CEX203 - análisis - modulo 2 1234-5.pptx

presentación de análisis matemático

1. 2023 CEX203 ANÁLISIS

2. Funciones EXPONENCIALES

3. ¿Por qué es estudiar funciones exponenciales? Al estudiar la propagación de un virus: 1 persona puede contagiar a 4 personas mientras incuba el virus, esa 4 personas pueden contagiar a 4 mas cada una, es decir tenemos ahora 16 contagiados, cada uno de esos 16 puede contagiar a 4 más y así sucesivamente, los casos serían 1, 4, 16, 64 , 256, …. Si colocamos en un plazo fijo 100$ a un 5% mensual, y no retiramos el dinero y sus intereses, sino que volvemos a colocarlo en plazo fijo, el capital que tendremos mes a mes será: 100; 105; 110,25; 115,76; 121,55; 127,63 …. Si pensamos tenemos un lago contaminado y estamos recambiando el agua para que se limpie, es decir ingresamos 100 m 3 de agua limpia y salen 100m 3 de agua mezclada entre agua sucia y limpia, ¿cómo se irá descontaminando el lago? ¿Cuanto tiempo nos llevará para considerarlo limpio?

4. Para saber la edad de un fósil, estudiamos la cantidad de carbono-14 en ese fósil, e se isótopo inestable ( 14 C) es producido de forma continua en la atmósfera como consecuencia del bombardeo a átomos de nitrógeno por rayos cósmicos. El proceso de fotosíntesis incorpora el átomo radiactivo en las plantas, de manera que la proporción 14 C/ 12 C en estas es similar a la atmosférica. Los animales incorporan, por ingestión, el carbono de las plantas. Ahora bien, tras la muerte de un organismo vivo no se incorporan nuevos átomos de  14 C a los tejidos, y la concentración del isótopo va decreciendo conforme va transformándose en  14 N por decaimiento radiactivo. Ese decresimiento es exponencial, entonces solo contando cuantos atomos de de  14 C queda en el fósil podemos conocer su antigüedad.   Para estudiar el crecimiento de muchos procesos naturales que tienen forma de S (curvas sigmoideas), pues al inicio el crecimiento es exponencial y al agotarse algún recurso por el que compiten las unidades que se reproducen, o existir otro factor limitante para el crecimiento, la tasa de crecimiento disminuye hasta detenerse

5. Funciones exponencial Formula Caracteristicas Analizaremos y = a x Luego: c subirá o bajará la función; b la amplificará, reducirá o invertirá el gráfico; d la trasladara hacia la izquierda o a la derecha Donde a>0 y a ≠1 Su dominio es todo el conjunto de nº reales La constante a se llama base de la función exponencial Si a>1 la función es creciente Si 0<a<1 la función es decreciente Si x=0; f(x)= 1 para cualquier a Si x=1; f(x) =a Si a>1; la función se hace asintótica para x -> - ∞ Si a<1; la función se hace asintótica para x -> ∞ No tiene raíces, su imagen son nº positivos f(x) = y = b .a x +d +c

6. Funciones exponenciales Variación de parámetros de funciones exponenciales: https://www.geogebra.org/m/BYqKQPcv

7. Gráfico de la función y=a x con a>1

8. Gráfico de la función y=b x con 0<b<1 Observar que y=b x es lo mismo que y=(1/b) -x Por lo tanto puedo escribir: f(x)=(1/3) x ó f(x)=3 -x

9. Gráfico de la función y= a·2 x

10. Gráfico de la función y= 2 x+d

11. Hemos hecho referencia a la función exponencial f(x)= a x Queremos detenernos en una función en especial f(x)=e x Donde e es el numero de Euler, es un nº irracional cuyo valor aproximado es 2,71828 base de los logaritmo neperianos Cualquier función f(x)= a x se puede escribir como f(x)= e mx Donde m es ln a Si a x = e mx x · ln a = m·x·ln e Como ln e=1 m= ln a

12. Gráfico de la función y= 2 x +c

13. Se colocan $5000 al 24% anual. ¿cuánto tendré al cabo de 5 años? • Si los intereses se acumulan anualmente CF = 5000 ⋅(1,24) 5 = $14658,13 • Si los intereses se acumulan mensualmente CF = 5000 ⋅ (1,02) 12 ⋅5 = 5000 ⋅1,02 60 = $16405,15 No es lo mismo la tasa efectiva que la tasa nominal Un gramo de C 14 se reduce a la mitad de su masa en 5760 años. Si un hueso de un mastodonte tenia 20mg de C 14 hace 10000 años atrás ¿cuanto mg de C 14 se espera encontrar ahora? • La función es: • En el año 2000 quedará: = = 6,0mg  

14. Esta tabla y gráfico corresponde a: A: f(x) = 4 x B: f(x) = 4 · 2 x C: f(x) = (¼) x D: f(x) = 4 · 3 x

15. Esta tabla y gráfico corresponde a: A: f(x) = (1/4) x B: f(x) = 3·(1/2) x +1 C: f(x) = 3 x +1 D: f(x) = 3·(1/3) x +1

16. Este gráfico corresponde a: A: f(x) = 0,5 x B: f(x) = 3·2 x C: f(x) = 2 x +3 D: f(x) = 3 ·3 x Este gráfico corresponde a: A: f(x) = (1/3) x B: f(x) = 2 x +1 C: f(x) = 3 x D: f(x) = 3 -x

17. Este gráfico corresponde a: A: f(x) = -3 x + 2 B: f(x) = - 2 x + 3 C: f(x) = 2 x + 2 D: f(x) = - 2 x + 2 Este gráfico corresponde a: A: f(x) = (1/2) x + 1 B: f(x) = 2 x -1 C: f(x) = (1/3) x - 1 D: f(x) = 3 -x - 1

18. Funciones LOGARÍTMICAS

19. La inversa del la función exponencial es la función logarítmica. Si a x =b entonces log a b =x

20. Ejemplos • "a" no puede ser cero • "x" , el argumento del logaritmo no puede ser cero PREGUNTA: ¿Cuál será el dominio de...? DOMINIO:

21. Funciones logarítmica Formula Caracteristicas Analizamos y=log a x Luego: c subirá o bajará la función B la amplificará, reducirá o invertirá la función d la trasladará hacia la izquierda (d>0) o a la derecha (d<0) Donde a>0 y a ≠1 La función logaritmo es la función inversa de la exponencial Si log a x=c entonces a c =x Su dominio es el conjunto de nº reales positivos Su imagen son todo los R La constante a se llama base de la función logarítmica Si a>1 la función es creciente Si 0<a<1 la función es decreciente Si x=1; f(x)= 0 para cualquier b Si x=a; f(x) =1 Si a>1 la función se hace asintótica para y -> - ∞ Si a<1 la función se hace asintótica para y -> ∞ No existen logaritmo de nº negativos ni de cero. La raíz será siempre 1 y = b·log a ( x+d ) +c

22. Gráfico de Funciones logarítmica x f(x) 0,25 -2 0,5 1 1 2 1 4 2 8 3 Si x= 0,25 ó 1/4 f(x)= -2 porque 2 -2 = 0,25

23. Funciones logarítmica si la base es mayor a 1

24. Funciones logarítmica si la base es menor a 1

25. Funciones logarítmica ¿Que pasa si lo multiplicamos por un escalar? Funciones logarítmica ¿Que pasa si le sumamos un escalar?

26. Esta tabla y gráfico corresponde a: A: f(x) = log 2 x B: f(x) = 2log 3 x C: f(x) = log 0,5 x Esta tabla y gráfico corresponde a: A: f(x) = log 2 x B: f(x) = log 3 x +1 C: f(x) = 2log 0,5 x

27. Este gráfico corresponde a: A: función logarítmica B: función exponencial Este gráfico corresponde a: A: función logarítmica B: función exponencial

28. Este gráfico corresponde a: A: función logarítmica B: función exponencial Este gráfico corresponde a: A: función logarítmica B: función exponencial

29. Dos funciones logarítmicas particulares: Logaritmo Decimal Logaritmo Natural   Propiedades del Logaritmo:   Cambio de base: Al usar la calculadora solo encontramos logaritmo decimal y natural, entonces para para el calculo con otras bases debemos realizar:  

30. Funciones exponenciales, Problema En la ciudad de Córdoba, la cantidad de residuos sólidos urbanos (RSU) ha aumentado de tal manera que se ha duplicado en los últimos 10 años. Se conoce que el actual tonelaje diario es de 2 500 tonelada y que el patrón de crecimiento continuará en los años subsiguiente. ¿Cuál es la función que modeliza la cantidad de RSU de la ciudad si tomamos como unidad de tiempo 1 año? ¿Qué tonelaje diario se espera dentro de 12 años? La capacidad actual para manejar desperdicios sólidos es de 4 000 toneladas por día. ¿Cuándo dejará de ser suficiente esta capacidad?

31. Funciones exponencial, Respuesta La función al ser exponencial tendrá la forma . Como Sabemos que se duplica en 10 años, es decir b=2 . Como se duplica en 10 años y la unidad de tiempo es 1 año c=1/10: Debemos evaluar la función en 12 Si pueden tratar 4000T, entonces Y debo despejar t, para ello debo usar logaritmo Por lo que  

32. Funciones logaritmica, Problema Se efectuó un experimento para determinar los efectos del tiempo transcurrido sobre la memoria de una persona. Se pidió a los sujetos que vieran una fotografía que contenía muchos objetos diferentes. En distintos intervalos de tiempo después de esto, se les pedía que recordaran tantos objetos como pudieran. Con base en el experimento, se desarrolló la siguiente función donde R representa la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempo desde el estudio de la fotografía (en horas). a) ¿Cuál es la memoria porcentual promedio 1 hora después de estudiar la fotografía? b) ¿Cuál es el porcentaje luego de 10 horas? c) En que tiempo recordara sólo el 50% de las fotografias que vió. d) ¿en cuánto tiempo no recordará ningún objeto? c) Trace la función.  

33. Funciones exponencial, Respuesta Después de 1 hora, como ln 1=0; R(t)=84 Debemos evaluar la función en 10  

34. Funciones exponenciales, Tarea de seguimientoa El valor del vehículo de una empresa es tal que su valor tomado en dólares se deprecia a la mitad en el lapso de 5 años. El valor al momento de la compra del vehículo es de 30000u$d ¿Cuál es la función que modeliza la cantidad de RSU de la ciudad si tomamos como unidad de tiempo 1 año? ¿Qué valor tendrá el mismo luego de 12 años de uso? ¿Qué antigüedad tendrá el vehículo cuando su precio de venta sea de 3 000 u$d .

35. LÍMITE Como la función f(x) = a x es una función continua Como la función f(x) =log a (x) es una función continua solo no habrá límite cuando x->0 . Solo podemos calcular el lim x->0 + ya que 0 no pertenece al dominio  

36. Ejercicio: Calcule los siguientes límites    

37. DERIVADA de la función exponencial y logarítmica

38. Regla de la cadena  Regla de la cadena: Si g es derivable en x y f es derivable en g(x) , entonces la función compuesta F(x)= f o g definida mediante F(x) = f(g(x)) es derivable en x , y F´(x) está dada por el producto En la notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x) son funciones derivables, entonces  

39. Ejemplo: f(x) =( x 2 + x+ 2) 4 si llamamos “u” al polinomio del () f(x) = u 4 Por lo que: f´(x)= 4 u 3 · u´ f´(x)= 4 (x 2 + x+ 2) 3 · (2x+1)  

40. Derivada de la función inversa Si  𝑓(𝑥) es invertible y derivable, es razonable pensar que la inversa de 𝑓(𝑥) sea derivable. La figura muestra la relación entre una función 𝑓(𝑥) y su inversa 𝑓 −1 (𝑥). El punto (𝑎,𝑓 −1 (𝑎)) en el gráfico de 𝑓 −1 (𝑥)   tiene una línea tangente con una pendiente de (𝑓 −1 )′(𝑎)=𝑝/𝑞.  Este corresponde al punto (𝑓 −1 (𝑎),𝑎) en el gráfico de 𝑓(𝑥) que tiene una línea tangente con una pendiente de 𝑓′(𝑓−1(𝑎))=𝑞/𝑝. Entonces:  

41. Derivada de la función inversa Ejemplo Si   f(x) = x 2 . Entonces f -1 (x) =  

42. Cálculo de derivadas en funciones exponenciales . entonces: . entonces: . entonces: . entonces:   recordemos que podemos escribir a x = e ln (a)·x Ejemplo : Si f(x) = 4 3x ¿Cuál es el valor de f´(1) ?  

43. Cálculo de derivadas en funciones logarítmicas . entonces: . entonces: entonces: . entonces:   Ejemplo : Si f(x) = log 4 (3x 2 ) ¿Cuál es el valor de f´(2) ?  

44. INTEGRALES de funciones exponenciales y logarítmicas

45. La INTEGRAL INDEFINIDA La INTEGRAL INDEFINIDA La INTEGRAL DEFINIDA Recordemos: que era la integral Si f(x)≥0, la integral es el área bajo la curva y=f(x) desde a hasta b . La integral definida se calcula utilizando la regla de Barrow donde F(a) y F(b) es la primitiva de f valuada en los puntos a y b  

46. Cálculo de integrales en funciones exponenciales         Ejemplo : Si f(x) = 3 2x ¿Cuál es el valor de ?  

47. Cálculo de integrales en funciones exponenciales Ejemplo : Si f(x) = 3 2x ¿Cuál es el valor de ?  

48. Cálculo de integrales en funciones logarítmicas          

49. Cálculo de integrales en funciones logarítmicas Ejemplo : Si f(x) = log 2 (x) ¿Cuál es el valor de ?    

50. TP2 Contenidos del M2 implicados en el 01

51. Estudio 1 : población de insectos   Estudio 2, tasa de cambio del crecimiento de la población de insectos