Ciclo trigonometrico

1. Teorema Fundamental da
Trigonometria
1cossen
22
=q+q

2. Demonstração ...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ
·

3. Continuação...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1

4. Continuação...
)θ
sen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h
2
= c
2
+ c
2
, temos :
1cossen
22
=q+q
C M P Q D

5. Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
)θ
Cateto Adjacente
Cateto Oposto
Hipotenusa

6. Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico
HI
CO
sen=q
HI
CA
cos=q
CO
HI
sen
1
seccos =
q
=q
CA
CO
tg=q
CA
HI
cos
1
sec =
q
=q
CO
CA
tg
1
gcot =
q
=q

7. Na Circunferência Trigonométrica
)θ
cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ

8. Continuação ...
)θ
0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ

9. Arcos Notáveis
30°
150°
210°
330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240°
300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°

10. arco 0°30°45°60°90°180°270°360°
rad 0
6
p
4
p
3
p
2
p
p
3
2p
p2
seno 0
2
1
2
2
2
3
1 0 - 10
cosseno 1
2
3
2
2
2
1
0 - 10 1
tangente
q
q
cos
sen 0
3
3
1 3- - -0 - - -0
Tabela de Entes Trigonométricos ...

11. Vamos pensar . . .

12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o sen a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.c
sen ==a

13. 2) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que o cos a vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
a
hip
.a.c
cos ==a

14. 3) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a tg a vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.c
tg ==a

15. 4) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que a cotg a
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.c
gcot ==a

16. 5) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que tg a .cotg a
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1
.o.c
.a.c
.
.a.c
.o.c
gcot.tg
=
aa

17. 6) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen
2
a + cos
2
a vale:
a) b
2
/ a
2

b) 9c
2
/ b
2

c) 0
d) 1
e) (c
2
+ b
2
) / 9a
2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen
2
q + cos
2
q = 1
portanto,

18. 7) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que sec
2
a - 1
vale:
a) tg
2
a
b) cotg
2
a
c) - 1
d) 0
e) 1 ( )
a
=aÞ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
=a
a
=a
2
2
2
2
cos
1
sec
cos
1
sec
olog,
cos
1
sec
a=-aÞ
a
a
=
a
a-
Þ-
a
Þ-a
22
2
2
2
2
2
2
tg1sec
cos
sen
cos
cos1
1
cos
1
1sec
( )
a
a
=aÞ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
a
=a
a
a
=a
2
2
2
2
2
cos
sen
tg
cos
sen
tg
olog,
cos
sen
tg
a-=a
=a+a
22
22
cos1sen
1cossen
a=-a
22
tg1sec

19. 8) Em relação ao
ângulo a, podemos
dizer que cossec
2
a - 1
vale:
a) tg
2
a
b) cotg
2
a
c) - 1
d) 0
e) 1
( )
a
=aÞ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
=a
a
=a
2
2
2
2
sen
1
seccos
sen
1
seccos
olog,
sen
1
seccos
a=-aÞ
a
a
=
a
a-
Þ-
a
Þ-a
22
2
2
2
2
2
2
gcot1seccos
sen
cos
sen
sen1
1
sen
1
1seccos
( )
a
a
=aÞ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
a
=a
a
a
=a
2
2
2
2
2
sen
cos
gcot
sen
cos
gcot
olog,
sen
cos
gcot
a-=a
=a+a
22
22
sen1cos
1cossen
a=-a
22
gcot1seccos

20. 9) Se sen a = b/c,
então, calculando o
valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
+a
a-
a
a
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
+a-a=
cos
1cos
.)cos1(.
sen
cos
y
cos
1
1.)cos1(.gcoty
a-=a
=a+a
22
22
cos1sen
1cossen
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
a
+a-a=
cos
1
1.)cos1(.gcoty
( )
)coscos1(cos.
sen
1
y
1cos.)cos1(.
sen
1
y
2
a-a-+a
a
=
+aa-
a
=
)cos1(.
sen
1
y
2
a-
a
=
a
a
=
2
sen.
sen
1
y
c
b
y
seny
=
a=

21. Voltando
a parte teórica

22. Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
ÙÙÙ
==
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b

23. Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ù
Ù
Ù
-+=
-+=
-+=
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b

24. Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
°-+= 90coscb2cba
222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba
222
-+=
Temos, portanto ...
222
cba +=
Teorema de Pitágoras

25. Gráficos das funções trigonométricas
sen x
y
x
•





•





•





•





•





•





•





•





•





•
0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180°
-90°
•





90°
1
-1

26. Continuação ...
cos x
y
x •





•





•





•





•





•





•





•
•





•





•





0°
540°
720°450°630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1

27. Continuação ...
tg x
y
x
•





•





•





•





•





•





•





•





•





0°
360°
-90°
90°
180°
270°
450°
540°
630°

28. Continuação ...
y
x
•





•





•





•





•





•





•





•





•





•
0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180°
-90°
•





90°
1
-1
cossec x

29. Continuação ...
•





•





•





•





•





•





•





•
•





•





•





0°
540°
720°450°630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1

30. Continuação ...
cotg x
y
x
•





•





•





•





•





•





•





•





•





0° 360°
90°
180°
270°
450°
540°
630°
720°

31. TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,
com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,
“t” dias após 1º de janeiro.
ú
û
ù
ê
ë
é
-
p
+= )80t(
365
2
sen8,212)t(L
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

32. Continuação ...
dt
2
t
sen)x(S
x
0
2
ò ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æp
=
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394
•Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao
físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por
seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente
apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de
Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento
de auto-estradas.

33. Continuação ...
• Integração por Substituição trigonométrica

Caso Radical Substit.
Trigonométrica
Transformada
Trigonometria no
Triângulo
Retângulo
I 222
.uba-
qsen.
b
a
u= qq cos.sen1.
2
aa =-
CA
CO
tg=q
II 222
.uba+
qtg
b
a
u.= qq sec.1.
2
atga =+
HI
CA
=qcos
III 222
.aub -
qsec.
b
a
u= qq tgaa .1sec.
2
=-
HI
CO
=qsen

Demonstrando o Caso I ...
=-=-=-=÷
ø
ö
ç
è
æ
-=- )sen1.(sensen.sen.
222222
2
2
22
2
22222
qqqq aaa
b
a
ba
b
a
bauba


==-= qq
22
cossen1. aa qcos.a C M P Q D

34. Trigonometria
Algumas Aplicações

35. Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .

36. hd.tg
d
h
tg
.a.c
.o.c
tg
=a
=aÞ=a
temos que:
portanto: a=tg.dh
Conhecendo a distância d que
vale 50 metros e o ângulo a
que vale 30°, podemos dizer
então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh
=
=
°=
a=

37. Exemplo 1
A inclinação de uma rampa

38. Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?

39. Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos:
6 metros
16,4 metros
2 metros
q
Comprimento total da rampa
solo

40. 6 metros
16,4 metros
2 metros
q
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
q 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Temos em relação
ao ângulo q:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros

41. q 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,0
4,16
2
hip
.o.c
sen ===q
Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

42. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo q, com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN
-1
, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!

43. 2,49
121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.c
hip
sen
o.c
hip.o.chip.sen
hip
.o.c
sen
==
°
=
q
=
q
=Þ=qÞ=q
6 metros
q = 7°
q 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,
portanto, podemos dizer que q é válido para ambos
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros

44. Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?

45. Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência
no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros
assuntos.
Observemos os exemplos a seguir:
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde
F
1
= 20N, F
2
= 100N, F
3
= 40N e F
4
= 10N, você seria capaz de
determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo
que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

46. Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F
®
nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F
®
e )y(2F
®
.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F
®
, encontrando os componentes )x(3F
®
e )y(3F
®
.

47. A resultante relativa ao eixo das abscissas
÷
ø
ö
ç
è
æ
®
)x(
R
é obtida
da seguinte maneira:
)x(31)x(2
)x(
FFFR
®®®®
-+=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
°=Û=°==°Þ=a
°=Û=°==°Þ=a
60cos.FFFF.60cos
F
F
60cos.
hip
a.c
cos
45cos.FFFF.45cos
F
F
45cos.
hip
a.c
cos
Como
3)x(3)x(33
3
)x(3
2)x(2)x(22
2
)x(2
î
í
ì
=Þ=°=
=Þ=°=
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FF
totanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2
)x(
FFFR
®®®®
-+=
N70R
202070R
)x(
)x(
=
-+=
®
®

48. A resultante relativa ao eixo das abscissas
÷
ø
ö
ç
è
æ
®
)y(
R
é obtida
da seguinte maneira:
)y(34)y(2
)y(
FFFR
®®®®
--=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
°=Û=°==°Þ=a
°=Û=°==°Þ=a
60sen.FFFF.60sen
F
F
60sen.
hip
o.c
sen
45sen.FFFF.45sen
F
F
45sen.
hip
o.c
sen
Como
3)y(3)y(33
3
)y(3
2)y(2)y(22
2
)y(2
î
í
ì
=Þ=°=
=Þ=°=
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FF
totanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2
)y(
FFFR
®®®®
--=
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
=
--=
®
®

49. Colocando )x(
R
®
e )y(
R
®
, nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é um
triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante
®
R, )x(
R
®
é o cateto adjacente a a e )y(
R
®
o
cateto oposto a a, então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de
®
R.

50. ()()
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
22
2
2
)y(
2
)x(
2
222
=
=
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+=÷
ø
ö
ç
è
æ
+=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
®
®
®
®
®
®®®

51. Para o cálculo do ângulo a, temos:
3657,0
70
6,25
R
R
.a.c
.o.c
tg
)x(
)y(
====a
®
®
3657,0tg=a
Esse é o valor da tangente do ângulo a.
Para calcularmos o valor do ângulo a,
temos que encontrar o arctg a, então:
°@a
=a=a
20
3657,0arctgarctg
Concluímos então que a Resultante N53,74R=
®
e forma
um ângulo °@a20 com o eixo x.

52. Desafio !

53. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13=

54. Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tg
y
h
.a.c
.o.c
60tg
)I()y20(.
3
3
h
)y20(.30tghh)y20(.30tg
)y20(
h
.a.c
.o.c
30tg
=
°=Þ=°Þ==°
+=
+°=Þ=+°Þ
+
==°

55. metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.
3
3
y.3h)II()y20(.
3
3
h)I(
=Þ
=Þ-=Þ=+Þ
=+Þ=+
=+=
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h
=
=
=

56. 30 metros
17 metros para
subir a árvore
17 metros para
descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320
tsegundos320
2,0
64
t
V
s
tst.V
t
s
V
=D=D
Þ=DÞ==D
D
=DÞD=DÞ
D
D
=
v = 0,2 m/s

57. Obrigado pela
participação de todos!!!
Infelizmente,
terminou . . .
Prof. Edson Arnaldo Mendes
Prof. Paulo Alves Rodrigues