Carga-axial.pdf

Introdução a carga axial.

1. Resistência dos Materiais II
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Capítulo 1
Carga axial

2. Resistência dos Materiais II
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1.1 -Revisão1PP
E
E A E EA

     
Da Lei de Hooke:
Definição de deformação e de tensão:L


Temos para o deslocamento:EA
PL

Com variações de carga, seção transversal
ou propriedades dos materiais,
i ii
ii
AE
LP

BarrahomogêneaBC,decomprimento
LeseçãouniformedeáreaA,
submetidaaumaforçaaxialcentradaPP
A


3. Resistência dos Materiais II
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Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento;
enegativos causarão compressão e contração.

4. Resistência dos Materiais II
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1.2-Problemas hipestáticos
Barra sob carga axial fixada em uma única extremidade:
Este problema é isostático, porque apenas as equações de equilíbrio
disponíveis são suficientes para determinar as reações de apoio.210: 0
xAF R P P

      21PPR
A 
Isostático

5. Resistência dos Materiais II
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Barra sob carga axial fixada nas
duas extremidades:
Neste caso o problema é
hiperestático, porque apenas as
equações de equilíbrio não
suficientes para determinar as
reações de apoio.0: 0
y A BF F F P      )1(PFF
BA 
Hiperestático

6. Resistência dos Materiais II
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É preciso criar uma equação adicional que
leva em conta a maneira como a estrutura se
deforma.
Este tipo de equação é chamado de equação
de compatibilidade (ou condição cinemática). 0
A 0
B 0
AB
Neste problema como as extremidades A e
B são fixas, tem-se que o deslocamento
relativo entre A e B deve ser nulo.
1.3-Equação de compatibilidade

7. Resistência dos Materiais II
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Equação de compatibilidade:
0
.
.
.
.



AE
LF
AE
LF
CBBACA 0
CBACAB  0
.
.
.
.

AE
LN
AE
LN
CBCBACAC
AB )2(
A
CB
AC
B F
L
L
F
Substituindo (2) em (1):P
L
L
FeP
L
L
F
AC
B
CB
A  )1(PFF
BA 

8. Resistência dos Materiais II
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Procedimento de análise:
1.Desenhar um diagrama de corpo livre da
estrutura, indicando todas as reações de
apoio e forças externas.
2.Aplicar as equações de equilíbrio
disponíveis.
3.Criar uma ou mais equações de
compatibilidadeadicionais.
4.Resolver o sistema de equações: equilíbrio +
compatibilidade.

9. Resistência dos Materiais II
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Exercício de fixação
1)A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determine as reações
desses apoios quando se aplica o carregamento indicado.
E
aço= 200 GPa
Respostas: R
A=323kN↑ e R
B=577kN↑

10. Resistência dos Materiais II
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Exemplo 1-
A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes
de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste.
Determine as reações em A eB’ se a haste for submetida a uma força axial
P= 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C. (E
aço= 200 GPa)

11. Resistência dos Materiais II
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12. Resistência dos Materiais II
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Centro de Engenharias  
  
2 2 3 2
6
1
1 400 800
1( ) 2,5 ( ) 200 10 ( / ) 400 800
400 800 3,93 10 N.mm (2)
A AC B CB
AB
AB
AB
AB
F L F L
mm
EA EA
EA F mm F mm
mm mm N mm F mm F mm
FF


  
  
     
  
A condição de compatibilidade para a haste é .mm 1
AB
As equações (1) e (2) nos dá F
A= 16,6 kNe F
B= 3,39 kN
O equilíbrio da haste exige:3
0; 20 10 0 (1)
x A BF F F N        3
20 10 (1)
ABFF   

13. Resistência dos Materiais II
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Exercício de fixação
2)Calcular as reações em A e B, na barra do exercício anterior, supondo que
existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o
carregamento é aplicado. Adotar
RespostasR
A=784,6kN ↑ R
B=115,4kN↑
E
aço= 200 GPa

14. Resistência dos Materiais II
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3)AstrêsbarrasdeaçoA-36mostradasabaixoestãoconectadaspor
pinosaumelementorígido.Seacargaaplicadaaoelementofor15kN,
determineaforçadesenvolvidaemcadabarra.CadaumadasbarrasAB
eEFtemáreadeseçãotransversalde25mm
2
,eabarraCDtemáreade
seçãotransversalde15mm
2
.
Respostas:F
A=9,52kN,F
C=3,46kNeF
E=2,02kN
Exercícios de fixação:
E
aço= 200 GPa

15. Resistência dos Materiais II
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Outro tipo de problema estaticamente indeterminado: qual a
deformação da barra e do tubo quando uma força P é aplicada por
meio de uma placa rígida?
1.4-Estruturas heterogêneas
quanto aos materiais12 (1)P P P

16. Resistência dos Materiais II
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No entanto, a geometria do problema nos mostra que as deformações
da barra e do tubo devem ser iguais.
Resolvendo o sistema temos o valor de P
1
e P
2. Em seguida calculamos a deformação
da barra e do tubo pelas equações de
deslocamento citadas acima.12 e 12
12
1 1 2 2
PP
=
LL
E A E A
  12
1 1 2 2
PP
(2)
E A E A
 1 1 2 2
12
1 1 2 2
PP
= e =
L E A L E A


??????
1=??????
2

17. Resistência dos Materiais II
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Opostedealumíniomostradoabaixoéreforçadocomumnúcleodelatão.
Seesteconjuntosuportarumacargadecompressãoaxialresultante
P=45kN,aplicadanatamparígida,determineatensãonormalmédiano
alumínioenolatão.Considere
Exemplo 3-70 105
al latE GPa e E GPa 0; 45 0 (1)

y al lat
F kN F F      
estaticamente indeterminado=
al lat al lat
FF
al al lat lat
LL
E A E A

�
????????????
70�??????�×50
2
−25
2
��
2
=
�
??????????????????
105�??????�×25
2
��
2

18. Resistência dos Materiais II
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Resolvendoosistema:
Atensãonormalmédianoalumínioenolatãoé:al latF 2F (2) alF 30kN latF 15kN

��=
�
��
??????
��
=
−30.000�
50
2
−25
2
????????????
2
=−5,09�????????????

���=
�
���
??????
���
=
−15.000�
25
2
????????????
2
=−7,64�????????????

19. Resistência dos Materiais II
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4)Acolunaéconstruídadeconcretodealtaresistênciaeseishastes
dereforçodeaçoA-36.Seelaforsubmetidaaumaforçaaxialde
30kip,determineatensãonormalmédianoconcretoeemcadahaste.
Cadaumatemdiâmetrode0,75in.
Resposta:
Exercícios de fixação:33
4,2(10 ) 29(10 )
conc açoE ksi e E ksi aço conc3,14 0,46ksi e ksi   

20. Resistência dos Materiais II
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5)Umabarratrimetálicaestácomprimidauniformementeporuma
forçaaxialP=2000lbaplicadaatravésdeumaplacarígidana
extremidade.Abarraconsistedeumnúcleocirculardeaçocircundado
portubosdelatãoedecobre.Onúcleodeaçotemdiâmetro0,4in,o
tubodelatãotemdiâmetroexternode0,6ineotubodecobretem
diâmetroexternode0,8in.Osmódulosdeelasticidadecorrespondentes
sãoE
aço=30x10
6
psi,E
latão=15x10
6
psieE
cobre=18x10
6
psi.Calculeas
tensõesnormaisdecompressãonoaço,latãoecobredevidoàforçaP.
Respostas:
Exercícios de fixação:aço
cob
lat
5,95
3,57
2,98
ksi
ksi
ksi







21. Resistência dos Materiais II
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A variação de temperatura provoca mudanças nas dimensões de uma
peça estrutural.
Quando a temperatura aumenta a estrutura sofre uma dilatação.
Quando a temperatura diminui a estrutura sofre uma contração.
1.5-Tensões térmicas

22. Resistência dos Materiais II
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Estudos experimentais demonstraram que a
variação de comprimento provocada pela
temperatura em uma barra de material
homogêneo é dada por:LT
T ..
= propriedade do material denominada coeficiente de dilatação
térmica dado em 1/
o
C
T = variação de temperatura em
o
C
L = comprimento inicial da barra

T= variação no comprimento da barra

23. Resistência dos Materiais II
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Se a estrutura for isostática, e a variação de comprimento provocada pela
temperatura for livre, não surgirão tensões causadas pela variação de
temperatura.

24. Resistência dos Materiais II
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Seaestruturaforhiperestática,avariaçãode
comprimentodabarraprovocadapelatemperatura
seráimpedidaesurgirãotensõestérmicas.
Estastensõestérmicaspodematingirvalores
elevados,causandodanosàestruturaoumesmo
provocandosuaruptura.

25. Resistência dos Materiais II
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Porestemotivo,emestruturasdegrandeporte,comopontes,sãofeitas
juntasdedilatação,parapermitiralivremovimentaçãotérmicada
estrutura.

26. Resistência dos Materiais II
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Cálculo do efeito da variação térmica em uma estrutura hiperestática
(variação de comprimento impedida).
Equação de equilíbrio:0: 0
y A BF R R   )1(
BARR
Para a resolução deste tipo de problema, é possível considerar a
reação do apoio como reação redundante e aplicar o princípio da
superposição

27. Resistência dos Materiais II
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Equação de compatibilidade:)2(0
AB LT
T ..
Variação de comprimento provocada pela
temperatura:
Variação de comprimento provocada
reação R
A:AE
LR
A
R
.
.


28. Resistência dos Materiais II
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Equação de compatibilidade:0
.
.
.. 
AE
LR
LT
A
AB 0 (2)
AB T R     BA RTAER  ... TAEN  ... TE
A
N
T  ..
Tensão térmica

29. Resistência dos Materiais II
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Abarradeaçomostradanafiguraestárestringidapara
caberexatamenteentreosdoissuportesfixosquando
T
1=30°C.SeatemperaturaaumentaratéT
2=60°C,
determinaratensãotérmicanormalmédiadesenvolvida
nabarra.UsarE=200GPae .
Exemplo 4-6
12 10 1/C

  

30. Resistência dos Materiais II
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Centro de Engenharias0: R
y A BF RR 0
AB T R T =60-30=30°C 2
10mm×10mm=100mmA

31. Resistência dos Materiais II
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Centro de Engenharias2
N7200
= 72
A100
N
MPa
mm


  =-72MPa  
6
12101/3010000,36
T CCmmmm

  
??????
??????=
??????×1000????????????
200×10
3
�/????????????
2
×100????????????
2
=0,00005??????
??????
��=0,36+0,00005??????=0
??????=−7200�=−7,2??????�

32. Resistência dos Materiais II
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6) A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a
temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e
CB da barra para a temperatura de -50°C.
Usar :E=200GPa e
Respostas:
??????
1=240�????????????�??????
2=120�????????????
Exercício de fixação:6
12 10 1/C

  

33. Resistência dos Materiais II
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7) Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na
figura. Se o conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos
quando a temperatura é T
1=70°F, determine a tensão normal média
em cada material quando a temperatura atingir T
2=110°F .
Respostas: 6 6 6
12,8 10 1/ 9,6 10 1/ 9,6 10 1/
alum bronze açoinoxF F F  
  
         3 3 3
10,6(10 ) E 15(10 ) E 28(10 )
alum bronze açoinoxE ksi ksi ksi   2,5 5,5 22,1
alum bronze açoinoxksi ksi ksi       

34. Resistência dos Materiais II
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8)Osdoissegmentosdehastecircular,umdealumínioeoutrode
cobre,estãopresosàsparedesrígidasdemodotalqueháumafolgade
0,2mmentreelesquandoT
1=15°C.Cadahastetemdiâmetrode
30mm,determineatensãonormalmédiaemcadahasteseT
2=150°C.
�
���????????????=126�????????????��
����=70�????????????
??????
���????????????=17??????10
−6
1/°��??????
�����?????�=24??????10
−6
1/°�
Resposta: 185,6MPa

35. Resistência dos Materiais II
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9)Umahastemaciça(1)dealumínio[E=70GPa;α=22,5x10
-6
/°C]está
conectadaaumahastedebronze[E=100GPa;α=16,9x10
-6
/°C]emum
flangeBconformemostraafigura.Ahastedealumínio(1)temdiâmetrode
40mmeahastedebronze(2)temdiâmetrode120mm.Asbarrasestão
livresdetensõesquandoaestruturaémontadaa30°C.Depoisdeacargade
300kNseraplicadaaoflangeB,atemperaturaéelevadaa45°C.Determine
astensõesnormaisnashasteseodeslocamentodoflangeB.
Resposta:σ
1=22,6MPa(C),σ
2=29MPa(C)eδ
B=0,037mm→

36. Resistência dos Materiais II
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10)UmestruturaconectadaporpinosconsisteemumabarrarígidaABC,
umahastemaciça(1)debronze[E=100GPa;α=16,9x10
-6
/°C]uma
hastemaciçadealumínio[E=70GPa;α=22,5x10-6/°C].Ahastede
bronze(1)temdiâmetrode24mmeahastedealumínio(2)tem
diâmetrode16mm.Asbarrasestãolivresdetensãoquandoaestruturaé
montadaa25°C.Depoisdamontagem,atemperaturadabarra(2)é
reduzidaem40°,enquantoatemperaturadahaste(1)permanece
constantea25°.Determineastensõesnormaisemambasashastespara
essacondição.Resposta:σ
1=33,2MPa(C),σ
2=42,7MPa(T)

37. Resistência dos Materiais II
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Quando um corpo deformável é alongado em
uma direção, ele sofre uma contração na
direção transversal.
1.6 -Coeficiente de Poissonallongitudin
ltransversa




38. Resistência dos Materiais II
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Até agora, nosso estudo se limitou à análise de barras delgadas
submetidas a cargas axiais, isto é, dirigidas ao longo de um eixo
somente.
1.7-Estados Múltiplos de Carregamento –
Generalização da Lei de Hooke
Tensão normal em cubo elementar Tensão normal em um elemento plano

39. Resistência dos Materiais II
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Passamosagoraaconsiderarelementosestruturaissujeitosàaçãode
carregamentosqueatuamnasdireçõesdostrêseixoscoordenados,
produzindotensõesnormais .
TemosentãoumESTADOMÚLTIPLODECARREGAMENTO
OUCARREGAMENTOMULTIAXIAL.
Cubo elementar original de arestas de Cubo elementar deformado
comprimento unitário,
x y ze  

40. Resistência dos Materiais II
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Paraescrevermosasexpressõesdascomponentesdedeformaçãoemfunção
dastensões,vamosconsiderarseparadamenteoefeitoprovocadoporcada
componentedetensãoesuperporosresultados(princípiodasuperposição).
Considerandoemprimeirolugaratensão :
causaumadeformaçãoespecíficadevalor nadireçãodoeixoxede
nadireçãoyez.y
y
y
z
z
x
zx
x
y
z
x
E
E
E
E E
E E
EE























 /
xE
GeneralizaçãodaLeideHookepara
carregamentomultiaxial
Lembrando:
Válidoparaoregimeelásticoe
deformaçõespequenas!
Deformaçãopositiva–expansão
Deformaçãonegativa-contração/
xE x

41. Resistência dos Materiais II
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11)Umcírculodediâmetrod=230mmédesenhadoemumaplacade
alumíniolivredetensõesdeespessurat=20mm.Forçasatuandono
planodaplacaposteriormenteprovocamtensõesnormais
e .ParaE=70GPae??????=0,33,determineavariação(a)do
comprimentododiâmetroAB,(b)docomprimentododiâmetroCD,(c)
daespessuradaplacae(d)adilataçãovolumétricaespecífica.
Respostas:
(a)δ
AB=122,6μm(b)δ
CD=368μm(c)δ
t=-21,2μm(d)0,00107
Exercício de fixação:84
xMPa 140
zMPa

42. Resistência dos Materiais II
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Volume :
Aplicando a Lei de HookeGeneralizada: 
 
zyx
E
e 




21   
EE
e
zyxzyx  



2
1.8-Dilatação volumétrica(1 )(1 )(1 )
x y z      
Mudança de volume: 1 (1 )(1 )(1 ) 1
x y ze          x y ze    
As deformações específicas são muito menores
que a unidade e os produtos entre elas podem
ser desprezados.
DilataçãovolumétricaespecíficaV
e
V



43. Resistência dos Materiais II
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Centro de Engenhariasp
zyx 
Pressão hidrostática uniforme:p
E
e
)21(3

Módulo de elasticidade de volume:)21(3

E
k k
p
e p
x p
z p
y

44. Resistência dos Materiais II
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12)Umblococilíndricodelatão,com160mmdealturae120mmde
diâmetroédeixadoafundarnumoceanoatéaprofundidadeondeapressão
éde75MPa(cercade7500mabaixodasuperfície).Sabendo-seque
E=105GPaeν=0,35,determinar:(a)variaçãodoalturadobloco(b)sua
variaçãododiâmetro(c)suadilataçãovolumétricaespecífica(d)variação
dovolume
Respostas:(a)δ
h=-34,2μm(b)δ
d=-25,7μm(c)e=-6,42(10
-4
)(d)ΔV=-
1161mm
3
Exercício de fixação:

45. Resistência dos Materiais II
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13)Afiguramostraumblocodeaçosubmetidoàaçãodepressãouniforme
emtodasasfaces.Mediu-seavariaçãodocomprimentoAB,quefoide-
24μm.Determinar:(a)variaçãodocomprimentodasoutrasduasarestas(b)
apressãopaplicadaàsfacesdobloco.AdotarE=200GPaeν=0,29.
Respostas:(a)δ
y=-12μm(b)δ
z=-18μm(c)p=-142,9MPa
Exercício de fixação:

46. Resistência dos Materiais II
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14)Umblocofeitodeligademagnésio(E=45GPaeν=0,35).Sabendoque
σ
x=-180MPa,determinar:(a)σ
yparaqualavariaçãodoalturadoblocoé
zero(b)acorrespondentevariaçãodaáreadafaceABCD(c)a
correspondentevariaçãodovolume.
Respostas:(a)σ
y=-63MPa(b)-4,05mm
2
(c)-162mm
3
Exercício de fixação:

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Atéagora,seadmitiuqueatensãomédia,deacordocomovalor
determinadopelaexpressão,=P/Aéatensãocríticaousignificativa.
1.8-Concentração de tensões
??????
�á??????=????????????
���
Trajetóriasdetensõesedistribuiçõesde
tensõesnormaisparabarrasplanascom:
(a) entalhes
(b)furoscentralizados
(c) fileteslaterais

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Entalhes

49. Resistência dos Materiais II
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Furos centralizados

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Fileteslaterais

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Exemplo 5-
O componente de máquina mostrado abaixo tem 20mm de espessura e é
feito de bronze C86100. Determine a carga máxima que pode ser aplicada
com segurança se for especificado um fator de segurança de 2,5 em relação
à falha por escoamento.Dados: (
lim)
bronze=331MPa.

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A tensão limite do bronze é 331MPa. A tensão admissível, com base no
fator de segurança de 2,5 é 331/2,5=132,4MPa. A tensão máxima no
componente de máquina ocorrerá no filete entre as duas seções ou no
contorno do orifício circular.
No filete:
�
�
=
90????????????
60????????????
=1,5
??????
�
=
15????????????
60????????????
=0,25
??????≅1,73
??????
�á??????=????????????
���
??????
�á??????=??????
??????
??????�
??????=
??????
�á????????????�
??????
??????=
132,4�????????????×20????????????×60????????????
1,73
??????=91.838�=91,8??????�

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No orifício:
�
�
=
27????????????
90????????????
=0,3 ??????≅2,36
??????
�á??????=????????????
���
??????
�á??????=??????
??????
??????(�−�)
??????=
??????
�á????????????(�−�)
??????
??????=
132,4�????????????×20????????????(90????????????−27????????????)
2,36
??????=70.688�=70,7??????�
??????
�á??????=70,7??????�

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15)Ocomponentedemáquinamostradonafiguratem12mmde
espessuraeéfeitodeaço.Osorifíciosestãocentradosnabarra.Determine
amáximacargaPquepodeseraplicadocomsegurançaseforespecificado
umcoeficientedesegurançade3,0emrelaçãoàfalhaporescoamento.
Dados:(
lim)
aço=910MPa
Resposta:103,3kN
Exercício de fixação:

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16)Ocomponentedemáquinamostradonafiguratem8mmdeespessura
eéfeitodeaço.DetermineamáximacargaPquepodeseraplicadocom
segurançaseforespecificadoumcoeficientedesegurançade3,0em
relaçãoàfalhaporescoamento.Dados:(
lim)
aço=427MPa
Resposta:30kN
Exercício de fixação: