Ciclo trigonometrico-exercicios

1. PROFESSORA TELMA CASTRO SILVA
CICLO TRIGONOMÉTRICO

2. Medidas de Arcos
Asunidadesmaisusadassãoograu(°)eoradiano(rad).
Grau:équandodividimosumacircunferênciaem360
partescongruentes,sendocadaumadessaspartes
correspondentesaumarcodeumgrau(1
o
).

3. r
Radiano:umarcodeumradiano(1rad)éumarco
cujocomprimentoéigualaodoraiodacircunferência
queocontém.
•
r
1 rad
6,28 radou
2πrad
Comprimento do arco
igual à medida do raio
Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr
onde r é o raio.
• ≅ 0,28 rad

4. 360° 2πrad
180° πrad
90° π/2rad
Transformação de graus para radianos
Exemplo:Quantosradianoscorrespondema540
°
?
540° xrad

5. Circunferência Trigonométrica -Preliminares
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r =
1), cujo centro coincide com a origem de um sistema
cartesiano ortogonal.
•
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1

6. •
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1
A
•Se um arco for medido no sentido horário, então a essa
medida será atribuído o sinal negativo (-).
•Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a
essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
O ponto A (1 , 0) é a
origem de todos os
arcos a serem medidos
na circunferência.
⊖
⊕
•

7. •
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1
A
Oseixoscoordenadosdividemoplanocartesianoem
quatroregiõeschamadasquadrantes;essesquadrantes
sãocontadosnosentidoanti-horário,apartirdopontoA.
Comoacircunferênciatem360°ou2πrad,cadaum
dessesarcosmedem90°ouπ/2rad.
•
1°Q2°Q
3°Q4°Q

8. SetemosumarcodeorigemAeextremidadeB,elepode
assumirinfinitosvalores,dependendodonúmerodevoltas
nosentidoanti-horário(+),ounosentidohorário(–).
π/2 rad
πrad
3π/2 rad
0 rad
0
•
•
•
•
•
2πrad
–3π/2 rad
–πrad
–π/2 rad
–2πrad
0
•
•
•
•
•
0 rad
Sentido POSITIVO ou
anti-horário
Sentido NEGATIVO ou
horário
A
B
A
B

9. π/2 rad= 90°
πrad= 180°
3π/2 rad= 270°
0 rad= 0°
0
•
•
•
•
•
2πrad= 360°
5π/2 rad= 450°
3πrad= 540°
7π/2rad= 630°
4πrad= 720°
Infinitos valores

10. ARCOS E ÂNGULOS
Exercícios

11. 1.Expresseemgraus:
a)
b)
c)
d)
e)rad
9
10 rad
8
11 rad
9
 rad
20
 rad
3
4

12. Solução:Essecálculotambémpoderiaserrealizadopela
regradetrês,masoutraformaésubstituirπradpeloseu
correspondenteemgraus,180º,esimplificarafração.
a)
b)
2
45
clicar
1
20

13. Solução:Essecálculotambémpoderiaserrealizadopela
regradetrês,masoutraformaésubstituirπradpeloseu
correspondenteemgraus,180º,esimplificarafração.
a)
b)
c) d)
e)
2
45
1
60
1
20
1
20
1
9

14. 2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
Solução:Osponteirosdeum
relógioestãoambosnadireção
dosnúmerossomentenahora
exata.Apósessemomento,o
únicoaficarnadireçãoéo
ponteirodosminutos(grande).
Orelógiorepresentauma
circunferênciadivididaem12
partesiguais.Logo,cadanúmero
distaumarcoquemede30°.
Às4homenorângulocentral
formado pelosponteiros
correspondea

15. 3.Seoponteiromenordeumrelógiopercorreumarco
de(π/12)radianos,quearcoponteiromaiorpercorre?
Solução:
Emgrausamedidapercorridapelomenor
correspondea15°.
Essevalorcorrespondeàmetadedadistânciaentre
doisnúmerosconsecutivos.
Otempoparapercorreressadistânciapelomenoré
demeiahora.
Enquantoissooponteiromaiordámeiavolta
completa,istoé,180°.
Logo,oponteiromaiorpercorreπrad.

16. 3.Seoponteiromenordeumrelógiopercorreumarco
de(π/12)radianos,quearcoponteiromaiorpercorre?
Esta questão também pode ser resolvida através se
uma regra-de-trêssimples:
Ponteiro
Pequeno
Ponteiro
Grande
2πrad(π/6)rad
xrad(π/12)rad
2
Resposta: πrad

17. 4.Umrelógiofoiacertadoexatamenteaomeio-dia.
Determineashoraseosminutosqueestarámarcando
esserelógioapósoponteiromenorterpercorridoum
ângulode42°.
Ponteiro
Pequeno
Tempo
60 min30°
x42°
Passaram-se84minutosapósomeio-dia,que
correspondea1h24min.Observequeestehorárioé
vespertino,logopodeserindicadocomo13:24h.
2

18. 5.Qualamedida,emgraus,domenorângulocentral
formadopelosponteirosdeumrelógioqueestá
marcando9h30min?
09:00 h 09:30 h
x
α

19. Solução:Aomarcar9hem
ponto,osponteirosestavamna
direçãodosnúmeroscomo
indicadonaprimeirafigura.
Às9h30minoponteiropequeno
deslocou-sedeumângulo“x”.
Aplicandoa regra-de-rês
descobrimosquantosgrauselese
afastoudadireçãodonúmero9
em30minutos.
09:30 h
x
α
Ponteiro
Pequeno
Tempo
60 min30°
30 minx
60 x = 900 ⇒ x = 15°
α= 90°+ x e x = 15°
⇒ α= 105°

20. 6.Determine:
a)ocomprimentodeumarcodecircunferência(em
cm),sabendoqueelatem12cmderaioeoângulocentral
correspondentemede20°.
b)oângulocentral(emradianos)correspondenteaum
arcode15cmdecomprimento,sabendoqueelatemraio
de20cm.
c)amedidadoraiodeumacircunferência(em
cm),sabendoquenelaumângulocentralde15°
correspondeaumarcode30cm.

21. a)ocomprimentodeumarcodecircunferência(em
cm),sabendoqueelatem12cmderaioeoângulo
centralcorrespondentemede20°.
⇒

22. b)oângulocentral(emradianos)correspondenteaum
arcode15cmdecomprimento,sabendoqueelatemraio
de20cm.
⇒

23. c)amedidadoraiodeumacircunferência(em
cm),sabendoquenelaumângulocentralde15°
correspondeaumarcode30cm.
⇒

24. 7.Arodadianteiradeumabicicletatem40cmderaio.
Quantosmetroselapercorreaodar5.000voltas?
Quantasvoltaseladevedarparapercorrer9420m?
40 cm = 0,4 m⇒C = 2π×0,4 mC ≅2,5m∴
1 volta = 2,5 m⇒5000 voltas = 5000 ×2,5 m = 12.500 m
1 volta = 2,5 m⇒xvoltas = 2,5x = 9.420 m

25. 8.Asrodasdeumautomóveltêm70cmdediâmetro.
Determineonúmerodevoltasefetuadaspelasrodas
quandooautomóvelpercorre9.891km.Adoteπ=3,14.
d = 70 cm ∴ r = 35 cm
1 volta = C = 2π×35 = 70πcm = 219,8 cm = 2,198 m
Percurso = 9.891 km = 9.891.000 m
2,198 . x= 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas
x voltas = 2,198 . x

26. 9. Obtenha as menores determinações não negativas dos
arcos.
a)1300°
b) 1440°
c) 170°
d)
e)
f) –1200°rad
2
11 rad
5
43
Solução:
Encontra-seonúmerodevoltascompletas
queémúltiplode360°oude2π.
Asmenoresdeterminaçõesnãonegativas
serãoosarcosencontradosnosrestos
percorridosnosentidopositivo.
Sãochamadas1ª
s
determinações.

27. °
1300°360°
3
022
voltas
a)
Logo a 1ª determinação de 1300°é 220°.
1300°= 3 ×360°+ 220°
3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
°
1440°360°
4
000
voltas
b)
Logo a 1ª determinação de 1440°é 0°.
1440°= 4 ×360°+ 0°
4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
c)170°< 360°não completando uma volta. Logo a 1ª
determinação é o próprio 170°.

28. d)
Vamos dividir o arco por 2πrad
Sabemos que: ou seja, 2 voltas
mais ¾ de volta.
¾ de uma volta, em radianos, serão:
2
1

29. ou seja, 4 voltas
mais 3/10 de volta.
e)
Vamos dividir o arco por 2πrad
Sabemos que:
3/10 de uma volta, em radianos, serão:
5
1

30. f)
–120°éa1ªdeterminaçãonegativade–1200°.
Paraencontrara1ªdeterminaçãopositiva,devemos
somar360°a–120°.
–120°+360°=240°
Logoa1ªdeterminaçãonãonegativade–1200°é240°
(sentidopositivo).
°
–1200°360°
–3
02–1
voltas
–1300°= –3 ×360°–120°
3 voltas completas no sentido horário (negativo)
∴ volta ao ponto de partida

31. • 0°180°•
90°
•
•
270°
+240°≡–120°•
Visualização de determinações positiva e negativa:

32. 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a)1700°
b) –700°
c)
d)
e) rad
4
49 rad 11 rad
8
33

Solução:Aexpressãogeralserá
dadapela1ªdeterminaçãodos
ângulosadicionadasamúltiplosde
360°ou2π,positivosounegativos.

33. °
1700°360°
4
062
voltas
a)
1700°= 4 ×360°+ 260°
4 voltas completas no sentido horário (negativo)
∴ volta ao ponto de partida
260°é a 1ª determinação positiva de 1700°.
DizemosentãoqueaEXRESSÃOGERALdosarcos
côngruosa1700°édadapor:

34. °
1700°360°
4
062
voltas
a)
Sendokumnúmerointeiro,aoescrevermos
360°k,queremosexpressarumnúmeroqualquerde
voltascompletasemqualquersentido–positivoou
negativo.
Aosomarmos260°,dizemosque,depoisdevoltarao
pontodepartida–nãoimportandoquantasvoltasforam
dadasantes–percorremosmais260°echegamos
sempreaomesmoponto.

35. • 0°180°•
90°
•
•
270°
260°
•
≡360°

36. • 0°180°•
90°
•
•
270°
620°
≡360°
1 volta
•
+ 260°

37. • 0°180°•
90°
•
•
270°
980°
≡360°
2 voltas
+ 260°
•
1 volta

38. • 0°180°•
90°
•
•
270°
–100°
≡360°
–1 volta
•
+ 260°

39. Todos os arcos
têm extremidade
no mesmo ponto!

40. b))º340()(2º360º700  restovoltas
⇒ 1ª determinação positiva de –700°= 360°–340°= 20°
Logo a expressão geral éZk k ,360º20
c)radvoltasradradrad
4
)6(12
44
48
4
49 


 Zk rad k  ,2
4


Logo a expressão geral é

41. d)rad voltasrad rad rad   )5(1011 Zk krad ,2
Logo a expressão geral éradvoltas radradrad
8
)2(4
88
32
8
33 



e)
A 1ª determinação positiva seráradradrad
8
15
8
2

 
Logo a expressão geral éZk krad  ,2
8
15


–2 voltas significa duas
voltas no sentido horário
(negativo)

42. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.
( ) 740°e 1460°
( ) 400°e 940°
( )
( )
Solução:
Paraquerepresentemarcos
côngruos,suasextremidades
deverãoserasmesmas.
Istopodeserverificado
comparandoasprimeiras
determinaçõesdecadapar.

43. 




)º20()(4º360º1460
)º20()(2º360º740
restovoltas
restovoltas 1º)




)º220()(2º360º940
)º40()(1º360º400
restovoltas
restovoltas
2º)
3º)






radvoltasradradradradrad
radvoltasradradradradrad
3
2
)(4
3
2
8
3
2
3
24
3
26
3
2
)(6
3
2
12
3
2
3
36
3
38






4º)






radvoltaradradradradrad
radvoltasradradradradrad
5
9
)(1
5
9
2
5
9
5
10
5
19
5
4
)(7
5
4
14
5
4
5
70
5
74






⊠
⊠

44. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.
( ) 740°e 1460°
( ) 400°e 940°
( )
( )
⊠
⊠

45. 12. Os arcos da forma , , k ∈ ℤ , têm
extremidades em que quadrantes? k
k )1.(30º180. 
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a
regularidade dos quadrantes:















)º1(º30º390º30º360º30.)1(º180).2(2
)º2(º150º30º180º30.)1(º180).1(1
)º1(º30º30.)1(º180).0(0
)º2(º150º210º30º180º30.)1(º180).1(1
)º1(º30º330º30º360º30.)1(º180).2(2
2
1
0
1
2
Qk
Qk
Qk
Qk
Qk
Observa-seque,paravaloresÍMPARESdek,a
extremidadedoarcopertenceao2ºquadrantee,para
valoresPARES,ao1ºquadrante.Logo,arespostaé1ºe
2ºquadrantes.

46. cosα
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
DadoumarcotrigonométricoAMdemedidaα,chama-se
decossenodeαaabscissadopontoMesenodeαa
ordenadadopontoM.
•
•
•
•
Aα
M
•
•
senα

47. SendoMopontodecoordenadas(cosα,sen
α),consideraremosoeixohorizontalcomoEixodos
CossenoseoeixoverticalcomoEixodosSenos.
cosα
•
•
•
•
Aα
M
•
•
senα
cos
sen

48. •
•
•
( 1 , 0 )
•
( 0 , 1 )
•
(–1 , 0 )
•
( 0 , –1 )
180°ou πrad
0°ou 0 rad
90°ou π/2 rad
270°ou 3π/2 rad
360°ou 2πrad
sen
cos

49. Ponto ArcoCossenoSeno
( 1 , 0 )
( 0 , 1 )
(–1 , 0 )
( 0 , –1 )
( 1 , 0 )
Arco
0
π/2
π
3π/2
2π
Cosseno
1
0
–1
0
1
Seno
0
1
0
–1
0
Complete:
1
0
1
0
0
0

50. Exercício
Converta de graus para radianos:
a) 30°= _____
30° xrad
180° πrad
b) 45°= _____ c) 60°= _____

51. •
sen
cos
30°ou π/6•

52. •
sen
cos
45°ou π/4•

53. •
sen
cos
60°ou π/3
•

54. sen
cos
30°ou π/6•
•
•210°ou 7π/6

55. 150°ou 5π/6
sen
cos
30°ou π/6•
•
•210°ou 7π/6
•

56. 150°ou 5π/6
sen
cos
30°ou π/6•
210°ou 7π/6•
•
•
•
330°ou 11π/6

57. π/6π–π/6
= 5π/6
π+ π/6
= 7π/6
2π–π/6
= 11π/6
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
0 π/2 π 3π/22π
sen
cos

58. Agora vamos fazer o mesmo para todos
os arcos associados a π/4 e π /6
π/4
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/4
= 3π/4
π+ π/4
= 5π/4
2π–π/4
= 7π/4

59. •
sen
cos
45°ou (π/4) rad•
0°ou 0 rad180°ou πrad
•
• •
180°–45°= 135°ou
π–π/4 = (3π /4) rad
180°+ 45°= 225°ou
π+ π/4 = (5π /4) rad
360°ou 2πrad
360°–45°= 315°ou
2π–π/4 = (7π /4) rad

60. •
sen
cos
••
• •

61. •
sen
cos
(π/4) rad
••
• •
(3π /4) rad
(5π /4) rad (7π /4) rad

62. π/4
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/4
= 3π/4
π+ π/4
= 5π/4
2π–π/4
= 7π/4
π/3
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/3
= 2π/3
π+ π/3
= 4π/3
2π–π/3
= 5π/3

63. •
sen
cos
60°ou (π/3) rad
•
•
•
•
0°ou 0 rad180°ou πrad
360°ou 2πrad
180°–60°= 120°ou
π–π/3 = (2π /3) rad
180°+ 60°= 240°ou
π+ π/3 = (4π /3) rad
360°–60°= 300°ou
2π–π/3 = (5π /3) rad

64. •
sen
cos
•
•
•
•

65. •
sen
cos
60°
•
•
•
•
120°
240° 300°

66. π/3
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/3
= 2π/3
π+ π/3
= 4π/3
2π–π/3
= 5π/3

67. 0
Tangente na Circunferência Trigonométrica
Sejataretaperpendicularaoeixodasabscissaspelo
pontoA.
•
•
•
•
Aα
t
O prolongamento do raio 0M intercepta a reta tno ponto T.
•
•T
•
M
A’
B’
B

68. Chamaremosaretatdeeixodastangentes,assim:
DadoumarcotrigonométricoAM,M≠BeM≠B’,de
medidaα,chama-setangentedeα(tgα)aordenadado
pontoTobtidopelaintersecçãodoprolongamentodoraio
0Mcomoeixodastangentes.
0
•
•
•
Aα
t
•
•T
•
M
•
A’
B’
B
tgα

69. OBS:OpontoMnãopodecoincidircomB,nemcomB’,pois
osprolongamentosdosraios0Be0B’,nãointerceptamo
eixodastangentes.
Porissodizemosquenãoexistetangentedeumarcocom
extremidadeemBouB’.
0
•
•
•
Aα
t
•
•T
•
M
•
A’
B’
B
tgα

70. 30º ou
(π/6) rad
45º ou
(π/4) rad
60º ou
(π/3) rad
sen
cos
tg 12
1 2
1 2
3 2
3 3
3 3 2
2 2
2
Tabela das principais razões trigonométricas

71. •
sen
cos30°ou π/6
•
tg
T

72. •
sen
cos
45°ou π/4
•
tg
T
1

73. •
sen
cos
60°ou π/3
•
tgT

74. Variação do sinal da tangente
Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos:c
b
tg
b
A B
C
α
a
ca
b
sen a
c
cos
Vamos calcular o seguinte quociente:

cos
sen a
c
a
b
 c
a
a
b
 c
b
  tg

75. sen
⊕⊕
⊖⊖
cos
⊕
⊕
⊖
⊖
tg
⊕
⊕
⊖
⊖
Lembre-se que
⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕,
⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖

76. π/6π–π/6
= 5π/6
π+ π/6
= 7π/6
2π–π/6
= 11π/6
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
tg

77. π/4
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/4
= 3π/4
π+ π/4
= 5π/4
2π–π/4
= 7π/4
tg 1 1–1 –1

78. π/3
sen
cos
1º Q2º Q3º Q 4º Q
π–π/3
= 2π/3
π+ π/3
= 4π/3
2π–π/3
= 5π/3
tg

79. 0 π/2 π 3π/22π
sen
cos
Agora, muita atenção!
tg 0 0 0∞ ∞
AdivisãoporzeronãoédefinidaemMatemática,mas
podemosconsideraraquiqueosprolongamentosdos
raiosnosarcosπ/2e3π/2resultariamemparalelasao
eixodastangentese,comosabemos,define-sequeretas
paralelasse“encontram”noinfinito.

80. •
•
sen
cos30°ou π/6
•
tg
T
Exemplos:
330°ou
11π/6
T’

81. sen
cos
45°ou π/4
•
tg
T
1
•
•
135°ou 5π/4

82. •
sen
cos
60°ou π/3
•
tgT
•
120°ou 2π/3

83. CONTINUAÇÃO
Exercícios

84. 13. Determine os valores de:
a)
b) º180º902º540cos3 tgseny  º720cosº630cos2º9004 seny
Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo
ao 1°quadrante para determinações dos valores das
funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo
com os quadrantes.

85. 5230)1(2)1(3
0º180
1º90
1º180cosº540cos









y
tg
sen
11001)0(2)0(4
1º0cosº360cosº720cos
0º270cosº630cos
0º180º900









y


sen sen a)
b)

86. 14.Determineosvaloresmáximosemínimosdas
expressões:
a)
b)
c)3
1cos4 

x
y 5
52senx
y

 23
2
 xseny
Solução:Asfunçõessenoecossenovariamnointervalo
[–1,1]onde(–1)émínimoe(1)émáximo.
Nocasodasfunçõesestaremaoquadrado,ovalor
mínimopassaaser(0),poisnenhumnúmeroao
quadradopodesernegativo.

87. ATENÇÃO!
















1
3
3
3
1)1(4
:
3
5
3
1)1(4
:
3
1cos4
ymínimo
ymáximo
x
y
a)

88. b)















5
3
5
_)1(52
:
5
7
5
_)1(52
:
5
52
ymínimo
ymáximo
senx
y
c)





12)1(3:
22)0(3:
23
2
ymínimo
ymáximo
xseny

89. 15. Que valores de msatisfarão a ambas as condições:
Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando
senos e cossenos, temos:
ou

90. 16. Sendo xum arco do 2°quadrante e ,
determine:
a) cosx
b) tgx5
3
senx
Solução:No2°quadranteocossenoénegativoea
tangentetambéménegativa.Aplicandoasrelações
fundamentais,temos:

91. a)
b)

92. 17. Relacione as colunas:
Solução:
Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o
sinal da função.

93. cos20°
a)5240°360°
1
164
4
200°
0
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
•
270°
200°•
20°
20°–cos20°
cos200°= –cos20°
•

94. b)1200°360°
3
120°
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
•
270°
120°•
60° 60°
sen60°= cos30°
•

95. c)–210°+ 360°= 150°
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
•
270°
150°•
30° 30°
sen150°= sen30°
•

96. d)
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
150°•
30° 30°
tg
•
270°
•

97. d)
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
•
270°
120°•
60° 60°
•

98. d)
cos
sen
• 0°180°•
90°
•
•
270°
•330°
30°
30°
cos330°= cos30°
•

99. d)

100. 17. Relacione as colunas:

101. 18. A expressão é igual a:)º120cos(º540
º3001


tg
sen
cos
sen
180°•
90°
•
•
270°
•300°
•
≡ 360°60°
60°
• 0°

102. 540°360°
1
180°
cos
sen
180°•
90°
•
•
270°
•
tg
• 0°

103. –120°+ 360°= 240°
cos
sen
180°•
90°
•
•
270°
60°
60°
• 0°
240°•
•

104. )º120cos(º540
º3001


tg
sen 0
⇒
∴

105. ISERJ –2011
Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/