Cap 3 flexion compuesta
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Jan 09, 2022
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About This Presentation
flexión compuesta
Slide Content
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
1 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
CAPITULO 3
FLEXION COMPUESTA
3.1) INTRODUCCION. -
Flexión compuesta, es cuando las cargas aplicadas provocan en la pieza esfuerzos
por flexión y carga axial (compresión y/o tracción).
3.2) ANALISIS GENERAL. -
Se presenta en secciones asimétricas (??????
��≠0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�
b) Posición del eje neutro (??????=0)
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�=0
Recta de la forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Forma canónica
�
�
??????
+
�
�
??????
=1
En flexión compuesta el EN se desplaza del centroide de la
sección y se aleja de este a incremento de fuerza normal.
1 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
CAPITULO 3
FLEXION COMPUESTA
3.1) INTRODUCCION. -
Flexión compuesta, es cuando las cargas aplicadas provocan en la pieza esfuerzos
por flexión y carga axial (compresión y/o tracción).
3.2) ANALISIS GENERAL. -
Se presenta en secciones asimétricas (??????
��≠0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
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??????
�??????
�−??????
��
2
)�
b) Posición del eje neutro (??????=0)
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�=0
Recta de la forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Forma canónica
�
�
??????
+
�
�
??????
=1
En flexión compuesta el EN se desplaza del centroide de la
sección y se aleja de este a incremento de fuerza normal.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
2 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Donde:
??????,??????
�,??????
�,??????
��= Propiedades geométricas de la sección transversal.
�
�,�
�= Momentos flectores en los planos �,�.
�= Fuerza normal.
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes �,�.
�
1,�
1= Coordenadas del punto de análisis.
Los momentos flectores y fuerzas normales se consideran positivos si comprimen
el primer cuadrante de la sección. Los signos de �
�,�
� se cumplen si las cargas
están orientadas respecto a los ejes locales de la barra y estos a su vez son
dextrógiros y con la convención de signos de resistencia de materiales.
3.3) ANALISIS PARTICULAR. -
Se presenta en secciones simétricas (??????
��=0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
b) Posición del eje neutro (??????=0)
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�=0
Recta de la forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Los esfuerzos extremos se
producen en los puntos mas
alejados y paralelas al EN.
2 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Donde:
??????,??????
�,??????
�,??????
��= Propiedades geométricas de la sección transversal.
�
�,�
�= Momentos flectores en los planos �,�.
�= Fuerza normal.
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes �,�.
�
1,�
1= Coordenadas del punto de análisis.
Los momentos flectores y fuerzas normales se consideran positivos si comprimen
el primer cuadrante de la sección. Los signos de �
�,�
� se cumplen si las cargas
están orientadas respecto a los ejes locales de la barra y estos a su vez son
dextrógiros y con la convención de signos de resistencia de materiales.
3.3) ANALISIS PARTICULAR. -
Se presenta en secciones simétricas (??????
��=0).
a) Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
b) Posición del eje neutro (??????=0)
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�=0
Recta de la forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Si �=0 → �
??????=−
�
�
Los esfuerzos extremos se
producen en los puntos mas
alejados y paralelas al EN.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
3 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
3.4) PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
El núcleo central es una porción cerrada de la sección transversal limitada por
rectas y/o arcos, que es un lugar geométrico que define la forma de diagrama de
esfuerzos en función de la posición de la carga normal respecto a este perímetro.
a) La carga N esta ubicada fuera del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN atraviesa la sección provocando tensiones de compresión y tracción. Si la carga
normal N se aleja del centroide de la sección el EN se aproxima al centroide.
b) La carga N esta ubicada dentro del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN no atraviesa la sección provocando tensiones de compresión solamente. Si la
carga normal N se aproxima al centroide de la sección el EN se aleja del centroide.
3 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
3.4) PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
El núcleo central es una porción cerrada de la sección transversal limitada por
rectas y/o arcos, que es un lugar geométrico que define la forma de diagrama de
esfuerzos en función de la posición de la carga normal respecto a este perímetro.
a) La carga N esta ubicada fuera del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN atraviesa la sección provocando tensiones de compresión y tracción. Si la carga
normal N se aleja del centroide de la sección el EN se aproxima al centroide.
b) La carga N esta ubicada dentro del perímetro del núcleo central, por lo tanto, el
EN no atraviesa la sección provocando tensiones de compresión solamente. Si la
carga normal N se aproxima al centroide de la sección el EN se aleja del centroide.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
4 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
c) La carga N esta ubicada exactamente en un punto del perímetro del núcleo
central, por lo tanto, el EN pasa justo por el perímetro de la sección provocando
tensiones de compresión solamente.
3.5) DETERMINACION DEL PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
A) ANALISIS GENERAL. - B) ANALISIS PARTICULAR. -
En secciones asimétricas (??????
��≠0). En secciones simétricas (??????
��=0).
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) �
??????=−
??????
�
??????�
??????
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) �
??????=−
??????
�
??????�
??????
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos del perímetro del núcleo central.
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes �,�.
4 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
c) La carga N esta ubicada exactamente en un punto del perímetro del núcleo
central, por lo tanto, el EN pasa justo por el perímetro de la sección provocando
tensiones de compresión solamente.
3.5) DETERMINACION DEL PERIMETRO DEL NUCLEO CENTRAL. -
A) ANALISIS GENERAL. - B) ANALISIS PARTICULAR. -
En secciones asimétricas (??????
��≠0). En secciones simétricas (??????
��=0).
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) �
??????=−
??????
�
??????�
??????
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) �
??????=−
??????
�
??????�
??????
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos del perímetro del núcleo central.
�
??????,�
??????= Coordenadas de puntos de intersección del EN con los ejes �,�.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
5 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Determinar la dimensión necesaria “R” de la sección transversal de la viga.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Centroide
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
4�
2
(2�)+0,5??????�
2
(�−
4�
3??????
)
5,5708�
2
⟶ �
�=1,5984�
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
2�(2�)
3
12
+4�
2
(2�−1,5984�)
2
]+[0,1098(�)
4
+
??????�
2
2
(�−
4�
3??????
−1,5984�)
2
]
??????
�=3,73155�
4
Sección transversal
??????
��??????=800 ����
2
⁄
• Áreas
??????
1=2�(2�)= 4�
2
??????
2=
??????(�)
2
2
=0,5??????�
2
Área total
??????=4�
2
+0,5??????�
2
=5,5708�
2
5 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Determinar la dimensión necesaria “R” de la sección transversal de la viga.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Centroide
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
4�
2
(2�)+0,5??????�
2
(�−
4�
3??????
)
5,5708�
2
⟶ �
�=1,5984�
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
2�(2�)
3
12
+4�
2
(2�−1,5984�)
2
]+[0,1098(�)
4
+
??????�
2
2
(�−
4�
3??????
−1,5984�)
2
]
??????
�=3,73155�
4
Sección transversal
??????
��??????=800 ����
2
⁄
• Áreas
??????
1=2�(2�)= 4�
2
??????
2=
??????(�)
2
2
=0,5??????�
2
Área total
??????=4�
2
+0,5??????�
2
=5,5708�
2
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
6 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
2�(2�)
3
12
]+[
??????(�)
4
8
]
??????
�=1,72603�
4
??????
��=0 ��� �� �??????����??????� �� �� ����??????ó�!!!
2) Determinación de Momentos
Plano horizontal x-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/3 Origen 3 �≤�≤�,� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
z M
0 0
1,5 -3
2,167 -3,667
3,5 -1
�=−2�+〈
3(�−1,5)
2
2
〉
�≥1,5
�=−
��
��
=2−〈3(�−1,5)〉
�≥1,5=0
2−3(�−1,5)=0
�=2,167 � (����??????ó� 4)
6 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
2�(2�)
3
12
]+[
??????(�)
4
8
]
??????
�=1,72603�
4
??????
��=0 ��� �� �??????����??????� �� �� ����??????ó�!!!
2) Determinación de Momentos
Plano horizontal x-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/3 Origen 3 �≤�≤�,� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
z M
0 0
1,5 -3
2,167 -3,667
3,5 -1
�=−2�+〈
3(�−1,5)
2
2
〉
�≥1,5
�=−
��
��
=2−〈3(�−1,5)〉
�≥1,5=0
2−3(�−1,5)=0
�=2,167 � (����??????ó� 4)
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
7 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Plano vertical y-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/3 Origen 3 �≤�≤�,� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
• SECCION CRITICA
Sección 1 �
�=−17,5 �-� ; �
�=−1 �-�
�
??????=√(−17,5)
2
+(−1)
2
⟶ �
??????=17,529 �-�
Sección 4 �
�=−10,835 �-� ; �
�=−3,667 �-�
�
??????=√(−10,835)
2
+(−3,667)
2
⟶ �
??????=11,439 �-�
El mayor momento se da en la sección 1 por lo tanto:
Sección Critica 1 �
�=−17,5�10
5
��-�� ; �
�=−1�10
5
��-��
Fuerza normal �=40�10
3
��
z M
0 0
1,5 -7,5
2,167 -10,835
3,5 -17,5
�=−5�
7 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Plano vertical y-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/3 Origen 3 �≤�≤�,� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
• SECCION CRITICA
Sección 1 �
�=−17,5 �-� ; �
�=−1 �-�
�
??????=√(−17,5)
2
+(−1)
2
⟶ �
??????=17,529 �-�
Sección 4 �
�=−10,835 �-� ; �
�=−3,667 �-�
�
??????=√(−10,835)
2
+(−3,667)
2
⟶ �
??????=11,439 �-�
El mayor momento se da en la sección 1 por lo tanto:
Sección Critica 1 �
�=−17,5�10
5
��-�� ; �
�=−1�10
5
��-��
Fuerza normal �=40�10
3
��
z M
0 0
1,5 -7,5
2,167 -10,835
3,5 -17,5
�=−5�
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
8 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
3) Esfuerzos a flexión compuesta
Análisis particular (??????
��=0)
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
??????=
40�10
3
5,5708�
2
+(
−17,5�10
5
3,73155�
4
)�+(
−1�10
5
1,72603�
4
)�
??????=7180,297�
−2
+(−468974,019�
−4
)�+(−57936,421�
−4
)�
• Posición del EN (??????=0)
7180,297�
−2
+(−468974,019�
−4
)�+(−57936,421�
−4
)�=0
Recta de forma
�+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
7180,297�
−2
−57936,421�
−4
⟶ �
??????=0,1239�
2
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
7180,297�
−2
−468974,019�
−4
⟶ �
??????=0,0153�
2
??????=tan
−1
(
�
??????
�
??????
)=tan
−1
(
0,0153�
2
0,1239�
2
) ⟶ ??????=7,04°
8 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
3) Esfuerzos a flexión compuesta
Análisis particular (??????
��=0)
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
??????=
40�10
3
5,5708�
2
+(
−17,5�10
5
3,73155�
4
)�+(
−1�10
5
1,72603�
4
)�
??????=7180,297�
−2
+(−468974,019�
−4
)�+(−57936,421�
−4
)�
• Posición del EN (??????=0)
7180,297�
−2
+(−468974,019�
−4
)�+(−57936,421�
−4
)�=0
Recta de forma
�+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
7180,297�
−2
−57936,421�
−4
⟶ �
??????=0,1239�
2
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
7180,297�
−2
−468974,019�
−4
⟶ �
??????=0,0153�
2
??????=tan
−1
(
�
??????
�
??????
)=tan
−1
(
0,0153�
2
0,1239�
2
) ⟶ ??????=7,04°
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
9 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Coordenada del punto A
�
�=�
�
�=3�−1,5984� → �
�=1,4016�
Coordenada del punto B
�
�=�sen??????=�sen(7,04°) → �
�=−0,123�
�
�=0,5984�+�cos(7,04°) → �
�=−1,591�
• Determinación de la dimensión necesaria
Punto A �
�=1,4016� ; �
�=�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)�
�+(
−57936,421
�
4
)�
�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)(1,4016�)+(
−57936,421
�
4
)(�)
??????
�=
7180,297
�
2
−
715250,406
�
3
≤??????
��??????=−800����
2
⁄ (�����??????ó�)
7180,297
�
2
−
715250,406
�
3
=−800 ⟶ ??????=�,���� ????????????
Punto B �
�=−1,591� ; �
�=−0,123�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)�
�+(
−57936,421
�
4
)�
�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)(−1,591�)+(
−57936,421
�
4
)(−0,123�)
??????
�=
7180,297
�
2
+
753263,844
�
3
≤??????
��??????=800����
2
⁄ (??????������??????ó�)
7180,297
�
2
+
753263,844
�
3
=800 ⟶ ??????=��,��� ????????????
Respuesta: La dimensión necesaria “R” será la mayor, por tanto �=10,107 ��
9 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Coordenada del punto A
�
�=�
�
�=3�−1,5984� → �
�=1,4016�
Coordenada del punto B
�
�=�sen??????=�sen(7,04°) → �
�=−0,123�
�
�=0,5984�+�cos(7,04°) → �
�=−1,591�
• Determinación de la dimensión necesaria
Punto A �
�=1,4016� ; �
�=�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)�
�+(
−57936,421
�
4
)�
�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)(1,4016�)+(
−57936,421
�
4
)(�)
??????
�=
7180,297
�
2
−
715250,406
�
3
≤??????
��??????=−800����
2
⁄ (�����??????ó�)
7180,297
�
2
−
715250,406
�
3
=−800 ⟶ ??????=�,���� ????????????
Punto B �
�=−1,591� ; �
�=−0,123�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)�
�+(
−57936,421
�
4
)�
�
??????
�=
7180,297
�
2
+(
−468974,019
�
4
)(−1,591�)+(
−57936,421
�
4
)(−0,123�)
??????
�=
7180,297
�
2
+
753263,844
�
3
≤??????
��??????=800����
2
⁄ (??????������??????ó�)
7180,297
�
2
+
753263,844
�
3
=800 ⟶ ??????=��,��� ????????????
Respuesta: La dimensión necesaria “R” será la mayor, por tanto �=10,107 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
10 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-2] Determinar la máxima carga � (�) y excentricidad � (��) en la columna de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible ??????
��??????=25 ����
2
⁄. Analizar la sección en la base de la columna.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Área total
??????=??????
1−??????
2+2??????
3−2??????
4=3000−1800+2(450??????)−2(162??????)
??????=3009,557 ��
2
Sección transversal
• Áreas
??????
1=50(60)= 3000 ��
2
??????
2=50(36)=1800 ��
2
??????
3=
??????(30)
2
2
=450?????? ��
2
??????
4=
??????(18)
2
2
=162?????? ��
2
10 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-2] Determinar la máxima carga � (�) y excentricidad � (��) en la columna de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible ??????
��??????=25 ����
2
⁄. Analizar la sección en la base de la columna.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Área total
??????=??????
1−??????
2+2??????
3−2??????
4=3000−1800+2(450??????)−2(162??????)
??????=3009,557 ��
2
Sección transversal
• Áreas
??????
1=50(60)= 3000 ��
2
??????
2=50(36)=1800 ��
2
??????
3=
??????(30)
2
2
=450?????? ��
2
??????
4=
??????(18)
2
2
=162?????? ��
2
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
11 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Centroide
En la interseccion de los ejes � y �.
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
50(60)
3
12
]−[
50(36)
3
12
]+2[
??????(30)
4
8
]−2[
??????(18)
4
8
]
??????
�=1259324,555 ��
4
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
60(50)
3
12
]−[
36(50)
3
12
]+2[0,1098(30)
4
+450??????(25+
4(30)
3??????
)
2
]−
−2[0,1098(18)
4
+162??????(25+
4(18)
3??????
)
2
]
??????
�=3345958,598 ��
4
??????
��=0 ��� �� �??????����??????� �� �� ����??????ó�!!!
2) Determinación de Momentos
Plano x-z Plano y-z
No existen cargas en este plano
En la base de la columna
�=�
�
�=0
�
�=��
11 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Centroide
En la interseccion de los ejes � y �.
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
50(60)
3
12
]−[
50(36)
3
12
]+2[
??????(30)
4
8
]−2[
??????(18)
4
8
]
??????
�=1259324,555 ��
4
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
60(50)
3
12
]−[
36(50)
3
12
]+2[0,1098(30)
4
+450??????(25+
4(30)
3??????
)
2
]−
−2[0,1098(18)
4
+162??????(25+
4(18)
3??????
)
2
]
??????
�=3345958,598 ��
4
??????
��=0 ��� �� �??????����??????� �� �� ����??????ó�!!!
2) Determinación de Momentos
Plano x-z Plano y-z
No existen cargas en este plano
En la base de la columna
�=�
�
�=0
�
�=��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
12 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “P” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, entonces el diagrama de
tensiones será de forma triangular y el EN pasara justo por el perímetro de la
sección en el cuadrante opuesto donde se aplica la carga “P”, con esto tenemos:
Calculo de las coordenadas del punto de aplicación de P (�
?????? y �
??????
)
�
??????=−
??????
�
??????�
??????
=−
3345958,598
3009,557(−55)
→ �
??????=20,214 ��
�
??????=−
??????
�
??????�
??????
=−
1259324,555
3009,557(∞)
→ �
??????=0
∴�� �������??????�??????��� ����: ??????=�
�=��,��� ????????????
Intersección del EN con los ejes x y y.
�
??????=−55 �� ; �
??????=∞
12 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “P” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, entonces el diagrama de
tensiones será de forma triangular y el EN pasara justo por el perímetro de la
sección en el cuadrante opuesto donde se aplica la carga “P”, con esto tenemos:
Calculo de las coordenadas del punto de aplicación de P (�
?????? y �
??????
)
�
??????=−
??????
�
??????�
??????
=−
3345958,598
3009,557(−55)
→ �
??????=20,214 ��
�
??????=−
??????
�
??????�
??????
=−
1259324,555
3009,557(∞)
→ �
??????=0
∴�� �������??????�??????��� ����: ??????=�
�=��,��� ????????????
Intersección del EN con los ejes x y y.
�
??????=−55 �� ; �
??????=∞
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
13 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
4) Determinación de la carga “P”
Análisis en la base de la columna.
Momentos flectores �
�=0 ; �
�=���10
3
Fuerza normal �=��10
3
Análisis particular (??????
��=0)
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
??????=
��10
3
3009,557
+(
0
1259324,555
)�+(
�(20,214)�10
3
3345958,598
)�
??????=0,332275�+(0,00604132�)�
• Tensión máxima solicitante
Punto 2 �
2=0 ; �
2=55 ��
??????
2=0,332275�+(0,00604132�)�
2
??????
2=0,332275�+(0,00604132�)(55)
??????
2=0,6645476�≤??????
��??????=25 ����
2
⁄
�=
25
0,6645476
⟶ ??????=��,��� ??????
Respuesta: La carga máxima para que solo se produzcan esfuerzos de compresión
será �=37,619 � y la excentricidad �=20,214 ��.
13 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
4) Determinación de la carga “P”
Análisis en la base de la columna.
Momentos flectores �
�=0 ; �
�=���10
3
Fuerza normal �=��10
3
Análisis particular (??????
��=0)
??????=
�
??????
+
�
�
??????
�
�+
�
�
??????
�
�
??????=
��10
3
3009,557
+(
0
1259324,555
)�+(
�(20,214)�10
3
3345958,598
)�
??????=0,332275�+(0,00604132�)�
• Tensión máxima solicitante
Punto 2 �
2=0 ; �
2=55 ��
??????
2=0,332275�+(0,00604132�)�
2
??????
2=0,332275�+(0,00604132�)(55)
??????
2=0,6645476�≤??????
��??????=25 ����
2
⁄
�=
25
0,6645476
⟶ ??????=��,��� ??????
Respuesta: La carga máxima para que solo se produzcan esfuerzos de compresión
será �=37,619 � y la excentricidad �=20,214 ��.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
14 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-3] Para la columna determinar el momento máximo que puede soportar de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible ??????
��??????=20 ����
2
⁄.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Área total
??????=??????
1+??????
2−??????
3=200??????+540−120
??????=1048,3185 ��
2
Sección transversal
• Áreas
??????
1=
??????(20)
2
2
=200?????? ��
2
??????
2=27(20)=540 ��
2
??????
3=
12(20)
2
=120 ��
2
14 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-3] Para la columna determinar el momento máximo que puede soportar de
manera que las tensiones sean únicamente de compresión e inferiores al esfuerzo
admisible ??????
��??????=20 ����
2
⁄.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Área total
??????=??????
1+??????
2−??????
3=200??????+540−120
??????=1048,3185 ��
2
Sección transversal
• Áreas
??????
1=
??????(20)
2
2
=200?????? ��
2
??????
2=27(20)=540 ��
2
??????
3=
12(20)
2
=120 ��
2
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
15 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Centroides
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
200??????(20)+540(10)−120(203⁄)
1048,3185
�
�=16,375 ��
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
200??????(27+
4(20)
3??????
)+540(13,5)−120(4)
1048,3185
�
�=27,766 ��
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
??????(20)
4
8
+200??????(20-16,375)
2
]+[
27(20)
3
12
+540(10-16,375)
2
]
−[
12(20)
3
36
+120(
20
3
-16,375)
2
]
??????
�=�����,��� ????????????
�
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[0,1098(10)
4
+200??????(35,488-27,766)
2
]+[
20(27)
3
12
+540(13,5-27,766)
2
]
−[
20(12)
3
36
+120(4-27,766)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
��=∑[??????
���??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)(�
??????−�
�
)]
??????
��=[0+200??????(20-16,375)(35,488-27,766)]+[0+540(10-16,375)(13,5-27,766)]
−[−
12
2
(20)
2
72
+120(
20
3
-16,375)(4-27,766)]
??????
��=�����,��� ????????????
�
15 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Centroides
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
200??????(20)+540(10)−120(203⁄)
1048,3185
�
�=16,375 ��
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
200??????(27+
4(20)
3??????
)+540(13,5)−120(4)
1048,3185
�
�=27,766 ��
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
??????(20)
4
8
+200??????(20-16,375)
2
]+[
27(20)
3
12
+540(10-16,375)
2
]
−[
12(20)
3
36
+120(
20
3
-16,375)
2
]
??????
�=�����,��� ????????????
�
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[0,1098(10)
4
+200??????(35,488-27,766)
2
]+[
20(27)
3
12
+540(13,5-27,766)
2
]
−[
20(12)
3
36
+120(4-27,766)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
��=∑[??????
���??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)(�
??????−�
�
)]
??????
��=[0+200??????(20-16,375)(35,488-27,766)]+[0+540(10-16,375)(13,5-27,766)]
−[−
12
2
(20)
2
72
+120(
20
3
-16,375)(4-27,766)]
??????
��=�����,��� ????????????
�
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
16 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
2) Determinación de Momentos
Plano x-z Plano y-z
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación del perímetro del núcleo central
No existen cargas en este plano
En toda de la columna
�=10
�
�=0
�
�=10�
En la gráfica se muestran 5 ejes
neutros, se analizará cada eje neutro
para hallar las coordenadas del
perímetro del núcleo central, estas
coordenadas se calcularán con las
ecuaciones para análisis general.
16 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
2) Determinación de Momentos
Plano x-z Plano y-z
• Diagramas de Fuerzas Internas
3) Determinación del perímetro del núcleo central
No existen cargas en este plano
En toda de la columna
�=10
�
�=0
�
�=10�
En la gráfica se muestran 5 ejes
neutros, se analizará cada eje neutro
para hallar las coordenadas del
perímetro del núcleo central, estas
coordenadas se calcularán con las
ecuaciones para análisis general.
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
17 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
ANALISIS GENERAL. - Cuando ??????
��≠0.
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) …1)
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) …2)
Propiedades de la sección transversal
??????=1048,3185 ��
2
�
�=16,375 ��
�
�=27,766 ��
??????
�=97057,414 ��
4
??????
�=112533,14 ��
4
??????
��=39811,965 ��
4
• Para el eje neutro 1
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????1=−
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
−16,375
) ⟶ �
??????1=2,319 ��
�
??????1=−
1
1048,3185
(
97057,414
−16,375
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????1=5,654 ��
Puntos de intersección
�
??????=∞
�
??????=−16,375 ��
En la gráfica observamos que el EN
es paralela al eje x, por lo tanto, la
intersección del EN con el eje
centroidal x será: �
??????=∞
17 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
ANALISIS GENERAL. - Cuando ??????
��≠0.
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) …1)
�
??????=−
1
??????
(
??????
�
�
??????
+
??????
��
�
??????
) …2)
Propiedades de la sección transversal
??????=1048,3185 ��
2
�
�=16,375 ��
�
�=27,766 ��
??????
�=97057,414 ��
4
??????
�=112533,14 ��
4
??????
��=39811,965 ��
4
• Para el eje neutro 1
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????1=−
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
−16,375
) ⟶ �
??????1=2,319 ��
�
??????1=−
1
1048,3185
(
97057,414
−16,375
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????1=5,654 ��
Puntos de intersección
�
??????=∞
�
??????=−16,375 ��
En la gráfica observamos que el EN
es paralela al eje x, por lo tanto, la
intersección del EN con el eje
centroidal x será: �
??????=∞
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
18 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 2
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????2=−
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
23,625
) ⟶ �
??????2=−1,607 ��
�
??????2=−
1
1048,3185
(
97057,414
23,625
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????2=−3,919 ��
• Para el eje neutro 3
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????3=−
1
1048,3185
(
112533,14
19,234
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????3=−5,581 ��
�
??????3=−
1
1048,3185
(
97057,414
∞
+
39811,965
19,234
) ⟶ �
??????3=−1,974 ��
Puntos de intersección
�
??????=∞
�
??????=23,625 ��
Puntos de intersección
�
??????=19,234 ��
�
??????=∞
18 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 2
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????2=−
1
1048,3185
(
112533,14
∞
+
39811,965
23,625
) ⟶ �
??????2=−1,607 ��
�
??????2=−
1
1048,3185
(
97057,414
23,625
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????2=−3,919 ��
• Para el eje neutro 3
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????3=−
1
1048,3185
(
112533,14
19,234
+
39811,965
∞
) ⟶ �
??????3=−5,581 ��
�
??????3=−
1
1048,3185
(
97057,414
∞
+
39811,965
19,234
) ⟶ �
??????3=−1,974 ��
Puntos de intersección
�
??????=∞
�
??????=23,625 ��
Puntos de intersección
�
??????=19,234 ��
�
??????=∞
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
19 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 4
Ecuación de la recta
�−�
�
�−�
�
=
�
�−�
�
�
�−�
�
⟶�=�
�+
�
�−�
�
�
�−�
�
(�−�
�
)
�=3,625+
3,625−(−16,375)
−27,766−(−15,766)
(�−(−27,766))
�=−42,6517−1,6667�
Puntos de intersección
Si: �=0 ⟶ �
??????=−42,6517 ��
Si: �=0 ⟶ �
??????=−25,5905 ��
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????4=−
1
1048,3185
(
112533,14
−25,5905
+
39811,965
−42,6517
) ⟶ �
??????4=5,085 ��
�
??????4=−
1
1048,3185
(
97057,414
−42,6517
+
39811,965
−25,5905
) ⟶ �
??????4=3,655 ��
En este caso el EN es una recta inclinada,
por lo tanto, se debe determinar la
ecuación de la recta, para lo cual
necesitamos las coordenadas de los
puntos A y B.
Coordenadas de A
�
�=−27,766 ��
�
�=3,625 ��
Coordenadas de B
�
�=−15,766 ��
�
�=−16,375 ��
19 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 4
Ecuación de la recta
�−�
�
�−�
�
=
�
�−�
�
�
�−�
�
⟶�=�
�+
�
�−�
�
�
�−�
�
(�−�
�
)
�=3,625+
3,625−(−16,375)
−27,766−(−15,766)
(�−(−27,766))
�=−42,6517−1,6667�
Puntos de intersección
Si: �=0 ⟶ �
??????=−42,6517 ��
Si: �=0 ⟶ �
??????=−25,5905 ��
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????4=−
1
1048,3185
(
112533,14
−25,5905
+
39811,965
−42,6517
) ⟶ �
??????4=5,085 ��
�
??????4=−
1
1048,3185
(
97057,414
−42,6517
+
39811,965
−25,5905
) ⟶ �
??????4=3,655 ��
En este caso el EN es una recta inclinada,
por lo tanto, se debe determinar la
ecuación de la recta, para lo cual
necesitamos las coordenadas de los
puntos A y B.
Coordenadas de A
�
�=−27,766 ��
�
�=3,625 ��
Coordenadas de B
�
�=−15,766 ��
�
�=−16,375 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
20 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 5
Ecuación de la recta
�=�
�+
�
�−�
�
�
�−�
�
(�−�
�
)=3,625+
3,625−(23,625)
−27,766−(−0,766)
(�−(−27,766))
�=24,1924+0,74074�
Puntos de intersección
Si: �=0 ⟶ �
??????=24,1924 ��
Si: �=0 ⟶ �
??????=−32,660 ��
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????5=−
1
1048,3185
(
112533,14
−32,660
+
39811,965
24,1924
) ⟶ �
??????5=1,717 ��
�
??????5=−
1
1048,3185
(
97057,414
24,1924
+
39811,965
−32,660
) ⟶ �
??????5=−2,664 ��
• Núcleo central
Coordenadas de A
�
�=−27,766 ��
�
�=3,625 ��
Coordenadas de C
�
�=−0,766 ��
�
�=23,625 ��
20 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Para el eje neutro 5
Ecuación de la recta
�=�
�+
�
�−�
�
�
�−�
�
(�−�
�
)=3,625+
3,625−(23,625)
−27,766−(−0,766)
(�−(−27,766))
�=24,1924+0,74074�
Puntos de intersección
Si: �=0 ⟶ �
??????=24,1924 ��
Si: �=0 ⟶ �
??????=−32,660 ��
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2
�
??????5=−
1
1048,3185
(
112533,14
−32,660
+
39811,965
24,1924
) ⟶ �
??????5=1,717 ��
�
??????5=−
1
1048,3185
(
97057,414
24,1924
+
39811,965
−32,660
) ⟶ �
??????5=−2,664 ��
• Núcleo central
Coordenadas de A
�
�=−27,766 ��
�
�=3,625 ��
Coordenadas de C
�
�=−0,766 ��
�
�=23,625 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
21 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “10” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, además el momento en el eje
y es �
�=0, por lo tanto, sabemos �
??????=0, y para determinar la excentricidad �
??????,
determinaremos la ecuación de la recta 4-5, por lo tanto:
Ecuación de la recta
�
??????=�
4+
�
4−�
5
�
4−�
5
(�
??????−�
4
)=3,655+
3,655−(−2,664)
5,085−1,717
(�
??????−5,085)
�
??????=−5,885+1,876�
??????
Entonces para: �
??????=0 ⟶ �
�=??????=�,��� ????????????
4) Determinación del momento máximo
�
�=10�=10(3,136100⁄) ⟶ �
�=�,���� ??????-?????? ; �
�=�
• Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�
??????=
10�10
3
1048,3185
+(
0(112533,14)−0,3136�10
5
(39811,965)
97057,414(112533,14)−39811,965
2
)�
+(
0,3136�10
5
(97057,414)−0(39811,965)
97057,414(112533,14)−39811,965
2
)�
??????=9,5391−0,13371�+0,32598�
Coordenadas de 4
�
4=5,085 ��
�
4=3,655 ��
Coordenadas de 5
�
5=1,717 ��
�
5=−2,664 ��
21 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Determinación de la excentricidad “e”
Según las condiciones del problema, las tensiones deben ser únicamente de
compresión, por lo tanto, para que se cumpla esta condición la carga “10” debe
ubicarse dentro o en el perímetro del núcleo central, además el momento en el eje
y es �
�=0, por lo tanto, sabemos �
??????=0, y para determinar la excentricidad �
??????,
determinaremos la ecuación de la recta 4-5, por lo tanto:
Ecuación de la recta
�
??????=�
4+
�
4−�
5
�
4−�
5
(�
??????−�
4
)=3,655+
3,655−(−2,664)
5,085−1,717
(�
??????−5,085)
�
??????=−5,885+1,876�
??????
Entonces para: �
??????=0 ⟶ �
�=??????=�,��� ????????????
4) Determinación del momento máximo
�
�=10�=10(3,136100⁄) ⟶ �
�=�,���� ??????-?????? ; �
�=�
• Esfuerzos en flexión compuesta
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�
??????=
10�10
3
1048,3185
+(
0(112533,14)−0,3136�10
5
(39811,965)
97057,414(112533,14)−39811,965
2
)�
+(
0,3136�10
5
(97057,414)−0(39811,965)
97057,414(112533,14)−39811,965
2
)�
??????=9,5391−0,13371�+0,32598�
Coordenadas de 4
�
4=5,085 ��
�
4=3,655 ��
Coordenadas de 5
�
5=1,717 ��
�
5=−2,664 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
22 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Posición del EN (??????=0)
9,5391−0,13371�+0,32598�=0
Recta de forma
�+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
9,5391
0,32598
⟶ �
??????=−29,263 ��
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
9,5391
−0,13371
⟶ �
??????=71,342 ��
??????=tan
−1
(
�
??????
�
??????
)=tan
−1
(
29,263
71,342
) ⟶ ??????=22,302°
Verificación en la fibra critica
??????
�=9,5391−0,13371�
�+0,32598�
�
??????
�=9,5391−0,13371(−3,965)+0,32598(17,738)
??????
�=15,851 ����
2
⁄ < ??????
��??????=20 ����
2
⁄ ✓ ��‼
Respuesta: El momento máximo será �=0,3136 �-� con �=3,136 ��.
Fibra critica B
�
�=�cos??????−0,766
�
�=20cos22,302°−0,766
�
�=17,738 ��
�
�=�sen??????−3,625
�
�=20sen22,302°−3,625
�
�=−3,965 ��
22 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Posición del EN (??????=0)
9,5391−0,13371�+0,32598�=0
Recta de forma
�+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
9,5391
0,32598
⟶ �
??????=−29,263 ��
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
9,5391
−0,13371
⟶ �
??????=71,342 ��
??????=tan
−1
(
�
??????
�
??????
)=tan
−1
(
29,263
71,342
) ⟶ ??????=22,302°
Verificación en la fibra critica
??????
�=9,5391−0,13371�
�+0,32598�
�
??????
�=9,5391−0,13371(−3,965)+0,32598(17,738)
??????
�=15,851 ����
2
⁄ < ??????
��??????=20 ����
2
⁄ ✓ ��‼
Respuesta: El momento máximo será �=0,3136 �-� con �=3,136 ��.
Fibra critica B
�
�=�cos??????−0,766
�
�=20cos22,302°−0,766
�
�=17,738 ��
�
�=�sen??????−3,625
�
�=20sen22,302°−3,625
�
�=−3,965 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
23 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-4] Determinar la máxima carga �(�) que puede soportar la viga de manera que
los esfuerzos en las fibras extremas sean inferiores al esfuerzo admisible.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Centroides
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
1600(20)−156,25??????(
4(25)
3??????
)
1109,126
�
�=24,156 ��
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
1600(20)−156,25??????(40−
4(25)
3??????
)
1109,126
�
�=15,844 ��
Sección transversal
??????
��??????=500 ����
2
⁄
• Áreas
??????
1=40(40)=1600 ��
2
??????
2=
??????(25)
2
4
=156,25?????? ��
2
• Área total
??????=??????
1−??????
2=1600−156,25??????
??????=1109,126 ��
2
23 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
E-4] Determinar la máxima carga �(�) que puede soportar la viga de manera que
los esfuerzos en las fibras extremas sean inferiores al esfuerzo admisible.
SOLUCION
1) Propiedades geométricas de la sección
• Centroides
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
1600(20)−156,25??????(
4(25)
3??????
)
1109,126
�
�=24,156 ��
�
�=
∑??????
??????�
??????
∑??????
??????
=
1600(20)−156,25??????(40−
4(25)
3??????
)
1109,126
�
�=15,844 ��
Sección transversal
??????
��??????=500 ����
2
⁄
• Áreas
??????
1=40(40)=1600 ��
2
??????
2=
??????(25)
2
4
=156,25?????? ��
2
• Área total
??????=??????
1−??????
2=1600−156,25??????
??????=1109,126 ��
2
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
24 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
40(40)
3
12
+1600(20−24,156)
2
]−
−[0,05488(25)
4
+156,25??????(
4(25)
3??????
−24,156)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
40(40)
3
12
+1600(20−15,844)
2
]−
−[0,05488(25)
4
+156,25??????(40−
4(25)
3??????
−15,844)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
��=∑[??????
���??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)(�
??????−�
�
)]
??????
��=[0+1600(20−24,156)(20−15,844)]−
−[0,01647(25)
4
+156,25??????(
4(25)
3??????
−24,156)(40−
4(25)
3??????
−15,844)]
??????
��=�����,�� ????????????
�
2) Determinación de Momentos
Plano vertical y-z
Función de la carga
�
�
�
=
2
2
�
�=�
24 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Momentos de Inercia
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
40(40)
3
12
+1600(20−24,156)
2
]−
−[0,05488(25)
4
+156,25??????(
4(25)
3??????
−24,156)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
�=∑[??????
��??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)
2
]
??????
�=[
40(40)
3
12
+1600(20−15,844)
2
]−
−[0,05488(25)
4
+156,25??????(40−
4(25)
3??????
−15,844)
2
]
??????
�=������,�� ????????????
�
??????
��=∑[??????
���??????+??????
??????
(�
??????−�
�
)(�
??????−�
�
)]
??????
��=[0+1600(20−24,156)(20−15,844)]−
−[0,01647(25)
4
+156,25??????(
4(25)
3??????
−24,156)(40−
4(25)
3??????
−15,844)]
??????
��=�����,�� ????????????
�
2) Determinación de Momentos
Plano vertical y-z
Función de la carga
�
�
�
=
2
2
�
�=�
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
25 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/2 Origen 2 �≤�≤� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
Plano horizontal x-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/2 Origen 2 �≤�≤� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
z M
0 0
1 -(0,667+P)
2 -(3,333+2P)
z M
0 0
1 1,5P
2 3P
�=−��−1(�)(
�
2
)−�(
�
2
)(
�
3
)
�=−��−
�
2
2
−
�
3
6
�=1,5��
25 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/2 Origen 2 �≤�≤� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
Plano horizontal x-z
• Función de Momentos Flectores
Tramo 1/2 Origen 2 �≤�≤� ??????
• Diagrama de Momentos Flectores (�
�)
z M
0 0
1 -(0,667+P)
2 -(3,333+2P)
z M
0 0
1 1,5P
2 3P
�=−��−1(�)(
�
2
)−�(
�
2
)(
�
3
)
�=−��−
�
2
2
−
�
3
6
�=1,5��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
26 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• SECCION CRITICA
El mayor momento se da en el empotrado, por lo tanto:
Sección Critica 1 �
�=−(3,333+2�)�10
5
; �
�=3��10
5
; �=2��10
3
3) Esfuerzos a flexión compuesta. - Análisis general (??????
��≠0)
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�
??????=
2��10
3
1109,126
+(
−(3,333+2�)�10
5
(129463,49)−3��10
5
(55998,75)
129463,49(129463,49)−55998,75
2
)�
+(
3��10
5
(129463,49)−[−(3,333+2�)�10
5
](55998,75)
129463,49(129463,49)−55998,75
2
)�
??????=1,803�−(3,167+3,133�)�+(1,37+3,6726�)�
• Posición del EN (??????=0)
1,803�−(3,167+3,133�)�+(1,37+3,6726�)�=0
Recta de forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
1,803�
(1,37+3,6726�)
⟶ �
??????=−�(�)
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
1,803�
−(3,167+3,133�)
⟶ �
??????=+�(�)
Coordenada del punto A
�
�=−15,844 ��
�
�=15,844 ��
Coordenada del punto B
�
�=−0,844 ��
�
�=−24,156 ��
Coordenada del punto C
�
�=24,156 ��
�
�=0,844 ��
26 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• SECCION CRITICA
El mayor momento se da en el empotrado, por lo tanto:
Sección Critica 1 �
�=−(3,333+2�)�10
5
; �
�=3��10
5
; �=2��10
3
3) Esfuerzos a flexión compuesta. - Análisis general (??????
��≠0)
??????=
�
??????
+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�+(
�
�??????
�−�
�??????
��
??????
�??????
�−??????
��
2
)�
??????=
2��10
3
1109,126
+(
−(3,333+2�)�10
5
(129463,49)−3��10
5
(55998,75)
129463,49(129463,49)−55998,75
2
)�
+(
3��10
5
(129463,49)−[−(3,333+2�)�10
5
](55998,75)
129463,49(129463,49)−55998,75
2
)�
??????=1,803�−(3,167+3,133�)�+(1,37+3,6726�)�
• Posición del EN (??????=0)
1,803�−(3,167+3,133�)�+(1,37+3,6726�)�=0
Recta de forma �+��+��=0
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
1,803�
(1,37+3,6726�)
⟶ �
??????=−�(�)
Si �=0 → �
??????=−
�
�
=−
1,803�
−(3,167+3,133�)
⟶ �
??????=+�(�)
Coordenada del punto A
�
�=−15,844 ��
�
�=15,844 ��
Coordenada del punto B
�
�=−0,844 ��
�
�=−24,156 ��
Coordenada del punto C
�
�=24,156 ��
�
�=0,844 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
27 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Determinación de la carga máxima P
Punto A �
�= 15,884 �� ; �
�=−15,844 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(15,844)+(1,37+3,6726�)(−15,844)
??????
�=−106,025�−71,884≤??????
��??????=−500����
2
⁄ (�����??????ó�)
106,025�=428,116 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Punto B �
�= −24,156 �� ; �
�=−0,844 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(−24,156)+(1,37+3,6726�)(−0,844)
??????
�=74,384�+75,346≤??????
��??????=500����
2
⁄ (??????������??????ó�)
74,384�=424,654 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Punto C �
�= 0,844 �� ; �
�=24,156 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(0,844)+(1,37+3,6726�)(24,156)
??????
�=87,874�+30,421≤??????
��??????=500����
2
⁄ (??????������??????ó�)
87,874�=469,579 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Respuesta: La carga máxima es la menor de las tres soluciones �=4,037 �
• Verificación de los esfuerzos en flexión compuesta
Posición del EN
�
??????=−
1,803(4,037)
(1,37+3,6726(4,037))
⟶ �
??????=−0,45 ��
�
??????=
1,803(4,037)
(3,167+3,133(4,037))
⟶ �
??????=0,46 ��
27 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
• Determinación de la carga máxima P
Punto A �
�= 15,884 �� ; �
�=−15,844 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(15,844)+(1,37+3,6726�)(−15,844)
??????
�=−106,025�−71,884≤??????
��??????=−500����
2
⁄ (�����??????ó�)
106,025�=428,116 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Punto B �
�= −24,156 �� ; �
�=−0,844 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(−24,156)+(1,37+3,6726�)(−0,844)
??????
�=74,384�+75,346≤??????
��??????=500����
2
⁄ (??????������??????ó�)
74,384�=424,654 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Punto C �
�= 0,844 �� ; �
�=24,156 ��
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)�
�+(1,37+3,6726�)�
�
??????
�=1,803�−(3,167+3,133�)(0,844)+(1,37+3,6726�)(24,156)
??????
�=87,874�+30,421≤??????
��??????=500����
2
⁄ (??????������??????ó�)
87,874�=469,579 ⟶ ??????
�=�,��� ??????
Respuesta: La carga máxima es la menor de las tres soluciones �=4,037 �
• Verificación de los esfuerzos en flexión compuesta
Posición del EN
�
??????=−
1,803(4,037)
(1,37+3,6726(4,037))
⟶ �
??????=−0,45 ��
�
??????=
1,803(4,037)
(3,167+3,133(4,037))
⟶ �
??????=0,46 ��
AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
28 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Punto A �
�= 15,884 �� ; �
�=−15,844 ��
??????
�=−106,025(4,037)−71,884
??????
�=−499,907����
2
⁄ ≤??????
��??????=−500����
2
⁄ ✓ (�����??????ó�)
Punto C �
�= 0,844 �� ; �
�=24,156 ��
??????
�=87,874(4,037)+30,421
??????
�=385,168����
2
⁄ ≤??????
��??????=500����
2
⁄ ✓ (??????������??????ó�)
Fibras extremas
Coordenada del punto A
�
�=−15,844 ��
�
�=15,844 ��
Coordenada del punto C
�
�=24,156 ��
�
�=0,844 ��
28 RESISTENCIA DE MATERIALES II FLEXION COMPUESTA
Punto A �
�= 15,884 �� ; �
�=−15,844 ��
??????
�=−106,025(4,037)−71,884
??????
�=−499,907����
2
⁄ ≤??????
��??????=−500����
2
⁄ ✓ (�����??????ó�)
Punto C �
�= 0,844 �� ; �
�=24,156 ��
??????
�=87,874(4,037)+30,421
??????
�=385,168����
2
⁄ ≤??????
��??????=500����
2
⁄ ✓ (??????������??????ó�)
Fibras extremas
Coordenada del punto A
�
�=−15,844 ��
�
�=15,844 ��
Coordenada del punto C
�
�=24,156 ��
�
�=0,844 ��
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