Cambio de variables de las integrales multiples

Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado

1. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

128
4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES
MÚLTIPLES
En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el
proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para
ello es necesario definir transformaciones geométricas de
22
→\\ y
33
→\\;
posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales
dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar
para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para
integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN
En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una
función real de variable real en un intervalo cerrado
[
]a,b existe un
teorema que permite cambiar la variable de integración con la
finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla.

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1
se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de
integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta
página.
TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida
Sea []:,fab→\ una función continua y []:,gcd→\ una
función derivable con derivada ()gt′ continua (es decir, g es
de clase
C1) tal que
[]( )[]gc,d a,b⊂ , entonces
() () ()
bd
ac
fxdx fgtgtdt′= 
∫∫
( IV.1)
La expresión:
[]() []gc,d a,b⊂
Significa que las
imágenes de la función g
son un subconjunto de
[
]a,b.
CV
()
()
xgt
dx g t dt
=
′=


CLI
(
)
()
tc xgc a
td xgd b
=⇒= =
=⇒= =

Recuerde que emplear un
cambio de variable de un
integral definida implica
que el cambio afecta: el
intervalo de integración,
el integrando y la
diferencial.

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129
Cuando se desea resolver una integral doble empleando un
cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se
deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por
ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación
geométrica del tipo
22
→\\.
4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE
22
→\\
Una transformación geométrica del tipo
22
→\\ se realiza
cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o
convierte en una nueva región bidimensional
D′ del plano uv. Esta
transformación se realiza por medio de una función
22
T:→\\.
Sea T una función definida como
22
T:D D′⊂→⊂ \\ , tal que:
() ()()( )
12
T u,v T u,v ,T u,v= (IV.2)
Donde:
()
1
Tu,v x= (IV.3)
()
2
Tu,v y= (IV.4)
Por lo tanto, la función de transformación es:
()()Tu,v x,y= (IV.5)
La cual suele escribirse como:
()
()
()
1
2
Tu,v
x
Tu,v
Tu,v y
 
 
==
 
 

(IV.6)
En otras palabras, la
función
T transforma
todo punto
(
)u,v D′∈
en un punto
()
x,y D∈ .

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130
Por otra parte, como se busca resolver una integral doble
()
D
fx,y dA∫∫
empleando un cambio de variable, observe que al
componer las funciones f con T, se obtiene:
()( )()fT u,v f u,v= (IV.7)
En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la
región
D′ en la región D, la cual se realiza por medio de la
función
T.

Figura 4.1
Transformación geométrica de la región
D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble
Sea
2
:f→\\ una función continua de las variables x y y
definida en la región
2
D⊂\. Sea T una función inyectiva que
transforma los puntos ()
2
u,v D′∈⊂ \ en ()
2
x,y D∈⊂\ ,
mediante la expresión ()()Tu,v x,y= . Suponga que T es de
clase
C1 y que la derivada
()Tu,v′ es una matriz inversible
()u,v D′∀∈ , entonces:
() () ()
()
()
DD
x,y
fx,y dA f T u,v dudv
u,v
′
∂
=
∂
∫∫ ∫∫
(IV.8)
Una matriz ()Tu,v′ es
inversible cuando su
determinante es no nulo
en todos los puntos
(
)u,v D′∈ .
Por otra parte:
() ()
1
DTD D T D
−
′′=⇒=
por lo cual T debe ser
inyectiva.
La expresión:

(
)( )fTu,v también
suele escribirse:
()()( )
12
fTu,v,Tu,v

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131
El término
()
()
x,y
u,v
∂
∂
se conoce como determinante del jacobiano y
se obtiene como:
()
()
xx
x,y uv
det
u,v yy
uv
∂∂ 
 
∂ ∂∂
 =
∂  ∂∂
 
∂∂ 
(IV.9)
O también suele escribirse como:
()
()
uv
uv
xx
x,y
det
u,v
yy
 
∂
 
=
 
∂
 
 
(IV.10)
Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la
transformación ()()Tu,v x,y= más apropiada. En estos casos, se
propone una transformación inversa del tipo
()
()
1
Tx,y u,v
−
= , la
cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región
D o
por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el
jacobiano
()
()
x,y
u,v
∂
∂
se obtiene mediante la propiedad:
()
()
()
()
1
x,y u,v
u,v x,y
∂∂
=
∂∂
(IV.11)
En donde:
()
()
xy
xy
uu
u,v
det
x,y
vv
 
∂  
=
 
∂
 
 
(IV.12)
Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales
dobles puede escribirse como:

Al determinante del
jacobiano:
()
()
x,y
u,v
∂
∂

también se le llama
jacobiano.

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132
() () ()
()
()
1
DD
fx,y dA f T u,v dudv
u,v
x,y
′
=
∂
∂∫∫ ∫∫
( IV.13)
La demostración del teorema de cambio de variable en una
integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se
prueba dicho teorema en el caso particular que la función
integrando,
f, es igual a la unidad, es decir:
()
()
DD
x,y
dA dudv
u,v
′
∂
=
∂
∫∫ ∫∫
(IV. 14)
Demostración del Teorema de cambio de variable en una
integral doble, cuando la función integrando es igual a la
unidad:
Considere una región
D
′ definida como:
(){ }00 00
Du,vuuuu vvvv′= ≤≤ +∆ ∧ ≤≤ +∆ (IV.15)
La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2
Una región
D
′ en el plano uv
Por lo tanto la región
D
′ es un rectángulo cuyos vértices son los
puntos: ( )
00
Au,v′ , ( )
00
Bu u,v′+∆ , ()
00
Cu,v v′ +∆ y
()
00
Duu,vv′+∆ +∆ .
Recuerde que :
D
dA∫∫

representa el área de la
región D.

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133
Considere ahora, una función de transformación ()Tu,v, la cual
puede aproximarse como:
() ( )
00
u
Tu,v Tu,v T
v
∆
′≈+⋅

∆
( IV.16)
Donde
T′ es la derivada de T evaluada en ()
00
u,v.
La imagen del rectángulo
D
′ bajo el efecto de la transformación T
propuesto en la expresión
IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3
Región
D
′ bajo el efecto de la expresión IV.16
Entonces, la aproximación de T, planteada en IV.16, transforma
al rectángulo
D
′ en un paralelogramo con vértice en ( )
00
Tu,v y
con lados adyacentes, correspondientes a
u
∆ y v∆, definidos por
los vectores: ()
i
Tu′⋅∆ y ()j
Tv′⋅∆, los cuales pueden escribirse
como:
()
0
i
xxx
uuv u
Tu u
yy y
uv u
∂∂∂ 
 ∆∂∂∂
′⋅∆ = =∆  
∂∂∂ 

∂∂∂ 
( IV.17)
()
0
j
xxx
uv v
Tv v
yy v y
uv v
∂∂∂ 
 ∂∂∂
′⋅∆ = =∆  
∂∂∆ ∂ 

∂∂∂ 
( IV.18)
Los vectores
i
u∆ y
j
v∆
son:
0
i
u
u
∆
∆=



0
j
v
v

∆=

∆

Por otra parte,
x
x yu
uu,u
y uu
u
∂

∂∂∂
∆=∆∆ 
∂ ∂∂

∂
x
x yv
vv,v
y vv
v
∂

∂∂∂
∆=∆∆ 
∂ ∂∂

∂

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Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18
están evaluadas en
( )
00
u,v.
Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:
x x xx xx
uv
uv uv uv
det det u v det u v
y y yy yy
uv
uv uv uv
∂ ∂ ∂∂ ∂∂  
∆∆
  
∂ ∂ ∂∂ ∂∂
   = ∆∆ = ∆∆
  ∂ ∂ ∂∂ ∂∂
∆∆
  
∂ ∂ ∂∂ ∂∂  
(
IV.19)
Empleando la ecuación
IV.9, se tiene:
()
()
()
()
xx
uv
x,y x,yuv
det u v u v
u,v u,vyy
uv
uv
∂∂
∆∆

∂∂∂∂
 = ∆∆ = ∆∆
∂∂∂∂
∆∆

∂∂ (IV.20)
Ahora, si la región
D
′ es dividida en pequeños rectángulos con
lados de longitud
u
∆ y v∆, y se emplea la aproximación de T
planteada en
IV.14, estos rectángulos son transformados en
pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los
vectores
x y
u,u
uu
∂ ∂
∆∆

∂ ∂
y
x y
v,v
vv
∂ ∂
∆∆

∂ ∂
, donde el área de cada
paralelogramo se obtiene como
()
()
x,y
uv
u,v
∂
∆∆
∂, entonces el área de
(
)TD′ , denotada
()TD
A
′
se puede aproximar como:
()
()
()
TD
x,y
A uv
u,v
′
∂≈ ∆∆
∂∑∑ ( IV.21)
Luego tomando el límite cuando
u
∆ y v∆ tienden a cero, en la
expresión anterior, resulta:
()
()
()
TD
D
x,y
A dudv
u,v
′
′
∂
=
∂
∫∫
( IV.22)
El área de un
paralelogramo cuyos
lados están definidos por
los vectores:
()a,b y ()c,d
Se obtiene como el valor
absoluto del
determinante: ab ac
cd bd
=

Recuerde que u∆ y v∆
son longitudes, por lo
tanto:
uu∆=∆
vv∆=∆

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135
Entonces, queda demostrada la ecuación
()
()
DD
x,y
dA dudv
u,v
′
∂
=
∂
∫∫ ∫∫

En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región
D
′ pr
medio de
T.

Figura 4.4
Transformación
T en una región D′
Calcular la integral doble
1
1
D
dA
xy+
∫∫
, empleando un cambio de
variable adecuado, donde
D es la región del plano en el primer
cuadrante limitada por
yx=, 2yx=, 1xy= y 2xy= .
Solución:
A continuación se muestra el recinto
D.

Figura 4.5
Región
D del ejemplo 4.1
EJEMPLO 4.1
En este ejemplo, la
transformación
(
)(),,Tuv xy= no
está dada por lo cual a
partir de la gráfica se
propone una
transformación
(
)()
1
,,Txy uv
−
=
yx=
2yx=
D
1
y
x
=

2
y
x
=

2
2
2
,




( )22,

()11,
()12,

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136
A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:
(),,
y
xyuv
x

=


Es decir:
()()
1
,,Txy uv
−
=
Con este cambio de variable, la región de integración cambia
mediante la expresión ()
1
DTD
−
′= , por lo tanto:
(){ }1212Du,v u v′= ≤≤ ∧ ≤≤
En la figura 4.6 se observa la transformación de la región
D a la
región
D′.

Figura 4.6
Transformación de la región
D en D
′ del ejemplo 4.1
Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio
de variable, se necesita determinar el jacobiano
()
()
x,y
u,v
∂
∂
, para lo
cual se emplea la propiedad
IV.10, luego
()
()
2
1
22
y
u,v yy yxx
det u
x,y x x x
yx

−
∂
= =− − =− =−
∂


Con el cambio propuesto
se obtiene la región
D′
11
y
yx u
x
=⇒ =⇒=
222
y
yx u
x
=⇒=⇒=
11xyv=⇒ =
22xy v=⇒=
1v=
D
2v=

D′
1
T
−
Valor de u a
la salida de
D´
2u
=

Valor de u a
la entrada de
D´
1u=

Por medio de la
tranformación
1
T
−
, la
nueva región de
integración
D′ es una
región rectangular.
Recuerde que:

y
u
x
v
xy



=





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137
Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:
()
22 22
11 1111111
11221
D
I dA dudv dudv
xy v u v u
== =
++− +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

()
() () ()
2
2
121
32 2
21 2ln
Idvlnlnln
v
 == −
 +∫

() () ()
211
32 2
12
D
dA ln ln ln
xy
 =−
 +∫∫


Calcular la integral doble cos
D
yx
dA
yx
−

+
∫∫
, empleando un cambio
de variable adecuado, donde
D es la región mostrada a
continuación.

Figura 4.7
Región
D del ejemplo 4.2
EJEMPLO 4.2
1
C
D
3
C

4
C
2
C

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138
Solución:
Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región
D se tiene:
1
2
3
4
:0
:2 2
:0
:1 1Cx
Cy x yx
Cy
Cy x yx
=
=−⇒+=
=
=−⇒+=

A partir de la función integrando
()
,cos
yx
fxy
yx
−
=

+
, se propone
una transformación del tipo
()()
1
,,Txy uv
−
= :
yxu
yxv
−
=

+

Entonces:
()
{ }12Du,v vuv v′= −≤≤ ∧ ≤≤
La figura 4.8 muestra la transformación de la región
D a la región
D′ por medio de
1
T
−
.

Figura 4.8
Transformación de la región
D en D
′ del ejemplo 4.2
Con el cambio propuesto
se obtiene la región
D′
11yx v+= ⇒ =
22yx v+= ⇒ =
0
0
ux
y
vx
yuv
=−
=⇒
=
=⇒−=
0
0
uy
x
vy
x uv
=
=⇒
=
=⇒=

1v=

D
2v=

D′
1
T
−
Valor de u a
la salida de
D´
uv
=

Valor de u a
la entrada de
D´
uv
=−

Por medio de la
tranformación
1
T
−
, la
nueva región de
integración
D′ es una
región tipo 2.

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139
Calculando el jacobiano
()
()
x,y
u,v
∂
∂
, se tiene que:
()
()
11
11 2
11
u,v
det
x,y
−
∂

= =− − =−

∂


Empleando la ecuación
IV.12 se tiene que:
() ()
22
11 13
11
22v
Dvyx u
I cos dA cos dudv sen vdv sen
yx v
−
− 
== ==
 
+− 
∫∫ ∫ ∫ ∫

()
3
1
2
D
yx
cos dA sen
yx
−
=

+
∫∫



4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES
A continuación se describe un caso particular del cambio de
variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares.
Considere que se desea calcular una integral doble
()
D
fx,y dA∫∫
,
donde
D es una región como la mostrada en la figura 4.9.

Figura 4.9
Una región general
D
Recuerde que:
()
1
,
yx u
Txy
yx v
−
−
==

+

En el APÉNDICE A, se
presenta un repaso del
sistema de coordenadas
polares.
D
222
1
xyr+=
22 2
2
xyr+=

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140
La región D está definida como sigue:
()
() (){ }
222 2
1212
Dx,yrxyr tgxytg x θθ=≤+≤∧≤≤ (IV.23)
Para expresar dicha región
D en coordenadas polares, denotada
D′, es necesario hacer la trasformación de coordenadas
22
T:D D′⊂→⊂ \\ , señalada en la expresión IV.24:
()( )( )T r, r cos ,rsen x,yθθθ== ( IV.24)
Por lo tanto la región
D
′ es:
(){ }12 1 2
Dr,rrrθ θθθ′=≤≤∧≤≤ ( IV.25)
En la figura 4.10 se observa como la región
D′ del plano r
θ es
transformada a través de la función
T en la región D del plano xy.

Figura 4.10
Transformación de la región
D
′ en la región D a través de ()()Tr, x,yθ=
Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral
doble, se tiene:

() ( )
()
()
DD
x,y
fx,ydA fr cos ,rsen drd
r,
θθθ
θ
′
∂
=
∂
∫∫ ∫∫
(IV.26)
Para que la función:
22
T:D D′⊂→⊂\\
sea inyectiva es necesario
que:
02
θπ≤<

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141
En donde el jacobiano de la transformación es:
()
()
22
xx
cos rsen
x,y r
det det r cos rsen
r, yy
sen r cos
r
θθ
θ
θ θ
θ
θθ
θ
∂∂
−

∂ ∂∂ 
== =+

∂ ∂∂


∂∂

()
()
()
22
x,y
rcos sen r
r,
θθ
θ
∂
= +=
∂ ( IV.27)
Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a
coordenadas polares de una integral doble.


En algunas ocasiones, la región
D es más general que la
planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a
continuación:

Figura 4.11
Una región más general
D
TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral
doble
Sea
2
:f→\\ una función continua en un rectángulo D
′,
definido por
()
{ }12 1 2
Dr,rrrθ θθθ′=≤≤∧≤≤ , donde
21
02θθπ≤−< , entonces:
() ( )
DD
fx,ydA fr cos ,rsen rdrdθθθ
′
=∫∫ ∫∫
(IV.28)
Recuerde que:
()
rcos x
Tr,
rsen yθ
θ
θ

==



Y que la identidad
fundamental es:
22
1cos senθθ+=

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142
Entonces, la región D de la figura 4.11 puede expresarse en
coordenadas polares como sigue:
()
() (){ }12 12
Dr,r rrθθθθθθ′=≤≤∧≤≤ (IV. 29)
Al emplear la ecuación de cambio de variable
IV.19 resulta:
() ( )
()
()
22
11
r
Dr
fx,ydA fr cos ,rsen rdrd
θθ
θθ
θθθ=∫∫ ∫ ∫
(IV.30)
Existen, también, regiones generales
D, que en coordenadas
polares, quedan definidas como:
()
() (){ }12 1 2
Dr,rrr r rθθθθ′=≤≤∧≤≤ (IV. 31)
En estos casos:
() ( )
()
()
22
11
rr
Drr
fx,ydA fr cos ,rsen rd dr
θ
θ
θθθ=∫∫ ∫ ∫
(IV.32)

Calcular la integral doble
2
2
2 4
0 4
y
y
dxd
y
−
−−
∫∫
, empleando un cambio de
variable a coordenadas polares.
Solución:
La región
D está definida como
()
{ }
22
,4 4 02Dxy yx y y= −−≤≤− ∧≤≤
La función integrando es ()1fx,y= y la función de transformación
a coordenadas polares es ()( )Tr, rcos,rsenθ θθ= , entonces, al
componer las funciones f con T, se obtiene:
()1fTr,θ = 
 

EJEMPLO 4.3
Este ejercicio se resolvió
en el sistema de
coordenadas cartesianas
en el ejemplo 1.5 parte c
del capítulo 1, y se
obtuvo que:

2
2
2 4
0 4
2
y
y
dxdy
π
−
−−
=∫∫

16. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

143
Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben
definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura
4.12 se muestran, sobre la gráfica de la región
D, los valores de
r y
θ a la entrada y salida de dicha región.


Figura 4.12
Valores de
r y
θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3
Por lo tanto la región D′, que se observa en la figura 4.13, está
definida como:
()
{ }020Dr, rθ θπ′= ≤≤ ∧ ≤≤
Resolviendo la integral resulta:
2
2
2 4 2
0 4 0 0 0
22
y
y
dxdy rdrd d
ππ
θ θπ
−
−−
===∫∫ ∫∫ ∫

2
0 0
2rdrd
π
θπ=∫∫


Valor de r a
la salida de
D

2r=

Valor de r a
la entrada de
D

0r
=

D
Valor de θ a
la entrada de
D

0
θ=

Valor de θ a
la salida de
D

θπ=


Figura 4.13
Región D′ ejemplo 4.3

17. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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144
Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior
son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares.
Solución:
La región
D, se define como:
()
{ }
22
,4 16Dxy xy=≤+≤
En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la
entrada y salida de la región
D.

Figura 4.14
Valores de
r y
θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.4
Entonces, la región D′ , tal como se ilustra en la figura 4.15, es:
(){ }2402Dr, rθ θπ′=≤≤∧≤≤
Luego el área se obtiene como:
2 4 2
0 2 0
612Ardrdd
ππ
θ θπ===∫∫ ∫

2 4
0 2
12rdrd
π
θπ=∫∫

EJEMPLO 4.4
En el ejemplo 3.3 del
capítulo 3, y se obtuvo
que:

12
D
Adydx
π==∫∫

Valor de r a
la salida de
D

4r=

Valor de r a
la entrada de
D

2r
=

D
0θ=

2θπ=


Figura 4.15
Región D′ ejemplo 4.3

18. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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145
Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies:
22
2zxy=+ y
22
20zxy= −− , empleando integrales dobles y
coordenadas polares.
Solución:
En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido
S, que se
aprecia en la figura 4.16, viene dado por:
22 22
20 2
D
VxyxydA
 
=−−−+
 ∫∫

donde
()
{ }
22
,4Dxyxy=+≤
En la figura 4.17, donde se aprecia la región
D, se señalan los
valores de
r y
θ a la entrada y salida de dicha región.

Figura 4.17
Valores de
r y
θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.5
Donde (){ }0202Dr, rθ θπ′=≤≤∧≤≤
Entonces, al emplear la ecuación
IV.18, se tiene que:
2 2
22 22 2
0 0
20 2 20 2
D
Vx
y xydA r r rdrd
π
θ

=−−−+= −−

∫∫ ∫ ∫

EJEMPLO 4.5
En el ejemplo 3.4 del
capítulo 3, y se obtuvo
que:

19, 77678464V=
Valor de r a
la salida de
D

2r=

Valor de r a
la entrada de
D

0r
=

D
0θ=
2θπ=

Como:
()
rcos x
Tr,
rsen yθ
θ
θ

==



Entonces:
()()
22
22
222
xy r cos rsen
xyr
θ θ+= +
+=

Figura 4.16
Sólido
S del ejemplo 4.5

Figura 4.18
Región D′ ejemplo 4.5

19. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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146
2
040 80 40 160
5 5 19,77678464
33 3 3
Vdπ
θππ

=−=−≈


∫

Finalmente:
2 2
2
0 0 40 160
20 2 5
33
r r rdrdπ
θ ππ

−− = −

∫∫



4.3 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE
33
→\\
De manera similar a una transformación de
22
→\\, una
transformación geométrica del tipo
33
→\\ se emplea cuando se
desea convertir o transformar una región tridimensional
B del
espacio
xyz en una nueva región
B′ del espacio tridimensional
uvw.

Sea
T una función definida como
33
T:B B′⊂→⊂\\ , tal que:
( ) ( )( )( )( )
123
T u,v,w T u,v,w ,T u,v,w ,T u,v,w= (IV.33)
Donde:
( )
1
Tu,v,w x= (IV.34)
( )
2
Tu,v,w y= (IV.35)
( )
3
Tu,v,w z= (IV.36)
Entonces, la función de transformación
T es:
( )( )Tu,v,w x,y,z= (IV.37)
Por lo tanto, la función
T transforma todo punto
( )u,v,w B′∈ en un
punto
()
x,y,z B∈ .
La función T también
suele escribirse como:
()
()
()
()
1
2
3
Tu,v,w x
Tu,v,w T u,v,w y
Tu,v,w z
 
 
 
 ==
 
 
 


20. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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147

El jacobiano
( )
()
x,y,z
u,v,w
∂
∂
se obtiene como:
()
()
xxx
uvw
x,y,z yyy
det
u,v,w u v w
zzz
uvw
∂∂∂ 
 
∂∂∂
 
∂  ∂∂∂
=
 
∂ ∂∂∂
 
 ∂∂∂
 
 ∂∂∂ 
(IV.39)
Existen dos casos particulares de cambios de variables para
integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de
coordenadas de rectangular a: coordenadas cilíndricas o
coordenadas esféricas.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple
Sea
3
:f→\\ una función continua definida en la región
3
B⊂\. Sea T una función inyectiva que transforma los
puntos
( )
3
u,v,w B′∈⊂ \ en ( )
3
x,y,z B∈⊂ \, mediante la
expresión ( )( )Tu,v,w x,y,z= . Suponga que T es de clase C1
y que la derivada ( )Tu,v,w′ es una matriz inversible
()u,v,w B′∀∈ , entonces:
() () ()
( )
()
BB
x,y,z
fx,y,z dV f T u,v,w dudvdw
u,v,w
′
∂
=
∂
∫∫∫ ∫∫∫
(IV.38)
El jacobiano también se
denota como:
()
()
uvw
uvw
uvw
xxx
x,y,z
det y y y
u,v,w
zzz



∂
=
∂ 




21. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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148
4.3.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS
A continuación se describe como emplear un cambio de variable a
coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple.
Considere que se desea calcular una integral triple
()
B
fx,y,z dV∫∫∫
, donde B es un recinto como el mostrado en la
siguiente figura.

Figura 4.19
Una región general B
La región B está definida como sigue:
() () () (){ }12
Bx,y,z x,y D z x,y z z x,y=∈∧≤≤ (IV.40)
Donde
D es la proyección del sólido
B sobre el plano xy. Si
dicha región
D puede expresarse en coordenadas polares,
entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas,
definida
33
T:B B′⊂→⊂\\ , viene dada por:
( )( )( )T r, ,z r cos ,rsen ,z x,y,zθθθ== ( IV.41)
Por lo tanto la región B′ es:
En el APÉNDICE A, se
presenta un repaso del
sistema de coordenadas
cilíndricas.
B
D
()
1
zzx,y=
()
2
zzx,y=

Figura 4.20
Proyección de la
región
D sobre el
plano
xy
D

22. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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149
()
() (){ }121 21 2
B r, ,z r r r z r, z z r,θ θθθ θ θ′=≤≤∧≤≤∧≤≤ (IV.42)
Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral
triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación:
()
()
22
0
0
001
xxx
cos rsen
rz
x,y,z yyy
det det sen r cos r cos rsen
r, ,z r z
zzz
rzθθ
θ
θ θθθ
θθ
θ
∂∂∂
−

∂∂ ∂



∂ ∂∂∂
== =+

∂∂∂∂ 


∂∂∂

 
∂∂ ∂

( )
()
()
22
x,y,z
rcos sen r
r, ,z
θθ
θ
∂
= +=
∂ (IV.43)
Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:



TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas en una
integral triple
Sea
3
:f→\\ una función continua en una región
tridimensional
B′, definido como:
() () (){ }121 21 2
B r, ,z r r r z r, z z r,θ θθθ θ θ′=≤≤∧≤≤∧≤≤ ,
donde
21
02
θθπ≤−< , entonces:
( ) ( )
BB
fx,y,z dV fr cos ,rsen ,z rdzdrdθθθ
′
=∫∫∫ ∫∫∫
(IV.44)
La función T de
transformación a
coordenadas cilíndricas,
también se escribe como:
()
rcos x
T r, ,z rsen y
zzθ
θθ


==





23. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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150
Evalúe la integral triple
B
xyzdV∫∫∫
, empleando coordenadas
cilíndricas, donde B está definida como:
(){ }
222 22
41000B x,y,zxyz ,xy ,x,y,z=++≤+≥≥≥≥
Solución:
El sólido B, junto con su proyección en el plano ,xy se muestran
a continuación, en la figura 4.21

Figura 4.21
Región B del ejemplo 4.6
Entonces, en coordenadas cartesianas:

22
4
0
xy
BD
I xyzdV xyzdzdA
−−
==∫∫∫ ∫∫ ∫

donde D es la proyección de la región Ben el plano xy. Lo que
interesa a continuación es definir dicha región
D, mostrada en la
figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como
D
′.
EJEMPLO 4.6
En el ejemplo 2.5 del
capítulo 2, y se obtuvo
que:
9
8
B
xyzdV=∫∫∫

Cambiando la ecuación
de la esfera
222
4xyz++= a
coordenadas cilíndricas
se tiene: 22 2
44z xy r=−−=−
B
Valor de z a
la salida de
B

2
4z r=−

Valor de z a
la entrada de
B
0
z=

24. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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151

Figura 4.22
Región
D del ejemplo 4.6
Así, la región
D en coordenadas polares es:
() 120
2Dr, r
π
θθ
 
′=≤≤∧≤≤ 

Por otra parte, al componer la función integrando,
( ),,fxyz xyz= ,
con la función de transformación, ( )( )T r, ,z r cos ,rsen ,zθ θθ= , se
obtiene:
( )( )( )
2
fT r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θθ θθ==

Por lo tanto la integral triple es:
() ()
2
24
22
010
r
B
xyz dV r cos sen z r dzdrd
π
θθθ
−
=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

()
( )
32
2
2
01
4
2
B
rr
xyz dV cos sen drd
π
θθθ
−
=
∫∫∫ ∫ ∫

()
2
0
99
48
B
xyz dV cos sen d
π
θθθ
= =∫∫∫ ∫

2
24
32
010 9
8r
r cos sen z dzdrd
π
θθ θ
−
=∫∫∫

Valor de r a
la salida de
D

2r=
D
0θ=
2
π
θ=

Valor de r a
la entrada de
D

1r
=

25. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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152
Evalúe la integral triple
()
B
xyz dV∫∫∫
, donde B es la región del
primer octante comprendida entre los conos,
()
22
2zxy=+ y
22
zxy=+ y el plano 4z=, empleando coordenadas cilíndricas.
Solución:
El sólido
B, junto con su proyección en el plano ,
xy se muestran
a continuación, en la figura 4.23

Figura 4.23
Sólido B del ejemplo 4.7
Como el valor de z cambia a la salida del sólido B, entonces, en
coordenadas cartesianas:
() ()
()
()
22
22 22
12
4 2
xy
BDxy Dxy
xyz dV xyz dzdA xyz dzdA
+
++
=+∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

donde
1
D y
2
D son las proyecciones del sólido B en el plano xy.
Dichas regiones
1
D y
2
D se pueden expresar en coordenadas
polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.
EJEMPLO 4.7
En el ejemplo 2.6 del
capítulo 2, y se obtuvo
que:
() 64
B
xyz dV=∫∫∫

Recuerde que las
funciones del tipo
(),zfxy= deben
expresarse en función de
r y
θ, por lo tanto:
()
22
22z xy r=+=
y
22
zxyr=+=
B
Valor de z a
la salida de
B

4
z=

Valor de z a
la entrada de
B zr=

Valor de z a
la salida de
B

2z r=

Valor de z a
la entrada de
B zr=

26. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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153

Figura 4.24
Región
1
D del ejemplo 4.7

Figura 4.25
Región
2
D del ejemplo 4.7
De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que:
()
()
1
2
840
2
080
2Dr, r
Dr, r
π
θθ
π
θθ
 
′=≤≤∧≤≤ 

 
′=≤≤∧≤≤ 


Como la función integrando es
( ),,fxyz xyz= , entonces:
( )( )( )
2
fT r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θθ θθ==

Ecuación de
transformación a
coordenadas cilíndricas
()
rcos x
T r, ,z rsen y
zzθ
θθ


==




Recuerde que al definir
una región
D en
coordenadas polares,
dicha región se denota
D′
Valor de r a
la salida de
D

4r=

D1
0θ=
2
π
θ=

Valor de r a
la entrada de
D

8r=

Valor de r a
la salida de
D

8r=

D2
0θ=
2
π
θ=

Valor de r a
la entrada de
D

0r
=

27. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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154
Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como
sigue:
() ()
()
44
22
08
82
22
00
Br
r
r
I xyz dV r cos sen z r dzdrd
r cos sen z r dzdrd
π
π
θθθ
θθ θ
= =+
+∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫∫

( )
32
5
48
22
08 00
16
22rr r
I cos sen drd cos sen drd
ππ
θθθ θθθ
−
=+
∫∫ ∫∫

22
00
256 128
33
I cos sen d cos sen d
ππ
θθθ θ θθ=+∫∫

128 64
64
33
I
=+=
Entonces:
44 8 2
3322
08 00
64
r
rr
r cos sen z dzdrd r cos sen z dzdrd
ππ
θθ θ θθ θ
+ =∫∫∫ ∫∫∫



4.3.2 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS
Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales
triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema
rectangular al sistema esférico.
Considere una integral triple ( )
B
fx,y,z dV∫∫∫
, donde B es una
región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.
En el APÉNDICE A, se
presenta un repaso del
sistema de coordenadas
esféricas.

28. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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155


Figura 4.26
Una región general B
Donde la región B puede escribirse de una manera sencilla si se
emplea una transformación
T a coordenadas esféricas, definida
33
T:B B′⊂→⊂\\ , viene dada por:
()
( )( )T , , cos sen , sen sen , cos x, y,zρθφ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ== ( IV.45)
Entonces, la región B′ es:
(){ }121212
B,,ρθφ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′=≤≤∧≤≤∧≤≤ (IV.46)
Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe
determinar el jacobiano de la transformación, entonces:
()
()
0
xxx
cos sen cos cos sen sen
x,y,z yyy
det det sen sen sen cos cos sen
,,
zzz
cos sen
θφρ θ φ ρ θ φ
ρφθ
θφρθ φρ θφ
ρφθ ρ φ θ
φρφ
ρφθ
∂∂∂
−
 
∂∂∂
 
 ∂ ∂∂∂
 ==
∂∂∂∂  
 
∂∂∂
 −  
∂∂∂

()
()
()( )
()()
22 3 2 2 2
22 2 2 2 3
x,y,z
sen sen cos cos sen
,,
sen cos sen cos sen
ρθφρ θφφ
ρφθ
ρθφφρ θφ
∂
 = ++
 
∂
 −− −
 

La función T de
transformación a
coordenadas esféricas,
también se escribe como:
()
cos sen x
T,, sensen y
cos zρθφ
ρθφ ρ θ φ
ρφ


==




B
()
1
zzx,y=
()
2
zzx,y=

29. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

156
()
()
()()
()
()
()()
23 2 2 2 2 2
23 2 2 2 2
x,y,z
sen cos sen cos sen cos sen
,,
x,y,z
sen cos sen sen sen cos
,,
ρφθ θ φφθ θ
ρφθ
ρφφφρφφφ
ρφθ
∂
 =++ +
 
∂
∂
=+ = +
∂

( )
()
2
x,y,z
sen
,,
ρφ
ρφθ
∂
=
∂
( IV.47)
Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue:


Existen también otras regiones más generales que se pueden
definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera:
()
() (){ }121212
B,, , ,ρθφ ρ θφ ρ ρ θφ θ θ θ φ φ φ′=≤≤∧≤≤∧≤≤
(IV.
49)
En ese caso, la integral triple queda como:
() ( )
()
()
22 2
11 1
2
,
B,
fx, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d d
θφρθφ
θφρθφ
ρθφρθφρ φρ φρφθ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
(IV.50)

TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas en una
integral triple
Sea
3
:f→\\ una función continua en una región
tridimensional
B′, definida como:
(){ }121212
B,,ρθφ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′=≤≤∧≤≤∧≤≤ , donde
21
02θθπ≤−< y
21
0φφπ≤−< , entonces:
() ( )
2
BB
fx, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d dρθφρθφρ φρ φρφθ
′
=∫∫∫ ∫∫∫
(IV.48)

30. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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157
Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el
volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1
y 4.
Solución:
El sólido
B, en coordenadas cartesianas está definido como:
( ){ }
222
116Bx,y,z xyz=≤++≤
Y su volumen es
B
VdV=
∫∫∫

En la figura 4.24 se muestra el sólido B, pero para poder
identificar los valores de ρ, en la figura 4.28 se retira la porción
del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el
octante.

Figura 4.28
Porción de la región tridimensional B del ejemplo 4.8
Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la
región B, generalmente se proyecta dicha región sobre el plano
xy; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya
que se obtienen dos círculos concéntricos, entonces, en
coordenadas esféricas la región tridimensional B es:
El volumen pedido en
este ejercicio se planteó
en el ejemplo 3.17 del
capítulo 3; sin embargo,
nótese lo fácil que resulta
calcular dicho volumen
en coordenadas esféricas.
EJEMPLO 4.8
Figura 4.27
Región tridimensional
B del ejemplo 4.8
Valor de ρ a
la salida de
B
4
ρ=

B
Valor de ρ a
la entrada de
B
1
ρ=

0φ=
φπ=

31. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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158
( ){ }1402 0B,,ρθφ ρ θ π φ π′= ≤≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤≤
()
24
2
00 1
B
I xyzdV send dd
ππ
ρφρθφ==∫∫∫ ∫ ∫ ∫

2
00 0
21 42 84Isenddsendd
ππ π
φθφ π φθφ π===∫∫ ∫

24
2
00 1
84sen d d d
ππ
ρφρθφ π=∫∫ ∫



Resolver la integral triple
B
xyzdV∫∫∫
planteada en el ejemplo 4.6,
pero empleando coordenadas esféricas:
Solución:
El sólido
B, en coordenadas cartesianas está definido como:
()
{ }
222 22
41000B x,y,zxyz ,xy ,x,y,z=++≤+≥≥≥≥
Transformando a coordenadas esféricas se tiene:
222
42xyz ρ
++= ⇒ =
()()
22
22
11x y sen cos sen senρφ θ ρφθ+=⇒ + =
( )
22 22 2 2 22
111x y sen cos sen senρφ θ θ ρφ+=⇒ + =⇒ =
22 2
2 1
1
xy csc
sen
ρ ρφ
φ+=⇒ = ⇒ =
Buscando la intersección entre
4
ρ= y cscρφ=
2
11
22
2
csc sen
sen
csc
ρ
φφ
φ
ρφ=

⇒= ⇒= ⇒ =

=

En el ejemplo 2.5 se
resolvió la integral
empleando coordenadas
rectangulares, mientras
que en el ejemplo 4.6 se
empleó coordenadas
cilíndricas.
EJEMPLO 4.8
La función T de
transformación a
coordenadas esféricas es:
()
cos sen x
T,, sensen y
cos zρθφ
ρθφ ρ θ φ
ρφ


==





Por otra parte, por
definición,
0
ρ≥
Recuerde que el volumen
entre dos esferas
concéntricas se puede
calcular como:
()
334
3
VRr
π=−

donde
r: radio interno

R: radio externo
Entonces:
()
4
64 1 84
3
Vπ π=−=

32. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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159
Luego:
1
26
arcsen
π
φ

==



En la figura 4.29 se muestra la región
B y se señalan los límites
de integración empleados en coordenadas esféricas.

Figura 4.29
Región B del ejemplo 4.8
Entonces la región B′ es:
() 40 0
22
B,,csc
π π
ρθφ φ ρ θ φ
′=≤≤∧≤≤∧≤≤


Luego, la función integrando es
( )fx,y,z xyz= . Al componer dicha
función con la transformación:
( )( )T , , cos sen , sen sen , cosρθφ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ=
Se tiene:
()( )( )( )
32
fT , , cos sen sen sen cos cos sen sen cosρθφ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ θ θ φ φ==


Por lo tanto la integral triple es:
Recuerde que:
0φπ≤<
Valor de
ρ a
la salida de
B
2
ρ=

BValor de ρ a
la entrada de
B
csc
ρφ=

6
π
φ=

2
π
φ=




Figura 4.30
Proyección del sólido
B
sobre el plano
xy
0θ=

2
π
θ=

33. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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160
() ()
2
32222
0
6
Bcsc
I xyz dV cos sen sen cos sen d d d
ππ
π
φ
ρθθ φ φρ φρφθ==∫∫∫ ∫ ∫ ∫

()
2
5322
0
6
csc
I cos sen sen cos d d d
ππ
π
φ
ρθθ φ φρφθ=∫∫∫

()
3622
0
61
64
6
I sen cos sen cos csc d d
ππ
πφθθ φ φφθ=−∫∫

2
0
99
48
Icossend
π
θθθ
= =∫

Finalmente:
()
2
5322
0
6 9
8
csc
cos sen sen cos d d d
ππ
π
φ
ρθθφφρφθ =∫∫∫



Calcular el volumen del sólido
B definido por las superficies:
22
2xyx+= , 0z= y
22
zx y=+, empleando:
a) Coordenadas cartesianas.
b) Un cambio de variable adecuado.
Solución:
El volumen de un sólido B se obtiene mediante la integral
B
dV∫∫∫
.
La superficie de ecuación
22
2
xyx+= puede escribirse como:
()
2
2
11xy−+= , por lo cual dicha ecuación es una superficie
circular cilíndrica. La superficie
0z
= es un plano horizontal y la
superficie
22
zx y
=+ es un paraboloide. A continuación se
muestra la gráfica del sólido B.
EJEMPLO 4.9

34. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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161

Figura 4.30
Sólido B del ejemplo 4.9
Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar
el sistema de coordenadas a emplear:
a) En el sistema de coordenadas cartesianas:
La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral
iterada
B
dzdydx∫∫∫
, por lo que se debe identificar los valores que
toma la variable
z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura
4.31 se muestra el primer orden de integración.

Figura 4.31
Primer orden de integración en coordenadas cartesianas
para el sólido B del ejemplo 4.9
B
Valor de z a
la entrada de
B
0z
=

Valor de z a
la salida de
B

22
zx y
=+

B

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162
Por lo tanto, el volumen se calcula como:
22
0
xy
D
VdzdA
+
=∫∫ ∫

Donde
D es la proyección del sólido
B en el plano xy. Dicha
proyección se ilustra en la siguiente figura.

Figura 4.32
Región
D del ejemplo 4.9
Por lo tanto la región bidimensional D está definida como:
()
{ }
22
02 2 2Dx,y xxx y xx=≤≤∧−−≤≤−
Por lo cual:
()
222 2
22
22 22
22
02 0 02xx x y xx
xx xx
Vdzd
ydx x ydydx
−+ −
−− −−
==+∫∫ ∫ ∫∫

()
32
2222
023
222
32
Vxxxxxdx
π

=−+−=


∫

222
2
22
02 0 3
2xx x y
xx
dzdydx
π
−+
−−
=∫∫ ∫

b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es
emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las
superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema
son:
Valor de y a
la salida de
D

2
2yxx= −

Valor de y a
la entrada de
D 2
2yxx=−−

D

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163
( )
22 2
22 20xy x r rcos rrcosθθ+= ⇒ = ⇒ − = , entonces:
22
22xy xrcos θ+= ⇒ =
Para el paraboloide se tiene:
22 2
zx
y zr=+⇒=
En coordenadas cilíndricas la primera integración se realiza
respecto a la variable
z, cuyo valor a la entrada del sólido es 0z
=
y a la salida del sólido es
2
zr
=, tal como se mostró en la figura
4.31.
Cuando se proyecta el sólido en el plano xy se obtiene el disco
mostrado en la figura 4.32; sin embargo dicha región debe
definirse en coordenadas polares.

Figura 4.33
Región
D del ejemplo 4.9
Así, la región
D en coordenadas polares es:
(){ }02 0Dr, rcosθ θθπ′= ≤≤ ∧ ≤≤
Luego el volumen en coordenadas polares es:
2
22
34
00 0 00 0 3
4
2cos r cos
V rdzdrd r drd cos d
πθ πθ π
θ θθθπ====∫∫ ∫ ∫∫ ∫

2
2
00 0 3
2cos r
rdzdrd
πθ
θπ=∫∫ ∫

La transformación es:
()
rcos x
T r, ,z rsen y
zzθ
θθ


==




donde:
222
rx
y=+
Valor de r a
la salida de
D

2rcos
θ=

D
Valor de r a
la entrada de
D

0r=
θπ=
0θ=
La gráfica de
2rcosθ= se obtiene
para
[
]0,θπ∈ .
Cuando
0
2
,
π
θ

∈


se
obtiene la
semicircunferencia
superior, mientras que
para
2
,
π
θπ

∈


, el radio
vector es negativo y por
lo tanto se genera la
semicircunferencia
inferior.
Observe que calcular el
volumen del sólido B
en el sistema de
coordenadas cilíndricas
es mucho proceso más
corto y sencillo que en
coordenadas cartesianas.