Ch2 流体力学的基本方程.pdf 连续方程，动量方程，能量方程，牛顿流体基本方程组和边界条件

流体力学基本方程

1. 1
第二章 流体力学的基本方程
2.1 连续方程
2.2 动量方程
2.3 能量方程
2.4 牛顿流体的基本方程组
2.5 边界条件

2. 2
2.1 连续方程
=0
DmD
d
DtDt

=
◆质量守恒定理
由雷诺输运定理() =0
DD
d ud ud
Dt t Dt
  

 
  
=+=+
  
  
  //D dt t u  =  +  ()u u u   +  =
系统质量在运动过程中不变
0
A
Dm
dundA
Dtt




= +=


初始时刻系统与
控制体重合
由高斯公式()=
A
undAud

 

3. 3
2.1 连续方程()

0
D
u d u d
t Dt


   
   
+ = +  =
   
   
 () ()0, 0
k
k
uu
t tx


 
+=+ =
 
◆微分形式连续方程
积分区域 τ是任选的，被积函数连续 ，要使积分恒等于零 ，只有被
积函数等于零 。1
k
k
uD
Dt x



=−
 0, 0
k
k
uDD
u
Dt Dtx



+= +=

相对密度变化率等于负的
相对体积变化率
单位控制体内流体质量的
变化率与净流出控制体的
流体质量流量之和为零

4. 4
◆微分形式连续方程
对微元控制体应用质量守恒定律
➢x方向净流出控制体的质量流量
➢y、z方向净流出控制体的质量流量()u
xyz
x



 ()v
xyz
y



 ()w
xyz
z




通过单位面积
的质量流量

5. 5
➢控制体内流体质量随时间的变化率
◆微分形式连续方程
➢微分形式连续方程xyz
t



 ()0u
t



+=
 ()
()()()
=0
k
k
uvw
u
tx txyz


 
+ =+++
  () () ()
0
u v w
xyz xyz xyz xyz
t x y z
  

  
+ + + =
   

6. 6
◆定常和不可压缩流动的连续方程
➢定常流动0
t

=
 0
D
Dt

=
➢不可压缩流动0 0, 0
k
k
k
k
u
u
x
uD
Dt x



= 
 

+ =  = () () ()0, 0 0
k k
k k
uuu
tx x


 

= 

 
+ = 

=
对于定常流动， 时可视为不可压缩流动。/0.3MaVa=
不可压缩流动净流出单位控制体的体积流量为零
流体质点的密度在流动过程中保持不变()0u
t



+=


7. 71 1 2 2
, .u A u A uA const== 1 1 1 2 2 2
, .u A u A uA const  ==
➢不可压缩流体
◆流管内流动和一维流动22
u 2
A 11
u 1
A ()0u = 0u =
➢引入平均速度和密度，则定常流动
定常流动时 ，通过流管任意过流断面的质量
流量保持不变 。
不可压缩流动，通过流管任意过流断面的体积流量保持不变。

8. 8
流体质点沿 线或 线
流动，此时其密度分别保持为常
数 或，因此
◆密度分层流动0=
Dt
D 1
= 2
= 1 2
 0


x
 0


y
 2
= 1
=
不可压缩流动并不意味着密度场
为均匀场 。
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能
发生在海洋中（由于水的含盐量变化引起）。
但

9. 9
所以不可压缩均质流动意味着 ，常密度流动。 0
D
u
Dt t t
  


= +   =
 const=
◆不可压缩均质流动 ( 密度处处相等的不可压缩流动 )
设不可压缩流动且均质（密度不是 x、y、z 的函数），0, 0
D
Dt

=  =
（密度也不是 t 的函数）
绝大多数情况下，当不可压缩流动条件满足时，密度也为常数。
等密度流动。
由物质导数定义式

10. 10
◆柱坐标和球坐标下的连续方程
见相关教材。11
( ) ( ) ( ) 0
Rz
R u u u
t R R R z


  

   
+ + + =
    2
2
1 1 1
( ) ( sin ) ( ) 0
sin sin
r
r u u u
t r r r r


   
   
   
+ + + =
   

11. 11
2.2 动量方程
◆动量定理
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和 S
n
D
udfdpdS
Dt

=+
系统动量变化率 质量力 表面力
◆积分形式动量方程 初始时刻系统与控制体重合 S S
=
n
fdpdSuduundS
t

 

+ +


作用在控制体
上的外力之和
控制体中流体的动量
对时间的变化率，定
常该项为零
流出控制体的流
体动量的净流率=
sys
AA
DN
dundAdundA
Dtt t


 

= + +



12. 12
2.2 动量方程
D Du
ud d
Dt Dt

= () ()
S S
=
n
pdSndS d

=
由高斯公式()

=
Du
dfd d
Dt
  
  +
由于体积是任取的，所以积分相等时，被积函数必然相等=
Du
f
Dt
 +
微分形式动量方程
◆微分形式动量方程
由 S
n
D
udfdpdS
Dt

=+ ni jji
n
n
pn
=
=Σ ()=
A
undAud

 

13. 13
Du
f
Dt
=+Σ ()
u
uu f
t
 

+=+

Σ
◆方程右边第一项是应力张量的散度 ，表示作用在单位体积流体上
的表面力；
◆方程右边第二项表示作用在单位体积流体上的质量力 。
◆方程左边表示单位体积流体的动量变化率：
➢第一项是密度 （单位体积流体的质量 ）与当地加速度乘积 ,由速
度的不定常性引起；
➢第二项是密度与对流加速度项乘积 ，由流体质点运动及速度分
布的不均匀性引起 。对流加速度项是非线性的 。
j j ij
ij
ii
uu
uf
txx

 

+=+

2.2 动量方程

14. 14() ()

=fd d ud uud
t
   
 

+ +


由高斯公式()
S
=uundS uud

  () ()
S S
=
n
pdSndS d

=
守恒形式的微
分动量方程()
()u
uu f
t



+  =  +

Σ () ( )
ij
j k j j
ki
u u u f
t x x

  

+ = +
  
2.2 动量方程 S S
=
n
fdpdSuduundS
t

 

+ +

 ()
u
uu f
t
 

+=+

Σ
j j ij
ij
ii
uu
uf
txx

 

+=+


15. 15j ij
j
i
Du
f
Dt x



=+
 () ()
2
2
ij
ij ij kk ij
ii
kk ij
j j i
p s s
xx
p
ss
x x x

  

 
= − + +


  
= − + +
   jj ki
j
j j k i j i
Du u uup
f
Dt x x x x x x
   
  
= − + + + + 
        ( )(2 )
Du
p u f
Dt
   = − +  + + S k
kk
k
u
su
x

= = 
 2
ji
ij
ji
uu
s
xx

+=

本构方程
◆纳维－斯托克斯 方程（ N-S 方程）
动量方程
将本构方程代入动量方程jki
ij ij ij
k j i
uuu
p
xxx


=−+++ 


2.2 动量方程

16. 16
不可压缩流动、温度变化很小 (动力粘性系数为常数 )22
22

jjii
i j i i j i i
jji
j i i i
uuuu
x x x x x x x
uuu
x x x x
  
  
      
+ = +    
             

= + =
   
 2
2
jj
j
ji
Du u p
f
Dt x x
Du
p u f
Dt
  
  

= − + +

= − +  + .const= jj ki
j
j j k i j i
Du u uup
f
Dt x x x x x x
   
    
= − + + + +  
     
   
◆纳维－斯托克斯 方程（ N-S 方程）
不可压缩
流动连续
方程
单位体积流
体的压力
单位体积流体
受到的粘性力

17. 17
例从N-S 方程出发，作出适当的假定，推导以下各方程。设不可压
缩流体。2
0 2
1
()
u u p u
vt
t y x y


   
+ = − +
    y
g
y
p
dt
tdv
+


−=

1)(
0 2
()u
t


+   =  
 )(
0tvv= 0 0 ( , )
u v u
u u y t
x y x
  
+ =  =  =
  
解：
(a)
(b)
(c)
(a) 设
x 方向的 N-S 方程22
22
1
x
u u u p u u
u v g
t x y x x y


     
+ + = − + + +

       2
0 2
1
()
u u p u
vt
t y x y


   
+ = − +
   
u与x 无关，重力沿 y 方向jj ki
j
j j k i j i
Du u uup
f
Dt x x x x x x
   
  
= − + + + + 
       

18. 18y
g
y
p
dt
tdv
+


−=

1)(
0
(b)y 方向的N-S 方程22
22
1
y
v v v p v v
u v g
t x y y x y


     
+ + = − + + +

       )(
0tvv=
设
(c)22
22
1
y
v v v p v v
u v g
t x y y x y


     
+ + = − + + + 
      
对x求偏导22
22
1

v v u v v v v
uv
x t x x x x x y x y
p v v
x y x x y


            
+ + + +
    
             
    
= − + +

      uv
xy

=−

由不可压缩流动jj ki
j
j j k i j i
Du u uup
f
Dt x x x x x x
   
  
= − + + + + 
        k
k
Duuu
u
Dttx

=+


19. 1922
22
1
x
u u u p u u
u v g
t x y x x y


     
+ + = − + + + 
      
对y求偏导22
22
1

u u u u u v u
uv
y t y x y x y y y y
p u u
y x y x y


            
+ + + +
    
             
    
= − + +
 
      uv
xy

=−

由不可压缩流动22
22
22
22
1
1
v v v p v v
uv
x t x x x y x y x x y
u u u p u u
uv
y t y x y y y x y x y




                
+ + = − + +
       
                  
               
+ + = − + +
      
                 
于是

20. 2022
22
z z z z z
uv
t x y x y

      
+ + = +

      2
()u
t


+   =  

将以上两方程相减，且注意到 可得y
u
x
v
z


−


= z
k = 
令
涡量方程中不出现重力项和压强梯度项，因为这些力通过流体质
点的质心，因此不产生力矩。2
222
2
22
22
2
2
2 2 2
2
2
zz
vu
yy
v
vu
x
u
x
xy
x y x y
x
u
x y
v
y



   
+−



−

+   
   
    
= + = +


−



      22
22
22
22
1
1
v v v p v v
uv
x t x x x y x y x x y
u u u p u u
uv
y t y x y y y x y x y




                
+ + = − + +
       
                  
               
+ + = − + +
      
                  =2u= k
i ijk
j
u
x


=


21. 21
2.3 能量方程
◆热力学第一定理
➢对于一个静止的热力学系统 （或起始和终止状态处于静止的系统 )：
系统内能的变化等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热
量之和。
➢设流体力学系统偏离平衡态不远：
系统总能量的变化率 （包括内能和动能 ）等于外力对系统的作功
功率与通过导热向系统的传热功率之和 。

22. 22
1
2
e u u d



+



n
A
u p dA
u fd

 A
n qdA−
1

2
n
AA
D
e u u d u p dA u fd n qdA
Dt

   

+  =  +  − 


   
传热功率 ，
➢积分形式的能量守恒方程
系统总能量，
表面力作功功率，
质量力作功功率，
能量方程
◆总能量方程

23. 23
11

22
DD
e u u d e u u d
Dt Dt

   
   
+  = + 
   
   
 () () ()


n
A A A
u p dA u n dA n u dA u d

 =   =   =     
Σ Σ Σ A
n qdA qd

 =  ()
()

1
2
1
0
2
D
e u u d u d u fd qd
Dt
D
e u u u u f q d
Dt
   

     
  

+  =   +  − 



+  −  −  + = 

   

Σ
Σ ()
1

2
D
e u u u u f q
Dt


+  =   +  −


Σ ()
1
2
i
i i ij j i i
ii
qD
e u u u u f
Dt x x
  

+ = + −


雷诺输运定理
高斯公式
➢微分形式的能量方程
1

2
n
AA
D
e u u d u p dA u fd n qdA
Dt

   

+  =  +  − 


    () (),
j i ij i ij j
u n u n n u n u  =   =ΣΣ
◆总能量方程
体积任取 ，积分恒
等于零，被积函数
必然为零n
pn=Σ

24. 24
➢守恒形式的能量方程( )
D
d u d
Dt t


   

= +


 ()
11
22
euu ueuu uufq
t
  
     
+++=+−
     
     
Σ
总能量方程
1 1 1
=
2 2 2
D
euud euu ueuud
Dt t

   
       
+ +++        
        
 ()


11
22

euu ueuud
t
udufdqd

  
  

     
+++     
     
=+−


Σ
利用高斯公式1
2
n
AA
D
euudufdupdAnqdA
Dt

 

+=+−




25. 25()
ij j
ij j j ij
i i i
u
uu
x x x



=+
   ()
1

2
j
j j j ij j j
ij
qD
e u u u u f
Dt x x
  

+ = + −


➢能量方程中表面力做功项分析
1）单位体积流体受到的表面力 与相乘，表示 面力在流体
微团运动过程中的作功功率，它使流体的动能增加 ；/
ij i
x j
u ( )
j
ij ij ji ji ij ji ij ji ij ji ij ij
i
u
s a s a s s
x
     

= + = + = =

应力张量与应变率张量相乘，表示 在流体变形过程中面力作功功率，
称变形功，它将使流体内能增加 。
2）第二项作如下变化
总能量方程0
ji ij
a=
对称张量 与反对称张量
作双点积运算等于零

26. 26
表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率 ，这
部分机械能向内能的转变是不可逆的 ，在一切流体和一切
流动中总大于零 。( )ij ij ij ij ij ii ij ij
s p s ps s   = − + = − + j
jj
j
u
ps p
x

− = −

压缩功功率 ，表示流体体积变化时 ，外部压强对
单位体积流体作功的功率 ，这种转变是可逆的；
➢变形功ij ij
s
总能量方程2
2
3
ij ij kk ij
ss  = − + 2
2
3
ij ij ij kk ij
p s s   = − − +

27. 27
两边同乘 ，
上述方程可看作在 j方向的受力平衡式和速度作点乘 ，表示力的
机械功功率 ，所以上式是机械能守恒方程 。j ij
j
i
Du
f
Dt x



=+
 j
u j ij
j j j j
i
Du
u u u f
Dt x



=+
 1
2
ij
j j j j j
i
D
u u u u f
Dt x



=+


◆机械能方程
动量方程()


ij
ij j j kk ij ij
ii
ij
j kk
i
u u ps s
xx
u ps
x




= − +


= − + 

2.3 能量方程

28. 28jj
ij
ij
uqDe
Dt x x


=−
 jj
k ij
k i j
uqee
u
t x x x
  

+ = −
   
➢方程左边表示内能的变化率 ，第一项是当地变化率 ，第二项是对流
变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的 。1
2
j ij j
j j ij j j j
i i j
uqD
e u u u u f
Dt x x x

  
  
+ = + + −

   1
2
ij
j j j j j
i
D
u u u u f
Dt x



=+




 ()
1

2
j
j j j ij j j
ij
qD
e u u u u f
Dt x x
  

+ = + −


➢公式右边是引起内能变化的动因 ，第一项表示由于表面力的作用引
起的机械能向内能的转换功率 ，第二项表示由于导热从外界向系统
内部的传热功率 。
◆内能方程

29. 29j
j j j j j
q TT
kk
x x x x x
       
− = − − =   
       
    ()
k
k j j
uDe T
pk
Dt x x x
De
p u k T
Dt


 
= − + + 
  

= −  +   + 
导热功率
内能方程jj
ij
ij
j k
ij ij ij
ik
uqDe
Dt x x
u u
sp
xx



=−

 
= = − + 

傅里叶定律q k T= − 
◆内能方程
令 耗散函数，流体变形时粘性应力的作功功率=
ijij
s
总能量方程是机械能方程和内能方程的和。2
2
3
ij ij kk ij
ss  = − + i
i
T
qk
x

=−


30. 30()
1
2
i
i i ij j i i
ii
qD
e u u u u f
Dt x x
  

+ = + −

 1
2
j ij j
j j ij j j j
i i j
uqD
e u u u u f
Dt x x x

  
  
+ = + + −

   1
2
ij
j j j j j
i
D
u u u u f
Dt x



=+

 jj
ij
ij
uqDe
Dt x x


=−
 k
k j j
uDe T
pk
Dt x x x

 
= − + + 
  

总能量方程
机械能方程 内能方程

31. 31()
( )
1
De
p u k T
Dt
De D
p k T
Dt Dt



+  =   +  
 
+ =   +  
 1
0
1
DD
uu
Dt Dt
p D D
p u p
Dt Dt






+  =   = − 

 = − =


内能方程 ，
连续方程，
◆能量方程的其它形式()
De
p u k T
Dt
= −  +   +  11
Tdsdepddhdp


=+=−


热力学关系式，/h e p=+ 11Ds De D Dh Dp
Tp
Dt Dt Dt Dt Dt

= + = −

 11
dh de pd dp


= + +



32. 32()
Ds
T kT
Dt
 =+ ()
jj
Dh Dp
kT
Dt Dt
Dh Dp T
k
Dt Dt x x


= +   + 

= + + 

 ()
1De D
p k T
Dt Dt


 
+ =   + 

➢以熵表示的能量方程
➢以焓表示的能量方程11Ds De D Dh Dp
Tp
Dt Dt Dt Dt Dt

= + = −


◆能量方程的其它形式jj
Ds T
Tk
Dtxx


= +



33. 33()0

k
k
jj ki
j
j j k i j i
kk
k j j k
u
tx
Du u p u u
f
Dt x x x x x x
De u T u
pk
Dt x x x x


   


+=

    
= − + + + + 
     
 
    
= − + +  
   

()
()
22

2
,
,
ji
ji
uu
xx
p p T
e e T






 
++

 
=
=











2.4 牛顿流体的基本方程组
➢7个标量方程 ，7个未知量 u
j，，p，e，T，方程组是封闭的；
➢λ,μ,κ等是p和T的函数，由实验确定；
➢对完全气体 ，状态方程和内能公式可分别写为 ， ；
➢质量力是重力， 。p RT= V
e C T= gf

=

34. 34
⚫当密度ρ为常数时 ，上述连续方程和 N-S方程共4个标量方程；
⚫未知量u
j
、p也是4个，方程组封闭；
⚫流体动力学问题和热力学问题可分开求解 。
◆不可压缩流体（动力粘性系数 μ为常数）()
2
0
k
k
j j j j
kj
k j ii
u
tx
Duuu u p
uf
Dttxxxx


 

+=

  
=+=−++

➢理想不可压缩流体 ➢静止流体()0
k
k
jj
kj
kj
u
tx
uu p
uf
txx


 

+=

 
+=−+
 0
j
j
p
f
x


=−+


35. 35
流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组 ，要确
定某种具体的流体运动 ，也就是要找出方程组的一组确定的解 ，还需
要给出初始条件和边界条件 。
2.5 边界条件0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) ( ), ( , ) ( )
( , ) ( ), ( , ) ( )
u r t u r p r t p r
r t r T r t T r
==
==
流体运动应该满足的初始状态 ，即t=t
0时
➢边界上方程组的解应该满足的条件；这里边界是指两种介质的接
触面；
➢假设分界面两边的物质互不渗透 ，原来的边界在以后时刻永远是
两介质的界面 。
◆初始条件
◆边界条件
均为需要给定的已知函数

36. 36
是曲面两侧压强差；
R
1、R
2是曲面在考虑点的两个主曲率半径；
为表面张力系数 。12
12
11
pp
RR


− = +
  1
R 2
R 1
p 2
p
◆曲面界面两侧的压强差 ——表面张力
过微元面一点作该微元面的法线，过法线的平面与微元面的交线称法截
线，过同一点的法截线有无穷多条，其中曲率最大和最小的两条称主法
截线。主法截线在该点的切线互相垂直，其曲率半径称主曲率半径。12
pp−
表面张力的合力指向凹面一侧 ，与压力差平衡 。

37. 37
上式中 指向介质 1，R
1、R
2的曲率半径中心在 指向一侧时取正
值， 分别是介质 1、2的应力张量 。(1) (2)
12
11
0n n n
RR


 −  + + =

ΣΣ n
 n
 (1) (2)
,ΣΣ (1) (2)
12
(1) (2)
11
0
nn nn
nn
RR

  


− + + =

=
作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，
分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时 ，表面张力
会导致法向应力的一个突跃 。
◆液液分界面的边界条件n
介质2
介质1
将上式向法向和切
向两个方向分解

38. 38(1) (2)
(1) (2)
TT
TT
kk
nn
=

=
   
 (1) (2)
(1) (2)
(1) (2)

nn
uu
uu
uu

=
=
=
对于粘性流体，界面两侧介质运动速度相等
界面两侧温度和热流密度相等，n
介质2
介质1
无穿透条件
粘附条件或无滑移条件
◆液液分界面的边界条件

39. 39(1) (2)
(1) (2)
uU
TT
TT
kk
nn
=
=
   
=
   
    0u=
固壁静止时 ，
流体（包括液体和气体 ）绕固体边界的流动是最常见的流动 ，此时固
壁的运动通常作为已知条件给定 。由于在固体边界上给定的条件是固
壁的运动 ，而不是固体中的应力 ，因此应放弃应力边界条件 。对于粘
性流体流体质点将粘附在固体壁面上 。
◆固壁边界条件

40. 40
➢由于气体密度和粘度都很低 ，它的运动一般不
会对液体产生显著影响；
➢通常只关心液体内部的流动 ，气相运动未知；
◆液气分界面边界条件n
液
气0p p
➢气体稀薄时界面上 切向速度和温度可能发生间断 ，但仍要求法
向速度相等 ，表示界面速度 。u n U n =  U
➢设 为大气压强 ，为液气边界面上的液体侧压强 ，自由面曲
率中心在气相一侧 ，法应力条件可写为 ，0=

n 0p p 0
12
11
pp
RR


− = +

➢忽略气相粘性，界面上切应力为零，
➢不考虑表面张力影响a
pp=

41. 41( , ) 0F r t=
在定义速度边界条件时 ，需要知道
界面的法向速度 ，如固壁或气液界面的
法向速度 。设界面方程为
◆界面法向速度n r t tt+
A
A’
设界面上一点 A在t时刻的位置矢量为 ，该点的法向单位矢量
为，经过 时间后，A点运动到点 ，则r
 n
 t rr

+ ( , ) ( , )
( , ) ( , )
0
F F t t r r F t r
F F F F
F t r t x y z F t r
t x y z
F
t r F
t
  
   

= + + −
   
= + + + + −
   

= +  =


42. 42n r t tt+
A
A’
界面上A点在t 时刻的法向速度为，0
222
0
1
liml
1
im
tt
r rF F
FFF
x
Un n
y
F
t
FF
z
t t t



→→
=−
 
++
 


=

==

−




◆界面法向速度
设t刻在A点的流体质点 的速度为 ，则流体质点的法向速度 ，u
 un
界面上流体质点的法向速度等于界面本身在该点的法向速度，1

FF
unUnu
FFt

==−
 0
F
trF
t


+=


43. 430
F
uF
t

+=
 0
DF
Dt
=
◆界面法向速度
上式表示界面上流体质点的位置矢量始终满足方程 ，流体
质点始终保持在界面上 ，或者说界面始终由同一些流体质点所组成 。
这当然是 界面和界面上流体质点速度的法向分量相等 的一个合乎逻
辑的推论 。( , ) 0F r t=
如把F看作流体质点的一个属性 ，则由于流体质点始终在界面上 ，
流体质点的 F值保持为常数 。
上式既适用于固壁和气液界面 ，也适用于液液界面和流体中的其他
物质间断面 。1FF
u
FFt

=−


44. 44
物体在无界区域中运动时，如飞机在天空飞行，舰艇在大洋中游弋，
需要给出无穷远处的边界条件。如果把坐标系取在运动物体上，则
当 时，
◆无穷远条件r→ , , , u u p p T T
   
= = = =

45. 45
例.考虑下图所示二维通道内的定常流动 ，进口截面速度均匀分布 ，设出
口截面远离进口截面 ，在流体离开出口时流动已充分发展 ，即速度分布沿
流动方向不再变化 。试写出管道壁面以及进出口截面的边界条件 。设等温
流动，不需考虑流体温度的变化 。
解：求解区域边界包括进出口截面与管壁 ，在管壁上取无滑移条件 ，
在通道入口 ，沿流动方向的速度分量和压强均为常数 ，
在通道出口
在数值计算时通常只计算有限长通道内的流场分布 ，则出口截面条
件可写为 ，只要L足够长，也可得出正确的结果 。需要指
出的是，在通道出口截面无需给出压强条件 ，出口截面压强分布可在求
解过程中得出 ，这是由于压强在运动方程中以一阶导数的形式出现 。y=h, u=v=0 00
0, , 0, x u U v p p= = = = , / 0x u x→   = x=L, u/x=0

46. 46
例. 小球在理想流体中作缓慢直线运动，试给出小球表面流体速度
所必须满足的边界条件。小球的半径为 a。wvu,,
解：取固定坐标系如图 ,球面方程为，2222
0)]([ azytxx =++− 2 2 2 2
0
[ ( )] 0F x x t y z a= − + + − =
令0
x x 0
0
dx
u
dt
= o 00 0
0
2()2()220
FFFF
uvw
txyz
xxuuxxvywz

+++=

−−+−++= 0
0
()
,
dx t
u u v w
dt
= 、 、 分别为物面上的流体速度。
物面边界条件为 ,
式中00
()() 0xxuuvywz−−++= 0
F
uF
t

+  =


47. 47
又解: 取运动坐标系 固结在小球上''''zyxo 2222
''' azyx =++ 2 2 2 2
' ' ' 0F x y z a= + + − ＝
球面方程
令
物面流体速度（相对于动坐标系），
动坐标系和固定坐标系间关系为 , ,,,
0wvuu− zzyyxxx ==−= ',','
0 0
x x 0
0
dx
u
dt
= o y x 0
u 0
()
r
uuuivjwk=−++
相对于动坐标的速度矢量和法向单位矢量，2'2'2'Fxiyjzk
n
FF
 ++
==
 0
r
un =  0))((
00 =++−− wzvyuuxx
边界条件0
( ) 0u u x vy wz  − + + =
注意：在固定坐标系中 ，流体质点
在球面的法向速度不一定等于零 。

48. 48
例.试写出自由表面波动时的运动学边界条件 ，设等温流动 ，静止水面
距底面的平均深度为 h。),,(tzxy= ( , , ) 0F y x z t= − = 0
DF F F F F
u v w
Dt t x y z
   
= + + + = 
    0
()
u v w
t x z
v u w u
t x z t
  
   

  
− − + − =
  
   
= + + = + 
   
解：自由面方程，),,(tzxy= x y h
令
自由面的运动学边界条件
除自由面运动学条件外，尚须给出底面速度条件和自由面压强条件，y=−h, u=v=0
y=, p=p
a

49. 49
课后作业2.1流体在弯曲的变截面细管中流动，设 A为细管的横截面积，在 A截面上流动参数均匀分布，试
证明对该细管连续方程可写为
()0A Au
ts



+=

式中u 是沿管轴线的速度，s 是沿流动方向的微元弧长。




2.2 已知一维速度场，( , )u u x t= ，流体密度变化规律为0
(2 cos )t  =− ，试确定( , )u x t 的表达
式，已知(0, )u t U= 。

2.3 一不可压缩流体的流动，在 x方向的速度分量是2
u ax by=+ ，z方向速度分量为零，求 y方向
的速度分量，式中 a与b为常数。已知0y= 处0v= 。 1
A 22
u 11
u ds  2
A

50. 502.4 写出理想不可压缩流 体定常平面流动的动量方程（忽略质量力），如果是密度分层流动，则 流体
密度 将是x 和y 的函数。试证明如令0
/uu

= ，0
/vv

= ，式中0
 是一个参考密度，
为常数，则上述方程可转 换为速度为u
 和v
 、流体密度为0
 的平面流动的动量方程。

2.5 证明方程( ) / ( ) / /
j k j k ij i j
u t u u x x f     +   =   + 可简化为
j j ij
kj
ki
uu
uf
t x x

  
  
+ = +
  

2.6 验证下式成立。(提示：展开平方式并应用3
ij ij ii
  == ) 1
2
ji
i i i i i
j
D
u u u u f
Dt x



=+

