CID400 - Algebra de Boole y Simplificacion de Funciones (Introduccion) - Rev. II-2022 - OK.pdf

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2. CONTENIDO -UNIDAD TEMÁTICA 3
Algebra de Boole:
•Postulados y teoremas:
•Teoremas de DeMorgan
Función Lógica o booleana
•Funciones y compuertas lógicas básicas (AND, OR, NOT)
•Combinación de compuertas lógicas
•Compuertas NAND y NOR
•Tablas de verdad
Formas canónicas
•Suma de Productos (Mintérminos) y Producto de Sumas (Maxtérminos).
Simplificación de funciones:
•Método algebraico
•Método de Karnaugh y Veitch
•Método numérico de Quine – Mc Cluskey
•Funciones incompletas, Multifunciones

Realización con puertas de las funciones lógicas (NAND y NOR)
FUNCIONES Y COMPUERTAS LÓGICAS

3. En1854GeorgeBooleintrodujounanotaciónsimbólicaparaeltratamiento
devariablescuyovalorpodríaserverdaderoofalso(variablesbinarias).
AsíelálgebradeBoolenospermitemanipularrelacionesproposicionalesy
cantidadesbinarias.Aplicadaalastécnicasdigitalesseutilizaparala
descripciónydiseñodecircuitosmaseconómicos.
Lasexpresionesbooleanasseránunarepresentacióndelafunciónque
realizauncircuitodigital.
Enestasexpresionesbooleanasseutilizaránlastresoperacionesbásicas
(AND,ORNOT)paraconstruirexpresionesmatemáticasenlascualesestos
operadoresmanejanvariablesbooleanas(loquequieredecirvariables
binarias).
Algebra de Boole

4. Noesobjetodeestaunidadtemáticaunanálisisprofundoyformaldelos
postuladosyteoremasdelAlgebradeBoole.
Lossímboloselementalesson:
0:representativodeFALSO
1:representativodeVERDADERO
Lasoperacionesfundamentalesson:
ConjunciónuoperaciónAND(serepresentaconunsignode·)
DisyunciónuoperaciónOR(serepresentaconunsigno+)
Complementación,NegaciónuoperaciónNOT(serepresentaconuna
barrasobrelavariable,)
Lasvariablessonlasproposiciones,queserepresentanosimbolizanporletras
Elementos del álgebra de Boole

5. Algebra de Boole
Definición y Postulados (1)

6. Algebra de Boole
Definición y Postulados (1)

7. Funciones Lógicas básicas
Representación de Puerta Lógica y Tabla de Verdad

8. Puertas lógicas compuestas

9. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (1)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

10. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (2)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

11. LAS LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE (3)
Representación mediante asociación de contactos (switch)

13. RELÉ
Relé electromecánico de dos contactos
Interruptor Magnetico

14. Símbolodeundiododevacíoo
gaseoso.Dearribaabajo,sus
componentesson,elánodo,el
cátodo,yelfilamento.
DIODO DE VACÍO
Diododevacío,usado
comúnmentehastala
invencióndeldiodo
semiconductor,esteúltimo
tambiénllamadodiodode
estadosólido.
Diodo semiconductor
Diodo de estado sólido

15. EsundispositivoelectrónicodeestadosólidoconsistenteendosunionesPNmuycercanasentresí,
quepermiteaumentarlacorrienteydisminuirelvoltaje,ademásdecontrolarelpasodela
corrienteatravésdesusterminales.
El transistor de unión bipolar (bipolar junctiontransistor, o sus siglas BJT)
Replicadelprimertransistorde
puntodecontacto
Cortetransversalsimplificadodeun
transistordeuniónbipolarNPNenelcual
seapreciacomolauniónbase-colectores
muchomásampliaquelabase-emisor.
Característica idealizada de un transistor bipolar

16. Transistor de Efecto de Campo (FET)

17. Transistor de Efecto de Campo (FET)

18. Teoremas del Algebra de Boole(1)

19. Teoremas del Algebra de Boole(2)

20. Lospostuladosyteoremaspresentadosanteriormenteestán
representadosenpares.Larazónesquecadateoremaposeelo
quellamamosundual.
Eldualdeunaexpresiónseobtieneintercambiandolas
ocurrenciasdeORporAND,0por1yviceversa..
Siunteoremaesvalido,tambiénloserásudual,Enefecto
siguiendoeldualdelademostracióndelteorema,seobtienela
demostracióndeldualdelteorema.
Porejemplodadoelpostulado0+0=0seobtieneeldual
haciendo1·1=1.
Principio de dualidad

21. Variables, Expresiones Lógicas y tablas de verdad

22. Equivalencia entre Expresiones Lógicas

23. Convertir Tabla de Verdad
en expresión lógica
Forma canónica con minterminos:
1.-Tomar cada combinación que dé 1 a la
salida y fórmarseun producto de
variables, de forma que si una variable
vale 0 en aquella fila se coloca su
complemento y si vale 1 se coloca la
variable sin complmentar .
2.-Escribir la función que resulta de
sumar todos los productos.
F=X’YZ’+X’YZ+XY´Z+XYZ’+XYZ
Existen muchas expresiones equivalentes
F =X’Y+XY’Z+XY

24. Convertir expresión lógica en Diagrama de
Compuertas (logigrama )

25. Manipulación Algebraica
de expresiones Booleanas
Sepuedetransformarunaexpresiónbooleanaenunaexpresiónequivalente
aplicandolospostuladosyteoremasdeálgebradeBoole.Estoesimportantesi
sequiereconvertirunaexpresióndadaasuformacanónica(forma
estandarizada)osisequiereminimizarelnúmerodeliterales(directa–primed
oinversa-unprimed)otérminosenunaexpresión. Laminimizacióntérminosy
expresionesesimportanteporqueloscircuitoseléctricosconsistenamenudode
componentesindividualesqueimplementancadatérminooliteraldeuna
expresióndada. Minimizandolaexpresiónlepermitelepermitealdiseñador
usarmenoscomponenteseléctricosy,porconsiguiente,reducirelcostodel
sistema.
Lamentablementenoexisteunareglafija,quesepuedaaplicarparaoptimizar
unaexpresióndada.Lahabilidaddeunindividuopararealizarfácilmenteestas
transformacionesnormalmenteestáenfuncióndeexperiencia.

26. A + Be + AB
j
(A + Be) (AB)
j
(A + Be) (AB)
j
AAB + BCAB
j
AB • 0
j
AB
Breaking longest bar
. -Applying identity A = A
w
herever double
bars of
equal length are found
Distributive property
Applying identity
AA = A
to left term, applying identity
Ai = 0 to B and Ii in right
term
Applying identity A + 0 = A
',---'\"
B -4.-r-,
C -r/'---/
A
AS
A~
B ~ Q
The "'lui,a1ent gate circuit for this nmcl,- simplificd expres8ioll is so follow",
AB

27. Simplificación de expresiones lógicas
mediante el uso de Teoremas y Postulados
del Algebra de Boole

28. Simplificación algebraica de expresiones lógicas
(ejemplos)

29. Representación de funciones booleanas
Existeninfinitasmanerasderepresentarunafunciónbooleana.Asíporejemplola
funciónG=X+Y•ZpuedetambiénrepresentarsecomoG=X+X+Y•Z.
Otrasvecessesueleutilizarlaformanegadaoelcomplementodelafunción.Para
estoessenieganlosliteralesyseintercambianlosANDyOR.
Porejemplo,elcomplementode: A+B’.C
es: A’.(B+C’)
Elcomplementodeunafunciónnoeslamismafunción,eslaformanegadadela
función.
EnelálgebradeBooleesfundamentallaexistenciadeunaformaalgebraicaque
proporcioneexplícitamenteelvalordeunafunciónparatodaslascombinacionesde
losvaloresdelasvariables.Esestalaformacanónicadelafunción.

30. Definición de conceptos
a)Literal : se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, X’)
b)Termino producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados
entre sí por un AND(por ej. A•B, C•A, X’•Y•Z)
c)Termino suma: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre
sí por un OR(por ej. A+B, C+A, X’+Y+Z ).
d)Termino normal: termino producto o termino suma en el que un literal no
aparece más de una vez.
e)Término canónico:termino en el que se encuentra exactamente uno de cada
uno de los literales de la función.
f)Mintérmino: Se denomina así siel termino canónico es un producto.
g)Máxtérmino:Se denomina así si el termino canónico es una suma.
h)Forma normal de una función: es la que está constituida por términos
normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos
de términos sumas.
i)Forma canónica de una función: es aquella constituida exclusivamente por
términos canónicos que aparecen una sola vez.

32. Forma canónica suma de productos
Esaquellaconstituidaexclusivamenteportérminoscanónicosproductos
(minterminos)sumadosqueaparecenunasolavez.
Porejemplo: F(X,Y,Z)=X’Y’Z+XY’Z’+XY’Z+XYZ’+XYZ
Parasimplificarlaescrituraenformadesumacanónicadeproductos,seutilizauna
notaciónespecial.Acadamintérminoseleasociaunnúmerobinariodenbits
resultantedeconsiderarcomo0lasvariablescomplementadasycomo1las
variablesnocomplementadas.
AsíporejemploelminterminoX’Y’ZcorrespondeacombinaciónX=0,Y=0,Z=1que
representaelnumerobinario001,cuyovalordecimales1.Aesteminterminolo
identificaremosentoncescomom
1.
Deestaforma,lafunción:F(X,Y,Z)=X’Y’Z+XY’Z’+XY’Z+XYZ’+XYZsepuede
expresarcomo:F(X,Y,Z)=∑m(1,4,5,6,7)quequieredecirlasumatoriadelos
minterminos1,4,5,6,7.

33. Forma canónica producto de sumas
Esaquellaconstituidaexclusivamenteportérminoscanónicosproductodesumas
(maxterminos)queaparecenunasolavez.
Porejemplo: F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y’+Z)(X+Y’+Z’)
Podemossimplificarlaexpresióndelafunción,indicandolosmaxterminos.Sinembargo,
enestecasosehacealcontrariodeantes.Acadamaxterminoseleasociaunnumero
binariodenbitsresultantedeconsiderarcomo1lasvariablescomplementadasycomo
0lasvariablesnocomplementadas.
Asíporejemploelmaxtermino(X’+Y+Z)correspondeacombinaciónX=1,Y=0,Z=0
querepresentaelnumerobinario100,cuyovalordecimales4.Aestemaxterminolo
identificaremosentoncescomoM
4
.
Deestaforma,lafunción:F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y’+Z)(X+Y’+Z’)
sepuedeexpresarcomo:F(X,Y,Z)=∏M(0,2,3)quequieredecirelproductodelos
maxterminos0,2,3.

34. Resumen:
Enresumen,cadaminterminoseasocia
conlacombinacióndeentradaparalaque
lafunciónproduciríaun1,ycada
maxtérminoconlacombinaciónparala
queproduciríaun0.
Enlatabladeladerechasemuestranlos
minterminosylosmaxterminosasociados
concadacombinaciónenunatablade
verdadde3variables.

35. Supóngase que por algún medio se ha diseñado el circuito que se muestra en la y se
pide,
de ser
posible, obtener un circuito más sencillo que realice la misma función.
"~o.y.z) _ ~i. iHiy. iz) '1i~i . io)
.o,p¡;cando p"' ......... Y 100fM\a0 • lo """"'*"" (>J'
"to,y,z) _ (i. ¡;)(x" xz), ,¡;1Z: ~1 •• )] _
• i('" iz)' ¡(iy. iz). i' .
--- -
·'1' .. ·"z"z-
---
• ,y,,,,yz
(t .... "u.o.)
rr,u..)
{r.".'J
Primero, es necesario determinar la expresión
F realizada por el circuito. Esto se obtiene
determinando la expresión lógica a la salida
de cada compuerta, hasta llegar a la última
del diagrama. Siguiendo el procedimiento
anterior, obtenemos:
...
,.
Vemos que tanto la expresión como el circuito
se han simplificado considerablemente, pero
realizando la misma función .

36. MÉTODOS DE
SIMPLIFICACIÓN ÁLGEBRAICA
Cuandosetrabajaconexpresionesbooleanas,
esdeseablequeestasseencuentrenexpresadas
enunadedosformas:comosumadeproductos
ocomoproductodesumas.

37. Unasumadeproductosconsistededosomásgruposde
literales,cadaliteralesrecibidacomoentradaporunAND
ylasalidadecadaunadeestascompuertas(AND)es
recibidacomoentradaporunacompuertaOR.
esdecir,elcircuito
combinatoriodeunasuma
deproductosdebedetener
elsiguientepatrón:

38. Unproductodesumasconsistededosomásgruposde
literales,cadaliteralesrecibidacomoentradaporunORyla
salidadecadaunadeestascompuertas(OR)esrecibida
comoentradaporunacompuertaAND.
esdecir,elcircuito
combinatoriode un
productodesumasdebede
tenerelsiguientepatrón:

39. Sepuedepasarunaexpresiónbooleanaasumade
productosoproductodesumasutilizandolasleyes
distributivasvistasanteriormente.

41. Finalmente,lossiguientesteoremaspermitenconvertira
productodesumasosumadeproductosunaexpresión
demanerasencilla:

43. Ejemplo. Convertir suma de productos:

44. Ejemplo. Convertir a producto de sumas: