Centro de gravedad na

Centro de gravedad

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
I. U. POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
MATERIA: MECÁNICA APLICADA
SECCIÓN “S”
ESCUELA 45















Profesor: Estudiante:
Alcides Cádiz Antuare, Norbis
C.I.: 12.016.179


Puerto Ordaz, 03 de Agosto de 2018

2. INDICE PÁGS
Introducción
Centro de Gravedad ………………………………………………….. 4
Características del centro de gravedad.……………………….. 4
Ecuación para determinar el centro de la gravedad……….……… 6
Tabla de centroides de figuras geométricas………………………. 10
Procedimiento para determinar el centro de gravedad de un
cuerpo bidimensional………………………………………………….
12
Centro de gravedad en figuras tridimensionales…………………. 16
Conclusión
Glosario
Bibliografía

3. INTRODUCCION


Todo cuerpo está constituido por pequeñas partículas, cada una de ellas sujetas a
la acción de la gravedad, luego tienen su propio peso; cada peso es una fuerza
dirigida al centro de la tierra y al conjunto de todas esas fuerzas se pueden
considerar como fuerzas paralelas que admiten una resultante.

Al centro de gravedad se le denomina centro del sistema de fuerzas paralelas
verticales que representan los pesos de las distintas partículas del cuerpo y el
peso del cuerpo es la resultante de este sistema de fuerzas paralelas elementales.
En el desarrollo de la investigación se ahondará más detalladamente diversos
puntos relacionados al centro de gravedad.

4. CENTRO DE GRAVEDA D

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas
las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un
cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante
aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de
todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el
centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la
gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo
producen un momento resultante nulo. Así mismo, el centro de gravedad de un
cuerpo va a depender de la forma del cuerpo y de cómo está distribuida su masa.



Características del centro de gravedad
a. El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera del cuerpo



CENTRO DE GRAVEDAD
DENTRO DEL CUERPO

5. b. El centro de gravedad de un cuerpo quedará perfectamente determinado
con respecto a un eje de coordenadas por una abscisa (X) y una ordenada
(Y).

c. El centro de gravedad no varía con la posición, pero si depende de su
forma geométrica.

d. Si un cuerpo presentase un eje de simetría el centro de gravedad se
encontrara en un punto contenido en dicho eje.

e. Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido
contrario y en el centro de gravedad dicho cuerpo permanecerá en
equilibrio, independiente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al
centro de gravedad.

Por ejemplo:

 En el caso de un cuerpo simétrico como la pelota de tenis, ese punto
se encuentra en el centro geométrico del cuerpo.








CENTRO DE GRAV EDAD
FUERA DEL CUERPO
CG

6.  Pero en el caso de un cuerpo irregular, como un martillo, tiene más
peso en uno de sus extremos y el centro de gravedad está cargado
hacia dicho extremo.

Cuando los cuerpos presenten distribución de masa uniforme y simetría,
definiremos al centro de gravedad, centro geométrico y centro de masa como
aquellos puntos físicamente iguales.
Realmente el peso de un cuerpo se aplica en el centro de gravedad y no en el
centro de masa.
El centro de gravedad como punto de aplicación del peso, tiene sentido para
cuerpos pequeños (cuyas dimensiones son pequeñas en comparación al radio de
la tierra) y cuando las fuerzas de gravedad puedan considerarse paralelas.

ECUACIÓN PARA DETERMINAR EL CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad es el punto en el que el peso de un objeto está
adecuadamente distribuido y donde se supone que actúa la fuerza de gravedad.
Este es el punto en donde el objeto se encuentra en perfecto equilibro, sin
importar cuánto gire alrededor de él. Si quieres calcular el centro de gravedad de
un objeto, se debe:
1. Hallar el peso:
 Se calcula el peso del objeto: Supongamos que se quiere calcular
el peso de un subibaja que posee una masa de aproximadamente
100 kg. Al ser un objeto simétrico, si no hay nadie subido en él, su
centro de gravedad se encontrará exactamente en su centro. No
obstante, si hay personas de diferentes masas subidas, entonces el
problema se complicará un poco.


CG

7.  Calcula el peso de los objetos adicionales: Supongamos que el
subibaja posee dos personas subidas en él, se deberá hallar el peso
individual de estos últimos. La primera persona tiene una masa de 20 kg
y la segunda, 30 kg.






2. Determinar el punto de referencia:
 Determina un punto de referencia: El punto de referencia (pr) es un
punto de partida arbitrario que se puede ubicar en un extremo del
subibaja. Supongamos que el subibaja mide 5 m de largo y que el punto
de referencia se ubica en el lado izquierdo, cerca de la primera persona.







100 Kg 20 Kg 30 Kg
100 Kg 20 Kg 30 Kg
pr
6 m
100 Kg

8.  Mide la distancia del punto de referencia desde el centro del objeto
principal, así como desde los dos pesos adicionales. Supongamos
que cada persona está sentado a 1 m de distancia de cada extremo del
subibaja. El centro se encontrará en el punto medio de este o a 3 m, que
es la mitad de 6 m. A continuación, estas son las distancias desde el
centro del objeto principal y los dos pesos adicionales desde el punto de
referencia:
 Centro del subibaja = 3 m de distancia del punto de referencia.
 Persona 1 = 1 m de distancia del punto de referencia.
 Persona 2 = 5 m de distancia del punto de referencia.













3. Hallar el centro de gravedad:
 Multiplica la distancia de cada objeto desde el punto de referencia
por su peso para así hallar su momento. De esta manera, obtendrás el
momento de cada objeto. A continuación, esta es la forma de multiplicar
la distancia de cada objeto desde el punto de referencia por su peso:
 El subibaja: 100 kg x 3 m = 300 kg/m
 Persona 1 = 20 kg x 1 m = 20 kg/m
 Persona 2 = 30 kg x 5 m = 150 kg/m

 Suma los tres momentos: Realiza una suma simple: 300 kg/m + 20
kg/m + 150 kg/m = 470 kg/m. Por lo tanto, el momento total es de 470
kg/m.

 Suma los pesos de todos los objetos. Halla la suma de los pesos del
subibaja, la primera y segunda persona. Para ello, suma los pesos: 100
kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg.

100 Kg 20 Kg 30 Kg
pr
1 m
3 m
5 m

9.  Divide el momento total entre el peso total. De esta manera, hallarás
la distancia desde el punto de referencia hacia el centro de gravedad del
objeto. Para ello, simplemente divide 470 kg/m entre 150 kg.
470kg/m  150 kg = 3,13 m

El centro de gravedad es 3,13 m de distancia desde el centro de
referencia o 3,13 m desde el extremo del lado izquierdo del subibaja, el
cual es el punto donde se ubicó el punto de referencia.






















CG
3,13 m

10. TABLA DE CENTROIDES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

EJE X EJE Y
Ӯ = h/3A = (b * h)/2
CENTROIDES
Ӯ = h/2
FIGURA GEOMETRICA
FORMULA DE AREA DE
LA FIGURA
A = b * h
y
b
2
h
2
x
b
h
RECTANGULO
y
b
3
h
3
x
b
h
TRIANGULO EJE X EJE Y
A = (b * h)/2 Ӯ = 2*h/3
FIGURA GEOMETRICA
FORMULA DE AREA DE
LA FIGURA
CENTROIDES
A = (b * h)/2 Ӯ = 2*h/3
y
b
3
2h
3
x
b
h
TRIANGULO
y
2*b
3
2h
3
x
b
h
TRIANGULO

11. EJE X EJE Y
A = ∏ * r^2 Ӯ = r
FIGURA GEOMETRICA
FORMULA DE AREA DE
LA FIGURA
CENTROIDES
A = (b * h)/2 Ӯ = h/3
y
2*b
3
h
3
x
b
h
TRIANGULO
y
x
h
CIRCULO EJE X EJE Y
A = (∏ * r^2)/4 Ӯ = 4r/3∏
A = (∏ * r^2)/2 Ӯ = 4r/3∏
FORMULA DE AREA
DE LA FIGURA
CENTROIDES
FIGURA GEOMETRICA
4r*3∏
4r*3∏
y
x
h
CUARTO DE CIRCULO
y
x
h
SEMICIRCULO
b
4r*3∏

12. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CENTRO DE
GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Dada la siguiente figura, determinar el centro de gravedad:



0







1.- Se deben determinar cada una de las figuras que componen la figura total, se
enumeran las mismas y se les señala el centro de gravedad de cada una
basándonos en la tabla de centroides.











O
X
Y
4 m
2 m
3 m
3 m 6 m 3 m
O
X
Y
4 m
2 m
3 m
3 m 6 m 3 m
1

2
1

3
1

G1

G2

G3

13. 2.- Para calcular el centro de la gravedad, debemos determinar las coordenadas
Xg e Yg del centroide de cada figura. Antes de calcular el centro de gravedad
debemos señalar las distancias X1, X2 y X3 de los respectivos centroides de
gravedad.









3.- Se procede a calcular las áreas
Semicírculo:











X1 = 5m
O
X
Y
4 m
2 m
3 m
3 m 6 m 3 m
1
2
1

3
1

G1

G2
G3

X2 = 6m
X3 = 9m + b/3 = 10m
A1 =
∏ * r
2

2
A1 =
3,1416 * (2 m)
2

2
A1 =
3,1416 * 4 m
2

2
A1 =
12,57 m
2

2
A1 = 6,29 m
2

14. Rectángulo:




Triángulo:






4.- Una vez calculadas las áreas se procede a calcular el valor de Xg :
Xg:  (A * X)
 A











A2 = b * h
A2 =
6 m * 3 m
A2= 18 m
2
A3 =
b * h
2
A3 =
3 m * 3 m
2
A3 =
9 m
2

2
A3 = 4,5 m
2

Xg =
(A1 * X1) + (A2 * X2) + (A3 * X3)
A1 + A2 + A3

Xg =
(6,29 m
2
* 5 m) + (18 m
2
* 6 m) + (4,5 m
2
* 10 m)
6,29 m
2
+ 18 m
2
+ 4,5 m
2

Xg =
31,45 m
3
+ 108 m
3
+ 45 m
3

28,79 m
2



Xg =
184,45 m
3

28,79 m
2



Xg =
6,41 m

15. 5.- Luego se calcula el valor de Yg. Para calcularla se debe señalar las distancias
Y1, Y2 y Y3 de los respectivos centroides de gravedad.
Yg:  (A * Y)
 A





















6.- Luego de tener las coordenadas Xg y Yg se sustituyen los valores en la fórmula
de centro de gravedad.
G (Xg , Yg) = (6,41 ; 1,94) m
Yg =
(A1 * Y1) + (A2 * Y2) + (A3 * Y3)
A1 + A2 + A3

Yg =
(6,29 m
2
* 3,85 m) + (18 m
2
* 1,5 m) + (4,5 m
2
* 1 m)
6,29 m
2
+ 18 m
2
+ 4,5 m
2

Yg =
24,22 m
3
+ 27 m
3
+ 4,5 m
3

28,79 m
2



Yg =
55,72 m
3

28,79 m
2



Yg =
1,94 m



O
X
Y
4 m
2 m
3 m
3 m 6 m 3 m
1
2
1

3
1

G1

G2

G3

(4*r) / (3*∏) = 0,85 m
Y1 = 3,85m
Y2 = 1,5m
Y3 = 1 m

16. CENTRO DE GRAVEDAD EN FIGURAS TRIDIMENSIONALES

Dada la siguiente figura determinar el centro de gravedad



O
X
Y
4 m
2 m
3 m
3 m 6 m 3 m
1
2
1

3
1

G1

G2

G3

G

17. Para calcular el centro de gravedad de la figura anterior se deben seguir los
siguientes pasos:
1.- Se deben determinar cada una de las figuras que componen la figura
total, se enumeran las mismas.


2.- Luego llenamos la siguiente tabla:
N° Figura
Volumen
(in
3
)
(in) Y (in) Z (in) (in
4
) YV (in
4
) ZV (in
4
)
1 Paralelepípedo 21

2 0,375 3,5 42 7,875 7,35
2 Medio cilindro 4,71

2 0,375 7,848 9,42 1,766 36,964
3 Cilindro -3,681

2 0,375 7 in -7,362 -1,38 -25,767
4 Paralelepípedo 8

0,5 1,75 2 in 4 14 16
5 Medio cilindro -2,454 0,5 2,22 2 in -1,227 -5,447 -4,908
V= 25,575

 46,831 16,814 95,789
1
2
3

4
5

18. Para el llenado de la tabla debemos:
1. Calcular el volumen de cada una de las figuras:
1.- Paralelepípedo: V = b * h * l
V = 7 in * 0,75 in * 4 in
V = 21 in
3

2.- Medio Cilindro: V =




3.- Cilindro:


Nota: el resultado es negativo porque es un espacio que esta hueco (vacío)

4.- Paralelepípedo: V = b * h * l
V = 4 in * 1 in * 2 in
V = 8 in
3




∏ * r
2
* h
2
3,1416 * (2in)
2
* 0,75 in
2

V =
9,42 in
3
2

V =
4,71 in
3


V =
∏ * r
2
* h

V =
3,1416 * (1,25 in)
2
* 0,75 in

V =
3,1416 * 1,56 in
2
* 0,75 in

V =
-3,681 in

V =

19. 5.- Medio Cilindro:




2.- Luego debemos calcular los valores de de cada figura
1.- Paralelepípedo:
= l/2 l: profundidad
= 4 in / 2
= 2 in



Y = 0,375 in



Z = 3,5 in

2.- Medio Cilindro
= l/2
= 4 in / 2
= 2 in
∏ * r
2
* h
2
3,1416 * (1,25 in)
2
* 1 in
2

V =

V =

V =
3,1416 * (1,56 in)
2
* 1 in
2

V =
4,90 in
3
2

V = -2,45 in
3

Y = h/2
Y = 0,75 in/2
Z = b/2
Z = 7 in/2

20. Y = 0,375 in



Z = 7,848 in

3.- Cilindro
= l/2
= 4 in / 2
= 2 in



Y = 0,375 in


Z = 7 in
4.- Paralelepípedo
= l/2
= 1 in / 2
= 0,5 in
Z = 7 + [(4r) / (3∏)]
Z = 7 + [(4 * 2 in) / (3 * 3,1416)]
Y = h/2
Y = 0,75 in/2
Y = h/2
Y = 0,75 in/2
Z = b

21. Y = 1,75 in



Z = 2 in

5.- Medio Cilindro:
= l/2
= 1 in / 2
= 0,5 in



Y = 2,22 in



Z = 2 in



Y = (h/2) + 0,75 in
Y = (2 in/2) + 0.75 in
Z = b/2
Z = 4 in/2
Z = b/2
Z = 4 in/2
Y = 2,75 in - [(4r) / (3∏)]
Y = 2,75 in - [(4 * 1,25 in) / (3 * 3,1416)]

22. 3.- Luego se realizan los productos del volumen por las coordenadas de
cada figura:
1.- Paralelepípedo:
V: 2 in * 21 in
3
= 42 in
4
YV: 0,375 in * 21 in
3
= 7,875 in
4
ZV: 3,5 in * 21 in
3
= 73,5 in
4


2.- Semicirculo:
V: 2 in * 4,71 in
3
= 9,42 in
4
YV: 0,375 in * 4,71 in
3
= 1,766 in
4
ZV: 7,848 in * 4,71 in
3
= 36,964 in
4

3.- Circulo:
V: 2 in * -3,681 in
3
= -7,362 in
4
YV: 0,375 in * -3,681 in
3
= -1,38in
4
ZV: 7 in * -3,681 in
3
= -25,767in
4

4.- Paralelepípedo:
V: 0,5 in * 8 in
3
= 4 in
4
YV: 1,75 in * 8 in
3
= 14 in
4
ZV: 2 in * 8 in
3
= 16 in
4

4.- Semicirculo:
V: 0,5 in * -2,454 in
3
= -1,227 in
4
YV: 2,22 in * -2,454 in
3
= -5,447 in
4
ZV: 2 in * -2,454 in
3
= -4,908 in
4

23. 4.- Luego se realizan las sumatorias de los valores de V, YV y ZV,
respectivamente:
 V: 42 in
4
+ 9,42 in
4
+ (-7,362 in
4
)

+ 4 in
4
+ (-1,227 in
4
)= 46,831 in
4
 YV: 7,875 in
4
+ 1,766 in
4
+ (-1,38 in
4
)+ 14 in
4
+ (-5,447 in
4
)

= 16,814 in
4
 ZV: 73,5 in
4
+ 36,964 in
4
+ (-25,767in
4
) + 16 in
4
+ (-4,908 in
4
)

= 95,789 in
4

3.- Luego de llenada la tabla se calculan los centroides de , Y y Z
=  iV
V

= 46,831 in
4

27,575 in
3

= 1,698 in


Y =  YiV
V

Y = 16,814 in
4

27,575 in
3


Y = 0,609 in

Z =  ZiV
V

Z = 95,789 in
4

27,575 in
3


Z = 3,473 in

24. CONCLUSION

El conocimiento de la posición de los centros de gravedad es de suma importancia
para la resolución de problemas de equilibrio porque son los puntos de aplicación
de los vectores de los respectivos pesos.

En resumen el centro de la gravedad es el punto en el que se encuentran
aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto en el que
actúa el peso.

Cabe resaltar que el centro de gravedad y centro de masa son terminos totalmente
distintos, a pesar de que se haya en algunos casos la coincidencia de encontrarse
en el mismo punto

25. BIBLIOGRAFIA




Información consultada de internet:
https://www.youtube.com/watch?v=S_TcsAnszXQ
https://es.slideshare.net/ulrichvantassel/centroides
https://www.youtube.com/watch?v=Qao_lqNkyUI
https://www.youtube.com/watch?v=YOlkFeP__bY
https://www.youtube.com/watch?v=i8BrygLq3eo

26. GLOSARIO

 Cuerpo geométrico:

Objeto que posee las tres dimensiones principales, longitud, anchura y altura.

 Centroides:
El centroides de un objeto o figura puede definirse como un punto
fijo del grupo de isometría de dicha figura.

 Figuras bidimensionales:

Un cuerpo que se proyecta a lo largo y a lo ancho, por ejemplo, cuenta con
dos dimensiones.

 Figuras tridimensionales:

Un cuerpo que se proyecta a lo largo a lo ancho y posee también
profundidad, por ejemplo, cuenta con tres dimensiones.

 Punto de referencia:

En un sistema, es posible encontrarse en diferentes posiciones: el punto de
referencia es la perspectiva que se tiene desde una posición X.

 Simetría:

Es la correspondencia exacta en tamaño, forma y posición de las partes de
un todo.

 Sistema de Coordenadas:

27. Conjunto de los valores que permiten identificar de manera inequívoca la
posición de un punto en un espacio euclídeo (un tipo de espacio
geométrico). Los sistemas de coordenadas más simples se definen sobre
espacios planos.