Cap. 21 função do 2° grau

1. Capítulo 21
l+
al.Lf-Ltv)'1.f,
ou do 2e grauFunção quadrática
1. A parábola
Pãa o cstudo da tunção do 2r gÌàu é necessário o conhecimenb de uma cuÌva ptana denominadâ
pârábolâ. EssÂcurva é â intersecçÀo dâ superfície de um cone colÌ trm ptâno paralclo auma rtas gera_
Aparábola estápresenÌe no nosso dìâ-a-dìa enr víÌrìas sìturìçõÕs.
Exenrplos
â) Quando lançamos una peúa obliquamerÌre
pb'r c.mi. .u,, lr{etór d ( prrâboticâ.
bì Qudr do d( end.n ,,, o tarol d.,. Jrro, o. r.,r, ..
de Ìuz, provenienLes da lâmpadâ, incidemnum es
peiho pârubolico.,!o -etlerido, Iì:r!lelJmenÌ(
Je
165

2. Funçãô quadrática ou do 24grau
Como você vê, emboÌa poucos sâibam o nome
Como a parábola será umê companheirâ constânle
Definjção
,lri
'-.: .'.'
dessâ cürvâ, elâ fâz paÍe do nosso cotidìâno
daqui por drânÌe, convém conìecêla rnais rÌe
if:n,,ú:
*:irr;t;#r"..rlrir.:.l
O ponto P. do plano (r. F), peÍence à parábola se,
e
'omenre.e.
Pf PP
'P
é â projeçuo oíogonal
Nomenclafura
. A reta r. é a diretriz da pâÌáboÌa.
. Oponto F é o foco dâpâÌáboÌa.
. A reta pque pd*â por reéperpen,lnuìâr â,
é o eixo d€ sim€tria dâ pâÌábolx.
. O ponto v, inÌersecção da pâÌábolâ com o
eixô e, é o Yéúice da paúbola.
2. A parábola como gráfico de uma funçáo
\o plano canesidno do lado Íep'e\enÍamos â
paúbola cujo foco é o ponto F(0, 5) e cujâ direrrÌz
é â rera /. peÍpendjcuìâr ao eixo Ov peìo ponro
í0. l) Essa cuna e griifico de uma funçio
/:lR
-
R.
Usando a definição de paÌábola, podemos deteF
minff a lei
)
:
/(.,r)
que associa cadâ Í do domínio
de/ à \uâ imagem
),. Para i*o. con,ideÍemo. um
ponro Pí\.
)).
genenco dd parábolâ. como mosÍÍ-
166

3. Funçáo quadrálica ou do 2qqrau
. o ponto PpeÍence à paÌábola; logo, PË: PP'.
. O conpÌimento do segmento PP'é) 3.
. O coÍnpÌimento do segmento PÃ é obtido pelo teoÍemâ de PÍágoÌas no triângulo POF :
(PF)1= (PQll + (QF)'z ë (PFÌ: Ì': + Cr 5Ì . . PI :
'ç'
+ (i - 5f .
Nota
Mesmo que o segmento PF sej a paÉlelo a un dos eixos, O-Ì ou ô, seu cornpriÍnento pode ser obtido
pela fóÌmula anterior.
PF : PP' .1'4'+]y s; : y :
..(ú'. o'
-5r
I
=cu-:r..:É+o s)2=(r, 3F
...rt+ y1 tor+25: I 6]'+9
..r,+ t6:4J ..)=
?
+4.
Loso, a parábola ênterior é o sráfìco dafunçao;,:
f
++.
De nânei.a análoga à que fizemos parâ essa cuÌva, podemos demonst.aÌ que toda parábola com ei-
xo de simeiriâ peryendicìÌar ao eixo Ox é gÌáfico de umê função do tipo ],
= dr': + ójr + c, com
1d, à,.Ì cRea+0.
Definição
Exemplos
ã)r
-3:tz
r 2
b)/(.Ì) : ai'z 2
c\í@:; -;
d)]r : Ì,
3. Gráfico de uma funçáo do 2a grau
Essa paÍíbola tem o ei'(o de simetÌia peryendicular ao eixo Or e sua concavidade é voltada para o
sentido positivo do eixo oy, se d > 0, ou voltadâ para o sentido negativo do eìxo Ot, se d < 0.
167

4. Função quadrálica ou dô 2! grâu
ExempÌo
PâÌâ esboçar o gráfico da função J
: Ìr, podemos construir â seguinte tabeÌa:
Como sabeÌnos qüe o gÌático dc umr função do 2! grau é uma parábola. nârcamos no pÌano câÌre-
siano os pontos oblidos pclâ tabela e a seguirunimos esses pontos desenìando üma paÌáboÌa.
4, Pontos notáveis da parábola
Alguns pontos da paÌábola, poÌ fâcilitârem â constrüção do gráfico da tìnção do 2q grau, merecem
deúâque. Vejanos quâis são eles.
4.1. Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Or (se existirem)
PdÌaobtêlos,apaíirdet=ar':+b-v+(],bastaêtribuìÌmosovaÌorz€roàvariável)eresolverâ
equâção: a!: + áj| + . = 0. 1!
Pa.â rc\!'lve la. JrrL,,amo, a rormuld de Bha.kâ â,
'
^=
-t
.eÌnque^ b 4d,.
. Se a equação (Ì) tiver À > 0, então terá duas Ìaízes reais e distintas: jrj + r:. Assim, os pomos de
inrcrsecção da paráboÌâ com o eixo OÌ são (Ìr, 0) e (rr.0).
Resuínindo:
168

5. Funçáo quadráticã ou do 2qgÍãu
a) Dâdâ â função do 2q gÌãúf:2x2 l, para obtemos os pontos de ìntenecção de seu gÍáfico
com o eixo Oiy, âtribüímos o vâlor zero à vâriável
) eresolvemos a equação 2r, Ì I :0.
Temos^:à'z AaclL=( 1)' 4,2.( I):9.
Como Á > 0, a parábola intercepta o eixo Or Sabemos ainda que o coeficienre de r, é posì-
em dois pontos distintos: (ÍÌ, 0) e (Í,,0), em que tivo (a > 0); logo, â parábola tem a concâvidâde
.r1 e
-r2
são raízes da equação.
DetemiÌÌêndo .rÌ e ú, temos:
-hlnE I rì:Ì",8
b) ConsideÌ€mos a função do 2q grau f(j')
: 3x1 + '7 :t 2.
Atrjbuindo o valor zero à vnrjável/(Ì). obtemos a equação 3jr'?+7-v-2:0.
TeÌìos Á = b2 4ac +
^:72
4( 3)( 2) :25.
CoÍno  > 0, ê parábola coÍespondente ao Sabemos ainda que o coeficiente de
-!,
é nega-
gÌáfico de/ intercepta o eixo O-Ì em dois pontos tivo (a < 0), o que impÌicâ que â concavidade da
distintos: (Ì,,0) e (,v2,0), em que,vl e ì:: são as raí paÌábola é voltada paÌa bâixo:
DeÌeminândo Ì, e Ìr, tl3mos:
-b ! dE -1 ! ,,8í
-
2a 2( 3)
l^
. Se a equação (I) tiver
^
: 0, enlão {eÌá duâs raízes Ìeais e iguais: jrr : jq. Assim, a paÌábola seú
ÌalÌgente ao eixo oÌ no ponio de âbscissa Ìj : ar.
Resumindo:
_l
2
-z\-
169

6. Funqão quádÍóticê ou do 2qsr8u
ExempÌos
â) Sendo y = tz- 6ï + 9. fâ.çamos )
= 0 pam obter as raízes dessâ função' ou seja Í' - 6Ì + q:0
TemosÀ=r'? 4dc+À:( 6\z 4'l'9
Como À : 0, temos duas Íaízes Íeaìs e iguâis
(.rr : ÍJ; poÍtânto a paníbola tangencia o eixo OÍ
no ponto de abscissa :rÌ : rr.
Determinando essas râízes, temos:
"
-óiJÀ j,_
(-6)aJo
^h2
... Jl
:4, = 3.
Como o coefìciente de 'I':é Positivo
(d > 0)' â
concavidade dâ parábola é voltâda para cima:
b) Na função /(r)
= ar' - 1à - 9. fazendo f(r)
= 0' obremos âs rìízes de í ou sejâ:
4t2-12.x-9=0'
remosÀ : ò,
_4ac = À = (_l2F -4( aX-9) = 0.
Como À : 0, Ìemos {ìuas Íaízes reais e igüais O coeficiente de rz é negativo (d < 0); logo' a
(,r1 :.r,);Ponân;o  paúbola tangencia o eixo O:Í paúbola tem a concavidade voltada paÌa baixo:
no Ponto de abscissa Ìr = tr.
DeteÍminando essas mízes, temos:
,hL
"lL
r-12) a J0
x=--
2d -Í r\4)
3
z
. Se a equação (l) tiver À < 0, então não teÌá Íâízes Ìeais Assìm' a paÌábola não terÁ ponto em co-
mum com o eìxo o.{.
Resumindo:
{concavidad€ pâE baixo)
r?0

7. Função quadráuca ou do 2egrau
Exemplos
a) Sejâ): 2Ì'?+ Ì + l. Fazendol,: 0, Ìemos 2Ì'?+ r + I : 0.
L-bt 4at + L:1' 4,2.1:-1.
CoÌÌo  < 0, a equação não possuì raízes reaìs
l"o srgnrlrca que a parabola corrc.pondenre a;
gÍáfico da função não tem ponto em comum com
o eiro Or. Sabemo. ainda que o coeficienre de í
é po'ìrivo íd 0): logo. a concavidlde e \olrr,l"
pala cìma, conforme gúfico ao lado,
Para deÌerminamos a posição dessa parábola, podemos construir uma tabeÌâ:
Nota
Nos subitens 1.2 e 4.3 seguintes, estudaremos alguns pontos notáveis da paÌìíboÌa que dispensarào a
consÌrução dessâ tabeÌê.
b) seja/(r) = -Ií7 + 2:í - 1. Fazendo f(-Ì)
: 0, temosi 2Ìz+2r l=0.
A = b'1 4ac + L :22 4( 2X-1) = 4.
como Â
.
0. d equaçào nào po,sui rarze, reai'.
poÍanto a parábola não tem ponÌo em comum
com oeixo O,. Como o coelìcienre de,:ë negar-
vo (d < 0), a concavidade dâ pan4bola é voltada
pâIa bâìxo, conforÍne gráfico âo Ìâdo.
Se quisermos deterninaÌ a posição da paÌábola, podemos construir uma tabela:
171

8. Fun(áô quâdÍár ca ou do 2!sÌau
4.2. O ponto de intersecçáo da parábola com o eixo O1'
Parâ obtê Ìo. â paúir de )
=
ar, + ó-! + c, basla âúbuiÌmos o valor zero à vadáveÌ Ì:
t:a,V+b.0+c+y=,1.
Assim, o ponto de ìrtersecção da paúboÌâ com o eixo O) é (0, .).
ExempÌo
Para esboçar o giífico da função )
: .r2 - 6r + 5, vâmos obler os pontos de intersecção da paráboÌa
com os eixos OÌ e O]Ì.
Fazendo):0, temos
-r']
6r + 5 = 0.
L=b1-1ac
..À=(-6f-1.1.5 16
t"+ lÍ
Logo. Ì: _-:::1 +
-(
6):JL
2l
Ëntão, â parábolê inÌeÌceptê o eixo Oj no ponto
(0.5).
O esboço do gií1ìco é:
..iì=5ir,:1.
Poíânro. a parJbola nreÍceprd o ei\o O, nu,
ponÌos (Ì,0) e (5. 0).
Fazendo
-Ì -
0, temos
l:o']6'0+5=-r:5.
4.3. O vértice da parábola
OuÌIo ponto norável da parábola é o seu véÌlice. CoÌno obrê lo?
No exempìo anÌeÌioÌ vimos que o esboço gÍáfico da função
)Ì: Ì1 6r + 5 é.
O \í ri.c v Ja Fraboid pe ence uo e'\o de
siÌÌetr-iâ e. l-ogo. sua úscissâ é a do ponto médro
do segmento de extremos (1, 0) e (5. 0). ou seja,
Substitü;ndoÌpor3 emJ: Ì, 6j + 5. obte-
Ínos a o cnadado véÌlice:
)=r' o r+:ì+Ì=-4.
Po.lanro o rèruce dâ pír;botJ e o pon
v(3, 4).
Percebemo,. por e$e c\emplo. que. quanuu
uma pJribolJ i!ìrercepra o ei(o O.rem dor. ponto,
di.ìinro', rorna^e ÍJcrl dereminrr J5 coordenadr.
.r, e )Ìv de seu véÍÌce.
172

9. Funçãô quâdrálìca ou do 2e grau
Pensemos agoÌa na lunção )
: -.r, + 4Ì - 4, cujo gráfico él
QuaÌ é o véÌlice dessâ pâráboÌâ? Clâro que é o ponto de tângênciâ (2, 0).
Esse câso âìndâ se mostrou simples. Analisemos
então um câso mâis compl;câdo, ou seja. uÌÌâ
paníboÌa que não intercepre o eixo OÌ. Por exem-
plo:)=Í':+2r+zl
FazendoJ = 0, ÌemosÌr + 2t + 4= 0.
L,=b, 4acé A,=21 4.1.4: 12.
Como 0ea 0. a paÍdbola nào po*ur
ponto em comum com o eixo oi e sua conca-
vidâde é voltada paÍa cima, confome gráfiso âo
Ìâdo.
Como determimr o véÍtice dessâ prráboÌâ? TÌâcemos peÌo
Dererminemo, o, vâìore. de , de modo q e í,. .,.
seja ponto dâ parábolâ, oì.r sejâ:
)-: a
-+
x2 + zÍ + y'=/
..-v:+ 2r = 0 .'.-r(.,r + 2) : 0
+Ì=0our:-2
ponto (0, 4) urnâ reta paÌalelâ ao ei{o Or:
173

10. Funçãó quadrálica ou do 2! grau
O véÌ.ìce
y peÌlence ao eixo de simetria da parábola; Ìogo, süâ âbscissâ é â do ponÌo médio do segmenlo
de extrcmos (-2.0) e (0,0), isto é, Ì = 1.
Sübstituindo
-r
por - 1 em I
: Ì, + 2,Ì + 4. obtemos a ordenada do vériice:
r:( lÌ+2( l)+4...)=3.
Logo. o váÌice dâ paÌábola é o ponÌo y(
1, 3).
Vêmos plovâÌ geneÌicamente que:
Demonstraçáo
Consideremos â função )
= &t1+ bt+ c,comla,b,.l C R e a + 0. Sendo À : òr 4d.. Ìemos
lrês casos: À > 0 (I); Á : 0 (I)i eA < 0 (ID.
Lrro
: - :'
Nesse câso a função tem duas raízes reâis e distintas:
h+.lL
',= n
,",=
bJtr
2a
A parábola intercepÌa o eixo OÌ nos ponios (.Ì1, 0) e (-r,, 0):
O véÍice
y
da paÍáboÌâ peíence âo eixo de simetria e. Logo, a abscissâ Ìy é a do ponto médio do seg-
menio d€ extÌ€mos (irj 0) e (r:, 0). Essa abscissa é a méúa aritÌnéÌica das abscissas r, e
-rr,
ou seja:
rv =
---- =
h+JL b-4tr 2b
------+_--=-
---
2a-2a2a
2a
Subsiituindo na tunção ]'
: dÌ2 + tÌ + c a variável .r por - 3, obternos a oraenâdâ 1,, do véÍice:
"Jv:
+.,
b
2a
b'
b' 2b'+ 4dc
4a
(b'1 4ac) A
174
(c.q.d.)

11. Função quad.ática ô! dô 2qgraú
ÌüÌ4*,,
jÌ
Nesse caso â função tem duas nízes reâis e iguâis Ìr = i!,
o.r no ponto ale âbscissâ Ì ,
:
"'
= -
,oL.
2d
A paÌáboÌa é tângente âo eixo
(c.q.d.)
A*im, a ab.cr.sã \. do veíice I e - -:. Vimo' no ca'o ( | | que..ubsliruiído nâ run!ào
)
= a1'z+ ó.ï +. avariáv.l tp",
+,
Nola
obtém-selv:
ad
0.
Nesse caso a função não tem mízes reâis; poÍanto a pâÍáboÌâ não tem ponto e
O:Í:
Como
^
= 0, tremos que
),
=
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo O) é (0, c).
L
175

12. Função quadrálica o! do 2!grâr
Nota
É cÌâÍo que o gÌáfico podeÌiâ estaÌ em umaposição diferente dessâs. Estâmos iÌustÍândo apena$ pae
tàcÌÌitaÌ o râciocínio.
Consideremos a reta que pas$a pelo ponro (0. c) e é paralela ao eixo Or.
Parâ deteminarmos as cooÌdenadas dos pontos da parábola que têm ordenadâ .. basta substiruirmos
na 1ìrnção ]
= ar'z + ór + c a vêriável J por.:
y' : d + hx + y' ..o: ax.+ b\..0:Ì(aÌ+r,) .."=o *,= a.
Como o v&úce y peÍence âo eixo de simetriâ s, temos qüe à âbscissâ Ìy é a do ponto médio do seg
/Àì
menro de extremos (0,0ì e
| ;,0.1
ou serr
o*í aì
a) h
2a'
Colno vinosno caso (I), subsÌiruindo na tunção J
: at' + àÌ + . a variável.,v por -
f, "tt.*
*,
^
176

13. Funçàô quâdÍáiicá ou do 2qgrau
Exercícios resolvidos
Ein'a: Esboçd o gúnco da tunção) = Ì'1 6Ì + 8. dando sen domínio e conjunto imagem.
Resolução
FazendoÌ = 0, tenos:rl - 6Ì + 8 = 0 + , = 2 ou Ì:4.
' Logo, a püáboÌa inteMpta o eixo OÌ nos potrtos (2, 0) e (4, 0).
Frzendo a = 0, temos )
= 02 - 6 0+8 + l=8.
Logo, a püáboÌa intercepta o eixo O) no potrto (0, 8).
A abscÌssa ry do !éíice é a do ponto médio do segmento de extremoi (2, 0) e (4. 0). Isto é:
,-ï-,
A oidemda)vdo véltice é obtìdâ substituindeset por 3 em) = ai óÌ+8.htoé:
)v=32 ó 3+8r yv= I
Logô, o véÍice é o ponto Y(1. l).
O doÍúnio da fDnção é R, pojs lda
quaÌquer Ã Ì € lR, existe f real tal que
)
= a1 6Ì + 8.
O conjmlo iMgen da füÍção é aquele fomado pèhs ordenadâs de todos os potrtos do gútico Essas
ordenadas são todos os números reais maiores ou iguais a l
In={}€RlÌ> 1} ou Im
:
t-1, +-t.
Êiz*i',r Esboçe o erá1ìco da função y : .É + 4, 5. dúdo seu domínio e conjulo imsem
Resolução
Fendo )
= 0,temos -rl + 4Í 5 = 0.
À =:P 4( l)(-5).'. Á = 4.
Cono
^
< 0, a função úo t€m nrízes reais: poÍanto a pdáhola não intercepta o ei\o or'
FâzendoÌ:0. temosl' = (t+4 0 5+l:-5
Logo, a pdáboÌa intercepta o ei{o t}] no ponto (0. - 5 )
PaÌì delenindmos o vénic€ V(Ì', rv). vmos usâr âs fónulas:
'''
21 2( ì)
a _ ( 4) _. _ ,
t'
4u
-ìq
tl
-"
Temos então q& V(2, 1).
E
.E
177

14. Função q!âdráricâ óu do 2qs6!
E
E
O esboçÒ do eÌánco ó:
B:3':ì:l o gránco da lmçãolt) = d1 + ,a + . é ilâdÒ do lado.
De1enim..óe..
(0,2)€l + 2=d 02+à 0+..
(1.0)e/ + 0:4. rr+á. 1 +..
(4.0) € í + o = d. 41 Í b. 4 +.:.
remosentãoa=
i,
o : -1,,
-,
Rt4:,,:
pm que ratores reais de u a função /(r)
=
Uma função do 2q sran,/(a)
: a\1+ bx +
ou *jar È: - 4a. > 0.
Asim. !âú dcterminüd. à e.. basrâ Íesorvemos o sisrem" {
I *=r1 !t'= n,rt,
Lióa+4ò+.:0. (Ill)
Substituindo . por 2 eft (ll) e (1Í). e, a segulJ, nDlriplicdndo
lor
4 ambos os menbrcs de (Ìl). Lemos:
Somando. membro a memhÍÒ, esas dlas úÌtimas equâções, renosr i2a ó = 0 e a =
sou'ri,'inoo.
".
iIq. , po.
| ",,po.2..r'r".*,|
*r,+z:o = l=
].
O domíúo da função é R.
o conjunto imasem é In: l--, 11.
}Ir+ 5Ì + n + 3 admiledua$raÍzes reàis edisrinlnsl
.i. admile duas mízes Êais è distìúas se, € somelte se, Á > 0.
la+b+2=
o.( 4)
|
4a-4ó-u:o
ll6a+4ó+2 -
0 llóz+4r+2:(ì
I
2
Natunção/(-Ì) = ãr + 5Ì + / + 3, Ìemoí:
\= b) 4ac
-
a:5: 4
.
2(n + 3)
..4=25 8(u +3).'.4:25 8n 2:1 ..,1=l 8n.
lmpondoA O.rem,F: l 8a 0,. f-.-r ..V, f ,,r
l
Loso. a função/ rem duas raízes r€aìs c disiintas para rod.. e r"..
f,.
174

15. Funçào quadÌári.â ou dô 2! OÉu
:Ëì5i' o cránco da fuçãolk) = eÌ7+ r l, t € R, é uftâ !âíhola
que posui dois ponros distintos em comum
com o eixo Or. Deteminü os po$ívçis vãiôÍes dè t.
Resolusão
Pa.a quê o eúôco de/ seja uma pdáboÌa. devemos impor ünâ condição pda
B:Ìmtir
quefé tunção do
2q gra!. Esa condição éì
:.-i
+í:: rrr
Pda que a pddbola teúa dois pontos distinros em conüú com o eixo Or, a funçao/ deye tcr duas rdzes
reais e distinllsi lorlanlo devemos tor A > 0.
L:b,_4dc +
^=1'
4.À,( t)...Â=1+4n.
rr."ndoa ,,.'emo\: | !Á 0.. r r ..r,iili*: ,"'
:.i::l+:i:1
_
Por íIì e íÌÌì. km. Í > - e t +{J.
rEiF.'li DeLemiid ô onjunro imasem da tunçãol : [ 2, 2t
-
R ta] q!e/(Ì) Ìr 2.r 3.
Consideremos a função 8: R- R tai que
8(r)
= Ì' 2r - 3.
A,=b1 4ac-
^=(
21 1,1.( 3)
..À=16.
- ,x,LT ( 2) 1 JL
t=
,, -r= :.r
Ao resirlngimos o domínio da tNção s ao intdalo [ 2. 2t. oblemos a função /, ou sejâ:
/r I 2.2t- R 1al que/(a) = Ìr 2t 3'
.f( 2)= 2)' 2( 2)-3 r/( 2)=5 e
fQ)=t 2.2 3 +JQ)= 3
Loso. o conjunto imasèú de/ él
Im=l)€rRl 4<:r'<51 ou Im=l 4,51.
179

16. Funçãô quadráticã ou do 2'gÌâu
Exercíc,ios básicos
i$fi:i'i o'i,*" . g.ri"" a" cada una das ruções. dúdo seu domínio e conjunto imase6:
f)r=zÌr 2t+l
9J
: 5rr+ 2r I
i) r: rt 4x 4
) ):Ìr-6r+5
Ì) )= 3a'+5ì
'm)t = Ì'+ 41+ 5
n) ]: 2r'? 18
*jË-i!l o eranco aa ruçao i,
: 62 + bt + c é:
'ì)
os valores dc a, b e.l
b) o corju.to inaeen de$a turyão.
ffi:fi O gráfico da fmção I
:
N1+ bx + c é:
DereDìne os valores de a, à e .
ffiÉ o eráfico da fução/(Ì) =ú2+tu+cé:
a) Detemine os valores de a, à e..
b) calcuÌe /(4).
ÉF;# rta que ralores rcais de u a função
/(r)
= m, + 3Ì + I possui duas raíz€s reais e disrinras?
Bì$ã# para
que vatoes reals dcn a função/(Ì): r: + m + n 1 admire .tuâs raías eais e iguais?
'ôi..,'i.f
r-" qr"
'a.r"r.""isdena
fungao/(Ì) = (u 2h, + 2M + t + 3
'ã,o ^dnite
raLes reais?
í80

17. Função quadrática ou do 2egrau
E x e rcício s c omple me ntare s
Sendo {a, à,.} c R. coma + 0. o eránco da
fuçao/G)=d'z+ór+.é:
:ÇriË;i
:C:â;osúficÒddfunçãÒ/(r):3Ì,-(i+2IÌ+Ì-l,t€R,énnapdábolãcujovédiceperrenceaoexo
das abs.issar. Deremine o valor de
t.
Ce;l O gúfìco d! lìnção /(r)
-
kÌ'1 Qr + 4F + t + 4,t € R.
jn1érèp1â
o eixo das abscissâs em dois ponÌos
Jinrnro. Detenne o. pn*r\er. valôF' dê /.
4-i+::1 OCráficodafunção/o)=rr+r+21 3, t € lR, não inle.ceptâ o eixo {t6 abscissas. DeÌemine os pos
síveis valorcs de À
€*ii Conslaere o con;unto A :
t-1,21èafmção/:Á
-Rtalque/(r)
=rr 7r+ 12. Derernine o conjúnto
inasem dè /.
:GlÊ.* ouentu o conjunto imasem da tunçao/r f0,4t
-
R 1âl qüè/(ì) = Í: 21 3
:@Ê senoo o con;untoa =
10, +-teaiìnção/;Á- R tâl qúe/('): -Í'?+ 4r, qlal é o conjunlo imrsem
Questões dos ve stibulare s
:Èì4Ì (Fuvesr-SP) O súfìco de/(, =
':
+ br + ., onde à e. são constantes reais, pussaleÌos pontosÁ(o,0) e
ro,e.e'".r(
f ) "a",
CÌdsinque como V ou F câda ma das afimações:
d) O núnero reaÌ. é legaiivo.
b) O número reaÌa élosilivo.
c) A abscissa do véíice
y
é negaiiva.
d) O númcrorcalò énesâtivo.
er,q. oraeraaa ao,e,t*".
íò 44'ì
4,
f) Odisdinindtedaeqnação/(r) : 0énü]o.
e)4
",3
:iitáÊli 6uu"rt s4 conri t"re a ptrábola de equação )
= x2 + N + 4m.
ã) Ache a iÍtúsecção da pdábola com o eixo OÌ, quddo n = 2.
b) Dehine o conjÌnro dos vrlores de a paÍa os quais a ldábola não intercepta o ejxo O-Ì.
iii.gll* (UFAC) Dud"u-loção^: Í(',r) €Á x B talque J: a'?- 6a + 5l. en que Á =
I 1,71c Ìl =
t0,5t.
consÌrua o eÌáfico. dê o doftínìo e o conjunlo lmagem deÃ.
:ÌÌl'Èii: Orucl o
""':'"r"
de lodos os mlores reais de /, pda os qlais o co':iunto imsen de
t/^ r' ru
f_
ftaB tr-rB.r. 2 e:
-2
a) (ol
b) 2.21
o+ o+
o{
'5. '5
i
d) {-,6 ,
"6
l
")
l ,ilo ,
"/iõ
J
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