CAPITULO VI: CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO

2. Es una magnitud vectorial definida como el producto de la masa de un
cuerpo y su velocidad.
Unidades
Donde:
p =Cantidad de movimiento(vectorial)
V=Velocidad(vectorial)
m=masa(escalar)
P:Kg.m/s
MOMENTUN LINEAL

3. Reemplazando valores se obtiene:
Sabemos que:
p =mV
p =mV
Si m=2kg y V=5m/s ; Calcular p.
Ejercicios Resueltos
Solución

4. Es una magnitud vectorial definida como el producto de la
fuerza que actúa sobre un cuerpo y el intervalo de tiempo
que dura la acción de la fuerza.
Donde: F=Es el valor de la fuerza( vectorial)
t=Es el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza(escalar)
I=Es el valor del impulso(vectorial)
Unidades
I=Ft
I=Ft
I: N s
®
1V
®
I
®
F
®
2V
t

5. Sabemos que:
Si F=10N y t=0.02s, entonces I es:
I=Ft
I=Ft
Reemplazando valores se obtiene:
I=(10N)(0.02s)
Ejercicios Resueltos
Solución
®
1
V
®
I
®
F
®
2
V
t

6. IMPULSO.-“La impulsión de la fuerza resultante que actúa
sobre un cuerpo es igual al incremento de la cantidad de
movimiento del cuerpo”
®
F
®
2
V
®
a
Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma vectorial, es decir:
å=amF

Sabemos que:
Entonce
s:
El impulso
es:
å -= )()(
12ttFI

pI;tFI

D==

7. m=4kg
V
2
=2m/s
V
1
=4m/s
Ejercicios Resueltos
2400NF
:queda F, Finalmente
01.0
24
01.0
168
01.0
4(-4)-4(2)
F
:obtiene se F Despejando
;mV-mV)V-m(VFtI
1212
=
=
+
==
===
Sabemos que:
Reemplazando valores se obtiene:
Hallar la fuerza media en el
choque; si dura 1 centésimo
de segundo.
La velocidad de impacto es hacia la izquierda, entonces se
considera negativa y la del rebote es a la derecha entonces
es positiva.
Solución
PIp-pI
12
D=Þ=

8. A un péndulo de madera se le golpea con un pedazo de fierro con una fuerza de 600N,
el impacto dura 0.01s. Si la masa de la madera es de 10Kg. ¿Cuál será la velocidad que
adquiere?
Ejercicios Resueltos
Solución
1212 mV-mV)V-m(VFtI ===
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento:
Reemplazando valores se obtiene:
(600N)(0.01s)=10kg(V
2
- 0); 6Ns=10kg(V
2
)

9. Área= IMPULSION
Área= IMPULSION
A) FUERZA VARIABLE
ò
=
1
o
t
t
FdtIMPULSO
LA MAGNITUD DEL IMPULSO ES:

10. F
Área= F.(t
2
- t
1)
SE CUMPLE Área= IMPULSION
Área= IMPULSION
B) FUERZA CONSTANTE

11. 1.Cuando un cohete es lanzado, la fuerza que permite su impulso es
F=100+400t-800t
2
donde t esta en segundos y F en Newton, si el intervalo de
tiempo de lanzamiento es 2seg. calcular: a)El impulso realizado para el
lanzamiento del cohete, b)La fuerza promedio durante el impulso.

Solución
ò
=
1
o
t
t
FdtIMPULSO
Sabemos que:
Reemplazando valores se obtiene:
400N.sI
2400-8002000)
3
2
900()
2
2
400(1000(2)I
)
3
t
900()
2
t
400(1000(t)I
)dt900t-400t(1000FdtI
32
32
2
0
2
2
0
=
+=-+=
-+=
+==òò
Fuerza promedio:
ò
=
1
o
t
t
_
Fdt
Δt
1
F
200N
2
400
Fdt
Δt
1
F
1
o
t
t
_
===ò
Ejemplos

12. Solución
) m/s(k4j3i2v
®®®®
+-=
Sabemos que:
2.Una partícula de masa m=1kg en el instante t
1
=0 tiene una velocidad de:
ò
®
=
1
o
t
t
dtFIMPULSO
luego inmediatamente actúa sobre la masa la fuerza New) kt3jt4i3(F
2
®®®®
+-=
durante 1 segundo; luego la velocidad de la partícula al cabo de 1seg, será
)V-Vm(I 12
®®
=
Reemplazando valores se obtiene:
2
1
0
1 VmdtFVm
®®®
=+ò
2
1
0
2
V(1))dt k3tj4t-i(3) k4j3-i(1)(2
®®®®®®®
=+++ò

13. “Cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza resultante
exterior, la cantidad de movimiento del sistema permanece
constante tanto en magnitud, como en dirección y sentido”
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
®
1V
®
2V
®
2V
m
1 m
2
®
1F
®
2
F
m
1m
2
®
4V
®
3
V
m
1 m
2
ANTES DEL CHOQUE
CHOQUE
DESPUES DEL CHOQUE

14. La Cantidad de movimiento total inicial es igual la Cantidad de movimiento total
Final
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La Ley de la conservación de la cantidad de movimiento es una igualdad vectorial
que se puede expresar en forma escalar si todas las velocidades están dirigidas
a lo largo de una misma recta, es decir:
42312211 vmvmvmvm +=+

15. Es el fenómeno de la colisión entre dos cuerpos, en el que
aparecen fuerzas de acción y reacción de gran magnitud, que
actúan durante un brevísimo lapso de tiempo.
Choques Elásticos ( e = 1 )
Choques Inelásticos ( 0 < e < 1 )
Choques perfectamente inelásticos ( e = 0 )
“En los choques, la ley de la conservación de la cantidad de
movimiento se cumple en todos los casos, mientras que la Ley
de Conservación de la Energía no siempre se cumple”
CHOQUES

16. COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)
Es un numero que establece la relación entre las velocidades
relativas de los cuerpos después y antes del choque.
2
43
V-V1
VV
e
-
-=
®
1
V
®
2
V
ANTES DEL CHOQUE
®
2
V
m1 m2
®
3
V
®
4V
DESPUES DEL CHOQUE
m1 m2
Nota
•e=0, En choques
perfectamente inelásticos
•e=1, En choques elásticos
• 0 < e < 1 Choques Inelásticos

17. La figura muestra la colisión de los bloques 1 y 2. Entonces, el
coeficiente de restitución entre los bloques es:
20m/s
1
V=0
2
12m/s
1 2
16m/s
Solución:
2
43
V-V1
VV
e
-
-=
2.0)
20
4
(
0-20
1612
e =
-
-=
-
-=
Sabemos que :
Reemplazando valores se obtiene:
Ejercicios Resueltos

18. Este es el caso en el que la energía cinética total antes del choque es igual a la energía
cinética después del choque.
CASO1: CHOQUES ELASTICOS ( e = 1 )
CHOQUE
DESPUES DEL CHOQUE
CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICA
La energía cinética antes del choque es igual a
después del choque
2
42
2
31
2
22
2
11 vm
2
1
vm
2
1
vm
2
1
vm
2
1
+=+
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque
42312211 vmvmvmvm +=+
No hay desprendimiento de calor

19. Dos “canicas” de masas iguales van a realizar un choque elástico y
unidimensional. Si una de ellas esta en reposo y la otra posee una
velocidad de 4m/s antes del choque, determinar las velocidades que
adquieren después del choque.
Solución:
Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento
42312211 VmVmVmVm +=+
V
2
=0V
1
=4m/s
Como las masas son iguales, m
1
=m
2
=m, se tiene
(4)m +(0)m = mV
3
+ mV
4

V
3
+ V
4
= 4 ..............( 1 )
Como el choque es perfectamente elástico(e=1)
)2...(.................... 4VV
1
0-4
VV
V-V1
VV
e
43
43
2
43
-=-
=
-
-=
-
-=
NOTA: Este caso se ve
en el choque de bolas
de billar, en la cual
tienen masas iguales y
una de ellas está en
reposo; entonces las
partículas intercambian
velocidades
Ejemplos de choque elástico

20. CASO 2: CHOQUES INELASTICOS ( 0 <e < 1 )
ANTES DEL CHOQUE
CHOQUE
DESPUES DEL CHOQUE
CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICA
La energía cinética total no es constante
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque
42312211 vmvmvmvm +=+
Coeficiente de restitución ( e):
NOTA: El choque de una pelota de plástico
con una superficie dura es inelástico,
porque un poco de energía cinética se
pierde cuando esta se deforma mientras
está en contacto con la superficie.
Depende del material de los cuerpos que
chocan.

21. En este caso los cuerpos permanecen adheridos “se pegan” después de la colisión.
CASO 3: CHOQUES PERFECTAMENTE
INELASTICOS
®
1V
®
2V
®
2V
®
4V
®
3
V
m
1m
2
m
1m
2
ANTES DEL CHOQUE
CHOQUE
DESPUES DEL CHOQUE
Se cumple V3=V4
Por conservación de la cantidad de movimiento y si V3=V4=V entonces:
)vmm(vmvm
212211 +=+
Durante este tipo de interacción, parte de la energía cinética se transforma en calor

22. Dos masas disparadas en sentidos contrarias, tal como se muestra en la figura,
chocan y quedan pegadas ¿Cuál será la velocidad del conjunto? si los datos son:
m
1
= 50g; V
1
= 100 m/s ; m
2
= 40g; V
2
=60 m/s
m
2
m
1
Solución:
Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento
Como las masas quedan pegadas se cumple, V
4
= V
3
= V, se tiene

(50g)(100m/s) - (40g)(60m/s) = (50g)V+ (40g)V

(5000 -2400 )g.m/s= 90g(V)
2600 g.m/s = 90g(V)
42312211
VmVmVmVm +=+
Finalmente la velocidad(V) que se obtiene es:
V = 28.89m/s
Ejemplo de choque perfectamente inelástico

23. COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa
para cada componente como:
m
1
v
1ix
+ m
2
v
2ix
= m
1
v
1fx
+ m
2
v
2fx
m
1
v
1iy
+ m
2
v
2iy
= m
1
v
1fy
+ m
2
v
2fy

24. COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
m
1
m
2
v
1i
v
2f
v
1f
Antes de la colisión Después de la
colisión
v
2i

25. COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
Consideraremos el caso en que m
2
está en reposo
inicialmente. Después del choque m
1
se mueve a un
ángulo q con la horizontal y m
2
se mueve a un ángulo f
con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan
como:
m
1
v
1i
= m
1
v
1f
cos q + m
2
v
2f
cos f
0 = m
1
v
1f
senq - m
2
v
2f
sen f

26. COLISIONES EN DOS DIMENSIONES
La ley de la conservación de la energía suministra otra
ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad
inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes
v
1f
,v
2f
, f, q.
2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm +=

27. Ejemplo.-Un auto de 1500Kg a 25 m/s hacia el este choca
con una camioneta de 2500Kg que se mueve hacia el
norte a 20m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y
dirección de la velocidad de los autos después del
choque, suponga un choque perfectamente inelástico.
25 m/s
20 m/s
v
f
Momento en x:
Antes Después
(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) v
f
cos(q)
Momento en y:
Antes Después
(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) v
f
sen(q)
Resolviendo
q = 53.1° v
f
= 15.6 m/s

28. EJERCICIOS
1.Un bloque de masa m
1
=1.6kg, moviéndose hacia la
derecha con una velocidad de 4m/s sobre un camino
horizontal sin fricción, choca contra un resorte sujeto a un
segundo bloque de masa m
2
=2,1kg que se mueve hacia la
izquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de 600N/m). En
el instante en que m
1
se mueve hacia la derecha con una
velocidad de 3m/s determine: a) la velocidad de m
2
b) la
distancia x que se comprimió el resorte

30. DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Las fuerzas internas se anulan…..

31. CENTRO DE MASA
M
m
m
m
ii
i
ii
CM
å
å
å
==
rr
r
m
1
m
2
m
n
m
i
r
1
r
2 r
i
r
n
r
CM
x
y
z
El centro de masa de un sistema de partículas es un
punto en el cual parecería estar concentrada toda la
masa del sistema.

32. MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
M
m
dt
d
m
Mdt
d
ii
CM
i
i
CM
CM
å
å
=
==
v
v
rr
v
1
åå ===
totiiiCM
mM ppvv

33. ACELERACIÓN DE CENTRO DE MASA
åå ===
ii
i
i
CM
CM m
Mdt
d
m
Mdt
d
a
vv
a
11
De la segunda ley de Newton:
åå ==
iiiCM
mM Faa
dt
d
M
tot
CMext
p
aF ==å
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de
masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el
sistema.

34. Ejemplo: Calcular el centro de masa de la barra.
Por ser un objeto simétrico z
cm
= 0 y
cm
= 0

Consideremos una densidad lineal de masa
Si dividimos la barra en elementos de longitud dx, entonces la masa de cada
elemento es

35. 5.Una bala de 0,15kg con rapidez de 200m/s penetra en una
pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m. La magnitud de la
fuerza media que detiene la bala es.

36. GRACIAS