Centro de-gravedad-ejercicios-resueltos

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1
EJERCICIOS RESUELTOS
CENTRO DE GRAVEDAD

1. La figura mostrada es una lámina de
acero de densidad uniforme, determinar
las coordenadas del centro de gravedad.








a)  4,67; 4,67 b)  6, 33; 4,67
c)  4,67; 4,67 d)  6,67; 4,67
d)  6,67; 3,67

Solución:
Dividimos el gráfico en figuras
conocidas:









Elaborando una tabla:

Fig. i
x i
y i
A ii
xA ii
yA
1 6 3 72 432 216
2 8 8 36 288 288
108 720 504
c
720
x 6, 67
108

c
504
y 4, 67
108


  6,67; 4,67
Rpta.
2. Hallar las coordenadas del centro de
gravedad de la siguiente figura
homogénea.







a)  6, 38; 1,13 b)  6, 38; 2,13
c)  4, 38; 0,13 d)  6, 38; 0,13
e)  5, 38; 0,18

Solución:
Asignamos números a los componentes:









Elaborando una tabla:
Fig. i
x i
y i
A ii
xA ii
yA
1 16
3

2 24 128 32
3

2 2 8
3

–3 6 –8
21 134 8
3
c
134
x 6, 38
21

10 cm 5 cm 10 cm X Y 1 2 6 cm 12 cm 2 2 2 3 5 X Y 2 2 2 3 5 1 2 10 cm

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2 c
8
3
y 0,13
21

  6, 38; 0,13
Rpta.
3. Hallar la suma de las coordenadas
del centro de gravedad de la varilla
doblada en U, que se muestra en la
figura:









a) 4 b) 5 c) 4,5
d) 6 e) 4,8

Solución:











Elaborando una tabla:
Fig. i
x i
y i
L ii
xL ii
yL
1 0 2,5 5 0 12,5
2 2,5 0 5 12,5 0
3 5 2,5 5 25 12,5
15 37,5 37,5 c
37, 5 375 5
x
15 150 2
  
c
37, 5 375 5
y
15 150 2
  
cc
xy 5
Rpta.





4. Una varilla de 20 cm de largo se
dobla en dos partes iguales formando un
ángulo de 60°. ¿A qué distancia del
vértice “O” se encuentra el centro de
gravedad de la varilla doblada?
a) 7
3
2
b) 5
3
3
c) 3
3
2
d) 7
3
8
e) 5
3
2

Solución:
Ubicamos de manera conveniente en un
eje de coordenadas:









Construimos nuestra tabla:
Fig. i
x i
y i
L ii
xL ii
yL
1 5
2 5
3
3

10 25 25 3
2 5 0 10 50 0
20 75 25 3
Luego: c
75 15
x
20 4
 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 1 2 3 X Y 60º O O 30º 10 cm cc
(x , y ) Y X d 1 2 5 5 5
2 5
3
2

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3 c
25 5
y 3 3
20 4


Por Pitágoras:





22
215 5
d3
44
   
   
   
2225 75 300
d
16 16 16
  
d 5
3
2
Rpta.

5. Hallar la coordenada yC del C.G. de la
placa mostrada.







a) 2a
3 b) 3a
2 c) 2a

d) 5a
4 e) 3a


Solución:
Dividimos la placa en formas conocidas
(semicírculos).









Elaboremos la tabla de valores:

i
x i
y i
A ii
xA ii
yA
1 0 4a
3 2
a
2
 0 32
a
3
2 a
2
 2a
3 2
a
8

 3
a
16
 3
a
12

3 a
2 2a
3 2
a
8

 3
a
16

 3
a
12

2
a
4
 0 31
a
2
Luego: 3
c
2
1
a
2
y
a
4


 c
y 2a

 Rpta.

6. Determinar la posición del C.G. de un
carril de vía férrea curvada según se
muestra en la figura. Si se sabe que el
radio de curvatura es igual a 154 m.
Considere: 22
7
 .
a) 150 m
b) 145 m
c) 147 m
d) 152 m
e) 125 m

Solución:







Rsen
OG


d c
x C.G. c
y O a
2 a
2 60º 154 m 154 m O A B 30º 154 m 154 m O A B G X Y 1 2 3 4a
3 11
(x , y ) cc
(x , y ) 2a 33
(x , y ) 22
(x , y ) 4a
3

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4 
154 sen
6
OG
6


1
154( )
6(7)(77)2
OG
1 22 22
()
67

OG 147 m
Rpta.
7. Hallar el centro de gravedad del
alambre, en función de “R”, con
respecto al sistema de coordenadas que
se indica.










a) 1
R 1,
2


 b) 1
R 2,



 c) 1
R 1,





d) 2
R 1,



 e) 4
R 1,
3




Solución:









Completamos nuestra tabla:
i
x i
y i
L ii
xL ii
yL
1 R 2R
 R 2
R 2
2R
2 3R
2 R
 R
2
 2
3R
4
 2
R
2
3 R
2 R

 R
2
 2
R
4
 2
R
2

2R 2
2R 2
2R
De donde: 2
c
2R
xR
2R



2
c
2R R
y
2R


Finalmente: C.G. 1
R 1,




Rpta.

8. Determinar la posición del centro de
gravedad de la placa que se muestra:












a) (7,58; 10,48) b) (7,50; 11,53)
c) (7,25; 11,06) d) (6,34; 10,65)
e) (7,31; 11,61)

Solución:
Dividimos la figura en formas
conocidas:



R
2 R
2 R X Y R/2 R X Y R/2 2r
 2R
 1 2 3 2r
 O 20 cm 5 cm 8 cm 12 cm 14 cm 22 cm 20 cm 5 cm 12 cm 22 cm Y

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5










Las áreas parciales son rectángulos, sus
centros de gravedad son las
intersecciones de sus diagonales.

i
x i
y i
A ii
xA ii
yA
1 10 19,5 100 1000 1950
2 4 12,5 72 288 900
3 7 4 112 784 448
284 2072 3298 c
2072
x 7, 30
284

c
3298
y 11, 61
284

Finalmente: C.G. (7,31; 11,61)
Rpta.

9. Sobre una esfera maciza de radio “R”
se ha colocado un cono cuya base
circular tiene su radio igual al de la
esfera. ¿Qué altura debe tener dicho
cono para que el C.G. del sistema se
encuentre en el punto de contacto?
a) 3R
b) 4R
c) 2R
d) R
e) 5R

Solución:
Sea el origen de coordenadas el centro
de gravedad (punto de contacto). cc
C.G. (x , y ) (0, 0)


Cálculo de Volúmenes: 2
cono
Rh
V
3


3
esfera
4R
V
3






Fig. i
y i
V ii
yV
1 h
4 2
Rh
3
 22
Rh
12

2 –R 3
4R
3
 4
4R
3


La coordenada c
y debe ser cero: 2 2 4
c
23
R h 4 R
12 3
y0
R h 4 R
33





2 2 4
R h 4 R
12 3


2
2h
4R
4

 22
h 16R h 4 R
Rpta.


10. Calcular el ángulo de equ ilibrio
para la plancha metálica semicircular
mostrada.
a) 2
arc tan
3



b) 4
arc tan
3



c) 5
arc tan
3



d) 4
arc cot
3



e) arc tan 2
R R h
4 X Y R C.G. h  R

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Solución:
Por condición de equilibrio de un cuerpo
suspendido, la vertical que contiene la
cuerda debe pasar por su C.G. Además
de ubicarse sobre su eje de simetría.
Se sabe que: 4R
y
3

En el triángulo rectángulo: 4R
43
tan
R3




 4
arc tan
3



Rpta.



11. Un alambre rígido homogéneo de 25
cm de longitud es doblado como se
indica en la figura. ¿Cuánto debe medir
“x” para mantener equilibrio?




a) 10 cm b) 15 cm c) 10 cm
d) 12 cm e) 16 cm

Solución:
D.C.L. de la barra







Como el alambre es homogéneo, su peso
es proporcional a su longitud: 0
M 0 :
12
W (20 x) W (x 10) 0   
5k(20 x) 20k(x 10)  
x 12 cm
Rpta.

12. Determinar la coordenada c
y del
centro de gravedad de la figura. R 4 cm
.
a) R
4

b) R
5

c) 2R
5

d) R
6

e) 3R
8





Solución:
Ubicamos el origen de coordenadas en
el centro del círculo mayor (Eje de
simetría – eje Y).












Elaborando el cuadro respectivo:
Fig. i
y i
A ii
yA
1 0 2
R 0
2 R
2 2
R
4

 3
R
8


23
R
4
 3
R
8

 O 5 B A C 2
W x R 20 x x 10 10 1
W R R X Y 1 2 cc
(x , y ) O 5 cm x

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7 3
c
2
R
8
y
3
R
4




 c
y R

6
 Rpta.


















13. Encuentre las coordenadas del
C.G. de la placa metálica de espesor
uniforme. Considere π = 3,1.












 Hallando las coordenadas del centro
de gravedad y las áreas respectivas.
Área X Y
900 cm
2
15 15
36π cm
2
24 10

Para la absisa  
1 1 2 2
12
A x A x 900 15 36 24
x
A A 900 36


 


x 13,7 cm

 Ahora para la ordenada.  
1 1 2 2
12
A y A y 900 15 36 10
y
A A 900 36


 


y 15,7 cm

 Entonces el centro de gravedad es:
C.G. = (13,7; 15,7)















6 cm X(cm) Y(cm) 30 cm 30 cm 10 cm