Capitulo iv. fisica ii. tensión superficial y capilaridad
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Oct 05, 2015
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Buen libro para empezar el capitulo de tensión superficial encontraras teoría, ejercicios resueltos y ejercicios pospuestos LES RECOMIENDO EMPEZAR POR ESTE LIBRO.
espero que les sirva para.
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Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
254
CAPITULO IV
TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD
4.1 TENSION SUPERFICIAL.
254
CAPITULO IV
TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD
4.1 TENSION SUPERFICIAL.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
255
Si depositamos con cuidado sobre el agua una aguja de coser de acero engrasada, o cuando depositamos un clip
sobre el agua éstos objetos puede flotar, formando en la superficie del agua una pequeña depresión y permanecen
sin hundirse, aunque la densidad de la aguja y del clip puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que la densidad
del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.
Las fuerzas que soportan la aguja y el clip en dicha posición no son las fuerzas de flotación sino más bien son las
fuerzas debidas a la tensión superficial (Fst).
Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el
interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio
desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b. El ascenso o descenso se deben a la tensión superficial.
Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.
El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de
una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden
caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la superficie del agua.
255
Si depositamos con cuidado sobre el agua una aguja de coser de acero engrasada, o cuando depositamos un clip
sobre el agua éstos objetos puede flotar, formando en la superficie del agua una pequeña depresión y permanecen
sin hundirse, aunque la densidad de la aguja y del clip puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que la densidad
del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.
Las fuerzas que soportan la aguja y el clip en dicha posición no son las fuerzas de flotación sino más bien son las
fuerzas debidas a la tensión superficial (Fst).
Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el
interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio
desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b. El ascenso o descenso se deben a la tensión superficial.
Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.
El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de
una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden
caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la superficie del agua.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
256
Todos estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un
líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal que si se
considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado de dicha línea
ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la superficie y es
perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver figura 4.4) es decir una
molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en todas las direcciones dando lugar a
una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la molécula B que tiene más moléculas de líquido en
la parte inferior de su esfera de acción experimenta una fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la
acción de una fuerza resultante dirigida hacia el interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la
superficie del líquido produce la contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana
elástica. Esta tendencia contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.
Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.
4.2 ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL.
Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un anillo de
alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como se muestra en la
figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo de ella se forma una
película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha el interior del bucle de hilo,
este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las superficies del líquido tirasen
radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.
Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de alambre en el que se
pincho el centro del bucle.
Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas de las
manera que la resultante de las fuerzas es nula.
Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6, consiste en
un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador. Cuando el sistema
se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el alambre de longitud L, se
desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado grande, y para mantenerlo en
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Todos estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un
líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal que si se
considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado de dicha línea
ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la superficie y es
perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver figura 4.4) es decir una
molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en todas las direcciones dando lugar a
una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la molécula B que tiene más moléculas de líquido en
la parte inferior de su esfera de acción experimenta una fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la
acción de una fuerza resultante dirigida hacia el interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la
superficie del líquido produce la contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana
elástica. Esta tendencia contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.
Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.
4.2 ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL.
Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un anillo de
alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como se muestra en la
figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo de ella se forma una
película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha el interior del bucle de hilo,
este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las superficies del líquido tirasen
radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.
Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de alambre en el que se
pincho el centro del bucle.
Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas de las
manera que la resultante de las fuerzas es nula.
Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6, consiste en
un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador. Cuando el sistema
se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el alambre de longitud L, se
desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado grande, y para mantenerlo en
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
257
equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca extraño la fuerza total F = W1 + W2,
mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la lámina líquida, siempre que la temperatura se
mantenga constante.
Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la tensión superficial.
Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el diámetro
molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos capas
superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil y se aumenta
el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas superficiales.
4.3 COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.
Otro dispositivo muy adecuado para poner de manifiesto los fenómenos interfasiales y para comenzar un estudio
cuantitativo es el que se muestra en la figura 4.7, el cual consta de un alambre delgado en forma de U y sobre el
cual puede deslizar sin rozamiento un alambre ligero móvil de longitud L, extraídos de una disolución jabonosa
Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.
Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una fuerza
exterior Fex es decir para ampliar el área a temperatura constante es necesario realizar un trabajo, trabajo que
resulta ser proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de
tensión superficial, γ.
Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será
s
UA
(4.1)
Donde, γs es el coeficiente de tensión superficial. ΔA es el incremento de área superficial.
257
equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca extraño la fuerza total F = W1 + W2,
mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la lámina líquida, siempre que la temperatura se
mantenga constante.
Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la tensión superficial.
Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el diámetro
molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos capas
superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil y se aumenta
el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas superficiales.
4.3 COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.
Otro dispositivo muy adecuado para poner de manifiesto los fenómenos interfasiales y para comenzar un estudio
cuantitativo es el que se muestra en la figura 4.7, el cual consta de un alambre delgado en forma de U y sobre el
cual puede deslizar sin rozamiento un alambre ligero móvil de longitud L, extraídos de una disolución jabonosa
Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.
Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una fuerza
exterior Fex es decir para ampliar el área a temperatura constante es necesario realizar un trabajo, trabajo que
resulta ser proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de
tensión superficial, γ.
Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será
s
UA
(4.1)
Donde, γs es el coeficiente de tensión superficial. ΔA es el incremento de área superficial.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
258
De acuerdo con esta definición el coeficiente de tensión superficial tiene como unidades al joule por metro
cuadrado (J/m
2
) en el SI y al ergio por centímetro cuadrado (erg/cm
2
) en el c.g.s
El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en la
forma.
ixiFrFU
..
U F x
(4.2)
Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por
2A l x
(4.3)
Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos
(2 )
s
F x L x
2
s
F
l
(4.4)
La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la fuerza
superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema internacional el
coeficiente de la tensión superficial se expresa en Newton por metro (N/m) y el sistema CGS absoluto, se expresa
en dinas/cm. La equivalencia entre ambas unidades 1 / 1000 /N m Dinas cm
El valor del coeficiente de tensión superficial de una sustancia líquida pura en contacto con su propio vapor
depende de la naturaleza de la sustancia. Si el gas circundante es inerte e insoluble en el líquido y no son intensos
los fenómenos de absorción, el coeficiente de tensión superficial depende poco de la naturaleza del gas y su valor
respecto al vacío se puede confundir con el valor de γst con relación al gas.
La experiencia demuestra que el coeficiente de tensión superficial de los líquidos disminuye con el incremento de
la temperatura y que dicha disminución es, generalmente, función lineal de la temperatura anulándose cuando la
temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk,. En la figura 4.8 se muestra la relación coeficiente de tensión
superficial en función de la temperatura para el agua.
Figura 4.8 Relación tensión superficial – temperatura para el agua
258
De acuerdo con esta definición el coeficiente de tensión superficial tiene como unidades al joule por metro
cuadrado (J/m
2
) en el SI y al ergio por centímetro cuadrado (erg/cm
2
) en el c.g.s
El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en la
forma.
ixiFrFU
..
U F x
(4.2)
Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por
2A l x
(4.3)
Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos
(2 )
s
F x L x
2
s
F
l
(4.4)
La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la fuerza
superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema internacional el
coeficiente de la tensión superficial se expresa en Newton por metro (N/m) y el sistema CGS absoluto, se expresa
en dinas/cm. La equivalencia entre ambas unidades 1 / 1000 /N m Dinas cm
El valor del coeficiente de tensión superficial de una sustancia líquida pura en contacto con su propio vapor
depende de la naturaleza de la sustancia. Si el gas circundante es inerte e insoluble en el líquido y no son intensos
los fenómenos de absorción, el coeficiente de tensión superficial depende poco de la naturaleza del gas y su valor
respecto al vacío se puede confundir con el valor de γst con relación al gas.
La experiencia demuestra que el coeficiente de tensión superficial de los líquidos disminuye con el incremento de
la temperatura y que dicha disminución es, generalmente, función lineal de la temperatura anulándose cuando la
temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk,. En la figura 4.8 se muestra la relación coeficiente de tensión
superficial en función de la temperatura para el agua.
Figura 4.8 Relación tensión superficial – temperatura para el agua
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
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En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.
TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de 20ºC
LIQUIDO TENSION SUPERFICIAL
(N/m)
Agua 0,073
Mercurio 0,50
Glicerina 0,064
Aceite de ricino 0,035
Benzol 0,03
Keroseno 0,03
Alcohol 0,02
4.4 SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN
LÍQUIDO.
Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la película está
limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la película es convexa,
al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo de ella, mientras que si la
película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.9. Es decir,
“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación con
aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es convexa, la
presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión complementaria es negativa
(depresión)”.
Figura 4.9 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.
4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.
Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de área ΔA
como se muestra en la Fig. 4.10. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del casquete son
tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de dicho contorno está dado
por
LF
s (4.5)
Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo tanto, la
componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una sobrepresión.
Del gráfico se observa que φ
senFF .
1
(4.6)
Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene
senLF
S.
1
(4.7)
259
En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.
TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de 20ºC
LIQUIDO TENSION SUPERFICIAL
(N/m)
Agua 0,073
Mercurio 0,50
Glicerina 0,064
Aceite de ricino 0,035
Benzol 0,03
Keroseno 0,03
Alcohol 0,02
4.4 SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN
LÍQUIDO.
Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la película está
limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la película es convexa,
al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo de ella, mientras que si la
película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.9. Es decir,
“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación con
aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es convexa, la
presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión complementaria es negativa
(depresión)”.
Figura 4.9 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.
4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.
Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de área ΔA
como se muestra en la Fig. 4.10. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del casquete son
tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de dicho contorno está dado
por
LF
s (4.5)
Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo tanto, la
componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una sobrepresión.
Del gráfico se observa que φ
senFF .
1
(4.6)
Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene
senLF
S.
1
(4.7)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
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Figura 4.10. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la sobrepresión.
Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante paralela al
radio OC, es
.
11 LsenFF
S
(4.8)
La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una circunferencia de
radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe
senrF
S.2
1
(4.9)
Del gráfico se observa además R
r
sen
(4.10)
Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene
R
r
F
S
2
1
.2
(4.11)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0), viene
expresado por
AppF
p
0
(4.12)
Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.11. La componente de esta fuerza en
dirección vertical será cos'
0AppF
p
(4.13)
Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección vertical
será
.0 proyp AppF
(4.14)
260
Figura 4.10. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la sobrepresión.
Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante paralela al
radio OC, es
.
11 LsenFF
S
(4.8)
La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una circunferencia de
radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe
senrF
S.2
1
(4.9)
Del gráfico se observa además R
r
sen
(4.10)
Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene
R
r
F
S
2
1
.2
(4.11)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0), viene
expresado por
AppF
p
0
(4.12)
Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.11. La componente de esta fuerza en
dirección vertical será cos'
0AppF
p
(4.13)
Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección vertical
será
.0 proyp AppF
(4.14)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
261
La fuerza total en la dirección vertical se expresa
.0 proypp AppFF
(4.15)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr
2
, entonces la
ecuación (4.15) se escribe
2
0.rppF
p
(4.16)
En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se
compensan, por tanto se tiene
R
r
rpp
F
S
y
2
2
0
.2
.
0
R
p
S2
(4.17)
Figura 4.11 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota
La ecuación (4.17) indica que si el coeficiente de tensión superficial permanece constante (temperatura constante),
el exceso de presión en el interior de la gota es tanto mayor cuanto menor sea su radio. Por consiguiente si dos
gotitas de diferentes tamaños, de un mismo líquido, se ponen en contacto, la mayor engullirá a la menor. Este
fenómeno, llamado coalescencia, se presenta cuando en un recinto isotermo se encuentran presentes gotitas de
diferentes tamaños de un mismo líquido. El fenómeno puede explicarse también desde el punto de vista
energético, ya que el sistema tenderá adoptar como configuración de equilibrio estable aquélla que corresponda a
un mínimo de energía potencial, es decir, aquella a la que corresponda un mínimo de extensión superficial para
un mismo volumen total.
La tensión superficial es uno de los factores más importantes de entre los que determinan el tamaño de las gotitas
líquidas que forman los humus y las nieblas (aerosoles). Cuando un líquido está en contacto con su propio vapor a
través de una interfase plana, la presión de la fase gaseosa recibe el nombre de presión de vapor. La presión de
vapor de unas sustancia dad aumenta con la temperatura; así, las presiones de vapor del agua a 20°C y a 100°C
son 17,533 y 760 Torr, respectivamente. El equilibrio al que nos referimos es un equilibrio dinámico, esto es,
durante un intervalo de tiempo dado, el número de moléculas que pasan de la fase líquida a la de vapor a través de
la superficie interfasial, es igual al que pasa de la fase gaseosa a la líquida. En el caso de una superficie curvada el
equilibrio interfasial se establece cuando la presión capilar, es decir la diferencia de presiones p – p0, es igual a la
presión de vapor . Esta condición determina el tamaño de la gotas más pequeñas que pueden permanecer sin
evaporarse en una atmósfera de vapor saturante.
261
La fuerza total en la dirección vertical se expresa
.0 proypp AppFF
(4.15)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr
2
, entonces la
ecuación (4.15) se escribe
2
0.rppF
p
(4.16)
En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se
compensan, por tanto se tiene
R
r
rpp
F
S
y
2
2
0
.2
.
0
R
p
S2
(4.17)
Figura 4.11 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota
La ecuación (4.17) indica que si el coeficiente de tensión superficial permanece constante (temperatura constante),
el exceso de presión en el interior de la gota es tanto mayor cuanto menor sea su radio. Por consiguiente si dos
gotitas de diferentes tamaños, de un mismo líquido, se ponen en contacto, la mayor engullirá a la menor. Este
fenómeno, llamado coalescencia, se presenta cuando en un recinto isotermo se encuentran presentes gotitas de
diferentes tamaños de un mismo líquido. El fenómeno puede explicarse también desde el punto de vista
energético, ya que el sistema tenderá adoptar como configuración de equilibrio estable aquélla que corresponda a
un mínimo de energía potencial, es decir, aquella a la que corresponda un mínimo de extensión superficial para
un mismo volumen total.
La tensión superficial es uno de los factores más importantes de entre los que determinan el tamaño de las gotitas
líquidas que forman los humus y las nieblas (aerosoles). Cuando un líquido está en contacto con su propio vapor a
través de una interfase plana, la presión de la fase gaseosa recibe el nombre de presión de vapor. La presión de
vapor de unas sustancia dad aumenta con la temperatura; así, las presiones de vapor del agua a 20°C y a 100°C
son 17,533 y 760 Torr, respectivamente. El equilibrio al que nos referimos es un equilibrio dinámico, esto es,
durante un intervalo de tiempo dado, el número de moléculas que pasan de la fase líquida a la de vapor a través de
la superficie interfasial, es igual al que pasa de la fase gaseosa a la líquida. En el caso de una superficie curvada el
equilibrio interfasial se establece cuando la presión capilar, es decir la diferencia de presiones p – p0, es igual a la
presión de vapor . Esta condición determina el tamaño de la gotas más pequeñas que pueden permanecer sin
evaporarse en una atmósfera de vapor saturante.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
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4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica. Pompas
Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios interior
y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un casquete esférico
de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.
La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es
senFF .
1
(4.18)
Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma
senLF
S.
1
(4.19)
La fuerza resultante total en dirección horizontal es
.
11 LsenFF
S
(4.20)
Del gráfico se observa que
rL .22
(4.21)
En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos
superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20), se tiene
senrF
S.4
1
(4.22)
Teniendo en cuenta que senφ = r/R, la ecuación (4.22) se escribe
R
r
F
S
2
1
.4
(4.23)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está dado por
'
0AppF
p
(4.24)
262
4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica. Pompas
Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios interior
y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un casquete esférico
de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.
La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es
senFF .
1
(4.18)
Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma
senLF
S.
1
(4.19)
La fuerza resultante total en dirección horizontal es
.
11 LsenFF
S
(4.20)
Del gráfico se observa que
rL .22
(4.21)
En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos
superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20), se tiene
senrF
S.4
1
(4.22)
Teniendo en cuenta que senφ = r/R, la ecuación (4.22) se escribe
R
r
F
S
2
1
.4
(4.23)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está dado por
'
0AppF
p
(4.24)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
263
En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.
Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.13, entonces la componente
horizontal es cos'
0AppF
p
(4.25)
Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec. Anterior se
escribe
.0 proyp AppF
(4.26)
La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa
.0, proypxp AppFF (4.27)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr
2
, entonces la ec.
(4.27) se escribe
2
0, .rppF
xp (4.28)
Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta dirección es
nula, es decir
2
2
0
4.
0.
S
x
r
F p p r
R
4
S
p
R
(4.29)
La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión complementaria, es
directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia de presión es mucho mayor
cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos de un tubo, la más pequeña obligará al
aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará aún más pequeña y la grande incrementará su
volumen.
Figura4.13. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.
La diferencia de presiones puede ponerse de manifiesto mediante el sencillo dispositivo mostrado en la figura
4.14a, que incluso nos permite determinar el coeficiente de tensión superficial γs de la disolución jabonosa
empleada para producir la pompa. Para ello basta medir el radio R de la pompa y deducir el valor de Δp a partir
del desnivel h que se observa en el tubo manométrico acoplado.
La ecuación (4.29) pone de manifiesto que cuando mayor es la pompa menor es la presión interior en la misma.
Este efecto puede demostrarse fácilmente soplando dos pompas de jabón en los extremos del tubo de la figura
4.14b. Cuando se cierra la llave A y se abren las llaves B y C, el aire pasará de la pompa más pequeña hacia la
263
En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.
Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.13, entonces la componente
horizontal es cos'
0AppF
p
(4.25)
Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec. Anterior se
escribe
.0 proyp AppF
(4.26)
La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa
.0, proypxp AppFF (4.27)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr
2
, entonces la ec.
(4.27) se escribe
2
0, .rppF
xp (4.28)
Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta dirección es
nula, es decir
2
2
0
4.
0.
S
x
r
F p p r
R
4
S
p
R
(4.29)
La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión complementaria, es
directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia de presión es mucho mayor
cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos de un tubo, la más pequeña obligará al
aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará aún más pequeña y la grande incrementará su
volumen.
Figura4.13. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.
La diferencia de presiones puede ponerse de manifiesto mediante el sencillo dispositivo mostrado en la figura
4.14a, que incluso nos permite determinar el coeficiente de tensión superficial γs de la disolución jabonosa
empleada para producir la pompa. Para ello basta medir el radio R de la pompa y deducir el valor de Δp a partir
del desnivel h que se observa en el tubo manométrico acoplado.
La ecuación (4.29) pone de manifiesto que cuando mayor es la pompa menor es la presión interior en la misma.
Este efecto puede demostrarse fácilmente soplando dos pompas de jabón en los extremos del tubo de la figura
4.14b. Cuando se cierra la llave A y se abren las llaves B y C, el aire pasará de la pompa más pequeña hacia la
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
264
mayo, de modo que la pompa más pequeña se hará aún menor y la más grande crecerá. Por otro lado si las pomas
tienen el mismo tamaño existirá un equilibrio inestable.
Figura 4.14 (a) dispositivo para medir la tensión superficial de una burbuja, (b) dispositivo que muestra el efecto
del radio de curvatura en la tensión superficial de una pompa
4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.
Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer lugar, existe
la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general θ
En la figura 4.15, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la superficie
que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la superficie se genera una
sección normal.
Figura 4.15 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.
Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio coincide con el
de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera.
Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto O dará
diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.14, se muestran dos secciones
normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el arco A1B1 y la otra el
arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.
La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como
21
11
RR
C (4.30)
264
mayo, de modo que la pompa más pequeña se hará aún menor y la más grande crecerá. Por otro lado si las pomas
tienen el mismo tamaño existirá un equilibrio inestable.
Figura 4.14 (a) dispositivo para medir la tensión superficial de una burbuja, (b) dispositivo que muestra el efecto
del radio de curvatura en la tensión superficial de una pompa
4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.
Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer lugar, existe
la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general θ
En la figura 4.15, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la superficie
que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la superficie se genera una
sección normal.
Figura 4.15 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.
Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio coincide con el
de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera.
Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto O dará
diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.14, se muestran dos secciones
normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el arco A1B1 y la otra el
arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.
La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como
21
11
RR
C (4.30)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
265
Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos secciones
normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.16, los radios de curvatura de las secciones normales so
R1 y R2.
Figura 4.16 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria
Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la
longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será
.
21LLA (4.31)
La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será
11 LF
S (4.32)
La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto
senFF
11'
(4.33)
De la figura se obtiene la relación trigonométrica 1
2
11
1
1
2
R
L
CA
AO
sen
1
2
1
2R
L
sen
(4.34)
Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene
1
21'
1
2R
LL
F
S
1
'
1
2R
A
F
S
(4.35)
En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.
265
Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos secciones
normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.16, los radios de curvatura de las secciones normales so
R1 y R2.
Figura 4.16 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria
Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la
longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será
.
21LLA (4.31)
La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será
11 LF
S (4.32)
La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto
senFF
11'
(4.33)
De la figura se obtiene la relación trigonométrica 1
2
11
1
1
2
R
L
CA
AO
sen
1
2
1
2R
L
sen
(4.34)
Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene
1
21'
1
2R
LL
F
S
1
'
1
2R
A
F
S
(4.35)
En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
266 1
'
1
2R
A
F
S
(4.36)
Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG, obteniéndose 2
'
2
2R
A
F
S
(4.37)
Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)
2
'
2
2R
A
F
S
(4.38)
La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será
21
?
2
2
2
2
R
A
R
A
F
SS (4.39)
Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma
AppF
p
0 (4.40)
Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la tensión
superficial, resulta
21
0
'
11
RR
AApp
FF
S
p
21
0
11
RR
pp
S
(4.41)
A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de forma
arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales, entonces la ec.
(4.41) se escribe
00
211
S
S
p p p p
R R R
Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el otro es
igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene
R
pp
S
11
0
R
pp
S
0
(4.42)
4.5. ANGULOS DE CONTACTO
Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que separan un
líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de láminas
266 1
'
1
2R
A
F
S
(4.36)
Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG, obteniéndose 2
'
2
2R
A
F
S
(4.37)
Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)
2
'
2
2R
A
F
S
(4.38)
La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será
21
?
2
2
2
2
R
A
R
A
F
SS (4.39)
Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma
AppF
p
0 (4.40)
Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la tensión
superficial, resulta
21
0
'
11
RR
AApp
FF
S
p
21
0
11
RR
pp
S
(4.41)
A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de forma
arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales, entonces la ec.
(4.41) se escribe
00
211
S
S
p p p p
R R R
Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el otro es
igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene
R
pp
S
11
0
R
pp
S
0
(4.42)
4.5. ANGULOS DE CONTACTO
Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que separan un
líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de láminas
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
267
superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared sólida y un
fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.17, conjuntamente con sus láminas. Debe notarse además
que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se encuentra asociada una
determinada tensión superficial. Así por ejemplo:
FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido
FSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vapor
FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor
Figura 4.17. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.
La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la tensión
superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la relación entre estas
tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección como se muestra en la figura
4.18, y se aplica las ecuaciones de equilibrio
(a) (b) (c)
Figura 4.18. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en contacto
con vidrio, (b) menisco cóncavo y (c) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el
líquido (agua).
Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan. 0
xF
senFA
LV
(4.43)
0
yF .cos
LVSLSV FFF
(4.44)
Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión. La
ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-vapor y el
267
superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared sólida y un
fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.17, conjuntamente con sus láminas. Debe notarse además
que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se encuentra asociada una
determinada tensión superficial. Así por ejemplo:
FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido
FSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vapor
FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor
Figura 4.17. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.
La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la tensión
superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la relación entre estas
tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección como se muestra en la figura
4.18, y se aplica las ecuaciones de equilibrio
(a) (b) (c)
Figura 4.18. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en contacto
con vidrio, (b) menisco cóncavo y (c) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el
líquido (agua).
Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan. 0
xF
senFA
LV
(4.43)
0
yF .cos
LVSLSV FFF
(4.44)
Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión. La
ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-vapor y el
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
268
ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el cual es una medida de
la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la diferencia entre la fuerza de
tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido.
En la figura 4.18, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está
comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida.
FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)
En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las moléculas del
líquido como se muestra en la figura 4.19a.
Figura 4.19 (a) Fuerzas de adhesión y cohesión en la interfase vidrio-agua, (b) fuerzas de cohesión y adhesión en
la interfase vidrio-mercurio
Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la curvatura de
la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.20.
(a) (b) (c)
Figura 4.20 (a) DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio, (b) menisco convexo y (c)
interacción entre las moléculas del vidrio y las de mercurio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared sólida i
líquida, se obtiene
0
xF
º180senFA
LV (4.46)
0
yF
268
ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el cual es una medida de
la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la diferencia entre la fuerza de
tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido.
En la figura 4.18, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está
comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida.
FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)
En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las moléculas del
líquido como se muestra en la figura 4.19a.
Figura 4.19 (a) Fuerzas de adhesión y cohesión en la interfase vidrio-agua, (b) fuerzas de cohesión y adhesión en
la interfase vidrio-mercurio
Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la curvatura de
la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.20.
(a) (b) (c)
Figura 4.20 (a) DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio, (b) menisco convexo y (c)
interacción entre las moléculas del vidrio y las de mercurio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared sólida i
líquida, se obtiene
0
xF
º180senFA
LV (4.46)
0
yF
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
269 º180cos
LVSLSV FFF
(4.47)
En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión superficial
sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones se dice que el
fluido no moja al vidrio.
FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)
Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.
Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se muestra en
figura 4.21, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas condiciones las ecuaciones de
equilibrio nos dan
0
xF
LVFA (4.49)
0
yF
SLSVFF (4.50)
Figura 4.21 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto con una pared de plata.
Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por ejemplo, el
agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en forma análoga el
mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.
Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es cóncava,
mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se le llaman
meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el ángulo de contacto
como se muestra en la figura 4.22.
Figura 4.22 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con detergente, el
líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido no moja la superficie (θ > 90°)
269 º180cos
LVSLSV FFF
(4.47)
En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión superficial
sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones se dice que el
fluido no moja al vidrio.
FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)
Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.
Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se muestra en
figura 4.21, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas condiciones las ecuaciones de
equilibrio nos dan
0
xF
LVFA (4.49)
0
yF
SLSVFF (4.50)
Figura 4.21 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto con una pared de plata.
Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por ejemplo, el
agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en forma análoga el
mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.
Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es cóncava,
mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se le llaman
meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el ángulo de contacto
como se muestra en la figura 4.22.
Figura 4.22 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con detergente, el
líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido no moja la superficie (θ > 90°)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
270
4.6 CAPILARIDAD.
Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un tubo abierto
de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se presenta este efecto
se les llama capilares (análogo a cabello).
En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta situación el
fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.23.
Figura 4.23 Ascenso de un fluido en un capilar.
Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió, como se
muestra en la figura 4.24, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS), el peso de la
masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a la presión sobre la
superficie AB.
Figura 4.24 DCL del fluido que ascendió en el capilar.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
yF
WF
S (451)
Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con la pared del capilar a lo largo de una
longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será
270
4.6 CAPILARIDAD.
Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un tubo abierto
de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se presenta este efecto
se les llama capilares (análogo a cabello).
En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta situación el
fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.23.
Figura 4.23 Ascenso de un fluido en un capilar.
Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió, como se
muestra en la figura 4.24, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS), el peso de la
masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a la presión sobre la
superficie AB.
Figura 4.24 DCL del fluido que ascendió en el capilar.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
yF
WF
S (451)
Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con la pared del capilar a lo largo de una
longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
271
cos.2rF
LVS (4.52)
Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será
hrggVW
2
. (4.53)
Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta
gr
h
LV
cos2
(4.54)
La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto menor es el
radio r del capilar como se muestra en la figura 4.25a. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en
tubos de radios muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente
de tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ = 0º), la ecuación (4.54) puede escribirse
gr
h
LV
2
(4.55)
Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión complementaria es
positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la vasija, esta situación se
muestra en la figura 424b, la altura h que desciende el fluido en el capilar se determina también con la ecuación
(4.54).
Figura 4.25 (a) La elevación del fluido en el capilar depende del radio del tubo, (b) Descenso de un fluido líquido en
un capilar.
Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo constituye la
infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento de las mechas, la
absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.
271
cos.2rF
LVS (4.52)
Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será
hrggVW
2
. (4.53)
Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta
gr
h
LV
cos2
(4.54)
La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto menor es el
radio r del capilar como se muestra en la figura 4.25a. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en
tubos de radios muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente
de tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ = 0º), la ecuación (4.54) puede escribirse
gr
h
LV
2
(4.55)
Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión complementaria es
positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la vasija, esta situación se
muestra en la figura 424b, la altura h que desciende el fluido en el capilar se determina también con la ecuación
(4.54).
Figura 4.25 (a) La elevación del fluido en el capilar depende del radio del tubo, (b) Descenso de un fluido líquido en
un capilar.
Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo constituye la
infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento de las mechas, la
absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
272
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm de
diámetro exterior está colgado de un resorte, cuyo
coeficiente de deformación es igual a 0,98 N/m, y se
encuentra en contacto con al superficie de un líquido. Al
descender la superficie del líquido el anillo se
desprendió de ella en el momento en que el resorte se
había alargado 5,3 mm. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;..3,5
;../98,0;..26;..25
21
S
mmx
mNKmmdmmd
En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el
actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del
anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial
(FS).
El valor de la fuerza de tensión superficial es
)1.(....................
.2.2
21
21
ddF
rr
longitudF
SS
S
SS
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)2.......(....................
0
WFF
F
Se
y
Debido a que el peso del anillo es despreciable, la
ecuación anterior se escribe en la forma
12
.
Se
S
FF
d d K x
12
3
3
3
0,98 5,3.10
25 26 10
32,4.10 / ........................... .
S
S
S
Kx
dd
N m Rta
Problema 2.
Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la figura,
provisto de un travesaño móvil MN, hay extendida una
película de agua jabonosa. (a) ¿Qué diámetro deberá
tener el travesaño de cobre MN para poder estar en
equilibrio?. (b) ¿Qué longitud tiene este travesaño si
sabemos que para desplazarlo 1 cm hay que realizar un
trabajo igual a 4,5.10
-5
J?. Para el agua jabonosa γS =
0,045N/m.
Solución
Parte (a).
Datos e incógnitas
.??;../8600;../045,0
3
dmkgmN
CuS
En la figura se muestra el DCL del travesaño en la
posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas: la
fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).
272
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm de
diámetro exterior está colgado de un resorte, cuyo
coeficiente de deformación es igual a 0,98 N/m, y se
encuentra en contacto con al superficie de un líquido. Al
descender la superficie del líquido el anillo se
desprendió de ella en el momento en que el resorte se
había alargado 5,3 mm. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;..3,5
;../98,0;..26;..25
21
S
mmx
mNKmmdmmd
En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el
actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del
anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial
(FS).
El valor de la fuerza de tensión superficial es
)1.(....................
.2.2
21
21
ddF
rr
longitudF
SS
S
SS
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)2.......(....................
0
WFF
F
Se
y
Debido a que el peso del anillo es despreciable, la
ecuación anterior se escribe en la forma
12
.
Se
S
FF
d d K x
12
3
3
3
0,98 5,3.10
25 26 10
32,4.10 / ........................... .
S
S
S
Kx
dd
N m Rta
Problema 2.
Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la figura,
provisto de un travesaño móvil MN, hay extendida una
película de agua jabonosa. (a) ¿Qué diámetro deberá
tener el travesaño de cobre MN para poder estar en
equilibrio?. (b) ¿Qué longitud tiene este travesaño si
sabemos que para desplazarlo 1 cm hay que realizar un
trabajo igual a 4,5.10
-5
J?. Para el agua jabonosa γS =
0,045N/m.
Solución
Parte (a).
Datos e incógnitas
.??;../8600;../045,0
3
dmkgmN
CuS
En la figura se muestra el DCL del travesaño en la
posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas: la
fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
273
La fuerza debido a la tensión superficial es
)1(....................2
2
SS
S
SS
F
L
longitudF
El peso del travesaño es
)2..(....................
4
2
Ld
gW
gVmgW
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)3....(....................
0
WF
F
S
y
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta ........................17,1
)8,9)(8600(
)045,0(88
4
2
2
Rtammd
g
d
gLd
L
S
S
Parte (b)
Datos e incógnitas
JUmNcmyL
S 45;../045,0;..1??;..
Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la
película jabonosa es proporcional al área, siendo la
constante de proporcionalidad el coeficiente de tensión
superficial, entonces se tiene
....................................5
10045,02
10.45
2
tan
)2(
2
6
RtacmL
y
U
L
topor
yLU
AU
S
S
S
Problema 3.
El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a través
de un tubo vertical que tiene 2 mm de diámetro interior.
Considerando que cada gota se desprende 1 segundo
después que la anterior, hallar cuánto tiempo tardará en
salir 10 gramos de alcohol. El diámetro del cuello de la
gota en el momento en que ésta se desprende tómese
igual al diámetro interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas
mN
grmtstmmd
al
alcoh olT
/02,0
;10??;..;..1;..2
.
En la figura se muestra el DCL de la gota un instante
antes de desprenderse del tubo, sobre ella actúan: el
peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial
(FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
kgm
g
d
m
mg
d
mgr
mglongitud
WFF
S
S
S
S
Sy
0128,0
8,9
10.202,0
2
.2
.2
0
3
Para determinar el número de gotas (N), que hay en 10
gramos de alcohol se usa una regla de tres simple, esto
es
gotasN
entonces
kgN
kggota
780
310.10
0128,01
Finalmente se determina el tiempo que demora e salir
10 gramos de alcohol
273
La fuerza debido a la tensión superficial es
)1(....................2
2
SS
S
SS
F
L
longitudF
El peso del travesaño es
)2..(....................
4
2
Ld
gW
gVmgW
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)3....(....................
0
WF
F
S
y
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta ........................17,1
)8,9)(8600(
)045,0(88
4
2
2
Rtammd
g
d
gLd
L
S
S
Parte (b)
Datos e incógnitas
JUmNcmyL
S 45;../045,0;..1??;..
Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la
película jabonosa es proporcional al área, siendo la
constante de proporcionalidad el coeficiente de tensión
superficial, entonces se tiene
....................................5
10045,02
10.45
2
tan
)2(
2
6
RtacmL
y
U
L
topor
yLU
AU
S
S
S
Problema 3.
El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a través
de un tubo vertical que tiene 2 mm de diámetro interior.
Considerando que cada gota se desprende 1 segundo
después que la anterior, hallar cuánto tiempo tardará en
salir 10 gramos de alcohol. El diámetro del cuello de la
gota en el momento en que ésta se desprende tómese
igual al diámetro interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas
mN
grmtstmmd
al
alcoh olT
/02,0
;10??;..;..1;..2
.
En la figura se muestra el DCL de la gota un instante
antes de desprenderse del tubo, sobre ella actúan: el
peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial
(FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
kgm
g
d
m
mg
d
mgr
mglongitud
WFF
S
S
S
S
Sy
0128,0
8,9
10.202,0
2
.2
.2
0
3
Para determinar el número de gotas (N), que hay en 10
gramos de alcohol se usa una regla de tres simple, esto
es
gotasN
entonces
kgN
kggota
780
310.10
0128,01
Finalmente se determina el tiempo que demora e salir
10 gramos de alcohol
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
274
.....Rta...........minutos... 13
7801780.
T
T
t
segseggotastNt
Problema 4.
De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm gotea
agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de
desprenderse. Considerar que las gotas son esféricas. El
diámetro del cuello de la gota en el momento de
desprenderse tómese igual al diámetro interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;..1;../073,0 RmmrmN
S
En la figura se muestra el DCL de la gota en un instante
antes de desprenderse del tubo, las fuerzas que obran
son: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión
superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
a.........Rt..........mm........ 23,2
8,910002
10.073,03
2
3
.2
0
3
3
3
3
3
4
R
g
r
R
gRr
mglongitud
WFF
S
S
S
Sy
Problema 5.
¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que resulta
de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de radio cada
una?.
Solución
Datos e incógnitas
RmmrmkgT
hg ;..1;../13600??;..
3
En la figura se muestra las gotas en estado inicial y
final.
En primer lugar se determina el área total de las gotas
pequeñas )1......(...........8.42
22
rrA
En forma análoga se determina el área de la gota
formada después de la unión de las gotas pequeñas )2.......(....................4
2
RA
La energía liberada al disminuir la superficie, como
consecuencia de la unión de las gotas será
)3.......(..........24
4.8
22
22
0
Hg
Hg
Hgffi
RrE
Rr
AAUE
Como no se conoce el valor de R se determina teniendo
en cuenta que la masa del fluido antes de la unión de las
gotas es igual a la masa del fluido después de la unión,
es decir
)4.......(....................2
.2
2
2
3
3
3
43
3
4
21
rR
Rr
VV
Mm
Mmm
Rr
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
)5........(....................10.57,2
5,022104
22.4
2.24
6
3
2
2
32
3
2
3
2
JE
r
rrE
Hg
Hg
La energía de 2,57.10
-6
J, se utiliza para el
calentamiento de la gota de mercurio formada. Según la
calorimetría se tiene
274
.....Rta...........minutos... 13
7801780.
T
T
t
segseggotastNt
Problema 4.
De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm gotea
agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de
desprenderse. Considerar que las gotas son esféricas. El
diámetro del cuello de la gota en el momento de
desprenderse tómese igual al diámetro interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;..1;../073,0 RmmrmN
S
En la figura se muestra el DCL de la gota en un instante
antes de desprenderse del tubo, las fuerzas que obran
son: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión
superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
a.........Rt..........mm........ 23,2
8,910002
10.073,03
2
3
.2
0
3
3
3
3
3
4
R
g
r
R
gRr
mglongitud
WFF
S
S
S
Sy
Problema 5.
¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que resulta
de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de radio cada
una?.
Solución
Datos e incógnitas
RmmrmkgT
hg ;..1;../13600??;..
3
En la figura se muestra las gotas en estado inicial y
final.
En primer lugar se determina el área total de las gotas
pequeñas )1......(...........8.42
22
rrA
En forma análoga se determina el área de la gota
formada después de la unión de las gotas pequeñas )2.......(....................4
2
RA
La energía liberada al disminuir la superficie, como
consecuencia de la unión de las gotas será
)3.......(..........24
4.8
22
22
0
Hg
Hg
Hgffi
RrE
Rr
AAUE
Como no se conoce el valor de R se determina teniendo
en cuenta que la masa del fluido antes de la unión de las
gotas es igual a la masa del fluido después de la unión,
es decir
)4.......(....................2
.2
2
2
3
3
3
43
3
4
21
rR
Rr
VV
Mm
Mmm
Rr
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
)5........(....................10.57,2
5,022104
22.4
2.24
6
3
2
2
32
3
2
3
2
JE
r
rrE
Hg
Hg
La energía de 2,57.10
-6
J, se utiliza para el
calentamiento de la gota de mercurio formada. Según la
calorimetría se tiene
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
275
1
3
63 4
3
3
63 4
3
4
0,24 2,57.10 0,033
0,24 2,57.10 13600 2 .10 (0,033)
1,64.10 º ......... .
Hg e
Hg
E m c T
RT
T
T C Rta
Problema 6.
¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de
tensión superficial para aumentar al doble el volumen
de una pompa de jabón que tiene 1 cm de radio? El
coeficiente de la tensión superficial del agua jabonosa
tómese igual 0,043 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../043,0;..1
1 UmNcmr
S
En primer lugar se determina el nuevo radio de la
pompa debido al aumento de volumen
)1....(....................210
2
.2.
2
3
1
2
2
3
12
3
13
43
23
4
12
r
rr
rr
VV
Se procede ahora a determinar el área total de la
superficie de la pompa,
)3....(.....................42
)2.....(.....................42
2
21
2
11
rA
rA
El trabajo se procede a determinar mediante la ecuación
...Rta.....................J......... 64
1010.2043,08
8
2
2
2
2
2
1
2
2
12
3
1
ffi
Hg
Sffi
U
rr
AAU
Problema 7
Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que hay
dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm que se
encuentra a la profundidad de h = 20 cm bajo la
superficie libre del agua. la presión atmosférica exterior
es p0 =765 mmHg.
Solución
Datos e incógnitas
mmHgpcmhmmdp
a 765;..20;..01,0??;..
0
En la figura se muestra la burbuja ubicada en el interior
del agua.
Siendo la presión interior del aire pa y la presión p en un
punto inmediatamente fuera de la burbuja, la diferencia
de presiones se expresa como
)1....(....................
4
2
d
pp
R
pp
S
S
a
a
Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p
)2....(....................
0ghpp
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
)3...(........../31160
10.01,0
073,04
)2,0(9800
4
2
0
30
0
mNpp
p
d
ghpp
a
a
S
En seguida se procede a convertir la presión de 31160
N/m
2
a mmHg
)........(4mmHg...... 76,233
/31160
/3,1331
2
2
X
mNX
mNmmHg
Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta
275
1
3
63 4
3
3
63 4
3
4
0,24 2,57.10 0,033
0,24 2,57.10 13600 2 .10 (0,033)
1,64.10 º ......... .
Hg e
Hg
E m c T
RT
T
T C Rta
Problema 6.
¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de
tensión superficial para aumentar al doble el volumen
de una pompa de jabón que tiene 1 cm de radio? El
coeficiente de la tensión superficial del agua jabonosa
tómese igual 0,043 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../043,0;..1
1 UmNcmr
S
En primer lugar se determina el nuevo radio de la
pompa debido al aumento de volumen
)1....(....................210
2
.2.
2
3
1
2
2
3
12
3
13
43
23
4
12
r
rr
rr
VV
Se procede ahora a determinar el área total de la
superficie de la pompa,
)3....(.....................42
)2.....(.....................42
2
21
2
11
rA
rA
El trabajo se procede a determinar mediante la ecuación
...Rta.....................J......... 64
1010.2043,08
8
2
2
2
2
2
1
2
2
12
3
1
ffi
Hg
Sffi
U
rr
AAU
Problema 7
Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que hay
dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm que se
encuentra a la profundidad de h = 20 cm bajo la
superficie libre del agua. la presión atmosférica exterior
es p0 =765 mmHg.
Solución
Datos e incógnitas
mmHgpcmhmmdp
a 765;..20;..01,0??;..
0
En la figura se muestra la burbuja ubicada en el interior
del agua.
Siendo la presión interior del aire pa y la presión p en un
punto inmediatamente fuera de la burbuja, la diferencia
de presiones se expresa como
)1....(....................
4
2
d
pp
R
pp
S
S
a
a
Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p
)2....(....................
0ghpp
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
)3...(........../31160
10.01,0
073,04
)2,0(9800
4
2
0
30
0
mNpp
p
d
ghpp
a
a
S
En seguida se procede a convertir la presión de 31160
N/m
2
a mmHg
)........(4mmHg...... 76,233
/31160
/3,1331
2
2
X
mNX
mNmmHg
Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
276 Rta...........mmHg...... 76,998
75,233765
a
a
p
mmHgmmHgp
Problema 8.
La presión atmosférica que hay dentro de una pompa de
jabón es de 1 mmHg mayor que la atmosférica. ¿Qué
diámetro tiene esta pompa?. El coeficiente de la tensión
superficial de la solución jabonosa tómese igual a 0,043
N/m.
Solución
Datos e incógnitas.
mNdmmHgpp
S /073,0??;..;..1
0
En la figura se muestra la situación descrita en el
enunciado
La diferencia de presión para una pompa de jabón viene
expresada por la relación
0
4
S
a
pp
R
0
8
S
a
pp
d
Entonces el diámetro será
2
0
2
2
8 0,043 /8
d
1
8 0,043 /
133,3 /
S
a
Nm
p p mmHg
Nm
d
Nm
Problema 9.
En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar
abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm. La
diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y en
el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a) ¿Qué radio de
curvatura tendrá el menisco en el tubo capilar?.(b)
¿Cuál es la diferencia entre los niveles del agua en el
recipiente y en el tubo capilar si este líquido mojara
perfectamente?.
Solución
Parte (a)
Datos e incógnitas
.??'??;..;..8,2;..1 HRcmhmmd
En la figura se muestra el DCL del agua ubicada dentro
del capilar
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1.(..........
0
CDSAB
y
FWFF
F
Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la
presión atmosférica y actúan en la misma área, entonces
se cancelan y la ec. (1) se escribe
)2.(...........cos.2
cos.2
cos
2
hrgr
gVr
mgL
WF
S
S
CS
S
Despejando θ se obtiene
32
9800 0,5.10 2,8.10. . .
cos
2 2 0,073
cos 0,939726
20º................(3)
S
g r h
De la geometría del menisco se obtiene
276 Rta...........mmHg...... 76,998
75,233765
a
a
p
mmHgmmHgp
Problema 8.
La presión atmosférica que hay dentro de una pompa de
jabón es de 1 mmHg mayor que la atmosférica. ¿Qué
diámetro tiene esta pompa?. El coeficiente de la tensión
superficial de la solución jabonosa tómese igual a 0,043
N/m.
Solución
Datos e incógnitas.
mNdmmHgpp
S /073,0??;..;..1
0
En la figura se muestra la situación descrita en el
enunciado
La diferencia de presión para una pompa de jabón viene
expresada por la relación
0
4
S
a
pp
R
0
8
S
a
pp
d
Entonces el diámetro será
2
0
2
2
8 0,043 /8
d
1
8 0,043 /
133,3 /
S
a
Nm
p p mmHg
Nm
d
Nm
Problema 9.
En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar
abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm. La
diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y en
el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a) ¿Qué radio de
curvatura tendrá el menisco en el tubo capilar?.(b)
¿Cuál es la diferencia entre los niveles del agua en el
recipiente y en el tubo capilar si este líquido mojara
perfectamente?.
Solución
Parte (a)
Datos e incógnitas
.??'??;..;..8,2;..1 HRcmhmmd
En la figura se muestra el DCL del agua ubicada dentro
del capilar
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1.(..........
0
CDSAB
y
FWFF
F
Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la
presión atmosférica y actúan en la misma área, entonces
se cancelan y la ec. (1) se escribe
)2.(...........cos.2
cos.2
cos
2
hrgr
gVr
mgL
WF
S
S
CS
S
Despejando θ se obtiene
32
9800 0,5.10 2,8.10. . .
cos
2 2 0,073
cos 0,939726
20º................(3)
S
g r h
De la geometría del menisco se obtiene
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
277
......Rta.mm........ 532,0
939726,0
5,0
939726,0cos
R
R
R
r
Parte (b)
Cuando el fluido moja perfectamente la superficie el
ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y la
altura en este caso será
.Rta...........cm........ 98,2'
10.5,09800
073,02
..
º0cos2
'
3
h
rg
h
S
Problema 10
¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo capilar
cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere que el
benzol moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2
/03,0;..5,0??;.. mNmmrh
S
En la figura se muestra el DCL del benzol dentro del
capilar
Del problema anterior se tiene que
...Rta...........mm........ 9,13
10.5,08,9880
º0cos03,02
..
cos2
3
h
h
rg
h
S
Problema 11
Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra el
mercurio que hay en dos tubos capilares comunicantes
cuyos diámetros respectivos son d1 =1 mm y d2 =2 mm.
Considere que el mercurio no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.??
/5,0;º180;..1;..2,0
21
h
mNmmrmmr
S
En la figura se muestra la ubicación del mercurio en los
capilares comunicantes
La sobrepresión p1, producida por la superficie convexa
del mercurio en la rama más delgada del tubo, se
equilibra con la debida a la diferencia entre los nivele de
Hg, en ambas ramas y con la sobrepresión p2 en la rama
ancha, esto es
)1....(............
21 hgpp
Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se
tiene que θ =180º, y las presiones complementarias será
277
......Rta.mm........ 532,0
939726,0
5,0
939726,0cos
R
R
R
r
Parte (b)
Cuando el fluido moja perfectamente la superficie el
ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y la
altura en este caso será
.Rta...........cm........ 98,2'
10.5,09800
073,02
..
º0cos2
'
3
h
rg
h
S
Problema 10
¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo capilar
cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere que el
benzol moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2
/03,0;..5,0??;.. mNmmrh
S
En la figura se muestra el DCL del benzol dentro del
capilar
Del problema anterior se tiene que
...Rta...........mm........ 9,13
10.5,08,9880
º0cos03,02
..
cos2
3
h
h
rg
h
S
Problema 11
Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra el
mercurio que hay en dos tubos capilares comunicantes
cuyos diámetros respectivos son d1 =1 mm y d2 =2 mm.
Considere que el mercurio no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.??
/5,0;º180;..1;..2,0
21
h
mNmmrmmr
S
En la figura se muestra la ubicación del mercurio en los
capilares comunicantes
La sobrepresión p1, producida por la superficie convexa
del mercurio en la rama más delgada del tubo, se
equilibra con la debida a la diferencia entre los nivele de
Hg, en ambas ramas y con la sobrepresión p2 en la rama
ancha, esto es
)1....(............
21 hgpp
Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se
tiene que θ =180º, y las presiones complementarias será
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
278 )3.......(..........
2
)2.........(..........
2
2
2
1
1
r
p
r
p
S
S
Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta
......Rta...........mm........ 5,7
10.15,08,913600
10.5,010.15,02
...
2
..
22
6
33
21
12
21
h
h
rrg
rr
h
hg
rr
S
SS
Problema 12
¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la
mecha de una hornilla de petróleo par que este último
suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la
hornilla (esta altura es h = 10 cm)?. Considerar que los
poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja
perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
./03,0
/800;..º0;..10??;..
3
mN
mkgcmhd
S
P
En la figura se muestra el DCL del petróleo en capilar
formado en la mecha.
La altura del petróleo en el capilar se determina a partir
de la ecuación.
...Rta...........mm........ 15,0
10.108,9800
03,04
..
º0cos4
..
cos2
3
h
dg
rg
h
S
S
Problema 13
Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se introduce
en un líquido. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido sabiendo que la cantidad de éste
que se eleva por el tubo capilar pesa 88.10
-2
N.
Solución
Datos e incógnitas
NWmmr
LS
2
10.2.88??;..;..2
En la figura se muestra el DCL del fluido en el capilar y
las fuerzas que actúan sobre el fluido
Del equilibrio de fuerzas se tiene
)1..(..........cos.2
cos
0
Wr
WL
F
S
CS
y
Asumiendo que el fluido moja perfectamente el capilar
cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe
........../10.02,7
10.22
10.2,88
.2
.2
2
3
2
RtamN
r
W
Wr
S
S
S
278 )3.......(..........
2
)2.........(..........
2
2
2
1
1
r
p
r
p
S
S
Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta
......Rta...........mm........ 5,7
10.15,08,913600
10.5,010.15,02
...
2
..
22
6
33
21
12
21
h
h
rrg
rr
h
hg
rr
S
SS
Problema 12
¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la
mecha de una hornilla de petróleo par que este último
suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la
hornilla (esta altura es h = 10 cm)?. Considerar que los
poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja
perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
./03,0
/800;..º0;..10??;..
3
mN
mkgcmhd
S
P
En la figura se muestra el DCL del petróleo en capilar
formado en la mecha.
La altura del petróleo en el capilar se determina a partir
de la ecuación.
...Rta...........mm........ 15,0
10.108,9800
03,04
..
º0cos4
..
cos2
3
h
dg
rg
h
S
S
Problema 13
Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se introduce
en un líquido. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido sabiendo que la cantidad de éste
que se eleva por el tubo capilar pesa 88.10
-2
N.
Solución
Datos e incógnitas
NWmmr
LS
2
10.2.88??;..;..2
En la figura se muestra el DCL del fluido en el capilar y
las fuerzas que actúan sobre el fluido
Del equilibrio de fuerzas se tiene
)1..(..........cos.2
cos
0
Wr
WL
F
S
CS
y
Asumiendo que el fluido moja perfectamente el capilar
cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe
........../10.02,7
10.22
10.2,88
.2
.2
2
3
2
RtamN
r
W
Wr
S
S
S
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
279
Problema 14.
Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está
introducido verticalmente en un recipiente con agua.
¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el líquido que
hay dentro del tubo capilar para que éste se encuentre al
mismo nivel que el agua que hay en el recipiente
ancho?. La presión exterior es p0=760 mmHg.
Considere que el agua moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2
0
/101308760
??;../073,0;..16,0
mNmmHgp
pmNmmr
S
Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el agua
en el depósito se debe insuflar aire como se muestra en
la figura.
Analizando el menisco que forma el fluido se tiene
0 3
2
2
'
2
'
2 0,073
0,16.10
102220,5 /
767 mmHg................Rta.
S
S
pp
R
pp
R
pp
p N m
p
Problema 15.
Un tubo capilar está introducido verticalmente en un
recipiente con agua. El extremo de este tubo está
soldado. Para que el nivel del agua fuera igual dentro
del tubo que en el recipiente ancho hubo que sumergir
el tubo en el líquido hasta el 15% de su longitud. ¿Qué
radio interior tendrá el tubo?. La presión exterior es
igual a 750 mmHg. Considerar que el agua moja
perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas .750??;..;../073,0
0 mmHgpRmN
S
En las figuras se muestran al tubo capilar antes y
después de sumergirlo
(a) antes de sumergir (b) después de sumergir.
Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen del
aire atrapado dentro del tubo son
)1....(..........Vy
00p
Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión y el
volumen del aire atrapado serán y V (2)p
Según la ley de Boyle, debe cumplirse que
)3...(....................
00VppV
En la figura se muestra la posición del tubo en el fluido
La presión se calcula a partir del menisco formado por
el fluido dentro del tubo
)4......(..........
2
2
0
0
R
pp
R
pp
S
S
279
Problema 14.
Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está
introducido verticalmente en un recipiente con agua.
¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el líquido que
hay dentro del tubo capilar para que éste se encuentre al
mismo nivel que el agua que hay en el recipiente
ancho?. La presión exterior es p0=760 mmHg.
Considere que el agua moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2
0
/101308760
??;../073,0;..16,0
mNmmHgp
pmNmmr
S
Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el agua
en el depósito se debe insuflar aire como se muestra en
la figura.
Analizando el menisco que forma el fluido se tiene
0 3
2
2
'
2
'
2 0,073
0,16.10
102220,5 /
767 mmHg................Rta.
S
S
pp
R
pp
R
pp
p N m
p
Problema 15.
Un tubo capilar está introducido verticalmente en un
recipiente con agua. El extremo de este tubo está
soldado. Para que el nivel del agua fuera igual dentro
del tubo que en el recipiente ancho hubo que sumergir
el tubo en el líquido hasta el 15% de su longitud. ¿Qué
radio interior tendrá el tubo?. La presión exterior es
igual a 750 mmHg. Considerar que el agua moja
perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas .750??;..;../073,0
0 mmHgpRmN
S
En las figuras se muestran al tubo capilar antes y
después de sumergirlo
(a) antes de sumergir (b) después de sumergir.
Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen del
aire atrapado dentro del tubo son
)1....(..........Vy
00p
Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión y el
volumen del aire atrapado serán y V (2)p
Según la ley de Boyle, debe cumplirse que
)3...(....................
00VppV
En la figura se muestra la posición del tubo en el fluido
La presión se calcula a partir del menisco formado por
el fluido dentro del tubo
)4......(..........
2
2
0
0
R
pp
R
pp
S
S
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
280
Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta que
V0 = A0h0, se tiene
)5...(....................
2
2
2
2
10
10
0
10
00
10
00
0
0000100
hh
hp
R
p
hh
hp
R
hh
hp
R
p
hApAhh
R
p
S
S
S
S
Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la ecuación (5)
se escribe
......Rta.mm........ 096,0
3,1337505,1
5,1100073,02
100
5,1
100
5,1
2
00
00
R
hp
hh
R
S
Problema 16
El tubo barométrico A de la figura está lleno de
mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5 mm
y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar directamente la
presión atmosférica por la columna de mercurio de este
tubo?. Hallar la altura de la columna en cada uno de los
casos antes mencionados, si la presión atmosférica es p0
= 758 mmHg. Considerar que el mercurio no moja en
absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.758??;..;../5,0
/13600;..5,1;..5
0
3
21
mmHgphmN
mkgcmdmmd
S
Hg
De la hidrostática se tiene
)1..(............
0 hgppp
BA
Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se tiene ,
2
S
B V Hg
pp
R
,
4
................(2)
S
B V Hg
pp
d
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3......(............
4
,0 hg
d
pp
S
HgV
Debido a que la presión del vapor de mercurio es muy
pequeña 0
.,
HgV
p , la ec. Anterior se escribe )3.....(......................
4
0 hg
d
p
S
Caso (a), Remplazando los valores dados resulta
Rta.....................mm........ 755
8,913600
10.5
5,04
)3,133(758
3
h
h
Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se tiene
Rta.....................mm........ 757'
'8,913600
10.5,1
5,04
)3,133(758
2
h
h
Problema 17.
El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75 cm.
¿Qué corrección habrá que introducir al medir la
presión atmosférica por la altura de la columna de
mercurio de este tubo?. Considerar que el mercurio no
moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas .??
/5,0;/13600;..75,0
3
corrección
mNmkgcmd
SHg
En la figura se muestra el tubo barométrico sin
considerar la tensión superficial
280
Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta que
V0 = A0h0, se tiene
)5...(....................
2
2
2
2
10
10
0
10
00
10
00
0
0000100
hh
hp
R
p
hh
hp
R
hh
hp
R
p
hApAhh
R
p
S
S
S
S
Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la ecuación (5)
se escribe
......Rta.mm........ 096,0
3,1337505,1
5,1100073,02
100
5,1
100
5,1
2
00
00
R
hp
hh
R
S
Problema 16
El tubo barométrico A de la figura está lleno de
mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5 mm
y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar directamente la
presión atmosférica por la columna de mercurio de este
tubo?. Hallar la altura de la columna en cada uno de los
casos antes mencionados, si la presión atmosférica es p0
= 758 mmHg. Considerar que el mercurio no moja en
absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.758??;..;../5,0
/13600;..5,1;..5
0
3
21
mmHgphmN
mkgcmdmmd
S
Hg
De la hidrostática se tiene
)1..(............
0 hgppp
BA
Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se tiene ,
2
S
B V Hg
pp
R
,
4
................(2)
S
B V Hg
pp
d
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3......(............
4
,0 hg
d
pp
S
HgV
Debido a que la presión del vapor de mercurio es muy
pequeña 0
.,
HgV
p , la ec. Anterior se escribe )3.....(......................
4
0 hg
d
p
S
Caso (a), Remplazando los valores dados resulta
Rta.....................mm........ 755
8,913600
10.5
5,04
)3,133(758
3
h
h
Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se tiene
Rta.....................mm........ 757'
'8,913600
10.5,1
5,04
)3,133(758
2
h
h
Problema 17.
El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75 cm.
¿Qué corrección habrá que introducir al medir la
presión atmosférica por la altura de la columna de
mercurio de este tubo?. Considerar que el mercurio no
moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas .??
/5,0;/13600;..75,0
3
corrección
mNmkgcmd
SHg
En la figura se muestra el tubo barométrico sin
considerar la tensión superficial
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
281
Aplicando la ley de la hidrostática se tiene
)1........(..............................
133280
8,9136000
.
..
0
1
10
1,0
0
p
h
hp
hgpp
hgppp
HgHgV
BA
En la figura se muestra el tubo barométrico teniendo en
cuenta los efectos de tensión superficial
Del gráfico se observa que tomando los puntos de igual
presión, resulta
)2........(..........
4
.
..
4
..
..
2
0
20
2,0
2
'
h
gdg
p
hg
d
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene
321
10.5,78,913600
5,04
hh
A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm
.................... 2
21 Rtammhh
Problema 18.
¿Qué error relativo cometemos al calcular la presión
atmosférica, igual a 760 mmHg, por la altura de la
columna de mercurio de un tubo barométrico cuyo
diámetro interior es iguala: (a) 5 mm y (b) 10 mm?
Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
0;../5,0;../13600.
;.10;..5;..760..??
,
3
210
HgVSHg
R
pmNmkg
mmdmmdmmHgpe
Del problema anterior se tiene que cuando no se tiene
en cuenta la tensión superficial, resulta )1.....(....................
.
..
0
0
g
p
H
Hgp
Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial, se
obtiene
)2........(..........
4
.
..
4
..
..
0
0
,0
'
h
gdg
p
hg
d
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3....(....................
..
4
h
dg
H
S
El error relativo viene expresado por
00
0
4
. . . .
4
. . .
R
S
R
S
Hh
e
h
pp
g g g d
e
p
g g d
281
Aplicando la ley de la hidrostática se tiene
)1........(..............................
133280
8,9136000
.
..
0
1
10
1,0
0
p
h
hp
hgpp
hgppp
HgHgV
BA
En la figura se muestra el tubo barométrico teniendo en
cuenta los efectos de tensión superficial
Del gráfico se observa que tomando los puntos de igual
presión, resulta
)2........(..........
4
.
..
4
..
..
2
0
20
2,0
2
'
h
gdg
p
hg
d
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene
321
10.5,78,913600
5,04
hh
A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm
.................... 2
21 Rtammhh
Problema 18.
¿Qué error relativo cometemos al calcular la presión
atmosférica, igual a 760 mmHg, por la altura de la
columna de mercurio de un tubo barométrico cuyo
diámetro interior es iguala: (a) 5 mm y (b) 10 mm?
Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
0;../5,0;../13600.
;.10;..5;..760..??
,
3
210
HgVSHg
R
pmNmkg
mmdmmdmmHgpe
Del problema anterior se tiene que cuando no se tiene
en cuenta la tensión superficial, resulta )1.....(....................
.
..
0
0
g
p
H
Hgp
Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial, se
obtiene
)2........(..........
4
.
..
4
..
..
0
0
,0
'
h
gdg
p
hg
d
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3....(....................
..
4
h
dg
H
S
El error relativo viene expresado por
00
0
4
. . . .
4
. . .
R
S
R
S
Hh
e
h
pp
g g g d
e
p
g g d
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
282 0
0
4
..
4
. . .
4
......................(4)
4
S
R
S
S
R
S
gd
e
p
g g d
e
pd
Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será
.......................%.........396,0
5,0410.53.133760
5,04
3
Rtae
e
R
R
Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será
.......................%.........197,0
5,0410.103.133760
5,04
3
Rtae
e
R
R
Problema 19.
Sobre la superficie del agua se depositó cuidadosamente
una aguja de acero grasienta (suponiendo que el agua no
moja en absoluto). ¿Qué diámetro máximo podrá tener
esta aguja para mantenerse a flote?.
Solución
Datos e incógnitas
mN
dmkgmkg
wS
wac
/073,0
??;;../1000;/7700
,
33
En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando en
el agua por acción de la tensión superficial, las fuerzas
que actúan son: el peso (W) y la fuerza de tensión
superficial que tiene una dirección vertical porque el
agua no moja en absoluto
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1....(....................
0
WF
F
S
y
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)2(....................2LF
longitudF
SS
SS
El peso de la aguja será
)3.(..........
4
....
...
2
2
gLd
W
gLrgVW
ac
acac
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
...Rta.....................mm........ 57,1
8,97700.
073,08
.
8
4
....
2
2
d
g
d
gLd
L
ac
S
ac
S
Problema 20.
¿Flotará en la superficie del agua un alambre grasiento
de platino de 1 mm de diámetro?. Suponga que el agua
no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
3
/21400;.../073.0;..1 mkgmNmmd
ptS
Para verificar si flota o no el alambre de platino, se
calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso del
alambre y se aplican las ecuaciones de equilibrio al
DCL mostrado en la figura
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)1(....................2LF
longitudF
SS
SS
282 0
0
4
..
4
. . .
4
......................(4)
4
S
R
S
S
R
S
gd
e
p
g g d
e
pd
Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será
.......................%.........396,0
5,0410.53.133760
5,04
3
Rtae
e
R
R
Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será
.......................%.........197,0
5,0410.103.133760
5,04
3
Rtae
e
R
R
Problema 19.
Sobre la superficie del agua se depositó cuidadosamente
una aguja de acero grasienta (suponiendo que el agua no
moja en absoluto). ¿Qué diámetro máximo podrá tener
esta aguja para mantenerse a flote?.
Solución
Datos e incógnitas
mN
dmkgmkg
wS
wac
/073,0
??;;../1000;/7700
,
33
En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando en
el agua por acción de la tensión superficial, las fuerzas
que actúan son: el peso (W) y la fuerza de tensión
superficial que tiene una dirección vertical porque el
agua no moja en absoluto
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1....(....................
0
WF
F
S
y
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)2(....................2LF
longitudF
SS
SS
El peso de la aguja será
)3.(..........
4
....
...
2
2
gLd
W
gLrgVW
ac
acac
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
...Rta.....................mm........ 57,1
8,97700.
073,08
.
8
4
....
2
2
d
g
d
gLd
L
ac
S
ac
S
Problema 20.
¿Flotará en la superficie del agua un alambre grasiento
de platino de 1 mm de diámetro?. Suponga que el agua
no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
3
/21400;.../073.0;..1 mkgmNmmd
ptS
Para verificar si flota o no el alambre de platino, se
calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso del
alambre y se aplican las ecuaciones de equilibrio al
DCL mostrado en la figura
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)1(....................2LF
longitudF
SS
SS
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
283
El peso de la aguja será
)2.(..........
4
....
...
2
2
gLd
W
gLrgVmgW
pt
ptpt
Para que exista equilibrio debe cumplirse que
2
,
2
3
4
0
0
..
20
4
2 0,073 21400 9,8 1.10 0
0,146 0.1647 0
0,0187 0..........................(3)
Y
S
Pt
Sw
F
FW
L g d
L
De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota puesto
que no existe equilibrio ya que el peso es mayor que la
fuerza de tensión superficial.
Problema 21.
En el fondo de un depósito que contiene mercurio hay
un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener este
orificio para que cuando la altura de la columna de
mercurio sea de 3 cm éste último no pueda salir de él?.
Solución
Datos e incógnitas
3
max
/13600
;./5,0;..3??;..
mkg
mNcmhd
Hg
S
En la figura se muestra la situación planteada en el
problema
Del menisco debe observarse que la diferencia de
presiones está dado por
)1.(....................
4
0
d
pp
S
Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene )2.......(............
0
hgpp
Hg
Comparando las ec. (1) y (2) resulta
a.........Rt....................mm........ 5,0
10.38,913600
5,04
..
4
2
d
hg
d
Hg
S
Problema 22.
Del fondo de una laguna se separó una pompa de gas de
diámetro d. Durante su ascenso a la superficie su
diámetro aumentó, η veces. Si la presión atmosférica es
normal p0 y la densidad del agua es ρ, y considerando
que el proceso de expansión del gas es isotermo.
(a) Calcular la profundidad de la laguna en dicho
lugar en función de d, η, γS; p0 y ρ.
(b) ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4 μm; η
=1,1; ρ =1000kg/m
3
; γS =0,073 N7m y p0
=101300 N/m
2
?.
Solución
El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del lago
La diferencia de presiones debido a la tensión
superficial es )1...(..........
4
4
d
pp
d
pp
S
a
S
a
Aplicando la hidrostática se determina la presión p
)2......(............hgpp
o
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.........(
4
..
0
d
hgpp
S
a
En la figura se muestra el diagrama de la burbuja
cuando está llegando a la superficie del lago
283
El peso de la aguja será
)2.(..........
4
....
...
2
2
gLd
W
gLrgVmgW
pt
ptpt
Para que exista equilibrio debe cumplirse que
2
,
2
3
4
0
0
..
20
4
2 0,073 21400 9,8 1.10 0
0,146 0.1647 0
0,0187 0..........................(3)
Y
S
Pt
Sw
F
FW
L g d
L
De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota puesto
que no existe equilibrio ya que el peso es mayor que la
fuerza de tensión superficial.
Problema 21.
En el fondo de un depósito que contiene mercurio hay
un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener este
orificio para que cuando la altura de la columna de
mercurio sea de 3 cm éste último no pueda salir de él?.
Solución
Datos e incógnitas
3
max
/13600
;./5,0;..3??;..
mkg
mNcmhd
Hg
S
En la figura se muestra la situación planteada en el
problema
Del menisco debe observarse que la diferencia de
presiones está dado por
)1.(....................
4
0
d
pp
S
Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene )2.......(............
0
hgpp
Hg
Comparando las ec. (1) y (2) resulta
a.........Rt....................mm........ 5,0
10.38,913600
5,04
..
4
2
d
hg
d
Hg
S
Problema 22.
Del fondo de una laguna se separó una pompa de gas de
diámetro d. Durante su ascenso a la superficie su
diámetro aumentó, η veces. Si la presión atmosférica es
normal p0 y la densidad del agua es ρ, y considerando
que el proceso de expansión del gas es isotermo.
(a) Calcular la profundidad de la laguna en dicho
lugar en función de d, η, γS; p0 y ρ.
(b) ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4 μm; η
=1,1; ρ =1000kg/m
3
; γS =0,073 N7m y p0
=101300 N/m
2
?.
Solución
El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del lago
La diferencia de presiones debido a la tensión
superficial es )1...(..........
4
4
d
pp
d
pp
S
a
S
a
Aplicando la hidrostática se determina la presión p
)2......(............hgpp
o
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.........(
4
..
0
d
hgpp
S
a
En la figura se muestra el diagrama de la burbuja
cuando está llegando a la superficie del lago
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
284
La diferencia de presiones en esta posición será
)4...(..........
4
4
0
'
'0
'
d
pp
d
pp
S
a
S
a
Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos da
)5.......(....................
82
3
'
3
3
4'
3
3
4
''
a
a
aa
aaaa
p
p
d
p
d
p
VpVp
Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta
)6..(..........
4
0
3
d
pp
S
a
Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene
d
p
d
hgp
SS
2
3
00
44
..
Despejando el valor de h, se tiene
......
.
1
4
1
23
0
Rta
g
d
p
h
S
Remplazando los valores del enunciado del problema
resulta
..Rta............................... m 5
8,91000
11,1
10.4
)073,0(4
11,1101300
2
6
3
h
h
Problema 23.
Un capilar de longitud L, que tiene el extremo superior
soldado, se puso en contacto con la superficie de un
líquido, después de lo cual éste ascendió por el capilar
hasta alcanzar una altura h. La densidad del líquido es
ρ; el diámetro de la sección interna del canal del capilar
es d; el ángulo de contacto es φ, y la presión
atmosférica es po. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido.
Solución
Datos e incógnitas
L; h; ρ; d; φ; p0; γS =??
En la figura se muestran los diagramas del tubo antes y
después de colocarlo en contacto con el fluido
(a) Estado inicial (b) Estado final
Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle establece
22
0 0 0
0
44
.......................(1)
dd
p V pV p L p L h
p L p L h
Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo
cuando éste se coloca en contacto con el agua, se traza
el DCL del fluido que ascendió, como se muestra en la
figura.
284
La diferencia de presiones en esta posición será
)4...(..........
4
4
0
'
'0
'
d
pp
d
pp
S
a
S
a
Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos da
)5.......(....................
82
3
'
3
3
4'
3
3
4
''
a
a
aa
aaaa
p
p
d
p
d
p
VpVp
Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta
)6..(..........
4
0
3
d
pp
S
a
Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene
d
p
d
hgp
SS
2
3
00
44
..
Despejando el valor de h, se tiene
......
.
1
4
1
23
0
Rta
g
d
p
h
S
Remplazando los valores del enunciado del problema
resulta
..Rta............................... m 5
8,91000
11,1
10.4
)073,0(4
11,1101300
2
6
3
h
h
Problema 23.
Un capilar de longitud L, que tiene el extremo superior
soldado, se puso en contacto con la superficie de un
líquido, después de lo cual éste ascendió por el capilar
hasta alcanzar una altura h. La densidad del líquido es
ρ; el diámetro de la sección interna del canal del capilar
es d; el ángulo de contacto es φ, y la presión
atmosférica es po. Hallar el coeficiente de tensión
superficial del líquido.
Solución
Datos e incógnitas
L; h; ρ; d; φ; p0; γS =??
En la figura se muestran los diagramas del tubo antes y
después de colocarlo en contacto con el fluido
(a) Estado inicial (b) Estado final
Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle establece
22
0 0 0
0
44
.......................(1)
dd
p V pV p L p L h
p L p L h
Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo
cuando éste se coloca en contacto con el agua, se traza
el DCL del fluido que ascendió, como se muestra en la
figura.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
285
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
4
....
4
.
4
.
cos..
cos
0
222
0
0
dhgd
p
d
pd
WpAApF
F
S
S
y
Despejando la presión, p, se tiene
)2.......(...
cos4
0 hdgp
d
p
S
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.......()...
cos4
(
00 hLhdgp
d
Lp
S
Despejando el coeficiente de tensión superficial, resulta
.........
cos4
..
0
Rta
d
hl
hp
hg
S
Problema 24.
En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un
diámetro d2 =2 mm se colocó concéntricamente, una
barra de vidrio de diámetro d1 = 1,5 mm. Luego el
sistema se estableció verticalmente y se puso, en
contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura
ascenderá el agua en este capilar?.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;../1000
/073,0;..2;..5,1
3
21
hmkg
mNmmdmmd
w
S
En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos
colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el DCL
del fluido que ascendió en el capilar formado.
(a) Disposición de tubos (b) DCL del fluido
Debido a que el fluido que ascendió en el capilar está en
equilibrio, se tiene
)1.....(....................
0
00
gmF
WApFAp
F
fS
S
y
La fuerza de tensión superficial es
)2......(..........
21
ddF
LongitudF
SS
SS
El peso del fluido que asciende por el capilar es
)3(..........
44
.
2
1
2
2
h
dd
gW
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
)4(..........
44
.
2
1
2
2
21 h
dd
gdd
S
Despejando h resulta
)5......(..........
.
4
12
ddg
h
S
Remplazando valores del enunciado, se tiene
....Rta...........cm........ 96,5
10.5,110.28,91000
073,04
33
h
h
Problema 25.
Entre dos láminas de vidrio horizontales se encuentra
una gota de mercurio en forma de torta cuyo radio es R
y el grosor h. Considerando que h << R, calcular la
masa de la carga que debe ponerse sobre la lámina
superior para que la distancia entre las láminas
disminuya η veces. El ángulo de contacto es φ. Calcular
m si R= 2 cm; h = 0,38 mm; η =2; φ =135º.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../13600;../5,0
º135;..2;..38,0;..2
3
mmNmN
mmhcmR
HgS
285
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
4
....
4
.
4
.
cos..
cos
0
222
0
0
dhgd
p
d
pd
WpAApF
F
S
S
y
Despejando la presión, p, se tiene
)2.......(...
cos4
0 hdgp
d
p
S
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.......()...
cos4
(
00 hLhdgp
d
Lp
S
Despejando el coeficiente de tensión superficial, resulta
.........
cos4
..
0
Rta
d
hl
hp
hg
S
Problema 24.
En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un
diámetro d2 =2 mm se colocó concéntricamente, una
barra de vidrio de diámetro d1 = 1,5 mm. Luego el
sistema se estableció verticalmente y se puso, en
contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura
ascenderá el agua en este capilar?.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;../1000
/073,0;..2;..5,1
3
21
hmkg
mNmmdmmd
w
S
En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos
colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el DCL
del fluido que ascendió en el capilar formado.
(a) Disposición de tubos (b) DCL del fluido
Debido a que el fluido que ascendió en el capilar está en
equilibrio, se tiene
)1.....(....................
0
00
gmF
WApFAp
F
fS
S
y
La fuerza de tensión superficial es
)2......(..........
21
ddF
LongitudF
SS
SS
El peso del fluido que asciende por el capilar es
)3(..........
44
.
2
1
2
2
h
dd
gW
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
)4(..........
44
.
2
1
2
2
21 h
dd
gdd
S
Despejando h resulta
)5......(..........
.
4
12
ddg
h
S
Remplazando valores del enunciado, se tiene
....Rta...........cm........ 96,5
10.5,110.28,91000
073,04
33
h
h
Problema 25.
Entre dos láminas de vidrio horizontales se encuentra
una gota de mercurio en forma de torta cuyo radio es R
y el grosor h. Considerando que h << R, calcular la
masa de la carga que debe ponerse sobre la lámina
superior para que la distancia entre las láminas
disminuya η veces. El ángulo de contacto es φ. Calcular
m si R= 2 cm; h = 0,38 mm; η =2; φ =135º.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../13600;../5,0
º135;..2;..38,0;..2
3
mmNmN
mmhcmR
HgS
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
286
En la figura se muestra a la gota de mercurio entre las
placas paralelas
De la figura puede observarse que las fuerzas debido a
la tensión superficial se equilibran con las fuerzas
debido a la diferencia de presiones, es decir
)1.....(..........cos
2
2cos22
cos
0
0
0
0
h
pp
RhppR
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Para determinar la masa de la placa superior se traza el
DCL de la placa superior tal como se muestra en la
figura
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene )2.....(..........
0
0 gmApp
F
P
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3.........(
.
cos2
..cos
2
2
2
hg
R
m
gmR
h
S
P
P
S
En la figura se muestra la disposición cuando se coloca
un bloque de masa m, sobre la placa
En la dirección horizontal se equilibran las fuerzas
debido a la diferencia de presiones y el debido a la
tensión superficial
)4...(..........cos
2
..2cos.22
cos
0
'0
'
0
'
0
h
pp
hrppr
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Por condición del problema
h
h
' .............................(5)
Entonces la ec. (4) se escribe )6...(..........cos
.2
0
h
pp
S
En la figura se muestra el DCL de la placa superior más
el bloque de masa desconocida
Aplicando las ecuaciones de equilibrio obtenemos
)7(..........)(.
0
2
0
gmmrpp
F
P
y
Remplazando la ec. (6) en (7) nos da
)8.......(..cos
.2
2
gmmr
h
P
S
Debido a que la masa del mercurio no varía, se tiene
)9..(....................
.
22
22
'22
Rr
h
rhR
hrhR
mm
HgHg
fi
286
En la figura se muestra a la gota de mercurio entre las
placas paralelas
De la figura puede observarse que las fuerzas debido a
la tensión superficial se equilibran con las fuerzas
debido a la diferencia de presiones, es decir
)1.....(..........cos
2
2cos22
cos
0
0
0
0
h
pp
RhppR
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Para determinar la masa de la placa superior se traza el
DCL de la placa superior tal como se muestra en la
figura
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene )2.....(..........
0
0 gmApp
F
P
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3.........(
.
cos2
..cos
2
2
2
hg
R
m
gmR
h
S
P
P
S
En la figura se muestra la disposición cuando se coloca
un bloque de masa m, sobre la placa
En la dirección horizontal se equilibran las fuerzas
debido a la diferencia de presiones y el debido a la
tensión superficial
)4...(..........cos
2
..2cos.22
cos
0
'0
'
0
'
0
h
pp
hrppr
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Por condición del problema
h
h
' .............................(5)
Entonces la ec. (4) se escribe )6...(..........cos
.2
0
h
pp
S
En la figura se muestra el DCL de la placa superior más
el bloque de masa desconocida
Aplicando las ecuaciones de equilibrio obtenemos
)7(..........)(.
0
2
0
gmmrpp
F
P
y
Remplazando la ec. (6) en (7) nos da
)8.......(..cos
.2
2
gmmr
h
P
S
Debido a que la masa del mercurio no varía, se tiene
)9..(....................
.
22
22
'22
Rr
h
rhR
hrhR
mm
HgHg
fi
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
287
Remplazando la ec. (9) en (8), resulta
)10........(1cos
.
2
2
2
hg
R
m
S
Teniendo en cuenta los valores del enunciado, se tiene
....Rta...........kg........ 7,0
12º135cos
10.38,08,9
10.25,02
2
3
2
2
m
m
Problema 26.
Dos discos de vidrio de radio R = 5 cm se mojaron con
agua y se colocaron juntos de modo que el grosor de la
capa de agua entre estos es h = 1,9 µm. Considerando
que la humectación es total, determinar la fuerza
adicional que debe aplicarse perpendicularmente al
plano de los discos, para separarlos.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;../1000
;º0;../073,0;9,1;..5
3
Fmkg
mNmhcmR
S
En la figura se muestra el DCL de las placas con el agua
en su interior.
Debido a que la humectación es total, entonces la fuerza
debido a la tensión superficial actúan sobre el borde de
las láminas y paralelas a su área, estas equilibran a las
fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir
)1......(....................
2
222
0
0
0
0
h
pp
RhppRR
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Para determinar la fuerza necesaria para separar los
discos se traza el DCL del disco superior, en él se
observa aplicado las fuerzas: fuerza (pA) debido al
fluido líquido entre las placas y la fuerza (p0A) debido a
la presión del aire.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2..(..............................
0
0 AppF
F
R
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3........(..............................
2
2
2
2
h
R
F
R
h
F
S
R
S
R
Sustituyendo los valores del enunciado del problema,
resulta
.....................................10.035,6
10.9.1
10.25/073,02
2
6
24
RtaF
m
mmN
F
R
R
Problema 27.
Un cubo de hierro cuya densidad es 7900 kg/m
3
,
engrasado con parafina, flota en el agua de manera que
su cara superior se encuentra a nivel del agua, como se
ve en la figura. El agua no moja en absoluto a la
parafina. Hallara la longitud de la arista del cubo si la
tensión superficial del agua es 0,073 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../073,0
;/1000;../7900
33
amN
mkgmkg
S
wacero
En la figura se muestra el DCL del cubo, las fuerzas que
actúan son: el peso del cubo (W); la fuerza de tensión
superficial (FS) y el empuje hidrostático debido al agua.
287
Remplazando la ec. (9) en (8), resulta
)10........(1cos
.
2
2
2
hg
R
m
S
Teniendo en cuenta los valores del enunciado, se tiene
....Rta...........kg........ 7,0
12º135cos
10.38,08,9
10.25,02
2
3
2
2
m
m
Problema 26.
Dos discos de vidrio de radio R = 5 cm se mojaron con
agua y se colocaron juntos de modo que el grosor de la
capa de agua entre estos es h = 1,9 µm. Considerando
que la humectación es total, determinar la fuerza
adicional que debe aplicarse perpendicularmente al
plano de los discos, para separarlos.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;../1000
;º0;../073,0;9,1;..5
3
Fmkg
mNmhcmR
S
En la figura se muestra el DCL de las placas con el agua
en su interior.
Debido a que la humectación es total, entonces la fuerza
debido a la tensión superficial actúan sobre el borde de
las láminas y paralelas a su área, estas equilibran a las
fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir
)1......(....................
2
222
0
0
0
0
h
pp
RhppRR
AppF
F
S
S
p ro yS
x
Para determinar la fuerza necesaria para separar los
discos se traza el DCL del disco superior, en él se
observa aplicado las fuerzas: fuerza (pA) debido al
fluido líquido entre las placas y la fuerza (p0A) debido a
la presión del aire.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2..(..............................
0
0 AppF
F
R
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3........(..............................
2
2
2
2
h
R
F
R
h
F
S
R
S
R
Sustituyendo los valores del enunciado del problema,
resulta
.....................................10.035,6
10.9.1
10.25/073,02
2
6
24
RtaF
m
mmN
F
R
R
Problema 27.
Un cubo de hierro cuya densidad es 7900 kg/m
3
,
engrasado con parafina, flota en el agua de manera que
su cara superior se encuentra a nivel del agua, como se
ve en la figura. El agua no moja en absoluto a la
parafina. Hallara la longitud de la arista del cubo si la
tensión superficial del agua es 0,073 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../073,0
;/1000;../7900
33
amN
mkgmkg
S
wacero
En la figura se muestra el DCL del cubo, las fuerzas que
actúan son: el peso del cubo (W); la fuerza de tensión
superficial (FS) y el empuje hidrostático debido al agua.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
288
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0
y
S
F
F E W
33
2
4
4
4
S w acero
s ac w
S
ac w
a g a g a
ag
a
g
Remplazando los valores consignados en el problema,
resulta.
..Rta...............................mm........ 08,2
/10007900/8,9
/073,04
32
a
mkgsm
mN
a
Problema 28
Un tubo de sección transversal circular y radio exterior
R está cerrado por su extremo. Este extremo está
lastrado y el tubo flota verticalmente en un fluido de
densidad ρ y coeficiente de tensión superficial γS con el
extremo pesado hacia abajo como se muestra en la
figura. La masa total del tubo y el lastre es m. Si el
ángulo de contacto es θ. ¿A qué distancia se encuentra
el fondo del tubo de la superficie libre del fluido.
Solución
Datos e incógnitas. .??;..;..;..;..;.. hgmR
S
En la figura se muestra el DCL del tubo lastrado en la
posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resulta
0
cos
2 cos
y
S
fS
F
E W F
m g mg R
2
2
. . . . 2 . cos
. 2 . cos
.... .
..
S
S
R h g m g R
m g R
h Rta
Rg
Problema 28.
Sobre cuatro bolas de mercurio, yacentes en el plano
horizontal, se pone con cuidado una placa cuadrada de
la manera expuesta en la figura. El radio de las bolas es
R =1 mm, la masa de la placa es m = 80 g y el
coeficiente de tensión superficial es γS = 0,045N/m.
Asumiendo que el mercurio no moja en absoluto.
¿Cuánto distará del plano horizontal a la superficie
inferior de la placa?.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../465,0;..80;..1 HmNgrmmmR
SP
En la figura se muestra el DCL de una de las gotas, las
fuerzas que actúan son la tensión superficial (FS) y la
fuerza debido a la diferencia de presiones
288
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0
y
S
F
F E W
33
2
4
4
4
S w acero
s ac w
S
ac w
a g a g a
ag
a
g
Remplazando los valores consignados en el problema,
resulta.
..Rta...............................mm........ 08,2
/10007900/8,9
/073,04
32
a
mkgsm
mN
a
Problema 28
Un tubo de sección transversal circular y radio exterior
R está cerrado por su extremo. Este extremo está
lastrado y el tubo flota verticalmente en un fluido de
densidad ρ y coeficiente de tensión superficial γS con el
extremo pesado hacia abajo como se muestra en la
figura. La masa total del tubo y el lastre es m. Si el
ángulo de contacto es θ. ¿A qué distancia se encuentra
el fondo del tubo de la superficie libre del fluido.
Solución
Datos e incógnitas. .??;..;..;..;..;.. hgmR
S
En la figura se muestra el DCL del tubo lastrado en la
posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resulta
0
cos
2 cos
y
S
fS
F
E W F
m g mg R
2
2
. . . . 2 . cos
. 2 . cos
.... .
..
S
S
R h g m g R
m g R
h Rta
Rg
Problema 28.
Sobre cuatro bolas de mercurio, yacentes en el plano
horizontal, se pone con cuidado una placa cuadrada de
la manera expuesta en la figura. El radio de las bolas es
R =1 mm, la masa de la placa es m = 80 g y el
coeficiente de tensión superficial es γS = 0,045N/m.
Asumiendo que el mercurio no moja en absoluto.
¿Cuánto distará del plano horizontal a la superficie
inferior de la placa?.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../465,0;..80;..1 HmNgrmmmR
SP
En la figura se muestra el DCL de una de las gotas, las
fuerzas que actúan son la tensión superficial (FS) y la
fuerza debido a la diferencia de presiones
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
289
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
0
2 . 2 . 2 . .
SP
S proy
S
FF
Longitud p p A
r r p p r H
0
0
4 . . 2 . .
2
.........................(1)
S
S
r r H p p
pp
H
La fuerza que ejercerá la gota de mercurio sobre la
placa superior será
)2.......(..............................
.2
.
2
2
1
2
01
H
r
F
r
H
AppF
S
S
Debido a que en el sistema hay cuatro gotas la fuerza
neta será
)3.......(....................
.8
4
2
1
H
r
FF
S
N
El radio se determina a partir del principio de
conservación de la masa
)4........(....................
3
4
.
3
2
23
3
4
H
R
r
HrR
mm
HgHg
g o ta
fg o tai
Remplazando la ec. (4) en la ec. (3), resulta
)5.....(..............................
3
32
3
48
2
3
3
H
R
F
H
R
H
F
S
N
S
N
En la figura se muestra el DCL de la placa en donde se
observa que actúan el peos de la misma y la fuerza neta
resultante debido a la diferencia de presiones
Esta fuerza es la que equilibra al peso de la placa, es
decir gm
R
H
H
R
gmF
P
S
S
PN
3
32
3
32
3
2
·
Remplazando los valores consignados en el problema,
resulta.
Rta. mm. 14,0
8,910.803
10.10465,032
3
3
3
H
H
Problema 29.
Un capilar vertical de radio interno r se puso en
contacto con la superficie del agua. ¿Qué cantidad de
calor se desprenderá durante el ascenso del agua por el
capilar?. Considere que la humectación es total, el
coeficiente de tensión γS y la densidad del agua es ρw.
Solución
Datos e incógnitas
.??;...;...;... Qr
wS
En la figura se muestra el DCL de la masa de agua que
ascendió en el capilar, las fuerzas que actúan son: La
fuerza de tensión superficial (FS) y el peso del fluido
(W).
289
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
0
2 . 2 . 2 . .
SP
S proy
S
FF
Longitud p p A
r r p p r H
0
0
4 . . 2 . .
2
.........................(1)
S
S
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pp
H
La fuerza que ejercerá la gota de mercurio sobre la
placa superior será
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.2
.
2
2
1
2
01
H
r
F
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H
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S
S
Debido a que en el sistema hay cuatro gotas la fuerza
neta será
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.8
4
2
1
H
r
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S
N
El radio se determina a partir del principio de
conservación de la masa
)4........(....................
3
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.
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2
23
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H
R
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mm
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g o ta
fg o tai
Remplazando la ec. (4) en la ec. (3), resulta
)5.....(..............................
3
32
3
48
2
3
3
H
R
F
H
R
H
F
S
N
S
N
En la figura se muestra el DCL de la placa en donde se
observa que actúan el peos de la misma y la fuerza neta
resultante debido a la diferencia de presiones
Esta fuerza es la que equilibra al peso de la placa, es
decir gm
R
H
H
R
gmF
P
S
S
PN
3
32
3
32
3
2
·
Remplazando los valores consignados en el problema,
resulta.
Rta. mm. 14,0
8,910.803
10.10465,032
3
3
3
H
H
Problema 29.
Un capilar vertical de radio interno r se puso en
contacto con la superficie del agua. ¿Qué cantidad de
calor se desprenderá durante el ascenso del agua por el
capilar?. Considere que la humectación es total, el
coeficiente de tensión γS y la densidad del agua es ρw.
Solución
Datos e incógnitas
.??;...;...;... Qr
wS
En la figura se muestra el DCL de la masa de agua que
ascendió en el capilar, las fuerzas que actúan son: La
fuerza de tensión superficial (FS) y el peso del fluido
(W).
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
290
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1.....(........................................
..
2
....2
....2
2
rg
h
hrgr
gVgmr
WF
S
S
S
S
La energía potencial de la columna del líquido será
)3.(..............................
2
...
2
.
2
..
2
.
22
2
hgr
E
h
ghr
h
gV
h
gmE
Pg
pg
Remplazando la ec, (1) en (2), resulta
)3.......(..............................
.
2
2
4
..
2
222
2
2
g
E
rg
grE
S
Pg
S
Pg
La fuerza de tensión superficial realiza un trabajo dado
por
)4.......(..............................
.
4
..
2
..2
..2
2
1
1
g
W
rg
r
hr
hFW
SF
f
S
S
S
S
F
f
S
S
De esta energía irá para aumentar la energía potencial y
la otra mitad se disipará en forma de calor.
.........................................
.
.2
.
.2
.
.4
2
22
Rta
g
Q
gg
Q
EWQ
S
SS
Pg
F
fi
S
Problema 30.
Dos láminas de vidrio verticales paralelas entre sí, se
sumergen parcialmente en agua. La distancia entre estás
es d = 0,10 mm, su anchura L = 12 cm. Considerando
que el agua no llega hasta los bordes superiores de las
láminas y que la humectación es total, calcular la fuerza
de atracción mutua que existe entre estas.
Solución
Datos e incógnitas.
.??,../1000
;/073,0;..12;..10,0
3
Fmkg
mNcmLmmd
S
En la figura se muestra es DCL de la porción de fluido
que ascendió entre las láminas
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1....(....................
..
2
...2
..2
.
0
dg
h
ghdLL
gVL
gmlongitud
WF
F
S
S
S
S
S
y
Par calcular la fuerza de atracción mutua, se traza el
DCL de la placa izquierda tal como se muestra en la
figura.
La fuerza será
290
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1.....(........................................
..
2
....2
....2
2
rg
h
hrgr
gVgmr
WF
S
S
S
S
La energía potencial de la columna del líquido será
)3.(..............................
2
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2
.
2
..
2
.
22
2
hgr
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Pg
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Remplazando la ec, (1) en (2), resulta
)3.......(..............................
.
2
2
4
..
2
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La fuerza de tensión superficial realiza un trabajo dado
por
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.
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2
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S
S
S
S
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S
S
De esta energía irá para aumentar la energía potencial y
la otra mitad se disipará en forma de calor.
.........................................
.
.2
.
.2
.
.4
2
22
Rta
g
Q
gg
Q
EWQ
S
SS
Pg
F
fi
S
Problema 30.
Dos láminas de vidrio verticales paralelas entre sí, se
sumergen parcialmente en agua. La distancia entre estás
es d = 0,10 mm, su anchura L = 12 cm. Considerando
que el agua no llega hasta los bordes superiores de las
láminas y que la humectación es total, calcular la fuerza
de atracción mutua que existe entre estas.
Solución
Datos e incógnitas.
.??,../1000
;/073,0;..12;..10,0
3
Fmkg
mNcmLmmd
S
En la figura se muestra es DCL de la porción de fluido
que ascendió entre las láminas
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1....(....................
..
2
...2
..2
.
0
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S
S
S
S
y
Par calcular la fuerza de atracción mutua, se traza el
DCL de la placa izquierda tal como se muestra en la
figura.
La fuerza será
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
291
)2(...............................
10
0
dLppF
AppF
Analizando la curvatura del menisco, se tiene
)3........(....................
2
0
dr
pp
SS
Despejando la presión p, resulta
)4.........(..............................
2
0
d
pp
S
La presión en la mitad del área mojada será
)5..(..............................
2
..
1
h
gpp
Remplazando la ec. (4) en (5), resulta )6......(....................
2
.
2
01
h
g
d
pP
S
Remplazando la ec. (1) en (6), resulta
)7....(..............................
..2
2
.
2
01
01
d
pp
dg
g
d
pp
S
SS
Remplazando la ec (7) en la ec. (2), resulta.
)8(........................................
..
2
..
2
2
2
00
dg
L
F
dg
L
d
ppF
S
SS
Remplazando los valores dados en el problema resulta
.....Rta...............................N......... 13
10.10,08,91000
12,0073,02
3
2
F
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291
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Analizando la curvatura del menisco, se tiene
)3........(....................
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Despejando la presión p, resulta
)4.........(..............................
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La presión en la mitad del área mojada será
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Remplazando la ec. (4) en (5), resulta )6......(....................
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Remplazando la ec. (1) en (6), resulta
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01
d
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S
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Remplazando la ec (7) en la ec. (2), resulta.
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Remplazando los valores dados en el problema resulta
.....Rta...............................N......... 13
10.10,08,91000
12,0073,02
3
2
F
F
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
292
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un anillo metálico delgado con una masa de 3,15
mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado
horizontalmente sobre la superficie de un líquido.
Determine la mínima fuerza vertical necesaria para
desprenderlo de la superficie a 20°C si el líquido es:
(a) agua, (b) aceite y (c) mercurio
Rta: (a) 5,76 mN; (b) 3,17 mN; (c) 36,5 mN
2. Un anillo metálico delgado con una masa de 2,75
mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado
horizontalmente sobre la superficie de un líquido.
Determine el coeficiente de tensión superficial si es
necesario aplicar al anillo una fuerza vertical de 175
mN para desprenderlo del líquido
Rta: 2,23 N/m
3. En el fondo de un recipiente que contiene mercurio
hay un orificio circular de diámetro d = 70 μm.
¿Cuál será el grosor máximo de la capa de mercurio
con el que este no saldrá por el orificio?.
Rta. 21 cm
4. Determine la depresión del mercurio dentro de un
tubo capilar vertical de vidrio que tiene un diámetro
de 0,90 mm si el ángulo de contacto entre el vidrio y
el mercurio es 128°.
Rta: Δh = 9,54 mm
5. En un recipiente que contiene aire bajo una presión
p0 se encuentra una pompa de jabón de diámetro d.
La presión del aire se disminuyó isotérmicamente en
η veces y como resultado de esto el diámetro de la
pompa aumentó N veces. Determinar el coeficiente
de tensión superficial del agua jabonosa.
Rta. 18
1
2
3
0
N
N
dp
S
6. ¿Cuál es la presión en una pompa de jabón de
diámetro d = 4 μm, que se encuentra a la
profundidad h = 5 m en el seno del agua. La presión
atmosférica p0 es normal.
Rta. 2,2 atm.
7. Hallar la diferencia de niveles del mercurio
contenido en dos capilares verticales que se
comunican entre sí y cuyos diámetros son d1 =0,5
mm y d2 = 1 mm, si el ángulo de contacto es φ =
138º
Rta. 11 mm
8. Un capilar vertical cuyo diámetro interno es de
0,5 mm se sumergió en el agua de modo que la
longitud de la parte que no se sumió en ésta resultó
ser h = 25 mm. Determinar el radio de curvatura del
menisco.
Rta. mm
hg
R
S
6,0
..
2
9. Una gota de agua cae uniformemente en el aire.
Determinar la diferencia entre los radios de
curvatura de la superficie de la gota en sus puntos
superior e inferior, la distancia entre los cuales es
h = 2,3 mm.
Rta. S
hg
RR
8
..
3
12
10. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas que se encuentran a una distancia de
h = 0,1 mm, una vez que entre ellas se introdujo una
gota de agua de masa m = 70 mg. Considerar que la
humectación es total.
Rta. N
h
m
F
S
1
.
2
2
11. Calcular el incremento de energía libre de la capa
superficial durante la fusión isotérmica de dos gotas
de mercurio idénticas de diámetro d = 1,5 mm cada
una.
Rta. .5,112.2
3/12
JdE
S
12. Estime el tamaño máximo de las gotas de agua que
pueden estar “suspendidas” en el techo. La tensión
superficial del agua es de 0,073 N/m.
Rta. R = 0,5 cm.
13. Hállese la tensión superficial de un líquido, si el lazo
de un hilo de goma con longitud L y sección A,
puesto sobre la película de líquido, se extiende
formando una circunferencia de radio R después de
que la película fue pinchada dentro del lazo. El
módulo elástico de la goma es E.
Rta.
RL
EA
12
2
1
14. Determínese la masa máxima de la unidad de área
de una placa que no se “hunde”, si se le pone con
cuidado sobre la superficie del agua. La placa no es
mojada por el agua
Rta. m = 0,546 gr/cm
2
.
15. Un areómetro flota en un líquido cuya densidad es
ρ = 800 kg/m
3
y cuyo coeficiente de tensión
superficial es γS =30 dinas/cm. El líquido moja
292
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un anillo metálico delgado con una masa de 3,15
mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado
horizontalmente sobre la superficie de un líquido.
Determine la mínima fuerza vertical necesaria para
desprenderlo de la superficie a 20°C si el líquido es:
(a) agua, (b) aceite y (c) mercurio
Rta: (a) 5,76 mN; (b) 3,17 mN; (c) 36,5 mN
2. Un anillo metálico delgado con una masa de 2,75
mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado
horizontalmente sobre la superficie de un líquido.
Determine el coeficiente de tensión superficial si es
necesario aplicar al anillo una fuerza vertical de 175
mN para desprenderlo del líquido
Rta: 2,23 N/m
3. En el fondo de un recipiente que contiene mercurio
hay un orificio circular de diámetro d = 70 μm.
¿Cuál será el grosor máximo de la capa de mercurio
con el que este no saldrá por el orificio?.
Rta. 21 cm
4. Determine la depresión del mercurio dentro de un
tubo capilar vertical de vidrio que tiene un diámetro
de 0,90 mm si el ángulo de contacto entre el vidrio y
el mercurio es 128°.
Rta: Δh = 9,54 mm
5. En un recipiente que contiene aire bajo una presión
p0 se encuentra una pompa de jabón de diámetro d.
La presión del aire se disminuyó isotérmicamente en
η veces y como resultado de esto el diámetro de la
pompa aumentó N veces. Determinar el coeficiente
de tensión superficial del agua jabonosa.
Rta. 18
1
2
3
0
N
N
dp
S
6. ¿Cuál es la presión en una pompa de jabón de
diámetro d = 4 μm, que se encuentra a la
profundidad h = 5 m en el seno del agua. La presión
atmosférica p0 es normal.
Rta. 2,2 atm.
7. Hallar la diferencia de niveles del mercurio
contenido en dos capilares verticales que se
comunican entre sí y cuyos diámetros son d1 =0,5
mm y d2 = 1 mm, si el ángulo de contacto es φ =
138º
Rta. 11 mm
8. Un capilar vertical cuyo diámetro interno es de
0,5 mm se sumergió en el agua de modo que la
longitud de la parte que no se sumió en ésta resultó
ser h = 25 mm. Determinar el radio de curvatura del
menisco.
Rta. mm
hg
R
S
6,0
..
2
9. Una gota de agua cae uniformemente en el aire.
Determinar la diferencia entre los radios de
curvatura de la superficie de la gota en sus puntos
superior e inferior, la distancia entre los cuales es
h = 2,3 mm.
Rta. S
hg
RR
8
..
3
12
10. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas que se encuentran a una distancia de
h = 0,1 mm, una vez que entre ellas se introdujo una
gota de agua de masa m = 70 mg. Considerar que la
humectación es total.
Rta. N
h
m
F
S
1
.
2
2
11. Calcular el incremento de energía libre de la capa
superficial durante la fusión isotérmica de dos gotas
de mercurio idénticas de diámetro d = 1,5 mm cada
una.
Rta. .5,112.2
3/12
JdE
S
12. Estime el tamaño máximo de las gotas de agua que
pueden estar “suspendidas” en el techo. La tensión
superficial del agua es de 0,073 N/m.
Rta. R = 0,5 cm.
13. Hállese la tensión superficial de un líquido, si el lazo
de un hilo de goma con longitud L y sección A,
puesto sobre la película de líquido, se extiende
formando una circunferencia de radio R después de
que la película fue pinchada dentro del lazo. El
módulo elástico de la goma es E.
Rta.
RL
EA
12
2
1
14. Determínese la masa máxima de la unidad de área
de una placa que no se “hunde”, si se le pone con
cuidado sobre la superficie del agua. La placa no es
mojada por el agua
Rta. m = 0,546 gr/cm
2
.
15. Un areómetro flota en un líquido cuya densidad es
ρ = 800 kg/m
3
y cuyo coeficiente de tensión
superficial es γS =30 dinas/cm. El líquido moja
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
293
perfectamente las paredes del areómetro. El
diámetro del tubo cilíndrico vertical de éste último
es de d = 9 mm. ¿Cuánto variará la profundidad a
que se sumerge el areómetro si, por estar grasiento,
el líquido no moja en absoluto sus paredes?.
Rta. Δh = 3,5 mm
16. Las películas de dos líquidos se dividen por un
tabique de longitud L. Los coeficientes de tensión
superficial de los líquidos son γ1 y γ2 ¿qué fuerza
actúa sobre el tabique?.
Rta. 12
2( )FL
17. ¿En cuántas veces la densidad de la sustancia de que
está hecho un palito largo de sección cuadrada
supera la densidad del líquido, si el palito flota en la
superficie tal como se muestra en la figura?.
Rta. 5/4n
18. El radio de curvatura de una gota en su punto
superior es R. ¿Cuál será la masa de la gota, si su
altura es h y el radio de contacto de la misma con el
plano horizontal en el que “está sentada” es igual a
r?. La densidad del líquido es ρ, la tensión
superficial es γS. El líquido no moja al plano.
Rta. 2
( 2 / )
s
m r h gR
19. Dos láminas verticales, sumergidas parcialmente en
un líquido humectante, forman una cuña con un
ángulo muy pequeño, δφ. La arista de la cuña se
encuentra en Posición vertical. La densidad del
fluido es ρ, su coeficiente de tensión superficial es γst
y el ángulo de contacto es θ. Calcule la altura h de
ascenso del líquido como función de la distancia z
medida desde la superficie libre del fluido hasta el
vértice de la cuña.
Rta: 2 cos /
s
h gx
20. ¿Qué trabajo contra las fuerzas de tensión superficial
es necesario realizar con el fin de: (a) dividir una
gota esférica de mercurio con radio de 3 mm en dos
gotas idénticas; (b) aumentar dos veces el volumen
de una pompa de jabón que tiene el radio de 1 cm?
Rta.
21. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas y horizontales que se encuentran
separadas una distancia h = 0,10 mm, una vez que
entre ellas se introdujo una gota de agua de masa
m = 70.10
-6
kg. Considere que el coeficiente de
tensión superficial del agua es 0,073 N/m, la
densidad del agua es 1000 kg/m
3
y que la
humectación es total ( = 0
0
).
Rta: F = 1N
22. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h de
un fluido en función de la densidad , el coeficiente
de tensión superficial γS , el ancho L y ángulo de
contacto θ entre dos placas paralelas verticales
separadas una distancia W, como se muestra en la
figura. ¿Cuál será el valor de h si el fluido es agua
con = 1000 kg/m
3
, γst = 0,073 N/m, W = 0,5 mm;
L = 10 cm y la humectación es total?. ¿Qué cantidad
de calor se desprenderá durante el ascenso del agua
entre las placas?
23. El mercurio forma un ángulo de 130° cuando está en
contacto con vidrio limpio. ¿A qué distancia bajará
el mercurio en un tubo capilar vertical de 0,4 mm de
radio?
Rta
24. Obtenga una expresión para la fuerza vertical
máxima requerida para levantar lentamente un anillo
de radio R desde un líquido cuyo coeficiente de
tensión superficial es γ.
Rta.
25. Dos placas planas se coloca como se muestra en la
figura con un ángulo pequeño α en un recipiente
abierto que contiene un poco de líquido. La placas
293
perfectamente las paredes del areómetro. El
diámetro del tubo cilíndrico vertical de éste último
es de d = 9 mm. ¿Cuánto variará la profundidad a
que se sumerge el areómetro si, por estar grasiento,
el líquido no moja en absoluto sus paredes?.
Rta. Δh = 3,5 mm
16. Las películas de dos líquidos se dividen por un
tabique de longitud L. Los coeficientes de tensión
superficial de los líquidos son γ1 y γ2 ¿qué fuerza
actúa sobre el tabique?.
Rta. 12
2( )FL
17. ¿En cuántas veces la densidad de la sustancia de que
está hecho un palito largo de sección cuadrada
supera la densidad del líquido, si el palito flota en la
superficie tal como se muestra en la figura?.
Rta. 5/4n
18. El radio de curvatura de una gota en su punto
superior es R. ¿Cuál será la masa de la gota, si su
altura es h y el radio de contacto de la misma con el
plano horizontal en el que “está sentada” es igual a
r?. La densidad del líquido es ρ, la tensión
superficial es γS. El líquido no moja al plano.
Rta. 2
( 2 / )
s
m r h gR
19. Dos láminas verticales, sumergidas parcialmente en
un líquido humectante, forman una cuña con un
ángulo muy pequeño, δφ. La arista de la cuña se
encuentra en Posición vertical. La densidad del
fluido es ρ, su coeficiente de tensión superficial es γst
y el ángulo de contacto es θ. Calcule la altura h de
ascenso del líquido como función de la distancia z
medida desde la superficie libre del fluido hasta el
vértice de la cuña.
Rta: 2 cos /
s
h gx
20. ¿Qué trabajo contra las fuerzas de tensión superficial
es necesario realizar con el fin de: (a) dividir una
gota esférica de mercurio con radio de 3 mm en dos
gotas idénticas; (b) aumentar dos veces el volumen
de una pompa de jabón que tiene el radio de 1 cm?
Rta.
21. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas y horizontales que se encuentran
separadas una distancia h = 0,10 mm, una vez que
entre ellas se introdujo una gota de agua de masa
m = 70.10
-6
kg. Considere que el coeficiente de
tensión superficial del agua es 0,073 N/m, la
densidad del agua es 1000 kg/m
3
y que la
humectación es total ( = 0
0
).
Rta: F = 1N
22. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h de
un fluido en función de la densidad , el coeficiente
de tensión superficial γS , el ancho L y ángulo de
contacto θ entre dos placas paralelas verticales
separadas una distancia W, como se muestra en la
figura. ¿Cuál será el valor de h si el fluido es agua
con = 1000 kg/m
3
, γst = 0,073 N/m, W = 0,5 mm;
L = 10 cm y la humectación es total?. ¿Qué cantidad
de calor se desprenderá durante el ascenso del agua
entre las placas?
23. El mercurio forma un ángulo de 130° cuando está en
contacto con vidrio limpio. ¿A qué distancia bajará
el mercurio en un tubo capilar vertical de 0,4 mm de
radio?
Rta
24. Obtenga una expresión para la fuerza vertical
máxima requerida para levantar lentamente un anillo
de radio R desde un líquido cuyo coeficiente de
tensión superficial es γ.
Rta.
25. Dos placas planas se coloca como se muestra en la
figura con un ángulo pequeño α en un recipiente
abierto que contiene un poco de líquido. La placas
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
294
son verticales sube entre las placas. Obtenga una
expresión para la ubicación h(x). de la superficie del
líquido suponiendo que la humectación es total.
Rta.
26. ¿Qué error relativo admitimos al medir la presión
atmosférica atendiéndonos a la altura de la columna
de mercurio, si el diámetro interior del tubo
barométrico es de 5 mm y el coeficiente de tensión
superficial del mercurio es 0,465 N/m?
Rta.
27. ¿ A qué altura ascenderá el líquido por un tubo
capilar cónico vertical con un ángulo en el vértice α
<< 1?. La densidad del líquido es ρ y el coeficiente
de tensión superficial el γs. El líquido moja por
completo al capilar. La altura del tubo capilar es H.
Rta. 2
16
11
2
sH
x
gH
28. ¿A qué altura ascenderá un líquido entre dos placas
verticales, que distan Δ, si el ángulo de contacto
para la primera es θ1 y para la segunda es θ2? La
densidad de líquido es ρ y el coeficiente de tensión
superficial del líquido es γs.
Rta.
29. Determínese las presiones mínima y máxima dentro
de una gota esférica de líquido que flota en otro
líquido. El centro de la gota dista de la superficie
libre del líquido h, el radio de la gota es R, las
densidades de los líquidos es ρ y la tensión
superficial en la superficie de separación es γs.
Rta:max min
2 / ( ); 2 / ( )
ss
p R g h H p R g h H
30. Dos placas planas delgadas, inclinadas un ángulo α,
se encuentran semisumergidas en un depósito que
contiene un líquido de tensión superficial conocida
γst y ángulo de contacto θ, como se muestra en la
figura. A la altura de la superficie libre del líquido
en el depósito, las dos placas se encuentran
separadas una distancia L y tienen un espesor b en la
dirección perpendicular al papel. En la región entre
las placas el líquido sube una distancia h, tal como
se indica. (a) ¿Cuál es la fuerza total hacia arriba
(según el eje z) debido a la tensión superficial que
actúa sobre la columna del líquido entre las placas?,
(b) si la densidad del líquido es ρ, obtenga una
expresión que dé la tensión superficial γst en función
del resto de variables.
31. ¿Qué fuerza hay que aplicarle a un aro horizontal de
aluminio, que tiene una altura h = 10 mm, un
diámetro interior d1 = 50 mm y un diámetro exterior
d2 = 52 mm, para desprenderlo de la superficie del
agua?. (b) ¿Qué parte de la fuerza hallada
corresponde a las fuerzas de tensión superficial?.
Rta. F = 63,5 mN; (b) x = 37%
32. Entre dos láminas de vidrio horizontales planas y
paralelas hay 5 g de mercurio. Cuando sobre la
lámina superior se deposita una carga de 5 kgf, la
distancia entre ellas se hace igual a 0,087 mm.
Hallar el coeficiente de la tensión superficial del
294
son verticales sube entre las placas. Obtenga una
expresión para la ubicación h(x). de la superficie del
líquido suponiendo que la humectación es total.
Rta.
26. ¿Qué error relativo admitimos al medir la presión
atmosférica atendiéndonos a la altura de la columna
de mercurio, si el diámetro interior del tubo
barométrico es de 5 mm y el coeficiente de tensión
superficial del mercurio es 0,465 N/m?
Rta.
27. ¿ A qué altura ascenderá el líquido por un tubo
capilar cónico vertical con un ángulo en el vértice α
<< 1?. La densidad del líquido es ρ y el coeficiente
de tensión superficial el γs. El líquido moja por
completo al capilar. La altura del tubo capilar es H.
Rta. 2
16
11
2
sH
x
gH
28. ¿A qué altura ascenderá un líquido entre dos placas
verticales, que distan Δ, si el ángulo de contacto
para la primera es θ1 y para la segunda es θ2? La
densidad de líquido es ρ y el coeficiente de tensión
superficial del líquido es γs.
Rta.
29. Determínese las presiones mínima y máxima dentro
de una gota esférica de líquido que flota en otro
líquido. El centro de la gota dista de la superficie
libre del líquido h, el radio de la gota es R, las
densidades de los líquidos es ρ y la tensión
superficial en la superficie de separación es γs.
Rta:max min
2 / ( ); 2 / ( )
ss
p R g h H p R g h H
30. Dos placas planas delgadas, inclinadas un ángulo α,
se encuentran semisumergidas en un depósito que
contiene un líquido de tensión superficial conocida
γst y ángulo de contacto θ, como se muestra en la
figura. A la altura de la superficie libre del líquido
en el depósito, las dos placas se encuentran
separadas una distancia L y tienen un espesor b en la
dirección perpendicular al papel. En la región entre
las placas el líquido sube una distancia h, tal como
se indica. (a) ¿Cuál es la fuerza total hacia arriba
(según el eje z) debido a la tensión superficial que
actúa sobre la columna del líquido entre las placas?,
(b) si la densidad del líquido es ρ, obtenga una
expresión que dé la tensión superficial γst en función
del resto de variables.
31. ¿Qué fuerza hay que aplicarle a un aro horizontal de
aluminio, que tiene una altura h = 10 mm, un
diámetro interior d1 = 50 mm y un diámetro exterior
d2 = 52 mm, para desprenderlo de la superficie del
agua?. (b) ¿Qué parte de la fuerza hallada
corresponde a las fuerzas de tensión superficial?.
Rta. F = 63,5 mN; (b) x = 37%
32. Entre dos láminas de vidrio horizontales planas y
paralelas hay 5 g de mercurio. Cuando sobre la
lámina superior se deposita una carga de 5 kgf, la
distancia entre ellas se hace igual a 0,087 mm.
Hallar el coeficiente de la tensión superficial del
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
295
mercurio considerando que el peso de la lámina es
despreciable en comparación con el de la carga.
Suponer que el mercurio no moja en absoluto.
Rta. δs = 0,5 N/m
33. Dos cilindros coaxiales, con radio exterior re y
radio interior ri, se sumerge en un fluido de tensión
superficial γst y ángulo de contacto θ ≤ 90°.
Obtenga una expresión para el ascenso capilar h en
la holgura anular entre los dos cilindros cuando
esta holgura es muy estrecha.
Rta.
34. Una pompa de jabón de diámetro D1 se funde con
otra pompa de jabón de diámetro D2 para formar
una única pompa de diámetro D3 que contiene la
misma cantidad de aire. Suponiendo que el
proceso es isotermo, obtenga una expresión para
D3 en función de D1, D2, γst y patm.
Rta.
35. El sistema de la figura permite calcular la presión
p1 en el interior del tanque midiendo la altura de la
columna del líquido de 15 cm en el tubo de 1 mm
de diámetro. El fluido está a 60°C. Calcule la
altura real del fluido en el tubo y el porcentaje de
error debido a la capilaridad si el fluido es: (a)
agua y (b) mercurio. Considere que los
coeficientes de tensión superficial del agua y del
mercurio a T = 60°C son 0,062 N/m y 0,47 N/m
36. Un estudiante, utilizando un alambre circular y la
porción de agua jabonosa, produce una burbuja de
jabón de 1 mm de radio. Sabiendo que la tensión
superficial del agua jabonosa es γst = 2,5 .10
-2
N/m.
(a) Determine la diferencia de presión entre el
interior y el exterior de la burbuja. (b) Si la misma
agua es utilizada para producir una gota esférica
cuyo radio es de 0,5 mm, determine la diferencia de
presiones entre el interior y el exterior de la gota.
37. Determine el diámetro máximo que puede tener una
bolita de acero ( ρ = 7,8 g/cm
3
) bien engrasada para
que pueda flotar en agua a 20°C
38. En un recipiente en el que la presión es p0 se ha
formado una pompa de jabón de forma esférica y
radio R, cuya presión interior es p1 = 2p0. A partir de
estas condiciones, se va reduciendo progresivamente
la presión en el recipiente hasta que p’0 = 0.
Determine la nueva presión interior p’1 y el nuevo
radio de la pompa, asumiendo que la tensión
superficial y la temperatura permanecen constantes
durante el proceso
39. Una gota de aceite (γst = 0,0320 N/m) tiene un radio
de 0,010 mm. La gota es liberada en agua fresca y se
hunde hasta una profundidad de 2,55 m bajo la
superficie libre del agua hasta quedar en equilibrio.
Sabiendo que la presión atmosférica del aire exterior
es 1,01.10
5
PA. (a) ¿Cuál es la presión absoluta del
agua a esta profundidad?. (b) Determine la presión
absoluta en el interior de la gota.
40. Para determinar la tensión superficial de una
disolución jabonosa, se utiliza el dispositivo
mostrado en la figura. El diámetro de la pompa
esférica formada en el extremo del tubo es de 1 cm,
el líquido manométrico es agua y el desnivel entre
las dos ramas manométricas es 2,7 mm. Determine
el valor del coeficiente de tensión superficial
41.
295
mercurio considerando que el peso de la lámina es
despreciable en comparación con el de la carga.
Suponer que el mercurio no moja en absoluto.
Rta. δs = 0,5 N/m
33. Dos cilindros coaxiales, con radio exterior re y
radio interior ri, se sumerge en un fluido de tensión
superficial γst y ángulo de contacto θ ≤ 90°.
Obtenga una expresión para el ascenso capilar h en
la holgura anular entre los dos cilindros cuando
esta holgura es muy estrecha.
Rta.
34. Una pompa de jabón de diámetro D1 se funde con
otra pompa de jabón de diámetro D2 para formar
una única pompa de diámetro D3 que contiene la
misma cantidad de aire. Suponiendo que el
proceso es isotermo, obtenga una expresión para
D3 en función de D1, D2, γst y patm.
Rta.
35. El sistema de la figura permite calcular la presión
p1 en el interior del tanque midiendo la altura de la
columna del líquido de 15 cm en el tubo de 1 mm
de diámetro. El fluido está a 60°C. Calcule la
altura real del fluido en el tubo y el porcentaje de
error debido a la capilaridad si el fluido es: (a)
agua y (b) mercurio. Considere que los
coeficientes de tensión superficial del agua y del
mercurio a T = 60°C son 0,062 N/m y 0,47 N/m
36. Un estudiante, utilizando un alambre circular y la
porción de agua jabonosa, produce una burbuja de
jabón de 1 mm de radio. Sabiendo que la tensión
superficial del agua jabonosa es γst = 2,5 .10
-2
N/m.
(a) Determine la diferencia de presión entre el
interior y el exterior de la burbuja. (b) Si la misma
agua es utilizada para producir una gota esférica
cuyo radio es de 0,5 mm, determine la diferencia de
presiones entre el interior y el exterior de la gota.
37. Determine el diámetro máximo que puede tener una
bolita de acero ( ρ = 7,8 g/cm
3
) bien engrasada para
que pueda flotar en agua a 20°C
38. En un recipiente en el que la presión es p0 se ha
formado una pompa de jabón de forma esférica y
radio R, cuya presión interior es p1 = 2p0. A partir de
estas condiciones, se va reduciendo progresivamente
la presión en el recipiente hasta que p’0 = 0.
Determine la nueva presión interior p’1 y el nuevo
radio de la pompa, asumiendo que la tensión
superficial y la temperatura permanecen constantes
durante el proceso
39. Una gota de aceite (γst = 0,0320 N/m) tiene un radio
de 0,010 mm. La gota es liberada en agua fresca y se
hunde hasta una profundidad de 2,55 m bajo la
superficie libre del agua hasta quedar en equilibrio.
Sabiendo que la presión atmosférica del aire exterior
es 1,01.10
5
PA. (a) ¿Cuál es la presión absoluta del
agua a esta profundidad?. (b) Determine la presión
absoluta en el interior de la gota.
40. Para determinar la tensión superficial de una
disolución jabonosa, se utiliza el dispositivo
mostrado en la figura. El diámetro de la pompa
esférica formada en el extremo del tubo es de 1 cm,
el líquido manométrico es agua y el desnivel entre
las dos ramas manométricas es 2,7 mm. Determine
el valor del coeficiente de tensión superficial
41.
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