Capítulo 06, Distribuciones discretas de probabilidad

Distribuciones discretas de probabilidad

1. 1

Capítulo 6
Distribuciones discretas de probabilidad
Objetivos: Al terminar este capítulo podrá:
3.Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria.
5.Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución
de probabilidad continua.
7.Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución
de probabilidad discreta.
9.Describir las características de la distribución de probabilidad binomial y
calcular las probabilidades utilizando esa distribución.

2. 2

Capítulo 6 (Continuación)
1.Definir las características de la distribución hipergeométrica y calcular
probabilidades con aplicación de tal distribución.
3.Describir las características de la distribución de Poisson y calcular las
probabilidades empleando esta distribución.

3. 3

Variable aleatoria
Una variable aleatoria es un valor numérico
determinado por el resultado de un experimento.
Una distribución de probabilidad es la lista de
todos los resultados posibles de un experimento
y la correspondiente probabilidad.

4. 4

Tipos de distribuciones de probabilidad
Una distribución de probabilidad discreta puede
asumir sólo valores claramente separados.
Una distribución de probabilidad continua puede
asumir un número infinito de valores dentro de
un rango determinado.

5. 5

Tipos de distribuciones de probabilidad
Ejemplos de una distribución discreta son:
El número de estudiantes en una clase.
El número de niños en una familia.
El número de autos entrando en un autolavado por
hora.
El número de clientes que llegan a una estética cada
hora.

6. 6

Tipos de distribuciones de probabilidad
Ejemplos de una distribución de probabilidad
continua:
La distancia que recorre cada estudiante para llegar a
su clase.
El tiempo que le toma a un ejecutivo llegar a su
trabajo.
El tiempo invertido en una llamada telefónica.
La estatura de los alumnos de un grupo en clase.

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Características de una distribución
discreta
Las principales características de una
distribución de probabilidad discreta son:
La suma de las probabilidades es 1.00
La probabilidad de un resultado particular es un
número mayor o igual a cero y menor o igual a uno.
Los resultados son mutuamente excluyentes.

8. 8

Ejemplo 1
Considere un experimento aleatorio en el cual
una moneda es lanzada tres veces. Sea x el
número de caras. Sea H la que representa el
resultado cara y T el resultado cruz.

9. 9

Ejemplo 1 (Continuación)
Los posibles resultados para este experimento
serán:
TTT, TTH, THT, THH,
HTT, HTH, HHT, HHH.
Entonces los valores posibles para x (número de
caras) son 0, 1, 2, 3.

10. 10

Ejemplo 1 (Continuación)
El resultado cero caras ocurre una vez.
El resultado una cara ocurre tres veces.
El resultado dos caras ocurre tres veces.
El resultado tres caras ocurre una vez.
De la definición de variable aleatoria, x está
definida en este experimento como la variable
aleatoria.

11. 11

La media de una distribución discreta de
probabilidad
La media:
Registra la ubicación central de los datos.
Es el valor promedio a largo plazo de la
variable aleatoria.
También se le conoce como su valor
esperado, E(x), en una distribución de
probabilidad.
Es un promedio ponderado.

12. 12

La media de una distribución discreta de
probabilidad
La media es calculada con la fórmula:
)]([xxPS=m
Donde µ representa la media, y P(x) es la
probabilidad de que x asuma algún valor.

13. 13

La varianza de una distribución de
probabilidad discreta
La varianza mide el tamaño de la
dispersión de una distribución.
La varianza de una distribución discreta
es representada por la letra griega e
2

(sigma cuadrada).
 La desviación estándar es la raíz
cuadrada de c
2
.

14. 14

La varianza de una distribución de
probabilidad discreta
La varianza de una distribución de
probabilidad discreta es calculada con la
siguiente fórmula:
)]()[(
22
xPxms -S=

15. 15

Ejemplo 2
David Ramírez,
dueño de un negocio
de servicios de
pintura, estudió sus
registros de las
últimas 20 semanas y
reporta el siguiente
número de casas
pintadas por semana:
213
712
611
510
semanas# de casas
pintadas

16. 16

Ejemplo 2 (Continuación)
Distribución de probabilidad:
1.00TOTAL
.1013
.3512
.3011
.2510
Probabilidad, P(x)Número de casas
pintadas, x

17. 17

Ejemplo 2 (Continuación)
Calcule el número medio de casas pintadas
por semana:
3.11
)10)(.13()35)(.12()30)(.11()25)(.10(
)]([)(
=
+++=
S== xxPxEm

18. 18

Ejemplo 2 (Continuación)
Calcule la varianza del número de casas
pintadas por semana:
91.0
2890.01715.00270.04225.0
)10(.)3.1113(...)25(.)3.1110(
)]()[(
22
22
=
+++=
-++-=
-S= xPxms

19. 19

Distribución de probabilidad binomial
La distribución binomial tiene las siguientes
características:
El resultado de cada ensayo de un experimento se
clasifica en una de dos categorías mutuamente
excluyentes, a saber: éxito o fracaso.
La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en
una cantidad fija de ensayos.
La probabilidad de un éxito permanece igual en todos
los ensayos. Lo mismo sucede con la probabilidad de
un fracaso.
Los ensayos son independientes.

20. 20

Distribución de probabilidad binomial
Para construir una distribución binomial,
sea:
Ces una combinación.
nes el número de ensayos.
xes el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito en cada
ensayo.

21. 21

Distribución de probabilidad binomial
La fórmula para la distribución de probabilidad
binomial es:
xnx
xn
CxP
-
-= )1()( pp

22. 22

Ejemplo 3
El departamento del trabajo de Alabama registra
que el 20% de la fuerza de trabajo en Mobile
está desempleada. Para una muestra de 14
trabajadores, calcule las siguientes
probabilidades:
Exactamente 3 están desempleados.
Al menos 3 están desempleados.
Al menos 1 está desempleado.

23. 23

Ejemplo 3 (Continuación)
La probabilidad de exactamente 3:
La probabilidad de al menos 3:
2501.
)0859)(.0080)(.364(
)20.1()20(.)3(
113
314
=
=
-=CP
551.000....172.250.
)80(.)20(....)80(.)20(.)3(
014
1414
113
314
=+++=
++=³ CCxP

24. 24

Ejemplo 3 (Continuación)
La probabilidad de al menos 1:
956.044.1
)20.1()20(.1
)0(1)1(
140
014
=-=
--=
-=³
C
PxP

25. 25

Media y varianza de la distribución binomial
La media se calcula así:
La varianza se calcula así:
mp=n
spp
2
1= -n()

26. 26

Ejemplo 4
Del ejemplo 3, retomamos que p = .2 y n = 14.
Por lo tanto, la media es: µ = np = 14(.2) = 2.8
La varianza es: σ
2
= np(1 –p) = 14(.2)(.8) = 2.24

27. 27

Población finita
Una población finita es una población que
consiste en un número fijo de individuos
conocidos, objetos o medidas, por
ejemplo:
El número de estudiantes en esta clase.
El número de carros en el estacionamiento.
El número de casas construidas en el
fraccionamiento Arboledas.

28. 28

Distribución Hipergeométrica
La distribución hipergeométrica tiene las
siguientes características:
Hay sólo dos resultados posibles.
La probabilidad de un éxito no es la misma en
cada ensayo.
Ésta resulta de contar el número de éxitos en
un número fijo de ensayos.

29. 29

Distribución hipergeométrica
La fórmula para encontrar una probabilidad utilizando
la distribución hipergeométrica es:
Donde N es el tamaño de la población, S es el número
de éxitos en la población, x es el número de éxitos en
una muestra de n observaciones.
Px
C C
C
SxNSnx
Nn
()
()( )
=
- -

30. 30

Distribución hipergeométrica
Utilice la distribución hipergeométrica para
encontrar la probabilidad de un número
específico de éxitos o resultados si:
La muestra es seleccionada de una población
finita sin reemplazo.
El tamaño de la muestra n es mayor que el
5% del tamaño de la población N.

31. 31

Ejemplo 5
La fábrica de juguetes Andy, tiene 50
empleados en el departamento de ensamble. De
éstos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se
van a elegir cinco empleados aleatoriamente,
para que integren un comité que hablará con el
gerente acerca de la hora de inicio de los
distintos turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que
cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al
sindicato?

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Ejemplo 5 (Continuación)
N es 50, el número de empleados.
S es 40, el número de empleados del sindicato.
x es 4, el número de empleados del sindicato que
fueron seleccionados.
n es 5, el número de empleados elegidos.
P(4)=
40
C
4
(
50-40
C
5-4
/
50
C
5
= (91390)(10)/2118760

= 0.431

33. 33

Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson
describe la cantidad de veces que ocurre un
evento en un intervalo determinado.
Esta distribución también es una forma límite de
la distribución binomial, cuando la probabilidad
de éxito es muy pequeña y n es grande.

34. 34

Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de Poisson puede describirse matemáticamente
utilizando la siguiente fórmula:
Donde µ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un
intervalo específico.
e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico
neperiano).
x es el número de éxitos.
P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado
de x.
Px
e
x
xu
()
!
=
-
m

35. 35

Distribución de probabilidad de Poisson
La media del número de éxitos µ puede
determinarse en una situación binomial así: np
donde n es el número de ensayos y p es la
probabilidad de éxito.
La varianza de una distribución Poisson es
también np(1 – p).

36. 36

Ejemplo 6
La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos
en el banco del centro de Peralvillo. Con base
en sus años de experiencia, estima que la
probabilidad de que un solicitante no sea capaz
de pagar su préstamo, es 0.025. El mes pasado
realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad
de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo?
µ = np = 40(.025) = 1
P(3) = 1
3
e
-1
/3! = 0.0613