Capítulo v cointegración

Cointegration.

1. CURSO: INTRODUCCIÓN A
LA ECONOMETRÍA
APLICADA A LAS FINANZAS
COINTEGRACIÓN
23 de junio de 2016

2. OBJETIVOS Y ESQUEMA
Objetivos.
Proveerherramientasbásicasdeeconometríaysuaplicacióndirectaalas
finanzas.
Capítulo4:
Relacionesalargoplazoenfinanzas.Cointegración.

3. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Razonesporlascualeslostestdenoestacionariedadson
necesarios.
Existenciertasrazonesdeimportanciadequeladatade
estacionariedaddebetratarsediferentedeaquellasnoestacionarias.
Comosabemoslasseriesestacionariaspresentanunamedia,varianza
ycovarianzaconstanteparacadarezagodado.
.-Laestacionariedaddelasseriespuedeninfluenciarfuertementesu
comportamientoypropiedades.Paraseriesestacionariasunshock
(cambioinesperadoenunavariableoenelvalordeltérminodeerror
duranteunparticularperíododetiempo)declinagradualmenteent+1,
t+2,etc.Estosepuedecontrastarcondatanoestacionaria,lacualla
persistenciadelshockdemantieneinfinitamente.
.-Datanoestacionariageneraregresionesespúreas.Sidosvariables
estacionariassongeneradascomoseriesaleatoriasindependientes,
cuandounadeesasvariablesesregresadarespectoalaotra,elratiot
delcoeficientebeta(pendiente)deberíaesperarsenosersignificativa-

4. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
mentediferentedecero.(tratiocaedentrodelaregióndeaceptación
delaHo),elR
2
deberíaseraltoylasvariablesnoserelacionanunas
conlasotras(DW=0NoACR).Silasvariablestienentendenciaenel
tiempohabránR
2
elevadosapesardequelasvariablessontotalmente
norelacionadas.
Ejemplodeunaregresionespúrea:Dossetdedatosindependientes(no
estacionarios)yyxsongeneradosconmuestrasde500datos.Se
calculan1.000veceselR
2
condiferentesmuestrasde500datosyse
obtieneunadistribucióndeR
2
dondelamayorfrecuenciadedatosestá
cercanaacero.Siladataesnoestacionaria,laspruebasde
significancianosonposiblesparavalidarsilaregresiónesbuena.

5. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Lafigurainframuestraqueapesardequeunodeberíaesperarvalores
R
2
decadaregresióncercanasaceroyaquelasseriesson
independientes,enrealidad,paraunsetdedatos,elR
2
esmayorque
0,9mientrasquemayora0,5seubicanmásdel16%deltiempo(ver
ilustración).
200
160
120
80
40
R
2
Frecuencia

6. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Asimismo,siunavariableesregresadasobreotranorelacionada,(95%
deltiempoelt-ratioseubicaráentre±2).Comolomuestraenel
ejemploilustrativodelgráficosiguiente,elt-ratiodeunaregresiónde
variablesnoestacionariaspuedetomarvaloresenormes(alrededordel
98%deloscasospuedetomarvaloresporencimade2cuandodebería
sermayorque2enaproximadamente5%deltiempo).Así,noesposible
validarpruebasdehipótesissobreparámetrosdelaregresiónsiladata
noesestacionaria.

7. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Datosfinancierossoncaracterísticamentenoestacionariosporlocual
esnecesariodiferenciarlos.(tendenciasalargoplazoocercanosaraiz
unitaria).Sidatosestacionariospresentandiferentesórdenesde
integración(parallevarlosaserestacionarios)ysoncombinados,esta
combinacióntendráunordendeintegraciónigualalmayorordende
integracióndelosdatos.Luego,losresidualestendránunordende
integraciónennivelesyestacionario.Asílasvariablessoncointegradas
(tienenrelacióndelargoplazo).
Siunaserienoestacionariay
tdebeserdiferenciadadvecesparalograr
serestacionariaentoncessedicequeladataesintegradaenordend.
y
t̴I(d),asíquesiy
t̴I(d),entoncesΔ
d
y
t̴I(0)terminologíade
aplicacióndediferencias(differenceoperator),Δ,dveceslideraun
procesoI(0)estacionario,procesoquenoposeeraícesunitarias.En
realidad,aplicandoeloperadordediferenciasmasdedvecesenun
procesoI(d)deberátodavíaresultarenunaserieestacionaria(perocon
unaestructuraMA(promediosmóviles)enlostérminosdeerror).

8. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
UnaserieI(0)esunaserieestacionaria,mientrasunaserieI(1)contiene
unaraízunitaria.UnaSerieI(2)contienedosraícesunitariasyasídebería
requerirdosdiferenciacionesparainducirestacionariedad.Lamayoríade
lasseriesdetiempodedatosfinancierosyeconómicoscontienenunaraíz
unitariasola.Algunoscasosdedatosfinancierosqueposiblemente
contienendosraícesunitariassonlossalariosnominalesylosíndicesde
preciosalconsumidor.
Cointegración:Ecuaciónelcualrelaciona2omásprocesosconraícesunitariasnoespúreas,peroque
correctamentedescribeladata.Es,integrarladinámicadecortoplazoconelequilibriodelargoplazo.Un
importantetemaeneconometríaeslanecesidaddeintegrarladinámicadelcortoplazoconelequilibriode
largoplazoylateoríadecointegracióndesarrolladaporGranger(1981)yelaboradaporEngleyGranger
(1987)manejaestetemadeintegración.
Enlamayoríadeloscasos,sidosvariablesquesonI(1)estánlinealmente
combinadas,entonceslacombinaciónserátambiénI(1).Ymás
generalmente,silasvariablescondiferentesórdenesdeintegraciónestán
combinadas,lacombinacióntendráunordendeintegraciónigualalmás
largo.Ilustración:Modeloderegresiónquecontienetodaslasvariables
I(1): Y
t=β
1+β
2X
2t+β
3X
3t+u
t

9. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Cointegración:
DespejandoU
t=Y
t-β
1-β
2X
2t-β
3X
3t
Losresidualespuedenserexpresadosenestamaneracomouna
combinaciónlinealdelasvariables.Típicamenteestacombinaciónlineal
devariablesI(1)serántambiénI(1),perodeberíaserobviamente
deseableobtenerresidualesqueseanI(0).Larespuestaesquela
combinacióndevariablesI(1)seránI(0).Enotraspalabras
estacionarias,silasvariablesestáncointegradas.

10. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Engle-Granger.
Unarelacióncointegradapodríaservistacomounfenómenode
equilibrioalargoplazo,desdequeesposiblequelasvariables
cointegradaspodríandesviarsedesurelaciónenelcortoplazo,pero
estaasociacióndeberíaretornarasuequilibrioenellargoplazo.
Unsetdevariablessedicencointegradas,silacombinaciónlinealde
ellasesestacionaria.Muchasseriesdetiemposonnoestacionarias
perose“muevenjuntas”eneltiempo,estoes,queexistealgunas
influenciasenlasseries(porejemplofuerzasdelmercado),elcual
implicaquelasdosseriesrebotanporalgunarelaciónenellargoplazo.

11. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Testderaicesunitarias
Yt=2Y
t-1–Y
t-2+u
ttienedosraicesunitarias.Esnecesariodiferenciarla
datadosveces.UsoAugmentedDickeyFullerTest(ADF).
NúmeroÓptimoderezagos:Lafrecuenciadeladataayudaadecidir.Si
ladataesmensualrezagos=12,trimestral=4(perosidataesporhora,
dias?).Segundaopción:CriteriosdeinformaciónAkaike,Schwarz,
Hannan-Quinn,etc.
SiseusanpocosrezagosnoseremoveráACRperosihaydemasiadosse
incrementaráloerroresestándaresyseincrementaelusodelosgradosde
libertad.

12. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Ejemplosderelacionesdelargoplazo(cointegración)entre
variablesFinancieras.
.-PreciosSpotyFuturodeuncommodityoactivodeterminado.
.-Ratiodepreciosrelativosytipodecambio.
.-Preciodelasaccionesysusdividendos.
.-Cointegraciónentrelosmercadosdebonosinternacionales.
.-PPPequilibrioeneltipodecambiodelargoplazoentredospaíseses
igualalratiodelosnivelesdepreciosrelativos.
Cointegraciónesdefinirelequilibriodelargoplazoentrelas
variables,peroladiferenciaentreellas(términodeerror)es
estacionaria.

13. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Modelosdecorreccióndeerrores
Consideremosdosseriesy
tyx
tlascualessonI(1).Elmodeloqueuno
puedeconsiderarestimares:
Δy
t=βΔx
t+u
t
Unadefiniciónderelaciónalargoplazoempleadaeneconometría
implicaquelasvariablesconvergensobrelosvaloresalargoplazoy
quenocambianmás,asíyt=yt-1=yyxt=xt-1=x.
Enconsecuencia,todoslostérminosdiferenciadosseránceroenla
fórmulaanterior,esdecir,Δy
t=0;Δx
t=0yasítodoenlaecuaciónse
cancela.Asílaregresiónanteriornotienesoluciónalargoplazoycomo
consecuencianotienenadaquedecirdequexyytienenunarelación
deequilibrio.

14. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Modelosdecorreccióndeerrores
Porejemploconsideremoslasiguienteecuación:
Δy
t=β
1Δx
t+β
2(y
t-1-∂x
t-1)+u
t
CoeficientedeCointegración
EstemodeloesdenominadoModelodeCorreccióndeErroresomodelo
deCorreccióndeEquilibrio.y
t-1-∂x
t-1esdenominadocomoelTérmino
deCorreccióndeErrores,yaquey
tyx
testácointegradaconcoeficiente
decointegración∂,entoncesy
t-1-∂x
t-1seráI(0)apesardequelos
constituyentessonI(1)entoncesasíesválidoelusodeMCOy
procedimientosestándaresdeinferenciaestadísticaendicharegresión.
Relación a
Corto plazo
Velocidad de ajuste
al equilibrio.
Término de corrección de errores.
(o término de corrección de equilibrio )

15. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
I.-Métodode2pasosdeEngleGranger:
Paso1:
AsegurémonosquelasvariablesindividualessonI(1),luegoestimamosla
regresióndeCointegraciónutilizandoMCO(OLS).Nosepuedehacer
algunainferenciasobrelosestimadosdeloscoeficientesenestaregresión
(sololaestimacióndeparámetros).Salvemoslosresidualesdelaregresión
cointegrada,u
t.LuegoprobemosqueestosresidualesseanI(0).Siesasí,
vamosalPaso2.Sino,(esdecir,sonI(1))estimemoselmodelo
conteniendosólolasprimerasdiferencias.
Paso2:
Usemoslosresidualesdelpaso1comounavariableenelmodelode
correccióndeerrores:
Δy
t=β
1Δx
t+β
2(u
t-1)+v
tdondeu
t-1=y
t-1–Ώx
t-1Lacombinaciónde
variablesnoestacionariaslascualesestacionariaestambiénconocidase
denominavectordecointegración.

16. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
I.-Métodode2pasosdeEngleGranger:
Enestecasoelvectordecointegracióndeberíaser(1-Ώ).
Estemétodo(Engle-Granger)sufredealgunosproblemas:
1.-Pérdidadepoderenpruebasderaícesunitariasypruebasde
cointegración(finitesampleproblem).
2.-Sesgodeecuacionessimultáneascausalidadentreyyxcorreenambas
direcciones,locualrequierealinvestigadornormalizarunavariable
(especificarunavariablecomodependienteylasotrascomo
independientes),forzandoeltratamientodeyyxasimétricamentepesea
quenohayrazonesteóricasderealizaresto.
3.-Sepuedeestimarhastaunasolarelacióndecointegraciónentrelas
variablescadavez.Perosisetienen3variablespuedenhabermás
relacioneslinealmenteindependientesdecointegración.

17. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
II.-TécnicadeJohansen
Supongamosunsetdevariables(g>=2)lascualessonI(1)enlacual
pensemosqueexistecointegración.UnVARconkrezagosconteniendo
estasvariablespodríanser:
Y1t=β10+β11y1t-1+α11y2t-1+.…+α
1ky
1t-k+u1t
Y2t=β20+β21y2t-1+α21y1t-1+….+α
2ky
1t-k+u2t
o,similarmente:
Yt=β1yt-1+β
2y
t-2+…+β
ky
t-k+u
t
(gx1) (gxg)(gx1)(gxg)(gx1) (gxg)(gx1)(gx1)

18. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
II.-TécnicadeJohansen(cont.)
ParausarlaspruebasdeJohansenelVARanteriornecesitasercambiado
haciaunmodelodeVectordeCorreccióndeErrores(VECM)delaforma:
Δy
t=ЛΔy
t-k+Γ
1Δy
t-1+Γ
2Δy
t-2+…..+Γ
k-1Δy
t-(k-1)+u
t
donde:Л=(∑β
i)–I
g(Matrizdecoeficientesalargoplazo,dondesecentra
latécnicadeJohansen,sellamaLongRunCoefficientMatrixyaquedesde
elequilibriotodoslosΔy
t-iseráncerosydefiniendoeltérminodeerroru
t
haciasuvaloresperadodejaráЛy
t-k=0.
laspruebasdeCointegraciónentrelasy´sescalculadaviendoelRankdela
matrizЛvíasusEigenvalores(Eigenvalues).ElRankdeunamatrizesigual
alnúmeroderaícescaracterísticas(Eigenvalores)quesondiferentesa
cero.LosvaloresEigensedenotancomoλ
iysonpuestosenorden
ascendente:
λ
1>=λ
2>=…>=λ
nsiλ
isonlasraícesenestecontextoellasdebenser

19. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
II.-TécnicadeJohansen(cont.)
menoresque1envalorabsolutoypositivoyλ
1deberáserelmayor
(cercanoauno)mientrasλ
gseráelmáspequeño(máscercanoacero).SI
LASVARIABLESNOESTÁNINTEGRADAS, elrankdeЛnoserá
significativamentediferentedecero,asíqueλ
i≈0paratodoi.Laprueba
estadísticarealmenteincorporaln(1-λ
i)enlugardeλ
iperotodavíacuando
λ
i=0,ln(1-λ
i)=0.
TestdeCointegración:
λ
trace(r)=-T∑ln(1-λ
i) yλ
max(r,r+1)=-Tln(1-λ
r+1)
DondereselnúmerodevectoresdeCointegraciónbajolahipótesisnulay
λ
ieselvalorestimadodeli
theigenvalordelamatrizЛ.
Amedidaquemásgrandeseaλ
imáslargoynegativoseráln(1-λ
i)ycomo
consecuenciamáslargoseráeltestestadístico.Unvalorsignificantemente
diferentedeceroindicaunacointegraciónmássignificativa.

20. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
II.-TécnicadeJohansen(cont.)
λ
traceesunapruebaglobaldondeHoesqueelnúmerodevectoresde
cointegraciónesmenoroigualquer,contraunaalternativageneralno
especificadadequeexistamasder.Comienzaconpeigenvaloresy
sucesivamenteelmáslargoesremovido.λ
trace=0cuandotodoslosλ
i=0
parai=1,….g
λ
max=conducetestsseparadosencadavaloreigenytienecomoHoqueel
númerodevectoresdeCointegraciónesrcontraunaalternativader+1.
JohanseyJuselius(1990)proveevalorescríticosparalasdosestadísticas.
Ladistribucióndelostestestadísticosnoesestándarylosvalorescríticos
dependendelvalordeg-r,elnúmerodecomponentesnoestacionariosasí
comoconstantesincluidosencadaecuación.

21. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
Métodosdeestimacióndeparámetrosensistemascointegrados
II.-TécnicadeJohansen
Ho:r=0versusH
1:0<r<=g Ho:NoCointegración.
Ho:r=1versusH
1:1<r<=g
Ho:r=2versusH
1:2<r<=g
…….
Ho:r=g-1versusH
1:r=g
P-ValueoProb.debesercercanoaceroomenosde0,050%probabilidad
decaerenHodenoCointegración,esdecirhayCointegración.
Sielt
statesmayorqueelvalorcríticodelatablasdeJohansen…..Se
rechazalaHodenoCointegración.
LaprimerapruebaenvuelveHodenoexistenciadevectoresde
Cointegración.

22. CAPÍTULO V. Relaciones a largo plazo en finanzas. Cointegración
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Series no estacionarias y cointegración en EViews