Calculo tensorial david kay

g SERIE =

SCHAUM

CALCULO

TENSORIAL

DAVID C.KAY

TEORIA Y
300
PROBLEMAS RESUELTOS

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pardo LL Le à Sheelagh tr |
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8 ei dd

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMAS
DE

CALCULO TENSORIAL

DAVID C. KAY, Ph.!
University of North Carolina at AS

Traducción:

LORENZO ABELLANAS
Catedrítico Métodos Matemáticos dela Fica

Universidad Compaen de Madrid

Prefacio

Est libro sti pensado para uso tanto de graduados como de estudiantes que necesiten
dominar los concepos y métodos bisicos del cileulo tensorial Esti escrito desde una
perspectiva elemental y aplicada a a vez, con objeto de proporcionar una introducción clara
fl tema. Su contenido es de importancia fundamental en Fisica Teórica (por ejemplo, en
Clecromagnetismo y teoria de campos) yen algunas áreas de Ingenieria (como aerodinämica
3 mecánica de uidos). Siempre que surge un cambio de coordenadas como via satisfactoria
para resolve un problema, lo tensores aparecen como requisito inmediato. De hecho, muchas
Féeries en cora de ecuaGones diferencias en derivadas parcles son transformaciones
tensores disrazadas. Mientras ls fisicos reconocen fácilmente la importancia y ligad de
los tensores, muchos matemáticos no comparten tal opinión, Confiamos en que los problemas
results de est libro permitirán a sus lectores darse cuenta de todo cuanto los tenores pueden
reses

Pursto que hay dos accesos a lo tensores y no hay acuerdo sobre cuál s más apropiado
para principiantes, cada autor se encuentra ante una setia decisión a tomar, Tras muchas horas
fn las aulas, es opinión del autor que la presentación en Componentes (repleta de subindices
y superndics) & I adecoada, sunque pueda exiir algunos ajustes inicales un tato penosos
3 bien la presentación sin componentes, más sofisticada, es nooesria para ceras aplicaciones
modernas de tema, ceemos que el estudiante apreciará mejor y comprenderá mucho más
profundamente esa presentación moderna desputs de dominar os tensores en Components.
Gabe añadir que los dfensores de la postura soiticada acaban por introducir Components
pues algunas demostraciones y resultados importantes no se formulan completamente libres de
Componentes, El bro sigue, pues el método tradicional excepto en el Capitulo 13 Bina, donde
So esboza el tratamiento más modern.

El autor se ha vito infuido uertemente a lo largo de los años por las fuentes más
relevantes de material sobre tensores y relatividad:

4. Gerretsen, Lectures on Tensor Call and Diferental Geometry, P. Noordho Goningen,
1962

1.5. Sokolikof, Tensor Analysis and lts Applications, McGraw-Hill: New York, 1950

Synge y Schild, Tensor Callas, Toronto Pres Toronto, 194.

W. Paul, I, Theory of Relaity, Pergamon: New York, 1958

RD. Sard, Relatiektte Mechanic, W. N, Benjamin: New York, 1970.

Bishop y Goldberg, Tenor Analysis on Manfols, Macmillan: New York, 1968

Por supuesto, desde el punto de vista geométrico la obra definitiva ex L. P. Eisenhart,
Riemannian Geometry, Princeton Universi Press: Princeton, N. J, 1949

Ei autor desea agradecer Ia ayuda prestada en la corrección de crores tipográficos y otras
imperecsones por los keiores: Ronald D, Sandstrom, profesor de matemáticas enla Fort
Hays State Univer y John K. Boom, profesor de matemáticas en la Universidad de
Missouri, EI reconocimiento se extiendo asmismo al editor, David Beckwith, por muchas
Sugereneis des

Daun ©. Kay

Contenido

CONVENIO DE SUMA DE
Introducción
Indices repetidos en sumas

Capitulo 1. EL
1
3. Sumas dobles

Sustituciones
Dela de Kronecker y manipulaciones algebraicas

Capitulo 2. ALGEBRA LINEAL BASICA PARA TENSORES,
Introducción
Notación tensorial pars marie, vectors y determinantes
Inversion de una matriz
Expresión matricial de sistemas male y formas Custis
Tranformaciones lineales
Transformaciones generales de coordenadas
La regla dela cadena para derivadas parciales

Capitulo, TENSORES GENERALES
31. Cambios de coordenadas
32. Tensores de primer orden
33. Invanantes
34. Temsores de orden superior
35. El tensor de esfuerzos
3. Tensores catesanos

Capitulo 4. _ OPERACIONES CON TENSORES; CRITERIOS DE TENSORIALIPAD
41. Operaciones fundamentals
42. Chien de moral
33. Ecuaciones temoriales

Capitulo 5. EL TENSOR METRICO
Introducción
Longitud de arco en el espacio euideo
Métricas generalizadas, El tensor métrico

54. Tensor métrico conjugado; Ascenso y descenso de indices
55. Espacios con producto interno generalizado,
58. Longitudos y ángulos

Capítulo 6. LA DERIVADA DE UN TENSOR
61. Inconvenientes dela derivación ordinaria
62. Simbolos de Christoffel de primera especie
63. Simbolos de Christoffel de segunda especie
64. Derivación covariante
65. Derivación absoluta 1 lago de una curva
86. Reglas de derivación tensorial,

Capitulo 7... GEOMETRIA RIEMANNIANA DE CURVAS
71. Introducción
2. Lompitudes ngs en una mires inde
3. Curas nulas
4. Curvas regulares vector tangente unio
A

Curvas regulares: normal principal untar y curvatura
Las gsodésics como arcos más cortos

Capítulo 8, CURVATURA DE RIEMANN
$1. El tensor de Riemann
82. Propidades de tensor de Riemann.
83. Curvature de Riemann
BA. Eltensor de Ria

ESPACIOS DE CURVATURA CONSTANTE; COORDENADAS
NORMALES

91. Curvatara cero y mática cucides

92. Espacios riemannianos planos

93. Coordenadas normales

9%. El corema de Schur

95. El tensor de Einstein

Capítulo 10. TENSORES EN GEOMETRIA EUCLIDEA
10.1. Introducción
102. Teoría de curves El trcdro móvil
103, Curvatura y torsión
10.4. Super regulars

¡Curvas paramétricas; Espacio tangente
Primer forma fundamental

Geodesic sobre una superficie

‘Segunda forma fundamental

Formulas de estructura para ls superficies
Tsomerias

Capitulo 11. TENSORES EN MECANICA CLASICA
114, Introducción
12. Cinemática de un pats en coordenadas rectangulares
113. Cinemática de una particula en coordenadas curulinas
114 La segunda ley de Newton en coordenadas curvilineas
113, Divergenca,Iplaciano rotacional

Capitulo 12. TENSORES EN RELATIVIDAD ESPECIAL.
124. Introducción
122. El espacio de sucesos
123. Ei grupo de Lorentz y la métea dela RE
124. Matrices de Lorentz simples
125. Implicaciones fics de una Lansformaeldn simple de Lorentz
126. Cinematic relativista

127. Masa, fuerza energía relativistas
128, Ecuaciones de Maxwell ea RE

Capitulo 13, CAMPOS DE TENSORES SOBRE VARIEDADES
12. Introducción
132. Espacios vectoriales absiracos y el oncrpto de grupo
133. Conceptos importants sobre espacio vestoriales
34. EI dual algbrato de un espacio vector
135. Tensores sobr espacios vectoriales
136. Teoria de variedades
137. Espacio tangente; Campos vesorals sobre variedades
I. Campos de temores sobre variedades

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
INDICE

Capitulo 1

El convenio de suma de Einstein

1.1. INTRODUCCION

El estudio del cáulo tensorial require ciertos conocimientos auxiliares de poca importancia
fn Y mismos, pero sin ls que no podra llegarse demasiado lejos. Entre ellos figura el objeto
de Se captlo, el comenio de suma, Conforme avance en e bro, Jctor comprobar que
{al convento simples notablement los resultados del anälsis tensorial

12. INDICES REPETIDOS EN SUMAS

{Una notación introducida por Einstein en su desartollo de la Teoría dela Relatividad subyace
(en muchas expresiones algescas En lugar de utlizar el símbolo usual sigma para ls sumas
la estratega Conse en Interpretar que la propia repetición de un indice designa ya la
esisenci de suma. Ast pues,

se convierte simplemente e ax, donde 51 Sn se adopta como rango universal de asuma.

EJEMPLO 1.1, La expón aya, no ic suma, pro au Y ay on sumas sobre los rangos

Indices bres dices modos

En el Ejemplo 1. la expresión ax, contiene dos tipos de indices. EI de suma, que recorre
fos emeros 1,2, 3... m no puede sr fijado. Pero al mismo tempo es caro que el elegir la
dera) es nen; ac, as expresiones a, Y aux, representan Cxactamente la misma Suma
que du. Por tal razón. js lama un indie mado. EI indice que puedo tomar cualqier
Valor particular 1,2, 3 n se llama indice live, Nötese que, aunque llamamos «libro» al
indie en la expresión dy esa aibertado está limitada en el Semido de que generalmente
a menos que =

PLO 12. Si n=3, serir en forma celica Is ouacions representadas por Y, = 04

Convenio de suma de Einstein

Cualquier expreión que contenga un indice repetido dos veces (ambos como superindie
ambos como subindce © una de cada) denotak sutomáticamente Suma sobre ley valores
112.3... del nice repetido. Salvo mención expresa cn sentido contrato, la única excepeion

Nota 1. Cualquier indice libre en una expresión tendrá el mismo rango que los índices de
som salvo que e especfique lo contrario

Nota 2. Ningún indie puede aparecer más de dos veces en una expresión dad,
EJEMPLO 1.3. (0) De cuendo cn la Not 2, la expen a, caco de emi. (1) La expresión
so, podes inerte como dj). (©) Una explo de la arma ts + 9) as comida Ben

1.3. SUMAS DOBLES

Una expresión puede contener varios indices de suma. Asi, ay, indica sumas simultáneas
sobre i,j Si una expresión contiene dos indice (mudos) de suma, habrá un total den
Sumandos, si coniene tres indices de suma, habrá #° Sumandos, ete, El desarrollo de ay)
puedo hacer sumando en primer lugar sobre y lugo sobre

ae ape + SY) + 33 E (sumado en À
Cr + mp e a) [sumado en À
+ (ana À Ga} te + Gta)
+ as tt + dus)
E resultado es el mismo si uno suma primero en j y después en

EJEMPLO 1,4. Sin=2, la expmaiin y = dx, spinel par de euncions

1.4, SUSTITUCIONES

Supongamos que hemos de sustituir y= ayx, en a ccuación Q = byyix El olvido de la
Nota 2 anterior llevaría a una expresión abaurda Q = bas, EL método correcto es
identificar primero cualquier indico mudo en la expresion que ha de sr sustituida que aparezca
ya enla expresión principal, cambiarle exe carácter por oro y susthuir a Comtiminción

Pol Obs = ax [el indice mudo fest duplicado]
Paso 2 peaux, (cambiar el indice mudo dea
PS0 Qe bjlays)xj=aybyxrxs [sstuie y reordenar]

EJEMPLO 1. Si = ayy, super forma condita © = 99 6 tin de ls vrai x

osea Q= hat donde hy = ay

15. DELTA DE KRONECKER Y MANIPULACIONES
ALGEBRAICAS

Un símbolo muy utilizado en colo tensorial ine el efecto de aniquilar os términos «no.
diagonales» en una suma doble

Delta de Kronecker

Claramente, dy = dy para todo,

EJEMPLO 1.7. Sean T= an), © = But Si además a = by alla T em tea de las x,

Algebra y el comen de sema

Ciertas manipulaciones rutinarias en cileulo tensorial admiten jusificación sencilla mediante
las propiedades de la suma ordinaria. Por ejemplo, la identidad (12) de abajo no Sólo
involuera la ley distributiva de los nümeros reales, als + ) = ax + a, Sino que exige un
reordenación de terminos usando ls leyes asociativa y conmutativa. Para exar resulados
Falos convene veriicar mentalmente esas operaciones

Ran + an

Recogemos ahora varias identidades vidas que junto con otras análogas, serán utilizadas
con frecuencia desde ahora.

ayy +9) aux + 0,95 an

ax maps aa

as may) as

(ay aa = 248 a9

au anno as

Problemas resueltos

INDICES REPETIDOS
11. Escribir lo que sigue usando el convenio de suma y signa el valor de men cada caso:
(0) abus +2 taub + ab

© abus + Gba + sab + habia + bs + Grab
© di + ds + ds + da + ds + dat dut du (SIEH
© a O O a
Escribir los sistemas que siguen usando cl convenio de suma, señalar qué índice son
libres y cues mudos y fa el valor de
D ententes 2 0) duran rd tate

Seam dy = 2 4 = —3 yd, = 5. Emtonces podemos br tema como «y, = ln = 3).
(0) Aqu lao del nic br o x all dl nice mudo (n=), osa qu hay que acer

dam 0-12
13. Escribir explicitament las sumas
tity exten
donde n = 4 para ambas y compara los resultados,

un co par de (1

SUMAS DOBLES
14. Sin = 3, desarrollar Q = ax

1.8. Expresar lo que sigue mediante el convenio de suma y dar el valor de n necesario en
cada caso

© an abia + abad osos + bts + aby + sb + au
© ot + 0h ate
© but abat oh nabo.

Sin = 2 escribir explctamente la suma tiple y 2

Cualquier neta de dal que poz o 2 = 8 mios are En ee so
cn ll ar emo un Cer des digits Y lo tamos en onen ceci

Probar que ays = Osi ay mi

hay Soma) y GS ho Bay suma) se Cancelan por pafjas mientras que fs Lino
cagon as) son aul La suma e eo, par ant

Si las ay son constante, alla la derivada parcial

2 sx)

2 (ras) =0t Lane partant

SUSTITUCIONES, DELTA DE KRONECKER
1.9, Epresar yy, en términos de las variables x, = cu, Y Bley = dl
1.10, Rehacsr el Problems LA usando la rela de derivación del producto y el hecho de que

LIL. Si ay = ay son constantes, calcular

aos) = 2ay (8) = 20

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales dela forma y = ax, y supongamos

que (4) es una matriz de números tales que para todo 1), Ba = [es decir (6)

Sa mati vera dela (4), Resolver el sistema para xen trminos de y
Mulpcando ambos miembros por by y sumando en &

Probar que, en general, ol + Dr # GX + a Ea

[ites quemo ay indices res en are queda mientras que nl segunda le ire

Demostrar que 66 + Hey 4

Problemas suplementarios

idem con Rj = 4), ¿Cuáles son los indies re y os mudos? {Canta sumas hay?
Cater aie.
Reetpresar mediante el convenio de suma

Usando el convenio de suna ent bres, resi el gente stem, eeminando el valor

Capitulo 2

Algebra lineal basica para tensores

2.1. INTRODUCCION

La familiaridad con lo expuesto en este capítulo permitira apreciar mejor los aspectos
geométricos del cálculo tensorial. Su principal objetivo es reformular las expresiones del
digebra lineal y dela teria de matices usando el comenio de suma.

22. NOTACION TENSORIAL PARA MATRICE
Y DETERMINANTES

En la notación matricial ordinaria (el primer subindie, indica en qué fl est el número,

“ayy segundo, design la columna. Una notación compléta ae
rier, m de Bas y el de columnas, ». Esta notación puede extenders Como sigue

Nötese que para Índices mixto (uno arriba, otro abajo), el de ariba indica la fa y el de
abajo la columna. Para el eso de dos superindces, el exquema es idéntico al ya familiar de

dos subindien

EJEMPLO 21

Un vector rel dimensional es cualquier matriz columna y = [xl con componentes reales
x, = Xy Se escri usualmente y (x). La colección de todos los Vectores reales dimension
Ics es el espacio vectorial seal dimensional denotado por K°

9

Las sumas de vectors se definen componente à componente, como pura las matrices: sí
À = Lae 3 B= Dylon entonces

A+ Belay + bil
El producto de un vector o de una matriz por un escalar se define como

Fórmulas básicas

Veamos las fórmulas básicas relativas a marie, vectores y determinantes expresadas mediante
el convenio de suma.

Producto de matrices. Si À = [a ¥ B= [alas entonces
AB = lables
logament, para indices superiores o mixtos,
AB = (a = He AB = (oP © le
onde i, no están sumados,
Matric identidad. En términos de dlts de Kronecker, la matriz identidad de orden nes
Tl en
ue tiene la propiedad 14 = AI = À para oda matric cuadrada À de orden
Inverse de una matric cuadrada. Una matriz cuadrada A = lay. es imertible si existe una

(Gea) matriz Bw [byl Hamada inversa de A, tal que AÑ = BA = I. En términos de
compen

obs bet em)

dt = bre di e

Traspest de una matric, La trspucsa de una matriz arbitraria se deine por A" = [a
Tell donde y= ay para todo 1. Si A" = À (esto e, ay = para tod fj) sella
Sn AP =A (en dest, ay —ay para todo 1.) ondes 4 se lama animée.

Matis ortogonal. Una matriz A es ortogonal si AT = 4-4 (0 se, si ATA = AAT =D),

Simboto de permataciôn. El sibolo ey. (con n subindices) tiene valor cero s hay dos
Subindics iguales, y valor (— DP en caso dóntranio, siendo p el número de trasposiiones de
indices Gutereambios de adios consecutivos) requeridos para levar (j nr) al orden
natural (123

Determinante de una matiz cusdrado. Si A +s cualquier matriz cuadrada, se define
clair

Otras notacones son A) lay det(a,). Las principales propiedad del determinant son

= lA! as

Desarrolo de Laplace del determinante, Para ca jj sea My el determinante dela matriz
‘euadrada de orden 1 obtenida de A = [ay suprimiendo la fla Y y la colamna Me
lama el menor de a, en AL. Definimos el cofécor de a, como el Scaar

M=aydymayd. (desarrollos por as]

IM = and = ad [desarrollos po column]

Producto escalar de rectores. Su (5) y ¥= (yy entonces

me an
Siw, la notación wu = u? = se usará con frecengia. Los vetores w , son ortogonales

Norma (longitud) de un vector. Si w= (x), entonces

Angulo etre des rectrer. EI ángulo D entre Is vectores no nulos w= (x) y v= 0) vine
ado por
er} x es

Se sigue que 0 = 2/2 a nv, son vetores ortogonales no nulos

Producto vectorial xR. Siu = (xi) ¥ = (i) y 8 denotamos los vectores dela base canónica
por

Expresando los determinante de segundo orden por medio de (2.3), podemos rcsrbi (2.108)

xr (eax 2.108)

2.3. INVERSION DE UNA MATRIZ

Hay diversos algoritmos para calcular la inversa de A = [jen donde [Al #0 (condición
meer y suficiente para gue A sa inserto), Param grand, El método de as operaciones
‘lementas entre las es eficiente. Para n pequeños se puede aplicar una fórmula explicta

Quo

rol ar eu

ESS] alt

(242055 — aa)

donde

24, EXPRESION MATRICIAL DE SISTEMAS LINEALES
Y FORMAS CUADRATICAS

Por la regla de producto matricial se puede escribir un sistema de ecuaciones tal como

3-42

en la forma matricial

En general, todo sistema m x n de ecuaciones
mite la expresión matricial

axed er

donde A lay Lun x= (x) B= (0). Una ventaja de esto es que si m= ny A es invertible
la solución del tema puedo lograrse usando matrices: x = Ab,
‘Otro hecho ‘lal trabajar con tensores es que una forma cundrática © (un polinomio.

homogéneo de segundo grado) en las n variables, XM tene representación strictamen:
te mata

may xT AR en

donde la matriz la xs la traspuest de la matriz columna x = (x) y donde A = fa,

EJEMPLO 22

ao ee 2 ee

La matri À que produce una forma euaditica noes nica. De hecho la en (2.13) puede
usine por B= A 4 AP); es der, la matric de una forma euadräica puede suponerse
Siempre simétrica ,

59-02 =10

Ta forma cuadriica (215) viene dada ahora por

25. “TRANSFORMACIONES LINEAL

Un conocimiento básico de la teoria de cambios de sistemas goordenados es de gran
importancia en e cálculo tensorial, Un conjunto de ecuaciones linces como

Py

define una ranforacün lineal d cada punto (x,y) a su comespondiente imagen (5). En
forma matricial una transformación tinea! puede scbin = AX; sh, como en (), la
pain ex un a uo, entonces 1] #0

"ay sempre un prspocivaresproc; o bien (3 9) s miran como as muevas condenadas
(evo nombre) para (9) 5 mira a (£ ) como una mena pnción (gan de (e, 3). En
culo tensorial estrenos sobre todo inersados en Ia primera interpretación: los dos

EJEMPLO 24. Para halla la imagen el punto (0, ~1) bao (1) basta poner x =0 y

‘simian a) omo un men satin de Soordenadan,dramos que ds puntos.

Distancia enel sistema coordenado con barra

Sea & = Aufl 0) una transformación lineal invertible entre sistemas con y sin barra. Se
Prueba en el Problema 220 que la fórmula que du la distancia e

48,9) JEDER = VRR, ay

donde (la == (AAT)! y £—9= (AR). SÍ À es ortogonal (una rotación de ces)

ntonces y= dy y (214) se reduce à a forma usual

46,9) = 1891 = SBR
[reuse CS)
EJEMPLO 25. Calcular la distancia entr los punos P y © del Ejemplo 24 en téminos de

IE dal

A

AN

En el sistema sin bara l distancia entre PO, —1)y QU, DI da el torema de Pins:

26.
DE COORDENADAS

Una transformación general T de RY puede indicarse en forma funcional (vectorial) o en

2-70) oben

Vista como aplicación punto-punto, cualquier punto x en el domino de T (quizá todo el RI,
tiene una imagen TGD en el recordo de T. Vista como transformación de coordenadas, Y
Siablee para cada punto P de su dominio una Correspondencia entre (x) y (X). las
ordenadas de P en ambos sistemas. Ya se ha dicho antes que T Será interprtable como
tramsformacion de coordenadas solo se slsace cet condición.

iyecciones, coordenadas curvilineas

{Una aplicación Tse llama biseción (o aplicación un a ano) si transforma cada par de puntos
dits x 4 y de su dominio en puntos diinos TG) # 719) de su recorrido. En al caso,
Hlamarems la imagen x= T(x) un conjunto de coordenadas admisibles para x, y el conjunto
Ae todas ess coordenadas (1 rcorido de 7) un sitema coordenado.

Algunos sistemas coordenados se denominan según ls caraceristcas de la aplicación 7
Ass T ea lineal e sistema (x) se lama afin, jt 7.6 un movimiento rigido, (x) se dice
rectangular 0 cartesian (A hablar ai se supone que el sistema coordenado inicial (x) © el
Sesano usual de la geometría analitica © su extensión natural a R°] Los sistemas de
«ordenadas no afines seaman coordenadas caroline incluyen las Coordenadas polares en
‘dos dimensiones y ls clindrcas y esféricas en tres dimensiones

27. LA REGLA DE LA CADENA PARA DERIVADAS PARCIALES

A trabajar con coordenadas curlincas uno necesita la matriz jacobiana (Capítlo 3) y, por
anto. la regla de a cadena en vais variables, El convenio de suma permite un enunciado
ncaa de E ges Si wm ne gee ee Ba) Y Me He o) Ed Zs ey 1,
onde todas las funcions tiren dervadas parciales continua, entonces

ey

Problemas resueltos

NOTACION TENSORIAL
21. Escribir en detallo as matics (a) [len 9) [ios (0 1)
O Ii

ola 2 FIL

Usando notación tensorial yla ley de producto matricial, probar que (AB)" = BTA
para cualquiera de ls dos matrices Ay B.

sean 4 vas AB ea» a odo 4

se sigue el rado anunciado.
Probar que toda matri de la forma A = BB es simétrica
Por el Problema 23 y la naturaleza involutiv de la tasposción,
NA

De la defnicibn 2.3) de un determinante de orden 3, deducir el desarollo de Laplace
por cofactores de a primera fl

Enel cso n= 3,23) se convert en

‘Como ey, = 0 cualquier par de suis coined, esrbimos slo Is tins par Is que
(Uh sa pertain de (123

Pro para n=2, 23) de

Evaluar

279 19-200

aula el Angulo entre los siguientes vectores de R*

x=(,0,-2.-1,0) e y= 0.220

x = 00 +004 -9Q)+E-DO+ = -6

en0= TS sie 02%

Halle tes vetoes linalmenteindependientesen Rt, ortogonales al vetor (3,4, 1, 2)

2)y 0.3 O en oies Finalmente (0 0.2, 1) ts onappral a vector dad, Y para

PERE] 253

INVERSION DE UNA MATRIZ
210. Demostrar el desarollo de Laplace general: 4,

Por tam dt A* = (=P ayy Per es fc vr (Problema 231) que con dos las dein,
A Ar. Memos probado a que

Dada una matriz À = [0 La, on [A #0, usar el Problema 2.10 para mostra que

a
[Se sabe del tr nal que tambén BA = logo A = B, que prosa Ia)

BEIGE

Siendo A, , matrices inertie del mismo orden, demostrar que a) (AY) = (407
(o sea, las operaciones de trasponr einvertr conmutan); (8) (AB) > BAS

SISTEMAS LINEALES; FORMAS CUADRATICAS
214, Escribi el sistema dado en forma matricial y resolver mediante la matriz inversa:

Si (OY) = fa) resolver el sistema x
par las x en términos de las
Mules ambos miembros de (1) por 1% y sumando en 4

Escribir foa cunt en R*
Qe tf aus + Du = + nr Ga +
em A =

TRANSFORMACIONES LINEALES

217. Probar que bajo un cambio de coordenadas %,=a,

sx la hipersuperfie cua
Ye transforma en Ey, = 1, donde

DEEE

Lo hacemos ando mais, de donde la expresión en componentes se dedos con facia
eae, des can CN = en coordenadas bara, X= Ax sine un atra
Te re ares, Susttoyenio à = BX(B = 4) en la ecuación del cui, tenemos

As poes, la ccución de la cuida en ls coordenadas con bara es SCH = 1, donde
On Bic

DISTANCIA EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CON BARRA
218. Calcular los cofcientes gy en la fórmula de la distancia (2.1) para el sistema de
den son barra dsfnido en R por X= ay, donde a, = 2,3 Le 01320 Y

Hemos de calcula simplemente G = (AA, donde A = (a):

eel EGE kb

Comprobar la formula de la distancia obtenida en cl Problema 2.18 calculando la
distancia entre (x)= (I, =D e (3) = (0, —2) en las coordenadas con barra (sos dos

A ob se

de EAN - ENT
NS)
un

gon G = BEB (ATA (AT) tat = (AAT), donde las dos Últimas igualado: se

COORDENADAS RECTANGULARES

221. Supongamos que (x)= (x, y, 2) y (£)=(%, Y, 2) (1 uso de superindices aquí
anticipa futuras notaciones) denotan dos sistema coordenados rectangulares en O y que
los ángulos de dirección de los ejes & respecto de ls ejes , y, % son (4, Pa 7
12 172,3. Probar que la correspondencia etre los sistemas coordenados viene ada
por & = Ax, donde x= (6.9.2.8 (8 J, 2) y donde la mati

cosa, 008, cos

coa muß, cos

es ortogonal.

Sean T= OP, Te OÙ y E=ÖR los veros union à lo lago de los ds & 3,5,
venposivamcte (lso Fi 2.1, 5 ene ver posi de congue punto HL. nono

eae

seas 6 2) de P ao wa où + Anélogamente para

Alora ie, lement (4) dela matiz 447

on las cs caidos OB: OB, 00-00, OO; o sa, son la unidad. S 44, eones el
temeno corsponiene de AA" eso Men 0-00, 0P- Ok o Öß-ök. y gor uno cr a

COORDENADAS CURVILINEAS

222. Un sistema de coordenadas curve (et defido en téminos de ls coordena
gastos
SEE RE En la interpret rcproce, (I) derma la reia en una parábola]

son ki de ras ne nenne praise a cn I

eo) a

A DE LA CADENA

Supongamos que bajo un cambio de coordenadas, & = & (te ta oe) (515
Tas funciones reales (2) y (1) están relacionadas por l fórmula

mer o

Fla I regla de transformación de ls derivadas parciales de (7) (es decir, expresar
TAS, en términos de 07/0.) sabiendo que todas las derivadas parcals de segundo,
‘orden son nulas.

Derivando (1) respect de 3 y usando la regla del producto

MO jy) Le, p 0 fo)

om er an an,

Problemas suplementarios

Bei as matices () a) a o le

onde A (ay) B= (y Cs (son matrices arbitrarias, pro compatibles par el producto

Probar que el producto de dos mates ortogonal es ortogonal
Cael los deerminanten

End dso de Laplace de decir apace I sma essa
ss termes () Eat expstament, y (0) represor como un determinant de

Demostrar ques una mati ene dos fils iguales su determinant es eo, (Ayudo: Vase que
2 tecanblreulesgucta dos subis se cmb cl igo del solo de permuiniones)

op] offs

(@) Verifcarlas siguentes fórmulas par lo simbolos de permutació e y an (para valores
lios de lor nées solamente)
ü-ou-0a-n
a TS

(0) Probar a rma genera:

Calcula nul entr lor scans de RY: x=, 1,0, 1,2, — ey = (2 0. 1,0,0)
Hallas ex R? dos vectors nent ndependiates que sean oiogonals a met G, —2, 1.

Escribir forma cunda on R?representada por Q = n° Ax, donde

ae

Odd 0x0 + 6
Dado el hiperlane «3,1, imo se Informa los costs «to ef cambio de

Calella y para a mola el distancia (14) en un sistema coordenada con bara dei

els

Comprobar la fórmula dea ditanc del Problema 2:0 para el pu de puntos cuyas coordenada

(6), Probar que para funciones independents à = Ke 4 +

(0), Hacer la deivada paria! de (1) respeto dex, para decir la mula

Capitulo 3

Tensores generales

3.1. CAMBIOS DE COORDENADAS

En este momento cambiaremos la ngjacón de las coordenadas a la usual en ccoo tensorial

‘Suptinices para ls componentes vectoriales

Las coordenadas de un punto (sector) en R serán denotadas en adelante por (x, 2,4, .. 24
Asi pues, os familiares subinices quedan sustituidos por superndices, y la posición superior
ya no está reservada lan sólo para exponentes, Quedart caro, por contexto, 3 un carter
Sign componente vectorial o potencal de un ea.

EJEMPLO 3:1. Para jdica potencia de componentes vectoriales se ncestarin partei blumen
I: adı 00) Y 09.) sepcna, ropecivamente, & cuado de la tercera componente Y la

Coordenadas rectangulares

Las coordenadas recangulares (o cartesianas) en R* se definen por analogía con ls usuales
ordenadas ortogonales de la geometria analtica en 2 6 3 dimensiones Una definición

práctica viene sugerida por lÍnsrso del teorema de Pitágoras

Definición 1. Un sistema coordenado (x) es pectangulr sia distancia entre dos puntos ati
Arai POR en) y OO! 5%) viene dada por

PO = Je =F EOP oF Jia tdo
donde Ax! x
Bajo cambios de coordenadas ortogonales, que son iométrias, I fórmula anterior para
la distancia es invariante (Sección 29). Por tanto, todos los sistemas coordenados (2)
defmidos por = «bx donde (}) e al que fe, dy son rectangulares. Puede probare que
éstos son los únicos sitemas rctampulres cuyo origen coincido son el del sitema (+)

Coordenadas coria

Supongamos que en una región de R° tin denidos dos sistemas coordenados, relacionados

a en

donde, para cada tla función o campo escalar 1, 2, … 4) aplica la región dada de R°
po

non números reales y ten derivadas parciales de segundo orden continuas enla región es
clase ©, La trandormación 3, ses biyocia, se lama un cambio de coordenadas, como
Gh in Sen 26. Sie) son as coordenadas rectangulares usuales, las (X) se aman
Coordenadas carlicas, salvo que J sea lineal, en Cuyo cas se llaman coordenadas afines.

‘Ahora presentaremos los tes sitemas de coordenadas curvilicas más importantes. En
cada cano Le emplen una notación snversa el sistema (+) se define mediante la aplicación
3 que lo convirte cn un sitema rectangular (+) dela misma dimension.

Coordenadas polaes (ig. 31). Sean (8,2) = (x,y) y (x, x2) = (r 0) bajo la restricción
ro.

Entonces,
ft = a 08 x? EN CET

"le TE an RE)

Ye

¿La javersa dada aqui para xs vida sólo en los cuadrantes primero y cuarto del plano
SC: oras soluciones serán necesarias en otros cuadrantes. Andlogamente para la coordena
da 0 en elindricas y séricas)

Coordenadas cilmricas (Fig. 32). Si @ 8, 8) = 9.2) y 0 0 Oele 02)
onde r=,

E

Fig. 32

parciales 08

E) TENSORS GENERALES

EJEMPLO 22, Se den en Run sistema de coordenadas cuvineas (a parti e ls rangs

Un conocido eorema del análisis arma que es localmente byestiva sobre un abierto
4 de R°a y sólo si Y 20 en cada punto de Y. Cuando 7-20 en # y 7 es de clase CE en
W, 6.1) se lama un cambio admisible de coordenadas para Y

EJEMPLO 3.3. Las coordenadas rin del Ejemplo 32 so admins par las seionesx*>0

En un cambio admisible de coordenadas, la inversa ~' (cuya existencia local garantiza
El mencionado teorema) es tambien de case C en Y la imagen de # bajo 7. Además, s
bene la foma

en @ su matriz jacobiana Y de 77" 6 I inversa de J. Asi pues, JT = 19 = 1, es dei,

Ivéase Problema 2420). Se sigue asimismo que 7

‘Sistemas de coordenadas generale

rectangulavs cn modo alguno [via (3.0) y dein distancia en términos de una fórmula
de lomptud de arcos para Curvas arras, con puntos representados en absraco por
Sünde coordenadas y existirán sistemas coordcnados admisibles para cada métrica. Bajo
tals metrics, Re será en general no euchdeo; por ejemplo la suma de angulos de un triángulo
métrica Suchen Ga que están relacionados va (1) con coordenadas rectangulares y con el

ro, excepto en el caso Especial de las coordenadas rctampulares, cuya misma definición
(Ostnición 1) involucra la métrica cuide,

"Utilidad delos cambios de coordenadas

Un objetivo básico del análisis tensorial es el modo en que un cambio de coordenadas acta
a ia forma en que se describen las magnitudes geométricas de las leyes fics, An en

coordenadas rectangular, la ecuación de un ctculo de radio a centrado en el origen es

pero en polares, (2), ten la sencilla ecuación x = a, El lector est familiarizado, sn duda,
on el cambio, dramálic a veers, que sfr una cuación diferencial bajo cambio de variables
Esta ka de combia la descripción de ls fenómenos por cambio del tem coordenedo está
fn el trasiondo no söl delo que un tensor signe, sino incluso de su ulidad prácti,

32. TENSORES DE PRIMER ORDEN

Sea un compo vectorial Y = (Y) dido en algún subconjunto de R fe dei, para cada
Fa componente 77 = Va) es un campo csclar Gunción ra) al variar x en 97. En cada
Sistema admsble de ordenadas de una región Y que contenga a 7, ls n Componentes Y

Vins Pode V serán expresables como funciones reales: digamos, como

TT, es TO enelsistema (x)
TT oy Tenet sistema (2)
donde (2) y (8) están relacionados por (3.1) y (4.

Definicién 2. El campo vectorial V es un tenor conravriante de orden 1 (o vector contrava
rame) st sus components (T°) y (7) reatvas a dos sistemas coordenadas
respect (x) 3 (8) obedecen a ley de transformación

vector contavarante Ti es

EJEMPLO 24, Sen € na curve dada en el tea por
Fl campo vectorial tangente T = 19 se dine por la mul usual de

LO OA IED

y el veto tamente a en el sitema (tes componentes

tenemos que 3 = en este campo vectorial particular) Concluimos en general que bajo un cambio de

rector contavariante de peso w = wT" À

donde w es una cierta función eal (el «peso» de

En la próxima denición legimos (arbitrariamente) una notación de subindies para las
componentes del campo vectorial

Derición 3. El campo vectorial V es un tensor coarinte de arden 1 (o rector covariant)
Si sus componentes (7) y (1) relativas a dos sistemas coordenados respectivos
(6) y (2) obedecen la ley de transformación

rector covariant asısn

EJEMPLO 35. Sex F(x) un campo ca dierenchbledefido en un sitema cordenado (+) de

oem &)

En un stems decoodendas con Bra, grade vine dado par WF = (OFT) dnde FIs) m Fox
La re els enden. jt con ls relacions 0), dan

FOR oy

que no 6 sino 0.10) para T= Fe, T= AO. As pn el gradiente de ans faci fe

Nota 2. Los vectores tangents y los vectores gradiente son en realidad dos class diferentes
de vectores. El eilelo tensorial se ocupa de la distinción entre contravariancia y
‘ovarianci, y emplea consentement indices superiores € inferiores para el.

Desde ahora nos referiremos a los tensores de primer orden, covariantes o contra
ovariantes, como «vectores» sencillamente son, naturalmente, campos vectoriales
‘elnidos en R™ Este uso coexisted con el revo de llamar wvestorem ales Mtuples

ales cs dcir, clementos de R*. No hay conficto en tanto que los muplos
onslltuyen el campo vectorial corespondiene la aplicación identidad Vx) = x
(= 12 en 0. Pro el vector (3) mo tene la propiedad de transformación de un
fensor a Que, ara rraleae esto hecho, nos refriromos a veces a & como un ecto

33. INVARIANTES

Objetos, funciones, eeuaciones o fórmulas que son independientes del sistema de coordenadas
Acad para expresris tenen valor intnscoo y son de signiicacón fundamenta; e aman
¿ncurlntes, Grosso modo, el producto de un vector Contavarinte y un vector covarante es
siempre un invaint. He aqu un enunciado más precio de est hech

Teorema 3.1. Sean S! y T las componentes de un vector contravarant y uno covariant,
respestivamente, Sise define el producto interno E = ST, en todo sistema
‘coordenado, es un invariante

EJEMPLO 36. En los Ejemplos 34 y 35s vo que el vor tangents (5) = (4/0, una curva

de modo que el Teorema 3 afıma que el valor de

ron Lira)

(independent del sistema (e) elegi para epica Ia ura, Para vila esto ee a Figura 34
usa tómo sl compesistn f= F(z (0) on RS Sala a a vata que la aplcación ora
pico el soma coordenao (Xx, 3). AM que, Py con ela AL e un Ian

34. TENSORES DE ORDEN SUPERIOR

Pueden defini tensores de cunlquier orden, y aunque no empleemos en general tensores de
orden mayor que 4 incluimos la definición general Comenzamos con los tes ips de tensores
de orden 2

Temores de orden 2

Sea Y = (4%) un campo de matrices, es decir, (Y) es una matric n xn de campos escalares
Ve, definidos todos sobre una region Y = {x} en. Como ame, se supondra que Y ene

una repreentación (74) en (x) y (1%) en (8, donde (x) y (%) son coordenadas admisibls
Felicionadas por Gl) y 00)

sewer craie TE suis GAD

En notación de subindies para el campo de matrices, cnunciamos

Defiiién 5. El campo de matrices V es un tensor coverint de orden 2 si sus componentes

{ven dy Ch) en (3 abdos la y de wandern
tenor arme Tu usa — G2)

Teorema 33. Supongamos que (T,) es un tensor covariate de orden 2. Si a matriz (Tl cs
inveruble en e con matiz inversa [Tj entonces (7%) es un tensor contra
riante de orden 2

Definición 6. El campo de matrices V es un tensor misto de orden 2, contravariante de

‘orden | y covarante de orden I, a sus componentes (7) en 0) y (E) en (2)
‘bedeen la ey de transformación

nee US IIS

tensor miste Ty

Temores de orden arbitrario

Los campos de vectores o marices no bastan para describir temores de orden alo, Es
necesario introducir un campo vectorial generalizado V, os decir, una colección ordenada de
Um + 4) campos escalares, (Vi. definidas sobre una región % de Re denotemos
por (jh) el conjunto de taciones componentes en varios sistomas coordenadas definidos

Robe de

Definición 7. El campo vectorial generalizado V ex un tensor de orden m= p + 9, contra
variant de orden pp contravarante) y covaiante de orden g(q-ovariane), si
sus componentes (Fj) en (e) y (Tf) en (2) ol la ley de

tensor general. (Th = (Ts

con el rango obvio para los indies libres

35. EL TENSOR DE ESFUERZOS

Fue el conoepto de tensión en mecánica el que originó la invención de los tensores (ens,
lo que oere tensión, esucro). Supongamos que el cubo unidad está en cqulibro bajo a

Pass

nidad, cada vector fuerza representa Ia fuerza por unidad de área o tension, En la Figu:
va 3-56) e representan css fuerza en componentes. Usando la base anni € x, € 26
(tension sobr la cata 1)

(tensión obre la cara 2) 615
tension sobre la cara 3)

Surge la cuestión: ¿qué tensión se ransmite a una sein plana del cubo que tiene vector
"normal unitario 10 Para responder miramos la Figur 36, que muestra el ttrcdro formado,
por la tal seción y los planos coordenados, Sea A el área de la seción plana considerado,
Por hallarse en equliri el cubo, ls tensiones sobre las bases xx, 20, añ, del etradro
son Y Ya 3 Ya tsperivamento, como muestra la Figura 26 en components, Por
tanto, lat ferzs sobre osas mismas bases son B,( vy), Ba) BC) respectivamente
Para que el propio tetaedro esté en equilorio. la Her resultante sobre él ha de se mul

AE
0 sa, despojando F

Pero B, es la proyección de A sobre el plano x2x°: By = Ave), es dect, B/A = ne
Análogament, BA = ne, y By/A = nes. Susttuyendo estas expresiones y ls (3.15) en (16)

F = e"(ne)e Gin

Fig 36

Contravarlancia dels tensiones bajo cambios de coordenadas

De (217) resulta una interesante fórmula al cambiarla base de R? mediante una transform
ción de la forma e, = af, (on a #0). En términos de coordenadas,

Kern alt) = fx = 9,

Esto es, tenemos un nuevo sistema coordenado (%) relacionado con el (x!) via

Notes que

Sustituyendo e, = af,en (3.17) obtenemos las components de tensión (4 en el nuevo sistema
eoordendo, saber:

Fm oof) elf) = del), = aay,

= om

“Comparando (3.19) con la ley de transformación (3.11), concluimos que las componentes de
Hensln o define un tensor contravarante de orden 2, sl menos frene cambios lineal de
coordenadas.

3.6. TENSORES CARTESIANOS

Los tensores correspondientes a cambios de coordenadas adimisibles finales, 7: & = a
del #0), se llaman temores fines. S (a) cs ortogonal (y 7 conserva as distancia) los
tensores correspondientes Se llaman temores corteranos, Ahora bien, un objeto que & un
tensor con respecto a todas las transformaciones lincals uno a und 10 es nesesriamente
también con respecto à todas ls transformaciones incas ortogonales, pro e inverse as.
Por tanto, los tensores afines son temores cortesanos especial, Andlogamente, ls ncuiames
fines son incrtantescartesianos parenlare

Temores afines
Una transformación del tipo J: & = ala 4 0) convierte un sistema coordenado rectangu

lar (+) en un sistema (£) de ees bliguos a que los tensores afines se dehnen sobre a clase
de todos esos sistemas coordenados oblienos, Como las matrices jacobianas de 7 y 9! son

E 62

las eyes de transformación para los tensors afines son

contraavintes T= kT, TO dar, TA
eovarintes T= Yi Ty Ty= KT Ta

mises Tia BT, Tan de

Al ser ls condiciones (321) menos restrictiva, más objetos admiten ser chsifcados como
tensores ahora que antes; por ejemplo, un vector posición ordinario x = (8) result ser un
tensor (ai) (nse Problema 33), y las dervadas parciales de un tensor deinen un tensor
(afin) (Como muestra et Problema 223)

Cuando las transformaciones lnales precedentes 7 se toman ortogonales, ntonces J-! = J.

así que las leyes de transformación para ls tensors cartesianos son, por (3.20,

compararientes: T= a
covariantes Ti= aT,

Un hecho sorprendente es que ahora los comportamientos covarante y contravarante son
idénticos. En consecuencia, todos los tensores carteianos se denotarán con subindiee:

cambios admisibles de coordenadas

leyes temoialescartesianas

Como una transformación ortogonal convierte un sistema coordenado rectangular en otro
Tectangulares(cartesianos) de coordenadas. Hay, por supuesto, más temsores Carteians que
anes

Nöte que JT = 1 implica 92 = 1 0 sea 7 = #1. Los objetos que obedecen ls eyes
tensores (522) cuando los cambios admisibles de coordenadas son tales que

Problemas resueltos

CAMBIOS DE COORDENADAS
31. Para la transformación del Ejemplo 32, (a) obtener las ecuaciones para 7°"; (6)
calcular Y y compararlo con J
(0) Despeando de 8! = 02, 2 = (02)? las x! y x, esta que
[texte
MENO

fe
te

2000 à uno an < 0. Observes que ls dos regions del pla

ie AS

ee]

32. Para las coordenadas polares (3.2), (0) calcular la matriz jacobiana de 7 y deduci la
región sobre la que 9 es Byectiva; (9) calcula la matriz jacobian de 3 para la

(e Dir > 0, 2/2 <0 < m2)

de donde J = x mr. Poe tanto, es iyciva sobre lair > 0, que c tod plano
Para 7! tenemos, sobre el semiplano derecho,

rela] a

GE ET.

VECTORES CONTRAVARIANTES

33. SiV = (7) es un vector contravarante, probar que las derivadas parciales 7) = 27/0,
definidas en cada sistema coordenado, se transforman según la ley

atte

an

Supongamos que (7% es un vector contravarante en RE y que (7%) = (x2, x!) en el

sisema (6). Calcular (7°) en el sistema (2), bajo el cambio de coordenadas

x (6) 40

Por definición de contraria

MAA TRA AA

Probar que se puede construir un sector contravarinte cuyas componentes en un
sistema coordenado particular scan unos valores prefijados (a bc), (Los valores
Prefjados pueden ser funcions del punto)

Scan (ab...) (o) os valores asigna nel sitema (2), Tom et
lor valor de (1) en (Ne (on, fopestrancte, T= el 00) > ee IE Po

VECTORES COVARIANTES

36. Calcular (7) en el sistema (£) si V = (TD = (x, x + 204) es un vector covariame
bajo el cambio de coordenadas dl Problema 34.

A = wae + se
Anilogament, pars (= 2, usando la segunda coloma de J
Te RO) + TO) = x) = 1
Por tanto, (7) (Den todo os puntos dl sistema (8) excluido 8" = 0,

"sar el hecho de que Wfes un vector covaiante (Ejemplo 3.5) para poner la ecuscion
diront

= o

en forma más sencilla mediante el cambio de variables & = xy, $ =Q)% después
resolver
rbamon Y= (ies 789) (1, 32) RE

Tu

1

INVARIANTES
38. Probar el Teorema 3.1

ESO arte peto Combi coordinados os des, que Es Es donde ES ST

Demostrar que bajo cambios lineales de coordenadas en RY, &= ax 40), la
ecuación de un hipeplano A = 1.6 variante supuesto que el vector normal (4)

TENSORES CONTRAVARIANTES DE ORDEN 2

3.10. Supongamos que las componentes de un tensor contayarante T de orden 2 c
sistema coordenado (v) de R’son Tit JT ch Pie Ty Tin? la) M
las componentes 7 de T en el sistema (£) definido por

(0), Calcular los valores de TV en el punto que corresponde a x

mins a = a) CD 4241
PA) CIAL ANA

Probar que si (5) y CT) son vectores contavarints en R, la matriz (U

sr,

‘sina asin tdo sistema coordenado representa un tnsorcontravariante de orden 2

TENSORES COVARIANTES DE ORDEN 2

an,

Probar que si ¡son las componentes del vector covarint T, entonces,
on las componentes de un tensor covariant anisimétrico $,

Sila colección (7) se transforma de acuerdo con

7,

Probar el Teorema 32

on codons in biz con Ö dene ine P’en coordenadas con bar © sh

rum

TENSORES MIXTOS

3246, Hala las expresiones de las components tesorales (TS) en coordenadas polares en
{erminos de las (7) en coordenadas rectangulares, il tensor es simétrico en estas
limas. (A diferencia con a Seción 2.1 ahora son ls curvlinas las coordenadas con
barra)

Que usando (216) puede escribir como

7 | = =]: al

Nites que To tee la mtr de T: Ti=r Tl

46 TENSORES GENERALES.

3.17. Demostrar que el determinante de un tenor mixto de orden 2 es invariame,
1 (1) dl Problema 3.16, tenemos (ea o o sims 7}

TENSORES GENERALES

3.18. Escribir a ley de transformación de un tensor de orden 3 que sea 2ontavariate y
eovariante
Tomemos p= 2 y q= 1 en a Definición 73 par evita subidos inners, escibamos
Sea T= (TY) un tensor del tipo y orden sugerido por los indices. Probar que
S= (Ti) = (Al) es un vector covariant.

Be sae. y (orne) (are

TENSORES CARTESIANOS

3.20, Probar que el símbolo (ey) de permutación define un tensor cartesiano en R?, Se supone
que ests deindo del mismo modo en todo sistema coordenado rectangular

Sie cambio de coordenadas e § = 95 donde (ala) = (by) y

321. Demostrar que (a) los coeficientes cy de la forma cuadrtica cc’ = 1 transforman
como un tensor al, y (9) la traza cy de (4) es un invariate cartesiano,

Por tno, &, = (e, 5
Deduci la siguiente identidad entre simbolos de permutacion y deta de Kronecker

cam 2 5 0 on 12,423). Como Kat, 0 bin k=

Sil 1 tne nd

sto complet lanl de todos ls eos y demuestra la identidad propuesta

Problemas suplementarios

Probar ues (7) sun vector covariant y efimos Sy 7,7, + Ten todo sistema content
Probar que ai (D determina un vestorcovariune yen ada sistema cordenad demo

CR

Probar qe la forma sndrtic Q = gy! uns invariants afi sempre qu (gs un tenor
ain atte, (Respro dl Potts 3.310}

Demostrar que las derivadas parce de un vector contravaiant (19 dei un tensor aña
miso de orden 2 [Ayuda Problema 323]

Probar quel det de Kronecker (8, defini uniformemente en todos os sistemas cuordenados
temor mixto de onden 2

Sistema cotdenad no © (por al Problems 20) covariate ajo Cambls de comia

Scar [Ayuda Una 23%, 8 on ol punto (= i DD

Usando (32, establece la dent familiar para el product vectra de Les vers
kenn) = (edo = yo

(e) Probar ques (7) e un tenor mit, (13 + 7) noes en general un tensor. (9) Probar que

Demostrar: (a) S(T) es un tensor mit de orden 2, Te un variantes) (9) y (79

Si T= (2) es un tensor, conravaiat de orden 3 y covariate de orden 2, probar que
Saif) un voor contrainte.

Demostrar que la derivada, Td, dl vector tangente T= (7) = (set) una cura x= 0)
unter sn contrat Js esos cates?

(6) Probar tensralmente qu el produto escalar v= ui, de dos vectores w= (a) yv = (0) es
‘i variants cartesian. (0) ¿E or ana vara sa?

Capitulo 4

Operaciones con tensores;
criterios de tensorialidad

4.1. OPERACIONES FUNDAMENTALES
Vamos a describe algunas operaciones que, a partir de dos tensores dados,
A)

producirán un torer tenor.

‘Sumas, combinaciones lineales
Hagamos p =r y 4 = en (61), Como la ley (319) es lineal en las components tesorals,
e aro que

e) a2
un tensor de igual tipo y orden que los dos dados. Más en general, ST, Tay ous Ty son
fensores del mismo tipo y del mismo orden, Y si dy La oo» ye son invarantesesclares

(428)

+ un tensor del mismo tipo y orden

Producto externo

E producto extern (o exterior) de los temores S y T de (41) e el tensor

que es de orden m = p + q + r + 5 (uma de los Grdenes de S y TI (p+ rroontravarlante y
G+ sycovariante, Notese que ST ©

EJEMPLO 43. Du ors, 5 = 5) y T= (Ti product externa IST] (ST) = (Ph) es

Para formar el producto interno de dos tenores se toman iguales un indice superior
(sontravarint) de uno de llos y un indie inferior (covariante) del otro y se ec la suma

°

so OPERACIONES CON TENSORIS, CAETERIOS DE TENSORIALIDAD

sobre ese indice repetido. De hecho, los comportamientos contravariane y covaramt se
‘ancslan,1o cual rebaja el orden total de los den temores.
Para ser más precisos, pongamos (= = ly en (4). Entonces el producto interno
correspondiente à ce par de indios es
CET Ce)

Vemos que eisen ps + rg products inernos ST y TS; en general, serán istintos entr si
Cada uno de ellos dari un tensor de orden

EJEMPLO 42, Cons temor $= (5%) y = (Tu formar rot intern U

le)

ai que U es un tensor de orden 3, Lconravaria y Zara

EJEMPLO 3. Con (1) y (1%) como enel Teorema 32,

Como producto emo, el miembro del nga define un tensor mino de oxen 2. Elo consilye

En el caso espacial de que S sea un vector contravariate y T un vector covariant, el
producto interno ST es dela forma 37T, que es un invariate (Teorema 3.1), Ya que el tensor
Ses de orden

m=p+atr+s-2=1404041-2=0

Contract

Otra operación que rebaja el orden, como la anterior, pro aplicable a un solo tensor, es I
contracción de un par de indies en un tensor. En el tensor S de (4) hacemos 4 = u
sumamos sobre u; el tesor resultante (Problema 4.1)

us

se llama una contracción de S en os indices i y. S' es (= 1) contravarante y (g—1)

SD, Te ST (SET) = IST

a

Operaciones combinadas

Etectuando diversas operaciones sucesiva de los tipos anteriors se pueden formar nuevos
tensores parti de temores dados, As, uno puede formar el producto estero de dos tensors
y continuación tomar su producto inierno con u fercero, © bie contrac uno o más paros
de indice, ames o después de luce un producto. Interesa sealar que un producto interno de
dos tensores puede caracterizarse como una contracción de su producto externo: ST = [ST]

42. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD

Es il disponer de un método alternativo para verificar el carácter tensorial sin tener que
apela alas leyes de transformación tensors. En pocas palabras, el principio es exe: S
puede demostrar que el producto interno TV ex un temor paa todos los vectores Y, entonces
Tes un tensor. Esta ideas ca a veces como la regla del ociete para lemsores formalizada
nl Teorema 42)
Las siguentes afirmaciones conttuyen criterios ls para el carácter tensorial y pooden
deducir todos ells del Teorema 4.2.
(D Si TV m E es invariate para todo vector contravariante (Y), entonces (7) es un
vector covariante (tensor de orden 1.
(2) Si Ti = U, on componentes d un vector covariante para todo vector contavaran
te OP), entonoes (7) es un tensor eovarante de orden 2.
(0) Si T,U'VI= E es invariante para todos los pares de vectores contravariates (U) y
(entonces (7) es un tensor covariate de orden 2

(Si (Res simétic y 1, /°V! = E os invariant para todo vector contravaiane (49,

EJEMPLO 4:, Estable cero)
Por sr imvacante, EB, 0 en T= TV, Sonityendo en cata cousin lay de transfor

gen en pa hs ta es rund por Protons A pu, ua

que es a ey de tansformacin de (2) a(x), de un vector covariant

EI método empleado en el Ejemplo 44 puede sr fcimente extendido para probar el
siguiente resultado, que a su vez implica el teorema del cociente

Lema dl Si Tih IP VA, Vly Ply = E es un invariate para vectores cove
antes arbitros (U) UM = 1,3... p)y vectores contravariames arbitra
mos (Wp) = Wall =, 2, ony 9), enionces (T4) es un temor del tipo
expresado por Sus indie.

Teorema 42. (Teorema del cociente). Si Tia Y = Shipp son componentes de un

fensor para todo vector contrvariate (VO) enfonees (Te) € un
tensor del tipo y orden expresado.

Gran parte dela importancia de os tensores en Física e Ingenieria reside en el hecho de que
sí uma nación (dent) tensorial es certa en un sistema coordenao, entonces lo es en todo
Sistema coordenado

EJEMPLO 4.6, Consóremos una eatin
Ra = AWM o

ona sis ntidades que poden ser temores o no sro i pond probare que () T= (7) =
‘dt ARMA) es un sor y i) exito un tema Soordenado e el que todos los Tyson.

EJEMPLO 47, Un tensor covariate de ode 2, o uno contravarante de arden 2, que ca simétrico
fun sitema coordenada, de sro e sage oro ema. (Eta alrmación no ea para

Otra aplicación il de ese principio (Problema 415) se da a menudo como obsio en
análisis tensor

Teorema 43. Si (Ty) es un tensor covarinte de orden 2 cuyo determinante es cero en un
«cierto sistema coordenado, entonoss exe determinante es cero en todo sistema.
Sordenad.

Cooler 44. Si un tensor covariate de orden 2 es invertible en un sistema coordenado
particular, lo e en todos ls sitemas eoordenadon.

Problemas resueltos

SUMAS DE TENSORES

41. Probar que si à som invariantesy SA 7%, son componentes de vectors contravarian

tes, el vector definido en todo sistema Coordenado por (AS À A es un vector

ras (ra

Probar que (a) la colcción definida en todo sitema coordenado por (Ty — 7). donde
{es un tensor covariante dado, es un tensor sovarlanıe: (2) la colección dehnida en
todo sistema coordenado por (7) T]) donde (7) es un tensor mixto dado, no es en
general un tensor, pro is tensor cartesiano,

lo cul prueba que (I) een cto un tenor covariate

(©) Damos cra demostración ése Problema 3320) basada, en (420). La cus es si
Da (De un tenor Por a ey de tramtoreación de (Ti

1

Luego, (U) no obelee una ley tenor salvo que, para odo, 4

PRODUCTO EXTERNO

43. Probar que el producto externa de dos vectores contavariates e un tensor contra:
riate de orden 2,

o sit

0 es a ey de tai precio para que dicho producto enemo en un temo
avant de orden 2

ss OPERACIONES CON TENSORES, CRITERIOS DE TENSORIALADAD

PRODUCTO INFERNO

44. Demostrar que el producto interno (T’U,) es un tensor si (7) y (U,) son tensores de
Jos pos indicados.

(o

45, Probar que sig = () os un tensor covariante de orden 2, y U = (W') y V = (41 son
vectores conravaiames, entonces el doble producto Interno gUV = 1,0177 es un

CONTRACCION

46. Supuesto que la contracción de un tensor produce un tensor, ¿cuántos tensores pueden
construirse por contración partir del tensor T = (Ti?

47. Probar que cualquier contracción del tensor T = (TS) produce un vector covariant

OPERACIONES COMBINADAS

48. Supongamos que S = (SP) y T= (T}) son tensores con los que se desea formar un
vector conravarante Y = (1) combinando productos internos o externos con contra
ciones. (a) Probar que hay ses posibles V que pueden ser todos distintos (1)
Comprobar que cada posible Y se obtieno como contración de un producto In
(a) Exibiende IST] U = (UE) obtenemos los vetoes contrastes como contracciones

NS
(0) ete (Uz) lene tomando primero el produce interno (51) y
pués la oe “Andlopamente para Ts os neo mets de (a).
CRITERIOS DE TENSORIALIDAD

49. Probar el riterio (2) dela Sección 42 sin utiliza el Teorema del cociente

DE de (LL D D

EN ES

Demostrar el criterio (3) de la Seción 42,

Probar el criterio (4) de I Seción 42

Queremos probar que (7) un cocción siden al que 7,409 sun ivan para

onde hemos vado l siti de (7) nel limo paso. Ahora bie, po pie, miembro

ar el Lema 4.1 para demostrar el teorema del cocent (Teorema 4.2.

En la notación del tora y el lema, Sg UU UPV My Vf sun tensor de

5 un invite, con (1) abri tambén. Vemos, pue, dl Loma 4.1 con 4 auido por
D que (pa) es un temor ontario y (q coran
Dal mide do en la demostración se sigue que el corn de cociente es igualmente

Usar el eorema del cociente para demostrar el Teorema 3.2
SU = (9 es un voor contrarian l producto interno

+ un sector covaiae. Además, como Th tee inversa, concluimos qué cuando U recorre
todos lon vestores ontavacane, Y eco Tode lo vers cortan. AS pes

U= rive ru)

unter par todo (1), de modo que (1%) es un temor contravariantede orden 2

ECUACIONES TENSORIALES

414. Probar que si (Ti) es un tensor tal que, en el sistema (x), Thy = 37a, entonces
Thu = 3Tiq en todo sistema coordenado.

Hemos de probar que T= 37 en (8). Abor bin,

en

como estaba prise
418, Demostrar el Teorema 43,
Por el Problema 3.140) a ly de transformación covriante adopt a expresión matricial
TEFTT dedonte (N= Fun

Asi pus, IM = 0 implica [T= 0+

Probar que si un tensor mixto (Ti) puede expresarse como producto externo de dos
vector (U) y (1) en un sistema coordenado, entonces (7) eel producto externo de
tales vectors en general

Hay que ver que 7) = O'F, par coli sema admisible de coordenadas (2). Per, por

Problemas suplementarios

SI (49 y (4) on vectors contara, comprobar que (QU! + 34 tambi lo s

mp que prod ete de m vr contaran y un ee ovat un
terne deS = (9) y T= (Ta). y contando luego dos Yes

Demostrar que ai TU!» Sl, son componentes de un tensor ara todo vector contain
(Oot (rs un to a tj ind, da Air loa Se ont
producto interno.)

a Lous Segura Peden aS

Probar que si TUYO! = Y) son las components de un tenor para un vector contravarame
CON ande, (Tu) Jm ens ds times rubies es todo sitema coded.
obar a afmacin del Ejemplo 47.

3 (0) enn sema coordeado,enonces E adm en Mia tepresntacin en lodo sema.

Capitulo 5

El tensor métrico

5.1. INTRODUCCION

La noción de distancia (o métrico) es fundamental en matemática aplicada. A menudo, el
oncepio’ de distancia más Mil en una aplicación concreta es no eucideo (a relación de
Piigoras pura triángulos rctangulares geodésicos no es valida). El cálculo tensorial propor.
ona una herramienta natural para investigar formulaciones generas de la distancia; estudia
fo sblo meincas no cuclidcas, no también ls formas que adopta la cucidos en Sistemas
‘oordenados particulares

Los libros de cielo ofrcen con frecuencia derivaciones de fórmulas de ongitud de arco
en Coordenadas polares, que slo se aplican a es sistema coordenado. Aqui dsarollaremos
Sn método eoncko pará obtener la fórmula dela longitud de ao en todo sistema admisible
de coordenadas. La ler culmin en los últimos Capítulos con un método para distinguir
mur una metic que es genuinamente no cuides y una que es eucide pero disfrazada por
fas poculardades de un sistema coordenado particular

52. LONGITUD DE ARCO EN EL ESPACIO EUCLIDEO

Las expresiones tipicas del cálculo de longitud de arco en varios sistemas coordenados
Sonducen a una fórmula general de ipo

a
1 a Ga)

Var à

onde gy = 0,6%, e... #9 = gy son funciones de la coordenadas y L de la longitud del
A ETE

EJEMPLO 51. La formula de longitu de arc para el espacio cuido titimensonl e un sistema

NA
La fórmula del Ejemplo 5. admite la expresión diferencial
42 = x) + (EP O) dy
Más en general, (51a) es equivalente a

EJEMPLO 52, Para fiar posteriores rests, recogemos aquí las fórmulas

a = (de? + PU
Comdenads clica. (3,3, 2) = (0,2 Figaa 52
Coordenadas eras. (ox, 0) = (9.9.0 Figura 3.
A a) UN + (en PGO
Coordenadas afines. (vss Fig. 5),

day + ey?
+ 2eme dt à 208 paste?

La formula (55) se deduce en el Problema 59. Nótese que la matriz (g,) que define Ia
métrica eucide es no diagonal en coordenadas afines

Aungue ha sido formulada para el espacio eulieo, 5.1 se extenderá en la próxima soci
a distancias no cocidas

Fig. sa

53. METRICAS GENERALIZADAS; EL TENSOR METRICO

Sea 4 =(9,) un campo de matrices al que en todo sistema coordenado (x) (admis) y en
Sera región (abierta) dl espacio sata:

1 es de case C* (x dci, todas las derivadas parciales de segundo orden de las gy
15 simétrico (o ses, gy = 9).
es no singular (os, lg] 4.0)

D. La forma diferencial (5.15) y, por tant, la noción de distancia generada por $, es
invariante con respecto à cambios de coordenadas

A veces, en particular en las aplicaciones geométricas de los tensors, se supone una
propiedad más ee que la C anterior

©: $ es definida positca [es deci, gyu'd'>0 para todos los vectores no nulos

Bajo la propiedad C iy 911 das 0m 800 odos positivos. Además el campo de matrices
inverso también es definido positivo
Definamos el parámetro longitud de arco para una curva 6: XX) (a tS by:

om [Jen in

donde ¢= +16 —1 según que

ET ds dx!

® Wa

Ge du >

E funcional se lama indicador de vector (dd) relativo a la métrica (9). Naturalmene,
se pueden usar valores absolutos en vez del indicador, pero ete último resulta una notación
más conveniente en las manipulaciones algebraicas. En términos del parámetro longitad de
arco, la longitud de € es E = (6)

Derivando (Sa) y elevando al cuadrado se oben la Fórmula equivalent

CORTE

ac
Ou

a

ayos valores son independientes de la cocción del parimetro para la curva, recuperamos.
(5) como

ds = gti 6

EJEMPLO 53. Sopongamos que cn R? se define un campo de mars en (x) po

da) La propiedad A se sie l se y ois ex y para tdo 1 Como a mat) =
pad Be panda, Ya que
ale -ı Mey 90

se doce la CY Ia D ot comen de Problema 45

ASI)

Sobre a curva dada, eto se conviene en

so= [area

des postulados para lo convierten en tensor, el lamado tensor mérico ©

Las propicd
i De hecho, la propiedad D asegura que

avvi=E
es un invarlante para todo vector contravaiamte (49 = (xd), (Resolviendo una eeuacion

ant ordinai se puede exhibir la curva que Gene un vector tangente dado, Entonces,
Al vita de la propiedad B, cl criterio (4) dela Sección 42 implica:

(0) es un tensor covariate de orden 2.
En ol Problema 3.14() encontramos la cación matricial U = JOY para la transforma

cio yc un tensor covanane U de orden 2, SI (2) es un sistema rectangular y U= 8 cs

Dee Allen, enonces en (xy U = G y en (8), O = G = I; hemos probado ast

Teorema 5. La mévica g

Teorema 52. Si la matriz jacobiana de la transformación de un sistema coordenado (x) a
no rectangular (8) es = (GO), emonces la matriz G = (qu) el temor
métis eue en e sitema (x) viene dado por

7) 6n

Nota 1, La Ecuación (57) sta el siguiente resultado bien conocido de sora de matrices:
Toda matriz À siméteica, definida positiva, tene una «raz cuadrada» C no singular

Hay que instr en que sólo la méica cucidea admite una representación de la forma
(52). Porque, por su propia definición, sl € no es cucidea, mo existe ningún sitema
Soordenado (2) en el que G = 1

EJEMPLO 64. Las condenadas clinics (x) y In rectangulares (+) se relacionan mediante

wee SE EE

[93

any = began 6 y 9y =0 para (J Esos rentaos corroboran (53)

A pesar e la aparente restricción la distancia cucide, en conexión con resultados tales
como el Teorema 22, elector debe tener en cuenta que somos libres de elegir como tensor
mario para R’ cualquier g que cumpla ls propiedades A-D anteriores. Por ejemplo, puede
probare por métodos que presentaremos mis ¿la métrica leida en el Ejemplo $3
no e suchen

5.4. TENSOR METRICO CONJUGADO;
ASCENSO Y DESCENSO DE INDICES

Uno de los conceptos fundamentales del cielo tensorial reside en el «ascenso» o adescenson
de indices, St tenemos un vector contavarante dado (7) y sh por ahora (9) representa
salquer tensor Sovariante de orden 2, sabemos (Problema, 44) que el producto interno
(89 GT e un vector covariate. Ahora bien, si (7) es de hecho el tensor métrico con
que el etna una distancia para RP, resultará tien muchos contextos considerar (5)

y (7) como aspectos covariant y contravariate de un mismo objeto, Asi que escribiremos

Tren ver de 5;
y demos que el producto interno con el tensor métrico ha bajado un indice contravariant
<onviriéndolo en uno cowriante

‘Como la matriz (9) es invertible (propiedad C de la Sección 53, a relación anterior es
equivalent à

1 =o

onde (gl) = ("ahora decimos que un indice covariante ha subido a una posición

Definición 1. El inverso del campo de matics fundamental (tensor métrico)
Le = tala
se ama tensor métrico conjugado.

contravariantes (g 1) de un tensor dado. As, partiendo del tensor mixto (72),

Rage
The oT

oa = 009,7

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO GENERALIZADO

Supongamos cegida una mática g para R° y que U y V son dos vectores, Esencial a la
definición de un producto interno geométricamente signicativo UV es el hecho de que su
valor depende sólo de par de vectores U, Y, pero no del sistema coordenado particular cedo
para especificar tals vectors. (Hay ols requisitos, pero son secundarios) Esto motiva la

Definición 2. A cada par de vectores contravarantes U = (U!) y V= (1) sele asocia el
mo real

UW 29,0 UN UY 69
llamado producto interno (generlizado) de U y V
Del mismo modo, el producto interno de dos vectores covaiantes se define como
UN UY a UY 6»
Sonsistete con (58). Por tanto, tenemos la regla: Para obtener el product de dos rectores

del miso tio, se coneete uno de els al tipo apuesto y entonces se toma el producto tensorial

EL TENSOR METRICO, 6

Nota 2, Se deduce del Problema 4.5 (o más básicamente, de la propiedad D de y) que el
producto interno (53) 6 (5) es un Invariante, como destábamos,

De acuerdo con (42) el conjunto de todos los vectores contavariate de Res un espacio

vectorial, así como también el delos vectors eovarianes. Gracias à un producto interno como

{I definido antes, sos dos espacios vectores se convierten en espacion on producto interno
(generalizado).

5.6. LONGITUDES Y ANGULOS
Las expresiones (2) y (28) se extienden con facilidad a un espacio con producto interno

generalizado, supuesto que la métrica es definido posteo. La norma ( longitud) de un vector
sitio V = (1) 0 V= (Y) es el número real no negativo

¡via WF Jr 610)

Nota 3. La norma de un vector, y por ende la noción de espacio lineal normado, puede
fire en abstracto (Problema S14) sin referencia a un producto interno,

EJEMPLO 5. Probar que bajo la métrica cuides (52) en coordenadas polares, os vs
WR y= A 3584)

"ando mur, tenemos:

ball by)

Tanto I otogonalida como la normalización depende, por supuesto, slo de a métis, node
EE ángulo entre dos vectores contravorintes no nulos U y Y se define mediante

oon Y u. ssn
OTOL” Jag dU Jay i

Eve ( est Bien definido debido a la desigualdad de Cauchy-Schwars, que ama

(ase Problema 5.13.
El campo tangente a una familia de curvas es un vector contravariante (Ejemplo 34), ai
ave (5:11) leva al resultado geométrico

Teorema 5.3. En un sistema general de coordenadas, si (Uy (4 son los vectores tangentes
a dos familias de curvas, entonces dichas fas son ortogonales sy 010 1

EJEMPLO 6.6. Demosrar que toda curva del famila dada en coordenadas polares por

aa

QU! UD = (0) sex

Problemas resueltos

LONGITUD DE ARCO.

SA. Una cum

er
Do Dian (EG
na HE Een

A

Calcular la longitud de la curva

el) use

si la mática es la del plano hiprbólico (x? > 0)
a Ouen 0
er

Ya que (4 =, D, (868 nos die que (= 1)

CES dE

53. ¿Esla forma dx? + 3 de dy + 49° + de? definida positive?

METRICAS GENERALIZADAS

Hay que determinar sis polinomio Q (a) + uu! AU +) es posto sao

54. Probar que la forma (5.1) pata ta longitud de arco no depende de la parametrzación
particular escogida para Ia curra

pact donde $e on Sts > 32 a) B= O) Enon pot la eg de

ARACTER TENSORIAL DE LA METRICA

55. Hala el tensor métrico cucidco (en forma matricial) par las coordenadas esféricas
ndo el Teorema 52.

Com ls coordenadas esas) in Had a as rectangulares (2) via

oo] ae, es I

ES ee ias

GP en D EN un a

(EN sen x os) (moon? an 2 en 08) = 0

Halla ls componentes gy de tensor mérico eucideo en el sistema, de coordenadas
(6) dtd a prt elas Coordenadas rotangalaes (2) por xt = 83° = expC — 29,

longitud del

3 0, Véase Figura $4,

musa

(Coordenadas afines en R). Ebanistas que miden cora habitación notan que en una
esquina han usado un punto de referencia en el ua) los ángulos no ran corrects. Si
las medidas verdadras de lo ángulos son as dadas en la Figura 5. oe corrección
hay que hacer en la fórmula usual

Pr [Ex

dela distancia para compensar los errors?
Sa nos pie, de hecho, src= (9) en condenadas ans (x) iimensonaks, En vez

de aplar 8 Teorema 32, es más Son pora e Problema 39 que los voor Posición

Son vere contains an, en particular ls sectores unas

sobre los jes bus Fig.) Ahora podemos ua (1) de manera inves, obteniendo:

ya que obviamente, oy, = gas = 959 (kde = xl para movimiento puro al u; ee)

“Lie Es)

ASCENSO Y DESCENSO DE INDICES

5.10. Dado que (¥) es un vector contravariate en R?,hallar su vector covariate asociado
(9) en oordenadas lindricas (+) bajo la métrica sucia.

boo B e ‘|

3 Vi qu ta en fora m

Et 9-]

S11. Probar que, bajo cambios rtogonaes de coordenadas, partiendo de cualquier sistema
rectangular de coordenadas, el ascenso y descenso de indices no tiene dene dla
Sobre ls tensors, lo cuales consistente con el echo (Sección 3.0) de que ne hag
distinción entre tenores € antes y contravarants,

NORMA GENERALIZADA

5.12, Demostrar que la longitud de cualquier vector contavariante (1) es igual ala de su
asociado covariante (N)

Por defi,

y ambas longitudes son gules,

Suponiendo métrica definida positiva, probar que ls propiedades básicas dl producto
interno U-V las goza también el producto interno generalizado UV de testores

(9 UV + W = UV + UW Gropiedad darts). Consecuencia de (12

(0) U 2.0 con iguldad sólo si UO (ndo posi). Se deduce de care definido

(0) (UV? 5 (UV) (della de Cauchy Scar), Puede deducir de as tas propia:
{es omo sige SAU =D, sclaament cra SU y, a propiedad 4 Gain que el
polinomio Cdi

0) AU + vy + auva Y

se ana para à o sumo un valor ral de . Lugo el discriminante de Q no puede sr

Una norma generalizada obre un espacio vectorial es cualquier función real ÖL que
she

© SM 2 0, con igualdad söl si V = 0,

HM = ASIN:

Gi) ALU + VIS AU + HIV] (desigualdad triangular)

Verfear estas condiciones para IV] = IVE, la norma del product interno bajo una
métrica definida positiva.

103 para IV] on evident. En cuato a i Is desiguldad de Cuuchy-Schwarz

SUP + 1VE +2101 IV QUI + IVb?

ANGULO ENTRE VECTORES CONTRAVARIANTES.

En R? a famila de curvas 23 = x! € (parametrizadas por x! = 1, x? = 1-0) tiene
como sstema de vetores tangents el campo vectorial U (1. 1), constante sobre
Falls en coordenadas polares (v) la famila de trayctorias ortogonales. Interpretar
seométicamente el resultado,

Zuri: Retr ie bina cn codes rang. eo ca ls

jo La mirc) = (0) sera di o imposible. Muy a meno a complicación dela mé

Hallar la condición para que dos curvas sobr a sera de radio a san ortogonales, si
Aichas curvas vienen representadas en coordenadas séricas por

Ga: 0 = to)

5419. Probar que en cualquier sistema coordenado (x) el vector

contravariante (ocordar
Problema 3.5) V = (47) es normal à la super 2°

sie solve la superficie pue por P Abra en, Para I pao

sa.

Demostrar queen cualquier sitema coordenado (el ángulo entre las normale
supers à

alas
Sonst. y 37 const, vien dado por

(no hay suma)

ART normals respectvas a x= con. y

Pi Tana" Ji VA JP
Como consecuencia de (ls condenados denen como aqueos sonas
‘bviamente, la coordenadas rtgonaks no enn por que bet eng ona Do

Problemas suplementarios

S21. Usando la mática cues en polares, calcular la longi de arco de la cura
exc Osten

Es forma Qu, a2) = aly +0 = ut + u def pour

jan mode pei do par eu cadens an glo de PS. Cala, conte ces
decimal el efor cometido en se laos art la sana $ sadn antes, Luda Us el
Problema $9 onal cu el ne = 0, con 2 = 958")

En coordenadas crises (e) robar que os vectores ontavarines

Expres en (1) os vosorscovariamtes asociados on U y V dl Problema 525,

Aun cuendo (9) pode dee una mii no ci, proba que la norma (10) a obedece

a, Pa ml em nel

ST inion oe soordnados year ee

Referimos a los Problemas 520 531. (a) ¿Qué prope debe power tensor météo (9) en
19) para que or es coordenado Y, scan nos a la sper x com en sure no
8287) Demostar que la propiedad de () es equivalen Hf ortgonsidad mua de los

Capitulo 6

La derivada de un tensor

6.1, INCONVENIENTES DE LA DERIVACION ORDINARIA

‘Sea un tensor ontravaiante T= (7(x() definido sobre la cura € x = x(). Derivando la
ley detramlormación

con respecto at de
ar

lo cual demuestra que la derivada ordinaria de T a lo largo de la curva es un tenor
contravariane si y solos as & son funciones lineales de las

Teorema 6.1. La derivada de un tensor es un tensor si y slo si los cambios de coordenadas
se seducen ls transformaciones lineal,

EJEMPLO 6.1, Si T = u/c a campo tangent lo largo dela curva (on f= += longitud de

ser válida en coordenadas fines, pro no dein un invariate en c

62. SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL DE PRIMERA ESPECIE
Defiición y propiedades básicas

Las funciones

ras [Zov+ La - Zuo 10)

son los simbolos de Christel de primera Para simplificar la notación dede a
adoptaremos el siguiente convenio, La derivada parcial de un tensor con respecto à 7
indicará por un subindice & Anal, Ast pues

Tin + gui + Bu) Ga

EJEMPLO 6.2, Calcular os simbolos de Christof para la étude en coordenadas sr:

ohare host on

Las dos propiedades bisica delos simbolos de Christof de primera especie som
(© Tia = ln (meinen los dos primeros indices)
(todos los y son nulos si ls g on todos constants,

{Una fórmula pritica se deduce permutando los subindices en (6.16) y sumando:

La propiedad reciproca dela (i) se sigue inmeditamente de (62): en consecuencia:
Lema 62. En cualquier sistema particular de coordenadas, los símbolos de Christo sc

anulan sy sólo si el tensor métrico tene sus components constames ee ea

Ley de transformación

La ley de transformación delos Fig es deducible de la de gy Por derivación

Ke) aie, deo

Por a regla de la cadena para n/a

Recseriir la expresión con los subindies permutadosccicamente, sumar las tres expresiones
(das fechas unen pares de términos queso sanclan) y divi Por 2 ij

Por a forma de (63) es claro que el conjunto de los símbolos de Cho es un tensor
afin covariant de orden 3, pero no es un tensor general, De nuevo, a dervacion usual ta
‘era derivación parcial respeto de una coordenada, produce tan solo un tensor fin (recordar
Problema 223.

63., SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL DE-SEGUNDA ESPECIE

Definición y propiedad básicas

er 4)

son los símbolos de Chrisofel de segunda espece. Nötese que (6.4) e simplemente el resultado
de subi el terersubindice de los Cho de primera especie, si bien ahora no estamos
tratando Son un tensor

EJEMPLO 63. Cu bolos de Christo! de segunda especie para la mática ce en

Las propiedadeshisics de Iq se trasladan a Ty
D Th= T3, (éimetra en los subindices)

(5) todos 18 D, se anulan s todos los 41 son constantes,
Además, por el Problema 625, el Lema 62 es válido para los símbolos de Chrstfel de
Primera y segunda especie.

Ley de transormación

Tuer,

susttiyase Py, de (63) para concluir

CE

Como GT Tia y 9 = Stas cambiar indices resulta
La ley de transformación (65) muestra que, como (F),

Una formal importante

Véase Problema 624, Bien entendido que (66) sigue vida cuando las coordenadas con y sin
barra se intercambian

64, DERIVACIÓN COVARIANTE
La derivación parcial dela ley de transtotación

de un vector covalante T= (7) eva a

CRT
Usando I regla dela cadena en el primer término de la derecha y (66) ene segundo, llega
as ecuaciones

8)

+z(r:

que es In ly que caracteriza a un tensor covariant de orden 2, En otras palabras si ls
mponents de ¿TIEN se corrigen restando cerascombinacioneslncles de le componentes
¿el propio Y, resulta un temor (y no ya slo un tensor alla),

Defiaición 1. En cuslqie sistema coordenado (x), la derivada cosuriant respecto de x de
vn vector eovarlanie T= (7) ese sr

ioe?

Nota 1. Los dos indices covaviantes se denotan con iy para recalca el hecho de que el
segundo proviene de una operación respect dela Kóxima coordenada

Nota 2. Por el Lema 62, la derivada ovariat y la derivada parcial coinciden cuando los
ay son constantes (como ocurre en un sistema coordenado rctangula)

Un argumento análogo (Problema 6.7) para lay de vectores ontravarints conduce a:
Definición 2. En culquir sistema coordenado () la deriada covariant respeto de a de
un vector contravariante T= (7) oy el tensor

a (rer

Et kefinihön genera, cada indice covariante (ubindce) da lugar a un stérmino de
mesón» lineal de la forma del dado en la Dein 1 y cade indice coria
(Guperindce a uno del tipo que aparece en la Delia Y

Definición 3. En cualquier sistema coordenad (x) a derivada covariate con respec a à
de un tensor T= (Th) T= Oy
Tet TH ry
Tri u
Que Ta a aliment un tensor debe probar claro esti, Puede lograrse básicamente coms
en el Problema 6.8, usando el Teorema 42 inducción en el mum a

Teorema 63. La derivada covariante de un temor atico cs un tensor yo orden
ovariate supera en una unidad al del temor ungen

DERIVACIÓN ABSOLUTA A LO LARGO
DE UNA CURVA

Some (7) e un tensor, el producto interno de (7 con oro tensor es también un tenor.
rondas que el tro tensor & (dvd), el vecor tangents de la cama Y De Don

Entonces el product in

de
ri)
Sun mor del mismo tipo y orden quee (T9 original, se tensor se conoce como a dein
bolt de (T) sobre 6, con components dea pe

¡AA sn

(a Problema 612) Es claro que de muevo, en sitemas coordenados en los que o y sean
‘constants, a derivación absolut se reduce a la desración Más
La definición (6) no es arbitraria en et Problema 6.18 e demuesra

Teorema 6:4. (Unidad dela derivada absolue) El único tensor deducible de un tensor dado
(7° que coincide con la derivada ordinaria (TR) al largo de an ee
un sistema rectangular de coordenadas es la deriada abouts Genk oe
largo de sa curva

Nota 3, El Teorema 64 se rire a tensores dados en coordenadas rectangulares. Asi pues,
presupone métrica eulides (vEase Sección 3.1)

Aceleración en coordenadas generals

En coordenadas rectangulares, el vector aceleración de una paticula e la derivada en el tiempo
de su vector velocidad, 0 sea la segunda derivada respect del tiempo de su función de posición

oa) (3)

La longitud (eucidea) de ete vector en el instante £ es la ace
partials

‘Como las derivadas se toman alo largo de a trayestoria de la articula, la generalización
fa

)

a)

ln

Por tanto, en coordenadas generates, tomamos como vector aceleración y como acleación

ddd
(ae + a à)

a= a Go

a) (69)

Nötese que en (6.10) no se presupone que la métrica se definida positiva.

Curvatara en coordenadas generals

En la geometria euliea juega un papel importante la curatira de una curva €
defnida habitualmente como la segunda dervada de (x (0))

UTE

ae à

donde dside = JB (arjän Cd) de el parámero longitud de arco. La forma obvia de
extender esta noción como invariante hate rlerencia de nuevo à la derivación absoluta
Escribiendo

w

(240) (8%. 00 40) any

aa)" (ad + as as)
donde l parámetro longitud de arco s = st) vine dao por (5.6, tenemos

x = Var

CS

Una api importante de (6.12) en coordenadas cuves sl siguiente. Supongamos
{Re Damos quels curva paa as que = 0 (s dc, Is Ins weet Roi
Para métrieus defmidas positivas, ea condición equal on aa

de de

er oa

e » 6»

Las seluiones de este sitema de ccunción difrecials de segundo orden deiihn las
ode x=).

EJEMPLO 64. En coordenadas afne, donde todas as gy son constantes y ad
at se aula. la integration de (1) ne

A load de arco, gl = 1. As pues, de cada punto x = del espacio emana un

AS DE DERIVACION TENSORIAL

Es reconfortante saber que ls precedentes nociones de derivación eric (Problema 6.15)

las reglas básicas del clulo dren. Para tesoros arras Ty Sen

Reglas para la derivación covariante

suma (ESTAS.
producto externo [TS], = [EAS] 4 M
producto interno (TS), = TAS + TS,

Reglas para la derivación absolut
producto estero

producto interno

Problemas resueltos

SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL DE PRIMERA ESPECIE

612. Verificar que Fa = Pie

Demostrar que si () es una matriz diagonal, entonces para todo par de subindices
Bos y Bea enel rango 1,20

Oy Ton = 39 (00 hay suma en a)

(©) Los restante símbolos de Christof Tq son cero,

¿Es cierto que si todos los F, on nulos en alg sistema oordenado entonces el tensor
métrico tiene todas sus componentes constantes en todo sistema coordenado?

Fand par I mil es encuen rapero, micras Go Bm Ot

SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL DE SEGUNDA ESPECIE:

64. Sia) es una matiz diagonal, probar que para cualesquiera indices fijos (in suma) en

(mot)

Cr)

(@) Ambos (4) y (0! =) son diagonale, con elementos diagonales no aus. AS! pus,

o 1 (3m)

Calcular los simbolos de Christof de segunda especie para la métrico culide en
coordenadas etre, usando el Problema 64.

Sm»)

(Jie?) =}

2 (Li a=) ue
mar“

Use (6.6) para hallar la tranformacion 3xdimensional más general x! X5) de
coordenadas tal que (x) es rectangular y (X) cualquier otro sitema en el que os
Simbolos de Christof son

Thiet Th-2 The3 too retanter 0

Ya que 3 = 0, (66) e educ a un stern de ccucione nek en derivadas partes con
crane nta:

Ln

oma tm ns u = 1.2.1, nannten 0 4

E +The + Pals =
a + Tha The =0

13,0, + Ta ano

Del mio modo, encontramos para = 2 3 J = 3:

= hope (= conan)

Ahora volvemos ls ecuaciones = co a soluciones a obtenidas para ls 6

Benet Barape À

Integrando a primera dels ecuaciones (4) obtenemos
y entonces la segunda yl tercera dan

de modo quel solcón general de (D es

Las constants den (9) carecen de importancia; implemento permiten que cutqie puto
de Rsv como origen del sitema rectangular (1), Las renter coman pued der a

DERIVACION COVARIANTE

$7. Establecer el carácter tensorial de Ta (Definiiön 2), donde T es un vector conta

Probar que (Tia, definido por (67), e un tensor, usando los hechos ya demostrados
e que Ti y Ts son tensortales pra todos los Icons (79) y nn

ET

wr (¿)

Escribir la fórmula par la derivada covaciate denotada por TÉ,

Probar que el temor métis a compora cono ana conte bajo drain

Por defi, como (9) es covariant de orden 2

DERIVACION ABSOLUTA

6.12. Probar que (68) eel resultado de formar el product interno de a derivada covariante
AS) con el vector tangente (dt) de la curv,

OT) oe à

6.13. Una particule se mueve sobre el arc circular dado en coordenadas estéicas po x! = b
xia mid, x? = où (= tiempo). Gaula su aceleración usando la fórmula (6.10)
Somparar con el resultado a = ru de la mecinica elemental,

Send Is des simbolos nulos Las components de la aueació sn, por (6),
(e) em (E) mos

ll

dedo

obtenemos 0 a,
Verifcar que x" = a see x? es una geodésia para la métrica cuca en coordenadas
polares. [En coordenadas rectangulaes (x, yla curva & X= a, Una rata venia

aa
400
wae aja

LA DERIVADA DE UN TENSOR 9

+ Zeer tant) Quan (a set tant) (a 60 (0 =0

A ae

REGLAS DE DERIVACION

615, Demostra las reglas ara In deivacón covarante enunciadas en la Seción 6.6.

(6) La regla de sum + (67 linea en las componentes tensores.

ens ro)

¿rango rat rit) a

16. {Por qué no en lugar del Problema 615 eat tr: «Cada rela es una ecuación Lenora
ue és vida en coordenadas rectangulares, en ls que la destacó conan
Fed ala derivación parcial, Por tanto, cada regla es válida en oa ante Se
coordenada»?

rca onl Lg pa), me PO Sema code

duc la regla del producto extern para derivación absolta del regla correspon:
dite para derivación covariant

fa A 7 ¥0 cualquier curva y TE) y S(t) ds tesoros deis sobre la coma

3 aw

si rs!

DAD DE LA DERIVADA ABSOLUTA

Probar el Teorema 64

Depotemos por AT cual tensor que stig la hpi d teorema, La exucin

Fe m ondensds angles (yn ue en la anos miembros nie con AT

Pero eones (Sesión 43) la vación ese cn odo sn aaa Sinhdenc
ars

Problemas suplementarios

19. Hatt sou general del sima lial

Se em cedo tien!) sá condo co un sistema condenado sega

Sen la lo simbolo de Chino de primes especie pars (4) dircamene de la
ic (6)

am en as

blema 6219) para caca ls simbolos de Christof no nulos de segunda especie

y todos ls =, alar oF

¿Cul e a transormació más general de coordenadas Biimensioal i= 49) al que (£) san
Fectangulao y los simbolos de Ctl en (1) se ls dea meta en codes polars
Sen 65

Probar que ja = paa ei.
Para too tensor Y veia que (D = Ta, donde denota un producto enero inten

sare Problem 632 y 99 = 3} para ver que a derivada covaiant de ge cer,

(636. Matane métodos tensors en condenadas polares, hallar Ja curvar dl ciclo
Sila mática para) 0

ely
(a) exi la ean direc de ls gendésicas en términos de ls variables de
ws CO) y 0 0 (0) ear cas ecactonesysiniat ei pam eae oe ee

Capitulo 7

Geometria riemanniana de curvas

7.1. INTRODUCCION

En este momento introduiremos nueva terminología, procedente dela formulación general de
la geometria n-dimensional debida a Bernhard Riemann (1826-1866),

Definición 1. Un espacio de Riemann (0 riemenniano) se espacio R* con coordenadas (2),
junto con una forma, fundamental © métrica nemanwiana, qydxtds, donde
8 (m) obodeo? las condiciones A-D dela Sección 5.3

‘Asi pues, en nuetro tratamiento preliminar de ángulos tangente; normales y curvas geod
ds en os Capítulos 3.3 6 3a nos hemos introducido en la geometria remanniana, sl bien
a sistemas de coordenadas tridimensionales familiares y à una métrica (cucios)
‘ositva, Este capitulo sesenta en la tora de curvas en un espacio de Riemann con

mática indefinida. También tata las godésics desde un punto de vita diferente

LONGITUDES Y ANGULOS EN UNA
METRICA INDEFINIDA

Las fórmulas ($10) y (5.11) deben ser generalizadas para permitir cambios de signo en la
forma fundamenta

Definición 2, La norma de un vector (covariate o contavarint) arbitrario V es
Vie vin JP ema)
donde e( ) es la función indcarz (Sección $3)
Bajo es definición IVI 2 0, pero es posible que IV] = 0 para V # 0; tal vector se dirá wector
alo, Además, la desigualdad wiangular no se cumple necesariamente para esa norma (vnse
Problema 73).

SVG) es el campo tangente ala curva x! = 6) (a 51 SD) entonces la fórmula (5.12)
para la longitud puedo escribis como

VO de
El ángulo entre vectores contravarianes no nulos se define todavia por (5.11) supuesto
que se maneje la nueva norma:

uv wv!
cos = =
UL IVE Jas ur Jizan,

onde e = AU)» 6, = (Y) Debio al carctr indenido de la métrica, hay que
dos posibilidades enla aplicación de (72)

{Cue 1; JUVIS LUI EVI (a desigualdad de Cauchy Schwarz es válida para U y Y)
Entonces 0 un número real univocament deerminad en el merca pe]

ao 2. IUVI> LUI NVI da Cavey Schwarz no es válida). Entones (72) adopta la
forma

llos u inniad de soluciones 0, todas cls compleja. Por conveni, sempre
Siren la solución

finas RT
desimr+ ED &

ue tiene el comportamiento adecuado en el limite +1 6 ko» 1

EJEMPLO 74. En los pute de iind, al Is agus entre ls curas (sda, entre

(Eas Ja met de Raid Espe con x= (cad de a I) ep)
Jas cunas se coran en Jos pion PU 8.81) 3 QU 0, 1) ER os dos

Up = (= (1,00, 204 (1,0,0,2)

100) 4100 + 10,0) - 126

VADO VO 2 10) To}

Y Op LS + [EFT =e

73. CURVAS NULAS

Sino se exi que g sa definida posta, una curva puede tener longitu nul,

EJEMPLO 7.2. En Rt, bajo la métrica del Ejemplo 7.1 conside la curva

Una curva es nula si ella o algún subarco suyo tien longitud nula, Aquí entendemos un

subareo no til, es decir, que consiste de más de un punto y corresponde a un intervalo
‘Sts. donde € = d. Una curva es nula en un puno para algú valor del parámato te

of tangente es un vector nulo, o ea
de de

va”

El conjunto de valores det en que In curva es nula se lama el confuno mul de a curva

Bo las anteriores definiciones, una curva puede se nula sin que su longitud sea coro (si
tiene un subaroo de longitud cero) pero una curva de longitud cero es necesariamente nl
fen todos sus puntos, y por tanto es una curva mula. El Ejemplo 72 da una curva as.

wt Tay (St =a DT ==

La interpretación en coordenadas rectangulares (x, 4) e sorprendente: ‘Mientras una pat
Inexistenia de un parámoto ongiud de arco

Para una métrica definida positiva, l parimetro longitud de arcos está bien definido por (54)
‘como función creciente del parámetro del curva. (También 1 es [unción crecen des) Este

100 ‘OFOMETRIA RIEMANSIANA DE CURVAS

de nos permiapasarlibrement de una paramctiaión a otra en os problemas reacts
del Capul 6. Sin embargo, es claro que sobre un Sara nula qe na a us

Li <E< a de puntos nulos s Imposible dell y
Brg, ct puntos alados de nulidad plante problemas analios Porque 4

(1) =0, enlonce a regla de la cado

dax 1 a

eae

tie acest de 1» Cando se noo, ear et iaa restingendo
Muestra atención curvas regulares

Petición 3. Una curvas lama regula in tine puntos mos (o e, sd > 0)

serge me gue odas nues curvas son de cae de rend ta ata como
Goes cara hee de atra considerada; en ms eso Pme
que las curvas sean de clase C2,

74, CURVAS REGULARES:
VECTOR TANGENTE UNITARIO

TEE EE = 00 dad cn parimeto longi de aco. Se campo tangent
ST = (dds). Por dein de lngitud de ara

= [ira du

É ge lts 1 = ITI. de modo que in longi unidad en od punta de y
tala e reo o 6 poble past al pare podios pd y
normalizando el vector tangente U = (a

En el Problema 7.20 e prueba el il resultado siguiente

Frerena 7. La derivada abolta STs del vector tangeme unitario Ts ortogonal Y

FURVAS REGULARES: NORMAL PRINCIPAL UNITARIA
Y CURVATURA

ae punt daa’ ¿a iva regula € oy un vector otogonal a vor ange,
como sung de dos maneras: () como ef nomalzdo de PE ani
Dan a Ene, sor diable nite orogonl a Ty propues
qu la mer, di es loa! yw apc à na ns ua uae
que la primera

Definición analtica (ca

En cualquier punto de € en el cual [STs #0 definimos la normal principal unitaria

sr jor

La curvatura absoluta eso actor de escala en (7.5)

Jon [„ rar

NE

Esta noción de curvatura se introdujo en (6.2)

El nombre de «curvatura» recuerda el Recho de que en coordenadas rectangulares
Ts] = AT ds mide la razón de cambio del vector tangeme respecto de la distancia, 0 Sa
cuán bruscamente € «se tuerce» en cada punto, Susttuyendo (7%) en (7.5) se Mega a las
ccuaciones de Frint

Si bien ste método es simple y conciso, no se aplica a muchas curvas importantes. As
vna geodésic, defn por (613), no poses una normal local No en todo punto. Inciso si
Sólo hay un punto de curatura ero y la métrica es cuidas, No puedo ter ali un punto
Sci de dhsomtinudad

EJEMPLO 7.4. La ibn =» tne un punto einen cn lorie, sc += 0 (por convenio)

Ba

Definición somática (loba)
Una normal principal unitaria a una curva regular 4 es cualquier vector contravariante
NE (NG) tl que, a lo largo de €

A. Nes continuamente derivable (ase C") para cada
BL INI=I

©. N es ortogonal al vector tangente unitario T y es múltiplo escalar de BTSs siempre
que TJ 20.

Bajo esta perspectiva, I curwutura se define como.

Sila métrica es definida positiva, La cevación de Frenet

or
x

es válida sin restrición sobre la curva (vns Problema 7.13,

EJEMPLO 7... Para la curva del Ejemplo 74 ls condiciones A, B, €, pemien dos paies

Sobre curvas que tengan en todos sus puntos Ts no aula, o bien H = No Gon x = 1) 0
Nm Ne (con x= xo. Ad pues, el concepto global se apa 4 todas las curvas que ya
cubria la noción local, y además a tod curva plan regular (esse Problema 7.14) y tod
‘urva analitica (curvas para las cuales ls xn expresables como seis de Taylor convergen
sun)

7.6. LAS GEODESICAS COMO ARCOS MAS CORTOS

‘Cuando la mática es definida positiva, una geodésica puede definise por la condiciones (613)
de curvatura cero, o equivalentemenie por la condición de que para cualquier par de sur
puntos suficientemente próximos entre ss longitud entre ambos puntos es mínima entr as
fe todos los arcos que unen ese par de puntos

Fl resultado de minima longitud teguire un argumento variacioal, Necstamos suponer
que todas las curvas bajo consideración son de clase C* to es, las funciones parametricas
¿ue las representa tenen segundas derivadas continu). Sea x= x.) una curva de minima.
Tongitud (gcodisica) que pase por A = (0) y B = (x (), donde $ —a estan poqueño como
se desee. Sumergimos la geodésica en una familia uniparamétrica de curvas C* que pasan por

Kerl Er

donde tos factors 4/0) son funciones arbitrarias dos veces derivabes. La longitud de una
una de esa familia viene dada por

[nena

‘con = 1 para una métrica demida positiva, Como X'( 0) = x) (= 1,2, la fonción
Zu) debe tener un mínimo local en u =. Técnicas estindar de clculo dan la siguente
expresión para la condición neomaria (0) = 0:

7)]coe-orou-o om

Y dd a
aaa

de

dx dx

wane 0) = 9 om

ad ae
Puesto que (= a) (b~ ) > Den (a,b) y ls 65) pueden cine Hbremente, In expresión entre

corchetes en (7.10) ha de anulare idénticamente en (m By para k=l, 2 eto lleva a
(Problema 721)

dx dst _ 1 dw dx!

Pad wd ham Fr

El sistema (7.12), con w definido por (7.11) da las ecuaciones dierenciles para ls
seodéscas del espacio de Riemann en términos del parimetro ı arbitrio de la sure

104 OEOMETRIA RIEMANNIANA DE CURVAS

arcana que css geodésicas sean curvas regulares, podemos tomar ¢ =» = ong de

(2) (2) -0 a

de modo que (7.12) se convierte en

Pe dés

CET EU

ue cs precisamente (613)
Jia du istic en que 10) = 0 cs sólo condición necesaria para longitud minima, de
modo que las geodtscas se encuentran entre las soluciones de GIA ng

Consideremos e cso de métricas indeinidas y curas de cas €* que pueden tener uno o
Ts tg lo, Como en un punto malo» 0 en (1.1) sora abet El
red de ser derivable en tal punto. Anilog al método de causa a, PUES
las condiciones más generals para ls goede

PE, q de u, 15 21
DR en 19

Ana = U°= (ix) sel campo vectorial tangente. Por las propiedades dela derivación
absoluta,
dea s su

E MU = urn

1.16 largo de una curva solución de (7.19) ue st. sobre la curva, Ya que la curva
dE jm punto nulo al menos w = 0 en todos los puntos, luego la eur eure du Eure
San lama geodisiea mul. En resumen, el siguiente sitema de nt | semana a
ordinarias clas funciones incógnitas x) determinará las goods nal

Be dde

ae On a

de a
EJEMPLO 7.8. Sits sn rats, 7.15 ee a sol nr! que an epee

mera

Problemas resueltos

LONGITUD EN ESPACIOS DE RIEMANN

7... Determinar la indicatriz del vector tangente U ala curva

(oo 2 4 00) la forma fundamental es

(0) Gx)? EPA + PGO O aa

0) de? +202) +360)?

©) RRA A =

wel;
ie

6) HU) = +1, porque I forms ex dfnida posi,

7.2. Probar que la siguente matiz define una métrica riemanniana sobre R

D: Extender la matiz un tensor g sand la ye de transformación teorias para dei
led rios dls 9 Elo comerla from dre BRU por ee

Hallar el somjanto nulo de la cura € x? = (+) (ui > 0) con la métrica del
Problema 72.

“en al, JE a ere

picular la longitud de arco de la curva € del Problema 73 desde x" =0 hasta
vel

TS. Sea 9 = det G el determinante de una mática riemamiana. Probar quel ex fonción
derivable delas coordenadas

76. Demostrar que enla mética ed (ut) — (ds)? — (4)? — (dx) (otra version de
la métrica de la Relatividad especial, la uri

TT CE

wae (00) (ary _ (ue)
Host = sn) = D

PTE im?

78 Comprobar que los vetores del Problema 7.7 no obedecen la desigualdad triangular

PARAMETRO LONGITUD DE ARCO, VECTOR TANGENTE UNITARIO.

79. Sea 6: x = #0) cualquier curva no nula. (a) Probar que la longitud de arco sobre €
viene definida como una función estrictamente creciente det. () Dar en parámetro
Tongitd de aro,

10900)

sola = 00): Entonces € admite la param LL ment ct
740. (a) En coordenadas rectangulares (x, x), pero adoptando la métrica dl Problema 7
Pallar Jos puntos los de la parábola x= a, ts (era Da Po 27.
& parámetro longitud de aro en € da una parametrizacón mision or QUe
{ep en los puntos nulo. (e) Calcular la longitud de y

An ()-(

j \ i" [va Au

tuna

lo mino ocur pars hs sana SP u

7. Callar la Lord de ar de a misma curva € de Problema 7.10, pero en a mir
uen usual de? = (de) + (de)

Aor (5)

Mediame la parametrzaión en longitud de arco hallada para la curva % en el
Problema 710(), calcular las componentes 1") del vector tangentey comprobar que
este vector tiene longitud unidad para todo s 1/6

Tenemos (1) = (7, 290), donde 0= 9) esla función denia por (1) en e Probl
van 7100), Por vane

(6 sesh tv

NORMAL PRINCIPAL UNITARIA; CURVATURA

713. Probar que la ecuación de Frénet (7.9) es válida en todo punto de una curva regular
cuando la métrica & definida posit

En un punto en el cual ASS] 0, enemos (or la propiedad € de N)

FE un punto donde [ST] =D, ambos A 0 porque la mca es defnid pst) y

Para cualquier curva regula bidimensional: x! = xs), definamos el vector contra:

N=) = TJ, TV 010

donde T = (T') es el vector tangente unitario lo largo de % y y = det (9). Probar
que N es una normal unitaria global para €

(TT. + cr

Determinar la normal local No para la curva yla mática del Problema
arm

2.10 y, usando
lema 7.14, una normal global N. Comprobar que ambas est relaciona
odo apropiado.

JEU 9-4, — 6-20 0690)
EPA

Y. [arar e
(ln
asp. nn PT Ka = 607,40 — ét 69
lol YG Pta y
Con 9= =, Problems 7.14 a (4 1/65

ema

end
enr fe

Us D LH

ar,

Bajo la métrica de la Relaividad especial (Ejemplo 7.1), una curva regular € viene
dada por

para 0555. (a) Verificar que s esla longitud de arco para € y probar que la
Berta absoluta, ST/As, de Tes un vector nulo en todo punto de la Cura (pr tanto,
fn ningún punto de # ext defmida una norma principal local No). Constrir una
Sormat principal global para € de forma tal que la correspondiente unción de
Crvatra sea no nula, Hay más de una fención de curvatura posible?

mei de Gta on ao y al

ard Él

mac)

Refeimos a los Problemas 7.0 y 7.5. Calcular Las funciones de curvatura xy y x Y
cut la variación de x sobre el arco parabólico O'S 5 1/3

78 Ded, para cualquier curva regular bidimensional, Srmula para a curvatra
absolu

“|
(©) Use (7.17) para comprobar el Problema 7.7.
(@) Por (7) y ls oseracions hechas tus el Ejemplo 75,

Msn)

ddl ar BEY

Hon de 0) = VTT (4 14) y de ls componentes de vor ungene

DORE arm
op" a

Calcular la curvatura absoluta de la curva logarítmica €: x
HE re ui la métrica romania es

tea tnt, para

dt = (ast? — (ey

Demostrar el Teorema 71
TR = are os TT
onde la indica constant, = 1 sobre curva. Por la regla de producto interno para

an absolut, Ibid Chona de que la derivada sboluta de un arte & su
‘ada ordinan,

Tr Tent dao mm

GEODESICAS
721. Demostrar (7.12,

Mera reglas dl produto yde aden, In eprsón de a ercha puede serie como

rn (U) Een ER

“a à “a à

722. En un espacio riemanniano de dos dimensiones con forma fundamental (de)?

("LA determinar (a) as geodésicas regulates, (0) ls podes wag

12.

cal sn Par a longitud de arco, que en coordenadas xicas bao a mática
A? = GP ER + Ot sen ay

Stage curva de la forma 6: x! =a set, x? = pb, x

una geodésica. (Se ve fácilmente que € es una linea recta) ‘

Men Seep stains (1.12) Los símbolos de Cho, pra cord,
est sn (rom 37 bo

aa) (a) cm

Case an D à (me (DE + Om 8 act

ey

1 M CA

de ay 7

AA

sory, de

Problemas suplementarios

Detemina india U) ai (LD (2, =, 1) panto (+) = (A, =, a mi

eran

Hata Jo putos nos dela curva = 1,0 = (se, a mére os
Hata los puntos nos del ura € = 2 4 1, 2 A, 200, 8 mé es

aa UR (a
Calcula la ongit de arco dela crea del Problem

O

cada uno de sus puntos de interacción, sa forma fundamentale (bs)? — x= 9.

Comento à 1 =1. (0) Probar que las 26) son inaiament detatles expo en los
pnts aus
Calcular longitud de arco dela curva del Problema 730, per con I métrica cuida

Hala Y = Gx) pai de la paramerizción en longitud de aro obtenida en a Probe

Usar la fórmula del Problema 7165) pars onfrmar el valor dex alado eel Problem 734.

Capitulo 8

Curvatura de Riemann

81. EL TENSOR DE RIEMANN

El tensor de Riemann surge del anis de una cunión muy sencilla, Partiendo de un vector
ovariante (4) y tomando su derivada covariant respecto de x} y después respect de x se
lega al tensor de orden 3
Men
importa e orden de derivación 0 es Ya = Vay sempn
Peas bien conocidas en anal bastan para garantizar que las derivadas parciales de
segundo orden scan independientes de orden,

pero debido a fa presencia de los simbolos de Christof, als hipótesis no sirven ya para la
mación covariate La siguiente fórmula se verá en el Problema 8.

Ru on
Tr Tar 62

El Teorema de cocent (forma covariate) implica de inmediato

Teorema 8... Las n* cantidades definids por (82) son las componentes de un tensor de
Orden 4, Econtravarame y covariant

ama tensor de Riemann (o Riemam-Chrisofe de segunda especie, al bajar el
avant se obtine

Rags = Buß 6»
VE respuesta a muestra cuestin inicial, ya podemos decir que In derivación covarante es
depends del orden except si la metic es tal que el tensor de Riemann (de una u otra
82. PROPIEDADES DEL TENSOR DE RIEMANN

Des fórmulas importantes

El tensor de Riemann de primera especie puede introducirse independientemente vi a
Siguiente fórmula (use Problema 8.4)

ar
FA ara

De (4) se deduce que
1( ton, an Pon Egg

Ro Tal (65

EJEMPLO 8.1. Calar las componentes Ry del tensor de Riemann para la métrica dl Pro

tt OP ET

Los Christof no malos son Th = (1-1 y Pay = gala = (2). Los tómninos en derivadas
Ils en (8) s anula salvo si Tos ls nom dan 2 ta yo Co odos os, devas
¿Alogamente, ls términos et los Christa ose alan se Calan Coon san.

Propiedades de sit

Intercambiando ky en (82) vemos que Ry = — Ra. de donde Rigs = Rn, Esta y otras
dos simetras son files de demostrar ahora la identidad (primera) de Blanche dee
fn el Capitulo 9

primera antsimetria Rigs = Ry
Segunda amisimetría Re = Ko
Simetria de pares. Rs = Ra

deta de Bianchi Rous Rao + Ron = 0

Nümero de components independientes

ontaremos los tipos de componentes potencialmente no nuls por separado, recurriendo a
[RL Propiedad: de seta precedente: Las do primeras propiedades mplcan ae hes à
Rac (in sumar en a 0 c) son cro, En a siguiente lita convenimos en o sumar un aie,
repels.

(A) Tipo Ras a <biny= Cm

B) Tipo Ra B <6: my = 3 Cy nln 1) (22

© Tipe Rag 0 Reno a CB <e <d para el tipo Ruy, usarla identidad de Bianchi

EA

En (A) el cómputo es el de combinaciones de y números tomados de dos en dos (a y.

En (B) se asocian ls cadenas de indice entre grupos (con .Ch en Cada grupo) sen ace

acb<e beace becca
ada subio de (C) line tantos elementos como combinaciones de n números tomados de

cuatro en cuatro (a ey d>
Reuniendo 1 y nc probamos:

Teorena 82. Hay wn otal de #9 — 1/12 componentes da tensor de Riemann (Ry) que
on no idénticamente nulas y que son ademis independientes de wc?

Coolaro 8.3. En un espacio de Riemann de dos dimensiones, las únicas componentes
1 denucimente nuas del tenor de Riemann son Rs = Raros = Rizo
pes
EJEMPLO 8.2, Para lu métrica de condenadas src
uma y cc las componentes no nulas Ry a hay
Por Teor 82, om n=, lay a componetes potencialmente no mulas:

(O Ras Ron Rosh Ao Ra
Ya que Ryu GR (ensor méxico diagonal; no bay sums) podemos en su lugar caca ls

ut sens? conn? +x sen co + (co) en

Por tato Ry 0 par odo 1.

83. CURVATURA DE RIEMANN

La curvatura riemamiana (o seccional) relativa a una métrica (g,) dada se define para cada
pur de velres (conravariantes) U= (U), V = (4) como

RU VU

e AA en
„onen ve = Ines Drie

Esta curvatura depende no sólo de la posición, sino del par de dreciones slecionadas en

da punto on vetoes U y V) En contrast, la curvatura x de una curva depende sólo del

Punto de a curva, Aunque sria‘deseable que K dependera so de ls puntos del espacio, e
Cipla > i ! 7 !

EJEMPLO 83. I numerador de (57) univariate porque (Rp) © un tensor. En cuanto a

Gonna Va Vo) Wiad = a Va) Va Yo? en

EJEMPLO 8.4. Evaluar la curvatura remsmniana a cualquier punto () del espacio de Rann eo

Según el Problem 64, los Christo o nos on:

ns CURVATURA DE RIEMAWN

Observaciones sobre Ia fórmula de curvatura
1. Sin=2, (8.7 se reduce a

Rive. Riau

x sin

Cine Problema 87), As pues, en un punto dado de espacio bidimensional roman
dino cute viene determinada por ls 9 y is doradas y man
de as direcciones U y Y

La extensión de (8.10) pra cubrir términos de tipo C es como sige
Ra F2 E, Ru Mac +2 Rasa Hans Ha) #2 E Reg Ma)

Cua +2 E, Gli +2 E Ga Wa Wa 42 Y Cols Wang

(ase Problema 8).

IML SAGs pers finement idependientes U y Y se susttuyen por combinaciones
‘Says inalmente independientes, la curvatura no se ve eas PO,

KG AU 4 WW, HUHN) = Kl U, Y) e
ions Y SR m Puno dado xa ratura tne un lor, no para cade pa de

‘estore UV, sno paa cada subopaco bidimensional po) as a ft d

Puntos isotrópicos

Felon nd Riemann en xno cambia con a ota de un 2pano que pase por
% tones x se dice que cs un punto ris Por GIN On de

Free #4. Todos os putos e un paco remansianobiimensonl sn ip

Vo o na rta meta) podr produc puntos tópicos en e,
MR e ects. En ect, como se must el Problema 18 RSS En
hiperbólca es Isotrópico en todo punt,

84. EL E RICCI

zi ren anki alter de Rc! de primer espec importante en Relié
ue se define como contracción del de Riemann de segunda pi

ork _ ary

Ry = a

UD

Subiendo un indice se btene el tensor de Riel de segunda espece

LEP

Lema 85. Sea À = [a)(X) una matiz no singular de funciones de varias variables, con
inversa 2 olla. Entonces

la definición (8.14) puede respresaso en una forma (Problema 8.14) que hace patente I

Ram soa On Ji

ÿ Var + rer,

Aquí, como siempre, = det 6.

Teorema 8.6. El tensor de Ric es simétrico
Después de subir un subindice para definir el tensor de Ricci de segunda especie

Ry=g"R,, y a contimación contraer el restante par de indices resulta el importante

invariate/R à R} que se conoce como curvtara de Kl (o escalar). Por (816),

CE nio ni) + Tar,

EL TENSOR DE RIEMANN
Bl Probar (8.1)

em (Detar I derivación y guitar pants

(anar

Probar que en cualquier punto en el que los simbolos de Christo se anulen,

Riu + Ry + Ra = 0

En ee caso la expresión para Rly se du a aT! The! Por ano

Ya que todos ls términos se cancun, I clan deseada queda 4

Probar que para un

(La formula general,

Era

que se aribuye a Ricci, se establece andlogamente)
El método dist seria muy tios; en su gar, veamosprimero que

RuTg=0
PROPIEDADES DEL TENSOR DE RIEMANN

Por dein,

ae Ta

Probar la propidad de antsimtra, Ru

Enumerar ls componentes independientes potencialmente no nulas de Ry para n
y verificar la fórmula del Teorema $2 en st caso.

CURVATURA DE RIEMANN
87. Probar (6.1).

UWE Ra UPON (IP Ron
PROP GO FPF OPUS DV)” Go

88. Calcular K para a métrica remanniana ols? = (+!) ds")? — (4 4), wsand

Deduci la forma (8.12) de la ecuación de curvatura

SEs Comps Ray erin arn en e m

WELL.

de manera que la cantidad (a — vn? sale om factor común de ds os mins en (812)
pore ar UW. o) quedando Kix: UV

Halla os puntos de isotropia en el espacio riemanniano R? con métrica

Lame o 6#n

y calcular en css puntos la curvatura K

Seguimos el Ejemplo 84. Por el Problems 64 os Cristo no nulos son

CET EEE
EP + nn D ns = 6 Wins

Ts HOPE Ma ET

den Mbs + GR à Ms

Ma HICE

SI ha de ser independiente dels Ms (que
Jas eves la curvatura toma el valor = ft I
Probar que todo punto de R? es isotrópic para la métrica

A = dN? + Ade) A

orl Ejemplo 83,
A) Gia

un conjunto iso de Gy, Las fórmulas (8.10) 6 (12) dan ahora
Ran Wann + Rıza Wa + Ran Wan [CE OP + Wis + Wan)
ana ans Gamo € Go Mo (OT Oo + Wana Ma)

EL TENSOR DE RICCI
8.13. Para la métca del Ejemplo 84, calcular () Ry (6) R (0) R
CET lay dl echo de er au = para js save que

an Laa] (Ca)

814. Deducir (81) de (14)

La fórmula (81) contiene dos sumatorio ela forma Ti. Por (6) y (610)

onde hemos vlizado el Lema E enel timo paso. Ahora ssitimos en (10;

anon | 1 VD.)
a Or) + ru

Problemas suplementarios

ares ala de un temor T= (7}:) definido sobre una 2vaidad
‘ines como

=)

ya: Dear el miembro e la iquieda y sar Problema 8.16)
Lynda: Bajar los super y usar el Problema 83]

Ver as propio desir (86) ara ls Gas (87 par las Wy ae (9)
Doducir 8.9) de (Lara: Convene adoptar la notación gy para aye]

Callar acurvatrnsemannina K par amines? = (E? = 2d

Deteminar K para ete R no ccoo

3 = 0 paca sii rms explícitas par () KL, 0). (0) A

Demosrar que en un espacio Biimensonal de Riemann [ara el que 11) es vid: ()
ETS

(rains pers le mie eats de Proms BD Se

Capitulo 9

Espacios de curvatura constante;
coordenadas normales

9.1. CURVATURA CERO Y METRICA EUCLIDEA

En los capitulos precedentes ha quedado sin respuesta una cuestin fundamental: ¿Cómo se
puede sabe si una mática dada sobre R*oscucidos o no? Para deja claro lo que entendemos
Por aeuciden, hagamos la siguiente definición formal

Defiición 1. Una métrica riemannlana g = (a), especificada en un sistema coordenado (x)
«3 la métrica encia si bajo alguna transformación admisible de coordenadas
6.),8= 6).

[Ahora bien, un sistema coordenado (£) en el cul y= de (por la Definición 3.1) un sistema
Fectampala: Asi que nuestra cuestión pasa a se Un espacio riemannlano dado, ¿adm
Svordenadas rectangulares © no?

"Supongamos que admita un sistema rectangular (2). Entonces K = 0, puesto que todos
los Christo se anulan en (8). Y como la cuvatura riemanniana es invariants, K = Den el
sitema orignal (X). Además, por invarianca,

uv 00120

Asi pues, la condición necesaria el siguiente teorema e inmediata

Teorema 9... Una métrica (9) es la mérica eulidcasiy sólo si la curvatura remanniana
Kies cero a puntos yla métrica es defmida positiva.

Para probarla suficiencia, plancaremos un sistema de couaciones en derivadas parciales
de prime orden para coordenadas rectangulares como funciones dels coordenadas dadas
Km 1,2, A) El sitema que inmodiatamento viene ala mente (Teorema 5.2) es 6 = JJ,

a) en

Pero (91) es generalmente intratable debido a ser no lineal. En su lugar sleccionamos
Sistema lince que resulta al intercambiar en (66) ls coordenadas con y sin Parra e igual
después a cero los Ty

TE

Llamando w = 3, y u = 28/0! se obtiene el descado sistema de primer orden

o 03)
A
EJEMPLO 93, En ls obs 979 98 e deme

Es obiamente defida posi, y como el nico simbolo de Chis no lo ex P= a ene
Ria 0= K. Es posite resolve disctament 0.) para lt corporate ans ona
y Comprobarentonees que la sl oh onenida En a sli nl

on 08

que permite expresas tes de as en términos de una cuarta, digamos f

ERFREUT Feuer)

Tat como se anunció (5) inc (8.

Para su uso posterior, enunciames sin demostración el siguiente deorema de compatibilidad
para sistemas quasiineaes [que engloban à Io sstemas nee tales como (23)

Teorema 9.2. EI sistema quaslnel de primer orden

DE Fee ta os te AO

donde las funcions Fy, son de clase C*, tiene una solución no trivial a,
“acotada en alguna region de RY iy solo Si

EA

La suma de y va de 0 à m]

ESPACIOS RIEMANNIANOS PLANOS

espacio de Riemann, o su mética, se llama plano si hay una transformación de
enadas x= 60) que leva la métrica al forma’ canónica

eds eN ER + Y on

donde à = 41 para cada i, Esta condición generaliza el concepto de métrica cuides, La
esencia eenchl enre ambos conceptos gta en torno al carácter deitivo positivo; el
análogo del Teorema 9.1 sin imponer tal caricer es

Teorema 9.3. Un espacio riemanniano es plano si y sólo si K = 0 en todos sus puntos.
Corolaio 94, Si K = 0, entonces R = 0.
Demosracón. Si K = 0, el Teorema 93 afirma que el espacio es plano, lego

constants en algún sistema soordenado (+). Se sige que todos los Fis Py Ran i
Son cero. En comecuenca, R= A= 0, y como la curvatura de Riel es invariants, R

Nota 1. EI Problema 8.35 enseña que el inverso del Corolario 94 no es cet,

EJEMPLO 82. Coniermos la mit iemasiana

fa NRP APO — AG

(©) Usando el Problema 64, vemos qu los Christal no alos son

Par os simbolos de Christ ants callados

WE ne

quese satan of = e on. Por consiguen,

¡usemos especializa las constante de modo que ley covariate G = J*G), con core.

En conexión con (94) existe un interesante teorema (a ley de inercia de Sylvester)
Deinamos como signatura de una métrica plan (9) el tulo ordenado,

nn
«onsútsido por los signos de los cosfiientes en la forma canónica (o se, los signos de

Teorema 93. La signatura de una métrica plan est univocamente determinada, salvo orde,

93. COORDENADAS NORMALES

Es posible introducir en los espacios de Riemann coordenadas locales quasiectngulares cuyo
lia en gran media las demostraciones de ciertas identidades tensorils om
pliadas

Ses O un punto arbitrario de R" y p = (una dirección arbitraria (vector unitario) en 0.
supuesta una métrica definida posta, Sonsideremos las ecusciones diferenciales de las wood

Be, dae

CALE EN

véase (13) Junto con ls condiciones iniciales

&|
=

#

Elegimos aquí el parámetro longitud de arco de manera que sea s= 0 en 0.

Nota 2. Bajo una métrica indefinido, podrían existir direcciones en O en las que la longitud
A areo no padiera definir véme, por ejemplo. el Problema 7.22. No habra, en

tai cas, poxibildad de satisacor 0.6) con (p) arbitra

Puede probarse que para us p dado, el sistema (9.9-0.9 tiene solución nica: además, para
po P en un coro A” de O hay una única elección de la direción de p en O al

Ho ESPACIOS DE CURVATURA CONSTANTE: COORDENADAS NORMALES

que la curva x! = xi) solución (una geodésica) pase por P. De acuerdo con esto, para ca
Pen a, tomamos como coordenadas de P

onde esla distancia de O a P alo lago de In geodésica. Los números (y) seaman las
coordenadas normales (0 geodésicos o riemannians) de P

EJEMPLO 93, Probar que sl métis d = g/d! para Rs cud y ext un punto O cn
¿omo qua = Den el punto O, Is vetoes T= (N/a 0) y S = (0 14/95) son ortonormals en
aa Ty 8 (Fig 91) Y or so cuco, la ia ends que cone ee

Den

liters de la coordenadas normales radica en el siguiente tcorema (Problema 9.10).

Teorema 94, Si el tensor métrico (9) es definido positivo, entonces en el origen de un
Sistema de coordenadas normales (y) todas las Aulöy SPIRIT a To sen

Nola 3. Recordemos que ni las derivadas parciales del tensormétrco ni los simbolos de
CChristofel son tensoriaes. As pues, us () representacion pueden ba non 05

sin srl sus (Hreprsentaciones. Por ejemplo, como la transformación entre (+)
EC) ene = J'en 0, (6) de

ra)

EI miembro de la derscha no es cero en general, a menos que la transformación de
coordenadas sc lineal

EJEMPLO 9.4. Probar la primer emda de Bia, Ru + Ray + Ran
ares 9.6 pla que en, ng de as coordenadas nals

EJEMPLO 9.5, Probar la segundo drid de Bach

94, EL TEOREMA DE SCHUR

Vimos en el Capitulo 8 que aunque todo punto de un spacio bidimensional de Riemann es
de wre, la curvatura (> Real) puedo variar de un punto de istropia a otro. Sin
arto ls problemas 8.1, 8.13. 628 y 829 sugiren que en R° prevalece otra situación
dede: Para demontrar el corema general, conocido como teorema de Sch, es precio
Sstableccr un resultado preliminar generalización de (8.11).

‘ema 97. En un punto de oropis de RY, la cuvatraremannana viene dada por

Raw ag

para cualquier cadena de subindices tal que Gane # 0. (Si Gayg 0, entonces
Ra = 0 tambien)

Para su demostración, vase Problems 9.8

Teorema 98 (Teorema de Schar). Si todos los puntos de un entorno en un Riemann,
0 son de iotropa y n > 3, emonces K es constante oy soc cm,

Véase el Problema 9.14 para su demostración,

95. EL TENSOR DE EINSTEIN

Ben Einstein se define en términos del tensor de Ricci y de a curvatura ivarante
R (ecciôn 8.4).

2-3 00)
25k

Es claro que (0) es de hecho un tensor mixto de orden 2.
Amo generalización dicta de la noción dela divergencia de un campo vectorial V = (4)
relativo a coordenadas rectangulares (2),

deinamos la disrgencia de tensor general T 157%) con respecto a su fésimo indico
‘ontravaiante como el temor y

av T= (Ty om

En el Problema 9.15 e prueba,

Teorema 99. Para cualquier métrica riemanniana, la divergencia de tensor de Einstein co
cero en todos los puntos

Problemas resueltos

CURVATURA CERO Y METRICA EUCLIDEA

94. Comprobar si se cumplen las condiciones de compatibilidad (Teorema 92) para el

Probar que, con la mática de = [6 (OPI + 160? + (OPIO + ley
Res cuco,

Para el espacio eucldeo del Problema 9.2
coordenado dado (x) uno rectangular (2),

Bonde

M =

ESPACIOS DE RIEMANN PLANOS

Determinar sil siguiente métrica es plana y/o cule
cds? ER (=)

re tt elena 64 nos a qe Ria 20, ego dl opaco Bano

Demostrar que sil tensor métrico es constant, el espacio e plano yla transformación
de coordensdas À = Ar donde es una matriz de rango n de vectores propios de
En). dagonalza a métrica (es dei, dy = din)

Puesto q todas ls derivadas paris de y son co, todos los Crisol se alan, y

Halla la signatura dela métic plana

eds = Ads!) + SUSO? AO + A — abcde — A dat M0

‘easfrmacion que pu la má à la ora

7. Probar que Tas condiciones Ray

ur)

As pus, Ray = 0 conta Ry = 0 y compatibilidad

Demostrar el Lema 97,

Como Ra) Y (Ga) son tensores se Ejemplo 83] yK es un invariant

Probar ls teoremas 9.1 y 93,

COORDENADAS NORMALES

9.10. Demostrar el Teorema 96.

Esa proses obec por consent las cussions dress

Pero ha de suite asso (5). STs» 0, en ls coordenadas (:

Probar que en el origen de un sistema coordenado riemanniano (7),

aya
= Fe para todo y ki suma en D

dew atom) (0

Probar la ¡deidad Ras, + Runa = Rasy + Ras

La dra cova el primes edd Banc, (LG de gu + Rage + Rag =.
Rao Rene Raja Rapa +R

Probar que las identidades de Bianchi siguen siendo válidas bajo una métrica india,

Podemos apa al ch topoligic de qu, en un punto dado P de Ry as diciones cn
us ue una mática dada (9) indi ende al suo un rare Da a
en coordenadas normales o largo dels gen cuyos esto a a
‘Stn en se Mipeplaro Pro 5.10 Tapp =O par cas son Parka he
rin, 7 Sale dicción del Mpepan mt de una session de te os AO
tat en & Se deduce que Tap! 0 fra todo (pho cel pacts of eee ae PO

TEOREMA DE SCHUR

Em

Demostrar el teorema de Schur (Teorema 9.)

ma + (8 -miDk + (DK

RG = 0, Como wera ati K ha de ser constante sobre 4". 05D,

EL TENSOR DE EINSTEIN
945. Probar el Teorema 99.

CETTE

Probar que Gel tensor de Einstein asociado obtenido bajando el indice {en G}, es

A $34n) = 8, —Souk

Problemas suplementa

Gey PEE y
ds UA] + AP à a? = Bde — ae ar
Probar que Ria =. (Ayuda; Us la primera de (86)
sare Problem 9.1 par dar una demostración simpcada del Problems 84

onde ambos y y Y sn funciones de x, x, solamente. Cala las components

Capitulo 10

Tensores en geometria euclidea

10.1, INTRODUCCION

Existe una asombrosa coreacin entre ls fórmulas dela geometría diferencia, desarrollada
E comestar cuciones acer de Curvas )superiies en el espacio cucidco tridimensional,
a Medias iensoriles introducidas previamente para manejar cambios de sitemas
ordenados. La grometra diferencial fue ventajosamente utiizada por Einstein en su tora

dela relatividad.
Supongamos métrico cuide y, par recalar este hecho, designaremos el espacio por E*

que signicará RO con la métrica
de ds! + A O

Además, emplearemos la notación familiar (x,y, 2) en lugar de (3. 20)

102, TEORIA DE CURVAS;
EL TRIEDRO MOVIL

Una curva en E? esla imagen de una aplicación r de clase C? de un intervalo 4 de mimeros
Man E como india la Figura 10-1, La imagen del número ea en Y la denotaremos por

0) = (50,300, 200) ou)

un campo vectorial de case ©

Curvas regulares

El vector tangente de € viene dado por

+ (02)

Eu-(6:4.4)

a a à

se dir regular si KO) # 0 par cada teh y.

Nota 1. Esto corresponde a la definición de regularidad dada en la Sección 7.3, en el caso
de métrica definida positiv,

EJEMPLO 10:1. Una fice lic (Fg, 102) es una hélice descrita sobe un Glidro lpico
real. El paro oe número 6 SI = la le eel con ado a ent? ide li cn

EJEMPLO 102. La cana epucial 4 x1, y= at = (F = R) remo los behos mis
Frans de toda curvas Hama cia on tors, Tal como in la Tigo 10%, pin
‘ene plano xy es un parábola, = xs prayers soe el plano oa en bes
Yen plano 7. la arbol semi Ga D

Longitud de arco

{Como la métrica cuido e definida positiv, oda curva regular admito una parametrización
en longitude arco r= ro) tal que

[Je de ñ
+= [fije om dos)

(EI punto, como en se utiliza para distinguir la derivada respect de 4, y una prima, como

Fig. 103,

«en Y, denota derivación respeto des) La aplicación 1 + s definida por (103) tien la relación
N da explidtemente por t= ote), donde y es también diferenciabl:

a

PAU oa)

Ei sistema de referencia mil

[Ahora presentaremos tres vectores de importancia fundamental en teoría de curvas, Dos de
can route ei Capitulo? el vector tangente unitario, ca el (Único) vector

ree)

y la normal pricipal untar, culquis vector unitario N, de case C* que ea ortogonal al T
Ramco a T sempre que T #0. El sector normal asociado con una curva es el vector
BETTEN (para el producto vectorial, vase 0.10) B queda unfvocamente determinado una
Vez egido N.

oda curva regular admite un vector normal principal (véase Problema, 10.1. No
e dan en el Problema. 7.18 que toda curra pana lo admite, dela forma,

N= (sen 0, 08,0) (plano ==)
si = (oon, sn 0, 0) El próximo resultado aporta información adicional

Teorema 10.1. ‘Toda curva plana tien vector normal principal. Si una curva espacial tene
Fo normal principal éste yace en el plano de la curva para cualquier
mento plano reino de la curva. Alo largo de un segmento rctlico,
1 nem principal puede «legis como cualquier vector de clase C* ortogo-
ra a vector tangente unitario.

En cada punto de donde pueda define N, el trio de vectores unitarios T, N, B,
mutuamente ortogonales. consituye una base positvamens oranda para ES Ete qué
cambia continuamente a o largo de & (ig 104, e lama a menudo trio ma dr
móvil el plano de T y N se conoce como plan oseladr,

Hemos definido el trcdro móvil para la parametrización en longitud de arco. Cuando se
+ parámetro original s lea alas siguientes expresiones (Probima 10.) pata sale
Punto en el cual à # 0) Fa FH

RCE

«lección de signo dependent dela de N

CURVATURA Y TORSION

Dos números, o mejor dicho dos campos escalares, importantes asociados a las curvas

Definición 1. La curvatura xy la torsión de una curva 6: = (en E? son, respectivamente,
los números roles

El signo de x depender de cegido para N; sin embargo, como B y B cambian
de signo junto con N,* est univocamete determinada.

Se sigue (Problema 7.13) que los valores absolutos de la curvatura y la torsión vienen
dados por

id y sw dom

Asi pues, mide a razón absoluta de cambio del vector tangente unitario y cuánto se weurvan

In a dada en un punto, mientras que mide la razón absoluta de cambio de la binormal

Y ta tendenci de la curva storsionars fuera de su plano esculador en cada punto. Más

Adelante quedará cao el significado de os valore negativos de x y +

Nota 2. Puede probarse que las dos funciones = x() y = (9) determinan la curva €
módulo un movimiento rgido en E.

En la paramctrzacón £de tenemos (Problema 10,

alter) joi
rt vos

donde c= 41 y [EVE] representa la matriz 3 x 3 que tiene como vectors fila EF y €
[Recordemos I identidad

8:0 x 9 =dalabo

para el product mixto (o tiple) de tres vectores]

Fórmulas de Seret-Frénet

Las derivadas de los vectores que componen el tiedro móxil vienen dadas por

Ey FER =

Nótese la antisimetria de la matiz de cocfiiente. La primera de estas fórmulas quedó,
‘Stablecida en el Problema 7.13 las otras dos se demuesran enel Problema 103,

10.4. SUPERFICIES REGULARES
Las superficies suelen aparcer en el cálculo bajo la forma = F(x, ) es dei, como gráficos
Az foneiones de dos varabes en el espacio tridimensional. Aqui, sin embargo, € mis
Sonveniente adoptar la

Definición 2. Una superficie Y en E? es la imagen de una función vectorial ©

ooh 2) = (JP) 64 2D, GE)
que aplica cieta región Y de E? en ER

(Véase Fig. 10-5; en general, ls primas dsignarán objetos en el plano paramétrico (Y) que

>

“TT Y “

corresponden alas de la superficie en el espacio de xyz.) La escritura de In aplicación r «
coordenadas

El punto P es un punto regular de Y

En Pi en caso contrario, Pes un punto singular. Si todo punto de 9 es regular, diremos que
9 es una superficie regular

Nota 3. La condición (101) equivale a a independencia lineal delos vetores (rx,
(rfox")p. Dicho de otro modo equivalente, de mayor interes promenioo! (11T)
Enrantiza que toda cuma en que pase por P que sex imagen Ajo de cos coy
regular en ¥ que pase por P és, en un entorno de P. regular en el sonido de la
Scion 102,

EJEMPLO 103. Par una fncón decae ©), probar que ri de = Fx) sun spero

ran | 0 a

¡Notación de subindices para tas derivadas parciales
Desde ahora, denotaremos

as que, por ejemplo, (10.1) adopt la expresión concisa, F3 0.
105. CURVAS PARAMETRICAS; ESPACIO TANGENTE

CConsideremos coordenadas (x), por el momento rectangulares, en el plano param
Son dos fallas (ortogonales) de curvas coordenadas asociadas:

Si (e, d) recorre Y” (la preimagen dela superficie 9), emonces las imágenes bajo de cas
¿os familias son los dos conjuntos de curvas parambtrlcas ( curs coordenadas) sobre Y

erw

La Figura 10-6 sugiere que la mall de curvas paramétricas e también ortogonal Esto no es
lero en general, dade luego. De hecho, como los campos tangentes a las -curvas ya las
Sourvas son respectivamente dpldt= r, y de/do = y, la malla cs ortogonal si y Sólo si
Tara d'en todo punto de Y

‘En general, el vector tangente de una curva sobre la superficie que pase por re. d) es
combinación Incl va. como muestra el siguente análisis Sea la curva dada
cn el plano paramético co 0): entonces la correspondiente curva
sobre la super

Be AS wun tenants doux
qui = dx! = dx, ai que el vector (en el plano paramétrico cs ol tangente a
Cen P (Fig. 100)

Definición 3. La coloción de combinaciones inales de los vectores #,(P) y CP) se lama
sl espacio tangente de 9 en P. La normal uniara a la per eo we
unitaio a en la dirección der, xr,

i
Apr) (Eeinxni>o) 09

La realización geométrica del espacio tangente cs obviamente el plan tangente en P, y la
normal a la superficie puede identifearse con un segmento reto porpendiculas en P al plang
tangente; e dei, ortogonal à la supere en P, como indica la Piura 10-6

Resumiendo, & tio de vetores r, r, n, linalmente independientes (pr regularidad),
forman un sistema de referencia móvil para la superficie, como se ve en le Figs 109 de
manera muy similar al triedro móvil para una curva regular que admita normal prnl.

10.6. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL

Consideremos una curva sobre la supeeicio regular 9: = (xx) dada por 6: r = ls! (0,
320) = rl), con preimagen €; x= x()cn plano paramétrico. Usando (1.12) y recorda
do que el producto escalar (euldeo) es dstibutio sobre las combinaciones lies de
vectors, la longitud de arco alo largo de @ se calcula mediante

HE (a) (e) aya 00.149)

men 0SLJSD os)

y como antes, = dt En formulación diferencial equivalent,

is = gy! 21 dois)

ta formula para la longitud de arco se conoos como primera forma fundamental (abreviado,
Beer pure 2A la vista de (10.12) y dela regularidad de Y, I = D iy slo si
het Oy eo prueba el siguiente

Lema 102. La PEF de una superficie regulares definida positiva
E lema implica que g = dt(g,) > 0: de hecho, podemos usarla ideidad de Lagrange,
een

para establecer que

(016)

véase (10:19,

EJEMPLO 10.4, Calcular la PFF pra el ide recto (Fig. 104),

ra rea (ost wena const)
D Tr osx") (=! sen) + Gene =
Le det? + et ze.

De la mano dela PEF entra en juego el cileulo tensorial Porque La propiedades intrinsecas
¿e una superficie purtcuar 9 en E* (hs propidades denis por median de dica as
la superficie) están odas implcitas en (10.14), que puede inerpretare como una menace
Fiemanniana particular del plano paramétrco, ASÍ pues, el estudio delas propidads hearer
as delas superfiies viene a converse cn cl análisis tensorial de métricas Temarios an
RP, y eto puede mojarse sin referencia alguna ya al E Obsérvese que as metes ba
consideracion serán todas defnidas positivas (Lema 102), pero no necesaramente cle
(Véase Teorema 9.1). De acuerdo con co, abundonaremos la designación ES para a als
Paramétrico, que desde añora et referido a coordenadas genie (0)

EJEMPLO 105, La mé pra orespondiet cod eto (Ejemplo 104) 3 9 ui,
aco como opaco de panel. Es un Seng des oat ne lern en
Fair cn un sucio no cuido, menciondo cn I Sen A

Vector tangente unitario
Sir re‘, x* (0) es cualquier curva sobre Y, entonces por (10.2) y (10.14),
CA
1 An dom

Angulo entre dos curas

Gn, 3) en à plano paramético. Escibendo v= ag) 3 yz Wildes ion RO)
ga Dee Te de Ta de ds
TELE EL Eee 7 _ ao

Comparar con (5.1),

Teorema 10.3. EI ángulo entre las dos curvas paramétrcas al cortarse en un punto de una
spore &

ETES ao)

Corolrio 10.4. Las dos familias de curvas paramétias son ortonormales entre si si y sólo
Sais = den todo punto de Y

10.7. GEODESICAS SOBRE UNA SUPERFICIE

Otro nexo con ls tensors o proporciona la noción de geodésicas para supers regulares.
Podemos imaginar que estiramos un clásico entre dos puntos de wna au 3 Da na
tenso lo fjamos en ambos puntos: sobre una cer, eo produce un arco de anal mnie
y sobre un cliro recto cirelar, un arco de he, Como desde nucsto Puntos de vta a
Superficie se olvida y Qu) se considera como una métrica para cl plano parametn 1
Problema ya ha sido tratado en la Sección 16

Definimos, respeto de la PFF de /, los simbolos de Christo por medio de las fórmulas
(nen PTE Problema 10.8 da una definición setrinsoca» equivalente, en minos
N once», una geodeica sobre 4 es cualquier curva r = rx" (D), 20) de la
ict cuya preimagen en à Rparamético stisfce el sistema de ecuaciones dierenciles
e engl de aco, e sistema es 0.13). [Reeuedese que la distancia (no
DC maids por sen R? es la distancia cuide a To largo de la geodésica como curva

pen]
E jogamente,stentindo a la Sesción 6.5, la careaturaintrnseca de una curva € en Y

esla función

20 = Va po 0020)
(véase 612), donde e sector curvatura intrínseca (9 (en R?) viene dado por (61).

Nota 4, Puede probarse que la curvatura intinsca es la razón de cambio instantánea del

e el sector tangente de # y otro vector en el espacio tangente que es

noria paralelamente» lo lago de la curva. Aquí, el Término «paralelo» se
a generalización de paatelsmo cucideo (éase Problema 10.2).

Teorema 10,5. Una curva sobre una superficies geodésica iy slo si su curvatura intrinsca
Res ienticament ceo.
En contraste con la anterior caracterización intrínseca de las geodésicas, hay ira extrinseca
crean, que demuesra el Problema 10.18. Añado una dimension visual que
Permite con Tccuenca identcar inmedistamente una geodésia

Teorema 10... Una curva sobre una superficie regular es geodésica si y slo si puede legis

na coral poncipal N sobre la curva que coincide con la normal n a la
peris en fodos los puntos dela curva

108. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

Tomando e producto escalar de la normal ala superficie con las sondas derivadas parciales
der con respoto ax y x

fy ty don

generamos Lo coeficientes del segunda forma findamentlabreviado SFF de una superficie

fydside! = 4022)

Curvatara de una sección normal
SF es un plano que contiene a la normal a la superficie n en algún punto P de Y

Gad 160)" ratita de a section normal de Y da curva de inteniosión de Y y 9).
nada viene dada en el punto P por la fórmula

fut „U

023)
Doc

donde (u) = (dt) da la divest, en P, de a curva correspondiente a Cs en el plano
aramético: vense Problema 1023

Al girar # en toro a la curvatura ky de 6, en Pes periódica y alcanzará un máximo

y un minimo absolutes sea
mix ke ee minx, 2 x (1024)
Las dos curvas sein que tenen esos dos valores extremos de la curvatura se aman cures
prinpaes y sus direcciones se llaman dirociones principles Si my ann an urnes

Eiones normales en P tiene la mima curvatura y ls dieeione principales no Jo nal
(En este caso, P se Hama punto smbllcal de la super

CCurvatura dela superficie

Se usan dos medidas de la curvatura en una super 3

Definición 4. La uratra gausian de 9 enc punto Pes el número Ka cumanıra
media ese numero H =, +

Se Probará enel Problema 10.25 qu las curvatura extremas, y xp son as rics de la
siguiente ecuación cuadrática en 2
0 025

Gun BD TA

Lista + Saou = Lada di

10.9. FORMULAS DE ESTRUCTURA PARA LAS SUPERFICIES

Anz dos conjuntos fundamentale de relacions que invoucran el triedro móvil de una
super, em,

Ecuaciones de Weingarten

Como a? = 1 1.2). Por tanto, para cada 4, m, está en el spa
ln: aya + afr para irtos escalares sf, Andlogamente, por ortogonalida,

0 (ar) = mn + f
Se sigue (Problema 10.28) que

(027)
para 11,2. Por la forma explicita de la matrie inversa (9), (1027) puede detallar as:

Fouaciones de Gauss

‘Como (FE 1) e una base para E?, podemos escribir ry = ufr + ur, + we. El cálculo de
fos octets (Problema 1029) permite concluir que

ry = Tin fn (028)

{Una identidad entre PFF y SFF

Como fy = fxs (10.28) implica (Fi + Jah = (Fa, +

(pest Tina + Ji tom = TD +

Multiplicando ambos miembros por, esalarmente y recordando la definición ry,
Polaciones fing = Pas (Problema 1088) y rn = 0

à Tifa Ama = (ou + Tal +
Amora susttuimos a, de (1027) y usamos rt ga Yu = à para simplificar el resultado:

(ran Paha)

ful Sab
Finalmente, introduciendo el tensor de Riemann via (8.2) y (83) obtenemos.

Baja Jada bn (029)

El lado inquierdo de (1029) sólo depende de los cocficiets de 1 y de sus derivadas el

derecho slo depende de los cocicentes de I. Esa relación de compatibilidad cscncial ente
Karo formas Tondamentaes tone que sr vida en todo punto de una superficie regular

El tcorema aegrego» de Gaus

Por (1026) y (1029),

AA dom

a Speumetades de K se determina completamente mediante la PFF. Dado quelo
mismo es obviamente cierto para el denominador comers oe

Teorema 107 (Teorema egregio). La curvatura gausiana es una propiedad intinseca dela
Superficie; depende solo dela primera forma fundamental ve ma nd

Nota 5. Ahora queda patente el motivo dela defini (8.7) para la curvatura riemanniana

10.10. ISOMETRIAS

uae, Práctica de sos habitants de un planeta radeado de nieba podran, tan sito
Moma, stand sobre le supriie dl planea, determina su contar ae nn
afirmativa por parte del Teorema 107, Our importante cancunon ca dene
pongamos que dos supericis Si 2m r(x 0) y ge O esa in
ti ¿obre la misma región 7° del plano y qué sus PEF seincen bro de

avi, evidentemente, una corespondencia entre 0 y 970 ea BY que Cri LO
Fe q enormes (nduids po os enomos de 7 sabre os que ams yd ens
Doris los Super. Tal corspondeni s lama una tonsa Deal an aia)
Pegas ls dos supers son, entorno a ero, möticamente Kent Deo exons
ena, 107) sus curvataras‘gaussanas KP y Khan de sr uml en ones
pondientes.

Teorema 10.8. Si des supefäes son localmente isométricas sus curvaturas gausianas son
idénticas.

„ara de rats gusiann contame K lorena de Beran os dico que hay
una parametrzación de 7 para la que la PHF adopta la epee
a= NA REA ato
Deren si Keo
AS = ax) + (a sen? x) (de K = bat > 0

BO 108, El lao y la era son specie de carats conan. cero y os

Fl teorema de Beira implica un recíproco parcial del Teorema 108

Teorema 103 (Teorema de Minding) Si dos species tienen la misma curvatragasana
constants son Iocalmente komdirkar

Nota 6. En el Problema 99 se probó esc tcorema en el caso de curvatura nua

Problemas resueltos

TEORIA DE CURVAS; EL TRIEDRO MOVIL

fée [EB vn

yace parcialmente en el plano xy y parcialmente en e plan 2x (Fig 10-10). Probar
es regular de dase C pero que no admite vector normal principal

ig. 10410

Las ancons components pars (son

lo

0 vo

Epica 20). En comes me SEE

far wt?
fo izo “le 120

(0) Describir la cura r= (cost, sent, tam”, donde 0 ty donde se sobreentiende
Si alot principal e a arcotamente (6) Hallar a longitu de ates on ls nee
FO ye.

(a) Se rta de una ese dies a ese y. La coma

alla el iodro móvil para la curva

Probar que el vector binomial B es constante, de modo que la curva es en realidad

omo Pee) (30,2

count so) = (

a.)

stable Is fórmulas generals (103) para el tro
‘com parámetro 1 ar

oa general dul = fla) Por tato

CRTC ES

CURVATURA Y TORSION

103, Hallar la curvatura y la torsión de la hélice circular

siendo 5 la longitud de aro,

Desivando respect à la longi de ar,

Di

rar fond

IS itodocimos el parámetro siempo» 1 = cx, tenemos:

ad ascenso de a He respecto del plano xy (sa plano oxculado en # = 0)

VA 28) (rat

‘Vamos ls females (108

alte] = Ft ENTER
NEED ae?
107. Probar (103),
and los resultados del Problema 104, tenemos
exo
La torsión exige lilo de Por (105),

TT A

OA TEL

np GI HU x F 0040 MAD
es es, m

108. Probar (a) N = =x + 68, (0) B= N

bros escalarmente por Ty por By ando TN = 0
ree

103. Demostrar que si una curva tiene x

SUPERFICIES EN EL ESPACIO FUCLIDEO

10.10. Probar que una superficie de revolución

regulary exbibir su normal unitaria.

Adentifear las x! y as x? curvas en el helcode recto (Ejemplo 10.4) y deseribir el
omporiamienio dela normal unitaria a la superficie à lo largo de una x’ cura,

Ja Jer! Ta

Hallar la PEF de cualquier superficie de revolución. Especalizar para un ono circular

10.13. Hallar la PEF de la catenoide (Fig 10-14) y

Pig 1043 ig. 1014

VA [TT ct dt 0/3 se tt + ea

En el punto de intenesciôn hallar el ángulo que forman €, y €, y probar que la
rtogonalind en el plano x" no se traslada a cono.

quedar D A pues, Los dos vectores tangents en sn

w-(*) » (2) -a2
(adhe (e).

Demostrar el Teorema 103 y verificar el Corolario 104 goométrcamente pura el
Tioide recto (Ejemplo 104) y para cualquier superf de revolución (Probe

La demonación conste simplemente en tomar (9-0, D en dom.
Elon den claro el Prolene 10.1, e ide recto cs una supe eva, eerida

una sema (una cara). que oa sobr do et prall al ey ras
Fute de pte se or el lo. Un punto P dado de la generar dsc una + curva
DE eur En colo ar spss de rei cto que ls Cara praméticat

Probar que bajo un cambio de coordenadas x! = x!(8!, 32), x? = gl, 2), en cl
plano, la métrica de la superficie (g,) Se transforma como un tensor covariante de

Calculo tensorial david kay

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