

Primeiro,note qu ida que voce co:

im a funcio está crescendo e sua inclinacio e
Ja a colina até

do de porto
local btem
ata. Nao importa
queac

ada sho
rda de qualquer

En nao consigo pensar em uma
metáfora sobre viagem para essa secáo:
concavidade e pontos de inflexäo

medida que

171. Capitulo XE Diferenciagdo eo formato das curvas 15.3

baixo entre be c na Figura 11- indica que essa parte da estrada está
‘curvando para baixo = esse local. a fungáo € dita ter uma concavidade
voltada para baixo.Como voce pode vera estrada também tem uma
‘concavidade voltada para baixo entre ae b,

Sad Uma porgáo da funcdo que 6 cóncava para baíxo se parece com uma
expresso de mau humor. Onde 6 cóncava para cima,como entre € e e,
parece com uma xicara

Toda vezque a funcáo for cóncava para balxo sua derivada está decrescendo,
toda vez que afungáo for cóncava para eima.a sua derivada está crescendo,

Assim a estrada é cóncava para baixo até conde muda para cóncava
para cima, Forque a concavidade muda. um ponto de inflexdo,
O ponto é também o ponto mais inclinado nesse trecho de estrada, Os

tos mais inclinados em uma fungáo - assim como os pontos menos
inclinados - sempre ocorrem nos pontos de inflexäo,

(852. Tome uidado comas pres das anges que tm uma inclina negativa. O
nacho negara do que qualquer oto porto proximo. Nas lembrese
0 a errada ems na verde s menores de ted os pots
banca Deb para ca derivada da lung eta decrescendo (pore
side orando um nero regu maior) De para da deeds eda

Esse vale das lágrimas:
o valor mínimo local

‘Vamos voltar à sus viager. Depois do ponto c,vocë continua a descer
a colina até chegar em d,a parte final do vale. O ponto d € outro ponto
crítico porque a estrada está nivelada e a derivada 6 zero. O ponto d'

6 também um valor mínimo relativo ou local porque 6 0 ponto mais
baixo da vizinhanga imediata,

Uma vista panorámica:
o máximo absoluto

Depois de d.vocé viaja para cima, passando e,que € outro ponto de
Eo ponto mai inclinado entre de ge o ponto onde acer

Vocé pära na vista panorámica em g,0utto ponto erlico e outro
‘maximo local.O ponto gtamém 6 o máximo absoluto no intervalo de a
até [porque é o ponte mais al da estrada dea até

172. 154 one ws: Diterenciaçäo

Problema no carro: preso no vértice

Descendo de g,vock passa por outro ponto de inflexáo, A, outro valor local
mínimo, depois vocé sobe para, onde voce estupidamente tenta dirigir
sobre o pico.Suas rodas da frente conseguer passar maso chass do carro
fica preso no precipicio deixando voce balançando para cima e para
baixo com suas rodas girando. Seu carro balanga em porque vocé näo
pode desenhar uma reta tangente nesse ponto Sem reta tangente ss

m inclinagáo; e sem inclinagáosignifica que näo há derivada, ou
vocé pode dizer que a derivada em é indefinida. Um ponto de inflexäo
acentuado como j & chamado de vértice

E uma descida a partir daqui

Depois de remover 0 seu carro, voc’ segue descendo,a estrada est
ficando cada vez menos inclinada até que fica plana por um momento

em k (Novamente,note que devido ao lato de a inclinagio e de a derivada
úestarem ficando cada vez mais números negativos menores a caminho

de elas estao de fato crescendo).0 ponto é outro ponto critico,

porque sua derivada € ero.É também outro ponto de inflexáo porque a
concavidade muda de virada para cima para vrada para baixo em k Depois
de passar por voce desce até seu destino final.Devido ao feto de [ser

a exremidade do intervalo,näo € um valor mínimo local - extremidades
‘munca s3o qualificadas como valores locals mínimos ou máximos - mas € 0
"mínimo absoluto no intervalo porque 6 0 ponto mais baixo de a até 1.

Espero que vocé tenha gostado da sua viager.

Sen diário da viagem

Eu quero revisar a sua viagem e os lermos e definigdes anteriores e ainda
introduzir mais alguns termos:

1 A fungáo [na Figura 11-1 tem uma derivada igual a zero nos pontos
ricos dd g à, € Se vocé soma oa esa lista - em ja derivada.

6 indefinida - vocé tem uma lista completa dos pontos críticos da
funçäo Os pontos cíticos estao onde a derivada é zero ou indefinida.
Os valores de x desses pontos críticos sio chamados de números
ricos da funcio.

Todos os valores máximos e mínimos locais ~ os topos e vales — devein
ocorrer em pontos erficos.No entanto, em todos os pontos críticos
20 necessariamente valores máximos ou mínimos locais.O ponto.

k por exemplo, um ponto crítico, mas ndo € nem valor máximo e

em mínimo local. Os valores máximos e mínimos locais = ou pontos
de máximo e mínimo - s30 chamados,conjuntamente,de valores
“extremos locals da fancño. Use multos desses plurais sofisticados se

‘oct quiser soar como professor Um número máximo ou mínimo local
único é um extremo local

173. Zu Capitulo X:Dierenciagáo e o formato das curvas 155

1 A funçäo € crescente toda vez que vocé estiver subindo — onde
a derivada fc escente toda vez que VOLE eativer

a for negaliva À fungáo tambén &

ponto &, um porto de inflexño horizontal, mesmo que
a inclinaçäo ea derivada sejam, nesse ponto igual a zero. Eu percebo
que parece um pouco estranho, mas 6 assim que funciona — acredite
na minha palavra. Em todos os pontos de inflexáo horizontas, uma
fungao está ou crescendo ou decrescendo.Nos valores extremos, d,
8. Le a fungáo nao está nem crescendo nem decrescendo.

A fungáo é cóncava para cima toda vez q
dizem que é onde ela’denama ¿gua”).0s pontos de inflexáo 6, e, he
Restáo onde a concavidade muda de cóncava para cima para cóncava
para baixo ou vice versa. Os pontos de inflexao também sáo os pontos
mais ou menos inclinados nas suas vizinhangas imediatas

Encontrando os valores extremos
locais — Minha mäe, ela é assim,
totalmente extrema

Agora que vocé terminou o lópico anterior e sabe o que valores
extremos locals slo, voc8 precisa saber como fazer os cálculos pra
achálos.Vocé viu no último L6pico que todos os valores extremos
locals ocomem nos pontos críticos de uma funcáo ~isto é,onde à
derivada & zero ou indefinida (náo se esquega, no entanto, que nem
todos os pontos críticos precisam ser valores extremos). O primeiro.
passo para encontrar os valores extremos locals da fungáo & encontrar
s seus números críticos (os valores de x dos pontos criticos),

Eserevendo os números críticos

Encontre os números erficos de x) = 24-20. Veja a Figura 112.

174. 156 rose v:pitoronciagio ——

Fu

T2

Ográfico de

104
EN

Aqui está 0 que vocé deve fazer

1. Encontre a primeira derivada de Fusando a regra da poténci.

Coloque a derivada iguala zero e resolva em fungáo de x

(Er

xt Ea

sea

ros críticos de £Números críticos
vada for indefinida em alguns
la 15x! 60x se

Esses tas
ndicionals podem existir se a primeira der
de x,mas devido ao fato de a dev
odos os valores de entrada,o conjunto solugáo acima,0
lista completa dos números críticosVisto que a derivada de fé iguala zero
nesses números críticos, a curva tem tangentes horizontais nesses números.

¡gora que voc® tem alista dos números críticos, vocé precisa
determinar se picos e vales ocorrem nesses valores de x Vocé pode
fazer isso com o teste da derivada primeira ou com o teste da de

segunda. Eu creio que voce talvez esteja se perguntando por que ¥

tem que testar os números críticos quando voce pode ver onde os

175. = Capitulo Xk: Diferenciaçäo e o formato des curvas 1,9 7

picos e vales estäo apenas olhando no gráfico da Figura 11-2,que voce
pode,é claro,reproduzir na sua calculadora gráfica. Bem pensado. Ok,
entao esse problema ~ sem mencionar outros incontéveis problemas

que voce fez nos cursos de matemática = é
impraticável Que novidade!

O teste da derivada primeira

O teste da derivada primeira € baseado em idéias do calibre do Premio
Nobel: medida que voce passa sobre o topo de uma colina, primeiro
voce sobe e depois voce desce,e que quando vocé dirige entrando e
saindo de um vale,voce desce e depois sobe, Essa matéria de cálculo é
muito impressionante, nao €?

Aqui esta como voce usa 0 teste: Pegue uma.linha numerada e colo
ficos que voce achou acima:0,2,0 2.Veja a Figura 113.

Fa ,

Os nimoros 7 0 2
ecos de 4 4
= | nümero
—= ci

Essa linha numerada 6 agora dividida em quatro regides: para a
esquerda de-2, de 2 até 0,de 0 até 2,e para a direita de 2. Agora
escolha um valor de cada regiño,insira na derivada primeira, e note se
0 seu resultado é positive ou negativo Vamos usar os números Sl, Le
3 para testar as regides,

109= 15-60

LCD = 1533-00
=15:81-60-9

FC) = 1501-6001)
= 15-60
45

FG) = 150-600)
15-81-60-9
675

176. 158 pane w:diterenc

‘A propésito.se vocé notou que a derivada primeira & uma fungáo par, voce
sabe gem fazer os cálculos que A1) = fel) e que A3) = 3) (Funcdes pares
sto descritas no Capitulo 5. Uma fungáo polinomial com todas as poténcias
pares, como (Gx) acima,é um tipo de fungáo par).

pos E A

Esses qualro resultados säo respectivamente positivo,negalivo,negaivoe
positivo Agora,pegue a sua linha numerada, marque cada regiao com o sinal
positivo ou negativo apropriado;e indique onde a funçäo está crescendo.
(onde a derivada 6 p à decrescendo (onde a derivada €
negatia).O resultado € um suposto grífico de sinais Veja a Figura 114,

Hara

Dit ce <4 + +

sous defied PS ent
fa t ameroe erie $

A Figura 114 diz simplesmente o que vocé já sabe se vocé olhou o
gräfico de / que a lunçao sobe até-2,desce de 2 até 0,desce mais de
Úaté 2,e sobe novamente a partir de

Agora aqui está 0 bicho-desete-cabegas.A fungáo muda de crescente
para decrescente em 2; em outras palavras, vocé sobe até-2 e depois
desce.Assim,em 2 vocé tem uma colina ou um valor máximo local

De maneira oposta,visto que a funçäo muda de decrescente para
erescente em 2,vocé tem af um vale ou um valor mínimo local.E
devido ao fato de os sinais da derivada primeira náo mudarem em zero,
nâo há nem um mínimo ou máximo nesse valor de x

O úktimo passo 6 obteros valores das fungdes,em outra palavas as altura,
dese dois valores wareinas nserindo os valores le x na fungäo origina

1G) = 3x8 20x

64

Assim, o valor máximo local está localizado em (2,64) e o valor
mínimo local está em (2.64) Voc8 terminos.

J, Para usar tee da derivada primeira para testar o extemo local em um
) nümero crtico em particulara funcáo deve ser contínua para esse valor do x

177. O teste da derivada segunda —
náo, náo, tudo menos outro teste!

Se vocé náo gosta do teste da derivada primeira, woc® pode usar o teste da
“derivada segunda para encontrar o extremo local da funcio.

O teste da derivada segunda € baseado em mais duas jdéias ganhadoras do
Premio Nobel Pmeiro;que no topo de uma colina,a estrada tem um formato.
‘corcusnda~em outs palavras 6 uma curva para baixo cu uma eoncavidade
para baixoe segundo que no final do vale estrada tem um formato de uma
xicara,entae € uma curva para cima ou uma concaridade para cima,

A concavidade de uma funçäo em um ponto é dada pela derivada
segunda: uma derivada segunda positiva significa que a fungáo é cóncava.
Para cima, uma derivada segunda negativa significa que a fungäo €

a zero 6 inconclusive
o pode ser concava para cima, cóncava para baixo,ou pode haver
um ponto de inflexao nesse lugar). Entño, para a nossa funcio ludo o
que voce tem que fazer é encontrara derivada segunda e depois inserir os
"números erticas que vocé achou ~ 2,0, 2~e notar se seus resultados sáo
positivos negativos, ou zero, Quer dizer =

PG) =3x5— 20x"
F (4) = 15x 1-60 (regra da potencia)
1700) = 60x? 120+ (regra da poténcia)
TED) = 60(-2)"~ 1200-2) =-240

#20) = 80 - 1200)
Fer 120)

40

Em 2,a derivada segunda é negativa (240). Ieso diz a voct que Fé
cóncava para baixo onde x éigual a-2,e entäo que há um valor
local em 2.A derivada segunda é positiva (240) onde x é 2,entao /é
¡cóncava para cima e dessa forma há um valor mínimo local ema x = 2
Devido ao fato de a derivada segunda ser igual a ero em x = 0,0 teste da
derivada segunda falha — ele nao diz nada sobre a concavidade em x = 0
‘ou se hä um valor mínimo ou máximo nesse lugar Quando isso acontece
vocé tem que usar o teste da derivada primeira

Agora dé mais uma olhada nos testes da derivada primeira e segunda
com outro exemplo, Encontre os valores extremos de g(x) = 2x 31224
4 (Veja a Figura 11-5)

Capitulo XI: Diferenciagäo e o formato das curvas 1,59

178. 160 paro w:Diterenciacäo

A
TT — spo
Ográfcode en
me |
ES 1

1. Encontre a derivada primeira de g.

Der
ne

rivada igual a zero € resolva.

10

wu
amet

rel

3. Determine se a derivada primeira € indefinida para algum
valor de x

‚oe teria 2, que é indefinida.Entioa

0
Le assin 06 outro número extico.

derivado, 2 2x 1,6 indefinida.

Agora vocé tem uma lista completa de números críticos para g-0 I
4. Insira os números criicos em uma linha numerada, e entáo use o

te da derivada primeira para descobrir o sinal de cada regiao.

Vocá pode usar -1,05,e2 como números testes

#05) = -052
¿0-0

179. Fue Te
Ográfico
de sinais do
aii) = 2
En

Capitulo XI

A Figura 11-6 mostra gráfico de sinals

Gtescato |Deeesende! Cszando
ln eat hr ls ag

7 1
Nümeros erticos
Visto que a derivada primeira de g muda de positiva para negativa em 0,hS

um valor maximo local al. E porque a derivada primeira muda de nega
para positiva em 1,há um valor mínimo local em.

5. Insira os números críticos em g para obter os valores da funcäo,
(as alturas) desses dots números extremos.
gx) =2x— 3x45,

a0)=4
EO)

‘Assim, hé um valor máximo local em (0,4) e um valor mínimo local em
(1,3) Voeé terminou.

‘Voce poderia ter usado o teste da derivada segunda em vez do teste da
derivada primeira no passo 4.Primeiro vocé precisa da derivada segunda.

de g.que é,como voce sabe, a derivada da primeira derivada

Ea

won

Agora avale à derivada segunda em 1 (0

mero erfico onde g’= 0).

co

Peso quest) noc sabe que gécóncaa pam cima em
x= 1 e consuentemente.qu há um valor mime local a. teste da
derivada segunda no ajuda onde a derivada primer € indefida (onde

x= 0),entao vocé tem que usar o teste da deriv

primeira para esse

erenciagäo e o formato das curvas 1 6 7

180. 162 pane 1w:Diterenciacáo

Encontrando os valores
máximos e mínimos absolutos
em um intervalo fechado

intervalo fechado tem um valor máximo
outras palavras um ponto.
e ver no exemplo a seguir,

‘Toda fungäo conti
possa haver um empate entre

Um intervalo fechado como (2,5) inclui os pontos finals 2 e 5.Um intervalo
berto como (2,5) exci os pontos finals

Encontrar valor máximo e minimo al muito fácil ua
0 no dak
ero crítico, depois descobrir
ra da funcáo nos dois pontos finas do intervalo.O maior desse.

de alturas 6 0 valor m

valor minimo absoluto.Aqui tem ur
mo absoluto de h(x) = cos(2x) - Jen no intervalo fechado.

n(2x) + cose (divida ambos os lados por-2)

=cosx Qsenx+!) (identidad

Assim oszeros de h'sño
aimeros de entrada, essa Eu

181. Capítulo XI

iferenciagáo e 0 formato das curvas 16.3

2. Calcule os valores da funçäo (as alturas) em cada.

sero crítico.

A(x) = cos(2x) = senr

à 2a) = cos(2 28) -2sen(2r)
1-2-0
=1

Assim a partir dos passos 2 e 3,vocé encontrou cinco alturas: LS,
1,15,-3,€ 1.0 maior número nessa lista, 15, € 0 valor máximo
absoluto;o menor.-3.é 0 valor mínimo absoluto.

(ue
e
valor mínimo abs core em um des potas nai (3-3) e ent

O valor máximo absoluto ocome em dois pontos: (7,15) e (LE 1.5).0

chamado de ponto final extremo.
A‘Tabela 11-1 mostra os valores de h(x) = cos(2x) =2 em trés números.

ricos no intervalo de} alé 2x e no intervalo dos pontos finais;a Figura
1

mostra 0 grafico de h.

182. Algumas observacóes Primeiramente,como vocé pode ver na Figura 117

ambos os pontes (15,15) e (22215) año valores máximos locas de h

ea pomo (38,1) € im vor minima oca de Todavia se voc quise

nasos valores absolutos em um intervalo fechado, voci no.
tem que prestar atengio se os pontos críticos sáo máximos ou mínimos
Locais,ou nenhum dos dois. E assim vocé nao tem que se preocupar em

usar o teste da derivada primeira e segunda Tudo o que voce tem que

1 € determinar as alturas nos nümeros crices e nos pontos finais e
depois escolher os maiores e menores números da lista, Em segundo haga,
© valor máximo e mínimo absoluto no dado intervalo náo diz nada sobre
como a fungäo se compora fora do intervalo. funcáo A, por exemple,

pode crescer para além de 1,5 fora do intervalo de® até 2x (embora no
pod para além de 15 fora de lo deal b

cresça).e ela pode descer mais baixo que (embora também nao desça)

Piguet.
Ográfico do
be)

= cost)
asen

183. Capitulo XI: Diferenciagäo e o formato das curvas 165

Encontrando os valores máximos
e mínimos absolutos sobre todo
o dominio de uma funcáo

© máximo absoluto eo minimo absoluto de uma fungáo sobre todo o seu
dominio 30 0s valores maior menor únicos da fungo em qualquer lugar
‘que sea definida, Uma fungáo pode ter um máximo ou mínimo absoluto ou
nenhum dos dois Por exemploa parábola y= x tem um mínimo absoluto.

‘no ponto (0,0) —a base do seu formato de xfcara ~ mas nenhum máximo
absoluto porque sobe para sempre para a esquerda e paraaditeta Vocé pode
‘dizer que seu máximo absoluto € infinito se no fesse pelo fato que infinito
no & um número e assim nao pode ser qualificado como um méximo—e 0
meso, é daro par 0 infinito negativo como um minimo.

A idéia básica é essa: Ou uma funcáo vai alcangar o limite máximo em
algum lugar ou vai crescer para sempre até o infinito.E a mesma idéia
se aplica a um mínimo e descendo at6 o infinito negativo. Eu passo pelo
método básico e depois mostro algumas excecoes,

Para localizar o máximo e mínimo absoluto sobre seu dominio de uma.
funçäo apenas encontre a altura da fungáo em cada um des seus números
criticos Voc fez isso no lópico anterior exceto que dessa vez voc® considera
odos os números ficos no apenas os de um dado intervalo. O maior
desses valores & o máximo absoluto a náo ser que a fungáo cresgá para

© infinito posiivo em algum lugar mo qual voce diz que nao há máximo
absolute. menor desses valores é o mínimo absoluto, náo ser que a
funcáo desca para o infinite negativo,no qual nao tem um mínimo absoluto.

Se uma funcio sobe par. info pasivo ou desc para into nev,
da aso secs Crec da tea con een En vaa
Vertical Et zu limo paso (depois de wala todos es ponesestcos €
avalar Im eo im - 0130 chamado comportamento falda angio 0
Reid mg mesa ques se apra de cada asa vrai pla
queria pel di Se cada um ds ts for iaa in no pao,
Ss O macs abs Gould us wo mn ds poros lees E
se qualquer un des les ro nono quon ang do tem
Am mn alas sent dee or palas ito pegamento o
mimo Solo € alorca Ano no menor dos pontos ence.

A Figura 1148 mostra algumas ungöes onde o método acima nao vai
funcionar.A fungáo f(x) ndo tem um maximo absoluto apesar de fato de
que ela nao sobe para infinito Seu máximo nao € 4 porque ela nunca
chega a 4,e seu máximo náo pode ser nada menor do que 4,como 3.599,
porque sobe mais do que 3.9599.A funçäo g(x) ndo tem um mínimo
absoluto apesar de fato de que ela nao desce para o infinito negativo. Indo
para a esquerda,g(x) avanga lentamente ao longo da assintota horizontal
fem y = O.mas nunca fica menor do que zero «,entäo,nem o zero e nem
nenhum outro número pode ser o mínimo absoluto.

184. 166 parte w:viteronciagga 2220

ET
Duas
fungées com
nenhum
valor
absoluto

Localizando a concavidade
e os pontos de inflexäo

Othe novamente a hun 3x ~ 200 na Figura 11 2.Voce usou os
tues números críicosd a achar o valor extremo local: (2,64)
e (2:61) Esse tópico investiga o que acontece em arte da funcáo
—especificamente,onde a funcio € cóncava para cima ou para beixo e
‘onde a concavidade muda (os pontos de inflexio).

(© processo para encontrara concavidade e os pontos de inflexáo €
parecido com usar o este da derivada primeira e o gráfico de sinais para
‘encontrar valor extremo local,exceto que agora Voce usa a segun
derivada (Veja o töpieo"encontrande o valor extremo local”).Aqui o que
voce faz é encontrar os intervalos da concavidade e os pontos de inflexño
dex) = 3x 200

1. Encontre a derivada segunda de £